Договор на землю;pdf

Министерство образования и науки Российской Федерации
Российский фонд фундаментальных исследований
Российский национальный комитет по теоретической и прикладной механике
Объединенный Научный совет РАН по комплексной проблеме “Механика”
Научный совет РАН по механике деформируемого твердого тела
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН
Институт проблем машиноведения РАН
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева
МАТЕРИАЛЫ VIII ВСЕРОССИЙСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Под редакцией Н. Ф. Морозова,
Б. Г. Миронова, А. В. Манжирова
16–21 июня 2014 г.
ЧАСТЬ 2
Чебоксары
2014
УДК 539.3(082)
ББК 22.251я431+95.4
М 341
М 341 Материалы VIII Всероссийской конференции по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, 16–21 июня 2014 г. ) : в 2 ч.
Ч. 2 / под ред. Н. Ф. Морозова, Б. Г. Миронова, А. В. Манжирова.
– Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 2014. – 269 с.
ISBN 978-5-88297-261-4
Сборник включает материалы докладов VIII Всероссийской конференции по
механике деформируемого твердого тела, состоявшейся 16–21 июня 2014 г. в
ЧГПУ им. И. Я. Яковлева.
VIII Всероссийская конференция по механике деформируемого твердого тела
(Чебоксары, 16–21 июня 2014 г.) при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 14-01-06037.
УДК 539.3(082)
ББК 22.251я431+95.4
ISBN 978-5-88297-261-4
c ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный
педагогический университет им.
И. Я. Яковлева», 2014
3
РУКОВОДСТВО КОНФЕРЕНЦИИ
Почетный председатель: Н. Ф. Морозов
Сопредседатели: Б. Г. Миронов, А. В. Манжиров
Зам. председателя: Ю. Н. Радаев, А. И. Шашкин
Ученые секретари: Е. В. Мурашкин, С. В. Тихонов
ПРОГРАММНЫЙ КОМИТЕТ
Б. Д. Аннин, В. А. Бабешко, В. Г. Баженов, Н. В. Баничук, А. А. Буренин,
Р. А. Васин,
А. О. Ватульян,
Д. В. Георгиевский,
Р. В. Гольдштейн,
И. Г. Горячева, Ю. И. Димитриенко, В. Н. Зимин, Л. А. Игумнов, Д. А. Индейцев,
Р. А. Каюмов, В. В. Калинчук, Г. И. Канель, И. В. Кириллова, Д. М. Климов,
В. А. Ковалев,
В. И. Колесников,
Л. Ю. Коссович,
А. М. Кривцов,
Г. Н. Кувыркин,
А. Г. Куликовский,
В. Ф. Куропатенко,
В. А. Левин,
А. М. Липанов, И. И. Липатов, А. М. Локощенко, Е. В. Ломакин, С. А. Лурье,
А. А. Маркин,
В. П. Матвеенко,
Н. М. Матченко,
Ю. В. Немировский,
Р. И. Непершин, В. Е. Панин, Ю. В. Петров, В. П. Радченко, С. И. Сенашов,
В. В. Сильвестров, М. Д. Старостенков, М. А. Сумбатян, Д. В. Тарлаковский,
П. Е. Товстик, А. А. Трещев, В. М. Фомин, А. Б. Фрейдин, А. И. Хромов,
Ф. Л. Черноусько, Е. И. Шифрин
ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ КОМИТЕТ
В. В. Алексеев,
А. В. Балашникова,
Е. А. Деревянных,
А. П. Кержаев,
Л. А. Максимова, С. В. Матвеев, Т. В. Митрофанова, Т. Н. Павлова
4
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3+621.039.54
О НЕОСЕСИММЕТРИЧНОМ НДС НЕРАВНОМЕРНО
НАГРЕТЫХ ДЛИННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ В
УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ И ОБЛУЧЕНИЯ
ABOUT ASYMMETRIC STRESS/STRAIN STATE OF IRREGULAR
HEATED CYLINDRICAL ELEMENTS UNDER CREEP AND
NUCLEAR RADIATION
И. С. КУЛИКОВ, А. В. ЧИГАРЕВ, П. И. ШИРВЕЛЬ
I. S. KULIKOV, A. V. CHIGAREV, P. I. SHIRVEL
Белорусский национальный технический университет, г. Минск
Аннотация. В работе представлена механико-математическая модель 2D(r,θ) неосесимметричного НДС, учитывающая изменение напряжений и деформаций в зависимости от радиальной и окружной координат с учетом влияния тепловых и радиационных эффектов в условиях обобщенной плоской деформации. На основе предложенной
модели созданы алгоритмы и программные средства, позволяющие проводить численное исследование деформирования цилиндрических конструктивных элементов,
работающих в условиях сложных квазистатических силовых и терморадиационных
воздействий.
Abstract. A new model of 2D(r,θ) asymmetric stress/strain state taking into account
the change of displacements, stresses and strains as a function of radial and circumferential
coordinates has been suggested. The numerical solution to solve steady stress/strain state
problem under creep, swelling and thermal strain has been obtained. The method and
algorithm of the numerical analysis of long cylindrical solid bodies has been offered.
Ключевые слова: необратимые деформации, радиационное распухание, ползучесть,
неосесимметричное деформирование, виртуальное моделирование.
Keywords: irreversible deformation, irregular temperature, swelling, creep, asymmetric
mechanical model, stress state simulation.
В различных отраслях современной техники широко используются конструктивные элементы, выполненные в виде тел цилиндрической формы. В процессе
эксплуатации они могут подвергаться воздействию как силовых, так и немеханических нагрузок (неравномерный нагрев и облучение элементарными частицами высокой энергии). Кроме того, длительное нахождение тел в физических
5
6
И. С. КУЛИКОВ, А. В. ЧИГАРЕВ, П. И. ШИРВЕЛЬ
и механических полях приводит к возникновению деформаций тепловой и радиационной ползучести. Вопросы моделирования процессов деформирования
сплошных сред в условиях сложных техногенных воздействий рассмотрены в
работах [1–5], но при этом в них не в полной мере учитывались все особенности напряженно-деформированного состояния (НДС) в таких условиях. В
некоторых случаях (осесимметричный нагрев) при определении НДС оправдано использование одномерной осесимметричной модели для цилиндрических
тел. Однако воздействие неоднородного в окружном направлении температурного поля в условиях интенсивного облучения высокоэнергетическими частицами неизбежно приводит к появлению дополнительных напряжений в процессе
эксплуатации объекта исследований. Таким образом, компоненты тензора деформаций, тензора напряжений и вектора перемещений будут зависеть как от
радиальной, так и от окружной координат материальных точек тела. В таком случае необходимо рассматривать неосесимметричное НДС, под которым
подразумевается зависимость характеристик деформирования не только от радиуса, но и от меридионального угла (т. е. в плоскостях, проходящих через ось
вращения, не возникает одинаковое напряженное и деформированное состояние
для текущей радиальной координаты).
В работе рассматривается неосесимметричное НДС массивного цилиндрического тела, осевое сечение которого образует ограниченную связную область
с кусочно-гладкой границей. С учетом того, что длина модельного тела значительно больше диаметра, его можно уподобить неограниченному цилиндру.
Считается, что для любого осевого сечения цилиндра характерно неоднородное
распределение температуры T (r,θ), напряжений σij (r,θ) и деформаций εij (r,θ),
i, j = r,θ,z. Цилиндрическое тело находится в условиях обобщенной (однородной) плоской деформации (εzz =const), а распределение температуры является
стационарным. Подчеркнем, что стационарным в том смысле, что все осредненные параметры и константы (свойства материалов, температура, скорость
потока высокоэнергетических частиц и т. п.) не изменяются со временем. Также предполагаем, что процесс деформирования не оказывает существенного
влияния на температурное поле тела, т. е. рассматривается несвязанная задача, решаемая в квазистатической постановке в предположении, что процессы
нагрева, механического нагружения и облучения протекают настолько медленно, что в каждый отдельный момент времени объект исследования находится в
равновесном состоянии. Уравнения состояния используем при условии аддитивности деформаций различного происхождения. Полагаем, что это имеет место
не только в случаях равномерного давления, но и при произвольных напряжениях и деформациях в условиях неравномерного нагрева и радиационного
облучения [1], [2], [4], [5]. Таким образом, компоненты девиатора полных деформаций можно представить в виде суммы упругой и неупругой составляющих. На рис. 1 изображена схема деформирования сплошной цилиндрической
области под действием внешнего равномерного механического давления Pext (t),
О НЕОСЕСИММЕТРИЧНОМ НДС...
7
находящейся в стационарном неосесимметричном поле температур T (r,θ) и подверженной облучению потоком быстрых нейтронов (З>0.1 МэВ) суммарным
флюенсом Ф(t). Относительно характера нагрева и облучения делаются следующие предположения: абсолютное значение и характер распределения поля
температур определяются мощностью внутреннего тепловыделения, теплофизическими свойствами материала и условиями теплосъема с поверхности тела;
а распределение деформаций радиационного распухания – временем, температурным полем и интегральным потоком высокоэнергетических частиц, например, нейтронов. Предполагается также, что температура в теле измеряется
либо экспериментально, либо определяется на основе решения задачи теплообмена с окружающей средой. Распределение флюенса нейтронов по сечению
описывается эмпирическими соотношениями, установленными на основе экспериментальных данных [5]. Таким образом, в предположении, что температурное
поле и распухание являются известными функциями, изотропное термическое
расширение и радиационные деформации вычисляются отдельно по известным
зависимостям и для рассматриваемой задачи будут внешними заданными величинами.
Рис. 1. Общая схема неосесимметричного НДС
Для описания процессов ползучести используем соотношения теории течения,
обобщенные на общий случай радиационного облучения Ю. И. Лихачевым [1].
8
И. С. КУЛИКОВ, А. В. ЧИГАРЕВ, П. И. ШИРВЕЛЬ
Рассматривая ползучесть как некоторый вид квазивязкого течения, допускаем, что в каждый момент времени скорость ползучести при данном структурном состоянии однозначно определяется действующим напряжением, флюенсом нейтронов и температурным полем. Таким образом, деформации терморадиационной ползучести, определяемые температурно-радиационными условиями и временем пребывания в этих условиях, подчиняются общим соотношениям, предполагающим пропорциональность компонент девиаторов напряжений
и скоростей деформаций [6]. Также считаем, что законы ползучести, установленные на основе простейших испытаний в условиях радиационного облучения, как правило, одноосных, можно распространить на сложное напряженнодеформированное состояние [1], [2], [4], [5]. Принятые допущения позволяют
разработать соответствующую механико-математическую модель для решения
поставленной задачи, которая заключается в определении НДС длинных цилиндрических тел, неравномерно нагретых в радиальном и окружном направлении, с учетом влияния облучения и физически нелинейных эффектов поведения материала. Общая задача определения неосесимметричного НДС состоит
в том, чтобы отыскать 10 функций (компоненты вектора перемещений, тензора
напряжений и тензора деформаций), причем таких, чтобы они удовлетворяли
дифференциальным уравнениям равновесия, а также физическим и геометрическим соотношениям, а на всех точках граничной поверхности – граничным
условиям.
В соответствии с вышесказанным получены дифференциальные уравнения
равновесия в перемещениях, описывающие неосесимметричное НДС цилиндрических тел при ползучести и облучении. Принимая за искомые функции
u(r,θ) и υ(r,θ), дальнейшее решение задачи сводится к интегрированию системы двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с
переменными коэффициентами относительно перемещений. Разрешающая система дифференциальных уравнений, описывающая неосесимметричное деформирование цилиндрических тел, записана в виде

∂2u
1 ∂u
u
1
∂2u
∂2ϑ
∂ϑ

+ r ∂r − r2 + 2r2 (1−µ) (1 − 2µ) ∂θ2 + r ∂r∂θ − (3 − 4µ) ∂θ =

∂r2


с

с

 = 1−2µ εсrr − εс + ∂εrθ + µ ∂εθθ + ∂εсzz + ∂εсrr + 1+µ ∂εth + ∂εs ;
θθ
(1−µ)r
∂θ
∂r
∂r
1−µ
∂r
1−µ ∂r2
∂r
2u
2ϑ
∂
1
∂ϑ
ϑ
1
∂
ϑ
∂
∂u

r ∂r∂θ + (3 − 4µ) ∂θ =

 ∂r2 + r ∂r − r2 + r2 (1−2µ) 2(1 − µ) ∂θ2 + 
th

с
c

∂ε
∂ε
∂εcrr
∂εczz
2(1+µ)
∂ε
∂εs
θθ
 = 4 εс + 2 rθ − 2
(µ
−
1)
−
µ
+
+
+
.
r rθ
∂r
r(1−2µ)
∂θ
∂θ
∂θ
r(1−2µ)
∂θ
∂θ
(1)
th
s
c
Здесь приняты следующие обозначения: εij , εij , εij – компоненты тензоров
неупругих деформаций термического расширения, радиационного распухания
(свеллинг) и ползучести соответственно; µ – значения коэффициента Пуассона
(характерные для конкретного диапазона действующих температур и облучения). Заметим, что в общем случае физико-механические и теплофизические
свойства модельной среды зависят от температуры и облучения потоком частиц
О НЕОСЕСИММЕТРИЧНОМ НДС...
9
большой энергии как от параметров. Учитывая, что эта зависимость слабая и
качественно не сказывается на результатах расчетов НДС [1], [2], [3], можно
с достаточной уверенностью использовать их усредненные значения для конкретных диапазонов температур и потоков высокоэнергетического излучения.
Заметим, что уравнения (1) при отсутствии нагрева и облучения переходят в
известные соотношения теории упругости и термоупругости [7], что служит
контролем правильности составления уравнений механико-математической модели.
Исходя из общей схемы нагружения для сплошного цилиндра, система уравнений (1) дополняется смешанными граничными условиями:
u(0, θ) = ϑ(0, θ) = 0,
(2)
σrr (R, θ) = −Pext (t); σrθ (R, θ) = 0.
(3)
По приведенным выше зависимостям в дальнейшем необходимо определить
распределение перемещений, напряжений и деформаций во всех точках по периметру сечения длинного цилиндрического тела с течением времени t, которое
выполняет роль параметра, определяющего кинетику изменения НДС. Отметим, что при рассмотрении задач неосесимметричного деформирования в перемещениях (u, ϑ) получается разрешающая система из 2 нелинейных дифференциальных уравнений, в отличие от системы из 3 дифференциальных уравнений
при решении в напряжениях. Также подчеркнем, что если на поверхности тела
заданы усилия, то решать задачу можно и в напряжениях, но если изначально заданы перемещения (вторая основная задача), то сформулировать условия
в напряжениях в общем виде невозможно: такие условия будут содержать интегралы от напряжений и их производных. В частных случаях специальные
преобразования дают возможность сформулировать равенства, но не всегда такие преобразования удается довести до конечного результата, даже для упругой
среды [8].
Замыкают систему (1) условия, обусловленные особенностями решения в перемещениях с точностью до поступательного перемещения тела в целом:
∂u(r, θ)
∂ϑ(r, θ)
=
= 0, θ = 0, θ0 ,
(4)
∂θ
∂θ
где θ0 может принимать различные значения в зависимости от закона распределения заданной функции температур T (r, θ) по периметру сечения; 0 ≤ θ ≤ θ0
– условие периодичности решения, определяемое периодом функции распределения температур. Граничные условия на торцах не рассматриваются, так как
цилиндр считается длинным, и анализируются сечения, достаточно удаленные
от торцов (в соответствии с принципом Сен-Венана). Расчетная область интегрирования для механико-математической модели квазистатического неосесимметричного деформирования длинного сплошного цилиндра может быть представлена в виде, показанном на рис. 2а. Без ограничения общности построения
10
И. С. КУЛИКОВ, А. В. ЧИГАРЕВ, П. И. ШИРВЕЛЬ
механико-математической модели рассмотренный случай может быть дополнен
моделями деформирования полого (рис. 2б) и многослойного цилиндров.
Рис. 2. Расчетная область и условия на границе длинного тела
односвязной (а) и двусвязной (б) цилиндрической геометрии
В случае многослойного цилиндрического тела, считая, что соседние слои не
имеют свободы перемещений относительно друг друга, предполагается дополнительно задавать
I+1
I+1
I+1
I+1
I+1
I
I
I+1
I
I
I
I
σrr
(Rеxt
) = σrr
(Rint
); σrθ
(Rеxt
) = σrθ
(Rint
); uI (Rеxt
) = uI+1 (Rint
); ϑI (Rеxt
) = ϑI+1 (Rint
).
(5)
I
I
Здесь I=1,2. . . J – номер слоя, J – количество слоев; Rint
,Rext
– радиусы I-го
слоя.
Заметим, что задача определения неосесимметричного НДС цилиндрической
области даже в упругой постановке является сложной и ее решение (кроме
элементарных), точно удовлетворяющее всем заданным граничным условиям,
удавалось получать при очень сильных предположениях. Как правило, в литературе рассматриваются различные неосесимметричные задачи, когда компоненты упругого перемещения и напряжения допускают разложения в тригонометрические ряды. Исторически большинство попыток получения таких
решений связаны с разложением нагрузки в ряд Фурье, который для цилиндров бесконечной длины приводит к представлению в виде интегралов Фурье.
Такой подход, однако, вызывает вопросы при немеханических нагружениях,
а также не позволяет полностью удовлетворить условиям на торцах [7], [8].
Существенно расширить круг решаемых неосесимметричных задач позволяют
приближенные численные методы. По остроумному замечанию одного из исследователей, по-видимому, единственным методом точного решения таких задач
является приближенный численный метод. Заметим, что при наличии распухания и ползучести приведенное утверждение является абсолютным.
Для реализации численного подхода в области изменения независимых переменных (0 ≤ θ ≤ θ0 , 0 ≤ r ≤ R) строилась криволинейная структурированная сетка, связанная с границами интегрируемой области (рис. 3). Регулярная структура такой сетки в дальнейшем позволит организовать эффективную
работу с разреженными матрицами при решении систем уравнений, причем
О НЕОСЕСИММЕТРИЧНОМ НДС...
11
матрицы коэффициентов системы будут полнозаполненными. При построении
шаблона использовались неявные разностные схемы с весовыми коэффициентами. В основу предлагаемого численного метода решения полученной разностной системы уравнений на основе (1)-(4) заложены метод конечных разностей,
метод матричной прогонки, идеи метода дробных шагов Н.Н. Яненко, теория
аппроксимации, интерполяции и экстраполяции функции, а также итерационные методы. Окончательно, дискретная система, описывающая общий случай
неосесимметричного НДС в условиях терморадиационного нагружения, была
представлена в виде
χ1i =
χ1i uni+1,j+1 − (1 + 2χ1i )uni,j+1 + χ1,i uni−1,j+1 = dni,j ;
n
.
ξ1i ϑni+1,j+1 − (1 + 2ξ1i )ϑni,j+1 + ξ1i ϑni−1,j+1 = ki,j
(6)
2ri2 (1 − µ) h2θ
2ri2 (1 − µ) h2θ
ri2 (1 − 2µ) h2θ
2ri2 (1 − µ) h2θ
α;
χ
=
β;
ξ
=
α;
ξ
=
β.
2i
1i
2i
2µ − 1 h2r
2µ − 1 h2r
2(µ − 1) h2r
2µ − 1 h2r
n
– функции от перемещений на предыдущих слоях по окружЗдесь dni,j , ki,j
n
(ui,j , ϑi,j )Hi , Hi =
ной координате (j, j − 1): dni,j = −2uni,j + uni,j−1 (1 − χ2i Λ2 ) − F1i,j
2
2
n
n
n
2ri (1 − µ)hθ /(2µ − 1); ki,j = −2ϑi,j + ϑi,j−1 (1 − ξ2i Λ2 ) − F2i,j (ui,j , ϑi,j )Mi , Mi =
ri2 (1 − 2µ)h2θ /(2µ − 2); α + β = 1, где нелинейные члены F1 и F2 определяются по
выражениям, представленным в конечно-разностной форме, включающим частные производные от искомых функций и неупругие слагаемые в правой части
(6): термическое расширение, радиационное распухание, деформации ползучести.
Для определения неизвестных функций ui,j+1 , ϑi,j+1 на каждом шаге по
окружной координате имеем систему уравнений (6) с граничными условиями (2)–(4), которые в общем виде для n-го временного этапа деформирования
переписываются в дискретной форме по формулам численного дифференцирования. Причем условия (3) в напряжениях первоначально конвертируются
относительно перемещений через физические уравнения и формулы Коши. Полученные системы разностных уравнений имеют матрицы трехдиагональной
структуры и могут быть решены по методу матричной прогонки, на основе
модификации разработанной в [9], [10] численной схемы. Так, система (6) расщепляется на две системы, которые решаются прогонками с учетом параметра
времени t: первая – по радиальному перемещению, а вторая – по окружному. Прогонка осуществляется по радиусам, которые для каждого луча начинаются в центре сечения и оканчиваются на границах исследуемой области.
Такие прогонки имеют свои особенности, вызванные характером сетки, расчетной областью и видом рассматриваемых физически нелинейных эффектов.
По окончании текущего шага расчета в алгоритме, реализующем механикоматематическую модель с учетом необратимых деформаций, фиксируются величины, характеризующие НДС каждой точки по периметру модельного тела в
12
И. С. КУЛИКОВ, А. В. ЧИГАРЕВ, П. И. ШИРВЕЛЬ
Рис. 3. Численная схема разбиения сечения модели
конце n-го этапа нагружения, и начинается расчет (n+1)-го этапа. В результате для получения решения на следующем n+1 временном слое решается новая
система неоднородных линейных уравнений по изложенной выше численной
методике. Таким образом, для любого текущего момента времени tn имеем полную замкнутую систему из 2km неоднородных алгебраических уравнений с 2km
неизвестными. Общая схема численного решения представлена на рис. 3. Необходимая точность в процессе решения достигается, с одной стороны, измельчением шага криволинейной структурированной сетки в радиальном и окружном
направлениях, с другой стороны, повышением степени порядка аппроксимации
выражений частных производных в конечных разностях (на основе дифференцирования интерполяционного полинома Лагранжа или более удобных для численного использования интерполяционных формул Ньютона).
О НЕОСЕСИММЕТРИЧНОМ НДС...
13
В [11], [12], [13] рассмотрены особенности реализации разработанной
механико-математической модели, которая включала моделирование обобщенного плоского квазистатического деформированного состояния (εzz = C(t) 6=0)
и отдельную процедуру вычисления необратимых деформаций. При определении деформаций ползучести на каждом временном шаге использовалась теория течения с учетом радиационной составляющей. Деформации радиационного распухания на каждом этапе нагружения определялись с помощью эмпирических зависимостей, полученных на основе внутриреакторных испытаний тепловыделяющих и конструкционных материалов. Для проведения исследований
на разработанной механико-математической модели деформирования реализованы алгоритм расчета неосесимметричного НДС и компьютерная программа
решения 2D(r,θ) задачи ползучести в условиях облучения. Программная модель
реализована на C# в среде Microsoft Visual Studio 2011 и позволяет обрабатывать и визуализировать результаты расчетов цилиндрических тел (сплошной,
полый, многослойный цилиндры) для различных типов граничных условий и
видов физической нелинейности (радиационное распухание, ползучесть). Архитектура программного комплекса является модульной, что дает возможность в
дальнейшем добавлять новые функциональные возможности и вносить улучшения.
Заключение
Разработана механико-математическая модель расчета неосесимметричного
НДС неравномерно нагретых по периметру длинных цилиндрических тел в
условиях квазистатического нагружения, отличающаяся учетом особенностей
деформирования материалов в терморадиационных потоках (необратимое изменение объема, тепловая и радиационная ползучесть). Дано численное решение краевой задачи для систем нелинейных дифференциальных уравнений в
частных производных второго порядка с переменными коэффициентами, описывающих перемещения в длинных сплошных и полых цилиндрах при неосесимметричном НДС в случае смешанных граничных условий. На основе предложенных моделей созданы алгоритмы и программные средства, позволяющие
проводить численное исследование напряженно-деформированного состояния
элементов конструкций и компонентов оборудования в условиях ползучести при
сложных квазистатических терморадиационных воздействиях.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Лихачев, Ю. И. Прочность тепловыделяющих элементов ядерных реакторов / Ю. И. Лихачев, В. Я. Пупко. – М. : Атомиздат, 1975. – 280 с.
[2] Куликов, И. С. Прочность элементов конструкций при облучении / И. С.
Куликов, В. Б. Нестеренко, Б. Е. Тверковкин. – Минск : Навука i тэхнiка, 1990.
– 143 с.
14
И. С. КУЛИКОВ, А. В. ЧИГАРЕВ, П. И. ШИРВЕЛЬ
[3] Гейтвуд, Б. Е. Температурные напряжения применительно к самолетам,
снарядам, турбинам и ядерным реакторам / Пер. с англ. М. Ф. Диментберга [и
др.]. – М. : Изд. иностр. лит., 1959. – 349 с.
[4] Писаренко, Г. С. Прочность и пластичность материалов в радиационных
потоках / Г.С. Писаренко. – Киев : Наук. думка, 1979. – 284 с.
[5] Olander, D. R. Fundamental Aspects of Nuclear Reactor Fuel Elements
/ D. R. Olander. – USA : Technical Information Center Energy Research and
Development Administration, 1976. – 720 p.
[6] Работнов, Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю. Н. Работнов. –
М. : Наука, 1966. – 752 с.
[7] Колтунов, М. А. Упругость и прочность цилиндрических тел. – М. : Высш.
школа, 1975. – 526 с.
[8] Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работнов. – М. : Наука, 1979. – 744 с.
[9] Ширвель, П. И. Модель расчета неосесимметричного напряженнодеформированного состояния облучаемых тел цилиндрической геометрии в
условиях ползучести / П. И. Ширвель, И. С. Куликов // Весцi НАН Беларусi.
Серыя фiз.-тэхн. навук. – 2012. – № 4. – С. 51–62.
[10] Чигарев, А. В. Упруговязкопластическое деформирование тел цилиндрической геометрии при термосиловых нагружениях в условиях нейтронного облучения / А. В. Чигарев, П. И. Ширвель // “Современные проблемы математики, механики, информатики”: материалы междун. научн. конф., посвященной
100-летию со дня рождения А. А. Ильюшина, 19–23 сент. 2011 г. – Тула : ТулГУ,
2011. – С. 237–247.
[11] Ширвель, П. И. Численное моделирование процессов деформирования
элементов конструкций и компонентов оборудования ЯЭУ / П. И. Ширвель,
А. В. Чигарев, А. А. Сергей // Теоретическая и прикладная механика: междунар. науч.-техн. сб. – Минск : БНТУ, 2014. – Вып. 29. – С. 173–178.
[12] Ширвель, П. И. Оценка деформирования тепловыделяющих элементов
/ П. И. Ширвель // ВЕДЫ. Научная информационно-аналитическая газета
Беларуси. – 2013. – № 34 (2450). – С. 7–8.
[13] Чигарев, А. В. Исследование неосесимметричного напряженного состояния при квазистатическом термосиловом нагружении в условиях облучения
высокоэнергетическими частицами / А. В. Чигарев, П. И. Ширвель // Наука и
техника. – 2013. – № 4. – С. 46–53.
АВТОРЫ:
Куликов Иван Семенович,
доктор физико-математических наук, профессор, Белорусский национальный технический университет, г. Минск
e-mail: [email protected]
О НЕОСЕСИММЕТРИЧНОМ НДС...
15
Чигарев Анатолий Власович,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики, Белорусский национальный технический университет, г. Минск
e-mail: [email protected]
Ширвель Павел Иванович,
кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры теоретической механики, Белорусский национальный технический университет, г. Минск
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Kulikov, Ivan Semenovich
Doctor of Phys. & Math. Sciences, Professor, Belarusian National Technical University,
Minsk
Chigarev, Anatoli Vlasovich
Doctor of Phys. & Math. Sciences, Professor, Head of Theoretical Mechanics Department,
Belarusian National Technical University, Minsk
Shirvel, Pavel Ivanovich
Candidate of Phys. & Math. Sciences, Senior Lecturer in the Department of Theoretical
Mechanics, Belarusian National Technical University, Minsk
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.374
ДВИЖЕНИЕ УПРУГОПОЛЗУЧЕГО МАТЕРИАЛА В ЗАЗОРЕ
МЕЖДУ КОАКСИАЛЬНЫМИ ЦИЛИНДРАМИ
В УСЛОВИЯХ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЙ
THE MOTION OF AN ELASTOCREEP MATERIAL BETWEEN
COAXIAL CYLINDERS UNDER FINITE STRAINS
А. О. ЛЕМЗА, Е. В. МУРАШКИН
A. O. LEMZA, E. V. MURASHKIN
Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва
Аннотация. Рассматривается деформирование упругоползучей среды между двумя жесткими коаксиальными цилиндрами при повороте одного из них. Решение поставленной задачи строится в рамках модели больших упругоползучих деформаций.
Характерной особенностью используемой модели является постулирование законов
изменения обратимых и необратимых деформаций, восходящих к Г. И. Быковцеву, А. В. Шитикову, А. А. Буренину, Л. В. Ковтанюк и В. П. Мясникову. В этом
случае удается построить математическую модель упругоползучести типа течения в
наиболее простом виде. Описание процесса деформирования материала, в силу его
осевой симметричности, удобно проводить в цилиндрической системе координат. В
этом случае решение задачи сводится к интегрированию системы 5-ти уравнений в
частных производных. Для построения решения результирующей системы уравнений
строится неявная конечно-разностная схема. По результатам численного интегрирования расчитываются сеточные распределения неизвестных параметров напряженнодеформированного состояния.
Abstract. The present study is devoted to the problem of deformation of the elasto-creep
medium between two rigid coaxial cylinders when one of them is turned. The solution is
constructed by the framework of finite elasto-creep strains. The distinctive feature of this
model is the postulation of equations of changes of reversible and irreversible starins, due
to G. I. Bykovtsev, A. V. Shitikov, A. A. Burenin, L. V. Kovtanyuk and V. P. Myasnikov.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 12-01-33064-мол_a_вед Развитие моделей и ме”
тодов механики необратимого деформирования для описания процессов формоизменения материалов с нелинейными теплофизическими и реологическими свойствами“).
16
ДВИЖЕНИЕ УПРУГОПОЛЗУЧЕГО МАТЕРИАЛА ...
17
In this case it is possible to construct a mathematical elasto-creep framework in the most
simple form. Description of material deformation process, due to its axis of symmetry, is
convenient to hold in the cylindrical coordinate system. Thus the problem is reduced to
the integrating of five partial differential equations. The implicit finite-difference method
is used for constructing of solution of the resulting equations. On the results of numerical
integration the grid distributions of unknown stress-strain state parameters are computed.
Ключевые слова: конечные упругопластические деформации, вязкость, реология,
ползучесть, релаксация напряжений, остаточные напряжения, ротационное движение.
Keywords: finite elastoplastic strains, viscosity, rheology, creep, stress relaxation, residual
stress, rotation motion.
Современные процессы технологической обработки металлов давлением вынуждают учитывать не только упругие свойства материалов, но и сложные реологические
свойства (ползучести, вязкопластичности) на всех стадиях формообразования. Необходимость высокой точности итоговой геометрии металлоизделия не позволяет рассматривать такие технологические задачи в классических моделях малых упругоползупластических деформаций. Тем самым современная инженерная практика ставит перед фундаментальной механикой сплошных сред проблему создания модели
больших упругоползупластических деформаций.
Ротационные (вискозиметрические) течения в теории вязкопластичности рассматривались достаточно подробно [1], [2]. В настоящем исследовании ставится цель изучить влияние учета сложных реологических свойств материалов на формирование и
релаксацию остаточных напряжений при ротационном движении материала. Рассматривается задача о ротационном деформировании упругоползучего материала, помещенного между двумя жесткими цилиндрическими поверхностями. Решение ведется
в рамках модели больших деформаций, предложенной в [3] и обобщенной на случай
учета вязких свойств материала на стадии пластического течения [4], [5].
Кинематика среды в прямоугольной декартовой системе координат определяется
зависимостями [5]:
Deij
1
= εij − γij − ((εik − γik + zik ) ekj + eik (εkj − γkj − zkj )) ,
Dt
2
Dpij
Dnij
dnij
= γij − pik γkj − γik pkj ,
=
− rik nkj + nik rkj .
Dt
Dt
dt
Связь напряжений и обратимых деформаций выражается зависимостями:
σij = −p1 δij +
∂W
(δkj − ekj ) ,
∂eik
где
W = −2µJ1 − µJ2 + bJ12 + (b − µ)J1 J2 − χJ13 + ...,
1
1
I1 = ekk − esk eks , I2 = est ets − esk ekt ets + esk ekt etn ens .
2
4
Будем считать, что необратимые деформации накапливаются в среде непосредственно
с начала деформирования и определяются реологическими свойствами материала.
18
А. О. ЛЕМЗА, Е. В. МУРАШКИН
Компоненты напряжений связаны с компонентами тензора скоростей необратимых
деформаций законом ползучести Нортона [6]:
γij =
∂V
,
∂σij
где
r 3
1
2
2
2
V = BΣ , Σ =
(σ1 − σ) + (σ2 − σ) + (σ3 − σ) , σ = (σ1 + σ2 + σ3 ) .
2
3
Здесь σ1 , σ2 , σ3 – главные значения тензора напряжений.
Считаем, что слой материала ограничен цилиндрическими поверхностями r = r0
и r = R, а на границе внешнего цилиндра поставлено условие прилипания. Деформирование осуществляется за счет поворота внутреннего цилиндра, в то время как
внешний цилиндр остается неподвижным.
Для построения решения результирующей системы уравнений строится конечноразностная схема. В результате интегрирования расчитываются сеточные распределения неизвестных параметров напряженно-деформированного состояния.
n
ЛИТЕРАТУРА
[1] Огибалов, П. М. Нестационарные движения вязко-пластичных сред / П. М. Огибалов, А. Х. Мирзаджанзаде. – М. : Изд-во Моск. ун-та, 1970. – 415 с.
[2] Буренин, А. А. Об учёте упругих свойств неньютоновского материала при его
вискозиметрическом течении / А. А. Буренин, Л. В. Ковтанюк, А. С. Устинова //
Прикл. механика и техн. физика. – 2008. – Т. 49. – № 2. – С. 143–151.
[3] Буренин, А. А. Об одной простой модели для упругопластической среды при
конечных деформациях / А. А. Буренин, Г. И. Быковцев, Л. В. Ковтанюк // ДАН. –
1996. – Т. 347. – № 2. – С. 199–201.
[4] Буренин, А. А. Об остаточных напряжениях в окрестности цилиндрического дефекта сплошности вязкоупругопластического материала / А. А. Буренин, Л. В. Ковтанюк, Е. В. Мурашкин // Прикл. механика и техн. физика. – 2006. – Т. 47. – № 2.
– С. 110–119.
[5] Бажин, А. А. О ползучести и релаксации напряжений в окрестности микропоры
в условиях гидростатического нагружения и разгрузки / А. А. Бажин, Е. В. Мурашкин // ДАН. – 2012. – Т. 445. – № 6. – С. 640–642.
[6] Работнов, Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю. Н. Работнов. – М. :
Наука, 1966. – 752 с.
АВТОРЫ:
Мурашкин Евгений Валерьевич,
кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва
e-mail: [email protected], [email protected]
Лемза Александр Олегович,
Студент, Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток
ДВИЖЕНИЕ УПРУГОПОЛЗУЧЕГО МАТЕРИАЛА ...
19
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Murashkin, Evgenii Valeryevich
Candidate of Phys.&Math., Researcher, Institute for Problems in Mechanics of RAS,
Moscow
Lemza, Aleksandr Olegovich
Student, Far Eastern Federal University, Vladivostok
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.374
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ УЧЕТА
УПРУГОЙ СЖИМАЕМОСТИ
USE OF THE METHOD OF PERTURBATIONS FOR THE ACCOUNT
OF ELASTIC COMPRESSIBILITY
Е. А. ЛИСТРОВ, Т. Д. СЕМЫКИНА
E. A. LISTROV, T. D. SEMIKINA
Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I,
г. Воронеж
Воронежский государственный университет, г. Воронеж
Аннотация. Рассматривается напряженное и деформированное состояние толстой
пластины с круговым отверстием в условиях плоской деформации с учетом упругой
сжимаемости.
Abstract. The intense and strained condition of a thick plate with a circular orifice in
conditions of a flat strain in view of elastic compressibility is observed{watched}.
Ключевые слова: условие пластичности Треска, метод возмущений, упругая сжимаемость.
Keywords: a condition of plasticity of the Crackling, a method of perturbations, elastic
compressibility.
Рассмотрим напряженное и деформированное состояние толстой пластины с круговым отверстием в условиях плоской деформации. Решение этой задачи в случае
несжимаемого материала получено в работах [1], [2]. В данном исследовании при решении учитывается упругая сжимаемость. Предполагается, коэффициент Пуассона µ
можно представить в виде числового ряда
µ=
∞
X
δ n µn ;
n=0
1
µ0 = ;
2
µn = const,
(1)
где δ – малый параметр, характеризующий упругую сжимаемость материала.
Такое представление коэффициента Пуассона и решение в виде рядов по степеням
параметра δ предложены в [3].
σij =
∞
X
n=0
(n)
δ n σij ;
eij =
∞
X
n=0
20
(n)
δ n eij ;
λ=
∞
X
n=0
δ n λn .
(2)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ...
21
В пластической области приращения полной деформации равны сумме приращений
упругой и пластической деформации. Связь между компонентами напряжения и приращениями пластической деформации определяется ассоциативным законом течения.
В качестве условия пластичности выбирается условие пластичности Треска
4(k 2 − I2 )(4k 2 − I2 )2 + 27I32 = 0,
(3)
где I2 , I3 – второй и третий инварианты девиатора напряжений.
2
6I2 = (σr − σθ )2 + (σθ − σz )2 + (σz − σr )2 + 6τrθ
,
2
I3 = (σr − σ)(σθ − σ)(σz − σ) − (σz − σ)τrθ
.
В пластической области связь между напряжениями и полными приращениями
деформаций имеет вид:
1
der = [dσr − µ(dσθ + dσz )] + dλ −4(2k 2 − I2 )(4k 2 − I2 )(2σr − σz − σθ )+
E
1
2
(σθ − σ)(σz − σ) − I2 (2σz − σr − σθ ) ,
+18 (σz − σ)(σθ − σ) − τrθ
3
1
deθ = [dσθ − µ(dσr + dσz )] + dλ −4(2k 2 − I2 )(4k 2 − I2 )(2σθ − σr − σz )+
E
1
2
+18 (σr − σ)(σz − σ) − τrθ (σr − σ)(σz − σ) − I2 (2σz − σr − σθ ) ,
(4)
3
1
dez = [dσz − µ(dσr + dσθ )] + dλ(2σz − σr − σθ ) −4(2k 2 − I2 )(4k 2 − I2 )+
E
1
2
2
+ I2
(σr − σ)(σθ − σ) − τrθ
+18 (σr − σ)(σθ − σ) − τrθ
= C,
3
1
derθ =
dτrθ + dλτrθ −12(2k 2 − I2 )(4k 2 − I2 ) − 54(σz − σ)I3 .
2G
За нулевое решение примем напряженное и деформированное состояние толстой
пластины с круговым отверстием радиуса a, растянутой на бесконечности взаимно
перпендикулярными усилиями и нагруженной по контуру равномерным давлением q,
определенным без учета упругой сжимаемости [1], [4].
Учитывая (2), разложим условие пластичности (3) по малому параметру:
(0)
(0) 2
(0) 2
2
2
4 k − I2
4k − I2
+ 27 I3
= 0,
n−1
X (m) (n−m)
(0)
(0)
(n)
(0)
−12 4k 2 − I1
2k 2 − I2 I2 + 12 3k 2 − I2
I2 I2
−
m=1
−4
m+1=n−2
X
(m) (l) (n−m−l)
I2 I2 I2
+ 27
n
X
(m) (n−m)
I3 I3
= 0,
(5)
n > 1,
m=0
m,l=1
где
(0)
6I2
(n)
6I2
=
2
2 (0) 2
(0) 2
(0)
,
= σr(0) − σθ
+ σθ − σz(0) + σz(0) − σr(0) + 6 τrθ
n h
X
m=0
(m)
σr(m) − σθ
(n−m)
σr(n−m) − σθ
+ σr(m) − σz(m) σr(n−m) − σz(n−m) +
22
ЛИСТРОВ Е. А., СЕМЫКИНА Т. Д.
i
(m)
(n−m)
(m) (n−m)
+ σθ − σz(m) σθ
− σz(n−m) + 6τrθ τrθ
, n > 1;
(0)
(0)
(0) 2
I3 = σr(0) − σ (0) σθ − σ (0) σz(0) − σ (0) + σz(0) − σ (0) τrθ
(0)
I3
=
m+l=n
X h
σr(m) − σ (m)
(6)
(l)
σθ − σ (l) σz(n−m−l) − σ (n−m−l) −
m,l=0
i
(l) (n−m−l)
− σz(m) − σ (m) τrθ τrθ
,
n > 1.
Учитывая нулевое решение, имеем
(0)
I2
(0)
= k2 ,
I3
(0)
= 0,
σz(0) − σ (0) = 0.
τrθ = 0,
И для первого приближения получим
(1)
−36k 4 I2
= 0;
(1)
I2
(1)
σr(1) − σθ = 0.
= 0;
(7)
Очевидно, формула (7) совпадает с подобным условием без учета упругой сжимаемости и аналогична [3], получим, что в пластической области
(1)
(1)
σr(1) = σθ = τrθ = 0.
(8)
Рассмотрим второе приближение условия пластичности, учитывая (7), (8):
2
(I)
(II)
(I) 2
−36k 4 I2 + 27 I3
= 0; I (I) = − k 2 σz ;
3
(II)
(I)
(I)
(I) 2
6I2 = −6k σr − σθ
+ 2 σz
;
(II)
σr(II) − σθ
Следовательно, в пластической области
(II)
σr(II) = σθ
= 0.
(10)
(II)
(11)
= τrθ
= 0.
Выпишем условие пластичности для третьего приближения:
2
(II)
(III)
(I) (II)
(II)
−36k 4 I2
+ 54I3 I3 = 0; I3 = − k 2 σz ;
3
(III)
6I2
(III)
= −6k σr
(III)
− σθ
(9)
(I) (II)
+ 4σz σz
(12)
.
Получим
(III)
(III)
(III)
σr(III) − σθ
= 0; σr(III) = σθ
= τrθ = 0.
Четвертое приближение при условиях (7)–(13) таково:
(IV )
(II) 2
(I) (III)
(II) 2
4
2
−36k I2
+ 24k I2
+ 27 2I3 I3
+ I3
= 0;
h
i
(IV )
(IV )
(IV )
(I) (III)
(II) 2
6I2
= 2 −3k σr
− σθ
+ 2σz σz
+ 2 σz
;
3
2
2
(III)
(III)
(I)
I3
=−
;
σz
− k 2 σz
27
3
(IV )
(IV )
(IV )
(IV )
(IV )
σr
− σθ
= 0; σr
= σθ
= τrθ = 0.
Так как всюду в пластической области
(n)
σr(n) = σθ
(n)
= τrθ = 0 при 1 6 n 6 4
(13)
(14)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ...
23
и граничные условия на бесконечности не зависят от коэффициента Пуассона, получим, что компоненты напряжения σr , σθ , τrθ в упругой области и граница пластической
зоны будут такими же, как и без учета упругой сжимаемости.
Определим σz в пластической области. Для этого воспользуемся условием dez = 0,
подставив в него (2), разложим по параметру
"
#
n
X
1 (n)
1
(n)
(n)
(n−m)
(n−m)
dσz −
dσr + dσθ
−
µm dσr
+ dσθ
+
E
2
m=1
(15)
m+l=n
X
(l)
(l)
(l)
(n−m−l)
+
dλm 2dσz − σθ − σr T
= 0, n > 1,
m,l=0
T = −4(2k 2 − I2 )(4k 2 − I2 )+
1
2
2
+18 (σr − σ)(σθ − σ) − τrθ (σr − σ)(σθ − σ) − τrθ + I2 .
3
При условиях (7)–(15) получим
(n)
dσz
dλ0
− µn
(0)
(0)
d σr + σθ
dλ0
= 0,
(16)
где λ0 характеризует процесс нагружения тела при пластическом деформировании,
λ0 = 0 соответствует упругому состоянию тела в нулевом приближении. В упругом
состоянии σz = µ(σr + σθ ) и, следовательно, при учете (7)–(14)
(0) σz(n) = µn σr(0) + σθ .
(17)
λ0 =0
λ0 =0
Интегрируя (16) при условии (17), получим
r
.
σz(n) = −2µn k − q + 2k ln
a
(18)
Исследуем деформированное состояние. Вследствие учета упругой сжимаемости
получим в пластической области
(n)
e(n)
r + eθ
(n)
(n)
= e(n)
re + eθe + eze ,
(19)
(n)
где eije – упругая часть деформации, определяемая законом Гука.
(n)
(n)
Условие erθ = 0 остается прежним. Выражая деформации eij через перемещения,
(n)
а eije – по линеаризованным формулам,
1
[σr − µ(σθ + σz )],
E
1
= [σθ − µ(σr + σz )],
E
1
= [σz − µ(σr + σθ )].
E
ere =
eθe
eze
(20)
24
ЛИСТРОВ Е. А., СЕМЫКИНА Т. Д.
Запишем для n-го приближения
(n)
(n)
(n)
ur
1 ∂uθ
∂ur
+
+
∂r
r
r ∂θ
=−
(n)
∂uθ
n
2 X
(n−m)
µn σr(n−m) + σθ
+ σz(n−m) ,
E
m=0
(n)
uθ
(21)
(n)
∂ur
1
+
+
= 0.
∂r
r
r ∂θ
Правая часть первого из уравнений (21) есть функция от r, обозначим ее через Rn .
Определим частное решение системы (21) в виде
Z
Rn
1
∗(n)
dr; ur∗(n) = 0.
ur =
r
r
Для первого приближения
r
6µ1 ln r k − q + k ln − k ln a .
(22)
u∗(I)
=
r
E r
a
Для второго приближения
2(3µ2 + 2µ21 ) ln r r
u∗(II)
=
k
−
q
+
k
ln
−
k
ln
a
.
(23)
r
E
r
a
Для третьего приближения
r
2(3µ3 + 4µ1 µ2 ) ln r k
−
q
+
k
ln
−
k
ln
a
.
(24)
u∗(III)
=
r
E
r
a
Для четвертого приближения
2(3µ4 + µ22 + 2µ1 µ3 ) ln r r
)
u∗(IV
=
k − q + k ln − k ln a .
(25)
r
E
r
a
После этого, следуя [3], можно записать общие выражения для компонент деформации:
∞
∗(n)
e(n)
r =
dur
dr
−
a00 a12
1X
−
cos θ +
mβ[am1 sin(β ln r) − am2 cos(β ln r)] cos(mθ),
2
r
r
r
m=2
∞
∗(n)
a00 a12
1X
+
cos θ −
mβ[am1 sin(β ln r) − am2 cos(β ln r)] cos(mθ),
2
r
r
r
m=2
p
(n)
(26)
erθ = 0; β = m2 − 1.
В упругой области после линеаризации уравнений, подобных (20), получим:
"
#
n
X
1
1 (n)
(n−m)
(n)
(n)
(n)
(n−m)
er =
σ −
σ + σz
−
µm σθ
+ σz
,
E r
2 θ
m=1
"
#
n
X
1
1 (n)
(n)
(n)
(n)
(n−m)
(n−m)
eθ =
σ −
σ + σz
−
µm σr
+ σz
,
(27)
E θ
2 r
(n)
eθ =
ur
r
+
m=1
(n)
erθ
n
1 (n)
1 X
(n−m)
=
τrθ +
µm τrθ
.
2G
E
m=1
Деформированное состояние в упругой области определено, известны компоненты
напряжения, постоянные в (26) определяются из условия сопряжения решений (27)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ...
25
и (26) на границе пластической зоны. Итак, полученные четыре приближения напряженного и деформированного состояния толстой пластины с круговым отверстием
в условиях плоской деформации показывают, что при условии пластичности Треска
учёт упругой сжимаемости оказывает влияние лишь на компоненту σz и деформированное состояние. Напряжения σr , σθ , τrθ в упругой и пластической областях и
граница пластической зоны остаются теми же, что и без учёта упругой сжимаемости.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлинский,
Д. Д. Ивлев. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 794 с.
[2] Ивлев, Д. Д. Механика пластических сред. Т. 2 / Д. Д. Ивлев. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 448 с.
[3] Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела /
Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. – М. : Наука, 1978. – 208 с.
[4] Соколовский, В. В. Теория пластичности / В. В. Соколовский. – М. : Высшая
школа, 1969. – 608 с.
АВТОРЫ:
Листров Евгений Адольфович,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и теоретической механики, Воронежский государственный аграрный университет имени
императора Петра I, г. Воронеж
e-mail: [email protected]
Семыкина Татьяна Дмитриевна,
доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической и прикладной механики, Воронежский государственный университет, г. Воронеж
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Listrov, Evgenie Adolfovich
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor, Department of Higher Mathematics and
Theoretical Mechanics, Voronezh State Agricultural University named after Emperor Peter
I, Voronezh
Semykina, Tatyana Dmitrievna,
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Department of Theoretical and Applied Mechanics,
Voronezh State University, Voronezh
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3:624.04
О ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ СВЯЗИ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ
ДЛЯ ОРТОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ
МАТЕРИАЛОВ
THE POTENTIAL EQUATIONS OF STRAIN AND STRESS FOR
ORTHOTROPIC DIFFERENT RESISTANT MATERIALS
В. С. ЛИСИЦКИЙ, А. А. ТРЕЩЕВ
V. S. LISITSKY, A. A. TRESHCHEV
Тульский государственный университет, г. Тула
Аннотация. Предложен потенциал деформаций для ортотропных физически нелинейных разносопротивляющихся материалов. Соотношения между деформациями и
напряжениями сформулированы в рамках методики нормированного пространства
напряжений и апробированы на примере композита углерода AVCO Mod 3a.
Abstract. The proposed potential deformations for orthotropic physically nonlinear
different resistant materials. The ratio between the strains and stresses formulated in the
context of the methodology normed space stresses and tested on the example of composite
carbon AVCO Mod 3a.
Ключевые слова: потенциал деформаций; ортотропия; разносопротивляемость.
Keywords: potential deformations; orthotropy; different resistance.
В настоящее время получили широкое применение конструкционные материалы,
механические свойства, которых не соответствуют классическим представлениям об
упругопластическом деформировании твердых тел.
Построение математической модели состояния конструкционных материалов, универсально работающей при различных условиях нагружения, представляет собой одно из важнейших направлений механики деформированного твердого тела. Требуется
установить взаимнооднозначные соотношения между компонентами напряженного и
деформированного состояния с указанием системы экспериментов, достаточной для
определения констант, входящих в уравнения состояния и характеризующие механические свойства рассматриваемого материала.
Определяющие соотношения для нелинейно ортотропных материалов можно представить не только в виде прямой связи тензоров деформаций и напряжений, как это
сделано в работах [1], [2], [3], [4], [5], [6], но и через потенциал деформаций
W = W1 + W2 + W3 + . . . ,
26
(1)
О ПОТЕНЦАЛЬНОЙ СВЯЗИ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ. . .
27
где W = W (σ11 , σ22 , σ33 , τ12 τ21 , τ23 τ32 , τ13 τ31 , τ12 τ23 τ31 ), Wn – однородный многочлен
степени n+1 по напряжениям.
Коэффициенты, входящие в разложение (1) являются параметрами материала, которые зависят от вида напряженного состояния и подлежат экспериментальному определению. Так для физически квазилинейных материалов имеем:
2
2
2
W1 = A1 σ11
+ A2 σ22
+ A3 σ33
+ A4 σ11 σ22 + A5 σ22 σ33 + A6 σ33 σ11 +
+A7 τ12 τ21 + A8 τ23 τ32 + A9 τ13 τ31 .
(2)
Число слагаемых в разложении (1) с ростом n увеличивается. Так, для n=2:
3
3
3
2
2
2
W2 = B1 σ11
+ B2 σ22
+ B3 σ33
+ B4 σ11
σ22 + B5 σ11 σ22
+ B6 σ22
σ33 +
2
2
2
2
+B7 σ22 σ33
+ B8 σ33
σ11 + B9 σ33 σ11
+ B10 σ11 σ22 σ33 + B11 σ11 τ12
+
2
2
2
2
2
+B12 σ11 τ23
+ B13 σ11 τ31
+ B14 σ22 τ12
+ B15 σ22 τ23
+ B16 σ22 τ31
+
2
2
2
+B17 σ33 τ12
+ B18 σ33 τ23
+ B19 σ33 τ31
+ B20 τ12 τ23 τ31 .
(3)
При n=3 число слагаемых достигает уже 42.
В разложениях (2) и (3) для разносопротивляющихся материалов параметры не являются константами, а представляют собой функции от комбинаций нормированных
напряжений [1], [2]:
αij = σij /S;
(i, j = 1, 2, 3),
(4)
p
√
2 + α2 + α2 + 2τ 2 + 2τ 2 + 2τ 2 .
где S = σij σij = α11
22
33
12
23
31
Параметры представим следующими функциями:
Ak = Akk + Akm αnn
– для (k = 1, 2, 3);
Ak = Akk + Akm √
(αnn + αpp )
– для (k = 4, 5, 6);
Ak = Akk + Akm 2αnp
– для (k = 7, 8, 9);
Bk = Bkk + Bkm αnn
– для (k = 1, 2, 3);
Bk = Bkk + Bkm (αnn + αpp )
– для (k = 4 . . . 9);
Bk = Bkk + Bkm (αnn + α
– для (k = 10);
√pp + αqq )
– для (k = 11 . . . 19);
Bk = Bkk + √
Bkm (αnn + 2αqp )
Bk = Bkk + 2Bkm (αnp + αqr + αst )
– для (k = 20);
Уравнения связи компонентов тензоров деформаций и напряжений для нелинейно ортотропных материалов могут быть определены в главных осях анизотропии на
основе потенциала деформаций (1)–(3) в соответствии с формулами Кастильяно:
eij = ∂Wij /∂σij ;
(i, j = 1, 2, 3).
(5)
Константы потенциала деформаций определяются по результатам обработки данных
испытания образцов ортотропного материала на одноосное растяжение и одноосное
сжатие поочередно вдоль главных осей анизотропии и под углом 450 к ним с использованием метода наименьших квадратов. Последние опыты можно заменить экспериментами по сдвигу в главных плоскостях анизотропии. Рассмотренные соотношения
апробированы на примере экспериментальных данных по деформированию композитного материала – углерод AVCO Mod 3a [7], [8]. При определении материальных
функций, проводилась проверка энергетической непротиворечивости по Дуккеру.
28
В. С. ЛИСИЦКИЙ, А. А. ТРЕЩЕВ
ЛИТЕРАТУРА
[1] Трещев, А. А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных
к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения / А. А. Трещев. – М. –
Тула : РААСН – ТулГУ, 2008. – 264 с.
[2] Трещев, А. А. Анизотропные пластины и оболочки из разносопротивляющихся
материалов / А. А. Трещев. – М. – Тула : РААСН – ТулГУ, 2007. – 160 с.
[3] Трещев, А. А. Изгиб круглых пластин из ортотропного нелинейного разносопротивляющегося материала / А. А. Трещев, Д. А. Ромашин // Известия ТулГУ.
Технические науки. – 2011. – Вып. 2. – С. 494–502.
[4] Трещев, А. А. Определяющие соотношения для нелинейных анизотропных материалов, чувствительных к виду напряженного состояния / А. А. Трещев, Д. А. Ромашин // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. – 2011. –
№ 4. – Ч. 4. – С. 1740–1742.
[5] Трещев, А. А. Изгиб прямоугольных пластин из ортотропного нелинейноупругого разносопротивляющегося материала / А. А. Трещев, В. Г. Теличко,
˜ Ромашин // Вестник Чувашского государственного педагогического универсиД.А.
тета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. – 2012. – Т. 2. – С.
131–139.
[6] Трещев, А. А. Изгиб прямоугольных пластин из ортотропного нелинейного разносопротивляющегося материала / А. А. Трещев, В. Г. Теличко, Д. А. Ромашин //
Строительная механика и расчет сооружений. – 2012. – № 6 (239). – С. 42–48.
[7] Jones, R. M. A Nonsymmetric Compliance Matrix Approach to Nonlinear
Multimodulus Ortotropic Materials / R. M. Jones // AIAA Journal. – 1977. – Vol. 15. –
№ 10. – P. 1436–1443.
[8] Jones, R. M. Modeling Nonlinear Deformation of Carbon-Carbon Composite Material
/ R. M. Jones // AIAA Journal. – 1980. – Vol. 18. – № 8. – Р. 995–1001.
АВТОРЫ:
Лисицкий Владимир Сергеевич,
магистр кафедры строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский
государственный университет, г. Тула
e-mail: [email protected]
Трещев Александр Анатольевич,
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет, г. Тула
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Lisitsky, Vladimir Sergeevich
Postgraduate Student, Department of Construction, construction materials and designs,
Tula State University, Tula
Treshchev, Alexander Anatolyevich
Dr. Tech. Sci., Professor, Head of the Department of Construction, construction materials
and designs, Tula State University, Tula
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.374
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НДС
ПРИ ВЫСОКОСКОРОСТНОМ ФОРМОИЗМЕНЕНИИ
RESEARCH OF SPACE-TIME SCALE PARAMETRES DISTRIBUTION
OF STRAINED AND DEFORMED STATE AT HIGH SPEED SHAPING
В. М. ЛЕОНОВ
V. M. LEONOV
Тульский государственный университет, г. Тула
Аннотация. В работе представлено исследование параметров НДС на примере цилиндрических заготовок, без осевой симметрии.
Abstract. This paper presents research of parameters on example of round specimens
without axis symmetry.
Ключевые слова: повышение характеристик материала, цилиндрические оболочки,
структурные изменения.
Keywords: materials treatment, strengthen round specimens, round specimens without
axis symmetry, structural changes.
Формоизменение на операциях магнитно-импульсной обработки металлов и взаимосвязанный упругопластический переход материала сопровождаются неравномерным
распределением характеристик в объеме, что с учетом временного фактора и формы импульса внешнего магнитного поля может быть исследовано в зависимости от
характеристик исходной заготовки [1], [2]. Значительный интерес в части обработки
конструкционных материалов представляет также распределение компонент тензора
деформаций во времени, а также вклад каждого из них в исчерпание ресурса пластичности и работу формоизменения при упругопластической деформации (рис. 1)
в рассматриваемой окрестности вблизи края отверстия. Исследование производится
при помощи разработанной модели (реализующая программа Tetra Compound v.1.1,
свидетельство № 2013610558). В основу модели положены соотношения д.т.н., профессора Трещева А. А. [1], [2].
29
30
В. М. ЛЕОНОВ
Рис. 1. Изменение интенсивности напряжений и компонент тензора от деформаций
Из рис. 1 видно, что выбранный элемент подвергается растяжению, сжатию и касательным напряжениям. В зависимости от времени компоненты тензоров деформаций
и напряжений имеют вид, представленный на рис. 2.
Рис. 2. Изменение компонент тензора деформаций и напряжений от времени
Изменение скорости узловых точек на границах рассматриваемой области, а также
работы по формоизменению материала представлены на рис. 3.
Рис. 3. Изменение компонент тензора деформаций и напряжений от времени
Из приведенных рисунков видно, что для выбранного элемента процесс формоизменения связан со значительными колебаниями скорости, поворотом материальных
волокон относительно первоначального положения, что обусловлено формой импульса
внешнего воздействия и геометрией исходного образца. Выбранный подход позволяет
идентифицировать превалирующее влияние со стороны внешних факторов и выявить
взаимосвязь с характеристиками заготовки (относительный радиус отверстия и высота заготовки, прочностные параметры и т. д.), а также установить вклад каждого
из них.
В ходе проведенных исследований было установлено, что поле распределения значимых характеристик при деформировании образца имеет весьма сложный характер
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ...
31
Рис. 4. Зависимость условного давления ИМП и работы деформации
от частоты при относительном диаметре отверстия заготовки: 1 - 0.14; 2 - 0.26; 3 - 0.4
и является переменным во времени, что ведет к необходимости построения многофакторных моделей, способных выявить требуемую взаимосвязь для наиболее критичных
и весомых параметров (Рис.4). При значении d / D = 0.14 с ростом частоты от 8 до 20
кГц уменьшение напряжений составляет 15 процентов, а для d / D = 0.4 - 22 процентов. Минимальное значение напряжений в точке 1 имеем при значении d / D = 0.31.
Минимум напряжений в данном случае обусловлен соотношением диаметров заготовки и отверстия, при которых прохождение деформационных процессов приводит к
наименьшим остаточным напряжениям. Значения интенсивности напряжений в точке
1 (на крае отверстия в осевом сечении) превышают аналогичный показатель в точке 3
(вблизи матрицы) в среднем в 1,6 раза, в данной окрестности происходит растяжение
и утонение материала, что подтверждается экспериментальными данными [3].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Трещев А.А. Теория деформирования и прочности материалов, чувствительных
к виду напряженного состояния. Определяющие соотношения: монография. Тула :
РААСН, 2008. – 264 с.
[2] Трещев А.А. Исследование устойчивости тонких цилиндрических оболочек, выполненных из дилатирующих материалов // Изв. вузов. Строительство. – 1999. – № 1.
– С. 14–19.
[3] Чибисов В.П. Исследование процесса деформации концевой части осесимметричных трубчатых заготовок из анизотропного материала импульсным магнитным
полем - дисс. ... канд. тех. наук / В. П. Чибисов. – Тула, 1981.
АВТОР:
Леонов Василий Михайлович,
кандидат технических наук, доцент кафедры строительство, строительные материалы
и конструкции, Тульский государственный университет, г. Тула
e-mail: [email protected]
32
В. М. ЛЕОНОВ
AUTHOR:
Leonov, Vasily Mikhaylovich
Candidate of Technical Sciences, Assoc. Professor, Department of Construction,
construction materials and designs, Tula State University, Tula
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОСНОВАНИЙ С ПРОИЗВОЛЬНО
НЕОДНОРОДНЫМИ ПОКРЫТИЯМИ И СЛОЖНОЙ ФОРМОЙ
ПОВЕРХНОСТИ
CONTACT PROBLEMS FOR FOUNDATIONS
WITH ARBITRARILY NONUNIFORM COVERS
AND COMPLEX SURFACE SHAPE
А. В. МАНЖИРОВ
A. V. MANZHIROV
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва
Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана,
г. Москва
Московский государственный университет приборостроения и информатики,
г. Москва
Аннотация. Исследуется контактная задача о взаимодействии системы жестких
штампов с вязкоупругим основанием при наличии тонкого неоднородного упругого
покрытия в случае плоской деформации. Рассмотрены различные варианты постановки задачи. Получена система разрешающих интегральных уравнений, которая приведена к одному смешанному интегральному уравнению с тензорным ядром в функциональном векторном пространстве. Для решения уравнения развит эффективный
проекционно-спектральный метод. Решена модельная задача. Проведены детальные
расчеты. Сформулированы выводы качественного характера.
Abstract. A contact problem of the interaction between a system of rigid punches and a
viscoelastic foundation with a thin nonuniform elastic coating in the case of plane strain
state is under research. Various versions of mathematical formulation are considered. A
principal system of integral equations is obtained. It is reduced to an integral equation
with a tensor kernel in a functional vector space. The effective projective spectral method
is developed. A model problem is solved. Detailed calculations are performed. Qualitative
conclusions are formulated.
33
34
А. В. МАНЖИРОВ
Ключевые слова: контактные задачи, вязкоупругость, покрытие, неоднородность,
быстрая осцилляция, система смешанных интегральных уравнений.
Keywords: contact problems, viscoelasticity, coating, non-uniformity, rapid oscillation,
system of mixed integral equations.
На подстилающем недеформируемом основании лежит вязкоупругий слой толщины H с тонким упругим произвольно неоднородным покрытием, толщина которого
h (рис. 1). В общем случае свойства покрытия зависят от двух координат x и y. В
монографии [1] показано, что свойства относительно тонкого верхнего слоя осредняются по его глубине (интегрируются по y от 0 до h). Таким образом, можно считать,
что свойства покрытия изменяются только от точки к точке поверхности основания
(зависят только от x). Будем считать, что осредненная жесткость покрытия R(x)???
не превышает жесткости нижнего слоя (случай мягкого покрытия). На такое основание действуют n жестких штампов, вдавливаемых силами Pi (t) с эксцентриситетами
приложения ei (t)(i = 1, n). Ширина каждого штампа значительно больше толщины
покрытия, т. е. bi − ai h, где ai , bi — абсцисса начала и абсцисса конца i-го штампа
(i = 1, n).
Рис. 1. Контактная задача
Приравнивая вертикальные перемещения верхней грани основания, вызванные нагрузкой
(
−qi (x, t), x ∈ [ai , bi ], i = 1, n,
p(x, t) =
0,
иначе,
и перемещения жестких штампов, получим систему интегральных уравнений контактной задачи (cм. также [2–7]):
n
X
qj (x, t)
qi (x, t)h 2(1 − ν22 )
+
(I − V2 )
Fj
=
R(x)
π
E2 (t − τ2 )
j=1
ai + bi
= δi (t) + αi (t) x −
− gi (x), x ∈ [ai , bi ],
2
Z bi x−ξ
Fi f (x, t) =
kpl
f (ξ, t) dξ (i = 1, n).
H
ai
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 12-01-00991-а и 13-01-92693-ИНД а).
КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОСНОВАНИЙ С ПРОИЗВОЛЬНО НЕОДНОРОДНЫМИ ...35
Здесь ν2 и E2 (t − τ2 ) — коэффициент Пуассона и модуль упругомгновенной деформации нижнего слоя; δi (t), αi (t) — осадки и углы поворота штампов, gi (x) — функции
форм оснований штампов; I — тождественный оператор, V2 — интегральный оператор Вольтерра с ядром ползучести при растяжении K (2) (t, τ ), Fj — интегральные
операторы с известным ядром контактной задачи kpl [(x − ξ)/H].
Дополнительные условия равновесия штампов на основании описываются уравнениями
Z bi
Z bi
ai +bi
dξ (i = 1, n).
Pi (t) =
qi (ξ, t) dξ, Mi (t) =
qi (ξ, t) ξ −
2
ai
ai
Сделав замену переменных, получим систему интегральных уравнений
n
X
c(t)mi (x)q i (x, t) + (I − V2 )
Fij qj (x, t) = δ i (t) + αi (t)x − g i (x), r ∈ [0, 1]
j=1
с дополнительными условиями
Z1
q i (ξ, t) dξ = P i (t)
−1
Z1
q i (ξ, t)ξ dξ = M i (t) (i = 1, n).
−1
Развивается подход, позволяющий строить аналитические решения и производить
расчеты систем смешанных интегральных уравнений в случае, когда неоднородность
задана быстро изменяющейся или разрывной функцией, что часто встречается в прикладных задачах. Этого невозможно добиться в рамках известных методов, применение которых дает ошибку в расчетах порядка 100%.
АВТОР:
Манжиров Александр Владимирович,
заведующий лабораторией моделирования в механике деформируемого твердого тела,
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва;
заведующий филиалом кафедры ”Прикладная математика”, Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г. Москва;
профессор кафедры ”Высшая математика”, Московский государственный университет
приборостроения и информатики, г. Москва
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Manzhirov, Alexander Vladimirovich
Head of Department for Modeling in Solid Mechanics, Institute for Problems in Mechanics,
Russian Academy of Sciences, Moscow;
Head of Branch Department of Applied Mathematics, Bauman Moscow State Technical
University;
Professor of Mathematics, Department of Higher Mathematics, Moscow State University
of Instrument Engineering and Computer Science
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
НАРАЩИВАНИЕ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ОТВЕРСТИЕМ
В ФОРМЕ ГИПОЦИКЛОИДЫ
INCREASE PLATE WEAKENED HOLE-PATING IN THE FORM
OF A HYPOCYCLOID
М. Н. МИХИН
M. N. MIKHIN
Московский государственный университет приборостроения и информатики,
г. Москва
Аннотация. Работа посвящена исследованию распределения напряжений около отверстий при растяжении вязкоупругой среды, свойства которой меняются с течением времени. Рассмотрены возникающие классические и неклассические начальнокраевые задачи механики деформируемого твердого тела.
Abstract. Work is a study of the stress distribution around holes in tensiletion viscoelastic
medium whose properties vary with time. Considered arise classical and nonclassical initialboundary value problems of mechanics deformable solid.
Ключевые слова: растущее тело, отверстие.
Keywords: growing body, hole.
Исследуется напряженно-деформируемое состояние вязкоупругой однородной пластины, ослабленной отверстием в форме гипоциклоиды, которое до момента загружения τ0 свободно от напряжений. Пусть контур отверстия свободен от внешних
напряжений и пусть напряженное состояние на бесконечности представляет собой
растяжение, величины P , в направлении, параллельном оси Ox.
В момент времени τ1 ≥ τ0 начинается непрерывное наращивание тела элементами,
изготовленными одновременно с ним. При этом новые приращиваемые элементы не
напряжены. Наращивание происходит таким образом, что отверстие уменьшается по
закону подобия, т. е. граница роста L(t) в каждый момент времени имеет форму гипоциклоиды. Считаем, что момент приложения нагрузки к приращиваемым элементам
τ0 (x1 , x2 ) совпадает с моментом их присоединения к растущему телу τ ∗ (x1 , x2 ). В момент τ2 ≥ τ1 наращивание тела прекращается.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 14-01-00741).
36
НАРАЩИВАНИЕ ПЛАСТИНЫ, ОСЛАБЛЕННОЙ ...
37
Краевая задача для основного (нерастущего) вязкоупругого стареющего тела на
интервале времени [τ0 , τ1 ] представляет собой традиционную задачу теории вязкоупругости.
Начально-краевую задачу для непрерывно растущего тела на интервале времени
t ∈ [τ1 , τ2 ] составляют [1], [2], [3], [4]:
– уравнения равновесия
∂σ13
= 0,
∂x3
∂σ23
= 0,
∂x3
∂σ13 ∂σ23
+
= 0;
∂x1
∂x2
(1)
– соотношения Коши между скоростями деформации Dij = ∂εij /∂t и скоростями
перемещений υi = ∂ui /∂t :
∂υ1
∂υ2
1 ∂υ1
∂υ2
, D22 =
, D12 =
+
;
∂x1
∂x2
2 ∂x2 ∂x1
– уравнения состояния в форме
2K
K−1
σ11 = 2G I + Nτ0 (x1 ,x2 ) K+1
ε11 + K+1
ε22 ,
2K
σ22 = 2G I + Nτ0 (x1 ,x2 ) K−1
ε
+
ε
,
11
22
K+1
K+1
σ12 = 2G I +
Nτ0 (x1 ,x2 ) ε12 ,
τ0 ,
(x1 , x2 ) ∈ Ω1 ,
τ0 (x1 , x2 ) =
∗
τ (x1 , x2 ), (x1 , x2 ) ∈ Ω∗ (t),
E
1
−1
(I + Nτ0 (x1 ,x2 ) ) = (I − Lτ0 (x1 ,x2 ) ), 2G = 1+v
, K = 1−2v
,
Rt
∂
Ls f (t) = f (τ )K1 (t, τ )dτ , K1 (t, τ ) = G(τ ) ∂τ
G−1 (τ ) + ω(t, τ ) .
D11 =
(2)
(3)
s
На границе роста L(t) задается условие контакта, которое при нулевом натяге принимает вид
n1 σ11 + n2 σ12 = 0, n1 σ12 + n2 σ22 = 0,
(4)
где n1 , n2 — компоненты единичного вектора нормали, E = E(t) и G = G(t) — модули
упругомгновенной деформации при растяжении и сдвиге, C(t, τ ) и ω(t, τ ) — меры ползучести при растяжении и сдвиге, K1 (t, τ ) — ядро ползучести, коэффициенты Пуассона упругомгновенной деформации и деформации ползучести совпадают и равны
соответственно ν, I — тождественный оператор.
После ряда преобразований [1], [2], [3], [4] краевая задача (1)–(4) приводится к виду:
∂S12
∂S22
12
+ ∂S
∂x
2 = 0, ∂x1 + ∂x2 = 0,
2K
K−1
2K
S11 = 2 K+1
D11 + K−1
D
,
S
=
2
D
+
D
22
K+1 22
K+1 11
K+1 22 ,
0
∂σ
−1
0 = I −L
S12 = 2D12 , Sij = ∂tij , σij
τ0 (x1 ,x2 ) σij G ,
(x1 , x2 ) ∈ L(t) : n1 S11 + n2 S12 = 0, n1 S12 + n2 S22 = 0.
∂S11
∂x1
(5)
Краевая задача (5) совпадает по форме с краевой задачей теории упругости с параметром t. Ее решение может быть построено любым эффективным в теории упругости аналитическим или численным методом. Решение исходной задачи наращивания
можно восстановить затем по формулам обращения [1], [2], [3], [4].
Основные соотношения задачи для тела, наращивание которого прекращено, имеют вид (1)–(4), где отсутствует условие на границе роста. Она приводится к виду (5).
38
М. Н. МИХИН
Краевые задачи для всех основных этапов эволюции тела приведены к краевым задачам, совпадающим по форме с краевыми задачами теории упругости с некоторым
параметром. Для исследования последних достаточно воспользоваться конформным
отображением рассматриваемой области на внешность единичного круга [5].
Основной вывод состоит в том, что если в готовом теле без учета наращивания максимум интенсивности касательных напряжений достигается на границе тела, то при
наращивании максимум интенсивности касательных напряжений может достигаться:
на границе раздела основного и дополнительного тел, на границе готового тела, в
произвольной точке дополнительного тела.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Арутюнян, Н. Х. Контактные задачи теории ползучести / Н. Х. Арутюнян,
А. В. Манжиров. – Ереван : Изд во НАН РА, 1999. – 320 с.
[2] Арутюнян, Н. Х. Контактные задачи механики растущих тел / Н. Х. Арутюнян,
А. В. Манжиров, В. Э. Наумов. – М. : Наука, 1991. – 176 с.
[3] Манжиров, А. В. Общая безинерционная начально-краевая задача для кусочнонепрерывно наращиваемого вязкоупругого стареющего тела / А. В. Манжиров. –
ПММ. – 1995. – Т. 59. – Вып. 5. – С. 836–848.
[4] Манжиров, А. В. Методы теории функций комплексного переменного в механике растущих тел / А. В. Манжиров, М. Н. Михин // Вестник СамГУ. Естественная
серия. – 2004. – № 4 (34). – С. 82–98.
[5] Мусхелишвили, Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н. И. Мусхелишвили. – М. : Изд во АН СССР, 1954. – 647 с.
АВТОР:
Михин Михаил Николаевич,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Московский государственный университет приборостроения и информатики, г. Москва
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Mikhin, Mikhail Nikolaevich
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor, Department of Higher Mathematics, Moscow
State University of Instrument Engineering and Computer Science, Moscow
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.374
УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ
НА ВОЛНОВЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ В МИКРОПОЛЯРНЫХ
ТЕРМОУПРУГИХ СРЕДАХ ВТОРОГО ТИПА
ON JUMP CONDITIONS ON PROPAGATING WAVE SURFACES IN
MICROPOLAR TYPE-II THERMOELASTIC MEDIA
Е. В. МУРАШКИН, Ю. Н. РАДАЕВ
E. V. MURASHKIN, Y. N. RADAYEV
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва
Аннотация. В представленной работе рассматриваются проблемы распространения
поверхностей сильных разрывов перемещений, микровращений и температурного смещения в термоупругом микрополярном континууме второго типа (GNII). Динамические и определяющие уравнения гиперболического микрополярного континуума
второго типа можно получить, воспользовавшись хорошо разработанным формализмом теории поля и аппаратом вариационного исчисления. Для достижения этой цели
сформулирован вариационный принцип наименьшего действия и указана естественная плотность термоупругого действия. Благодаря специальной форме первой вариации функционала действия получены 4-ковариантные соотношения совместности
сильных разрывов поля на волновых поверхностях сильных разрывов. Из полученной
ковариантной четырехмерной формы условий совместности на поверхности сильного
разрыва поля находятся характерные для механики континуума трехмерные формы
условий, которые дополняются геометрическими и кинематическими условиями совместности Адамара—Томаса, восходящие к Ренкину и Гюгонио
Abstract. In the present study problems of propagating surfaces of strong discontinuities of displacements, microrotation and thermal displacements of the micropolar type-II
thermoelastic media (GNII) are considered. The dynamical and constitutive equations for
hyperbolic thermoelastic type-II micropolar continuum are derived by field theory technique and formalism of the variational calculus. A special form of the first variation of the
action integral is used in order to obtain 4-covariant jump conditions on wave surfaces.
A three-dimensional form of jump conditions on the wave surfaces subsequent to its fourdimensional covariant form is formulated. These conditions should be supplemented by the
geometrical and kinematical conditions due to Rankine, Hugoniot, Hadamard and Thomas
Ключевые слова: микрополярная термоупругость, континуум второго типа, действие, сильный разрыв, условие совместности, волновая поверхность, скачок
39
40
Е. В. МУРАШКИН, Ю. Н. РАДАЕВ
Keywords: micropolar thermoelasticity, type-II continuum, action, strong discontinuity,
compatibility condition, wave surface, jump
Исследование возможной волновой природы транспорта тепла требует привлечения
аппарата теории поля [1]. Впервые в полной мере теоретико-полевой подход к построению теории микрополярного континуума был применен в 1909 г. Э. и Ф. Коссера [2].
Впоследствии этот подход получил развитие в работе [3]. В монографии [1], терминология и обозначения которой и будут использоваться в дальнейшем, развивается
вариационный подход исследования динамических процессов в связанных микрополярных термоупругих континуумах, основанный на функционале действия.
Интегральный ункционал действия для микрополярной термоупругой среды второго типа принимается в форме (ϑ — температурное смещение, dj — директоры микa
рополярной структуры)
Z
= = L(X α , dj , ϑ, ∂4 xj , ∂4 dj , ∂4 ϑ, ∂β xj , ∂β dj , ∂β ϑ)dX 1 dX 2 dX 3 dX 4 .
a
a
a
(1)
Предположим, что при переходе через некоторую двустороннюю поверхность с единичным 4-вектором нормали Nβ в 4-пространстве—времени термоупругое поле непрерывно, а его первые градиенты по пространственно-временным переменным могут
терпеть разрыв. Тогда 4-ковариантные соотношения совместности сильных разрывов
поля получаются в форме:
∂L
∂L
β
k
Nβ −
= 0, Nβ Lδα − (∂α ϕ )
= 0,
(2)
∂(∂β ϕk )
∂(∂β ϕk )
где ϕk = (xi , di , ϑ)T — связанное поле. Из полученной ковариантной четырехмерной
a
формы (2) находятся трехмерные формы условий совместности на волновой поверхности ((n1 , n2 , n3 )T — единичный 3-вектор нормали, G — нормальная скорость распространения волновой поверхности):
a
a
µ
l
− G[L − Pl ∂4 xl − Ql ∂4 dl − s∂4 ϑ] + nµ [S·lµ· ∂4 xl + Mµ·
·l ∂4 d − jR ∂4 ϑ] = 0,
a
a
G[Pl ∂λ xl + Ql ∂λ dl + s∂λ ϑ] + nµ [Lδλµ + S·lµ· ∂λ xl +
a
G[Pl ] = nµ [S·lµ· ],
a
a
G[Ql ] = nµ [Mµ·
·l ],
a
a µ·
l
M·l ∂λ d
a
µ
∂λ ϑ] = 0,
− jR
(3)
µ
G[s] = nµ [jR
] (l, λ, µ = 1, 2, 3).
Условия совместности сильных разрывов дополнятся известными [4] геометрическими и кинематическими условиями совместности Адамара—Томаса второго и первого порядка, справедливыми для произвольного поля ϕk :
[∂i ∂j ϕk ] = C k ni nj + g αβ ∂α0 B k (ni ∂β 0 xj + nj ∂β 0 xi ) − g αβ g στ B k bασ ∂β 0 xi ∂τ 0 xj ,
[∂i ∂4 ϕk ] = (−C k G + δ4 B k )ni + g αβ ∂α0 (B k G)∂β 0 xi ,
[∂4 ∂4 ϕk ] = (C k G − δ4 B k )G + B k δ4 G,
[∂4 ϕk ] = −B k G,
(4)
[∂i ϕk ] = B k ni ,
где (i, j = 1, 2, 3; α, β, τ, σ = 1, 2); штрихом обозначены греческие индексы, относящиеся к поверхностным координатам; C k = [∂i ∂j ϕk ]ni nj ; g αβ и bαβ — компоненты
первой и второй фундаментальной формы волновой поверхности соответственно; δ4 —
оператор δ-дифференцирования.
УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ ...
41
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 13-01-00139 Гиперболические тепловые волны
”
в твердых телах с микроструктурой“).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ковалев, В. А. Волновые задачи теории поля и термомеханика / В. А. Ковалев,
Ю. Н. Радаев. – Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. – 328 с.
[2] Cosserat, E. et F. Th´eorie des corps d´eformables / E. et F. Cosserat. – Paris : Librairie
Scientifique A. Hermann et Fils, 1909. – 226 p.
[3] Toupin, R. A. Theories of Elasticity with Couple-stress / R. A. Toupin // Arch.
Rational Mech. Anal. – 1964. – Vol. 17. – No. 5. – P. 85–112.
[4] Thomas T. Plastic flow and fracture in solids / T. Thomas. – NY. : Academic Press,
1961. – 267 p.
АВТОРЫ:
Мурашкин Евгений Валерьевич,
кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва
e-mail: [email protected], [email protected]
Радаев Юрий Николаевич,
доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва
e-mail: [email protected], [email protected]
AUTHORS:
Murashkin, Evgenii Valeryevich
Candidate of Phys.&Math., Researcher, Institute for Problems in Mechanics of RAS,
Moscow
Radayev, Yuri Nickolaevich
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Leading Researcher, Institute for Problems in Mechanics
of RAS, Moscow
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.374
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА АВТОМОДЕЛЬНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЫ
2-D AUTOMODEL PROBLEM ABOUT DEFORMATION OF
ELASTOPLASTIC INCOMPRESSIBLE SPACE
А. А. МАНЦЫБОРА, М. М. РУСАНОВ
A. A. MANTSYBORA, M. M. RUSANOV
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт
автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения Российской
академии наук, г. Владивосток
Аннотация. Решается задача о разгрузке полупространства в рамках модели больших упругопластических деформаций в предположении о несжимаемости среды. Модельные соотношения записаны для случая плоского автомодельного движения точек
среды. Из определяющих соотношений получены два типа простых волн несущих изменение напряженно деформируемого состояния. Так же возможны случаи, когда эти
волны будут ударными.
Abstract. The problem of halfspace unloading within model of large elastoplastic
deformations in the assumption of incompressible medium was considered. Model relations
in the case 2-D self-similar motion of medium point was written. Two types of simple waves
bearing changes of stress strain state were obtained from the defining relations. In some
case these waves will be shock waves.
Ключевые слова: упругость, разномодульность, несжимаемость, динамическое деформирование, плоские волны, сферические волны.
Keywords: elasticity, multimodulus, incompressibility, dynamic deformation, spherical
waves, plane waves.
В работе на примере плоской автомодельной задачи изучаются особенности распространения возмущений в материалах, имеющих накопленные предварительные
деформации. Наличие в материалах накопленных как обратимых, так и необратимых деформаций связано с процессами их предварительной обработки, а так же с
невозможностью полного снятия последних существующими технологическими методами. Учет влияния накопленных необратимых деформаций может осуществляться
разными способами, один из них это зависимость упругих параметров материала от
пластических деформаций. В представленной работе влияние последних на процессы
деформирования идет за счет использования модели больших упругопластических
42
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА АВТОМОДЕЛЬНОГО ...
43
деформаций подробно изложенной в [1]. Деформационное поведение подобных сред
исследуется с помощью постановки и решения краевых задач динамики. В работах
[2], [3] рассматривалась данная проблема на примере автомодельных задач в которых
возмущения распространялись посредством простых и ударных квазипродольных и
квазипоперечных волн. В представленной работе вводится дополнительное предположение о несжимаемости среды, чтобы исключить эффект взаимовлияния объемных
и сдвиговых деформирмаций и рассматривать процессы только изменения формы.
Рассмотрим несжимаемое упругопластическое полупространство, равномерно нагруженное на его границе усилиями соответствующими пределу текучести материала. Полагаем, что такая нагрузка вызывает однородное распределение в среде, как
обратимых, так и необратимых деформаций (плоский случай). Если обратимые деформации традиционно можно положить малыми, то накопленные необратимые деформации в процессе, предшествующем данному состоянию, могут быть большими.
Пусть разгрузка среды осуществляется в форме ступеньки движущейся по граничной
плоскости с постоянной скоростью, большей скорости распространения возмущений
в среде. В данной постановке задача будет автомодельной.
Из определяющих соотношений, согласно проведённым численным расчётам возможно существование двух типов простых волн, представляющих из себя слои несущие изменение напряженно деформируемого состояния. Из полученных расчетов видно, что скорость их близка к скорости сдвиговой волны в линейной теории упругости.
Так же невозможно однозначно определить скорость какой из них будет большей.
Кроме слоев, в которых деформации, скорости и напряжения изменяются непрерывно
(простые волны) могут существовать решения, описывающие ударные волны (поверхности, на которых параметры среды изменяются скачком). Таким образом ставящаяся
задача предполагает определение возникающей волновой картины (определение количества и типов волн несущих возмущения в среду), приводящей к разгружающему
деформированию и определению закономерностей такого процесса, что может быть
выполнено только при решении конкретной краевой задачи.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Буренин, А. А. Упругие эффекты при интенсивном необратимом деформировании / А. А. Буренин, Л. В. Ковтанюк. – Владивосток : Из-во ДВГТУ, 2011. – 270
с.
[2] Манцыбора, А. А. Автомодельная задача о динамике разгрузки упругопластического полупространства / А. А. Манцыбора, М. М. Русанов // Сибирский журнал
индустриальной математики. – 2013. – Т. XVI. – № 2. – С. 122–129.
[3] Манцыбора, А. А. Автомодельная задача деформирования упругопластического
полупространства / А. А. Манцыбора, М. М. Русанов // Теоретическая и прикладная
механика. Выпуск 28 : международный научно-технический сборник. – Минск : БНТУ,
– 2013. – С. 153–160.
44
А. А. МАНЦЫБОРА, М. М. РУСАНОВ
АВТОРЫ:
Манцыбора Александр Анатольевич,
кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Институт автоматики и
процессов управления Дальневосточного отделения РАН, г. Владивосток
e-mail: [email protected]
Русанов Максим Михайлович,
аспирант, Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения
РАН, г. Владивосток
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Mantsybora, Alexander Anatolevich
Candidate of Phys.&Math., Researcher, Institution of Russian Academy of Sciences
Institute of Automation and Control Processes of Far-Eastern Branch of RAS, Vladivistok
Rusanov, Maxim Mihaylovich
Postgraduate Student, Institution of Russian Academy of Sciences Institute of Automation
and Control Processes of Far-Eastern Branch of RAS, Vladivistok
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИССИПАТИВНЫХ
СВОЙСТВ ЭЛЕКТРОВЯЗКОУПРУГИХ СИСТЕМ С ВНЕШНИМИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ ЦЕПЯМИ
EXPERIMENTAL DETERMINATION OF THE DISSIPATIVE
PROPERTIES ELEKTROVISCOELASTIC SYSTEMS WITH EXTERNAL
ELECTRIC CIRCUITS
В. П. МАТВЕЕНКО, М. А. ЮРЛОВ, Н. А. ЮРЛОВА
V. P. MATVEENKO, M. A. YURLOV, N. A. YURLOVA
Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь
Аннотация. Работа посвящена экспериментальному исследованию эффективности
гашения колебаний конструкций с пьезоэлементами, зашунтированными внешними
электрическими пассивными и активными цепями. Выполненные эксперименты с резистивными и резистивно-индуктивными цепями продемонстрировали их возможности для демпфирования колебаний конструкций. Внешние электрические цепи построены с использованием синтетических индуктивностей - гираторов.
Abstract. This work is present experimental study of the effectiveness of damping
structures with piezoelements, shunted by external passive and active electrical circuits.
Еxperiments with resistive and resistive-inductive circuits demonstrated their capabilities
for damping of vibration of structure.In external circuits were used synthetic inductors gyrators.
Ключевые слова: внешние электрические цепи, шунтирование пьезоэлектриков, гашение колебаний.
Keywords: external shunt electric circuits, shunting piezoelectric, damping vibrations.
Включение внешних активных и пассивных электрических цепей в электроупругие системы позволяет ставить и решать различные технические задачи. Это стабилизация формы конструкции (минимизация деформаций и перемещений), гашение
вибраций, повышение степени динамической устойчивости [1–5].
Создание в рамках континуального подхода математической модели поведения
электровязкоупругой системы с дискретными обратными связями по электрической
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 14-01-96020-р-урал-а, 12-01-00453-а и по Программе
фундаментальных исследований УрО РАН № 10 (проект 12-П-1-1018)
45
46
В.П. МАТВЕЕНКО, М.А. ЮРЛОВ, Н.А. ЮРЛОВА
компоненте вектора состояния и разработка методов и алгоритмов решения динамических задач с использованием элементов теории автоматического управления для
неконсервативных систем позволит оптимизировать динамические свойства конструкции для расширения области динамической устойчивости [6–9].
Прикрепленные к поверхности конструкции пьезоэлементы с шунтирующими цепями образуют рассеивающее энергию устройство для повышения диссипативных
свойств механической системы. Благодаря пьезоэлектрическому эффекту, часть механической энергии колебаний преобразуется в электрическую энергию, которая может
быть рассеяна. Целенаправленное использование такой способности пьезоматериалов
открывает возможность оптимизировать динамические свойства конструкции путем
определения мест установки датчиков и актуаторов, а также передаточной функции
в цепи обратной связи [1–5].
Данная работа посвящена экспериментальному исследованию эффективности гашения колебаний конструкций с пьезоэлементами, зашунтированными внешними электрическими цепями.
Первый цикл работ связан с демпфированием колебаний с помощью пассивных
внешних электрических цепей. Рассматривается консольная стальная балка с прикрепленными к ее поверхности пьезоэлементами, подверженная внешнему гармоническому воздействию. Сопротивление и индуктивность шунтирующей электрической
цепи варьируются до достижения максимального гашения колебаний первой и/или
второй моды колебаний. Исследованы резистивные и резистивно-индукционные цепи.
Проведено несколько серий экспериментов, из которых видно, что оптимальное демпфирование колебаний достигается при наличии внешней индуктивно-резистивной цепи гашения. При этом стоит учитывать, что чрезмерное увеличение сопротивления
или индуктивности может ухудшать способность внешней электрической цепи демпфировать колебания конструкции. Желание избежать требуемых при этом больших
катушек индуктивности привело к использованию синтетических индуктивностей –
гираторов (собранных из операционных усилителей) [8–10].
Разработка экспериментальных способов решения задачи активного демпфирования колебаний конструкций с помощью пьезоэлементов и внешних электрических цепей являлась целью второго цикла работ. Для реализации активного демпфирования
необходимы выбор управляющего контроллера и его аппаратная реализация, построение цепи, реализующей требуемый закон управления.
Разработана и реализована схема экспериментального исследования активного
демпфирования колебаний на основе PID-контроллера. Проведено несколько серий
экспериментов со стальной балкой с присоединенными к ее поверхности пьезоэлементами и внешними электрическими цепями, реализующих схемы активного управления
колебаниями. В ходе эксперимента получено качественное согласование с имеющимися теоретическими данными и количественно — 30% улучшение результатов по снижению амплитуды и времени затухания колебаний стальной балки с прикрепленными
к ее поверхности пьезоэлементами.
Экспериментально продемонстрирована эффективность разработанной модели
электровязкоупругого тела с внешними электрическими цепями для оптимизации
демпфирующих свойств smart-систем, основанных на использовании пьезоматериалов и внеших электрических цепей.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИССИПАТИВНЫХ СВОЙСТВ ...
47
ЛИТЕРАТУРА
[1] Forward, R. L. Electronic damping of vibrations in optical structures / R. L. Forward
// Journal of Applied Optics. – 1979. – Vol. 18. – № 5. – Р. 690–697.
[2] Hagood, N. W. Damping of structural vibrations with piezoelectric materials and
passive electrical networks / N. W. Hagood, A. Von Flotow //Journal of Sound and
Vibration. – 1991. – Vol. 146. – № 2. – p. 243-268.
[3] Lesieutre, G. A. Vibration damping and control using shunted piezoelectric materials
/ G. A. Lesieutre // Shock Vib. Digest. – 1998. – Vol. 30. – № 3. – P. 187–195.
[4] Moheimani, S. O. R. Piezoelectric transducers for vibration control and damping /
S. O. R. Moheimani, A. J. Fleming. – Berlin: Springer-Verlag, 2006. – 272 с.
[5]Park, C. H. Enhanced Piezoelectric Shunt Design/ C. H. Park, D. J. Inman // Shock
and Vibration. – 2003. – Vol. 10. – № 2. – P. 127–133.
[6] Kligman, E. P. Natural Vibration Problem of Viscoelastic Solids as Applied to
Optimization of Dissipative Properties of Constructions / E. P. Kligman, V. P. Matveenko
// International Journal of Vibration and Control. – 1997. – Vol. 3. – № 1. – Р. 87-102.
[7] Клигман, Е. П. Динамические характеристики тонкостенных электроупругих
систем / Е. П. Клигман, В. П. Матвеенко, Н. А. Юрлова // Известия РАН. МТТ. –
2005. – № 2. – С. 179–187.
[8]Матвеенко, В. П. Моделирование и оптимизация динамических характеристик
smart-структур с пьезоматериалами / В. П. Матвеенко, Е. П. Клигман, М. А. Юрлов,
Н. А. Юрлова //Физическая мезомеханика, 2012. – Т. 15. – № 1. – С. 75–85.
[9]Matveenko, V. P. Optimization of the dynamic characteristics of electroviscoelastic
systems by means of electric circuits / Advanced Dynamics and Model Based Control
of Structures and Machines (ed. H. Irschik et all) / V. P. Matveenko, E. P. Kligman,
N. A. Yurlova, M. A. Yurlov. – Wien, 2011. – P. 151–158.
[10] Юрлов, М. А. Экспериментальное определение диссипативных свойств электровязкоупругих систем с внешними электрическими цепями / М. А. Юрлов // Вестник
ПНИПУ. Механика. – 2012. – № 1. – С. 179–194.
АВТОРЫ:
Матвеенко Валерий Павлович,
доктор технических наук, директор, академик РАН, Институт механики сплошных
сред УрО РАН, г. Пермь
e-mail: [email protected]
Юрлов Максим Александрович,
аспирант, Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь
e-mail: [email protected]
Юрлова Наталия Алексеевна,
кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь
e-mail: [email protected]
48
В.П. МАТВЕЕНКО, М.А. ЮРЛОВ, Н.А. ЮРЛОВА
AUTHORS:
Matveenko, Valery Pavlovich
Doctor of Engineering Sciences, Director, Academician of RAS, Institute of Continuous
Media Mechanics UB RAS, Perm
Yurlov, Maksim Aleksandrovich
Research Engineer, Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Perm
Yurlova, Nataliya Alekseevna
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor, Senior Researcher, Institute of Continuous
Media Mechanics UB RAS, Perm
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.374
ВЛИЯНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ
СОСТОЯНИЕ ТЯЖЕЛОГО СЖИМАЕМОГО ПРОСТРАНСТВА
INFLUENCE OF A GRAVITY ON IS ELASTОPLASTIC CONDITION OF
HEAVY COMPRESSED SPACE
С. В. МАТВЕЕВ
S. V. MATVEEV
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева,
г. Чебоксары
Аннотация. Рассматривается влияние силы тяжести на упругопластическое состояние среды, ослабленной продольной цилиндрической полостью. Учет силы тяжести
на упругопластическое состояние среды осуществляется в первом приближении.
Abstract. Gravity influence on elastoplastic a condition of the environment weakened
by a longitudinal cylindrical cavity is considered. The gravity account on elastoplastic a
condition of environment is carried out as a first approximation.
Ключевые слова: пластичность, упругость, напряжения, сжимаемость, сила тяжести.
Keywords: plasticity, elasticity, pressure, compressibility, gravity.
Рассмотрим упругопластическую среду, ослабленную круговым отверстием радиуса a. Уравнения равновесия в декартовой системе координат имеют вид
∂τxy
∂σy
∂σx ∂τxy
+
= 0,
+
= γ,
γ − const,
∂x
∂y
∂x
∂y
где σx , σy , τxy – компоненты напряжения, γ – объемная сила.
Частное решение уравнения (1) запишем в виде
σx = qy,
σy = γy, τxy = 0, γ, q − const.
(1)
(2)
Перейдем в полярную систему координат. Решение будем искать в виде:
(0)
0 + δ 2 σ 00 + δ 3 σ 000 + ....,
σij = σij + δσij
ij
ij
q = δc1 , γ = δc2 ; c1 , c2 − const,
ρs = ρ0s + δρ0s + δ 2 ρ00s + ...
(3)
где ρs – уравнение границы пластической и упругой областей, δ – безразмерный малый
параметр.
49
50
С. В. МАТВЕЕВ
Припишем компонентам напряжений в пластической зоне индекс ”p” наверху, компонентам в упругой зоне – индекс ”е” наверху.
Условие пластичности для сжимаемого тела примем в виде
2
(σρ − σθ )2 + 4τρθ
= (2k + σ tgµ)2 , σ =
1
(σρ + σθ ) ,
2
k, µ − const.
(4)
В нулевом приближении получим
(0)p
σρ
=
(0)e
σρ
(0)
ρs
K
h1−A¯
h
i
h
i
¯
¯
(0)p
(0)p
ρ (A−1)
ρ (A−1)
K
¯
,
σ
=
1
−
A
, τρθ = 0.
θ
α i
h 1−A¯
i α
(0)e
K
4
, σθ = −q + 2ρ2 αKA−1
, A¯ = 2−tgµ
¯
¯
2+tgµ , K = − 2+tgµ ,
2ρ2 αA−1
1−
= −q −
h = K2 −q −
K
¯
1−A
i1
¯
¯ /(1 − A)
1−A
¯
A+1
(5)
.
Влияние силы тяжести учтем в первом приближении, положим
q = δc1 , γ = δc2 , c1 , c2 − const.
(6)
В первом приближении пренебрежем влиянием сцепления k, тогда общее решение
в первом приближении запишется в виде
¯ )c2
(1−A¯)c1 +(A−1
ρ sin 3θ+
8
i
¯
1+A
+ Cρ12 sin θ + ρ 2
−
9
C
+
i∆C
cos (∆ ln ρ) +
31
32
h
i2 o
¯
+ −∆C31 + i 1+2A − 9 C32 sin (∆ ln ρ) sin 3θ,
¯ )c1 +(1−A
¯)c2
¯ )c1 +(9A+5
¯ )c2
3(A−1
(A−1
σ 0 pθ =
ρ sin θ −
ρ sin 3θ + Cρ12 sin θ+
8 8
nh
¯
A−3
i
¯
A−1
+ 1 + A¯ ρ 2
− A¯2 − 1 ∆2 C31 + i∆C32 cos (∆ ln ρ) +
4
h
o
i
¯
¯2 − 1 ∆2 C32 sin (∆ ln ρ) sin 3θ,
+ −∆C31 + i A−1
−
A
4
¯ )c1 +3(A−1
¯ )c1 +(A+3
¯ )c2
¯ ) c2
A−1
(
(A−1
p
τ 0 ρθ = −
ρ cos θ +
ρ cos 3θ−
8 8
nh
i
¯
A−3
¯
A−1
− Cρ12 cos θ + 3ρ 2
C31 + i∆C32 cos (∆ ln ρ) +
h
i
2
o
¯
+ −∆C31 + i A−1
C
sin
(∆
ln
ρ)
cos 3θ,
32
2
σ 0 pρ =
¯ )c1 +(3A+5
¯ )c2
(A−1
8
ρ sin θ +
nh
¯
A−3
√
¯
¯
(1+A)−36
A
где ∆ =
.
2
Решение в упругой области, согласно [1] будет иметь вид
(7)
ВЛИЯНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ...
h
51
1+β 2 β 2
(3m+1)β ¯
ρ¯
¯0
β b1 + 4m(β 2 +1) b1 + a 1 i ρ − ρ3 − ρ +
3
+ β 41−1 ¯b1 − b¯00 1 β βρ − βρ3 sin θ+
1
6 ρ−5 +
+ 2N
− 3β 2 +β −6 ρ +
3 4 − 3β 2 − β
3 2−2
+ 4 − 3β − β −6 ρ3 + 5 2 − 3β −2 + β 6 ρ−3 · b¯00
σ 0 eρ =
где
3 sin 3θ+
1
2 + β −6 ρ + 4 + 6β 6 − 9β 2 ρ−5 +
+ 2N
−10
+
9β
+ −4 + 5β −2 − β −6 ρ3 + 10 − 5β −2 − 5β 6 ρ−3 · −a¯000 3 sin 3θ +
2
2
+hс1 +3с
ρ sin θ + c1 −c
4
4 ρ sin 3θ,
m−1 1+β 2 β 2
0
¯
¯b1 + (3m+1)β
¯
·
+
σ 0 eθ = 3ρ
b
+
a
−
3ρ
+
−
1
β
ρ
4m(β 2 +1) 1
ρ3
i 3m+1
3
β
+ β 41−1 ¯b1 − b¯00 1 β 3ρ
sin θ+
β + ρ3
−5
1
2
−6
ρ + 3 −4 + 3β 2 + β 6 ρ
+
+ 2N 3 −2 + 3β − β
−2
−6
3
−2
6
−3
¯00
+5 −4
+ 3β 2+ β −6 ρ + −2 + 3β 6 − β2 ρ−5 · b 3 sin 3θ+
1
+ 2N 10 − 9β − β ρ +
−4 − 6β + 9β
ρ +
+5 4 − 5β −2 + β −6 ρ3 + −2 + β −2 + β 6 ρ−3 · −a¯000 3 sin 3θ +
2
+ 3c14h+c2 ρ sin θ − c1 −c
4 ρ sin 3θ, 2
(3m+1)β
e
ρ
β2
m−1
τ 0 ρθ = − β ¯b1 + 4m(β 2 +1) ¯b1 + a¯0 1 − 3m+1
· 1+β
−
−
ρ
+
3
ρ
ρ
i
3
ρ
β
+ β 41−1 ¯b1 − b¯00 1 β β − ρ3 cos θ+
1
3β 2 − β−6 ρ + 3 4 − 3β 2 − β6 ρ−5+
+ 2N
3 −2 +
+3 −4
+ 3β −2 + β −6 ρ3 + 3 2 − 3β −2 + β6 ρ−3 · −b¯00 3 sin 3θ +
1
+ 2N
10 − 9β 2 − β −6 ρ + 4 − 9β 2 + 6β 6 ρ−5 + + 12 − 15β −2 + 3β −6 ρ3 + 6 − 3β −2 − 3β 6 ρ−3 · a¯000 3 sin 3θ−
c1 −c2
2
− c1 −c
4 ρ cos θ +
4 ρ cos 3θ,
(8)
¯ )c2
¯ )c1 +3(A−1
¯ )c2
¯ )c1 +(A+3
(A−1
(A−1
0 ,
=
−
C
+
a000
, a000
+ 32 [A − 1] C31 + 3∆C32
12
1
3 =
8
8
¯ )c1 +(3A+5
¯ )c2
¯
¯
(A−1
00 = 1+A C − 9 + ∆C 0 + (1−A)c1 +(A−1)c2 .
b001 =
+
C
,
b
12
31
3
32
8
2
8
N = 16 − 9(β −2 + β 2 ) + (β −8 + β 8 ), m = µ1 , µ − коэффициент Пуассона.
Радиус пластической зоны в первом приближении будет иметь вид
ρ0 s = M1 sin θ + M3 sin 3θ,
где
m−1
2
2
0
¯
¯
M1 =
b1 + a 1 − 3m+1 · 1 + β + β − 3 +
+
3 A−3
¯ )c1 +3(3A−1
¯ )c2
(
1
3
3
00
+ β 4 −1 ¯b1 − b¯ 1 β β + β −
− C12 ,
8
1
M3 = 8N
−40 + 18β 2 + 18β −2 + 2β 6 + 2β −6 · b¯00 3 −
¯
−2 − 5β 6 + 4β −6 · a¯000 + (A+1)(c1 −c2 ) −
− 24 − 24β
3
8 o
h
i
A−1
¯
¯2 − 1 ∆2 C31 + ∆C 0
− 1 + A¯
−
A
.
32
4
1
4
h
ρ
β b1
(3m+1)β
4m(β 2 +1)
(9)
52
С. В. МАТВЕЕВ
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ивлев Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела /
Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов – М. : Наука, 1978. – 208 c.
[2] Матвеев, С. В. Упругопластическое состояние среды, ослабленной горизонтальной цилиндрической полостью, с учетом силы тяжести / С. В. Матвеев // Вестник
СамГУ. Естественнонаучная серия. – 2007. – № 2 (52). – С. 107–114.
АВТОР:
Матвеев Сергей Владимирович,
кандидат физико-математических наук, доцент, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Matveev, Sergey Vladimirovich
Candidate of Phys. & Math., Assoc. Professor, I. Yakovlev Chuvash State Pedagogical
University, Cheboksary
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.374
ПРЕДЕЛЬНЫЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ УСЛОВИЯ
ОТРЫВА ДЛЯ СЖИМАЕМОГО АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
LIMITING STATICALLY DEFINABLE CONDITIONS OF A
SEPARATION FOR A COMPRESSED ANISOTROPIC MATERIAL
А. Н. МАТВЕЕВА
A. N. MATVEEVA
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева,
г. Чебоксары
Аннотация. Рассматривается статически определимое предельное условие отрыва в
случае, когда условие отрыва зависит от среднего давления и направления отрыва.
Abstract. Statically definable limiting condition of a separation in a case when separation
condition depends on average pressure and a separation direction is considered.
Ключевые слова: предельное состояние, отрыв, сжимаемость, анизотропия, линии
характеристик.
Keywords: limiting
characteristics.
condition,
separation,
compressibility,
anisotropy,lines
of
Условие отрыва запишем в виде [1]
σ1 = σ2 = p,
σ3 < p.
(1)
Аналогично [1] получим
σx = p + 3 (σ − p) n21 , τxy = 3 (σ − p) n1 n2 , (xyz, 123),
σ = 31 (σx + σy + σz ) .
Имеет место соотношение
(2)
n21 + n22 + n23 = 1,
(3)
где n1 = cos α, n2 = cos β, n3 = cos γ – направляющие косинусы, определяющие
направление третьего главного напряжения σ3 в системе координат xyz.
cos β
α
Пусть cos ϕ = cos
sin γ , sin ϕ = sin γ , тогда
n1 = sin γ cos ϕ,
n2 = sin γ sin ϕ,
n3 = cos γ.
53
(4)
54
А. Н. МАТВЕЕВА
В общем случае следует положить
p = p (σ, ϕ, γ) .
(5)
Допустим, что все компоненты напряжения зависят от переменных x, y и не зависит
от координаты z
σ = σ (x, y) , γ = γ (x, y) ,
ϕ = ϕ (x, y) .
(6)
Уравнения равновесия примут вид
∂σx ∂τxy
+
= 0. (xyz)
∂x
∂y
(7)
Из (2), (4) и (7) с учетом (5), (6) имеем
h
∂p
∂σ
h
+3 1−
∂p
∂σ
i
h 3
sin2 γ cos2 ϕ ∂σ
∂x + 2 1 −
∂p
∂σ
i
∂σ
∂y +
i
∂σ
∂y +
sin2 γ sin 2ϕ
i
∂p
∂p
+ ∂ϕ
− 3 ∂ϕ
sin2 γ cos2 ϕ − 3 (σ − p) sin2 γ sin 2ϕ ∂ϕ
∂x +
i
h
∂p
sin2 γ sin 2ϕ + 3 (σ − p) sin2 γ cos 2ϕ ∂ϕ
+ − 32 ∂ϕ
∂yi+
h
∂p
∂p
+ ∂γ
− 3 ∂γ
sin2 γ cos2 ϕ + 3 (σ − p) sin 2γ cos2 ϕ ∂γ
∂x +
h
i
∂p
+ − 32 ∂γ
sin2 γ sin 2ϕ + 32 (σ − p) sin 2γ sin 2ϕ ∂γ
∂y = 0,
h i
h
∂p
∂p
∂p
∂σ
2
sin2 γ
∂σ sin γ sin 2ϕ ∂x + ∂σ + 3 1 − ∂σ
i
∂p
+ − 32 ∂ϕ
sin2 γ sin 2ϕ + 3 (σ − p) sin2 γ cos 2ϕ ∂ϕ
∂xi+
h
∂p
∂p
+ ∂ϕ
− 3 ∂ϕ
sin2 γ sin2 ϕ + 3 (σ − p) sin2 γ sin 2ϕ ∂ϕ
∂y +
3
2h
1−
sin2 ϕ
(8)
h
i
∂p
+ − 32 ∂γ
sin2 γ sin 2ϕ + 32 (σ − p) sin 2γ sin 2ϕ ∂γ
+
∂x
h
i
∂p
∂p
2
2
2
+ ∂γ − 3 ∂γ sin γ sin ϕ + 3 (σ − p) sin 2γ sin ϕ ∂γ
∂y = 0,
h i
h i
∂p
∂p
∂σ
3
2γ sin ϕ
∂σ sin 2γ cos ϕ ∂x + 2 1 − ∂σ sin
i
∂p
+ − 23 ∂ϕ
sin 2γ cos ϕ − 32 (σ − p) sin 2γ sin ϕ ∂ϕ
+
h
i ∂x
∂p
∂ϕ
+ − 32 ∂ϕ sin 2γ sin ϕ + 32 (σ − p) sin 2γ cos ϕ ∂y +
h
i
∂p
+ − 32 ∂γ
sin 2γ cos ϕ + 3 (σ − p) cos 2γ cos ϕ ∂γ
+
h
i ∂x
∂γ
3 ∂p
+ − 2 ∂γ sin 2γ sin ϕ + 3 (σ − p) cos 2γ sin ϕ ∂y = 0.
3
2h
1−
∂σ
∂y +
Характеристики системы уравнений (8) находятся из кубического уравнения
ПРЕДЕЛЬНЫЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ УСЛОВИЯ ОТРЫВА...
h
(dy)3 3ab sin2 γ cos3 ϕ −
55
∂p
∂σ b
cos 2ϕ cos 2γ + 2 sin2 ϕ cos2 γ cos ϕ−
i
∂p
∂p
− ∂ϕ
cos2 ϕ sin ϕ + 12 ∂γ
sin 2γ cos3 ϕ − dxdy 2 9ab sin2 γ cos2 ϕ sin ϕ −
∂p
∂p
b cos 2ϕ cos 2γ + 2 cos2 γ sin2 ϕ sin ϕ + ∂ϕ
cos ϕ cos2 ϕ − 2 sin2 ϕ +
− ∂σ
i
∂p
+ 32 ∂γ
sin 2γ cos2 ϕ sin ϕ + (dx)2 dy 9ab sin2 γ sin2 ϕ cos ϕ −
∂p
∂p
− ∂σ
b 2 cos2 γ cos2 ϕ − cos 2ϕ cos 2γ cos ϕ − ∂ϕ
sin ϕ sin2 ϕ − 2 cos2 ϕ +
i
∂p
+ 32 ∂γ
sin2 ϕ sin 2γ cos ϕ − (dx)3 3ab sin2 γ sin3 ϕ −
∂p
∂p
− ∂σ
b sin ϕ sin2 ϕ cos 2γ + sin2 γ cos2 ϕ + ∂ϕ
sin2 ϕ cos ϕ+
i
∂p
+ 21 ∂γ
sin 2γ sin3 ϕ = 0,
(9)
∂p
, b = σ − p.
где a = 1 − ∂σ
Из (9) при p = const получим
dy
dx
= tgϕ.
(10)
1,2,3
Соотношения вдоль характеристик (9) находятся из уравнения
dy
dx
2
[−Adσ + B (dγ + dϕ)] +
dy
dx
[Cdσ − Ddγ − Edϕ] + F dγ = 0,
где
− 32
∂p ∂p
∂σ ∂ϕ
∂p
∂σ
2
cos ϕ + b
sin ϕ sin 2γ,
2
∂p ∂p
∂p
∂p
3
2
2
B = 2 ∂σ ∂ϕ b sin ϕ + ∂ϕ cos ϕ + 3b ∂σ sin γ cos ϕ sin 2γ,
2
∂p ∂p
∂p
3
C = 2 − ∂σ ∂ϕ sin ϕ + b ∂σ cos ϕ sin 2γ,
∂p
∂p ∂p
∂p
sin2 γ sin 2γ sin2 ϕ cos ϕ − 32 b ∂σ
+
D = − 92 b ∂γ
∂γ
∂ϕ sin 2γ cos ϕ+
2
∂p
∂p
∂p
+ 32 ∂ϕ
sin ϕ sin 2γ + 3b ∂ϕ
sin ϕ cos 2γ + 9b ∂ϕ
sin2 γ sin3 ϕ+
∂p
2
+9b2 ∂σ
+ 1 sin 2γ − 27ab2 sin4 γ sin2ϕ cos ϕ,
sin γ sin ϕ sin 2ϕ
22
∂p ∂p
∂p
∂p
E = 32 −b ∂σ
sin ϕ + 3b2 ∂σ
sin2 γ sin ϕ sin 2γ,
∂ϕ cos ϕ + ∂ϕ
∂p
∂p
F = −9 21 b ∂γ
sin 2γ sin ϕ + b ∂ϕ
sin2 ϕ cos ϕ+
∂p
+b2 ∂σ
sin ϕ sin2 ϕ cos 2γ + sin2 γ cos2 ϕ + 3ab2 sin2 γ sin3 ϕ sin2 γ.
A=
При p = const соотношение (11) примет вид
dγ (cos ϕdy − sin ϕdx) = 0.
(11)
56
А. Н. МАТВЕЕВА
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ивлев, Д. Д. Теория идеальной пластичности / Д. Д. Ивлев. – М. : Наука, 1966.
– 232 с.
[2] Ивлев Д. Д. О предельном состоянии при отрыве / Д. Д. Ивлев, Н. М. Матченко // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. – М. :
ФИЗМАТЛИТ, 2006. – С. 288–290.
АВТОР:
Матвеева Алёна Николаевна,
кандидат физико-математических наук, доцент, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Matveeva, Alena Nicolaevna
Candidate of Phys. & Math., Assoc. Professor, I. Yakovlev Chuvash State Pedagogical
University, Cheboksary
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
ВОЗМОЖНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ДИССИПАТИВНЫМИ
СВОЙСТВАМИ SMART-КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ
ПЬЕЗОМАТЕРИАЛОВ С ПАССИВНЫМИ ВАРИАНТАМИ ВНЕШНИХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
CAPABILITIES OF CONTROL OF DISSIPATIVE PROPERTIES
SMART-STRUCTURES BASED ON PIEZOMATERIALS WITH PASSIVE
ELECTRIC CIRCUITS
В. П. МАТВЕЕНКО, Н. В. СЕВОДИНА, В. В. КОРЕПАНОВ,
Д. А. ОШМАРИН, Н. А. ЮРЛОВА
V. P. MATVEENKO, N. V. SEVODINA, V. V. KOREPANOV,
D. A. OSHMARIN, N. A. YURLOVA
Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь
Аннотация. Одним из эффективных способов демпфирования колебаний в конструкциях является применение элементов из пьезоматериалов с присоединенными к ним
внешними электрическими цепями. Варьированием различных параметров подобных электроупругих систем можно оптимизировать их динамические характеристики.
Проведены численные исследования влияния различных факторов (формы пьезоэлемента, его расположения в конструкции, площади) и параметров внешних пассивных
RLC-цепей на динамические характеристики конструкций.
Abstract. One of the ways of effective vibration damping in constructions is using the
elements of piezo materials with attached external electric circuits. Variation of different
parameters of such systems allows to get the desirable dynamic characteristics. In frames
of this work were performed numerical investigations of influence of different factors such
as form of piezo element, its location in construction and also parameters outer passive
RLC-circuits on dynamic characteristics of construction.
Ключевые слова: электроупругость, вынужденные установившиеся колебания, численное моделирование.
Keywords: electroelasticity, steady-state vibrations, numerical modeling.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 14-01-96003-р-урал-а, 12-01-00453-а)и по Программе
фундаментальных исследований УрО РАН № 10 (проект 12-П-1-1018).
57
58В. П. МАТВЕЕНКО, Н. В. СЕВОДИНА, В. В. КОРЕПАНОВ, Д. А. ОШМАРИН, Н. А. ЮРЛОВА
Встраивание или присоединение к поверхности конструкций материалов, обладающих пьезоэлектрическими свойствами, позволяет оптимизировать динамическое поведение полученных систем. Наличие внешних электрических RLC-цепей, соединяющих
электродированные поверхности пьезоэлементов, увеличивает число параметров, влияющих на резонансные частоты, формы собственных колебаний и показатели демпфирования конструкции. При этом конкретные электрические цепи могут обеспечить
максимальное гашение вибраций на определенной частоте. Выполнить эффективное
демпфирование на резонансных частотах, соответствующих различным модам колебаний, возможно при использовании соответствующего набора демпфирующих RLCцепей.
Целенаправленное изменение как параметров внешних RLC-цепей, так и формы и
места расположения пьезоэлементов позволяет оптимизировать динамические характеристики (поведение) конструкций [1].
В качестве задач, позволяющих определить динамические характеристики конструкции, рассматриваются задачи о собственных колебаниях и задачи о вынужденных колебаниях.
При рассмотрении задачи о собственных колебаниях, динамические характеристики системы определяются из решения спектральной задачи электроупругости в комплексной форме. В этой постановке найденные комплексные собственные функции
будут определять формы и фазы колебаний, а комплексные собственные значения –
резонансные частоты (действительная часть комплексного собственного значения) и
показатели демпфирования (мнимая часть комплексного собственного значения) [2].
Задача же о вынужденных колебаниях, представляет собой задачу о реакции конструкции на действие гармонической возмущающей силы. По результатам решения
такого класса задач строится амплитудно-частотная характеристика, позволяющая
оценить величину резонанса для каждой резонансной частоты.
В данной работе моделируется влияние формы и расположения пьезоэлементов,
зашунтированных внешними электрическими цепями, а также параметров этих цепей
на демпфирующие свойства конструкции.
Особенностью изделий из пьезоматериалов является то, что они обладают прямым
и обратным пьезоэффектом. При рассмотрении задачи об оптимальном расположении
пьезоэлемента показано, что максимальные демпфирующие показатели будут реализовываться при размещении пьезоэлемента в тех зонах конструкции, где градиенты
деформаций будут наиболее высоки. Таким образом можно локализовать места возможного оптимального расположения пьезоэлемента в конструкции.
Подключение к пьезоэлементу внешних пассивных электрических RLC-цепей также влияет на динамические характеристики конструкции. В этом случае внешняя
цепь, состоящая из резистивного элемента и катушки индуктивности, в совокупности с пьезоэлементом будет представлять собой колебательный контур, где в качестве
емкостного элемента будет выступать пьезоэлемент. Таким образом, подбирая значения параметров индуктивности и сопротивления, можно добиться максимального
гашения вынужденных колебаний для какой-либо конкретной частоты, либо наиболее
оптимального демпфирования сразу нескольких форм колебаний.
Проведена серия численных экспериментов, позволивших оценить влияние различных факторов на динамическое поведение электроупругих конструкций при наличии
ВОЗМОЖНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ДИССИПАТИВНЫМИ СВОЙСТВАМИ ...
59
внешних пассивных RLC-цепей. В результате исследования получены параметры оптимальной формы и расположения пьезоэлемента в конструкции, а также оптимальные значения параметров внешних RLC-цепей для наиболее эффективного демпфирования колебаний.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Матвеенко, В. П. Моделирование и оптимизация динамических характеристик
smart-структур с пьезоматериалами / В. П. Матвеенко, Е. П. Клигман, М. А. Юрлов,
Н. А. Юрлова //Физическая мезомеханика. – 2012. – Т. 15. – № 1. – С. 75–85.
[2] Kligman, E. P. Natural Vibration Problem of Viscoelastic Solids as Applied to
Optimization of Dissipative Properties of Constructions / E. P. Kligman , V. P. Matveenko
// International Journal of Vibration and Control. – 1997. – Vol. 3. – № 1. – Р. 87–102.
АВТОРЫ:
Матвеенко Валерий Павлович,
доктор технических наук, директор, академик РАН, Институт механики сплошных
сред УрО РАН, г. Пермь
e-mail: [email protected]
Севодина Наталья Витальевна,
кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь
e-mail: [email protected]
Корепанов Валерий Валерьевич,
кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Институт механики
сплошных сред УрО РАН, г. Пермь
e-mail: [email protected]
Ошмарин Дмитрий Александрович,
аспирант, Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь
e-mail: [email protected]
Юрлова Наталия Алексеевна,
кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь
e-mail: [email protected]
60В. П. МАТВЕЕНКО, Н. В. СЕВОДИНА, В. В. КОРЕПАНОВ, Д. А. ОШМАРИН, Н. А. ЮРЛОВА
AUTHORS:
Matveenko, Valery Pavlovich
Doctor of Engineering Sciences, Director, Academician of RAS, Institute of Continuous
Media Mechanics UB RAS, Perm
Sevodina, Natalya Vitalievna
Candidate of Engineering Sciences, Researcher, Institute of Continuous Media Mechanics
UB RAS, Perm
Korepanov, Valery Valerievich
Researcher, Candidate of Phys.&Math., Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS,
Perm
Oshmarin, Dmitry Alexandrovich
Postgraduate student, Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Perm
Yurlova, Nataliya Alekseevna
Senior researcher, Candidate of Physico-mathematical Sciences, docent, Institute of
Continuous Media Mechanics UB RAS, Perm
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
О ЛИНЕАРИЗАЦИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ПРИ ПРИМЕНЕНИИ
МЕТОДА ВОЗМУЩЕНИЙ В МЕХАНИКЕ СПЛОШНЫХ СРЕД
ON THE LINEARIZATION OF BOUNDARY CONDITIONS IN THE
APPLICATION OF THE PERTURBATION METHOD IN THE
MECHANICS OF CONTINUOUS MEDIA
Н. В. МИНАЕВА, М. Г. ХВОСТОВ
N. V. MINAEVA, M. G. KHVOSTOV
Воронежский государственный университет инженерных технологий, г. Воронеж
Аннотация. Проведена линеаризация граничных условий, поставленных на границе
тела в деформированном состоянии, в полярной системе координат. Получены соотношения для компонент до второго приближения включительно. Рассмотрен частный
случай, когда исходное состояние близко к осесимметричному.
Abstract. Conducted the linearization of a boundary condition set on the boundary of
the body in deformed state in the polar coordinate system. Correlations for the component
to the second approach, inclusive. Considered the special case, when the initial state is
close to the axisymmetric.
Ключевые слова: напряжение, деформация, граничные условия, линеаризация, подвижная граница, независимые малые параметры.
Keywords: stress, strain, boundary conditions, linearization, movable boundary,
independent small parameters.
Пусть на границе тела r = g(θ, ε1 , ε2 ) в деформированном состоянии заданы нормальные и касательные усилия [2], [4]:
σν = Pσ , τν = Pτ ,
(1)
здесь ν – нормаль к функции g. В ненагруженном состоянии эта граница описывается
функцией f (θ) = f (0) (θ) + ε1 f (1) (θ), где ε1 характеризует отклонение от некоторого
идеализированного контура недеформированной границы, на которой задается внешнее воздействие P , а ε2 описывает, например, отклонение границы тела от идеальной
формы на другом участке или неоднородность физических свойств материала тела и
т. п.
Следуя [2], проведем линеаризацию граничных условий (1) по малым параметрам
ε1 , ε2 . Для этого представим компоненты тензора напряжений σν , τν , усилий Рσ , Рτ ,
61
62
Н. В. МИНАЕВА, М. Г. ХВОСТОВ
функцию g(θ, ε1 , ε2 ) в виде рядов по малым параметрам ε1 , ε2 . В результате подстановки в (1) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях ε1 , ε2 ,
получаем линеаризованные условия (1) при r = g (0) . Здесь g (0) описывает деформированную идеальную границу. Вид компонент g (mn) (θ) приведен в [3]. Используя
формулы перехода от нормальных и касательных напряжений к компонентам основной системы координат [1], [2], получены линеаризованные граничные условия для
(mn)
(mn)
компонент σr , σθ , τ (mn) до второго приближения включительно.
(00)
(00)
σr (α00 )2 + σθ (β00 )2 + τ (00) α00 β00 = Pσ ;
(00)
(00)
σθ − σr
α00 β00 + τ (00) (α00 )2 − (β00 )2 = Pτ ;
(00)
2σr α00 α10
(00)
+
(20 )
!
(00)
(00)
∂σθ
∂τ (00)
∂σr
2
2
α(00) +
β
+
α00 β(00) g (10) +
∂r
∂r (00)
∂r
(10)
(10)
β00 β10 + 2τ (00) (α00 β10 + α10 β00 ) + σr (α00 )2 + σθ (β00 )2 +
∂Pσ (10)
2τ (10) α00 β(00) =
g ;
∂r
(00)
(00)
σθ − σr
(β10 α00 + β00 α10 ) + 2τ (00) (α00 α10 − β10 β00 ) +


(00)
(00)
∂ σθ − σr
(10)
+
α00 β(00) g (10) + (σθ − σr(10)  α00 β(00) +
∂r
∂Pτ (10)
g ,
+τ (10) (α00 )2 − (β00 )2 =
∂r
+2σθ
(200 )
где αij , βij – коэффициенты разложения cos θ1 , sin θ1 , найденные через g (mn) (θ), а θ1
– угол поворота напряжений при переносе их на контур g0 (θ). Вид условий для компонент второго приближения не приводится из-за их громоздкости. К соотношениям (2)
следует добавить еще условия, вид которых аналогичен (2"), если поменять местами
цифры в соответствующих верхних индексах коэффициентов.
В частности, если исходное напряженное состояние является осесимметричным и
g(θ)
˙
= 0, то (2) имеет вид
(00)
σr = Pσ τ (00) = Pτ ;
(00)
∂Pσ (10)
∂σr
g (10) + σr(10) =
g ;
∂r
g˙ (10) ∂r
∂Pτ (10)
(00)
(00)
σr − σθ
g ;
+ τ (10) =
(00)
∂r
g
(00)
(10)
(00)
∂σr
∂σr
1 ∂ 2 σr
(00)
(10) 2
(00)
g (20) +
g (10) +
(g
)
+
σ
−
σ
r
θ
∂r
∂r
2 ∂r2
g˙ (10)
∂Pσ (20) 1 ∂ 2 Pσ (10) 2
(20)
+σr − 2τ (10) (00) =
g
+
(g ) ;
∂r
2 ∂r2
g
g˙ (10)
g (00)
!2
+
О ЛИНЕАРИЗАЦИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ...
63
!
!
(00)
(00)
∂σθ
∂τ (00) (20)
g˙ (10) ∂τ (10)
1 ∂ 2 τ (00) (10) 2
∂σr
(10)
+
g
+
g
+
−
(g ) +
∂r
∂r
∂r
∂r
2 ∂r2
g (00)
!
!2
g (10) g˙ (10) g˙ (20)
g˙ (10)
(00)
(00)
(00)
− (00) − 2τ
+
+ σθ − σr
(g (00) )2
g
g (00)
(10)
∂Pτ (20) 1 ∂ 2 Pτ (10) 2
(10)
(10) g˙
(20)
+ σr − σθ
+
τ
=
g
+
(g ) ;
∂r
2 ∂r2
g (00)
(00)
(00)
(01)
(3)
(10)
∂σr
∂σr
∂ 2 σr
∂σr
g (10) g (01) +
g (11) +
g (10) +
g (01) + σr(11) =
2
∂r
∂r
∂r
∂r
∂Pσ (11) ∂ 2 Pσ (10) (01)
=
g
+
g g ;
∂r
∂r2
(01)
(10)
∂τ
∂τ
∂Pτ (11) ∂ 2 Pτ (10) (01)
g g .
g (10) +
g (01) + τ (11) =
g
+
∂r
∂r
∂r
∂r2
a
Для частного случая, когда f (0) = ρ0 , u(00) = , v (00) = 0, Pσ = Pτ = 0, ограниr
a
чимся задачами, в которых 1. С учетом этого получившиеся граничные условия
r
(3) для первого приближения с точностью до обозначений совпадают с соотношениями из [2].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Филоненко-Бородич, М. М. Теория упругости / М. М. Филоненко-Бородич. –
М. : Физматгиз, 1959. – 364 с.
[2] Ивлев, Д. Д.. Метод возмущений в теории упругопластических деформаций /
Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. – М. : Наука, 1978. – 208 с.
[3] Минаева, Н. В. Метод возмущений в механике деформируемых тел / Н. В. Минаева. – М. : Научная книга, 2002. – 156 с.
[4] Ишлинский, А. Ю. Рассмотрение вопросов об устойчивости равновесия упругих
тел с точки зрения математической теории упругости / А. Ю. Ишлинский // Укр.
матем. журнал. – 1954. – Т. 6. – № 2. – С. 140–146.
АВТОРЫ:
Минаева Надежда Витальевна,
доктор физико-математических наук, профессор, Воронежский государственный университет инженерных технологий, г. Воронеж
e-mail: [email protected]
Хвостов Михаил Геннадьевич,
аспирант, Воронежский государственный университет инженерных технологий, г. Воронеж
64
Н. В. МИНАЕВА, М. Г. ХВОСТОВ
AUTHORS:
Minaeva, Nadezhda Vitalyevna
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Voronezh State University of Engineering Technologies,
Voronezh
Khvostov, Mikhail Gennadevich
Postgraduate student, Voronezh State University of Engineering Technologies, Voronezh
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.376
АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ
ДЛЯ НЕСООСНОЙ ТРУБЫ НА ОСНОВЕ ПЕРВОГО И ВТОРОГО
ПРИБЛИЖЕНИЙ МЕТОДА МАЛОГО ПАРАМЕТРА
THE ANALYSIS OF SOLUTIONS OF THE STEADY-STATE CREEP
PROBLEM FOR MISALIGNED TUBE BASED ON THE FIRST AND
SECOND APPROXIMATIONS OF THE SMALL PARAMETER METHOD
А. Д. МОСКАЛИК
A. D. MOSKALIK
Самарский государственный технический университет, г. Самара
Аннотация. Получено второе приближение для линеаризованной с помощью метода
малого параметра задачи о несоосной толстостенной трубе, находящейся под внутренним давлением на стадии установившейся ползучести.
Abstract. The second approximation for the linearized problem of misaligned thick-walled
tube under internal pressure at the steady-state creep using the small parameter method
is obtained.
Ключевые слова: несоосная толстостенная труба, установившаяся ползучесть, метод малого параметра, второе приближение.
Keywords: misaligned thick-walled tube, steady-state creep, small parameter method ,
second approximation.
Выполнен анализ решения нелинейной краевой задачи о напряженнодеформированном состоянии толстостенной несоосной трубы, находящейся под
внутренним давлением, на стадии установившейся ползучести методом малого
параметра с учётом нулевого, первого и второго приближений в предположении
степенного закона ползучести :
3
ε˙ij = Aσen−1 Sij ,
2
где n, A — постоянные характеристики материала, Sij — девиатор напряжений, σe —
интенсивность напряжений в случае плоской деформации. Задача решается в условиях плоского деформированного состояния в предположении несжимаемости материала для скоростей деформаций ползучести.
В качестве малого параметра δ принимается расстояние между центрами внутреннего несмещенного контура r = a и внешнего смещенного контура r = b трубы,
изображенной на рис. 1. Уравнение внешнего контура трубы с учетом возмущения δ
65
66
А. Д. МОСКАЛИК
имеет вид:
(r cos θ − δ)2 + r2 sin2 θ = b2 .
Используется разложение тензора напряжений σij , тензора скоростей деформаций
ползучести ε˙ij , вектора скоростей перемещений u˙ i и уравнения внешнего контура по
малому параметру δ до членов второго порядка включительно. Для определения вто-
Рис. 1. Схема несоосной трубы: 1 –
внутренний контур трубы; 2 – внешний контур трубы; 3 – внешний контур
трубы для осесимметричного случая.
Рис. 2. Тангенциальные напряжения:
(0)
(0+1)
(0+1+2)
1 – σθθ , 2 – σθθ , 3 – σθθ
n = 10, 96, θ = π, δ = 0, 1.
при
рого приближения используются линеаризованные определяющие соотношения и линеаризованные граничные условия при r = b, опираясь на решение данной задачи с
учетом нулевого и первого приближений [1], [2].
Вводится предположение, что скорости радиальных и тангенциальных перемещений соответственно представимы в виде:
(2)
u˙ r = u˙ R
˙ψ
r,
r cos 2θ + u
(2)
u˙ θ = u˙ R
θ sin 2θ,
˙R
где u˙ R
˙R
˙ψ
˙ψ
˙R
r =u
r (r), u
r =u
r (r), u
θ (r) – неизвестные, подлежащие определению
θ =u
функции радиуса r. Верхний индекс (2) означает номер приближения.
Путем введения функции скоростей перемещений ζ(r, θ) = R(r) sin 2θ такой, что
1 ∂ζ
u˙ R
r cos 2θ = − r ∂θ ,
u˙ R
θ sin 2θ =
∂ζ
∂r
и решения поставленной краевой задачи определяются составляющие тензора напряжений и скоростей деформаций:
(2)
R
σrθ = σrθ
sin 2θ,
(2)
R
ψ
σrr
= σrr
cos 2θ + σrr
.
Использование полученного решения позволяет определить напряжения, скорости
деформаций ползучести в трубе с учетом второго приближения.
В качестве примера рассмотрена труба с характеристиками материала n = 10, 96,
A = 9, 58 · 10−23 под действием внутреннего давления q = 22, 07 МПа. На рис. 2 приведен график для тангенциальной, где компоненты тензора напряжений в зависимости
от приведенного радиуса re = r/a с учетом нулевого, первого и второго приближений
при δ = 0, 1 при значении угла θ = π, соответствующему максимальным значениям
тангенциального напряжения σθθ .
В таблице приведены значения:
∗ = σ (0+1) σ (0) при учете первого приближения на внешней границе трубы при
σθθ
θθ
θθ
АНАЛИЗ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ УСТАНОВИВШЕЙСЯ ПОЛЗУЧЕСТИ ...
67
Значения тангенциального напряжения
δ
∗
σθθ
∗∗
σθθ
0
1,0
1,0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10
1,04 1,09 1,13 1,17 1,22 1,26 1,30 1,34 1,38 1,42
1,04 1,10 1,14 1,19 1,24 1,29 1,34 1,40 1,46 1,52
∗∗ = σ (0+1+2) σ (0) при учете второго приближения на внешней границе
r = b+δ cos θ; σθθ
θθ
θθ
трубы при r = b + δ cos θ + δ 2 (cos 2θ − 1)/4b при n = 10, 96, θ = π, вычисленные с
шагом 0,01 по величине δ. Из данных, приведенных в таблице, можно сделать вывод,
что решение задачи о несоосной трубе имеет тенденцию к сходимости. Для изучения
скорости сходимости решения нужны дополнительные исследования.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Башкинова, Е. В. Решение краевой задачи установившейся ползучести для неосесимметричной толстостенной трубы / Е. В. Башкинова. – Вестник СамГТУ. Серия :
Физ.-мат.науки. – 2002. – № 16. – С. 105–110.
[2] Москалик, А. Д. Применение метода возмущений к задаче о несоосной трубе в
условиях установившейся ползучести / А. Д. Москалик. – Вестник СамГТУ. Серия :
Физ.-мат.науки. – 2013. – № 4 (33). – С. 76–85.
АВТОР:
Москалик Анна Давидовна,
аспирант кафедры прикладной математики и информатики, Самарский государственный технический университет, г. Самара
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Moskalik, Anna Davidovna
Postgraduate Student, Department of Applied Mathematics & Computer Science, Samara
State Technical University, Samara
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.374
О ВДАВЛИВАНИИ ЖЕСТКОГО ГЛАДКОГО ШТАМПА
В ИДЕАЛЬНОПЛАСТИЧЕСКОЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВО
ПРИ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ АНИЗОТРОПИИ
ON THE INDENTATION OF A SMOOTH HARD PUNCH IN IDEALLY
PLASTIC TO A FLOOR SPACE SPECIAL CASES OF ANISOTROPY
Т. В. МИТРОФАНОВА, Т. Н. ПАВЛОВА
T. V. MITROFANOVA, T. N. PAVLOVA
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева,
г. Чебоксары
Аннотация. Рассматривается задача о вдавливании жесткого штампа в идеальнопластическое полупространство при частных случаях анизотропии: анизотропии по
Мизесу – Хиллу, трансляционной анизотропии. Определено предельное давление.
Abstract. The problem of the indentation of a rigid punch in idealnoplasticheskoe half
with special cases of anisotropy: anisotropy Mises-Hill, translational anisotropy. Defined
pressure limit.
Ключевые слова: штамп, анизотропия Мизеса – Хилла, трансляционная анизотропия, идеальная пластичность.
Keywords: stamp, anisotropy Mises – Hill, translational anisotropy, ideal plasticity.
Рассмотрим задачу о вдавливании гладкого штампа в идеальнопластическое полупространство при частных случаях анизотропии: анизотропии по Мизесу – Хиллу и
трансляционной анизотропии.
Предельное условие в случае идеальнопластической анизотропии по Мизесу – Хиллу для случая плоской деформации в системе координат O˜
xy˜ имеет вид
σx˜ − σy˜ 2
+ Bτx˜2y˜ = 1, A, B − const,
A
2
– компоненты напряжения в системе координат x
˜, y˜.
где σx˜ , σy˜, τx˜y˜
(1)
Перейдем к системе координат Oxy (рис. 1). Условие пластичности (1) примет вид
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного
проекта № 14-01-31323 мол_а.
68
О ВДАВЛИВАНИИ ЖЕСТКОГО ГЛАДКОГО ШТАМПА...
69
Рис. 1
A1
σx − σy
2
2
2
B1 τxy
+
+ C1
σx − σy
2
τxy = 1,
(2)
где
A−B
A1 = A+B
2 + 2 cos 4α,
A+B
B1 = 2 − A−B
2 cos 4α,
C1 = (A − B) sin 4α.
(3)
σx = p + k (θ) cos 2θ,
σy = p − k (θ) cos 2θ,
τxy = k (θ) sin 2θ.
(4)
Положим
Из (2), (4) будем иметь
A1 + B1 (A1 − B1 ) cos 4θ + C1 sin 4θ
2
k (θ)
+
= 1.
2
2
В дальнейшем положим
(5)
A1 − B1
cos 4α = q
,
(A1 − B1 )2 + C12
(6)
tg4α =
C1
,
A1 − B 1
C1
sin 4α = q
.
(A1 − B1 )2 + C12
Величина k (θ) – переменный предел текучести при растяжении вдоль угла θ, k (θ) >
0, тогда
k (θ) = q
−1/
2
A−B
1+
cos 4 (θ − α)
,
A+B
(7)
−3/ 2 A−B
A−B
1+
cos 4θ
.
A+B
A+B
(8)
1
A+B
2
dk
2 sin 4θ
k (θ) =
= q
dθ
A+B
0
2
Граничные условия на отрезке AB (рис. 1) имеют вид
σy = τxy = 0 при y = 0,
σx < 0.
(9)
70
Т. В. МИТРОФАНОВА, Т. Н. ПАВЛОВА
Из (4), (9) следует
π π π
, pB = −k
, σx = −2k
.
2
2
2
Под гладким штампом (AA1 на рис. 1) имеет место
θB =
(10)
θA = 0 при y = 0.
(11)
Решение задачи будем искать в виде разложений по степеням некоторого малого
безразмерного параметра δ:
0
0
00
+ δ 2 σij
, A = 1 + aδ, B = 1 + bδ.
σij = σij
+ δσij
Тогда выражение для предельного давления под штампом имеет вид
(2 + π) + a−b
cos 4α +
σy = − (2 + π) + δ a+b
4
2
9(a2 +b2 )
8α)
+δ 2 3ab(1−cos
− 128 π+
16
3(a2 −b2 ) cos 4α
9(a2 +b2 )
3(a2 +b2 ) cos 8α
3ab
+
− 64 π +
+
.
8
32
32
(12)
(13)
В случае трансляционной идеальнопластической анизотропии для случая плоской
деформации предельное условие имеет вид
σx − σy
k1 − k2 2
−
+ (τxy − k3 )2 = k02 , k0 , k1 , k2 , k3 − const,
(14)
2
2
где σx , σy , τxy – компоненты напряжения.
В дальнейшем перейдем к безразмерным величинам и отнесем все величины, имеющие размерность напряжений к величине k0 , сохраним обозначение для компонент
напряжений и постоянных ki . Условие (17) примет вид
σx − σy
k1 − k2
−
2
2
Соотношения (18) перепишем в виде
σx − σy
2
2
+
2
τxy
2
+ (τxy − k3 )2 = 1.
σx − σy
k1 − k2
−2
·
+ k3 τxy − P 2 = 0,
2
2
2
k1 −k2
2
+ k32 < 1,
ρ =
2
P 2 = 1 − ρ2 .
(15)
(16)
(17)
В дальнейшем положим
k1 − k2
= cos µ,
2ρ
k3
= sin µ.
ρ
(18)
Пусть
σx = p + k (θ) cos 2θ,
σy = p − k (θ) cos 2θ,
τxy = k (θ) sin 2θ.
Так как k(θ) > 0, то
(19)
О ВДАВЛИВАНИИ ЖЕСТКОГО ГЛАДКОГО ШТАМПА...
k (θ) = ρ cos (2θ − µ) +
q
1 − ρ2 sin2 (2θ − µ),
71
ρ, µ − const.
ρ2 sin 2 (2θ − µ)
dk
.
= −2ρ sin (2θ − µ) − p
dθ
1 − ρ2 sin2 (2θ − µ)
Граничные условия на отрезке AB (рис. 1) имеют вид
k 0 (θ) =
σy = τxy = 0 при y = 0,
σx < 0.
(20)
(21)
(22)
Из (22), (25) следует
π π π
, pB = −k
, σx = −2k
.
2
2
2
Под гладким штампом (AA1 на рис. 1) имеет место
θB =
(23)
θA = 0 при y = 0.
(24)
Решение задачи будем искать в виде разложений по степеням некоторого малого
безразмерного параметра δ:
k1 = δ k¯1 ,
k2 = δ k¯2 ,
k3 = δ k¯3 .
(25)
Из (25) получим
s
¯
2
k1 − k¯2
+ k¯32 = δ ρ¯.
ρ=δ
2
Тогда выражение для предельного давления под штампом имеет вид
π
σy = − (2 + π) − 2δ ρ¯ sin µ + δ 2 ρ¯2 sin2 µ −
.
8
АВТОРЫ:
(26)
(27)
Митрофанова Татьяна Валерьевна,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и вычислительной техники, Чувашский государственный педагогический университет,
г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
Павлова Татьяна Николаевна,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и вычислительной техники, Чувашский государственный педагогический университет,
г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
72
Т. В. МИТРОФАНОВА, Т. Н. ПАВЛОВА
AUTHORS:
Mitrofanova, Tatyana Valeryevna
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor of Department Computer Science and
Computer Engineering, I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical University, Cheboksary
Pavlova, Tatyana Nikolaevna
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor of Department Computer Science and
Computer Engineering, I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical University, Cheboksary
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3+517.95
ПЕРЕДАЧА НАГРУЗКИ К ЛИСТУ ЧЕРЕЗ ПРОДОЛЬНЫЕ РЕБРА
ЖЕСТКОСТИ
THE PROBLEM OF THE BENDING OF A RECTANGULAR PLATE.
EXPANSIONS ON THE FADL – PAPKOVICH FUNCTIONS
И. В. МЕНЬШОВА, Е. С. ЛАПИКОВА, М. Н. ЮРИНКИНА
I. V. MENSHOVA, E. S. LAPIKOVA, M. N. YURINKINA
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева,
г. Чебоксары
Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),
г. Москва
Аннотация. Задачам о передаче сосредоточенных воздействий от ребра жесткости к
листу и вообще задачам о контактном взаимодействии тонких включений с пластиной
посвящено огромное количество публикаций. В основном получены приближенные
решения. В работе дается аналитическое решение одной из таких задач в виде разложений в ряды по функциям Фадля-Папковича. Рассмотрена только симметричная
относительно оси деформация полуполосы.
Abstract. The exact solution of a boundary value problem for the semi-infinite strip with
longitudinal stiffening ribs in terms of Fadle-Papkovich functions is constructed.
Ключевые слова: полуполоса, ребра жесткости, функции Фадля-Папковича, аналитические решения.
Keywords: semistrip, stiffening ribs, Fadle-Papkovich functions, analytical solutions.
Рассмотрим полуполосу {Π+ : x ≥ 0, |y| ≤ 1}, у которой продольные стороны y =
±1 подкреплены ребрами жесткости, работающими только на растяжение-сжатие.
Обозначим через G модуль сдвига пластины, E1 – модуль упругости ребра; ν –
коэффициент Пуассона для пластины и ребра; f – площадь поперечного сечения ребра; t – толщина пластины; U (x, y) = Gu(x, y), V (x, y) = Gv(x, y), где u(x) и v(x) –
соответственно продольное и поперечное перемещения. По закону Гука из условия
равновесия элемента ребра имеем:
E1 f d2 U (x, ±1)
− τxy (x, ±1) = 0.
Gt
dx2
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, проект 08-13-00118.
73
(1)
74
И. В. МЕНЬШОВА, Е. С. ЛАПИКОВА, М. Н. ЮРИНКИНА
Будем считать, что внешняя нормальная нагрузка, действующая на ребро, отсутствует, то есть
σy (x, ±1) = 0.
(2)
Граничные условия при x = 0 могут быть различными, например, к ребрам могут
быть приложены сосредоточенные силы P , направленные вдоль ребер, а на торце пластины могут быть заданы, как напряжения, так и перемещения. Решение задачи представляется в виде разложений по функциям Фадля-Папковича, например (Reλk < 0):
σx (x, y) =
∞
X
ak σx (λk , y) eλk x + ak σx (λk , y) eλk x
.
(3)
k=1
Коэффициенты разложений ak находятся из граничных условий на торце полуполосы с помощью систем функций, биортогональных к функциям Фадля-Папковича
(биортогональные системы построены в статьях [1], [2]):
σ (y) =
τ (y) =
∞
X
ak σx (λk , y) + ak σx (λk , y),
k=1
∞
X
ak τxy (λk , y) + ak τxy (λk , y).
(4)
k=1
Функции Фадля-Папковича в случае симметричной деформации полуполосы имеют
вид,
σx (λk , y) = λk (1 + ν)(λk y cos λk sin λk y − (λk sin λk + 2 cos λk ) cos λk y),
(5)
а числа λk – комплексные нули целой функции
sin 2λ
2
2
, D = E1 f /Gt.
(6)
L (λ) = λ D cos λ + (1 + ν) 1 +
2λ
Получим формулы для силы в ребре (рис. 1). В общем, можно считать, что на
торце полуполосы к ребрам приложены сосредоточенные силы P0 . Условие равновесия
элементарного участка ребра имеет вид
f
dσx (x)
= −tτ (x).
dx
Откуда, интегрируя, получим
Zx
f σ(x) = −t
τ (x)dx + C.
0
Рис. 1
ПЕРЕДАЧА НАГРУЗКИ К ЛИСТУ...
75
Неизвестную постоянную интегрирования C найдем, приняв верхний предел интегрирования равным нулю. Тогда f σ(0) = C = P0 . Силу P0 можно принять любой.
Будем считать, например, что C = P0 = 0. Тогда имеем
Z∞
f σ(∞) = P∞ = −t
τ (x)dx.
0
Вычисляя интеграл, найдем
∞
X
(
"
#)
Im −λk eλk x
τxy (λk , 1)
f σ(x) = −t
2Re
σk
+1 ,
λk M k
Im (λk )
k=1
cos 2λk
sin 2λk
λk
−2D cos λk sin λk + (1 + ν)
−
.
Mk =
2
λk
2λ2k
ЛИТЕРАТУРА
[1] Лапикова, Е. С. Разложения Лагранжа в периодической задаче для полуполосы
с продольными ребрами жесткости, работающими на растяжение-сжатие / Е. С. Лапикова, М. Н. Юринкина, А П. Кержаев, А. В. Никитин // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика
предельного состояния. – 2013. – № 4 (18). – С. 63–79.
[2] Лапикова, Е. С. Полуполоса с продольными ребрами жесткости, работающими
на растяжение-сжатие / Е. С. Лапикова, М. Н. Юринкина, А П. Кержаев, А. В. Никитин // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.
Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. – 2013. – № 4 (18). – С. 80–97.
АВТОРЫ:
Лапикова Елена Семеновна,
аспирант кафедры математического анализа, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
Юринкина Мария Николаевна,
аспирант кафедры математического анализа, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
Меньшова Ирина Владимировна,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики,
Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ), г. Москва
e-mail: [email protected]
76
И. В. МЕНЬШОВА, Е. С. ЛАПИКОВА, М. Н. ЮРИНКИНА
AUTHORS:
Lapikova, Elena Semenovna
Postgraduate student, Departament of Mathematical Analysis, I. Yakovlev Chuvash State
Pedagogical University, Cheboksary
Yurinkina, Maria Nikolaevna
Postgraduate student, Departament of Mathematical Analysis, I. Yakovlev Chuvash State
Pedagogical University, Cheboksary
Menchova, Irina Vladimirovna
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor, Department of Applied mathematics,
Moscow State Machine-Building University (MAMI), Moscow
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.374
ДВУОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ С
ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ ИЗ АНИЗОТРОПНОГО
МАТЕРИАЛА ПРИ НЕСОВПАДЕНИИ ОСЕЙ ПРОДОЛЬНОЙ
АНИЗОТРОПИИ С НАПРАВЛЕНИЯМИ КАНОНИЧЕСКИХ ОСЕЙ
ЭЛЛИПСА ОТВЕРСТИЯ
BIAXIAL STRETCHING THIN PLATE WITH AN ELLIPTIC HOLE
ANISOTROPIC MATERIAL, IF NOT THE LONGITUDINAL AXIS OF
ANISOTROPY DIRECTIONS CANONICAL AXES OF THE ELLIPSE
HOLES
Т. В. МИТРОФАНОВА, Т. Н. ПАВЛОВА
T. V. MITROFANOVA, T. N. PAVLOVA
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева,
г. Чебоксары
Аннотация. В статье рассматривается двуосное растяжение тонкой пластины с эллиптическим отверстием из анизотропного упруго-идеальнопластического материала
при двуосном растяжении. Решение задачи находится методом малого параметра [2], в
первом приближении определены компоненты напряжения в упругой и пластической
областях [3], определена граница пластической зоны.
Abstract. In this article the stress-strain state of a thin plate with an elliptic hole
of anisotropic elastic-idealnoplasticheskogo material with biaxial stretching. Solution of
the problem is the small parameter method [2], in the first approximation defined stress
components in the elastic and plastic regions [3], defined boundary of the plastic zone.
Ключевые слова: напряжение, деформация, упругость, пластичность, анизотропия,
растяжение, отверстие.
Keywords: tension, deformation, elasticity, plasticity, anisotropy, an aperture.
Предположим, что главные оси анизотропии ориентированы в системе координат
x0 , y 0 , наклоненной к системе x, y под углом θ0 .
Рассмотрим условие пластичности в новой системе координат x0 , y 0 :
Работа выполнена при поддержке РФФИ (коды проектов 13-01-97029, 13-01-97033,
14-01-31323 мол_а)
77
78
Т. В. МИТРОФАНОВА, Т. Н. ПАВЛОВА
p
p
σy∗
σx∗
(p)2
(
− 1)(
− 1) − F τx∗y∗ = 0.
(1)
k1
k2
Условие пластичности (1) определяет свойства анизотропного идеальнопластического материала. Коэффициенты k1 , k2 , F характеризуют анизотропию материала.
Отметим, что величины k1 , k2 , F – безразмерные. При k1 = k2 = F = 1 согласно (1)
имеет место изотропный материал.
Связь между напряжениями в новой и старой системе координат запишем в виде
σ +σ
σ −σ
σx∗ = x 2 y + x 2 y cos 2θ0 + τxy sin 2θ0 ,
σ +σ
σ −σ
σy∗ = x 2 y − x 2 y cos 2θ0 − τxy sin 2θ0 ,
σ −σ
τx∗y∗ = − x 2 y sin 2θ0 + τxy cos 2θ0 .
(2)
Связь между напряжениями в декартовой систем координат x, y и напряжениями
в полярной системе координат ρ, θ имеет вид
σ +σ
σ −σ
σx = ρ 2 θ + ρ 2 θ cos 2θ + τρθ sin 2θ,
σ +σ
σ −σ
σy = ρ 2 θ − ρ 2 θ cos 2θ − τρθ sin 2θ,
σ −σ
τxy = − ρ 2 θ sin 2θ + τρθ cos 2θ.
(3)
Из (3), (2) получим условие пластичности в полярных координатах:
p
1
(σρ + σθp )2 − (k1 + k2 )(σρp + σθp )−
4k
k
1 2
2
(p)
− (σρp − σθp ) cos(2θ) − τρθ sin(2θ) × cos2 (2θ0 )−
p
cos(2θ) ×
−2 − σρp − σθp sin(2θ) + 2τρθ
p
× σρp − σθp cos(2θ) + 2τρθ
sin(2θ) cos(2θ0 ) sin(2θ0 )+
p
sin(2θ) cos(2θ0 )−
+2(k1 − k2 ) σρp + σθp cos(2θ) + 2τρθ
2
(p)
−2 −(σρp − σθp ) sin(2θ) + 2τρθ cos(2θ) × sin2 (2θ0 )+
i
p
+2(k1 − k2 ) − σρp + σθp sin(2θ) + 2τρθ
cos(2θ) sin(2θ0 ) + 4k1 k2 −
p
sin(2θ) sin(2θ0 )+
−F [− σρp − σθp cos(2θ) + 2τρθ
p
+4 − σρp + σθp sin(2θ) + 2τρθ
cos(2θ) cos(2θ0 )]2 = 0.
(4)
Решение будем искать в виде:
(0)
(0 )
(00 )
(000 )
σij = σij + δσij + δ 2 σij + δ 3 σij ...,
k1 = 1 + δk∗1 , k2 = 1 + δk∗2 , F = 1 + δF ∗,
−p2
, p1 , p2 − const.
δ = p12k
(5)
В дальнейшем положим:
(0)
τρθ = 0,
(6)
где индекс “0” наверху приписан компонентам в нулевом исходном состоянии приδ = 0.
Подставив в уравнение (4) следующие выражения (5), получим
ДВУОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ...
79
+
cos(2θ) cos(2θ0 ) −
sin(2θ) sin(2θ0 ) − 1 +
0
( )p
(0 )p
(0 )p
(0 )p
(0 )p
(0 )p
+ 2δ
σρ + σθ
+ σρ − σθ
cos(2θ) cos(2θ0 ) + σρ − σθ
sin(2θ) sin(2θ0 ) −
(0 )
(0)p
(0)p
(0 )
(0)p
(0)p
−k1 σρ + σθ
− k 1 σρ − σθ
cos(2θ) cos(2θ0 )+
(0 )
(0)p
(0)p
+k1 σρ − σθ
sin(2θ) sin(2θ0 )
i
(0 )p
+2τρθ (sin 2θ cos(2θ0 ) + cos(2θ) sin(2θ0 )) ×
(7)
(0)p
σρ
(0)p
+σθ
2
(0)p
σρ
(0)p
(0)p
−σθ
2
σρ
(0)p
−σθ
2
(0)p (0)p
(0)p
(0)p
(0)p
(0)p
σρ −σθ
σρ −σθ
σρ +σθ
−
cos(2θ)
cos(2θ
)
+
sin(2θ)
sin(2θ
)
−
1
+
×
0
0
2
2
2
0
(0 )p
(0 )p
(0 )p
( )p
(0 )p
(0 )p
+ 2δ
σρ + σθ
− σρ − σθ
cos(2θ) cos(2θ0 ) + σρ − σθ
sin(2θ) sin(2θ0 ) −
0
0
()
(0)p
(0)p
()
(0)p
(0)p
cos(2θ) cos(2θ0 )−
−k2 σρ + σθ
+ k 2 σρ − σθ
0
()
(0)p
(0)p
−k2 σρ − σθ
sin(2θ) sin(2θ0 )−
i
(0 )p
−2τρθ (sin 2θ cos(2θ0 ) + cos(2θ) sin(2θ0 )) ×
hh
0
i
(0)p
(0)p
( )p
(0 )p
(0 )p
σρ − σθ
+ δ σρ − σθ
cos(2θ) + 4δτρθ sin(2θ) sin(2θ0 )+
− F4∗ ×
h
0
i
i2
(0)p
(0)p
( )p
(0 )p
(0 )p
σρ − σθ
+ δ σρ − σθ
sin(2θ) + 4δτρθ cos(2θ) cos(2θ0 ) = 0.
Для нулевого приближения получаем случай изотропного материала
(0)p
(0)p
σρ(0)p σθ − σρ(0)p + σθ
+ 1 = 0.
(8)
Для первого приближения имеет место условие пластичности:
(0 )p
σθ
= A0 N2 + B0 N1 − F ∗ С0 ,
(0)p
(0)p
(0)p
(0)p
(0)p
(0)p
(0)p
(0)p
где
A0 =
B0 =
N1 =
k∗1
2
N2 =
k∗2
2
h
σ
−σ
+σθ
+ ρ 2 θ cos(2θ) cos(2θ0 )−
2
(0)p
(0)p
σ
−σ
− ρ 2 θ sin(2θ) sin(2θ0 ) − 1,
σρ
+σθ
−σ
σ
− ρ 2 θ cos(2θ) cos(2θ0 )+
2
(0)p
(0)p
σ
−σ
+ ρ 2 θ sin(2θ) sin(2θ0 ) − 1,
σρ
(0)p
(0)p
(0)p
+ σθ
+ σρ − σθ
cos(2θ) cos(2θ0 )−
i
(0)p
(0)p
− σρ − σθ
sin(2θ) sin(2θ0 )
h
(0)p
(0)p
(0)p
(0)p
σρ + σθ
− σρ − σθ
cos(2θ) cos(2θ0 )+
i
(0)p
(0)p
+ σρ − σθ
sin(2θ) sin(2θ0 )
(0)p
σρ
(9)
80
Т. В. МИТРОФАНОВА, Т. Н. ПАВЛОВА
С0 =
(0)p
σρ
(0)p 2
−σθ
4
+
cos2 (2θ) sin2 (2θ0 )
(0)p 2
(0)p
σρ −σθ
+
(0)p
σρ
(0)p 2
−σθ
4
sin2 (2θ) cos2 (2θ0 )+
cos(2θ) sin(2θ) cos(2θ0 ) sin(2θ0 ).
2
Соотношения (9) согласно [5, 113] примем в виде
(0 )p
σθ
= − 4ρα2 [(k ∗1 +k∗2 ) 2ρ − α2 + F2∗ + A2 ρ cos(2θ)−
−B2 ρ sin(2θ) + A4 cos(4θ) − B4 sin(4θ)] ,
(10)
где
A2 = 2 (k ∗1 −k∗2 ) cos(2θ0 ),
B2 = 2 (k ∗1 −k∗2 ) sin(2θ0 ),
0)
A4 = (α (k ∗1 +k∗2 ) − F ∗) cos(4θ
,
2
sin(4θ0 )
B4 = (α (k ∗1 +k∗2 ) − F ∗) 2 .
Уравнения равновесия удовлетворим, полагая

1 ∂ 2 Φ∗
1 ∂Φ∗

+
σ∗
=
ρ
2 ∂θ 2 ,

ρ
∂ρ
ρ

∂ 2 Φ∗
σ∗θ = ∂ ρ 2 , 

 τ ∗ρθ = − ∂ 1 ∂Φ∗ .
∂ρ
(11)
ρ ∂θ
Найдем значение функции Φ, общее решение имеет вид
Φобщ = Φнеодн + Φодн .
Из (10) и (11) найдем значение функции Φp :
(k ∗1 +k∗2 ) + F ∗ ln ρ + (C01 ρ + C02 ) +
+ α4 A2 ρ(ln ρ − 1) + C21 ρ + C22 cos(2θ)+
∗ ρ + C ∗ sin(2θ)+
+ α4 B2 ρ(ln ρ − 1) + C21
22
α
+ 4 A4 ln ρ + C41 ρ + C42 cos(4θ)−
∗ ρ − C ∗ sin(4θ).
− α4 B4 ln ρ − C41
42
Φp = α2 ρ (k ∗1 +k∗2 ) (1 − ln ρ) +
α
8
α
ρ
(12)
Из (11) и (12) получим
(0 )p
σρ
= 8ρ13 α (k ∗1 +k∗2 ) −4ρ2 ln ρ − α + αρF ∗ +8C00 ρ2 +
+ 2αρ2 (−4 + 3 ln ρ) A2 − 32ρC22 − 24ρ2 C12 cos(2θ)+
∗ − 24ρ2 C ∗ sin(2θ)+
+ 2αρ2 (4 − 3 ln ρ) B2 − 32ρC22
12 + 2αρA4 (1 − 16 ln ρ) − 128ρC24 − 120ρ2 C41 cos(4θ)+
∗ − 120ρ2 C ∗ sin(4θ).
+ 2αρB4 (−1 + 16 ln ρ) − 128ρC24
41
(13)
(0 )p
∗ ) cos(2θ) + (αρA + 4C ) sin(2θ)+
τρθ = − ρ22 ((αρB2 − 4C22
2
22
∗
+ (2αB4 (ln ρ − 1) − 8C42 ) cos(4θ) + (2αA4 (ln ρ − 1) + 8C42 ) sin(4θ)) .
В первом приближении граничные условия согласно [2] (контур свободен от усилий)
имеют вид
ДВУОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ...
(0)
(0 )
σρ +
(0 )
τρθ
81
−
dσρ
dρ ρ1
(0)
(σθ −
= 0,
(0)
.
(14)
σρ ) R1 = 0,
где согласно [2]
ρ1 = αd1 cos 2θ,
R1 = ρρ10 , ρ0 = −α.
С учетом (14) граничные условия запишутся
0
σρ( ) p = −d1 cos(2θ) при ρ = α,
(0 ) p
τρθ
= −2d1 sin(2θ) при ρ = α.
(15)
Из (13) и (15)получим
(4α ln α + 1) (k ∗1 +k∗2 ) − F ∗
,
8
d1
1
α
+ 4α − A2 ln α,
2
3 4α
4
A2
C22 = α2 d1 +
,
4
C01 =
C41 = −
C42 = −
(16)
αA4
,
4
αA4 (ln α − 1)
,
4
∗
C22
= α2
∗
C41
=−
B2
,
4
αB4
,
4
αB4 (ln α − 1)
.
4
Согласно (13) и (16) компоненты напряженного состояния в первом приближения
имеют вид
∗
C42
=−
(0 )p
σρ = 8ρ13 (k ∗1 +k∗2 ) −α2 + ρ2 + ρF ∗ (α − ρ) +
3
ρ + 48ρα cos(2θ)+
+ 8A2 αρ (−α + ρ) + 6A2 ρα2 (ln α + ln ρ) + 2ρ 16α2 d1 −
α2
(17)
+ 8B2 αρ (−α + ρ) − 6B2 ρα2 (ln α + ln ρ) sin(2θ)+
+2αρA4 (1 + 16 (ln α − ln ρ − 1) + 15ρ) cos(4θ)+
+2αρB4 (−1 + 16 (ln ρ + ln α − 1) + 15ρ) sin(4θ).
(0 )p
σθ = − 4ρα2 [(k ∗1 +k∗2 ) 2ρ − αρ + F2∗ + A2 ρ cos(2θ)−
−B2 ρ sin(2θ) + A4 cos(4θ) − B4 sin(4θ)] ,
82
Т. В. МИТРОФАНОВА, Т. Н. ПАВЛОВА
(0 )p
τρθ = − ρ22 (αB2 (ρ − α) cos(2θ) + αρA2 + 4α2 d1 + A42 sin(2θ)
+2αB4 (ln ρ − ln α) cos(4θ) + 2αA4 (ln ρ − ln α) sin(4θ)) .
Граничные условия на бесконечности в упругой зоне запишем в виде
σθe |ρ=∞ = q + δ cos(2θ),
σρe ρ=∞ = q − δ cos(2θ),
e τρθ
= δ sin(2θ),
ρ=∞
(18)
где
p1 + p2
p1 − p2
, q=
.
2k
2k
Уравнение упругопластической границы запишем в виде
δ=
0
00
ρs = 1 + δρ(s ) + δ 2 ρ(s ) ...
(19)
Условия сопряжения на упругопластической границе имеют вид
p e ,
=
τ
σρp |ρs = σρe ρ , τρθ
ρθ s
ρs
ρs
p p
p
e
e
uρθ = uρθ , uρ |ρs = uρ ρ , uθ ρs = ueθ |ρs .
ρs
(20)
s
ρs
В первом приближение условие сопряжения (20) согласно (19) примут вид
(0 )p
σρ
(0 )e
ρ=1
= σρ
(0 )p
ρ=1
, σθ
(0)p ∂σ
+ θ
∂ρ
(0 )e
= σθ
ρ=1
(0)e ∂σ
+ θ
∂ρ
0
0
( )p
( )e
, τρθ
= τρθ
.
(21)
ρ=1
В упругой зоне (1 < ρ < ∞) распределение напряжений определяется согласно [2].
Удовлетворяя граничному условию при ρ = ∞, где q = p/k, получим
α
α
α
(0)e
(0)e
, σθ = q + 2 , τρθ = 0, q = 1 − .
(22)
2
2ρ
2ρ
2
Компоненты напряжения в упругой области в первом приближении согласно (17)
и условия сопряжения (20)
σρ(0)e = q −
(0 )e
σρ
=
K
ρ2
(0 )e
σθ
(0 )e
τρθ =
2
− 1 N − 1 − ρ42 + ρ34
cos(2θ) + − ρ26 + ρ34
ρ2 ρ4
+ ρ22 − ρ14 N ∗ sin(2θ) + − ρ26 + ρ34 M ∗ sin(4θ),
+
= − ρK2 +
1
N + 1 + ρ34
ρ4
+ ρ14 N ∗ sin(2θ) +
2
ρ4
1
2
ρ
+ ρ24
−
cos(2θ) + ρ22 − ρ14 M cos(4θ)+
2
1
−
M ∗ sin(4θ),
2
4
ρ
ρ
N − −1 − ρ22 − ρ34
sin(2θ) + ρ36 − ρ24 M sin(4θ)+
− ρ12 N ∗ cos(2θ) + ρ36 − ρ24 M ∗ sin(4θ).
где
K=
M cos(4θ)+
1
(F ∗ (α − 1) + (k ∗1 +k∗2 ) (4α ln α − 1)) ,
8
(23)
ДВУОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ...
N=
83
α
(A2 (−8(1 + α) + 6 ln α) − 2d1 α(17α + 16)) ,
8
α
N ∗ = B2 (−8(1 + α) + 6 ln α) ,
8
M = 4A4 α ln α,
M ∗ = 4B4 α ln α,
α
N = − B2 (1 − α),
2
α
∗
N = − A2 (1 + α) − 2α2 d1 ,
2
M = αA4 ln α,
M ∗ = αB4 ln α.
Для определения радиуса упругопластической области в первом приближении получим
(I)p
ρ(I)
s =
σθ
(I)e
− σθ
.
(24)
(0)p
dσθ
− dρ
Для определения радиуса упругопластической области в первом приближении получим согласно (24)
α2
1
2
ρ0s = − k∗1 +k∗
+
α(ln
α
−
1)
+
+ F8∗ (5 − α) +
2
4
2
2
+
4
cos(2θ) +
+ A2 −α(1 + α) + 43 α ln α − 1 − d1 α (17α+16)
(25)
4
3
+ B2 α(1 − α) + 4 α ln α − 1 sin(2θ)+
+A4 (4α ln α − 1) cos(4θ) + B4 (4α ln α − 1) sin(4θ), при ρ = 1.
(0)e
dσθ
dρ
ЛИТЕРАТУРА
[1] Бицено, К. Б. Техническая динамика / К. Б. Бицено, Р. Граммель. – Л. : Госехиздат, 1950. – 900 с.
[2] Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела /
Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. – М. : Наука, 1978. – 208 c.
[3]Кержаев, А. П. Деформированное состояние анизотропного кольцевого диска,
находящегося под действием равномерных растягивающих усилий / А. П. Кержаев
// Наука и образование в XXI веке : сб. науч. тр. по материалам междунар. науч.практ. конф. : в 6 ч. Ч. III. – М. : АР-Консалт, 2013. – С. 139–140.
[4]Кержаев, А. П. Деформированное состояние анизотропной тонкой пластины при
двуосном растяжении / А. П. Кержаев // Международное научное издание “Современные фундаментальные и прикладные исследования”. – 2013. – № 1 (15). – Т. 1. –
С. 84–87.
[5]Павлова, Т. Н. Упругопластическое состояние тонкой пластины из анизотропного материала, ослабленной отверстием под действием растягивающих усилий /
84
Т. В. МИТРОФАНОВА, Т. Н. ПАВЛОВА
Т. Н. Павлова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. – 2010. – № 2 (66). – С. 112–121.
[6] Павлова, Т. Н. Напряжено-деформированное упругопластическое состояние тонкой анизотропной пластины, ослабленное отверстием при двуосном растяжении /
Т. Н. Павлова. – Чебоксары, 2010. – 11 с. – Библиогр.: 2 назв. – Деп. в ВИНИТИ
23.04.10, № 224-В2010.
[7] Павлова, Т. Н. Об определении перемещений в задаче напряженнодеформированного состояния тонкой пластины с эллиптическим отверстием /
Т. Н. Павлова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. – 2010. – № 1 (65). – С. 64–69.
АВТОРЫ:
Митрофанова Татьяна Валерьевна,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и вычислительной техники, Чувашский государственный педагогический университет, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
Павлова Татьяна Николаевна,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и вычислительной техники, Чувашский государственный педагогический университет, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Mitrofanova, Tatyana Valeryevna
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor of Department Computer Science and
Computer Engineering, I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical University, Cheboksary
Pavlova, Tatyana Nikolaevna
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor of Department Computer Science and
Computer Engineering, I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical University, Cheboksary
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
ОБРАТНО СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПОЛОСЫ.
РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ФУНКЦИЯМ ФАДЛЯ – ПАПКОВИЧА
AN ANTI-SYMMETRIC BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE
SEMISTRIP. THE EXPANSIONS ON THE FADLE – PAPKOVICH
FUNCTIONS
И. В. МЕНЬШОВА, И. А. СЕМЕНОВА, Н. В. ХРАМОВА
I. V. MENSHOVA, I. A. SEMENOVA, N. V. KHRAMOVA
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева,
г. Чебоксары
Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),
г. Москва
Аннотация. В виде рядов по функциям Фадля – Папковича построено аналитическое
решение классической краевой проблемы для полуполосы со свободными продольными сторонами, на торце которой задан изгибающий момент.
Abstract. The exact solution of a non-symmetric boundary value problem for the semiinfinite strip in terms of Fadle – Papkovich functions is constructed.
Ключевые слова: полуполоса, функции Фадля – Папковича, аналитические решения.
Keywords: semistrip, Fadle-Papkovich functions, analytical solutions.
Рассмотрим полуполосу {Π+ : x ≥ 0, |y| ≤ 1}, у которой продольные стороны y =
±1 не нагружены, т.е. напряжения
σy (x, ±1) = τxy (x, ±1) = 0,
а на торце задан сосредоточенный момент интенсивности M , приложенный в начале
координат. Следовательно,
σx (0, y) = M δ 0 (y), τxy (0, y) = 0.
Здесь δ 0 (y) – производная дельта-функции. Удовлетворяя граничным условиям на
торце полуполосы, придем к разложениям
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 08-13-00118.
85
86
И. В. МЕНЬШОВА, И. А. СЕМЕНОВА, Н. В. ХРАМОВА
δ 0 (y) = Cy +
0=
∞
P
¯ k , y)
ak σx (λk , y)+¯
ak σx (λ
k=1
∞
P
¯ k , y)
ak τxy (λk , y)+¯
ak τxy (λ
k=1
из которых должны быть найдены искомые коэффициенты разложений ak . Здесь C –
постоянная, отвечающая элементарному решению сопротивления материалов. Функции Фадля – Папковича, входящие в эти равенства, имеют такой вид:
σx (λk , y) = (2 sin(λk ) − λk cos(λk )) sin(λk y) + λk y sin(λk ) cos(λk y)
τxy (λk , y) = (sin(λk ) − λk cos(λk )) cos(λk y) − λk y sin(λk ) sin(λk y).
Постоянная C определяется из условия самоуравновешенности момента. Она равна
C = −3/2. Числа λk - бесконечное множество четверок комплексных корней целой
функции L(λ) = λ−sin(λ) cos(λ), расположенных попарно симметрично относительно
начала координат в комплексной плоскости λ.
Следуя [1], [2], [3] построим системы функций, биортогональные к функциям Фадля
– Папковича. Они находятся, как решение некоторых функциональных уравнений,
подобных тем, что были рассмотрены в статьях [1], [2]. Окончательные выражения
для напряжений в полуполосе имеют такой вид. Например,
σx (x, y) = − 32 y +
τxy (x, y) =
∞
P
k=1
Reλk , bk
∞
P
sin(bk x)
k ,y)
2Re{ σx (λ
) exp(ck x)}
Mk σk (cos(bk x) − ck
bk
k=1
τ (λ ,y)
¯ k σk sin(bk x)
2Re{ xyλk Mkk λk λ
bk
exp(ck x)}
ck =
= Imλk (ck < 0).
Числа σk , входящие в эти выражения, определяются по формуле
Z1
σk =
−1
δ 0 (y)
sin(λk y)
λk
dy =
,
2 sin(λk )
2 sin(λk )
а
Mk = λk sin2 (λk ).
Пусть на торце полуполосы заданы нормальные напряжения
10 3 3
y + y.
7
7
Ниже на рис.1 продемонстрирована сходимость ряда для нормальных
напряженийσx (x, y) к раскладываемой функции при x = 0 (на графике они
обозначены через sx(x, y)).
g(y) = y 5 −
ЗАДАЧА ИЗГИБА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ...
87
Рис. 1
ЛИТЕРАТУРА
[1] Коваленко, М. Д. Разложения по функциям Фадля – Папковича в полосе. Основы теории / М. Д. Коваленко, Т. Д. Шуляковская // Известия РАН. Механика
твердого тела. – 2011. – № 5. – С. 78–98.
[2] Коваленко, М. Д. Разложения по функциям Фадля – Папковича. Примеры решений в полуполосе / М. Д. Коваленко, И. В. Меньшова, Т. Д. Шуляковская // Известия
РАН. Механика твердого тела. – 2013. – № 5. – С. 136–158.
[3] Коваленко, М. Д. Разложения Лагранжа по функциям Фадля – Папковича в
обратно-симметричной задаче теории упругости для прямоугольной полуполосы /
М. Д. Коваленко, И. В. Меньшова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния.
– 2013. – № 1 (15). – С. 81–89.
АВТОРЫ:
Меньшова Ирина Владимировна,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики,
Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ), г. Москва
e-mail: [email protected]
Семенова Ирина Александровна,
аспирант кафедры математического анализа, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
Храмова Наталия Владимировна,
88
И. В. МЕНЬШОВА, И. А. СЕМЕНОВА, Н. В. ХРАМОВА
аспирант кафедры математического анализа, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Menchova, Irina Vladimirovna
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor, Department of Applied mathematics,
Moscow State Machine-Building University (MAMI), Moscow
Semenova, Irina Alexandrovna
Postgraduate student, Departament of Mathematical Analysis, I. Yakovlev Chuvash State
Pedagogical University, Cheboksary
Khramova, Nataliya Vladimirovna
Postgraduate student, Departament of Mathematical Analysis, I. Yakovlev Chuvash State
Pedagogical University, Cheboksary
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ
ПЛОСКОСТИ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ,
ПОДКРЕПЛЕННОЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ, ПРИ
ДВУОСНОМ РАСТЯЖЕНИИ
ELASTOPLASTIC CONDITION OF PLAIN WITH ELLIPTIC
APERTURES AND ELLIPTIC NON-UNIFORM BODIES WITH BIAXIAL
STRAIN
А. П. МАКСИМОВА
A. P. MAXIMOVA
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева
Аннотация. В работе рассматривается упругопластическое состояние плоскости с
эллиптическим отверстием, подкрепленным эллиптическим включением, при двуосном растяжении. Рассматривается случай плоской деформации. Определяется граница упругопластической зоны, рассматривается влияние включения на напряженное
состояние плоскости.
Abstract. In the paper elastoplastic condition of plain with elliptic apertures and elliptic
non-uniform bodies with biaxial strain is investigated. The flat deformation is observed.
The elastoplastic limit, influence of elliptical non-uniform body on strained condition of
plain is investigated.
Ключевые слова: plane deformation, stress tensor, plasticity, elasticity, elastoplastic
limit, non-uniform body.
Keywords: plane deformation, stress tensor, plasticity, elasticity, elastoplastic limit, nonuniform body.
Рассмотрим плоскость с эллиптическим включением, ослабленным эллиптическим
отверстием, растягиваемую на бесконечности взаимно перпендикулярными усилиями
p1 , p2 , причем контур отверстия свободен от усилий (рис. 1). Припишем компонентам
напряжения в зоне включения индекс “1” внизу, компонентам напряжения вне включения – индекс “2” внизу. Компонентам напряжения в пластической зоне припишем
индекс “р” наверху, в упругой зоне – индекс “е” наверху.
Предположим, предел текучести материала включения равен k1 , а предел текучести материала плоскости – k2 .
Условие пластичности в области 1 примем в виде
89
90
А. П. МАКСИМОВА
Рис. 1. Плоскость с эллиптическим включением и эллиптическим отверстием
2
= 4k12 ,
(σρ1 − σθ1 )2 + 4τρθ1
(1)
где σρ1 , σθ1 , τρθ1 – компоненты напряжений в полярной системе координат ρ, θ.
Условие пластичности в области 2 примем в виде
2
= 4k22 ,
(σρ2 − σθ2 )2 + 4τρθ2
(2)
где σρ2 , σθ2 , τρθ2 – компоненты напряжений в полярной системе координат ρ, θ.
Уравнения равновесия в полярной системе координат имеют вид
(
∂σρ
1 ∂τρθ
∂ρ + ρ ∂θ
∂τρθ
1 ∂σθ
∂ρ + ρ ∂θ
+
+
σρ −σθ
= 0,
ρ
2τρθ
ρ = 0.
(3)
В дальнейшем все величины имеющие размерность напряжения, будем считать безразмерными и отнесенными к пределу текучести материала включения k1 , а все величины, имеющие размерность длины, будем считать безразмерными, отнесенными к
(0)
радиусу пластической зоны в нулевом приближении ρs . Обозначим kk12 = χ. Величины
a−b
(0)
2ρs
= δ1 ,
c−d
(0)
2ρs
= δ2 ,
p1 − p2
= δ3
2k1
будем считать достаточно малыми, порядка δ.
Далее примем
δ1 = d1 δ, δ2 = d2 δ, δ3 = d3 δ, di = const, 0 ≤ di ≤ 1, 0 ≤ δ ≤ 1.
Уравнение эллипса отверстия L1 разложим в ряд
(4)
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛОСКОСТИ...
ρL1 = α + δd1 cos 2θ + ...,
где α =
91
(5)
a+b
(0) .
2ρs
Уравнение эллиптического контура включения L2 разложим в ряд
ρL2 = β + δd2 cos 2θ + ...,
где β =
(6)
c+d
(0) .
2ρs
Граничные условия на бесконечности в упругой зоне запишем в виде
e σρe ρ=∞ = p − q cos 2θ, σθe |ρ=∞ = p + q cos 2θ, τρθ
= q sin 2θ,
ρ=∞
(7)
2
2
, p = p1 +p
где q = p1 −p
2
2 .
Решение будем искать в приближенном виде аналогично [1–3]:
(0)
(1)
(1)
ρs = ρ(0)
s + ρs δ + ..., (8)
σij = σij + σij δ + ...,
где ρs – радиус пластической зоны, δ – малый безразмерный параметр.
В исходном нулевом приближении (δ = 0) имеем плоскость с круговым включением
радиуса β, ослабленным круговым отверстием радиуса α, равномерно растягиваемую
+p2
. Будем считать, что β < 1.
на бесконечности усилиями p = p12k
1
Напряженное состояние в исходном нулевом приближении является осесимметричным
(0)р
(0)р
(0)e
τρθ1 = 0, τρθ2 = 0, τρθ
(0)р
σρ1 = 2 ln
(0)р
σρ2 = 2χ ln
= 0.
ρ
ρ
(0)р
, σθ1 = 2 + 2 ln .
α
α
ρ
β
ρ
β
(0)р
+ 2 ln , σθ1 = 2χ + 2χ ln + 2 ln .
β
α
β
α
χ
χ
(0)e
, σθ = p + 2 .
ρ2
ρ
Радиус упругопластической зоны в нулевом приближении имеет вид
σρ(0)e = p −
1
p
1
1
1
= exp
+ 1−
ln(c + d) + ln(a + b) −
.
2
2χ
χ
χ
2
Напряженное состояние в первом приближение задачи имеет вид:
ρ(0)
s
(10)
(11)
(12)
(13)
√
o
3 ln αρ + cos
3 ln αρ
cos 2θ,
√
cos
3 ln αρ sin 2θ.
(14)
√
√
√
(1)р
(1)р
σρ2 = σθ2 = ρ2 d1 3 sin 3 ln αρ − cos 3 ln αρ +
√
√
√
cos
+(χ − 1)d2 3 sin 3 ln αρ − cos 3ln αρ
o 2θ,
√
√
(1)р
ρ
ρ
4
τρθ2 = − ρ d1 cos 3 ln α + (χ − 1)d2 cos
3 ln β
sin 2θ.
(15)
(1)р
(1)р
σρ1 = σθ1
= − 2dρ1
(1)р
n√
(9)
τρθ1 =
3 sin
−4d1
ρ
√
92
А. П. МАКСИМОВА
√
√
√
= −2 d1
3 sin 3 ln α + cos 3ln α + √
√
√
+(χ − 1)d2
3 sin 3 ln β + cos 3 ln β
− ρ14 + ρ22 +
o
√
√
+4 d1 cos 3 ln α + (χ − 1)d2 cos 3 ln β × ρ14 − ρ22
cos 2θ−
− 1 − ρ42 + ρ34 d3 cos 2θ,
√
√
√
(1)e
σθ = −2 d1 3 sin 3 ln α − 3 cos 3 ln α + √
√
√
1
cos 2θ + 1 + ρ34 d2 cos 2θ,
+(χ − 1)d2 3 sin 3 ln β − 3 cos 3 ln β
ρ4
√
√
√
(1)e
τρθ = −2 d1
3 sin 3 ln α + cos 3 ln α +
√
√
√
1
3 sin 3 ln β + cos 3 ln β
− ρ4 + ρ22 +
+(χ − 1)d2
o
√
√
2
1
−
sin 2θ+
+2 d1 cos 3 ln α + (χ − 1)d2 cos 3 ln β
4
2
ρ
ρ
+ 1 + ρ22 − ρ34 d3 sin 2θ.
(1)e
σρ
(16)
Радиус упругопластической области в первом приближении
√
√
o
1n
2d1 cos
3 ln α + 2(χ − 1)d2 cos
3 ln β + d3 cos 2θ.
(17)
χ
Таким образом, напряженное состояние в пластических (14), (15) и упругой (16)
областях полностью определено, изменение границы пластической зоны определяется
из соотношения (17).
ρ(1)
s =
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела
/ Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. – М. : Наука, 1976. – 208 с.
[2] Кузнецов, П. Н. Упругопластическое состояние неоднородной плоскости с круговым отверстием, подкрепленным эксцентрическим эллиптическим включением, при
двуосном растяжении / П. Н. Кузнецов // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. – 2008. – № 8/2 (67). – С. 90–97.
[3] Кузнецов, П. Н. Упругопластическое состояние неоднородной плоскости, ослабленной круговым отверстием, подкрепленной включениями, ограниченными эксцентрическими окружностями, при двуосном растяжении / П. Н. Кузнецов // Вестник
Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия : Механика предельного состояния. – 2009. – № 1. – С. 134–141.
АВТОР:
Максимова Алина Петровна,
аспирант кафедры математического анализа, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛОСКОСТИ...
93
Maximova, Alina Petrovna
Postgraduate student, Departament of Mathematical Analysis, I. Yakovlev Chuvash State
Pedagogical University, Cheboksary
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.371
К РАСЧЕТУ РАСКРЫВАЕМЫХ ТОНКОПЛЕНОЧНЫХ
КОСМИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ БЕССЕТОЧНЫМ SPH-МЕТОДОМ
ON THE STRUCTURAL ANALYSIS OF THIN FILM SPACE
STRUCTURES USING MESHFREE SPH METHOD
Н. А. НЕРОВНЫЙ, В. Н. ЗИМИН
N. A. NEROVNYY, V. N. ZIMIN
Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана,
г. Москва
Аннотация. В статье приведены соотношения метода гидродинамики сглаженных
частиц для расчёта динамики тонкопленочных конструкций. Записаны выражения
для дискретных тензора деформаций Альманси–Эйлера и тензора напряжений Коши.
Представлено уравнение движения тонкопленочной оболочки в безмоментной постановке метода гидродинамики сглаженных частиц для оболочек.
Abstract. Paper includes formulation of smoothed particle hydrodynamics method for
structural analysis of thin film structures. Definitions of discretized Almansi–Green strain
tensor and Cauchy stress tensor are given. Equation of motion of thin film shell based on
membrane theory of smoothed particle hydrodynamics for shells is presented.
Ключевые слова: тонкопленочная конструкция, гидродинамика сглаженных частиц, безмоментная теория.
Keywords: thin film structure, smoothed particle hydrodynamics, membrane theory.
Введение. Метод гидродинамики сглаженных частиц (ГСЧ, SPH) в настоящее время активно развивается: разработаны формулировки данного метода для жидкостей
и твёрдых тел, разработаны коммерческие программные пакеты, которые активно
применяются для расчета динамики жидкости и газа, механики высокоскоростных
столкновений и т.д. [1]. Недавно вышли работы, в которых описывается постановка
метода ГСЧ применительно к теории оболочек Тимошенко (Миндлина–Рейсснера)
[2,3]. Для задач динамики тонкопленочных конструкций теория Тимошенко является
избыточной, поэтому требуется формулировка ГСЧ в безмоментной постановке.
Постановка задачи. Согласно подходу гидродинамики сглаженных частиц к оболочкам будем рассматривать движение срединной поверхности оболочки, описываемой совокупностью частиц, лежащих на ней. В начальный момент с каждой частицей
связана локальная начальная система координат SL0 , в некоторых случаях совпадающая с глобальной системой координат Sg , а в момент времени t — локальная система
координат SL . Переход от глобальной системы координат к локальным начальной и
94
К РАСЧЕТУ РАСКРЫВАЕМЫХ ТОНКОПЛЕНОЧНЫХ КОСМИЧЕСКИХ ...
95
текущей задается ортогональными матрицами перехода R0 и R соответственно. Отображение из начального в деформированное состояние задается дискретным тензором
деформационного градиента [4]:
F(x0 ) =
N
X
(u(xj ) − u(x0 )) [∇N (xj − x0 )]T ,
j=1
где N — количество частиц в поддерживающем объеме; u(xi ) и u(x0 ) — перемещения
частицы j и текущей частицы соответственно; N (x) — аппроксимационная функция
в форме [2, ур. (27) — (29)]. Исключая нелинейную часть, для каждой частицы определим тензор деформаций Грина:
!
∂uj
1 ∂ui
+ 0 ,
Eij =
2 ∂x0j
∂xi
причем ∂uj /∂x03 = 0. Затем осуществим переход к деформированному состоянию,
записав выражение для тензора деформаций Альманси–Эйлера:
ε = RF−T RT0 ER0 F−1 RT .
Считая в первом приближении пленочный материал линейно-упругим, запишем
выражение для независимых компонент тензора напряжений Коши P:
 

 
1 ν
0
T11
ε11
Ed
T22  =
ν 1
 ε22  ,
0
1 − ν2
T12
ε12
0 0 1−ν
2
где E — модуль упругости материала, ν — коэффициент Пуассона, d — толщина
пленки.
Уравнения движения для частиц записываются в глобальной системе координат Sg
с использованием первого тензора напряжений Пиолы:
Pg = det |F|F−1 RT PR.
Окончательно дискретные уравнения движения частиц на срединной поверхности
примут вид (без учета внешних массовых сил):
Nвн (x0 ) +
N
X
j=1
[Pg (xj ) − Pg (x0 )] (∇N (xj − x0 )) = ρ
∂ 2 u(x0 )
,
∂t2
где Nвн = (N1 , N2 , N3 )T — вектор распределенной внешней нагрузки, ρ — плотность
материала. Данное уравнение позволяет рассчитать напряженно-деформированное
состояние оболочки в любой момент времени.
Заключение. Метод гидродинамики сглаженных частиц для оболочек был успешно опробован при расчете динамики различных оболочечных конструкций (например,
см. [3]). Разрабатываемая программная реализация должна подтвердить работоспособность метода применительно к расчету тонкопленочных конструкций по безмоментной теории, позволяя в дальнейшем перейти к рассмотрению нелинейной задачи
динамики космической тонкопленочной конструкции с учетом образования складок,
механических разрывов, лучистого и кондуктивного теплообмена и т. д., – в едином
явном лагранжевом расчетном методе.
96
Н. А. НЕРОВНЫЙ, В. Н. ЗИМИН
ЛИТЕРАТУРА
[1] Liu, G. R. Smoothed Particle Hydrodynamics: A Meshfree Particle Method /
G. R. Liu, M. B. Liu // World Scientific. – 2003. – 472 p.
[2] Maurel, B. An SPH shell formulation for plasticity and fracture analysis in explicit
dynamics / B. Maurel, A. Combescure // Int. J. Numer. Meth. Engng. – 2008. – Vol. 76.
– № 7. – P. 949—971.
[3] Fu-Ren, M. A robust shell element in meshfree SPH method / M. Fu-Ren , Z. A-Man,
C. Xue-Yan // Acta Mechanica Sinica. – 2013. – Vol. 29. – № 2. – P. 241—255.
[4] Becker, M. Corotated SPH for deformable solids / M. Becker, M. Ihmsen, M. Teschner
// Proceedings of the Fifth Eurographics conference on Natural Phenomena. Eurographics
Association. – 2009. – P. 27—34.
АВТОРЫ:
Неровный Николай Алексеевич,
аспирант кафедры «Космические аппараты и ракеты–носители», Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г. Москва
e-mail: [email protected]
Зимин Владимир Николаевич,
доктор технических наук, первый проректор — проректор по научной работе, Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, г. Москва
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Nerovnyy, Nikolay Alexeevich
Postgraduate Student, Department of Spacecrafts and launch vehicles, Bauman Moscow
State Technical University, Moscow
Zimin, Vladimir Nikolaevich
Doctor of Technical Sciences, First Pro–Rector — Pro–Rector for Science, Bauman Moscow
State Technical University, Moscow
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
ПОЛУПОЛОСА, ЗАЩЕМЛЕННАЯ ПО ПРОДОЛЬНЫМ СТОРОНАМ.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
THE PROBLEM OF THE BENDING OF A RECTANGULAR PLATE.
EXPANSIONS ON THE FADL – PAPKOVICH FUNCTIONS
А. В. НИКИТИН, М. Д. КОВАЛЕНКО
A. V. NIKITIN, M. D. KOVALENKO
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева,
г. Чебоксары
Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ),
г. Москва
Аннотация. Даны примеры разложений Лагранжа по функциям Фадля – Папковича, возникающих при решении краевой задачи для полуполосы, защемлённой по
продольным сторонам. Опираясь на результаты статей [1], [2], можно получить замкнутые аналитические решения для различных вариантов задания граничных условий на торце полуполосы. Эти решения представляются в виде рядов по функциям
Фадля – Папковича. Искомые коэффициенты разложений находятся с помощью систем функций, биортогональных к функциям Фадля – Папковича. Функции Фадля
– Папковича являются обобщением тригонометрических рядов Фурье, а разложения
по ним (разложения Лагранжа) являются обобщением разложений в тригонометрические ряды Фурье.
Abstract. Examples of expansions of the Lagrange function Fadl-Papkovich arising in
the solution of a boundary value problem of the bending of a thin rectangular plate, of
which two opposite ends of the free and the boundary conditions at the other two may be
different. For example, the plate can be crimped at the edges. Based on the results of [1], [2]
for the planar problem of elasticity theory, it is possible to obtain closed analytic solutions
of various boundary value problems of the theory of bending of plates and exact solutions,
which hasn’t been found. These solutions are presented in the form of series of functions
of Fadl – Papkovich. Decision coefficients of expansions are using systems of functions,
biorthogonol to the functions of the Fadl – Papkovich. Functions Fadl – Papkovich are a
generalization of trigonometric Fourier series and the expansion in him (decomposition of
Lagrange) are a generalization of expansions in trigonometric Fourier series.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 13-08-00118.
97
98
А. В. НИКИТИН, М. Д. КОВАЛЕНКО
Ключевые слова: защемленная пластина, функции Фадля – Папковича, аналитические решения.
Keywords: clamped plate, Fadle – Papkovich functions, analytical solutions.
Рис. 1
Рассмотрим полуполосу шириной 2. Продольные стороны полуполосы жестко защемлены, а на торце заданы, например, нормальные и касательные напряжения
(рис. 1):
σx (0, y) = s (y) , τxy (0, y) = 0.
Удовлетворяя граничным условиям при x = 0 приходим к задаче определения коэффициентов ak , a
¯k из следующих разложений по функциям Фадля-Папковича
s (y) =
0=
∞
X
¯ k , y) ,
ak σx (λk , y) + a
¯k σx (λ
k=1
∞
X
¯ k , y),
ak τxy (λk , y) + a
¯k τxy (λ
k=1
в которых, например, функции σx (λk , y) имеют такой вид (для симметрической задачи):
3+ν
σx (λk , y) = − ν+1
2 λk cos(λk ) + 2 sin(λk ) cos(λk y)−
− ν+1
2 λk y sin(λk ) sin(λk y).
Коэффициенты ak определяются отсюда в явном виде с помощью биортогональных систем функций, которые находятся из решения функциональных уравнений,
например, для σx (λk , y) из уравнений
Z∞
σx (λ, y)Xm (y)dy =
−∞
λL(λ)
.
λ2 − λ2k
Здесь σx (λ, y) – порождающая функция, а
L(λ) =
[3 − µ] sin (2α) µ + 1
−
.
8α
4
ПОЛУПОЛОСА, ЗАЩЕМЛЕННАЯ ПО ПРОДОЛЬНЫМ СТОРОНАМ...
99
Приведем пример разложения Лагранжа (|y| < 1):
∞
X
2L(t)t
σxr(t, y) = 0
σ
(λ
,
y)
+
2Re
x
1
L (λ1 )(t2 − λ21 )
k=2
2L(t)t
σx (λk , y) ,
L0 (λk )(t2 − λ2k )
Здесь λ1 действительный, а λ2 , λ3 , ... комплексные корни характеристического уравнения L(λ) = 0.
На рисунке 1, в качестве иллюстрации, приведено разложение Лагранжа функции
для σx (t, y) (на графике она обозначена, как sx(t, y)). Как видно из рисунка, ряд
сходится к своей функции. Считалось, что t = π, ν = 1/3.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Коваленко, М. Д. Разложения по функциям Фадля – Папковича в полосе. Основы теории / М. Д. Коваленко, Т. Д. Шуляковская // Известия РАН. Механика
твердого тела. – 2011. – № 5. – С. 78–98.
[2] Коваленко, М. Д. Разложения по функциям Фадля – Папковича. Примеры решений в полуполосе / М. Д. Коваленко, И. В. Меньшова, Т. Д. Шуляковская // Известия
РАН. Механика твердого тела. – 2013. – № 5. – С. 136–158.
АВТОРЫ:
Никитин Андрей Витальевич,
аспирант кафедры математического анализа, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
100
А. В. НИКИТИН, М. Д. КОВАЛЕНКО
Коваленко Михаил Денисович,
доктор физико-математических наук, профессор, Московский государственный машиностроительный университет (МАМИ), г. Москва
AUTHORS:
Nikitin, Andrey Vitalaevich
Postgraduate student, Departament of Mathematical Analysis, I. Yakovlev Chuvash State
Pedagogical University, Cheboksary
Kovalenko, Mikhail Denisovich
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Moscow State Machine-Building University (MAMI),
Moscow
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТОЙ
ТРАНСЛЯЦИОННО-АНИЗОТРОПНОЙ ТРУБЫ
LIMIT CONDITION ANISOTROPIC MULTILAYER
TRANSLATIONNALLY THICK-WALLED PIPES UNDER INTERNAL
PRESSURE
А. В. НИКИТИН, С. В. ТИХОНОВ
A. V. NIKITIN, S. V. TIKHONOV
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева,
г. Чебоксары
Аннотация. Рассматривается многослойная толстостенная труба, находящаяся под
действием внутреннего давления. Предполагается, что каждый слой обладает своими
свойствами трансляционной анизотропии. Разработан алгоритм определения предельного напряженного состояния для произвольного числа слоев.
Abstract. Considered multilayer thick-walled pipe, which is under internal pressure. It is
assumed that each layer has its own properties translational anisotropy. An algorithm to
determine the maximum stress state for an arbitrary number of layers.
Ключевые слова: напряжение, пластичность, трансляционная анизотропия, труба,
слой.
Keywords: stress, ductility, translational anisotropy, pipe layer.
Рассмотрим многослойную толстостенную трубу, находящуюся под действием внутреннего давления р (рис. 1).
Обозначим через α1 , α2 внутренний и внешний радиусы 1-го слоя, через α2 , α3 –
внутренний и внешний радиусы 2-го слоя, через αn , αn+1 – внутренний и внешний
радиусы n-го слоя.
Условие предельного состояния для n-го слоя примем в виде
σxn − σyn k1n − k2n
−
2
2
2
+ (τxyn − k3n )2 = kn2 ,
k1n , k2n , k3n , kn − const,
(1)
Работа выполнена при поддержке РФФИ (коды проектов 13-01-97033, 14-01-31323
мол_а) и в рамках выполнения государственного задания (код проекта 1179)
101
102
А. В. НИКИТИН, С. В. ТИХОНОВ
Рис. 1. Многослойная толстостенная труба,
находящаяся под действием внутреннего давления
где σxn , σyn , τxyn – компоненты напряжения в декартовой системе координат;
k1n , k2n , k3n – константы анизотропии.
Положим, что искомое решение зависит от некоторого параметра δ, будем искать
решение в виде
(0)
(I)
(II)
σij = σij + σij δ + σij δ 2 + ... .
(2)
В нулевом приближении имеет место осесимметрическое состояние трубы
(0)p
τρθ
= 0.
(3)
Напряжения во внутренней пластической области n в 0 приближении примут вид
ρ
αn
= −q+2Kn 1 + ln
+2Kn−1 ln
.
αn
αn−1
(4)
Предельное состояние в n-ом слое в 1 приближении:
σρ(0)p
n
αn
ρ
= −q+2Kn ln
+2Kn−1 ln
,
αn
αn−1
(0)p
σθn
(I)p
σpn = an1 cos (2θ) + an2 sin (2θ) ,
(I)p
σθn = bn1 cos (2θ) + bn2 sin (2θ) ,
(I)p
τpθn = cn1 cos (2θ) + cn2 sin (2θ) ,
(5)
ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ СЛОИСТОЙ...
103
√
ρ
0 cos (µ ) sin
bn−1
+
R
3
ln
n
n
αn +
1√
√
√
n−1
+ a1 − Rn0 cos (µn ) cos
3 ln αρn + 33 sin
3 ln αρn
+ Rn0 cos (µn ) ,
n √ √
+ Rn0 sin (µn ) sin
3 ln αρn +
an2 = αρn 2 3 3 bn−1
2
√
√
√
n−1
− R0 sin (µn ) ,
+ a2 + Rn0 cos (µn ) cos
3 ln αρn + 33 sin
3 ln αρn
n √ √
n
bn1 = αρn −23 3 cn−1
3 ln αρn +
+ Rn0 cos (µn ) sin
1
√
√
√
ρ
ρ
3
0
0 cos (µ )
+
3
ln
3
ln
+ cn−1
−
R
cos
sin
n
n
1
αn
3
αn − Rn cos (µn ) ,
n √ √
bn2 = αρn 2 3 3 cn−1
+ Rn0 sin (µn ) sin
3 ln αρn +
2
√
√
√
ρ
ρ
3
0 sin (µ )
+ cn−1
+
R
cos
3
ln
+
3
ln
+ Rn0 sin (µn ) ,
sin
n
n
2
αn
3
αn
n √ √
3 ln αρn +
cn1 = αρn −23 3 a2n−1 + Rn0 sin (µn ) sin
√
√
√
ρ
ρ
3
0 sin (µ )
−
− Rn0 sin (µn ) ,
+
R
cos
3
ln
sin
3
ln
+ bn−1
n
n
2
αn
3
αn
n √ √
− Rn0 cos (µn ) sin
cn2 = αρn 2 3 3 an−1
3 ln αρn +
2
√
√
√
ρ
ρ
3
0 cos (µ )
+
R
cos
+ bn−1
−
− Rn0 cos (µn ) .
3
ln
sin
3
ln
n
n
2
αn
3
αn
an1 =
αn
ρ
n
√
−2 3
3
Таким образом с помощью (4), (5) можно определить предельное состояние в каждом слое трубы в 0 и в 1 приближении.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела /
Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. – М. : Наука, 1978. – 208 с.
[2] Ивлев, Д. А. О предельном состоянии слоистых круговых цилиндров из анизотропного материала под действием внутреннего давления / Д. А. Ивлев // Вестник
Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. – 2010. – № 2 (66). – С. 57–63.
[3] Кержаев, А. П. Упругопластическое состояние двухслойной толстостенной трубы, находящейся под действием внутреннего давления, при трансляционной анизотропии / А. П. Кержаев // Вестник Чувашского государственного педагогического
университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. – 2013. –
№ 2 (16). – С. 71–81.
АВТОРЫ:
Никитин Андрей Витальевич,
аспирант кафедры математического анализа, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
104
А. В. НИКИТИН, С. В. ТИХОНОВ
Тихонов Сергей Владимирович,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева,
г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Nikitin, Andrey Vitalaevich
Postgraduate student, Departament of Mathematical Analysis, I. Yakovlev Chuvash State
Pedagogical University, Cheboksary
Tikhonov, Seregey Vladimirovich
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor of Department Mathematical Analysis,
I. Yakovlev Chuvash State Pedagogical University, Cheboksary
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.313:517.968.72
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ И НАЧАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД С ДРОБНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
РИМАНА – ЛИУВИЛЛЯ
DEFINING RELATIONS AND INITIAL VALUE PROBLEMS FOR
VISCOELASTIC MEDIA WITH FRACTIONAL RIEMANN – LIOUVILLE
OPERATORS
Е. Н. ОГОРОДНИКОВ, Л. Г. АБУСАИТОВА
E. N. OGORODNIKOV, L. G. ABUSAITOVA
Самарский государственный технический университет, г. Самара
Аннотация. Рассмотрены частные случаи обобщенной одномерной модели вязкоупругого тела с памятью, основанные на использовании аппарата дробного интегродифференцирования Римана – Лиувилля на отрезке. Найдены явные решения начальных задач в случае, когда напряжение действует на конечном интервале времени. Проведен сравнительный анализ полученных решений в стадии нагружения и
разгружения. Доказана непрерывная зависимость решений от порядка дробности при
его устремлении к единице, изучена асимптотика решений.
Abstract. Particular cases of the generalized one-dimensional model of a viscoelastic
body with memory, based on the apparatus of Riemann – Liouville fractional integrodifferentiation on the interval were considered. Explicit solutions of initial value problems
when the stress acts on a finite time interval are found out. A comparative analysis of the
solutions obtained in the stage of loading and unloading is executed. Proved the continuous
dependence of solutions when the fractional order converges to unity, the asymptotic
behavior of solutions is studied.
Ключевые слова: реологические модели вязкоупругого тела, дифференциальные
и интегральные уравнения с дробными операторами Римана – Лиувилля, дробные
аналоги реологических моделей.
Keywords: rheological models of viscoelastic body, differential and integral equations with
fractional Riemann – Liouville operators, fractional analogs of rheological models.
Обобщенная стандартная модель вязкоупругого тела с памятью, основанная на использовании аппарата дробного дифференцирования Римана – Лиувилля, записывается в виде
n
m
X
X
βk
αk
bk D0t σ = E0 ε (t) +
ak D0t
σ (t) +
ε,
(1)
k=1
k=1
105
106
Е. Н. ОГОРОДНИКОВ, Л. Г. АБУСАИТОВА
где σ = σ (t) и ε = ε (t) — напряжение и деформация тела в момент времени t;
α ϕ = (d/dt)n I n−α ϕ — левосторонняя
ak , bk , E0 — заданные постоянные величины; D0t
0t
дробная производная Римана – Лиувилля порядка
α
>
0
функции
ϕ (t) (t > 0, n = [α]+
β
β
1, [α] — целая часть числа α ∈ R), I0t ϕ = I0+ ϕ (t) — интеграл Римана – Лиувилля
порядка β > 0 [1].
В работе как частные случаи соотношения (1) рассмотрены дробные аналоги классических реологических моделей Фойхта, Максвелла, Кельвина и Зенера – Ишлинского. В частности, две последние описываются уравнениями:
α
α
δβσ + D0t
σ = E (βε + D0t
ε) ,
(2)
α
α
βσ + D0t
σ = E (βε + D0t
ε) ,
(3)
где α, β, γ, δ, E — некоторые экспериментально устанавливаемые константы: δ >
1, γ > 1 и α ∈ (0, 1). Обосновывается эквивалентность в классе функций AC[0, T]
соотношений (2) и (3) следующим интегральным уравнениям:
α
(δσ − Eε) + βI0t
(δσ − Eε) = (δ − 1) σ (t)
(4)
— для модели Кельвина и
1
β α
(σ − Eε) + I0t (σ − Eε) = σ 1 −
γ
γ
(5)
— для модели Зенера – Ишлинского, которые берутся в качестве определяющих.
Найдены явные решения интегральных уравнений (4) и (5) в случае, когда напряжение является постоянной величиной и действует на конечном интервале времени;
проведен сравнительный анализ полученных решений в стадии нагружения и разгружения. Доказано, что дробные модели Кельвина и Зенера – Ишлинского обладают
хорошо известным свойством соответствующих классических моделей, а именно наличием и совпадением мгновенных упругих деформаций при нагружении и разгружении. Доказана непрерывная зависимость решений от параметра дробности α при
его устремлении к единице, изучена асимптотика решений. С использованием разработанного на кафедре ПМиИ СамГТУ электронного ресурса "Автоматизированный
исследовательский комплекс "MitLef" [2] подготовлена программа для численного
анализа и визуализации решений указанных дробных дифференциальных уравнений.
Для σ (t) = σ0 (H(t) − H(t − t1 )) (σ0 = const), описывающей нагружение и разгружение, где H(t)-функция Хевисайда, решения получены, например, для моделей
Кельвина и Зенера – Ишлинского в следующих видах:
σ0
[H(t)(δ − (δ − 1)Exp(α, 1; λ; t))−
ε(t) =
E
−H(t − t1 )(δ − (δ − 1)Exp(α, 1; λ; t − t1 ))];
(6)
σ0
{H(t)[1 + (γ − 1)(1 − Exp(α, 1; λ; t))]−
ε(t) =
Eγ
−H(t − t1 )[1 + (γ − 1)(1 − Exp(α, 1; λ; t − t1 ))]},
(7)
µ−1
α
где Exp(α, µ; λ; t) = t
Eα (λt ; µ) — обобщенная двупараметрическая дробная экспоненциальная функция [3], Eα (λtα ; µ) — принятое в работе обозначение функции
типа Миттаг – Леффлера.
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ И НАЧАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ...
107
ЛИТЕРАТУРА
[1] Kilbas, A. A. Theory and Applications of Fractional Equations / A. A. Kilbas,
H. M. Srivastava, J. J. Trujillo // North-Holland Mathematics Studies. Vol. 204 / ed.
J. van Mill. – Amsterdam : Elsevier, 2006. – 523 p.
[2] Электронный ресурс "Автоматизированный исследовательский комплекс
"MitLef" в ОФЭРНиО № 17486 от 11.10.2011 г. и ФГНУ ЦИТиС № 50201151294 от
18.11.2011 г.
[3] Огородников, Е. Н. Реологические модели вязкоупругого тела с памятью
и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов / Е. Н. Огородников,
В. П. Радченко, Н. С. Яшагин // Вестник Самарского государственного технического
университета. Сер. Физ.-мат. науки. – 2011. – № 1 (22). – С. 255–268.
АВТОРЫ:
Огородников Евгений Николаевич,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и
информатики, Самарский государственный технический университет, г. Самара
e-mail: [email protected]
Абусаитова Луиза Гадильевна,
ассистент кафедры прикладной математики и информатики, Самарский государственный технический университет, г. Самара
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Ogorodnikov, Evgeniy Nikolaevich
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor, Department of Applied Mathematics and
Information Technology, Samara State Technical University, Samara
Abusaitova, Luiza Gadilyevna
Assistant, Department of Applied Mathematics and Information Technology, Samara State
Technical University, Samara
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 517.925.7
НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ПОДВИЖНЫХ ОСОБЫХ ТОЧЕК В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITION FOR THE EXISTENCE
OF MOVABLE SINGULAR POINTS IN THE COMPLEX DOMAIN
В. Н. ОРЛОВ, М. П. ГУЗЬ
V. N. ORLOV, M. P. GUZ
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева,
г. Чебоксары
Аннотация. В статье рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение
первого порядка с полиномиальной частью четвертой степени, обладающее подвижными особыми точками решения, в общем случае не разрешимое в квадратурах. Предлагается точный критерий существования подвижных особых точек решений, основанный на понятии неправильной линии. Данный критерий позволяет оптимизировать алгоритм нахождения подвижных особых точек решения уравнения с заданной
точностью.
Abstract. In the article considers the nonlinear differential equation of the first order,with
polynomials on the right part of the fourth degree, with movable singularities solutions,
which usually can not be solved by quadratures. Proposed detailed criterion for the
existence of singular points of mobile solutions based on the concept of the wrong line.
This criterion allows to optimize the algorithm for finding the movable singular points of
solutions of the equation with a given accuracy.
Ключевые слова: нелинейное дифференциальное уравнение, задача Коши, точный
критерий существования, неправильная линия.
Keywords: nonlinear differential equation, Cauchy problem, the exact criteria for the
existence, wrong line.
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение, с подвижными особыми
точками
у0 (z) = f0 (z) + f1 (z) · у(z) + f2 (z) · у2 (z) + f3 (z) · у3 (z) + f4 (z) · у4 (z),
(1)
где f0 , f1 , f2 , f3 , f4 – функции комплексной переменной в некоторой области голоморфности.
108
НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ...
109
Для приближенного решения используется метод, предложенный в работе [1], который применялся, в свою очередь, для нахождения решений уравнений Абеля [2], Риккати [3], Пенлеве [4]. Для нормальной формы уравнения (1) ранее в работах [5], [6], [7],
[8], [9] были решены следующие задачи: доказательство теорем существования и единственности решения нелинейного дифференциального уравнения в области аналитичности и в окрестности подвижной особой точки; построения аналитического приближенного в области аналитичности и в окрестности подвижной особой точки решения
рассматриваемого уравнения; исследовано влияние возмущения начальных данных
и подвижной особой точки на аналитическое приближенное решение. В работе [10]
получены точные критерии существования подвижных особых точек в вещественной
области. В работе [11] получены точные критерии существования подвижных особых
точек в комплексной области, основанные на понятии правильной линии. В данной
статье предлагается решение последней задачи, основанное на понятии неправильной
линии, введенное в работе [3]. Такой подход позволяет существенно оптимизировать
алгоритм нахождения подвижных особых точек с заданной точностью в комплексной
области.
Для нормальной формы уравнения (1), полученной в работе [5],
у0 (z) = у4 (z) + R(z),
(2)
применяем инверсию
ω(z) =
1
,
y(z)
(3)
которая дает уравнение
ω 0 (z) · ω 2 (z) = −1 − R(z) · ω 4 (z).
Решение инверсного уравнения (3) имеет вид
ω(z) = u(x, y) + i · v(x, y)
и характеризуется фазовыми пространствами
(4)
(5)
Ψ1 = {x, y, u (x, y)} , Ψ2 = {x, y, v (x, y)} .
Примем за G1 – достаточно малую окрестность точки z ∗ (х∗ , у∗ ). Пусть L1 , L3 и L2 ,
L4 – некоторые непрерывные неправильные линии соответственно вдоль осей OX и
OY. Линии Li (i=1,2,3,4) проходят через точку z ∗ в фазовых пространствах Ψ1 и Ψ2 ,
(L1 , L2 ⊂ ψ1 ), (L3 , L4 ⊂ ψ2 ).
Теорема. Для того чтобы точка z ∗ была подвижной особой точкой решения задачи Коши (2)–(3), необходимо и достаточно, чтобы функции u(x, y), v(x, y) являлись
непрерывными относительно своих аргументов и меняли знаки при переходе через
точку z ∗ , двигаясь вдоль непрерывных неправильных линий L1 , L2 и L3 и L4 в соответствующих фазовых пространствах Ψ1 иΨ2 .
Полученный результат относится к категории интервальных критериев и предназначен для создания программного обеспечения приближенного решения нелинейных
дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками.
110
В. Н. ОРЛОВ, М. П. ГУЗЬ
ЛИТЕРАТУРА
[1] Орлов, В. Н. Метод приближенного решения первого, второго дифференциальных уравнений Пенлеве и Абеля. Монография / В. Н. Орлов. – М. : МПГУ, 2013. –
174 c.
[2] Орлов, В. Н. Точные критерии существования подвижной особой точки дифференциального уравнения Абеля / В. Н. Орлов // Известия института инженерной
физики. – 2009. – № 4 (14). – С. 12–14.
[3] Орлов, В. Н. Об одном методе приближенного решения матричных дифференциальных уравнений Риккати / В. Н. Орлов // Вестник МАИ. – 2008. – Т. 15. – № 5.
– С. 128–135.
[4] Орлов В. Н. Связь нелинейного дифференциального уравнения с наличием и характером подвижных особых точек / В. Н. Орлов // Фундаментальные и прикладные
проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования
и информационных технологий : сб. статей по материалам международной научнопрактической конференции, Чебоксары, 12–15 августа 2013 г. : в 2 ч. Ч. 2. – Чебоксары,
Чуваш. гос. пед. ун-т, 2013. – С. 30–35.
[5] Орлов, В. Н. Об одной теореме существования нелинейного дифференциального
уравнения / В. Н. Орлов, А. Я. Корнилов, М. П. Гузь // Об одной теореме существования нелинейного дифференциального уравнения. Понтрягинские чтения – XXIII,
XXVI, Воронежской весенней математической школы “Современные методы теории
краевых задач”, Воронеж, 2012. – С. 44–47.
[6] Орлов, В. Н. О приближенном решении в области голоморфности одного нелинейного дифференциального уравнения / В. Н. Орлов, М. П. Гузь // Труды Третьей
международной научной конференции “Математическое моделирование и дифференциальные уравнения”. – Брест, 2012. – С. 208–212.
[7] Орлов, В. Н. Аналитическое приближенное решение одного нелинейного дифференциального уравнения в комплексной области / В. Н. Орлов, М. П. Гузь // Вестник
Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. – 2012. – № 2 (12). – С. 75–82.
[8] Орлов, В. Н. Исследование влияния возмущения подвижной особой точки на
приближенное решение задачи Коши одного нелинейного дифференциального уравнения / В. Н. Орлов, М. П. Гузь // Фундаментальные и прикладные проблемы механики
деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных
технологий : сб. статей по материалам международной научно-практической конференции, Чебоксары, 12–15 августа 2013 г. : в 2 ч. Ч. 2. – Чебоксары, Чуваш. гос. пед.
ун-т, 2013. – С. 36–46.
[9] Орлов, В. Н. Исследование влияния возмущения подвижной особой точки на
приближенное решение задачи Коши одного нелинейного дифференциального уравнения в комплексной области / В. Н. Орлов, М. П. Гузь // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика
предельного состояния. – 2013. – № 3 (17). – С. 117–128.
[10] Орлов, В. Н. Точные критерии существования подвижных особых точек решения одного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения / В. Н. Орлов,
М. П. Гузь // Вестник Чувашского государственного педагогического университета
им. И. Я. Яковлева. – 2013. – № 4(80). – Ч. 2. – С. 156–161.
[11] Гузь, М. П. Точные критерии существования подвижных особых точек решения одного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения в комплексной
НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ...
111
области / М. П. Гузь // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. – 2013. – №
4 (18). – С. 43–52.
АВТОРЫ:
Орлов Виктор Николаевич,
доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры и геометрии,
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
Гузь Марина Павловна,
аспирант кафедры алгебры и геометрии, Чувашский государственный педагогический
университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Orlov, Victor Nikolayevich
Doctor of Physics & Mathematics, Head of the Department of Algebra & Geometry,
I. Yakovlev Chuvash State Pedagogical University, Cheboksary
Guz, Marina Pavlovna
Postgraduate Student, Department of the Algebra and Geometry, I. Yakovlev Chuvash
State Pedagogical University, Cheboksary
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 517.91
ТОЧНЫЙ КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПОДВИЖНЫХ ОСОБЫХ
ТОЧЕК РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
AN EXISTENCE CRITERION FOR MOVABLE SINGULAR POINTS
OF THE NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATION IN THE COMPLEX
DOMAIN
В. Н. ОРЛОВ, А. З. ПЧЕЛОВА
V. N. ORLOV, A. Z. PCHELOVA
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева,
г. Чебоксары
Аннотация. Предлагается точный критерий, на основе которого строится алгоритм
нахождения подвижной особой точки решения нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения в комплексной области.
Abstract. A criterion is proposed, based on which we construct an algorithm of finding the
movable singular point of nonlinear ordinary differential equation in the complex domain.
Ключевые слова: точный критерий, подвижная особая точка, существование, нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, задача Коши.
Keywords: exact criterion, movable singular point, existence, nonlinear ordinary
differential equation, Cauchy problem.
Актуальность исследования обусловлена тем, что решения рассматриваемого дифференциального уравнения обладают подвижными особыми точками, и оно относится
к категории уравнений в общем случае не разрешимых в квадратурах [1], а приближенный метод решения таких уравнений, изложенный в работах [2–11], требует
нахождения подвижных особых точек. В настоящей работе приводится критерий существования подвижных особых точек одного нелинейного дифференциального уравнения в комплексной области. Этот критерий, в отличие от критерия [12], основан на
понятии неправильной линии [11] и является наиболее эффективным с точки зрения
оптимальности вычислительного процесса.
Рассмотрим задачу Коши
y 0 (z) = y 5 (z) + r(z),
(1)
y(z0 ) = y0 .
(2)
112
ТОЧНЫЙ КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПОДВИЖНЫХ...
113
Применяя к ней инверсию y(z) = 1/w(z), получаем
w3 (z) · w0 (z) = −1 − w5 (z) · r(z), w(z0 ) = w0 .
Представим четвертую степень решения инверсного уравнения в виде
w4 (z) = u(x, y) + i v(x, y).
В соответствии с [4, 7, 11] рассмотрим два фазовых пространства
Ф1 = { x, y, u(x, y)} и Ф2 = { x, y, v(x, y)}, характеризующих решение полученного
уравнения.
Определение. Линия в некоторой области комплексной плоскости называется
неправильной в направлении оси OХ (OY), если на этой линии существуют, по крайней мере, две точки, имеющие одинаковые вторые (первые) координаты.
Теорема. Для того чтобы z ∗ была подвижной особой точкой решения y(z) задачи
Коши (1)–(2), необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области G (z ∗ ∈ G)
фазовых пространств Ф1 и Ф2 функции u(x, y) и v(x, y) являлись непрерывными
относительно своих аргументов и одновременно меняли знаки при переходе через
точку z ∗ (x∗ , y ∗ ), двигаясь последовательно вдоль некоторых линий l1 и l2 неправильных в направлении осей ОX и OY соответственно (z ∗ ∈ l1 ⊂ G, z ∗ ∈ l2 ⊂ G,
l1 ⊂ Ф1 , l2 ⊂ Ф2 ).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Орлов, В. Н. Связь нелинейного дифференциального уравнения с наличием и характером подвижных особых точек / В. Н. Орлов // Фундаментальные и прикладные
проблемы механики деформируемого твердого тела, матемематического моделирования и информационных технологий : сб. статей по материалам междунар. научнопракт. конференции (Чебоксары, 12–15 августа, 2013 г.). – Чебоксары : Чуваш. гос.
пед. ун-т, 2013. – С. 30–35.
[2] Орлов, В. Н. Исследование приближенного решения второго уравнения Пенлеве
/ В. Н. Орлов, Н. А. Лукашевич // Дифференциальные уравнения. – 1989. – Т. 25. –
№ 10. – С. 1829–1832.
[3] Орлов, В. Н. Об одном конструктивном методе построения первой и второй мероморфных трансцендентных Пенлеве / В. Н. Орлов, В. П. Фильчакова / Симетрiйнi
та аналiтичнi методи в математичнiй фiзицi. IM НАН Украiни. – 1998. – Т. 19. –
С. 155–165.
[4] Орлов, В. Н. Критерии существования подвижных особых точек решений второго уравнения Пенлеве / В. Н. Орлов // Известия Тульского гос. ун-та. Серия :
Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. – 2006. – Вып. 1. – С. 26–29.
[5] Орлов, В. Н. О приближенном решении первого уравнения Пенлеве / В. Н. Орлов
// Вестник Казанского гос. тех. ун-та им. А. Н. Туполева. – 2008. – № 2. – С. 42–46.
[6] Орлов, В. Н. Метод приближенного решения дифференциального уравнения
Риккати / В. Н. Орлов // Науч.-техн. ведомости Санкт-Петербургского гос. политех.
ун-та. – 2008. – № 63. – С. 102–108.
[7] Орлов, В. Н. Точные критерии существования подвижной особой точки дифференциального уравнения Абеля / В. Н. Орлов // Известия ин-та инженерной физики.
– 2009. – № 4 (14). – С. 12–14.
114
В. Н. ОРЛОВ, А. З. ПЧЕЛОВА
[8] Орлов, В. Н. Точные границы области применения приближенного решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности приближенного значения подвижной
особой точки / В. Н. Орлов // Вестник Воронежского гос. тех. ун-та. – 2009. – Т. 5. –
№ 10. – С. 192–195.
[9] Орлов, В. Н. Математическое моделирование решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки / В. Н. Орлов, С. А. Редкозубов
// Известия ин-та инженерной физики. – 2010. – № 4 (18). – С. 2–6.
[10] Орлов В. Н. Точные границы для приближенного решения дифференциального
уравнения Абеля в окрестности приближенного значения подвижной особой точки в
комплексной области / В. Н. Орлов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния.
– 2010. – № 2 (8). – С. 399–405.
[11] Орлов, В. Н. Об одном точном критерии существования подвижной особой
точки решений скалярного и матричного дифференциальных уравнений Риккати /
В. Н. Орлов // Вестник Воронежского гос. ун-та. Серия: Физика. Математика. – 2011.
– № 1. – С. 209–213.
[12] Пчелова, А. З. О точных критериях существования подвижных особых точек
решений одного дифференциального уравнения в комплексной области / А. З. Пчелова // Современные проблемы математики, механики и информатики : материалы
Международной научной конференции, Тула, 16–20 сентября 2013 г. – Тула : Тульский
гос. ун-т, 2013. – С. 107–110.
АВТОРЫ:
Орлов Виктор Николаевич,
доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры и геометрии,
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
Пчелова Алевтина Зиноновна,
старший преподаватель кафедры алгебры и геометрии, Чувашский государственный
педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Orlov, Victor Nikolayevich
Dr. Sci. Phys. & Math., Head of the Department of Algebra & Geometry, I. Yakovlev
Chuvash State Pedagogical University, Cheboksary
Pchelova, Alevtina Zinonovna
Senior Lecturer, Department of Algebra & Geometry, I. Yakovlev Chuvash State
Pedagogical University, Cheboksary
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 517.925.7
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ОДНОГО
НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА В ОКРЕСТНОСТИ ПОДВИЖНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ
EXISTENCE THEOREM OF THE SOLUTION OF ONE NONLINEAR
DIFFERENTIAL EQUATION OF SECOND ORDER IN THE
NEIGHBORHOOD OF THE MOBILE SINGULAR POINT
В. Н. ОРЛОВ, Т. Ю. ЛЕОНТЬЕВА
V. N. ORLOV, T. Y. LEONTEVA
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева,
г. Чебоксары
Аннотация. В работе рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение
второго порядка с подвижными особыми точками. Дано доказательство теоремы существования и единственности решения этого уравнения в окрестности подвижной
особой точки и построено приближенное решение в случае точного значения координаты особой точки.
Abstract. In work the nonlinear differential equation of the second order with movable
special points is considered. The proof of the theorem of existence and uniqueness of the
solution of this equation in the is given and the approximate solution in case of exact value
of the singular points coordinate is constructed.
Ключевые слова: подвижная особая точка, нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, приближенное решение, метод мажорант.
Keywords: movable special point, nonlinear differential equation of the second order,
approximate solution, majorant method.
Актуальность исследуемой проблемы. Нелинейные дифференциальные уравнения представляют большой интерес в связи с их приложением во многих областях
науки и техники [1]. Решения нелинейных уравнений связаны с большими трудностями, вызванными наличием подвижных особых точек у интегралов этих уравнений,
которые и являются препятствием к использованию известных на данный момент
приближенных методов решения.
Материал и методика исследований. В данной работе используется метод мажорант, применяемый в известной литературе в доказательстве теоремы Коши [2]. Но
если там он применяется к правой части дифференциального уравнения, то в нашей
115
116
В. Н. ОРЛОВ, Т. Ю. ЛЕОНТЬЕВА
теореме непосредственно к самому решению дифференциального уравнения [3]. Рассматриваемый метод в целом состоит из шести этапов. В статьях [4], [5], [6], [7] был
рассмотрен первый шаг вышеуказанного метода для области аналитичности [1], [3].
Результаты исследований и их обсуждение. Рассмотрим задачу Коши:
y 00 (x) = y 5 (x) + r (x) ,
(1)
y (x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 .
(2)
Пустьx∗
Теорема 1.
подвижная особая точка y (x) задачи (1)-(2) и функция r (x)
удовлетворяет следующим условиям:
r (x) ∈ C ∞ вобласти
|x − x∗ | < ρ0 ,
(3)
где ρ0 = const > 0;
(n) ∗ r (x )
≤ M0 , где M0 = const, n = 0, 1, 2, ....
∃M0 :
n!
Тогда существует единственное решение задачи Коши (1)-(2) в виде
y (x) = (x − x∗ )ρ ·
∞
X
Cn (x − x∗ )n/2 ,
C0 6= 0,
(4)
n=0
правильная часть которого сходится в области
|x − x∗ | < ρ2 ,
где ρ = −1/2, ρ2 = min {ρ0 , ρ1 }, ρ1 =
4·
√
5
1
,
(М+1)2
(5)
M = sup
n
|
r(n) (x∗ )
n!
|
, n = 0, 1, 2, ....
В ходе доказательства теоремы 1 получены оценки для коэффициентов Cn
n
2n
M (M + 1)[ 5 ]−1 , n = 0, 1, 2, ...,
(n − 1) (n − 3)
которые позволяют построить приближенное решение задачи (1)-(2)
|Сn | ≤
1
yN (x) = (x − x∗ )− 2 ·
N
X
n
Cn (x − x∗ ) 2 ,
C0 6= 0,
(6)
(7)
n=0
Теорема 2. Пусть выполняются п. п. 1 и 2 теоремы 1, тогда для приближенного
решения (7) задачи (1)-(2) в области (4) справедлива оценка погрешности
∆yN (x) = |y (x) − yN (x)| ≤ ∆
в области |x −
∆≤
x∗ |
< ρ2 , где
25n · M (M + 1)n−1 |x − x∗ |(5n−1)/2
1 − 25 · (M + 1) · |x − x∗ |5/2
·
1
2 · |x − x∗ |1/2
+
+
(5n − 1) (5n − 3)
5n (5n − 2)
(8)
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ...
117
22 · |x − x∗ |
23 · |x − x∗ |3/2
24 · |x − x∗ |2
+
+
+
(5n + 1) (5n − 1)
5n (5n + 2)
(5n + 1) (5n + 3)
!
,
в случае N + 1 = 5n. Для вариантов N + 1 = 5n + 1, N + 1 = 5n + 2, N + 1 =
5n + 3, N + 1 = 5n + 4 соответственно:
∆≤
25n+1 · M (M + 1)n−1 |x − x∗ |5n/2
1
2 · |x − x∗ |1/2
+
+
5n (5n − 2) (5n + 1) (5n − 1)
1 − 25 · (M + 1) · |x − x∗ |5/2
!
22 · |x − x∗ |
23 · |x − x∗ |3/2
24 · (M + 1) · |x − x∗ |2
,
+
+
+
(5n + 2) 5n
(5n + 3) (5n + 1)
(5n + 4) (5n + 2)
·
1
2 · |x − x∗ |1/2
+
+
(5n + 1) (5n − 1)
(5n + 2) 5n
1 − 25 · (M + 1) · |x − x∗ |5/2
!
22 · |x − x∗ |
23 · (М + 1) · |x − x∗ |3/2 24 · (М + 1) · |x − x∗ |2
+
+
+
,
(5n + 3) (5n + 1)
(5n + 4) (5n + 2)
(5n + 5) (5n + 3)
∆≤
25n+2 · M (M + 1)n−1 |x − x∗ |(5n+1)/2
∆≤
·
25n+3 · M (M + 1)n−1 |x − x∗ |(5n+2)/2
1 − 25 · (M + 1) · |x − x∗ |5/2
1
2 · |x − x∗ |1/2
+
+
(5n + 2) 5n (5n + 3) (5n + 1)
·
22 · (М + 1) · |x − x∗ |
23 · (М + 1) · |x − x∗ |3/2 24 · (М + 1) · |x − x∗ |2
+
+
+
(5n + 4) (5n + 2)
(5n + 5) (5n + 3)
(5n + 6) (5n + 4)
∆≤
25n+4 · M (M + 1)n−1 |x − x∗ |(5n+3)/2
1 − 25 · (M + 1) · |x − x∗ |5/2
·
(M +1)
,
1
2 · (М + 1) · |x − x∗ |1/2
+
+
(5n + 3) (5n + 1)
(5n + 4) (5n + 2)
23 · (М + 1) · |x − x∗ |3/2 24 · (М + 1) · |x − x∗ |2
22 · (М + 1) · |x − x∗ |
+
+
+
(5n + 5) (5n + 3)
(5n + 6) (5n + 4)
(5n + 7) (5n + 5)
|r(n) (x∗ )|
1
приэтом ρ = min ρ0 , √
, M = sup
, n = 0, 1, 2, ....
5
2
n!
4·
!
!
,
n
Пример. Найдем приближенное решение задачи (1)-(2) в случае r (x) = 0при начальных данных y (0, 5) = 1, y 0 (0, 5) = √13 и α = 0, 001. Данная задача имеет точное
q √
3
решение y = 1+√3−2x
. Найдем радиус аналитичности ρ ≈ 0, 18946457. Точное значе√
ние подвижной особой точки х∗ = 1+2 3 . Выберем приближенное значение х = 1, 267.
Применяя (7), N = 15, вычислим приближенное значение функции. Произведенные
расчеты приведены в таблице 1:
118
В. Н. ОРЛОВ, Т. Ю. ЛЕОНТЬЕВА
Таблица 1
x
1,267
y15
2,9572801
y
2,9572770
∆y 15
0,00019
∆y
0,0000031
∆1 y
0,00001
где y15 – приближенное решение (7);
y – значение точного решения;
∆y15 – оценка погрешности приближенного решения (8);
∆y– истинная величина погрешности приближенного решения y15 ;
∆1 y – апостериорная оценка погрешности, которая определяется путем решения
обратной задачи теории погрешности. На основании апостериорной оценки убеждаемся в том, что в структуре приближенного решения (7) значение N = 24. В данном
случае нам не надо рассчитывать сумму 24 слагаемых, только 5, так как для номеров n = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23 коэффициенты Cn = 0.
Добавки в структуре приближенного решения для N = 18 и N = 24, в общей сумме, не превышают требуемой точности. Поэтому в структуре приближенного решения
можем ограничиться значением N = 15, при котором приближенное решение будет
иметь погрешность ε = 0, 00001.
Резюме. В статье доказана теорема существования и единственности решения рассматриваемого нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, что позволяет построить приближенное решение для данного уравнения в окрестности подвижной особой точки.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Орлов, В. Н. Метод приближенного решения первого, второго дифференциальных уравнений Пенлеве и Абеля / В. Н. Орлов – М. : МПГУ, 2013. – 174 с.
[2] Голубев, В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений
/ В. В. Голубев. – М. ; Л. : Гостехиздат, 1950. – 436 с.
[3] Орлов, В. Н. Исследование влияния возмущения подвижной особой точки на
приближенное решение задачи Коши одного нелинейного дифференциального уравнения / В. Н. Орлов, М. П. Гузь // Международная научно-практическая конференция
“Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и информационных технологий”. – 12–15 августа
2013 г. – Чебоксары. – С. 36–46.
[4] Орлов, В. Н. Построение приближенного решения нелинейного дифференциального уравнения в области аналитичности / В. Н. Орлов, Т. Ю. Леонтьева // Международная научно-практическая конференция “Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого твердого тела, математического моделирования и
информационных технологий”. – 12–15 августа 2013 г. – Чебоксары. – С. 47–52.
[5] Орлов, В. Н. Влияние возмущения начальных данных на приближенное решение
одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка в области аналитичности / В. Н. Орлов, Т. Ю. Леонтьева // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я.
Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. – 2013. – № 3 (17). – С. 103–109.
[6] Орлов, В. Н. Построение приближенного решения одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка в области голоморфности / В. Н. Орлов, Т.
Ю. Леонтьева // Вестник Чуваш. гос. пед. ун-та им. И. Я. Яковлева. Серия: Естественные и технические науки. – 2013. – № 4 (80). – С.156 – 162.
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ ...
119
[7] Орлов, В. Н. Исследование влияния возмущения начальных данных на приближенное решение одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка
в области голоморфности / В. Н. Орлов, Т. Ю. Леонтьева // Вестник РГСУ. – Чебоксары, 2013. – № 1 (28). – С.108 – 111.
АВТОРЫ:
Орлов Виктор Николаевич,
доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры и геометрии,
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
Леонтьева Татьяна Юрьевна,
аспирант кафедры алгебры и геометрии, Чувашский государственный педагогический
университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Orlov, Victor Nikolayevich
Doctor of Physics & Mathematics, Head of the Department of Algebra & Geometry,
I. Yakovlev Chuvash State Pedagogical University, Cheboksary
Leonteva, Tatyana Yorevna
Postgraduate Student, Department of the Algebra and Geometry, I. Yakovlev Chuvash
State Pedagogical University, Cheboksary
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 531/534:[57+61]
ПАЦИЕНТО-ОРИЕНТИРОВАННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
БИФУРКАЦИИ СОННОЙ АРТЕРИИ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ
ПАТОЛОГИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЯХ
PATIENT-SPECIFIC MODELING OF CAROTID BIFURCATION WITH
DIFFERENT PATHOLOGIES
О. Е. ПАВЛОВА, А. В. ПОЛИЕНКО, К. М. МОРОЗОВ
O. E. PAVLOVA, A. V. POLIENKO, K. M. MOROZOV
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, г. Саратов
Первый Московский государственный медицинский университет
им. И. М. Сеченова, г. Москва
Аннотация. Проведено конечно-элементное моделирование поведения сонной артерии при сочетании патологической извитости ее внутренней ветви и пониженного уровня гематокрита. Показана важность комплексного подхода при пациентоориентированном биомеханическом анализе.
Abstract. We conducted finite-element modeling of behavior of carotid artery with
pathological tortuosity of its internal branch and reduced hematocrit level. We demonstated
the importance of comprehensive approach to patient-specific biomechanics analysis.
Ключевые слова: биомеханика, конечно-элементное моделирование, сонная артерия, патологическая извитость, гематокрит.
Keywords: biomechanics, finite-element modeling, carotid artery, pathological tortuosity,
hematocrit.
Сонная артерия является одной из двух основных пар артерий, питающих головной мозг. Поэтому наличие любой патологии в области бифуркации сонной артерии
приводит к серьезным последствиям для всего организма.
В данной работе рассматриваются такие патологические состояния, как извитость
сосуда и снижение уровня гематокрита. Существует четыре вида патологической извитости: С- и S-образные изгибы, перегиб под острым углом и петлеобразные извитости. Гематокрит - это величина, показывающая отношение объема эритроцитов к
объему жидкой части крови. В норме значения гематокрита для мужчин лежат в
диапазоне 0.44-0.46, а для женщин – 0.41-0.43. Нами рассмотрено четыре уровня гематокрита: 42% (норма), 35%, 26%, 20%.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта "У.М.Н.И.К.".
120
ПАЦИЕНТО-ОРИЕНТИРОВАННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ...
121
Ранее авторами было показано, что наличие патологической извитости значительно
меняет гемодинамическую картину и напряженно-деформированное состояние в стенке артерии, а наиболее опасными видами извитости являются перегиб и петля. Для
выявления влияния наличия сразу нескольких патологий был рассмотрен С-образный
изгиб внутренней сонной артерии (ВСА), угол между проксимальным и дистальным
сегментами которого составляет 120◦ и 90◦ .
Снижение уровня гематокрита приводит к незначительному уменьшению объемного кровотока на выходе из ВСА как для угла изгиба 120◦ , так и для угла изгиба
90◦ . Уменьшение угла изгиба приводит к сокращению разницы между средними объемными кровотоками для разных уровней гематокрита. Независимо от угла изгиба
внутренней сонной артерии при снижении уровня гематокрита уменьшаются значения и перепад давления в поперечном сечении в месте изгиба. При уровне гематокрита
20% разница между максимальным и минимальным значениями давления для ВСА
с изгибом в 90◦ уменьшается на 16.9% по сравнению с перепадом давления при нормальном уровне гематокрита, а с углом 120◦ - на 3.3%. Таким образом, для меньшего
угла изгиба влияние уровня гематокрита на перепад давления в месте патологии более
значимо. Снижение уровня гематокрита вызывает увеличение области низких касательных напряжений на стенке артерии в зоне патологической извитости. Наблюдается уменьшение значений касательных напряжений на вогнутой стороне изгиба ВСА.
Разница между моделями с уровнем гематокрита 42% и 20% составила почти 33%. На
вогнутой стороне стенки внутренней сонной артерии наблюдается уменьшение значений циклических деформаций, эквивалентных и касательных напряжений на стенке,
что способствует минимизации ее повреждения.
Таким образом, проведенное исследование позволило показать необходимость комплексного пациенто-ориентированного моделирования, при котором будут учтены как
геометрические особенности, так и реологические факторы.
АВТОРЫ:
Павлова Ольга Евгеньевна,
ведущий инженер отдела биомеханики, Образовательно-научный институт наноструктур и биосистем, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского,
г. Саратов
e-mail: [email protected]
Полиенко Асель Валерьевна,
ведущий инженер отдела биомеханики, Образовательно-научный институт наноструктур и биосистем, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского,
г. Саратов
e-mail: [email protected]
Морозов Константин Моисеевич,
ведущий научный сотрудник отдела хирургии сосудов, Первый Московский государственный медицинский университет им. И. М. Сеченова, г. Москва
e-mail: [email protected]
122
О. Е. ПАВЛОВА, А. В. ПОЛИЕНКО, К. М. МОРОЗОВ
AUTHORS:
Pavlova, Olga Evgenievna
Leading Engineer of Department of Biomechanics, Education and Research Institute of
Nanostructures and Biosystems, Saratov State University, Saratov
Polienko, Asel Valerievna
Leading Engineer of Department of Biomechanics, Education and Research Institute of
Nanostructures and Biosystems, Saratov State University, Saratov
Morozov, Konstantin Moiseevich
Leading Scientist of Department of Vessel Surgery, I. M. Sechenov First Moscow State
Medical University, Moscow
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БЫСТРЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ УПРУГОГО ЦИЛИНДРА С УЧЕТОМ СИЛЫ
ТЯЖЕСТИ
APPLICATION OF THE METHOD OF FAST DECOMPOSITIONS
FOR FINDING THE STRESS-STRAIN STATE OF AN ELASTIC
CYLINDER UNDER THE ACTION OF FORCE OF GRAVITY
И. И. ПЕРЕЯСЛАВСКАЯ, А. И. ШАШКИН
I. I. PEREYASLAVSKAYA, A. I. SHASHKIN
Воронежский государственный университет, г. Воронеж
Аннотация. В статье рассматривается задача о нахождении напряженно-деформированного состояния упругого цилиндра, находящегося под действием всестороннего
осесимметричного давления внешней среды и силы тяжести. Решение проводится в
перемещениях, которые представляются быстрыми разложениями, что позволяет в
дальнейшем от решения системы дифференциальных уравнений переходить к решению системы алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов
разложений.
Abstract. In this article the problem of finding the stress-strain state of an
elastic cylinder under the action of comprehensive axisymmetric pressure and force of
gravity is considered.Solution is performed in displacements, which represented by fast
decompositions. It allows to transfer from solving of the system of differential equations
to solving of the system of algebraic equations regarding to the unknown coefficients of
decompositions.
Ключевые слова: упругий цилиндр, напряженно-деформированное состояние, учет
силы тяжести,граничная функция,быстрые разложения.
Keywords: elastic cylinder,stress-strain state, action of force of gravity,boundary function,
fast decompositions .
Постановка задачи. Рассматривается упругий цилиндр радиуса r = a, лежащий
на жестком основании. На внешнем контуре приложена распределенная нагрузка интенсивностью. Вес тела приложен в центре инерции. Решение задачи о нахождении
напряженно-деформированного состояния цилиндра может быть выполнено в рамках
плоской деформации.
123
124
И. И. ПЕРЕЯСЛАВСКАЯ, А. И. ШАШКИН
Запишем основные соотношения в цилиндрической системе координат. Используя
закон Гука и соотношения Коши, получим уравнения равновесия в форме Ламе:

(λ + µ) ∂ 2 V
(λ + 3µ) ∂V
∂2U


+
−
+
(λ
+
2µ)


2

∂r
r
∂r∂θ
r2
∂θ





µ ∂2U
(λ + 2µ) ∂U
(λ + 2µ)


+ 2 2 +
−
U = γ sin θ,

r ∂θ
r
∂r
r2

∂2V
µ ∂V
µ
1 1
∂2U



µ
+
−
V
+
(
+
λ)
+
 ∂r2

r ∂r
r2
r r
∂r∂θ





1 (λ + µ)
∂U
(λ + 2µ) ∂ 2 V


+ (
+ 1)
+
= γ cos θ,
2
2
2
r
∂θ
r
r
∂θ
(1)
где γ – объемная сила [1], U (r, θ), V (r, θ) – компоненты радиального и окружного
перемещений.
Центр цилиндра является особой точкой, поэтому, исходя из физических соображений, будем считать, что перемещения и напряжения являются ограниченными функциями [2]:
|σr , σθ , τrθ , U, V | < ∞, причем U (r, θ), V (r, θ) ∈ L42 (Ω), Ω = (06r6a, 06θ62π).
Обозначим границу области определения, равную 2π, через θ0 . Тогда:
θ=0:
σθ (r, θ) = G1 (r), τrθ (r, θ) = G2 (r),
(2)
θ = θ0 : σθ (r, θ) = G3 (r), τrθ (r, θ) = G4 (r).
Считаем, что Gi (r), i = 1..4 удовлетворяют условиям гладкости и ограниченности. Помимо этого, можно считать, что в центре цилиндра компонента перемещений
V (r, θ) = 0, а U (r, θ) достигает экстремума.
На внешней границе r = a заданы нормальные и касательные напряжения:
σr (r, θ) = F1 (θ),
τrθ (r, θ) = F2 (θ).
(3)
Таким образом, приходим к краевой задаче (1) со смешанными граничными условиями (2) и (3).
Поиск решения с помощью метода быстрых разложений. Используем разложения по углу θ. Компоненты перемещений представим в следующем виде [3]:
U = M2 +
N
X
m=1
N
X
θ
θ
, V = M3 + v0 (r) +
Vm (r) cos mπ
,
Um (r) sin mπ
θ0
θ0
(4)
m=1
где N – число рассматриваемых членов в рядах Фурье, M2 и M3 – граничные функции,
которые имеют вид:
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БЫСТРЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ...
125
θ
θ
) + A2 (r) +
θ0
θ0
θ2
θ3
θθ0
θ3
θθ0
+A3 (r)( −
−
) + A4 (r)(
−
)
2
6θ0
3
6θ0
6
M2 = A1 (r)(1 −
θ2
θ2
) + B2 (r)
+
M3 = B1 (r)(θ −
2θ0
2θ0
θ3
θ 2 θ0
θ 2 θ0
θ4
θ4
+B3 (r)( −
−
−
) + B4 (r)(
),
6
24θ0
6
24θ0
12
A1 (r) = U (r, 0), A2 (r) = U (r, θ0 ), A3 (r) = Uθθ (r, 0), A4 (r) = Uθθ (r, θ0 ),
(5)
(6)
B1 (r) = V (r, 0), B2 (r) = V (r, θ0 ), B3 (r) = Vθθ (r, 0), B4 (r) = Vθθ (r, θ0 ).
Данное представление приводит к наиболее удобной вычислительной схеме, т. к. в
первом уравнении системы производная от функции U по θ – вторая, а от V по θ –
первая, во втором уравнении – наоборот – от V по θ – вторая, а от U по θ – первая.
Тогда, при использовании для U синус-разложения и косинус-разложения для V, мы
получим старшие производные от этих разложений по синусам в первом уравнении
и по косинусам – во втором. Метод быстрых разложений, использование граничных
функций, а также быстрая сходимость рядов Фурье подробно рассмотрены в работах
[4–7].Суть этого метода заключается в преобразовании системы дифференциальных
уравнений к системе алгебраических посредством использования операторов быстрых
разложений.
После подстановки (4) и (5) в уравнения равновесия (1) мы получим систему, состоящую из двух уравнений с 9 + 2N неизвестными функциями:
(
A1 (r), A2 (r), A3 (r), A4 (r), U1 (r), ..., UN (r),
)
.
(7)
B1 (r), B2 (r), B3 (r), B4 (r), V1 (r), ..., VN (r), v0 (r)
Эти функции зависят только от переменной r. Применяя к первому уравнению
оператор синус – разложения нулевого порядка, а ко второму – оператор косинусразложения первого порядка, мы получим систему, состоящую из 2N + 5 уравнений с
2N + 9 неизвестными (7). Полученную систему замыкаем граничными условиями (2)
с использованием в них разложений (4) и (5). Далее, используя в граничных условиях
(3) разложения (4) и (5) и применяя к полученным выражениям операторы быстрых
разложений, получим ещё 4N + 11 уравнений.
Представим теперь 2N + 9 неизвестных функций (9) в виде быстрых разложений:
126
И. И. ПЕРЕЯСЛАВСКАЯ, А. И. ШАШКИН
r
r ∂ 2 Ai (0) r2
r3
ra
Ai (r) = Ai (0)(1 − ) + Ai (a) +
(
−
− )+
2
a
a
∂r
2
6a
3
N
P
∂ 2 Ai (a) r3
ra
mπr
i
+
( − )+
Am sin(
), i = 1..4,
∂r2
6a
6
a
m=1
r
r ∂ 2 Bi (0) r2
r3
ra
Bi (r) = Bi (0)(1 − ) + Bi (a) +
(
−
− )+
2
a
a
∂r
2
6a
3
N
P
ra
mπr
∂ 2 Bi (a) r3
i sin(
( − )+
Bm
), i = 1..4,
+
∂r2
6a
6
a
m=1
r
r ∂ 2 Vi (0) r2
r3
ra
Vi (r) = Vi (0)(1 − ) + Vi (a) +
(
−
− )+
2
a
a
∂r
2
6a
3
N
P
mπr
∂ 2 Vi (a) r3
ra
i
( − )+
Vm sin(
+
), i = 1..4,
∂r2
6a
6
a
m=1
(8)
r ∂ 2 Ui (0) r2
r3
ra
r
( −
− )+
Ui (r) = Ui (0)(1 − ) + Ui (a) +
2
a
a
∂r
2
6a
3
N
P
∂ 2 Ui (a) r3
mπr
ra
i sin(
+
( − )+
Um
), i = 1..4,
∂r2
6a
6
a
m=1
r
r ∂ 2 v0 (0) r2
r3
ra
v0 (r) = v0 (0)(1 − ) + v0 (a) +
(
−
− )+
2
a
a
∂r
2
6a
3
N
P
∂ 2 v0 (a) r3
ra
mπr
0 sin(
+
( − )+
vm
), i = 1..4.
∂r2
6a
6
a
m=1
Разложение каждой неизвестной функции содержит четыре неизвестных значения соответствующей функции и ее второй производной в точках r = 0, r = a
и N неизвестных констант, являющихся коэффициентами суммы, где верхний индекс – номер раскладываемой функции, нижний индекс – порядковый номер коэффициента. Например, в разложении A1 (r) константы Ai (0) = A1 (0), Ai (a) =
∂ 2 Ai (0)
=
= A1 (a) – значения функции в крайних точках области r ∈ [0, a],
∂r2
2
2
2
∂ A1 (0) ∂ Ai (a)
∂ A1 (a)
=
,
=
– значения вторых производных в этих же точках,
2
2
∂r
∂r
∂r2
A11 , A12 , ..., A1N – коэффициенты ряда Фурье. Подставим эти разложения в систему, полученную посредством операторов быстрых разложений из уравнений равновесия и
граничных условий (2). Применяя к уравнениям системы операторов быстрых разложений по переменной r, придем к системе (2N + 9)(4 + N ) алгебраических уравнений
с таким же количеством неизвестных констант разложений (8), решив которую получим единственное решение в перемещениях.
Ввиду громоздкости выражений система и ее решение в статье не приведены.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БЫСТРЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ...
127
ЛИТЕРАТУРА
[1] Матвеев, C. В. Упругопластическое состояние среды, ослабленной горизонтальной цилиндрической полостью, с учетом силы тяжести / С. В. Матвеев // Вестник
СамГУ. Естественнонаучная серия. – Самара, 2007.– № 2(52). – С. 107–114.
[2] Шаров, А. В. О напряжениях в режущем инструменте / А. В. Шаров, А. Д. Чернышов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики:
Сб. трудов Международной конференции. – Воронеж, 2010. – С. 413–416.
[3] Чернышов, А. Д. Применение метода быстрых разложений при рассмотрении математической модели клиновидного режущего инструмента [Текст] / А. Д. Чернышов,
Н. А. Чернышов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и
механики: сб. трудов Международной конференции. – Воронеж, 2013.
[4] Чернышов, А. Д. Быстрые ряды Фурье / А. Д. Чернышов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. трудов Международной
конференции. – Воронеж, 2010. – С. 388–393.
[5] Чернышов, А. Д. Улучшеные ряды Фурье и граничные функции / А. Д. Чернышов // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики:
сб. трудов Международной конференции. – Воронеж, 2009. – Ч. 2 – С. 236–238.
[6] Чернышов, А. Д. О применении быстрых разложений для решения нелинейных
задач механики/ А. Д. Чернышов // Актуальные проблемы прикладной математики,
информатики и механики: сб. трудов Международной конференции. – Воронеж, 2011.
– С. 412–416.
[7] Чернышов, А. Д. Оператор быстрых разложений и теорема единственности быстрых разложений / А. Д. Чернышов // Актуальные проблемы прикладной математики,
информатики и механики: сб. трудов Международной конференции. – Воронеж, 2012.
– Ч. 1. – С. 401–405.
АВТОРЫ:
Переяславская Ирина Игоревна,
аспирант кафедры математического и прикладного анализа, Воронежский государственный университет, г. Воронеж
e-mail: [email protected]
Шашкин Александр Иванович,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического и прикладного анализа, Воронежский государственный университет, г. Воронеж
e-mail: [email protected]
128
И. И. ПЕРЕЯСЛАВСКАЯ, А. И. ШАШКИН
AUTHORS:
Pereyaslavskaya, Irina Igorevna
Postgraduate Student, Department of Mathematical and Applied Analysis, Voronezh State
University, Voronezh
Shashkin, Alexander Ivanovich
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Head of Department of Mathematical and Applied
Analysis, Voronezh State University, Voronezh
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.374
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТЕРИ
УСТОЙЧИВОСТИ ПОДЪЕМНОЙ ЦИСТЕРНЫ ДЛЯ ПЕРЕВОЗКИ
СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ АВАРИЙНОМ ПАДЕНИИ
EXPERIMENTAL RESEARCH OF THE STABILITY LOSS OF LIFTING
THE CISTERN THE TRANSPORT OF GRANULAR MATERIAL
BY ACCIDENTAL COLLAPSE
Е. Г. ГОНИК, А. И. КИБЕЦ, В. А. ИВАНОВ, М. В. ПЕТРОВ,
Т. Г. ФЕДОРОВА
E. G. GONIK, A. I. KIBETS, V. A. IVANOV, M. V. PETROV,
T. G. FEDOROVA
Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова, г. Чебоксары
НИИ механики Нижегородского госуниверситета им. Н. И. Лобачевского,
г. Нижний Новгород
Аннотация. Экспериментально исследуются деформирование и потеря устойчивости
тонкостенных оболочек при изгибе, полых и заполненных железным порошком, предназначенных для автомобильной транспортировки сыпучих материалов. Поставлен
эксперимент аварийного падения цистерны.
Abstract. On an experimental basis, deformation and stability loss of thin-walled clad
layers while bending that are hollow and filled with iron powder and meant for the transport
of granular material by car are studied. An experiment of accidental collapse of a cistern
is carried out.
Ключевые слова: цистерна, потеря устойчивости, критическая сила, эксперимент,
деформация.
Keywords: cistern, stability loss, critical power, experiment, deformation.
При проектировании тонкостенных конструкций наряду с оценкой прочности необходим анализ их устойчивости при всех возможных нагружениях. Большегрузная
емкость для автомобильной транспортировки сыпучих грузов при разгрузке наклоняется. Для этого ее один торец шарнирно закрепляется на раме, а другой поднимается телескопическим устройством. Под действием массы материала корпус емкости при подъеме изгибается. Этот процесс может сопровождаться образованием
пластических деформаций в средней части длины емкости и потерей устойчивости.
129
130
Е. Г. ГОНИК, А. И. КИБЕЦ...
Для обоснования соответствия проектируемой конструкции требованиям нормативных документов необходимо решение трехмерной геометрически и физически нелинейной задачи устойчивости замкнутой оболочки вращения с учетом моментности
напряженно-деформированного состояния оболочки. Сложность изучения рассматриваемой задачи заключается в правильном определении модели заполнителя, который
имеет свойства как жидкости, так твердого тела. Для изучения влияния засыпки на
устойчивость емкости проводились эксперименты по определению критического параметра нагрузки и изменению геометрических размеров испытываемых образцов.
В результате экспериментально-теоретических исследований напряженнодеформированного состояния цистерны для транспортировки сыпучих материалов
при аварийном падении разработаны математическая модель, методы и алгоритмы
численного решения задачи. При разработке математической модели использован
Лагранжев подход описания движения деформируемой среды. Кинематические
соотношения сформулированы в метрике текущего состояния. В качестве уравнений
состояния применены соотношения теории течения с комбинированным кинематическим и изотропным упрочнением. Численное решение задачи основано на моментной
схеме метода конечных элементов и явной конечно-разностной схеме интегрирования
по времени типа "крест"[1]. Программная реализация математических моделей и
методов решения осуществлена в сертифицированном пакете прикладных программ
"Динамика-3"[2]. Для их верификации созданы экспериментальная установка и
методика испытаний. Проведен цикл экспериментальных исследований поведения
цилиндрической оболочки при падении.
Большегабаритная емкость при разгрузке сыпучего материала поднимается с одного конца телескопическим устройством. При этом возможна потеря устойчивости
оболочки с последующими необратимыми деформациями и разрушением в результате
аварийного падения при разгрузке. Для экспериментального исследования поведения
цистерны при аварийном падении выбраны образцы в виде тонкостенных цилиндрических оболочек с плоскими днищами на торцах. Один торец шарнирно прикреплен
на неподвижной стальной раме. Другой торец при падении соударяется с шарнирной
опорой. Толщина стенки оболочки 0,1 мм, диаметр 65,6 мм, длина 260 мм. Оболочки выполнены из алюминиевого сплава. Образец заполнялся железным порошком.
Определена средняя скорость движения конца образца при подходе к нижней опоре.
Изменяя длину образцов, определяли критическую длину, при которой оболочка теряет устойчивость при падении. В экспериментах фиксировались величина критической
нагрузки и остаточная деформированная форма образца.
При комплексном экспериментально-теоретическом подходе решения поставленной
задачи: – верифицированы математические модели, методы решения и программа
решения;
– разработаны экспериментальная установка и методика испытаний для анализа
устойчивости заполненной сыпучим материалом замкнутой цилиндрической оболочки
при аварийном падении;
– проведены экспериментальные исследования устойчивости цилиндрической оболочки, заполненной сыпучим материалом при аварийном падении;
– обобщены и оценены результаты экспериментально-теоретических исследований,
оценена эффективность полученных результатов.
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БЫСТРЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ...
131
ЛИТЕРАТУРА
[1] Баженов В. Г. Численное моделирование нестационнарных процессов ударного
взаимодействия деформируемых элементов конструкций / В. Г. Баженов, А. И. Кибец,
И. Н. Цветкова // Проблемы машиностроения и надежности машин. – 1995. – № 2. –
С. 20–26.
[2] Программный продукт "Пакет прикладных программ для решения трехмерных
задач нестационарного деформирования конструкций, включающих массивные тела
и оболочки "Динамика-3" (ППП "Динамика 3" ): Сертификат соответствия госстандарта России № РОСС RU.ME20.H00338/2000.
АВТОРЫ:
Гоник Екатерина Григорьевна,
ассистент кафедры строительных конструкций, Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова, г. Чебоксары
Кибец Александр Иванович,
доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, НИИ механики
Нижегородского госуниверситета им. Н. И. Лобачевского, г. Нижний Новгород
Иванов Виктор Анатольевич,
ассистент кафедры строительных конструкций, Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова, г. Чебоксары
Петров Михаил Васильевич,
доктор технических наук, профессор кафедры строительных конструкций, Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова, г. Чебоксары
Федорова Татьяна Георгиевна,
ассистент кафедры строительных конструкций, Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Gonik, Ekaterina Grigoryevna
Assistant at the Department of Construction Building, Chuvash State University,
Cheboksary
Ivanov, Victor Anatolyevich
Assistant at the Department of Construction Building, Chuvash State University,
Cheboksary
Kibets, Alexander Ivanovich
132
Е. Г. ГОНИК, А. И. КИБЕЦ...
Dr. Sci. Phys. & Math., Chief Researcher, Scientific Research Institute of Mechanics of the
Nizhny Novgorod State University of N. I. Lobachevsky, Nizhny Novgorod
Petrov, Mikhail Vasilyevich
Doctor of Engineering Sciences, Professor at the Department of Construction Building,
Chuvash State University, Cheboksary
Fedorova, Tatyana Georgievna
Assistant at the Department of Construction Building, Chuvash State University,
Cheboksary
e-mail: [email protected]
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.313:517.968.72
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В МИКРОСЛОИСТОЙ
ОРТОТРОПНОЙ ПОЛОСЕ С РАЗРЕЗАМИ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ
ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАГРУЗОК
DEFINING RELATIONS AND INITIAL VALUE PROBLEMS FOR
VISCOELASTIC MEDIA WITH FRACTIONAL RIEMANN-LIOUVILLE
OPERATORS
Ю. М. ПЛЕСКАЧЕВСКИЙ, Ю. А. ЧИГАРЕВА
YU. M. PLESKACHEVSKY, YA. A. CHIGAREVA
Белорусский национальный технический университет, г. Минск
Аннотация. Рассмотрены частные случаи обобщённой одномерной модели вязкоупругого тела с памятью, основанные на использовании аппарата дробного интегродифференцирования Римана – Лиувилля на отрезке. Найдены явные решения начальных задач в случае, когда напряжение действует на конечном интервале времени.
Проведён сравнительный анализ полученных решений в стадиях нагружения и разгружения. Доказана непрерывная зависимость решений от порядка дробности при его
устремлении к единице, изучена асимптотика решений.
Abstract. Particular cases of the generalized one-dimensional model of a viscoelastic
body with memory, based on the apparatus of Riemann – Liouville fractional integrodifferentiation on the interval were considered. Explicit solutions of initial value problems
when the stress acts on a finite time interval are found out. A comparative analysis of the
solutions obtained in the stage of loading and unloading is executed. Proved the continuous
dependence of solutions when the fractional order converges to unity, the asymptotic
behavior of solutions is studied.
Ключевые слова: реологические модели вязкоупругого тела, дифференциальные и
интегральные уравнения с дробными операторами Римана-Лиувилля, дробные аналоги реологических моделей.
Keywords: rheological models of viscoelastic body, differential and integral equations with
fractional Riemann-Liouville operators, fractional analogs of rheological models.
Рассматривается пространственная задача о неограниченной пластине с двумя прямолинейными полубесконечными разрезами в одной и той же плоскости, находящейся
под действием тепловых потоков, силовое воздействие отсутствует. Материал пластины ортотропный, слоистый, причем характер изменения неоднородности по толщине
133
134
Ю. М. ПЛЕСКАЧЕВСКИЙ, Ю. А. ЧИГАРЕВА
пластины в общем случае имеет два масштаба. Макромасштаб характеризуется расстоянием разрезов от граничных плоскостей, свободных от силовых нагрузок и равных толщинам слоев, жестко скрепленных в области перемычки между разрезами.
Микромасштаб определяется зависимостью коэффициентов упругости, теплопроводности, теплоемкости от пространственных координат по толщинам макрослоев, причем аналитическая зависимость для каждого из макрослоев своя, при переходе через
границу макрослоев скачок испытывают только градиенты (производные) теплофизических и упругих коэффициентов, а сами коэффициенты непрерыны. Таким образом, в общем случае задача о расслоении двух макропластин осложняется наличием
микронеоднородности, ее влиянием на механическое состояние пластин и прогноз предельного состояния.
Рассмотрено решение задачи для случаев, когда возможно перейти от уравнений
в частных производных с переменными коэффициентами к уравнениям с постоянными коэффициентами, для которых оказывается применимым метод разделения переменных в сочетании с методом интегральных преобразований. Для решения плоской
задачи о двухслойной микронеоднородной полосе с разрезами применяются методы
интеграла Коши и приближенного решения интегральных уравнений. Задачи теплопроводности и термоупругости решаются последовательно и по одинаковой схеме. Вычисляются коэффициенты концентрации напряжений в окрестности кончиков трещин
и численно исследовано их поведение в зависимости от расстояния между концами
разрезов и толщины макрослоев при различных соотношениях между геометрическими и физико-механическими параметрами слоев.
Вычислению коэффициентов интенсивности термических напряжений посвящено
достаточно много работ, отметим некоторые из них, в которых можно найти соответствующую библиографию [1], [2]. Учет анизотропии оказывает существенное влияние
на распределение напряжений в пластинах с разрезами [3], [4]. Учет неоднородности
на макроуровне обычно проводится на основе моделей кусочно-однородных пластин и
оболочек [5], а на микроуровне – с помощью функциональных зависимостей физикомеханических параметров среды от пространственных координат [6]. В последние годы интерес к неоднородным средам градиентного типа стимулируется проблемами,
возникающими в практике использования различных композитных материалов в машинах, технологических процессах, связанных с температурным воздействием на них.
Многопараметричность проблемы, обусловленная учетом анизотропии, неоднородности сильно усложняет задачу, но позволяет ставить задачи управления процессами
деформирования и разрушения. Исследованию влияния температуры на микрослоистые пластины с трещинами посвящены работы [7], [8], [9], [10], [11].
1. Температурное поле в микрослоистой пластине
Рассмотрим пластину толщиной H = H1 +H2 [−H2 ≤ y ≤ H1 ], размеры которой по z
и x – ∞ < x, z < ∞ неограниченные. Пластина подвергается вдоль оси у сверху и снизу
действию тепловых потоков так, что плоскости y = H1 , y = −H2 перпендикулярны
вектору потока.
Положим, что внешнее температурное поле не изменяется вдоль координаты z так,
что можно считать, что внутреннее поле температуры и напряжений также не изменяется вдоль координаты z. На глубине Н1 в пластине имеются два коллинеарных
бесконечных разреза вдоль оси z и полубесконечных вдоль оси х. Таким образом,
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В МИКРОСЛОИСТОЙ ОРТОТРОПНОЙ...
135
между верхней частью пластины 0 ≤ y ≤ H1 и нижней H2 ≤ y ≤ 0 имеется перемычка l < x < ∞, −∞ < x < −l, −∞ < z < ∞. На рисунке 1 в плоскости Oxy изображена
схема задачи.
Рис. 1. Микронеоднородный слой под действием тепловых потоков,
Hi (i = 1, 2) – толщина слоев,
l – расстояние между концами разрезов в плоскости Oxy (y = 0)
Материал пластины представляет собой такой микрослоистый, макроскопически
двухслойный композит, что все материальные коэффициенты являются функциями
только у, т. е. пластина является микрослоистой по толщине, причем характер неоднородности может меняться при переходе через плоскость y = 0 и задача является
плоской в плоскости Оху. Верхний слой толщины Н1 жестко скреплен с нижним слоем толщины Н2 по плоскости у = 0; l ≤ x ≤ l. Уравнения, описывающие стационарные
температурные поля T(τ ) (х, у), в среде имеют вид
"
#
∂T (τ )
∂ 2 T (τ )
∂
(τ )
(τ )
= 0, (τ = 1, 2) ,
Λ11 (y)
+ Λ22 (y)
∂y
∂y
∂x2
(1)
где τ = 1 соответствует верхнему слою, τ = 2 – нижнему.
(τ )
(τ )
В уравнении (1) Λ11 (y), Λ22 (y) – переменные коэффициенты теплопроводности
(τ )
(τ )
и для произвольных Λ11 (y), Λ22 (y), уравнение (1) не может быть решено в общем
(τ )
виде. Запишем Λij (y) виде
(τ )
0(τ )
Λij = Λij f(τ ) (y) ,
(2)
0(τ )
где Λij – константы.
Тогда уравнение (1) представится следующим образом:
0(τ ) 2 (τ )
d ln f(τ ) ∂T (τ ) ∂ 2 T (τ ) Λ22
∂ T
+
+
= 0, (τ = 1, 2) .
2
0(τ
)
dy
∂y
∂y
∂x2
Λ11
(3)
136
Ю. М. ПЛЕСКАЧЕВСКИЙ, Ю. А. ЧИГАРЕВА
Рассмотрим такой случай неоднородности: уравнения (3) являются уравнениями с
(τ )
постоянным коэффициентом при ∂T∂y , тогда f(τ ) удовлетворяет дифференциальному
уравнению вида
d ln f(τ )
= с(τ ) .
(4)
dy
Наиболее общий вид экспоненциальной зависимости можно представить в виде
(τ )
(0)(τ )
Λij (y) = Λij
exp δ (τ ) y/l ,
(5)
где учтены микрослоистость, ортотропность, макроскопическая двухслойность. Разрезы моделируют расслоение двух пластин из разных композиционных микрослоистых материалов.
Таким образом, на основании уравнения (4) можно рассмотреть класс микрослоистых сред, описываемых функциями экспоненциального типа, причем для всех этих
типов функций уравнение (3) является уравнением с постоянными коэффициентами,
которое можно записать в виде:
(τ )
с(α) ∂T (τ )
l
∂y
(τ ) ∂
+ k0
2 T (τ )
∂x2
+
∂ 2 T (τ )
= 0,
∂y 2
0(τ )
(τ )
k0 =
Λ22
0(τ )
,
α = 1, 2, 3, 4,
τ = 1, 2,
(6)
Λ11
(τ )
где константа с(α) меняется в зависимости от α-типа неоднородности в нижнем и
верхнем слоях и в зависимости от τ = 1, 2 при переходе от верхнего слоя к нижнему
слою.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Панасюк, В. В. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках / В. В. Панасюк, М. П. Саврук, А. П. Дацышин. – Киев : Наукова думка, 1976. –
443 с.
[2] Кит, Г. С. Нестационарные процессы в телах с дефектами типа трещин /
Г. С. Кит, О. В. Побережный. – Киев : Наукова думка, 1992. – 216 с.
[3] Зобнин, В. А. Центральная поперечная трещина в ортотропной упругой полосе
/ В. А. Зобнин, В. А. Ломакин. – 1974. – № 1. – С. 44–52.
[4] Прусов, И. А. Термоупругие анизотропные пластинки / И. А. Прусов. – Мн. :
Из-во БГУ, 1978. – 199 с.
[5] Плескачевский, Ю. М. Динамика металлополимерных систем / Ю. М. Плескачевский, Э. И. Старовойтов, А. В. Яровая. – Минск : Беларусская навука, 2004. –
385 с.
[6] Подстригач, Я. С. Термоупругость тел неоднородной структуры / Я. С. Подстригач, В. А. Ломакин, Ю. М. Коляно. – М. : Наука, 1984. – 388 с.
[7] Erdoganб F. The crack problem in bonded non-homogeneous materials / F. Erdogan,
A. C. Kaya, P. F. Joseph // J. Appl. Mech. – 1991. – № 58. – P. 410–418.
КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В МИКРОСЛОИСТОЙ ОРТОТРОПНОЙ...
137
[8] Erdogan, F. The surface crack problem for a plate with functionally graded properties
/ F. Erdogan, B. H. Wu // ASME. J. of Appl. Mech. – 1997. – № 64. – P. 449–456.
[9] El-Borgl, S. A partially insulated crack embedded in on ifinite functionally graded
medium under thermo-mechanical loading / S. El-Borgl, F. Erdogan, L. Hidri // Int. J. of
Eng. Science. – 2004. – № 42. – P. 371–393.
[10] Iton, S. Thermal stress intensity factors of an infinite orthotropic layer with a crack
/ S. Iton // Int. J. of Fracture. – 2000. – № 103. – P. 279–291.
[11] Zhan, Y.T. A partially insulated interface crack between a graded orthotropic
coating and a homogeneous orthotropic substrate under heat flux supply / Y. T. Zhan,
X. Li, D. H. Yu // Int. J. of Solid and Struct. – 2010. – № 47. – P. 768–778.
АВТОРЫ:
Плескачевский Юрий Михайлович,
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой, Белорусский национальный технический университет, г. Минск
e-mail: [email protected]
Чигарева Юлия Анатольевна,
преподаватель, Белорусский национальный технический университет, г. Минск
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Pleskachevsky, Yury Mikhaylovich
Doctor of Phys. & Math. Sciences, Professor, Belarusian National Technical University,
Minsk
Chigareva, Yulia Anatolyevna
Teacher, Belarusian National Technical University, Minsk
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.52
ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ РАЗМЕРОВ ЗАГОТОВОК НА ИТОГОВОЕ
НАПРЯЖЕНИЕ ПРИ ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИ СПЛАВА ВТ6
INVESTIGATION AN INFLUENCE OF SAMPLES SIZES ON THE FINAL
STRESS UNDER UNIAXIAL TENSION OF TI-6AL-4V ALLOY
Ю. А. ПУЗИНО, С. А. АКСЕНОВ
Y. A. PUZINO, S. A. AKSENOV
Московский институт электроники и математики Научного исследовательского
университета высшая школа экономики, г. Москва
Аннотация. Проведена серия расчётов процесса растяжения осесимметричных образцов с различной по высоте базой в условиях сверхпластичности с помощью имитационного моделирования. В качестве материала был выбрал сплав ВТ6. Были найдены зависимости полученных напряжений и сил в центральной области от габаритов
рабочей части цилиндров.
Abstract. A series of calculations of the stretching process with axisymmetric samples
with different height in superplastic conditions using imitation simulation was held. As
material was chosen Ti-Al6-V4 alloy. Dependencies of the obtained stresses and forces in
central areas of samples from the size of the cylinders were obtained.
Ключевые слова: титановый сплав, имитационное моделирование, сверхпластичность, тесты на растяжение
Keywords: titanium alloy, imitation simulation, superplasticity, tensile tests
Введение
Для определения механические свойств материалов, которые представляют собой
зависимость напряжения от деформации и скорости деформации при заданной температуре, проводятся различные механические испытания материалов [1]. В большинстве случаев наиболее удобными являются тесты на одноосное и двуосное растяжение
или сжатие. При этом в ряде случаев тесты на одноосное растяжение предпочтительнее, так как позволяют контролировать скорость деформации во время испытания.
Контроль скорости особо важен при сверхпластичной формовке – эффективному способу производства компонентов сложной формы, который применяется при изготовлении изделий для аэрокосмической, автомобильной и даже медицинской промышленности. При проведении механических испытаний используют заготовки различных
габаритов.
138
ИЗУЧЕНИЕ ВЛИЯНИЯ РАЗМЕРОВ ЗАГОТОВОК ...
139
Целью данной работы является выявление зависимостей напряжений от размеров
рабочих (растягивающихся) частей таких заготовок.
Имитационное моделирование
Моделирование было проведено при помощи разработанного на кафедре программного пакета [2]. В качестве образцов было выбрано несколько цилиндрических стержней различной высоты: 5 мм, 10 мм, 15 мм, 20 мм. Их радиус – 5 мм. Так как цилиндры
осесимметричны, то при моделировании достаточно рассматривать поведение четверти центрального сечения заготовки.
Осуществлённое растяжение заготовок: 200 %. В качестве материала был выбран
сплав ВТ6. Постоянная скорость деформации (ε˙ = 0.001 сек−1 ) при растяжении поддерживалась путём программного изменения скорости движения траверсы. Свойства
данного титанового сплава описываются реологической моделью О. М. Смирнова [1]:
σ0 + kv ε˙mv
,
(1)
σs + kv ε˙mv
где σ – напряжение, σs – предел текучести, σ0 – пороговое напряжение, k и mv –
параметры вязкости, ε˙ – скорость деформации.
Материал задавался следующими свойствами, найденными в результате проведения серии экспериментов [3] для определённой температуры T = 900◦ C: σ0 =
7.50, σs = 78.48, kv = 205100, mv = 1.321. При данных значениях результирующее
напряжение должно быть постоянным: 23.22465 МПа.
σ = σs
Результаты
По итогам имитационного моделирования были получены значения силы и напряжения для серединного сечения винта (в данном случае координата y=0).
Рис. 1. Графики зависимостей напряжений от времени; (а) – используя алгоритм S1,
(б) – алгоритм S2
Моделирование проводилось с использованием двух алгоритмов расчёта площади
сечения. В первом случае площадь сечения (S1) вычислялась программно, учитывая положения узлов конечно-элементной сетки. Во втором – площадь сечения (S2)
рассчитывалась пропорционально удлинению. На рисунке 1 представлены графики
сравнения аналитического расчёта и результатов моделирования.
В результате было установлено, что увеличение высоты рабочей базы цилиндра
ведёт к приближению результатов моделирования к аналитическому решению.
140
Ю. А. ПУЗИНО, С. А. АКСЕНОВ
ЛИТЕРАТУРА
[1] Смирнов, О. М. Сверхпластичность: материалы, теория, технология /
О. М. Смирнов, М. А. Цепин, Е. Н. Чумаченко. – М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ»,
2009. – 320 с.
[2] Пузино, Ю. А. Моделирование механических испытаний в режиме сверхпластичности с использованием специальной программы нагружения. Инновации на основе
информационных и коммуникационных технологий / Ю. А. Пузино, С. А. Аксенов. –
М. : МИЭМ НИУ ВШЭ, 2013. – С. 463–465.
[3] Aksenov, S. A. Experimental investigation of Ti-Al-V alloy superplastic behavior /
S. A. Aksenov, E. N. Chumachenko, I. V. Logashina // METAL 2012. 21st International
Conference on Metallurgy and Materials, Conference proceedings. – 2012. – P. 1239–1245.
АВТОРЫ:
Пузино Юрий Алексеевич,
аспирант кафедры механики и математического моделирования, Московский институт электроники и математики Научного исследовательского университета высшая
школа экономики, г. Москва
e-mail: [email protected]
Аксенов Сергей Алексеевич,
кандидат технических наук, доцент, Московский институт электроники и математики
Научного исследовательского университета высшая школа экономики, г. Москва
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Puzino, Yury Alekseevich
Postgraduate Student, Department of Mechanics and Mathematical Modeling, Moscow
institute of electronics and mathematics Scientific Research University Higher School of
Economics, Moscow
Aksenov, Sergey Alekseevich
Candidate of Technical Sciences, Department of Mechanics and Mathematical Modeling,
Moscow institute of electronics and mathematics Scientific Research University Higher
School of Economics, Moscow
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.376
К ВОПРОСУ УЧЕТА ПОЛЗУЧИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ
ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССОВ СНЯТИЯ ОСТАТОЧНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ
ABOUT CONSIDERING CREEPING PROPERTIES OF MATERIALS
AT THE MODELING OF PROCESSES OF RESIDUAL STRESSES RELIEF
М. В. ПОЛОНИК, Е. Е. РОГАЧЕВ, К. Н. ГАЛИМЗЯНОВА
M. V. POLONIK, E. E. ROGACHEV, K. N. GALIMZIANOVA
Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения
РАН, г. Владивосток
Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток
Аннотация. В рамках механики деформируемого твердого тела рассматриваются краевые задачи и описываются закономерности, отвечающие за снятие остаточных напряжений при температурном воздействии. Получено аналитическое решение. Показано, что моделирование следует осуществлять с учетом ползучих свойств
материалов.
Abstract. Within the framework of solid mechanics boundary value problems are
examined and patterns responsible for the removal of residual stresses at temperature
influence are described. An analytical solution is reached. It is shown that simulation
should be carried out under consideration of the creeping properties of materials.
Ключевые слова: деформация ползучести, пластическое течение, остаточные напряжения, реология, отжиг, температурное воздействие.
Keywords: сreep deformation, plastic flow, residual stresses, rheology, annealing,
temperature influence.
Напряжения, существующие в телах или конструкциях при отсутствии каких-либо
внешних воздействий (силовых, тепловых и др.) принято называть остаточными. При
изготовлении и упрочнении металлоизделий в материалах происходит накопление
остаточных напряжений, а их наложение на вновь прикладываемые нагрузки при
эксплуатации отрицательно влияет на характеристики материалов, вызывая в них
коробление или даже разрушение. В настоящее время в технологической практике существует ряд способов по снятию таких нежелательных напряжений (отпуск, отжиг
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 14-01-31069_мол_а).
141
142
ПОЛОНИК М. В., РОГАЧЕВ Е. Е., ГАЛИМЗЯНОВА К. Н.
и др.), предполагающих нагрев материала до определенной температуры, выдержки
и последующем, медленном, охлаждении.
В данной работе в рамках линейной теории упругопластического тела на примере
полого шара с предварительно накопленными необратимыми деформациями рассматриваются краевые задачи и описываются закономерности, отвечающие за снятие остаточных напряжений при температурном воздействии. Уровень принятых за основу
накопленных напряжений был рассчитан в [1], [2]. Необходимым условием этого выступала статическая определимость процесса пластического течения [3], [4]. Показано,
что даже в условиях изменения предела текучести материала с ростом температуры
установлен рост напряжений, приводящий к нежелательным эффектам – повторным
пластическим течениям, как и в [5] на основе линейной вязкоупругой модели Фойгта.
Очевидно, что с феноменологических позиций механики сплошных сред релаксацию
остаточных напряжений нужно рассматривать как явление, вызванное ползучестью
материала [6]. Для металлов ползучие свойства заключаются в непрерывном росте
необратимых деформаций с течением времени при постоянных напряжениях и высоких температурах.
В работе моделирование осуществлялось квазистатическим процессом дополнительного деформирования при медленном нагревании, выдержке при определенной
температуре и медленном охлаждении. Показано, что важнейшее значение для описания процесса снятия остаточных напряжений имеет именно стадия выдержки, которую предложено было рассматривать с учетом ползучих свойств материалов [7],
[8]. В качестве закона ползучести в работе используется степенной закон ползучести
Нортона [9].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Burenin, A. A. Determination of an elastoplastic process on the basis of the resultant
unloaded state / A. A. Burenin, L. V. Kovtanyuk // Mech. Solids. – 2006. – № 41 (3). –
С. 103–106.
[2] Полоник, М. В. О снятии остаточных напряжений в упругопластической среде
на примере полого шара / М. В. Полоник, Е. Е. Рогачев // XXXVI Дальневосточная
математическая школа-семинар имени академика Е. В. Золотова, 4–10 сентября. 2012
г., Владивосток : сборник материалов [Электронный ресурс]. – Владивосток : ИАПУ
ДВО РАН. – 2012. – С. 175–177. – Объем 600 Мб; 1 опт. компакт-диск (CD-ROM).
[3] Burenin, A. A. The possibility of reiterated plastic flow at the overall unloading of
an elastoplastic medium / A. A. Burenin, L. V. Kovtanyuk, M. V. Polonik // Doklady
Physics. – 2000. – № 45. – С. 694–696.
[4] Burenin, A. A. The formation of a one-dimensional residual stress field in the
neighbourhood of a cylindrical defect in the continuity of an elastoplastic medium / A.
A. Burenin, L. V. Kovtanyuk, M. V. Polonik // Journal of Applied Mathematics and
Mechanics. 67(2003). 283–292.
[5] Burenin, A. A. To the Formation of Residual Stress Field in the Vicinity of a Spherical
Cavity Viscoelastoplastic Material / A. A. Burenin, L. V. Kovtanjuk, I. A. Terletskiy //
Far Eastern Mathematical Journal. – 2012. – V. 12. – No 2. – P. 146–159.
К ВОПРОСУ УЧЕТА ПОЛЗУЧИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ ...
143
[6]Радченко, В. П. Ползучесть и релаксация остаточных напряжений в упрочненных
конструкциях / В. П. Радченко, М. Н. Саушкин. – М. : Машиностроение-1, 2005. –
226 с.
[7] Murashkin, E. V. Development of approaches to the creep process modeling under
large deformations / E. V. Murashkin, M. V. Polonik // Applied Mechanics and Materials.
Vols. 249–250 (2013) pp 833–837.
[8] Murashkin, E. V. Determination of a Loading Pressure in the Metal Forming by
the Given Movements / E. V. Murashkin, M. V. Polonik // Advanced Materials Research
Vol. 842 (2014) pp 494–499.
[9] Локощенко, А. М. Моделирование процесса ползучести и длительной прочности
металлов / Локощенко А. М.. – М.: МГИУ. 2007. 264 с.
АВТОР:
Полоник Марина Васильевна,
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН, г. Владивосток
e-mail: [email protected]
Рогачев Егор Егорович,
магистр, инженер-программист, Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН, г. Владивосток
e-mail: [email protected]
Галимзянова Ксения Наильевна,
магистрант, Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Polonik, Marina Vasilyevna
Candidate of Phys.&Math., Senior Researcher, Institution of Russian Academy of Sciences
Institute of Automation and Control Processes of Far-Eastern Branch of RAS, Vladivostok
Rogaсhev, Egor Egorovih
Master, Software Engineer, Institution of Russian Academy of Sciences Institute of
Automation and Control Processes of Far-Eastern Branch of RAS, Vladivostok
Galimzianova, Ksenia Nailyevna
Postgraduate Student, Far Eastern Federal University, Vladivostok
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3:534.1
ВЛИЯНИЕ МАЛОЙ РАЗНОТОЛЩИННОСТИ НА
ПРОДОЛЬНО-РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГОВОЙ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
INFLUENCE OF SMALL VARIABLE THICKNESS ON
LONGITUDINAL-RADIAL VIBRATIONS OF CIRCULAR CYLINDRICAL
SHELL
Н. Б. ПРИХОДЬКО, Г. С. ЛЕЙЗЕРОВИЧ
N. B. PRIKHODKO, G. S. LEIZEROVICH
Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет,
г. Комсомольск-на-Амуре
Аннотация. Исследуется влияние переменной толщины на частоты и формы собственных продольно-радиальных колебаний оболочки. Установлено, что разнотолщинность уменьшает, а не увеличивает низшую частоту преимущественно радиальных колебаний и практически не влияет на низшую частоту продольных колебаний.
Для обнаружения факта снижения частоты радиальных колебаний в математической
модели должны быть учтены малозаметные “быстрые” колебания.
Abstract. The influence of variable thickness on the frequencies and forms their own
longitudinal-radial vibrations is researched. It has been established that the variable
thickness reduces rather than increases the fundamental frequency of the radial vibrations
and mostly does not affect the fundamental frequency of longitudinal vibrations. For
the detection of this fact in the mathematical model must be taken into account subtle
"fast"vibrations.
Ключевые слова: круговая цилиндрическая оболочка, разнотолщинность стенки,
частоты и формы продольных и радиальных колебаний, “быстрые” колебания.
Keywords: circular cylindrical shell, variable thickness, frequencies and forms of
longitudinal and radial vibrations, "fast".
Введение
Влияние малой разнотолщинности, обусловленной технологией изготовления или
конструктивными особенностями, на частоты и формы собственных колебаний реальных круговых цилиндрических оболочек изучено еще недостаточно [1].
Уравнения движения
Рассматривается свободно опертая по торцам несовершенная оболочка радиусом R
и длиной L, толщина которой изменяется по закону:
144
ВЛИЯНИЕ МАЛОЙ РАЗНОТОЛЩИННОСТИ НА КОЛЕБАНИЯ ...
h(x) = h(1 + 2a0 sin(2mπx/L)),
145
(1)
где h – толщина идеальной оболочки; m – число “усилений” и (или) “ослаблений”; 2a0
– наибольшее безразмерное отклонение толщины от ее номинального значения; a0 –
безразмерная амплитуда несовершенств. Будем полагать, что a0 1 и m 1.
Конечномерная модель
Считается, что малая разнотолщинность не оказывает влияния на формы собственных колебаний оболочки, поэтому принимаются следующие выражения для перемещений, справедливые для идеальной оболочки:
u(x, t) = hA cos(πx/L) cos λ0 t;
w(x, t) = hC sin(πx/L) cos λ0 t,
(2)
где A и C – безразмерные амплитуды колебаний; λ0 – собственная частота; t – время.
Частоты и формы собственных колебаний
Подстановка (1) и (2) в уравнения движения и выполнение процедуры метода
Бубнова-Галёркина приводят к системе связанных однородных алгебраических уравнений относительно амплитуд А и С. Графики изменения их отношения k0 = A/C, а
также безразмерных частот ω01 < ω02 в зависимости от относительной длины оболочки ξ = πR/L при а0 = 0, 1 и η = h/R = 0, 01, представлены на рис. 1 а, б. Здесь же,
для сопоставления, показаны отношения амплитуд и собственные частоты идеальной
оболочки.
Рис. 1. Отношения амплитуд и квадраты собственных частот
Выводы
Выполненное исследование показало следующее:
(1) Связь продольных и радиальных колебаний, как идеальной, так и несовершенной оболочек обусловлена практически только отличием коэффициента
Пуассона от нуля.
(2) При l/R ≈ 2, 1 ÷ 6, 3 генерирование радиальных колебаний реальной оболочки
может привести к возникновению соизмеримых с ними продольных колебаний.
Это необходимо учитывать при выполнении анализа в рамках теории пологих
оболочек.
146
Н. Б. ПРИХОДЬКО, Г. С. ЛЕЙЗЕРОВИЧ
(3) Разнотолщинность практически не влияет на частоты преимущественно продольных колебаний оболочек. При расчете радиальных колебаний относительно коротких оболочек, имеющих переменную по длине толщину стенки, необходимо учитывать малозаметные “быстрые” колебания. Их пренебрежение может привести к качественно неверному выводу о влиянии разнотолщинности
на основную частоту.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Amabili, M. Nonlinear Vibrations and Stability of Shells and Plates / M. Amabili. –
New York, Cambridge University Press, 2008. – 374 p.
[2] Блехман, И. И. Вибрационная механика / И. И. Блехман. – М. : Физикоматематическая литература, 1994. – 400 с.
АВТОРЫ:
Приходько Нина Борисовна
магистр техники и технологии, программист кафедры технологии самолетостроения, Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет,
г. Комсомольск-на-Амуре
e-mail: [email protected]
Лейзерович Григорий Самуилович
доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой механики и анализа конструкций и процессов, Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, г. Комсомольск-на-Амуре
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Prikhodyko, Nina Borisovna
Master of Engineering and Technology, Programmer of Department of Technology of
Aircraft Construction, Komsomolsk-on-Amure State Technical University, Komsomolskon-Amure
Leyzerovich, Grigoriy Samuilovich
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Head of Mechanics and Analyses of Processes and
Structures, Komsomolsk-on-Amure State Technical University, Komsomolsk-on-Amure
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 624.131.54:624.131.38
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ОБЩЕЙ ДЕФОРМАЦИИ ГРУНТОВ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗАДАЧИ ЛЯМЕ
DEFINITION OF THE MODULE OF THE GENERAL DEFORMATION
OF SOIL WITH TASK USE MILLION
А. В. ПИЛЯГИН
A. V. PILYAGIN
Чебоксарский политехнический институт (филиал) ФГБОУ ВПО "Московский
государственный машиностроительный университет (МАМИ)" , г. Чебоксары
Аннотация. Задача Ляме служит для определения напряжений и радиальных перемещений в толстостенном полом цилиндре, загруженном равномерно распределенными внутренним и внешним давлениями.
Abstract. The task Million serves for determination of tension and radial movements
in the thick-walled hollow cylinder loaded by the evenly distributed internal and external
pressure.
Ключевые слова: задача Ляме, деформация, прессиометр.
Keywords: task Million, deformation, pressiometr.
При проведении инженерно-геологических изысканий грунтов для целей проектирования зданий и сооружений используется радиальный прессиометр, позволяющий определить деформационную характеристику грунта – модуль общей деформации (модуль упругости). В пробуренную скважину опускается прессиометр, имеющий
эластичную камеру, давление в которой создается гидравлическим (вода, масло) или
пневматическим путем. При этом измеряется увеличение радиуса скважины при наличии внешнего давления грунта, возрастающего с увеличением глубины погружения
прессиометра.
Использование решения задачи Ляме для радиальных перемещений в данном случае приводит к линейному дифференциальному уравнению 2-го порядка с переменными коэффициентами относительно радиальных перемещений, т. е.
d2 · u 1 d · u
u
+ ·
− 2 = 0,
d · r2
r d·r
r
общее решение данного уравнения сводится к виду
u = A · r + B/r,
147
(1)
(2)
148
А. В. ПИЛЯГИН
где А и В – постоянные интегрирования, вычисляемые с учетом граничных условий.
Постоянные интегрирования А и В вычисляются при совместном решении следующих
уравнений:
h
i
1−µ
E
при r = rн , σr = 1−µ2 А(1 + µ) − В r2 = σн ,
н i
h
(3)
1−µ
E
А(1
+
µ)
−
В
= σв .
при r = rв , σr = 1−µ
2
r2
в
Решение данных уравнений дает следующие значения:
1−µ rв2 ·σв −rн2 ·σн
А= E
,
2
2
rн −rв
1−µ rв2 ·rн2 (σв −σн )
.
В= E
r2 −r2
н
(4)
в
Для возможности использования решения данной задачи применительно к прессиометрическим испытаниям необходимо принять значение rн = ∞ (бесконечное распространение грунта) и вычислить пределы:
lim (σв · rв2 − σн · rн2 )/(rн2 − rв2 ) = σн ,
rН →∞
lim (rв2 · rн2 )(σв − σн )/(rн2 − rв2 ) = rв2 (σв − σн ).
(5)
rН →∞
Тогда радиальные перемещения можно вычислить по формуле
rв (1 + µ)(σв − σн ) − σн (1 − µ2 ) .
(6)
E
Зная горизонтальные перемещения стенок камеры прессиометра (увеличение радиуса скважины) и давление внутри камеры σв и снаружи σн (давление грунта) модуль
деформации грунта можно определить по следующей формуле
u=
(1 + µ)(σв − σн ) − σн (1 − µ2 ) · rв
.
(7)
u
В качестве наружного давления Рн необходимо принимать величину природного
давления на глубине расположения прессиометра.
E=
σн = σzg = γ · h,
(8)
где γ – удельный вес грунта в пределах глубины расположения (h) прессиометра.
Полученная формула определения модуля общей деформации учитывает коэффициент Пуассона грунта и глубину погружения прессиометра путем приложения внешнего давления, равного природному. Природное горизонтальное давление увеличивается пропорционально глубине погружения прессиометра, что ведет к снижению
горизонтальных (радиальных) перемещений, а, следовательно, и увеличению модуля деформации грунта. Следовательно, в однородных грунтах модуль деформации
грунта должен возрастать с увеличением глубины скважины (расположение прессиометра). В существующем ГОСТе I1I эта зависимость обратная.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ОБЩЕЙ ДЕФОРМАЦИИ...
149
ЛИТЕРАТУРА
[1] Грунты. Методы полевого определения характеристик прочности и деформируемости. – М. : ГУП ЦПП, 2000. - 86 с.
АВТОР:
Пилягин Алексей Васильевич,
доктор технических наук, профессор, Чебоксарский политехнический институт (филиал) ФГБОУ ВПО "Московский государственный машиностроительный университет
(МАМИ)" , г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Pilyagin, Alexey Vasilyevich
Doctor of Engineering, Professor, Cheboksary Polytechnical Institute (Branch) of "Moscow
state machine-building university (MAMI)" , Cheboksary
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.376
ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ
СТОХАСТИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
ПО КРИТЕРИЮ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ
RELIABILITY ASSESMENT OF AXISYMMETRIC STOCHASTIC
COMPONENTS ACCORDING TO THE CRITERION OF LONG-TERM
STRENGTH
Н. Н. ПОПОВ, Л. В. КОВАЛЕНКО
N. N. POPOV, L. V. KOVALENKO
Самарский государственный технический университет, г. Самара
Аннотация. Разработана методика оценки надежности микронеоднородной толстостенной трубы на основе решения стохастической краевой задачи ползучести. Реологические свойства материала при этом описывались при помощи случайной функции
одной переменной (радиуса r). Для изучения процесса ползучести введен параметр
поврежденности и принята степенная зависимость скорости изменения параметра поврежденности от эквивалентного напряжения. Найдены случайное время до разрушения и его функция распределения, которая аппроксимировалась логарифмически
нормальным законом.
Abstract. The technique of evaluating the reliability microheterogeneous thick-walled
pipe was worked out on the basis of solutions of stochastic boundary value problem of
creepage. Rheological properties of the material was described using a random function
of one variable (radius r). Damage parameter was introduced and adopted by the power
dependence of the rate of change of damage parameter on equivalent stress to study the
process of creep. Random time of failure and its distribution function which is approximated
by a log-normal law was found.
Ключевые слова: установившаяся ползучесть, толстостенная труба, микронеоднородная среда, стохастическая задача, длительная прочность.
Keywords: steady-state creep, thick-walled pipe, microheterogeneous medium, stochastic
problem, long-term strength.
Рассматривается ползучесть толстостенной трубы из микронеоднородного материала, находящейся под действием внутреннего давления, с внутренним радиусом a и
внешним b. Предполагается, что в трубе осуществляется плоская деформация и в
150
ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ...
151
традиционной цилиндрической системе координат полагается, что компонента тензора деформаций εz = 0. При этом реологические свойства материала описываются при
помощи случайной функции радиуса r.
Для описания процесса разрушения при ползучести введем параметр поврежденности материала 0 ≤ ω(t) ≤ 1 и используем кинетическое уравнение Работнова [1]
σ э k
dω
=B
,
(1)
dt
1−ω
где B, k — постоянные материала, σэ — эквивалентное напряжение, которое принимается в соответсвии критерием Сдобырева [2]
σ1 + s
σэ =
.
2
Здесь σ1 — наибольшее нормальное напряжение, s — интенсивность напряжений.
В общем случае эквивалентное напряжение σэ является случайной функцией радиуса r и времени t. При вычислении статистических характеристик напряжения возникают непреодолимые трудности. В связи с этим вводится интегрально-среднее значение эквивалентного напряжения, которое в безразмерной координате r имеет вид
(1 ≤ r ≤ β, β = ab )
Z β
1
σ¯э =
σэ (r)dr.
β−1 1
В работе [3] было показано, что σ¯э можно считать постоянной (случайной величиной в стохастической постановке) для толстостенной трубы в процессе ползучести от
момента времени t = 0 вплоть до разрушения для широкого диапазона изменения
n (показатель нелинейности в определяющем соотношении ползучести) и β . Статистические характеристики случайной величины σ¯э могут быть найдены из решения
стохастической краевой задачи установившейся ползучести, представленной в работе [4].
Разрешая дифференциальное уравнение (1) при ω(0) = 0 и считая, что в момент
разрушения ω(t) = 1, находим случайное время до разрушения:
tp =
1
.
B(k + 1)σ¯э k
Время до разрушения было аппроксимированно логарифмически нормальным законом, функция распределения которого имеет вид
Z t
h (ln z − a)2 i
1
1
exp −
dz.
F (t) = √
2d2
2πd 0 z
Параметры распределения a и d можно найти, если воспользоваться решением стохастической краевой задачи при установившейся ползучести.
Приведен пример вычисления вероятности безотказной работы для микронеоднородной толстостенной трубы с заданными параметрами.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Работнов, Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю. Н. Работнов. – М. :
Наука, 1966. – 752 с.
152
Н. Н. ПОПОВ, Л. В. КОВАЛЕНКО
[2] Сдобырев, В. П. Критерий длительной прочности для некоторых жаропрочных
сплавов при сложном напряженном состоянии / В. П. Сдобырев // Изв. АН СССР.
ОТН. Механика и машиностроение. – 1959. – № 6. – С. 93—95.
[3] Радченко, В. П. Об одном подходе к оценке длительной прочности толстостенных труб на основе инегрально-средних напряженных состояний / В. П. Радченко,
Е. В. Башкинова, С. Н. Кубышкина // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат.
науки. – 2002. – № 16. – С. 96—104.
[4] Попов, Н. Н. Аналитическое решение стохастической краевой задачи установившейся ползучести для толстостенной трубы / Н. Н. Попов, В. П. Радченко // ПММ.
– 2012. – Т. 76. – № 6. – С. 1023—1031.
АВТОРЫ:
Попов Николай Николаевич,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и
информатики, Самарский государственный технический университет, г. Самара
e-mail: [email protected]
Коваленко Людмила Викторовна,
кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры прикладной математики
и информатики, Самарский государственный технический университет, г. Самара
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Popov, Nikilay Nikilaevich
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor, Department of Applied Mathematics and
Information Technology, Samara State Technical University, Samara
Kovalenko, Ludmila Viktorovna
Candidate of Phys.&Math., Assistant, Department of Applied Mathematics and
Information Technology, Samara State Technical University, Samara
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.374
СОВРЕМЕННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ТЕОРИИ И МОДЕЛИ
ТЕРМОУПРУГИХ КОНТИНУУМОВ С ТОНКОЙ“
”
МИКРОСТРУКТУРОЙ
NEW THEORIES AND MODELS OF THERMOELASTIC CONTINUA
WITH FINE MICROSTRUCTURE
Ю. Н. РАДАЕВ, В. А. КОВАЛЕВ
Y. N. RADAYEV, V. A. KOVALEV
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва
Московский городской университет управления Правительства Москвы, г. Москва
Аннотация. Предложена новая теоретико-полевая модель термоупругого континуума второго типа с тонкой“ микроструктурой. Математическая модель реализуется в
”
терминах 4-ковариантного полевого лагранжева формализма. Тонкая“ микрострук”
тура континуума определяется микроструктурными d-векторами и d-тензорами, которые вводятся как экстраполевые переменные. Сформулирован вариационный принцип наименьшего действия. Получены ковариантные уравнения термоупругого поля.
Возможные кинематические ограничения учтены с помощью правила множителей
Лагранжа. Даны канонические формы дивергентных законов сохранения термоупругого поля в плоском 4-пространстве-времени. Исследуется инвариантность функционала действия относительно трехмерных вращений эйлеровой координатной системы.
Получены функциональные условия ротационной инвариантности действия и плотности действия, независимые ротационно инвариантные аргументы, т. е. ротационно
инвариантные векторы и тензоры экстра-деформации.
Abstract. A new non-linear mathematical model of hyperbolic thermoelastic continuum
with fine microstructure is proposed. and presented in terms of 4-covariant field formalism. Fine microstructure is introduced by d-tensors as extra field variables. The least
action principle is formulated. 4-covariant field equations of hyperbolic thermoelasticity
are obtained. Those are given also when d-tensors satisfying a number of constraints.
153
154
Ю. Н. РАДАЕВ, В. А. КОВАЛЕВ
Variational symmetries of the thermoelastic action are used to formulate covariant conservation laws in a plane space–time. For micropolar type-II thermoelastic Lagrangians
following the usual procedure independent rotationally invariant functional arguments are
obtained. Objective forms of the Lagrangians satisfying the frame indifference principle
are given. Those are derived by using extra strain vectors and tensors. Objective forms
of constitutive equations are obtained and discussed.
Ключевые слова: термоупругость, микроструктура, поле, экстра-поле, действие,
ковариантность, закон сохранения, d-тензор, 4-ток, тензор энергии-импульса, кинематическое ограничение, множитель Лагранжа, ротационная инвариантность, принцип
объективности, тензор экстра-деформации.
Keywords: thermoelasticity, microstructure, field, extra field, action, covariance, conservation law, d-tensor, 4-current, energy-momentum tensor, kinematic constraint, Lagrange
multiplier, rotation, frame indifference principle, extrastrain tensor.
Проблемы, связанные с изучением континуума с микроструктурой, относятся к тем
разделам механики деформируемого твердого тела, которые отдают приоритет структурному моделированию. При этом необходимо учитывать, что существенной особенностью современного состояния естественных наук является явно просматриваемая
тенденция решения нелинейных проблем (в том числе и проблем механики деформируемого твердого тела) вне рамок имеющегося физически надежно обоснованного
набора математических моделей. Конечной целью математического моделирования
обычно ставится формулировка замкнутых систем уравнений, без чего в принципе
невозможны постановка и решение прикладных задач. Огромная роль здесь принадлежит понятиям и методам теории поля.
Целью настоящей работы является построение нелинейной теоретико-полевой модели термоупругого континуума с тонкой“ микроструктурой, представляемой конеч”
ным набором тензоров, ранг которых может быть сколь угодно высоким. Теоретикополевые формулировки обычно подразумевают существенное и интенсивное использование понятий и формализма вариационного исчисления [1]. Наличие конечных геометрических ограничений, накладываемых на микроструктурные параметры, предполагает формулировку проблемы как связанной задачи вариационного исчисления.
Такая постановка впервые была предложена Лагранжем. Ограничения при этом могут
накладываться в форме конечных либо дифференциальных уравнений и неравенств.
Решение подобного рода задач обычно выполняется с помощью правила множителей
Лагранжа (см., например, [2]). Как известно, указанное правило распространяется на
задачи весьма сложной аналитической природы.
Структуру представляемой работы можно охарактеризовать следующим образом.
Сначала излагаются основы теоретико-полевого подхода [3], [4], формулируется принцип наименьшего действия и следующие из него дифференциальные уравнения поля,
дается понятие об инвариантности интегрального функционала действия и обсуждаются основы теории вариационных симметрий действия и дивергентных законов
сохранения, выполняющихся в силу уравнений поля. Затем рассматривается одна
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 13-01-00139 Гиперболические тепловые волны в
”
твердых телах с микроструктурой“).
ТЕРМОУПРУГИЕ КОНТИНУУМЫ С ТОНОКОЙ“ МИКРОСТРУКТУРОЙ
”
155
теоретико-полевая модель термоупругого континуума второго типа с тонкой“ микро”
структурой, которая представляеется конечным набором экстраполевых d-тензоров.
Указанным экстраполевым переменным соответствуют экстра-деформации и экстранапряжения. В самом простом, но в то же время весьма интересном случае, когда
микроструктура континуума задается системой трех нежестких“ векторных дирек”
торов, получены дифференциальные уравнения поля и определяющие уравнения. Далее правило множителей Лагранжа применяется для вывода уравнений поля при наличии кинематических ограничений, связывающих d-тензоры. Заключительный раздел работы включает вопросы, связанные с построением ротационно инвариантных
лагранжианов связанного микрополярного термоупругого поля и соответствующих
объективных форм определяющих уравнений.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Гюнтер, Н. М. Курс вариационного исчисления / Н. М. Гюнтер. – М. ; Л. :
Гостехтеоретиздат, 1941. – 308 с.
[2] Бердичевский, В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды /
В. Л. Бердичевский. – М. : Наука, 1983. – 448 с.
[3] Ковалев, В. А. Элементы теории поля: вариационные симметрии и геометрические инварианты / В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2009. –
156 с.
[4] Ковалев, В. А. Волновые задачи теории поля и термомеханика / В. А. Ковалев,
Ю. Н. Радаев. – Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. – 328 с.
АВТОРЫ:
Ковалев Владимир Александрович,
доктор физико-математических наук, профессор, Московский городской университет
управления Правительства Москвы, г. Москва
e-mail: [email protected]
Радаев Юрий Николаевич,
доктор физико-математических наук, профессор, Институт проблем механики
им. А. Ю. Ишлинского РАН, ведущий научный сотрудник, г. Москва
e-mail: [email protected], [email protected]
AUTHORS:
Kovalev, Vladimir Aleksandrovich
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Moscow City Government University of Management,
Moscow
Radayev, Yuri Nickolaevich
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Leading Researcher, Institute for Problems in Mechanics
of RAS, Moscow
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.376
ОБОБЩЕННЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОЛЗУЧЕСТИ
И ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
GENERALIZED STOCHASTIC MODELS OF CREEP AND LONG-TERM
STRENGTH OF STRUCTURAL ELEMENTS
В. П. РАДЧЕНКО
V. P. RADCHENKO
Самарский государственный технический университет, г. Самара
Аннотация. Рассматривается обобщенная стохастическая модель для описания реологического деформирования и разрушения элементов конструкций в терминах «обобщенная нагрузка, обобщенное перемещение, время». Конструктивный элемент рассматривается как единое целое (специфический образец хотя и сложной структуры).
Установлена полная аналогия между кривыми ползучести одноосного образца и обобщенными кривыми ползучести в координатах «обобщенное перемещение –– время»
при фиксированных значениях обобщенной нагрузки для конструктивного элемента.
На основе этой аналогии предложена обобщенная стохастическая модель реологического деформирования элементов конструкций. Приведены результаты расчетов и
даны рекомендации по назначению ресурса.
Abstract. The generalized stochastic model for describe the rheological deformation and
fracture of structural elements of constructions in terms «generalized load, generalized
displacement, time» is obtained. The feature is considered as a unit (specific sample with
complex structure). A complete analogy between the curves of uniaxial creep model and
generalized creep curves in coordinates «generalized displacement – time» is established
for fixed values of the generalized load for a feature. Based on the analogy, the generalized
stochastic model of rheological deformation of structural elements is proposed. The results
of the calculations and recommendations for operation life defining are given.
Ключевые слова: ползучесть, длительная прочность, обобщенная стохастическая
модель, линеаризация, параметрический критерий отказа, вероятность безотказной
работы.
Keywords: creep, creep rupture strength, generalized stochastic model, linearization,
parametric failure criterion, probability of no-failure, steady creep stage.
156
ОБОБЩЕННЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОЛЗУЧЕСТИ ...
157
Оценка ресурса элементов конструкций в условиях естественного разброса реальных экспериментальных данных по ползучести материалов безусловно является актуальной задачей. Для решения соответствующих краевых задач необходимой предпосылкой является точное и подробное знание механических свойств материалов. Однако в условиях стохастической неоднородности материала при ползучести получить
полную картину распределения случайных свойств по интегрируемому объему — в настоящее время задача не выполнимая ни теоретически, ни экспериментально.
Поэтому необходимы новые подходы к оценке надежности элементов конструкций из стохастически неоднородного материала, одним из которых является метод
обобщенных моделей, предложенный в детерминированной постановке в [1]. Попытка обобщения данного метода на конструкции из стохастически неоднородного материала предпринята в [2]. Суть данного подхода состоит в том, что рассматривая
конструктивный элемент как единое целое (специфический «образец», хотя и сложной структуры), можно установить связь между входными (нагрузки) и выходными
(перемещения, деформации, углы закручивания и т. п.) параметрами, аналогично тому, как строятся модели ползучести для одноосного растягиваемого образца. Тогда
для конкретизации связи между входными параметрами (обобщенная нагрузка) и
выходными характеристиками (обобщенные перемещения) можно использовать уже
имеющиеся одноосные модели реологического деформирования. Такой подход основан
на полной аналогии диаграмм упругопластического деформирования и кривых ползучести для растягиваемого одноосного стержня и соответствующих диаграмм конструктивного элемента как целого в координатах «обобщенная нагрузка — обобщенное
перемещение» или «обобщенное перемещение — время» при постоянных обобщенных
нагрузках.
Для построения обобщенных моделей ползучести необходимы первичные обобщенные «стационарные» кривые ползучести при постоянных нагрузках, которые могут
быть получены либо экспериментально в лабораторных условиях или натурных испытаниях, либо численно решением соответствующей краевой задачи.
Наличие адекватной реологической модели конструкций дает новые возможности
для оценки надежности элементов конструкций по параметрическим критериям отказа, иллюстрация которых и является целью настоящего сообщения.
В докладе рассматриваются и анализируются следующие задачи:
1) теоретическое обоснование и разработка метода построения обобщенных стохастических моделей ползучести и длительной прочности элементов конструкций;
2) разработка обобщенных стохастических моделей для конкретных конструктивных элементов в условиях однопараметрического нагружения (толстостенная труба
под действием внутреннего давления, кручение вала, чистый изгиб балки);
3) проверка адекватности данных расчета по обощенным моделям данным численного эксперимента на основе решений стохастических краевых задач;
4) разработка методов оценки показателей надежности элементов конструкций по
параметрическим критериям отказа на основе обобщенных стохастических моделей
ползучести и длительной прочности по схемам назначенного и индивидуального ресурса.
Приведены результаты расчета надежности (вероятность безотказной работы) для
толстостенной трубы под действием внутреннего давления, вала при кручении, балки
158
В. П. РАДЧЕНКО
при чистом изгибе по «деформационным» и катастрофическим (длительная прочность) критериям отказа по схеме назначенного ресурса (по парку однотипных изделий). Даны рекомендации по назначению величины вероятности безотказной работы.
Показано, что при использовании методов оценки индивидуального остаточного ресурса (эксплуатация по техническому состоянию) увеличение срока службы отдельных реализаций может составлять 35 — 45 %, а по всему парку однотипных изделий —
до 10 — 25 % (в зависимости от интенсивности и характера приложенных обобщенных
нагрузок).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Радченко, В. П. Реологическое дефомирование и разрушение материалов и элементов конструкций / В. П. Радченко, Ю. А. Еремин. – М. : Машиностроение-1, 2004.
– 265 с.
[2] Радченко, В. П. Оценка надежности элементов конструкций в условиях ползучести на основании стохастических обобщенных моделей / В. П. Радченко, С. Н. Кубышкина, М. В. Шершнева // Вестник Самарск. госуд. техн. ун-та. Серия: Физ.-мат.
науки. – 2012. – №. 3 (28). – С. 53–71.
АВТОР:
Радченко Владимир Павлович,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и информатика», Самарский государственный технический университет, г. Самара
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Radchenko, Vladimir Pavlovich
Dr. Sci. (Phys. & Math.), Professor, Head of the Chair Department of Applied Mathematics
and Computer Science, Samara State Technical University, Samara
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ В РЕШЕНИИ ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ
О ПЕРЕМЕННОЙ СДВИГОВОЙ НАГРУЗКЕ НА ГРАНИЦЕ
НЕСЖИМАЕМОГО НЕОДНОРОДНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
THE PERTURBATION METHOD IN SOLVING OF THE
ONE-DIMENSIONAL PROBLEM OF VARIABLE SHEAR LOADING ON
THE BOUNDARY OF AN INCOMPRESSIBLE HALF-SPACE
В. Е. РАГОЗИНА, Ю. Е. ИВАНОВА
V. E. RAGOZINA, Y. E. IVANOVA
Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения
РАН, г. Владивосток
Аннотация. На основе метода сращиваемых асимптотических разложений получено
решение одномерной плоской задачи ударного деформирования нелинейно упругого
несжимаемого слабонеоднородного полупространства. Рассматривается процесс нагружения, в котором сдвиговое воздействие на граничной плоскости меняется и по
интенсивности, и по направлению. Показано, что совместное влияние нелинейности
модели и неоднородности приводит к системе нелинейных эволюционных уравнений
в прифронтовой области ударной волны.
Abstract. On the basis of the matched asymptotic expansions method the solution of
one-dimensional plane problem of shock deformation of nonlinearly elastic incompressible
weakly inhomogeneous half-space is obtained. The loading process in which the intensity
and the direction of shift are changed on the boundary plane is considered. It is shown
that the combined effect of model nonlinearity and inhomogeneity leads to the nonlinear
evolution equations system in the frontal region of the shock wave.
Ключевые слова: нелинейно-упругая несжимаемая неоднородная среда, поперечные ударные волны, сдвиговая нагрузка с переменной направленностью, система эволюционных уравнений.
Keywords: nonlinear elastic incompressible inhomogeneous medium, the transverse shock
waves, shear loading with variable directivity, the evolution equations system.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований 14–01–31030-мол_а, 14–01–00292_a.
159
160
В. Е. РАГОЗИНА, Ю. Е. ИВАНОВА
Свойствам ударных волн в твердых телах посвящено большое число исследований.
В них показано, что деформации объема и формоизменения взаимосвязаны, что отражается на характере ударных волн, которые становятся квазипродольными и квазипоперечными [1]. Вместе с этим квазипоперечные волны при определенных условиях
можно разделить на плоскополяризованные и ударные волны круговой поляризации
[1]. Общая нелинейность краевых задач, включающих ударные волны, серьезно ограничивает возможность теоретического решения. Именно поэтому на сегодняшний день
известно крайне мало теоретических решений задач нелинейной динамики. Особенно
это характерно для решения волновых задач формоизменения, где отсутствует аналогия с газовой динамикой. Применение асимптотического метода малого параметра
является одним из наиболее эффективных приемов анализа нелинейных проблем [2].
На примере одномерной плоской задачи об ударном нагружении по границе
нелинейно-упругого несжимаемого неоднородного полупространства в статье изучаются свойства чисто сдвиговых процессов отдельно от объемного деформирования.
Слабая неоднородность задавалась линейной зависимостью упругих модулей среды и
плотности среды от пространственной переменной:
ρ = ρ0 + ε2 ρ˜1 s, µ = µ0 + ε2 µ1 s, a = a0 + ε2 a1 s, b = b0 + ε2 b1 s,
κ = κ0 + ε2 κ1 s, θ = θ0 + ε2 θ1 s, c = c0 + ε2 c1 s, d = d0 + ε2 d1 s,
q
k = k0 + ε2 k1 s, χ = χ0 + ε2 χ1 s, s = x1 C0−1 T −1 , C0 = µ0 ρ−1
0 ,
(1)
где T и C0 T — характерное время и характерное расстояние, ε 1 — малый параметр
задачи. Полагаем, что результатом нагружения предварительно недеформированного
полупространства будет поле перемещений u1 = 0, u2 = u2 (x1 , t), u3 = u3 (x1 , t). Анализ динамических условий совместности для поставленной задачи приводит к заключению о возможности образования ударных волн двух типов: плоскополяризованной
и волны круговой поляризации. Поставленная задача рассматривалась при условии
общего переднего фронта ударного процесса. Решение нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих поле перемещений, строилось на основе метода сращиваемых асимптотических разложений. В безразмерных переменных s = x1 C0−1 T −1 ,
m = tT −1 , wi (s, m) = ui (x1 , t)C0−1 T −1 методом последовательных приближений было
получено внешнее разложение решения задачи
Zξ
α1
α0 + ρ1 2
s fi (ξ) −
fi (ξ)f (ξ)s+
4
2
0


Zξ
Zξ α0 − ρ1
α0 − ρ1 ˜ α1
˜ ξ˜ −
+
(ξ + s) fi (ξ)d
ξ+
f ξ˜ fi ξ˜ dξ˜ + . . . ,

4
4
2
wi (s, m) = −
0
α0 =
˜ ξ˜ + ε
fi (ξ)d
2
−
(2)
0
µ1
ρ˜1
a0 + b0 + κ0 + d0
, ρ 1 = , α1 =
, ξ = m − s, f (ξ) = f22 (ξ) + f32 (ξ),
µ0
ρ0
µ0
где fi (m) — известные функции нагружения на границе полупространства. В областях, где полученные разложения решения (2) теряли равномерность, строились дополнительные внутренние разложения. В прифронтовой области волнового процесса
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ...
161
неоднородность среды привела к необходимости решения последовательности внутренних задач, соответствующих сжатию масштаба внешней пространственной координаты s в 2k/(k + 1) раз для k-ой
итоговой задачи в безразмерных
Pзадачи.2kДля
k+1 , w = w (r, n), где R определяR
ε
s
переменных n = ε2 s, r = s − m − ∞
i
i
k
k=1 k
ется при решении предыдущих внутренних задач, на нулевом шаге метода получим
систему эволюционных уравнений:
3
(1 + α0 n)Ψy,n + (α1 + α2 n)Ψ4 yy,r + (α0 Ψ + (1 + α0 n)Ψ0 )y = 0,
2
1
(3)
(1 + α0 n)z,n + (α1 + α2 n)Ψ3 yz,r = 0,
2
p
−1
2
2
Ψ = (1 + ρ1 n)(1 + α0 n)−1 , y = w20,r
+ w30,r
, z = w30,r w20,r
.
Общее решение данной системы можно представить в виде
Z
3/2
1/2
r − 1, 5y1 (n)N (n) = Φ1 (y1 ), y1 N (n) + y1 Φ01 (y1 )dy1 = Φ2 (z),
Z
y1 (n) = y(1 + α0 n)Ψ, N (n) = (α1 + α2 n)(1 + α0 n)−2 Ψ2 dn,
(4)
где Φ1 (y1 ) и Φ2 (z) — произвольные функции. Из (4) следует возможность независимого вычисления величины квадрата интенсивности сдвига y и соответствующих
характеристик. Нелинейное искажение характеристик, связанных с функцией z, —
сложный комбинированный эффект, на который влияют структура y, нелинейность
задачи и неоднородность среды. В качестве примера рассмотрено частное решение
системы (3) для иррационального граничного условия.
В настоящей работе представлено решение на основе метода сращиваемых асимптотических разложений краевой задачи динамики несжимаемой неоднородной среды, в
которой за передним фронтом ударной волны область быстрого изменения деформаций описывается в главном системой нелинейных эволюционных уравнений. Получено
общее решение этой системы.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Куликовский, А. Г. Нелинейные волны в упругих средах / А. Г. Куликовский,
Е. И. Свешникова. – М. : Московский Лицей, 1998. – 412 с.
[2] Рагозина, В. Е. Влияние неоднородности среды на эволюционные уравнения
плоских ударных волн / В. Е. Рагозина, Ю. Е. Иванова // ПМТФ. – 2013. – Т. 54. –
№ 5. – С. 142–153.
АВТОРЫ:
Рагозина Виктория Евгеньевна,
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории
нелинейной динамики деформирования отдела механики деформируемого твердого тела, Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения
РАН, г. Владивосток
e-mail: [email protected]
162
В. Е. РАГОЗИНА, Ю. Е. ИВАНОВА
Иванова Юлия Евгеньевна,
кандидат физико-математических наук, научный сотрудник лаборатории нелинейной
динамики деформирования отдела механики деформируемого твердого тела, Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения РАН, г. Владивосток
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Ragozina, Victoria Evgenevna
Candidate of Phys.&Math., Senior researcher, Laboratory of Nonlinear dynamics of
deformation, Department of Mechanics of Deformable Solid, Institute of Automation and
Control Processes of Far-Eastern Branch of RAS, Vladivostok
Ivanova, Yulia Evgenevna
Candidate of Phys.&Math., Researcher, Laboratory of Nonlinear dynamics of deformation,
Department of Mechanics of Deformable Solid, Institute of Automation and Control
Processes of Far-Eastern Branch of RAS, Vladivostok
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
ТЕОРИЯ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ СРЕД
С КОНЕЧНЫМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ И СТРУКТУРНЫМИ
ИЗМЕНЕНИЯМИ В МАТЕРИАЛЕ
THE THEORY OF MODEL CONSTRUCTION FOR COMPLEX MEDIA
WITH FINITE DEFORMATIONS AND STRUCTURAL CHANGES IN
MATERIAL
А. А. РОГОВОЙ
A. A. ROGOVOY
Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь
Аннотация. Процедура, основанная на кинематике наложения малых деформаций
на конечные, использована для построения кинематических соотношений термо-упруго-неупругого процесса и определяющих уравнений, которые удовлетворяют принципам термодинамики и объективности. Совокупность положений, основанных на этой
процедуре, составляет теорию построения моделей сложных сред с конечными деформациями и структурными изменениями в материале.
Abstract. The procedure, based on kinematics of the superposition of small deformations
on the finite ones, has been used for constructing both the kinematic relations of thermoelastic-inelastic processes and the constitutive equations, which satisfy thermodynamic
principles and objectivity law. A set of statements, based on this procedure, constitutes the
model construction theory for complex media with the finite deformations and structural
changes in material.
Ключевые слова: кинематика, определяющие соотношения, термодинамика, конечные деформации, сложные среды.
Keywords: kinematics, constitutive equations, thermodynamics, finite strains, complex
media.
Работа выполнена в ведущей научной школе (гранты Президента РФ НШ8055.2006.1, НШ-3717.2008.1, НШ-7529.2010.1 и НШ-5389.2012.1) в рамках программ
фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН (09-Т-1-1006, 12-Т-1-1004), программ
совместных фундаментальных исследований УрО РАН, СО РАН и ДВО РАН (09-С1-1008, 12-С-1-1015), Государственных контрактов с Министерством образования и
науки РФ (№ 02.740.11.0442, № 8220) и при финансовой поддержке РФФИ (гранты
№ 10-01-00055, № 10-01-96008, № 12-01-00419, № 14-01-00080).
163
164
А. А. РОГОВОЙ
Определяющие соотношения для сложных сред при малых деформациях могут
быть построены с использованием простого, но эффективного подхода, основанного на возможности представления полной деформации суммой упругих, неупругих и
температурных деформаций. Аналогичный подход может быть положен в основу построения определяющих соотношений термо-упруго-неупругих процессов при конечных деформациях. Но для того, чтобы иметь возможность суммировать деформации,
необходимо ввести, помимо начальной и текущей конфигураций, еще и промежуточную конфигурацию, близкую к текущей, и использовать деформации, возникающие
при переходе из промежуточной конфигурации в эту близкую к текущей.
В работах [1], [2], [3], [4], [5], [6] разработана теория построения моделей, описывающих поведение сложных сред при конечных деформациях и структурных изменениях в материалах и удовлетворяющих принципам термодинамики и объективности.
Теория основана на кинематике наложения малых деформаций на конечные. Для
учета изменения в процессе деформирования структуры материала введены скалярные структурные параметры, зависящие от неупругой и температурной кинематики и
влияющие на параметры определяющих уравнений, описывающих упругие и неупругие процессы в среде. Предложен функционал, основанный на упругом потенциале и
совпадающий с ним в случае чисто упругого процесса. Функционал является одним
из слагаемых в свободной энергии. С использованием первого закона термодинамики
построено уравнение теплопроводности.
На основе соотношений разработанной теории построены эволюционные модели
термоупругого процесса при конечных деформациях [7], изотермического вязкоупругого процесса [2], термоупругопластического процесса со структурными изменениями в материале [8], [9], модели поведения сплава с памятью формы (аустенитномартенситный переход) при конечных деформациях [10] и полимера с памятью формы
(релаксационный переход) [11]. Полученные по этим задачам результаты приведены
также в обзорной статье [6] и в работе [12]. Рассмотрена задача о поведении мягкого
магнитного материала в постоянном в начальной конфигурации внешнем магнитном
поле [13].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Новокшанов, Р. С. О построении эволюционных определяющих соотношений для
конечных деформаций / Р. С. Новокшанов, А. А. Роговой // Изв. РАН. МТТ. – 2002.
– №. 4. – С. 77–95.
[2] Новокшанов, Р. С. Эволюционные определяющие соотношения для конечных
вязкоупругих деформаций / Р. С. Новокшанов, А. А. Роговой // Изв. РАН. МТТ. –
2005. – № 4. – С. 122–144.
[3] Роговой, А. А. Определяющие соотношения для конечных упруго-неупругих
деформаций / А. А. Роговой // ПМТФ. – 2005. – Т. 46. – № 5. – С. 138–149.
[4] Роговой, А. А. Термодинамика упруго-неупругого процесса при конечных деформациях / А. А. Роговой // ПМТФ. – 2007. – Т. 48. – № 4. – С. 144–153.
[5] Роговой, А. А. Кинематика упруго-неупругого процесса при конечных деформациях / А. А. Роговой // ПМТФ. – 2008. – Т. 49. – № 1. – С. 165–172.
ТЕОРИЯ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ СРЕД ...
165
[6] Rogovoy, A. A. Formalized approach to construction of the state equations for
complex media under finite deformations / A. A. Rogovoy // Continuum Mechanics and
Thermodynamics. – 2012. – Vol. 24. – P. 81–114 (DOI 10.1007/s00161-011-0220-y).
[7] Роговой, А. А. Эволюционная модель термоупругости при конечных деформациях / А. А. Роговой, О. С. Столбова // ПМТФ. – 2008. – Т. 49. – № 3. – С. 184–196.
[8] Роговой, А. А. Конечные деформации в материалах со структурными изменениями / А. А. Роговой // Ученые записки Казанского университета. Серия Физикоматематические науки. – 2010. – Т. 152. – Кн. 4. – С. 210–224.
[9] Роговой, А. А. Конечные деформации в материалах со структурными изменениями / А. А. Роговой // Физико-химическая кинетика в газовой динамике (электр.
журнал). – 2011. – Т. 11. URL: http://www.chemphys.edu.ru/pdf/2011-02-01-021.pdf
[10] Роговой, А. А. Моделирование упруго-неупругих процессов при конечных деформациях в сплавах с памятью формы / А. А. Роговой, О. С. Столбова // ПМТФ.
– 2013. – Т. 54. – № 2. – С. 148–162.
[11] Роговой, А. А. Определяющее уравнение в «упругом» приближении для полимеров с памятью формы при больших деформациях / А. А. Роговой, О. С. Столбова
// Вестник Пермского университета. Физика. – 2012. – Вып. 4 (22). – С. 173–176.
[12] Роговой, А. А. Теория построения моделей сложных сред с конечными деформациями и структурными изменениями в материалах / А. А. Роговой // Физикохимическая кинетика в газовой динамике (электр. журнал). – 2013. – Т. 15. URL:
http://www. chemphys.edu.ru/pdf/2013-04-29-026.pdf
[13] Путин, Н. А. Деформирование пластины в магнитном поле / Н. А. Путин,
А. А. Роговой // Тр. XVII Зимней школы по механике сплошных сред (электронный
ресурс). Пермь-Екатеринбург. 2011. Электрон. оптич. диск. (СD). – 7 с.
АВТОР:
Роговой Анатолий Алексеевич,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией нелинейной механики деформируемого твердого тела, Институт механики сплошных сред
УрО РАН, г. Пермь
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Rogovoy, Anatoli Alexeevich
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Head of Laboratory of Nonlinear Mechanics of Solids,
Institute of Continuous Media Mechanics, Russian Academy of Sciences, Ural Branch,
Perm
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
ПРЯМОЙ БЕСКООРДИНАТНЫЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЯ
СОВМЕСТНОСТИ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
A DIRECT COORDINATELESS DERIVATION OF THE
COMPATIBILITY EQUATION FOR FINITE STRAINS
Е. И. РЫЖАК
E. I. RYZHAK
Институт физики Земли им. О. Ю. Шмидта РАН, г. Москва
Аннотация. Уравнение совместности для поля тензора Коши – Грина выведено непосредственно из известного равенства, выражающего этот тензор через векторное поле, задающее отображение (трансформацию) отсчетной конфигурации в актуальную.
При выводе используется аппарат бескоординатного тензорного исчисления и совершенно не используются никакие понятия и соотношения римановой геометрии.
В качестве иллюстрации применяемого метода с его помощью выведено также известное уравнение совместности для малых деформаций. Показано, что полученное
уравнение совместности для конечных деформаций при линеаризации переходит в
уравнение совместности для малых деформаций, что является дополнительным косвенным подтверждением его правильности.
Abstract. The compatibility equation for the Cauchy-Green tensor field is derived directly
from the well-known equality expressing the tensor via a vector field that specifies mapping
(transformation) of the reference configuration into the actual one. In derivation it is
used coordinateless tensor calculus apparatus and by no means are used any notions and
relations of the Riemannian geometry.
As an illustration of the method employed, it is derived by means of the same one
the well-known compatibility equation for the small strains. It is shown that obtained
compatibility equation for finite strains is converted under linearization into compatibility
equation for small strains, that provides an additional indirect confirmation of its
correctness.
Ключевые слова: конечные деформации, малые деформации, уравнение совместности, бескоординатное тензорное исчисление, изомеры тензоров.
Keywords: finite strains, small strains, compatibility equation, coordinateless tensor
calculus, isomers of tensors.
166
ПРЯМОЙ БЕСКООРДИНАТНЫЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ ...
167
АВТОР:
Рыжак Евгений Измаилович,
главный научный сотрудник, Институт физики Земли им. О. Ю. Шмидта РАН,
г. Москва
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Ryzhak, Evgeny Izmailovich
Main researcher, Schmidt Institute of physics of the Earth RAS, Moscow
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.4:539.014.13
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ УПРОЧНЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБРАЗЦОВ
В УСЛОВИЯХ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОГО НАГРУЖЕНИЯ
MATHWARE AND SOFTWARE FOR CYLINDRICAL SPECIMEN
STRESS-STRAIN STATE SIMULATION IN CASE OF HIGH
TEMPERATURE STRESSING
В. А. СМЫСЛОВ
V. A. SMYSLOV
Самарский государственный технический университет, г. Самара
Аннотация. Разработан метод расчета перераспределения полей остаточных напряжений и упругих деформаций в поверхностном слое упрочненных деталей при изменении модуля Юнга, обусловленном нагревом изделия. Приведены результаты расчетов
для цилиндрических образцов, упрочненных по различным технологиям.
Abstract. Calculation method of redistribution of residual stress and elastic strain fields
during Young’s modulus change, caused by specimen heating, is investigated. Results for
cylindrical specimen, hardened by different technologies, are introduced.
Ключевые слова: цилиндрический образец, остаточные напряжения, температурное
нагружение.
Keywords: cylindrical specimen, residual stress, temperature stressing.
Одним из способов повышения прочности элементов конструкций является наведение в поверхностном слое детали сжимающих остаточных напряжений. Целью настоящего исследования является разработка метода расчета перераспределения наведенных остаточных напряжений вследствие чисто температурного нагрева и изменения
модуля Юнга от температуры.
Рассматривается сплошной цилиндрический образец в стандартной цилиндрической системе координат r, θ, z . Предположим, что одной из технологических процедур в его поверхностном слое наводятся поля остаточных напряжений (σθres , σrres и
σzres ) и пластических деформаций (qθ , qr и qz ) при температуре T0 . Все компоненты
тензора остаточных напряжений и тензора пластических деформаций предполагаются известными, поскольку методика их расчета изложена в [1].
Пусть теперь температура T цилиндрического образца повышается от T0 до величины T1 , причем T1 T0 . Обозначим модуль Юнга E при T = T0 через E0 , а при
168
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ...
169
T = T1 — через E1 (очевидно, что E1 < E0 ). Предположим, что в процессе нагрева
модуль Юнга изменяется по закону
E(t) = E0 + (1 − e−λt )(E1 − E0 ),
(1)
где t — некоторое фиктивное время (параметр нагружения), при этом при t > 10
величина e−t ≈ 0 и E(t) = E1 , т. е. имеем состояние, соответствующее температуре
T = T1 , а при t = 0 — E(0) = E0 , т. е. имеем состояние при T = T0 . Тогда с учетом
обозначений
σ0res (r, t) = σθres (r, t) + σzres (r, t) + σrres (r, t),
E0 − E1
(1 + µ)σires (r, t) − µσ0res (r, t)
, (i = r, θ, z), E ∗ =
E0
E0
и из соотношения (1) имеем
e0i (r, t) =
ei (r, t) =
(1 + µ)σires (r, t) − µσ0res (r, t)
1
= e0i (r, t)
, (i = r, θ, z).
E(t)
1 − (1 − e−t )E ∗
Раскладывая второй сомножитель в ряд Тейлора и ограничиваясь членами первого
порядка малости относительно величины E ∗ , получим
ei (r, t) = e0i (r, t) + e0i (r, t)(1 − e−t )E ∗ , (i = r, θ, z).
(2)
Второе слагаемое в правой части (2) назовем деформацией фиктивной ползучести
(псевдоползучести) и обозначим через hi (r, t).
Если теперь представить полную деформацию εi (r, t) в виде
εi (r, t) = e0i (r, t) + qi (r) + hi (r, t), (i = r, θ, z),
(3)
то для расчета напряженно-деформированного состояния в процессе нагревания цилиндрического изделия до температуры T = T1 можно использовать разработанный в
[3] прямой метод решения краевой задачи ползучести упрочненного цилиндрического
образца.
Рис. 1. Перераспределение остаточных напряжений при нагреве цилиндрического образца: 1 — окружная компонента σθres ; 2 — осевая компонента σzres ; значки — эксперимент [2]; расчетные при T = T0 (сплошные линии) и при T = T1 (штриховые линии) значения остаточных напряжений; а) ЭИ961, алмазное выглаживание
(20 ◦ C −→ 600 ◦ C); б) 30ХГСА, обкатка роликом (20 ◦ C −→ 800 ◦ C)
Разработанная методика реализована в виде модуля программного комплекса [4].
В качестве иллюстрации предложенного метода в этом программном комплексе были
170
В. А. СМЫСЛОВ
просчитаны варианты для сплошных цилиндрических образцов радиуса R из различных материалов, упрочненных по различным технологиям: сплав ЭИ691 (R = 5 мм,
алмазное выглаживание), сталь 30ХГСА (R = 7.5 мм, обкатка роликом)(см. рис. 1).
Анализ полученных результатов показывает, что вследствие высокотемпературного нагружения в изделии наблюдается значительное перераспределение полей ОН в
упрочненном слое (до 35 %). Одним из возможных применений данной методики является оценка скорости релаксации остаточных напряжений вследствие ползучести
даже при самоуравновешенных остаточных напряжениях в условиях чисто термического нагружения.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Радченко, В. П. Ползучесть и релаксация остаточных напряжений в упрочненных конструкциях / В. П. Радченко, М. Н. Саушкин. – М. : Машиностроение-1, 2005.
– 226 с.
[2] Павлов, В. Ф. Остаточные напряжения и сопротивление усталости упрочненных
деталей с концентраторами напряжений / В. Ф. Павлов, В. А. Кирпичев, В. Б. Иванов.
– Самара : Изд-во СНЦ РАН, 2008. – 64 с.
[3] Радченко, В. П. Прямой метод решения краевой задачи релаксации остаточных напряжений в упрочненном изделии цилиндрической формы при ползучести //
В. П. Радченко, М. Н. Саушкин // Прикладная механика и техническая физика. –
2009. – Т. 50. – № 6. – С. 90–99.
[4] Саушкин, М. Н. Блок расчета начального напряженно-деформированного состояния конструкций в программном комплексе STRELAX / М. Н. Саушкин, В. А. Смыслов // Вестн. Сам. гос. тех. ун-та. Сер. : Физ-мат. науки. – 2010. – № 5 (21). – С. 318–
321.
АВТОР:
Смыслов Виталий Андреевич,
аспирант кафедры прикладной математики и информатики, Самарский государственный технический университет, г. Самара
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Smyslov, Vitaliy Andreevich
Postgraduate Student, Department of Applied Mathematics and Information Technology,
Samara State Technical University, Samara
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.2.669.24
ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМАЦИИ И РАЗРУШЕНИЯ
НАНОБЛОКОВ NI РАЗЛИЧНЫХ РАЗМЕРОВ
SPECIFIC FEATURES OF PROCESSES DEFORMATION AND
DESTRUCTION OF NANOBLOCKS OF NI OF DIFFERENT SIZES
М. Д. СТАРОСТЕНКОВ, М. М. АЙШ
M. D. STAROSTENKOV , M. M. AISH
Алтайский государственный технический университет, г. Барнаул
Менофийский университет, г. Менофия, Египет
Аннотация. Методом молекулярной динамики исследуются атомные механизмы
структурной перестройки монокристалла Ni, происходящие при приложении одноосного растягивающего напряжения со скоростью 20 м/с. Инициализируется блок в
виде куба с квадратным основанием в плоскости 001, высота соответствует направлению <001>. К расчетному блоку кристалла прикладываются свободные граничные
условия в направлениях <100>,<010> и периодические – в направлении <001>. Компьютерное моделирование выполнено с использованием многочастичного межатомного потенциала Клери-Розaто для Ni в приближении второго моментa из ТБ модели.
Было исследовано влияние объема на механические свойства моделируемых наноблоков при температурах, соответствующих 300 К и 1000 К.
Abstract. Molecular Dynamics (MD) simulations have been carried to study atomic
structural of the single crystal Ni upon application of uniaxial tension at nanolevel with a
speed of 20 m / s. Initialized in block form of a cube with a base in the form of a square 001
plane , the height of the corresponding direction of < 001 > . The deformation corresponds
to the direction < 001 > . To the calculated block crystal free boundary conditions are
applied in the < 100 > , < 010 > and periodicals in the < 001 > . A many-body interatomic
potential for Ni within the second-moment approximation of the tight-binding model, Cleri
- Rosato was employed to carry out three dimensional molecular dynamics simulations. The
effect of volume on the mechanical properties of the simulated nanoblocks at temperatures
corresponding to 300 K and 1000 K was investigated.
Ключевые слова: молекулярная динамика, механические свойства, наноблоки, компьютерное моделирование.
Keywords: molecular Dynamic, mechanical properties, nanoblocks, computer simulations.
171
172
М. Д. СТАРОСТЕНКОВ, М. М. АЙШ
1. Модель компьютерного эксперимента
Межатомные взаимодействия в молекулярно-динамической модели описывались
многочастичными потенциалами Клери-Розато [1]. В этом случае потенциальная энергия i-го атома находится с помощью выражения:
v
uN
N
X
uX
rij
rij
− 1)) − t
− 1)).
(1)
U1 =
ζ 2 exp(−2q(
Aexp(−p(
r0
r0
j=1
j=1
Здесь А, p, q, ζ, r0 – параметры потенциала; rij – расстояние между i-м и j-м
атомами; N – число атомов в расчетном блоке. Параметры потенциалов были взяты
из работы [2].
На любом этапе деформации предполагалась возможность последующего охлаждения расчетного блока с целью детального анализа структурных изменений, произошедших в нем. Размер расчетного блока кристалла составлял от 163 атомов, что соответствовало упаковке 5 атомов вдоль грани в основании прямоугольного параллелепипеда и 5 по его высоте, дo 72500, что соответствовало упаковке 50 атомов вдоль
грани в основании прямоугольного параллелепипеда и 50 по его высоте.
Исследования структурных изменений, происходящих при одноосном растяжении
образцов наноблоков Ni представляются в качестве основных составляющих компъютерного эксперимента.
2. Четыре стадии деформации для различных наноблоков Ni
Время растяжения определяет уровень деформирующего напряжения, прикладываемого к кристаллу со скоростью 20 м/с. Можно выделить четыре основные области: область квазиупругой деформации, пластической деформации, область начала
разрыва (течение), разрушение [3], [4], [5]. Начальный этап – область квазиупругой
деформации, когда происходят только относительные смещения атомов и отсутствуют
какие-либо дефекты, кроме точечных, поэтому в данной области запасенная энергия
меняется по параболическому закону. Данная стадия завершается через 6 пс для 10
х 10 х 10 Ni наноблока и через 30 пс для наноблока размером 50 x 50 x 50. В точке
перехода от первой стадии деформации ко второй происходит скачкообразное падение величин запасенной энергии и напряжения на захватах. Эксперименты показали,
что с увеличением размера образца продолжительность первой стадии деформации
возрастает и увеличивается по времени вторая стадия.
3. Отношение между напряжением и деформацией.
При молекулярно-динамическом моделировании механических свойств различных
по объемам наноблоков, одноосное растяжение исследовалось при их разогреве до 300
и 1000 K.
С увеличением начального растяжения напряжение возрастает почти линейно при
различных размерах. Этот процесс соответствует упругой деформации наноблока.
Затем напряжение уменьшается скачком до некоторой величины. Амплитуда скачка
уменьшается с увеличением размера образца и ростом температуры эксперимента.
Далее начинается область пластической деформации. На этих этапах вновь отмечается рост напряжения и последующие сбросы. Так продолжается многократно вплоть
до следующей стадии – течения. В каждом таком случае происходят накопление точечных дефектов, схлопывание их в дислокационную петлю и последующее ее проскальзывание. Это проявляется в бифуркации энергии и напряжения на захватах.
ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМАЦИИ И РАЗРУШЕНИЯ НАНОБЛОКОВ NI173
Амплитуды таких процессов снижаются во времени процесса деформации с увеличением размеров образцов. С ростом температуры эксперимента продолжительность
процесса "деформация – разрушение" снижается.
Таблица 1. Результаты MD расчета различных по размерам наноблоков при 300 К, в
зависимости от числа атомов (N ), начальной длины (l0 ), времени начала пластической
деформации (tпл ), предела текучести (σT ) и времени начала разрушения образца (tр )
1
2
3
4
5
6
7
8
система
5x5x5
10x10x10
20x20x20
24x24x24
30x30x30
36x36x36
40x40x40
50x50x50
N
l0 (нм) (tпл ) (пс) (σT ) (ГПа) (tp ) (пс)
163
2.3
6
30
49
900
4.5
10
20
115
5600
9.1
19
18
300
9216
10.1
23
16
305
17100 14.2
25
15
430
28512 16.7
27
14
475
38400
19
27
13
550
72500 21.6
30
12
–
Таблица 2. Результаты MD расчета различных по размерам наноблоков при 1000 К в
зависимости от числа атомов (N ), начальной длины (l0 ), времени начала пластической
деформации (tпл ), предела текучести (σT ) и времени начала разрушения образца (tр )
1
2
3
4
5
6
7
8
система
5x5x5
10x10x10
20x20x20
24x24x24
30x30x30
36x36x36
40x40x40
50x50x50
N
l0 (нм) (tпл ) (пс) (σT ) (ГПа) (tp ) (пс)
163
2.3
6
22
39
900
4.5
10
16
100
5600
9.1
19
13
270
9216
10.1
23
12
243
17100 14.2
25
11
396
28512 16.7
27
10
450
38400
19
27
8
520
72500 21.6
7
12
–
Заключение
Было изучено влияние объема кубических наноблоков Ni на характер деформации и разрушения. Полученные результаты свидетельствуют о том, что с увеличением объема образцов время завершения первой стадии деформации – квазиупругой
возрастает, при этом величина предела текучести уменьшается, а время достижения
разрушения образцов возрастает. С ростом температуры значения данных параметров
уменьшаются.
174
М. Д. СТАРОСТЕНКОВ, М. М. АЙШ
ЛИТЕРАТУРА
[1] Doyama, M. Embedded atom potentials in fcc and bcc metals / M. Doyama,
Y. Kogure // Computational Materials Science. – 1999. – № 14. – P. 80–83.
[2] Cleri, F. Tight-binding potentials for transition metals and alloys / F. Cleri,
V. Rosato // Physical Review B. – 1993. – Vol. 48. – № 1. – P. 22–33.
[3] Starostenkov, M. D. Structural Transformation in Nanowires CuAu I with
Superstructure of L10 of Tetragonal Symmetry at Uni-Axial Tension Deformation /
M. D. Starostenkov, A. Yashin, N. Sinica // Key Engineering Materials (Volumes 592
- 593). – P. 51–54.
[4] Aish, M. M. Effect of volume on the mechanical properties of nickel nanowire /
M. M. Aish , M. D. Starostenkov // Mater. Phys. Mech. – 2013. – No 1. – Vol. 18. – P.
53–62.
[5] Starostenkov, M. D. Deformation of different nickel nanowires at 300 K /
M. D. Starostenkov, M. M. Aish, A. A. Sitnikov, S. A. Kotrechko // Письма о материалах. – 2013. – Т. 3. – С. 180–183.
[6] Starostenkov, M. D. Molecular dynamic study for ultrathin Nickel nanowires at the
same temperature / M. D. Starostenkov, M. M. Aish // 3rd International Conference on
Mathematics Information Science (ICMIS 2013), Luxor, Egypt, 28-30 Dec. 2013.
АВТОРЫ:
Старостенков, Михаил Дмитриевич
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой, Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова, г. Барнаул
e-mail: [email protected]
Айш, Мохаммед Махмуд
аспирант Алтайского государственного технического университета, г. Барнаул, Менофийский университет, г. Менофия, Египет
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Starostenkov, Mikhail Dmitrievich
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Head of the Department of General Physics, Altai State
Technical University
Aish, Mochammed Machmud
Postgraduate student, Altai State Technical University , Barnaul, Menoufia University,
Egypt
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.374
ВЛИЯНИЕ КОНСТРУКЦИОННЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ СТРОЕНИЯ
СТРУКТУР КЕРАМИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК НА ИХ
ТРЕЩИНОСТОЙКОСТЬ
THE EFFECT OF CONSTRUCTIONAL FEATURES OF CERAMIC
SHELLS STRUCTURE ON THEIR FRACTURE STRENGTH
И. Г. САПЧЕНКО
I. G. SAPCHENKO
Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН, г. Комсомольск-на-Амуре
Аннотация. В работе рассмотрены варианты улучшения технологических свойств
керамических оболочковых форм, используемых для получения отливок в литье
по выплавляемым моделям. Приведены факторы образования трещин в керамике,
особенности влияния пористости в структуре оболочковой формы на ее физикомеханические свойства и обоснованы преимущества предлагаемого способа распределения пор в структуре керамической формы.
Abstract. Versions of technological properties improvement of ceramic shell mold, using
in lost wax method for casting production, are considered in this paper. Factors of
crack formation in ceramic, features of effect of porosity in shell mold structure on its
physicalmechanical properties are presented. Advances of introduced method of pores
distribution in ceramic shell structure are established.
Ключевые слова: керамическая оболочковая форма, отливка, пористость, прочность, физико-механические свойства.
Keywords: ceramic shell mold, cast, porosity, strength, physical-mechanical properties.
Технологический процесс литья по выплавляемым моделям включает изготовление
тонкостенных керамических оболочковых форм (КОФ), которые заливаются расплавленным металлом с целью получения отливок. Изготовление керамических оболочек производится посредством послойного нанесения и сушки огнеупорного состава,
в результате чего в ней образуются напряжения. При дальнейшей технологической
обработке керамическая оболочка прокаливается, т.е. подвергается воздействию высоких температур. Заключительным этапом использования керамической оболочки
является ее заполнение расплавом металла. Таким образом, при реализации технологического процесса получения отливок керамическая оболочка подвергается значительным механическим и теплофизическим воздействиям, что нередко приводит к
175
176
И. Г. САПЧЕНКО
ее растрескиванию или разрушению и, как следствие, к неоправданному браку. Одним из направлений снижения брака, повышения качества и технологических свойств
КОФ является управление их структурно-морфологическим строением путем образования пористости определенных параметров и, как следствие, деформационными
процессами. Преднамеренное создание достаточно частых трещин в виде пор замедляет растрескивание КОФ на стадиях ее изготовления и технологической обработки. Зародившаяся и развивающаяся трещина останавливается при слиянии с порой,
затупляясь в ней. Для дальнейшего продвижения этой трещины необходим дополнительный энергетический импульс. Важным условием для остановки прогрессирующей трещины является размер поры, который должен превышать радиус скругления
острия (кончика) трещины [1]. Понижение скорости распространения трещин можно
достичь относительно близким расположением пор. Расстояние между порами, в данном случае, не должно превышать их размера. Кроме того, данный технологический
прием позволяет осуществлять направленное распространение трещин, посредством
создания цепочки пор. Увеличение степени пористости в структуре материала понижает его прочностные свойства [2], [3]. При этом, немаловажное значение имеет
дисперсность пор в структуре изделия, а именно, с уменьшением их размера при
увеличении степени пористости наблюдается менее интенсивное снижение прочности,
чем для крупных пор. Совокупность всех перечисленных факторов снижает склонность изделия к растрескиванию при теплосменах [3]. В данном случае, пористость
снижает КТР и модуль упругости изделия. Обуславливается это возможностью достаточно свободного расширения и перемещения элементов структуры посредством
наличия пор. В механике разрушения известен акустический метод диагностирования
процессов зарождения и роста трещин в конструкционных материалах, основанный
на регистрации импульсов акустической эмиссии (ИАЭ) [1]. При этом, чем меньше
количество ИАЭ, тем выше сравнительная трещиностойкость конструкционных материалов. Диагностика зарождения и роста трещин в образцах при определении трещиностойкости производиась с помощью механических или тепловых воздействий.
При механическом динамическом воздействии трещиностойкость КОФ, оцениваемая
по ИАЭ, зависит от дислокации и степени пористости. В данном случае, наибольшей
трещиностойкостью обладают оболочки с 25-29 % мелкодисперсной пористостью, расположенной также во втором огнеупорном слое. При увеличении дисперсности пор
происходит закономерное снижение устойчивости форм к растрескиванию. Высокотемпературный импульсный нагрев (лазерное воздействие) имеет несколько отличную природу зарождения и распространения трещин в пористых КОФ в сравнении
с механическим воздействием. Это обусловлено тем, что температурное расширение
элементов структуры, провоцирующее возникновение напряжений в оболочки, является причиной зарождения и распространения трещин. Пористость, в данном случае,
не только препятствует распространению трещин, но и снижает температурное напряжение в оболочке, давая возможность свободному прохождению температурного
расширения керамических элементов структуры. Значения ИАЭ имеют аналогичное
распределение как и при механическом динамическом воздействии. В совокупности
полученные результаты исследований показывают наибольшую стойкость к растрескиванию оболочек с 25-29 % степенью пористости, расположенной во внутренних огнеупорных слоях структуры. Сравнительный анализ физико-механических свойств
ВЛИЯНИЕ КОНСТРУКЦИОННЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ ...
177
не прокаленных и прокаленных оболочек показал, что пористые формы имеют меньшую степень разупрочнения при термообработке, чем традиционные. Более низкими показателями разупрочнения обладает КОФ с пористостью, дислоцированной во
втором слое огнеупорного покрытия. Трещиностойкость прокаленных КОФ при механическом динамическом и высокотемпературном импульсном воздействиях в зависимости от степени пористости находится в соответствии с трещиностойкостью не
прокаленных оболочек, т. е. наибольшей сопротивляемостью растрескиванию обладают формы с внутренними, а именно, вторым пористым слоем и степенью пористости
25-29 %. Сравнение трещиноустойчивости прокаленных и не прокаленных КОФ показало, что более высокими показателями исследуемых свойств обладают прокаленные
образцы. Релаксация напряжений при прокаливании, являющихся следствием неравномерной сушки послойно наносимых слоев, предотвращает вероятность зарождения
и роста трещин при их воздействии на образцы. Моделирование заливки пористых
форм расплавом осуществлялось направленным воздействием термоудара на образцы
с дальнейшим исследованием их физико-механических свойств [4]. Полученные зависимости значений предела прочности при статическом изгибе пористых прокаленных
форм, подверженных термоудару, показывает неоднозначное влияние степени и дислокации пористости на их физико-механические свойства. Механическое воздействие
струи расплава на оболочковую форму, релаксация напряжений возникающих вследствие удара, исследовалось измерением суммарного количества импульсов акустической эмиссии, возникающих в КОФ при механическом воздействии. Установлено, что
пористые КОФ менее подвержены разрушению при ударном воздействии струи расплава. Таким образом, КОФ из кристаллического кварца на этилсиликатной основе с
пористой структурой обладают большей трещиностойкостью при механическом, высокотемпературном импульсном воздействиях и, в большинстве случаев, превышают
трещиностойкость традиционных форм в 1,5 – 2,5 раза.
На основании вышеизложенных положений становится очевидным благоприятное
влияние пористости на физико-механические свойства керамических оболочек.
Независимо от разупрочняющего действия пористости, она может применяться для
релаксации напряжений, например, в структуре КОФ на стадиях изготовления и технологической обработки. Образование пористости в структуре КОФ представляется
целесообразным.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Эванс, Л. А. Конструкционная керамика : пер. с англ. / А. Г. Эванс, Т. Г.
Лэнгдон. – М. : Металлургия, 1980. – 255 с.
[2] Стрелов, К. К. Теоретическое основы технологии огнеупорных материалов / К.
К. Стрелов. – М. : Металлургия, 1985. – 480 с.
[3] Стрелов, К. К. Технология огнеупоров: Учебник для техникумов / К. К. Стрелов, И. Д. Кащеев, П. С. Мамыкин. Технология огнеупоров : учебник для техникумов.
– М. : Металлургия, 1988. – 528 с.
[4] Некрасов, С. А. Влияние конструкции оболочковой формы на гидродинамическое давление расплава / С. А. Некрасов, И. Г. Сапченко, С. Г. Жилин, О. Н. Комаров
// Литейное производство. – 2007. – № 6. – С. 22–24.
178
И. Г. САПЧЕНКО
АВТОР:
Сапченко Игорь Георгиевич,
доктор технических наук, доцент, заместитель директора по научной работе, Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН, г. Комсомольск-на-Амуре
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Sapchenko, Igor Georgievich
Dr. Sci. Tech., Research Deputy Director, Institute of Machinery and Metallurgy, FarEastern Branch, Russian Academy of Sciences, Komsomolsk-on-Amur
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.319
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ КОНЦЕНТРАТОРОВ ПОСЛЕ
ПРОЦЕДУРЫ ОПЕРЕЖАЮЩЕГО ПЛАСТИЧЕСКОГО
ДЕФОРМИРОВАНИЯ
FINITE ELEMENT MODELING OF STRESS STATE OF PERIODIC
SYSTEM OF NOTCHES AFTER SURFACE PLASTIC DEFORMATION
М. Н. САУШКИН, A. Ю. КУРОВ
M. N. SAUSHKIN, A. YU. KUROV
Самарский государственный технический университет, г. Самара
Аннотация. Исследуется напряженно-деформированное состояние в периодической
системе концентраторов напряжений в зависимости от размеров зоны упрочнения методом конечных элементов. Для нескольких образцов найдены зоны, при увеличении
которых остаточные напряжения в концентраторах стабилизируются.
Abstract. The distribution of residual stresses of surface hardened solid cylindrical
specimens with periodic system of notches. As initial information the experimentally determined one and/or two components of residual stresses in a hardened layer are used. Regions
were found at which increase residual stresses in notches is stabilized.
Ключевые слова: распределение остаточных напряжений, цилиндрический образец,
полукруглый надрез, опережающее упрочнение, метод конечных элементов.
Keywords: residual stresses distribution, cylindrical specimen, semicircular notch, finite
element method.
Основными задачами современного машиностроения и авиадвигателестроения является повышение срока службы и надежности изделий. Приоритетным способом повышения сопротивления усталости деталей с концентраторами напряжений является использование упрочняющих технологий, при которых не изменяются геометрические параметры детали и ее масса. Для деталей с концентраторами напряжений
к таким технологиям относится процедура опережающего пластического деформирования, при которой поверхностное пластическое деформирование детали осуществляется до нанесения концентраторов. Увеличение предела сопротивления усталости
Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания ФГБОУ ВПО
«Самарский государственный технический университет», код проекта 1151.
179
180
М. Н. САУШКИН, A. Ю. КУРОВ
детали с концентраторами напряжений после применения этой технологии связано
с изменением физико-механического состояния поверхностного слоя и наличием в
нем сжимающих остаточных напряжений, которые после нанесения концентраторов
перераспределяются. При этом одной из центральных проблем является определение оптимальной области (площади) упрочнения (части поверхности, прилегающей к
концентратору) детали, так как всю деталь подвергать поверхностному пластическому деформированию экономически не целесообразно.
В работе [1] был предложен метод решения задачи определения остаточных напряжений после процедуры опережающего поверхностно-пластического деформирования
на основе метода конечных элементов в вычислительном комплексе Ansys, учитывающем реальное распределение полей остаточных напряжений и пластической деформации в цилиндрическом образце, который подвергся упрочнению. Исходной информацией при этом является реальное неоднородное по радиусу распределение остаточных пластических деформаций, полученное на основе аналитического решения
[2] по экспериментальной информации о распределении одной и/или двух компонент
остаточных напряжений в упрочненном слое. Начальные остаточные пластические
деформации в образце с надрезом моделируются псевдотемпературными деформациями: полученное поле деформаций для гладкого цилиндрического образца переносится на образец с надрезом. После задания начальных деформаций решается задача фиктивной термоупругости относительно неизвестных остаточных напряжений.
Решение, полученное методом конечных элементов по псевдотемпературным деформациям, практически совпадает с решением, полученным на основе аналитического
решения [2], что подтверждает корректность данного метода.
Целью данной работы является исследование напряженно-деформированного состояния упрочненных сплошных цилиндрических образцов в зависимости от зоны
упрочнения с нанесенными одиночными круговыми концентраторами (вырезами радиуса ρ) и системой периодических круговых концентраторов [1].
В рамках данной работы проводились исследования (численное моделирование) для
сплошных цилиндрических образцов с одним, тремя и пятью круговыми концентраторами. Для каждого образца проводились расчеты с различными размерами области
упрочнения (шириной кольцевой поверхности, прилегающей к концентратору). Для
исследуемых образцов с одиночными концентраторами ширина области, в которой
остаточные напряжения стабилизировались, была равна 22–26 радиусам концентратора. При увеличении размеров этой области величина остаточных напряжений в
концентраторах напряжений изменялась несущественно.
Также были проведены исследования и для периодических систем концентраторов. Рассматривались системы из 3 и 5 концентраторов с радиусами ρ, равными 0,3
и 0,5 мм. Для образцов с концентраторами радиусом 0,3 мм зона упрочнения, при
которой наступала стабилизация, была равна (24 ÷ 28)ρ. Для систем концентраторов
c ρ = 0, 5 мм — (26 ÷ 40)ρ.
Данные исследования позволяют разработать рекомендации для промышленного
упрочнения изделий (например, болтов), так как можно определить оптимальную
область, которую необходимо подвергнуть процедуре поверхностного пластического
деформирования.
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ...
181
ЛИТЕРАТУРА
[1] Саушкин, М. Н. Конечно-элементное моделирование распределения остаточных
напряжений в сплошных упроченных цилиндрических образцах и образцах с полукруглым надрезом / М. Н. Саушкин, А. Ю. Куров // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та.
Сер.: Физ.-мат. науки. – 2011. – № 3 (24). – C. 72–78. doi: 10.14498/vsgtu963
[2] Саушкин, М. Н. Метод расчета полей остаточных напряжений и пластических
деформаций в цилиндрических образцах с учетом анизотропии процесса пластического упрочнения / Саушкин, М. Н., В. П. Радченко, В. Ф. Павлов // ПМТФ. – 2011. –
Т. 52. – № 2. – С. 173–182.
АВТОРЫ:
Саушкин Михаил Николаевич,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и
информатики, Самарский государственный технический университет, г. Самара
e-mail: [email protected]
Куров Алексей Юрьевич,
аспирант кафедры математического анализа, прикладной математики и информатики, Самарский государственный технический университет, г. Самара
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Saushkin, Michail Nikolaevich
Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor, Department of Applied Mathemetics &
Computer Science, Samara State Technical University, Samara
Kurov, Alexey Yuryevich
Postgraduate Student, Department of Applied Mathemetics & Computer Science, Samara
State Technical University, Samara
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3:534.1
ВЛИЯНИЕ ПРИСОЕДИНЕННОГО ТЕЛА НА СВОБОДНЫЕ
КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
INFLUENCE ATTACHED BODY ON THE FREE VIBRATIONS
CYLINDRICAL SHELLS
С. В. СЕРЕГИН
S. V. SEREGIN
Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет,
г. Комсомольск-на-Амуре
Аннотация. Методом конечных элементов изучается влияние инерционных свойств
присоединенного твердого тела на частоты и формы свободных изгибных колебаний
тонких круговых цилиндрических оболочек. Представлены диапазоны, когда инерционными свойствами присоединенного тела можно пренебречь.
Abstract. Numerical method examines the effect of the inertial properties of a rigid body
attached to the frequencies and forms of free vibrations of thin circular cylindrical shells.
Ranges are presented, when attached inertial properties of the body can be neglected.
Ключевые слова: изгибные колебания круговой цилиндрической оболочки, присоединенное твердое тело, сосредоточенная масса, частоты и формы свободных
колебаний.
Keywords: flexural vibrations of a circular cylindrical shell, the inertia of the attached
body, concentrated mass, shape and frequency free vibrations.
Введение
В большинстве теоретических исследований присоединенное к оболочке, на относительно малой площади, тело рассматривают как сосредоточенную массу [1], [2], [3]. В
настоящей работе, методом конечных элементов в среде MSC «NASTRAN» изучается
влияние присоединенного стержня, направленного по нормали к срединной поверхности, при разных параметрах величины массы и длины стержня, на динамические
характеристики оболочечной конструкции.
Исследование динамических характеристик оболочек, несущих присоединенную массу.
Рассмотрим круговую цилиндрическую оболочку со следующими геометрическими и физическими характеристиками: R/h = 200, где R = 5м – радиус оболочки,
h – толщина стенки; L/R = 2.5, L – длина оболочки; ρ = 7800кг/м3 – массовая
плотность; E = 2 · 1011 Н/м2 – модуль Юнга. Число конечных элементов – 10000. На
182
ВЛИЯНИЕ ПРИСОЕДИНЕННОГО ТЕЛА ...
183
торцевых сечениях оболочки реализованы условия свободного опирания. В качестве
присоединенного тела принят стержень сечением a = b = 0.1 м и относительной длиной l/R = 0.1; 0.2; 0.6.
Результаты расчетов низших безразмерных Ωnoi = ω2i /ωi частот колебаний оболочки с включениями типа сосредоточенной массы и присоединенного твердого тела
представлены на рис. 1, где ω2i – меньшая из расщепленных собственных частот оболочки с массой; ωi – частота колебаний цилиндрической оболочки. За M (рис. 1) обозначена величина присоединенной массы, M0 масса оболочки. Присоединенная масса
расположена на расстоянии L/2.
Рис. 1. Частота свободных колебаний оболочки, несущей присоединенную массу
Сплошной линией обозначена большая из расщепленных собственных частот изгибных колебаний круговой цилиндрической оболочки. Пунктирной линией – меньшая.
Штриховой линией – стержень длиной l/R = 0.2. Штриховой с квадратом – стержень
l/R = 0.1. Пунктирной с треугольником – стержень длиной l/R = 0.6.
Пренебрежение инерционными свойствами присоединенного тела ведет к погрешностям в расчетах. Так, при M = 0.005M0 частота колебаний оболочки с присоединенным стержнем снижается порядка 4 %, по отношению к случаю сосредоточенной
массы, а при M = 0.1M0 – порядка 2 %.
Основные выводы
(1) Присоединенная к цилиндрической оболочке масса (присоединенное твердое
тело или сосредоточенная масса) является причиной динамической асимметрии, которая приводит к расщеплению изгибного частотного спектра. Присоединенная масса оказывает наибольшее влияние на меньшую из расщепленных частот. Большая частота, практически, не изменяет своего значения и
равна частоте колебаний оболочки без массы. Частота колебаний не зависит
от окружной координаты места крепления присоединенной массы.
(2) С увеличением длины присоединенного к оболочке тела (отдаление центра
масс присоединенного тела от оболочки) влияние его инерционных свойств
становится более существенным. Однако, с увеличением присоединенной массы влияние инерционных свойств стержня снижается.
184
С. В. СЕРЕГИН
ЛИТЕРАТУРА
[1] Лейзерович, Г. С. О влиянии малой присоединенной массы на колебания разнотолщинного кругового кольца / Г. С. Лейзерович, Н. Б. Приходько С. В. Серегин.
– Орел : Госуниверситет УНПК. Строительство и реконструкция. – 2013. – № 4. –
C. 38–41.
[2] Лейзерович, Г. С. О влиянии малой присоединенной массы на расщепление частотного спектра кругового кольца с начальными неправильностями / Г. С. Лейзерович, Н. Б. Приходько, С. В. Серегин // Строительная механика и расчет сооружений.
– 2013. – № 6. – C. 49–51.
[3] Серегин, С. В. О взаимодействии изгибных форм колебаний тонких круговых
цилиндрических оболочек, несущих присоединенную массу / С. В. Серегин // Теория
и практика современной науки : материалы XII международной научно-практической
конференции (29–30 декабря 2013 г.). – Т. 1. – С. 37–40.
АВТОР:
Серегин Сергей Валерьевич
аспирант кафедры строительства и архитектуры, Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, г. Комсомольск-на-Амуре
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Seregin, Sergey Valerjevich
Postgraduate student, Department of Construction and Architecture, Komsomolsk-onAmure State Technical University, Komsomolsk-on-Amure
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.411.5
ОБСУЖДЕНИЕ ЯВЛЕНИЙ ПРОЧНОСТИ БЕТОНА
ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
A DISCUSSION OF EFFECTS AT DYNAMIC LOADING OF CONCRETE
Н. С. СЕЛЮТИНА
N. S. SELYUTINA
Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург
Аннотация. Структурно-временной подход, основанный на действии инкубационного времени, используется для определения скоростного эффекта в процессе разрушения бетона. Показано, что временные зависимости хорошо вычислены с помощью
критерия инкубационного времени. Поведение прочности бетона и цемента при одноосном сжатии при статическом и высоко-скоростном нагружениях сравнивается.
Влияние сдерживающих напряжений на механизм динамической прочности бетона
обсуждается.
Abstract. Structural-temporal approach based on the notion of incubation time is used
for interpretation of strain-rate effects in the fracture process of concretes. It is shown
that temporal dependences of both materials are well calculated using the incubation time
criterion. Behaviour of strength of concrete and mortar at ultimate stresses to static and
high rate loadings is compared. Influence of confinement pressure on the mechanism of
dynamic strength for concretes is discussed.
Ключевые слова: бетон, динамическая прочность, инкубационное время, скорость
деформации, инверсия прочности.
Keywords: concrete, dynamic strength, incubation time, strain rate, strength inversion.
1. Введение. При равновесном сжатии материал характеризуется статической
прочностью, однако в случае динамического нагружения величина критического динамического напряжения различна в зависимости от скорости деформации. Рассмотрены эксперименты [1] на разрезном стержне Гопкинсона при скоростях деформации
101 -103 с-1 по цементу и ударных испытаниях на одноосную динамическую прочность
цемента и бетона 104 -105 с-1 . На основе критерия инкубационного времени и этих данных оценивается инкубационное время цемента и строится скоростная кривая для
предельного сжимающего напряжения цемента в широком диапазоне скоростей. Проведено сравнение поведения бетона и цемента при динамических условиях и квазистатическом деформировании. В отличии от предположений из [1], наблюдаемыемый
185
186
Н. С. СЕЛЮТИНА
эффект "инверсии прочности"при сравнении объясняется без влияния сдерживающих
напряжений на прочность бетона при статических и динамических нагрузках.
2. Критерий инкубационного времени. Скоростная зависимость напряжения разрушения. При помощи критерия инкубационного времени, предложенного
в [2–9], находили инкубационное время — время подготовки материала к разрушению. Критерий позволяет учитывать динамику процесса разрушения. По данным [1]
критерий (1) рассматривается для случая бездефектных сред:
Z t
σ(s)ds ≤ σc · τ ,
(1)
t−τ
где σ(t) — временная зависимость локального напряжения в месте разрыва. На основе
критерия (1) и линейного импульса нагрузки в [1] значение предельного сжимающего
напряжения σd на различных скоростях деформаций находилось следующим образом:
(√
c
2 · E · ε˙ · τ · σc при 2·σ
E·τ < ε˙ < ∞
σd = E·ε·τ
(2)
˙
c
при ε˙ < 2·σ
2 + σc
E·τ .
3. Результаты. На основе данных [1], определено инкубационное время для цементного раствора и бетона 6.5 мкс. При помощи критерия (1) построена скоростная кривая для образцов из цемента [1] в широком диапазоне скоростей деформации (Рис. 1).
Сравнение поведения бетона и цемента в ходе квазистатических испытаний и экспериментов короткого воздействия удара о пластину с помощью (2) проведено (Рис. 1). В
[1] было показано, что критическое напряжение сжатия при ударных испытаниях на
одноосную динамическую прочность цемента и бетона достигла 1.2 ГПа и 1.5 ГПа соответственно (модуль Юнга: для цемента — 20 ГПа, для бетона — 46 ГПа, статическая
прочность: для цемента — 46 МПа, для бетона — 30 МПа). Критическое напряжение
сжатия цемента на низких скоростях деформаций ниже, чем у бетона, а на высоких
скоростях деформаций наблюдается обратная тенденция ("инверсия прочности").
4. Выводы. Критерий инкубационного времени позволяет спрогнозировать среднее предельное сжимающее напряжение материала на различных скоростях деформации при помощи инкубационного времени материала в качестве параметра материала.
Следует заметить, что бетон обладает меньшей статической прочностью и большим
модулем Юнга относительно цемента. Статическая прочность не влияет на прочность
бетона при скоростях деформации 104 -105 с-1 . Причиной такого эффекта может быть
влияние инкубационного времени и модуля Юнга при росте скорости деформации.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Grote, D. L. Dynamic behavior of concrete at high strain rates and pressures: I.
experimental characterization / D. L. Grote, S. W. Park, M. Zhou // Int. J. of Impact
Eng. – 2001. – Vol. 25. – P. 869–886.
[2] Petrov, Yu. V. Dependence of the Dynamic Strength on Loading Rate / Yu. V. Petrov,
A. A. Utkin // Materials Science. – 1989. – Vol. 25. – N. 2. – P. 153–156.
[3] Petrov, Yu. V. Incubation time criterion and the pulsed strength of continua:
Fracture, cavitation, and electrical breakdown / Yu. V. Petrov // Doklady Physics. –
2004. – Vol. 49. – N. 4. – P. 246–249.
ОБСУЖДЕНИЕ ЯВЛЕНИЙ ПРОЧНОСТИ БЕТОНА ...
187
[4] Petrov, Yu. V. Dynamic cracking resistance of structural materials predicted from
impact fracture of an aircraft alloy / Yu. V. Petrov, E. V. Sitnikova // Technical Physics.
– 2004. – Vol. 49. – N. 1. – P. 57–60.
[5] Bratov, V. Application of incubation time approach to simulate dynamic crack
propagation / V. Bratov, Y. Petrov // International Journal of Fracture. – 2007. – Vol.
146. – N. 1. – P. 53–60.
[6] Березкин, А. Н. Эффект запаздывания старта трещины при пороговых импульсных нагрузках / А. Н. Березкин, С. И. Кривошеев, Ю. В. Петров, А. А. Уткин //
Доклады академии наук. – 2000. – Т. 375. – No. 3. – C. 328–330.
[7] Петров, Ю. В. Критерий инкубационного времени в задачах импульсного разрушения и электрического пробоя / Ю. В. Петров, П. А. Глебовский // ЖТФ. – 2004.
– Т. 74. – № 11. – С. 53–57.
[8] Petrov, Y. V. Multi-scale dynamic fracture model for quasi-brittle materials / Y.
V. Petrov, B. L. Karihaloo, V. V. Bratov, A. M. Bragov // International Journal of
Engineering Science. – 2012. – Vol. 61. – P. 3–9.
[9] Morozov, N. Dynamics of Fracture / N. Morozov, Y. Petrov // Springer Verlag.
Berlin-London-New York. – 2000.
АВТОР:
Селютина Нина Сергеевна,
аспирант кафедры теории упругости, Санкт-Петербургский государственный университет, г. Санкт-Петербург
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Selyutina, Nina Sergeevna
Postgraduate Student, Elasticity Department, Saint-Petersburg State University, SaintPetersburg
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
ВЛИЯНИЕ ПОВРЕЖДЕНИЙ НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ
КОЛЕБАНИЙ КОНСТРУКЦИЙ
INFLUENCE OF DAMAGE TO THE NATURAL FREQUENCIES
OF STRUCTURES
Г. С. СЕРОВАЕВ , Н. А. ЮРЛОВА
G. S. SEROVAEV, N. A. YURLOVA
Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь
Аннотация. Рассмотрено использование собственных частот в качестве глобального
параметра состояния конструкции, по изменению которого можно судить о наличии
дефекта. Оценено влияние местоположения и размера дефектов на собственные частоты колебаний балки с изотропными и ортотропными линейно упругими механическими характеристиками.
Abstract. Application of the natural frequencies as a global parameter of structural state
is studied. Changes in this parameter could be used to detect the presence of damage in
the structure. The influence of the location and size of defects on the natural frequencies
of the beam with isotropic and orthotropic linear elastic mechanical properties have been
defined.
Ключевые слова: дефектоскопия, композитные материалы, собственные частоты
колебаний.
Keywords: damage detection, composites, eigenfrequencies.
Оценка механического состояния конструкции или ее элементов в процессе эксплуатации на основе выявления внутренних повреждений (дефектоскопия) становится
особенно важной в таких быстроразвивающихся сферах производства как машиностроение, аэрокосмическая индустрия и т. д., важнейшей особенностью которых является применение новых типов материалов.
Дефекты в конструкциях, особенно выполненных из композиционных материалов,
могут возникать как на стадии производства, так и в процессе эксплуатации. Они оказывают существенное влияние на несущую способность конструкции и могут послужить причиной разного вида поломок и аварий, представляющих угрозу для жизни
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 14-01-96020-р-урал-а, 12-01-00453-а) и гранта Президента РФ поддержки ведущих научных школ НШ-2590.2014.1.).
188
ВЛИЯНИЕ ПОВРЕЖДЕНИЙ НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ ...
189
людей. Существует большое количество конструкций (или их элементов), доступ к
которым либо ограничен, либо невозможен (космические спутники, авиадвигатели и
т. п.) Это затрудняет применение классических методов визуального контроля. Однако оценка состояния таких элементов является задачей первостепенной важности,
так как часто от их состояния зависит целостность всей конструкции.
В качестве дефектов (или повреждений) рассматриваются любые структурные изменения конструкции, негативно влияющие на ее эксплуатационные свойства [1].
Общую задачу дефектоскопии можно разделить на несколько этапов [2]. Задача
первого этапа – оценить общее состояние конструкции и определить, присутствует ли
в ней дефекты или повреждения. На втором этапе необходимо установить местоположение дефекта. Целью третьего этапа является определение размеров повреждения,
для того, чтобы оценить угрозу, которую представляет данный дефект рассматриваемому объекту.
Данная работа ограничивается первым этапом общей проблемы обнаружения повреждений конструкции: определение появления в ходе эксплуатации объекта какоголибо дефекта по оценке общего состояния и сравнения его с первоначальным
(эталонным).
Так как конструкцию или ее элемент можно рассматривать как систему, зависящую
от множества параметров, то общее состояние конструкции удобно оценивать на основе рассмотрения глобальных свойств, характеризующих объект и не зависящих от
типа внешнего воздействия. К таким свойствам можно отнести собственные частоты
и коэффициент демпфирования колебаний.
Возникновение повреждения влияет на жесткость конструкции [3], от которой, в
свою очередь, зависят собственные частоты колебаний, поэтому наличие повреждения (дефекта) в конструкции, в итоге, должно влиять на их величину. Оценка этого
влияния при различных размерах и местоположении дефекта является целью данной
работы.
Рассматривались два наиболее часто встречающихся вида дефектов. Это – трещины, которые опасны тем, что могут возникать при усталостном разрушении материала, при нагрузках, превышающих предельные допустимые, коррозии материала и
т.д. и тем, что со временем увеличиваются в размерах. И расслоение, которое является одним из самых распространенных дефектов в конструкциях, выполненных из
композитных материалов, имеющих слоистую структуру. Возникновение расслоения
приводит к тому, что в области расслоения объект разделяется на несколько частей,
которые начинают воспринимать нагрузки независимо друг от друга. При этом жесткость каждой из частей значительно ниже жесткости объекта, работающего как единое целое [4]. Возникновение расслоения могут инициировать дефекты, появившиеся
в процессе производства изделия, химические процессы, проходящие между волокном
и связующим, либо внешние воздействия в процессе эксплуатации, например, ударное
воздействие, и т. д. [5] Наличие расслоения очень сложно установить визуально, так
как чаще всего оно возникает внутри композитного материала, из которого выполнена
конструкция.
Идея идентификации повреждений по изменению собственных частот не является новой. Ее применение ограничивает необходимость наличия данных о собственных
частотах колебаний проектной конструкции, в исходном, не поврежденном состоянии,
до начала эксплуатации. Однако данное ограничение можно устранить применением
190
Г.С. СЕРОВАЕВ, Н.А. ЮРЛОВА
современных методов моделирования, которые предоставляют возможность точного вычисления собственных частот колебаний конструкции на различных этапах: на
этапе проектирования выявить места наиболее вероятного возникновения повреждений в конструкции, и промоделировать заранее ситуации с возможными появлениями
повреждений. Далее на этапе эксплуатации периодически получать необходимую информацию о спектре частот колебаний конструкции и сравнивать его с эталонным
(полученным на этапе проектирования и перед началом эксплуатации объекта). По
величине собственных частот колебаний и коэффициента демпфирования можно оценить присутствие повреждения.
Данный подход был проиллюстрирован на примере консольной балки, выполненной
из упругого и вязкоупругого материалов. В ходе исследования установлен характер
изменения собственных частот колебаний изотропной упругой балки при различных
размерах и местоположении трещины, а также изменение параметра затухания колебаний в случае учета материального демпфирования. Проанализированы виды собственных форм колебаний, наиболее чувствительных к повреждениям.
В результате анализа полученных результатов можно сделать вывод о том, что
наибольший сдвиг собственной частоты можно наблюдать в случае, когда повреждение находится в зоне наибольших деформаций данной собственной формы. Следовательно, для оценки состояния конструкции необходимо рассмотрение совокупности
собственных частот.
Изучено влияние размера, местоположения по толщине и длине расслоения на собственные частоты балки, выполненной из слоистого композитного материала.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Stepinski, T. Advanced Structural Damage Detection: From Theory To Engineering
Applications / T. Stepinski, T. Uhl, W. Staszewski // John Wiley Sons, Ltd. – 2013. –
336 p.
[2] Doebling, S. W. Summary review of vibration-based damage identification methods
/ S. W. Doebling, C. R. Farrar, M. B. Prime // Shock and Vibr. Digest. – 1998. – Vol. 30.
– P. 91–105.
[3] Lee, Y.-S. A study on crack detection using eigenfrequency test data / Y.-S. Lee,
M.-J. Chung // Computers and Structures. – 2000. – Vol. 77. – P. 327–342.
[4] Tsouvalis, N. G. Buckling strength parametric study of composite laminated plates
with delaminations / N. G. Tsouvalis, G. S. Garganidis // Ships and Offshore Structures.
– 2011. – Vol. 6. – № 1-2. – P. 93–104
[5] Calloglu, H. Vibration analysis of delaminated beams using analytical and FEM
models / H. Calloglu, G. Atlihan // Indian Journal of Engineering and Materials Sciences.
– 2011. – Vol. 18. – № 2. – P. 7–14.
АВТОРЫ:
Сероваев Григорий Сергеевич,
аспирант, Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь
e-mail: [email protected]
ВЛИЯНИЕ ПОВРЕЖДЕНИЙ НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ ...
191
Юрлова Наталия Алексеевна,
кандидат физико-математических наук, доцент, старший научный сотрудник, Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Serovaev, Grigory Sergeevich
Postgraduate Student, Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Perm
Yurlova, Nataliya Alekseevna
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor, Senior researcher, Institute of Continuous
Media Mechanics UB RAS, Perm
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
К ВОПРОСУ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕД
ПРИ КОНЕЧНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ
THE ISSUE OF SUSTAINABILITY OF NONLINEAR MEDIA WITH
FINITE PERTURBATIONS
А. И. СУМИН
A. I. SUMIN
Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил "Военно-воздушная
академия" , г. Воронеж
Аннотация. Рассматриваются вопросы устойчивости нелинейных сред по отношению
к конечным возмущениям. Возмущения перемещений представляются в виде рядов
по собственным функциям, которые являются решениями соответствующих линеаризированных задач и удовлетворяют геометрическим граничным условиям. Строится бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, для которой строится функция Ляпунова. Для нахождения
размерности странного аттрактора полученной динамической системы используются
найденные бифуркационные значения для амплитуд возмущений перемещений.
Abstract. Are sustainability issues of nonlinear media with respect to perturbations of
bringing Outrage. ings are represented as a series on native functions that are solutions of
either Yami of the linearizirovannyh objectives and meet the ones of ri?eskim boundary
conditions geomet. Is infinite as well applying this system of material equations with
constant load factor-pervision for the Lyapunov function. to find the dimensions of the
tractor at the strange dynamic system uses find the cited values for ampli bifurcation of
tud perturbations of PE movements.
Ключевые слова: Устойчивость, конечные возмущения, странный аттрактор.
Keywords: Sustainability, end of outrage, strange attractor.
Основные соотношения для нелинейно вязкоупругой среды возьмем в виде [1]. Следуя [2], рассмотрим три состояния тела: первое – естественное, когда в сплошной среде отсутствуют напряжения и деформации, а температура не зависит от времени и
координат. Второе получается из первого под действием постоянных во времени механических и тепловых нагрузок по истечении времени, достаточного для того, чтобы
в теле полностью закончились процессы ползучести и релаксации. Величины этого
состояния отметим ноликом вверху, причем они не зависят от времени. Третье состояние движения достигается термомеханическим возмущением второго состояния. Все
192
К ВОПРОСУ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕД ...
193
величины этого состояния будем отмечать штрихом и представлять в виде суммы величин, относящихся ко второму состоянию и возмущений соответствующих величин.
Возмущения будем считать малыми, но конечными и не будем их отмечать никаким
индексом. Линеаризации соответствующих уравнений проводить не будем.
Третье состояние характеризуется вектором перемещений, тензором деформаций,
тензором напряжений и температурой. Представим соотношения термомеханики в
декартовых координатах естественного состояния. Конечная начальная деформация,
отвечающая перемещению u определяется по формулам [2], в которых надо поставить
нолики над всеми величинами. Этим же соотношениям удовлетворяют и величины со
штрихами. Учитывая это можно получить соотношения для возмущений, считая, что
величины с ноликом известны. В результате получаем соотношения для возмущений
тензора деформаций, инвариантов тензора деформаций и возмущений тензора напряжений.
Уравнения движения и граничные условия в возмущениях примут вид [3]. Следуя [3], составим вариационные уравнения метода Бубнова-Галеркина, соответствующие нелинейной краевой задаче, решение которой будем искать в виде рядов по
собственным функциям, которые выбираются как известные решения линеаризированных задач.
Если рассмотреть несвязанную задачу термовязкоупругости, то общая задача распадается на решение задачи теплопроводности и решение задачи термовязкоупругости в которой механические свойства материала считаются зависящими от температуры и начальных деформаций.
Как показано в [3] можно получить систему дифференциальных уравнений второго
порядка относительно амплитуд возмущений
Akp f¨k + Bpk f˙k + Cpk fk + Dpkd fk fd + Lkdr
p fk fd fr + · · · = 0,
для которой строится функция, в случае ее положительной определенности находятся
значения начальных координат и скоростей.
1
1
1
1
fk fp fd fr + · · ·
Π = Akp f˙k f˙p + Cpk fk fp + Dpkd fk fp fd + Lkdr
2
2
3
4 p
Согласно первой теореме Ляпунова об устойчивости, нулевое решение системы будет устойчиво в этой области, так как производная от функции Ляпунова в силу
системы будет неотрицательна.
Из полученных соотношений находится конечная цепочка бифуркационных значений {fnm }, из которых реализуется сперва минимальное. По сценарию Рюэля-Такенса
[4], динамическая стохастичность в нелинейной системе может развиться после конечной последовательности бифуркаций, которые обеспечивают достижение хаотического режима. Последовательность {fnm } может быть использована для вычисления
корреляционной размерности странного аттрактора
γm = dm
k = lim
ε→0
где
ln Cm (ε)
,
ln ε
N
1 X
Θ(ε − |ξ(t1 ) − ξ(t2 )|),
N →∞ N 2
Cm (ε) = lim
i,j=1
194
Г.С. СЕРОВАЕВ, Н.А. ЮРЛОВА
что позволяет вычислить размерность фазового пространства динамической системы,
которое моделирует процессы происходящие в первоначальной системе и тем самым
ограничить количество слагаемых в рядах размерностью пространства в которое вложен странный аттрактор.
Заключение. Следует отметить, что для линеаризированных теорий (точной трехмерной линеаризированной теории устойчивости и прикладных теорий) как известно
характерно лишь одно значение параметра нагрузки, при котором тело может потерять устойчивость. При этом считается, что при увеличении параметра нагрузки
вплоть до критического, материал устойчивости не теряет, а при переходе значения
параметра нагрузки через критическое значение происходит потеря устойчивости.
Учет конечности возмущений позволяет избежать этого. Условие положительности
функции Ляпунова для величин начальных возмущений дает возможность для каждого значения параметра нагрузки находить такую область возмущений, в которой
невозмущенное состояние будет устойчиво. И обратно, задавая область возмущений,
мы можем найти такие значения параметра нагрузки, при которых невозмущенное
состояние будет устойчиво. Заметим, что развитый в [3] подход к исследованию устойчивости нелинейных сред применим как в случае, если на тело действуют "мертвые"
нагрузки, так и в случае, если на тело действуют "следящие" нагрузки, то есть как
для консервативных, так и неконсервативных внешних нагрузок. Вычисление размерности странного аттрактора позволяет ограничить количество слагаемых в рядах по
собственным функциям.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Карнаухов, В. Г. Термомеханика предварительно деформированных вязкоупругих тел / В. Г. Карнаухов, Б. П. Гуменюк. – Киев : Наук. думка, 1990. – 304 с.
[2] Гузь, А. Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях / А. Н. Гузь.
– Киев : Наук. думка, 1973. – 274 с.
[3] Сумин, А. И. Нелинейная динамика в задачах устойчивости механики сложных
сред / А. И. Сумин, А. Н. Спорыхин. – Lap Lambert Academic Publishing, 2014. – 173 с.
[4] Takens, F. Detecting strange attractor in turbulence. Dynamical Systems and
Turbulence // F. Takens. – Springer-Verlag, 1981. – P. 366–381.
АВТОР:
Сумин Александр Иванович,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил "Военно-воздушная академия" , г. Воронеж
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Sumin, Alexander Ivanovich
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Head of the Department of Mathematics of the Military
Educational and Scientific Center of the Air Force’s Air Force Academy " , Voronezh
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ КОНТАКТНАЯ
ЗАДАЧА ДЛЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ И АБСОЛЮТНО
ЖЕСТКОЙ ПРЕГРАДЫ
SPATIAL TRANSIENT CONTACT PROBLEM FOR A SPHERICAL
SHELL AND AN ABSOLUTELY RIGID BARRIER
Э. И. СТАРОВОЙТОВ, Д. В. ТАРЛАКОВСКИЙ, Г. В. ФЕДОТЕНКОВ
E. I. STAROVOYTOV, D. V. TARLAKOVSKIY, G. V. FEDOTENKOV
Московский авиационный институт (Национальный исследовательский
университет), г. Москва
НИИ механики Московский государственный университет имени
М. В. Ломоносова, г. Москва
Белорусский государственный университет транспорта, г. Гомель
Аннотация. Рассмотрена пространственная нестационарная контактная задача с подвижными границами области взаимодействия для тонкой упругой сферической оболочки и абсолютно жесткой преграды. Построена функция влияния оболочки и разрешающая система уравнений. Разработан и реализован численно-аналитический алгоритм решения.
Abstract. The spatial transient contact problem with moving boundaries of the
interaction region for a thin elastic spherical shell and an absolutely rigid barrier is
considered. A function of the influence of the shell and resolving system of equations are
contracted. The numerical and analytical solution algorithm is developed and realized.
Ключевые слова: нестационарные контактные задачи, функции влияния, принцип
суперпозиции, ряды Фурье, преобразование Лапласа.
Keywords: unsteady contact problems, influence function, principle of superposition,
Fourier series, Laplace transform.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 13-08-01051-а,
14-08-90025 Бел а).
195
196
Э. И. СТАРОВОЙТОВ, Д. В. ТАРЛАКОВСКИЙ, Г. В. ФЕДОТЕНКОВ
Постановка задачи.Рассматривается неосесимметричная нестационарная контактная задача с подвижными границами области взаимодействия для тонкой упругой сферической оболочки и абсолютно жесткой преграды. В начальный момент времени оболочка, двигаясь с некоторой начальной скоростью, входит в контакт с неподвижной абсолютно жесткой плоской преградой. Предполагается, что контакт происходит в условиях свободного проскальзывания. Полагается также, что вектор начальной скорости не коллинеарен вектору нормали к поверхности преграды. В качестве
модели, описывающей движение оболочки, используется модель С. П. Тимошенко.
Зона контакта представляет собой плоскую область, принадлежащую поверхности
преграды. Ее граница нестационарно подвижна и определяется в процессе решения
задачи. В нулевом приближении положение границы определяется из условия пересечения недеформированной срединной поверхности оболочки и поверхности преграды. Для этого в постановку задачи дополнительно привлекается уравнение движения
оболочки как абсолютно твердого тела. До замыкания постановка задачи дополняется начальными и граничными условиями. Граничные условия состоят из условий
периодичности перемещений по окружной координате, условий ограниченности перемещений в полюсах оболочки и равенстве нулю нормальных перемещений в зоне
контакта.
Метод решения. Для решения задачи используется принцип суперпозиции, согласно которому нормальные перемещения оболочки связаны с контактным давлением посредством интегрального оператора, ядром которого является функция влияния
оболочки. Функция влияния суть нормальное перемещение от воздействия мгновенного сосредоточенного усилия, математически описываемого посредством произведения дельта-функций Дирака, зависящих от времени и от пространственных угловых
координат. С помощью введения новых вспомогательных функций и дифференциальных представлений тангенциальных перемещений и углов отклонений нормального к
срединной поверхности волокна оболочки за счёт сдвиговых деформаций задача построения функции влияния сведена к решению двух подсистем дифференциальных
уравнений. Одна из них – независимая. Методика решения основана на принципе
суперпозиции. Инструментами для построения решения являются математический
аппарат разложений в ряды Фурье по сферическим функциям и интегральное преобразование Лапласа по времени. Разрешающая система уравнений включает в себя
интегральное уравнение, вытекающее из принципа суперпозиции и граничных условий, уравнение движения оболочки как абсолютно твердого тела и кинематическое
соотношение для определения положения границы области контакта. Для ее решения
разработан и реализован численно-аналитический алгоритм, основанный на методе
сеток.
АВТОРЫ:
Старовойтов Эдуард Иванович,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой, Белорусский государственный университет транспорта, г. Гомель
e-mail:
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА...
197
Тарлаковский Дмитрий Валентинович,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией, НИИ механики Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, г. Москва
e-mail: [email protected]
Федотенков Григорий Валерьевич,
кандидат физико-математических наук, доцент, Московский авиационный институт
(Национальный исследовательский университет), г. Москва
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Starovoytov, Eduard Ivanovich
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Head of Department, Belarusian State University of
Transport, Gomel
Tarlakovskiy Dmitry Valentinovich
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Head of the Laboratory, Institute of Mechanics
Lomonosov Moscow State University, Moscow
Fedotenkov Grigory Valerievich
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor, State University of Aerospace Technologies
Moscow Aviation Institute (National Research University), Moscow
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.374: 539.224
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ГОРЯЧЕЙ ПОСАДКИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ
MATHEMATICAL MODEL OF THE PROCESS OF HOT LANDING
CYLINDRICAL PARTS
А. В. ТКАЧЕВА, Е. П. ДАЦ
A. V. TKACHEVA, E. P. DATS
Институт машиноведения и металлургии Дальневосточного отделения РАН,
г. Комсомольск-на-Амуре
Владивостокский государственный университет экономики и сервиса,
г. Владивосток
Аннотация. С использованием основных соотношений термоупругости строится математическая модель горячей посадки упругопластических тел, имеющих форму цилиндров. Приводится решение одного случая горячей посадки.
Abstract. Using the main ratios of thermoelasticity we construct a mathematical model
hot planting of elastoplastic bodies, having the form of cylinders. Is a solution of one case
of shrink-fit.
Ключевые слова: упругость, пластичность, горячая посадка, горячая посадка, остаточные напряжения.
Keywords: elasticity, plasticity, hot landing, residual stresses.
Введение. Сборка цилиндрических деталей производится различными способами,
наибольшее распространение получил способ горячей посадки [1]. Он заключается в
том, что обхватывающую деталь нагревают до температуры, не превышающей температуру рекристаллизации, а обхватываемую охлаждают либо оставляют при комнатной температуре. После сопряжения в материале деталей, возможно, появится пластическое течение, инициируемое температурными напряжениями или напряжениями, связанными с изменением геометрических размеров.
Работа выполнена в рамкахконкурса проектов Президиума ДВО РАН для поддержки молодых ученых - грант 14-III-В-03-006.
198
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ГОРЯЧЕЙ ПОСАДКИ...
199
Построение математической модели. Полый цилиндр, имеющий размеры
R1 ≤ r ≤ R2 , нагревается до температуры T∗ и помещается на вал (0 ≤ r ≤ R1 ), с температурой T0 (T0 – комнатная температура). Пренебрегая краевыми эффектами, рассмотрим одномерную краевую задачу. Пусть известно поле температур после сопряжения деталей. Деформации их eij считаем малыми и складывающимися из обратимых (упругих) eeij и необратимых (пластических) деформаций epij . eij = 21 (ui,j + uj,i ) =
eeij + epij . Запишем основные соотношения [2], [3]. Закон Дюамеля – Неймана:
σij = (λekk − 3αKθ) δij + 2µeij ; θ = T − T0 .
(1)
Уравнение равновесия
σrr,r + r−1 (σrr − σθθ ) = 0.
Условие пластического течения
max |σi − σj | = 2k.
(2)
(3)
Условие, что пластическое течение не сжимаемо:
eprr + epθθ = 0.
(4)
В (1) λ, µ, K- упругие постоянные материала (λ, µ параметры Ламе, K = λ + 2/3µ –
модуль всестороннего сжатия). ekk = err + eθθ , σij – тензор напряжений. В (3) k – пре−1 (T − T ),k – предел текучести при комнатной температуре
дел текучести (k = k0 Tm
m
0
T0 , Tm – температура плавления материала сборки).
Напряжения и перемещения определяются из решения систем уравнений. Для термоупругой области система состоит из 1, 2; для пластической – (1–4) с учетом того,
что вместо упругой деформации eii записывается соотношение eii − epii ; для области
разгрузки – 1–3, только в (2) вместо eii подставляется eii − epii , где Eiip – необратимые деформации. В результате решения появляются коэффициенты интегрирования,
которые находятся из условия непрерывности радиальных напряжений и перемещений на упругопластической границе и r = R1 , равенства нулю перемещения в центре
сплошного цилиндра и радиального напряжения на свободной поверхности. Условием
появления границы разгрузки являтся условие равенства нулю скорости пластической
деформации.
Результат исследования. Сплошной цилиндр c радиусом R помещается в
разогретый полый цилиндр размерами R и 1.2R. Трением пренебрегаем. В момент
сопряжения деталей в материалах действуют термоупругие напряжения. Пластическое течение зарождается в полом цилиндре на внутреннем радиусе, здесь выполняется условие Треска. Через некоторое время пластическое течение замедляется и в
области пластических деформаций образуется упругопластическая граница - граница разгрузки. Когда граница разгрузки совпадает с границей пластического течения,
производится полная разгрузка. Из рис. 1 хорошо видна область пластического течения, она расположена на отрезке 0.1 ≤ r ≤ 0.11, здесь разность между напряжениями
стремится к 2k.
200
А. В. ТКАЧЕВА, Е. П. ДАЦ
Рис. 1. Остаточные напряжения: 1 – σr , 2 – σϕ
ЛИТЕРАТУРА
[1] Белкин, И. М. Допуски и посадки / И. М. Белкин. – М. : Машиностроение, 1992.
– 528 с.
[3] Боли, Б. Теория температурных напряжений / Б. Боли, Дж. Уэйнер. – М. : Мир,
1964 – 520 с.
[3] Быковцев, Г. И. Теория пластичности / Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев. – Владивосток : Дальнаука, 1998. – 528 с.
АВТОР:
Ткачева Анастасия Валерьевна,
аспирант лаборатории механики деформируемого твердого тела, Института машиноведения и металлургии Дальневосточного отделения РАН, г. Комсомольск-на-Амуре
e-mail: [email protected]
Дац Евгений Павлович,
научный сотрудник кафедры математического моделирования, Владивостокский государственный университет экономики и сервиса, г. Владивосток
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Tkacheva, Anastasia Valerivna
Postgraduate Student, Laboratory of Mechanics of a Deformable Solid Body, Institute of
Engineering Science and Metallurgy of Far-Eastern Branch of RAS, Komsomolsk-on-Amur
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ГОРЯЧЕЙ ПОСАДКИ...
201
Dats, Evgeny Pavlovich
Research associate, Chair of Mathematical Modelling, Vladivostok State University of
Economics and Service, Vladivostok
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ КОНТИНУУМА КОССЕРА
WOULD FURKATSYONNY ANALYSIS SYSTEM OF NONLINEAR
EQUATIONS OF CONTINUUM KOSSERA
Г. Ф. ФИЛАТОВ
G. F. FILATOV
Военно-воздушная академия им. профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина,
г. Воронеж
Аннотация. Основные уравнения теории малых деформаций, наложенных на произвольное деформированное состояние, рассмотрены в нелинейной моментной теории
упругости. Бифуркационный анализ системы уравнений проведен для случая однородных начальных деформаций.
Abstract. Basic equations of the theory of small deformations imposed on arbitrary strain
state, considered in nonlinear moment theory of elasticity. Bifurcation analysis of a system
of equations was made for the case of homogeneous initial deformations.
Ключевые слова: континуум Коссера, бифуркация, моментные напряжения,
устойчивость.
Keywords: the continuum Cosserat, bifurcation, couple-stress, stability.
Метод возмущений [1], широко используемый для математического моделирования
в различных областях естествознания, экономике, военном деле, является одним из
наиболее общих и мощных аналитических средств современной математики. Он часто
применяется в задачах нелинейной механики сплошных сред. При уточнении результатов классической теории для учета влияния структуры материала используются
моментные теории упругости [2], [3], [4]. Большинство работ по математическому моделированию сложных сред связано с предположением о геометрической линейности,
хотя распространена ситуация, когда деформации нельзя принять малыми. Учет многих интересных с точки зрения теории и практики процессов, происходящих в среде
(ударное взаимодействие, изучение закономерностей распространения слабых возмущений, устойчивость элементов конструкций и др.), возможен лишь с позиций общей
теории, нелинейной и физически, и геометрически. Возможности выбора оптимальной математической модели чисто эмпирическим путем ограничены, так как получение экспериментальных данных в области конечных деформаций связано с большими
трудностями и осложнениями. Кроме того, показано [5], что даже в области малых
202
БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ...
203
деформаций любой достаточно широкий класс простейших экспериментов не определяет однозначно математическую модель.
При феноменологическом подходе к описанию поведения сред с микроструктурой
используются ясные, логически стройные моментные теории, предложенные в работах
братьев Коссера. Литература по моментным теориям огромна. В 2009 году вышел четвертый специальный выпуск журнала "Вычислительная механика сплошных сред" ,
который полностью посвящен столетнему юбилею трактата братьев Коссера. В сети
он находится по адресу http : //www.icmm.ru/journal/, достаточно полные обзоры
по моментным теориям можно найти в монографиях [3], [4].
В работе [6] изложена теория упругой устойчивости при конечных докритических
деформациях для нелинейно упругого однородного тела с общей формой упругого
потенциала, получены линеаризированные уравнения, представлены общие решения
многих практически важных задач.
В предлагаемой работе обсуждаются особенности учета влияния моментных напряжений в задачах устойчивости однородно деформированной среды Коссера. Для
изотропного нелинейного псевдоконтинуума Коссера с общей формой упругого потенциала рассмотрены общие соотношения теории малых деформаций, наложенных
на произвольное деформированное состояние. Определены коэффициенты уравнений
состояния для сжимаемых и несжимаемых сред в системе линеаризированных уравнений. Рассматриваются свойства симметрии тензоров, входящих в уравнения состояний. В явной форме представлены общие решения линеаризированных статических
задач моментной среды Коссера с общей формой упругого потенциала при однородной
начальной деформации [7], [8], [9]. Линеаризированные уравнения для упругой среды
с моментными напряжениями являются основой для исследования явлений бифуркации. Cоотношения теории малых деформаций, наложенных на конечную деформацию
среды Коссера, значительно упрощаются [9], если промежуточное состояние есть однородная деформация. Кроме того, для однородной начальной деформации существенными в упругом потенциале оказываются лишь пять инвариантов из одиннадцати. В
этом случае решения системы линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами можно найти операторными методами [7]. Полученные общие
решения являются основой для постановки и исследования конкретных задач упругой
устойчивости с учетом влияния моментных напряжений. Если начальная деформация неоднородна, то коэффициенты в линеаризированных уравнениях не являются
постоянными, задача усложняется и становится менее обозримой. Решения частных
задач, полученные на основе найденных общих решений, приводят к необходимости
определения упругих модулей и вычисления характеристических определителей [9].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела /
Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. – М. : Наука, 1978. – 208 с.
[2] Toupin, R. A. Elastic Materials with Couple Stresses / R. А. Toupin // Arch. Rat.
Mech. Anal. – 1964. – Vol. 17. – № 5. – P. 85–112.
[3] Nowack, W. Theory of asymmetric elasticity / W. Nowack. – Warszawa : Polish
Scientific Publishers, 1986. – 383 p.
204
Г. Ф. ФИЛАТОВ
[4] Ерофеев, В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой /
В. И. Ерофеев. – M. : Изд-во Моск. ун-та, 1999. – 328 c.
[5] Ивлев, Д. Д. К построению теории упругости / Д. Д. Ивлев // Доклады АН
СССР. – 1961. – Т. 138. – № 6. – С. 1321–1324.
[6] Гузь, А. Н. Устойчивость упругих тел при конечных деформациях / А. Н. Гузь.
– Киев : Наукова думка, 1973. – 272 с.
[7] Филатов, Г. Ф. О представлении решений линеаризированных уравнений моментной теории упругости / Г. Ф. Филатов // Современные проблемы механики и
прикладной математики. Материалы школы-семинара. – Воронеж, 2000. – С. 469–473.
[8] Филатов, Г. Ф. О поверхностной неустойчивости в несимметричной теории упругости / Г. Ф. Филатов // Механика деформируемых сред : Межвузовский сборник. –
Куйбышев, 1981. – С. 86–93.
[9] Филатов, Г. Ф. О линеаризированных задачах моментной теории упругости /
Г. Ф. Филатов // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. –
2011. – № 4 (4). – С. 1828–1830.
АВТОР:
Филатов Геннадий Федорович,
доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики, Военновоздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина, г. Воронеж
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Filatov, Gennady Fedorovich
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Military Educational Scientific Center of Military
and Air Force Military and air Academy of a Name of Professor N. E. Zhukovsky and
Y. A. Gagarin, Voronezh
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНЫ,
ОСЛАБЛЕННОЙ КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ, В СЛУЧАЕ
ТРАНСЛЯЦИОННОЙ АНИЗОТРОПИИ
ABOUT ONE METHOD FOR CONSTRUCTING A FUNDAMENTAL
SYSTEM OF SOLUTIONS OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATION
WITH VARIABLE COEFFICIENTS
C. О. ФОМИНЫХ
S. O. FOMINIH
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева,
г. Чебоксары
Аннотация. Рассматриваются толстые плиты из упругопластического материала,
ослабленные отверстиями. Материал предполагается анизотропным, что характерно
для композитов и других новых материалов. Свойства анизотропии обуславливаются
смещением поверхности текучести в пространстве напряжений. Подобная анизотропия имеет место либо в результате технологии изготовления, либо в процессе предварительного пластического деформирования, например, при прокатке.
Abstract. This work is devoted to solving certain types of linear ordinary differential
equations with variable coefficients obtained in the study of composite trigonometric
functions of the second order. Solutions based on the idea of a remark is that the
composite trigonometric functions of the second order can be split into pairs, which form
the fundamental system of solutions of certain linear homogeneous second order differential
equations, with variable coefficients.
Ключевые слова: трансляционная анизотропия, напряжение, деформация.
Keywords: differential equation, composite trigonometric functions, fundamental system
of solutions, general solution of the differential equation, method of variation of arbitrary
constants.
Предельное условие для напряжений в случае трансляционной идеальнопластической анизотропии для случая плоской деформации имеет вид [1]
σx − σy
k1 − k2
−
2
2
2
+ (τxy − k3 )2 = k02 ,
k0 , k1 , k2 , k3 − const,
Работа выполнена при поддержке РФФИ (код проекта 13-01-97033)
205
(1)
206
C. О. ФОМИНЫХ
где σx , σy , τxy - компоненты напряжения в декартовой системе координат, k0 - предел
текучести.
В дальнейшем все величины, имеющие размерность напряжения, предполагаются
безразмерными, отнесенными к величине предела текучести k0 . Компонентам напряжений в пластической зоне приписан индекс “p00 наверху, компонентам в упругой зоне
– индекс “е00 наверху.
Условие (1) примет вид
(p)
(p)
σx − σy
2
k1 − k2
−
2
!2
2
(p)
+ τxy
− k3 = 1.
(2)
Согласно (2) анизотропия материала ориентирована в декартовой системе координат x, y.
Связь между напряжениями в декартовой системе координат x, y и напряжениями
в полярной системе координат ρ, θ имеет вид
σρ + σθ
σρ − σθ
+
cos 2θ + τρθ sin 2θ,
2
2
σρ − σθ
σρ + σθ
−
cos 2θ − τρθ sin 2θ,
σy =
2
2
σρ − σθ
τxy = −
sin 2θ + τρθ cos 2θ.
2
Из (2), (3) получим условие пластичности в полярных координатах
σx =
(p)
(p)
σρ −σθ
2
2
+
(p)
−2τρθ R sin (2θ
2
τρθ
− 2R
+ µ) +
R2
(p)
(p)
σρ −σθ
2
(3)
cos (2θ + µ) −
(4)
− 1 = 0,
где
s
k1 − k2 2
k1 − k2
k3
R=
+ k32 ,
= cos µ,
= sin µ.
2
2R
R
Напряжения в пластической зоне имеют вид
ρ
ρ
(0) p
(0) p
= −q0 + 2 1 + ln
, τρθ = 0.
σρ(0) p = −q0 + 2 ln , σθ
α
α
Решение в упругой области будем искать в виде
(5)
β2
β2
(0) e
(0) e
,
σ
=
A
+
B
·
, τρθ = 0.
(6)
θ
ρ2
ρ2
Условия сопряжения компонент напряжений на упругопластической границе имеют
вид
(0) p (0) e σρ(0) p = σρ(0) e , σθ = σθ .
(7)
σρ(0) e = A − B ·
ρ=1
ρ=1
ρ=1
ρ=1
Решение в пластической зоне имеет вид
h
√
√
ρ √
ρ i
(I)p
0 α
cos
3 ln
+ 3 sin
3 ln
− 1 d1 cos (2θ + µ) ,
σρ = −R
ρ
α
α
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНЫ...
n o
√
√
√
= −R0 αρ cos 3 ln αρ + 3 sin 3 ln αρ + 1 d1 cos (2θ + µ) ,
o
n
√
√
√
(I)p
τρθ = R0 αρ cos 3 ln αρ − 3 sin 3 ln αρ − 1 d1 sin (2θ + µ) .
207
(I)p
σθ
(8)
Результирующее напряжение в упругой области имеет вид:
= − 1 − ρ42 + ρ34 d2 cos 2θ+
i
nh
√
√
√
o
+R0 − ρ34 + ρ42 1 − α cos 3 ln α + ρ43 α sin 3 ln α d1 cos (2θ + µ) ,
(I)e
σθ = 1 + ρ34 d2 cos 2θ−
n √
√
√
√
√ o
− 3R0 ρα4
3 cos 3 ln α + sin 3 ln α − 3 d1 cos (2θ + µ) ,
(I)e
σρ
+R0
nh
− ρ34
(I)
τρθ = − −1 − ρ22 + ρ34 d2 sin 2θ+
i
√
√
√
o
+ ρ22 1 − α cos 3 ln α + ρ43 α sin 3 ln α d1 sin (2θ + µ) .
(9)
Для определения границы раздела упругопластической области в первом приближении будем иметь
(I)p
(I)e σθ − σθ 1 (I)e
(I)p (I) ρs = (0)e
σ
− σθ
,
(10)
=
(0)p 4 θ
dσθ
dσθ
ρ=1
ρ=1
−
dρ
dρ
ρ=1
откуда
(I)
(I)e
(I)p
ρs = 14 σθ − σθ
= d2 cos 2θ−
(11)
√
√
α √
0
−R 2 cos 3 ln α + 3 sin 3 ln α − 1 d1 cos (2θ + µ) .
Заключение: таким образом, напряженное состояние в пластической (9) и упругой
(10) областях полностью определено. Изменение границы раздела упругой и пластической областей определяется из соотношения (11).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ивлев, Д. Д. О соотношениях теории трансляционной идеально-пластической
анизотропии при обобщении условия пластичности Мизеса / Д. Д Ивлев, Л. А. Максимова // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им.
И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. – 2010. – № 2 (8). – Ч. 3. –
С. 583–584.
АВТОР:
Фоминых Светлана Олеговна,
кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры общей и
теоретической физики, Чувашский государственный педагогический университет им.
И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
208
C. О. ФОМИНЫХ
AUTHOR:
Fominih, Svetlana Olegovna
Candidate of Phis. & Math., Senior Lecturer, Department of of the General and Theoretical
Physics, I. Yakovlev Chuvash State Pedagogical University, Cheboksary
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.313:517.968.72
ОБ ОДНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УПРОЧНЯЮЩЕГОСЯ
МАТЕРИАЛА И УСЛОВИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ДЛЯ НЕЕ
ABOUT ONE DYNAMIC MODEL OF A BEING STRENGTHENED
MATERIAL AND A CONDITION PLASTICITY FOR IT
Г. Е. ЧЕКМАРЕВ
G. E. CHEKMAREV
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева,
г. Чебоксары
Аннотация. Рассмотрены частные случаи обобщённой одномерной модели вязкоупругого тела с памятью, основанные на использовании аппарата дробного интегродифференцирования Римана-Лиувилля на отрезке. Найдены явные решения начальных задач в случае, когда напряжение действует на конечном интервале времени.
Проведён сравнительный анализ полученных решений в стадии нагружения и разгружения. Доказана непрерывная зависимость решений от порядка дробности при
его устремлении к единице, изучена асимптотика решений.
Abstract. Particular cases of the generalized one-dimensional model of a viscoelastic
body with memory, based on the apparatus of Riemann-Liouville fractional integrodifferentiation on the interval were considered. Explicit solutions of initial value problems
when the stress acts on a finite time interval are found out. A comparative analysis of the
solutions obtained in the stage of loading and unloading is executed. Proved the continuous
dependence of solutions when the fractional order converges to unity, the asymptotic
behavior of solutions is studied.
Ключевые слова: реологические модели вязкоупругого тела, дифференциальные и
интегральные уравнения с дробными операторами Римана-Лиувилля, дробные аналоги реологических моделей.
Keywords: rheological models of viscoelastic body, differential and integral equations with
fractional Riemann-Liouville operators, fractional analogs of rheological models.
Рассмотрим двухэлементную динамическую модель упрочняющегося материала,
изображенную на рис. 1.
209
210
Г. Е. ЧЕКМАРЕВ
Рис. 1
Для нее условие пластичности имеет вид согласно [1]
(T1 − s1 )2 + (T2 − s2 )2 = k12 ,
(1)
s21 + s22 ≤ k22 ,
(2)
где T1 , T2 – внешние усилия, s1 , s2 – усилия в пружинах, определяемые относительным перемещением элементов 1, 2 модели соответственно.
При s21 + s22 < k22 внутренний элемент (элемент 2, рис. 1) неподвижен и имеет место
модель упрочняющегося пластического тела [2].
При s21 + s22 = k22 внутренний элемент может смещаться, смещение внутреннего
элемента обозначим χ1 , χ2 .
Натяжение пружин определяется относительным смещением элементов
s1 = c (e1 − χ1 ),
(3)
s2 = c (e2 − χ2 ),
где e1 , e2 – перемещения внешнего элемента (элемент 1, рис. 1), c – коэффициент
жесткости пружины.
Вектор смещений внешнего элемента и равнодействующая сил, приложенных к
нему, будут коллинеарными.
de2
de1
=
.
T1 − s1
T2 − s2
Для внутреннего элемента имеем
(4)
dχ1
dχ2
=
.
(5)
s1
s2
Соответствия между динамической моделью и действительными компонентами напряжений, деформаций и перемещений представляют собой взаимно-однозначные
отображения, действующие в обе стороны:
ОБ ОДНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ...
σ −σ
211
s −s
e −e
χ −χ
x
y
x
y
T1 ↔
e1 ↔ x 2 y , χ1 ↔ x 2 y ,
2 , s1 ↔
2 ,
T2 ↔ τxy ,
s2 ↔ sxy ,
e2 ↔ exy ,
χ2 ↔ χxy ,
Условие пластичности для внешнего элемента примут вид
F1 ≡ [(σx − sx ) − (σy − sy )]2 + 4 (τ xy − sxy )2 = 4k12 ,
тогда для внутреннего элемента
F2 ≡ (sx − sy )2 + 4s2xy = 4k22 ,
и условие, соответствующее (3)
sx − sy = c [(ex − ey ) − (χx − χy )] ,
sxy = c(exy − χxy ).
∂F1
для внешнего элемента и из
Из ассоциированного закона течения deij = dλ ∂σ
ij
∂F2
ассоциированного закона течения dχij = dµ ∂s
для внутреннего элемента имеем соij
ответственно следующие соотношения:
dex = 2dλ [(σx − sx ) − (σy − sy )] ,
dey = −2dλ [(σx − sx ) − (σy − sy )] ,
(6)
dexy = 4dλ (τxy − sxy ) ,
dex + dey = 0,
dχx = 2dµ (sx − sy ),
dχy = −2dµ (sx − sy ),
dχx + dχy = 0,
dχxy = 4dµ sxy .
Введем векторы
~ =
Σ
~s =
(σx − σy )~i + 2τxy~j,
(sx − sy )~i + 2sxy~j.
Так как
2
~ 2 ,
Σ = (σx − σy )2 + 4τxy
| ~s |2 = (sx − sy )2 + 4 s2xy ,
2sxy
2τxy
tgϕ = σx −σ
, tgγ = sx −s
,
y
y
то с помощью (1)–(7) можно записать
~ (σx − σy )(sx − sy ) + 4τxy sxy = Σ
| ~s | cos ψ,
где
ψ = ϕ − γ.
(7)
212
Г. Е. ЧЕКМАРЕВ
В результате получим [3]
2
~ ~ | ~s | cos ψ = 4(k12 − k22 ),
Σ − 2Σ
2
~ ~ cos ψ − 4(k12 − k22 ) = 0,
Σ − 4k2 Σ
p
~ Σ = 2k2 cos ψ ± 4k22 cos2 ψ + 4(k12 − k22 ) =
p
= 2k2 cos ψ ± 2 k22 cos2 ψ + k12 − k22 ,
~ В частности, при ψ = 0, cos ψ = 1, Σ
= 2k2 ± 2k1 = 2(k1 + k2 ).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Ивлев, Д. Д. Теория упрочняющегося пластического тела / Д. Д. Ивлев,
Г. И. Быковцев. – М. : Наука, 1971. – 232 с.
[2] Бережной, И. А. О деформационных моделях теории пластичности и сплошных
сред / И. А. Бережной, Д. Д. Ивлев, Е. В. Макаров // ПММ. – 1970. – Т. 34. – Вып. 3.
– С. 553–557.
[3] Петров, Г. В. О вязкопластическом течении бруса переменного прямоугольного
сечения при растяжении / Г. В. Петров, Г. Е. Чекмарев // Известия ИТА ЧР. – 1997.
– № 1–2. – C. 160–166.
АВТОР:
Чекмарев Георгий Евгеньевич,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа,
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Chekmarev, Georgy Evgenyevich
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor, Department of Mathematical Analysis, I.
Yakovlev Chuvash State Pedagogical University, Cheboksary
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 517.518.454
ОБ ИЗГИБЕ УПРУГОЙ КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ
ABOUT BENDING OF AN ELASTIC CANTILEVER BEAM
А. Д. ЧЕРНЫШОВ, В. В. ГОРЯЙНОВ
A. D. CHERNYSHOV, V. V. GORJAJNOV
Воронежский государственный университет инженерных технологий, г. Воронеж
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет,
г. Воронеж
Аннотация. Методом быстрых разложений решается задача об изгибе упругой консольной балки с жесткой заделкой на одной стороне и произвольно нагруженной на
трех остальных сторонах. Полученное аналитическое решение может быть использовано для анализа напряжений и деформаций балки.
Abstract. Rapid expansion method to solve the problem of the bending of the elastic
cantilever beam with a rigid embedded on one side and loaded randomly on the other three
sides. The resulting analytical solution can be used to analyze the stress and deformation
of the beam.
Ключевые слова: быстрые разложения, аналитическое решение, упругая консольная балка, изгиб.
Keywords: rapid expansion, an analytical solution, the elastic cantilever beam, bend.
Многомерные задачи теории упругости представляют большой научный и инженерный интерес. Но к настоящему времени для подобных краевых задач хорошо разработаны лишь численные методы и существуют только отдельные единицы аналитических решений. Так, в [1], [2] для балки с граничными условиями в напряжениях
приводятся частные решения в полиномах и тригонометрических функциях, в некоторых случаях граничные условия выполняются приближенно в интегральной форме.
В условиях плоской деформации проекции вектора перемещений материальных точек балки зависят от координат x, y:
u = u(x, y), υ = υ(x, y), w = 0.
Компоненты тензора напряжения будут иметь вид:
σxx = (λ + 2µ) ux + λυy , σyy = (λ + 2µ) υy + λux , σxy = µ (uy + υx ) ,
σzz = λ (ux + υy ) , σxz = σyz = 0.
213
(1)
214
А. Д. ЧЕРНЫШОВ, В. В. ГОРЯЙНОВ
Запишем уравнения равновесия Ламе для перемещений с учетом массовых сил
X (x, y) , Y (x, y)
(λ + 2µ) uxx + (λ + µ) υxy + µuyy = X (x, y) ,
(λ + 2µ) υyy + (λ + µ) uxy + µυxx = Y (x, y) .
(2)
К уравнениям (2) необходимо добавить граничные условия. Будем считать, что
упругая балка прямоугольного сечения Ω = (0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ h) имеет жесткую
заделку на нижней стороне
u(x, y)|y=0 = υ(x, y)|y=0 = 0
(3)
и нагружена произвольной нагрузкой на трех остальных сторонах:
(1)
(1)
(3)
(3)
σxx |x=a = qx (y) , σyx |x=a = qy (y) , σxx |x=0 = qx (y) , σyx |x=0 = qy (y) ,
(2)
(2)
σxy |y=h = qx (x) , σyy |y=h = qy (x) .
(4)
Полагаем, что функции в граничных условиях должны быть непрерывными, гладкими
(1)
(1)
(3)
(3)
qx (y) , qy (y) , qx (y) , qy (y) ∈ C (2) (0 ≤ y ≤ h) ,
(2)
(2)
qx (x) , qy (x) ∈ C (2) (0 ≤ x ≤ a)
и удовлетворять условиям их согласования
qy(1) (h) = qx(2) (a) , qy(3) (h) = qx(2) (0) .
С учётом (1) граничные условия (4) принимают форму:
(1)
(1)
[(λ + 2µ) ux + λυy ]|x=a = qx (y) , µ (uy + υx )|x=a = qy (y) ,
(3)
(3)
[(λ + 2µ) ux + λυy ]|x=0 = qx (y) , µ (uy + υx )|x=0 = qy (y) ,
(2)
(2)
[µ (uy + υx )]|y=h = qx (x) , [(λ + 2µ) υy + λux ]|y=h = qy (x) .
(5)
Таким образом, получена краевая задача: найти решение системы двух дифференциальных уравнений (2) относительно (u, υ) ∈ C (3) (Ω), удовлетворяющих граничным
условиям (3), (5). В соответствии с методом быстрых разложений решение данной
задачи следует представить суммой граничных функций второго и третьего порядка
M2, M3 и быстрых рядов Фурье [3], [4]:
u(x, y) = M2 +
N
X
m=1
N
X
y
y
υm (x) cos mπ ,
um (x) sin mπ , υ(x, y) = M3 + υ0 (x) +
h
h
(6)
m=1
где N −число учитываемых членов в рядах Фурье, а граничные функции M2 и M3
имеют специальный вид [3]
2
3
y3
y
hy
M2 = φ1 (x) 1 − hy + φ2 (x) hy + φ3 (x) y2 − 6h
− hy
+
φ
(x)
−
,
4
3
6h
3
4 6
y2
y2
y
y4
hy 2
y
hy 2
M3 = ψ1 (x) y − 2h + ψ2 (x) 2h + ψ3 (x) 6 − 24 h − 6 + ψ4 (x) 24 h − 12 ,
где
ОБ ИЗГИБЕ УПРУГОЙ КОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ...
215
φ1 (x) = u (x, 0) , φ2 (x) = u (x, h) , φ3 (x) = uyy (x, 0) , φ4 (x) = uyy (x, h) ,
ψ1 (x) = υy (x, 0) , ψ2 (x) = υy (x, h) , ψ3 (x) = υyyy (x, 0) , ψ4 (x) = υyyy (x, h) .
В результате приходим к задаче о нахождении следующих 9 + 2N неизвестных,
зависящих только от одной переменной
φj (x) , ψj (x) , υ0 (x) , um (x) , υm (x) , j = 1 ÷ 4 , m = 1 ÷ N,
которые найдем путем последовательного двукратного применения оператора быстрых разложений [4].
Таким образом, приближенное аналитическое решение (6) может быть использовано для расчета и анализа напряжений в упругой консольной балке.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Тимошенко, С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. – М. :
Наука, 1979. – 560 c.
[2] Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. – М. : Наука, 1970. – 940 c.
[3] Чернышов, А. Д. Метод быстрых разложений для решения нелинейных дифференциальных уравнений / А. Д. Чернышов // Журнал вычислительной математики
и математической физики. – 2014. – Т. 54. – № 1. – С. 13–24.
[4] Чернышов, А. Д. Оператор быстрых разложений и теорема единственности быстрых разложений / А. Д. Чернышов // Актуальные проблемы прикладной математики,
информатики и механики : cб. тр. междунар. конф. Ч. 1. – Воронеж : ВГУ, 2012. –
С. 401–405.
АВТОРЫ:
Чернышов Александр Данилович,
доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, Воронежский государственный университет инженерных технологий, г. Воронеж
e-mail: [email protected]
Горяйнов Виталий Валерьевич,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, г. Воронеж
e-mail: [email protected]
216
А. Д. ЧЕРНЫШОВ, В. В. ГОРЯЙНОВ
AUTHORS:
Chernyshov, Alexander Danilovich
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Department of Higher Mathematics, Voronezh State
University of Engineering Technologies, Voronezh
Gorjajnov, Vitalij Valerevich
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor, Department of Higher Mathematics,
Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering, Voronezh
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 517.518.454
К ВОПРОСУ О СОГЛАСОВАНИИ ГРАНИЧНЫХ И НАЧАЛЬНЫХ
УСЛОВИЙ
ABOUT BENDING OF AN ELASTIC CANTILEVER BEAM
А. Д. ЧЕРНЫШОВ
A. D. CHERNYSHOV
Воронежский государственный университет инженерных технологий, г. Воронеж
Аннотация. Показана необходимость выполнения условий согласования при постановке начально-краевых задач для последующего их аналитического решения. Невыполнение этих условий приводит к разрывным решениям, а при реализации численных методов существенной погрешности.
Abstract. Rapid expansion method to solve the problem of the bending of the elastic
cantilever beam with a rigid embedded on one side and loaded randomly on the other three
sides. The resulting analytical solution can be used to analyze the stress and deformation
of the beam.
Ключевые слова: быстрые разложения, аналитическое решение, упругая консольная балка, изгиб.
Keywords: rapid expansion, an analytical solution, the elastic cantilever beam, bend.
В научной литературе отводится слишком мало места проблеме согласования начальных, граничных условий и дифференциальных уравнений. Редко встречаются
работы, где эти условия выполнены. Так, в [1] при решении задачи об изгибе упругой
консоли автор ничего не пишет об этом, но интуитивно эти условия выполняет. Можно
отметить и другие работы [2], [3], [4], [5], где условия совместности выполнены. Тем не
менее, часто при решении краевых задач условия совместности не выполняются. Даже
в широко известной учебной литературе [6], [7], [8] и многих других вопросы согласования не обсуждаются. Так, в [6] приводится точное решение задачи о тепловом ударе
в полубесконечном стержне, где начальное и граничные условия не согласованы. Но
это аналитическое решение, выраженное через интеграл ошибок, не существует при
t = 0 и существует только в пределе при t → 0. Численное решение подобной задачи
при малых t будет существенно отличаться от данного точного из-за неограниченных
градиентов при t → 0 в окрестности точки разрыва – конца стержня. В статье [9] авторы рассматривают подобную задачу с несогласованными начальным и граничными
условиями для конечного стержня. Вводится фронт возмущения температурного поля, впереди которого температура считается невозмущенной. Это допущение является
217
218
А. Д. ЧЕРНЫШОВ
искусственным, так как температура во всем стержне, в силу параболичности уравнения теплопроводности, изменяется мгновенно во всем стержне. Однако возмущение
перед температурным фронтом может быть малым, которым можно пренебречь, и
тогда полученные результаты могут оказаться вполне полезными. В предлагаемом
аналитическом решении авторы выполняют граничные условия и, вследствие разрыва, не выполняют несогласованное начальное условие.
Такие величины, как температура, прогибы, перемещения, деформации, напряжения и т. д. из физических соображений и основных концепций механики сплошных
сред в некоторой рассматриваемой области являются непрерывными, гладкими и однозначными. Выполнение этих свойств приводит к некоторым дополнительным условиям, которым должны подчиняться начальные и граничные условия, приводимые
ниже. Подобные дополнительные условия в дальнейшем будем называть условиями
согласования, или просто – согласованиями. Если хотя бы одно из таких условий
не выполняется, то непрерывное решение задачи не существует, решение будет разрывным. Данная проблема возникает, если форма границы негладкая, имеет угловые
точки и граничные условия заданы кусочно. Проблема согласований имеет место не
только при построении решения в аналитическом виде, но и при использовании численных методов, так как при составлении выражения для производной (например) в
разностной форме ∂U /∂x ≈ ∆U /∆x при малом сеточном шаге ∆x приращение ∆U
должно быть тоже малым. В точке разрыва приращение ∆U может оказаться конечным, а при подходе к точке разрыва значение U зависит от направления подхода.
Тогда погрешность вычислений резко возрастет, что влияет на всю вычислительную
процедуру в целом. Выкалывание точки разрыва не поможет, так как конечность приращения ∆U на малом шаге ∆x так и останется, да и физически подобное решение
неприемлемо. В любом случае увидеть недостаток полученного решения можно с помощью проверки выполнения начальных, граничных условий и дифференциальных
уравнений, что принято называть невязками.
Алгоритм получения согласований опирается на следующие два положения.
Положение 1. Функции, для которых ставятся граничные и начальные условия,
и которые должны удовлетворять некоторой системе дифференциальных уравнений,
являются однозначными в каждой точке области Ω и ее границы Γ, включая ребра,
вершины и угловые точки этой границы.
Положение 2. Эти функции вместе с граничными и начальными условиями должны быть непрерывными, достаточно гладкими и при подходе к угловым точкам допускать дифференцирование по касательным к Γ направлениям нужное число раз в
зависимости от конкретного случая.
Необходимость выполнения дополнительных условий согласования покажем на одном из простейших примеров упругой пластины.
Рассмотрим уравнение равновесия для прогиба W прямоугольной упругой пластины
D
∂4W
∂4W
∂4W
+
2
+
∂x4
∂x2 ∂y 2
∂y 4
−S
∂2W
∂2W
+
∂x2
∂y 2
+ kW = q (x, y) .
На границах пластины зададим условия для четных производных
(1)
К ВОПРОСУ О СОГЛАСОВАНИИ ГРАНИЧНЫХ...
W |x=0 = f1 (y) ,
W |x=a
∂2W ∂x2 x=0
2
= f3 (y) , ∂∂xW2 fi ∈ C (4) (Ω)
, φ3 ∈
219
= φ2 (x) ;
2
= f4 (x) , ∂∂yW2 = φ4 (x) ;
= φ1 (y) , W |y=0 = f2 (x) ,
= φ3 (y) , W |y=b
x=a
C (2) (Ω) .
∂2W ∂y 2 y=0
y=b
(2)
Тогда в угловых точках условия согласования будут иметь вид:
00
00
00
(0,0) ⇒ f1 (0) = f2 (0) , f100 (0)
= φ2 (0) , f2 (0) = φ1 (0) , φ1 (0) = φ2 (0) ,
IV
00
IV
D f2 (0) + 2φ1 (0) + f1 (0) − S [φ1 (0) + φ2 (0)] + kf1 (0) = q (0, 0) ;
00
00
00
(a,0) ⇒ f3 (0) = f2 (0) , f300 (0)
= φ2 (a) , f2 (a) = φ3 (0) , φ3 (0) = φ2 (a) ,
IV
00
IV
D f2 (a) + 2φ3 (0) + f1 (0) − S [φ3 (0) + φ2 (a)] + kf2 (0) = q (a, 0) ;
(3)
f300 (b)
f400 (a)
φ003 (b)
φ004 (a) ,
(a,b) ⇒ f3 (b) = f4 (a) ,
= φ4 (a) ,
= φ3 (b) ,
=
D f4IV (a) + 2φ003 (b) + f3IV (b) − S [φ3 (b) + φ4 (a)] + kf3 (b) = q (a, b) ;
(0,b) ⇒ f1 (b) = f4 (0) , f100 (b)
= φ4 (0) , f400 (0) = φ1 (b) , φ001 (b) = φ004 (0) ,
D f4IV (0) + 2φ001 (b) + f1IV (b) − S [φ1 (b) + φ4 (0)] + kf1 (b) = q (0, b) .
Пусть на границах пластины заданы условия для прогиба и угла наклона
W |x=0 = f1 (y) ,
W |x=a
∂W ∂x x=0
= φ1 (y) , W |y=0 = f2 (x) ,
= f3 (y) , ∂W
∂x x=a = φ3 (y) , W |y=b = f4 (x) ,
fi ∈ C (1) (Ω)
= φ2 (x)
∂W ∂y = φ4 (x)
∂W ∂y y=0
y=b
(4)
, φ3 ∈ C (1) (Ω)
Условия согласования представляются выражениями:
f1 (0) = f2 (0) , f10 (0) = φ2 (0) ,
в точке (0, 0) ⇒
f20 (0) = φ1 (0) , φ01 (0) = φ02 (0)
в точке (a, 0) ⇒
f2 (0) = f1 (a) , f30 (0) = φ2 (a) ,
f20 (a) = φ3 (0) , φ03 (0) = φ02 (a)
в точке (a, b) ⇒
f3 (b) = f4 (a) , f30 (b) = φ4 (a) ,
f40 (a) = φ3 (b) , φ03 (b) = φ04 (a)
f1 (b) = f4 (0) , f10 (b) = φ4 (0) ,
f40 (0) = φ1 (b) , φ01 (b) = φ04 (0)
В данном случае условия согласования с дифференциальным уравнением равновесия
не существует, так как невозможно выразить смешанную производную
∂ 4 W ∂x2 ∂y 2 в угловых точках из граничных условий. Аналогичным образом можно получить условия согласования для других комбинированных граничных условий.
в точке (0, b) ⇒
ЛИТЕРАТУРА
[1] Тимошенко, С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. – М. :
Наука, 1979. – 560 c.
220
А. Д. ЧЕРНЫШОВ
[2] Ивлев, Д. Д. Теория предельного состояния и идеальной пластичности /
Д. Д. Ивлев. – Воронеж : Воронежский госуд. университет, 2005. – 357 c.
[3] Ивлев, Д.Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела /
Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. – М. : Наука, 1978. – 208 c.
[4] Долотов, М. В. Динамическая задача для упругого полупространства при
несимметричной нормальной нагрузке его границы / М. В. Долотов, И. Д. Килль
// ПММ. – 2012. – Т. 76. – Вып. 6. – С. 1003–1014.
[5] Кулиев, С. А. Колебания многоугольной пластинки ослабленной круглой полостью с двумя прямолинейными разрезами / С. А. Кулиев // Изв. РАН. МТТ. – 2013.
– № 6. – С. 96–115.
[6] Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М. : Наука, 1977. – 736 c.
[7] Лыков, А. В. Теория теплопроводности / А. В. Лыков. М. : Изд-во Высшая
школа, 1967. – 600 с.
[8] Лурье, А. И. Теория упругости / А. И. Лурье. – М. : Наука, 1970. – 940 c.
АВТОР:
Чернышов Александр Данилович,
доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, Воронежский государственный университет инженерных технологий, г. Воронеж
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Chernyshov, Alexander Danilovich
Dr. Sci. Phys. & Math., Professor, Department of Higher Mathematics, Voronezh State
University of Engineering Technologies, Voronezh
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
КОНЦЕНТРАТОРЫ НАПРЯЖЕНИЙ В ТРУБЕ ОКОЛО ВНЕШНЕЙ
ШЕРОХОВАТОЙ ГРАНИЦЫ ДИСКРЕТНОГО И ФРАКТАЛЬНОГО
ТИПОВ
CONCENTRATORS OF TENSION IN A PIPE ABOUT EXTERNAL
ROUGH BORDER DISCRETE AND FRACTAL TYPES
А. В. ЧИГАРЕВ
A. V. CHIGAREV
Белорусский национальный технический университет, г. Минск
Аннотация. В статье рассмотрена модель создания упрочненного подповерхностного слоя за счет технологической или приобретенной шероховатости поверхностного
слоя для деталей конструкций. Предлагается аналитическое решение задачи о трубе
под внутренним давлением с фрактальной поверхностью с помощью метода малого
параметра, а также конечно-элементное моделирование в инженерном пакете ANSYS.
Abstract. In article the model of creation of the strengthened subsurface layer is
considered for the account of the technological or acquired roughness of a blanket for
details of designs. The analytical solution of a task on a pipe is proposed under internal
pressure with a fractal surface by means of a method small parameter, and also final and
element modeling in an engineering package ANSYS.
Ключевые слова: упрочнение, фрактальные границы, микротрещины, трубопровод.
Keywords: hardening, fractal borders, microcracks, pipeline.
Введение.
В работе предлагается модель создания упрочненного подповерхностного слоя с использованием того известного факта, что шероховатая граница является концентратором напряжений [1], причем в зависимости от характера микрорельефа поверхности величина локальных напряжений может достигать достаточно больших значений,
удовлетворяющих условиям пластичности. При определенной плотности поверхностных микротрещин отдельные пластические зоны сливаются между собой так, что на
глубине порядка средней длины микротрещин образуется слой материала, находящийся в пластическом состоянии. В нейтральном состоянии дислокации вдоль линий
скольжения движутся к свободной поверхности в окрестности кончика микротрещины так, что меняется начальная микрогеометрия берегов трещины без изменения ее
длины. Площадь свободной поверхности берегов трещины растет за счет ее фрактализации. Подобная структурная перестройка ведет к сближению берегов трещины и
221
222
А. В. ЧИГАРЕВ
фактически уменьшает ее глубину. Как известно, выход каждой дислокации на свободную границу сопровождается изменением объема пластической области [2] таким
образом, что, поддерживая нейтральное состояние нагружения в течение определенного времени, можно получить уменьшение объема пластического подповерхностного
слоя на величину, равную суммарному объему поверхностных микротрещин. Уменьшая затем внутреннее давление до рабочих параметров, получим, что упрочненный
подповерхностный слой за счет внутренних радиальных и окружных деформаций
стягивает поверхностный слой так, что микротрещины закрываются [2].
Постановка задачи.
Рассмотрим бесконечно длинную трубу с внешним шероховатым поверхностным
слоем, нагруженную внутренним давлением P . Уравнение равновесия для осесимσrr −σθθ
rr
= 0. Для определения распределения наметричной задачи имеет вид: ∂σ
∂r +
r
пряжений в граничной зоне шероховатой поверхности трубы воспользуемся методом
разложения полевых величин по малому безразмерному параметру так, что каждый
компонент напряжения представляет собой сумму компонентов напряжений в упругой
трубе при отсутствии шероховатости на ее границе и возмущений напряжений, вы0 +εσ 1 , σ = σ 0 +εσ 1 , σ = σ 0 +εσ 1 ,
званных шероховатостью границы [1]: σrr = σrr
θθ
rθ
rr
θθ
θθ
rθ
rθ
0 ,σ 0 ,σ 0 – значение
где ε – малый безразмерный параметр порядка отношения l/R, σrr
rθ θθ
1 ,σ 1 ,σ 1
напряжений в упругой трубе при отсутствии шероховатостей на ее границе, σrr
rθ θθ
– возмущения в напряжениях, вызванные шероховатостью границы, R – радиус трубы, l – характерная высота шероховатостей.
Величина флуктуации напряжений зависит от функции H = H(θ), которая определяет характер зависимостей шероховатостей от угловой координаты. Рассмотрим
фрактальную поверхность, представив шероховатость в виде функции Вейерштрасса
∞
P
[3]: H(θ) =
(bn · sin(an · θ)) , b < 1, a > 1. Функция H определена и непрерывна при
n=1
всех вещественных θ. Тем не менее, эта функция не имеет производной. Это способствует резкому возрастанию касательных напряжений у шероховатой поверхности,
а, следовательно, и возникновению концентрации напряжений в подповерхностном
слое. Запишем граничные условия в нулевом приближении для упругой трубы под
0 = −p; σ 0 = 0 при r = R ; σ 0 = 0; σ 0 = 0
действием внутреннего давления: σrr
1
rr
rθ
rθ
при r = R2, где p – внутреннее давление, r = R1 – внутренний радиус трубы, r = R2 –
внешний радиус трубы. Решением поставленной задачи в нулевом приближении при
ε = 0 является следующее распределение напряжений :
0
σrr
p · R2
= 2 12
R2 − R1
R2
1 − 22
r
,
0
σθθ
p · R2
= 2 12
R2 − R1
R22
1+ 2 ,
r
0
σrθ
= 0.
(4)
Далее запишем граничные условия для определения возмущений в напряжениях в
первом приближении [1]:
1
σrr
= −H ·
R12 · p
R22 − R12
;
1
σrθ
∂H
=
·
∂θ
R12 · p
R22 − R12
при r = R2 ,
(5)
где H = H(θ) – функция, определяющая высоту шероховатостей. Решением задачи с
учетом шероховатости будет сумма решений в нулевом и первом приближении:
КОНЦЕНТРАТОРЫ НАПРЯЖЕНИЙ В ТРУБЕ...
p·R12
R22 −R12
p·R2
σθθ = R2 −R1 2
2
1
σrr =
σrθ
2 r
R2
R1 ·p
R23
1 − r22 − 2 · R2 −R
· ∂H
+
,
+
3H
2
3
r 2 2 1 ∂θ
3·R2
3
R1 ·p
R
R22
1 + r2 − 2 · R2 −R2 · ∂H
+ 3H Rr2 − r32 ,
2
1
∂θ
2 R23
R1 ·p
r
+
+
3H
= 2 · R2 −R
· tan1 θ .
· ∂H
2
3
∂θ
3·R2
r
223
2
(6)
1
Рассмотрим трубу (с внешним и внутренним радиусами в 25 см и 24 см соответственно) под действием внутреннего давления в 1 МПа, шероховатость внешней
границы которой описана с помощью функции Вейерштрасса в полярных коорди4
P
натах (r, θ):r(θ) = R + 0.01 ·
(bn · sin(an · θ)), где R=24,8; а=400; b=0,5. Согласn=1
но формулам (6) были получены следующие максимальные значения при r=24,8 см:
= 1, 1 · 1010 МПа;σ = 3, 2 · 1010 МПа;σ = 1, 9 · 1010 МПа.
σrr
θθ
rθ
Картина распределения напряжений для рассматриваемой трубы (рисунок 2) получена с использование МКЭ в инженерном пакете ANSYS путем постепенного нагружения внутренним давлением. Зоны пластичности имеют самый темный цвет.
Рис. 2. Образование пластической зоны в устье микротрещины
Как видно из рис. 2а, зоны пластичности начинают образовываться на микровыступах. Затем по мере увеличения давления пластичность возникает на микровыступах в
окрестности кончика (рис. 2б), после чего зоны пластичности каждого микровыступа
одной микротрещины начинают сливаться в одну зону (рис. 2в-2г), расположенную в
устье, которые в свою очередь сольются в пластический подповерхностный слой.
224
А. В. ЧИГАРЕВ
Вывод
Предложенная модель подповерхностного упрочнения может применяться для описания процедур восстановления в процессе эксплуатации трубопровода [1]. В случае
применения ее к новым изделиям возможен следующий вариант повышения прочности поверхностного слоя. Деталь, обладающая естественной или искусственной технологической шероховатостью вначале подвергается процедуре подповерхностного
упрочнения, а затем применяется какая-либо известная технология поверхностного
упрочнения.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Хусу, А. А. Шероховатость поверхностей теоретико-вероятностный подход /
А. А. Хусу, Ю. Р. Витенберг, В. А. Пальмов. – М. : Наука, 1998.
[2] Екобори, Т. Физика и механика разрушения и прочности твердых тел / Т. Екобори. – М. : Металлургия, 1991. – С. 78–104.
[3] Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике. – Италия, 1985.
АВТОР:
Чигарев Анатолий Власович,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики, Белорусский национальный технический университет, г. Минск
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Chigarev, Anatoli Vlasovich
Doctor of Phys. & Math. Sciences, Professor, Head of Theoretical Mechanics Department,
Belarusian National Technical University, Minsk
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
ВОПРОСЫ ОБОБЩЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ УПРУГОСТИ
НА УПРУГОПЛАСТИЧНОСТЬ
THE SYNTHESIS OF NONLINEAR ELASTICITY MODEL AT
ELASTOPLASTICITY
О. Л. ШВЕД
O. L. SHVED
Объединенный институт проблем информатики НАН Беларуси, г. Минск
Аннотация. Для тела Мурнагана получены представления вектора нормали к поверхности девиаторного сечения поверхности текучести.
Abstract. Body Murnagan retrieved the vector normal to the surface of the deviating
cross section surface fluidity.
Ключевые слова: модель упругости, вектор нормали, кривая пластичности.
Keywords: elasticity model, vector normal, curve of plasticity.
В [1] нелинейная модель упругости Мурнагана [2] обобщается на упругопластическую. Рассмотрим начало течения первоначально изотропного материала. Скорость
напряжений постулируется через объективную О-производную, которая для изотропного материала совпадает с производной Яуманна:
Ω
T = K(Q − Q · ·NN),
(1)
где малый скаляр K > 0 не зависит от тензора скорости деформаций D. Оператор Q(D) является О-производной dev T, вычисленной при условии несжимаемости
0
0
∇·v = 0 по соотношению (∇RT ). = ∇vT ·∇RT , ∇vT – градиент скорости. В векторном
представлении девиатор N (N · ·N = 1) есть вектор внешней нормали к поверхности
девиаторного сечения поверхности текучести. В силу существования потенциалов тенΩ
зора T по модельному предположению и девиатора Q по построению из (1) следует,
что девиатор Q · ·NN имеет потенциал.
Изотропный закон упругости Мурнагана можно записать в виде:
225
226
О. Л. ШВЕД
p
T =2( I3 )−1 (ϕ0 E + ϕ1 F + ϕ2 F2 ), ϕ0 = a0 I3 , ϕ1 = b0 + b1 I1 + b2 I12 + b3 I2 ,
ϕ2 = c0 + c1 I1 , a0 = 2−1 ν3 , b0 = 16−1 (−12λ − 8µ + 9ν1 + 18ν2 + 8ν3 ),
b1 = 8−1 (2λ − 3ν1 − 4ν2 ), b2 = 16−1 (ν1 + 2ν2 ), b3 = −4−1 (ν2 + 2ν3 ),
(2)
c0 = 4−1 (2µ − 3ν2 − 4ν3 ), c1 = −b3 ,
где I1 , I2 , I3 – главные первый, второй и третий инварианты меры Фингера F, λ, µ и
ν1 , ν2 , ν3 постоянные Ляме второго и третьего порядков. Из (2) находим девиатор Q
с точностью до шарового тензора:
p
·
·
Q = 2( I3 )−1 (ϕ1 F + ϕ2 F2 + ϕ1 (F · D + D · F) + ϕ2 (2F · D · F + F2 · D + D · F2 )). (3)
Вектор нормали к поверхности девиаторного сечения запишем двумя способами:
N = qF2 + F − 3−1 (qd2 + I1 )E, N = (dev T)2 − z dev T + 3−1 2J2 E,
(4)
J2 , J3 – главные второй и третий инварианты dev T. Используем первое представление
(4). Обозначим девиатор δD - вариация девиатора D. Выражение Q · ·δD является
потенциальным. По следствию из (1) должно быть потенциальным выражение Q ·
·NN · ·δD, в котором будет только один чисто непотенциальный член γ(F2 · ·DF ·
·δD − F · ·DF2 · ·δD). Следовательно, выполняется γ = 0.
√
0
Обозначим di = E · ·Fi , di = E · ·(dev F)i . В (3) опустим множитель 4( I3 )−1 .
Вычисляя Q · ·NN · ·δD с точностью до потенциальных членов, находим γ:
0 = γ = Q2 q 2 + Q1 q + Q0 = γ0 + γ1 ϕ1 + 2ϕ2 γ2 , Qj = Qj0 + ϕ1 Qj1 + 2ϕ2 Qj2 ,
γj = q 2 Q2j + qQ1j + Q0j , Q20 = r1 A1 − r0 A2 , Q10 = −r2 A1 + r1 (A2 + B1 ) − r0 B2 ,
Q00 = −r2 B1 + r1 B2 , Q21 = 2−1 I12 − 6−1 d2 , Q11 = 3−1 4I1 ,
Q01 = 1, Q22 = −(I3 − I1 I2 ), Q12 = I2 + 2−1 I12 + 6−1 d2 ,
Q02 = 3−1 2I1 , r2 = d2 − 3−1 I12 , r1 = −(d3 − 3−1 I1 d2 ), r0 = d4 − 3−1 d22 ,
Ai = ∂ϕi /∂I1 + I1 ∂ϕi /∂I2 , Bi = ∂ϕi /∂I2 .
С точностью до малых величин I1 − 3 и d0i находим Q0 = 2−1 3µ + ν3 , Q1 = Q2 = −µ −
3ν3 , ϕ1 = −2−1 µ−ν3 , ϕ2 = 2−1 (µ+ν3 ) и, приближенно, приp
−µ > v3 > −3−1 µ получаем
два различных действительных значения q = (−Q1 + s Q21 − 4Q2 Q0 )(2Q2 )−1 , s =
1(J3 ≥ 0), s = −1(J3 ≤ 0).
Условие ортогональности соответствующих корням значений N будет r2 Q2 +r1 Q1 +
r0 Q0 = 0. Имеет место r2 Q2i + r1 Q1i + r0 Q0i = 0(i = 1, 2) и согласно условию интегрируемости [2] r2 Q20 + r1 Q10 + r0 Q00 = −(r0 r2 − r12 )(A2 + B1 ) = 0. Дальше находим
0 = ϕ1 (r2 Q21 + r1 Q11 + r0 Q01 ) + 2ϕ2 (r2 Q22 + r1 Q12 + r0 Q02 ) + r2 Q20 + r1 Q10 + r0 Q00 =
r2 (Q20 + ϕ1 Q21 + 2ϕ2 Q22 ) + r1 (Q10 + ϕ1 Q11 + 2ϕ2 Q12 ) + r0 (Q00 + ϕ1 Q01 + 2ϕ2 Q02 ) =
r2 Q2 +r1 Q1 +r0 Q0 . Условие ортогональности выполняется вследствие гиперупругости
материала Мурнагана.
p
Удобнее второе представление (4): z = (−Z1 + s Z12 − 4Z2 Z0 )(2Z2 )−1 , Z0 = Q0 β42 +
Q1 β2 β4 + Q2 β22 , Z1 = 2Q0 β3 β4 + Q1 (β1 β4 + β2 β3 ) + 2Q2 β1 β2 , Z2 = Q0 β32 + Q1 β1 β3 +
Q2 β12 , β2 = k 2 (ϕ22 (I12 − I2 ) + 2ϕ1 ϕ2 I1 + 2ϕ2 ϕ3 + ϕ21 ), β4 = k 2 (ϕ22 (I
I1 I2 ) − 2ϕ1 ϕ2 I2 +
√3 −−1
−1
2ϕ1 ϕ3 ), β1 = −2kϕ2 , β3 = −2kϕ1 , ϕ3 = −3 (ϕ1 I1 +ϕ2 d2 ), k = 2( I3 ) . Представления
надо еще нормировать.
На рис. 1 представлены результаты расчета кривой пластичности, образованной из
представителей двух семейств. Она близка к кривой пластичности А. Ю. Ишлинского.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ...
227
Рис. 1. Образование кривой пластичности
Стрелками обозначены проекции базисных диад. Данные о постоянных Ляме взяты
для рекристаллизованного молибдена из [2].
Выводы. Полученные представления (4) позволяют определять вектор нормали в
модели упругопластичности [1] как ближайший к N собственный вектор оператора
Q. Условие того, что вектор нормали является одним из собственных векторов оператора для негиперупругого материала, является только достаточным. Однако для
тела Сетха получается та же кривая пластичности.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Швед, О. Л. О возможных определяющих соотношениях нелинейной упругопластичности / О. Л. Швед // Труды VII Всерос. (с международным участием) конф.
по механике деформируемого твердого тела. – Ростов н/Д, 2013. – Т. II. – С. 219–223.
[2] Лурье, А. И. Нелинейная теория упругости / А. И. Лурье. – М. : Наука, 1980. –
512 с.
АВТОР:
Швед Олег Лаврентьевич,
кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник, Объединенный институт
проблем информатики НАН Беларуси, г. Минск
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Shwed, Oleg Lavrent’evich
Candidate of Technical Sciences, Leading researcher, United Institute of Informatics
problems of NANB, Minsk
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
ИДЕНТИФИКАЦИЯ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ТРЕЩИН В УПРУГОМ
СТЕРЖНЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ, ОТВЕЧАЮЩИМ
ПРОДОЛЬНЫМ КОЛЕБАНИЯМ
IDENTIFICATION OF A FINITE NUMBER OF CRACKS
IN AN ELASTIC ROD BY MEANS OF NATURAL FREQUENCIES
CORRESPONDING TO LONGITUDINAL VIBRATION
Е. И. ШИФРИН
E. I. SHIFRIN
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва
Аннотация. Рассматривается задача идентификации конечного числа трещин в
упругом стержне по собственным частотам, отвечающим продольным колебаниям.
Трещины моделируются пружинами, работающими на растяжение-сжатие. Доказано, что трещины однозначно определяются по двум спектрам, отвечающим условиям
"свободный – свободный и защемленный – свободный" на концах. Разработан метод
их идентификации.
Abstract. A problem of identification of a finite number of cracks in a rod by means of
the natural frequencies corresponding to longitudinal vibration is considered. The cracks
are simulated by translational springs. It is proved that the cracks are uniquely determined
by two spectra corresponding to free - free and fixed - free end conditions. A method for
reconstruction of the cracks is developed.
Ключевые слова: стержень, продольные колебания, собственные частоты, трещины,
обратная задача, метод Крейна.
Keywords: rod, longitudinal vibration, natural frequencies, cracks, inverse problem,
Krein’s method.
1. Постановка задачи
Рассмотрим стержень длины l, площадь поперечного сечения которого постоянна и
равна A. Предположим, что стержень расположен на интервале 0 < x < l, а моделирующие трещины пружины, работающие на растяжение-сжатие, расположены в точках
x1 , x2 , · · · , xn , 0 = x0 < x1 < x2 < · · · < xn < xn+1 = l. Обозначим uj (x) амплитуды
продольных перемещений при гармонических колебаниях в интервале xj−1 < x < xj ,
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 13-01-00257-а, 13-01-00923-а).
228
ИДЕНТИФИКАЦИЯ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ТРЕЩИН ...
229
j = 1, 2, · · · , n + 1. Уравнения продольных гармонических колебаний имеют вид:
u00j (x) + λuj (x) = 0,
j = 1, 2, · · · , n + 1,
xj−1 < x < xj
(1)
Здесь λ = %ω 2 /E, E – модуль Юнга, % – плотность материала, ω – круговая частота.
Условия сопряжения в точках расположения пружин имеют вид:
u0j (xj ) = u0j+1 (xj ), uj+1 (xj ) − uj (xj ) = ∆j = EAcj u0j (xj ), j = 1, 2, · · · , n,
(2)
где cj – податливость j-ой пружины. Рассмотрим два типа условий на концах стержня.
В случае свободных концов краевые условия имеют вид:
(3)
u01 (0) = 0, u0n+1 (l) = 0.
В случае концов "закрепленный – свободный" краевые условия записываются в
виде:
u1 (0) = 0, u0n+1 (l) = 0.
(4)
Обозначим собственные числа задачи (1), (2), (3) (за исключением λ = 0)
λ1 , λ2 , λ3 , · · · , а собственные числа задачи (1), (2), (4) µ1 , µ2 , µ3 , · · · . Задача заключается в определении числа пружин n, их расположения xj и соответствующих величин
податливости cj , j = 1, 2, · · · n с помощью собственных чисел λi и µi , i = 1, 2, · · · .
2. Метод решения задачи
Приведем рассматриваемую задачу к обратной задаче Штурма - Лиувилля, которую можно решить методом М. Г. Крейна. Определим функцию u(x) на всем интервале 0 < x < l
u(x) = uj (x), xj−1 < x < xj , j = 1, 2, · · · , n = 1.
(5)
Из уравнения (1) и условий сопряжения (2) следует, что функция u(x) в интервале
0 < x < l удовлетворяет уравнению
u00 (x) + λu(x) − Σnk=1 ∆k δ 0 (x − xk ) = 0.
(6)
Функция u(x) имеет разрывы в точках x1 , x2 , · · · , xn . Определим непрерывную
функцию u0 (x)
u(x) = u0 (x) + Σnk=1 ∆k H(x − xk ).
(7)
Здесь H(x) - функция Хевисайда. Из (6) и (7) следует, что функция u0 (x) удовлетворяет уравнению
u000 (x) + λu0 (x) + λΣnk=1 ∆k H(x − xk ) = 0.
(8)
Введем функцию w(x) = u00 (x) и продифференцируем уравнение (8). В результате,
с учетом (2), получим
w00 (x) + λm(x)w(x) = 0, m(x) = 1 + EAΣnk=1 ck δ(x − xk ).
(9)
Нетрудно видеть, что условия на концах (3) переходят в следующие условия для
функции w(x)
w(0) = 0,
w(l) = 0.
(10)
230
Е. И. ШИФРИН
Краевые условия (4) переходят в условия
w0 (0) = 0, w(l) = 0.
(11)
В работах М. Г. Крейна (см. например, [1]) доказано, что потенциал m(x) восстанавливается единственным образом по спектрам задач (9), (10) и (9), (11). Там так
же приведен конструктивный метод восстановления m(x).
3. Заключение
Путем сведения исходной задачи к обратной задаче Штурма – Лиувилля доказано, что конечное число поперечных трещин в упругом стержне может быть идентифицировано по двум спектрам, отвечающим условиям "свободный – свободный и
закрепленный – свободный" на концах. Разработан также конструктивный метод их
идентификации. Рассмотрены численные примеры.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Крейн, М. Г. Определение плотности неоднородной струны по спектру ее частот
/ М. Г. Крейн // ДАН СССР. – 1951. – Т. 76. – № 3. – С. 345–348.
АВТОР:
Шифрин Ефим Ильич,
доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, Институт проблем
механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Shifrin, Efim Il’ich
Dr. Sci. Phys. & Math., Chief Researcher, A. Yu. Ishlinsky Institute for Problems in
Mechanics, Moscow
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
ИДЕНТИФИКАЦИЯ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА НЕОДНОРОДНОСТЕЙ
В УПРУГОМ ТЕЛЕ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ОДНОГО СТАТИЧЕСКОГО
ИСПЫТАНИЯ
IDENTIFICATION OF A FINITE NUMBER OF INHOMOGENEITIES
IN AN ELASTIC BODY BY MEANS OF THE RESULTS OF A SINGLE
STATIC TEST
Е. И. ШИФРИН, П. С. ШУШПАННИКОВ
E. I. SHIFRIN, P. S. SHUSHPANNIKOV
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва
Аннотация. Рассматривается задача идентификации конечного числа малых, далеко
расположенных друг от друга дефектов (включений, полостей, трещин) в анизотропном линейно упругом теле. Предполагается, что в статическом эксперименте усилия
и перемещения измеряются на внешней границе тела. Разработан метод определения числа дефектов и положения их центров по имеющимся данным. В случае эллипсоидальных дефектов разработанный метод позволяет полностью определить их
геометрию.
Abstract. A problem of identification of a finite number of small, well-separated defects
(inclusions, cavities, cracks) in an anisotropic linear elastic body is considered. It is assumed
that the loads and displacements are measured on the external boundary of the body in
a single static test. A method for determination of the number of defects and positions of
their centers using the available data is developed. In the case of the ellipsoidal defects,
the developed method enables to determine their geometry completely.
Ключевые слова: линейная теория упругости, обратная задача, идентификация дефектов, множественные дефекты, статическая задача.
Keywords: linear elasticity, inverse problem, identification of defects, multiple defects,
static problem.
1. Постановка задачи
Пусть V ⊂ R3 – ограниченная область с границей ∂V . Gk ⊂ V , Tk = 1, 2, · · · , n –
¯i G
¯ j = ∅, i 6= j,
малые, односвязные подобласти (дефекты). Предположим, что G
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 13-01-00257-а).
231
232
Е. И. ШИФРИН, П. С. ШУШПАННИКОВ
¯ = Sn G
¯
¯
G
k=1 k ⊂ V . Здесь Gk – замыкание области Gk . Предположим, что анизоM , занимает область
тропное, линейно упругое тело, чьи упругие модули равны Cijkl
¯ Дефекты Gk могут быть полостями или включениями (жесткими или
Ω = V \ G.
линейно упругими). Если Gk полость, предполагается, что ее поверхность свободна
от усилий. Если Gk включение, предполагается полное сцепление между матрицей
и включением. Мы предполагаем, что характерные размеры дефектов имеют один и
тот же порядок. Обозначим характерный размер дефекта l. Предположим также, что
расстояния между дефектами имеют одинаковый порядок и обозначим характерное
расстояние L. Малость дефектов понимается в следующем смысле: l L. Введем декартову систему координат Ox1 x2 x3 . Напряженно-деформированное состояние в теле
Ω будем обозначать верхним индексом d. Предположим, что в статическом эксперименте усилия tdi и перемещения udi измеряются на внешней границе тела ∂V . Здесь
d n , σ d – тензор напряжений в теле, Ω и n – компоненты единичного вектора
tdi = σij
j
i
ij
внешней нормали к границе ∂V . Далее будем полагать, что дефекты являются линейно упругими включениями. Полости и жесткие включения могут быть рассмотрены
как предельные случаи линейно упругих включений при стремлении упругих модулей
к нулю или бесконечности, соответственно. Напряженно-деформированное состояние
Ik , eIk , uIk ). Упругие поля в теле
во включении Gk обозначим верхним индексом Ik (σij
ij
i
V без дефектов будем называть регулярными упругими полями и обозначать верхним
r , er , ur ). Функционал, определяющий скачок в соотношении взаимноиндексом r (σij
ij
i
сти и зависящий от двух напряженных состояний с верхними индексами d и r, имеет
вид:
Z
(tdi uri − tri udi )dS,
RG(d, r) =
r
tri = σij
nj .
(1)
∂V
Поскольку функции tdi и udi предполагаются известными на ∂V , величины RG(d, r)
могут быть вычислены для любых регулярных полей r. Таким образом, задача идентификации дефектов будет решена, если мы сможем выразить параметры, определяющие области Gk , через значения функционала RG(d, r). Выражение (1) может быть
переписано в следующем виде:
RG(d, r) =
n Z
X
k=1
Ik r
∆σij
eij dx,
Ik
Ik
Ik
∆σij
= σij
−σ
¯ij
.
(2)
Gk
Ik – напряжения, отвечающие деформациям eIk в материале с упругими
Здесь σ
¯ij
ij
M .
постоянными Cijkl
2. Метод решения задачи
Пусть xk = (xk1 , xk2 , xk3 ) – координаты центра дефекта Gk , а |Gk | его объем. Из
предположения о малости размеров дефектов и уравнения (2) следует:
RG(d, r) ≈
n
X
Ik k r
∆σij
(x )eij (xk )|Gk |.
(3)
k=1
Сперва определим проекции центров дефектов на произвольную плоскость. Рассмотрим, например, плоскость x1 x2 . Для определения проекций дефектов на эту плоскость мы используем регулярные упругие поля, зависящие от двух координат. Будем
ИДЕНТИФИКАЦИЯ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА НЕОДНОРОДНОСТЕЙ ...
233
искать компоненты вектора перемещений urp (x1 , x2 ) в виде urp (x1 , x2 ) = fp (x1 + sx2 ).
Из уравнений теории упругости следует:
M
M
M
M
mip (s)fp00 = 0, mip (s) = Ci1p1
+ (Ci1p2
+ Ci2p1
)s + Ci2p2
s2 , i = 1, 2, 3, p = 1, 2, 3.
(4)
Рассмотрим матрицу M (s) = mip (s). Из (4) получаем алгебраическое уравнение шестой степени относительно s, det(M (s)) = 0. Предположим для простоты, что уравнение не имеет кратных корней. Известно, что мнимые части корней не равны нулю.
Поскольку коэффициенты уравнения вещественны, уравнение имеет три пары комплексно сопряженных корней. Рассмотрим корни с положительной мнимой частью
sj = αj + iβj , βj > 0, j = 1, 2, 3. Соответствующий нормированный собственный вектор обозначим γj = (γj1 , γj2 , γj3 )T . Рассмотрим регулярные упругие поля следующего
вида: urj = Re(γj g(zj )) и u%j = Re(iγj g(zj )), zj = x1 + sj x2 , g(zj ) – произвольная
гладкая функция. Из уравнения (3) следует:
RG(d, rj ) − iRG(d, %j ) = Σnk=1 Akj ϕ(zjk ), где zjk = xk1 + sj xk2 , ϕ(zj ) = g 0 (zj ) и
Ik γ + ∆σ Ik s γ + ∆σ Ik (s γ + γ ) + ∆σ Ik γ + ∆σ Ik s γ ]|G |.
Akj = [∆σ11
j1
j2
k
22 j j2
12 j j1
13 j3
23 j j3
Беря ϕ(zj ) = ϕp (zj ) = (zj /L)p = wjp , p = 0, 1, 2, · · · , получаем систему уравнений,
возникающую в задаче определения простых полюсов мероморфной функции по ее
значениям на границе плоской области
p
Σnk=1 Akj wjk
= bjp , wjk = zjk /L, bjp = RG(d, rjp ) − iRG(d, %jp ), p = 0, 1, 2, · · · .
(5)
Методы решения систем уравнений вида (5) хорошо известны. В результате решения уравнений (5) определяем число дефектов, проекции их центров на плоскость
x1 x2 и коэффициенты Akj . Рассматривая проекции на другие плоскости, определяем
все координаты центров дефектов. В случае, когда дефекты имеют эллипсоидальную
форму, разработан также метод определения размеров и направлений их осей.
АВТОРЫ:
Шифрин Ефим Ильич,
доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, Институт проблем
механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва
e-mail: [email protected]
Шушпанников Павел Сергеевич,
кандидат физико-математических наук, младший научный сотрудник, Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, г. Москва
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Shifrin, Efim Il’ich
Dr. Sci. Phys. & Math., Chief Researcher, A. Yu. Ishlinsky Institute for Problems in
Mechanics, Moscow
234
Е. И. ШИФРИН, П. С. ШУШПАННИКОВ
Shushpannikov, Pavel Sergeevich
Candidate of Phys.&Math., Junior Researcher, A. Yu. Ishlinsky Institute for Problems in
Mechanics, Moscow
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
ЛУЧЕВЫЕ АСИМПТОТИКИ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ
УДАРНЫХ ВОЛН СДВИГА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СЛОЕ
С ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ
THE RAY ASYMPTOTICS FOR AXISYMMETRIC SHEAR SHOCK
WAVES IN CYLINDRICAL LAYER WITH PRELIMINARY
DEFORMATIONS
В. И. ШТУКА
V. I. SHTUKA
Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения
РАН, г. Владивосток
Аннотация. В работе представлены результаты решения задачи распространения
ударных волн в цилиндрическом слое с использованием лучевого метода. Построены
графики распределения давления и компонент перемещений для задачи о распространении сдвиговых волн с учетом предварительной деформации скручивающего типа.
Abstract. The paper presents the results of the problem of shock waves propagation
in a cylindrical layer using the ray method. The graphs of pressure distribution and
displacement components for the problem of shear waves propagation with preliminary
deformation of twist type are constructed.
Ключевые слова: высокоскоростное деформирование, ударные волны, лучевой метод, предварительные деформации.
Keywords: high-speed deformation, shock waves, ray method, preliminary deformations.
Описание движения ударных волн в твердом теле с вычислением полей деформаций и напряжений за передними фронтами этих волн является математической задачей высокого уровня сложности [1]. На сегодняшний день практически исключена
возможность получения точных аналитических решений задач нелинейной динамики твердого тела. Соответственно большое как практическое, так и теоретическое
значение приобретают приближенные аналитические методы. Одним из наиболее эффективных методов данного типа по праву считается метод лучевых рядов [2]. Его
вариант, предложенный в [3], позволяет описывать деформационные процессы в прифронтовой области ударных волн. Ниже рассматривается применение этого метода к
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 14-01-00292-а).
235
236
В. И. ШТУКА
задачам ударной деформации в слое несжимаемого нелинейно-упругого изотропного
материала, ограниченного двумя коаксиальными цилиндрами. Особенности построения лучевых разложений неплоских ударных волн отражены в [4]. Общие модельные
соотношения среды в переменных Эйлера имеют вид


2αij = ui,j + uj,i − uk,i uk,j , v i = u˙ i + ui,jv j ,



σ ij = ρ(v˙ i + v j v i ), σ i = ∂W δ k − 2αk − p δ i ,
j
j
j
,j
j
,j
∂αki
(1)
2
3
4 + dA2 + kA2 A ,


W
=
(a
−
µ)A
+
aA
+
bA
−
κA
A
−
θA
+
cA
1
2
1
2
2
1
1
1
2
1



A1 = αii , A2 = αji αij , u˙ i = ∂ui /∂t, ui,j = ∂ui /∂xj ,
где ρ = const – плотность среды, ui и v i – компоненты векторов перемещения и
скорости, αij и σji – компоненты тензоров деформаций Альманзи и напряжений КошиЭйлера, W – упругий потенциал, p – дополнительное всестороннее давление.
Для всех рассматриваемых далее задач поле перемещений можно представить как
ur = r (1 − cos(Ψ(r, t))) ,
uϕ = r sin(Ψ(r, t)),
uz = u(r, t),
(2)
причем Ψ – угол поворота точки среды вокруг оси симметрии z. Считаем также, что
все статические деформации имеют представление (2) с исключенным временем.
Ударная деформация среды возникает в результате воздействия с момента времени
t = 0 на внутреннюю границу цилиндрического слоя. Прилагаемая нагрузка имеет
характер чистого скручивания либо антиплоского сдвига, либо их комбинации. На
внешней границе ставится условие жесткого закрепления:
Ψ(R, t) = 0,
u(R, t) = 0.
(3)
Для поставленных задач анализ динамических условий совместности приводит к
выводу о возможности возникновения двух типов ударных волн: волны нагрузки и
волны круговой поляризации. Волновая картина в зависимости от наличия или отсутствия предварительных деформаций содержит либо обе волны нагрузки, либо только
одну.
Применение метода лучевых рядов основано на базовом представлении любой
функции f за поверхностью ударной волны Σk в виде

∞
Rr −1
P
1 ∂if

i,
(k) (r, t) = f (k−1) (r, t) −

[
]|
(t
−
t
)
t
=
Gk dξ,
f
Σk
Σk

i! ∂ti t=tΣk
i=1
0
(4)
∞ i
∞
j (k)
P
P
(k)

1 δ κi,0 j

[ ∂∂tfi ]|t=tΣk =
t
,
κi =
j
j! δt
i=1
j=0
где Gk - скорость k-ой волны, δ/δt – “дельта”-производная по Томасу [5].
Очевидно, что включение в формулы (4) дополнительных рядов по “дельта”-производным для скачков производных в окрестности нуля приводит к решению системы
алгебраических соотношений для констант внутренних рядов, что оказывается наиболее удобным аспектом при переходе к численному моделированию краевых задач
динамики. В качестве примера рассматривается численное решение о движении ударных волн в слое с внутренним и внешним радиусами r0 = 90 мм и R = 100 мм
соответственно. Заполнен слой гипотетическим несжимаемым материалом с параметрами ρ = 2700 кг · м −3 , µ = 50 ГПа, κ = 1200 ГПа, θ = 3200 ГПа, a = 300 ГПа,
b = 400 ГПа, c = 10 ТПа, d = 60 ТПа, k = 30 ТПа. До момента времени t = 0 в слое
присутствуют предварительные деформации скручивающего типа Ψ0 6= 0, u0 = 0.
ЛУЧЕВЫЕ АСИМПТОТИКИ ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ...
237
При таких краевых условиях в предварительно продеформированном цилиндрическом слое возникают два расходящихся волновых фронта – волна нагрузки и волна
круговой поляризации. Временной интервал построения решения ограничен итоговым временем прохождения ударной волной нагрузки расстояния от внутренней до
внешней стенки цилиндра: T = 1.183 · 10−6 с.
Построенное приближенное решение задачи распространения волн изменения формы в слое заданной геометрии показало, что предварительные деформации скручивающего типа оказывают существенное влияние на распределение давления в зоне
между ударными волнами нагрузки и круговой поляризации, на которых происходит
скачок градиента функции p.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. – М. : Мир, 1977. –
622 с.
[2] Быковцев, Г. И. О соотношениях на поверхностях разрыва напряжений в
трехмерных идеальных жестко-пластических телах / Г. И. Быковцев, Д. Д. Ивлев,
Ю. М. Мяснянкин // Прикл. матем. и механика. – 1968. – Т. 32. – Вып. 3. – С. 513–
517.
[3] Буренин, А. А. Об одной возможности построения приближенных решений
нестационарных задач динамики упругих сред при ударных воздействиях / А. А. Буренин // Дальневосточный мат. сборник. – 1999. – Вып. 8. – С. 49–72.
[4] Герасименко, Е. А. Лучевые разложения в изучении закономерностей распространения неплоских ударных волн / Е. А. Герасименко, В. Е. Рагозина // Вестник
СамГУ. Естественнонаучная серия. – 2006. – № 6. – С. 94–113.
[5] Томас, Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах / Т. Томас. – М. :
Мир, 1964. – 308 c.
АВТОР:
Штука Виктор Игоревич,
аспирант, Институт автоматики и процессов управления Дальневосточного отделения
РАН, г. Владивосток
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Shtuka, Viktor Igorevich
Postgraduate Student, Institute of automatic and control processes FEB RAS, Vladivostok
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.4
РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛЫХ ТЕЛ,
ПОВЕРХНОСТЬ КОТОРЫХ БЛИЗКА К СФЕРИЧЕСКОЙ С УЧЕТОМ
СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
ELASTIC-PLASTIC PROBLEM SOLUTION FOR HOLLW PODIES THE
SURFACE OF WHICH ARE CLOSE TO SPHERICAL CONSIOLERING
THE GRAVITY
А. А. ЯКОВЛЕВ, В. А. ЯКОВЛЕВ
A. A. YAKOVLEV, V. A. YAKOVLEV
Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г.
Чебоксары
Аннотация. В работе рассматривается тело вращения, предполагая, что внутренняя
и внешняя границы близки к сфере. Получено в первом приближении решение в
пластической области.
Abstract. In the work a body of revolution is considered assuming that the inner and
ou ther borders are close to a sphere. The solution in the fild of plastic we got in the first
approximation.
Ключевые слова: напряжение, сила тяжести, пластичность.
Keywords: tension, gravity, plasticity.
Рассмотрим тело вращения и предположим, что внутренняя и внешняя границы
близки к сфере. Будем искать решение упруго-пластической задачи теории идеальной пластичности в виде рядов по степеням малого параметра δ, которое характеризует отклонение границы тела от сферической и статические граничные условия [1].
Материал предполагается несжимаемым..
В качестве нулевого приближения возьмем упруго-пластическое состояние полой
сферы, находящейся под действием внутреннего давления р и внешнего q. Обозначим
через a и b соответственно внутренний и внешний радиусы сферы. Тогда будем иметь
238
РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
σρoр = −р + 2η ln αρ , σρoe = −q + 32 ρ2so 1 −
σθop = σφop = −p + η 2 ln αρ + 1 ,
σθoe = σφoe = −q + 32 ρ3so 1 + 2ρ13 ,
ηκρ3
√ so ;
2 3Gρ2
Uρop
Uρoе
239
1
ρ3
,
ηκρ3so
= 2√
,
3Gρ2
3
ρso + 3 ln ραso ,
(1)
=
3 (р − q) = 2η 1 −
rso
ρ = rb , α = ab , ρ=
so b , η = sign (p − q) ,
где rso – радиус пластической зоны.
√
Все компоненты, имеющие размерность напряжений отнесены к постоянной 3κ,
где κ – предел текучести материала. Индекс р приписан компонентам в пластической
области, индекс е – в упругой.
При решении данной задачи будем использовать в пластической области:
уравнения равновесия
∂σρ
1 ∂τρθ
∂ρ + ρ ∂θ
∂τρθ
1 ∂σθ
∂ρ + ρ ∂θ
+
+
1
ρ
1
ρ
[2σρ − σθ − σφ + τρθ ctgθ] = γ cos θ,
[3τρθ + (σθ − σφ ) ctgθ] = γ sin θ,
где γ – объемная сила.
условие пластичности Мизеса
2
(σρ − σθ )2 + (σφ − σθ )2 + (σφ − σρ )2 + 6τρθ
=6
(2)
соотношения между напряжениями и перемещениями
∂Uρ/
∂Uθ/ + Uρ
ρ∂Uθ/∂ρ − Uθ + ∂Uρ/∂θ
Uθ ctgθ + Uρ
∂ρ
∂θ
=
=
=
σρ − σ
ρ (σθ − σ)
ρ (σφ − σ)
2ρτρθ
граничные условия
σ n = qρ , τ n = qθ
(3)
(4)
условия сопряжения решений в упругой и пластической областях.
Влияние силы тяжести учтем в первом приближении. Компоненты приближения
удовлетворяют уравнениям равновесия и условию несжимаемости в силу их линейности. Условие пластичности для компонент первого приближения примет вид
2σρ0 − σθ0 − σφ0 = 0.
(5)
Условие несжимаемости
Uρ0
∂Uρ0
U0
1 ∂Uθ0
+2
+
+ θ ctgθ = 0
∂ρ
ρ
ρ ∂θ
ρ
будет удовлетворено, если положить
Uρ0 =
Далее имеем
1 ∂ψ
1 ∂ψ
, Uθ0 = −
.
ρ2 sin θ ∂θ
ρ sin θ ∂ρ
(6)
(7)
240
А. А. ЯКОВЛЕВ, В. А. ЯКОВЛЕВ
θ ∂ψ
ρ ∂2ψ
σρ ∗р = σ ∗р , σθ∗р = σ ∗р + А 2ρsincos
2 θ ∂ρ − sin θ ∂ρ∂θ
θ ∂ψ
ρ ∂2ψ
G
σφ∗р = σ ∗р − А 2ρsincos
,
A = √3κρ
2 θ ∂ρ − sin θ ∂ρ∂θ
3so
∗р
2ρ ∂ψ
ρ2 ∂ 2 ψ
1 ∂2ψ
cos θ ∂ψ
τρθ = A sin θ ∂ρ − sin θ ∂ρ2 − sin2 θ ∂θ + sin θ ∂θ2 .
(8)
Подставляя (8) в уравнение равновесия и учитывая (5), получим следующее уравнение для определения функции ψ:
L [ψ] =
где
2γ
sin θ,
A
(9)
2 cos θ ∂ 3 ψ
2+cos2 θ ∂ 2 ψ
1 ∂4ψ
ρ sin θ ∂θ4 − ρ sin2 θ ∂θ3 + ρ sin3 θ ∂θ2 −
∂3ψ
ρ
∂4ψ
ρ cos θ ∂ 3 ψ
3 cos θ ∂ψ
− sin1 θ ∂ρ∂θ
2 − sin θ ∂ρ2 ∂θ 2 − ρ sin4 θ ∂θ + sin2 θ ∂ρ2 ∂θ +
6ρ2 ∂ 3 ψ
ρ3 ∂ 4 ψ
6 ∂ψ
cos θ ∂ 2 ψ
+ sin
2 θ ∂ρ∂θ − sin θ ∂ρ + sin θ ∂ρ2 + sin θ ∂ρ4 .
L [ψ] =
(10)
Согласно работы [1], решение однородного уравнения
L [ψ] = 0
будем искать в виде
ψ0 (ρ, θ) = ρµ φ (θ) .
После разделения переменных уравнение для φ (θ) примет вид
2θ
2 φ00 +
−
µ
φIV − 2ctgθφ000 + 2+cos
2
sin θ
3 cos θ
2
+ − sin2 θ + µ ctgθ φ0 + µ2 µ2 − 7 φ = 0.
(11)
(12)
Последнее уравнение разбивается на два
φ001 − ctgθ · φ01 + υ1 (υ1 + 1) φ1 = 0, φ002 − ctgθ · φ02 + υ2 (υ2 + 1) φ2 = 0,
где
µ2
υ1 (υ1 + 1) = α + iβ, υ2 (υ2 + 1) = α − iβ, α = − , β =
2
Общее решение уравнения (12) имеет вид
r
3 4
µ − 7µ2
4
0
φ = с1 yυ0 1 (θ) + с2 yυ2
(θ) sin2 θ,
где yυ (θ) – решение уравнения Лежандра, с1 и с2 – комплексные постоянные.
Частное решение уравнения (9) можно записать в виде
где
1
ψ2 = D · sin 2θ,
4
D=
Общее решение уравнения (9) имеет вид
2γ
.
A
(13)
РЕШЕНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
241
0 (θ) sin2 θ+
ψ (ρ, θ) = ψ0 + ψ2 = ρµ с1 yυ0 1 (θ) + с2 yυ2
+ 41 D sin 2θ,
В ряде случаев бывает необходимо использовать решение, в котором yυ (θ) – полиномы Лежандра. Функция ψ в этом случае принимает значение
ψ = β0р cos θ
ψ=
4
X
Аpi ρµi
i=1
(n = 0)
1
dpn
· sin2 θ + D sin 2θ
d (cos θ)
4
(n > 0) .
Решение в пластической области запишется в виде рядов по полиномам Лежандра,
причем для различных n получаем
∗р
= 0, Uρ∗р = −β0p ρ2 (n = 0),
σρ∗р = σθ∗р = σφ∗р = σ ∗р = Ар0 , τρθ
4
P
p
Lρµi µ−1
σρ∗р = Аn (n + 1) Pn
i Ai + ργ cos θ + D · F (θ) ln ρ,
i=1
σφ∗р = A
4 P
i=1
µ −1 p
n
i
Ln (n + 1) Pn + 2µ2i ctgθ dP
dθ ρ µi Ai +
+ργ cos θ + D · F (θ) ln ρ,
4
4 P
P
p
n
n (n + 1) Pn ρµi µ−1
A
+
µ2i ctgθ dP
σθ∗р = A
i
i
dθ + µi (n + 1) nPn ×
i=1
i=1
×ρµi Api + D · F (θ) ln ρ.
4
P
∗р
n
= A dP
Lρµi Api − D 21 ctg 2 θ − 1 cos θ + 2 cos θ ,
τρθ
dθ
i=1
P
n
Uθ∗р = dP
Api µi ρµi −2 ,
dθ
где L = µ2i − 3µi + n (n + 1) ,
"
#
2 θ 2 − sin2 θ
cos
1
5
F (θ) =
ctg 2 − 1 cos θ + 2 cos θ · ctgθ −
− sin θ
2
2
2 sin3 θ
Решение в упругой области представлено в виде полиномов Лежандра [2].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Вульман, С. А. Приближенное решение упруго-пластической задачи для олых
тел, поверхность которых близка к сферической / С. А. Вульман // Изв. АН СССР,
МТТ. – 1971. – № 1.
[2] Лурье, А. И. Пространственные задачи теории упругости / А. И. Лурье. М. :
Гостехиздат, 1955.
АВТОРЫ:
Яковлев Алексей Алексеевич,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа,
Чувашский государственный педагогический университет, г. Чебоксары
242
А. А. ЯКОВЛЕВ, В. А. ЯКОВЛЕВ
Яковлев Владимир Алексеевич,
преподаватель образовательного центра «Мария», г. Нижний Новгород
AUTHORS:
Yakovlev, Alexey Alekseevich
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor, Dean of Physical & Mathematical Faculty,
I. Yakovlev Chuvach State Pedagogical University, Cheboksary
Yakovlev, Vladimir Alekseevich
Teacher of the educational center "Maria Nizhny Novgorod
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.3
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
В СОСТАВНОЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ КОНСТРУКЦИИ
FOR THE DETERMINATION OF STRESSES AND DISPLACEMENTS
IN AN ELASTIC-PLASTIC COMPOSITE STRUCTURES
А. В. КОВАЛЕВ, А. А. НИКУЛИНА, А. Ю. ЯКОВЛЕВ
A. V. KOVALEV, A. A. NIKYLINA, A. Y. YAKOVLEV
Воронежский государственный университет, г. Воронеж
Аннотация. В работе методом возмущений определяется напряженнодеформированное состояние в механической конструкции с запрессованным
элементом не симметричной формы.
Abstract. In the work there is determined the stress-strain state in mechanical
construction with the element of the non-symmetric form by the method of small
parameter.
Ключевые слова: пластичность, упругость, метод возмущений, приближения,
упрочнение, запрессовка, включение, упругопластическое пространство.
Keywords: plasticity, elasticity, the method of small parameter, approach, hardening,
pressing, elastic-plastic space.
Цель настоящей работы состоит в определении поля напряженнодеформированного состояния и границы раздела зон упругого и пластического
деформирования в упрочняющемся упругопластическом пространстве (плите) с
отверстием сложной формы, в которое с натягом вложена или впаяна упругая шайба.
На бесконечности на пространство действуют взаимно перпендикулярные усилия с
интенсивностями P1 и P2 . Поведение материала в упругой зоне пространства и во
включении описывается линейным законом Гука. При описании поведения плиты в
пластической зоне плиты выбирается упрочняющаяся упругопластическая модель с
поверхностью нагружения Ишлинского – Прагера,
F = (Sij − cePij )(Sij − cePij ) − 2k 2 = 0,
где Sij – компоненты девиатора тензора напряжений, с – коэффициент упрочнения,
ePij – компоненты девиатора тензора пластических деформаций, k – предел текучести
материала на сдвиг. Материал конструкции считается несжимаемым, однородным,
243
244
А. В. КОВАЛЕВ, А. А. НИКУЛИНА, А. Ю. ЯКОВЛЕВ
изотропным. При построении решения будем исходить из предположения, что пластическая зона в упругопластическом пространстве полностью охватывает контур отверстия.
В качестве метода решения выбирался приближенно-аналитический метод - метод
возмущений [1], [2], [3], [5], [6]. Решение построено в цилиндрической системе координат ρ, θ, z для случая плоской деформации. Ось 0z направлена вдоль центральной
оси отверстия во включении. За нулевое приближение выбиралось осесимметричное
состояние толстой плиты с круговым отверстием радиуса α, содержащее с натягом
вставленное включение-шайбу, с внешним радиусом α1 .
Решение задачи ищется в виде [3]
(0)
(0)
Fij = Fij + δFij ,
где верхний индекс 1 указывает на первое приближение, а индекс 0 – на нулевое
приближение, δ – малый параметр, Fij – искомые компоненты тензора напряжений,
вектора перемещений и радиуса упругопластической границы.
В плоскости, перпендикулярной оси 0z, согласно [3], [4] уравнение контура отверстия в пространстве до деформации имеет вид
ρ = R(1 + δ
5
X
dj cos(j + 1)θ),
(1)
j=1
где R = α – радиус кругового контура отверстия в пространстве в нулевом приближении, для внешнего контура включения до деформации R = α1 , δ – малый параметр,
характеризующий отклонение контура от окружности, di i = 1 . . . 5 – безразмерные
константы.
В результате решения задачи получены выражения для компонент тензора напряжений, вектора перемещений, в плите и во включении, а также радиус упругопластической границы в пространстве (плите).
Показано, что использование приведенного выше описания контура с пятью безразмерными параметрами позволяет рассмотреть большое число различных очертаний
контура.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Артемов, М. А. Учет сжимаемости материала при определении напряженнодеформированного состояния в упругопластическом теле в случае плоской деформации / М. А. Артемов, И. А. Ларин // Вестник ВГТУ. – 2009. – T. 5. – № 7. – С.
39–42.
[2] Артемов, М. А. Учет сжимаемости материала при определении напряжений и
деформаций в упруго-пластическом теле в случае плоского напряженного состояния
/ М. А. Артемов, Н. С. Потапов // Вестник ВГТУ. – 2009. – T. 5. – № 8. – С. 25–29.
[3] Ивлев, Д. Д. Метод возмущений в теории упругопластического тела /
Д. Д. Ивлев, Л. В. Ершов. – М : Наука, 1978. – 208 с.
[4] Ержанов, Ж. С. Напряженное и деформированное состояние жиагональной выработки / Ж. С. Ержанов // Прикладные задачи механики горных пород / под ред.
Ж. С. Ержанова. – Алма-Ата : Наука, 1971. – С. 74–104.
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ...
245
[5] Гоцев, Д. В. Локальная неустойчивость пластин с запрессованными кольцевыми
включениями при упругопластическом поведении материалов / Д. В. Гоцев, А. В. Ковалев, А. Н. Спорыхин // Прикладная механика и техническая физика. – 2001. – Т. 42.
– № 3. – С. 146–151.
[6] Задорожний, В. Г. Об аналитичности решения плоской упруго-пластической
задачи / В. Г. Задорожний, А. В. Ковалев, А. Н. Спорыхин // Известия Российской
академии наук. Механика твердого тела. – 2008. – № 1. – С. 138–146.
АВТОРЫ:
Ковалев Алексей Викторович,
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической и прикладной механики, Воронежский государственный университет, г. Воронеж
e-mail: [email protected]
Никулина Анастасия Анатольевна,
преподаватель кафедры теоретической и прикладной механики, Воронежский государственный университет, г. Воронеж
e-mail: [email protected]
Яковлев Александр Юрьевич,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической и прикладной
механики, Воронежский государственный университет, г. Воронеж
e-mail: [email protected]
246
А. В. КОВАЛЕВ, А. А. НИКУЛИНА, А. Ю. ЯКОВЛЕВ
AUTHORS:
Kovalev, Aleksey Viktorovich
Dr. Sci. Phys.&Math., Professor, Department of Theoretical and Applied Mechanics,
Voronezh State University, Voronezh
Nikulina, Anastasya Anatolevna
Teacher of faculty, Department of Theoretical and Applied Mechanics, Voronezh State
University, Voronezh
Yakovlev, Alexander Yuryevich
Candidate of Phys.&Math., Assoc. Professor, Department of Theoretical and Applied
Mechanics, Voronezh State University, Voronezh
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 669.18.046:621.74.047
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ УСИЛИЙ В СИСТЕМЕ
«ДЕФОРМИРУЕМЫЙ МЕТАЛЛ – ИНСТРУМЕНТ ДЕФОРМАЦИИ»
THE DEFINITION OF LOAD INTENSITY IN SYSTEM «DEFORMABLE
METAL - THE DEFORMATION TOOL»
С. В. БОНДАРЕНКО, В. В. ЧЕРНОМАС, А. А. СОСНИН
S. V. BONDARENKO, V. V. CHERNOMAS, A. A. SOSNIN
Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН, г. Комсомольск-на-Амуре
Аннотация. Определены усилия деформирования, создаваемые подвижными боковыми стенками устройства вертикального литья и деформации металла.
Abstract. has been identified force of deformation, which were created by motile sidewalls
vertical casting and metal deformation.
Ключевые слова: устройство вертикального литья и деформации металла, усилия
деформирования.
Keywords: the device of vertical moulding and metal deformation, efforts of deformation.
Исследование проводили на разработанном в Институте машиноведения
и металлургии экспериментальном стенде - устройстве вертикального литья и деформации металла (УВЛДМ), новизна конструкции и принцип
работы которого подтверждены патентами РФ[1] и многочисленными публикациями [2,3]. Кинематика УВЛДМ организована таким образом, что
при повороте приводных эксцентриковых валов стенки кристаллизатора
совершают сложное движение, которое приводит к деформации заготовки и ее самоподачи в зону калибрования в непрерывном режиме, при этом
процесс деформирования металла начинается в твердожидком состоянии, а
формирование требуемого профиля поперечного сечения - в твердом состоянии[2], [3]. Целью работы являлось проведение физического моделирования процесса деформирования формирующегося металлоизделия, которое
позволило определить усилия деформирования, создаваемые подвижными
стенками УВЛДМ. В качестве объекта исследования был выбран образец прямоугольного сечения из свинцово-сурьмяного сплава марки ССу
ГОСТ 1292-81. Образец помещали в калибрующий участок кристаллизатора УВЛДМ и запускали электропривод. В процессе работы УВЛДМ происходило цикличное обжатие образца боковыми стенками кристаллизатора
247
248
С. В. БОНДАРЕНКО, В. В. ЧЕРНОМАС, А. А. СОСНИН
и его продвижение торцевыми стенками в направлении выхода из кристаллизатора. При этом нарастание усилия деформирования отображалось и
фиксировалось в памяти ПЭВМ в виде изменения значений напряжения
на калиброванном шунте, установленном в электрической цепи электродвигателя. Для дальнейшего анализа экспериментальных данных полученные
значения напряжения сравнивали со значениями напряжения на калиброванном шунте электродвигателя при холостом режиме работы УВЛДМ
(внутри кристаллизатора нет образцов) (рис. 1). По известным отношени-
Рис. 1. Графики изменения напряжения на холостом ходу (а) и под нагрузкой (б),
при кинематической схеме с двумя приводными бойками
ям электрической и механической постоянных двигателя [4] определяли
крутящий момент на валу электродвигателя. Усилия создаваемые подвижными боковыми стенками определяли в виде равномерно распределенной
по высоте боковой стенки нагрузки в калибрующем сечении кристаллизатора УВЛДМ.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Патент РФ № 2401176. Устройство для непрерывного литья и деформации
металла / В. В. Черномас, В. И. Одиноков, С. Ю. Скляр. Опубл.10.10.2010. Бюл. №
28
[2] Одиноков, В. И. Исследование процесса получения металлоизделий из цветных и
черных сплавов на установке вертикального литья и деформации металла / В. И. Одиноков, В. В. Черномас, Н. С. Ловизин. – Владивосток : Дальнаука, 2011. – 107 с.
[3] Одиноков, В. И. Теоретическое и экспериментальное исследование непрерывного процесса кристаллизации металла при одновременном его деформировании /
В. И. Одиноков, Б. И. Проскуряков, В. В. Черномас. – М. : Наука, 2006. – 111 с.
[4] Вешневский, С. Н. Характеристики двигателей в электроприводе / С. Н. Вешневский. – М. : Энергия, 1977. – 432 с.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ УСИЛИЙ ...
249
АВТОРЫ:
Бондаренко Светлана Владимировна,
Аспирант лаборатории проблем металлотехнологий, Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН, г. Комсомольск-на-Амуре
e-mail: [email protected]
Черномас Вадим Владимирович,
заведующий лабораторией проблем металлотехнологий, Институт машиноведения и
металлургии ДВО РАН, г. Комсомольск-на-Амуре
e-mail: [email protected]
Соснин Александр Александрович,
научный сотрудник лаборатории проблем металлотехнологий, Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН, г. Комсомольск-на-Амуре
e-mail: [email protected]
AUTHORS:
Bondarenko Svetlana Vladimirovna,
Postgraduate student, lab of problems of metal technology, IEM FEB RAS, Komsomolskon-Amur
Chernomas Vadim Vladimirovich,
Chief, lab of problems of metal technology, IEM FEB RAS, Komsomolsk-on-Amur
Sosnin Aleksandr Aleksandrovich,
Research associate, lab of problems of metal technology, IEM FEB RAS, Komsomolsk-onAmur
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 519.688:004.021
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЙ ДВУХ
ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ХЕМОСТАТА С РАВНЫМИ
КОНСТАНТАМИ МИХАЭЛИСА – МЕНТЕН МЕТОДАМИ
КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
NUMERICAL STUDY OF SOLUTIONS OF TWO CHEMOSTAT MODELS
WITH THE EQUAL MICHAELIS – MENTEN CONSTANTS BY
COMPUTER SIMULATION
А. В. ЧИЧУРИН, Е. Н. ШВЫЧКИНА
A. V. CHICHURIN, A. N. SHVYCHKINA
Брестский государственный университет, г. Брест
Брестский государственный технический университет, г. Брест
Аннотация. В работе рассматриваются динамические модели хемостатаМихаэлисаМентен, описывающие процесс непрерывного культивирования бактерий с одним органическим субстратом и двумя видами микроорганизмов в случае, когда константы
Михаэлиса-Ментен для обеих конкурирующих популяций микроорганизмов равны.
Поставленная задача сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения первого порядка.Для некоторых значений параметров моделей найдены решения
в аналитической форме.
Построены программные модули, использующие численные процедуры, которые
позволяют осуществить моделирование процессов хемостатного культивирования при
изменяющихся параметрах системы, а также визуализировать динамику процесса
развития для каждого микроорганизма. Проведен сравнительный анализ некоторых
численных методов, которые использовались для интегрирования результирующего
нелинейного дифференциального уравненияпервого порядка.
Abstract. In this paper we consider the dynamic modelsof Michaelis - Mentenhemostat
describing the process of continuous cultivation of bacteria with one organic substrate and
two types of microorganisms in the case when the Michaelis- Menten constantsare equalfor
both populations of microorganisms. The problem is reduced to solving the nonlinear
differential equation of the first order. For some values of the model parameters solutions
in analytical formare found.
Software modules are built that use numerical procedures that allow to modelthe
hemostat cultivation with changing parameters.We also visualize the dynamics of the
development process for every microorganism. A comparative analysis of some numerical
methodsused forsearching the nonlinear differential equation of the first order is made.
250
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ...
251
Ключевые слова: компьютерное моделирование хемостата, дифференциальное
уравнение,решение, визуализация решений.
Keywords: computer modeling of thechemostat, differential equation, solution,
visualization of solutions.
Введение.Математическое моделирование динамики развития двух видов микроорганизмов, потребляющих один субстрат, является актуальной задачей, часто возникающей при производстве в медицинской и пищевой промышленности, микробиологической промышленности, экологии, а также при производстве генетически модифицированных продуктов. Моделирование конкурирующих популяций микроорганизмов
является одной из наиболее сложных задач в математической биологии. Основополагающий принцип количественного выражения всех проявлений жизни клетки приведен, например, в книге Перта [1], где свойства и поведение клеток описываются математическими моделями. Для изучения скорости роста популяций микроорганизмов
можно использовать следующую гипотезу Ж. Моно: зависимости скоростей реакций
являются функциями от концентрации субстрата[1].
В настоящее время используются два основных способа организации биохимического процесса – периодическое и непрерывное культивирование. При периодическом
процессе лимитированного роста популяций исходный субстрат и биомассу микроорганизмов помещают в замкнутый сосуд (ферментер). Далее субстрат в процессе
роста только потребляется. После завершения процесса ферментер опорожняют, продукт очищают и цикл повторяется. Динамика популяции в условиях периодического
культивирования описывается следующей системой уравнений, известных как модель
Моно [1],
µmax s
dX
dt = X · ks +s ,
ds
1 dX
dt = − Y dt .
(1)
Здесь X− концентрация биомассы, s− концентрация лимитирующего субстрата,
t− время, µmax − максимальная удельная скорость роста, ks − константа насыщения,
Y − экономический коэффициент. Система (1) имеет аналитическое решение вида
ks Y + s0 Y + x0
x
ks Y
s 0 Y + x0 − x
ln
−
ln
= µmax t,
s0 Y + x0
x0
s 0 Y + x0
s0 Y
где x0 и s0 − начальные концентрации биомассы микроорганизмов и субстрата соответственно.Недостатки периодической культуры заключаются в невозможности выявления степени влияния внешних факторов на процессы, происходящие с микроорганизмами и отсутствие способа управления ими.
При непрерывном процессе культивирования микроорганизмов подача питательного субстрата происходит безостановочно и совершается одновременное изъятие избытка биомассы. Благодаря этому размер размножающейся популяции остается неизменным. Система, в которой скорости подачи субстрата и изъятия биомассы постоянны,
называется хемостат [1]. Для описания лимитированного роста популяции в хемостате применяют следующую систему уравнений [1], [2]
µmax s
dX
=
X
·
−
D
,
dt
ks +s
ds
dt
= D (s0 − s) −
X µmax s
Y ks +s .
252
А. В. ЧИЧУРИН, Е. Н. ШВЫЧКИНА
Обозначения здесь те же, что и в системе (1), параметр D− называется потоком
и он численно равен скорости подачи питательного субстрата в ферментер. Метод
хемостатного культивирования показал, что можно полностью управлять действием
любого фактора среды и их комбинаций. В дальнейшем метод непрерывного культивирования получил развитие и различные модификации.
В простейших моделях хемостата [2] рассматривается конкуренция нескольких видов микроорганизмов, которые питаются одним ограниченным питательным веществом, называемым субстратом. Если конкуренция двух или более популяций происходит “эксплуататорским образом” при одном лимитируемом субстрате, то выживает
только одна из популяций, а остальные – вымирают. Такая ситуация возникает при
большинстве заданных постоянных значений параметров – скорости вымывания и
входной концентрации питательного субстрата. Исследование таких процессов приведено в работах [2], [3]; там же было доказано, что теоретически возможно краткосрочное сосуществование двух или более популяций, питающихся одним ограниченным
субстратом. В природе существуют примеры, которые демонстрируют сосуществование нескольких популяций, причем довольно длительное время.
В реальных условиях параметры, которые описывают хемостат, не являются постоянными величинами. Наличие природных сезонных изменений приводит к необходимости уточнения модели простого хемостата, а именно, рассмотрения модели с
периодически изменяющимися коэффициентами. Существует два основных способа
описания такой модели: первый – сделать периодической скорость подачи входной
концентрации питательного субстрата, второй – рассмотреть периодическую скорость
смыва субстрата. Первая из этих модификаций была изучена в работе [3]. Такой подход является естественным с точки зрения экологии, так как можно ожидать, что
уровни питательных веществ во многих экосистемах находятся в зависимости от дня
и ночи, или имеют более длительную сезонную зависимость. Система дифференциальных уравнений, описывающая такую модель, будет иметь вид

˙ = f (t) − s(t) − x1 (t)µ1 (s(t)) − x2 (t)µ2 (s(t)) ,
 s(t)
x˙ 1 (t) = (µ1 (s(t)) − 1) x1 (t),

x˙ 2 (t) = (µ2 (s(t)) − 1) x2 (t),
(2)
i s(t)
(i = 1, 2), s(t) обозначает плотность питательного субстрата,
где µi (s(t)) = ami +s(t)
x1 (t), x2 (t) – плотности микроорганизмов в момент времени t, остальные параметры
m1 , a1 , m2 , a2 модели (2) являются заданными положительными числами, периодическая функция f (t) определяет скорость подачи питательного субстрата в хемостат.
Данная модель хемостата предложена немецкими учёными Л. Михаэлисом и М. Ментен в 1913 г. [2].
Вторая модификация была изучена в работах [4, 5] и соответствующий эксперимент
представляет собой управление скоростью насоса, что изменяет скорость вымывания
(модель станции очистки сточных вод). Система дифференциальных уравнений, описывающая данную модификацию, имеет вид

˙ = (1 − s(t)) D(t) − x1 (t)µ1 (s(t)) − x2 (t)µ2 (s(t)) ,
 s(t)
x˙ 1 (t) = (µ1 (s(t)) − D(t)) x1 (t),

x˙ 2 (t) = (µ2 (s(t)) − D(t)) x2 (t),
(3)
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ...
253
где D(t)− положительная периодическая функция, определяющая скорость вымывания субстрата. Для обеих рассмотренных моделей результаты схожи и приводят
к выводу, что длительное сосуществование популяций возможно. Системы вида (2)
и (3) были исследованы с помощью численных, асимптотических и топологических
методов, на основе которых были сделаны выводы об эффективности периодических
режимов управления хемостатом, позволяющих обеспечить уровни концентраций полезной биомассы, недостижимые при постоянных управляющих воздействиях [4–6].
В данной работе ищутся решения системы (1), удовлетворяющие начальным условиям
s(0) = s0 ≥ 0, x1 (0) = x01 ≥ 0, x2 (0) = x02 ≥ 0
(4)
на достаточно больших промежутках времени (в том числе возможен бесконечно большой временной интервал). Начальные концентрации искомых функций, определяемые из условий (4), неотрицательны в силу биологического характера задачи. Поэтому
решения задачи Коши (2), (4) для любой ограниченной неотрицательной управляющей функции f (t) (кусочно-непрерывной или измеримой по переменной t), должны
являться неотрицательными функциями времени, т.е. s(t) ≥ 0, x1 (t) ≥ 0, x2 (t) ≥
0, t ∈ [0, +∞).
Определим соотношения
ai
(i = 1, 2),
mi − 1
называемыми безубыточными концентрациями [2].
Исследование асимптотического поведения решений системы уравнений вида (2)
приt → +∞ содержится в работах [2, 3, 6] и состоит в следующем:
1) При постоянном внешнем воздействии, то есть, при f (t) ≡ f0 = constс течением
времени в хемостате, описываемом системой (2), устанавливается одно из устойчивых
состояний [2], при котором происходит либо вымирание одновременно двух микроорганизмов, либо выживание только одного из них, имеющего наименьшее значение
параметра ωi (i = 1, 2).
2) При периодическом внешнем воздействии, то есть когда, например, периодическая функция времени f (t) = b+a sin (ω t)[3] описывает подачу питательного вещества,
в процессе хемостатаприt → +∞ устанавливается один из следующих колебательных
режимов:
- оба микроорганизма, участвующие в хемостатном культивировании, погибают;
- выживает только один из двух микроорганизмов;
- имеет место сосуществование двух микроорганизмов в течение неограниченно долгого промежутка времени.
В отличие от случая, когда скорость подачи питательного вещества постоянная
(f (t) ≡ f0 ), при периодической подаче вещества, возможно достигнуть сосуществования обоих микроорганизмов. Более того, изменяя амплитуду и периодичность внешнего воздействия, удается достигнуть выживания или вымирания определенного заранее
микроорганизма. Строго говоря, такие результаты справедливы лишь для малых значений амплитуд входных воздействий a, поскольку при анализе колебательных процессов используется приближенный метод [3], при котором решения s(t), x1 (t), x2 (t)
системы (1) ищутся в форме асимптотических разложений по степеням величины a,
играющей роль малого параметра.
ωi =
254
А. В. ЧИЧУРИН, Е. Н. ШВЫЧКИНА
Компьютерное исследование модели хемостата с равными параметрами
Михаэлиса-Ментена.
Для системы (2) рассмотрим случай, когда коэффициенты Михаэлиса-Ментена
удовлетворяют условию a1 = a2 . Без ограничения общности можно принять, что
m2 = ρ m1 , где ρ −действительное положительное число, отличное от единицы [8,
9]. При данных коэффициентных условиях система (2) примет вид
2 (t) s(t)
1 (t) s(t)
− ρ ma11x+s(t)
,
s0 (t) = f (t) − s(t) − m1ax1 +s(t)
ρ
m
s(t)
m
s(t)
1
1
− 1 x1 (t), x02 (t) = a1 +s(t)
− 1 x2 (t).
x01 (t) = a1 +s(t)
(5)
Для системы (5) будем искать решения, принимающие положительные значения и
удовлетворяющие начальным условиям (4). Сведем решение поставленной задачи к
решению одного дифференциального уравнения первого порядка относительно функции x1 (t). Для этого складываем все три уравнения системы (4). В результате получим неполное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции
0
∆(t) = s(t) + x1 (t) + x2 (t) вида∆
это уравнение, находим
t (t) = f (t) − ∆(t).Интегрируя
R (τ −t)
его общее решение ∆(t) =
e
f (τ )dτ + с1 e−t , где с1 − произвольная постоян0
ная. Тогда

Zt
s(t) = 

e(τ −t) f (τ )dτ + с1  e−t − x1 (t) − x2 (t).
(6)
0
Исключим из второго и третьего уравнений системы (4) функцию s(t) и получим
уравнение
ρ x2 (t)(x1 (t) + x01 (t)) = x1 (t)(x2 (t) + x02 (t)),
которое (в силу положительности решений) можно переписать в виде
x0 (t)
x01 (t)
− 2
= 0.
x1 (t)
x2 (t)
Проинтегрируем это уравнение. После преобразований запишем функцию x2 (t) в
виде
ρ−1+
x2 (t) = с2 e(ρ−1)t xρ1 (t),
(7)
где с2 − произвольная постоянная.Используя найденные функциональные соотношения (6) и (7) между функциями s(t), x1 (t), x2 (t), перепишем первое уравнение системы (5) в виде
x1 (t)(a1 et + (m1 − 1)(с1 + et x1 (t) + с2 eρ t xρ1 (t) −
Rt
e(τ −t) f (τ )dτ ))
0
x01 (t) =
с1 −
Rt
e(τ −t) f (τ )dτ
−
et a1
+
et x1 (t)
+
.
(8)
с2 eρ t xρ1 (t)
0
Имеет место следующая теорема [8].
Теорема 1. Решение системы (4) сводится к решению уравнения (8). Более точно, решение системы (5), удовлетворяющее условиям (4), имеет вид (6), (7), (8), где
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ...
255
a1 , m1 , ρ− положительные числа, m1 6= 1, ρ 6= 1, где с1 , с2 − произвольные постоянные.
Дифференциальное уравнение (8) является нелинейным уравнением первого порядка не разрешаемым в квадратурах, поэтому для его интегрирования будем использовать численные методы. Для численного интегрирования дифференциальных уравнений в системе Mathematica используется функция NDSolve [10], которая представляет
частное решение в виде интерполяционной функции (InterpolatingFunction). Использование дополнительных опций в команде NDSolve дает возможность осуществлять
контроль над процессом итераций, выбирать последовательность шагов независимой
переменной t и определить их оптимальный размер. Выбор подходящего метода для
конкретной системы может быть достаточно трудным из-за собственных настроек,
которые могут значительно повлиять на эффективность и точность построения решения. Система Mathematica выбирает наилучший метод численного интегрирования
среди имеющихся в ней численных методов [11, 12].
На рис. 1 показаны графики, входящих в систему (5) трех неизвестных функций, а
в правом нижнем углу построена фазовая кривая на плоскости(x1 , x2 ) . Для значений
параметров m1 = 2.5, a1 = 0.1, x01 = 0.115, ρ = 1.15 показано, что популяцияx2 (t)
осциллируя численно увеличивается, а популяция x1 (t) наоборот, осциллируя численно уменьшается (при t ≈ 40 практически обращаясь в нуль).
Рис. 1. Численное решение системы (5)
при периодической входной скорости подачи
субстрата f (t) = b + a sin (ω t)
256
А. В. ЧИЧУРИН, Е. Н. ШВЫЧКИНА
Для того, чтобы использовать вышеприведенный модуль для визуализации и нахождения численных значений концентраций трех функций s(t), x1 (t), x2 (t) при другой выбранной функции подачи субстрата f (t), поступим следующим образом. Пусть,
например, f (t) = 1. Тогда в модуле после инструкции NDSolveзаменим дифференциальное уравнение на уравнение (8), где f (t) = 1. Явный вид этого уравнения приведен
в работе [8].
На рис. 2 показаны графики, входящих в систему (4) трех неизвестных функций,
а в правом нижнем углу построена фазовая кривая на плоскости(x1 , x2 ) . Для значений параметров m1 = 1.5, a1 = 0.05, x01 = 0.001, ρ = 1.15 показано, что две
популяции увеличивают свою численность до определенного момента времени (приблизительно t = 15), после которого популяция x1 (t) погибает. При этом выполняется
главный теоретический результат, сформулированный в работах [1], [4] о том, что при
постоянной входной скорости подачи субстрата f (t) ≡ 1 выживает только один микроорганизм с меньшей безубыточной концентрацией (в нашем случае x2 (t), поскольку
ω1 = 0.1, ω2 = 0.06897). Этот же вывод следует из вида кривой, изображенной на
фазовой плоскости (рис. 2).
Рис. 2. Численное решение системы (5)
при постоянной входной скорости подачи субстрата f (t) ≡ 1
Рассмотренные математические модели имеют реальные приложения. А именно,
случай когда параметры Михаэлис-Ментен равны (a1 = a2 ) рассмотрен в работе биологов С. Хансена и С. Хубелла [7], в которой описана модель хемостата для двух
видов бактерий вида Escherichiacoli. Один штамм С - 8 nalr specs ингибируется налидиксовой кислотой и имеет соответствующие параметры a1 = 1.6 × 10−6 , m1 = 0.68,
другой без ингибитора С - 8 nals specr имеет параметры a2 = 1.6 × 10−6 , m2 = 0.96,
субстратом является триптофан. Их эксперименты согласуются с полученными выше
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ...
257
результатами – со временем погибает штамм с меньшим параметром безубыточной
концентрации, то есть второй штамм С - 8 nals specr .
Аналитические решения моделей.
У системы (3) существуют решения в аналитической форме. Действительно, имеет
место [9]
Теорема 2.Пусть a1 = a2 и D(t) = m1 = 2 . Тогда система (3) примет вид
x2 (t)+2( s(t)−x1 (t)−1))
s0 (t) = − 2a1 (s(t)−1)+s(t)(ma21 +s(t)
,
1 x1 (t)
2 s(t)
x01 (t) = − 2a
x02 (t) = am1 +s(t)
− 2 x2 (t),
a1 +s(t) ,
(9)
а ее двухпараметрическое семейство решений запишется в форме
m /2
m /2
s(t) = 1 − x1 (t) − с1 e(m2 −2)t x1 2 (t), x2 (t) = с1 e(m2 −2)t x1 2 (t),
2 −2
exp − m2a
(a
(ln
x
(t)
+
2t)
−
x
(t)
+
ln
x
(t))
−
1
1
1
1
1
2−m2
+1
2 −2
−(m2 − 2)(x1 (t)) 2a1
E m2 −2 − m2a
x1 (t) = c2 ,
1
4a1
(m2 −2)2
2a1
c1
(10)
2a1
где c1 , c2 −произвольные постоянные, функцияE m2 −2 обозначает экспоненциальный
2a1
R∞ −zt n m2 −2
интеграл вида En (z) = e /t dt n = 2a1 .
1
Теорема 3. Пустьa1 = a2 и D(t) = m2 . Тогда система (3) примет вид
( s(t)+x2 (t)−1)+m1 x1 (t))
s0 (t) = − a1 m2 (s(t)−1)+s(t)(ma12 +s(t)
,
1 s(t)
2 x2 (t)
x01 (t) = x1 (t) am1 +s(t)
− m2 , x02 (t) = − a1am
,
1 +s(t)
а ее однопараметрическое семейство решений запишется в форме
m /m2
s(t) = 1 − e(m1 −m2 )t x2 1
−a1 x2
(t)−(a1 +1)(m1 −m2 )/a1 m1
−m2
+c1 (m1m
2
)2
m /m2
(t) − x2 (t), x1 (t) = e(m1 −m2 )t x2 1
(m1 −m2 )2
x2 (t)m1 /m2 +1 E m1 −m2
a1 m22
a m
1
+ a1
(t),
e(m1 −m2 )(x2 (t)−a1 m2 t)/a1 m1
2
= 0,
2
гдеc1 − произвольная постоянная, функцияE m1 −m2 обозначает(как и выше) экспоненa1 m2
циальный интеграл.
Доказательство теорем 2 и 3 проводится непосредственной проверкой.
На рис. 3 приведены графики функций x1 (t), x2 (t) и соответствующие безубыточные концентрации для различных значений параметров, входящих в равенство
(10) и систему (9). На рисунке3функция x1 (t) изображена черной линией, а функция
x2 (t)−пунктирной. Из вида кривых на рис.3 можно сделать вывод о том, что второй
микроорганизм с течением времени уменьшает свою численность, а первый наоборот
увеличивает, при этом для функции x1 (t) во всех трех случаях значения безубыточных концентраций остаются меньше, чем для функции x2 (t).
+
258
А. В. ЧИЧУРИН, Е. Н. ШВЫЧКИНА
Рис. 3. Графики функций x1 (t) и x2 (t)
Выводы. Данная работа посвящена применению инструментария компьютерного
моделирования для решения численными и аналитическими методами задач хемостата, описываемых динамической моделью Михаэлиса-Ментена, а также определению
значений параметров в моделях хемостата, допускающих точные решения. Отметим,
что одной из целей настоящей работы является иллюстрация теоретической возможности появления сложных режимов колебаний численности микроорганизмов. Таким
образом, не все моделируемые популяционные структуры, которые могут быть созданы при различных значениях параметров, обязательно должны иметь реальный
прототип.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Перт, Д. С. Основы культивирования микроорганизмов и клеток / Д. С. Перт.
– М. : Издательство “Мир”, 1978. – 331 с.
[2] Smith, H. L. The theory of chemostat: dynamics of microbial competition / H.L.
Smith, P. Waltman. - Cambridge University Press, 1995. – 313 p.
[3] Hsu, S. B. A competition model for a seasonally fluctuating nutrient / S. B. Hsu //
J. Math. Biology. – 1980. – Vol. 9. – P. 115–132.
[4] Pilyugin, S. S. Competition in the unstirred chemostat with periodic input and
washout / P. Waltman // SIAM J. Appl. Math. – 1999. – Vol. 59. – № 4. – P. 1157–1177.
[5] Butler, G. J. A mathematical model of the chemostat with periodic washout rate /
G. J. Butler, S. B. Hsu, P. Waltman // SIAM J. Appl. Math. – 1985. – Vol. 45. – № 3. –
P. 435–449.
[6] Sun, K. Universal modelling and qualitative analysis of an impulsive bioprocess / K.
Sun, Y. Tian, L. Chen, A. Kasperski // J. Computers & Chemical Engineering. – 2011. –
Vol. 35. – № 3. – P. 492–501.
[7] Hansen, S. R. Single-nutrient microbial competition: qualitative agreement between
experimental and theoretically forecast outcomes / S.R. Hansen, S.P. Hubbell // Science.
– 1980. – Vol. 207 (4438). – P. 1491–1493.
[8] Чичурин, А. В. Построение решений модели хемостата для одного питательного
ресурса / А.В. Чичурин, Е.Н. Швычкина // Международная научно-практической
конференции “Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемого
твердого тела, математического моделирования и информационных технологий” : сб.
К ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАПРЯЖЕНИЙ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ...
259
статей по мат. межд. науч.- практ. конф., Чебоксары, 12–15 августа 2013 г. : в 2 ч. /
ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. – Чебоксары, 2013. – С. 67–74.
[9] Чичурин, А. В. Компьютерное моделирование двух моделей хемостата для одного питательного ресурса / А. В. Чичурин, Е. Н. Швычкина // Вестник БрГТУ. –
2013. – № 5 (83) : Физика, математика, информатика. – С. 9–14.
[10] Wolfram Web Resources [Electronic resource] / ed. S. Wolfram. - Champaign, 2013.
– Mode of access: www.wolfram.com - Date of access: 30.08.2013.
[11] Trott, M. The MathematicaGuideBook for program ming / M. Trott. – New York
:SpringerVerlag, 2006. – 1028 p.
[12] Wagon, S. Mathematica in action: problem solving through visualization and
computation / S. Wagon. – 3rd ed. – New York : Springer, 2010. – 578 p.
АВТОРЫ:
Чичурин Александр Вячеславович,
доктор физ.-мат. наук, доцент, профессор кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений, Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина, г. Брест
Швычкина Елена Николаевна,
старший преподаватель кафедры высшей математики, Брестский государственный
технический университет, г. Брест
AUTHOR:
Chichurin, Alexander Vjacheslavovich
Dr.Sci. Phys. & Math., Assoc. Professor, Professor Department of Mathematical Analysis
and Differential Equations, Brest State University, Brest
Shvichkina, Alena Nicolaevna
Senior teacher Department of Mathematics Brest State Technical University, Brest
VIII ВСЕРОССИЙСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
УДК: 539.4.014.1:616.71-001.5
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРУЕМОСТИ И ПРОЧНОСТИ
АРМИРОВАННОЙ КОСТНОЙ ТКАНИ ШЕЙКИ БЕДРА ЧЕЛОВЕКА
В УСЛОВИЯХ КРАТКОВРЕМЕННЫХ
И ДЛИТЕЛЬНЫХ НАГРУЖЕНИЙ
MODELLING THE DEFORMABILITY AND STRENGTH OF
REINFORCED BONE OF THE FEMORAL NECK OF HUMAN BEINGS
IN THE SHORT-TERM AND LONG-TERM LOADING
А. В. НЕХОЖИН
A. V. NEHOZHIN
Самарский государственный технический университет, г. Самара
Аннотация. Проведено моделирования напряженно-деформированного состояния
армированного биокомпозитного материала (шейки бедра человека) в условиях кратковременных и длительных нагружений. Показано увеличение прочности армированного с помощью имплантатов материала. Установлено, что в процессе ползучести происходит дополнительная разгрузка наиболее нагруженной области шейки бедра.
Abstract. Carried out modeling of the stress-strain state of reinforced biocomposite
material (human femoral neck) in terms of short-term and long-term loading. Found that
during creep occurs additional unloading most loaded the femoral neck.
Ключевые слова: бедренная кость, шейка бедра, армирование, ползучесть, имплантат.
Keywords: femur, femoral neck, reinforcement, creep, implant.
Моделирование напряженно-деформированного состояния биокомпозитного материала является сложной задачей, т.к. материал имеет нелинейные реологические характеристики и сложное неоднородное строение. Костная ткань – идеальный биокомпозитный материал. В костной ткани различают компактное и губчатое костное
вещество. Таким образом, можно считать, что модель кости состоит из двух слоев
(см. рис. 1).
Сложное строение костной ткани и недостаточность экспериментального материала не позволяет всецело изучить реологические характеристики такого материала. Тем не менее, в ряде работ были выработаны общие (усредненные)
свойства костной ткани [1]. Механические характеристики, необходимые для
260
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРУЕМОСТИ И ПРОЧНОСТИ ...
261
проведении численного эксперимента,
описываемого в этой статье, приведены
в таблице 3.
Параметры Eк , Ег , Eт — модули упругости компактной, губчатой ткани и титана соответственно; vк , vг , vт — коэффициенты Пуассона компактной, губчатой ткани и титана (материал имплантата) соответственно; D – среднее расстояние между центрами структурных единиц костной ткани; F1 , F2 – величины результирующих распределенных сил, действующих на бедро человека при хождении; t – время, в течении которого на
кость действовали нагрузки F1 , F2 ; С1 ,
Рис. 1. Модель двуслойной бедренной коС2 , С3 – коэффициенты модели ползусти и краевые условия.
чести, соответствующей теории упрочнения записанной для одноостного случая
в виде:
3
ε˙с = C1 σ C2 εC
с
(1)
где εс – деформация, σ – напряжение. Коэффициенты для модели ползучести получены в результате обработки реальных экспериментальных данных, приведенных в
[2].
Рис. 2. Кинетика напряжения σz = σz (t) в точке A: 1 – неармированная кость; 2 армированная имплантатом шейка бедра.
В работе [3] на основе МКЭ выполнен анализ напряженно-де-формированного состояния армированной шейки бедра различными запатентованными имплантатами [4]
в условиях кратковременного нагружения, и показано снижение нормальных напряжений σz в локальной системе координат в наиболее нагруженных областях (точки А
и B на рис. 1) по сравнению с неармированной (интактной) костью. Выполненный анализ в условиях длительного нагружения (длительность 1 год) показал, что происходит
262
А. В. НЕХОЖИН
существенная релаксация величины σz в этих же областях (перекачка напряжений из
костной ткани в титановый имплантат), причем релаксация в армированной шейки
бедра происходит более интенсивно, чем в неармированной. На рис. 2 показана зависимость максимального напряжения σz = σz (t) для имплантата «кость-спица-спица»
в точке А (рис. 1), из которого следует, что вследствие ползучести напряженность
в наиболее опасных областях за счет армирования снижается более чен на 20%, что
ведет к менее вероятному перелому шейки бедра.
Таблица 3. Параметры экспериментов.
Параметр
Eк
vк
Eг
vк
Eт
Значение
1.7 × 1010 Па
0.32
3.25 × 108 Па
0.29
1.1 × 1011 Па
Параметр
vт
F1
F2
D
t
Значение
0.32
2000 H
−1300 H
0.3 мм
4ч; 30д; 1г
Параметр
C1
C2
C3
Значение
1.1218 × 10−28
2.1351
−1.1883
ЛИТЕРАТУРА
[1] Reilly, D. T., Burstein, A. H. The elastic and ultimate properties of compact bone
tissue // Biomechanics. – 1975. – № 8. – C. 393–405.
[2] Кнеейс, И. В., Вилнс Ю. К. Ползучесть компактной костной ткани человека при
растяжении // Механика полимеров. – 1975. – № 4. – Т. 11. – C. 634–638.
[3] Нехожин, А. В. Двухслойная математическая модель шейки бедра человека
для исследования напряженного состояния при армировании имплантатами различной конструкции // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2013. – № 3
(32). – C. 129–135.
[4] Матвеев, А. Л., Нехожин, А. В., Матвеева, И. И. Имплантаты для армирования шейки бедренной кости с целью профилактики переломов при остеопорозе //
Ургентная и реконструктивно восстановительная хирургия – 2011. – № 5. – C. 297–299.
АВТОР:
Нехожин Анатолий Вадимович,
аспирант кафедры «Прикладная математика и информатика», Самарский государственный технический университет, г. Самара
e-mail: [email protected]
AUTHOR:
Nehozhin Anatoly Vadimovich
Postgraduate student, Department of Applied Mathematics and Computer Science, Samara
State Technical University, Samara
Содержание
Куликов И. С., Чигарев А. В., Ширвель П. И. О неосесимметричном
НДС неравномерно нагретых длинных цилиндрических тел в условиях ползучести и облучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Лемза А. О., Мурашкин Е. В. Движение упругоползучего материала в
зазоре между коаксиальными цилиндрами в условиях больших деформаций 16
Листров Е. А., Семыкина Т. Д. Использование метода возмущений для
учета упругой сжимаемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Лисицкий В. С., Трещев А. А. О потенциальной связи деформаций и
напряжений для ортотропных разносопротивляющихся материалов . . . . . . . 26
Леонов В. М. Исследование пространственно-временного распределения
параметров НДС при высокоскоростном формоизменении . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Манжиров А. В. Контактные задачи для оснований с произвольно неоднородными покрытиями и сложной формой поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Михин М. Н. Наращивание пластины, ослабленной отверстием в форме гипоциклоиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Уравнения совместности сильных разрывов на волновых поверхностях в микрополярных термоупругих средах
второго типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Манцыбора А. А., Русанов М. М. Плоская задача автомодельного деформирования упругопластической несжимаемой среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Матвеенко В. П., Юрлов М. А., Юрлова Н. А. Экспериментальное
определение диссипативных свойств электровязкоупругих систем с внешними электрическими цепями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Матвеев С. В. Влияние силы тяжести на упругопластическое состояние
тяжелого сжимаемого пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Матвеева А. Н. Предельные статически определимые условия отрыва
для сжимаемого анизотропного материала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Матвеенко В. П.,
Севодина Н. В.,
Корепанов В. В.,
Ошмарин Д. А., Юрлова Н. А. Возможности управления диссипативными
свойствами smart-конструкций на основе пьезоматериалов с пассивными
вариантами внешних электрических цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
263
Минаева Н. В., Хвостов М. Г. О линеаризации граничных условий при
применении метода возмущений в механике сплошных сред . . . . . . . . . . . . . . . 61
Москалик А. Д. Анализ решений задачи установившейся ползучести для
несоосной трубы на основе первого и второго приближений метода малого
параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Митрофанова Т. В.,
Павлова Т. Н. О
вдавливании
жесткого гладкого штампа в идеальнопластическое полупространство
при частных случаях анизотропии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Меньшова И. В., Лапикова Е. С., Юринкина М. Н. Передача нагрузки к листу через продольные ребра жесткости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Митрофанова Т. В., Павлова Т. Н. Двуосное растяжение тонкой пластины с эллиптическим отверстием из анизотропного материала при несовпадении осей продольной анизотропии с направлениями канонических осей
эллипса отверстия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Меньшова И. В., Семенова И. А., Храмова Н. В. Обратно симметричная задача для полуполосы. Разложения по функциям Фадля – Папковича. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Максимова А. П. Определение упругопластического состояния плоскости с эллиптическим отверстием, подкрепленное эллиптическим включением, при двуосном растяжении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Неровный Н. А., Зимин В. Н. К расчету раскрываемых тонкопленочных космических конструкций бессеточным SPH-методом . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Никитин А. В., Коваленко М. Д. Полуполоса, защемленная по продольным сторонам. Аналитическое решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Никитин А. В.,
Тихонов С. В. Предельное
состояние
слоистой
трансляционно-анизотропной трубы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Огородников Е. Н., Абусаитова Л. Г. Определяющие соотношения и
начальные задачи для вязкоупругих сред с дробными операторами Римана
– Лиувилля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Орлов В. Н., Гузь М. П. Необходимое и достаточное условие существования подвижных особых точек в комплексной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Орлов В. Н., Пчелова А. З. Точный критерий существования подвижных особых точек решений нелинейного дифференциального уравнения в
комплексной области. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Орлов В. Н., Леонтьева Т. Ю. Теорема существования решения одного
нелинейного дифференциального уравнения второго порядка в окрестности
подвижной особой точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Павлова О. Е.,
Полиенко А. В.,
Морозов К. М. Пациентоориентированное моделирование бифуркации сонной артерии при различных патологических состояниях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Переяславская И. И., Шашкин А. И. Применение метода быстрых разложений для нахождения напряженно-деформированного состояния упругого цилиндра с учетом силы тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Петров М. В., Гоник Е. Г., Кибец А. И., Иванов В. А., Федорова Т. Г. Экспериментальное исследование потери устойчивости подъемной
цистерны для перевозки сыпучих материалов при аварийном падении . . . . 129
Плескачевский Ю. М., Чигарева Ю. А. Концентрация напряжений в
микрослоистой ортотропной полосе с разрезами под воздействием температурных нагрузок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Пузино Ю. А., Аксенов С. А. Изучение влияния размеров заготовок на
итоговое напряжение при одноосном растяжении сплава ВТ6 . . . . . . . . . . . . . 138
Полоник М. В., Рогачев Е. Е., Галимзянова К. Н. К вопросу учета
ползучих свойств материалов при моделировании процессов снятия остаточных напряжений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Приходько Н. Б., Лейзерович Г. С. Влияние малой разнотолщинности
на продольно-радиальные колебания круговой цилиндрической оболочки . 144
Пилягин А. В. Определение модуля общей деформации грунтов с использованием задачи Ляме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Попов Н. Н.,
Коваленко Л. В. Оценка
надежности
осесимметричных
стохастических
элементов
конструкций
по критерию длительной прочности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Радаев Ю. Н., Ковалев В. А. Современные нелинейные теории и модели
термоупругих континуумов с тонкой“ микроструктурой . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
”
Радченко В. П. Обобщенные стохастические модели ползучести и длительной прочности элементов конструкций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Рагозина В. Е., Иванова Ю. Е. Метод возмущений в решении одномерной задачи о переменной сдвиговой нагрузке на границе несжимаемого неоднородного полупространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Роговой А. А. Теория построения моделей сложных сред с конечными деформациями и структурными изменениями в материале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Рыжак Е. И. Прямой бескоординатный вывод уравнения совместности
для конечных деформаций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Смыслов В. А. Математическое и программное обеспечение для моделирования напряженно-деформированного состояния упрочненных цилиндрических образцов в условиях высокотемпературного нагружения . . . . . . . . . . . 168
Старостенков М. Д., Айш М. М. Особенности процессов деформации
и разрушения наноблоков Ni различных размеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Сапченко И. Г. Влияние конструкционных особенностей строения структур керамических оболочек на их трещиностойкость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Саушкин М. Н.,
Куров A. Ю. Конечно-элементное
моделирование
напряженно-деформированного состояния периодической системы концентраторов после процедуры опережающего пластического деформирования 179
Серегин С. В. Влияние присоединенного тела на свободные колебания цилиндрической оболочки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Селютина Н. С. Обсуждение
явлений
прочности
бетона
при динамическом нагружении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Сероваев Г. С., Юрлова Н. А. Влияние повреждений на собственные частоты колебаний конструкций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Сумин А. И. К вопросу об устойчивости нелинейных сред при конечных возмущениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Старовойтов Э. И.,
Тарлаковский Д. В.,
Федотенков Г. В. Пространственная нестационарная контактная задача для
сферической оболочки и абсолютно жесткой преграды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Ткачева А. В., Дац Е. П. Математическая модель процесса горячей посадки цилиндрических деталей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Филатов Г. Ф. Бифуркационный анализ системы нелинейных уравнений
континуума Коссера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Фоминых C. О. Упругопластическое состояние пластины, ослабленной
круговым отверстием, в случае трансляционной анизотропии . . . . . . . . . . . . . 205
Чекмарев Г. Е. Об одной динамической модели упрочняющегося материала и условии пластичности для нее . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Чернышов А. Д., Горяйнов В. В. Об изгибе упругой консольной балки 213
Чернышов А. Д. К вопросу о согласовании граничных и начальных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Чигарев А. В. Концентраторы напряжений в трубе около внешней шероховатой границы дискретного и фрактального типов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Швед О. Л. Вопросы обобщения нелинейной модели упругости на упругопластичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Шифрин Е. И. Идентификация конечного числа трещин в упругом
стержне по собственным частотам, отвечающим продольным колебаниям . 228
Шифрин Е. И., Шушпанников П. С. Идентификация конечного числа
неоднородностей в упругом теле по результатам одного статического испытания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Штука В. И. Лучевые асимптотики для осесимметричных ударных волн
сдвига в цилиндрическом слое с предварительными деформациями . . . . . . . 235
Яковлев А. А., Яковлев В. А. Решение упруго-пластической задачи для
полых тел, поверхность которых близка к сферической с учетом силы тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Яковлев А. Ю., Ковалев А. В., Никулина А. А. К определению напряжений и перемещений в составной упругопластической конструкции . . . . . . 243
Черномас В. В., Бондаренко С. В., Соснин А. А. Определение величины усилий в системе «деформируемый металл – инструмент деформации» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Чичурин А. В., Швычкина Е. Н. Численное исследование решений
двух динамических моделей хемостата с равными константами Михаэлиса
– Ментен методами компьютерного моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Нехожин А. В. Моделирование деформируемости и прочности армированной костной ткани шейки бедра человека в условиях кратковременных
и длительных нагружений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
СОДЕРЖАНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Научное издание
МАТЕРИАЛЫ VIII ВСЕРОССИЙСКОЙ КОНФЕРЕНЦИИ
ПО МЕХАНИКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Под редакцией Н. Ф. Морозова,
Б. Г. Миронова, А. В. Манжирова
16-21 июня 2014 г.
ЧАСТЬ 2
Отв. за выпуск: А. В. Балашникова
Технический редактор: Л. Н. Улюкова, Н. А. Осипова, Л. А. Судленкова
Компьютерная верстка: А. В. Балашникова
Подписано в печать 30.05.2014 г. Формат 70х100/8. Бумага писчая.
Печать оперативная. Typeset by LaTeX2e.
Усл. печ. л. 33,63. Тираж 200 экз. Заказ №
Отпечатано в отделе полиграфии ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный
педагогический университет им. И. Я. Яковлева»
428000, Чебоксары, ул. К. Маркса, 38