Методическая служба призвана выполнять следующие;pdf

104
Серия История. Политология. Экономика. Информатика.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
2013 № 8 (151). Выпуск 26/1
УДК 681.518.3
МЕТОД ОБРАТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ОБНАРУЖЕНИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ
Н. И. КОРСУНОВ
А. А. НАЧЕТОВ
Белгородский
государственный
национальный
исследовательский
университет
В статье предлагается метод обнаружения и коррекции по­
грешности преобразователей при косвенных измерениях.
Ключевые слова: обратные преобразования, косвенные изме­
рения, компенсация погрешности.
e-mail:
[email protected]
[email protected]
Косвенны е изм ерения ш ироко применяю тся в техн и чески х си стем ах при р е ­
ш ении задач ди агн ости ки и управлени я [1]. С истем ы ди агн ости ки исп ользую т п р е ­
образователи при ф орм ировании баз данны х [2]. Е стественно, дан ны е п р еобр азова­
тели обладаю т сравнительно больш ой погреш ностью , что п риводит к н едо сто вер н о ­
сти инф орм ации, храни м ой в базах данны х. С ледстви ем этого является в р яде с л у ­
чаев недостоверны е выводы по принятию реш ений на основе и спользуем ы х в д и а ­
гностике логи ч еск и х выводов.
Д ля повы ш ения точности косвенны х измерений использую тся методы в в е д е ­
ния корректи рую щ и х поправок, например и спользование балансного м одулятора
[3]. Н есм отря на введение корректи рую щ и х поправок по истечению определенного
врем ени необходи м о вновь проводить и змерения, вы числять погреш ности, ф о р м и ­
ровать корректирую щ ие ф ункции. Это является недостатком использования п р е о б ­
разователей в систем ах технической д и агн ости ки баз данны х.
В дан ной работе предлагается м ето д обнаруж ения и коррекции погреш ности
преобразователей при косвенны х измерениях.
О сновная идея обнаруж ения и коррекции погреш ностей базируется на л и анеризации погреш ностей ан алого-ци ф ровы х п реобразователей [4], когда по р е ­
зультатам и зм ерений вначале и конце ди ап азона и зменения аналогового сигнала
строится прям ая, а отклонение вы ходного значения ан ал ого-ц и ф р ового п р еобр азо­
вателя вы числяю тся относительно построенной прямой. П ерен ос этой идеи на о б ­
наруж ен и е и ком пенсации погреш ностей первичны х п реобразователей и н ф ор м а­
ции при известной ф ункции преобразования:
V = f (х Х
(1)
основан на подчинении модели преобразования автоизоморф изму (х и у принадлеж ат
пространству вещ ественных чисел) обеспечиваю щ ему существование единственного
обратного преобразования:
x = f ~1(у)(2)
В реальных системах (1) выполняется с некоторой ошибкой е и (1) представляет­
ся в виде:
VI = f (х) + £v
При наличии погрешности (2) представляется в виде :
x + Ax = f
-(у + е 2),
(3 )
(4)
при заданном е 2 ф е х в общем случае.
И нструментальная погрешность может быть компенсирована нахождением та­
кого д у , которое в идеальном случае обеспечивает:
У = У1 +ду.
(5 )
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
ИРРИ
Серия История. Политология. Экономика. Информатика.
-|Q g
2013. №8(151). Выпуск 26/1
К омпенсация ошибки s x осущ ествляется в соответствии с (5) независимо от
конкретного значения s 2 . Это обеспечивает технический эф ф ект -
использование
грубы х приближ ений прямого и обратного преобразований для получения вы соко­
точны х первичны х преобразований в сборе данных.
Суть предлагаем ого метода состоит в следую щ ем. Систематическая составля­
ющая погреш ности в данны х при сборе информации мож ет быть ум еньш ена до сколь
угодно малого наперед заданного значения при введении обратной функции п р еоб­
разования с известной погреш ностью .
Д ействительно, если сущ ествует автоизом орф изм
математических моделей
первичны х измерительны х преобразователей с ф ункцией преобразования f ( x ) , то
сущ ествует f -1 (x) обратная функции f (x ) , т.е. если y = f ( x ) , то х = f -1 (у ) . И если:
У1 = У + ДУ = f ( x ) + A f (x)>то
x i = f - (У1) +
= f - (У1) + A f ~1(x) •
(6)
Так как преобразования осущ ествляю тся в пространстве действительны х ч и ­
сел, то л ю бом у м атем атическом у объекту x " соответствует математический объект:
у " = f (x " ) + sS •
Справедливо и обратное - объекту y " соответствует объект:
x" = f Л У1" ) + s2 •
А так как x" , s 1, x " , у " , у " , s 2 - для конкретного x" являю тся ф иксированны ­
ми, то погреш ность последовательны х преобразований f (x" ) и f -1(у " ) определяет­
ся как:
s = f - \ f ( x k ) + s1) + s2 - x" •
При известном
s
и вы численном
s
(7 )
получаем:
s - s 2 = f - \ f ( x ") + s j - x",
(8)
и s мож ет быть найдено из реш ения данного уравнения при известных зн а ч е­
ниях функций прямого и обратного преобразования. Вычислив s x мож но ком пенси­
ровать составляю щ ую погреш ности A f (x) выполнив:
у =у -s 1
(9 )
При этом применение обратного преобразования
с известной погреш ностью
обеспечивает обнаруж ение и коррекцию ош ибки прямого преобразования с
точ н о­
стью, задаваемой погреш ностью обратного преобразования s 2 . Следствием этого я в ­
ляется необходимость выполнения обратного преобразования сочень высокой то ч н о­
стью. А это не приводит к реш ению задачи обеспечения наперед заданной п огреш н о­
сти прямого преобразования при известной погреш ности обратного преобразования
без ограничения на точность выполнения последнего.
Д ля компенсации погреш ности прямого преобразования до наперед заданного
значения при известной некоторой погреш ности обратного преобразования реш им
задачу нахож дения корректирую щ ей поправки 5f , которая приведет у + ду к f (x)
при
у
*
f
(x) .
О пределим s 1 при неизвестном значении функции прямого преобразования
f ( x ) . Из (7) определим погреш ность
s
при компенсации погреш ности s x из вы ра­
жения:
s
= l i m f ~1 [ ( f (x) + s 1] + s 2 - x = f
s ^0
1 [ f (x)] + s 2 - x = s 2•
(10)
-|Q 0
НАУЧНЫ Е ВЕДОМ ОСТИ
И Ш
Серия История. Политология. Экономика. Информатика.
2013 № 8 (151). Выпуск 26/1
При сущ ествовании погреш ности е 1 представим вы ражение (10) в виде:
/1 (x) = f (x) + e i = W f (x X
(11)
и запиш ем среднеквадратическую ош ибку E в виде:
E = ( Г 1/ * ) - X ) 2 = ( f - \ W f ( x ) - х ) \
где x
*
(12)
= x + е 2.
Если положить W = 1+ S f , то задача компенсации ошибки прямого преобразо­
вания сводится к нахождению такого S f , которое обеспечивает минимум (12).
Данная задача относится к задачам безусловной оптимизации и решается гра­
диентным методом, при котором вектор веса W в (12) изменяется в направлении про­
тивоположном значению Е, что представляется выражением:
W (j + 1) = Wj + h g (j) - e (j),
где значение W ( j + 1),W (j), e ( j)
адаптации,
(13)
берутся на соответствующих ш агах процесса
g ( j) - направление противоположное направлению изменения ошибки
(12), а h некоторый параметр, задающ ий скорость адаптации. Тогда второе слагаемое в
(13) определяет значение S f . При этом начальное значение W ( 0 ) = 1,д / ( 0 ) = 0 .
Перенесем решение задачи компенсации погрешностей прямого преобразова­
ния на преобразование функции многих переменных.
Будем считать, что x является вектором с компонентами x^ x2, ... , xn. Тогда пре­
образующ ая функция представляется функцией многих переменных. Для обнаруж е­
ния ошибки прямого преобразования и ее компенсации достаточно обратного преоб­
разования хотя бы для получения одного из аргументов функции.
Рассмотрим преобразующ ую функцию двух переменных
У = f (а, b),
(1 4 )
для которой сущ ествует единственное обратное преобразование:
а1 = f ~г( У, b).
(15)
Пусть как и ранее преобразования (14), (15) выполнены соответственно с по­
греш ностями е х, е 2. В этом случае:
У1 = f (a, b) + е1,
(16)
а1 = f ~ЧУ^ b) + е 2,
(1 7 )
и (7) представляется в виде:
е =а - а=f
l ( f (a, b)b) + е г + е 2 - а.
(18)
При известном е 2 и вычисленном е аналогично (7) получаем:
f -1 ( f (а, b) + е 1, b) - а = е - е 2.
(19)
Из которого при известном значении f (а, b) может быть определена е х и далее
скорректировано значение У согласно (9).
О пределим значение
при миним ум е погрешности е 1 в (18):
е
е
= Y \ m [ f ^ ( f (а ъ) + е Л b) + е - а ] = е 2.
S1^0
(20)
Отличие выражения (20) от (10) заключается лиш ь в функции прямого преоб­
разования, которое в данном случае является функцией двух переменных, что приво­
дит и функцию обратного преобразования в функцию двух переменных:
f - 1(y, b) = f
Из значения погреш ности
е
1( f (а, b), b).
(21)
при миним альном значении погреш ности п р ям о­
го преобразования (20) следует, что требуемое значение функции обратного п реобра­
зования следует определить как:
*
а = а + е 2.
Серия История. Политология. Экономика. Информатика.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
107
2013 . №8 (151 ). Выпуск 26/1
Т о гд а услови е м и н и м ум а погреш ности п рям ого преобразовани я s l о п р ед ел я ­
ется м иним альной средн еквадрати ческой ошибкой:
E = (a - а * )2,
где а -
определяется (17) и представляет р езультат обратного п реобразова-
ния.
Как и ранее прим ем в (20):
f 1(a , b) + s 1 = У1,
и представим :
a = f -1 ( f (У1, b) + S2 ) = f
1(W f (a, b)b) + S2
(2 2 )
В этом случае ком пенсация погреш ности прям ого преобразования сводится к
определению такого значения W, которое обеспечивает м и н и м ум ср ед н ек вад р ати ­
ческой ош ибки и не отличается от м и н им изации (12) при зам ене f (x) на f (a , b ) .
Т аки м образом , м етод обратны х преобразований при косвенны х и зм ерени ях
позволяет не только обнаруж и ть погреш ность п реобразователей, но и ск о р р ек ти р о ­
вать ош ибочны й результат.
Л и тература
1.
П архом ен ко
П .П .,
П о д р е д . П .П . П а р х о м е н к о . -
С огом он ян
Е .С .
М .: Э н е р г и я , 1 9 8 1 . -
О сн овы
техн и ческой
ди агн ости ки
2 . Ц а п е н к о М .П . И з м е р и т е л ь н ы е и н ф о р м а ц и о н н ы е с и с т е м ы : С т р у к т у р ы
си стем о -техн и ч еск о е п р о ек ти р о в ан и е. 3. Т и м он теев,
В ал ери й
М .: Э н е р г о а т о м и з д а т , 1 9 8 5 . -
Н и колаеви ч. А н ал оговы е
и
Гельм ан
М .М .
А н ал о го -ц и ф р о в ы е
ал гори тм ы ,
438 с.
п ер ем н ож и тел и
си гн ал ов
эл ек тр о н н о й ап п ар атур е / В. Н . Т и м о н теев , Л . М . В ел и ч к о , В. А . Т к а ч ен к о , 198 2. 3.
п р еобр азовател и
и з м е р и т е л ь н ы х с и с т е м / Г е л ь м а н М .М . .- М .: И з д - в о с т а н д а р т о в , 2 0 0 9 . -
дл я
в
р ад и о ­
113 с.
и н ф орм ац и он н о -
317с.
THE INVERSION TRANSFORMATION IN DETECTING COMPENSATING
FOR ERRORS AT INDIRECT MEASUREMENTS
N. I. KORSUNOV
A. A. NACHETOV
B elgorod National
Research University
e-mail:
[email protected]
/
320 с.
The paper proposes a method of detecting and correcting errors in
the indirect measurement transducers.
Keywords: inverse transformations, indirect measurement, error
compensation.