Олимпиада им.а.а.леманского

ОЛИМПИАДА ИМ.А.А.ЛЕМАНСКОГО
Осенний тур (заочный)
18 – 28 октября 2014 года
9 класс
1.
Вычислить сумму
+
,если abc = 1.
+
Решение.
+
+
1,тогда
+
=
+
+
=
, учтем, что abc =
+
=1
Ответ: 1.
2.Доказать, что если a(a+b+c) < 0, то уравнение a
корня.
+ bx + c = 0 имеет два действительных
Решение.
1-й способ
a(a+b+c) < 0,раскроем скобки и умножим обе части неравенства на -4, получим
-4a2 -4ab -4ac 0,
прибавим к обеим частям неравенства по b2, получим
b2 - 4a2 - 4ab - 4ac b2,
Преобразуем данное неравенство к виду
b2 - 4ac b2 + 4a2 + 4ab;
b2 - 4ac (b + 2a)2 ,
так как ( b + 2a)2 0, то b2 - 4ac
Таким образом, дискриминант положителен , исходное уравнение имеет 2 действительных корня.
2-й способ
Т.к. a(a+b+c) < 0 , то
1)
или
Функция f(x)= a
+ bx + c –квадратичная, график - парабола. f(1)=
.
.
В первом случае ветви параболы направлены вверх и т.к. f(1)
, то существуют точки параболы,
расположенные ниже оси Ох. Значит, парабола пересекает ось Ох в двух точках, и исходное
уравнение имеет 2 действительных корня.
Во втором случае ветви параболы направлены вниз и т.к. f(1)
, то существуют точки параболы,
расположенные выше оси Ох. Значит, парабола пересекает ось Ох в двух точках, и исходное
уравнение имеет 2 действительных корня.
3. 30 команд участвуют в первенстве по футболу. Каждые две команды должны сыграть
между собой один матч. Докажите, что в любой момент состязаний имеются две команды,
сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
Решение.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть все команды к данному моменту времени сыграли хотя бы один матч. Тогда число
сыгранных матчей каждой командой могло быть 1,2,3…,28,29.
Но так как команд 30 и 30
29, то по принципу Дирихле найдется не менее двух команд,
сыгравших одинаковое количество матчей.
2.Пусть есть команда еще не игравшая. Тогда число сыгранных матчей каждой
командой могло
быть 0,1,2,3…,28. Но так как команд 30, а вариантов снова 29, то
Снова найдется не менее двух команд, сыгравших одинаковое количество матчей( возможно, ни
одного).
4.Докажите, что уравнение
-
= 1993 не имеет решений в целых числах.
Решение.
Разложим на множители левую и правую части уравнения. Учитывая, что число
1993- простое и имеет 4 ЦЕЛЫХ, а не НАТУРАЛЬНЫХ делителя, получим
(x-y)(x2 + xy + y2) = 1 1993 или (x-y)(x2 + xy + y2) = (-1) (-1993).
Чтобы доказать, что исходное уравнение не имеет решений в целых числах, надо доказать, что не
имеют решений в целых числах 4 системы уравнений:
,
.
Первая система решается подстановкой х = 1 + у. Остальные - аналогично. После подстановки во
второе уравнение получаемые квадратные уравнения либо имеют отрицательный дискриминант, либо
иррациональные корни. Предоставляем вам возможность убедиться в этом самостоятельно.
5.Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты (х; у) которых
удовлетворяют уравнению
= 1.
Решение.
Сразу обговорим, что знаменатель не должен равняться нулю. Тогда у+у2
То есть у
Значит, не будет точек, ординаты которых равны 0 и -1. Преобразуем данное равенство.
x+x2 = y+у2 ;
х - у - у2 + x2 =0 ;
(х - у) +(x2- у2) =0 ;
(х - у) + (х - у)( х + у) =0;
(х - у) (1 +х + у)=0. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений.
х - у=0 или 1 + х + у =0. Выразим в каждом уравнении у.
у = х или у = - х -1
Таким образом, решением будет объединение двух прямых с 4 «выколотыми» точками: (0;0), (-1;-1),
(-1;0), (0;-1).
у
-1
0
-1
х