Лекция 5. Преобразование Фурье. 1. Определение и основные результаты. Пусть f ∈ L2 (R). Преобразованием Фурье функции f называется функция Z ˜ f (α) = f (x)t−iαx dx (1) R Нормированным преобразованием Фурье функции f называется функция 1 fˆ = √ f˜ 2π (2) Из формулы не очевидно, что преобразование Фурье существует для любой функции f ∈ L2 R. Это доказано ниже. Основные результаты сегодняшней лекции таковы: Теорема 1 (Равенство Планшереля) f ∈ L2 (R) ⇒ fˆ ∈ L2 (R), и ||f || = ||fˆ||. Теорема 2 Формула обращения: ∀f ∈ L2 (R), Z 1 f˜(α)eiαx dα f (x) = 2π R Мы докажем эти теоремы сначала для случая, когда функция f – финитная дважды гладкая, а затем распространим их на все L2 (R). Преобразование Фурье является континуальным аналогом ряда Фурье. Ряды Фурье определены для функций на окружности, а преобразование Фурье – для функций на прямой. Второе получается из первого предельным переходом по семейству окружностей, длина которых стремится к бесконечности. 2. Убывание преобразования Фурье финитной гладкой функции. Теорема 3 Преобразование Фурье финитной функции класса C m убывает не медленнее, чем |x|−m . Эта теорема доказывается точно так же, как ее аналог для рядов Фурье. Доказательство Преобразование Фурье переводит дифференцирование в умножение на iα: f˜0 (α) = iαf˜(α). (3) Эта формула доказывается с помощью интегрирования по частям. Интегралы пишутся по прямой (и это не указано в обозначениях), но берутся по отрезку, вне которого функция f равна нулю. Возникающие двойные подстановки исчезают, поскольку 1 f = 0 на концах отрезка. Иногда преобразование Фурье обозначают символом F, чтобы избежать разночтений. Имеем: Z Z Z Z 0 0 −iαx −iαx −iαx F(f )(α) = f (x)e dx = e df (x) = − f (x)de dx = iα f (x)e−iαx dx = iαFf (α). Отсюда следует: Ff (α) = 1 F(f 0 )(α). iα Индукцией по m получаем: Ff (α) = 1 F(f (m) )(α). (iα)m Но функция F(f (m) ) ограничена, поскольку f (m) непрерывна и финитна. ¤ Следствие 1 Если f ∈ C 2,0 , то существует C: |f˜(α)| < C . 1 + α2 (4) 3. Ряды Фурье на “длинной” окружности. Окружность изображается отрезком с отождествленными концами. Другое представление: функции на окружности “длины T ” изображаются T -периодическими функциями на прямой. Этим представлением мы и воспользуемся. Рассмотрим функцию f : R → R с периодом 2πl, и найдем ее разложение в ряд Фурье по базису, который будет сейчас построен. Функция g(x) = f (xl) имеет период 2π и разлагается в классический ряд Фурье g(x) = Σk∈Z gk eikx . (5) Множители перед ix в показателе экспоненты называются волновыми числами. В обычном ряде Фурье множество волновых чисел совпадает с Z. По определению функции g, при |x| ≤ πl, ³x´ x f (x) = g = Σgk eik l = Σα∈ Z cα eiαx (6) l l Волновые числа в последнем ряде пробегают множество Zl . При большом l это множество гораздо гуще, чем Z. Допуская вольность речи, можно сказать, что при l → ∞ оно стремится к R. Формула (6) показывает, что векторы eiαx , α ∈ Zl , образуют базис в L2 ([−πl, πl]). √ Их нормы равны 2πl. Следовательно, при α ∈ Zl , Z πl 1 f (x)e−iαx dx cα = 2πl −πl 2 Отметим, что при α ∈ Zl , cα = 1 ˜ f (α) 2πl (7) Равенство Планшереля для f имеет вид ||f ||2 = 2πl Σα∈ Z |cα |2 . l (8) Разложение f в ряд Фурье дается формулами (6), (7). 4. Предельный переход: эвристическое доказательство равенства Планшереля и формулы обращения. Фиксируем финитную функцию f ∈ C 2,0 с носителем supp f ⊂ [−πl0 , πl0 ], и для каждого l > l0 рассмотрим ограничение функции f на отрезок [−πl, πl]. Эти ограничения формально – разные функции, но мы будем все их обозначить через f . Докажем равенство Планшереля: ||f || = ||fˆ||. Для этого достаточно доказать: ||f ||2 = 1 ˜ 2 ||f || 2π (9) В силу (8) и (7), 1 2 Σα∈ Z |f˜(α)| := Σl . l 2πl Выражение Σl – это “бесконечная интегральная сумма” для интеграла Z 1 ˜ 2 1 2 |f˜(α)| dα := I ||f || = 2π 2π ||f ||2 = (10) Сумма соответствует разбиению прямой на отрезки длины 1l с вершинами в точках множества Zl . С одной стороны, эта сумма стремится к интегралу (это еще надо доказать!), с другой последовательность Σl стационарна (не зависит от l). Это “доказывает” (9). Аналогично доказывается формула обращения. В силу (6), при |x| ≤ πl, f (x) = 1 Σ Z f˜(α)eiαx := Sl (x). 2πl α∈ l Выражение Sl (x) – “бесконечная интегральная сумма” для интеграла Z 1 f˜(α)eiαx dα. I(x) = 2π 3 Переходя к пределу, как и выше (этот переход тоже нужно обосновать), получаем формулу обращения Z 1 f (x) = f˜(α)eiαx dα (11) 2π R 5. Формальное доказательство. Лемма 1 Если f ∈ C 2,0 , то Σl −−−→ l→∞ R R 2 |f˜(α)| dα при условии: f ∈ C 2,0 . Лемма 2 Если f ∈ C 2,0 , то Sl (x) → I(x) при l → ∞. Из предыдущих рассуждений и леммы 1 следует теорема Планшереля, а из леммы 2 – формула обращения. Доказательство [Леммы 1]. Если бы интеграл I был собственным, стремление интегральной суммы к интегралу было бы следствием теории интеграла Римана. Нам нужно “справиться” с несобственным интегралом. Это делается с помощью мажорирования. −1 В силу следствия 1, существует C > 0 : |f˜(α)| < C(1 + α2 ) . Возьмем ε > 0 и такое N , что Z 1 dα ε 1 C 2 Σα∈ Z \[−N,N ] |f˜(α)| < Σα∈ Z \[−N,N ] <C ≤ . 2 2 2 l l l l 3 (1 + α2 ) |α|≥N − 1l (1 + α ) Тогда ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ε |f (α)| dα¯¯ < . 3 |α|≥N 2 Возьмем l столь большое, что ¯ ¯ Z ¯1 ¯ 2 2 ˜(α)| − ˜(a)| dx¯ < ε . ¯ Σ Z | f | f α∈ |, α|≤N ¯l ¯ 3 l |α|≤N ¯ ¯ 2¯ ¯ Тогда ¯Σl − ||f˜|| ¯ < ε. ¤ Аналогично доказываетсмя лемма 2. Вывод. Доказаны теоремы 1 и 2: равенство Планшереля и формула обращения для финитных гладких функций f . Цель: доказать то же для всех f ∈ L2 . 6. Операторы и их продолжение. Определение 1 A : H → H – линейный оператор, если A(αξ + βη) = αA(ξ) + βA(η). 4 Определение 2 A – изометрия, если ||Aξ|| = ||ξ|| ∀ξ ∈ H A – линейный по умолчанию. Теорема 4 Пусть H – гильбертово пространство, E – плотное множество в H, A : E → E 0 ⊂ H – изометрия. Тогда A продолжается на H до изометрии A : H → H. Доказательство [triv]. Пусть x ∈ H, (xr ) ⊂ E, xn → x при n → ∞. Пусть yn = Axn . Тогда (xn ) – фундаментальная последовательность ⇒ (yn ) – тоже фундаментальная последовательность. Пусть y = limn→∞yn . Положим A(x) = y. Упражнение 1 A корректно определено: y зависит только от x, а не от xn → x. A – изометрия, поскольку ||yn || = ||xn || ⇒ ||y|| = ||x||. ¤ Тем самым, преобразование Фурье продолжается на все пространство L2 (R) как изометрия, то есть на всем этом пространстве справедлива формула Планшереля. Формула обращения распространяется на все пространство L2 (R) аналогично. А именно, пусть S : f (x) 7→ f (−x) -оператор обращения аргумента. Формула обращения эквивалентна следующей: F 2 = 2πS. Операторы в правой и левой части этого равенства - изометрии. Их совпадение на плотном множестве C 2,0 влечет их совпадение на всем пространстве L2 (R). 5