Аренда виллы с видом на Медведь-гору;pdf

Міністерство освіти і науки України
Кіровоградський національний технічний університет
Матеріали
Тринадцятого Міжвузівського науково-практичного семінару
“КОМБІНАТОРНІ КОНФІГУРАЦІЇ
ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ”
13–14 квітня 2012 року
Кіровоград
2012
Тринадцятий Міжвузівський науково-практичний семінар
КОМБІНАТОРНІ КОНФІГУРАЦІЇ
ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
Кіровоград, 13–14 квітня 2012 року
Засновник семінару – Державна льотна академія України
У збірнику вміщено матеріали Тринадцятого Міжвузівського науковопрактичного семінару – ПОВІДОМЛЕННЯ про його роботу, ТЕЗИ 48
наукових доповідей, представлених на семінар.
Редакційна колегія:
Відповідальний редактор
Донець Георгій Панасович – доктор фізико-математичних наук,
професор, зав. відділом Інституту кібернетики НАН України
Члени редколегії:
Петренюк А. Я. – доктор фізико-математичних наук, професор
Кіровоградського національного технічного університету
Авраменко О.В. – д.ф.-м.н., завідувач кафедри прикладної математики та
інформатики Кіровоградського державного педагогічного
університету ім.В. Вінниченка
Бєлявська Г.Б. – к.ф.-м.н., ст. н.с. Інституту математики та інформатики Академії
Наук Молдови
Бондар О. П. – к.ф.-м.н., доцент кафедри фізико-математичних наук Державної
льотної академії України
Воблий В.А. – д.ф.-м.н., доцент Московського державного технічного
університету ім. Баумана
Волков Ю.І. – д.ф.-м.н., професор, завідувач кафедри математики
Кіровоградського державного педагогічного університету ім.В.
Вінниченка
Гамалій В.Ф. – д.ф.-м.н., професор, завідувач кафедри економічної кібернетики і
маркетингу Кіровоградського національного технічного
університету
Козін І.В. – д.ф.-м.н, доцент кафедри економічної кібернетики Запорізького
національного університету
2
Ревякин А.М – к.ф.-м.н., профессор, Московский государственный институт
электронной техники (технический университет)
Сопронюк Ф.О. – д.ф.-м.н., професор, декан факультету комп'ютерних наук
Чернівецького національного університету ім. Ю.Федьковича
Філер З.Ю. –
д.т.н., к.ф.-м.н., професор кафедри математики Кіровоградського державного
педагогічного університету ім.В. Вінниченка
Шендеровський В.А. – д.ф.-м.н., професор, віце-президент Українського
фізичного товариства (м.Київ)
Ясинський В.К. – д.ф.-м.н., професор, завідувач кафедри теорії ймовірності
Чернівецького національного університету ім. Ю.Федьковича
Організаційний комітет:
Голова – Семенюта М.Ф., к.ф.-м.н.
Відповідальний секретар – Петренюк В.І., к.ф.-м.н., доцент
Члени оргкомітету:
Гамалій В.Ф. – д.ф.-м.н., професор, зав.кафедри економічної кібернетики і
маркетингу КНТУ
Дрєєв О.М. – викладач кафедри програмного забезпечення КНТУ
Кузнєцов С.Т. – ст.викладач кафедри інформаційних технологій КЛА НАУ
Настоящий В.А. – к.т.н., професор, завідувач кафедри будівельних дорожних
машин та будівництва КНТУ
Неділько С.М. – к.т.н., професор, ректор КЛА НАУ
Петренюк А.Я.– д.ф.-м.н., професор каф. БДМБ КНТУ
Сидоренко В.В. – д.т.н., завідувач кафедри програмного забезпечення КНТУ
Семенюта М.Ф. – к.ф.-м.н., ст.викладач Кіровоградська льотна академія НАУ
Якименко С.М. – к.ф.-м.н., зав. кафедри вищої математики КНТУ
3
ЗМІСТ
стор.
1. Петренюк Л. П., Петренюк А. Я., Семенюта М.Ф. Старість його вдома не
застане…………………………………………………………………………..……………….7
2. Агаи Аг Гамиш Ягуб О взвешенной задаче Штейнера…………………………………11
3. Амербаев В.М., Кожухов И.Б., Ревякин А.М., Ярошевич В.А. Представления
бинарных отношений и регулярные полугруппы изотонных преобразований …………..17
4. Бухман А. В. Об одном алгоритме распознания сохранения множества
полиномами малого ранга……………………………………………………………… ……24
5. Воблый В. А. Короткое доказательство формулы для числапомеченных
m-угольных кактусов……………………………………………………………………….....31
6. Волков Ю. І. Прямі середньої модульної регресії для копул………………….…….….32
7. Вишніченко О. В. Дослідження економічних методів теорії ігор та їх програмна
реалізація для прийняття рішень……………………………………………………………..36
8. Вороненко А. А. О доказательстве бесповторности булевых функций в
элементарном базисе………………………………………………………………………….46
9. Вороненко А. А. Задача легализации информации……………………………………...48
10. Вороненко А. А., Кафтан Д. В. О расшифровке монотонных функций
счетчиками четности………………………………………………………………………….50
11. Даниленко Д. А. Исследование методов сигнатурногообнаружения вредоносного
программного обеспечения в телекоммуникационных системах и сетях…………………55
12. Давидов І. В. Опис лінійних просторів за допомогою комбінаторних
конфігурацій………………………………………………………………………………..…57
13. Дрєєв О. М., Дрєєва Г. М. Метод довгострокового прогнозування навантаження
серверу телекомунікаційної мережі…………………………………………………………64
14. Ємець О. О., Ємець Є. М., Олексійчук Ю. Ф. Метод гілок та меж для
розв’язування комбінаторної задачі знаходження максимального потоку……………….66
15. Ємець О. О., Ольховська О. В. Швидкість збіжності ітераційного методу
для ігрових комбінаторних задач зі стратегіїями-переставленнями у обох гравців…….69
16. Ємець О. О., Тур О. В. Деякі предфрактальні переставні комбінаторні
конфігурації для переставлень з повтореннями……………………………………………72
17. Ємець О. О., Черненко О. О. Алгоритм методу гілок та меж для розв'язування
умовної задачі оптимізації дробово-лінійної цільової функції на множині розміщень…77
18. Ємець О. О., Черненко О. О., Скачков О.О. Комбінаторна модель задачі
оптимізації рентабельності виробництва при найменшій екологічній шкоді……………81
19. Епифанов А. С. Методы интерполяции законов функционирования автоматов
и модификации методов интерполяции………………………………………………….…83
20. Извалов А. В. Правильно-неправильные математические действия………….……..87
21. Кисляков И. А. Анализ сложности классов функций алгебры логики от трёх и
четырёх переменных…………………………………………………………………………89
22. Коганов Л. М. Геометрические аспекты результатов Рене Лагранжа……………….93
23 Козин И. В. Эволюционные метаэвристики для задач дискретной оптимизации в
метрических пространствах………………………………………………………………….115
24. Козин И. В., Полюга С. И. Эволюционая модель для задачи Штейнера……………118
25. Кузнецов С. Т. О невозможности гарантирования определения радиоактивной
пары шаров за 2к-1 проверок среди 2к шаров………………………………………………123
26. Кузнецов А. А, Смирнов А. А., Мелешко Е. В. Математическая модель
и структурная схема стеганографической системы………………………………………..113
27. Курапов С. В., Чеченя В. С. Методы выделения максимально плоского суграфа…125
28. Ларионов В. Б., Федорова В. С. Критерий бесконечности надструктуры
некоторых классов монотонних функцій многозначной логики…………………………130
29. Н. Макарова Магические кубы третьего порядка…………………………………….134
4
30. Нагорный А. С. О функциях четырехзначной логики, монотонных
относительно линейных порядков…………………………………………………………..145
31. Ольховський Д. М. Точні та наближені методи відсікання для розв’язування
лінійних оптимізаційних задач на переставленнях………………………………………...148
32. Петренюк В. І. Граф-обструкція обмеженого орієнтованого роду…………………..151
32. Петровська Т. В., Терновский П. А. Кордіальність графів «ялинка»………………151
33. Похальчук Т. А. Рёберные циклы и квазициклы графа…………………..…………..156
34. Садовников О.А. Уточненные оценки сложности построения систем
одноцветных связывающих деревьев в единичном кубе…………………………………..158
35. Самарай В. П., Самарай Р.В Проблеми і перспективи системного аналізу
та моделювання……………………………………………………………………………….164
36. Самарай В.П.,. Мирза А.И., Довбыш Н.А., Непомнящий Д.Н., Штефан А.В.
Экспертная система прогнозирования и диагностики осложнений при
зубопротезировании…………………………………………………………………………..170
37. Семенюта М. Ф., Черноусова Ж.Т. Про дистанционные
магические разметки графов…………………………………………………………………177
38. Степкин А. В. Распознавание неориентированных графов тремя агентами…………180
39. Сипко В.М. Симметрия точек на прямой и построение решета симметризации…….184
40. Твердохлебов В. А. Комбинаторные конфигурации в совмещениях контрольных
и диагностических средств и свойств систем………………...……………………………..195
41. Тимофієва Н. К. Деякі властивості задач комбінаторної оптимізації,
які впливають на закономірність зміни значень цільової функції…………….……….….199
42. Tognon S. Random construction of magic square………………….…….………………..203
43. Філєр З. Ю. Линии на финитизованной плоскости………..…………………………..207
44. Філєр З. Ю. Нерівності у множині комплексних чисел……….………………………216
45. Фільо І. Є. Системи підтримки прийняття педагогічних рішень на основі
нечіткої логіки…………………….………………………………………………………….220
46. Шевченко К. М. Побудова ізоморфізмів деяких 6-регулярних гамільтоново
розкладних графів………………………………..……………………………………………226
47. Шендеровський В. А. Їх народила Київська земля…….……………………………...230
5
6
СТАРІСТЬ ЙОГО ВДОМА НЕ ЗАСТАНЕ…
Л.П.Петренюк, А.Я.Петренюк
Кіровоградський національний технічний університет
М.Ф.Семенюта
Кіровоградська льотна академія НАУ
22 серпня 2012 року сповнилося 70 років від дня народження
Шендеровського Василя Андрійовича. Ось він стоїть перед нами молодий 70річний юнак. Що він зробив за свої 70? Розіб’ємо роки його життя на дві
частини: перша частина – прожиті роки, і друга – майбутні роки, які
належить ще прожити. Між ними знаходиться та точка, від якої ми почнемо
опис, оглядаючись на ці 70 років.
Ми хочемо ближче ознайомити всіх учасників семінару «Комбінаторні
конфігурації та їх застосування» з його цікавим творчим життям, а також
побажати йому в майбутньому примножити свої творчі здобутки для слави
України.
Василь Шендеровський є дійсним членом НТШ й віце-президентом
Українського фізичного товариства, лауреатом премій Фонду Тараса
Шевченка й імені Івана Огієнка, провідним науковцем Інституту фізики
Національної академії наук України.
Народився Василь Шендеровський у буковинськім містечку Заставні в
родині хліборобів. Міцні родинні традиції й складні перешкоди на його
життєвім шляху сприяли гартуванню потужної, принципової, рішучої й
завзятої особистості.
Після отримання середньої освіти Василь Шендеровський вступив на
фізико-математичний факультет Чернівецького університету, який закінчив,
одержавши диплом з відзнакою. Вже маючи вищу освіту, мусів відслужити
термін у війську. Після того, маючи нездоланне бажання пізнавати закони
природи, світ фізики, почав працювати в Інституті фізики напівпровідників,
спочатку інженером, згодом науковим працівником. Через два роки вступає
до аспірантури Інституту фізики. 1972 року він успішно захистив
7
кандидатську, а 1984 – докторську дисертацію. Від 1993 року він професор
фізики.
У листопаді 1992 року Василь Шендеровський створив громадське
наукове
об’єднання
“Міжнароднє Енциклопедичне бюро
з фізики”,
згуртувавши в його складі українських науковців і провідних учених
української діаспори. Наукове громадське об’єднання має своїм завданням
створення
українськомовної
“Енциклопедії
фізики”,
термінологічних
словників і праць з історії науки.
Василь Шендеровський співавтор трьох фундаментальних монографій
з фізики напівпровідників “Вузькозонні напівпровідники. Отримання й
фізичні
властивості”
(1984),
“Процеси
переносу
в
телурі”
(1987),
“Варіаційний метод у кінетичній теорії” (1992), що вийшли друком у
видавництві “Наукова думка”. Автор і співавтор понад 500 наукових,
науково-популярних і публіцистичних праць, серед яких такі резонансні
видання,
як
лексикографічні
праці
“Українсько-Англійсько-Німецько-
Російський словник фізичної лексики” (1996), “Українсько-АнглійськоРосійський словник з радіаційної безпеки ” (1998), “Українсько-АнглійськоРосійський тлумачний словник з радіології” (2007), а також збірка
гостропроблемних матеріалів про стан Української наукової мови “За
правдиве назовництво Українське” (2003).
Василь Шендеровський ініціатор, упорядник і редактор низки
унікальних книг про великого українського фізика й культурного діяча
професора Івана Пулюя “Іван Пулюй. Збірник праць”, “Іван Пулюй –
Пантелеймон Куліш. Подвижники нації”, “Іван Пулюй. Молитовник.
Псалтир”, що вийшли друком у видавництві “Рада” (1995–98). За редакцією
Василя Шендеровського вперше видано українською мовою фундаментальну
монографію видатного вченого-фізика Олександра Смакули до його 100річчя “Монокристали” (2000). До 2000-ліття Різдва Христового перевидано
український переклад Біблії Куліша, Пулюя й Нечуя-Левицького (2000),
видатну пам’ятку історії, мови, культури. 2001 року видано книгу “Ганна
8
Барвінок”
до
175-річчя
матері
української
літератури,
дружини
й
сподвижниці Куліша. 2007 року до 200-річчя від дня народження Пилипа
Морачевського вперше в Україні видано його “Святе Євангеліє”, перший
переклад Нового Завіту сучасною українською мовою, здійснений понад
півтора сторіччя тому за ідеєю Тараса Шевченка.
Професор Шендеровський також талановитий плідний сценарист
науково-популярних
фільмів,
Повернення”,
років
“120
серед
яких,
Чернівецькому
зокрема,
“Іван
університету”,
Пулюй.
“Олександер
Смакула”, “Данило Заболотний”. Фільм про Івана Пулюя було нагороджено
Першою премією Міжнароднього конкурсу “Нашого цвіту – по всьому світу”
2001 року. Авторська програма професора “Нехай не гасне світ науки!” на
першім каналі Українського радіо протягом п’яти років щотижня притягала
до приймачів мільйони зацікавлених, не байдужих до науки й культури
слухачів.
За
матеріалами
програми
видано
однойменний
тритомовик
з
біографічними есеями про визначних діячів української й світової науки
українського походження, мало знаних чи й свідомо замовчуваних за часів
тоталітаризму. Видання має колосальний резонанс і попит серед небайдужих
до української науки, культури й історії кіл.
Плідний і результативний дослідник, професор Василь Шендеровський
ще й талановитий педагог. 9 науковців стали кандидатами під його
керівництвом. Ще 5 успішно працюють над дисертаціями. Професор є
членом двох спеціалізованих учених рад із захисту кандидатських і
докторських дисертацій, член редакційних колеґій часописів “Світогляд” і
“Дивосвіт”, "Питання історії науки і техніки".
Василя Шендеровського відзначено Подякою Голови Київської міської
державної адміністрації 2001 року й нагрудним “Знаком пошани” 2002 року,
а також Орденом Святого Рівноапостольного князя Володимира Великого
III ступеня 2006 року.
9
Василь Шендеровський постійно в невгамовнім творчім пошуку,
постійно в продуктивній праці, в запальних плідних дискусіях. Він піонер,
він ініціатор, натхненник, організатор і мудрий і добрий наставник.
Його відкритість, щирість і доброзичливість перетворюють навіть
незнайомого співбесідника на його гарячого прихильника протягом кількох
хвилин. Він запалює своїми думками інших і надихає на творчу працю,
перспективні здобутки й плідні результати.
Зокрема,
професор
Шендеровський
В.А.
являється
«хрещеним
батьком» нашого семінару «Комбінаторні конфігурації та їх застосування»,
який розпочав свою роботу восени 2006 року. З того часу він неодноразово
брав участь у роботі семінару разом зі своїми аспірантами. Крім того, він
презентував учасникам семінару свої фільми, які згадувалися вище, а також
свої книги. Ми дуже вдячні Василю Андрійовичу за те, що, незважаючи на
таку напружену роботу, він знаходить час, щоб приїхати в Кіровоград і
підтримати наш семінар, показати нам свої фільми та книги.
Сердечно вітаючи професора Василя Шендеровського з нагоди його
славного 70-річчя, учасники семінару щиро зичать йому щастя в житті й
творчості, незмінно доброго здоров’я й багатьох років плідної праці на славу
України!
Треба сказати, що Шендеровський В.А. постійно їздить по всій Україні,
презентуючи свої фільми та книги, відкриваючи пам’ятники українським
вченим минулого. Тому, дійсно, «старість його вдома не застане, він в дорозі,
він в путі».
10
О ВЗВЕШЕННОЙ ЗАДАЧЕ ШТЕЙНЕРА
Агаи Аг Гамиш Ягуб
Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины
До сих пор мы рассматривали классическую задачу Штейнера, где
множество точек, которые необходимо соединить принадлежало плоскости, а
длина сети равнялась геометрической сумме длин отрезков, соединяющих
две точки. Длина отрезка зависела только от координат этих точек. Такую
задачу иногда называют ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ЗАДАЧЕЙ
ШТЕЙНЕРА.
Если абстрагироваться от теоретических условий, то на практике такая
задача возникает редко.
Ближе к практическим требованиям отвечает задача Штейнера, в
которой плоскость не является однородной относительно расстояний между
двумя точками. Если вместо расстояний ввести положительную величину –
стоимость или вес отрезка, то придем к определению ВЗВЕШЕННОЙ
ЗАДАЧИ
ШТЕЙНЕРА, где необходимо построить связывающую сеть с
наименьшей взвешенной суммой отрезков сети.
Прежде чем дать строгую постановку взвешенной задачи Штейнера
(ВЗШ), рассмотрим эту проблему для трех точек P1, P2 и P3 (рис. 1).
P2
?3
O
?1
?2
P3
P1
Рис. 1
Необходимо найти точку O, которая дает минимум величине
z  1 P1O  2 P2O  3 P3O
(1)
где ρi(i=1,2,3) – веса соответствующих отрезков PiO. Представим координаты
точек для отрезков PiO.
11
PiO 
xi  xo 2  y i  y o 2 .
Для определения экстремальных точек функции z найдем частные
производные по x и y и приравняем их нулю.
z
x  x0
x  x0
x  x0
 1 1
 2 2
 3 3
 0,
x
P1O
P2O
P3O
(2)
z
y  y0
y  y0
y  y0
 1 1
 2 2
 3 3
 0.
y
P1O
P2O
P3O
Обозначим угол наклона отрезка P1O   1
, отрезка P2O   2 , и отрезка
P3O   3 . На рисунке 1. обозначены  i - углы между этими отрезками. По
построению находим зависимости  1     2 ,  2    1 . Подставим эти
значения в (2)
1 cos   2    2 cos  1    3 cos   0;
1 sin   2    2 sin  1    3 sin   0.
(3)
Раскрывая тригонометрические выражения и группируя их, получим
cos  ( 3  1 cos  2   2 cos 1 )  sin  (1 sin  2   2 sin 1 )  0;
sin  ( 3  1 cos  2   2 cos 1 )  cos  (1 sin  2   2 sin 1 )  0.
Полагаем, что
(4)
cos   0 и sin   0. В противном случае этого можно
добиться поворотом координатных осей.Умножим первое равенство на +
sin, а второе на -cos , и сложим их. Это дает новое равенство
 1 sin  2   2 sin  1  0
(5)
Так как углы  i независимы, то в общем случае из этого равенства вытекает
общее соотношение:
sin  1
sin  2 sin  3


3
1
2
(6)
Умножим теперь первое равенство (4) на cos, а второе на sin, и сложим их.
 3  1 cos  2   2 cos  1  0
(7)
Из этого и (5) получим
12   22   23
cos  1 
2 2 3
.
(8)
12
Эта формула так же, как и (6) верна при любой перестановке индексов.
Последняя формула естественным образом вводит ограничения на веса  1 ,
2 и  3 ,
1 
12   22   23
1
2 2 3
откуда следует, что веса должны удовлетворять правилу треугольника
i   j  k ,
{i,j,k} = {1,2,3}.
(9)
Если хотя бы одно из условий (9) нарушается, то задача становится
вырожденной.
Легко показать,
что если какой-то вес i   j  k , то
оптимальным решением является то, в котором точкой O служит вершина
Pi , и кратчайшая сеть будет состоять из стороны Pi Pj с весом  j и стороны
Pi Pk с весом  k . Рассмотрим случай, когда для всех весов условие (9)
выполняется. На стороне P1P2
треугольника Δ P1P2P3
построим
треугольник P1P2K (рис 2), у которого стороны P1K  2 , KP2  1 и
P1P2  3 (   1).
K
P2
O
P1
D
Рис.2
Условие (9) гарантирует существование такого треугольника. Опишем
окружность вокруг этого треугольника.
Теорема 1. Для произвольной точки D на дуге P1P2 справедливо
KD 3  P1D 1  P2D 2
(10)
Доказательство. Это свойство вытекает из условий построения P1P2K .
По теореме Птолемея
P1D  KP2  P1K  DP2  KD  P1P2 .
13
Если сюда подставить значения длин сторон треугольника P1P2K и сократить
выражение на  , то получим искомую формулу (10).
Эта теорема
позволяет находить оптимальное дерево Штейнера путем
построений, подобных для классической задачи Штейнера. Здесь, так же, как
и там, строится точка K, которая эквивалентна двум точкам P1 и P2. Если
соединить прямой вершину K на рис.2. с третьей вершиной треугольника P3 ,
то полученный отрезок KP3 будет называться взвешенной осью Симпсона, а
точка пересечения этой оси с окружностью, описанной вокруг P1P2K , будет
искомой оптимальной точкой O (рис.1) взвешенного дерева Штейнера для
точек P1, P2 и P3. Вес этого дерева равен
Z  1 P1O  2 P2O  3 P3O .
(11)
Очевидно, что оптимальная точка, как и в классической задаче не должна
находится вне треугольника P1P2 P3 . Это возможно при определенных
соотношениях между углами треугольника и весами. Если угол  i между
отрезками PjO и PK O меньше соответствующего угла при вершине Pi
(i=1,2,3), то получается вырожденный случай и оптимальный вес дерева
будет равен
Z  PjPi   j  PK Pi  K ;
i, j, k 1,2,3.
(12)
Отсюда условия невырожденности решения выразятся через отношения
cos PjPi PK  cos i , или
2
2
Pi Pj  Pi PK  PjPK
2 Pi Pj  Pi PK
2

i2  2j  K2
2 jK
; i, j, k 1,2,3.
(13)
Можно иначе выразить эти условия: углы P1P2K должны быть меньше
дополнительных соответствующих углов P1 P2 P3 .
Для определения координат точки O необходимо найти координаты
вершины K достроенного P1P2K (рис.2). Если обозначить угол наклона
отрезка P1 P2 к оси OX через  , то
14
xK  x1  P1K cos(KP1P2  ) ,
(14)
y K  y1  P1K sin( KP1P2  ) .
Подставляя соответствующие значения и раскрывая выражения в скобках,
получим
x K  x1  P1K  cos KP1 P2 cos   sin KP1 P2 sin  ,
y K  y 1  P1K  sin KP1 P2 cos   cos KP1 P2 sin  .
Здесь cos  
x 2  x1
y 2  y1
 22   23  12
sin


cos

KP
P

;
;
;
1 2
P1P2
P1P2
2 2 3
1
212 22  212 23  2 22 23  14  42  43 .
2 2 3

Учитывая соотношение P1K P1P2  2 окончательно получим:
3
1
xK  2 x1 (12   23   22 )  x 2 ( 22   23  12 ) 
2 3
sin KP1P2  1  cos2 KP1P2 

 ( y 1  y 2 ) 212 22  212 23  2 22 23  14  42  43

(15)

1
y K  2 y 1 (12   23   22 )  y 2 ( 22   23  12 ) 
2 3

 ( x1  x 2 ) 212 22  212 23  2 22 23  14  42  43
Для определения координат оптимальной точки
O (рис.1) построим
аналогичный треугольник P2 P3L на стороне P2 P3 исходного треугольника.
Формулы для координат точки L находим из (15), если сделаем в них
циклическую перестановку индексов (1  2  3  1). Точка O является
пересечением двух отрезков P3 K и P1L . Введем для этих отрезков
параметры t 1 и t 2 . Тогда прямые, соответствующие этим отрезкам,
запишутся в виде уравнений
( P3K ) x  x 3  t1 ( xK  x 3 ) ;
( P1L ) x  x1  t 2 ( xL  x1 )
y  y 3  t1 ( y K  y 3 );
y  y1  t 2 (y L  y1 )
Приравнивая соответствующие
координаты,
уравнений относительно t 1 и t 2
15
получаем
(16)
систему
t1 ( xK  x 3 )  t 2 ( xL  x1 )  x1  x 3
t1 ( y K  y 3 )  t 2 ( y L  y1 )  y1  y 3
Определитель системы -   ( xL  x1 )( y K  y 3 )  ( xK  x 3 )( y L  y 1 ) ,
t1  ( x L  x1 )( y 1  y 3 )  ( x1  x 3 )( y L  y 1 )  ,
а t 2  ( x K  x 3 )( y 1  y 3 )  ( x1  x 3 )( y K  y 3 )  .
Подставляя одно из них (например t1 ) в левую часть (16), получим
координаты точки O.
x0  x 3  ( xK  x 3 ) ( xL  x1 )( y 1  y 3 )  ( x1  x 3 )( y L  y 1 ) 
.
(17)
y 0  y 3  ( y K  y 3 ) ( xL  x1 )( y 1  y 3 )  ( x1  x 3 )( y L  y 1 ) 
Таким образом, при решении взвешенной задачи Штейнера для трех точек
можно применять тот же алгоритм, что и для классической задачи. При этом
получается три взвешенных оси Симпсона: каждая проходит через точку Pi и
вершину взвешенного треугольника, построенного на стороне Pi  1Pi  2
(сложение индексов на mod3) при обходе против часовой стрелки, и ее вес
равен длине оси, умноженной на  i . Очевидно, что веса всех осей равны
между собой. Чтобы такое построение не вырождалось необходимо
выполнение условий (8), (9) и (13).
Теперь можно переходить к общей постановке взвешенной задачи
Штейнера (ВЗШ).
Задано конечное множество точек P  P1 , P2 , . . . , Pn  на плоскости,
множество весов R  1 ,  2 , . . . , m  (при этом m ≥ n), функция ( A, B)  R
двух любых точек A, B плоскости и число K. Спрашивается, существует ли
такое
конечное
множество
из
r
(r
≥
0)
дополнительных
точек
S  s1 , s 2 , . . . , s r  на плоскости, что для множества вершин P  S существует
остов с весом не более K, где вес ребра этого остова с вершинами
A , B  P  S  равен расстоянию между этими точками, умноженному на
( A, B) .
Эта постановка требует некоторого уточнения. Так же, как и для
классической задачи Штейнера, которая является частным случаем ВЗШ при
 i  1 , рассмотрим топологию какого-либо дерева Штейнера, которое так же
16
можно представить в виде матрицы инциденций ( P, S) . Такое дерево будет
состоять из объединения нескольких полных поддеревьев. Все висячие
вершины
и
вершины
пересечения
полных
поддеревьев
составляют
множество заданных вершин P, а вершины степени 3 в полных поддеревьях
составляют множество S. Будем говорить, что весовая функция ( A, B )
определена корректно, если
а) ( A, B )  min  A ,  B  для A , B P ;
б) ( A, B )   A для A  P, B  S ;
в) ( A, B ) - произвольная для A, B  S .
Очевидно, что в оптимальном дереве Штейнера для дополнительных точек
из S должны выполняться условия (8). Это накладывает определенные ограничения не только на топологию деревьев Штейнера, но и на функцию  .
Поэтому многие варианты топологий при поиске оптимальной
топологии будут отбрасываться, как вырожденные. Среди оставшихся путем
перебора можно найти оптимальное дерево Штейнера, имеющее наименьший
вес.
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ И РЕГУЛЯРНЫЕ
ПОЛУГРУППЫ ИЗОТОННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Амербаев В.М. ИППМ РАН , Кожухов И.Б. ГОУ ВПО МГАДА,
Ревякин А.М. ГОУ ВПО МГАДА, Ярошевич В.А. МГИЭТ
Обсуждаются различные способы представления бинарных отношений.
Дан обзор результатов о полугруппах изотонных полных и частичных
преобразований множества X, то есть преобразований, сохраняющих
заданное на X бинарное отношение σ. В контексте полугрупп изотонных
преобразований рассматриваются бинарные отношения порядка,
квазипорядка и также отношения, транзитивное замыкание которых является
линейным порядком. Приведенные результаты широко применяются в
теории измерений и полезности.
Измерение состоит в таком присвоение числовых значений, при
которых сохраняются наблюдаемые (бинарные) отношения. Основная
17
проблема теории измерений формулируется как проблема представления:
найти условия, налагаемые на наблюдаемую систему отношений  , которые
были бы (необходимы и) достаточны для существования гомоморфизма из
системы  в заданную конкретную числовую систему Ө отношений, причем
основной упор делается на задачу отыскания достаточных условий. Вторая
проблема теории измерения – проблема единственности: оказывается ли
построенный гомоморфизм единственным?
Пусть задано произвольное множество A и отношение  между двумя
произвольными элементами этого множества. Если элементы a, b находятся
друг с другом в отношении  , то мы пишем a  b, а если не находятся, то
пишем a  b. Например, запись a  b означает, что элементы a и b
совпадают, т.е. представляют собой один и тот же элемент и a  b, если a и b
– различные элементы. Другой пример: a b (для двух прямых a, b ), если a и
b параллельны, и a b, если a и b не параллельны. Для данного множества
A обозначим через A  A декартово произведение A на A, т.е. множество
пар (a, b), где a, b  A : A  A  {(a, b) | a, b  A}. Теперь соберём вместе все пары
(a, b), для которых a и b находятся в отношении  : {(a, b)  A  A | a  b}.
Можно отождествить полученное множество пар с отношением  . Таким
образом мы получаем простое определение бинарного отношения на
множестве. А именно, бинарное отношение на множестве A – это любое
подмножество  декартова произведения A  A, т.е.   A  A. Благодаря
такой чрезвычайно общей точке зрения теория бинарных отношений может
быть применена к самым разнообразным отношениям между объектами
математическими или встречающимися в прикладных науках.
Так как  – это множество пар, то запись « a  b » означает то же самое,
что запись « (a, b)  ». Аналогично этому « a  b » и « (a, b)   » – две
эквивалентные формы записи.
Бинарное отношение, связывающее элементы различных множеств A и
B,
можно определить как подмножество декартова произведения
A  B  {(a, b) | a  A, b  B}.
Алгебраические свойства таких отношений
изучались в работе [1].
Над бинарными отношениями можно производить алгебраические
действия. Пусть  и  – бинарные отношения на одном и том же множестве
A. Так как  ,  A  A, то для  и  определены обычные теоретикомножественные операции пересечения   , объединения   , разности
 \ ,
симметрической разности  ⊖  ( \  )  ( \  ). В частности,
   {(a, b) | (a, b)  и (a, b)  }. Например, если на множестве
действительных чисел x  y | x  y | 1, x y  x  y, то x (  ) y  x  y  x  1.
Кроме того, можно определить операцию взятия обратного отношения:
 1  {(a, b) | (b, a)   }. Например, если  – обычное отношение порядка на ,
то 1 = 
18
Менее известной является операция умножения бинарных отношений.
А именно, если  и  – бинарные отношения на множестве A, то полагаем
( x, y )    ( x, t )   и (t , y )  для некоторого t  A. Например, если
A  {1, 2,3, 4},   {(1,1),(2,3),(3, 4),(4, 4)},   {(2,1),(2, 2)}, то   ,   {(2,1), (2,3)}.
Другой пример:    ; здесь  обозначает отношение перпендикулярности
прямых на плоскости, а – отношение параллельности в широком смысле
(т.е. прямая считается параллельной самой себе).
Нетрудно доказать,
что
умножение
бинарных отношений
ассоциативно, т.е. для любых отношений , , имеет место равенство
Множество с ассоциативной операцией называется
(  )   ( ).
полугруппой. Полугруппам посвящена обширная литература (см., например,
[2], [3]). Таким образом, для любого множества A мы имеем полугруппу
B ( A) всех бинарных отношений на множестве A. Пусть   {(a, a) | a  A} –
отношение равенства на множестве A. Легко проверить, что        и
       для всех   B( A). Это означает, что в полугруппе B ( A) элемент
 является единицей, а элемент  – нулём.
Кроме записи бинарного отношения в виде выписанных пар элементов,
существуют и другие способы задания бинарных отношений. Рассмотрим
следующие из них: а) в виде многозначного отображения, б) в виде булевой
матрицы (т.е. матрицы из нулей и единиц), в) в виде ориентированного
графа; г) в виде ориентированного двудольного графа.
а) Многозначное отображение X  Y , где X и Y – произвольные
множества – это обычное отображение множества X в множество всех
подмножеств множества Y . То есть образом элемента x  X является
необязательно какой-либо элемент из Y , а в общем случае какое-либо
подмножество множества Y , возможно, пустое. Каждое бинарное отношение
на множестве A можно рассматривать как многозначное отображение A  A.
Например, если   {(1,1),(1, 2),(2,3),(3,1),(3, 4)}, то его можно рассматривать как
2
3
4
 1
.
{1, 2} 3 {1, 4}  
многозначное отображение   
б) Булева матрица (т.е. матрица из 0 и 1) по бинарному отношению  ,
заданному на множестве A  {1, 2, , n}, строится следующим образом:
1, если (i, j )  ,
, где  ij  
1i , j  n
0, если (i, j )   .
1 1

0 0
пункта
а) мы имеем M   
1 0

0 0
M    ij
Для отношения 
0 0

1 0
. Нетрудно
0 1

0 0
проверить, что умножение бинарных отношений соответствует умножению
булевых матриц, т.е. M   M  M ; при этом булевы матрицы умножаются так:
19
ij  ij   ij ,
где
n
 ij   ik kj ,
k 1
а

обозначает
дизъюнкцию,
т.е.
a  b  max (a, b).
в) Представление бинарного отношения ориентированным графом
определяется следующим образом. Возьмём в качестве вершин графа
элементы множества A. Из вершины i в вершину j проводим ребро в том и
только том случае, если (i, j )  . Например, отношение  из пункта а)
представляется в виде графа, изображённого на рисунке 1.
1
4
1
2
1
1
1
2
2
2
12
1
1
3
3
5
2
42
41
21
2
1
1
Рис. 2. Двудольный граф
3
1
Рис. 1. Ориентированный граф
г) Представление бинарного отношения в виде двудольного графа на
примере отношения  пункта а) приведено на рисунке 2. Способ построения
двудольного графа очевиден.
Алгебраические свойства полугруппы бинарных отношений (или, что
то же самое, булевых матриц) изучались многими авторами. Весьма полное
изложение теории содержится в [4], многие аспекты отражены в [5].
Важным вопросом в теории полугрупп и в полугруппах бинарных
отношений в частности является вопрос о делимости одного элемента
полугруппы на другой, об описании элементов специального вида
(идемпотентных, нильпотентных, регулярных, групповых и др. элементов), о
принадлежности или не принадлежности полугруппы тому или иному классу
полугрупп, о потенциальных свойствах полугруппы.
Будем говорить, что элемент a полугруппы S делится слева на
элемент b  S , если a  sb при некотором s  S , делится справа, если a  bt при
некотором t  S , a делится на b , если a  pbq при некоторых p, q  S. Элемент
a называется идемпотентным, если a 2  a, регулярным, если a  aba при
некотором b  S.
Описание идемпотентных булевых матриц было получено разными
авторами в разных терминах (см., например, [6]). Условия регулярности
элемента из B( A) получены в [7]. Односторонняя делимость одного элемента
из B( A) на другой может быть выяснена с помощью довольно очевидного
несложного алгоритма, основывающегося на пространствах, порождённых
строками или столбцами данных булевых матриц. Однако, проверка
двусторонней делимости одной булевой матрицы на другую растёт
экспоненциально с ростом количества строк матриц и поэтому для матриц
20
больших размеров представляет собой трудную математическую задачу (см.
[8]).
Иногда элементы полугруппы не делятся один на другой в самой
полугруппе, но будут делиться в какой-нибудь полугруппе, содержащей
данную. Тогда мы говорим о потенциальной делимости. Дадим точное
определение. Элемент a полугруппы S делится слева на b  S потенциально,
если существует полугруппа T  S такая, что a  tb при некотором t  T .
Аналогично определяются потенциальная делимость справа и двусторонняя
потенциальная делимость. Простейший пример элементов, один из которых
делится на другой потенциально, но не делится в обычном смысле, таков:
элементы 2 и 3 в полугруппе ( ,  ) (натуральных чисел с операцией
умножения). Они не делятся друг на друга в полугруппе , но делятся в
полугруппе  рациональных чисел; поэтому в
они делятся друг на
друга лишь потенциально. Потенциальная делимость элементов полугруппы
рассматривалась в [9] (см. также [3, гл. 10]).
Известным и легко проверяемым является тот факт, что в регулярной
полугруппе (т.е. в полугруппе, у которой все элементы регулярны)
потенциальная левая делимость совпадает с обычной левой делимостью и то
же верно для потенциальной правой делимости. Полугруппа B( A) не
регулярна уже при | A |  3. Однако, как показано в [10], при любом A (даже
бесконечном) в полугруппе B( A) потенциальная односторонняя делимость
совпадает с соответствующей обычной односторонней делимостью. Это
означает, что полугруппа B( A) в некотором смысле близка к регулярным
полугруппам. Другие свойства полугруппы B( A), связанные с делимостью
элементов, были отмечены в [11].
Приложения полученных результатов для теории измерений и
полезности, а также краткое введение в теорию измерений и полезности
можно найти в главе 8 [12].
Для многих бинарных отношений характерно то, что они обладают
рядом общих свойств. Например, отношение будет толерантным, если оно
рефлексивно и симметрично; квазипорядком – тогда и только тогда, когда
есть рефлексивность и транзитивность. Эквивалентность и порядок
получаются из толерантности и квазипорядка добавлением соответственно
транзитивности и антисимметричности.
Элемент a полугруппы S называется регулярным, если найдётся такой
элемент bS, что aba=a. Полугруппа, состоящая из одних регулярных
элементов, называется регулярной.
Если на X задано некоторое бинарное отношение σ, то особый интерес
представляют такие преобразования α из T(X), которые сохраняют σ, т.е.
выполнено следующее условие: x,yX (x,y)σ  (xα,yα)σ.
(1)
Множество элементов из T(X), которые удовлетворяют (1), обозначим Tσ(X).
Если рассматривать (X,σ) как граф, то Tσ(X) есть полугруппа эндоморфизмов
21
графов [13]. Если σ – отношение порядка, то полугруппу Tσ(X) будем
называть полугруппой изотонных преобразований и обозначать O(X). Многие
авторы изучали эту полугруппу: Л.М.Глускин [14] доказал, что полугруппа
O(X) определяет квазиупорядоченное множество X с точностью до
изоморфизма или антиизоморфизма; А.Я.Айзенштат [15] получила
представление полугруппы O(X) образующими элементами и
определяющими соотношениями в случае, когда X – цепь из n элементов,
причем найденное множество 2n образующих неприводимо. Она же
получила описание частично упорядоченных множеств X, у которых
полугруппа O(X) регулярна.
Понятие регулярной полугруппы можно обобщить следующим
образом. Элемент a полугруппы S назовём слабо регулярным справа (слева),
если aaSaS (соотв., aSaSa). Полугруппа S называется слабо регулярной
справа (слева), если все её элементы слабо регулярны справа (слева).
Полугруппу, которая слабо регулярна слева и справа, естественно назвать
слабо регулярной. Рассмотрим более широкий класс полугрупп. А именно,
будем говорить, что полугруппа S слабо регулярна в широком смысле, если
каждый её элемент слабо регулярен слева или справа. Другими словами,
aSaSaaSaS для всех aS. В.И.Ким, И.Б.Кожухов и В.А.Ярошевич
показали, что результат Айзенштат можно ослабить заменив слова
«регулярная полугруппа» на «слабо регулярная полугруппа в широком
смысле». Кроме этого авторами доказано аналогичное утверждение для
квазипорядка.
В.А.Ярошевич [17,18] рассмотрел рефлексивное бинарное отношение,
транзитивное замыкание которого есть отношение линейного порядка. Он
также нашел условия регулярности полугрупп преобразований,
сохраняющих такое бинарное отношение.
Преобразования множества X можно обобщить на случай частичных
преобразований. У последних область определения может не совпадать со
всем множеством X. Обозначим полугруппу частичных преобразований через
PT(X). Возникает вопрос, как можно обобщить Tσ(X) на случай частичных
преобразований. Сложность состоит в том, что в обычном случае
справедливо αTσ(X)  σα=ασ
(2)
(в смысле произведения бинарных отношений). Для PT(X) эквивалентность
(2) нарушается. Предложено два обобщения понятия «α сохраняет σ»: «α
допустимо для σ» и «α согласуется с σ». Первое определение отражает
левую часть (2), второе – правую. Множество допустимых для σ
преобразований обозначим P ( X ) , множество согласующихся с σ – P ( X ) .
Доказано, что P ( X )  P ( X ) .
Если на X задано отношение порядка, то будем говорить о полугруппах
~~
частичных изотонных преобразований: PO( X ) и P O ( X ) . Приведем несколько
результатов, полученных В.А.Ярошевичем:
Пусть X – частично упорядоченное множество. Тогда:
22
PO ( X ) регулярна тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы
одно из условий: 1) X – антицепь; 2) X – цепь;
~~
P O ( X ) регулярна в том и только в том случае, когда выполняется хотя
бы одно из условий: 1) X – антицепь; 2) X – квазиполная цепь; 3) X  GI при
некотором I .
Множество GI приведено на рис. 3.
Если в последних двух утверждениях слова
«частичный порядок» заменить на
«квазипорядок», то в конце каждого
утверждения нужно будет потребовать
выполнения дополнительно условия:
xy при всех x,y.
Рис. 3. Строение множества GI
Л.М.Попова [19] обобщила результат
Л.М.Глускина на случай частичных
преобразований:
Пусть ρ – нетривиальное рефлексивное (или антирефлексивное)
отношение на множестве X1, σ – любое бинарное отношение на множестве
X2. Полугруппы PTρ(X1) и PTσ(X2) изоморфны тогда и только тогда, когда σ
изоморфно ρ или ρ-1.
В заключение отметим, что частичные изотонные преобразования
можно также обобщить до многозначных изотонных преобразований.
Литература
1. Вагнер В.В. Теория отношений и алгебра частичных отображений. Сб.
научн. трудов «Теория полугрупп и её приложения». Саратов. Изд-во Сарат.
ун-та, 1965. Вып. 1, с. 3–178.
2. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп, т. 1,2. М.:
Мир, 1972.
3. Ляпин Е.С. Полугруппы. М.: Физматгиз, 1960.
4. Kim K.H. Boolean matrix theory and applications. Marcel Dekker Inc., New
York, 1982.
5. Schwarz S. On the semigroup of binary relations on a finite set/ Czechosl. Math.
J. 1970, v. 20, p. 632–679.
6. Schein B.M. A construction for idempotent binary relations. Proc. Japan Acad.
1970, v. 46, p. 246–247.
7. Зарецкий К.А. Полугруппа бинарных отношений. Мат. сборник, 1963, т.
61(103), № 3, с. 291–305.
8. Markowsky G. Ordering D-classes and computiry Schein rank is hard.
Semigroup Forum, 1992, v. 44, p. 373–375.
9. Шутов Э.Г. Потенциальная делимость элементов в полугруппах. Уч. зап.
Ленингр. гос. пед. ин-та им. Герцена, 1958, v. 166, p. 75–103.
10. Кожухов И.Б., Ярошевич В.А. О потенциальной делимости матриц над
дистрибутивными решётками. Дискретная матем., 2010, т. 22, вып. 2, с. 148–
159.
23
11. Кожухов И.Б., Ярошевич В.А. Отношения Грина и обобщённые
отношения Грина на некоторых полугруппах преобразований. Изв. Сарат. унта, Нов. серия, Серия Мат., Мех. Инф. , 2009, т. 9, вып. 3, с. 33–37.
12. Робертс Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к
социальным, биологическим и экологическим задачам. – М.: Наука, 1986.–
496 с.
13. Molchanov V. A. Semigroups of mappings of graphs // Semigroup Forum.
1983. V. 27. P. 155–199.
14. Глускин Л. М. Полугруппы изотонных преобразований // Успехи мат.
наук. 1961. Т. 16. Вып. 5. С. 157–162.
15. Айзенштат А. Я. Определяющие соотношения полугруппы
эндоморфизмов конечного линейного упорядоченного множества // Сиб. мат.
журн. 1962. Т. 3, №2. С. 161–169.
16. Laradji A., Umar A. Combinatorial results for semigroups of order-preserving
partial transformations // King Fahd Univ. of Petroleum & Minerals (Sandi
Avabia), Dept. Math. Sci. Technical Report Series. 2004. P. 1–18.
17. Ярошевич В.А. О свойствах полугрупп частичных изотонных
преобразований квазиупорядоченных множеств // Вестник МГАДА. 2011.
3(9). С. 139–144.
18. Ярошевич В.А. Отображения, согласующиеся с бинарными отношениями
// «Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского
региона». Киров. 2009. Вып.,11. С. 135–142.
19. Попова Л.М. Полугруппы частичных эндоморфизмов множеств с
отношениями // Сибирский мат. журнал. 1963. 4, 2. С. 309-317.
ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ РАСПОЗНАВАНИЯ СОХРАНЕНИЯ
МНОЖЕСТВА ПОЛИНОМАМИ МАЛОГО РАНГА
БУХМАН А.В. E-mail: [email protected]
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Введение
Наша
заметка
относится
к
вопросам
распознавания
конечнозначных функций, заданных полиномами. Пусть
свойств
,
– множество функций k-значной логики, зависящих от n
переменных,
– множество k-значных функций. Каждая k-значная функция
24
может быть задана полиномом из кольца
в том и
только в том случае, когда k – простое число. Задание k-значных функций
полиномами удобно и подходит для многих целей, т.к. позволяет применять
алгебраическую технику для символьных преобразований функций. Мы
рассматриваем следующую задачу: при фиксированном простом числе k
требуется построить эффективный алгоритм, который для произвольной kзначной функции, подающейся ему на вход в виде полинома в
"естественной" записи, определял бы, обладает ли эта функция заранее
известным свойством. При такой постановке проверка большинства
интересующий нас свойств непосредственно по определению имеет
экспоненциальную временную алгоритмическую сложность относительно
размера входных данных, то есть размера символьной записи полинома.
Поэтому требуются дополнительные исследования и изобретательность в
нахождении эффективных алгоритмов. В этом направлении получены
интересные результаты. Селезневой С.Н. [1-4], Горшковым С.П. [5] доказана
полиномиальная решаемость задач распознавания ряда свойств для булевых
и k-значных функций.
Иногда найти полиномиальный алгоритм сразу не удается. Тогда
приобретает важность вопрос о нахождении алгоритмов, более быстрых, чем
непосредственная проверка определения свойства. В настоящей заметке мы
предлагаем такие алгоритмы для проверки свойства k-значной функции
сохранять некоторое заранее известное множество
– подмножество
. Для
некоторых множеств были получены полиномиальные алгоритмы [6]. Но
количество таких множеств мало.
Сложность алгоритма есть функция от длины входа. Задачу построения
алгоритмов распознавания свойств по полиному интересно решать именно
для случая, когда полином "не очень большой". В данной заметке одно
свойство (лемма 1) полинома, которое оказывается полезным при построении
алгоритма
распознавания
свойства
25
полинома
сохранять
множество.
Приведено непосредственное описание этого алгоритма и оценка его
сложности.
Основные определения.
Пусть
. Любое отображение вида
будем
называть k-значной функцией, зависящей от n переменных. Множество всех
таких функций будем обозначать
будем обозначать
. Множество всех k-значных функций
.
В данной работе рассматривается задание функции в виде полинома.
Мономом над переменными
называется любое выражение вида
, где
все переменные различны;
либо просто 1. Число переменных в мономе называется рангом.
Равенство мономов рассматривается с точностью до перестановки
сомножитлей.
Полиномом называется сумма по модулю k конечного числа различных
мономов с ненулевыми коэффициентами из
или 0 (можно понимать как
сумму нулевого числа мономов). Длиной полинома называется число его
слагаемых. Длину нулевого полинома будем считать равной 0. Рангом
полинома будем называть максимальный ранг его слагаемых.
Говорят, что функция
любых
сохраняет множество U, если для
верно, что
. Данное свойство имеет важное
значение для исследования полноты систем функций k-значной логики.
Множество
всех
функций,
сохраняющих
множество, является предполным классом в
некоторое
нетривиальное
[7].
Вспомогательные леммы.
Пусть
, где < - естественное упорядочение в
Обозначим
, далее будем использовать запись
обозначения вектора из
равного
.
26
.
для
Лемма 1. Пусть k – простое число, U – подмножество
чисел
обладает свойством, что
, и набор
- линейно независимая
система векторов. Тогда любой полином, все переменные которого имеют
степени
, и который отличен от 0, не может быть равен
тождественно 0 на множестве
, где n - число переменных полинома.
Доказательство.
Индукция по n.
Базис индукции n=1. От противного.
Пусть есть ненулевой полином
, который равен 0
на множестве U. Но тогда
, что противоречит выбору
.
Индукционный переход. Пусть предположение верно для n=t, докажем
его от противного для n=t+1.
Пусть имеется ненулевой полином, удовлетворяющий условиям
теоремы,
, который равен 0 на множестве
.
Рассмотрим его в виде
В силу того, что это не нулевой полином найдётся набор
что не все полиномы
противоречию с выбором
,
равны 0 на этом наборе. Но это опять приводит к
.
□
Лемма 2. Пусть k - простое число, U – подмножество
. В системе
ровно |U| линейно независимых векторов.
Лемма 2 следует из свойств определителя Вандермонда [8].
Применение для задачи распознавания сохранения множества.
В качестве алгоритмической модели будем рассматривать RAM[9].
Пусть на вход нам подан полином некоторой функции k-значной
логики. Требуется определить, сохраняет ли данная функция заданное
множество U.
27
Данная задача полиномиально сводится к другой задаче.
Пусть на вход нам подан полином некоторой функции k-значной
логики. Требуется определить, равна ли данная функция тождественно 0 на
множестве
.
Покажем, как лемму 1 применять для проверки равенства полинома 0
на подмножестве
. Для этого рассмотрим систему векторов
.
Выделим из неё максимальную линейно независимую подсистему. Далее
выразим все остальные векторы через базисные.
Пусть на вход нам подаётся некоторый полином функции
из
Заменим все степени переменных которые не вошли во множество
их выражения через
.
на
. Раскроем скобки, приведём подобные
слагаемые. В результате получим некоторое выражение - полином, в который
входят только переменные в степенях
. Понятно, что данный полином
равен исходному, а по лемме 1 данный полином может быть равен
тождественно 0 на множестве U тогда и только тогда, когда он есть 0.
Приведённые
выше
рассуждения
приводят
к
алгоритму
для
распознавания свойства функции заданной полиномом быть равной 0 на
некотором подмножестве.
Теорема 1. Пусть k – постое число,
l. Пусть
- подмножество
мощности
- полином ранга r и длины L. Тогда можно проверить
равен ли полином 0 на множестве
со сложностью
.
Доказательство.
Пусть на вход нам подаётся полином
, длина которого L,
количество переменных n. Таким образом длина входа O(Ln).
В явном виде приведём алгоритм.
Шаг 1. Переменные, которые имеют степени
оставляем без
изменений. Остальные степени заменяем на соответствующие линейные
комбинации.
28
Шаг 2. Раскрываем скобки у полученного на первом шаге выражения.
После раскрытия скобок получим полином длины
данного шага
. Сложность
.
Шаг 3. Приведение подобных, проверка на равенство 0. Сложность
данного шага
.
□
Замечание
1.
если
изначально
считать
слагаемые
полинома
упорядоченными определённым образом, то сложность 3-его шага можно
понизить до
.
Замечание 2. Если предположить, что мы ограничиваем класс
рассматриваемых полиномов только полиномами малого ранга, порядка
, то теорема 1 даёт полиномиальный алгоритм распознавания для
таких полиномов.
Замечание 3. Один из способов проверки на равенство 0 обобщённого
полинома в двузначной логике - заменить все x на x+1, раскрыть скобки,
привести подобные и, получившийся обычный полином проверить на
равенство 0. Понятно, что сложность такой проверки напрямую зависит от
ранга обобщённого полинома. В данной работе устанавливается аналогичная
зависимость от ранга сложности проверки некоторых других свойств
функций многозначной логики. Причём показано, что эта сложность
экспоненциально зависит от ранга. Данное наблюдение даёт возможность
строить алгоритмы более быстрые, чем уже имеющиеся, для полиномов с
малым рангом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Селезнева С.Н. О сложности распознавания полноты множества булевых
функций, реализованных полиномами Жегалкина. Дискретная математика. –
1997. – Т. 4, вып. 9. – С. 34-41
29
2.
Селезнева
С.Н.
Полиномиальный
алгоритм
для
распознавания
принадлежности реализованной полиномом функции k-значной логики
предполным классам самодвойственных функций. Дискретная математика. –
1998. – Т. 3, вып. 10. – С. 64-72.
3.
Селезнева
С.Н.
Полиномиальный
алгоритм
распознавания
принадлежности функций k-значных логик, представленных полиномами, к
предполным классам линейных функций. Вестник МГУ. Серия 15.
Вычислительная математика и математическая кибернетика. – 2001, вып. 3. –
С. 40-43.
4. Selezneva S.N. Polynomial-Time Algorithms for Verification of Some
Properties of k-valued Functions Represented by Polynomials. Procceedings of
Symposium. (Полиномиальные алгоритмы проверки некоторых свойств kзначных функций, заданных полиномами. Труды конференции.)
Procceedings of 31th International Symposium of
The
Multiple-Valued Logic
(Warsaw, May 22 – 24, 2001), 2001, p. 233-238.
5.
Горшков
С.П.
О
сложности
О
сложности
распознавания
мультиаффинности, би- юнктивности, слабой положительности и слабой
отрицательности буле-вой функции – Обозрение прикл. и промышленной
матем. Сер. Дискр.матем. – 1997. – 4, вып. 2. – С. 216-237.
6. Бухман А.В. О сложности распознавания сохранения функциями
многозначных логик, заданных полиномами, некоторых множеств. Вестник
МГУ. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. – 2011, вып. 3. –
С.38-43.
7. Избранные труды С.В. Яблонского. М.:МАКС Пресс, 2004.
8. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука 1968.
9. Ахо А., Хопкофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных
алгоритмов. М.: Мир, 1979.
30
КОРОТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧИСЛА
ПОМЕЧЕННЫХ m-УГОЛЬНЫХ КАКТУСОВ
В.А. ВОБЛЫЙ ([email protected])
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
Кактусом называется связный граф, в котором нет ребер, лежащих
более чем на одном простом цикле [1, с. 93]. Все блоки кактуса – ребра или
простые циклы (многоугольники), а у m-угольного кактуса все блоки – mугольники. Форд и Уленбек перечислили помеченные кактусы с заданным
распределением числа вершин по многоугольникам [2], однако они дали
только набросок доказательства.
Теорема. Пусть C(n, m) – число помеченных m-угольных кактусов с n
вершинами. При фиксированном n  3 и m  3 верна формула
C( n, m) 
(n  1)! n k 1
n 1
, где k 
.
k
2 k!
m 1
Доказательство. Как уже отмечалось в работе автора [3], m-угольный кактус
существует только тогда, когда число (n  1) /(m  1) – целое.
Пусть C n – число помеченных связных графов с n вершинами, а B n –
число помеченных блоков с n вершинами. Введем производящую функцию
xn
B ( x )  n  3 Bn
. В работах автора [4,5] получена формула
n!

Cn 
(n  1)! 1
[ x ] exp(nB ( x))x n .
n
Так как производящая функция блоков m-угольных кактусов совпадает
с производящей функцией простых циклов с m вершинами, имеем
xm
(n  1)! 1
n m 1  n (n  1)! 1  n k x k ( m 1)  n (n  1)! n k 1
B( x) 
, C (n, m) 
[ x ] exp( x ) x 
[ x ]

,
2m
n
2
n
2 k k!
2 k k!
k 0
где k 
n 1
.
m 1
Доказательство закончено.
31
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Ф. Харари, Э. Палмер Перечисление графов. Мир, М., 1977.
2.
G.W. Ford, G.E. Uhlenbeck, Combinatorial problems in theory graphs, III,
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 42(1956), 529-535.
Воблый В.А. Об асимптотике числа помеченных m-угольных кактусов.
3.
Материалы XI межвузовского семинара «Комбинаторные конфигурации» и
их приложения, Кировоград, 2011, 34-36.
Воблый В.А. О перечислении помеченных связных графов по числу
4.
точек сочленения. Дискретная математика, т. 20, вып. 1, 2008, 52-63.
Воблый В.А. Об одной формуле для числа помеченных связных
5.
графов. Дискретный анализ и исследование операций (в печати).
ПРЯМЫЕ СРЕДНЕЙ МОДУЛЬНОЙ РЕГРЕССИИ ДЛЯ КОПУЛ
Волков Ю.И.
Кировоградский государственный педагогический университет
имени Владимира Винниченка
Копулой совокупности случайных величин называется функция
распре-деления (или плотность ) этих величин и такая, что ее маргинальные
распре-деления являються равномерными на промежутке [0,1].
В данной работе мы ограничиваемся совокупностью двух случайных
величин.
Копулам и их применениям уделяется много внимания, см., например,
[1,2] .
Определение 1. Прямая y=ax+b називается
модульной
регрессии

на
,
если
прямой средней
модульное
отклонение
 (a, b) : M |   a  b | принимает наименьшее значение.
Аналогично дается определение прямой середней модульной регрессии
 на .
32
Для копул с плотностью c(x,y)
11
1
1
1
1
 (a, b)    | y  ax  b | c( x, y)dxdy   dx  yc( x, y)dy  a  xdx  c( x, y )dy 
00
1
b  dx
0
1

axb
0
1
axb
0
0
axb
1
axb
c( x, y )dy  a  xdx  c( x, y )dy b  dx
0

1
axb
axb
0
0
0
c( x, y )dy   dx
0
 yc( x, y)dy 
axb
1

dx
yc
(
x
,
y
)
dy


 
 (2ax  2b  2 y)c( x, y)dy  ax  b  ,
0
0
0

1
а отсюда
1
axb
1 a
 (a, b)    b   dx  (2ax  2b  2 y )c( x, y )dy .
2 2
0
0
Для нахождения коэффициентов a и b нужно решить систему
уравнений:

0
 a
, для копул она такая:




0
b
axb
1
1
xdx
c( x, y )dy  ,


4
0
0
.
 1 axb
1
 dx c( x, y )dy  .

0
2
0
(1)
1
axb
1
Тогда  (a, b)   2 dx  yc( x, y )dy.
2
0
0
Определение 2. Для совокупности (, ) прямая y=ax+b називается
медианной, если
1
1
P(( , ) |   a  b)  , P(( , ) |   a  b)  .
2
2
Поскольку
1
axb
0
0
 dx  c( x, y)dy  P(( , ) |   a  b) ,
то из (1) следует, что
прямая средней модульной регрессии будет и медианной прямой.
Пример 1. Найти прямую средней модульной регрессси и модульное
отклонение для копули Моргенштерна:
 2 C ( x, y )
c ( x, y ) 
 1   (2 x  1)( 2 y  1) ,
xy
33
 (a, b) 
1
(3a 3  5a 2 (2b    2)  5a(2b 2  2b(3   )  3)  30b 2  30b  15)
30
Для нахождения коэффициентов a и b решаем систему уравнений
1
2
2
 30 (9a   10a(2b    2)  5(2b   2b(3   )  3  0,
.

1
2
 (a   a(2b    3)  6b  3  0
 3
 5  25  15 2
5  3  25  15 2
, b
Отсюда a 
.
3
6
Пример 2. Найти прямую средней модульной регрессси и модульное
1
отклонение для копули FGM(2): c( x, y )  1  (1  3 x 2 )(1  3 y 2 ) ,
2
 (a, b) 
1
1 a
(8a 4  35a 2b  28a 2 (2b 2  1)  35ab(b 2  3)  140b 2 ) 
b.
140
2
Для нахождения коэффициентов a и b решаем систему уравнений
32a 3  105a 2b  56a(2b 2  1)  35(b 3  3b  2)  0,
 3
2
2
5a  16a b  15a(2b  1)  40b  20  0.
Отсюда a=0.491189… , b=0.26289…, =0.225742…
Пример 3. Найти прямую средней модульной регрессси и модульное
1
отклонение для копули FGM(3): c( x, y)  1  (1  4 x 3 )(1  4 y 3 ) ,
3
1 a5
a 4b 3a 3b 2 2 2
1
2
 ( a, b )    b  b 

 a (1  b3 )  a(2b 4  8b  5) .
2 27
5
7
9
10
Для нахождения коэффициентов a и b решаем систему уравнений
 5a 4 4a 3b 9a 2b 2 4
1
3
4
 27  5  7  9 a(1  b )  10 (2b  8b  5)  0,

4
3
 1  2b  a  6a b  4 a 2b 2  8 a(1  b 3 )  0.

5
7
3
10
34
Отсюда a=0.484827…, b=0.271799…, =0.227548… .
Пример 4. З Найти прямую средней модульной регрессси и модульное
отклонение для копули Фарли-Гамбеля_1:
C ( x, y )  xy(1  (1  x)(1  y )(1  xy)),
c( x, y)  2  2x  2 y  8xy  6x 2 y  6xy2  9x 2 y 2 ,
1
 ( a, b) 
(10a 4  7 a 3 (6b  1)  7 a 2 (9b 2  4b  5)  35a (b 3  b 2  4b  3) 
210
2
210b  210b  105).
Для нахождения коэффициентов a и b решаем систему уравнений
40a 3  21a 2 (6b  1)  14a(9b 2  4b  5)  35(b 3  b 2  4b  3)  0,
 3
2
2
6a  2a (9b  2)  5a(3b  2b  4)  30(2b  1)  0.
Отсюда a=0.537047…, b=0.2370066…, =0.360855… .
Пример 5. Найти прямую средней модульной регрессси и модульное
отклонение для копули Фарли-Гамбеля_2:
1
C ( x, y )  xy(1  (1  x 2 )(1  y 2 )(1  xy)) ,
2
1
c( x, y )  (3  3 x 2  4 xy  8 x 3 y  3 y 2  9 x 2 y 2  8 xy3  16 x 3 y 3 ) ,
2
1 2 5
1 3
 2 1 
 a  a4   b   b  b2 
a (48b 2  35b  8) 
2 63
140
 35 6 
1 2
1
a (6  5b  12b 2  10b 3 )  a(8b 4  15b 3  8b 2  b  30).
30
60
 ( a, b) 
Для нахождения коэффициентов a и b решаем систему уравнений
2
3 2
1
10 4
3 8
2
a

a

b

a
(
48
b

35
b

8
)

a(10b 3  12b 2  5b  6) 


 63
15
 35 3  140

1
4
3
2
 (8b  15b  8b  b  30)  0,
 60

1 4
24 
1 1
3 1
2 4
2
2
3
 1  6 a  a  4  35 b   2b  a  5 b  b  6   60 a(45  16b  45b  32b ).





Отсюда a=0.609218…, b=0.211914…, =0.210082… .
35
Примечание. Рассмотренные системы имеют по нескольку решений.
Среди них мы выбираем такое действтельное решение, для которого
модульное отклонение наименьшее.
Наконец, приведем еще диаграмму рассеивания и график медианной
прямой для копулы из примера 5.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Литература
[1] Johnson, M.E.,Chiang Wang and John S. (1984). Generation of continuous
multivariate distributions for statistical applications. American Journal of
Mathematical and Management Sciences, 4, 225-248.
[2] Nelsen R.B.(2006). An introduction to copulas. Springer, New York.
ДОСЛІДЖЕННЯ МЕТОДІВ ТЕОРІЇ ІГОР ТА ЇХ ПРОГРАМНА
РЕАЛІЗАЦІЯ ДЛЯ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ
Вишніченко О. В.
Харківський Національний Університет радіоелектроніки
На протязі багатьох років ігрові моделі успішно використовуються для
опису систем різного рівня складності. Результати, одержані в теорії ігор,
знайшли застосування в різних областях – в економіці [1-3], соціології [4-6],
організаційному управлінні [7,8], екології [9,10] та ін.
36
Дана робота присвячена розробці та створенню програми для
автоматизації пошуку вибору стратегій поведінки в конфліктних ситуаціях з
метою підвищення ефективності прийняття рішення. Для грамотного
вирішення задач з конфліктними ситуаціями необхідні науково обґрунтовані
методи. Такі методи розроблені математичною теорією конфліктних ситуацій
– теорією ігор. Теорія ігор – математичний метод вивчення оптимальних
стратегій в іграх. Під грою розуміється процес, в якому беруть участь дві або
більше сторін, які ведуть боротьбу за реалізацію своїх інтересів. Кожна зі
сторін має свою мету і використовує деяку стратегію, яка може вести до
виграшу або поразки – в залежності від поведінки інших гравців.
До задач роботи відносяться: проведення огляду систем правил гри, які
описують сутність конфліктної ситуації; виділення класу задач теорії ігор для
програмної реалізації; обрання математичних методів та алгоритмів пошуку
розв’язку. В роботі розглянуто економічні задачі, які зводяться до ігрових
моделей з платіжними матрицями mn, m2, 2n і можуть бути розв’язані
методами лінійного програмування та геометричним методом. В загальному
випадку рішення гри m×n представляє достатньо складну задачу, причому
складність задачі і об’єм необхідних даних значно зростає із збільшенням m і
n. Ці труднощі пов’язані з великою кількістю розрахунків, які в ряді випадків
можуть виявитися практично не виконуваними. Універсальним методом
рішення матричних ігор в змішаних стратегіях є метод лінійного
програмування. Антагоністичну матричну гру m×n (m≥3, n≥3), що не містить
сідлової
точки,
можна
звести
до
пари
двоїстих
задач
лінійного
програмування.
Нами розроблено систему, яка здійснює наступні функції: аналіз
платіжної матриці при зведенні матричної гри mn до задачі лінійного
програмування; формування аналітичного розв’язку матричної гри mn на
основі симплексного методу та теорії двоїстості; аналіз платіжної матриці
для передачі і обробки даних при знаходженні оптимальної стратегії кожного
37
гравця та ціни гри графічним методом і виконанні геометричної інтерпретації
ігор m2 і 2n.
На вході програмної системи подаються данні про систему, яку
моделюємо: результати дій гравців у вигляді платіжної матриці гри. Після
обробки цих даних програмною системою, виявляється їх несуперечність
вимогам одержаної математичної моделі для відповідного класу задач, на
виході одержуємо ціну гри, оптимальні стратегії гравців, геометричну
інтерпретації ігор m2 і 2n.
Структурна схема програми (рис. 1) складається з трьох основних
блоків. Перший блок відповідає за введення початкових даних, тобто
візуальне зображення платіжної матриці. Другий блок складається з
декількох підблоків і є центральним в роботі програми. Він реалізує основні
алгоритми
для
одержання
результатів
і
відображає
функціональні
можливості програми. І останній, третій блок, відповідає за коректне
відображення результатів роботи програми.
Канонічна форма задачі ЛП
Симплексний метод
ІНТЕРФЕЙС КОРИСТУВАЧА
Введення початкових
даних (платіжна
матриця)
Формування розв’язку
двоїстої задачі
Оптимальні стратегії,
ціна гри
Геометричний метод
Результат
роботи
програми
Рисунок 1 – Структурна схема програми
При написанні програми використано об'єктно-орієнтований підхід. В
програмі створено класи представлені на рисунку 2.
38
Рисунок 2 –Діаграма класів
Form 1 – головна форма програми. Вона містить методи, які
спрацьовують при натисненні кнопок цієї форми. Головна форма включає
функції для розв`язку задач теорії ігор геометричним та алгебраїчним
способом з використанням класів GraficA, Grafic та SimplexMethod.
Для відображення графічних елементів використана бібліотека GDI+.
Створено класи GraficA, Grafic. При цьому задіяні наступні об’єкти
бібліотеки GDI+: Point, Brush, Line.
Клас Brush - це абстрактний клас. Для створення екземпляра класу
Brush використано клас LinearGradientBrush, що походить від нього.
Графічний вивід тексту здійснюється за допомогою класу Font, який включає
в себе три основні характеристики шрифту: тип, розмір і стиль. Для задання
координат тексту використовується Rectangle.
Поля та методи класів GraficA, Grafic наведені на рисунку 3.
Рисунок 3 – Класи GraficA та Grafic
39
Для кожного з цих класів метод (функція) є конструктором класу.
Основні дії над цими класами виконуються в головній формі, а вони
відображають результати.
Наведемо основні етапи пошуку розв’язку ігор m2 і 2n геометричним
методом, що реалізовані програмою.
1. Побудова прямих, що відповідають стратегіям другого (першого)
гравця.
2. Визначення нижньої (верхньої) межі виграшу.
3. Знаходження двох стратегій другого (першого) гравця, яким
відповідають дві прямі, що перетинаються в точці з найбільшою
(найменшою) ординатою.
4. Визначення ціни гри й оптимальних стратегій.
Клас Param (рис. 4) зберігає математичну модель для симплексного
методу. Містить масиви вільних членів, цін, коефіцієнтів цільової функції, а
також розмірність задачі. Основний метод – ініціалізація вказаних даних.
Рисунок 4 – Клас Param
В класі SimplexMethod реалізовано аналітичний метод розв’язку задачі
теорії ігор.
Сформулюємо задачу лінійного програмування (ЛП) в загальному
вигляді: знайти максимум (мінімум) лінійної функції F.
40
F =c1x1 + c2x2 +… + cnxn
за умов:
a11x1 + a12x2 + .... + а1nxn {≤,=,≥} b1,
a21x1 + a22x2 +.... + а2nxn {≤,=,≥} b2,
(1)
…………………………………..
am1x1 + am2x2 +.... + аmnxn {≤,=,≥} bm,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,…, xn ≥ 0,
де хj – невідомі; aij, bi, сj (i =1, т , j = 1, n ) – задані сталі величини. Знак
{<,=,>} означає, що в конкретній задачі ЛП можливо обмеження виду
рівності або нерівності.
Функція F називається цільовою функцією задачі, а умови (1) –
обмеженнями даної задачі.
Допустимим розв'язком (планом) задачі ЛП називається вектор
X=( х 1 , х 2 , . . . , х n ) , який задовольняє умовам (1). Сукупність допустимих
розв'язків (планів) задачі утворює область допустимих розв'язків .
Допустимий розв'язок, за якого цільова функція F набуває
екстремального значення, називається оптимальним планом задачі ЛП і
позначається Xопт.
В канонічній формі задача ЛП має вигляд
F = c1x1 + c2x2 +... + cnxn → max
a11x1 + a12x2 +.... + а1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 +.... + а2nxn = b2,
………………………………
am1x1 + am2x2 + .... + аmnxn = bm
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,…, xn ≥ 0.
В програмній реалізації алгоритму симплексного методу відбувається
формування канонічної форми задачі ЛП для вхідних даних.
Наведемо алгоритм симплексного методу, використаний при створенні
програми.
41
1. Якщо потрібно знайти мінімум лінійної форми F, то задачу зводимо
до задачі знаходження максимуму лінійної форми F1 = – F.
2. Записуємо систему обмежень в канонічному вигляді: обмеженнянерівності записуємо у вигляді обмежень-рівнянь, вільні члени переносимо в
праві частини рівнянь.
3. Записуємо систему обмежень і лінійну форму задачі у вигляді
розширеної матриці. В останньому рядку (виділяємо його горизонтальною
лінією) в лівій частині матриці записуємо коефіцієнти біля відповідних
невідомих лінійної форми, а в правій частині – її вільний член з протилежним
знаком.
4. Знаходимо будь-який базисний розв’язок системи обмежень, тобто
підбираємо m стовпчиків так, щоб складений з них визначник був відмінний
від нуля. Змінні, які потрапили в вибраний визначник, називаємо основними,
всі інші – неосновними.
5.
За
допомогою
елементарних
перетворень
системи
рівнянь,
приводимо стовпчики розширеної матриці, які відповідають основним
змінним, до вигляду основних стовпчиків – один елемент стовпчика рівний 1,
а всі інші нулю.
6. Записуємо відповідний базисний розв’язок. Якщо знайдений
базисний розв’язок є допустимим, то переходимо до пункту 7, якщо ж –
недопустимим, то попередньо виконуємо пункт 6.
7. Від отриманого недопустимого базисного розв’язку переходимо до
допустимого базисного розв’язку або встановлюємо, що система обмежень є
несумісною.
8. Отримавши допустимий базисний розв’язок, перевіряємо критерій
оптимальності. Якщо всі елементи останнього рядка розширеної матриці є не
додатними, то оптимальний розв’язок є оптимальним і розв’язання закінчено.
9. Якщо в останньому рядку розширеної матриці є один або декілька
додатних елементів, то отриманий допустимий базисний розв’язок є
неоптимальним і переходимо до нового базисного розв’язку.
42
До неосновних змінних, які входять в лінійну форму з додатними
коефіцієнтами, вибирають ту, якій відповідає найбільший коефіцієнт, і
переводять її в основні.
10. Для визначення основної змінної, яку потрібно перевести в
неосновні, знаходять рядок (опорний) розширеної матриці, якому відповідає
найменше відношення вільного члена рядка до відповідного елемента
неосновного стовпчика, який переводиться в основні, при умові, що цей
елемент відмінний від нуля і того ж знаку, що й вільний член.
Основна змінна, яка визначалась з опорного рядка переводиться в
неосновні змінні.
11. Робимо перетворення розширеної матриці так, щоб основним
змінним відповідали основні стовпчики.
12. Повторюємо пункти 8 – 10 до тих пір, поки не буде виконуватись
критерій оптимальності (див. п. 7). Після цього виписуємо оптимальний
розв’язок і оптимальне значення лінійної форми.
13. Якщо критерій оптимальності виконується і в лінійній формі хоча б
один елемент в неосновних стовпчиках рівний нулю, то отриманий
оптимальний розв’язок не єдиний.
14. Якщо в лінійній формі є додатній елемент, але всі елементи
відповідного неосновного стовпчика не додатні, то вона не обмежена:
Fm ax   .
За допомогою класу SimplexMethod реалізовано вище наведений
алгоритм симплексного методу. До основних функцій цього класу можна
віднести функцію IsDopustumuiBazusnuiRozvFunction, яка здійснює перевірку
базисного розв’язку на допустимість:
public int IsDopustumuiBazusnuiRozvFunction()
{
int f = 0;
for (int j = 0; j < CountNeriv; j++)
{
if (SiplexMatrix[j, n - 1] < 0)
43
{
f = 1;
break;
}
}
return f;
}
Виконання
елементарних
перетворень
над
сиплекс-таблицями
відбувається за допомогою функції ElementarniPerFunction:
public void ElementarniPerFunction()
{
double zminna;
zminna = SiplexMatrix[IndexI, IndexJ];
for (int j = 0; j < n; j++)
{
SiplexMatrix[IndexI, j] = SiplexMatrix[IndexI, j]
/ zminna;
}
double elem1, elem2;
for (int i = 0; i < m; i++)
{
if (i != IndexI)
{
elem2 = SiplexMatrix[i, IndexJ];
for (int j = 0; j < n; j++)
{
elem1 = SiplexMatrix[IndexI, j] * (-1) *
elem2;
SiplexMatrix[i, j] = SiplexMatrix[i, j] +
elem1;
}
}
}
}
Класи Program, Resources, Settings – спеціальні класи, які автоматично
створює середовище Visual Studio.
44
Функціональні можливості програми: аналіз платіжної матриці при
зведенні матричної гри mn до задачі лінійного програмування; формування
аналітичного розв’язку матричної гри mn на основі симплексного методу та
теорії двоїстості; аналіз платіжної матриці для передачі і обробки даних при
знаходженні оптимальної стратегії кожного гравця та ціни гри графічним
методі і виконанні геометричної інтерпретації ігор m2 і 2n.
Програма має сучасний та зручний користувацький інтерфейс. На
основі модифікованих алгоритмів для їх реалізації написано відповідні
функції
за
допомогою
яких
відбувається
відображення
розв’язку
відповідного класу задач. На вході подаються данні про результати дій
гравців у вигляді платіжної матриці гри. Після обробки цих даних
програмою, виявляється їх несуперечність вимогам одержаної математичної
моделі для відповідного класу задач, на виході отримуємо ціну гри,
оптимальні стратегії гравців, геометричну інтерпретацію ігор m2 і 2n.
Проведено
ретельне
тестування
програми
для
виявлення
її
можливостей у розв’язку поставлених задач.
Висновок. В даній роботі одержано наступні результати:
– на основі математичних моделей та засобів, які дозволяють звести
матричну гру до задач лінійного програмування створено комплексну модель
певних класів задач теорії ігор та її формалізація;
– проведено порівняльний аналіз існуючих систем, які потенційно
придатні для застосування в якості базису при програмній реалізації;
– модифіковано існуючи алгоритми і створено програму для
розв’язання певного класу задач теорії ігор;
– обрано модель представлення вхідних даних в програмній реалізації,
надано можливість вводити, змінювати та вилучати інформацію, розроблено
засоби для виводу знайденого розв’язку;
– в ході програмної реалізації мінімізовано обсяг вхідної інформації з
збереженням її якісних характеристик.
45
ЛІтература
1. Бурков В. Н., Новиков Д. А., Щепкин А. В. Механизмы управления
эколого-экономическими системами. М. Физматлит. 2008.
2. Вагнер Г. Основы исследования операций. М.: Мир. 1972. Т.1.-3.
3. Губко М. В., Новиков Д. А. Теория игр в управлении организационными
системами. М.: Синтег. 2002.
4. Мулен Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. М. Мир.
1991.
5. Новиков Д. А., Чхартишвили А. Г. Прикладные модели информационного
управления. М. ИПУ РАН. 2004.
6. Робертс Ф. С. Дискретные математические модели с приложениями к
социальным, биологическим и экологическим задам. М.: Наука. 1986.
7. Florian M., Hearn D. Network equilibrium models and algorithms// Network
Routing. Elsevier Science. 1995. P. 485-550.
8. Mas-Collel A., Whinston M. D., Green J. R. Microeconomic theory. N. Y.:
Oxford Univ. Press. 1995.
9. Myerson R. B. Game theory: analysis of conflict. London: Harvard Univ. Press.
1997.
10. Shubik M. Game theory in the social sciences: concepts and solutions.
Massachusetts: MIT Press. 1982.
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ БЕСПОВТОРНОСТИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ В
ЭЛЕМЕНТАРНОМ БАЗИСЕ
ВОРОНЕНКО А. А.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
E – mail:[email protected]
Рассматривается следующая задача:
задана
бесповторная в базисе
конъюнкция, дизъюнкция, отрицание булева функция (далее бесповторная
функция). Требуется доказать, что она действительно бесповторная,
предъявив наименьшее число наборов. Задача доказательства того, что
46
функция не является бесповторной в элементарном базисе, решена в [1]. Для
доказательства этого факта требуется предъявить четыре или шесть наборов
определенного вида. Бесповторные функции (см., напр. [2]) однозначно
представимы в виде деревьев с внутренними вершинами – чередующимися
конъюнкциями и дизъюнкциями произвольной арности и листьями –
переменными, либо их отрицаниями. Функция называется прямой, если ее
дерево не содержит внутренних вершин, смежных с двумя и более
внутренними. Константная подстановка называется слабой, если все
переменные
остаточной
подфункции
являются
существенными.
Для
переменных бесповторных функций слабая подстановка единственна. Набор
из всех констант слабой подстановки назовем слабым.
Теорема 1. Для доказательства бесповторности непрямой функции в
элементарном базисе необходимо предъявить все наборы.
Доказательство. Заметим, что бесповторная функция, существенно
зависящая от всех переменных, имеет нечетное число единиц, а любая
функция с фиктивной переменной – четное. Поэтому если не предъявлено
значение функции хотя бы на одном наборе и доказано, что она бесповторна,
это означает, что возможны минимум две функции, одна из которых имеет
фиктивную переменную. Будем считать корень дерева расположенным
внизу. Тогда вершины, лежащие над фиксированной внутренней вершиной,
будем называть верхними, а остальные – боковыми. Утверждение теоремы
вытекает из наличия у непрямой функции двух внутренних вершин с
непересекающимися множествами верхних и того факта, что переменные,
соответствующие верхним вершинам, можно фиксировать не менее чем
двумя способами так, что переменные, соответствующие боковым вершинам,
останутся существенными.
Теорема 2. Для доказательства бесповторности прямой функции в
элементарном базисе достаточно предъявить все наборы за исключением
слабого.
Доказательство. Если изменить значение функции на слабом наборе,
47
то получится бесповторная функция, дерево которой получается из дерева
исходной удалением вершины, смежной лишь с листьями (или константа,
если такая вершина единственна).
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ МД757.2011.9.
Литература
1. Вороненко А. А., Федорова В. С., Чистиков Д. В. // Известия высших
учебных заведений. Математика.: Казань. Изд-во КФУ. 11. 2011. С. 72-77.
2. Вороненко А. А. О проверяющих тестах для бесповторных функций //
Математические вопросы кибернетики. Вып. 11. М.: Физматлит. 2002.
С. 163-176.
ЗАДАЧА ЛЕГАЛИЗАЦИИ ИНФОРМАЦИИ
ВОРОНЕНКО А. А.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
E – mail:[email protected]
Предположим следующую ситуацию:
мы нелегально обладаем
некоторой коммерческой информацией и желаем ее частично использовать
на легальной основе. Для этого нам естественно ее приобрести по
минимальной цене.
Перейдем к формальной постановке задачи. Дана размерность n булева
вектора x. Даны m булевых функций f1(xn),…,fm(xn) (запросы) и s булевых
функций
g1(xn),…,gs(xn)
(определяемые
параметры).
Для
простоты
сложностью системы уравнений будем называть количество уравнений
системы.
По заданному вектору (a1,…,an) требуется построить систему fi1(xn)=
fi1(an),…, fir(xn)= fir(an) минимальной сложности такую, что для любого ее
решения (b1,…,bn) и для любого j выполняется равенство gj(an )= gj(bn ).
Рассмотрим четыре типа запросов .
48
1. Полный вектор (x1,…,xn).
2. Сумма арифметическая x1+…+xn .
3. Запрос тождественности. При единственном аргументе возвращает его
значение, иначе равен нулю только при равенстве всех аргументов.
4. Сумма по модулю два x1
…
xn .
Рассмотрим простейший случай, когда запросы могут быть обращены к
произвольным подмножествам аргументов.
Утверждение 1. При помощи одного запроса первого типа, либо двух (в
случае тождественных векторов – одного) второго, а также четырех (для
тождественных векторов – двух) третьего вектор определяется
полностью.
Кроме этого из свойств систем линейных уравнений [1, c.96, c.137] по
модулю два следует
Утверждение 2. Для восстановления n-мерного вектора требуется n
запросов четвертого типа, а для восстановления его тождественности –
n-1.
Таким образом единственной содержательной задачей остается следующая.
По заданным n и k составить систему уравнений по модулю два
минимальной размерности такую, что ей удовлетворяет вектор
с первыми k единицами и остальными n-k нулями и все решения системы
имеют вес k.
49
При k>n/2 рассмотрим систему x1
При меньших k – систему x1
xk+1=1,…,xn-k
xk+1=1,…,xk
xn=1,xn-k+1=1,…,xk=1.
x2k=1,x2k+1=0,…,xn=0.
Теорема. Для легализации вектора веса k размерности n требуется n-k
запросов суммы по модулю два при k≤n/2 и k запросов при k>n/2.
Доказательство. Приведенные выше системы имеют соответствующую
сложность. Теорема вытекает из того, что линейное многообразие булевых
векторов веса k имеет размер не более k.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ МД757.2011.9.
Литература
1. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.
Изд-во Моск. ун-та. 1998.
О РАСШИФРОВКЕ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ СЧЕТЧИКАМИ
ЧЕТНОСТИ
А. А. Вороненко, Д. В. Кафтан
E-mail: [email protected], [email protected]
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
В данной работе рассматривается следующая задача расшифровки.
Черный ящик реализует произвольную монотонную булеву функциюn
переменных. Требуется расшифровать исходную монотонную функцию за
минимальное количество запросов. Запросы организованы с помощью
счетчика четности: запрос обращается к подкубу гиперкуба Bn, ответом
является сумма по модулю два значений функции на этом подкубе.
50
Минимально возможное число запросов равноlogψn, где ψn – число
монотонных функций n переменных.
Определение. Булева функция fx1, …, xn называется монотонной,
если для всяких двух наборов α1, …,αn и β1, …,βn таких, что α1≤β1, … ,
αn≤βnследует
fα1, …, αn≤fβ1, …, βn
Обозначение. Рассмотрим набор α1, …,αn , где αi∈0, 1, xi. Тогда fα1,
…, αn соответствует некоторой подфункции функции fx1, …, xn. Тогда
подкуб, соответствующий данной функции, будем обозначать набором α1,
…,αn, где αi∈0, 1, -.Знак «-» заменяет αi, соответствующие xi. Значение
счетчика четности на данном подкубе будем обозначатьfα1, …, αn.
Функции 3-4 переменных
Случаи функций 1 и 2 переменных тривиальны. Рассмотрим подробно
случай 3 переменных. ψ3=20,
logψ3=5. Рассмотрим цепи Анселя[1],
покрывающие куб B3. Цепи наименьшей длины – это подкубы размерности
один (-01) и 01-. Рассмотрим варианты ответов на запросы к счетчику
четности по данным подкубам:
f-01=1, f01-=1. В силу монотонности функции это означает, что нам
уже
известны
значения
функции
в
точках
на
этих
подкубах.
Неопределенными точками функции остаются точки (100) и (110)1, по
одному запросу на каждую => всего 4 запроса.
f-01=0,
f01-=1.
Запрашиваем точку (010). При любом из ответов
доопределяется значение точки на всем ребре, а также остаются
неопределенными две точки, по одному запросу на каждую => всего 4
запроса.
f-01=1, f01-=0. Вариант эквивалентен предыдущему с точностью до
перестановки переменных.
1
С точностью до перестановки переменных
51
f-01=0, f01-=0. Запрашиваем точку 010. При ответе 0 доопределяются
значения функции на обоих ребрах (все нули) и остаются неопределенными
две точки. При ответе 1 доопределяются значения функции на содержащем 01 квадрате --1. Тогда значения на квадрате --0 определяем запросом к точке
100. При ответе 1 значения на ребре 01- доопределяются (две единицы), и
неопределенной остается одна точка 000. При ответе 0 в силу монотонности
будет f000=0, и неопределенным остается значение функции на ребре, для
которого уже известна сумма по модулю два его значений, поэтому
достаточно обратиться к любой из точек. Получается не более 5 запросов.
Итого в каждом случае использовано не более 5 запросов (включая
первые запросы на цепи наименьшей длины). Следовательно, сложность
минимальна.
Теорема 1.Для функций 4 переменных счетчик четности дает
минимальное число запросов.
Доказательство: ψ4=168,
logψ4=8. Рассмотрим цепи Анселя
наименьшей длины из покрывающих гиперкуб B4. Это две точки (1100) и
(1010)2. При запросе на одну из этих точек оба варианта ответа эквивалентны
в силу симметрии куба. Сделаем запрос к точке (1100) и дальше рассмотрим
запрос по второй точке и возможные варианты ответа:
f1100=1,
f1010=0.В
подкубе(1---)
останутся
неопределенными
значения функции в двух точках: (1001) и (1011). В подкубе (0---)
определены значения на ребре (00-0). Дальше определяем функцию так:
запрос на точку (0110), при ответе 0 остаются неопределенными значения на
квадрате (0--1), который определяется за три запроса. При ответе 1
запрашиваем сумму по ребру (0-01). Если ответ – 1, то остаются
неопределенными значения в двух точках (0011) и (0100), которые мы можем
определить оставшимися двумя запросами. Если ответ – 0, то запрашиваем
2
С точностью до перестановки переменных
52
точку (0001). При ответе 1 неопределенной остается точка (0100), а при
ответе 0 – точка (0011). В каждом случае нам потребовалось не более чем 8
запросов.
f1100=1, f1010=1. В этом случае рассмотрим запрос по ребру (-001):
f-001=1.Запрашиваем точку (1000). В обоих вариантах в подкубе (0---)
остается одна и та же неопределенная область значений (квадраты (0-1-) и
(01--)). Запрашиваем точку (0101). При ответе 0 получаем неопределенные
значения на квадрате, которые определяются за три запроса. При ответе 1
запрашиваем сумму значений по ребру (0-10). При ответе 1 оставшиеся две
точки определяем с помощью оставшихся двух запросов. При ответе 0
запрашиваем любую точку недоопределенного ребра, и в случае ответа 0
запрашиваем (0011), в случае ответа 1 – (0100).
f-001=0.Запрашиваем точку (0001). В случае ответа 0 остается та же
неопределенная область, что и в вариантах выше. В случае ответа 1
запрашиваем точку (1000) и определяем квадрат (0--0) за три запроса.
Случайf1100=0, f1010=1 эквивалентен случаю f1100=1, f1010=0, и
f1100=0, f1010=0 эквивалентен f1100=1, f1010=1 как упоминалось выше,
эквиваленты вышеописанным случаям. Следовательно, в каждом варианте
нам понадобилось не более 8-ми запросов для определения монотонной
функции.Теорема доказана.
Теорема
2.Монотонные
булевы
функции
5
переменных
не
расшифровываются за минимальное число запросов счетчику четности.
Доказательство
3
:Число монотонных функций пяти переменных
ψ5=7581. Покажем, что нельзя расшифровать произвольную монотонную
булеву функцию пяти переменных заlogψ5=13 запросов. Для этого
достаточно показать, что не существует бинарного дерева запросов глубиной
13, листья которого взаимо однозначно соответствуют монотонным
3
Часть численных данных получена при помощи компьютерных программ
53
функциям пяти переменных. Для того, чтобы дерево запросов имело
глубину, соответствующую нижней мощностной оценке на множество
функций, необходимо, чтобы каждое из поддеревьев, начинающееся на
уровне k, содержано не более 2logψn-k листьев, то есть каждый запрос в
дереве делил бы множество функций, соответствующее запросам на пути от
данного запроса к корневому, на два подмножества, каждое из которых
можно расшифровать не более чем logψn-k запросами. В конечном итоге
каждый ориентированный путь приводит к подмножеству монотонных
функций,
для
вышеуказанному
которых
условию.
не
существует
Иллюстрация
запросов,
приводится
удовлетворяющих
ниже.
Теорема
доказана.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ МД757.2011.9.
Литература
1.
Ж.Ансель, О числе монотонных булевых функций n переменных //
Кибернетический сборник, издательство «Мир», Москва, 1968, вып.5, с.5357
54
ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ СИГНАТУРНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ
ВРЕДОНОСНОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ В
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ И СЕТЯХ
Д.А. Даниленко
Кировоградский национальный технический университет
Результаты проведенного анализа показывают, что наибольшую угрозу
безопасности современных компьютерных систем и сетей представляет
вредоносное программное обеспечение. С его помощью злоумышленники
могут получить несанкционированный доступ к вычислительным ресурсам
компьютерных систем и сетей, нанести значительный ущерб посредством
противоправного
копирования,
искажения,
удаления
или
подмены
информации.
Целью данной работы является анализ основных методов сигнатурного
обнаружения
компьютерных
действий
системах
вредоносного
и
сетях,
программного
исследование
обеспечения
особенностей
в
их
функционирования и использования.
Методы сигнатурного обнаружения. Обнаружение, основанное на
сигнатурах, лежит в основе работы большинства антивирусных программ и
систем обнаружения вторжений, при котором программа, просматривая файл
или пакет, обращается к словарю с известными вирусами, составленному
авторами программы.
В случае соответствия какого-либо участка кода просматриваемой
программы известному коду (сигнатуре) вируса в словаре, программаантивирус может инициировать выполнение одного из следующих действий:
– удаление инфицированного файла;
– отправка файла в «карантин» (то есть сделать его недоступным для
выполнения, с целью недопущения дальнейшего распространения вируса);
– восстановление файла, посредством удаления вируса из тела файла.
55
Антивирусные программы, созданные на основе метода соответствия
определению вирусов в словаре, обычно просматривают файлы тогда, когда
компьютерная система создаёт, открывает, закрывает или посылает файлы по
электронной почте. Таким образом, вирусы можно обнаружить сразу же
после занесения их в компьютер и до того, как они смогут причинить какойлибо вред.
Хотя
антивирусные
программы,
созданные
на
основе
поиска
соответствия определению вируса в словаре, при обычных обстоятельствах,
могут
достаточно
эффективно
препятствовать
вспышкам
заражения
компьютеров, авторы вирусов стараются держаться на полшага впереди
таких
программ-антивирусов,
создавая
«олигоморфические»,
«полиморфические» и, самые новые, «метаморфические» вирусы, в которых
некоторые
части
участки
кода
перезаписываются,
модифицируются,
шифруются или искажаются так, чтобы невозможно было обнаружить
совпадение с определением в словаре вирусов.
Сигнатуры антивирусов создаются в результате кропотливого анализа
нескольких копий файла, принадлежащего одному вирусу. Сигнатура должна
содержать только уникальные строки из этого файла, настолько характерные,
чтобы гарантировать минимальную возможность ложного срабатывания –
главный приоритет любой антивирусной компании. Разработка сигнатур –
ручной процесс, тяжело поддающийся автоматизации. Несмотря на массу
исследований,
посвящённых
автоматической
генерации
сигнатур,
нарастающий полиморфизм (и «метаморфизм») вирусов и атак делают
синтаксические сигнатуры бессмысленными.
Таким образом, можно выделить следующие недостатки и достоинства
синтаксических сигнатур: позволяют определять конкретную атаку с
высокой точностью и малой долей ложных вызовов; неспособны выявить
какие-либо новые атаки; беззащитны перед полиморфными вирусами и
изменёнными версиями того же вируса; требуют регулярного и крайне
оперативного обновления; требуют кропотливого ручного анализа вирусов.
56
ОПИС ЛІНІЙНИХ ПРОСТОРІВ ЗА ДОПОМОГОЮ
КОМБІНАТОРНИХ КОНФІГУРАЦІЙ
Давидов І.В. [email protected]
Київський національний університет будівництва і архітектури
Я хочу розповісти про сенс біноміальних коефіцієнтів з погляду
просторової геометрії. Але перед тим, як продовжити розвивати цю ідею,
давайте
ближче
познайомимося
з
трикутником
Паскаля,
його
властивостями та історією. Перша згадка про трикутну послідовність
біноміальних
коефіцієнтів
зустрічається
у
коментарях
індійського
математика Х сторіччя Халаюдхи до трудів іншого математика, Пінгали.
Трикутник досліджувався також Омаром Хайямом близько 1100 року,
тому в Ірані цю схему називають також трикутником Хайяма. У 1303 році
було випущено книгу «Яшмове дзеркало чотирьох елементів» китайського
математика Чжу Шицзе, в якій був зображений трикутник Паскаля.
Вважається, що винайшов його інший китайський математик Ян Хуей
(тому китайці називають його трикутником Яна Хуея). Трикутник був
також зображений на титульній сторінці підручника з арифметики,
написаного 1529 року Петром Апіаном. А вже у 1653 році вийшла книга
Блеза Паскаля «Трактат про арифметичний трикутник».
На сьогоднішній день відомо багато властивостей трикутника
Паскаля. Звернемо увагу на такі з них:[1],[2]
1.
,
n=0÷ ,
де n - номер горизонтального рядка трикутника Паскаля;
2. Число 11 в степені n (де n – номер рядку, n=0÷ ) дорівнює числу,
яке складається з цифр n-го ряду трикутника Паскаля (наприклад, для n=3
маємо: 113=1331, а третій рядок трикутника Паскаля має вигляд: 1 3 3 1);
57
3. У трикутнику Паскаля можна знайти послідовність Фібоначі;
4. Якщо у трикутнику Паскаля всі непарні числа зафарбувати чорним
кольором, а парні – білим, вийде трикутник Серпінського.
І цих властивостей набагато більше. Розглядаючи трикутник Паскаля
у контексті його здатності описувати певні просторові елементи, ми
можемо знайти також нові, до сьогодні не відкриті формули, що приховані
в ньому.
Протягом багатьох минулих сторіч, кожного хто наважувався
говорити про існування четвертого виміру фізичного простору, чекала
страшна наукова інквізиція. Так, багато талановитих людей опинилися
через це на задвірках науки, дехто ж, з більш практичних, просто
вирішував не розкривати свої дослідження. Як у першому так і у другому
випадках, багато наукових праць, що стосувалися цього розділу «табу»,
просто зникли у вирі часу.
Сьогодні перед вченими світу постало важливе питання, що до
існування четвертого та більших вимірів простору. Так, ми можемо згадати
тут теорію струн та мембран, що оперують існуванням просторів
одинадцяти вимірів. Поширення набула також теорія переходу нашого
всесвіту на новий рівень існування – у гіперпростір. Астрономи дійшли
висновку, що на початку свого існування всесвіт був одномірним, але
поступово розширюючись, досягла рівня двовимірного, а потім і
трьохвимірного, де зараз і знаходиться наша планета. Тому поява
четвертого виміру простору, з огляду на цю теорію, цілком закономірна.
Ідею запропонував Деян Стойкович, вчений, який очолює групу фізиків в
університеті міста Буффало. Зараз, аби довести цю теорію, вчені проводять
експерименти.
Загалом же, ідея існування четвертого і більших порядків вимірів
простору – на сьогоднішній день одне з найбільш суперечливих питань[1].
Але над тим, як тісно просторовість пов’язана з комбінаторикою,
замислювалося дуже мало людей.
58
Хочу зауважити, що в нашому тривимірному просторі ми можемо
уявити чотирьохвимірний простір, як три координатні вісі і четверта
координата – час. Але я хочу розповісти про четвертий вимір фізичного
простору, тобто такий, в якому через точку можна провести чотири базисні
осі.
Перед безпосереднім переходу до обговорення теми, домовимося
називати параметрами розмірності простору або фігури – базові
характеристики цього простору або фігури, такі як початок координат,
кількість координатних осей або площин, ребер або сторін та ін.
Біноміальні коефіцієнти як параметри розмірності простору
Розглянимо одновимірний простір. Його базис, пряма і точка початок координат. Тобто, позначивши кількість початків координат та
кількість осей ми отримаємо наступну послідовність: 1; 1,
Де: перша одиниця – кількість початків координат, а друга –
кількість базисних векторів. Перпендикулярний переріз цього простору –
крапка, яка розбиває його на дві частини.
Двовимірний простір - площина. Початок координат - точка, через
яку проведені дві перпендикулярні між собою осі, що розбивають цей
простір на квадранти. Базисом цього простору є 2 перпендикуляри, на яких
і сформована одна площина. Тобто, послідовність, що описує двовимірний
простір, наступна:
1; 2; 1,
де:
цифра 1 - кількість початків координат; цифра 2 - кількість
координатних осей; цифра 1 - кількість площин.
Тривимірний простір – світ, у якому ми існуємо. Він має наступний
базис: один початок координат, три координатні осі, три координатні
площини і простір, сформований ними. Тепер числова послідовність буде
наступною:
1; 3; 3; 1,
Таким чином, ми маємо трикутну таблицю:
59
1
11
121
1331
Це і є трикутник Паскаля, елементами якого є біноміальні
коефіцієнти. Отже, з допомогою біноміальних коефіцієнтів можна описати
будь які базові характеристики простору. Коефіцієнти, розташовані по
горизонталі
трикутника
Паскаля
описують
параметри
розмірності
простору. Коефіцієнти, що розташовані у висхідних діагоналях, які
проходять через задані горизонтальні коефіцієнти, описують значення
одного і того ж параметра для просторів різних розмірностей. І тоді стає
зрозуміло, що сума коефіцієнтів n-го ряду, яка дорівнює 2n, задає кількість
частин простору розмірності n, на які його ділять простори розмірності (n1). Наприклад, пряма (простір першої розмірності) розділяється навпіл
точкою (простором нульової розмірності). Площина (двовимірний простір)
розділяється
на
квадранти
двома
перпендикулярними
прямими
(просторами першої розмірності). Простір третьої розмірності розділяється
трьома координатними площинами (двовимірними просторами) на октанти
і т. д. Отже, трикутник Паскаля – певна таблиця, у якій зашифрована
інформація про всі параметри простору певної розмірності.
Чотирьохвимірний
простір
буде
описуватися
наступною
послідовністю:1; 4; 6; 4; 1
де, відповідно, цифра 1 – кількість початків координат, цифра 4 – кількість
координатних осей, цифра 6 - кількість перпендикулярних координатних
площин, цифра 4 – кількість перпендикулярних просторів, цифра 1 – новий
гіперпростір.
Отже, ми можемо тепер вивести загальну формулу параметрів
розмірності простору:
Пij =
i,j=0÷
60
де: Пij – базова характеристика простору степені і;
i – розмірність простору (номер рядка трикутника Паскаля);
j – номер параметра простору розмірності і (номер цифри в і-му
рядку);
– елемент трикутника Паскаля, що стоїть на j-му місці в і-му
рядку.
Розглянувши метод опису лінійних просторів за допомогою
трикутника Паскаля, ми можемо переходити до розгляду алгоритму
формування фігури α, яку у двовимірному просторі називають квадрат, а у
тривимірному – куб. Надалі домовимося вважати, що це не різні фігури у
просторах різних розмірностей, а фігура з однаковими властивостями у
просторах різних розмірностей. Цей алгоритм має вигляд: у лінійному
просторі розмірності n з початку координат (який також буде заміняти
першу вершину фігури α) по координатним осям проводять n відрізків
рівної довжини. На кінцях цих відрізків формуються наступні вершини
фігури α, таким чином: в кожній отриманій вершині будують (n-1)
відрізок,
рівний
з
попередніми
за
довжиною
та
напрямком
і
перпендикулярний до щойно проведеного. Операцію повторюють рівно n
разів, допоки фігура не буде завершена, тобто дійде такої точки, в якій
зустрінуться n відрізків. Так як параметри розмірності фігури α залежать
від розмірності простору, в якому вона знаходиться, ми також можемо
задати їх за допомогою коефіцієнтів трикутника Паскаля (рис. 1).
Рисунок 1
61
Отже, формула, що описує будь яку базову характеристику фігури α
в просторі будь-якої розмірності має наступний вигляд:
Qij=
де
*2i-j
i,j=0÷
Qij – базова характеристика фігури α;
i – розмірність простору (номер рядка трикутника Паскаля);
j – номер параметра фігури α (номер цифри у і-му рядку);
– елемент трикутника Паскаля, що стоїть на j-му місці в і-му рядку.
За допомогою цієї формули ми легко можемо підрахувати параметри
розмірності фігури α у просторі будь-якої розмірності, наприклад,
четвертої. В цій фігурі є: 16 вершин; 32 ребра; 24 площини; 8 об’ємів; 1
простір нової розмірності, що прийнято називати гіперпростором.
Автором
знайдено
алгоритм
формування
фігури
β,
яку
у
двовимірному просторі називають трикутник, а в тривимірному – тетраедр
(рис 2),
Рисунок 2
а також загальну формулу для базових характеристик фігури β у просторі
будь-якого виміру:
Tij =
де:
,
i =0÷ ; j=0÷ ,
Tij – базова характеристика фігури β (кількість вершин, ребер і
т. д.);
i – розмірність простору (номер рядка трикутника Паскаля);
62
j – номер параметра фігури β (номер цифри у і-му рядку);
- елемент трикутника Паскаля, що стоїть на (j+1)-му місці в
(і+1)-му рядку.
Отже, ми можемо дізнатися параметри розмірності фігури β у
просторі 4 розмірності: 5 вершин; 10 ребер; 10 площин; 5 об’ємів; 1
простір нової розмірності, що прийнято називати гіперпростором.
Важливо зауважити, що дані формули можуть використовуватися
для пошуку параметрів розмірностей фігур α та β у просторі будь-якої
розмірності.
Тетраедальні структури поширені у природі та інженерії: ця фігура
виступає основою для молекул води, льоду, аміаку, алмазу та багатьох
інших. Через підвищену жорсткість тетраедр використовується у багатьох
інженерних спорудах, а також, через свої специфічні властивості,
у
оптичних приладах. Як бачимо, ця фігура – важливий базовий елемент
нашого всесвіту і знайдені формули дають можливість глибше зрозуміти її
структуру для оптимального використання притаманних їй властивостей.
ЛІТЕРАТУРА
[1] И.М. Гельфанд Е.Г. Глаголева А.А. Кириллов Метод координат. –М.:
Наука, 1968. С. 80
[2] И.И. Ежов, А.В. Скороход, М.И. Ядренко Элементы комбинаторики.
– М.: Наука, 1977. С. 80
[3] Дж. Риордан Введение в комбинаторный аналіз. – М.: Изд-во
иностранной литературы , 1963. С. 288
МЕТОД ДОВГОСТРОКОВОГО ПРОГНОЗУВАННЯ
НАВАНТАЖЕННЯ СЕРВЕРУ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНОЇ МЕРЕЖІ
63
О.М. Дрєєв, Г.М. Дрєєва
Кіровоградський національний технічний університет
Сучасний стан розвитку телекомунікаційних мереж та систем
призводить стрімке зростання кількості переданої інформації. В практичному
обслуговуванні телекомунікаційних серверів спостерігається поступова зміна
навантаження в кількості переданого контенту до більших чи менших
значень.
Своєчасне
передбачення
та
виявлення
тенденцій
зміни
навантаження дозволить заздалегідь змінити апаратне забезпечення серверу
телекомунікаційної мережі з метою заощадження апаратних ресурсів, в разі
зменшення передаваного контенту, або запобігти відмовам у обслуговуванні,
в разу збільшення передаваного контенту.
Типовий графік завантаженості серверу телекомунікаційної мережі
показано на рисунку:
Рисунок. Типове навантаження сервера телекомунікаційної мережі за
обсягом вхідного та вихідного трафіків.
Процес зміни обсягу трафіка телекомунікаційного сервера є процесом
квазіперіодичним та квазістаціонарним. Як показано в роботі [1] такий
сигнал
можна
використавши
з
високою
надійністю
тригонометричний
екстраполювати
поліном
з
некратними
в
майбутнє
складовими
періодами. Процес прогнозування автоматизовано за допомогою створеного
програмного забезпечення EXTRAPOL, на основі отриманого прогнозу
обираються
рекомендації
технічному
64
персоналу
щодо
підсилення
потужностей апаратного забезпечення, або можливості заміни апаратної
частини на менш потужне.
Література
1. Дрєєв О.М., Філер З.Ю. Пошук неортогонального функціонального
базису для апроксимації та екстраполяції стаціонарних та перехідних
випадкових
процесів/О.М.
Дрєєв,
З.Ю.Філер//Математичний
аналіз
і
диференціальні рівняння та їх застосування. Тези доповідей. – Ужгород:
інститут математики НАН України, 2006. – С. 118.
МЕТОД ГІЛОК ТА МЕЖ ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КОМБІНАТОРНОЇ
ЗАДАЧІ ЗНАХОДЖЕННЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПОТОКУ
О. О. Ємець, Є. М. Ємець, Ю. Ф. Олексійчук
[email protected], [email protected]
Полтавський університет економіки і торгівлі
1. Постановка задачі
Розглянемо задачу знаходження максимального потоку з додатковими
комбінаторними обмеженнями. [1]
Нехай дано граф   V ,U  , де V — множина вершин, U — множина
дуг. Дугу, що сполучає вершини vi та v j , позначимо uij .
Означення 1. Транспортною мережею називається орієнтований граф
  V ,U  , в якому кожній з дуг uij привласнене деяке невід’ємне число
bij  0 , яке називають пропускною спроможністю дуги. Принаймні одна із
вершин має лише дуги, що виходять. Така вершина називається джерелом і
позначається v s . Вершина, яка має лише дуги, що входять, називається
стоком і позначається vt .
Означення 2. Потоком називають функцію w : U  R з такими
властивостями для будь-якої дуги uij :
65
1. Значення функції w на дузі uij не може перевищити пропускну
спроможність дуги, тобто w  uij   bij .
2. Збереження балансу у всіх вершинах, крім стоку і джерела, тобто
 wu    wu 
i ,uiz U
iz
zj
j ,u zj U
z, z  s, z  t .
3. Антисиметричність функції w відносно дуги, тобто w  uij    w  u ji  .
Означення 3. Величиною потоку w будемо вважати суму потоків, що
виходять із джерела:
 wu   w .
si
i ,usi U
Потоком по дузі uij будемо називати число w  uij  . Позначимо потік по
дузі uij через yij .
Накладемо додаткові обмеження. Нехай потік по дугах uij U   U
може приймати значення, які не перевищують число xij  gl  G , тобто
w  uij   xij , де G   g1 , g 2 ,..., g  — деяка мультимножина; причому вектор
утворений

із
xij
є
розміщенням
[2]
елементів
із
G,
тобто

x  xi1 j1 , xi2 j2 ,..., xik jk  Ekn  G  .
Задача полягає у знаходженні потоку, величина w якого максимальна,
та відповідних значень xij , yij .
Математичною моделлю розглянутої задачі є задача евклідової
комбінаторної оптимізації на розміщеннях, для розв’язання якої відомі
методи (див., наприклад, [3-4]). Розглянемо інший метод розв’язання задачі.
2. Метод гілок та меж
Відкинемо комбінаторні умови та отримаємо класичну задачу
знаходження
максимального
потоку,
для
розв’язання
якої
відомі
поліноміальні методи [5]; нехай максимальний потік рівний w  . Очевидно,
66
що розв’язок початкової задачі не перевищить
w  . При фіксованих
значеннях xij класичну задачу знаходження максимального потоку можна
отримати, ввівши нові пропускні спроможності bij  min bij , xij  .
Пронумеруємо всі дуги, на які накладені комбінаторні обмеження: u1 ,
u 2 , …, u k . За початкове рекордне значення можна взяти деякий наближений
розв’язок задачі.
Початковим етапом будемо вважати задачу без комбінаторних
обмежень, оцінкою — w  . Галуження будемо проводити наступним чином:
візьмемо u i і покладемо відповідне значення xi почергово рівним усім
допустимим різним значенням з G . Оцінкою буде розв’язок класичної задачі
з пропускними спроможностями bij  min bij , xij  . Якщо оцінка перевищує
рекордне значення, то продовжуємо галуження, інакше — відсікаємо
вершину.
Якщо i  k , то отримаємо допустимий розв’язок вихідної задачі. Якщо
він перевищує рекордне значення, то приймемо його за новий рекорд.
Таким чином змінюючи i  1,..., k та використовуючи пошук в глибину,
знаходиться оптимальний розв’язок вихідної задачі.
Зауваження. На кожному етапі не обов’язково розв’язувати класичну
задачу
знаходження
оптимального
потоку.
Якщо
значення
yij
у
попередньому розв’язку не перевищує накладеного на нього комбінаторного
обмеження xij , то розв’язок задачі не змінюється.
Висновки
В роботі розглянута комбінаторна задача знаходження максимального
потоку та метод гілок та меж для її розв’язання. Актуальним є проведення
67
обчислювальних експериментів та порівняння результатів з іншими
методами.
Література
1. Ємець О. О. Знаходження максимального потоку в мережі з додатковими
комбінаторними обмеженнями / О. О. Ємець, Є. М Ємець, Ю. Ф. Олексійчук
// Таврический вестник информатики и математики. — 2011. — №1. — С. 4350.
2. Стоян Ю. Г. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації./
Ю. Г Стоян, О. О. Ємець / – К.: ІСДО, 1993. –188 с.
3. Емец О. А. Комбинаторная оптимизация на размещениях: Монография. /
О. А. Емец, Т. Н. Барболина — К.: Наукова думка, 2008. — 159 с.
4. Ємець О. О. Прямий метод відсікання для задач комбінаторної оптимізації
на розміщеннях / О. О. Ємець, Є. М. Ємець, Ю. Ф. Олексійчук // Вісник
Запорізького національного університету: Збірник наукових статей. Фізикоматематичні науки. – Запоріжжя: Запорізький національний університет,
2011, №1. – С. 36-43.
5. Ху Т. Ч. Комбинаторные алгоритмы. / Т. Ч. Ху, М. Т. Шинг — Нижний
Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н. И. Ло-бачевского,
2004. — 330 с.
ШВИДКІСТЬ ЗБІЖНОСТІ ІТЕРАЦІЙНОГО МЕТОДУ ДЛЯ ІГРОВИХ
КОМБІНАТОРНИХ ЗАДАЧ ЗІ СТРАТЕГІЯМИ-ПЕРЕСТАВЛЕННЯМИ
У ОБОХ ГРАВЦІВ
Ємець О.О., Ольховська О.В.
[email protected]
Полтавський університет економіки і торгівлі
В доповіді пропонується оцінка швидкості збіжності ітераційного
методу розв’язання комбінаторних оптимізаційних задач ігрового типу з
обмеженнями, що визначені переставленнями на стратегії двох гравців.
68
В [1,2] розглядається задача комбінаторної оптимізації ігрового типу на
множині переставлень та її математичну модель. В ній комбінаторні
обмеження накладаються на стратегії обох гравців. В моделі розглядається
платіжна матриця
 
A  aij  вимірності
m  l , елемент
aij
якої
показує
перевищення (різницю) прибутків другого гравця в порівнянні з першим
гравцем.
На
стратегії
обох
гравців
накладаються
обмеження,
що
визначаються переставленнями, тобто перший гравець має мішану стратегію,
що є переставленнями ймовірностей, які є елементами мультимножини P x , а
другий гравець має мішану стратегію, що є переставленнями ймовірностей,
які є елементами мультимножини P y .
Складемо нову платіжну матрицю A   aij  вимірності k  n , де k  m! ,
Платіж
n  l!
n
aij  
j 1
m
 a x
t 1
tj it
aij
в
даній
матриці
y jt , i  J k  1, 2,..., k , j  J n , де i
нехай
обчислюється
так:
номер відповідного вектора
X i   xi1 , xi 2 ,..., xim  - m -переставлення з елементів мультимножини P x , а j -
номер відповідного вектора Y j  ( y1 , y2 ,..., yl ) - l -переставлення з елементів
мультимножини P y множини El ( P y ) . Таким чином, aij - платіж (перевищення
прибутку) першого гравця другому, якщо перший гравець обирає стратегіюпереставлення X i , а другий - стратегію-переставлення Y j .
В доповіді розв’язування розглянутих задач пропонується здійснювати
ітераційним методом, розробленим по аналогії з методом розв’язування
аналогічної задачі з стратегіями-переставленнями у одного гравця [2],
доведена його збіжність.
Одержана оцінка швидкості збіжності методу. Введемо необхідні
означення. Система
вимірних
векторів
SUM L (0), SUM L (1),... ,
A,
(SUM R , SUM L ) ,
яка складається із послідовностей
SUM R (0), SUM R (1),... ,
та
називається векторною системою
якщо виконуються такі умови:
69
n -вимірних
(SUM R , SUM L )
m-
векторів
для матриці
1) Вектори
SUM R (0)   0,...,0  .
SUM L (0) , SUM R (0)
SUM L (0)   0,...,0  ,
- нульові, тобто
Зауважимо, що тоді
min SUM R (0)  max SUM L (0)  0 .
(1)
2) SUM R ( N  1)  SUM R ( N )  Ai , SUM L ( N  1)  SUM L ( N )  Bj , де i, j задовольняють
співвідношенню
SUM Li ( N )  max SUM L ( N ), SUM R j ( N )  min SUM R ( N ) ,
i m
1 j l
а Ai -рядок матриці A , B j - стовпець матриці A .
Розглянемо оцінку швидкості збіжності запропонованого ітераційного
методу, в якому
min SUM R ( N )
та
max SUM L ( N ) являючись
елементами введеної
векторної системи, є накопиченими сумами платежів першого і другого
гравця відповідно. Як показано в доповіді, це зводиться до визначення як
швидко вираз
max SUM L ( N )  min SUM R ( N )
1i  m
1 j l
N
прямує до нуля при зростанні кількості ітерацій
max SUM L ( N )  min SUM R ( N )
1i  m
1 j l
N

N.
З огляду на те, що
max SUM R ( N )  min SUM L ( N )
1 j  l
1i  m
N
,
то потрібно оцінити дане співвідношення зверху.
Встановлено наступний факт.
Теорема.
Для
векторної
системи
(SUM R , SUM L ) для
матриці
A
справедливе співвідношення:
max SUM L ( N )  min SUM R ( N )
i
j
N
де
a  max aij
i, j
 a 2m! l ! N

1
m! l ! 2
,
.
Доведення даної теореми проводиться по індукції. Тобто з теореми

випливає, що швидкість збіжності алгоритму можна оцінити як O  N

1
m! l ! 2

f  n   O  g  n   означає, що  c  const  0,  n0 , що n  n0 0  f  n  cg  n [3].
70

 ,

де
В доповіді розглянуто ітераційний метод та оцінка швидкості його
збіжності для розв’язування ігрових комбінаторних оптимізаційних задач з
обмеженнями, що визначені переставленнями на стратегії двох гравців.
Література
1. Емец О. А., Устьян Н. Ю. Исследование математических моделей и
методов решения задач на перестановках игрового типа // Кибернетика и
сист. анализ. – 2007. – №6. – С. 103-114.
2. Ємець О. О., Устьян Н. Ю. Розв’язування ігрових задач на переставленнях
// Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2007. – №3. – С. 47-52.
3. Кормен, Т.Х., Лейзерсон Ч.И., Ривест Р.Л., Штайн К. Алгоритмы:
построение и анализ, второе издание : пер. с англ. – 2-е изд. – М.: Вильямс,
2005 . – 1296 с.
ДЕЯКІ ПРЕДФРАКТАЛЬНІ ПЕРЕСТАВНІ КОМБІНАТОРНІ
КОНФІГУРАЦІЇ ДЛЯ ПЕРЕСТАВЛЕНЬ З ПОВТОРЕННЯМИ
Ємець О.О., Тур О.В.
[email protected]
Полтавський університет економіки та торгівлі
Властивості фракталів, як відомо, проявляються в багатьох аспектах
матеріального довкілля. Однак, незважаючи на величезну кількість праць з
комбінаторної оптимізації [1-8] та з математичних аспектів фрактальних
конструкцій [9-13], авторам невідомо роботи, де ставляться та розв’язуються
задачі дослідження комбінаторних конфігурацій, що мають фрактальні
властивості Тому доцільно розробити необхідні поняття для дослідження
комбінаторно-фрактальних властивостей об’єктів [14-16].
71
Розглянемо множину
Ekn  J 
переставлень з повтореннями з


елементів мультимножини J  11 ,22 ,...,nn , серед яких n різних
елементів – перших натуральних чисел. Тобто елементами
S  J    e1 ,...,en  виступають перші n натуральних чисел
основи
1,2,..,n  J n .
Первинна специфікація  J   1 ,...,n  .
Утворимо граф, як робили це для переставлення без повторень [16].
Правило 1-П (побудова графа за переставленням)
1 2
підстановку  i  
 i1 i2
Розглянемо
... k 
 , де i   i1 ,...,ik  Ekn  J  . Підстановці  i
... ik 
поставимо у відповідність граф   i  таким чином: граф має вершини
1,2,..,k — елементи першого рядка підстановки, — та дуги  1,i1  ,.., k ,ik 
— зв’язки, які задають стовпці підстановки.
Розглянемо граф, що має графові властивості не входження дуг в
останні вершини графа і входження дуг з усіх вершин (властивість П):
1) граф має k вершин;
2) з кожної вершини виходить одна і тільки одна дуга;
3) граф має k дуг вигляду
 j;i j   j Jk , які входять обов’язково в
вершини з номерами 1,2,..,n  n  k  , тобто i j  J n .
Зазначимо, що графи, утворюються за правилом 1, мають властивість
П.
Означення. Граф   i  , що утворено за правилом 1-П для k переставлення з повтореннями i   i1 ,...,ik  Ekn  J  назвемо графом k переставлення з повтореннями.
Перебираючи
i  Ekn  J  ,
переставлення
для
кожного
переставлення можна утворити граф переставлення з повтореннями.
72
такого
Означення. Множину всіх графів
  i  i  Ekn  J 
назвемо
множиною графів переставлення з повтореннями (з Ekn  J  ).
Для графа  , що має властивість П, розглянемо побудову відповідного
вектора, що є k -переставленням.
Правило 2-П (побудова за графом  з властивістю П вектора i , що
йому відповідає). Нехай граф  є графом з властивістю П. Для побудови
вектора i використаємо підстановку, яка в першому ряду має елементи
1,2,..,k ,
 j;i j 
а
другий
ряд
підстановки
i1 ,..,ik
будується
за
дугами
 j  J k графа  —  1,i1  ,.., k ,ik  . Тобто отримаємо підстановку
1 2

 i1 i2
.. j
.. i j
.. k 
 , з якої маємо вектор i   i1 ,..,ik  , що відповідає
.. ik 
графу  .
Твердження 1. Вектор i побудований згідно правила 2-П за графом
 з властивістю П є k -переставленням з множини Ekn  J  .
Доведення. Очевидно, що вектор i має k елементів. Ці елементи є
i1 ,..,ik , причому  j i j  n, i j  J n за пунктом 3 властивості П. Отже,
кількість різних чисел серед i1 ,..,ik є рівною n . Тобто вектор i можна


розглядати як i  Ekn  J  , оскільки маємо J  11 ,22 ,...,nn .
Нехай є графи  1 ,  2 мають властивість П, причому  1   2 . Нехай
утворено (за правилом 2-П) i 1 , i 2 — k -переставлення, що цим графам




відповідають: i 1  i11 ,i21 ,...,ik1 ; i 2  i12 ,i22 ,...,ik2 . Покажемо, що i 1  i 2 .
Графи  1 ,  2 мають однакові множини вершин:
1,2,..,k .
Згідно
правилу 2-П вектори рівні i 1  i 2 , коли обидва графи мають однакові
множини дуг
 1,i1  ,.., k ,ik  . Отже, припущення
i 1  i 2 дає  1   2 , як
графи, що мають однакові множини ребер і вершин. Що суперечить умові
73
теореми. Отже, припущення i 1  i 2 , невірне, що доводить i 1  i 2 . Вектор за
твердженням 1, відповідний графу є k -переставленням Таким чином
доведено таке твердження.
Твердження 2. Якщо за різними графами  1 ,  2 з властивістю П
побудовані k -переставлення i 1 , i 2  Ekn  J  відповідно, то ці переставлення
також різні.
З твердження 1, 2 та правил 1,2 випливає справедливість теореми.
Теорема 3. Правило 1-П та 2-П задають ізоморфізм між множиною


Ekn  J  , де J  11 ,22 ,...,nn , та множиною графів переставлень з
повтореннями   i  .
Доведення За правилом 1-П кожному переставленню відповідає свій
граф переставлення. За твердженнями 1,2 кожному графу переставлення
відповідає своє переставлення. Отже, правила 1, 2 визначають ізоморфізм
між Ekn  J  та   i  . Що і треба було довести.
Література
1. Сергиенко И.В. Модели и методы решения на ЭВМ комбинаторных задач
оптимизации / И.В. Сергиенко, М.Ф. Каспшицкая. – К.: Наук. думка, 1981. –
288 с.
2. Гуляницкий Л.Ф. Розробка моделей і наближених методів комбінаторної
оптимізації та їх застосування в інформаційних технологіях: автореф. дис. на
здобуття наук. ступеня д-ра техн. наук: спец. 01.05.02 «Математичне
моделювання та обчислювальні методи» / Л.Ф. Гуляницкий. – К., 2005. – 32
с.
3. Стоян Ю.Г. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації / Ю.Г.
Стоян, О.О. Ємець. – К.: Ін-т системн. досліджень освіти, 1993. – 188 с.
4. Емец О.А. Комбинаторная оптимизация на размещениях / О.А. Емец, Т.Н.
Барболина. – К.: Наук. думка, 2008. – 159 с.
5. Емец О.А. Оптимизация на полиперестановках / О.А. Емец, Н.Г.
74
Романова. – К.: Наук. думка, 2010. – 105 с.
6. Ємець О.О. Розв’язання задач комбінаторної оптимізації на нечітких
множинах: монографія / О.О. Ємець, Ол-ра О. Ємець. – Полтава: ПУЕТ, 2011.
– 239 с.
7. Ємець О.О. Транспортні задачі комбінаторного типу: властивості,
розв’язування, узагальнення: монографія / О.О. Ємець, Т.О. Парфьонова. –
Полтава: ПУЕТ, 2011. – 174 с.
8. Ємець О.О. Моделі евклідової комбінаторної оптимізації: монографія /
О.О. Ємець, О.О. Черненко. – Полтава: ПУЕТ, 2011. – 204 с.
9. Перепелиця
В.А.,
Сергиенко
Н.В.,
Кочкаров
А.М.
К
проблеме
распознавания фрактальних графов / В.А. Перепелиця, Н.В. Сергиенко, А.М.
Кочкаров // Кибернетика и системный анализ. – 1999. – №4. С. 72-89
10.Перепилиця В.О., Познякова А.Ю., Сергеева Л.Н. Роль індуктивного
визначення фрактального графу в оцінці його числивих характеристик / В.О.
Перепилиця, А.Ю. Познякова, Л.Н. Сергеева // Вісник Запоріжського
державного університету, Фізико-математичні науки. – 1999. – №2. – С. 8393.
11.Сергеева Л.Н. Нелинейная економика: модели и методы / Л.Н.Сергеева. –
Запорожье: «Полиграф», 2003. – 218 с.
12.Сергеева Л.Н. Моделирование структуры экономических систем и
процесов / Л.Н.Сергеева. – Запорожье: ЗГУ, 2002. –88 с.
13.Кочкаров А.А. Новые теоретико-графовые подходы в моделировании
сложных систем: дис. … канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / А.А.Кочкаров; АН
Росии. – Москва, 2005. – 118 с.
14.Ємець О.О. Про підхід до врахування фрактальних та комбінаторних
властивостей в моделюванні / О.О. Ємець, О.В. Тур // Інформатика та
системні науки (ІСН - 2011): Матеріали ІІ Всеукраїнської науковоїпрактичної конференції 17-19 березня 2011р. – Полтава: РВВ ПУЕТ, 2011. –
С. 113-114.
75
15.Ємець О.О. Ізоморфізм Бовмана між графами і переставленнями та його
використання для побудови предфрактальних переставних конфігурацій /
О.О. Ємець, О.В. Тур // Комбінаторна оптимізація та нечіткі множини
(КОНеМ-2011): Матеріали Всеукраїнського
наукового семінару 26-27
серпня 2011 р. – Полтава: РВВ ПУЕТ, 2011. – С. 54–57.
16.Ємець О.О. Деякі предфрактальні переставні комбінаторні конфігурації. /
О.О. Ємець, О.В. Тур // Інформатика та системні науки (ІСН - 2012):
Матеріали ІІІ Всеукраїнської наукової-практичної конференції 1-3 березня
2012р. – Полтава: РВВ ПУЕТ, 2012. – С. 98-104.
АЛГОРИТМ МЕТОДУ ГІЛОК ТА МЕЖ ДЛЯ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ
УМОВНОЇ ЗАДАЧІ ОПТИМІЗАЦІЇ ДРОБОВО-ЛІНІЙНОЇ ЦІЛЬОВОЇ
ФУНКЦІЇ НА МНОЖИНІ РОЗМІЩЕНЬ
О. О. Ємець, О. О. Черненко
e-mail: [email protected], [email protected],
Полтавський університет економіки і торгівлі, м. Полтава
Застосування та розвиток методів дискретної оптимізації [1–3] є
доцільним внаслідок певної схожості окремих властивостей допустимих
множин дискретної та евклідової комбінаторної оптимізації. Враховуючи
специфіку комбінаторних обмежень, поширимо метод гілок та меж для
розв’язування задач оптимізації на розміщеннях з дробово-лінійною
цільовою функцією та додатковими лінійними обмеженнями.
Використовуючи термінологію та позначення з [4, 5], розглянемо
задачу вигляду: знайти упорядковану пару f  t * , t * , таку що
m
 c j t j  c0
j 1
,
m
tR m
 d j t j  d0
j 1
f (t* )  max f (t )= max
tR m
за комбінаторної умови
76
t *  arg max f (t ) ,
tR m
(1)
x  (x1,..., xk )  E k (G )  R m ,
k m
n
(2)
та додаткових лінійних обмежень
m
 aij t j  bi , i J p ,
(3)
j 1
де E k  G  – множина всіх k-вибірок з мультимножини G з основою
n
 e1,..., en  , де ei  R1 i  J n , та кратностями елементів kG  ei   i , i  J n
[4].
Здійснимо релаксацію (1)–(3): умову (2) замінимо x  convE k  G  або
n


  J k ,
 g j   xi   g  j 1
i
j 1
j 1
(4)
де g j  G ,  – кількість елементів у множині  [4].
Застосовуючи до задачі (1), (2), (4) відображення  :
y0 
1
z j  t j y0 j  J m , t  R m ,
,
m
 d j t j  d0
(5)
j 1
де y0  0 , перейдемо до лінійної задачі:
F(z* )  max F(z )= max
zRm1


m
*
 c j z j  c0 y0 , z  arg max F(z )
m 1
zRm1 j 1
zR
(6)
за умов
m
 aij z j  bi y0  0 , i J p ,
(7)
j 1


 g j y0   yi   g  j 1 y0
j 1
m
i
 d j z j  d0 y0  1,
j 1
j 1
  J k ,
y0  0, z j  0 j  J m ,
де z  (y0 , z1,..., zk , zk 1,..., zm )  R m1 , y j  z j j  J k .
77
(8)
(9)
Опишемо алгоритм методу гілок та меж (МГМ) для розв’язування
задачі (1)–(3), що грунтується на ідеях Ленд та Дойг [3]. Нехай  – номер
ітерації.
1.
Перейти до релаксованої задачі: умову (2) «послабити»,
замінивши її на (4) та застосувати перетворення (5) до задачі (1), (3), (4).
2.
Розв’язати лінійну задачу (6)–(9).
3.
Якщо (6)–(9) не має розв’язку, то не має розв’язку (1)–(3), інакше
нехай t  z  y0 
4.
1
– екстремаль задачі (1), (3), (4).
Якщо x  E k (G ) , де x j  t j j  J k , то F ( x* ), x* – розв’язок
n
задачі (1)–(3), інакше перейти на крок 5.
5.
Визначити індекс  компоненти t  точки t , такий що t  G ,
 
 
або kt t   kG t  .
6.
Записати два обмеження, що в області (2), (3) відтинають t :
t   e1i ,
(10)
t   ei2 ,
(11)


де e1i  max ei ei  S  G  , ei  t  , t1, t2 ,..., t  1, ei  E  (G )  ,
n






ei2  min ei ei  S  G  , ei  t  , t1, t2 ,..., t  1, ei  E  (G )  .
n



7.

Застосувати до (10), (11) перетворення (5):
z   e1i y0 ,
(12)
z   ei2 y0 .
(13)
8.
Приєднати до останньої задачі вигляду (6)–(9) обмеження (12) та
розв’язати задачу (6)–(9), (12). Якщо задача (6)–(9), (12) не має розв’язку,
перейти на крок 9, інакше F ( z1), z1 – розв’язок задачі (6)–(9), (12).
78
9.
Приєднати до останньої задачі вигляду (6)–(9) обмеження (13) та
розв’язати задачу (6)–(9), (13). Якщо задача (6)–(9), (13) не має розв’язку,
перейти на крок 10, інакше F ( z2 ), z2 – розв’язок задачі (6)–(9), (13).
10.
Якщо жодна із задач вигляду (6)–(9), (12) та (6)–(9), (13)
розв’язку не має, то задача (1)–(3) теж розв’язку не має у випадку   1 . Для
  1 вибрати для подальшого галуження іншу область з точкою, знайденою
на кроці 12   1 -ї ітерації, і перейти на крок 4.
11.
Якщо одна із задач вигляду (6)–(9), (12) чи (6)–(9), (13) розв’язку
 
не має, то перейти на крок 4, вважаючи x  z i y0
1
, де i – номер точки, що
надає функції цілі найбільшого значення в області допустимих розв’язків.
12.
Якщо обидві задачі вигляду (6)–(9), (13) та (6)–(9), (14) мають
розв’язок, то для подальшого галуження вибрати ту, яка надає цільовій
 
функції більшого значення, і перейти на крок 4, вважаючи x  z i y0
1
, де i
– номер точки z i , що надає цільовій функції більшого з двох значень
 
F z j , j  1, 2 . У випадку, коли значення цільових функцій збігаються,
перейти на крок 4 і проаналізувати розв’язок кожної із задач.
Враховуючи способи оцінювання, галуження та правила відсікання,
сформульовано та доведено, що алгоритм МГМ, застосовний до задачі (1)–
(3), знаходить її оптимальний розв’язок.
Література
1.
Сергиенко И. В. Модели и методы решения на ЭВМ комбинаторных
задач оптимизации / И.В. Сергиенко, М.Ф. Каспшицкая. − К.: Наукова думка,
1981. − 288 с.
2.
Корбут А. А. Дискретное программирование / А. А. Корбут,
Ю.Ю. Финкельштейн. − М.: Наука, 1969. − 368 с.
79
3.
Land A.H. An autmatic method of solving discrete programming problems /
Land A.H., Doig A.G. // Econometrica. – 1960. – v. 28. – Р. 497–520.
4.
Cтоян Ю. Г. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації /
Ю.Г. Cтоян, О. О. Ємець. − К.: Інститут систем. дослід. освіти, 1993. – 188 с.
5.
Емец О. А. Оптимизация дробно-линейных функций на размещениях:
монография / О. А. Емец, О. А. Черненко. – К.: Наук. думка, 2011. – 139 с.
6.
Ємець О. О. Моделі евклідової комбінаторної оптимізації: монографія /
О. О. Ємець, О. О. Черненко. – Полтава: ПУЕТ, 2011. – 204 с.
КОМБІНАТОРНА МОДЕЛЬ ЗАДАЧІ ОПТИМІЗАЦІЇ
РЕНТАБЕЛЬНОСТІ ВИРОБНИЦТВА ПРИ НАЙМЕНШІЙ
ЕКОЛОГІЧНІЙ ШКОДІ
Ємець О.О., Черненко О.О., Скачков О.О.,
e-mail: [email protected], [email protected],
Полтавський університет економіки і торгівлі, м. Полтава
Для моделювання та розв’язування різних типів прикладних задач
досить часто використовується апарат комбінаторної оптимізації [1–3].
Особливу увагу привертають задачі з дробово-лінійною цільовою функцією,
зокрема,
задачі
про
максимізацію
відносних
показників
якості
–
рентабельності, продуктивності, трудомісткості (див., наприклад, [2], [3]).
Розглянемо математичну постановку задачі. На підприємстві є 
конвеєрів, які можуть виробляти один з k видів продукції. Кожен з конвеєрів
має певну продуктивність gi , i  J  – кількість виробленої продукції за
проміжок часу (незалежно від виду). Прибуток від реалізації одиниці i  ої
продукції дорівнює ai , витрати – bi , при цьому на одиницю виготовлення
i  ої продукції використовується сировина, яка включає в себе m видів
ресурсів. Також відомо, що для виробництва одиниці i  ої продукції
використовується j  й вид ресурсу в кількості dij , j  1, m .
80
При виробництві одиниці i  ої продукції повітря забруднюється
шкідливими речовинами об’ємом ci . Викиди, що не залежать від кількості
виробленої продукції, дорівнюють c0 .
Визначити кількість кожного виду продукції, яку доцільно виробляти
для максимізації прибутку та мінімізації викидів в атмосферу.
Використовуючи термінологію з [1], позначимо G   g1, g 2 ,..., g –
мультимножину, елементами якої є продуктивності конвеєрів. Усі можливі
k -вибірки з мультимножини G утворюють загальну множину розміщень
Ekn , де n – число різних серед елементів G . Позначимо xi – кількість
виробленої i  ої продукції.
Тоді математична модель задачі така: знайти упорядковану пару
C ( x* ), x* таку, що
k
 (ai  bi ) xi
C ( x )  maxk i 1k
*
xR
k
 (ai  bi ) xi
, x  arg maxk i 1k
*
xR
 ci xi  c0
i 1
 ci xi  c0
,
(1)
i 1
за комбінаторної умови
x   x1,..., xk   Ekn  G   R k
(2)
та за лінійних обмежень
 на необхідну кількість продукції
Ai min  xi  Ai max i  J k ,
(3)
де Ai min та Ai max – мінімально та максимально необхідна кількість i  ої
продукції;
 на викиди
k
 ci xi  Cmax ,
(4)
i 1
де Cmax – максимально допустимий об'єм викидів шкідливих речовин в
повітря;
81

на доступну кількість сировини
k
 dij xi  D j
j  1, m ,
(5)
i 1
де D j – доступна кількість j  го виду ресурсу.
Урахування обмежень комбінаторного характеру (2), зокрема, властивості
бути розміщенням з деякої множини, дозволяє адекватно відобразити
реальний зміст розглянутої задачі. Враховуючи специфіку комбінаторних
обмежень, для розв’язування моделі (1)–(5) доцільно поширити метод гілок
та меж для розв’язування задач оптимізації на розміщеннях з дробоволінійною цільовою функцією та додатковими лінійними обмеженнями.
Література
1.
Cтоян Ю. Г. Теорія і методи евклідової комбінаторної оптимізації /
Ю.Г. Cтоян, О. О. Ємець. − К.: Інститут систем. дослід. освіти, 1993. – 188 с.
2. Емец О. А. Оптимизация дробно-линейных функций на размещениях:
монография / О. А. Емец, О. А. Черненко. – К.: Наук. думка, 2011. – 139 с.
3.
Ємець О. О. Моделі евклідової комбінаторної оптимізації: монографія
/ О. О. Ємець, О. О. Черненко. – Полтава: ПУЕТ, 2011. – 204 с.
МЕТОДЫ ИНТЕРПОЛЯЦИИ ЗАКОНОВ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ
АВТОМАТОВ И МОДИФИКАЦИИ МЕТОДОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
Епифанов А.C., [email protected]
Институт проблем точной механики и управления РАН,
Саратовский государственный университет им.Н.Г.Чернышевского
Введение. В основополагающих работах, содержащих развитие теории
автоматов (см., например, [1-4]) , не рассматривается задача доопределения
автоматов на основе единого подхода. Существуют задачи, при решении
которых используемые методы предполагают полностью заданные законы
функционирования
автоматов,
а
в
82
исходных
данных
эти
законы
представлены частично. Фундаментальные математические результаты по
доопределению частично заданных графиков представлены классическими
методами интерполяции Ньютона, Лагранжа, Гаусса, Бесселя, Стирлинга и
др. Неприменимость этих методов для частично заданных автоматов связана
с символьной формой задания автоматов таблицами, матрицами, графами,
системами логических уравнений и т.п. Задание числовыми структурами
законов функционирования автоматов на основе представления автоматных
отображений числовыми графиками [6] позволяет использовать классические
методы интерполяции в теории автоматов. В данной статье рассматривается
интерполяция законов функционирования автоматов на основе применения
разработанных методов к классам автоматов и их подклассам, образованных
сочетаниями свойств Поста для комбинационных частей автоматов.
В работе исследуется доопределение частично заданных законов
функционирования автоматов из классов (n, m, l) – автоматов, где n – число
состояний автомата, m и l - числа входных и выходных сигналов автомата
для классов (4,2,2)-автоматов, (8,2,2)-автоматов и классов автоматов, законы
функционирования
которых
представлены
частично
заданными
последовательностями вторых координат точек геометрических образов
(см.[8]). Выбор для исследования классов (4,2,2)-автоматов, (8,2,2)-автоматов
определяется тем, что они являются автоматными моделями в исходном
базисе технических элементов для синтеза систем. Синтез систем из базовых
элементов позволяет строить такие системы, законы функционирования
которых,
во-первых,
существенно
более
сложные,
чем
законы
функционирования отдельных элементов, а, во-вторых, определены с
меньшей полнотой. Для того, чтобы учесть эту ситуацию исследовано
доопределение законов функционирования автоматов по частично заданным
последовательностям вторых координат точек геометрических образов
автоматов без учета ограничения на число состояний автоматов (см.[7]).
Выбор и применение метода интерполяции по смыслу соответствуют
принятию и реализации гипотезы о том, что метод интерполяции,
83
применяемый к числовому графику, представляющему частично заданный
геометрический
образ,
достаточно
точно
восстанавливает
точки
геометрического образа, т.е. достаточно точно доопределяет частично
заданные
законы
функционирования
автомата.
Следовательно,
обоснованность результатов, полученных с использованием выбранного
метода интерполяции, сведена к обоснованию правильности гипотезы.
Метод анализа эффективности применения классических методов
интерполяции
для
доопределения
законов
функционирования
автоматов. В данной работе исследованы и разработаны методы выбора
гипотезы (выбора конкретного метода интерполяции) для конкретных
классов автоматов (класс (4,2,2)-автоматов, класс (8,2,2)-автоматов) на
примере выбора более точного метода интерполяции из двух методов
интерполяции: Ньютона и Лагранжа.
Эти методы включают следующие этапы:
1 Этап. Определяется и конкретно строится класс автоматов
U , в
котором частично заданные автоматы методом интерполяции их частичных
геометрических образов доопределяются до полных геометрических образов.
Выбирается для исследования набор методов интерполяции (в данной работе
набор состоит из методов Ньютона и Лагранжа).
2 Этап. Для интерполяции определяются базовые точки интерполяции
(в работе для исследования рассматриваются 2 варианта выбора базовых
точек интерполяции: использование в качестве базовых точек интерполяции
вершин геометрических образов автономных подавтоматов и использование
в качестве базовых точек интерполяции тех вершин геометрических образов
законов функционирования автоматов, которые расположены на прямых,
параллельных оси абсцисс).
3 Этап. Выбирается длина d геометрического образа, по частичному
заданию
которого
интерполируется
функционирования автомата.
84
геометрический
образ
законов
4 Этап. К выбранным на этапе 2 базовым точкам интерполяции
применяются методы интерполяции Ньютона и Лагранжа.
5 Этап. Результаты
интерполяции
представляются
следующими
числовыми показателями:
- для каждого инициального автомата и каждого метода интерполяции
определяется число правильно восстановленных вершин геометрического
образа законов функционирования автомата;
- для
рассматриваемого
класса
автоматов
и
заданной
длины
геометрических образов законов функционирования автоматов вычисляются
величины
- число автоматов в рассматриваемом классе, для которых
n dN
методом Ньютона правильно восстановлено больше точек, чем методом
Лагранжа, n dL - число автоматов в рассматриваемом классе, для которых
методом Лагранжа правильно восстановлено больше точек, чем методом
Ньютона и
n dNL - число автоматов в рассматриваемом классе, для которых
методы Ньютона и Лагранжа имеют одинаковую эффективность.
6 Этап. Выбирается
функция для оценки эффективности методов
интерполяции, т.е. для определения в исследуемом наборе методов
интерполяции наиболее эффективного метода. В данной работе используется
функция
F(n dN , n dL , n dNL )  1 -
min(n dN , n dL )  n dNL
max(n dN , n dL )  n dNL
,
по
значениям
которой
сравнивается по эффективности методы интерполяции Ньютона и Лагранжа.
Краткие выводы. Предложены и разработаны методы интерполяции
для
частично
заданных
законов
функционирования
автоматов,
представленных геометрическими образами и использующие: базовые точки
интерполяции,
вторые
координаты
которых
получены
сечениями
геометрических образов прямыми линиями, параллельными оси абсцисс;
базовые точки интерполяции, выделенные первыми элементами некоторых
вершин геометрических образов. Получены оценки для сравнения по
точности интерполяции методами Ньютона, Лагранжа и др. для частично
заданных законов функционирования автоматов, последовательности вторых
85
координат вершин геометрических образов которых определены числовыми
последовательностями из массива [8]. Получены оценки для автоматов с
частично заданными геометрическими образами, представляющими класс
(4,2,2)-автоматов и его подклассы и класс линейных (8,2,2)-автоматов.
Литература
1. Глушков В.М. Синтез цифровых автоматов. М.: Физматгиз. 1962.476с.
2. Глушков В.М. Абстрактная теория автоматов // Успехи мат. наук.- 1961,
16. Вып.5 (101). С.3-62.
3.Брауер В. Введение в теорию конечных автоматов. М.:Радио и связь, 1987.
4. Гилл А. Введение в теорию конечных автоматов. М.:Наука.1966.272c.
5.Твердохлебов
В.А.
Методы
интерполяции
в
техническом
диагностировании./ Ж-л "Проблемы управления". М. №2 2007. c.28-34.
6.ТвердохлебовВ.А. Геометрические образы законов функционирования
автоматов. - Саратов: Изд-во "Научная книга" , 2008. 183с.
7. Епифанов А.С. Методы доопределения и оценки сложности законов
функционирования дискретных динамических систем. // Ж-л «Проблемы
управления». М. №2 2011. С.23-30.
8. www.oeis.org
ПРАВИЛЬНО-НЕПРАВИЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ
Извалов А.В.
Кировоградская лётная академия НАУ
Одна из классических тем занимательной математики - действия,
выполненные неправильно, но приводящие к верным результатам. В своих
публикациях её затрагивали М. Гарднер. Г. Дьюдени, Я.И. Перельман.
Известны три классических примера подобных действий: сокращение дробей
вычёркиванием одинаковых цифр в числителе и знаменателе, вынос целой
86
части смешанного числа из-под корня и вычитание дробей без приведения их
к общему знаменателю. [1]
Примеры:
16 16 1 19 19 1




64 6 4 4 95 9 5 5
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
8
8
5 9 59 4 2
 


3 9 39 6 3
В ходе обсуждения данной темы в блоге о занимательной математике
[2], нами найдены другие интересные равенства, относящиеся к правильнонеправильным действиям.
Вынос из-под корня:
С использованием умножения:
3375  3 375 ; 91125  9 1125 (больше подобных чисел в десятичной
системе нет)
Сложения:
49  4  9 ;
64  6  4 ;
81  8  1 ;
100  10  0
Вычитания:
121  12  1 ;
144  14  4 ;
169  16  9 ;
Ненулевые числа, удовлетворявшие бы равенству
ab  a  b,
отсутствуют.
Читателем блога обнаружен метод генерации дробей, числитель и
знаменатель которых - трёхзначные числа, и которые сокращаются
вычёркиванием одинаковых цифр.
Пример:
154 15 4 14 561 56 1 51




253 25 3 23 363 36 3 33
Для этого берём два двузначных числа с одинаковой суммой цифр, не
превосходящей 9. Например, 17 и 53. Для каждого из них умножение на 11
87
равносильно вписыванию в середину суммы цифр. Т.е. будут получены
числа 187 и 583, формирующие дробь
187 18 7 17

 .
583 58 3 53
Однако данный метод позволяет получить лишь некоторые из
подобных дробей. К примеру, не дробь
532 53 2 52
(Анализ подобных


931 93 1 91
дробей проводился в [3])
В целом упражнения с правильно-неправильными действиями и поиск
соответствующих примеров представляет собой задачу, как представляющую
интерес для любителей математики, так и доступную для учащихся и которая
может быть использована в факультативных курсах и как тема для школьных
проектов.
Литература
[1] А.Ярский О пользе математики для ковбоев. Журнал «Квант» №2 1988
[2] http://desyatbukv.blogspot.com/
[3] Boas, R. P. "Anomalous Cancellation." Ch. 6 in Mathematical Plums (Ed. R.
Honsberger). Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 113-129, 1979.
АНАЛИЗ СЛОЖНОСТИ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
ОТ ТРЁХ И ЧЕТЫРЁХ ПЕРЕМЕННЫХ
Кисляков И. А., [email protected]
Саратовский Государственный Университет
Технические системы и устройства, которые допускают автоматные
модели, представимы декомпозицией на комбинационную часть и память.
Математическими моделями комбинационных схем являются функции
алгебры логики. Сложность комбинационных схем непосредственно связана
со сложностью функций алгебры логики. Введённые Э. Постом свойства
функций алгебры логики (5 замечательных классов) формально определяют
88
32 класса функций алгебры логики – 15 непустых и 17 пустых. Было
проведено исследование подклассов 15 непустых классов, содержащих
функции от трёх и четырёх переменных.
Исследовалось
свойство
сложности
подклассов
по
следующим
показателям:
1)
Сложность по нулевому и первому уровню
и
спектра
,
разработанного Твердохлебовым В.А. [1].
2)
Сложность бесповторных, 2-повторных и n-повторных функций
алгебры логики.
3)
По наибольшему и наименьшему числу конституент.
4)
По числу склеиваемых конституент в методе минимизации
функций алгебры логики Квайна–Мак-Класки.
Для формулировки полученных результатов введём следующие
понятия, обозначения и преобразования.
Табличное
задание
функций
алгебры
логики
преобразуем
в
последовательность. Для этого область определения функций алгебры логики
плотно упакуем в последовательность по методу, изложенному в работе
Липпела и Эпштейна [2]. В результате область определения оказывается
представленной последовательностью длины 10 (для функций от трёх
переменных) и длины 19 (для функций от четырёх переменных).
В соответствии с полученными плотными упаковками областей
определения,
значений
для
каждой
функции.
функции
Оценивается
определяется
сложность
последовательность
последовательностей,
определяющих функции алгебры логики, и результат распространяется на
функции.
Первые два уровня
и
, разработанного Твердохлебовым В.А.
пятиуровневого спектра, определяются следующим образом.
89
Рекуррентной
формой
,
последовательности
через
называется
выражающая
форма
каждый
вида
член
предыдущих членов.
По определению
, где
– наименьший порядок
рекуррентной формы, определяющей всю последовательность . На уровне
расположено
до
размеры
чисел
, определяющих для порядков от 1
наибольших
определяемых
начальных
отрезков
последовательности .
Функция алгебры логики полагается n–повторной, если в её
минимальную формулу каждая переменная входит не более n раз, а одна или
несколько переменных входят точно n раз.
Полученные результаты:
1)
Для каждого из 15 непустых классов, сопоставим пару чисел
, характеризующих наибольшую и наименьшую сложность
входящих в данный класс функций по уровню
переменных:
(6;1),
. Для функций от трёх
(7;2),
(4;3),
(1;1),
(7;2),
(4;3),
(1;1),
(6;2),
(6;1),
(4;1),
(4;3),
(3;1),
(4;4),
(4;4),
(3;3). Для функций от четырёх переменных:
(15;1),
(14;1),
(5;4),
(1;1),
(15;1),
(5;4),
(1;1),
(13;2),
(14;1),
(12;3),
(7;4),
(12;3),
(8;4),
2)
(7;4),
(4;4).
Для каждого из 15 непустых классов получено разбиение на
подклассы бесповторных
, 2–повторных
и n–повторных функций
. Сопоставим каждому такому классу тройку чисел
,
определяющих мощности этих подклассов соответственно. Для функций от
трёх переменных:
(17;24;15),
90
(18;22;20),
(0;3;0),
(1;0;0),
(6;21;15),
(12;34;14),
(11;3;0),
(0;1;0),
(0;3;0),
(0;4;0),
(3;0;1),
(98;1409;13853),
(0;6;1),
(1;0;0),
(1;0;0),
(57;1403;13778),
(4;0;4),
(0;3;0),
(3;0;0). Для функций от четырёх
(0;0;1),
переменных:
(1;0;0),
(144;1219;15013),
(62;1406;14908),
(0;6;1),
(43;61;18),
(15;100;861),
(18;122;876),
(3;22;15),
(0;0;4),
(4;0;0).
Для каждого из 15 непустых классов, каждому подклассу
3)
бесповторных, 2-повторных и n-повторных функций, сопоставим пару чисел
,
определяющих
наибольшую и наименьшую сложность входящих в этот подкласс функций.
Для функций от трёх переменных:
(6;2), (5;2)),
((-;-), (4;3), (-;-)),
((7;2), (6;2), (5;2)),
;-)),
(14;1)),
(8;5), (8;4)),
((14;1), (13;3), (13;2)),
((-;-), (4;4), (-
((15;2), (14;3),
((1;1), (-;-), (-;-)),
((-;-), (5;4), (5;5)),
((12;3), (13;3), (13;2)),
((-;-), (4;1), (-;-
((3;3), (-;-), (-;-)). Для функций от
((-;-), (5;4), (5;5)),
(14;3), (14;1)),
(12;3)),
((-;-), (3;1), (-;-)),
((-;-), (-;-), (4;4)),
четырёх переменных:
((1;1), (-;-), (-;-)),
((6;1), (4;3), (-;-)),
((3;3), (-;-),(4;4)),
((7;2),
((1;1), (-;-), (-;-)),
((-;-), (4;3), (-;-)),
((4;3), (6;2), (5;2)),
)),
((6;1), (5;2), (5;2)),
((1;1), (-;-), (-;-)),
((14;1), (12;4), (9;4)),
((4;4), (-;-),(7;4)),
((8;4), (9;3), (12;3)),
((-;-), (-;-), (7;4)),
((4;4), (-;-), (-;-)).
91
((15;2),
((6;4), (10;3),
((8;5),
4)
Для каждого из 15 непустых классов сопоставим пару чисел,
определяющих наибольшее и наименьшее количество конституент для
функций данного класса. Для функций от трёх переменных:
(7;2),
(4;4),
(8;8),
(6;1),
(4;4),
(0;0),
(6;2),
(7;1),
(4;4),
(4;4),
(4;4),
(4;4),
четырёх переменных:
(16;16),
(7;1),
(15;1),
(14;1),
(7;1),
(11;5),
(8;8),
(8;8).
(4;4). Для функций от
(4;4),
(8;8),
(15;1),
(15;2),
(8;8),
(0;0),
(14;2),
(11;5),
(11;5),
Краткие выводы:
Проведённые, с использованием вычислительных экспериментов,
исследования фундаментальных классов функций алгебры логики позволили
получить числовые показатели сложности функций, которые можно
использовать для упрощения комбинационных схем.
Ссылки:
1)
Твердохлебов
В.А.
–
«Геометрические
образы
законов
функционирования автоматов».
2)
B. Lippel, J.Epstein – «A Method for Obtaining Complete Digital Coding
Chains»
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РЕЗУЛЬТАТОВ РЕНЕ ЛАГРАНЖА
Коганов Л. М.
Российская академия наук
Научный центр нелинейной волновой механики и технологии
Памяти безвременно ушедших
Был арестован
и
погиб
в заключении
специалист в области комбинаторики С.Е. Аршон,
92
работавший в математическом институте АН
СССР…При аресте погибла подготовленная ним
книга…
Н.Я. Виленкин 4
Ключевые слова: перестановки с ограничениями на позиции, шахматные доски по Риордану – Каплански,
стандартная последовательность Фибоначчи.
Настоящая работа носит обзорный и дискуссионный характер. Требуется собрать воедино и
проанализировать по возможности все доступные источники, посвящённые вполне очерченному кругу задач
перечислительной комбинаторики.
Постановка задачи.
1. Задача (точнее, цикл задач), рассмотренная и разрешённая в [1],
заключается в нахождении последовательности, а именно, перечисляющей
последовательности чисел перестановок a1  ai  a n - бесповторных слов
длины n в алфавите 1,, n, в которых каждый элемент указанного
начального отрезка натурального ряда фигурирует в качестве буквы в
точности по одному разу, обладающих свойствами:
либо
a) ai  i  0,1; i  1,2,, n ,
где a i - буква на i –м месте перестановки,
либо
b) ai  i  0,1mod n; i  1,2,, n .
Вопрос a) был первоначально разрешён в [1], затем в [2; разд. 3.2], [3;
задачи 4.32 – 4.35 и 4.22] и [4; гл. IV].
Вопрос b) после численного рассмотрения в [1] для малых значений
перечисляющего параметра n был разрешён в [2; тот же разд. 3.2] и позже
независимо и вполне удовлетворительно в работе прикладного характера [5],
и затем методом производящих функций с помощью понятия трансферматрицы в [4; примеры 4.7.7; 4.7.15; 4.7.16] .
Отметим, что оба вопроса в иной формулировке разрешались без
указания вышеперечисленных источников с помощью понятий транверсали и
перманента (0.1)-матриц в книгах [6] и
4
[7]
( см также материалы,
«Формулы на фанере», часть I. Природа, 1991, №6, с.101 -102.
93
трактуемые по Стенли в[8; гл. IV, разд. 8 и 10 на стр. 235 - 238], а также
заключительные замечания ниже на стр. 19).
Распространение указанной задачи на «большую» допустимую полосу
параметров (0, 1, 2 и т.д.) см. в [3] и в указанной там в качестве источника
работе [9], а также в [4; пример 4.7.16], см. также конец раздела 13 ниже.
2. В первом случае a) перестановки мыслятся линейными, т.е.
расположенными вдоль прямой линии. Во втором случае b) – мыслятся
круговыми,
расположенными
вдоль
ориентированной
окружности,
снабжённой разделителем – фиксатором начала слова-перестановки. Буквы
слова в этом случае расположены для определённости через равные
промежутки. В качестве же разделителя можно взять любую точку интервала
или даже сам интервал-дугу, предшествующую непосредственно точке
деления окружности, соответствующей символу a1 или помеченной этим
символом.
3. В указанной работе [1] Рене Лагранжа был получен ответ на вопрос
a) в виде члена Fn 1 стандартной Фибоначчиевой последовательности
(Фибоначчиева
стандарта
5
:
F0  0, F1  1; Fn  Fn 1  Fn  2 при n  2
).
В
вышеуказанных источниках [2] – [5] ответ на вопрос b) даётся в виде
выражения Fn1  Fn1  2 , при этом сумма первых двух слагаемых согласно
формуле Бине [11; следствие 3 на стр. 2- 3, формула (4)] доставляет общий
член
Ln
последовательности
Эдуарда
Люка
(Лукаса
в
некоторых
транскрипциях) [12; IV.2, лемма 2.3; V.2 – стр. 174 – 175 и список
литературы на стр. 181] .
4. С помощью же «ладейной техники», развитой С.Е. Аршоном в [13] и
[14] и позже независимо Джоном Риорданом с рядом соавторов (Ирвинг
Каплански, Жак Тушар, Коихи Ямомото) [15; гл. VII – VIII, там же
достаточно подробная на момент выхода библиография ] , указанные
вопросы, насколько известно автору настоящей работы, не рассматривались.
5
Обозначения общего члена Фибоначчиева стандарта берутся по Кнуту и Стенли.
94
Ниже мы восполним эту лакуну в рассмотрении вопросов a) и b).
«Ладейная» трактовка.
5. Мы мыслим «шахматную доску» как математическое понятие в виде
системы одинаковых открытых клеток, взятых без непосредственно
ограничивающих квадратов. Иногда говорят о квадратных – составленных из
единичных квадратов – фигурах полимино [16]. Клетки-квадраты имеют
центрами точки «декартовой» плоскости с целыми положительными
координатами (в первой четверти), причём оси координат расположены, как
показано на рис.1.
ai
1
1
2
0,0
1
2
i
1
Рис. 1
Перестановке
или,
более
общо,
размещению
без
повторений
соответствует расстановка крестиков (шахматных ладей) на допустимых
полях (они обычно затенены или заштрихованы вкось, как показано на след.
рисунке 2) так, чтобы никакие два крестика не находились в одном и том же
будь то горизонтальном или вертикальном ряду клеток (никакие две ладьи не
атаковали бы друг друга). Если, допустим, крестик расположен в клетке,
находящейся на пересечении i-той вертикали и a i -той горизонтали, то он, тем
самым, осуществляет частичное соответствие:
95
i  ai .
(1)
Расстановка всех возможных в наших задачах a) и, соответственно, b)
крестиков приводит к подстановке-отображению, нормальная запись которой
есть двухстрочник:
1  i

 a1  ai
 n
.
 a n 
(2)
Такой нормальной записи (2) с уже естественным порядком
отсортированными прообразами в верхней строке взаимно однозначно
соответствует нижняя строка-перестановка
a1  ai  a n .
(3)
Ниже мы сводим перечисление бесповторных слов вида (3) к
однозначно и взаимно соответствующим им отображениям (2).
6. «Доска» - система допустимых клеток для вопроса a) такова:
Рис. 2
Мы имеем систему зацепляющихся общими диагональными клетками,
расположенными вдоль так называемой побочной диагонали в направлении
от Юго-запада на Северо-восток, квадратами размера 2х2, объединение
которых и даёт систему допустимых полей вопроса a)- см. рис.2.
Пусть объемлющая все допустимые поля квадратная доска
6
имеет
размер nхn. Сколько способов поставить на затенённые ( или, допустим,
6
Иногда без потери смысла здесь и далее мы не будем различать доску и минимальный по
числу клеток объемлющий квадрат доски.
96
наискось заштрихованные) клетки, принадлежащие указанным квадратам,
ровно n не атакующих попарно друг друга ладей? Это и есть
переформулировка вопроса a).
Действительно, в нашем случае a1 может равняться 1 либо 2, a 2 равняться 1,2 или 3, …, a n 1 - равняться n-2, n-1, n; a n - быть равным n-1
либо n и только.
Мы сопоставим каждой перестановке (3) с указанными выше
ограничениями подстановку (2).
7. Теорема 1. Подстановки (2), соответствующие перестановкам (3) с
ограничениями на позиции вопроса a) , имеют циклы длин либо 1, либо 2,
причём циклы длины 2 имеют элементами исключительно соседей, т. е.
соседние числа в начальном отрезке n  1,, n 7 натурального ряда. Т.е.
каждый цикл-транспозиция длины 2 (при наличии таковых) имеет вид (l,
l+1).
Следствие. Каждой
указанной перестановке взаимно однозначно
сопоставляется композиция в смысле Дж. Риордана
1  m  n ,
(4)
т.е. упорядоченное разбиение натурального числа n на части-слагаемые,
равные либо 1, либо 2 и только; либо, что то же самое, расстановка
специального вида вертикальных разделяющих чёрточек между n первыми
натуральными числами.
Так, при n=5 расстановка чёрточек, «прорезающих» запятые, показана
ниже на рис. 3
1,2,3,4,5
1,2 3,4 5
Рис. 3
Слева – композиция, справа – - соответствующая подстановка в
циклической записи.
и соответствует композиции
7
Просьба не путать указанное стандартное обозначение по Стенли с литературными
ссылками.
97
5 = 2 + 2 + 1.
При этом до первой черты, между последовательными вертикальными
разделяющими чертами и после последней разделяющей черты находятся
исключительно либо 1, либо 2 последовательно идущих элемента.
Подстановка, соответствующая композиции, находится на рис. 3 справа: две
транспозиции 1,2 и 3,4 , а также одна неподвижная точка - единичный цикл
5 8.
Можно также разбивать серии из 5-ти кружков на подсерии длин 1 и 2
и только, фиксируя места ( номера мест ) кружков как показано на рис. 4.
    
1
2
3
4
5
Рис. 4
В общем случае соответствие абсолютно аналогично.
8. Задача перечисления композиций с частями-слагаемыми 1 и 2 есть
известная задача о наклейке марок 2-х типов (внутри типов марки
неразличимы) стоимостью 1 и 2 соответственно в горизонтальную строку с
суммарным номиналом, равным n (число марок переменно, параметр n
фиксирован). Ниже мы вкратце рассмотрим эту общеизвестную задачу [4; гл.
1, упр. 14 с)], [17; p. 298].
Вывод из следствия. Число указанных в вопросе a) перестановок есть
число
решений
уравнения
удовлетворяющих
положительное
(4),
т.
е.
число
кортежей
 1 ,,  m
,
(4) со следующими ограничениями: m – любое целое
(вообще
говоря,
s  m  n , где s  n
2
или s  n  1
2
в
зависимости от чётности или, соответственно, нечётности числа n ) ; все
целые  j удовлетворяют неравенствам 1   j  2 , т. е. для всех j (1  j  m )
 j есть либо 1, либо 2 и только.
8
Автор приносит извинения за повторную двусмысленность и просит не путать
стандартный и общепринятый в литературе символ единичного цикла с элементом 5 и
последующую формулу с также обозначенной нумерацией.
98
Вывод из вывода. Число перестановок (3) вопроса a) есть Fn 1 - n + 1
–ый член Фибоначчиева стандарта.
Действительно, с помощью правила суммы из перечислительной
комбинаторики - правила сложения мощностей конечных непересекающихся
 1 ,,  m
множеств, мы расклассифицируем решения
уравнения (4) с
указанными ограничениями по, допустим, для определённости, «суффиксу»
– последней компоненте  m .
1°. Либо
компоненте
 m = 1, тогда множество «префиксов», предшествующих
 m , взаимно однозначно соответствует множеству решений
уравнения
 1     m 1  n  1 ; n  3 (при этом m  2 ).
2°. Либо  m = 2. Тогда решения-кортежи с этим значением  m взаимно
однозначно соответствуют решениям уравнения
 1     m1  n  2
с теми же самыми ограничениями на компоненты (  j есть либо 1, либо 2 ).
Пусть An  - число решений уравнения (4), тогда, по указанному
правилу суммы:
An  Аn  1  An  2 ; n  3 .
Осталось перебрать решения – расклейки марок в строку при n = 1 и 2
соответственно.
n 1
1
n2 1
1
; A1  1
и
2
; A2  2
Табл. 1.
Сравнивая нижеследующие таблицы
n
0 1 2 3 4 5 6
7
8
9
Fn
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
Табл. 2
99
10
1 2 3 4 5 
n
An 
1 2 3 5 8 
Табл. 3
и осуществляя сдвиг «нижнего бесконечного регистра» вправо на 1 (либо
верхнего влево на 1), убеждаемся, что An   Fn 1 , что нам и требовалось.
9. Доказательство теоремы 1.
A. Сначала в качестве базиса индукции рассмотрим случаи длин
перестановок (бесповторных слов) n = 2 и n = 3 соответственно. Впрочем,
можно сдвинуть перечисляющий параметр n влево и рассмотреть случаи n =
1 и n = 2 , но это менее наглядно. Ясно, что доска размера 1 х 1 допускает
единственный крестик, и , стало быть, что A1  1 .
При n = 2 доска состоит из сплошь, согласно формулировке a)
разрешённых полей. Таким образом, имеются 2 возможные расстановки
12
1,2
Рис 5
и им соответствуют (см. рис. 5) две подстановки (2) при n = 2 , а именно 12 
- два единичных цикла и 1,2 - транспозиция 1 и 2 , т. е. цикл длины 2 ,
исчерпывающий всю подстановку.
При n = 3 имеем 3 случая, группирующихся в 2 больших объемлющих
подслучая.
Мы
будем
классифицировать
образы
элемента
1
при
подстановках (2) при n = 3 с ограничениями вопроса a) (см. формулу (1) ).
B. 1  1 , т. е. элемент 1 образует единичный цикл 1 . Здесь имеются
2 подслучая
100
123
12,3 
Рис. 6
когда одновременное удаление первой горизонтали и первой вертикали
приводит к доскам, исследованным выше в пункте А при n = 2.
C. 1  2 , т. е. 1 имеет образом 2 . В этом случае единственный вариант
таков:
Рис. 7
потому, что вариант
Рис. 7’
не проходит: самый правый крестик поставлен здесь (см. рис. 7’)
неправильно, вопреки условиям «близости образа к прообразу», т. е. вне
системы дозволенных заштрихованных полей.
D. Итак, резюмируя
всё, сказанное выше в подразделах
настоящего раздела 9 , имеем:
A1  1 , и, что более существенно,
A2   2 , A3  3 .
(5)
101
A – C
Остаётся осуществить индуктивный переход. Он также распадается на
ряд подслучаев при фиксации n ; n  4 .
D1. При наличии единичного цикла 1 вычёркивание рядов с общим
номером 1 доставляет поддоску того же типа , но размера n  1  n  1 , т.
е. при n на единицу меньшем, для которой (поддоски) утверждение верно по
индуктивному предположению – см. рис. 8 и рис. 2 выше в разделе 6 на стр.
5.
1
1
Рис. 8
D2. При наличии транспозиции 1,2 вычёркивание рядов из клеток с
номерами как вертикалей, так и, соответственно, горизонталей, равными 1 и
2, доставляют поддоску того же типа, что и до вычёркивания (см. рис. 9):
Рис. 9
размера n  2  n  2 , для которой утверждение верно.
102
D3. Покажем, что случаями D1 и D2 всё рассмотрение полностью
исчерпывается, т. е. , иными словами, элемент 1 не может принадлежать
никакому циклу длины 3 и более.
Пусть, напротив, 1 отображается в 2, а 2 отображается в 3. Тогда (см.
рис. 7) 3 никак не сможет отобразиться в 1 т. к. поле (3,1) запрещённое
(раздел C настоящего пункта 9).
И мы вынужденно получаем цепочку (частичных – см. (1))
отображений;
1 2 ,
2 3 ,
34 ,
4 5 ,
…
n 1  n (см. рис. 10)
Рис. 10
Но тогда для образа n в последней вертикали остаётся свободной
только исключительно 1 – я горизонталь и никакая другая, на пересечении с
которой при n  3 имеется запрещённое поле n,1 , как и в случае,
изображённом на рис. 7 при n  3 .
103
Иными словами, последовательное вычёркивание задействованных на
предыдущих шагах горизонталей приводит к противоречию. Тем самым
случай D3 должен быть отброшен, как не доставляющий требуемых
вопросом a) перестановок. А случаи D1 и D2 напротив, должны быть
подытожены.
Действительно, согласно индуктивному предположению, случай D1
даёт Fn перестановок, а случай D2 - Fn 1 перестановок. По правилу суммы
доска размера n x n с ограничениями вопроса a) доставляет в точности
Fn  Fn 1  Fn 1 перестановок указанного вида, что и доказывает теорему 1.
Доски на торической поверхности.
10. Как свести ответ на вопрос b) к рассмотрениям и рассуждениям,
проведённым выше? Придётся для этой цели рассмотреть шахматные доски
на торе – торические шахматные доски.
Для достижения этой цели нам потребуются элементы геометрии
стандартной торической поверхности или просто тора, трактуемого как
поверхность вращения, на которой естественным путём могут вводиться
наподобие аналогичных сферических внутренние координаты [18; Гл. 3. § 8,
стр. 108 – 117]. Мы также предполагаем известным набор стандартных
топологических
операций
склейки
порождающего
прямоугольника,
в
а
в
тор:
нашем
отождествления
случае
–
сторон
квадратной
«шахматной» доски. Сначала нижнего и верхнего оснований, затем
полученных после этого компонент края цилиндра с наведённой либо
предписанной «синхронной» ориентацией.
После указанных операций склейки – отождествления сетка вертикалей
и горизонталей образующего квадрата переходит, деформируясь, изгибаясь,
в сетку меридианов и , соответственно, параллелей, на торе, доставляя тем
самым естественное клеточное разбиение тора.
Обратные
канонических
операции
разрезов:
сводятся
сначала
к
проведению
меридианального
104
так
(вдоль,
называемых
допустим,
Гринвичского
меридиана
с
нулевой
отметкой
долготы),
а
затем
экваториального – вдоль внешнего «большого» экватора.
В дальнейшем в качестве операций предполагается удаление из
указанной разграфлённой торической поверхности меридианальных и
экваториальных (параллельных) полос и даже пар смежных полос указанных
типов.
11. Рассмотрение торического случая – вопроса b) начнём так.
Прежде всего в виду дискретной близости-смежности вычетов n и 1 по
mod n добавим к уже имеющимся допустимым, т. е. разрешённым полям
квадратной доски, построенной в разделе 6 ( см. рис.2) два новых
допустимых угловых поля: в левом верхнем углу с координатами центра
поля (1, n) и в правом нижнем углу – с координатами ( n, 1).
Далее, как указывалось выше, будем трактовать доску, точнее,
разграфлённый на единичные клетки-квадраты (поля) объемлющий квадрат
доски с указанными допустимыми позициями, как образующий квадрат
торической поверхности или, короче, тора с помощью операций склейкиотождествления, охарактеризованных выше.
При этом допустимые поля образуют полосу с «лестничными» краями,
однократно обматывающую тор (вдоль как экватора, так и одного из
меридианов с естественными фиксированными ориентациями).
Эта полоса может быть образована двояко. Либо укладкой-тайлингом
(tiling) так называемых прямых в смысле Голомба тримино [16; стр. 16],
идущих подряд друг за другом образов единичных клеток-квадратов,
расположенных по горизонтали, вдоль вращения меридиана (см. рис. 11).
2
1 2
3 4
3
n 1 2
Рис.11 Номера вертикалей внутри клеток
105
Либо мы образуем ту же самую укладку, но уже с помощью
вертикальных тримино, проводя последовательное наращение со сдвигом на
одну клетку на каждом шаге вдоль экватора или, что то же самое, вдоль
срединной линии тора.
Напомним, что срединная линия тора является геометрическим местом
центров образующих окружностей, т. е. естественной направляющей линией
торической поверхности вращения. См. рис. 12.
4
3 3
2 2 2
1 1
n
Рис. 12. Номера горизонталей внутри клеток.
Фрагменты указанных замощений мыслятся нами с точностью до
деформации, поскольку всегда тор с замощением с помощью системы
канонических, указанных выше разрезов, можно превратить в исходный
образующий квадрат с системой допустимых полей.
Теперь мы готовы к тому, чтобы перейти к классификации и
перечислению искомых расстановок на допустимых полях максимально
возможных по числу ладей конфигураций из не атакующих друг друга ладей
на указанной выше сформированной нами торической доске.
Решение вопроса b) – торический случай.
12. Теперь мы полностью готовы к ответу на вопрос b), отличающийся
от a) дополнительными допустимыми полями (1, n) и (n, 1).
Теорема
2.
Классификация
подстановок
(2)
вопроса
b),
незамедлительно приводящая к их перечислению в зависимости от
106
перечисляющего параметра n, представлена на следующей схеме – см. рис.
13:
A
1 1
1 2
1 n
B
B1
1,2
C
B2
C1
1 2
C2
1, n
2 3
1 n
n  n 1
…
n 1
…
2 1
Рис. 13. Схема классификации и перечисления
в зависимости от параметра n перестановок вопроса b).
Доказательство. Мы расклассифицируем на основании схемы на рис.
13 соответствующие перестановкам (3) подстановки (2). Как и в
доказательстве теоремы 1 классификация проводится по различным образам
фиксированного элемента. Пусть, для определённости, этот элемент, как и
ранее, есть 1.
В силу ограничений для разрешённых полей первой вертикали –
первого вертикального ряда клеток возможны 3 варианта:
A. 1  1 . Читается «1 переходит в 1» или «образом 1 является 1».
В этом случае удаляется «крест» с пересечением в поле (1,1) из
вертикали и горизонтали с указанными номерами. Происходит тем самым
107
автоматическая развёртка торической доски в квадратную с длиной стороны
объемлющего квадрата, меньшей на 1.
Всего
в
этом
случае,
согласно
наследственной
конфигурации
разрешённых полей по теореме 1 имеется в точности Fn возможностей.
B. 1  2 . Здесь имеются 2 подслучая.
B1. 1 и 2 составляют транспозицию (1,2) длины 2. Т. е. 1  2 .Удаляя в
этом случае соответствующие вертикали и горизонтали с номерами 1 и 2,
приходим к квадратной доске размера (n-2) x (n-2) , для которой наведённая
структура допустимых полей даёт, согласно теореме 1, Fn 1 возможностей
правильной расстановки крестиков.
B2. 1  2 , 2  3 и далее, совершенно вынуждено (при n  4 )
34 ,
…
n 1  n ,
n 1 .
То есть использованные поля целиком покрывают в этом подслучае
«верхнюю» диагональ, параллельную основной (побочной в теории
определителей и перманентов – см. ниже).
Возможность, таким образом, единственная.
C. 1  n . Здесь также образуются совершенно симметричные
указанным 2 подслучая..
C1. (1,n) есть цикл-транспозиция длины 2. Удаление содержащих поля
(1,n) и (n,1) рядов даёт по теореме 1 в точности Fn 1 вариантов.
C2. 1  n , но n не отображается в 1. Тогда, так как для образа элемента
n имеются в структуре разрешённых полей 2 возможности: n-1 и 1, причём
последняя т. е. 1 исключена случаем C1, то вынужденно получаем, что :
n  n 1 ,
и далее так же вынужденно
n 1  n  2 ,
108
…
2 1 .
Совокупность
указанных
частичных
соответствий
доставляет
подстановку
n 
1 2 3  n 1

 ,
 n 1 2  n  2 n  1
соответствующую выбору полей нижней диагонали, и такой вариант
единственен.
Теорема 2 тем самым установлена разбором всех допустимых случаев и
редукцией ряда таких случаев к теореме 1.
Следствие. Объединяя результаты классификации и перечисления по
всем указанным в теореме 2 случаям, в итоге имеем:
Fn  Fn 1  1  Fn 1  1 
 Fn 1  Fn 1  2
(6)
Правая часть (6) в силу известного представления Бине (см. напр. [11;
ф-ла (4) на с.3] ),
Fn 
n  n
(7)
5
для общего члена Фибоначчиева стандарта, может быть переписана в виде
def
 n   n  2  Ln  2 ,
Здесь и выше  
(6’)
1 5
1 5
, 
суть
2
2
корни характеристического
уравнения x 2  x  1 для Фибоначчиевой рекуррентности - разностного
линейного однородного уравнения 2-го порядка. Ln
общий
член
последовательности
Эдуарда
Люка
в этом случае есть
(Лукаса
в
иной
транскрипции) – см. также [12; разделы IV.2 – с.150 и V. 2 – с. 174-177].
Отметим в связи с последним указанным источником, что наши
обозначения по Кнуту и Стенли, употребляемые в тексте, являются
общепринятыми.
109
Заключительные замечания.
13. Другой, более алгебраический нежели в тексте, подход к
перечислению перестановок с ограничениями на позиции имеет своими
истоками монографию [19] физика из Курантовского института в Нью-Йорке
Джерома Перкуса .
Мы ( подробности даны в [20] ) сопоставляем соответствию (1) элемент
Aia i коммутативного
кольца с единицей, содержащего, вообще говоря,
нестрого, рациональное поле, т.е. поле всех рациональных чисел с
совпадением единиц. Образуем по всем подстановкам (2) симметрической
группы S n сумму-перманент
def
perA 
A
aS n
1a1
 Aiai  Anan .
Если веса специализированы так:
Ai ,ai  1, если поле доски с координатами i, a i  допустимо,
0, если то же поле запрещено;
то, как легко видеть, матрица
A  Aij nn
соответствует доске с
запретами, а значение per A в этом случае есть в точности число подстановок
и соответствующих им как вторые строки нормальной записи (2)
перестановок (3), избегающих запреты. Можно заметить, что [20; следствие
на стр.23] в общем случае перманент есть полилинейная и симметрическая
функция от строк (столбцов) матрицы A  Aij nn и их можно переставлять, не
меняя значения перманента.
После этих необходимых замечаний при непосредственном сравнении
можно с определённостью констатировать, что материал раздела 4, § 4, гл.II
(стр. 91) из [6] соответствует содержанию нашей теоремы 1, а материал
раздела 4, § 1, гл. VII (стр. 340-341) из [7], в частности соотношения (1.30) –
(1.31) – нашей теореме 2. При этом в указанных источниках комбинаторное
содержание и его геометрические аспекты остаются в стороне, т.е. вне
рассмотрения.
110
Отметим также отсутствие каких бы то ни было ссылок в двух
последних указанных источниках.
Дальнейшее глубокое обобщение указанных примеров приведено в
работе В.С. Шевелёва [21], история вопроса разобрана этим же автором в
[22].
Наконец, «перманентный» подход с последующим применением
метода трансфер-матрицы для двух специальных классов матриц был
предложен в сравнительно недавних работах [23], [24], содержащих кроме
явных решений задачи а) для случаев (границ) d =1 и d =29 также обширные
вычислительные таблицы, и последующий ряд высказанных автором
(указанных работ) на их основе содержательных гипотез для обдумывания.
14. Поводом для написания настоящей работы послужила фраза Стенли
о «более комбинаторном подходе» [4; стр. 383]. Именно такой подход,
продемонстрированный выше на геометрической основе с помощью
ладейной техники, должен, по мнению автора, пролить свет на указанный
ряд внешне независимых доказательств, восходящих к источнику – трактату
1962-го года Рене Лагранжа [1]. Кроме того, классификации перестановок из
вопросов a) и, соответственно, b), предложенные М. Холлом в [2] и
соответствующие теоремам 1- для линейного a) и 2-для «торического» b)
случаев,
представлялись
автору
не
вполне
прозрачными,
нечётко
сформулированными и слишком краткими. Автор будет рад и признателен
за любое развитие изложенных здесь идей.
15. В заключение автор выражает свою признательность В.А. Лисковцу
(Минск, Институт математики НАН Беларуси) за весьма существенную
информационную поддержку и помощь, а также В.С. Шевелёву (Беэр-Шева,
Университет Бен Гуриона, Израиль) за многолетние научные контакты,
продолжающиеся по настоящее время.
9
Имеются, отметим справедливости ради, уже у Р. Лагранжа [1; в разд.3 – 4, формулы (2)
– (3) на стр. 202 – 205 и, соответственно, в разделе 5 на стр. 205 – 207, формула (8) и
последующие].
111
Литература
1. Lagrange R. Quelques resultats dans la metrique des permutations //Annales
scientifiques de l’ Ecole Normale Superiore (3-ieme serie). – 1962. – 79. - № 3.P. 199-241.
2. Холл М. Комбинаторика / Пер. с англ. под ред. А.О. Гельфонда и
В.Е.
Тараканова. – М.: Мир, 1970 . – 424 с.
3. Lovasz L. Combinatorial problems and exercises (2-nd ed.) / Budapest.:
Akademiai
Kiado, 1993, 635p. : § 4.
4. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика, часть I./ Пер. с англ. под ред.
А.М. Вершика. М. Мир, 1990, 440 с.
5. O’Donnell M.J., Smith C.H. A combinatorial problem concerning processor
interconnection networks // IEEE Transactions on computers. – 1982. – C-31. №2. – P. 163-164. РЖ Мат 1982, 9В521.
6. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. – М.: Наука,
1977. – 319 с.
7. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. –
М.: МЦНМО, 2004. – 424 с.
8. Сачков В.Н. , Тараканов В.Е. Комбинаторика неотрицательных матриц. –
М.: ТВП, 2000. – 448 с.
9. Lehmer D.H. Permutations with strongly restricted displacement. – In:
Combinatorial theory and its applications. II ( ed. P.Erdos, A.Renyi, V.T.Sos ).
Bolyai Janos Mat. Tarsulat. – Amsterdam. – London; Budapest: North-Holland.
Publ. Co., 1970. – P. 755-770.
10.Цветкович Д., Дуб М., Захс Х. Спектры графов. Теория и применения /
Пер. с англ. под ред. акад. В.С.Королюка . – Киев: Наукова Думка, 1984. –
384 с.
11. Коганов Л.М. Кодирование и перечисление остовных деревьев в графах
Клейтмена – Голдена // Кибернетика. – 1991. - №3 (май-июнь). – С. 1 – 7. РЖ
Мат 1992, 1В402.
112
12. Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей / Пер. с англ. под
ред. В.Н. Чубарикова. – М.: Мир, 2003. – 429 с.
13. Аршон С.Е. Решение одной комбинаторной задачи // Сб. Математическое
просвещение (1-я серия, под ред. Р.Н. Бончковского), вып. 8. – М.-Л.: ОНТИ
НКТП СССР, 1936. – С. 24 – 29.
14. Аршон С.Е. Об одном методе в комбинаторном анализе // Труды второго
всесоюзного математического съезда ( Ленинград 24 – 30 июня 1934 г.) / Т.
II. Секционные доклады. – М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1936. – С. 24 – 26.
15. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ / Пер. с англ. Л.Е.
Садовского под ред. Л.Я. Куликова. – М.: ИЛ, 1963. – 287 с.
16. Голомб С.В. Полимино / Пер. с англ. под ред. и с предисл. И.М. Яглома (с
приложением переводов статей автора и Д.А. Клэрнера). – М.: Мир, 1975. –
207 с.
17. Gessel I.M. Рецензия на книгу «Combinatorial enumeration» by Ian P.
Goulden and David M. Jackson. John Wiley & Son, Sommerset, New Jersey,
1983, XXIV + 569 pp. ( есть русский перевод под ред. В.Е.Тараканова:
Гульден Я., Джексон Д. Перечислительная комбинаторика. – М: Наука, 1990.
– 504 с. ) in: Bulletin of the American Mathematical Society ( New Series ) . –
1985. – 12. - № 2 (April) . – P. 297 – 301.:v. p. 298.
18. Гальперин Г.А., Земляков А.Н. Математические бильярды. – М.: Наука,
1990. – 288 с.
19. Percus J.K. Combinatorial Methods. New York – Heidelberg – Berlin,
Springer-Verlag, 1971. – 194p.
20. Коганов Л.М. Интерпретация перманента как суммы весов инъекций mэлементного множества в n-элементное ( m  n ). Кибернетика, 1985. - № 5. –
С. 21-24.
21. Шевелёв В.С. Современная теория перестановок с ограниченными
позициями. Дискретная математика, 1993. – 5 . – вып.1. – С.3–35.
113
22. Шевелёв В.С. Замечание о каноническом представлении перманента
циркулянта. Ростовский инж.-строит. ун-т. Рукопись деп. в ВИНИТИ
09.04.98 №1056-В98, Ростов-на-Дону, 1998,9 с.
23. Kløve T. Spheres of permutations under the infinity norm – permutations with
limited displacement // Reports in Informatics, Dept. of Informatics, Univ. Bergen,
Report
no.
376,
November
2008,
36
p.
Online:
http://www.ii.uib.no/publikasjoner/texrap/pdf/2008-376.pdf
24. Kløve T. Generating functions for the number of permutations with limited
displacement // The Electronic J. of Combinatorics, - 2009. – vol. 16(1), August
14, #R104, 11 p.
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ МЕТАЭВРИСТИКИ ДЛЯ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОЙ
ОПТИМИЗАЦИИ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
И.В. Козин, [email protected]
Запорожский национальный університет
Ряд прикладных задач дискретной оптимизации являются сложными.
Известные точные алгоритмы поиска оптимума в подобных задачах сводятся
к перебору решений и при больших размерностях не могут быть
реализованы. Приближенные алгоритмы, как правило, имеют такую же
трудоемкость, как и точные. Поэтому для таких задач оправдано применение
метаэвристик различных классов. В соответствии с [1] метаэвристикой будем
называть любой стохастический алгоритм (класс алгоритмов) поиска
приближенных оптимальных решений задачи.
Пусть в задаче требуется на некотором множестве Х найти максимум
(минимум) целевой функции F : X  R1 . Рассмотрим алгоритм, который на
k-м шаге определяет непустое конечное подмножество X k  X относительно
малой мощности. Обозначим через f k среднее значение целевой функции на
114
этом
подмножестве
fk 
1
 F ( x) .
| X k | xX k
Алгоритм
будем
называть
неухудшающим, если k  1 f k 1  f k .
Рассмотрим случай, когда
множество Х является метрическим
пространством с метрикой  : X  X  R1 , для которой выполнены свойства:
 ( x, y )  0,  ( x, y )  0  x  y
2. x, y  X  ( x, y )   ( y, x)
3. x, y, z  X  ( x, y )   ( x, z )   ( z, y )
1. x, y  X
В метрическом пространстве X отрезком, соединяющем две точки
x, y  X
будем
называть
[ x, y ]  {z  X |  ( x, y )   ( x, z )   ( z, y) .
множество
Соответственно,
точек
выпуклым
множеством в пространстве X будем называть множество, которое вместе с
любыми двумя своими точками содержит все точки отрезка, соединяющего
эти две точки. Естественным образом определяется выпуклая оболочка
подмножества Y  X , как пересечение всех выпуклых подмножеств в X,
содержащих подмножество Y. Выпуклую оболочку подмножества Y будем
обозначать Y .
Сжимающими метаэвритсиками
будем называть такие алгоритмы
поиска оптимума на множестве X, для которых на каждом шаге X k 1  X k .

Таким образом, пространство поиска
X k для сжимающих метаэвристик
k 1
ограниченно выпуклой оболочкой начального множества решений X1 .
Безусловно, такие метаэвристики позволяют найти лишь локальный
приближенный оптимум.
Другая группа метаэвристик направлена на расширение пространства
поиска. Для этой группы на каждом шаге алгоритма имеет место
соотношение X k 1  X k 1 . Если пространство поиска совпадает со всем
множеством X то такие метаэвристики будем называть исчерпывающими.
115
Исчерпывающие
метаэвристики
используются
именно
для
поиска
глобального оптимума целевой функции.
Идея состоит в объединении этих двух подходов и построении
гибридной
метаэвристики,
которая
на
некоторых
шагах
уменьшает
пространство поиска при увеличении среднего значения целевой функции, но
может и расширять пространство поиска на отдельных шагах алгоритма для
поиска глобального оптимума.
Общая структура такого алгоритма такова. Задается генератор
случайных точек T(Y), который для заданного множества Y генерирует
случайную точку из выпуклой оболочки множества Y. На начальном шаге
генерируется некоторый набор точек из множества X0 (начальная популяция)
из множества решений X путем применения оператора генерации точек T(X)
соответствующее число раз.
На каждом очередном шаге генерируется новая популяция точек путем
последовательного применения оператора T(Xk) некоторое число раз,
объединяется множество сгенерированных точек с множеством Xk и
удаляются точки с «наихудшими» значениями целевой функции.
Эта метаэвристика дополняется расширяющим оператором M, который
для каждого множества Xk выбирает точку вне выпуклой оболочки этого
множества.
Рассмотрим в качестве пространства поиска бинарное n-мерное
пространство Bn. Метрикой в этом пространстве является метрика Хемминга.
Любой отрезок представляется словом-схемой, в котором каждый элемент
принадлежит алфавиту из трех букв A  {0,1,*} . Знак * в схеме означает
любой из знаков 0,1. Для этого пространства метаэвристикой описанного
выше класса будет классический генетический алгоритм Холланда.
Другой пример - в качестве пространства поиска множество всех
перестановок Sn. Как показано в [2] многие задачи дискретной оптимизации с
помощью фрагментарных моделей приводятся к задачам оптимизации на
множестве
перестановок.
В
качестве
116
метрики
пространства
Sn
рассматриваются метрика Хемминга и инверсная метрика, в которой
расстоянием
между
перестановками
считается
минимальное
число
транспозиций соседних элементов, позволяющих перевести один конец
отрезка в другой. Примером метаэвристикой для этого пространства может
служить эволюционно-фрагментарная модель [2].
Могут рассматриваться и другие варианты метрик [3], которые
порождают соответствующие метаэвристики.
Литература
1. Luke S. Essentials of Metaheuristics. A Set of Undergraduate Lecture Notes.
September, 2009
2. Козин И.В. Фрагментарные структуры и эволюционные алгоритмы //
Питання прикладної математики і математичного моделювання: зб. наук.
праць. – Дніпропетровськ, 2008. – С.138 – 146.
3. Е. И. Деза, М. М. Деза Энциклопедический словарь расстояний - М. :
Наука, 2008. - 444с.
ЭВОЛЮЦИОНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ЗАДАЧИ ШТЕЙНЕРА
И.В.Козин, С.И.Полюга, [email protected]
Запорожский национальный университет
Рассматривается связный неориентированный граф
G  (V , E )
с
множеством вершин V и множеством ребер E. Ребра графа взвешены
неотрицательными
весами
 : E  R1 .
Связывающим
деревом
для
подмножества вершин W  V графа G будем называть любое дерево,
составленное из ребер графа G и содержащее все вершины из W.
Как
обычно, весом дерева будем считать сумму весов всех его ребер. Деревом
Штейнера Г G (W ) для подмножества вершин W называется связывающее
дерево минимального веса, содержащее все вершины из W. Задача отыскания
дерева Штейнера (задача Штейнера) для случая | W | 3 является NP полной
117
[1]. Таким образом, для этой задачи оправдано применение эволюционных
метаэвристик.
Построим
фрагментарную
модель
задачи
следующим
образом.
Перенумеруем множество ребер графа E числами 1,2,…|E|. Каждое ребро
является элементарным фрагментом в модели. Рассмотрим фрагментарный
алгоритм построения связывающего дерева для подмножества вершин W. На
начальном шаге список Г ребер пуст. Просматриваются ребра из E в порядке,
заданном нумерацией. Ребро добавляется в список Г, если оно не образует
циклов с уже выбранными ребрами списка. Алгоритм заканчивает работу,
корда выполнены следующие условия: а) все вершины из W попали во
множество вершин ребер из списка Г; б) ребра списка Г образуют дерево, то
есть связный подграф без циклов в графе G.
Теорема. Любое связывающие дерево может быть получено путем
применения фрагментарного алгоритма при соответствующей нумерации
ребер графа G.
В частности, дерево Штейнера также может быть получено путем
применения фрагментарного алгоритма.
Следующим шагом является построение эволюционно-фрагментарной
модели [2] для задачи Штейнера, в которой в качестве базового множества
рассматриваются перестановки элементарных фрагментов.
Подход
на
основе
эволюционно-фрагментарного
моделирования
применим к целому классу подобных задач. В частности, таким же методом
можно найти минимальное связывающее дерево для множества W с
ограничениями
на
степени
вершин,
с
ограничениями
на
число
дополнительных вершин и т.д. Одной из задач, которая решается подобным
методом, является задача о кратчайшем связывающем цикле: найти в графе
простой цикл кратчайшей длины, содержащий все вершины заданного
подмножества вершин W.
Разработан генератор случайных задач для задачи о дереве Штейнера
на произвольном графе и для задачи о кратчайшем связывающем цикле. Для
118
серий сгенерированных задач с помощью эволюционной модели получены
приближенные решения. Проведено сравнение результатов, полученных на
эволюционной модели с алгоритмом случайного поиска. Результаты
численного
эксперимента
показывают
целесообразность
применения
эволюционной модели для задач подобного типа.
Литература
1.
Карп
Р.
М.
Сводимость
комбинаторных
задач
/Р.М.
Карп
//
Кибернетический сборник. Новая серия. Выпуск 12. – М.: Мир, 1975. – С.
16-38.
2. Козин И.В. Использование ЭВФ-алгоритмов для решения
задачи
прямоугольного раскроя / И.В. Козин, С.И. Полюга // Питання прикладної
математики і математичного моделювання : зб. наук. праць; – Д. : Вид-во
Дніпропетр. нац. ун-ту ім. Олеся Гончара. – Дніпропетровcьк, 2009. – С. 199208.
О НЕВОЗМОЖНОСТИ ГАРАНТИРОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАДИОАКТИВНОЙ ПАРЫ ШАРОВ ЗА 2k-1 ПРОВЕРОК СРЕДИ 2K ШАРОВ
Кузнецов С.Т.
Кировоградская лётная академия НАУ
Сначала определим два соотношения:
2k (2k  1)
C 
 2k 1 (2k  1)  22 k 1  2k 1
2
2
2k
C
2
2 k 1
(2k  1)( 2k  2)

 (2k 1  1)( 2k  1)  22 k 1  2k 1  2k  1
2
Пусть, например, k=4. Тогда
(1)
(2)
C162  2 7  2 3  120 . Покажем, что
семь проверок не могут гарантировать определения радиоактивной пары из
16 шаров. Будем пробовать для первой проверки брать 1, 2, 3, 4 и 5 шаров.
Результаты сведём в таблицу.
119
m число шаров
для 1-й проверки
–
+
число вариантов
число
вариантов
120  C
2
16 m
2
16m
C
1
105
15
2
91
29
3
78
42
4
66
54
5
55
65
Получается, что если для 1-й проверки взять 4 шара, то в случае
отрицательного результата остаётся 66 вариантов. Если же для первой
проверки взять 5 шаров, то уже в случае положительного результата остаётся
65 вариантов. Оба числа больше, чем 26=64 и понятно, что оставшихся 6-ти
проверок может не хватить для достижения результата. При увеличении
числа шаров взятых для 1-й проверки число вариантов при положительном
результате будет только возрастать. Таким образом, семь проверок не могут
гарантировать нахождение радиоактивной пары среди 16-ти шаров. С другой
стороны для определения радиоактивной пары среди 15-ти шаров семи
проверок всегда достаточно. Тогда девять проверок не могут гарантировать
определение радиоактивной пары среди m шаров, если
105+128+256=489 вариантов. Так как
C m2
превышает
C322  512  16  496 , то девять
проверок не могут гарантировать определение радиоактивной пары среди
32-х шаров. С другой стороны
можно
показать,
что
C312  15 * 31  465  489 . Действительно
девять
проверок
гарантируют
определение
радиоактивной пары среди 31-го шара.
Приведём две гипотезы, выдвинутые профессором Г.А. Донцом.
120
ГИПОТЕЗА
1.
22k 1
радиоактивной пары среди
ГИПОТЕЗА 2.
активной пары среди
гарантируют
определение
2k  1 шаров.
22k 1
2k
проверок
проверок не гарантируют определение радио-
шаров.
При этом k≥3 (легко увидеть, что при k=2 три проверки гарантируют
определение радиоактивной пары среди 4-х шаров).
Доказано, что обе гипотезы верны для k равного 3, 4 и 5. Гипотезу 2
удаётся доказать по индукции тем самым превратив её в теорему. Даже при
условии, что гипотеза 1 верна для любого k можно констатировать, что если
2k 1  1
проверок гарантируют определение радиоактивной пары для
какого-то для m шаров, то необходимо (хотя и не обязательно достаточно,
чтобы
число
вариантов
не
превышало
(2k 1 1)(2k 1)  22k 1  2k  22k 1  2k  2k 1  1  22k 1  22k 
 (22( k 1)1  2( k 1)1 )  2k 1  1
Величина
C22k 1 больше согласно (1): C22k 1  22( k 1)1  2( k 1)1
Таким образом, используя метод математической индукции мы
доказали, что гипотеза 2 верна, превратив её в теорему.
Заметим, что последовательно применив метод дихотомии для каждого
из двух шаров, мы легко находим, что 2k проверок гарантирую определение
радиоактивной пары среди 2k шаров.
121
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И СТРУКТУРНАЯ СХЕМА
СТЕГАНОГРАФИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
А.А. Кузнецов, А.А. Смирнов, Е.В. Мелешко, [email protected]
Кировоградский национальный технический университет
Математические основы современной криптографии заложены в
работах известного американского ученого К.Шеннона, который впервые,
используя
теоретико-информационный
подход,
ввел
абстрактное
математическое определение секретной системы и формализовал процедуры
криптографического
преобразования
информации.
В
данной
работе
исследуется формальное математическое описание (в терминах К. Шеннона)
и структурная схема секретной системы и по аналогии с теорией секретных
систем вводятся основные элементы и математически операторы, абстрактно
описывающие стеганографическую систему защиты информации.
Абстрактно секретная система определяется как некоторое множество
отображений одного пространства (множества возможных сообщений) в
другое пространство (множество возможных криптограмм). Зафиксируем
множество возможных сообщений M = {M1, M2, …, Mm} и множество
криптограмм E = {E1, E2, …, En}. Зафиксируем также множество отображений
 = {1, 2, …, k}, где i: M  E, i = 1, 2 , …, k. Если множества M и E
равномощны, то существует обратное отображение i-1: E  M, которое
каждому элементу множества E ставит в соответствие элемент множества M.
Зафиксируем теперь множество ключей К = {К1, К2, …, Кk} так, что для всех
i = 1, 2 , …, k отображение i   однозначно задается ключом Ki, т. е.:
Ki
i : M 
E . Каждое конкретное отображение i из множества 
соответствует способу шифрования при помощи конкретного ключа Ki.
Зафиксируем множество ключей К* = {К1*, К2*, …, Кk*}, в общем случае К 
К*. Все элементы множества обратных отображений -1 = {1-1, 2-1, …, k-1}
K*
i
M . Каждое конкретное
задаются соответствующим ключом: i1 : E 
отображение i-1 из множества -1 соответствует способу расшифрования
122
при помощи ключа Ki*. Если известен ключ Ki* то в результате
расшифрования возможен лишь единственный ответ – элемент множества М.
Таким образом, в абстрактное определение секретной системы входят
следующие множества M, E, , -1, К и К* (множества открытых текстов и
криптограмм, множеств прямых и обратных отображений, множества
ключей).
По аналогии с теорией секретных систем рассмотрим основные
функциональные
описывающие
элементы
и
математически
стеганографическую
систему
операторы,
защиты
абстрактно
информации.
Зафиксируем множество возможных сообщений M = {M1, M2, …, Mm},
множество возможных контейнеров L = {L1, L2, …, Ll}, и множество
возможных заполненных контейнеров (стеганограмм) E = {E1, E2, …, En}.
Зафиксируем множество отображений  = {1, 2, …, k}, где i: (M, L)  E,
i = 1, 2 , …, k. Определим обратное отображение i-1: E  (M, L) , которое
каждому элементу множества E ставит в соответствие элемент множества M
и элемент множества L. Зафиксируем множество ключей К = {К1, К2, …, Кk}
так, что для всех i = 1, 2 , …, k отображение i   однозначно задается
Ki
ключом Ki, т. е.: i : M , L 
E . Каждое конкретное отображение i из
множества  соответствует способу встраивания сообщения из множества M
в контейнер из множества L
при помощи конкретного ключа Ki.
Зафиксируем множество ключей К* = {К1*, К2*, …, Кk*}, в общем случае К 
К*. Все элементы множества обратных отображений -1 = {1-1, 2-1, …, k-1}
Ki
M , L  . Каждое конкретное
задаются соответствующим ключом: i1 : E 
*
отображение i-1 из множества -1
сообщения
из
заполненного
соответствует способу извлечения
контейнера
(и
формирования
пустого
контейнера) при помощи ключа Ki*. Если известен ключ Ki* то в результате
выполнения операции извлечения возможен лишь единственный ответ –


элемент множества М и элемент множества L: M j , Ll   i1 Ew , K i* . Таким
123
образом, в абстрактное определение стеганографической системы входят
следующие множества M, L, E, , -1, К и К* (множества открытых текстов,
пустых контейнеров и стеганограмм (заполненных контейнеров), множества
прямых и обратных отображений и множества соответствующих им ключей).
МЕТОДЫ ВЫДЕЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНО ПЛОСКОГО СУГРАФА
Курапов С.В., Чеченя В.С.
Запорожский национальный университет
Любой плоский топологический рисунок суграфа (графа) характеризуется
тем, что выделенная система базисных циклов подпространства циклов
имеет нулевое значение функционала Мак-Лейна. Причем выделенная
система базисных циклов обязательно должна принадлежать множеству
единичных циклов С  графа. В свою очередь выделенная система циклов
удовлетворяющая нулевому значению функционала Мак-Лейна индуцирует
вращение вершин графа, которое и определяет топологический рисунок
графа. На сегодняшний день можно выделить три метода (способа)
выделения максимально плоского суграфа:
удаление из базиса циклов сохраняющих условие «удаляем цикл с
одновременным удалением только одного ребра»,
метод случайного поиска,
метод веерных деревьев.
Все эти три способа выделения основаны на выделение множества
единичных циклов графа, алгоритм которого имеет полиномиальную
вычислительную сложность O(n6).
Количество единичных циклов в полном графе можно получить из
формулы
  С      n ( n - 1 ) ( n - 2 ) / 6 .
124
(1)
Метод удаление циклов из базиса циклов сохраняющих условие
Рассмотрим граф К9. Количество выделенных базисных циклов
проходящих по ребрам графа имеет вид:
u1
3
u19
3
u2
3
u20
3
u3
3
u21
3
u4
3
u22
3
u5
3
u23
3
u6
3
u24
3
u7
3
u25
3
u8
3
u26
3
u9
3
u27
3
u10
3
u28
3
u11
3
u29
3
u12
3
u30
3
u13
3
u31
3
u14
3
u32
3
u15
3
u33
3
u16
3
u34
3
u17
3
u35
3
u18
3
u36
3
Как видно, здесь мы не можем применить условие «удаляем цикл с
одновременным удалением только одного ребра». Поэтому предварительно
удаляем последовательно из графа ребра (естественно получая при этом
другой граф) до получения условия удаления.
Например удалим из графа К9 три ребра.
Тогда, количество циклов проходящих по ребрам имеет вид:
u1
3
u19
2
u2
3
u20
2
u3
2
u21
3
u4
3
u22
2
u5
3
u23
2
u6
2
u24
2
u7
3
u25
2
u8
3
u26
2
u9
2
u27
2
u10
2
u28
2
u11
3
u29
2
u12
3
u30
2
u13
3
u31
2
u14
2
u32
2
u15
2
u33
1
u16
2
u17
2
u18
2
Применим к выделенной системе базисных циклов условие удаления и
получим систему циклов удовлетворяющую минимальному значению
функционала Мак-Лейна, получим подмножество
единичных циклов
характеризующих максимально плоский суграф (см. рис. 1)
c1 = {u1,u2,u9}; c3 = {u1,u6,u13}; c5 = {u2,u8,u21}; c6 = {u3,u7,u25};
c7 = {u3,u8,u26}; c10 = {u5,u6,u31}; c11 = {u5,u7,u32}; c12 = {u9,u15,u21};
c14 = {u10,u15,u26}; c16 = {u11,u14,u29}; c17 = {u12,u13,u31}; c18 = {u12,u14,u32}.
Рис. 1. Максимально плоский суграф
125
Метод случайного поиска
Данный метод основан на двух проходах алгоритма:
Рис. 2. проход 1
Рис. 3. проход 2
На первом проходе, используя последовательный выбор и суммирование с
ободом суграфа, пересекающихся единичных циклов минимальной длины с
обязательным условием появлением в суммарном ободе только новых
вершин (см. рис. 2). И тогда список всех вершин исчерпан, производится
выбор и введение в систему новых пересекающихся с ободом по ребрам
единичных циклов минимальной длины (2-ой проход, см. рис. 3).
Выделенный суграф с максимальным количеством ребер запоминается.
Случайным методом производится построение новой системы циклов
характеризующих
другой
максимально
плоский
суграф,
и
процесс
повторяется
Метод веерных деревьев
В качестве примера рассмотрим граф представленный на рис. 5.
Выделим множество единичных циклов:
c1 = {u1,u2,u3}  {x1,x2,x5}; c2 = {u1,u14,u15}  {x1,x2,x0};
c3 = {u3,u6,u8}  {x2,x4,x6}; c4 = {u4,u15,u16}  {x0,x2,x3};
c5 = {u4,u5,u6}  {x4,x2,x3}; c6 = {u5,u16,u17}  {x0,x4,x3};
c7 = {u10,u17,u18}  {x0,x4,x7}; c8 = {u7,u17,u19}  {x0,x4,x5};
c9 = {u9,u19,u20}  {x0,x5,x6}; c10 = {u8,u17,u20}  {x0,x4,x6};
126
c11 = {u7,u8,u9}  {x4,x5,x6}; c12 = {u6,u15,u17}  {x0,x2,x4};
c13 = {u3,u15,u20}  {x0,x2,x6}; c14 = {u11,u12,u18,u19}  {x0,x5,x7,x8};
c15 = {u9,u12,u13}  {x5,x6,x8}; c16 = {u2,u14,u20}  {x0,x1,x6};
c17 = {u10,u11,u12,u18}  {x4,x5,x7,x8}; c18 = {u8,u10,u11,u13}  {x4,x6,x7,x8}.
Относительно вершины х0 выделим веерное дерево
Рис. 4. Граф G
Рассмотрим все ребра, не вошедшие в дерево, и составим матрицу
инциденций:
x
u
1
1
x
2
1
x
3
x
4
5
x
7
2
u
1
3
u
1
4
u
8
5
u
6
u
1
7
u
1
8
u
9
u
10
u
11
u
12
u
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
x
1
u
0
x
6
1
1
F=
13
x
4
2
5
3
1
1
1
1
5
2
3
127
Если удалить ребра u3,u6,u8,u13 мы получим цикл, проходящий по всем
вершинам (см. рис.5). Здесь – функционал Гамильтона.
F=0
2
2
2
2
2
2
Рис. 5. Контур, проходящий по всем
2
2
Рис. 6. Максимально плоский суграф
вершинам
Затем, относительно контура строим внутренние циклы, затем
добавляем внешние циклы c1 = {u1,u2,u3
{x4,x2,x3}, c18 = {u8,u10,u11,u13
x1,x2,x5}, c5 = {u4,u5,u6
x4,x6,x7,x8}. Получаем максимально плоский
суграф без ребра u7 (см. рис. 6). Данный процесс продолжаем до полного
исчерпания вершин графа.
Литература
1. Курапов С. В. Алгоритм планарности графа / С. В. Курапов, Н. А.
Кондратьева/ Вісник Запорізького державного університету: Збірник наук.
статей. Фіз.-мат. науки. - Запоріжжя: ЗДУ, 2001, № 1. - С. 44-55
2. Мак-Лейн С. Комбинаторное условие для плоских графов / С. Мак-Лейн.
В кн.: Кибернетический сборник. Новая серия. - 1970.-вып. 7.- С.68-77.
128
КРИТЕРИЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ НАДСТРУКТУРЫ
НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ МОНОТОННЫХ ФУНКЦИЙ
МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ
Ларионов В. Б., Федорова В. С.
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
E-mail: [email protected], [email protected]
Обозначим через
k
множество
{
0
,1
,
, k
1
}.
Функция
f (x1,
,xn)
называется функцией k-значной логики ( k  2 ), если она определена на
все ее значения принадлежат
обозначим
k
k
 nk
и
. Множество всех функций k-значной логики
. Для любого подмножества A из
k
через [A] будем
обозначать его замыкание относительно операции суперпозиции.
Пусть на
k
задано некоторое отношение частичного порядка r.
~
n
~(a,
a
,an) и b(b
,b
1
1,
n) из  k
Возьмем два произвольных набора
говорить, что a~ не превосходит
записывать
~
a~  r b ,
Функция
~
b
относительно частичного порядка r и
если для любого 1  i  n справедливо неравенство
f (x1,
,xn)
~
~) f(b
f(a
).
r
ai  r bi .
называется монотонной относительно частичного
~
~, b
a
nk
порядка r, если для любых двух наборов
выполнено
. Будем
~
a~  r b ,
таких, что
Множество всех функций из
k
, монотонных
относительно r, называется классом монотонных функций  r .
Будем
задавать
частичный
порядок
множеством (ЧУМ) H из элементов
k
частично
r
упорядоченным
, а соответствующий класс обозначать
через   .
Пусть
p(x1,
,xm)
f (y1,
, yn)
– функция из множества
f (y1,
, yn)
сохраняет предикат
~(a,
a
,a
)
i
i1
im
f(a11,
,an1),…,
m
k ,
– некоторый предикат, определенный на
( i{1,,n}),
f(a
,
,a
)
1
m
nm
k
. Будем говорить, что функция
p(x1,
,xm),
если для любых n наборов
удовлетворяющих
предикату
p,
также удовлетворяет предикату
набор
p.
По
определению будем считать, что тождественно ложный предикат сохраняет
любая функция.
129
Обозначим через
Pol ( p )
множество функций, сохраняющих предикат p .
Класс   является замкнутым классом функций, сохраняющих предикат
R
(
x
,y
)

TRUE

x

[4].
ry
Везде далее, когда будем писать, что монотонный
класс задается предикатом R, подразумевается именно предикат
R ( x, y ) .
Одним из семейств предполных классов функций k-значной логики при
k 3
(везде далее рассматриваются только такие k) является некоторое
подмножество всех классов монотонных функций [5]. Класс   является
предполным тогда и только тогда, когда ЧУМ H обладает в точности одним
максимальным и одним минимальным элементом [3].
Одним из авторов ранее было доказано [1], [2], что в случае, когда класс
монотонных функций не является предполным, его надструктура (то есть
множество содержащих его классов) может быть бесконечной. В данной
работе устанавливается критерий наличия бесконечной надструктуры для
случая, когда ЧУМ H имеет в точности три максимальных элемента и один
минимальный.
Обозначим через
1
2
и
множества, изображенные на рисунке 1.
Рисунок 1. Множества
1
(слева) и
2
(справа).
Напомним некоторые достаточные условия для наличия у класса  
бесконечной надструктуры.
Определим L как множество, состоящее из всех ЧУМ H, которые
содержат подмножество
1 ,
изображенное слева на рисунке 1. Причем в H
не появляются пути из 0 в 3 по вершинам, являющимся максимумами 1 и 2.
Уточним это понятие: не существует последовательности элементов
в L такой, что v1  0 ,
vi  vi 1 ,
либо
v m  3 , vi
vi 1  vi ),
все
vi
сравнимо с
v i 1
{
1
,
,m

1
}) (то есть либо
( i
– максимумы 1 и 2.
130
v1 ,, vm
Теорема 1. [2] В решетке замкнутых классов над классом монотонных
функций, сохраняющих любое ЧУМ из определенного выше множества L,
находится бесконечная цепочка вложенных друг в друга различных
замкнутых классов.
С другой стороны, одним из авторов установлены достаточные условия
наличия конечной надструктуры у класса   .
Через
Li , j
будем
обозначать
множество
ЧУМ,
имеющих
i
максимальных элементов и j минимальных.
Рассмотрим произвольное ЧУМ H из элементов множества
принадлежащее множеству
Ls ,1 .
элементы множества H. Пусть
множества
d 
W{
1
,
,s}.
таких, что
d  hj
Пусть
h1 ,, hs
k
,
– все максимальные
– некоторое непустое подмножество
Wi
Обозначим через  W ЧУМ, состоящее из элементов
i
j  Wi
для любого
и
d  ht ,
если
t  Wi .
Для любых
двух элементов b1, b2 W выполнено b1  b2 тогда и только тогда, когда
i
b1  b2
в H.
Множество
  Ls ,1
назовем простым, если выполнены следующие
условия:
2. Для любого непустого Wi
W
множество  W непусто.
i
3. Каждое множество  W имеет единственный максимальный элемент
i
M Wi .
4. Если
Wi  Wj ,
то
MWi MWj
для любых подмножеств
Wi , W j
множества
W.
Теорема 2. [2] Любой класс монотонных функций, сохраняющих простое
ЧУМ, имеет конечную надструктуру.
Вопрос о мощности надструктуры классов монотонных функций, не
удовлетворяющих достаточным условиям конечности или бесконечности
остается открытым. Ниже мы покажем, что ни одно, ни другое условие не
являются необходимыми, и опишем новое семейство классов монотонных
функций, обладающих бесконечной надструктурой.
131
3
Для произвольного k  3 обозначим через Qk множество ЧУМ
составленных из элементов
2 ,
k
  L3,1 ,
таких, что ЧУМ H содержит подмножество
изображенное справа на рисунке 1, причем во множестве H не
появляется элемента a такого, что a меньше трех элементов 0, 1, 2 и больше
элементов 6, 7; элементы 0, 1, 2 являются максимальными в H, а элементы 3,
4, 5 – наибольшие из попарных минимумов максимальных элементов
множества H.
Теорема 3. Пусть
  L3,1 .
Надструктура класса   бесконечна тогда
и только тогда, когда для множества H справедливы условия теоремы 1 или
  Qk3 .
Работа
выполнена
при
поддержке
ФЦП
"Научные
и
научно-
педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 гг.
Литература
2. Ларионов В. Б. О положении некоторых классов монотонных kзначных функций в решетке замкнутых классов // Дискретная математика.
2009. Т. 21, № 5. С. 111–116.
3. Ларионов В. Б. Замкнутые классы k-значной логики, содержащие
классы монотонных или самодвойственных функций // Диссертация на
соискание степени к. ф.-м. н., 2009.
4. Мартынюк В. В. Исследование некоторых классов функций в
многозначных логиках // Проблемы кибернетики, вып. 3. М.: Наука, 1960.
С. 49–61.
5. Марченков С. С. Замкнутые классы булевых функций. Физматлит,
Москва, 2000.
6. Rosenberg I. G. La structure des fonctions de plusiers variables sur un
ensemble fini // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. 1965. Volume 260. P. 3817–
3819.
132
МАГИЧЕСКИЕ КУБЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Н. Макарова
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Определение 1. Традиционным (классическим) магическим кубом
порядка n называется куб размерами nхnхn, заполненный различными
натуральными числами от 1 до n3 так, что суммы чисел в любом из 3n2 рядов,
параллельных рёбрам куба, а также на четырёх (пространственных)
диагоналях куба равны одному и тому же числу, называемому магической
константой куба (в дальнейшем обозначается S) [7].
Сразу замечу, что это определение относится к простым магическим
кубам (simple magic cube). Здесь не приводится определение совершенных
магических кубов, а также всех других видов кубов, так как магический куб
3-го порядка, являющийся предметом настоящей статьи, простой куб.
Желающие могут посмотреть классификацию магических кубов в [6].
По аналогии с магическими квадратами будем рассматривать также
нетрадиционные магические кубы. Это такие кубы, которые заполняются
любыми натуральными числами, а условие равенства сумм во всех рядах,
параллельных рёбрам куба, и пространственных диагоналях куба тоже,
конечно,
выполняется.
нетрадиционный
Если
магический
не
куб,
оговорено,
то
считается,
что
что
рассматривается
речь
идёт
о
традиционном магическом кубе.
Определение 2. Магический куб (традиционный и нетрадиционный)
называется ассоциативным, если любые два элемента, расположенные
симметрично относительно центра куба, дают в сумме одно и то же число,
называемое константой ассоциативности куба (в дальнейшем обозначается
Ka).
Точно так же, как магические квадраты 3-го порядка, все магические
кубы 3-го порядка, как традиционные, так и нетрадиционные, ассоциативны.
Легко получить формулы для вычисления магической константы куба
порядка n и константы ассоциативности для ассоциативного куба.
133
S = n(n3 + 1)/2
Ka = n3 + 1 = 2S/n
(1)
В OEIS (Энциклопедия целочисленных последовательностей) даже
есть последовательность магических констант классических магических
кубов A027441.
Хотя эту последовательность очень просто можно получить по
формуле (1). Так, например, магическая константа куба 3-го порядка равна
42, куба 4-го порядка – 130, куба 5-го порядка – 315 и т. д.
Константа ассоциативности куба 3-го порядка равна 28, в центре
магического куба 3-го порядка всегда находится число 14 = Ka/2 = S/3.
“Разочарованные несуществованием совершенных кубов порядка 3
любители магических кубов решили ослабить требования и определить
разновидность полусовершенных кубов, которые, по-видимому, существуют
во всех порядках больше 2. Так называются кубы, в которых магическими
являются только прямые, параллельные рёбрам куба, и 4 пространственные
диагонали. Назовём их кубами Эндрюса в честь У. Эндрюса, посвятившего
им две главы в своей пионерской работе “Магические квадраты и кубы”
(1917). Куб Эндрюса порядка 3 должен быть ассоциативным с числом 14 в
центральной клетке. Таких кубов (с точностью до поворотов и отражений)
существует всего 4. Все они приведены в книге Эндрюса, хотя он не
сознавал, что ими исчерпываются все основные типы”. [3]
Понятно, что “кубы Эндрюса” это и есть простые магические кубы.
Пример классического магического куба 3-го порядка [4], [5] (рис. 1,2):
8
24 10
15 1
26
19 17 8
12 7
23
22 11 9
25 14 3
2
5
18 4
21 16
27 13
20
Рис. 1 Классический магический куб
В дальнейшем магический куб будет изображаться так, как показано на
рис. 1, то есть в виде трёх горизонтальных слоёв куба: верхнего, среднего,
нижнего. Связь плоской картинки с объёмной хорошо видна на рис. 1 – 2.
134
Рис. 2 Классический магический куб в пространстве
ПОСТРОЕНИЕ МАГИЧЕСКОГО КУБА ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Как же построить традиционный магический куб 3-го порядка? Один
из способов приведён в [2] (стр. 236 – 237). На рисунке изображён Эйлеров
куб (рис. 3):
010 102 221
201 020 112
122 211 000
101 220 012
022 111 200
210 002 121
222 011 100
110 202 021
001 120 212
Рис. 3 Эйлеров куб (троичная запись)
Это аналог греко-латинского квадрата. Чтобы из этого Эйлерова куба
получить магический куб 3-го порядка, надо считать элементы этого куба
троичными числами и перевести их в десятичную систему счисления,
увеличив затем каждый элемент на единицу. Полученный магический куб
приведён на рис. 4.
18 23 1
20 7
22 3
9
2
17
16 24
15
14 19
13 21 8
4
12 26
11 25 6
27 5
10
Рис. 4 Эйлеров куб (десятичная запись)
Это один из основных магических кубов 3-го порядка. Всего же
магических кубов 3-го порядка с учётом поворотов и отражений 4. Второй
основной куб изображён на рис. 1 - 2.
135
Существуют ещё два основных магических куба 3-го порядка [9].
Каждый из 4 основных вариантов магических кубов 3-го порядка имеет 384
эквивалентных варианта, включая основной.
Следует отметить, что в магическом кубе 3-го порядка благодаря его
ассоциативности магическую сумму дают диагонали, а также некоторые
строки и столбцы всех сечений куба, проходящих через центр.
На рис. 5 показано несколько таких сечений для куба, изображённого
на рис. 2.
12
7
23
15
1
26
24
1
17
25
14
3
25
14
3
7
14
21
5
21
16
2
27
13
11
27
4
8
24
10
10
26
6
6
17
19
25
14
3
7
14
21
3
14
25
18
4
20
22
2
18
9
11
22
19
15
8
10
23
9
20
16
6
21
14
7
1
14
27
27
14
1
20
13
9
19
5
18
22
12
8
Рис. 5 Сечения магического куба, проходящие через центр
Таким образом, в магическом кубе 3-го порядка можно получить не 3n2
+ 4 магических сумм, как в любом простом кубе порядка n, а 9n2 = 81
магических сумм [2].
ФОРМУЛЫ МАГИЧЕСКИХ КУБОВ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
На основе магического куба с рис. 4 составлена следующая
алгебраическая формула магических кубов 3-го порядка (рис. 6):
В этой формуле переменная a может принимать значения от 1 до 27 для
традиционных кубов и любые натуральные значения для нетрадиционных
кубов. Переменные b и c в общем случае могут быть любыми целыми
136
числами или нулём, но не равными нулю одновременно. Если переменные b
и c будут отрицательными целыми числами, то в кубе могут содержаться
отрицательные числа, но от них легко избавиться, увеличив все элементы
куба на одно и то же число.
a + c + a + 2c a
a + 2c a + 6b
a + c
8b
+b
+ 5b
+ 4b
a + 2c a + 2b
a+c+
+ 3b
7b
a+b
a + 8b a + c + a + 2c
4b
a + 3b
a + c + a + 2c
2b
a + c + a + 2c a + 5b
b
+ 6b
a + c + a + 2c
a + c a + 2c a + 7b
a + 2c a + 4b
6b
+ 3b
+ 8b
+ 5b
+ 2b
+ 7b
a+c
Рис. 6 формула магических кубов 3-го порядка
Магический куб, изображённый на рис. 4, получается по этой формуле
при следующих значениях переменных:
a = 1, b = 1, c = 9.
Формула составлена на основании того факта, что в традиционном
магическом кубе все числа разбиваются на три арифметические прогрессии
длины 9 с одинаковой разностью b, а первые члены этих прогрессий тоже
образуют арифметическую прогрессию с разностью c (вообще-то для
традиционного куба все числа образуют одну прогрессию длины 27 с
разностью b = 1, но эту прогрессию, конечно, можно разбить на три
прогрессии длины 9).
Магическая константа куба, построенного по данной формуле,
вычисляется так:
S = 3(a + c + 4b)
в чём легко убедиться, сложив элементы в любом ряду куба,
параллельном ребру куба, а также в любой пространственной диагонали
куба, изображённого на рис. 6.
Пример построения нетрадиционного магического куба 3-го порядка
по приведённой формуле.
Выберем произвольные значения переменных a, b и c, например, такие:
137
a = 2, b = 5, c = 11.
Получаем при этих значениях переменных такой нетрадиционный
магический куб (рис. 7):
53 44 2
29 32 38
17 23 59
39 12 48
42 33 24
18 54 27
7
28 34 37
64 22 13
43 49
Рис. 7 Нетрадиционный магический куб
Отметим, что построенный куб ассоциативен (как уже было отмечено,
все
магические
кубы
3-го
порядка
ассоциативны),
и
константа
ассоциативности вычисляется точно так же, как и для традиционного
магического куба:
Ka = 2S/3 = 2*99/3 = 66.
В центре куба находится число равное Ka /2.
Представлю ещё одну формулу (рис. 8). Теперь будем считать, что все
числа, заполняющие магический куб, разбиваются на 9 арифметических
прогрессий длины 3 с одинаковой разностью b, а первые члены этих
прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию с разностью c.
a + 5c a + 7c a
a + 6c a + 2c
a + 4c
+ 2b
+b
+b
+ 2b
a + 7c
a + 2b a + 5c
a + 2c a + 4c a + 6c
a + 3c a + 8c
a + c
+ 2b
+b
+b
+ 2b
a + 4c
a + 6c a + 2c
a + 8c a + c + a + 3c
+ 2b
+ 2b
+b
a+b
a + 5c a + 7c
+ 2b
+b
a+c
a + 3c a + 8c
+ 2b
+b
b
Рис. 8 Вторая формула магического куба
Готовый магический куб, построенный по ней, приведён на рис. 9.
Магическая константа этого куба
S = 3(a + b + 4c) = 3*(2 + 5 + 4*11) = 153
константа ассоциативности
Ka = 2S/3 = 2*153/3 = 102.
138
В центре куба находится число равное Ka /2.
Очевидно, что куб получился совсем другой (сравните с кубом на рис.
7).
67 84 2
73 24 56
13
45 95
79 12 62
34 51 68
40
90 23
7
46 78 29
100 18 35
57 89
Рис. 9. Магический куб для a=2, b=5, c= 11
Итак, мы имеем две формулы, по которым можно строить как
традиционные, так и нетрадиционные магические кубы 3-го порядка. Во всех
кубах, построенных по этим формулам, заполняющие их числа либо
образуют одну арифметическую прогрессию длины 27; либо 3 прогрессии
длины 9 с одинаковой разностью такие, что первые члены этих прогрессий
тоже образуют арифметическую прогрессию; либо 9 прогрессий длины 3 с
одинаковой
разностью,
первые
члены
которых
тоже
образуют
арифметическую прогрессию.
Однако магические кубы 3-го порядка, в отличие от магических
квадратов 3-го порядка, могут быть построены не только из чисел,
образующих арифметические прогрессии указанных видов.
Пример магического куба 3-го порядка, составленного из чисел, не
образующих никакую арифметическую прогрессию (рис. 10):
40 47 6
44 17 32
9
46 13 34
19 31 43
28 49 16
7
30 45 18
56 15 22
33 53
29 55
Рис. 10 Магический куб из чисел, не образующий арифметическую
прогрессию
Таким образом, приведённые выше условия для чисел массива, из
которого составляется магический куб 3-го порядка, являются достаточными
для построения такого куба, но не являются необходимыми.
139
На рис. 11 представлена общая формула магических кубов 3-го
порядка.
Очевидно, что формула получена из формулы с рис. 9 добавлением
переменных xi, i = 1, 2, …, 9. Значения переменных a, b, c могут быть
любыми целыми числами и нулём, но b и c не равны нулю одновременно.
Переменные xi
тоже являются любыми целыми числами и нулём, эти
переменные должны образовывать полумагический квадрат с магической
константой равной нулю (см. рис. 12).
a+c+8b
a+2c+4b a+x3
a+2c
+x1
+x2
+b
a+2c+3b a+2b+x5 a+c+7b
+x4
a+c+
a+3b-
a+c+2
a+2c+
5b
x1
b-x2
7b-x3
a+c+b
a+2c+
a+5b-
-x4
6b-x5
x6
a+c-x9
a+8b a+c+4 a+2c
+x6
a+b+x7
a+6b
b
a+c+6b
a
a+c+ a+2c+ a+7b
a+2c+
a+4b-
+x8
+2c+5b
3b
8b-x7
x8
2b
+x9
Рис. 11 Общая формула магических кубов 3-го порядка
x1 x2 x3
x4 x5 x6
x7 x8 x9
Рис. 12. Полумагический квадрат из дополнительных констант.
Кроме того, переменные xi должны удовлетворять следующим
условиям:
x1 = x9; x2 = x8; x3 = x7; x4 = x6
Формула для вычисления магической константы куба, построенного по
общей формуле с рис. 11, остаётся такой же, как для формулы с рис. 6:
S = 3(a + c + 4b)
Магический куб с рис. 10 получается по приведённой формуле при
следующих значениях переменных:
140
a = 11, b = 1, c = 16, x1 = 5, x2 = 0, x3 = - 5, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 0, x7 = - 5, x8
= 0, x9 = 5.
Магическая константа этого куба
S = 3(a + c + 4b) = 3*(11 + 16 + 4*1) = 93
константа ассоциативности
Ka = 2S/3 = 2*93/3 = 62.
Вывод: арифметические прогрессии для построения нетрадиционных
магических кубов 3-го порядка не обязательны.
Но массив чисел, из которых строится магический куб, должен
удовлетворять условиям: сумма всех чисел массива кратна 27; магическая
константа куба S (получается делением суммы всех чисел массива на 9)
кратна 3 и среди чисел массива есть число равное S/3. Это число будет
находиться в центре магического куба. Остальные 26 чисел массива должны
разбиваться на 13 пар комплементарных чисел (то есть дающих в сумме
константу ассоциативности куба Ka).
Следующая формула (рис. 13) магических кубов 3-го порядка получена
на основе Эйлерова куба (см. рис. 3):
r2+2r+
2r2+r+
3
2
2r2+r+
3
1
2
1
2r2+2 2r+1
r2+r+
r+1
r2+3
3
r2+2r+
2r+3
2
r2+r+
2r2+1
2
r2+2
2
r2+2r+
2r2+r+
r2+r+
1
3
1
2r2+2r+
2r2+2r+ r+3
1
2r2+3 2r+2
2r2+2r+ r+2
r2+1
3
Рис. 13 формула магических кубов 3-го порядка
В этой формуле r – любое натуральное число r ≥ 3; при r = 3 получаем
традиционный
магический
куб.
Магическая
константа
и
константа
ассоциативности кубов, построенных по приведённой формуле, вычисляются
так:
S = 3(r2 + r + 2)
Ka = 2(r2 + r + 2)
141
Если смотреть на числа в Эйлеровом кубе (рис. 3) как на десятичные
числа, сразу имеем готовый нетрадиционный магический куб, можно только
увеличить все элементы куба на единицу, чтобы не было нулевого элемента.
Интересно отметить, что во всех магических кубах, построенных по
данной формуле, присутствуют элементы 1, 2, 3.
МАГИЧЕСКИЕ КУБЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ИЗ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
На сайте [10] приведены два магических куба 3-го порядка из простых
чисел, оба они построены Akio Suzuki в 1977 г. Воспроизведу эти магические
кубы (рис. 14 – 15).
263
2309 2087
2129 107
2423
2267 2243 149
1439 1487 1733
2957 863
1847 1553 1259
683
1373 1619 1667
1019 797
839
2999 977
2843
Рис. 14 Магический куб 3-го порядка из простых чисел
2153 929
227
509
839
947
1523
317
1433 1559
1607 1193
647
773
1787 1103 419
683
1259 1367
1013 599
1979 1277 53
1697
1889
Рис. 15 Магический куб 3-го порядка из простых чисел
Доказано, что куб, изображённый на рис. 15, с магической константой
S = 3309 является наименьшим (т.е. имеющим наименьшую магическую
константу) магическим кубом 3-го порядка из простых чисел.
Магический куб с рис. 14 получается по общей формуле при
следующих значениях переменных:
a = 407, b = 180, c = 426, x1 = - 2010, x2 = 330, x3 = 1680, x4 = 330, x5 = 660, x6 = 330, x7 = 1680, x8 = 330, x9 = - 2010.
Магическая константа этого куба
S = 3*(407 + 426 + 4*180) = 4659.
константа ассоциативности Ka = 3106.
Второй магический куб Suzuki (рис. 15) получается по общей формуле
при следующих значениях переменных:
142
a = 1139, b = - 90, c = 324, x1 = 816, x2 = 6, x3 = - 822, x4 = 6, x5 = - 12, x6
= 6, x7 = - 822, x8 = 6, x9 = 816.
Магическая константа этого куба
S = 3*[1139 + 324 + 4*(-90)] = 3309
константа ассоциативности Ka = 2206.
Нерешённая проблема: не построен наименьший магический куб из
последовательных простых чисел.
Литература
[1] Шуберт Г. Математические развлечения и игры. Перевод с
немецкого. – Одесса, 1911.
[2] У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. – М.:
Мир, 1986.
[3] М. Гарднер. Путешествие во времени. Гл. 17. Магические квадраты
и кубы. – М.: Мир, 1990.
[4] Статья в Википедии “Магические кубы”
[5]
Статья
в
Википедии
“Простой
магический
куб”
http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_magic_cube
[6]
Статья
в
Википедии
“Классификация
магических
кубов”
http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_cube_classes
[7] Статья в журнале “Наука и жизнь” “Совершенный магический куб
8х8х8 и пандиагональный куб 7х7х7”(№6, 1976)
[8] Andrews W. S. Magic Squares & Cubes, Dover Publ, 1960 (original
publication Open Court, 1917)
[9] Веб-сайт http://members.shaw.ca/hdhcubes/cube_perfect.htm
[10] Веб-сайт http://www.members.shaw.ca/hdhcubes/cube_prime.htm
[11]
Научный
форум
dxdy.ru.
Магические
кубы.
http://dxdy.ru/topic27852.html
[12] Полный вариант статьи “Магические кубы третьего порядка”
http://www.natalimak1.narod.ru/kub3.htm
143
О ФУНКЦИЯХ ЧЕТЫРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ, МОНОТОННЫХ
ОТНОСИТЕЛЬНО ЛИНЕЙНЫХ ПОРЯДКОВ
А.С.Нагорный [email protected]
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Пусть E 4 = {0,1,2,3} и P4 — класс всех функций, отображающих
декартовы степени множества E 4 в E 4 . Элементы множества P4 будем
называть функциями четырехзначной логики или, кратко, четырехзначными
функциями.
Определения суперпозиции функций, замыкания, замкнутого класса,
полноты можно найти в [1].
Замкнутый
(относительно
суперпозиции)
класс
H
функций
четырехзначной логики назовем предполным в P4 , если H  P4 , но для любой
функции f  P4 ‚ H замыкание множества H  { f } совпадает с P4 .
Пусть  4 есть множество всех линейных порядков на E 4 . Запись
(abcd )   4 означает, что рассматривается порядок a  b  c  d . Обозначим
через M abcd множество функций из P4 , монотонных относительно порядка
(abcd )   4 . Известно [2], что все классы M abcd являются функционально
замкнутыми и предполными в P4 . Заметим, что M abcd = M dcba , поэтому классы
M abcd и M dcba в этой работе мы различать не будем. Легко проверить, что всего
имеется ровно 12 попарно различных классов вида M abcd .
Будем рассматривать всевозможные пересечения классов M  , где
  (abcd )   4 . Пересечение M   M   ...  M  назовем неприводимым, если
1
2
m
после удаления любого M  получается класс функций, не равный классу
i
функций, задаваемому исходным пересечением.
Теорема 1. Пусть A  0,1, 2,3, x (с точностью до конгруэнтных
функций). Все неприводимые пересечения классов вида
множеству A, суть
144
M ,
равные
6 пар вида
M abcd  M bdac ,
12 троек вида M abcd  M cdab  M cbda ,
8 троек вида M abcd  M cbda  M dbac ,
12 четверок вида
M abcd  M abdc  M dbca  M dbac ,
3 четверки вида
M abcd  M bcda  M cdab  M dabc ,
где (abcd ) — произвольный линейный порядок из  4 .
Замечание 1. Нетрудно убедиться в том, что при любом k  3
пересечение всех k !/ 2 различных классов k-значных функций, монотонных
относительно линейных порядков, равно 0,1,...k  1, x . Например, при k  3
имеем M 201  M 012  M 120  {0,1, 2, x} . Отметим, что пересечение в левой части
последнего равенства является неприводимым. Однако уже при k  4 , как
следует из теоремы 1, аналогичное пересечение всех 12 различных классов
монотонных функций не является неприводимым.
Для решения ряда задач может быть полезно определить, является ли
класс M   M   ...  M  подмножеством некоторого класса M .
1
2
m
Вложение M   M   ...  M   M 
1
2
m
назовем тупиковым, если оно
истинно, но после удаления любого M  из левой части этого вложения оно
i
становится ложным.
В качестве M рассмотрим класс M 0123 обычных монотонных функций.
Теорема 2. Ниже перечислены все тупиковые вложения пересечений
классов вида M  в класс M 0123 :
1) M 0123  M 0123 ,
2) M 3201  M 0132  M 0123
3) M1230  M 2130  M 0213  M 0123 ,
4) M1230  M1320  M 0132  M 0123 ,
5) M1230  M 0213  M 0132  M 0123 ,
6) M1230  M 2301  M 0132  M 1320  M 2301  M 0132  M 0123 ,
145
7) M 3012  M 3021  M 0213  M 0123 ,
8) M 3201  M 3012  M 2013  M 0123 ,
9) M 3201  M 3012  M 0213  M 0123 ,
10) M 3201  M 2301  M 3012  M 3201  M 2301  M 2013  M 0123 ,
11) M1230  M 3012  M 0213  M1230  M 3021  M 0213 
= M 2130  M 3012  M 0213  M 2130  M 3021  M 0213  M 0123 .
Замечание 2. Нетрудно видеть, что относительно подстановки
индексов
 0123 


 3210 
соответственно.
вложения
То
же
3)-6)
самое
переходят
можно
во
сказать
вложения
и
о
7)-10),
вложениях
M 1230  M 3021  M 0213  M 0123 и M 2130  M 3012  M 0213  M 0123 из пункта 11). Для других
пар вложений, перечисленных в теореме 2, не существует такой подстановки
индексов, переводящей их друг в друга.
Замечание 3. Очевидно, все тупиковые вложения пересечений классов
вида M  в класс M abcd получаются из формулировки теоремы 2 с помощью
 0123 
подстановки индексов 
.
 abcd 
В заключение отметим, что автор получил аналогичные результаты для
всех остальных предполных в P4 классов монотонных функций (монотонных
относительно частичных порядков с двумя несравнимыми элементами), а
также
для
всех
классов
четырехзначных
функций,
сохраняющих
нетривиальные разбиения множества E 4 . Похожие свойства предполных
классов трехзначной логики из тех же семейств были получены автором
ранее (см., например, [3]).
Автор
выражает
искреннюю
благодарность
А.А.Вороненко
за
постановку задачи и С.С.Марченкову за ценные замечания.
Литература
1. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. — М.: Наука,
1986. — 384 с.
146
2. Яблонский С. В. Функциональные построения в k -значной логике //
Тр. МИАН СССР им. В. А. Стеклова. — 1958.— Т. 51. — С. 5–142.
3. Нагорный А. С. О свойствах предполных классов в трехзначной логике
// Матерiали Одинадцятого Мiжвузiвського науково-практичного
семiнару «Комбiнаторнi конфiгурацii та iх застосування».- Кiровоград,
2011. — С. 117-122.
ТОЧНІ ТА НАБЛИЖЕНІ МЕТОДИ ВІДСІКАННЯ ДЛЯ
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ ОПТИМІЗАЦІЙНИХ ЗАДАЧ НА
ПЕРЕСТАВЛЕННЯХ
Ольховський Д.М. [email protected]
Полтавський університет економіки і торгівлі
Всебічний розвиток та дослідження задач евклідової комбінаторної
оптимізації є передумовою успішного моделювання важливих соціальних,
економічних, природничих та інших процесів.. Теорія і методи евклідової
комбінаторної оптимізації включають систематичне вивчення властивостей
комбінаторних множин та їх дослідження, модифікацію відомих та розробку
нових методів розв’язування оптимізаційних задач комбінаторного типу.
Значна кількість публікацій, що з’явилася останнім часом і присвячена
евклідовій
комбінаторній
оптимізації,
свідчить
про
необхідність
та
важливість подібних досліджень
Актуальним є подальше дослідження підходу до розв’язування
комбінаторних оптимізаційних задач, що ґрунтується на ідеях методів
відсікання для задач оптимізації лінійних функцій з лінійними додатковими
обмеженнями, в яких допустима точка має переставні властивості. Одним із
недосліджених питань у даному напрямку є вивчення можливості
застосування поліноміальних методів до розв’язування певних класів чи
окремих випадків комбінаторних задач оптимізації, дослідження структури
та властивостей даних для використання поліноміальних методів.
147
Таким чином, актуальними є нові дослідження в області оптимізації на
комбінаторних множинах.
В дисертаційній роботі поставлена загальна задача евклідової
комбінаторної оптимізації на множині переставлень.
Вперше
запропоновано
та
обґрунтовано
метод
комбінаторного
відсікання на основі алгоритму Кармаркара для умовних лінійних задач
комбінаторної оптимізації на переставленнях, в якому на відміну від відомих
методів комбінаторного відсікання для задач на вершинно розташованих
множинах ДЗЛП розв’язуються не певною різновидністю симплекс-методу, а
поліноміальним алгоритмом Кармаркара. Одержано симплексну форму
переставного многогранника, яка необхідна для застосування алгоритму
Кармаркара при розв’язуванні допоміжних задач лінійного програмування в
методі комбінаторного відсікання. При цьому розв’язана проблема побудови
суміжних точок для розв’язку ДЗЛП та побудова нерівності-відсікання.
В роботі вперше запропоновано та обґрунтовано другий метод
комбінаторного відсікання в умовних лінійних задачах на вершинно
розташованих множинах з виключенням виродженості в допоміжних задачах
лінійного програмування. Запропоновано модифікацію цього методу з
можливістю
приєднання
необхідних
та
відкидання
спрацювали, та вже зайвих обмежень, що дозволить
обмежень,
що
значно збільшити
вимірність задач, що можуть бути розв’язані.
Запропоновано підхід розв’язування комбінаторних задач оптимізації з
застосуванням представлення комбінаторного многогранника у вигляді
графа. Вперше запропоновано метод відсікання вершин графа та наближений
поліноміальний метод аналізу графа.
Створено
практичну
реалізацію
всіх
підходів
та
методів,
запропонованих в роботі, що дозволило провести чисельні експерименти для
підтвердження
практичної
ефективності
результатів.
практичній
реалізації
В
148
та
значну
коректності
отриманих
увагу
приділено
було
багатопроцесорним обчисленням, що дозволило скоротити час знаходження
розв’язку в методі аналізу графа.
Побудовані алгоритми та їх програмна реалізація можуть бути
застосовані в реальних задачах економіки, сфери виробництва тощо.
Основні результати досліджень опубліковані в таких наукових працях:
1. Ємець О.О. Оптимізація лінійної функції на переставленнях: перетворення
переставного многогранника до вигляду, необхідного для використання в
алгоритмі Кармаркара
/ О.О. Ємець, Є.М. Ємець, Д.М. Ольховський //
Наукові вісті НТУУ «КПІ». – 2010. – № 2. – С. 43-49.
2. Ємець О.О. Другий метод комбінаторного відсікання та розв’язування
комбінаторних транспортних задач на переставленнях / О.О. Ємець, Є.М.
Ємець, Д.М. Ольховський, Т.О. Парфьонова // Штучний інтелект. – 2011. – №
1. – С. 161-167.
3. Ємець О.О. Оптимізаційні задачі на переставленнях: метод комбінаторного
відсікання з використанням алгоритму Кармаркара
/ О.О. Ємець, Є.М.
Ємець, Д.М. Ольховський // Наукові записки НАУКМА. – 2011. – т. 125. – С.
61-63.
4. Ємець О.О. Другий метод комбінаторного відсікання в задачах на
вершинно
розташованих
множинах
з
виключенням
виродженості
в
допоміжних задачах лінійного програмування / О.О. Ємець, Є.М. Ємець,
Д.М. Ольховський // Комбінаторні конфігурації та їх застосування: матеріали
дев’ятого Міжвузівського науково-практичного семінару 16-17 квітня 2010р.
– Кіровоград, 2010. – С. 44-48.
5. Ємець О.О., Ємець Є.М., Парфьонова Т.О., Ольховський Д.М. Транспортні
задачі
на
переставленнях
та
їх
розв’язування
другим
методом
комбінаторного відсікання – Збірник наукових праць: Економіка: Проблеми
теорії і практики. Випуск 264. Том VІ – Дніпропетровськ: ДНУ, 2010 –
С.1449-1457.
149
6. Ємець О.О. Розв’язування оптимізаційних задач методом відсікання
вершин графа переставного многогранника / О.О. Ємець, Є.М. Ємець, Д.М.
Ольховський // Інтелектуальні системи в промисловості і освіті (ІСПО-2011):
Тези доповідей Третьої міжнародної науково-практичної конференції 2-4
листопада 2011 року. – Суми: Видавництво СумДУ, 2011. – Т. ІІ. – С. 106108.
7. Ємець О.О. Модифікація другого методу комбінаторного відсікання / О.О.
Ємець, Є.М. Ємець, Д.М. Ольховський // Питання оптимізації обчислень
(ПОО-XXXVII): праці міжнародної молодіжної математичної школи. – Київ:
Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, 2011. – С. 60-61.
ГРАФ-ОБСТРУКЦІЯ ОБМЕЖЕНОГО ОРІЄНТОВАНОГО РОДУ
В. І. Петренюк
Кiровоградський національний технiчний унiверситет
Задача: Побудувати із скінчених простих графів Gi орієнтованого роду
 (Gi ) , де i  1,2 , новий граф-обструкцію G , без вершин степеня 2, обмеженого
орієнтованого роду (G) , кожне ребро якого є суттєвим відносно роду при
операції видалення ребра, тобто задовольняє рівності (G \ u)  (G) 1 . Основний
результат: теорема 1 із необхідними умовами існування графів-обструкцій.
Вступ. Основні позначення взяті із [1], [2]. Нехай G неорієнтований
скінчений граф без петель і кратних ребер ейлеревого роду G  , а S замкнутий 2-многовид роду  S  , де G   S   1 . Якщо це орієнтована
поверхня, то позначатимемо її через  , а якщо це неорієнтована поверхня, то
позначатимемо її через  .
Визначення 1. Граф G називається таким, що неприводиться над S або  G  неприведеним (irreducible), якщо для будь-якого власного підграфа H графа
G має місце нерівність: H   S   G  . Множину всіх G  – неприведених
графів позначимо через ζ(S).
Визначення 2. Граф G мінімальний (мінор) над S , якщо для будь-якого
графа G ' , отриманого з графа G видаленням або стисканням довільного
ребра, має місце нерівність G  S   G . Множину всіх графів мінімальних
над S позначимо через ГS.
150
Множина всіх графів, що неприводяться над S містить ГS характеризує
множину всіх графів рід яких не меньше  S   1 . Якщо S  0 евклідова
площина, то ГS = K 5 , K 3,3 .
Визначення 1,2 узяті з [3], [4], відповідно. Нехай S   - орієнтована
замкнута поверхня роду    ,   0 ,   n  1 . Задача побудови всіх графів,
що неприводяться над  зводиться, як показано в [5] до задачі переліку всіх
блоків, тобто графів без точок з’єднання, що неприводяться над  . Доведено
в [9], що графи В1, В2, В3, К3,7 неприводяться для тору σ1, а Gn n–
мінімальний блок, що неприводиться при n  1. Граф G n був побудований в
[6], а в [7], [8] було доведено, що є три 2–неприведених підграфи графа К8, а
саме: B1  K 80 , K 81 \ K 31  , B2  K80 , K81 \ K11,2  2K 21  , B3  K80 , K81 \ K 21,3 .
В [18]
розв'язувалася ця ж задача, доведено, що один граф містить підграф
ізоморфний В3, тобто має зайве ребро. В [9] наведено два графи G1,G2
неприведені для тору, а в [14] знайдені в обох зайві ребра. В [10] доведено,
що граф К3,7 мінімальний над тором. Граф К3,7 наведено в [11], де було
доведено, що К3,11 мінімальний для подвійного тору σ2. В [10], [13] зроблено
припущення, що граф K 3,4 p  3 ( p  1) –мінімальний блок, де p  0 , та доведено,
що граф К3,7 мінімальний для пляшки Клейна, а К3,9 мінімальний для
поверхні ейлеревої характеристики –1. Наведений в [15] повний список 63х 2-неприведених графів із 9-ма вершинами (з них 48 мінорів) побачити
немає можливості так само, як і результати з [16], [17]. В [19], [20] виписані
2-неприведені графи без підграфів гомеоморфних К3,3. Більше наведено в
огляді [21].
Задача. Побудувати із скінчених простих графів Gi роду  (Gi ) , де i  1,2 ,
новий граф G , без вершин степеня 2, G  (G 0 , G1 ) , обмеженого роду (G)
певною верхньою величиною, кожне ребро якого є суттєвим відносно роду
при операції видалення ребра, для довільного ребра u  G1 виконується рівність
(G \ u)  (G)  1 , тобто графів-обструкцій обмеженого ейлеревого роду. Для
орієнтованого роду графа ця задача буде задачею 1, а для неорієнтованого
роду графа задачею 2.
§1. Основний результат по задачі 1
1. Найпростіший варіант задачі 1 матимемо, коли один з графів Gi , саме G1 ,
є виродженим в одну чи більше точок, а другий буде не виродженим графом
G2 , вершини якого з’єднуються
принаймні двома ребрами із кожною
вершиною виродженого графа, створюючи граф G . Коли G1  v , то граф G
(так званий арех-граф) можливо подати як φ-образ графа G2  Stm (v) при φперетворенні
наступного
m
(G2  Stm (v),  (ai  gi ))  (G,{ai}mi1 ) ,
виду:
i 1

де
ототожнюються попарно вершини з множини X , X  {ai }mi1 , із висячими
вершинами g i зірки Stm (v) . Верхня оцінка роду арех-графа знайдена в [22] на
151
основі числа досяжності
tG2 ( X )
та нових характеристик
G2 ( X ) , G ( X )
2
множини точок X графа G2 із [24], а в [23] отримано нижню границю арехграфа шляхом використання теореми про чотири фарби. У випадку коли граф
G1 скла -дається з двох ізольованих вершин v, w покладемо, що G2 : G , v : w ,
позначимо через Х множину точок графа G2 , визначимо згадані вище її
характеристики та виконаємо згад -ане вище φ-перетворення для не
виродженого графа G2 і Stm (v) (зводимо до випадку виродженого в точку w
графа G1 ). Надалі вважатимемо, що граф G1 не містить ізольо -ваних вершин,
а під точкою розумітимемо, або вершину, або внутрішню точку ребра.
2. Нехай граф G1 є зв’язним і кожна його вершина v є центральною
вершиною додаткової зірки із принаймні одним висячим ребром-променем,
який виходить із v . Тоді називатимемо граф G1 центром квазізірки Stm (G1) із
m висячими вершинами g i , або квазізіркою Stm (G1) . Розглянемо φперетворення графа G2 + Stm (G1) на граф G визначене наступним чином:
m
(G2  Stm (G1 ),  (ai  gi ))  (G,{ai}mi1 ) , т.то шляхом ототожнення кожної пари точок
i 1

(ai , gi ) в вершину ai , де множина точок Х графа G2 , X  {ai }im1 , має задане число
досяжності tG2 ( X ) та задані характеристики G2 ( X ) , G2 ( X ) . Для повноти
викладення нагадаємо про число досяжності множини точок Х графа G як
найменьше число 2-клітин si з множини   (G ) \ f (G ) на границях si яких
лежить f (X ) , а f пробігає множину всіх неізоморфних мінімальних вкладень
графа G в   (G ) . Характеристики G2 ( X ) , G2 ( X ) визначені в [24], [25] і
тільки одна ненульова..
Теорема 1. Нехай мають місце наступні співвідношення А,Б,В:
А. Кожне ребро u, u  Gi1 , зв’язного графа Gi , i=1,2, задовольняє тільки одній
із насту -пних умов: 1). Є суттєвим відносно роду  (Gi ) при операції
видалення ребра u ;
2). Суттєве відносно числа tGi (Mi ) при операції видалення ребра
tGi \u (Mi )  tGi (Mi )  1 та несуттєве відносно чисел Gi (M i ) , Gi (Mi ) , де M 2  {ai }im21 ,
M1  {gi' }im11 - множина всіх вершин g i' графа G1 інцидентних висячим ребрам
( gi' , gi ) квазізірки Stm (G1) ,i=1,2.
Б. Виконуються рівність tGk (M k \ {x})  tGk (M k )  1 принаймні для одного
k , k {1,2} , та для кожного елемента x, x  M i , де M1  {ai }im11 , M 2  {gi' }im21 , i=1,2;
В. 1) Задане
φ-перетворення графа
Stm (G1) + G2 на граф G
визначене
m2 ni
наступним чином: (Stm1 (G1 )  G2 ,   ( gij  ai ))  (G,{ai}mi12 ) , та виконане шляхом
i 1 j 1

ототожнення кожної підмножини впорядкованих пар вершин {(gij , ai )}nji1 , де
152
m2
 ni  m1 , в вершину
i 1
M1  {{gij' }nji1}im21 ,
ai графа G , де множини вершин M k графа Gk ,
M 2  {ai }im21 мають задане число досяжності tGk (M k ) та задані
характеристики Gk (M k ) , Gk (M k ) , k  1,2 , а вершина g ij є висячою вершиною
квазізірки Stm1 (G1) суміжною вершині gij' графа G1 та належить до множини
M1'  {{gij }nji1}im21 . Тоді виконуватимуться наступні твердження: 1) кожне ребро u
графа G суттєве відносно роду (G) при операції видалення ребра, 2) Має
2
місце наступна нерівність: (G)   (Gk )  tGk (M k )  1  Gk (M k )  Gk (M k ) .
k 1
Доведення. Розглянемо мінімальне вкладення f k графа Gk в замкнутий
орієнтований 2-многовид  k роду  (Gk ) , при якому множина точок M k
графа Gk розміщується на границях t k 2-кліток із підмножини SGk (M k )
множини  k \ f k (Gk ) , SGk (M k )  {si }ti k1 , та має певні характеристики Gk (M k ) ,
Gk (M k ) , tk  tGk (M k ) , де tk  2 , k=1,2.
Виконаємо стандартні операції приєднання до 2-клітин si , SGk (M k )  {si }ti k1 , 2ручок у кількості N k , Nk  tGk (M k )  1  Gk (M k )  Gk (M k ) . Згідно [24]
отримаємо нове вкладення f k'
многовид  'k
графа Gk в замкнутий орієнтований 2-
роду  (Gk )  N , при якому множина точок M k графа Gk
розміщується на границі деякої клітини sk ' , sk'  'k \ f k' (Gk ) , k=1,2. Візьмемо
пару дисків d1,d 2 із середини клітин s1' , s2' , відповідно, та ототожнимо границі
цих дисків і отримаємо 2-ручку h , приєднану до цих клітин різних 2многовидів, яка має границею s1'  s2' та об’єднує обидва 2-многовиди  'k
роду  (Gk )  N k в новий 2-многовид  ' роду
2
 (Gk )  Nk . Також матимемо
k 1
вкладення f , f  f1  f2 , f : G1  G2  ' , яке розміщує множину f (M1  M 2 ) на
h . Виконаємо φ-перетворення із співвідношення В шляхом ототожнення
кожної висячої вершини g ij з множини {gij }nji1 та вершини ai з множини
M 2  {ai }im21 в точку ai* , i  1,2,... m2 . Тоді образом довільного висячого ребра
( gij , gij' ) квазізірки Stm (G1) буде ребро (ai*, gij' ) і кожне таке ребро розрізатиме
2-ручку h . Множина кінцевих вершин всіх ребер (ai*, gij' ) не породжуватиме
частинних підграфів графа G гомеоморфних K 4 , K 2,3 і тим самим не буде
трьох пар вершин які розділятимуть одна одну на площині кільця s1'  s2' .
В результаті такого φ-перетворення отримаємо граф G роду (G) , що
задовольняє нерівності
2
 (Gk )  (tGk (M k )  1)  Gk (M k )  Gk (M k ) . Покажемо, що
k 1
153
кожне ребро u графа G є суттєвим відносно роду (G) при операції
видалення ребра. Наступні два варіанти вичерпують всі можливості:
Варіант 1. Ребро u графа G є φ-образом ребра u ' , що належить графу Gk ,
k=1,2. В силу співвідношення А при операції видалення ребра u ' , або
зменшиться на 1 рід  (Gk ) , або зменшиться на 1 число досяжності tGk (M k )
множини вершин M k графа Gk , та без змін залишаться характеристики
Gk (M k ) , Gk (M k ) , k=1,2.
Варіант 2. Ребро u графа G є φ-образом ребра u ' , що не належить жодному
графу Gk , k=1,2, тобто є висячим ребром графа Stm (G1) . В силу
співвідношення Б видалення ребра u ' означатиме видалення однієї чи обох
його кінцевих вершин із множини верш -ин M k графа Gk , яке призведе до
зменшення на 1 числа досяжності tGk (M k ) , k=1,2.
В кожному з цих варіантів матимемо зменшення на 1 верхньої оцінки
для (G) , що означатиме виконання рівності (G \ u' )  (G)  1 . Доведення
закінчене.
Наслідок 1. Нехай граф G1 вироджується в точку g 0 та кожне ребро u, u  G2 ,
зв’язного графа G2 , або є суттєвим відносно роду  (G2 ) при операції
видалення ребра u , або є суттєвим відносно числа tG2 (M 2 ) при операції
видалення ребра та несуттєвим відносно чисел G2 (M 2 ) , G2 (M 2 ) , де
M 2  {ai }im1 , M1  {gi' }im1 , M1 множина всіх вершин інцидентних висячим ребрам
( gi' , g0 ) квазізірки Stm ( g0 ) та для кожного елемента x , x  M 2 , має місце
рівність
tG2 (M 2 \ {x})  tG2 (M 2 )  1 .
Stm ( g0 ) + G2 на граф G
Якщо
задане
φ-перетворення
m
графа
наступним чином: (Stm ( g0 )  G2 ,  ( gi  ai ))  (G, {ai} i1 ) , та
i 1
m

виконане шляхом ототожнення кожної підмножини впорядкованих пар
вершин, в вершину ai графа G , де множини вершин M1  {gi' }im1 , M 2  {ai }im1
число досяжності tG2 (M 2 )  2 та задані характеристики G2 (M 2 ) , G2 (M 2 ) , а
вершина g i є висячою вершиною квазізірки Stm ( g0 ) . Тоді кожне ребро u
графа G суттєве відносно роду (G) при операції видалення ребра та
(G)  (G2 )  tG2 (M 2 )  G2 (M 2 )  G2 (M 2 ) 1 .
Наслідок 2. Якщо граф G побудовано згідно теоремі 1 та виконується рівність
2
(G)   (Gk )  tGk (M k )  1  Gk (M k )  Gk (M k ) , то кожне ребро u графа G суттєве відносно
k 1
роду (G) при операції видалення ребра, тобто отримаємо граф-обструкцію
роду (G) .
Наслідок
3.Якщо
граф
G
задовольняє
наслідкові1і
(G)  (G2 )  tG2 (M 2 )  G2 (M 2 )  G2 (M 2 ) 1 , то кожне ребро u графа G суттєве відносно
154
роду (G) при операції видалення ребра, тобто отримаємо граф-обструкцію
роду (G) . .
Наведемо наступні приклади. Приклад1: Нехай граф G побудовано з
трьох трикутників без спільних вершин та двох несуміжних ізольованих
вершин, що з’єднані ребрами із кожною вершиною цих трикутників.
Створимо подобу до графа G подавши її як φ-образ трьох різних K5 \ u , тобто
квазізірки St= St2 ( K5 \ u ) , із центром G1 , G1  K5 \ u і двома висячими вершинами
( g1 , g 2 ) , суміжними із вершинами g1' , g2' графа K5 \ u , множина яких має число
досяжності 2, та графа G2 роду 1, створеного з G21 , G22 двох копій графів
K5 \ u у яких пари несуміжних вершин (a21k , a22k ) ототожнені в пару вершин
(a1, a2 ) . Позначимо через M 2 множину {a1, a2} , а через M1 множину {g1' , g2' } ,
тоді єдиними ненульовими характеристиками цих множин будуть числа
досяжності tG2 (M 2 )  1 , tSt (M1)  2 . Нескладно впевнитися у виконанні
співвідношення А в частині 2) та співвідношення Б теореми 1 для
площинного графа G1 та тороідального графа G1 , тоді маємо нерівність
(G)  0  1  2  1  1  1. Якщо стиснути одне з ребер ( g1 , a1 ) , ( g 2 , a2 ) , то отримаємо
граф-обструкцію рода 2.
Приклад 2: Для графа з приклада 1 можливе подання як φ-образа зірки St9 ( g0 )
та одно -зв’язного графа G2 складеного з трьох копій графа K4 з однією
спільною вершиною v .
Множина вершин M 2 , складена із всіх вершин графа G2 \ v матиме число
досяжності tG2 (M 2 )  3 та нульовими характеристиками G2 (M 2 ) , G2 (M 2 ) .
Видалення з графа G2 довільного ребра зменшує на 1 число tG2 (M 2 ) , так само
як і видалення довільного елем -нта множини M 2 , тобто виконується
співвідношення А в частині 2) та співвідношення Б для G2 . Отже маємо
нерівність (G)  3  1  2 та граф-обструкцію рода 2.
Висновок: Теорема 1 та її наслідки може використовуватися в
алгоритмах побудови графів-обструкцій обмеженого орієнтованого роду.
Лiтеpатуpа
1.
Хоменко М. П. φ-перетворення графів. Препринт ИМ НАНУ, Київ,
1971,378с.
2. Хоменко М. П. Топологические аспекти теории графов. пpепpинт ИМ
АHУ, Киев, 1970.
3. Brown T. Duke R.A.An irreducible graph consisting а single block.J. Math. and
Mech. 1966 15 № 1 129 – 135.
4 Joachim E. Minimale nicht in die Ringflache einbettbare Grapghen.Elem. Math.
1978, 33 № 3 57 – 61.
5. Youngs J. W. Irreducible graphs. Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964) 404 – 405.
155
6. Auslander L. Brown T. Youngs J. W. T.The embedding graphs in manifolds.J.
Math. and Mech. 12 (1963) 629 – 634.
7. Brown T. Duke R.A.An irreducible graph consisting а single block.J. Math. and
Mech. 1966 15 № 1 129 – 135.
8. Duke R.A. Haggard G.The genus subgraphs K8. Israel J. Math. 11 (1972) 452 –
455.
9. Huneke J. P. A genus а graph. Relations betwen combinatorics and other parts
mathematics.Amer. Math. Soc. Providence R. I v 34 1979 357 – 364.
10. Joachim E. Minimale nicht in die Ringflache einbettbare Grapghen.Elem.
Math. 1978, 33 № 3 57 – 61.
11. Joachim E. Minimale Grapghen ouf orientierbaren geschlosenen Flachen.Math.
phis. Semesterber 1979 26 № 2 205 – 216.
12. Joachim E. Zur Theorie der nicht ebenen Graphen.Praxis Math. 22 (1980) № 7
212 – 216.
13. Joachim E. Beispiele nicht ebenen Graphen.Praxis Math. 22 (1980) № 9 279 –
281.
14. Петренюк В.І. Властивості 2-незведених простих графів. Штучний
інтелект №2,2008,с.34-40
15. Huneke J.P, Johns G, A.Hlavachek 9-Vertex Irreducible Graphs on the Torus.
Southeastern Internat ional Conference on Combinatorics, Graph Theory, and
Computing, Boca Raton, Florida, 2006.
16. Milgram M. Irreducible graphs.J. Combin Theory Ser B12 (1972) 6 – 31.
17. Milgram M.Irreducible graphs.J. Combin Theory 14 (1973) 7- 45.
18. Youngs J. W. Irreducible graphs. Bull. Amer. Math. Soc. 70 (1964) 404 – 405.
19. Gagarin A.,William K. Embedding graphs containing K5-subdivisions. Ars
Combinatoria, 64:33– 50, 2002.
20. Gagarin A., Myrvold W.,Chambers J.The obstructions for toroidal graphs with
no K3,3’s.
Preprint submitted to Elsevier Science, 1 February 2008
21. Mochar B.,Kawarabayashi K. Some Recent Progress and Applications in
Graph Minor Theory, Preprint submitted to Elsevier Science. July 11, 2006
22. Петpенюк В. I. Об оценке pода специальних гpафов. деп. pукопис в
УкpHИИТИ №2259-Ук86 22.09.1986
23. Mohar Bojan. Face covers and the genus problem for apex graphs. J. Combin.
Theory, B 2001.v. 82 p.102-117.
24. Петpенюк В.I. Узагальнена oцінка роду простого графа.Искусст.
интеллект.2004. т.,4.с. 34-45.
25. Петpенюк В. I. Две характеристики дуального графа плоcкого графа. Мат.
межд. конф. "Искусст. интеллект-2004", Кацивели,Украина: "Наука і
освіта", 2004. с. 230-231.
156
КОРДІАЛЬНІСТЬ ГРАФІВ «ЯЛИНКА»
Петровська Т.В., Терновський П.А.
Кіровоградський національний технічний університет
{0,1}-Нумерацією вершин звичайного графа G називають відображення
φ:V(G)→{0,1}. Множина вершин, які відображаються в 0, позначимо V0 і
введемо додаткові позначення V1 = V(G)–V0, v0 = |V0|, v1 = |V1|. Нумерація
вершин графа G породжує {0,1}-нумерацію його ребер: ребро одержує номер
0, якщо номери його кінців однакові, та номер 1 у протилежному випадку.
Вершину з номером 0 називають 0-вершиною, із номером 1 – 1-вершиною.
Подібним чином ребро з номером i називають i-ребром, i{0,1}. Множину iребер позначимо Ei, i{0,1}.
1. Кордіальність нумерацій та графів
{0,1}-Нумерація графа G кордіальна [1], якщо |v1–v0| ≤ 1 і одночасно
|e1–e0| ≤ 1. Граф, що допускає кордіальну нумерацію, називається
кордіальним. Кордіальну нумерацію графу G назвемо нейтральною, якщо
для неї e1  e0 , дужою, якщо e1  e2 , та слабкою, якщо e1  e0 . Цікаво, що
існують графи, які одночасно допускають як дужу, так і слабку нумерації.
Графи з такою властивістю ми називаємо кордіально універсальними.
Розглянемо кордіальність ланцюгів-дерев, які є незамкненою ламаною
лінією (вершини ламаної-вершини графа, звенья-ребра).
Теорема 1. Ланцюги з парною кількістю вершин кордіально
універсальні, ланцюги з непарною кількістю вершин мають нейтральну
нумерацію.
Доведення. Ланцюги з парною кількістю вершин мають непарну
кількість ребер. Якщо їх пронумерувати так: 001100...011 (починаємо
нумерацію з нульового ребра), де порівну ребер одиничних та нульових та
157
одне останнє нульове ребро , в такому випадку граф буде мати слабку
нумерацію
n  2t , e  2t  1, e0  e1  1  e0  t , e1  t  1 ,
де n-кількість вершин ланцюга.
Якщо вершини цього ж графа пронумерувати так: 0110010...110
(починаємо нумерацію з одиничного ребра), де порівну ребер одиничних та
нульових та одне останнє одиничне ребро, в такому випадку граф буде мати
дужу нумерацію: n  2t , e  2t  1, e1  e0  1  e1  t , e0  t  1 , тобто граф
буде кордіально універсальний.
Ланцюги з непарною кількістю вершин мають парну кількість ребер.
Тому граф може мати тільки нейтральну нумерацію. Якщо кількість ребер
ділиться на 4 ( m  0(mod 4) ), їх можна пронумеровати так: 001100...110, де
порівну ребер одиничних та нульових n  2t  1, e  2t , e1  e0  t . Якщо
m  2(mod 4) в такому випадку вершини графа можна пронумерувати так:
001100...001, де теж порівну ребер одиничних та нульових:
n  2t  1, e  2t , e1  e0  t , в такому випадку граф буде мати нейтральну
нумерацію. Теорему доведено.
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
а) e1  1, e0  2
б) e1  2, e0  1
в) e1  e0  2
Рис.1. Слабка (а) та сильна (б) нумерації кордіально універсальних ланцюгів
при парному n. Нейтральна (в) кордіальна нумерація ланцюга при непарному
n.
158
Розглянемо графи -ялинки, які складаються з ланцюга, та ребер, які
починаються з вершин ланцюга ( по одній з кожної вершини). З обох сторін
ланцюга знаходиться рівна кількість ребер (див. рис 2, рис 3).
Теорема 2. Якщо ланцюги мають парну кількістю вершин, то графялинка кордіально універсальний, якщо ланцюги мають непарну кількість
вершин то граф ялинка має нейтральну нумерацію (n>2). Якщо n=2, то граф
має тільки дужу нумерацію.
1)
Парну кількість вершин ланцюга нумеруємо так: 001100...011
(теорема 1).
З кожної вершини ланцюга будуємо з обох сторін по ребру, крім
останньої вершини. Кінці бокових ребер нумеруємо таким чином- з однієї
сторони ланцюга нулями, з другої сторони одиницями. Порахуємо кількість
одиничних та нульових ребер при такій нумерації вершин:
Кількість ребер ланцюга беремо з теореми 1:
n  2t , e  2t  1, e0  e1  1  e0  t , e1  t  1 .
Кількість нульових вершин ланцюга , з яких будуємо ребра, дорівнює
t,
одиничних
,
t-1 Тоді кількість ребер графа -ялинка дорівнює
Нумерація слабка.
Якщо
парну
кількість
вершин
ланцюга
пронумеровати
так
011001...110,тоді кількість нульових вершин ланцюга з яких будуємо ребра,
дорівнює
t-1, одиничних
t.
Порахуємо кількість одиничних та нульових ребер при такій нумерації
вершин.
Кількість ребер ланцюга беремо з теореми 1: e1  t , e0  t  1 . Тоді
кількість ребер графа- ялинка:
,
. Нумерація дужа.
Граф кордіально-універсальний.
2)
Ланцюги мають непарну кількість вершин n=2t+1. Непарну
кількість вершин ланцюга нумеруємо так: 001100...110, або 001100...001.
159
З кожної вершини ланцюга будуємо з обох сторін по ребру, крім останньої
вершини.
Кінці бокових ребер графа нумеруємо таким чином- з однієї сторони
ланцюга нулями, з другої сторони одиницями. Порахуємо кількість
одиничних та нульових ребер при такій нумерації вершин. Кількість ребер
ланцюга беремо з
теореми 1: e0  t , e1  t .
Кількість нульових вершин ланцюга , з яких будуємо ребра, дорівнює
t, одиничних
t, тоді кількість ребер графа-ялинка:
,
Нумерація нейтральна.
Якщо n=2, то загальну вершину нумеруємо 0 або1, тоді інші вершини
будуть нумеруватись або 011, або 001в будь який послідовності.
Очевидно,що e1  2, e0  1 .Теорема доведена.
Висновок: граф-ялинка має таку ж саму кордіальність, як і ланцюг, на
якому він побудований.
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
а) e1  4, e0  5
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
б) e1  5, e0  4
1
1
0
1
0
1
в) e1  e0  12
160
0
1
1
1
1
1
Рис.1. Слабка (а) та сильна (б) нумерації кордіально універсальних графівялинка при парному n. Нейтральна (в) кордіальна нумерація графа-ялинка
при непарному n.
Дослідження кордіальності за допомогою комп ютера.
Для разрахунку беремо n=2 та n=3. Матриця інцендентності (n=2)
 0
0
A  
0
0

1

0
0
S 1

1
1

2
1 1 1

0 0 0
0 0 0

0 0 0
0 0 0 1 1

1 0 1 0 1
0 1 1 1 0
1 1 0 0 0

2 3 4 5 6
1 1 1 1 1

2 2 2 2 2
Результат перевірки на кордіальність- всі можливі кордіальні нумерації
.
Матриця інцендентності (n=7)
0

0
0
A   0

0
0

0
1 1 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0
Результат перевірки на кордіальність-всі можливі кордіальні нумерації.
161
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
3
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
6
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
7
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
8
1
2
3
7
8
14
15
16
23
24
25
27
29
30
31
32
9
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
10
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
S 5
Нейтральна кордіальна нумерація графа-ялинка при непарному n=3
(
РЁБЕРНЫЕ ЦИКЛЫ И КВАЗИЦИКЛЫ ГРАФА
Т.А. Похальчук ([email protected])
Запорожский национальный университет
Определение 1. Граф G X ,U ; P  определяется как задание двух
множеств (первое обязательно непустое) и предикат, указывающий тот или
иной элемент второго, где m – число рёбер, а n – число вершин.
Тем самым задано пространство суграфов  , которое относительно
введённой на ней бинарной операции сложения  , образует абелевую
группу.
 X .U ; P    X ,U
1
В
свою
очередь
2
; P    X , U 1  U 2  \ U 1  U 2 ; P 
пространство
суграфов
делится
на
два
подпространства: подпространство циклов C и подпространство разрезов S,
являющиеся ортогональными между собой.
Определение 2. Любой суграф принадлежащий подпространству
циклов C в общем случае является квазициклом.
Определение 3. Единичный цикл ( - циклы) – это простой цикл, между
двумя любыми несмежными вершинами которого в соответствующем графе
162
не существует маршрутов меньшей длины, чем маршруты, принадлежащие
данному циклу.
Алгоритм построения вектора квазициклов графов:
1.
Найдём  - циклы используя способ основанным на выделение и
сравнении циклов, проходящих по каждому ребру алгоритмом поиска в
глубину с учётом теоремы Менгера [1].
2.
Образуем множество рёберных циклов графа H  hi , i  1, m ,
где рёберный цикл hi - это сумма  - циклов проходящих по данному ребру
ui .
hi   c j , ui  c j , j  (1, m) .
j
3.
Ярусные квазициклы графа F k H    f k hi  образовываются из
рёберных циклов путём их сложения (т.е. суммируя рёберные цикла,
проходящие по данному ребру u i ).
f k hi    h j , ui  h j , j  (1, m) .
j
Также на при построении каждого яруса квазициклов происходит
сравнение порождаемых циклов с уже полученными. В случае если такой
квазицикл уже порождался, то на следующем ярусе в соответствующем
месте записывается цикл нулевой мощности. Алгоритм останавливается при
нулевой мощности всех квазициклов яруса.
4.
Строим вектора квазициклов графа в виде:
k
k
a   h1   f k h1 ,..., hm   f k hm  ,

i 1
i 1

(т.е.
складывая
мощности
каждого
квазицикла
порождаемого
соответствующим единичным циклом).
Вектор a является инвариантом для графа, так как удовлетворяет его
естественным требованиям: он вычислим за полиномиальное время и
различает большинство не изоморфных графов.
163
Для облегчения поиска данного вектора была написана программа на
Delphi, которая может служить приложением к типовой программе изучения
дискретной математики.
Литература
1. Курапов С.В., Савин В.В. Векторная алгебра и рисунок графа. ЗНУ-2003.
200с.
2. Зыков А.А. Основы теории графов. - М.: Наука, ГРФМЛ.- 1987.- 384с.
УТОЧНЕННЫЕ ОЦЕНКИ СЛОЖНОСТИ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ
ОДНОЦВЕТНЫХ СВЯЗЫВАЮЩИХ ДЕРЕВЬЕВ В ЕДИНИЧНОМ
КУБЕ
Садовников О .А. E-mail: [email protected]
Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова
Единичным кубом размерности r называется граф, множество вершин
которого совпадает с множеством B r  0,1r наборов r -мерного
булева
куба, а множество ребер – со множеством всевозможных пар соседних
наборов из B r .
Раскраской единичного куба B r
в k
цветов
будем называть
отображение  : B r  0,1,..., k  1 сопоставляющее каждой вершине куба
некоторый номер (цвет). Через  r,k обозначим множество всевозможных
раскрасок куба B r в k цветов.
Пусть на некотором подкубе K размерности n куба B r ( n  r ) задана
раскраска в k цветов. Если при этом в кубе B r можно построить такую
систему попарно непересекающихся подграфов T0 ,, Tk 1 , что:
1. Ti – дерево, причем множество листьев Ti совпадает с множеством
вершин подкуба K , раскрашенных в i -тый цвет, i  0, k  1 ;
2. T0 ,, Tk 1 попарно не имеют общих вершин и ребер,
164
то такая система подграфов называется системой одноцветных связывающих
деревьев в кубе B r для подкуба K размерности n . Нетрудно показать, что
при любых фиксированных значениях n и k и достаточно большом r в кубе
B r существует такая система деревьев.
Через d ( ) будем обозначать минимальное значение числа r при
котором в кубе B r существует система одноцветных связывающих деревьев
для его подкуба K размерности n с заданной на нем раскраской    n,k .
Далее, обозначим D ( n, k ) минимальное значение числа r , при котором
такая система деревьев существует в кубе B r для произвольной раскраски
подкуба K размерности n в k цветов.
Очевидно, что D(n, k )  max d   .
n,k
В работе [1] исследована верхняя оценка величины D ( n, k ) для случая
n  k и доказана следующая теорема.
Теорема 1 [Седелев О.Б.] D(n, n)  n  5.
В данной работе улучшена приведенная выше оценка, а также
исследовано поведение величины D ( n, k ) в случае, когда n  k .
Для доказательства неравенства из теоремы 1 в работе [1] применяется
специальная раскраска
n
куба
Bn
в
2 logn1
цветов (обозначим
 n  2logn1 ), построенная на основе кодов Хэмминга. В данной работе
также получена улучшенная по сравнению с [1] оценка величины d   n  .
Кратко опишем специальную раскраску  n куба B n из работы [1].
Напомним, что кодом Хэмминга называется двоичный n, m  -код H n , где
m  n  k , k  log n  1 , H n  B n и H n  2 n , который исправляет одну
ошибку. Разряды  i набора   1 ,,  n  ,   H n , такие, что i  2 s , s  1, k  ,
называются
контрольными
разрядами,
а
остальные
разряды
–
информационными разрядами кода H n . Контрольные разряды  2s набора
165
  1 ,,  n  ,   H n , вычисляются по его информационным разрядам на
основе решения уравнений:
S1    1   3   5   7    0,
S 2     2   3   6   7    0,

S k     2k 1   
2 k 1 1
   0,
где сумма S i   состоит из тех разрядов набора  номер которых в i той
позиции своей двоичной записи содержит 1 . Обозначим через S   набор
S k  ,, S1  
из B k . Далее, через H n  обозначим множество таких
наборов  ,   B n , что S     .
Пусть n  2 k  1 . Тогда специальной раскраской куба B n в 2 k цветов
называется раскраска  n , при которой все вершины из множества H n 
раскрашены в цвет с номером    , двоичная запись которого задается
набором  . При n  2 k  1 , под специальной раскраской  n куба B n в
 n  2logn1 цветов будем понимать специальную раскраску, его подкубов
размерности
 n   1 .
Можно выделить следующие свойства раскраски
 n   n, n  :
Утверждение 1. n  2 d  n   n  3 .
Утверждение 2. Пусть n  2 k  1 , и, соответственно,  n  2k . Если в
единичном кубе B n задана специальная раскраска  n в  n  2k цветов из


E2k  0,1,,2 k  1 , то этот куб можно разбить на
множества

22
k 1

параллельных подкубов размерности 2k  1 , раскрашенных специальным
образом

в
2 k 1
цветов


E2 k  0,1,,2 k 1  1
или
в
2 k 1
цветов

E2k  2 k 1 ,,2 k  1 , причем вершины любого из указанных подкубов
раскрашены в цвета либо из первого, либо из второго подмножества так, что
любые два соседних подкуба раскрашены в разные группы цветов.
166
Утверждение 3. Пусть в кубе B n  2 выделены 4 подкуба K 00 , K 01 , K 10
и K 11 размерности n , причем в подкубе K 00 задана специальная раскраска
 n   n, n  , а в подкубе K 11 (находящемся на расстоянии 2 от куба K 00 ) –
произвольная раскраска  в те же самые цвета. Тогда в исходном кубе B n  2
можно выделить систему из непересекающихся поддеревьев, корнями
которых являются вершины подкуба K 00 , листьями – вершины подкуба K 11 ,
причем цвет корня каждого дерева совпадает с цветом его листьев и каждая
вершина подкуба K 11 является листом ровно одного такого дерева.
Доказательство утверждения 1 можно найти в [1]. Утверждения 2 и 3,
несмотря на их громоздкую формулировку, достаточно тривиальны, поэтому
их доказательство опускается.
Отметим, что следствием утверждения 2 является возможность
«свести» произвольную раскраску    n, n  к специальной раскраске
 n   n, n  ,
в
результате
чего
нетрудно
показать,
что
d    max d  n , n  2  1 . В совокупности с утверждением 1 легко
убедиться, что для произвольной раскраски    n, n  верно d    d  n   1.
Следовательно, верно неравенство:
Dn,  n   d  n   1 .
(1)
Выведем улучшенную по сравнению с утверждением 1 оценку для
величины d   n  .
Теорема 2. d  n   n  2 .
Доказательство. Пусть n  2 k  1 . При этом очевидно, что выполняется
цепочка равенств  n  2log(n1)   2k  n  1 . Рассмотрим единичный куб
B n  2 и выделим в нем 4 подкуба K 00 , K 01 , K 10 , K 11 . Пусть в подкубе K 00
задана специальная раскраска вершин  n в  n  2k цветов. Разобьём
множество


цветов E n   0,1,,2 k  1
167
на
два
равных
по
мощности




подмножества E n   0,1,,2 k 1  1 и En   2 k 1 ,,2 k  1 . Заметим, что,
согласно утверждению 2,
 k   22
k 1
1
подкубов
подкуб K 00 можно разбить на 2 группы по
G100 ,G00k 
и
H100 , H 00k 
раскрашенные
специальным образом в цвета из E n  и En  соответственно.
Выделим в кубе K 01 подкубы G101 ,G01k  , соседние соответствующим
подкубам G100 ,G00k  в кубе K 00 . Зададим в каждом подкубе Gi01 , i  1,  k ,
такую же, раскраску, как и в соответствующем подкубе Gi00 . Аналогичным
образом выделим в кубе K 01 подкубы H101 , H 01k  .
Как
известно,
куб
K 01
размерности
является
n
декартовым
произведением кубов L01 и Q 01 размерности l и q соответственно тогда и
только тогда, когда n  l  q . Выбрав значения l  q  2k 1 , символически
представим куб
«абстрактного»
(с двоичными наборами в вершинах) в виде
K 01
куба
L01
размерности
2 k 1 ,
в
вершинах
которого
расположены подкубы G101 ,G01k  и H101 , H 01k  . В кубе L01 размерности
2 k 1
зададим
специальную

раскраску
 2k 1 его
вершин
в
цвета

E n   0,1,,2 k 1  1 .
Вернемся к описанию раскраски подкубов H101 , H 01k  . Для каждого
i  1,  k  раскрасим все вершины подкуба H i01 в цвет, который получила
соответствующая ему вершина в специальной раскраске  2k 1 куба L01 .
Отметим, что для

каждого подкуба Gi01 , i  1,  k  и каждого цвета

j  E n   0,1,,2 k 1  1 в кубе K 01 найдется соседний с ним подкуб из
группы H101 ,, H 01k  , целиком раскрашенный в цвет j .
168
Далее в кубе K 10 проведем аналогичные рассуждения для цветов из


En   2 k 1 ,,2 k  1 , поменяв местами в рассуждениях группы подкубов
G1 ,, Gk  и H1 ,, H k  ,   00,01,10,11.
Нетрудно показать, что для построенных подкубов G110 ,, G10k  и
H101 ,, H 01k  , раскрашенных целиком в цвета из множеств E n  и En  в кубе
K 11
можно построить систему связывающих цепей, однако, ввиду
громоздкости,
доказательство
Непосредственным
следствием
этого
факта
здесь
этого
факта
является
не
приводится.
существование
требуемой система одноцветных связывающих деревьев для специальной
раскраски  n в случае, когда n  2 k  1 .
В случае, когда n  2 k  1 исходный куб B n  2 разбивается на подкубы
размерности n0  2  , в результате чего задача сводится к предыдущему
случаю.
Теорема доказана.
Замечание. При построении системы одноцветных связывающих
деревьев для специальной раскраски  n существенно использовалось только
то свойство раскраски  n , что любые два соседних подкуба из утверждения 2
раскрашены в разные группы цветов E2 k и E2k . Будем называть указанное
свойство разделимостью раскраски. Как следствие, верна
Теорема 2'. Утверждение теоремы 2 справедливо также и для
произвольной раскраски, удовлетворяющей свойству разделимости.
Теорема 3. Для величины Dn, k  справедливы следующие оценки:
1. Dn, k   n  2 , если k 
2. Dn, k   n  3 , если

n
,
2
n
 k  2 log n1 ,
2

3. Dn, k   n  3  log k  2 logn1 , если k  2 log n1 .
169
Доказательство.
Первое неравенство следует из теоремы 2 и неравенства (1). Второе
неравенство следует из теоремы 2' и утверждения 2. Наконец, третье
неравенство нетрудно доказать из соображений, аналогичных обобщению
теоремы 2 для случая n  2 k  1 .
Следствие. Из п. 3 теоремы 3 очевидно следует, что Dn, n   n  4 .
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №12-01-00964а.
Литература
1. Седелев О.Б. О реализации функций алгебры логики схемами из
функциональных элементов, вложенными в единичный куб. //
Вестн. Моск. Ун-та, сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. – 2008.– №
1.– С.44–50.
ПРОБЛЕМИ І ПЕРСПЕКТИВИ СИСТЕМНОГО АНАЛІЗУ ТА
МОДЕЛЮВАННЯ
Самарай В.П., Самарай Р.В. [email protected], [email protected]
Київський міжнародний університет( КиМУ)
Важливе значення для наукового і практичного використання в усіх
сферах і галузях економіки і освіти має застосування методів системного
аналізу: моделювання, оптимізації, прогнозування, діагностики, особливо в
умовах невизначеності, ризику, неповної інформації та протидії в ринковій
економіці, при кризових явищах і в інших форс-мажорних станах і умовах.
Крім того, комп’ютеризовані системи є потужними інтеграторами
інформації в усіх галузях знань, у т.ч. в навчальних процесах. Саме
комп’ютерні технології разом з рейтинговою системою мають якісно
підвищити рівень знань студентів і дипломованих фахівців при підвищенні
кваліфікації.
170
Не дивлячись на відомі успіхи подібні технології і системи для
комп’ютеризації, автоматизації та підвищення інформаційної ефективності в
усіх галузях і в навчальних процесах ще тільки розпочинають розроблятися.
Для їх якісного створення і адаптації необхідно вирішити низку завдань,
серед яких слід виділити найбільш складні: розробка методичного
забезпечення; стандартизація і уніфікація засобів обчислювальної техніки і
програмних розробок (наприклад, навчальні генератори задач, програми для
тестування,
моделювання,
прогнозування,
оптимізації).
Головною
проблемою залишається відсутність координації розробників і відсутність
єдиної системи підготовки комп’ютерних програм і користувачів.
Від молодого фахівця відразу після навчання потрібні не тільки
професійні знання, але і уміння ефективно застосовувати на практиці
найсучасніші інформаційні технології і системи. Держава має право
очікувати від молодого фахівця максимальної віддачі в сучасних умовах,
однак ефективну роботу з творчим використанням всіх
досягнень
інформаційних технологій фахівець зможе проявити, якщо програмне
забезпечення (ПЗ) йому знайомо або близько до того, що вивчалося у ВИШі.
Таким чином, інформатизація навчального процесу має відбуватися
шляхом використання готового і власного ПЗ: навчально-грального,
оптимізаційного, діагностичного, прогнозуючого, моделюючого, навчальних
генераторів задач, навчальних тренажерів, систем управління базами даних
(СУБД), систем автоматичного проектування (САПР), регулювання (САР),
управління (САУ) і інших.
Складність різноманітних невирішених виробничих і наукових задач
загалом в економіці, а також безпосередньо у машинобудуванні, металургії
та у ливарному виробництві
потребує від всіх студентів, аспірантів,
наукових співробітників, інженерів і викладачів більш активно залучатися до
найсучасніших кібернетичних методів і методів системного аналізу. Жорсткі
реалії і невизначеність сьогодення потребують системно, планово і постійно
вивчати, розробляти, досліджувати, застосовувати і впроваджувати всі шість
171
основних відомих видів моделей і методів моделювання: оптимізаційні,
імітаційні, регресійні, евристичні, моделі систем масового обслуговування
(СМО), моделі теорії ігор, а також інші моделі і методи. Особливе значення
має впровадження найсучасніших напрямів прикладного системного аналізу і
кібернетики саме для традиційно відсталого ливарного виробництва.
Результати наукової і практичної роботи працівників і студентів різних
ВИШів і кафедр, науково-дослідних інститутів мають реалізовуватися і
відображатися у наступних наукових і освітніх здобутках і напрямках:
1.методичні рекомендації; лабораторні роботи; діючі комп’ютерні
програми; електронні і дистанційні конспекти лекцій і монографії,
створені з врахуванням вимог системного аналізу.
2.різноманітні динамічні комп’ютерні моделі СМО, статичні комп’ютерні
моделі СМО та імітаційні моделі СМО.
3.статистичні методи для побудови регресійних моделей для рішення
наукових, економічних і виробничих задач за допомогою надбудови
«Аналіз даних» і відповідних функцій: “тренди”, “лінейн”, “логарифмічне
наближення”, “рост”, “тенденція”, “ковзне середнє”, “експоненційне
згладжування”, “регресія” або звичайні матричні операції.
4.використання надбудови «пошук рішення» для рішення оптимізаційних
задач і перетворених задач теорії ігор.
5.розроблення, патентування і використання в навчальному процесі
евристичних моделей в середовищі MS Excel, а також розроблення за
допомогою алгоритмічних мов, що дозволяють проводити планування,
оптимізацію, моделювання, прогнозування і діагностику оснащення і
обладнання, дефектності, технологічних параметрів на всіх етапах
виробництва, постачання і зберігання матеріалів, перевезень, розкладів,
призначень на посади, розташування підприємств та їх підрозділів,
різноманітних станів (виробничих і економічних процесів та відносин,
матеріалознавчі дослідження на макро- і мікрорівнях, аналіз і оцінку
банкрутства
і
платіжоспроможності
172
машинобудівних,
ливарних
і
металургійних підприємств і цілих галузей та їх кадрового, фінансового,
матеріального, енергетичного
планування), які по суті являються
діючими експертними експериментальними системами.
6.імітаційні моделі, підходи і інтерфейси, які наприклад дозволяють
прогнозувати
весь
спектр
результатів
виробничих
процесів,
економетричних моделей ливарного виробництва у заданих діапазонах
змін
факторів
багатовимірного
простору,
аналізувати
і
видавати
результати обчислень в зручній і зрозумілій табличній і графічній формах,
а також імітаційні моделі СМО. Імітаційні моделі перебору для побудови і
рішення оптимізаційних задач, заснованих на методах математичного
програмування.
7.аналітичні дослідження економік низки країн, їх порівняння і побудова
моделей взаємозалежності, моделей прогнозу розвитку країн, галузей
економіки і окремих підприємств та моделі прогнозу потенційних
можливостей посилення взаємної співпраці між різними країнами,
галузями та підприємствами.
8.використання
програмування
потокових
для
(мережевих)
дослідження
моделей
прикладних
математичного
економічних
задач
машинобудування, металургії і ливарного виробництва, а також задач
оцінки
та
забезпечення
безпеки
інформаційних,
транспортних
і
комунікаційних мереж на підприємствах і за їх межами.
9.активне застосовання алгоритмічних мов (у першу чергу для об’єктного
програмування): VB, VBA, DELPHI, ASSEMBLER та символьний
ASSEMBLER, HTML, JAVA, RUBI, LISP, СИ, реляційні бази даних
ACCESS, CLIPPPER, DBASE, SQL і інші, у тому числі реляційні та
ієрархічні.
10.студентами і фахівцями мають активно вивчатися, досліджуватися і
порівнюватися між собою всі відомі архітектури обчислювальних та
комунікаційних
систем
і
мереж
налаштування,
захисту і вдосконалення; методи розпаралелювання
173
та
методи
їх
обслуговування,
обчислювальних процесів для задач потужного моделювання. Окремо
мають вивчатися і досліджуватися геоінформаційні системи (ГІС) і
автоматизовані системи (САПР,САУ,САР), що є між собою пов’язаними,
загальні прийоми моделювання.
11.дослідження і практичне застосування відомих та оригінальних
економіко-математичних
моделей
машинобудування,
металургії
та
ливарного виробництва.
12.вивчення, дослідження і застосування CASE- та ERP-систем.
Традиційно найбільшим успіхом і попитом всіх науковців, студентів і
викладачів у прикладному аналізі користуються статистичні методи,
наприклад регресійний, кластерний, дисперсійний, факторний і кореляційний
аналіз, які використовуються для прогнозування, діагностики, оптимізації,
аналізу,
тестування,
а
також
розпізнавання
образів,
класифікації,
ідентифікації і кластерізації, оцінки зв’язку між явищами і окремими
факторами і відгуками. Додатково кореляційний аналіз використовується для
визначення мультиколінеарності, а дисперсійний аналіз - для перевірки
адекватності моделей, серійної- та автокореляції і гетероскедастичності тощо
(перш за все для економетричних моделей).
Для моделювання, прогнозування, діагностики використовується:
імітаційні моделі, регресійний аналіз, теорія ігор, оптимізація графів,
математичне програмування і евристичне прогнозування, методи експертних
систем і нейронних мереж, теорія алгоритмів, теорії множин і нечітких
множин, прийняття рішень, теорії хаосу, катастроф, теорія масового
обслуговування (ТМО). Окрема увага приділяється клітковим автоматам,
сінергетиці; дрібно-лінійній, динамічній, стохастичній, параметричній,
потоковій, блочній, багатоіндексній, булевій, сепарабельній, цілочисельній,
квадратичній, нескінченомірній і багатокритеріальній оптимізації.
Є конче необхідним впровадження в навчальний і науковий процеси, а
також у виробництво аналітичних, імітаційних методів моделювання,
потужних чисельних методів моделювання – методу кінцевих елементів
174
(МКЕ,FEM), методу кінцевих різниць (МКР,FDM), методу кінцевих об’ємів
(МКО,FVM) та відповідних програм моделювання на міцність і інши
характеристики матеріалів (NASTRAN, ANSYS, FEMLab і ін.); програм
моделювання саме ливарних процесів – LVM-Flow, MOLDCAST,
MagmaSOFT, Полигон; універсальних програм
трьохвимірного CAD-
CAM-CAE моделювання (AutoCAD, SolidWORKS, Pro/Ingeneer, KATYA,
КОМПАС, СПРУТ, Т-ФЛЕКС, PowerShape/PowerMill Unigraphics, Cimatron
та інші) з застосуванням технологій стереолітографії і 3D-принтерів для
швидкого друку моделей майбутніх виливків, ливарних стрижнів і форм.
Надзвичайно актуальним є залучення в навчальний процес і наукові
дослідження методу групового врахування аргументів (МГВА); спеціальних
алгоритмічних
мов
для
імітаційного
моделювання;
універсальних
математичних програм для моделювання (MathCAD, MathLAB, LabVIEW,
STATISTIKA, MAPLE); новітніх і відомих біокібернетичних методів
моделювання і прогнозування; сучасних методів експертних систем
діагностики і прогнозування (наприклад теорії Байєса, методів лінійних
дискримінантних функцій, Вальда, Генеса, Сано, Тамімото, методів
послідовного статистичного аналізу; фазового простору; ідентифікації;
пошуку прецеденту; логічного базісу) та методів і різноманітних схем та
програм нейронних мереж, а також підходів стохастичного, параметричного і
динамічного програмування, у т.ч. методами Беллмана та з застосуванням
принципу максимуму Понтрягіна. Залишається актуальним впровадження і
активне використання багатокритеріальної та дробово-лінійної оптимізації і
активне залучення для досліджень оптимального розташування виробництв геоінформаційних систем (ГІС) та відповідних методів моделювання і
статистичного аналізу.
Все вище назване – всі математичні методи, методи кібернетики,
системного аналізу, дослідження операцій і моделювання можуть бути
застосовані і використані для побудови дистанційної освіти, якість якої як
раз залежить від якнайбільшого і якнайкращого використання вищезгаданих
175
підходів і здобутків та практичних прикладів впровадження і користується
попитом в усіх інших галузях промисловості, у медицині, сільському
господарстві і багатьох інших. Відповідно для реалізації таких навчальних
дистанційних проектів необхідно залучати найсучасніші алгоритмічні мови
програмування для INTERNET: DHTML, XML, FLASH, RUBI, JAVA,JAVA
SCRIPT, PERL, PHP і інші.
ЭКСПЕРТНАЯ СИСТЕМА ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И ДИАГНОСТИКИ
ОСЛОЖНЕНИЙ ПРИ ЗУБОПРОТЕЗИРОВАНИИ.
Самарай В.П.,. Мирза А.ИДовбыш Н.А., Непомнящий Д.Н., Штефан А.В.
[email protected], [email protected]
Київський міжнародний університет( КиМУ, кафедра міжнародної
інформації та інформатики (МІІ)), Институт экологии и медицины, м.Київ
В
ортопедической
стоматологии,
в
съемном
и
несъемном
протезировании, широко используются литые металлические каркасы,
которые играют очень важную и решающую роль для получения прочного
качественного протеза. При изготовлении литых каркасов могут возникать
различные дефекты (пригар, шероховатость, засор, газовые, песчаные и
усадочные раковины, обвал, размыв формы, прорыв металла, распор,
подутость, складчатость, нарост, горячие трещины, взрывной пригар,
просечки, ужимины и др.) из-за нарушения или несоответствия и
несовершенства технологии, в результате которых падает качество протезов:
эстетика, функциональность, прочность, биосовместимость. Эти дефекты в
первую очередь возникают вследствие неоптимального уплотнения литейной
формы – недостаточного или излишнего.
Установлено и признано, что выбор оптимальных режимов уплотнения
и физико-механических свойств формовочных смесей представляет собой
критически важную задачу технологической подготовки производства для
получения качественных отливок стоматологических протезов. Для выбора
оптимальных режимов уплотнения авторами была разработана система
176
компьютерного моделирования динамики уплотнения стоматологических
литейных форм, которая базируется на представлениях реологии и позволяет
решать подобную задачу без изготовления пробных отливок. С помощью
моделирования процесса уплотнения может осуществляться оптимизация
длительности, силовых параметров и режимов уплотнения при заданных
реологических
свойствах
формовочной
смеси
или
оптимизация
реологических свойств формовочной смеси путем изменения ее состава при
заданных длительности и режимах уплотнения. Разработанная система
ориентирована
на
произвольные
геометрические
параметры
стоматологических отливок и учитывает разные параметры и режимы
формообразования, а также смену реологических свойств формовочных
смесей в процессе уплотнения литейных форм.
Но, кроме того, для эффективного и качественного функционирования
цельнолитых зубных ортопедических конструкций и их полноценной
эксплуатации необходимым является оценивание состояния зубов, пародонта
опорных зубов, слизистых и других тканей и влияние на биохимические
показатели жидкости полости рта пациентов, как до протезирования, так и
после него. Известно, что состояние пародонта после протезирования зависит
от вида протезирования и типа ортопедических конструкций. Поэтому
важным является изучение зависимости состояния тканей от качества
отливок стоматологических протезов. При этом известно, что влияние
цельнолитых
зубных
протезов,
отлитых
только
с
минимальной
дефектностью, т.е. при оптимальном уплотнении, а значит при оптимальных
технологических параметрах уплотнения, свойствах стоматологической
формовочной смеси (паковочной массы), оптимальных времени и режимах
уплотнения на биохимические показатели жидкости полости рта, пародонт,
зубы, слизистые и другие ткани пациентов минимально. В связи с этим
черезвычайно актуально исследование влияния различных технологических
факторов на результаты протезирования.
177
Особенно интересно такое исследование в связи с возможностью
выявить взаимовлияние возможных литейных дефектов отливок протезов на
клиническое
состояние
пациента,
имея
уже
готовую, разработанную
авторами, вторую часть экспертной системы – диагностическую таблицу и
эвристические модели влияния характера, степени и оптимальности
уплотнения литейной формы на сами литейные дефекты и соответственно
разработанные программы моделирования виброуплотнения и экспертную
систему. Если влияние оптимальности уплотнения на дефектность и брак
отливок проводилось и ранее [Самарай В.П. 2006 и др.], то исследования и
формализацию в виде диагностической таблицы влияния возможных
литейных дефектов отливок протезов, различных видов сплавов, технологий
изготовления протезов (литых, штампованных либо штамповано-паяных),
технологий литья (литье по выплавляемым моделям либо литье по
огнеупорным моделям), геометрических параметров, видов протезов на
клиническое состояние пациента на сегодняшний день никто не проводил.
Анализ работ других авторов и собственные исследования позволили
выявить важные закономерности влияния разных технологических факторов
на клиническое состояние пациентов и обобщить их в виде диагностической
таблицы 1. Выявленные приведенные формализованные экспертные знания в
виде диагностико-прогностической таблицы позволяют логично доработать и
дополнить
существующие
систему
моделирования
виброуплотнения
литейных форм для стоматологических протезов и экспертную систему
прогнозирования возможных литейных дефектов (таблица 2) новой третьей
частью, которая логически необходима и давно назрела (таблица 1).
Созданные диагностико-прогностические таблицы и соответствующая
экспертная система позволяют выявлять и предупреждать либо упреждать
многие возможные осложнения у пациентов после зубопротезирования по
вине несовершенства конструкции протезов и отливок, особенностей
материалов и их свойств, технологических параметров - времени и режимов
178
уплотнения (частоты и амплитуды вибрации), вида технологии для
изготовления протезов.
Таблица 1. Клинические проявления дефектов отливок зубных протезов,
осложнения и симптомы (экспертные оценки: 0-не характерно, 1-слабо
Раздражения
Боль
Запах
Травмы
Осложнения
Гингивит
Пульпит
Периодонтит
Аллергия
Кариес
Слиз.поврежд
Периостит
Токсикоз
Гальванеллез
БСД ВНЧС
Артрит
Артроз
Перекос
Стоматит
Плохой контакт
Непр. окклюзия
Несмык. зубов
Бактерии
Вирусы
Грибы
Зубн.поврежд.
Расшатывание
Остеопороз
0
3
0
2
3
3-2
0
1-2
1
1
1-2
2
2
2
1-2
1
1-2
1
0
0
0
0
0
2
0
0
0
1-2
1-2
1-2
0
0
0
0
3
0
2
3
3-2
0
1-2
2
1
1-2
1-2
1-2
2
1-2
1
1-2
0
0
0
0
0
0
0-1
0
0
0
1-2
1-2
1-2
0
0
0
179
0
3
0
2
0
0
3
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
3
3
3
0
0
3
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Нарост
Трещины
холодные
Размыв
Распор
Раковины
Засор
Прорыв
Утечка
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
2
0
0
1-2
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
3
3
3
0
0
3
3
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
3
0
0
0-1
1-3
2-3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2-3
2-3
2-3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Складчатость
Разруш.протеза
0
0
0
0
2
0
0
1
0
1-2
0
0
1-2
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0-1
0
0-1
0
0
0
0
0
0
Взрывной
пригар
Отеки
1
3
0
2
0
1-2
0-1
1
1-2
1
1-2
0
1
1-2
1-2
1-2
1
1
0-1
0
0
0
0
1-2
0-1
0
0-1
1
1
1
0
0
1
Газовые
раковины
Опухоль
0
3
0
1
0
1-2
0-1
0
1-2
1
1-2
0
0
0
0
1-2
0
0
0
0
0
0
0
0-1
0-1
0-1
0-1
1
1
1
0
0
1
Ужимина
Воспаления
Просечка
Дифф. тяж. мет.
Пригар
Клинические
проявления
дефектов
отливок,
осложнения и
симптомы
Шероховатость
характерно, 2-характерно, 3-сильно характерно)
0
3
0
1
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
1
0
1-2
0-1
0
1-2
1
1-2
0
0
0
0
1-2
1
1
0-1
0
0
0
0
1-2
0-1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1-2
0
0-1
0
1-2
0
1-2
0
1-2
0
1-2
0
0
0
0
Разруш.протеза
2-3
3
0
1-2
0
0
3
Раздражения
3
1-2
1-2
2-3
2-3
0
0
0
0
0
3
1-2
0-1
0-1
2-3
1-2
1-2
0
1-2
1-2
1-2
1-2
0
1-2
1-2
1-2
1-2
0
1-2
1-2
0
0
0
0
0
3
0
0
0
3
3
3
0
1-2
1
0
2-3
1
0
0
1
0
0
0
0
0
Периостит
0
0
3
0
0
3
0
3
0
2-3
2-3
0-1
0
0
1-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Токсикоз
1
1
0
0
0
0
0
12
0
0
0
01
01
0
0
0
0
01
0
0
01
0
0
0
01
Гальванеллез
0
2-3
2-3
2-3
2-3
1-2
2-3
2-3
2-3
2-3
2-3
2-3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1-2
1-2
1-2
0
0
0
0
1-2
1-2
1-2
1-2
0
0
0
0
2-3
2-3
2-3
3
3
3
0
3
3
3
3
0
0
3
3
2-3
2-3
2-3
3
3
3
0
0
0
0
0
1-2
0
0
0
2-3
2-3
2-3
2
2
0
0
0
0
0
0
1-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Воспаления
Опухоль
Боль
Запах
Травмы
Осложнения
Гингивит
Пульпит
Периодонтит
Аллергия
Кариес
Слиз.поврежд
БСД ВНЧС
Артрит
Артроз
Перекос
Стоматит
Плохой контакт
Непр. окклюзия
Несмык. зубов
Бактерии
Вирусы
Грибы
Зубн.поврежд.
Расшатывание
Остеопороз
2
180
0
0
0
0
1
0
0
0
2
2-3
0
0
1-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
1
2
0
0
1-2
2-3
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1-2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1-2
3
3
0
2-3
0
0
0
0
0
0
1-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1-2
1-2
1-2
1-2
0
0-1
2-3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
1-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
01
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
2-3
0
0
0
1-2
1-2
1-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0-1
1-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Несъемные - коронки
Комбинированные
металло-керамические
0
2-3
0
2-3
0-1
1
0
0
Благородные сплавы
2-3
1
0
0
0
0
0
0
0
23
Ти-тан
Комбинированные
металло-пластмассовые
0
3
0
3
Штампованные
0
0
0
Отеки
0
3
0
2-3
Дифф. тяж. мет.
Нержавеющие стали
Сплав: КХС
Поверхность: внутри
отливки
Поверхность: буккальная
Поверхность: лингвальная
Поверхность:
окклюзионная
Поверхность: боковая
Поверхность: внутренняя
Поверхность протеза:
наружная
Клинические
проявления
дефектов
отливок,
осложнения и
симптомы
Имплант
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0-1
0-1
0
0
0
0
0
0
0
1-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0-2
0-2
0-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0-2
0
0-2
1-3
0
0-2
0
0-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2-3
2-3
2-3
2-3
0
0
0
0
0
0
0
0-2
0-2
0-2
1
0
0
1-2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2-3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
2-3
2-3
0
1-2
0
0
1
0
0
0
0
Вирусы
1
0
0
2-3
2-3
0
1-2
0
0
1
0
0
0
0
Грибы
Расшатывание
1
2-3
0
0
0
0
0
0
0
2-3
1-2
0-1
2-3
3
3
0
0
0
1-2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Остеопороз
2
0
0
1
1-2
3
1-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
01
01
01
0
0
12
0
3
23
12
0
13
12
1
01
3
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Несъемные - мост полный
1
1
0
0
0
0
0
Воспаления
1-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1-2
0
1-2
0
Разруш.протеза
0-2
3
0
1
0
1-2
0-2
1-2
0-1
1-2
1-2
0
1-2
0
Раздражения
2-3
0
0
1
3
0-2
0-2
Боль
1-2
1-2
0
0
0
0
1
1-2
3
0
0-2
0
0-2
0
Осложнения
2
2-3
1
0
1
0
1-2
2-3
1-2
0
1-2
0
Гингивит
3
0
0
0
0-1
Пульпит
Периодонтит
2-3
2-3
0
3
0
0
0
0
Аллергия
0
0
0
Кариес
2-3
1-2
3
0
Несмык. зубов
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Бактерии
Опухоль
Отеки
Запах
Травмы
Слиз.поврежд
Периостит
Токсикоз
Гальванеллез
БСД ВНЧС
Артрит
Артроз
Перекос
Стоматит
Плохой контакт
Непр. окклюзия
Зубн.поврежд.
181
Титан
Технология:Штамповано-паяные
0
0
Дифф. тяж. мет.
Технология: ЛВМ
Технология по огнеупорным
моделям
0
Частично-съемные-бюгельные
Частично-съемные - с металлобазисом
0
Съемные пластиночные
протезы
1
Несъемные - мост
0
Несъемные - культевые вкладки
0
Несъемные - штифты
0
Несъемные - полукоронки
0
1-2
0
0
12
0
12
0
02
02
0
12
0
Клинические
проявления
дефектов
отливок,
осложнения и
симптомы
Таблица 2. Диагностические гипотезы и прогноз дефектов отливок от
степени уплотнения литейной формы (экспертные оценки: 0-не характерно,
1-слабо характерно, 2-характерно, 3-сильно характерно).
3.Распределение
плотности от
разъема формы
3.1 Повышение,
Z1
3.2.Равномерное,
Z2
3.3.Понижение, Z3
4. Средняя
плотность
4.1.Высокая, Y1
4.2.Оптимальная,
Y2
5
6
7
8
9
1
0
11
12
13
14
Размыв
Утечка
Пригар
Шероховатость
Ужимины
Засоры
Обвалы
Складчатость
Нарост
Горячие
трещины
Газовые
раковины
2
1
3
3
15
16
Взрывной
пригар
4
Просечка
3
Распор
формы
1. Уплотнение на
границе модели
1.1 Повышенное,
X1
1.2.Оптимальное,
X2
1.3.Пониженное,X
3
1.4.
Неравномерное,X
4
2.Уплотнение
верхних слоев
полуформы
2.1.Повышенное,
K1
2.2.Оптимальное,
K2
2.3. Пониженное,
K3
2
Прорыв
формы
Признаки
состояния
литейной формы
(показатели
качества
уплотнения), i
1
Нет брака
Гипотезы прогноза дефектов отливки, j
3
1
2
3
3
2
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
1
3
3
3
1
2
3
3
1
1
1
3
3
182
2
2
1
1
3
3
1
2
ПРО ДИСТАНЦИОННЫЕ МАГИЧЕСКИЕ РАЗМЕТКИ ГРАФОВ
Семенюта М. Ф., [email protected]
Кировоградская летная академия НАУ
Черноусова Ж. Т.
НТУУ «Киевский политехнический институт»
Введение понятия дистанционной магической разметки
графов
мотивировано с одной стороны изучением магических квадратов, с другой
стороны – прикладным значением для радиотрансляции, в системах
мобильной связи [1, 2]. В 1994 Vilfred [3], проследив взаимосвязь между
магическим квадратом размера n и полным n-дольным графом, ввел сигма
разметку. Для нужд радиотрансляции возникла необходимость в разметках,
связанных с расстоянием между вершинами. Независимо Миллер и др. [4]
предложили тоже самое понятие, используя термин – 1-вершинно магическая
вершинная разметка. В свою очередь, авторы [5] ее назвали дистанционной
магической разметкой.
Пусть граф G=(V, E) является конечным неориентированным графом без
кратных ребер и петель, V – множество вершин, E – множество ребер.
Порядок графа G – это число его вершин. Если G – связный граф, то через
mG обозначим граф с m компонентами, каждая из которых изоморфна G.
Определение 1. Дистанционной магической разметкой графа G=(V, E)
порядка n называется биекция f : V(G){1, 2, …, n}, для которой существует
положительное целое число k такое, что для каждой вершины х верно
равенство k=
 f ( y) ,
где N(x) – множество смежности вершины x.
yN ( x )
Постоянная k называется магической постоянной разметки f, сумма
 f ( y)
yN ( x )
– весом вершины x и обозначается w(x). Граф, допускающий такую разметку
f, называется дистанционным магическим.
В [6] выделены нерешенные проблемы, одна из них связана с
характеристикой 4-регулярных дистанционных магических графов. Графы
mK4,4 и mK2,2,2, где m1 являются представителями этого класса графов.
183
Исследования,
проведенные
нами,
относительно
их
магичности
представлены в теоремах 1,2.
Теорема 1. Граф mK4,4 является дистанционным магическим для
любого m1.
Доказательство. Условно вершины каждой доли полного двудольного
графа mK4,4 будем подразделять на верхние и нижние. Обозначим х1, х2, …,
х4m вершины, составляющие верхние доли, тогда оставшиеся вершины х4m+1,
х4m+2, …, х8m принадлежат нижним долям.
Рассмотрим разметку вершин f графа mK4,4, определяемую следующим
образом
f(х4i–3)=i,
f(х4i–2)=2m+i,
f(х4i–1)=6m–(i–1),
f(х4i)=8m–(i–1),
где i=1, 2, 3, …2m.
Отображение f является биекцией из множества вершин графа mK4,4 в
множество 1, 2, …, 8m. Кроме этого вес для каждой вершины копии графа
K4,4 будет постоянным и равным числу
f(х4i–3)+f(х4i–2)+f(х4i–1)+f(х4i)=16m+2.
Следовательно, по определению 1 разметка f является дистанционной
магической разметкой графа mK4 с магической постоянной k=16m+2.
Теорема доказана.
Теорема 2. Граф mK2,2,2 является дистанционным магическим для
любого m1.
Доказательство. Доказательство проведем аналогично. Обозначим х1, х2,
х3, х4, х5, х6 вершины одной из копий графа K2,2,2, в следующую копию войдут
вершины х7, х8, х9, х10, х11, х12 и так далее, а в последнюю – вершины х6m–5, х6m–
4,
х6m–3, х6m–3, х6m–1, х6m.
Зададим разметку вершин f графа mK2,2,2:
f(х6i–5)=i,
184
f(х6i–4)=6m–(i–1),
f(х6i–3)=m+i,
f(х6i–2)=5m–(i–1),
f(х6i–1)=2m+i,
f(х6i)=4m–(i–1),
где i=1, 2, 3, …m.
Отображение f – биекция из множества вершин графа mK2,2,2 в множество
1, 2, …, 6m. Вес каждой вершины i-ой копии графа K2,2,2 будет постоянным
и равным числу
f(х6i–5)+f(х6i–4)+f(х6i–3)+f(х6i–2)=f(х6i–5)+f(х6i–4)+f(х6i–1)+f(х6i)=
=f(х6i–1)+f(х6i)+f(х6i–3)+f(х6i–2)=12m+2.
По определению 1 разметка f является дистанционной магической
разметкой графа mK2,2,2 с магической постоянной k=12m+2. Теорема
доказана.
Литература
1. G.S. Bloom and S.W. Golomb, Applications of numbered undirected graphs,
Proc. IEEE 65 (1977), 562–570.
2. G.S. Bloom and S.W. Golomb, Numbered complete graphs, unusual rules, and
assorted applications, In: Theory and Applications of Graphs, Lecture Notes in
Math. 642 (1978), 53–65.
3. Vilfred V. Σ-labelled graph and circulant graphs, Ph. D. Thesis, University of
Kerala, Trivandrum, India, 1994.
4. Miller M., Rodger C., Simanjuntak R. Distance magic labelings of graphs/
Australian Journal of combinatorics, Vol. 28, 2003, P. 305-315.
5. Sugeng K. A., Fronček D., Miller M., Ryan J., Walker J. On distance magic
labeling of graphs/ JCMCC Vol. 71, 2009, P. 39-48.
6. Arumugan S., Froncek D., Kamatchi N. Distance magic graphs – a survey/
Journal of the Indonesian Mathematical Society, Special edition, Year 2011, P. 1126.
185
РАСПОЗНАВАНИЕ НЕОРИЕНТИРОВАННЫХ ГРАФОВ ТРЕМЯ
АГЕНТАМИ
А.В. Стёпкин [email protected]
Славянский государственный педагогический университет
Распознавание среды широко рассматривается в литературе в
различных контекстах [1]. Среда, которую необходимо изучить, часто
представляется в виде конечного неориентированного графа [2], в котором
агент, начиная с одной из вершин графа, проходит через все его ребра и
возвращается в исходную позицию, построив карту графа. Данная работа
посвящена исследованию проблемы распознавания графов с помощью трех
агентов.
Принцип работы рассматриваемого алгоритма основан на методе
поиска в глубину и заключается в том, что агенты-исследователи (АИ) идут
«в глубину», пока это возможно, возвращаются назад, ищут другой путь с
еще не посещенными вершинами и не пройденными ребрами.
Рассмотрим подробно режимы работы АИ.
1. Обычный режим работы (ОРР). АИ двигается вперед по белым
вершинам, окрашивая эти вершины, соединяющие их ребра и дальние
инциденторы в «свой» цвет. Если белый путь и другие возможные пути
перемещения отсутствуют, то АИ возвращается назад по своему пути,
окрашивая пройденные вершины, соединяющие их ребра и ближние
инциденторы в черный цвет. АИ завершает работу тогда, когда его исходная
вершина,
вследствие
отсутствия
возможных
путей
перемещения,
окрашивается в черный цвет.
2. Режим распознавания обратных ребер (РРОР). Если, при движении
вперед, в вершине v было обнаружено обратное ребро, то АИ переключается
в режим распознавания обратных ребер и красит в «свой» цвет ближние
инциденторы всех обратных ребер инцидентных вершине v . Завершив
186
покраску инциденторов, АИ передвигается назад по своему пути, до
обнаружения вершины инцидентной помеченному обратному ребру (под
помеченным обратным ребром понимается белое ребро, у которого дальний
инцидентор и дальняя вершина окрашены в «свой» цвет), переходит по этому
ребру, окрашивая его в черный цвет. На этом этапе возможны два случая:
2.1. Распознаны не все, помеченные рассматриваемым АИ, обратные ребра. В
этом случае АИ возвращается назад по пройденному на предыдущем шаге
ребру, окрашивая в черный цвет ближний инцидентор, и продолжает
движение назад по своему пути, до обнаружения следующей вершины,
инцидентной
помеченному
обратному
ребру.
2.2.
Распознаны
все,
помеченные рассматриваемым АИ, обратные ребра. В этом случае АИ
окрашивает ближний инцидентор ребра, по которому он перешел на
предыдущем шаге, в черный цвет и завершает работу в режиме
распознавания обратных ребер.
3. Режим пометки перешейков (РПП). Если в процессе обхода графа в
вершине v был обнаружен перешеек, то при условии, что все ранее
помеченные данным АИ перешейки были распознаны, агент переключается в
режим пометки перешейков (если второй АИ ещё не распознал ранее
помеченные перешейки, то первый АИ не может метить новые перешейки и
в случае, когда у первого АИ отсутствуют другие возможные варианты
перемещения, кроме как пометить новый перешеек, он останавливается до
того момента, пока второй АИ не распознает все помеченные перешейки). В
этом режиме АИ окрашивает ближние инциденторы всех перешейков,
инцидентных вершине v , в черный цвет. Когда все перешейки помечены
работа АИ в данном режиме завершается. По завершению режима пометки
перешейков
агент-экспериментатор
(АЭ)
содержит
информацию
о
количестве помеченных перешейков. В данном режиме работы агент A имеет
приоритет над агентом B , поэтому в ситуации, когда оба АИ одновременно
обнаружат один и тот же перешеек, он будет помечен агентом A .
187
4. Режим распознавания перешейков (РРП). Получив от АЭ команду о
необходимости распознавания перешейков, АИ переключается в режим
распознавания перешейков. Если в этот момент агент работает в РРОР, то АИ
переключится в РРП лишь по завершению распознавания обратных ребер.
При переключении в этот режим АИ проверяет наличие из вершины, в
которой он находится, других возможных путей перемещения кроме как
движение назад по своему пути. Если такие пути есть, то АИ возвращается
назад по своему пути, ничего не окрашивая, до обнаружения ближайшей
вершины,
инцидентной
помеченному
перешейку
(под
помеченным
перешейком понимается белое ребро, у которого дальний инцидентор
окрашен в черный цвет, а дальняя вершина окрашена в «чужой» цвет). Если
же таких путей нет, то возвращаясь назад по своему пути, АИ окрашивает его
в черный цвет до тех пор, пока не попадет в вершину инцидентную
помеченному перешейку либо же в вершину с другими возможными путями
перемещения. Во втором случае АИ продолжает возвращаться назад по
своему пути ничего не окрашивая до обнаружения ближайшей вершины,
инцидентной помеченному перешейку. При обнаружении помеченного
перешейка возможны два случая: 4.1. Помечено один перешеек. АИ
окрашивает ближний инцидентор помеченного перешейка в черный цвет.
Далее движется вперед в конец пути «своего» цвета. 4.2. Помечено не менее
двух перешейков. АИ окрашивает ближний инцидентор помеченного
перешейка в «свой» цвет. Далее АИ движется назад по своему пути, пока не
будет найден следующий помеченный перешеек. При обнаружении
помеченного
перешейка
возможно
два
варианта:
4.2.1.
Следующий
помеченный перешеек не последний. АИ окрашивает ближний инцидентор в
черный цвет. На следующем шаге АИ снова возвращается назад по своему
пути до следующего помеченного перешейка. 4.2.2. Следующий помеченный
перешеек последний. АИ окрашивает ближний инцидентор в «свой» цвет. На
следующем шаге АИ сообщает АЭ о распознавании всех помеченных другим
АИ перешейков. Далее переходит по последнему перешейку в чужую
188
область, окрашивая ближний инцидентор в черный цвет. На следующем шаге
АИ переходит по первому распознанному перешейку в свою область,
окрашивая дальний инцидентор в черный цвет. Далее АИ движется вперед в
конец пути «своего» цвета.
5. Одновременное попадание двух АИ в одну белую вершину. При
одновременном попадании двух АИ в одну белую вершину, каждый АИ
окрашивает вершину наполовину, и она становится красно-желтой. Агент B
на следующем шаге отступает назад по своему пути. При этом удаляет
краску с ближнего инцидентора и ребра, окрашивает дальний инцидентор в
черный цвет и переходит в режим пометки перешейков (при этом ребро, по
которому он вернулся уже посчитано как первый перешеек, а длина желтого
пути уменьшена на одну вершину). Агент A видит разноцветную вершину
как свою, но при распознавании окрашивает в черный цвет обе половинки.
Если АИ попадает в ситуацию, когда в вершине возможен выбор сразу
нескольких режимов работы, то первым будет выбран РРП, потом РПП, за
ним РРОР и наконец, ОРР. Режим работы при попадании двух АИ в одну
белую вершину в этом списке не рассматривается потому, что такая ситуация
приведет к изменениям в работе только агента B и, в этот момент, другие
режимы работы для него будут недоступны.
АЭ на каждом шаге алгоритма передает, принимает, идентифицирует
сообщения АИ и постепенно восстанавливает исследуемый граф по
полученным данным.
Для предложенного в работе алгоритма доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Выполнив алгоритм распознавания, агенты распознают
любой граф G с точностью до изоморфизма.
 
Теорема 2. Временная и емкостная сложности алгоритма равны O n 2 ,
где n – число вершин графа, при этом алгоритм использует 3 краски.
Литература.
1.
S. Albers and M. R. Henzinger. Exploring unknown environments. SIAM
Journal on Computing, 29(4): 1164 – 1188, 2000.
189
2.
Кудрявцев В.Б. Введение в теорию автоматов./ В.Б. Кудрявцев,
С.В. Алешин, А.С. Подкозлин. – М.: Наука, 1985. – 320 с.
СИММЕТРИЯ ТОЧЕК НА ПРЯМОЙ И ПОСТРОЕНИЕ
РЕШЕТА СИММЕТРИЗАЦИИ
Сыпко В. Н.
Отметим на прямой а две симметричные точки-А и В. Пусть точка Оцентр симметрии этих точек. Зафиксируем точку А, точки В и О«плавающие». Сместим точку О вправо на единицу, очевидно, что симметрия
между точками А и В нарушилась.
Рис. 1 а)
Для восстановления симметрии между точками А и В очевидно, что
точку В необходимо сместить на две единицы, точка В'-образ точки В:
|BB'|=2|OO’|.
Опять, зафиксируем точку В и сместим центр-точку О на четыре
единицы вправо. Для восстановления симметрии в этом случае точку А
необходимо сместить на восемь единиц. Смотри рис. 1 б).
|AA’|=2|OO’|
Рис. 1 б)
190
Перенесём этот очевидный геометрический факт на простые числа с
целью определения простых чисел на числовой прямой-именно на
промежутке [n;2n].
Выберем пару простых чисел P1=3; Р2=5, очевидно-центр симметрии
число 4. Зафиксируем Р2= 5, центр симметрии и число 3-«плавающие».
Сместим центр(4) на 3, 6,9,… единиц вправо. Смотри рис. 2
Рис. 2
Замечаем, что остатки от деления центра симметрии (4:3; 7:3; 10:3)
повторяются, а образы симметричных точек (к числу 5) кратны числу 3 (9 и
15).
Зафиксировав точку 3 и смещая точку 4 (центр) и точку 5 на модуль
числа 5 замечаем, что остатки от деления смещаемого центра (9:5; 19:5; и
т.д.) постоянны, симметричные точки (образы числа 5) кратны 5-ти (числа
10, 15 и т.д.).
Очевидно лемма 1.
При смещении центра симметрии двух простых чисел и образов
смещаемых простых чисел остатки от деления центра симметрии на эти Pi и
кратность образов этих простых чисел сохраняются.
Определение 1.
Перемещение центра симметрии пары простых чисел и построение
образов этих простых чисел при этом перемещение назовём симметризацией.
Остатки от деления центра симметрии на эти же числа – остатками
симметризации.
191
Легко понять, что остатки симметризации вычисляются по формуле:
Идея симметризации заключается в возможности по остаткам
симметризации системы образующих решета Эратосфена () «отсеивать»
составные числа на промежутке
[n; 2n]. Не «отсеянным» числам будут
соответствовать простые числа, по симметрии относительно n.
Определение 2.
Систему остатков симметризации по всем
назовём решетом
симметризации.
Для отыскания простых чисел на промежутке [n; 2n] строим матрицу
остатков симметризации (по строкам) для каждого нечётного
на нечётных
же числах промежутка [1; n].
Замечание. Чётные числа не рассматриваются по причине свойства
симметрии чётных чисел при любом значении числа n.
Затем строим матрицу-столбец по остаткам деления числа n на Pi ϵ [1;
√2n], сравниваем остатки симметризации по каждой строке и вычёркиваем
эти остатки (которые совпадают).
ПРИМЕР 1
Дан промежуток [1;46]. По остаткам симметризации вычислить
простые числа на промежутке [23;46].
РЕШЕНИЕ
По условию принимаем за центр симметризации число n=23. Так как
√46≈6,7… система образующих Pi={3;5}. Строим матрицы остатков
симметризации и систему остатков от деления n на Pi (отдельно справа). См.
таблицу:
192
Остатки
симметризации n:Pi
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2 (23:3)
3
4
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
3 (23:5)
43 41
37
31 29
Pj ϵ [23;46]
23
ПРИМЕР 2
2n=66; n=33; Pi ϵ [1; √66]={3;5;7}
1
2
3
4
3
0
4
5
5
1
0
6
61
7
2
1
0
59
9
0
2
1
11
1
3
2
13
2
4
3
53
15
0
0
4
17
1
1
5
19
2
2
6
47
21
0
3
0
23
1
4
1
43
25
2
0
2
41
27
0
1
3
29
1
2
4
37
31
2
3
5
33
0
4
6
n=33
0
3
5
Pj
ϵ
[33;66]
Легко понять, что данное «вычисление» простых чисел на промежутке
[n;2n] выполняется аналогично при любом n. С увеличением n система
образующих возрастает. Для каждого Pi ϵ [1; √2n] остатки симметризации по
строкам следуют регулярным образом и нет надобности выполнять
вычисления по формуле
Pi  Pj
:Pi.
2
Применим идею симметризации при изучении вопроса существования
[1; ]. Легко заметить, что вычисленные по матрице остатков симметризации
простые числа промежутка [n; 2n] симметричны простым числам промежутка
[1; n].
Определение 3.
Если некоторому по симметрии относительно n соответствует
составное число, будем говорить, что это число симметризированно, в
противном случае будем говорить, что просто число – не
симметризированно.
Определение 4.
193
В случае, когда всем по симметрии относительно n соответствуют
составные числа, будем говорить, что промежуток [1; ] симметризирован.
В этом случае данному промежутку соответствует некоторое число - ,
которое назовём центром симметризации, достаточно решить «китайскую»
задачу по остаткам симметризации но всем , и этому будет соответствовать
отрезок АВ, |AB|=|1, |.
Замечание. На этом промежутке АВ могут быть простые числа
симметричные к составным числам промежутка [1; ], но этот факт не
существенен. См. рис. 3.
1
А
В
Составное число
Рис. 3.
Если дан промежуток [0; 2n], то не обязательно = n, чаще всего ≠ n.
Поставим вопрос – при каком выборе остатков симметризации центр
симметризации совпадёт с числом n – центром симметрии промежутка [0;
2n]?
Ответ очевиден-это случится при совпадении остатков симметризации
с остатками от деления числа n на эти Pi ϵ [1;√98]. Рассмотрим примеры.
ПРИМЕР 3
Дан промежуток [1;98], n=49, Pi={3;5;7}.
Определить, совпадает ли центр симметризации с n, центром
симметрии.
РЕШЕНИЕ
На промежутке [1; √98] строим решето симметризации
3
3 0
5 4
7 5
Как видим непосредственно,
5 7 n=49
1 2 1
0 1 4
6 0 0
остатки симметризации «перекрыли» все
Pi ϵ [1;√98], x0=n.
ПРИМЕР 4
194
Дан промежуток [1;240]. Определить, существуют ли симметричные
пары простых чисел на промежутках [1; √240] и [240-√240;240]. Вычислить
эти пары.
РЕШЕНИЕ
Строим решето симметризации на промежутке [1; √240].
Pi\Pj
3
5
7
11
13
3
0
4
5
7
8
5
1
0
6
8
9
7
2
1
0
9
10
233
9
0
2
1
10
11
11
1
3
2
0
12
229
13
2
4
3
1
0
227
n=120
0
0
1
10
3
x0≠n
ОТВЕТ. Симметричные пары простых чисел существуют. Промежуток
[1; √240] не симметризирован.
Очевидно, что если для произвольного как угодно большого
промежутка [1; √2n] и симметризации совпадает с числом n (х0=n), то
симметричных пар простых чисел на промежутках [1; √2n] и [2n-√2n;2n] не
существует(см. работу №2).
ЗАМЕЧАНИЕ. Если в примере 4 изменить остатки симметризации
произвольным образом, так чтобы «перекрыть» все Pi, то очевидно, что
х0=n=120.
При симметризации промежутка [1; ] и совпадении = n происходит
выборка остатков симметризации по каждому
– системе образующих.
Очевидно, что центр симметризации () определяется системой сравнений по
модулю и остаткам симметризации заданных числом n (n: ):
Решение системы сравнений (смотри любой учебник по теории чисел)
есть
(mod M), где М = 3*5…*. Фактически центров симметризации
бесконечно много, как вправо от , так и влево. По симметрии всем
Очевидно, что эта симметризация возможна при условии x (mod M), где центр симметризации промежутка [; 2] при условии =. Учитывая, что – чаще
всего принимает дробное значение берём вблизи – чётное число.
195
Лемма 1. Равенство-совпадение (mod M) невозможно.
Доказательство.
В самом деле, разность | - | ≠ М и с увеличением n (2n) эта разность
увеличивается.
Пример.
Пусть 2n=30; n=15; .., =6.
Тогда n - = 15 – 6 ≠ 3*5. Числа 3 и 5 образующие промежутка [1; ].
При симметризации промежутка [1;√2n] происходит и симметризация
промежутка [2n-√2n;2n] и это основное. По сути симметризации каждому Pi ϵ
[1;√2n] по симметрии относительно n соответствует составное число кратное
какому-то числу Pi, отсюда и лемма.
ЛЕММА 2
При симметризации промежутка [1;√2n] одновременно происходит и
симметризация промежутка [2n-√2n;2n] при данной системе образующих.
ПРИМЕР 5
Ранее (пример 3) было показано, что при 2n=98, n=49, Pi={3;5;7}
промежуток [1; √98] симметризирован и х0=n.
Покажем, что и промежуток [98-√98;98] так же симметризирован.
Pi\Pj
3
5
7
91 93 95 97 n=49
2 0 1 2 1
3 4 0 1 4
0 1 2 3 0
7 5 3 1
Непосредственно видно, что промежуток [98-√98;98] симметризирован
системой образующих {3;5;7}.
СЛЕДСТВИЕ 1
При
симметризации
на
промежутке
[0;2n]
происходит
две
симметризации, как промежутка [1;√2n], так и промежутка [2n-√2n;2n].
Система образующих постоянна: Pi ϵ [1;√2n].
Говоря об одной симметризации, следует подразумевать и другую. При
условии х0=n для определения симметризации произвольного промежутка
196
[A;B]=|1; √2n| достаточно построить решето симметризации системы
образующих Pi ϵ [1;√2n] напротив промежутка AB (необходимо соответствие
остатков симметризации).
По лемме 1 при условии n в точке n симметризация промежутка[ ; ]
невозможна, остатки симмитризации заданым числом n. Простые числа [1;
] симметризованны относительно n как центра симметрии и изменить их
значение (Ск) невозможно.
Теорема.
На
промежутка [
симметризационых
;
] относительно n как центра симметрии
невозможна,
некоторое
простое
число
(или
несколько)будут не симметризированых именно при условии = n .
Доказательство.
Необходимость условия следует из неравенства ( по лемме 1. Остатоки
симметризации зададим условием n тоесть числом n. Достаточность следует
из того , что если бы промежуток [
;
] относительно n был бы
симметризирован, то следовало бы равенство что невозможно.
Следствие.
Несемметризованным простым числам промежутка [ ; ] по симметрии
относительно n будут соответсвовать простые числа промежутка [ ; ].
Доказательство.
Доказательство, если какое-то [ ; ] несимметризировано, то ему не
может соответсвовать число кратнее какому-то [1;], но ттгда это число будет
простым и только простым. В примере 3 показано , что промежуток [1;]
симметризирован, но промежуток [] нет,число 19 не симметризировано.
3
5
7
11 13 15 17 19
1 2 0 1 2
3 4 0 1 2
2 3 4 5 6
79
197
48
1
4
0
Пример 6
Дан промежуток [1;126] , =63. Известно что в точке =63, =63 тоесть
промежуток [1;] симметризирован. Определить симметричные пара простых
чисел на промежутке []. Строим решето симметризации на числах:
{13;15;17;19;21;23} система образуемых {3;5;7;11} є 11,2.
13
15
17
19
21
23
=63
3
2
0
1
2
0
1
0
5
4
0
1
2
3
4
3
7
3
4
5
6
0
1
0
11
1
2
3
4
5
6
8
103
Простые
113
109 107
Пример 7
Рассматриваем промежуток [0 ; 2310],=1155. Известно, что система
простых чисел {13;15;17;19;21;23} на промежутке [1;] как часть
симметризированна. Найти симметричные простые пары чисел на
промежутке [13;21].
Строим решето симметризации на числах {13;15;17;19;21} систему
образующих берем {3;5;7;11} – часть всей системы образующих промежутка
[1;].
При =1155 система образующих симметризована.
13
15
17
19
21
=1155
3
2
0
1
2
0
0
5
4
0
1
2
3
0
7
1
4
5
6
0
0
198
11
1
2
197
3
4
193
191
5
0
Симметричные пары прстых чисел на промежутке []существуют:
(13;2297); (17;2293).
Пример 8.
Дан промежуток [1;122]. Построить решето симметризации на
промежутках [1;] и []. Если есть, найти симметричные пары простых чисел
относительно как центра симметрии.
Решение.
Строим два решета (матрицы) симметризации
А)На промежутке [1;]
Б) На промежутке [].
11,04. {1;3;5;7;11} {13;17;19}
А)
Б)
1
3
5
7
9
11
=61
3
2
0
1
2
0
1
1
5
3
4
0
1
2
3
1
7
4
5
6
0
1
2
5
-
-
-
-
13
15
17
19
21
3
2
0
1
2
0
5
4
0
1
2
3
7
3
4
5
6
0
109
Ответ. На промежутке [1;]
103
ему симметричному относительно =61
симметриных пар простых чисел нет. На промежутке [] ему симметричному
относительно =61 симметриные пары простых чисел есть, это пары (13 ; 109)
и (19 ; 103) .
Выводы.
199
Таким образом на произвольном , как угодно большом промежутке [0;]
по симметрии относительно
как центра симметрии всегда существуют
симметричные пары простых чисел. Существование этих пар не обязательно
ограничивается промежутком [] .
Литература
1. Сипко В.М «Про пошук простих чисел на проміжку []»Кіровоградський
ДПІ ім. Винниченка, «Наукові записки», випуск 68, серія «Математичні
науки», Кіровоград, 2009 рік
.
2. Сыпко В.Н. «О симметрии простых чисел на промежутке []»
«Комбінаторні конфігурації та їх застосування» , ХІ Міжвузівський науковопрактичний симінар, м.Кіровоград, 2011р.
КОМБИНАТОРНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ В СОВМЕЩЕНИЯХ
КОНТРОЛЬНЫХ И ДИАГНОСТИЧЕСКИХ СРЕДСТВ
И СВОЙСТВ СИСТЕМ
Твердохлебов В.А., [email protected]
Институт проблем точной механики и управления РАН,
Саратовский государственный университет им.Н.Г.Чернышевского
Введение.
Одним из вариантов декомпозиции процесса функционирования
сложных человеко-машинных систем (СЧМС) является декомпозиция
процесса на специфические частные процессы:
- базовые
процессы
(командно-информационный
управляющий
алгоритмический процесс; процесс действия человеческих звеньев; процесс
функционирования техники и оборудования; процесс энергообеспечения;
процесс обеспечения грузами, пассажирами, комплектующими, сырьем;
процесс
взаимодействия
с
внешней
средой;
(процесс
обеспечения
безопасности функционирования СЧМС));
- процессы, порожденные взаимосвязями и взаимодействиями шести
(или семи) базовых процессов в сочетаниях по два, по три, … , всех шести.
200
Следовательно, процесс функционирования СЧМС рассматривается
как совокупность 63 (127) специфических процессов: P1,P2 , … ,P63 (P1,P2,…
,P127). Средствами контроля и диагностирования наблюдаются выбранные
для определения этих процессов свойства R1, R2 , … , Rk , представляемые в
конкретные
моменты
или
интервалы
времени
значениями
свойств
W1,W2,…,Wk . На основании этого процесс конкретного с функционирования
СЧМС представляется последовательностью  = < w(1) , w(2), … , w(С) >,
k
где для каждого t , 1 ≤ t ≤ C, w(t)W, W = × Wi . Декомпозиция процесса
i =1
функционирования СЧМС сделана для того, чтобы эффективно включать в
знания о процессе функционирования СЧМС разрозненные и разделенные,
имеющиеся в прикладной области законы, теоремы, свойства и их отношения
и т.д. Предполагаемая изоляция каждого из 63 (127) частных процессов
сделана для использования в моделях СЧМС точных математических
формул.
1.Построение модели процесса функционирования СЧМС.
Будем
предполагать,
что
в
модели
СЧМС
представлены
и
рассматриваются два принципиально различных , но существенно связанных
между собой процесса:
- абстрактный командно-информационный, управляющий процесс,
определяющий алгоритмические свойства функционирования СЧМС;
- процесс материальной реализации законов функционирования СЧМС.
Моделями
обоих
процессов
полагаются
дискретные
детерминированные автоматы с конечными или счетно-бесконечными
множествами состояний:
- автомат
A=(S, X, Y, δ, ) для определения алгоритмических свойств
в процессе функционирования СЧМС;
- автомат
B=(Su, Xu, Yu, δu,
u) для определения материальной
реализации законов функционирования СЧМС.
201
В модели СЧМС автоматы A и B совмещаются в автомат
С = (S× Su, X× Xu, Y× Yu, δс, с) , где S× Su , X× Xu
множества состояний, входных и выходных сигналов автомата
и Y× Yu C
,а
δс
и с - функции переходов и выходов вида: δс : (S×Su) × (X×Xu) → (S×Su),
с : (S×Su) × (X×Xu) → (Y×Yu).
2. Примеры декомпозиции процесса функционирования СЧМС.
Одной из основных задач является обеспечение безопасности
функционирования
СЧМС
и
обеспечение
минимальных
затрат
на
ликвидацию последствий аварий и катастроф. Существенными средствами в
обеспечении безопасности функционирования СЧМС являются эффективные
контроль и диагностирование процесса функционирования СЧМС, которые
оказываются вспомогательными по отношению к основным задачам
управления, восстановления работоспособности СЧМС, предупреждения и
ликвидации дефектов, функциональных отказов, аварий и катастроф. Задачи
контроля и диагностирования решаются с использованием математических
моделей, имеющих специфическое содержание и форму для СЧМС. В работе
[1] (с.76) приведены этапы полета воздушного судна (ВС), которые с
несущественными
дополнениями
составляют
следующую
последовательность: Этап E0 . Руление ВС до торца взлетно-посадочной
полосы (ВПП). Этап E1 . Разбег по ВПП до достижения скорости отрыва.
Этап E2 . Взлет. Этап E3 . Набор высоты до достижения высоты заданного
эшелона. Этап E4 . Маршрутный полет. Этап E5 . Снижение до высоты
круга для захода на посадку.
Этап E6. Полет по кругу с подготовкой к
планированию по посадочной глиссаде. Этап E7 . Полет по глиссаде. Этап
E8 . Выравнивание и касание ВПП. Этап E9 .Пробег по ВПП, торможение.
Этап E10 .Руление на стоянку.
В зависимости от требуемых точности и полноты определения полета
ВС каждый из этапов E0 - E10
разделяется на составляющие их этапы.
202
Последовательность
 = < w(1) , w(2), … , w(С) > покрывается 11-ю
интервалами, являющимися моделями этапов полета.
Возможны
другие
варианты
декомпозиции
процесса
функционирования СЧМС на составляющие части. В работе
[2] (с.74)
структура управления Российским сегментом Международной космической
станции (МКС) представлена режимами функционирования, среди которых
содержатся:
Стандартный
режим.
(Основные
задачи
"поддержание
различных видов ориентации, развороты для выполнения служебных задач,
поддержка
номинальных
параметров
жизнедеятельности,
проведение
научных экспериментов, проведение тестовых проверок приборов и систем,
проведение восстановительных работ в бортовых системах"); Коррекция
орбиты
;
Стыковка,
расстыковка,
перестыковка;
Внешняя
деятельность ; Режим выживания МКС; Режим спасения экипажа
(Основная функция "отделение транспортных кораблей "Союз" при
катастрофически опасных ситуациях (с.76)").
3.Заключение.
Приведенные виды декомпозиции на этапы, режимы и
варианты
декомпозиции
обобщаются
в
форме
другие
декомпозиции
на
последовательность событий, моделями которых являются наблюдаемые
k
средствами контроля и диагностирования элементы множества W = i×=1Wi .
Декомпозиция
на
события
позволяет
строить
модели
процессов
функционирования СЧМС на основе бинарных отношений вида ρt  WW,
1 ≤ t ≤ C. Такие бинарные отношения на основе имеющейся и добавляемой
информации позволяют исключать из бинарных отношений вида
противоречащие информации. В работах [3-4]
ρ t пары,
изложены основные
положения, модели и методы построения на основе автоматных структур
моделей СЧМС. Для этого разработаны алгебра причинно-следственных
комплексов, процедуры применения фильтров, сокращающих бинарные
203
отношения, классификации событий по характеристикам безопасности
функционирования и т.д.
Литература
1. Новожилов Г.В., Неймарк М.С., Цесарский Л.Г. Безопасность полёта
самолёта: Концепция и технология. –М.: Изд-во МАИ, 2007 – 196 с.
2. Кульба В.В., Микрин Е.А., Павлов Б.А., Платонов В.Н. Теоретические
основы информационно-управляющих систем космических аппаратов. М.:
Наука, 2006. – 579с.
3. Безопасность критических инфраструктур: математические и инженерные
методы анализа и обеспечения. Под.ред. В.С.Харченко. Харьков. Изд-во
Национальный
аэрокосмический
университет
им.
Н.Е.Жуковского.
("ХАИ").2011г. 641с.
4. Резчиков А.Ф., Твердохлебов В.А. Причинно-следственные модели
производственных систем. – Саратов: Изд-во «Научная книга», 2008. – 183 с.
ДЕЯКІ ВЛАСТИВОСТІ ЗАДАЧ КОМБІНАТОРНОЇ
ОПТИМІЗАЦІЇ, ЯКІ ВПЛИВАЮТЬ НА ЗАКОНОМІРНІСТЬ ЗМІНИ
ЗНАЧЕНЬ ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ
Тимофієва Н. К. [email protected]
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій
та систем НАН та МОН України
Вступ.
Як
показує
аналіз
відомих
методів
при
знаходженні
оптимального розв'язку в задачах комбінаторної оптимізації підходами, що
грунтуються на частковому переборі варіантів виникає одна і та ж проблема,
а саме: розроблення стратегії розбиття множини значень цільової функції на
підмножини з наступним виключенням тих підмножин, які не містять
оптимального розв'язку. Незважаючи на те, що таке розбиття для різних
підходів різне і не грунтується на строгих законах, постає запитання: з якою
властивістю пов'язане таке розбиття. Використовуючи теорію комбінаторної
204
оптимізації, опишемо деякі властивості задач цього класу, від яких залежить
закономірність зміни значень цільової функції незалежно від вхідних даних.
Залежність зміни значеннь цільової функції від упорядкування
комбінаторних конфігурацій. Уведемо деякі означення, що стосуються
комбінаторних конфігурацій і наведемо математичну постановку задачі
комбінаторної оптимізації.
Комбінаторною конфігурацією назвемо будь-яку сукупність елементів,
яка утворюється з усіх або з деяких елементів базової множини
A  { a1 ,..., an } . Позначимо її упорядкованою множиною wk  ( w1k ,..., wk k ) .
Під символом wkj  A розуміємо як окремі елементи, так і підмножини
(блоки), k {1,..., n} – кількість елементів у wk , W  {wk }1q – множина
комбінаторних конфігурацій. Верхній індекс k ( k  {1,..., q} ) у wk позначає
порядковий номер wk у W , q – кількість wk у W .
Дві
нетотожні
комбінаторні
wk
конфігурації
wi
і
назвемо
ізоморфними, якщо k  i . Підмножину W  W назвемо підмножиною
ізоморфних комбінаторних конфігурацій, якщо її елементи – ізоморфні
комбінаторні
ізоморфних
конфігурації.
комбінаторних
Множина
W
конфігурацій
складається
W .
з
Оскільки
підмножин
операція
транспозиції змінює лише порядок слідування елементів у wk W , то всіляка
множина
перестановок
W
є
множиною
ізоморфних
комбінаторних
конфігурацій.
Вхідні дані в задачі комбінаторної оптимізації, які задано матрицями,
змоделюємо функціями натурального аргументу ( j ) |1m  ((1),..., (m)) і
f ( j ) |1m  ( f (1),..., f (m)) , одна з яких – комбінаторна  ( f ( j ) , wk ) |1m , де
m  n(n  1) 2 . Запишемо цільову функцію F ( w k )   j 1 j ( f ( j ), w k )  ( j ) .
m
205
Теорема 1. В задачах комбінаторної оптимізації, аргументом цільової
функції яких є перестановка, комбінаторною функцією може бути будь-яка із
двох скінченних послідовностей (функцій натурального аргументу), якими
задаються вхідні дані.
Закономірність зміни значень цільової функції в задачах комбінаторної
оптимізації залежить від упорядкування
комбінаторних конфігурацій
(аргумента). Упорядкуємо підмножини W множини W (крім перестановок),
починаючи з   1 і закінчуючи   n (  – кількість елементів у w ).
Теорема 2. Якщо в задачах комбінаторної оптимізації множина W
складається з підмножин W , а оптимізація проводиться за сумарним або
середнім значенням ваг між елементами базової множини, то цільова функція
на заданому вище упорядкуванні ізоморфних підмножин – дискретна
кусково-монотонна функція (відповідно неспадна або незростаюча).
Отже, для задач, які розв’язуються на комбінаторних множинах, що
складаються з ізоморфних підмножин, цільова функція змінюється однаково
незалежно від вхідних даних.
Теорема 3. На підмножині W цільова функція змінюється так, як і на
множині перестановок, яка є множиною ізоморфних комбінаторних
конфігурацій.
Залежність цільової функції від упорядкування перестановок і від
структури вхідної інформації. Розглянемо задачі комбінаторної оптимізації,
які розв’язуються на множині перестановок і на підмножині ізоморфних
комбінаторних конфігурацій.
Для фіксованого аргументу послідовність величин добутку значень
числової і комбінаторної функцій є комбінаціями елементів заданої матриці.
Якщо одна з них – бінарна послідовність, то з матриці вибираються не всі
елементи. Цю послідовність назвемо варіантом розв'язання задачі. За
способом утворення множина варіантів розв'язання задачі розділяється на
підмножини. У першій підмножині знаходяться послідовності, значення яких
206
вибрані з матриці, починаючи з елемента за адресою 1, у другій підмножині –
починаючи з адреси 2 і т.д. Кількість таких підмножин для різних класів
задач – різна. Відповідно, упорядковується і множина перестановок.
Утворені підмножини складаються з менших підмножин. Таке розбиття
множини перестановок можна проводити по двох, трьох і більше значеннях
варіанту розв'язання задачі і воно не залежить від вхідних даних. Множина
перестановок упорядковується підмножинами так, що для одержаного
упорядкування з урахуванням вхідних даних можна встановити деяку
закономірність зміни значень функції цілі для певного підкласу задач.
Теорема
4.
Якщо
функція
натурального
аргументу
в
задачі
комівояжера або розміщення змінюється як монотонна (неспадна або
незростаюча), то значення цільової функції для певного впорядкування
перестановок змінюється як кусково-монотонна неспадна (або незростаюча).
Залежність значення цільової функції від транспозиції елементів
перестановки. Уведемо системи комбінаторних функцій H і H ' , де
 ( f ( j ) , wk ) |1m H – комбінаторна функція, аргументом якої є перестановка
w k  W , утворена з елементів a s  An ; ' ( f ( j ) , w't ) |m1  H ' – комбінаторна
функція, аргументом якої є перестановка w 't   ' , утворена з елементів
базової множини Am  { a1 ,..., am } . Якщо  ( f ( j ) , w1 ) |m1  ' ( f ( j ) , w'1 ) |m1 ,
де w1 , w'1 – перші перестановки в W , W ' , то H  H ' .
Наведемо такі теореми для системи H ' .
Теорема 5. Якщо  j ( f ( j ) , w'1 )  (1,..., m) і  ( j )  (1, ..., m) , а перестановка w 'i утворена з w't транспозицією, яка переводить ws't , wt't в інверсію,
то значення цільової функції F ( w'i ) зменшується. Якщо транспозиція
переводить ws't , wr't у прямий порядок, то значення F ( w'i ) збільшується.
207
Теорема 6. Якщо  j ( f ( j ) , w '1 )  R ,  ( j )  R , а цільова функція для
w't W ' набуває найбільшого значення, то найменше її значення для
перестановки w'i W ' дорівнює Fmin ( w'i )  Fmax ( w 't )  l1  l ( w' t )  l' .
Якщо  j ( f ( j ) , w 1 )  R ,
 ( j )  R , а цільова функція для w'i
набуває найменшого значення, то найбільше її значення для перестановки

w't W ' дорівнює Fmax ( w 't )  Fmin ( w 'i )  l 1  l ( w' i )  l' ;   m 2 , R –
множина дійсних чисел, l ( w' t ), l' – дефіцит функцій  ( f ( j ) , w'1 ) |m1 і
 ( j ) |m1 .
Висновок. Отже закономірність зміни значень цільової функції
залежить від упорядкування комбінаторних конфігурацій незалежно від
вхідних даних. Якщо транспозиція змінює значення комбінаторної функції у
прямий порядок, то цільова функція збільшується, якщо – в інверсний, то
вона зменшується. Якщо відома структура вхідної інформації (підкласи
розв’язних задач), то для певного впорядкування перестановок можна
визначити клас цільової функції.
RANDOM CONSTRUCTION OF MAGIC SQUARE
S. Tognon ([email protected])
Here are presented some classes (A, B, C, D) of computer programs that are
able to build random magic squares . Such programs have been used successfully
for the research of magic squares with consecutive prime numbers [1][2] and with
consecutive Smith numbers [3].
After a statistic analysis it was found that at least one among the programs is
giving results if the following condition is reached.
Where:
208

A1, A2, … An*n the input sequences of values for a square of order N

M = magic constant for a magic square with A1..An*n values

Cn*n,n = number of combination of N elements taken from N*N set of
numbers

T=number of possible sequences of N numbers from N*N set of
numbers that have a sum of M (the magic constant)
If :
T > 1% * Cn*n,n

Then at least one program can give a magic square with a very high
probability. The bigger is the T related to Cn*n,n the easier can a square be built.
The program algorithm works as follow:

It reads the sequences Si of N*N elements to use for building the square

It calculates the magic constant:
M=
1
∗
N

N∗ N
∑
Si
i= 1
It rejects the building of square if M is not an integer (for prime
numbers, M should be with the same parity of the order, but this rule was relaxed
to allow a free input sequence)

It puts all the N*N elements into the square at random

It applies one of the algorithm A, B, C, D (and relevant subversion) to
the square
The four methods can be summarized in (N is the square order):
Method
Description of elements involved into the process
Version
A
N rows || N columns || 2 diagonals || N rows
1, 2, 3
B
2 rows || 2 diagonals || N rows
1, 2, 3
C
N rows || N diagonals || 1 diagonal
D
N rows || N diagonals || 1 diagonal
|| N columns
1, 2, 3, 4
|| 1 diagonal || N rows
1, 2, 3, 4
In detail, but still with a high-level representation, each algorithm looks like:
209
Method Ax (x=1, 2, 3)
This method fulfils the following functions (the x version means that some
points have a different implementation):
1.
making all rows magic
2.
rotating the square
3.
making all rows magic (that were the columns at point 1)
4.
making diagonals magic by using two magic rows
5.
remaking all rows magic without changing diagonals state
6.
rotating the square
7.
remaking all the rows (columns in point 5) magic without changing
diagonals state
Method Bx (x=1, 2, 3)
This method fulfils the following functions (the x version means that some
points have different implementation):
1.
making 2 rows magic
2.
making diagonals magic using two magic rows
3.
remaking all rows magic without changing diagonals state
4.
rotating the square
5.
remaking all rows (columns in point 3) magic without changing
diagonals state
Method Cx (x=1, 2, 3, 4)
This method fulfils the following functions (the x version means that some
points have different implementation):
1.
making all rows magic
2.
rotating the square
3.
making all rows magic (that were columns at point 1)
4.
making one diagonal magic using permutation (and hope the other
will come up automatically)
Method Dx (x=1, 2, 3, 4)
210
This method fulfils the following functions (the x version means that some
points have different implementation):
5.
making all rows magic
6.
rotating the square
7.
making all rows magic (that were columns at point 1)
8.
making diagonals magic using two algorithms (one for each diagonal)
9.
remaking all rows magic without changing diagonals state
The core of each phase necessary to convert N rows or columns to the magic
state is a swapping routine, which makes one row magic by taking value from
another one, without braking the columns magic state.
Here is a simple example with a 5x5 square and numbers Ax and Bx:
A1
A2
A3
A4
A5
A1
B2
A3
B4
B5
B1
B2
B3
B4
B5
B1
A2
B3
A4
A5
Where:
(A1+ A2+ A3+ A4 + A5 )≠ M
(B1+ B2+ B3+ B 4+ B 5)≠ M
(A1+ B2+ A3+ B 4+ B5 )= M
Another more specialized routine operates as the previous, but this time
without using elements in diagonal positions (such as in step 5 of method Bx).
The common routine that makes rows magic is therefore the following:



Scanning all the rows from up to down
Scanning all the rows under the selected one
Making the first selected row magic with the second selected row
As you can see, all rows are made magic just by swapping with elements of
the other rows at the same column position, that means that in all those swaps, the
211
magic value of sum of column is not changed (and if operating with the second
kind of routine, even diagonal state is not changed).
Converting diagonals to the magic state is the true point that differentiates the
four algorithms:
1. A, B: Diagonals become magic by copying the values from two rows already
magic (In B there are only two magic rows where to copy them)
2. C: Makes diagonal \ magic with some swaps of elements that do not change
the magic state of rows and columns. This is repeated for all combination until
even column / becomes magic.
3. D: Makes diagonal \ magic with some swaps of elements that not change the
magic state of rows and columns. Makes diagonal / magic with some swaps that
break columns and rows magic state.
All the details of the algorithm implementation can be read in the article or at
C++ source of programs [4]
[1] Smallest magic constant for any n X n magic square made from consecutive
primes (http://oeis.org/A073520)
[2] Smallest of n^2 consecutive primes that form an n X n magic square with the
least magic constant (http://oeis.org/A104157)
[3] Least magic constant of magic squares using Smith numbers
(http://oeis.org/A170928)
[4] http://digilander.iol.it/ice00/download/magic_squares.zip
ЛИНИИ НА ФИНИТИЗИРОВАННОЙ ПЛОСКОСТИ
Филер З.Е. [email protected]
Кировоградский государственный педуниверситет им. В. Винниченко
Введение. В конце 60-х годов автор стал систематически искать способы
финитизации бесконечных процессов, в частности, построения годографа
Михайлова в теории устойчивости. Изучая проблемы дискретного и
непрерывного в математике, физике и философии, автор думал о конечных
аналогах канторовской иерархии «актуальных» бесконечностей. При
212
подготовке к докладу на Международном конгрессе по логике, методологии
и философии науки в 1987 г. в Москве [1], автор построил такой аналог. В
последние годы он использовал такой подход в преподавании, в частности, в
теории рядов и несобственных интегралов. Тогда бесконечность становится
«достижимой», видимой.
1. Опишем этот процесс. Откладывая отрезок длиной 1 от точки 0,
сделаем следующую «единицу» длиной
длину
q2
q 1;
следующая «1» будет иметь
и т.д. Отрезок «длиной» n будет изображаться частичной суммой
геометрической прогрессии


S n  1  q n / 1  q  ,
имеющей
конечный предел
S=1/(1-q). Это первая «бесконечная» канторовская актуальная бесконечность
.
При q=9/10 имеем S=10. Для получения изображения точки
отрезок
S q
и т.д., до получения точки
 2  1,...,  3 ,...,   ,...
Бесконечная
2 .
иерархия
2
отложим
Затем образуются «числа»
этих
«чисел»
–
образов
трансфинитных чисел Кантора, также будет изображаться бесконечной
иерархией таких точек (рис. 1). Величина
Sn
может рассматриваться как
образ натурального числа n; образом действительного числа х является
число
~
x  (1  q x ) /(1  q) .
0
1
2
(1)
3 4 ω
ω+1
2
2,5
1
0
2
0
0,5
1
1,5
Рис. 1
В связи с возможностью произвольного выбора величины q, такое
соответствие не является однозначным. При выборе
–
образа
числовой
m  2 натурального.
оси
Lm
будет
q  m  1 / m
натуральным
длина отрезка
числом
для
Отображение (1) является обратимым и сохраняет
213
линейный
x
порядок
на
«прямой».
Обращая
формулу
(1),
получим
ln1  ~
x 1  q 
.
lnq 
Графически отображение (1)
показано на рис. 2 с шагом 0,01.
Кривая (1)
y  (1  q x ) /(1  q)
горизонтальную
y  1 /(1  q).
При
будет
y  3.
асимптота
Симметрично
биссектрисы

x  x показан
Рис. 2. Финитизация числовой полуоси
асимптоту
q  2/3
относительно
функции
имеет
график обратной
с
вертикальной
асимптотой х = 3.
В [1] сказано, что «любое фактически бесконечное множество может быть
потенциально увеличено на еще один элемент, по крайней мере. Именно
таким образом строится иерархия бесконечных множеств. Интересно
отметить реальную интерпретацию его в виде последовательности точек,
сходящихся в геометрической прогрессии, и их пределы. Предельная точка

будет находиться на конечном расстоянии в обычном смысле. С её
помощью мы можем построить последовательность точек,
 n,
... ,
2
  1,   2 ,
…,
и т.д.». Формула (1) и реализует цитируемый алгоритм. К
сожалению, в [1] «число»  не отпечатано. Ввиду взаимнооднозначного
соответствия, задаваемого формулой (1), множество натуральных чисел
изоморфно множеству точек
~

N  {n  (1  q n ) /(1  q ) | n  N } .
N
Сохраняется для него
отношение порядка и аксиомы Пеано, а также аксиома Архимеда. В
частности,
  
n  n  1n ,
где

1n  q n .
Каждая следущая «единица» в
1/ q
раз короче
предыдущей «единицы».
Определение. «Единицей» с номером k будем называть расстояние
между образами точек k  1 и k . Тогда

1n  q n .
214
Первая аксиома Пеано гласит, что 1 есть натуральное число; вторая
утверждает, что следующее за натуральным числом также является
натуральным; третяя: 1 не следует ни за каким натуральным (в отдельных
работах предлагают считать первым натуральным числом 0, тогда эта
аксиома утверждает, что у 0 нет предыдущего натурального. Образы 0 и 1
совпадают с прообразами); четвёртая – единственности – требует, чтобы
числа, непосредственно предшествующие одному числу, совпадали. Пятая аксиома индукции. Справедливость всех этих аксиом для множества
следует из его определения. Во множестве
~
N
~
N
операции сложения +

соответствует операция  , когда
 
x  y  (1  q x  y ) /(1  q );
операции умножения
 
x y–
операция
(2)
 
x  y  (1  q x  y ) /(1  q).
Аналогично можно определить образы операции вычитания, возведения в
степень и т.д.: образ частного ~x ~/ ~y  1  q
x/ y
1 q
Легко проверить, что для любых
соответствующее соотношение в

N
, образ степени
a b
, т.е.

N
n  N :
1 qx
1 q
n
xn 
a  bn
и т.д.
и выполняется
- архимедовое множество. По
предложению Грассмана определение последовательных чисел 2
3
def

2+1, …заменится определениями
Очевидно, для любых
x, y

1+1,
 
 

2  1  q, 3  2  q 2 , 4  3  q 3 ,...
«сумма»
 
x  y  (1  q x  y ) /(1  q)  1 /(1  q) .
Это свойство
аналогично свойству сложения скоростей в теории относительности:
v  c  c,
def
v1  v2  c,
где с – скорость света.
2. О статье П.К. Рашевского. Со статьёй  автор познакомился после
Конгресса, увидев в своих поисках возможность реализации надежд
известного учёного. Он отмечает, что «Процесс счёта физических предметов
в достаточно простых случаях доводится до конца…теория натурального
ряда…распространяет её до «бесконечности». Совокупности большие
предполагаются … доступными пересчёту, как и малые… В рамках
математической теории подобная идеализация…вполне законна…эта точка
215
зрения навязывается и физике… Духу физики более соответствовала
бы…теория целого числа, в которой числа… «большие», приобретали бы…
«размытый» вид… Существующая теория … переуточнена: добавление
единицы меняет число – а что меняет для физика добавление одной
молекулы в сосуд с газом?... для «очень больших» чисел присчитывание
единицы… не должно их менять. … числа этой гипотетической теории были
бы объектами другой природы, чем числа натурального ряда…почти
совпадение имело бы лишь для начальных отрезков существующего и
гипотетического натуральных рядов, а по мере удаления по ним
различие…должно возрастать…гипотетическая реформа числового ряда
должна … сопровождаться …реформой и числовой прямой …Не следует
ожидать, что наша гипотетическая теория … будет единственной…она
должна будет зависеть от «параметров»… в предельном случае …должна
будет совпадать с существующей».
3. Нам кажется, что построенные нами образы

n
натуральных чисел
удовлетворяют надеждам П.К. Рашевского. Число

n  1  q  q 2  ...  q n 1, а
последующее «число»
ой «единицы»
С ростом
qn.
к 1, например,
q  0.99,
n

( n  1)
n
имеет образ
n
получается прибавлением n -
эта добавка стремится к 0. При
q  1,
но близком
точка  будет на расстоянии 100 «классических
единиц» и сжатие каждой «1» по сравнению с предыдущей «1» будет в 0,99
раза. Поэтому первые числа
n
будут почти неотличимы от

n.
которого зависит упомянутая «теория», является число
Параметром, от
q.
Когда оно
стремится к 1, получаем традиционную теорию натуральных чисел
множества положительных действительных чисел

x
– привычное
N,
а для
R
4. Философский подход к понятию натурального ряда. В большой
статье В.А. Успенского [6] значительная часть посвящена натуральному
ряду. Он утверждает, что натуральное число следует признать первичным
понятием, а аксиомы Пеано определяют не одну, а сразу много
математических структур, причем все они изоморфны. Он соглашается со
216
мнением П.К. Рашевского, что «физический» натуральный ряд отличается от
«математического». В послесловии публикатора статьи  В.В. Корухова в
новосибирском журнале «Философия науки» указана статья 9. Рядом со
статьёй Успенского помещена статья [7] о нестандартном анализе.
5. Неархимедова теория числа В.Л.Рвачёва. Выдающийся харьковский
математик академик В.Л.Рвачёв предложил новую алгебру, изоморфную
классическому исчислению, неархимедову, где аксиома
Архимеда,
сформулированная
для
отрезков,
заменена
аксиомой
о
существовании наибольшего числа. Он опубликовал работу по приложению
в физике дальнего Космоса. Приближение не является следствием
рассмотрения времени, а идея о рождении Вселенной в результате большого
взрыва миллиарды лет назад, может быть поставлена под сомнение. В основе
её лежат работы 9 8. Там вводят сложение по формуле
x  y  ( x  y ) /(1  xy / c 2 ),
(3)
а вычитание х  у – формулой типа (3), где знак «плюс» надо заменить на
«минус». Эта операция задаёт на множестве Rc= [c ;с ] абелеву группу.
Выводы. В нашей модели вводится и операция умножения, относительно
которой также имеем абелеву группу. Таким образом, эти операции образуют
поле. Справедлива
Теорема 1. Образы элементов поля действительных чисел принадлежат

конечному множеству Rq  [1/(1  q;1/(1  q)].
Число с  1/(1  q) в нашей модели (1) будет при
q  1  1/ c  1.
Свойства те же,
что и
у множества R (замкнутость относительно операций, 0,  обратного
элемента, нуля  : x    x). Строятся все конструкции математического
анализа (производная, интеграл и т.д.).

Теорема 2. Предлагаемая модель N изоморфна натуральному ряду N в
смысле отношений порядка, аксиом Пеано и Архимеда, арифметических
операций.
217
Нам кажется, что эта модель отвечает пожеланиям П.К. Рашевского.
Кроме того, она делает бесконечный «натуральный ряд» размещаемым на
конечном отрезке. Этот подход позволяет «финитизировать» множество
«первых» трансфинитных чисел Кантора. Всё же множество трансфинитных
чисел бесконечно. Кроме того, формула типа (1) даёт «финитизованную»
прямую. Можно построить финитизованную четверть- плоскость 5

1  q x

~
~  1  q x 1  q y
1 q y
R2  
;
| x, y  R   или C   
i
| x, y  R  
1 q
 1  q 1  q

 1  q

- множество «положительных» комплексных чисел (рис.3) и даже
трёхмерное пространство
формулой

R3.
Для отрицательных x можно образ определить
1 q
.
1 q
x
x  sign( x)
Можно строить точки линии и в полярных координатах ( ; ), используя
замену

1  qt
,   f (t ),
1 q
где
f (t )
определяется видом кривой. На рис.3а
изображена финитная спираль Архимеда, для которой
а
f (t ) = k t .
б
Рис. 3.
Рис. 3а изображает спираль Архимеда, а рис. 3б – прямую
их финитные образы. Тут
q  2/3 .

p
cos  0 
и
Кривая на рис. 3б является конечным
образом бесконечной прямой, отрезок
p-
образом отрезка p ; концы кривой
находятся в концах диаметра, параллельного данной прямой. Образы
прямых, параллельных данной прямой, будут кончаться в тех же точках.
Образ спирали Архимеда не имеет свойства эквидистантности.
218
Рис. 4
На рис. 4 показаны конечные образы эллипса, гиперболы и параболы на
финитизированной плоскости. Ветви параболы сходятся в точке на
граничной окружности – образе бесконечно удалённой прямой. «Концы»
ветвей гиперболы лежат на граничной окружности.
Аналогично определяется трёхмерное пространство
~
Rс
помощью
сферических координат ( ~, , ), ~  (1  q  ) /(1  q).
А не построить ли финитизованное 4-мерное пространство-время? При
сохранении аксиомы Эйнштейна постоянства скорости света c «время»
движения по бесконечной полуоси будет конечным, равным
1 / c1  q 
Оно
определяется выбором коэффициента сжатия пространства q. «Радиус» Мира
1 /1  q
и время его существования
1 / c1  q 
в этой модели конечны. Величина
q может быть в принципе определена экспериментально.
Автор признателен своему ученику А.И.Музыченко за постоянную
помощь в построении графиков. Рецензии на статью обратили внимание
автора на недочёты и способствовали улучшению её понимания.
Литература
219
1. Filer Z.Y. Historical and Philosophical Problems of the Continuos and
Discrete in Mathematics//Abstracts International Congress of Logic, Methodology
and Philosophy of Science. – Moscow: Nauka, 1987. – P. 101-103.
1. Арифметика/ В кн. Математический энциклопедический словарь. – М.:
Сов. энциклоп., 1988. – С. 79.
2. Рашевский П.К. О догмате натурального ряда//УМН, Т. 27. Вып.
4(172),1973. – С. 246 – 246.
3. Філєр З.Ю. Проблеми нескінченності у математиці, фізиці та
філософії// Комбінаторні конфігурації та їх застосування. 5-й Міжвузівський
науково-практичний семінар. – Кіровоград: КК-ТК, 2008. – С.84 – 95.
4. Филер З.Е., Музыченко А.И. Графическое представление бесконечных
процессов//
Комбінаторні
конфігурації
та
їх
застосування.
10-й
Міжвузівський науково-практичний семінар. – Кіровоград: КК-ТК, 2010. –
С.146 –152.
5. Успенский В.А. Семь размышлений на темы философии математики// В
кн.: Закономерности развития современной математики. Методологические
аспекты. – М.: Наука, 1987. – С.106 – 155.
6. Медведев Ф.А. Нестандартный анализ и история классического
анализа// В той же книге. – С. 75-83.
7. Еременко
С.Ю.,
Кравченко
П.Р.,
Рвачёв
В.Л.
Комбинируемые
неархимедовы исчисления и модели релятивисткой механики//Зарубежная
радиоэлектроника, №9, 1997. – С.26-38.
8. Рвачёв В.Л. Неархимедова арифметика и другие конструкционные
средства математики, основанные на идеях теории относительности//ДАН
СССР, 1991, т.316, №4. – С. 267 – 270.
НЕРІВНОСТІ У МНОЖИНІ КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ
220
З.Ю.Філєр [email protected]
Кіровоградський державний педагогічний університет ім. В. Винниченка
Класичне поняття розв’язання нерівності відноситься тільки до дійсних
функцій дійсного аргументу f(x)<0 (f(x)>0). Уже більше 13 років ми
розглядаємо комплексні розв’язки таких нерівностей. Для їх пошуку ми
використали
метод нев’язки [1], який зводить нерівності до рівнянь з
додатним параметром r (від rest – англ. решта) f(x)+r=0 (f(x)=r). Шукаючи
звідси x(r), ми отримаємо множину Х={x(r)=f--1(r )|r>0},де f--1( r ) – обернена
функція до функції f(x). Елементами її можуть бути і комплексні числа.
Наприклад, квадратна нерівність х2+4х+3 еквівалентна системі рівняння
х2+4х+3+r=0 з нерівністю r>0. Розв’язуючи рівняння, отримаємо x(r)=2 1  r . При 0r1 будемо мати x(r)R (дійсний відрізок (-3;- 1)); при r1
буде x(r)=-2і r  1 С – комплексні числа. Розв’язком буде «нескінчений
хрест» (рис. 1а). Тут поняття «менше» (знак  ) вживається в класичному
смислі. Значення f(x) - дійсні числа, уявна частина яких Imf(x)=0 при x  C .
Прості квадратні нерівності з від’ємним дискримінантом можуть узагалі не
мати дійсних розв’язків, але комплексні мають обов’язково. Типовим
прикладом є нерівність х2+4х+5<0, яка зводиться до рівняння з додатним
параметром
х2+4х+5+r=0. Воно має тільки комплексні розв’язки
x  2  1  r . Ситуацію пояснює рис. 1б.
Доведена в 1799 р. Гаусом основа теорема алгебри многочленів(ОТА)
гарантує існування хоча б комплексних коренів рівнянь з комплексними
коефіцієнтами.
Метод
нев’язки
забезпечує
комплексних
розв’язків
многочленних нерівностей типу Pn ( x)  0( 0) . Цього кроку Гаус, мабуть, не
зробив. Цікаво, що в доведенні ОТА використовується лема Д’Аламбера
[1, c.93] .
При
обґрунтуванні
її
розв’язується
нерівність
 1  ah k  0 з
комплексним коефіцієнтом а відносно h при натуральному k . Автор
познайомився з цим доведенням ще в 1950 – 51 н. р. і вважав, що такі
розв’язки природні й загально
221
Рис.1.Розв’язок нерівності х2+4х+3
Рис. 2. f(z) = z2 + 4z + 5<0
відомі. Лише в 1998 р. він запропонував метод нев’язки для пошуку
розв’язків довільних нерівностей типу, зводячи їх до рівняння з дійсним
додатним параметром r  0. На відміну від рівнянь f ( x)  0 , які не завжди
мають корінь, нерівність для довільної аналітичної функції завжди має
розв’язки. Прикладом є рівняння e x  0 : воно не має коренів, а нерівності
ex  0
та
ex  0
мають
безліч
розв’язків
X  {ln r  i  2k r  0
та
X  {ln r  i  (2k  1) r  0 при k  N. Вони зображуються дискретною системою
прямих, паралельних дійсній осі (рис. 4).
Узагалі метод дійсної нев’язки дає
одномірну
дискретну
множину
розв’язків класичних нерівностей (1).
Можна
узагальнити
поняття
нерівностей, вводячи рівняння з двома
параметрами:
f ( x)  re i . При
 0
отримаємо нерівність f(x)>0; при φ=π –
х
Рис. 3. Нерівність е <0
нерівність f(x)<0. При других значеннях
φ отримаємо узагальнення поняття нерівності. Усі вони зводяться до пошуку
прообразу по даному образу (піввісі y  0 або y  0) і даній функції f (x).
222
Рис. 4. Розв’язки рівнянь f(z)
= z2 + 4z + 5=rexp(i, r=k при k =0,1,2,3,4,5,6,7
Комбінації полярних координат ρ і φ дозволяють шукати прообраз
фігури на комплексній площині (рис.5).
Відображення z2 + 4z + 5 = r sin(2 ) ei
Рис.5.
а)
б)
223
На комплексній множині можна ввести відношення
порядку «менше» (знак  ), порівнюючи дійсні частини в
класичному смислі, а при рівних дійсних частинах –
порівнювати
уявні
впорядкування
х2+4х+5 
2
2
yy  ( x  2)  1 ;
1 s
1 s
частини.
Можна
лексикографічним.
х2+4х+5>
Така
назвати
точка
зору
аргументується в 2 с.
y
31-34.
Там,
навіть,
вправа:
x
це
є
Розв’яжіть
нерівність (2+і)z<1-i. Ні
x
відповіді,
розв’язання
ні
в
методу

не
наведено. Застосуємо для
у2-(х+2) 2=1-s, 2(x+2)y=t, 1s>0
а)
б)
неї
метод
комплексної
Рис. 5
нев’язки. Розглянемо рівняння (2+і)z=s+it+1-i. Тут s+it –комплексна
нев’язка; знак  вживається в широкому, лексикографічному
смислі. Для z=х+іу отримаємо рівняння з параметрами s=2x-y-1,
t=x+2y+1. З першого маємо півплощину 2x - y-1; з другого при s=0 –
нерівність t. Друга нерівність описує її границю - верхню напівпряму 2x-y1=0 від точки А(1/5; -3/5) перетину з другою прямою.
Метод комплексної нев’язки r  s  it дає двовимірні розв’язків (рис. 5).
Дійсні вісі гіпербол, вісь y  0 на рис. 5б, дають
те саме, що й метод дійсної нев’язки.
Комплексні
розв’язки
можуть
бути
використані
для
пошуку
відображень.
Література
1. Ткаченко С.П., Філер З.Ю. (2003) Комплексні розв’язки квадратної
нерівності// Матем. в школі, №2. – С. 47–49.
2. Кужель О.В. Розвиток поняття про число. Ознаки подільності.
224
Досконалі числа. – Київ, Вища школа, 1974. – 80 с.
СИСТЕМИ ПІДТРИМКИ ПРИЙНЯТТЯ ПЕДАГОГІЧНИХ РІШЕНЬ НА
ОСНОВІ НЕЧІТКОЇ ЛОГІКИ
Фільо І.Є. ([email protected])
Національний університет водного господарства та природокористування,
м. Рівне
Постановка проблеми. Система підтримки прийняття педагогічних
рішень
(СПППР)
являє
собою
взаємодіючу
з
іншими
системами
комп’ютеризовану систему для надання допомоги педагогу у процесі прийняття
педагогічних рішень [1]. Для аналізу та формування альтернативних рішень в
СППР використовуються різні теоретичні підходи, зокрема, інтелектуальний
аналіз даних, імітаційне та нечітке моделювання, генетичні алгоритми,
нейронні мережі, теорія прийняття рішень, теорія нечітких множин та
нечітка логіка і т.д [2]. Останнім часом використання нечіткої логіки в
системах управління та СППР набуло великого поширення, адже побудова
моделей мислення людини і впровадження їх в інтерактивні комп’ютерні
системи представляє сьогодні одну з важливих задач штучного інтелекту [2].
Суттєво покращити процес навчання дозволяють СПППР реалізовані у
вигляді нечіткої експертно-моделюючої системи, яка забезпечує підтримку
педагогічних рішень та допомагає реалізувати педагогу (ОПР) адаптивне
управління процесом навчання [3].
Аналіз
останніх
досліджень.
Сучасна
концепція
застосування
експертних систем зводиться до того, що їх модулі мають міститися всередині
прикладних програм СППР, допомагаючи педагогу вивчати проблему, але такі
системи не повинні робити остаточний вибір або розв’язувати проблему
самостійно. Експертні системи або експертні оболонки використовують різні
підходи до оперування нечіткою інформацією, але вони вирішують проблеми
225
представлення нечітких знань та даних тільки для вузькоспеціалізованих
проблемних областей [4]. Моделювання СПППР є актуальною проблемою
педагогічної теорії і практики вітчизняної та зарубіжної освітніх систем.
Незважаючи на значні досягнення вчених у цій області знань, автор
статті пропонує модель розробленої нечіткої експертно-моделюючої системи
як модуля СПППР на основі нечіткої логіки [4].
Метою
статті
є
реалізованої
у вигляді
розв’язання
задач
аналіз
нечіткої
управління
особливостей
моделювання
експертно-моделюючої
педагогічним
СПППР
системи
процесом.
для
Зокрема,
представлення структури нечіткої експертно-моделюючої системи (НЕМС),
яка забезпечує підтримку прийняття педагогічних рішень в системі
«викладач-комп’ютер-студент».
Основна частина. На основі методу прогностичного оцінювання
ефективності взаємодії в системі «викладач – комп’ютер – студент» [5], що
ґрунтується на засадах нечіткої логіки та формалізує нечітку інформацію про
характеристики суб’єктів процесу навчання, нами була розроблена нечітка
експертно-моделююча
система
(НЕМС).
НЕМС
виконує
прогноз
ефективності взаємодії в системі «викладач – комп’ютер – студент», на
основі прогнозу моделює процес комп’ютеризованого дослідницького
навчання реалізуючи диференціацію та індивідуалізацію навчання з
врахуванням особистісних, учбових характеристик, творчих здібностей,
інженерно-технічного
мислення
студентів,
моделює
їх
взаємодію
з
викладачем і комп’ютером. Система здійснює підтримку педагогічних
рішень та допомагає реалізувати викладачу (ОПР) адаптивне управління
процесом комп’ютеризованого дослідницького навчання для підвищення
його якості.
Для реалізації поставлених задач, розроблена в ході дослідження
НЕМС була спроектована на основі сучасних інформаційних технологій,
передбачає
спільну
роботу
інструментальних
засобів,
використовує
технологію клієнт-сервер. З погляду програмної реалізації експертна система
226
розподілена на базу даних (сервер) та програму обробки (клієнт) або
інтерфейсний
модуль,
за
допомогою
якого
користувач
працює
з
інформацією, що зберігається в базі. Розроблена нечітка експертномоделююча
система
повинна
забезпечувати:
збір,
організацію
та
опрацювання різного виду інформації (якісного і кількісного характеру);
реалізацію нечіткого логічного висновку; організацію пояснення та діалогу з
користувачем,
підтримку
педагогічних
рішень
викладачем
(ОПР).
Узагальнену структурну схему НЕМС представлено на рис.1. Основними
модулями системи являються:
–
Модуль управління та інтерфейсу;
–
Модуль формування параметрів системи ВКС;
–
Модуль формування функцій належності;
–
Модуль формування матриць знань;
–
Модуль нечіткого логічного виводу;
–
Модуль прийняття рішення і пояснення;
–
Модуль моделювання ПКДН в системі ВКС;
–
Модуль генерування звітної інформації.
Головне меню програми реалізовано через модуль управління та
інтерфейсу.
Модуль формування параметрів системи ВКС дозволяє ОПР вносити
інформацію про вхідні параметри системи «викладач – комп’ютер – студент»
та редагувати їх при потребі. Для введення параметрів студента, викладача і
комп’ютера,
що
впливають
на
взаємодію,
відбувається
опитування
респондентів за спеціально розробленою анкетою. Фактори, що вимірюються
в анкетах, мають якісний і кількісний характер. Всі фактори приведені до
однієї шкали і визначаються терм-множиною:
Т ( РF )  " Низький " ( Н ), " Нижче середнього" ( НС ), "Середній"(С ),
" Вище середнього" ( ВС ), " Високий" ( В).
Вхідна інформація, яку вносить через модуль формування параметрів
системи ВКС ОПР, зберігається в таблицях бази даних Db1.mdb. Під час
227
роботи програми ОПР має можливість не тільки заповнювати таблиці бази
даних, а також переглядати їх та при потребі редагувати. Таким чином
забезпечується можливість побудови прогнозу ефективності взаємодії в
системі ВКС при різних вхідних даних, як для окремого студента, так і
викладача, комп’ютера. Це також дає можливість моделювати взаємодію в
системі ВКС без проведення педагогічного експерименту, що значно
скорочує час на прийняття педагогічного рішення.
Викладач (ОПР)
Модуль управління та інтерфейсу
Модуль введення
параметрів системи ВКС
БД
Модуль формування
функцій належності
Модуль введення матриць
знань
Опрацювання нечіткої
інформації
БЗ
Модуль нечіткого
логічного висновку
Модуль прийняття
рішення і пояснення
Модуль моделювання
ПКДН в системі ВКС
Модуль генерування
звітної інформації
Рис.1. Узагальнена структурна схема НЕМС: БД – база даних, БЗ – база
знань, ПКДН – процес комп’ютеризованого дослідницького навчання, ВКС –
система «викладач – комп’ютер - студент»
228
Модуль формування функцій належності призначений для побудови
векторів кількісних значень кожного нечіткого терму. Модуль забезпечує
можливість перегляду функцій належності вхідних та вихідних параметрів
системи ВКС, редагування, побудови їх графічних зображень у вигляді
кусково-лінійних та трикутних функцій. Функції належності дозволяють
представляти кожну оцінку ефективності взаємодії
d m , m  1,4 у вигляді
нечіткої множини, тому модуль формування функцій належності пов'язаний з
модулем нечіткого логічного висновку.
Призначення модуля формування матриць знань полягає у тому, що на
основі нечітких правил формується база знань НЕМС – Db2.mdb. ОПР під час
сеансу роботи програми має можливість не тільки переглядати матриці
знань, а й редагувати їх, що дозволяє змінювати відповідно систему нечітких
правил. Як модуль формування функцій належності, так й модуль
формування матриць знань, пов’язані з модулем нечіткого логічного
висновку.
Важливою частиною НЕМС є модуль нечіткого логічного висновку, що
забезпечує опрацювання нечіткої інформації, яка поступає від модулів
формування параметрів системи ВКС, функцій належності, матриць знань
через відповідну базу даних та базу знань. Модуль забезпечує нечіткий
логічний
висновок реалізуючи
кроки розробленого автором методу
прогностичного оцінювання ефективності взаємодії в системі «викладач –
комп’ютер – студент».
На підставі отриманих оцінок проміжних прогнозів та прогностичної
оцінки ефективності взаємодії модуль прийняття рішення та пояснення
дозволяє аналізувати інформацію, отримувати графічну модель експертного
нечіткого оцінювання системи ВКС. Вивід пояснення для ОПР здійснюється
у вигляді текстового файлу та графічної моделі взаємодії.
Модуль моделювання ПКДН на основі прогнозу ефективності взаємодії,
дозволяє ОПР успішно моделювати подальший процес комп’ютеризованого
229
навчання в умовах навчальної дослідницької діяльності та приймати
педагогічні рішення щодо покращення цього процесу. Модуль формує для
ОПР оптимальну модель процесу комп’ютеризованого дослідницького
навчання
та
відповідну
сукупність
диференційованих
впливів
на
індивідуально-типологічні групи студентів, використовує інформацію із
відповідної
бази
даних
моделей
алгоритмів
регулювання функцій системи ВКС –
навчання
та
моделей
Db3.mdb. Вивід моделі для ОПР
здійснюється у вигляді текстового файлу та графічного аналізу моделі.
Збір звітної інформації, її перегляд у вигляді текстового файлу та
виведення на друк забезпечує модуль генерування звітної інформації.
Модуль використовує інформацію, що генерується під час роботи НЕМС,
виводить текстові файли, що генеруються під час роботи з модулем
прийняття рішення та пояснення, модулем моделювання ПКДН в системі
ВКС.
Розроблена
нечітка
експертно-моделююча
система
дозволяє
реалізувати запропонований автором метод прогностичного оцінювання
ефективності взаємодії в системі «викладач – комп’ютер – студент». Разом з
тим, НЕМС будує модель процесу комп’ютеризованого дослідницького
навчання,
здійснює
диференціацію
та
індивідуалізацію
навчання
з
врахуванням характеристик студентів, моделює їх взаємодію з викладачем і
комп’ютером.
Висновки. Запропонована структура НЕМС забезпечує підвищення
якості процесу прогнозування ефективності взаємодії в системі ВКС.
Представлена у статті модель нечіткої експертно-моделюючої системи була
програмно реалізована та пройшла апробацію. Це дозволило педагогу (ОПР)
достатньо швидко на початковому етапі навчання будувати прогноз
ефективності
взаємодії,
успішно
моделювати
подальший
процес
комп’ютеризованого навчання в умовах навчальної дослідницької діяльності
та приймати педагогічні рішення щодо покращення цього процесу.
230
Література
1.
Ситник В. Ф. Системи підтримки прийняття рішень: Навч. посіб. — К.:
КНЕУ, 2004. — 614 с.
2.
Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к
принятию приближенных решений. – М.: Мир, 1976.− 166 с.
3.
Фільо І.Є. Експертна система з адаптивним навчанням що реалізує
інтелектуальну навчальну систему // Системний аналіз та інформаційні
технології: Міжнар. наук.-практ. конф., 1-3 липня 2002: тези доп. – К.:
«Політехніка», 2002. – с. 75.
4.
Фільо І.Є. Нечітка експертно-моделююча система для підтримки
прийняття педагогічних рішень в системі «викладач – комп’ютер студент»//Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та
оптимізації: зб. наук. пр. за матеріалами четвертої міжнародної наукової
конференції. – Кам’янець-Подільський: КПНУ ім. Івана Огієнка, 2010. –
с.211-217.
5.
Кір’янов В.М., Фільо І.Є. Моделювання взаємодії в системі «викладач –
комп’ютер – студент» на основі нечіткого логічного висновку// Сучасні
проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації: зб.
наук. пр. за матеріалами четвертої міжнародної наукової конференції. –
Кам’янець-Подільський: КПНУ ім. Івана Огієнка, 2010. – с.81-88.
ПОБУДОВА ІЗОМОРФІЗМІВ ДЕЯКИХ 6-РЕГУЛЯРНИХ
ГАМІЛЬТОНОВО РОЗКЛАДНИХ ГРАФІВ
К. М. Шевченко
Кіровоградський державний педагогічний університет ім. В. Винниченка
Основну термінологію і позначення взято з [1].
231
Через  ( H , F ) позначається граф, отриманий в результаті підрозбиття
кожного ребра u l паросполуки F графа H порядку v новою вершиною bl і
топологічного склеювання всіх нових вершин bl в одну вершину av 1 [2].
Лема 1. Для кожного 6-регулярного H існує 6-регулярний граф  ( H , F ) .
Лема 2. Для кожного гамільтонового розкладу 6-регулярного графа H
(якщо ткий розклад існує) знайдеться паросполука F розміру 3, яка містить
по одному ребру з кожної компоненти розкладу графа H.
Лема 3. Для кожного гамільтоново розкладного 6-регулярного графа H
існує гамільтоново розкладний 6-регулярний граф  ( H , F ) .
Будемо позначати через R2 k , будь-яку підмножину множини R2 k [1], в
якій кожен граф порядку v  1 є графом  ( H , F ) , де H – деякий граф порядку
v тієї ж підмножини (крім графів найменшого порядку цієї підмножини).
Теорема 1. Кожен 6-регулярний граф H належить до деякої
нескінченної множини R6, .
Теорема 2. Кожен гамільтоново розкладний 6-регулярний граф H
належить до нескінченної множини R6, гамільтоново розкладних графів.
Назвемо θ-твірним графом граф Q порядку 2k, в якому існує такий
1-фактор F, що в  (Q, F ) є підграф, ізоморфний Q.
Ізоморфний θ-твірному графу підграф, у якому вибирається 1-фактор F
для побудови  ( H , F ) , назвемо θ-твірним підграфом графа H.
Побудуємо приклад множини R6, , використовуючи θ-твірний граф,
ізоморфний підграфу Q1:
графа K 7 , розкладеного на
гамільтонові цикли (1, 3, 5, 7, 6, 4, 2), (1, 5, 6, 2, 3, 7, 4) і (1, 7, 2, 5, 4, 3, 6). В
Q1 існує єдиний 1-фактор F  1,2  ,  3,4  ,  5,6  . В підграфі  (Q1 , F1 ) :
графа H 2   ( H1 , F1 ) є 4 підграфи, ізоморфні θ-твірному, але
лише 2 їх 1-фактори, зі спільною парою ребер (2,4), (3,6). Це ребра з різних
232
компонент розкладу графа H2. Треті ребра (1,8) і (5,8) цих 1-факторів також з
різних компонент розкладу графа H2, і лише (5,8) разом з (2,4), (3,6) складає
трійку ребер з різних компонент розкладу. Побудуємо послідовність графів,
кожен з яких має принаймні один автоморфізм порядку 2, який зберігає
гамільтонів розклад. Для цього виберемо F2  1,3 ,  2,5 ,  4,7  , на яку
1 2 3 4 5 6 7 
відображається F1 автоморфізмом  1  
 графа K7, і
1 3 2 5 4 7 6 
Q2   1 (Q1 ) . При H 2   ( H1 , F1 ) , H 3   ( H 2 , F2 ) , H 2   ( H1 , F2 ) , H 3   ( H 2 , F1 ) ,
буде H 3  H 3 , бо Q1 і Q2 не мають спільних ребер. F3   2,4  ,  3,6  ,  5,8
належить до того з ізоморфних θ-твірному підграфів графа  (Q1 , F1 ) , в якому
є a3 і (5,8), H 4   ( H 3 , F3 )
Складові частини графа H 2 t 1 , які відображаються одна на другу
автоморфізмом
1 2 3
1 3 2
 2t 1  
2i
2i  1
2i  1 2i
2t  4 2t  5 
,
2t  5 2t  4 
що
зберігає розклад графа H 2 t 1 , t  N , назвемо симетричними. Паросполука,
симетрична до F2t 1 в H 2 t 1 , є і в H 2t . F4 симетрична до F3 в H3.
H 5   ( H 4 , F4 ) . Нескінченність послідовності  H i  випливає з того, що кожна
Fi вибирається з θ-твірного підграфа графа H i і, як показує перевірка, в
кожному графі H 2 t 1 , t  1,2,3,4 , F2t 1 і F2t не мають спільних ребер, а при
t  4 – і спільних вершин (номери їх вершин мають різну парність).
Будуючи граф  ( H , F ) , в графі H порядку v змінюємо лише підграф,
породжений оточенням вершини av 1 . Перевірено, що підграф графа H 9 ,
породжений вершиною a15 і її оточенням, ізоморфний підграфу графа H 21 ,
породженому вершиною a27 і її оточенням, причому існує їх ізоморфізм, який
зберігає належність ребер до компонент розкладу і відображає θ-твірний
підграф графа H 9 на θ-твірний підграф графа H 21 . Це гарантує існування
нескінченної послідовності  Hi   R6, гамільтоново розкладних графів.
233
Якщо не враховувати належність ребер до компонент розкладу, то в
H 2 t 1 , t  5 , оточення двох вершин з найбільшими номерами породжують
підграфи лише трьох видів, які чергуються циклічно (рис. 1). Це дозволяє
побудувати ізоморфізм даного графа G на граф з  H i  або довести, що вони
неізоморфні. Граф G порядку 13  6s позначимо через G7  6 s , G – копія G.
Рис. 1
1. Якщо в G7  6 s є дві несуміжні вершини, оточення яких не
перетинаються і породжують підграфи, ізоморфні O136s (рис. 1), то в G7  6 s і в
G припишемо їм номери 12  6s і 13  6s (в будь-якому порядку), з G7  6 s
видалимо зірки з центрами a12 6 s і a13 6s , а вершинам їх оточень припишемо
номери, як вказано на рис. 1 (для O136s ). (Для O8 6 s , O106s , O126s замість 2
буде 3, а номери решти вершин менші на 1). Приєднаємо паросполуку
(2,9  6s),
(1  6 s,11  6 s), (5  6s,7  6s) і симетричну їй. Отримано G5 6 s .
2. Якщо в G5 6 s a10 6 s і a11 6s несуміжні, їх оточення не перетинаються і
породжують підграфи, ізоморфні O116s , і якщо нова нумерація вершин цих
підграфів співпадає з вказаною на рис. 1, то видалимо з G5 6 s зірки з
центрами a10 6 s і a11 6s , припишемо двом вершинам з їх оточень, які ще не
мають нових номерів, (і відповідним вершинам в G ) номери 2  6s і 3  6s .
Приєднаємо паросполуку
(2,7  6s),
(1  6 s,9  6 s),
(3  6s,5  6s) і
симетричну їй. Отримано граф G3 6 s .
3. Якщо в G3 6 s a8 6 s і a9  6 s несуміжні, їх оточення не перетинаються і
породжують підграфи, ізоморфні O9 6 s , і якщо нова нумерація вершин цих
підграфів співпадає з вказаною на рис. 1, то видалимо з G3 6 s зірки з
234
центрами a8 6 s і a9  6 s , припишемо двом вершинам з їх оточень, які ще не
мають нових номерів, (і відповідним вершинам в G ) номери 0  6s і 1  6s .
Приєднаємо паросполуку
(2,5  6s),
(1  6 s,7  6 s),
(1  6s,3  6s)
і
симетричну їй. Отримано граф G1 6 s .
Зменшимо s на 1 і перейдемо до пункту 1, якому відтепер і до кінця
надається форма пунктів 2 і 3. Виконавши 1, 2, 3 при s  1 , отримаємо G7
порядку 13. Вершини в G , крім однієї, мають нові номери. Приписавши їй
номер 1, отримаємо нову нумерацію вершин графа G , тобто, граф G . Якщо
G  H 7 6s , то G ізоморфний H 76s . Якщо G  H 7 6s або не виконується хоч
би одна з умов (крім першої), то G не ізоморфний H 76s . Якщо в G7  6 s більше
двох вершин, про які йдеться в 1, то перебираємо всі такі пари вершин.
Якщо G має порядок 9  6s , то редукція виконується аналогічно. Але
O116s має нетривіальний автоморфізм, тому, якщо G має порядок 11  6s , то в
пункті 1 треба розглядати по 2 нумерації оточень вершин a10 6 s і a11 6s .
Література
1. Донец Г. А., Петренюк А. Я. Экстремальные покрытия графов. Кіровоград,
«Комбінаторні конфігурації», 2009.
2. Шевченко К. М. Побудова ізоморфізмів деяких 4-регулярних гамільтоново
розкладних графів, Матеріали 11-го Міжвузівського науково-практичного
семінару «Комбінаторні конфігурації та їх застосування», 15-16 квітня
2011 р., м. Кіровоград, ст. 194-198.
ЇХ НАРОДИЛА КИЇВСЬКА ЗЕМЛЯ
Шендеровський В.
Інституту фізики НАНУ
235
Нині ми повинні прищеплювати почуття гідності і самоусвідомлення,
що саме український народ спромігся видати з себе без перебільшення
велику плеяду славетних вчених, що своїми науковими доробками збагатили
скарбівню світової науки і культури. Ось лише деякі імена та короткі
відомості про наукові здобутки людей що пов'язані саме з київською землею
і то лише за останні 1,5-2 століття:
Архип Михайлович Люлька – творець турбореактивних двигунів –
народився у селі Саверна, тепер Богуславського району, 23 березня 1908 року
у бідній селянській родині. Архип Люлька став піонером нового
кардинального підходу до побудови авіаційних двигунів. Він твердив, що
зможе сконструювати такий двигун, який дасть можливість літакам літати з
надзвуковою швидкістю і підніматися до стратосфери. Це буде принципово
новий двигун – повітряно-реактивний. На літаках, де використовувалися
двигуни Люльки, було встановлено більше десяти світових рекордів.
Не можна залишити поза увагою ім’я Ігоря Сікорського – всесвітньо
відомого авіаконструктора, творця перших у світі гелікоптерів. Народився
Ігор Іванович Сікорський 25 травня 1889 року в Києві. Сікорський з 1908
року
повністю
присвячує
себе
авіаконструюванню.
Головним
у
літакобудуванні молодий авіаконструктор вважав створення літаків з
великою вантажопідйомністю та швидкістю. Протягом наступних років
Сікорський створює низку потужних літаків. Згодом Сікорський, не
сприймаючи революції, емігрує до Америки. Тут впродовж кількох років
Сікорський успішно побудував кілька типів легких та важких літаків. За
безпосередньої участі Сікорського були побудовані гелікоптери другого
покоління. Основним напрямом діяльності Сікорського була розробка
важких гелікоптерів, завдяки яким почала розвиватися ця галузь у багатьох
державах світу, зокрема Англії, Франції, СРСР.
До визначних вчених-інженерів, які творили на терені авіаційної
техніки належить ім’я Дмитра Павловича Григоровича, котрий народився
6 лютого 1883 року в місті Києві. Навчався у Київському політехнічному
236
інституті. 1911р. Григорович виїхав до Санкт-Петербурга. До світової
історії авіації Григорович увійшов, насамперед, як творець першого
гідролітака (гідроплана). Григорович є автором 80 оригінальних конструкцій
літаків. Він залишив після себе потужну школу талановитих учнів, творців
авіаційної і космічної техніки (Сергій Корольов, Семен Лавочкін, Петро
Грушин та ін.).
До когорти славетних, поза всяких сумнівів, належить і ім’я Левка
Мацієвича. Народився Левко Мацієвич 13 січня 1877 року в селі
Олександрівці Чигиринського повіту Київської губернії. 1906 року Іван
Мацієвич закінчує Миколаївську морську академію в Петербурзі, і
спеціалізується по проектуванню підводних човнів. Мацієвич вперше в світі
запропонував і розробив проект цілком дієздатного авіаносця, на якому мало
б бути 25 літаків, який мав би катапульту та гальмівну систему, що
обмежувала б пробіг літака. Його авторству належить 14 проектів підводних
човнів. Деякі ідеї, закладені в цих проектах, набагато випередили свій час.
Одним із творців Української Академії наук був видатний український
вчений Євген Оппоків, котрий народився 1 лютого 1869 року в с. Руда, тепер
Київської області. Закінчив Петербурзький технологічний інститут. Він
уточнив рівняння круговороту в річкових басейнах, яке в теорії гідрології і
носить назву Пенка-Оппоківа. Євген Оппоків був членом комісії з ґрунтів
Вільного
економічного
товариства,
дійсним
членом
Російського
географічного товариства, членом товариства любителів природознавства,
антропології та географії. 1904 року він був затверджений Академією наук
кореспондентом Головної фізичної обсерваторії. 1916 року він отримує
звання члена-кореспондента Міністерства землеробства.
До імен, маловідомих належить, безперечно, ім’я українського
ґрунтознавця, професора, доктора сільськогосподарських наук, дійсного
члена Української Вільної Академії наук і Наукового Товариства Шевченка,
а також члена багатьох європейських і американських наукових товариств і
установ Григорія Махіва, котрий народився у 1886 році у Києві. 1913 року
237
закінчив навчання в Київському університеті Святого Володимира.
Великою
заслугою
Григорія
Махіва
у
становленні
українського
ґрунтознавства є і те, що він перший виконав детальну “Мапу ґрунтів
України” в мірилі 1:1000000 у 25 фарбах з текстами українською та
англійською мовами, що вийшла в Одесі у 1927 році.
Під час війни Махів опиняється на окупованій території, і з відступом
німецьких військ з України він вирушає на Захід: спочатку до Німеччини, а
згодом до Америки. Наукова громадськість США високо оцінила вченого,
запропонувавши
йому
посаду
при
Стенфордському
університеті
в
Каліфорнії.
До історії української науки, якби таке повноцінне видання змогло
побачити світ, має бути вписана золотом ціла династія Кістяківських. Серед
найвідоміших – Юрій, котрий став хіміком і фізиком із світовим ім’ям, віцепрезидентом
Академії
наук
США,
радником
Президента
Америки
Айзенґавера.
Народився Юрій Кістяківський 18 листопада 1900 року в Києві. Вклад
у світову науку Юрія Кістяківського надзвичайно вагомий. Він є автором
понад 150 наукових праць з різних галузей фізико-хімії, переважно з
кінетики реакцій у газовій фазі, структури поліатомних молекул, з термохімії
органічних сполук, досліджень детонаційних хвиль. Очевидно, більшість
його праць з лабораторії в Лос-Аламосі ще донині засекречено.
Прославили українці і Південну Африку. Саме тут написав свої
найвизначніші праці талановитий вчений-біолог, фундатор електронномікроскопічних досліджень у зоології Борис Іванович Балінський, котрий
народився 10 вересня 1905 року в Києві. Закінчив Київський університет.
Борис Балінський почав інтенсивно використовувати в своїх наукових
дослідженнях у галузі ембріології електронно-мікроскопічні методи. Світове
визнання мав його підручник “Вступ до ембріології”, що побачив світ 1960
року. Саме Балінський передбачив важливу роль молекулярної біології в
238
з’ясуванні ключових механізмів ембріогенезу – зародкового розвитку тварин
і людини.
До когорти величних достойників, яких народила Київська земля,
належить і ім’я Олександра Черняхівського, котрий народився у 1869 році в
селі Мазепинцях, неподалік Білої Церкви, у родині священика. Закінчив
медичний факультет Київського університету Святого Володимира. Від 1919
року по 1929 рік очолює кафедру гістології та ембріології Київського
медичного інституту, а ще працює в Іституті патологоанатомії. Головним
завданням у діяльності медичної секції Олександер Черняхівський вважав
утворення друкованого органу секції «Збірника Медичної секції УНТ в
Києві» й випрацювання медичної термінології. Але настали важкі часи
переслідувань, не оминула гірка доля і родину Черняхівського, якого
звинуватили у причетності до Спілки визволення України.
Ще одна постать Українця, який віддав усього себе «українству» Петро Стебницький. Народився майбутній вчений у сім’ї священика в селі
Гореничі на Київщині 25 листопада 1862 року. Отримав освіту на фізикоматематичному факультеті Київського університету. Більше 30 років Петро
Стебницький жив і працював у колишній столиці Росії. Водночас він брався
до роботи усюди, де можна було щось зробити для української справи.
У серпні 1918 року Петра Стебницького призначають сенатором
Адміністративного суду Державного Сенату Української Держави, з 24
жовтня по 14 листопада 1918 року вступає до складу Уряду гетьмана
Україна, як міністр народної освіти та мистецтв, і своєю незломною енергією
за короткий термін «переводить через всі стадії підготовки й затвердження
закон про українську академію наук» (!).
Варто згадати про видатного вченого у галузі судинної хірургії,
співзасновника першого українського медичного факультету в УНР,
професора і першого ректора Київського інституту охорони здоров’я,
талановитого педагога Євгена Черняхівського, котрий народився 1873 року в
селі Мазепинці, неподалік Білої Церкви, на Київщині. Закінчив медичний
239
факультет Київського університету Святого Володимира. 19 березня 1929
року його призначають директором Інституту охорони здоров’я. Він створює
свій викладацький колектив, який сформував так звану українську лектуру.
Колектив мав пріоритетні досягнення в хірургії: перше зшивання ран серця,
перше перещеплення нирки, лікування гнійного менінгіту трепанацією
черепа, а також численні наукові.
Ще про одного з представників інтелектуальної еліти України слід тут
згадати
–
вчений-фізик,
декан
фізичного
факультету
Харківського
університету в довоєнний період – Андрій Желехівський, котрий народився
1882 року у селі Лукашівка Київської губернії. Освіту отримав спочатку на
фізико-математичному факультеті Київського університету, а завершив на
природничому факультеті Харківського університету. Вже 1920 року Андрій
Желехівський стає професором Академії теоретичних знань, згодом створює
Асоціацію фізиків. З 1933 року був деканом фізико-математичного
факультету. На початку 1930-х років професор Желехівський написав
трьохтомний курс фізики українською мовою.
1941 рік. Почалася війна. Андрій Желехівський через хворобу дружини
не евакуювався. Коли у лютому 1943 року Харків було звільнено, вченого за
доносом було заарештовано і розстріляно, а його ім’я надовго викреслено із
пам’яті народу.
До числа віднайдених імен належить видатний математик, за влучним
висловом Віри Опанасівни Вірченко, «український Галуа» - Євген
Вікторовський. Народився Євген Євгенович Вікторовський 9 жовтня 1926
року в Києві. Отримав освіту на фізико-математичному факультеті
Київського університету, блискуче його закінчивши. Отож, 1952 року
молодого обдарованого студента Вікторовського було рекомендовано до
аспірантури при кафедрі математичного аналізу педагогічного університету.
Але вступити до аспірантури йому не дали – то були сталінські часи. Згодом
професор Дундученко повернув хлопця до Київського політехнічного
інституту, і вже невдовзі молодий Євген Вікторовський, захищаючи
240
кандидатську дисертацію, отримує одностайним голосуванням вчений
ступінь доктора фізико-математичних наук… Через місяць Генія не стало.
Наостанок цієї статті ще одне славетне ім’я, яке було привласнене
російською культурою – мікробіолог Сергій Виноградський, який народився
13 вересня 1856 року в Києві. Освіту отримав спочатку у Київському
університеті, а згодом у Петербурзькому університеті на природничому
факультеті.
1889
року
Виноградський
розпочинає
в
Цюріхському
університеті нову серію дослідів з нітрифікуючими бактеріями. І упродовж
двох років вчений розв’язує одну із найважливіших проблем тогочасної
мікробіології, як і природничих наук, взагалі. Унікальність цих бактерій
полягала в тому, що окислюючи амоній на нітрит, вони використовували
одержану при цьому енергію для асиміляції атмосферного двоокису вуглецю
та інших реакцій потрібних для рослин клітин. Це принесло Виноградському
„престиж, який до нашого часу залишився неперевершеним”.
Почалася Перша світова війна і Сергій Виноградський переїхав до
Франції на запрошення директора Інституту Пастера доктора Еміля Ру. Після
кількох літ праці Виноградський довів існування декількох специфічних
родів бактерій, причетних до розщеплювання целюлози, взявся до активного
вивчення фіксування азоту бульбинковими симбіотними бактеріями...
Пам’ятаймо про них, великих українців, народжених київською
землею, тих, хто прославив світову науку… Бо то наша гордість і слава.
241