Захарова Людмила Анатольевна;pdf

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО»
(НИИМ НИЖЕГОРОДСКОГО УНИВЕРСИТЕТА)
На правах рукописи
МАРКОВ ИВАН ПЕТРОВИЧ
ГРАНИЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ
ОДНОРОДНЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ И
АНИЗОТРОПНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ
Специальность 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела
Диссертация на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор
Игумнов Леонид Александрович
Нижний Новгород – 2014
Содержание
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………….…………………. 4
Глава I. Постановки задач, метод, методика решения и программная реализация….
14
1.1. Математическая модель……………………………………………………... 14
1.2. Гранично-элементная методика ……………..……………………………..
18
1.2.1. Граничное интегральное уравнение……………………….………….
18
1.2.2. Гранично-элементная дискретизация………………………………… 19
1.2.3. Метод квадратур сверток………………………………………….......
23
1.3. Программная реализация…………………………….……………………… 24
Глава II. Фундаментальные решения и модельные задачи равновесия………………
28
2.1. Анизотропные фундаментальные решения………………………………...
28
2.1.1. Построение статических фундаментальных решений…………….
30
2.1.2. Статические функции Грина для трансверсально изотропных
сред……………………………………………………………………. 31
2.1.3. Численные примеры построения статических функций Грина…
35
2.1.4. Интерполяционный подход…………………………………………
44
2.1.5. Динамические функции Грина, численные примеры…………….
53
2.2. Модельные задачи равновесия….….….….….….….….….….….….….…..
61
2.2.1. Однородный упругий анизотропный куб под действием нагрузки
на часть торца……………..……..…..…..…..…..…..…..…..…..…..
61
2.2.2. Однородный электроупругий куб под действием одноосной
нагрузки……………………………………………………………….. 64
2.2.3. Эффективность методов построения статических анизотропных
фундаментальных и сингулярных решений.……………………….. 69
Глава III. Гранично-элементное моделирование….……………………………………
72
3.1. Анизотропные упругие задачи……………………….……………………..
72
3.1.1. Cтатическая задача о действии давления внутри сферической
полости…………………………………………………….….….……
3.1.2. Статическая задача об анизотропном кубе с полостью…………..
72
76
3.1.3. Действие стационарной горизонтальной нагрузки на торец
2
Г-образного однородного упругого анизотропного тела…………..
79
3.1.4. Одноосное стационарное растяжение упругого анизотропного
призматического тела……………………………….….….….….…..
81
3.1.5. Действие нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на
торец Г-образного однородного упругого анизотропного тела........ 86
3.1.6 Динамический изгиб композитной балки…………………………..
100
3.2. Анизотропные электроупругие задачи……………………….…………….
104
3.2.1. Равновесие однородного электроупругого Г-образного тела под
действием разности потенциалов, приложенных к торцам.……....
3.2.2.
Равновесие
призматического
электроупругого
тела,
104
под
действием равномерно распределенной вертикальной нагрузки
и/или поверхностной плотности заряда.…………………………….
3.2.3.
Задача
о
действии
нагрузки
на
дневную
106
поверхность
электроупругого полупространства…………………………………
124
3.2.4. Контактная задача Герца для электроупругого полупространства
132
3.2.5. Задача об одновременном действии электрического потенциала и
нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на однородное
Г-образное электроупругое анизотропное тело…………………….
138
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………...………………………………. 153
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………...…………… 154
3
Введение
Для современной техники теория упругости с сопряженными полями играет
важную роль при решении возникающих задач. Многие проблемы инженерной практики
сводятся к исследованию элементов конструкций, ответственных узлов и деталей машин и
оборудования, а в научном плане  к исследованию деформируемых тел и сред при
статических или динамических нагружениях с учетом существенной анизотропии
материала и связанности механических и немеханических полей.
В работе формулируются соответствующие трехмерные краевые и начальнокраевые задачи, для решения которых развивается подход в рамках линейных постановок.
С разнообразием подходов по решению динамических задач теории упругости можно
познакомиться в ряде монографий [17, 21, 23, 25, 26, 59, 63, 64, 72, 73, 76, 78, 82, 102, 103,
156]. В работе развивается метод граничных элементов (МГЭ), который является
распространенным универсальным численно-аналитическим методом решения широкого
круга задач теории упругости с сопряженными полями. В качестве обобщающих работ по
упругой статике и динамике можно привести следующие [1, 3, 4, 12-15, 20, 22, 25, 47, 61,
62, 74, 75]. Изучению процессов распространения волновых полей в средах со сложными
свойствами и разработке соответствующих методов исследования посвящены следующие
работы [8, 16, 22, 47, 68, 71, 96, 105, 111, 120, 123, 141]. В большинстве работ краевые и
начально-краевые задачи теории упругости сводятся к интегральным уравнениям, для
решения которых имеется широкий круг численных методов. С аналитическими методами
решения задач динамической теории упругости можно познакомиться в монографиях [4,
18, 24, 44, 75, 83, 84].
Для решения динамических задач теории упругости большее значение имеют
методы интегральных преобразований. В работе они важны в сочетании с методом
граничных интегральных уравнений (ГИУ). Впервые метод интегральных преобразований
при решении динамических начально-краевых задач теории упругости применен Лэмбом
в 1904г. Развитие метода интегральных преобразований можно проследить по
публикациям [5, 27-31, 45, 48, 67, 69, 70, 85-95, 97, 109, 120, 140, 153, 166, 177].
Относительно динамических задач анизотропной теории упругости отметим
работы В.А.Свекло [79-81], В.С.Будаева [9, 10], И.Г.Филипова [101], В.А.Сарайкина и
Л.И.Слепяна [77], Ю.Э.Сеницкого [86, 89, 91], А.Ф.Федечева [100] и других. Впервые
МГЭ появился в работе Н.И. Мусхелишвили в 1937 г., хотя метод потенциала можно
отсчитывать, например, с работ И.Ньютона.
Успех применения ГИУ обеспечен результатами, полученными в теории
многомерных сингулярных интегральных уравнений в работах: С.Г. Михлина [60], В.Д.
4
Купрадзе, Т.Г. Гегелиа, М.О. Башелейшвили, Т.В. Бурчуладзе [98] и других. Вопросам
построения ГИУ статических задач теории упругости и разработке МГЭ посвящены
работы А.Я. Александрова [2], Ю.Л. Бормота (1977), Ю.В. Верюжского [11], Р.В.
Гольдштейна [19], М.И. Лазарева [49], Ю.А. Мельникова [58], О.П. Николаева [65], В.З.
Партона и П.И. Перлина [66], А.Г. Угодчикова и Н.М. Хуторянского [99], Г.И. Яха [104],
T.A. Cruse [116], J.C. Lachat и J.O. Watson [50, 129], F. Paris и E. Alarcon (1980), F.J. Rizzo и
D.J. Shippy [158] и многих других авторов. В ходе развития метода ГИУ и МГЭ
сформировались рекомендации по использованию граничных элементов высокого
порядка и для вычисления коэффициентов дискретного аналога ГИУ применять
численное интегрирование с помощью формул Гаусса, а сингулярные интегралы сводить,
например, к несобственным с помощью метода понижения особенности, и вычислять
несобственные интегралы стандартными квадратурными формулами.
Первое решение плоских нестационарных динамических задач теории упругости
было осуществлено в работах T.A. Cruse и F.J. Rizzo в 1968г. В работе G.V. Narayanan и
D.E. Beskos [147] было предложено применять совместно с МГЭ для решения
нестационарных динамических задач метод Дурбина [119].
Первый МГЭ-подход во временной области, был представлен в работе
W.J. Mansur [136, 137]. Обобщение его подхода дано в работе H. Antes [108]. Применение
МГЭ для решения произвольных двумерных нестационарных динамических задач теории
упругости было осуществлено в работах J. Niwa [149] и G.D. Manolis [135]. Использование
МГЭ для задач с включениями и полостями описано в работе S. Hirose [125].
Распространение традиционного МГЭ-подхода непосредственно во временной
области на решение трехмерных нестационарных динамических задач теории упругости
было осуществлено в работах Н.М.Хуторянского [99].
Формулировка M. Schanz и H. Antes [161], базирующаяся на методе,
предложенном C. Lubich [133], позволила разрабатывать не традиционным способом
применение МГЭ во временной области. Существенным преимуществом этого подхода
является возможность использования для анализа волновых процессов, не зная
фундаментального решения в явном времени [159, 160].
МГЭ признанно эффективен для анализа изотропных упругих конструкций.
Однако при работе с анизотропными материалами возникают известные трудности при
выводе и реализации фундаментальных решений. Часто используемым методом
получения фундаментальных решений в динамических задачах теории упругости является
преобразование Фурье, которое в изотропном случае позволяет получить конечные
выражения для фундаментальных решений в частотной области, но в анизотропном
5
случае оно приводит к решениям, выражающимся через бесконечные интегралы. Работы
V.T. Buchwald [113], M.J. Lightill [132] и M.J.P. Musgrave [146], впоследствии
использованные в работе M.J.P. Musgrave [145] для сред с общей степенью анизотропии, а
Payton [155] для трансверсально изотропных сред являются основополагающими в этом
направлении. Также свой вклад внесли Tsvankin и Chesnokov [171], R. Burridge и ко. [114],
M.N. Kazi-Aoual и др. [127] и H. Zhu [180]. Тем не менее, во всех этих работах
фундаментальные решения в неявном виде требуют вычисления бесконечных интегралов
и не подходят для эффективного применения в МГЭ. Интегральные представления на
данный момент имеются для упругих статических анизотропных задач (J.L. Synge (1957)).
Вычисление статических фундаментальных решений с помощью интерполяционного
подхода было впервые описано в работе R.D. Wilson и T.A. Cruse [179]. Полиномиальный метод
построения анизотропных и электроупругих функций Грина был предложен в работах E.
Pan, F. Tonon и др. [151, 170]. Попытки разработать эффективные схемы для вычисления
фундаментальных решений с использованием альтернативных аналитических форм – с
использованием представления через ряды Фурье – были предприняты в работах Y.C. Shiah и
др. [162-164]. C.Y. Wang и J.D. Achenbach [173, 174] подошли к задаче нахождения динамической
функции Грина в анизотропных средах с помощью интегрального преобразования Радона,
получив выражение для фундаментальных решений в частотной области через интегралы,
определенные на поверхности единичной сферы для трехмерных задач и на единичной
окружности
для
двухмерных
задач.
Статическое
фундаментальное
решение
и
представления C.Y. Wang и J.D. Achenbach дают возможность эффективной численной реализации.
В работе M. Kogl, L. Gaul (2003) [121] развит МГЭ для решения нестационарных задач
теории упругости со связанными полями на основе приближенного метода с двойными
использованием теоремы взаимности.
МГЭ
в
электроупругости
тесно
связан
с
анизотропными
материалами.
Ознакомиться с методами определения констант электроупругих материалов можно в
работе И.А. Паринова и др. [106]. Первое трехмерное фундаментальное решение
статического электроупругого оператора произвольной анизотропии было получено W.F.J
Deeg (1980). Фундаментальные решения для динамической электроупругости были
получены A.N.Norris (1994) [107, 150], а решения во временной области были получены
Н.М. Хуторянским и H. Sosa (1995). Для МГЭ ценность представляет подход с
представлением матрицы Грина на базе использования интегрального преобразования
Радона.
6
Цель работы состоит в создании гранично-элементного методического и
программного обеспечения на основе матриц Грина в форме Радона и метода квадратур
сверток для решения начально-краевых трехмерных задач динамики электроупругих и
анизотропных упругих однородных тел при смешанных краевых условиях, а также в
проведении численных исследований динамики упругих анизотропных и электроупругих
трехмерных тел.
Методика исследований
основана
на
точных
граничных
интегральных
уравнениях в пространстве изображений по Лапласу для прямого подхода трехмерных
линейных теорий анизотропной упругости и электроупругости; построении динамических
фундаментальных
анизотропных
упругих
и
электроупругих
решений
на
базе
использования интегрального преобразования Радона; на численном моделировании в
изображениях по Лапласу методом граничных элементов; на применении метода
коллокации и метода квадратур сверток в форме шагового метода численного обращения
интегрального преобразования Лапласа.
Научная новизна работы заключается в следующем: гранично-элементное
моделирование статических и динамических краевых/начально-краевых задач смешанного
типа трехмерных линейных теорий анизотропной упругости и электроупругости реализовано на
основе матриц Грина в форме Радона и шагового метода численного обращения интегрального
преобразования Лапласа; в использовании комбинированного подхода к вычислению
анизотропных функций Грина в точках интегрирования; в оригинальном программном
обеспечении, реализующем в рамках ГЭ-подхода согласованную модель аппроксимации
на основе четырехугольных элементов; в гранично-элементном решении статических
анизотропных упругих и электроупругих задач; гранично-элементном моделировании
стационарных задач анизотропной теории упругости; шаговом ГЭ-моделировании
решения задачи о действии силы в виде функции Хевисайда по времени на торец
трехмерного
анизотропного
упругого
Г-образного
однородного
тела;
решении
нестационарной трехмерной электроупругой задачи для Г-образного тела со смешанными
краевыми условиями; ГЭ-моделировании динамического прогиба композитной балки.
Достоверность исследований основана на строгом соответствии исходных
начально-краевых задач в частных производных линейных теорий анизотропной
упругости и электроупругости системе используемых точных граничных интегральных
уравнений в изображениях по Лалпасу; на применении корректно построенных
7
дискретных аналогов регуляризованных ГИУ; на применении оттестированных подходов
к вычислению анизотропных фундаментальных решений; на тщательно проработанных
алгоритмах численной реализации гранично-элементного подхода; на анализе сеточной и
шаговой сходимостей получаемых ГЭ-решений и их сравнении с аналитическими
результатами и с решениями других авторов.
Практическая значимость диссертационного исследования состоит в создании
методического и программного обеспечения для численного моделирования статики и
динамики однородных трехмерных анизотропных упругих и электроупругих тел с
использованием интегрального преобразования Лапласа; шаговом гранично-элементном
моделировании задачи о действии нестационарной силы на анизотропное упругое или
электроупругое трехмерное однородное тело; ГЭ-решении с помощью полученной
методики трехмерной краевой электроупругой динамической задачи смешанного типа.
Основные положения, выносимые на защиту
1.
Развитие и создание гранично-элементного методического и программного
обеспечения решения краевых/начально-краевых задач статики и динамики трехмерных
однородных электроупругих и анизотропных упругих тел на основе матриц Грина в
форме Радона и метода квадратур сверток в форме шагового метода численного
обращения преобразования Лапласа.
2.
Гранично-элементное моделирование следующих задач равновесия:
 о действии давления внутри сферической полости в анизотропном
пространстве;
 смешанная задача об упругом анизотропном кубе с полостью;
 о действии разности потенциалов, приложенных к торцам однородного
электроупругого Г-образного тела;
 о действии равномерно распределенной вертикальной нагрузки и/или
поверхностной плотности заряда на призматическое электроупругое тело;
 о
действии
нагрузки
на
дневную
поверхность
электроупругого
полупространства;
 контактная задача Герца для электроупругого полупространства;
3.
Гранично-элементное моделирование следующих динамических задач:
 о действии стационарной нагрузки на торец Г-образного однородного
упругого анизотропного тела;
8
 о действии одноосной стационарной растягивающей нагрузки на упругое
анизотропное призматическое тело;
 о действии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец
Г-образного однородного анизотропного трехмерного упругого тела;
 о действии нестационарной нормальной силы на упругую композитную
балку;
 о действии электрического потенциала и нагрузки в виде функции
Хевисайда по времени на однородное Г-образное электроупругое тело.
Апробация работы
Результаты диссертационной работы докладывались на XII международной
конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону,
2008), XIV Нижегородской сессии молодых ученых – математические науки (Н. Новгород,
2009), XV Нижегородской сессии молодых ученых – математические науки (Н. Новгород,
2010), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и
прикладной механики (Н. Новгород, 2011), XVIII Международном симпозиуме
«Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред»
им. А.Г. Горшкова (Ярополец, 2012), XIX Международном симпозиуме «Динамические и
технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова
(Ярополец, 2013), форуме молодых ученых (Н. Новгород, 2013), XXV Международной
конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых сред и
конструкций. Методы граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2013), VII
Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого
твердого тела (Ростов-на-Дону, 2013), XX Международном симпозиуме «Динамические и
технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г. Горшкова
(Вятичи, 2014), III Международном симпозиуме «Physics and Mechanics of New Materials
and Underwater Applications (PHENMA 2014)» (Кхон Кэн, Таиланд, 2014), VIII
Всероссийской молодежной научно-инновационной школе (Саров, 2014).
Публикации
Опубликовано 19 работ [32-43, 52-57, 126], из них 13 по теме диссертации. В
изданиях, рекомендуемых ВАК РФ для опубликования результатов кандидатских
диссертаций, опубликовано 6 работ в соавторстве [33, 34, 36, 42, 43, 53]. Результаты работ
[33, 34, 36, 42, 43, 53] принадлежат И.П. Маркову кроме постановок задач и
постпроцессорных представлений результатов исследований.
9
Структура и объем работы
Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка
литературы из 180 наименований. Общий объем диссертации составляет 168 страниц
машинописного текста, включая 235 рисунков и 69 таблиц.
На различных этапах работа поддерживалась грантами Президента РФ для
государственной поддержки ведущих научных школ (№ НШ-3367.2008.8 2008-2009 гг.; №
НШ-4807.2010.8. 2010-2011гг.; № НШ-2843.2012.8 2012-2013гг.; № НШ-593.2014.8 20142015гг.); средствами ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной
России" на 2011 - 2013 годы (ГК №14.740.11.0872 от 29 апреля 2011г., ГК
№14.B37.21.1137 от 13 октября 2012г., ГК №14.B37.21.1249 от 14 сентября 2012г., ГК
№14.B37.21.0471 от 3 сентября 2012г., ГК №14.B37.21.1495 от 1 октября 2012г., ГК
№14.B37.21.1866 от 4 октября 2012г., ГК №14.B37.21.1902 от 4 октября 2012г.); грантами
РФФИ (проект № 12-08-00984-а, № 12-08-31572-мол_а, № 12-08-00698-а, № 13-08-00531а, № 13-08-00658-а, № 14-08-00811-а, 14-08-31410-мол_а (руководитель проекта)).
Введение содержит краткий обзор работ, в основном посвященный применению
граничных интегральных уравнений и метода граничных элементов к решению
статических и динамических трехмерных краевых/начально-краевых задач линейных
теорий анизотропной упругости и электроупругости; обоснование актуальности темы
диссертационного исследования; формулировки целей работы и основных положений,
выносимых на защиту. Во введении приведен перечень конференций и публикаций, где
были
представлены
основные
результаты
диссертационной
работы;
содержится
информация о структуре и объеме работы; приведены сведения об источниках
финансирования работ, проводимых по теме диссертационного исследования.
В
первом
анизотропной
параграфе
теории
главы
упругости,
I
даны
основные
представлена
соотношения
математическая
линейной
постановка
начально-краевой задачи. Приведены уравнения движения сплошной электроупругой
среды, записан закон Гаусса для случая квази-статического электрического поля.
Выписаны
физические
соотношения,
определяющие
связанность
упругого
и
электрического полей. Приведены связанные дифференциальные уравнения в частных
производных движения линейной электроупругой среды. Описаны сокращенные
обозначения, которые позволяют ввести обобщенные тензоры и векторы, объединяющие
электрические и упругие переменные. Сформулирована обобщенная начально-краевая
10
задача,
позволяющая
рассматривать
задачи
анизотропной
теории
упругости
и
электроупругости с единых позиций.
Во втором параграфе записан вид обобщенной начально-краевой задачи после
применения интегрального преобразования Лапласа по временной переменной при
отсутствии объемных сил и нулевых начальных условиях. На основе теоремы взаимности
Бетти и формулы Сомильяны приведены ГИУ прямого подхода в пространстве
изображений по Лапласу. Представлена гранично-элементная дискретизация на основе
регуляризованных ГИУ. Приведена гранично-элементная методика решения ГИУ на
основе согласованной поэлементной аппроксимации, позволяющая получить решения,
параметризованные комплексным параметром преобразования Лапласа. Кратко описан
метод квадратур сверток для численного обращения интегрального преобразования
Лапласа. Его частный случай в форме шагового метода используется для получения
решения во временной области.
Третий
параграф
гранично-элементного
содержит
краткое
моделирования
описание
трехмерных
программного
краевых
задач
комплекса
анизотропной
упругости и электроупругости на базе матриц Грина в форме Радона и метода квадратур
сверток.
В
главе
II
представлены
выражения
анизотропных
динамических
фундаментальных решений (функций Грина) для линейных теорий упругости и
электроупругости. Описаны различные подходы к вычислению статической части
функций Грина. Приведены выражения статических функций Грина для трансверсально
изотропных упругих и электроупругих сред. Проведено тестирование численной
реализации подходов к построению статических фундаментальных решений. Приведены
полутоновые трехмерные визуализации статических функций Грина на единичной сфере
для упругих материалов с различной степенью анизотропии и для полностью
анизотропного электроупругого материала. Проведен ряд численных экспериментов для
верификации численной реализации схемы вычисления динамических анизотропных
фундаментальных решений.
В
первом
параграфе
даны
выражения
динамических
анизотропных
фундаментальных решений в пространстве изображений по Лапласу в виде суммы
сингулярной и регулярной частей для упругих и электроупругих сред, полученные на
основе метода с применением интегрального преобразования Радона.
Описаны
следующие подходы к построению статических анизотропных упругих и электроупругих
функций Грина: интегральный, полиномиальный, с применением рядов Фурье и
интерполяционный.
Приведенные
выражения
статических
функций
Грина
для
11
трансверсально изотропных упругих и электроупругих сред использовались для
тестирования численной реализации методов построения статических фундаментальных
решений. Представлены трехмерные визуализации в виде поверхностей компонент
анизотропной упругой статической матрицы Грина в точках на единичной сфере для
четырех различных анизотропных материалов: монокристалла алюминия, ниобата
бария-натрия, сапфира и углепластика. Для электроупругой среды визуализации
приведены
для
полностью
работоспособности
и
анизотропного
корректности
материала.
численной
реализации
Для
установления
схемы
построения
динамических анизотропных фундаментальных решений проведен ряд численных
экспериментов.
Во втором параграфе для верификации предложенной гранично-элементной
методики решения статических задач линейных теорий анизотропной упругости и
электроупругости с интерполяционным способом вычисления функций Грина решены
две
модельные
задачи.
Полученные
ГЭ-решения
приведены
в
сравнении
с
аналитическими результатами и результатами других авторов. Проведен тест на
вычислительную
эффективность
описанных
методов
построения
статических
анизотропных фундаментальных и сингулярных решений при непосредственном
применении
в
разработанном
гранично-элементном
программном
комплексе.
Установлено, что интерполяционный подход имеет наибольшую эффективность для
практического применения.
Глава
III
содержит
результаты
гранично-элементного
моделирования
трехмерных задач статики и динамики анизотропных и электроупругих однородных тел.
В первом параграфе решены следующие статические упругие задачи: о действии
давления внутри сферической полости, расположенной в неограниченной анизотропной
упругой среде; смешанная задача о полости внутри анизотропного упругого куба. Рассмотрены две
стационарные задачи: о действии нагрузки на торец однородного анизотропного
Г-образного
упругого
тела; об одноосном растяжении
упругого анизотропного
призматического тела. Полученные на разных ГЭ-сетках результаты позволяют сделать
вывод о наличии сеточной сходимости; ГЭ-решения приведены в сравнении с
аналитическими решениями и результатами других авторов. Решена задача анизотропной упругой
динамики о действии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец
Г-образного однородного анизотропного упругого тела. Даны сравнения полученных
ГЭ-решений с конечно-элементными (КЭ) и ГЭ-решениями других авторов, полученных по
приближенному методу с двойным использованием теоремы взаимности. Помимо сеточной
сходимости исследована сходимость по параметру шагового метода обращения преобразования
12
Лапласа. Представлены решения задачи о динамическом изгибе композитной балки от
действия нестационарной силы. ГЭ-решения сравнивались с данными по динамическому
эксперименту
и
КЭ-решениями,
полученными
в
программных
конечно-элементного моделирования «Динамика-3»* и ANSYS.
комплексах
Продемонстрировано
хорошее соответствие полученных численных решений результатам эксперимента.
Второй
параграф
посвящен
гранично-элементному
моделированию
задач
электроупругости. Решены следующие статические задачи: о действии разности
потенциалов, приложенной к Г-образному однородному электроупругому телу; о
действии вертикальной силы или заданной поверхностной плотности заряда на торец
призматического электроупругого тела; о действии нагрузки на дневную поверхность
электроупругого полупространства; контактная задача Герца для электроупругого
полупространства и контактная задача Герца с дефектом. Проведено сравнение полученных
гранично-элементных решений с известными аналитическими решениями и результатами
других авторов. Дано решение задачи электроупругой динамики о совместном действии
нагрузки в виде функции Хевисайда по времени и электрического потенциала на
Г-образное
однородное
электроупругое
тело.
Исследована
сеточная
и
шаговая
сходимость. Приведено сравнение ГЭ-решений с КЭ- и ГЭ-решениями других авторов,
полученных по приближенному методу с двойным применением теоремы взаимности.
В
заключении
сформулированы
основные
результаты,
полученные
в
диссертационном исследовании.
*
Сертификат соответствия Госстандарта России № POCC RU.ME20.H00338
13
Глава I
Постановки задач, метод, методика решения и программная
реализация
1.1. Математическая модель
Основными соотношениями линейной анизотропной теории упругости являются
уравнение движения сплошной среды (уравнение Коши), выражающее баланс импульса:
 ij ,i  f j  uj ,
и закон сохранения импульса:
 ij   ji .
Эти уравнения дополняются выражениями для линейного тензора малых
деформаций Коши-Грина и обобщенным законом Гука:
1
uk ,l  ul ,k ,
2
 ij  Cijkl  kl ,
 kl 
где  ij – компоненты тензора напряжений, f j – компоненты вектора объемной силы,  –
плотность материала, ui – компоненты вектора перемещений, Cijkl – тензор модулей
упругости и  ij – компоненты линейного тензора деформации.
Компоненты вектора поверхностных усилий определяются как:
ti   ij n j .
Объединяя эти уравнения, можно получить уравнения движения (уравнения
Навье) для анизотропного упругого тела   R 3 с границей Г:
Cijkl uk ,il  f j  uj ,   R 3 , i, j, k , l  1,3
Чтобы полностью поставить начально-краевую задачу, уравнения движения
необходимо дополнить начальными и граничными условиями:
u  u~ на  u ,
i
i
~
ti  ti на  t ,
ui (t  0)  0 в Ω,
ui (t  0)  0 в Ω.
14
Рассмотрим однородную линейную электроупругую среду. При допущении, что
электрическое поле является квази-статическим,
уравнения движения сплошной
электроупругой среды и закон Гаусса имеют следующий вид [115, 121, 154, 168]:
 ij , j  f j  ui ,
Di ,i  ~,
где  ij – компоненты тензора напряжений, f j – компоненты вектора объемной силы,  –
плотность материала, ui – компоненты вектора упругих перемещений, Di – компоненты
вектора электрической индукции, ~ – плотность электрического заряда. В силу того, что
пьезоэлектрические материалы являются диэлектриками, они не содержат свободных
электрических зарядов: ~  0.
Для линейного электроупругого материала связанность упругого и электрического
полей описывается следующими физическими соотношениями:
E
 ij  Cijkl
 kl  eijk Ek ,
Di  ekli  kl  ~ik Ek , i, j, k , l  1, 3,
E
где Cijkl
– тензор модулей упругости, измеренный при постоянном электрическом поле;
 kl
– компоненты линейного тензора деформации,
Ek
– компоненты вектора
напряженности электрического поля; eijk – компоненты пьезоэлектрического тензора, ~ij
– компоненты тензора диэлектрической проницаемости, измеренные при постоянной
деформации.
Квази-статическое электрическое поле является потенциальным:
E j  , j
E
где  – электрический потенциал. Тензор модулей упругости Cijkl
, пьезоэлектрический
тензор eijk и тензор диэлектрической проницаемости ~ij удовлетворяют следующим
условиям симметрии:
E
E
E
Cijkl
 C Ejikl  Cijlk
 Cklij
, eijk  e jik , ~ij  ~ji ,
таким образом, для случая общей анизотропии, они содержат по 21, 18 и 6 независимых
E
материальных констант, соответственно. Кроме того, тензоры Cijkl
и ~ij являются
положительно определенными:
E
Cijkl
aij akl  0, ~ij bi b j  0
для любых ненулевых вещественных aij и bi .
15
С использованием определения линейного тензора деформации связанные
дифференциальные уравнения движения для линейной электроупругой принимают вид:
E
Cijkl
uk ,li  elij,li  u j  f j ,
e u  ~   0.
ikl
k ,li
il ,li
Компоненты вектора поверхностных усилий и поверхностная плотность
электрического заряда определяются как:
ti   ij n j , q  D j n j ,
где n j – компоненты вектора единичной нормали к площадке.
Введем сокращенные обозначения для объединения электрических и упругих
переменных в обобщенные векторы и тензоры [121]. Тензоры обобщенных напряжений и
деформации примут вид:
 , i  j  1,3
 ij   ij
Di , i  1,3, j  4
Кроме
этого,
введем
 ,
k  l  1,3
 kl   kl
 El , k  4, l  1,3
векторы
обобщенных
перемещений,
обобщенных
поверхностных усилий и обобщенной объемной силы:
t ,

U k  u k , k  1,3 T j   j
 , k  4
q,
Свойства
материала
f ,
j  1,3
Fj   j
j4
0,
описываются
обобщенным
j  1,3
j4
тензором
модулей
электроупругости:
Cijkl
E
Cijkl
,

e ,
  lij
eikl ,
 ~il
i, j , k , l  1,3,
i, l , j  1,3, k  4
i, l , k  1,3, j  4
i, l  1,3, k  j  4
Из симметрии материальных тензоров следует, что обобщенный тензор Cijkl так
же удовлетворяет условиям симметрии:
Cijkl  Clkji ,
таким образом, в случае общей анизотропии электроупругого материала тензор Cijkl
содержит до 45 независимых материальных констант.
Обобщенный закон Гука и выражение для вектора обобщенных поверхностных
усилий примут вид:
 ij  Cijkl  kl , i, l  1,3, k , j  1,4,
T j   ij ni .
16
Начально-краевая задача для электроупругого тела   R 3 с границей Г
запишется в виде:
CijklU k ,il  F j   jkUk ,   R 3 , i, l  1,3, j, k  1,4,

 jk   jk ,
0
j  k  1,3
,
иначе
где  jk – дельта Кронекера.
Граничные условия:
ui  u~i на  u ,
~
ti  ti на  t ,
~
   на  ,
q  q~ на  q ,
Начальные условия:
ui (t  0)  0 в Ω,
ui (t  0)  0 в Ω.
Введенные
обозначения
позволяют
сформулировать
обобщенную
начально-краевую задачу для анизотропного упругого или электроупругого тела   R 3 с
границей Г:
CijklU k ,il  F j   jkUk ,   R 3 , i, l  1,3, j, k  1, N
 ,
 jk   jk
0
j  k  1,3
иначе
Граничные условия:
~
~
U k  U k на U , Tk  Tk на  T ,
Начальные условия:
ui (t  0)  0 в Ω, ui (t  0)  0 в Ω.
где N – размерность задачи; N  3 для упругости и N  4 в случае электроупругости.
17
1.2. Гранично-элементная методика
Граничные
интегральные
уравнения
трехмерной
анизотропной
линейной
динамической упругости и электроупругости решаются методом граничных элементов.
1.2.1. Граничное интегральное уравнение
В качестве метода решения описанной начально-краевой задачи в обобщенном
виде используется метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) в пространстве
изображений по Лапласу.
Применение интегрального преобразования Лапласа по временной переменной
позволяет записать обобщенную начально-краевую задачу, при отсутствии объемных сил
и нулевых начальных условиях, в виде:
Cijkl uk ,il  s 2 jk uk ,   R 3 , i, l  1,3, j, k  1, N
~
uk  u~k на  u , t k  tk на  t ,
где u k и t k – компоненты векторов обобщенных перемещений и усилий, соответственно,
s    i,    0 – параметр преобразования Лапласа. В дальнейшем предполагается,
что все выкладки приводятся в пространстве изображений по Лапласу.
Пусть состояние твердого тела   R 3 описывается парой переменных состояния
( ij ,  ij ) .
Дополнительно
введем
в
рассмотрение
неограниченное
пространство,
заполненное такой же средой, что и область  , и характеризуемое переменными
состояния ( ij ,  ij ). В силу симметрии обобщенного тензора Cijkl справедлива теорема
взаимности:
 ij ij d    ij  ij d,


Соответственно, можно записать и формулу Сомильяны [99]:
ui (y, s)   g ij (x, y, s)t j (x, s)dS (x)   hij (x, y, s)u j (x, s)dS (x),


где g ij x,y, s  – матрица фундаментальных решений (функции Грина) уравнения
движения, h jm (x, y, s)  Сijkl g km,l ni , где ni – компоненты вектора единичной нормали к
поверхности Г в точке интегрирования x, y – точка коллокации.
Используя формулу Сомильяны возможно определить значения обобщенных
перемещений только во внутренних точках области  для заданного значения параметра
преобразования Лапласа s. Чтобы найти неизвестные граничные функции необходимо
построить граничное интегральное уравнение (ГИУ).
18
Если в формуле Сомильяны осуществить предельный переход точки y из области
 на границу Г, то получим следующее ГИУ:
c jk u k (y, s)   g jk (x, y, s)t k (x, s)d(x)   h jk (x, y, s)u k (x, s)d(x), y  ,


c jk   jk   jk (y ),
где коэффициенты  jk зависят от геометрии границы Г в точке y,

обозначает интеграл
в смысле главного значения по Коши.
Полученное ГИУ справедливо как для упругих, так и для электроупругих сред.
Для того чтобы найти его решения, требуется соответствующая методика. В работе
используется гранично-элементный подход.
1.2.2. Гранично-элементная дискретизация
Для получения дискретного представления ГИУ используется согласованный
гранично-элементный подход с использованием метода коллокации
в качестве
проекционного метода.
на
Гранично-элементная
дискретизация строится
основе
регулярного представления ГИУ:
u j (y, s)   h jk (x, y, s)uk (x, s)  h Sjk (x, y, s)uk (x, s)  g jk (x, y, s)t k (x, s)d(x),

где y   – коллокационная точка или точка наблюдения;
h Sjk
– статическая
(сингулярная) часть матрицы Неймана h jk .
Граница Г области
  R3
аппроксимируется совокупностью граничных
элементов:
M
   e ,
e1
где M – число граничных элементов.
В трехмерном МГЭ граничные элементы являются элементами двумерной
поверхности. Для вычисления интегралов возникающих в
ГИУ, каждый элемент e
отображается на некий контрольный элемент с локальной системой координат (1 , 2 ) .
Координаты произвольной точки x e элемента e выражаются в глобальной системе
координат через координаты узловых точек
xn ( e,n )
этого элемента с помощью
соответствующих функций формы:
Ne
x e (1 ,  2 )   Fn (1 ,  2 )x n ( e,n ) ,
n 1
19
где N e – число узлов на элементе;  (e, n) – глобальный номер узла, имеющего в e-ом
элементе локальный номер n.
Для аппроксимации границы используются четырехугольные восьмиузловые
биквадратичные элементы со следующими выражениями функций формы Fn :
1
F1 (1 ,  2 )   (1  1 )(1   2 )(1   2  1),
4
1
F2 (1 ,  2 )  (1  1 )(1   2 )(1   2  1),
4
1
F3 (1 ,  2 )  (1  1 )(1   2 )(1   2  1),
4
1
F4 (1 ,  2 )   (1  1 )(1   2 )(1   2  1),
4
F5 (1 ,  2 ) 
1
(1  12 )(1   2 ),
2
1
F6 (1 ,  2 )  (1   22 )(1  1 ),
2
1
(1  12 )(1   2 ),
2
F7 (1 ,  2 ) 
1
(1   22 )(1  1 ),
2
 1  1 ,  2  1.
F8 (1 ,  2 ) 
Рис. 1
Координаты 1 и  2 упорядочены так, что направление вектора n единичной
нормали к границе Г является внешним по отношению к области  (рис. 1).
В рамках согласованной модели аппроксимация обобщенных перемещений u
осуществляется билинейными элементами, а обобщенных поверхностных сил
t
постоянными элементами. Для фиксированного значения параметра интегрального
20
преобразования Лапласа s имеют место следующие выражения для обобщенных
граничных перемещений и обобщенных поверхностных сил внутри элемента e :
4
u (y, s)   Rn (1 ,  2 )un ( e,n ) ( s), x  e ,
n1
t (y, s)  t  (e,n) (s); x  e ,
где Rn (1 ,  2 ) – линейные функции формы для линейного четырехугольного элемента:
R1 (1 ,  2 ) 
1
(1  1 )(1   2 ),
4
1
R2 (1 ,  2 )  (1  1 )(1   2 ),
4
1
R3 (1 ,  2 )  (1  1 )(1   2 ),
4
R4 (1 ,  2 ) 
1
(1  1 )(1   2 ).
4
Таким образом, геометрия элемента описывается биквадратичной функцией,
обобщенные
граничные
перемещения
–
билинейной
функцией,
а
обобщенные
поверхностные силы – постоянной функцией локальных координат 1 и  2 . Такая
согласованность
аппроксимаций
границы
области,
граничных
перемещений
и
поверхностных сил выбрана из тех соображений, что обобщенные напряжения
определяются через производные от обобщенных перемещений, а перемещения зависят не
только от координат точки, но и от конфигурации границы в окрестности этой точки.
Следовательно, порядок аппроксимации границы области можно рекомендовать выбирать
на единицу выше порядка аппроксимации обобщенных перемещений, а порядок
аппроксимации обобщенных перемещений – на единицу выше порядка аппроксимации
обобщенных
поверхностных
сил.
В
рассматриваемом
случае
обеспечивается
непрерывность граничных обобщенных перемещений при переходе от элемента к
элементу и возможность описания разрывных обобщенных поверхностных сил.
Применение метода коллокации на узлах y m аппроксимации граничных функций
позволяет получить дискретный аналог ГИУ. В итоге сформируются системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ):
1    m M 4 m,k ,l  ( k ,l ) M m,k k
ui   Aij u j
  Bij t j ,
2
k 1 l 1
k 1
1    m M 4 m,k ,l  ( k ,l ) M m,k k
ui   Aij u j
  Bij t j .
8
k 1 l 1
k 1
21
Уравнения записаны соответственно в узлах аппроксимации обобщенных
граничных перемещений и обобщенных поверхностных сил.
1 1


Aijm,k ,l    Rl ( )hij ( x m , y k ( ), s)    ( k ,l ), м hijS ( x m , y k (1 ,  2 )) J k ( )d1d 2 ,
1 1
1 1
m ,k
ij
B
   g ij ( x m , y k (1 ,  2 ), s) J k ( )d1d 2 .
1 1
После соответствующих преобразований получаем разрешающую СЛАУ:
AX   B,
где [A] – полностью заполненная несимметричная матрица, {X} – вектор неизвестных
величин, в котором объединены все соответствующие компоненты искомых обобщенных
граничных функций, {B} – вектор правой части.
Задача из двух подобластей (кусочно-однородная) решается добавлением еще
одного ГИУ со всем комплексом гранично-элементных аппроксимаций и сведением ГИУ
к системе линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических
уравнений, записанные для каждой из подобластей, при использовании условий жесткого
контакта позволяют составить итоговую систему линейных алгебраических уравнений.
Коэффициентами разрешающей СЛАУ являются интегралы по граничным
элементам от ядер ГИУ с некоторыми весовыми функциями, которые определяются
аппроксимацией граничных функций. В зависимости от взаимного расположения точки
коллокации и граничного элемента, по которому производится интегрирование, можно
выделить два типа интегралов:
 регулярный интеграл: элемент находится на значительном расстоянии от точки
коллокации. Численное интегрирование в этом случае довольно прямолинейно и
может быть выполнено с помощью любой подходящей квадратуры. В работе
используется простая квадратура Гаусса-Лежандра по каждой из локальных
координат и адаптивный алгоритм выбора порядка квадратуры, который учитывает
взаимное расположение элемента и коллокационной точки и зависит от
характерного размера элемента.
 сингулярный интеграл: точка коллокации находится на элементе. В этом случае
подынтегральное выражение становится сингулярным для
r  xy 0. В
зависимости от типа фундаментального решения различают слабосингулярные
2
(особенность вида 1 r ) и сильносингулярные (особенность вида 1 r ) интегралы.
Для вычисления слабосингулярных интегралов применяется преобразование ЛашаВатсона, при котором элемент подразбивается на два треугольных (вырожденных
22
четырехугольных) элемента. В случае сильносингулярных интегралов применяется
метод многоуровневых иерархических подразбиений [5].
Получаемые
решения
разрешающей
системы
линейных
алгебраических
уравнений параметризованы комплексным параметром интегрального преобразования
Лапласа s.
Для получения решения в явном времени требуется подходящая схема
численного обращения преобразования Лапласа.
1.2.3. Метод квадратур сверток
Прямое
и
обратное
интегральные
преобразования
Лапласа
определяются
следующими соотношениями:

y ( s)   y (t )e st dt ,
0
~ i
1
y (t ) 
y ( s)e st ds ,

2πi ~ i
~ 
~ .
~  i – комплексная переменная, расположенная в полуплоскости 
где s  
0
Рассмотрим метод, применяемый для численного обращения преобразования
Лапласа, опирающийся на теорему о свертках, – метод квадратур сверток.
Пусть
t
y(t )  f (t )  g (t )   f (t   ) g ( )d .
(1.1)
0
Заменим интеграл свертки (1.1) квадратурной суммой, весовые множители которой
определяются при помощи изображения по Лапласу f и линейного многошагового
метода [133, 134, 161]:
y(0)  0,
n
y(nt )    nk (t ) g (kt ), n  1,...N ,
(1.2)
k 1
где n (t ) представимы численно; на основе формулы трапеций с постоянным шагом
2 / L получим:
R n
 n (t ) 
L
L 1

l 0
 ( Rе il L
f

t

2
)  inl 2L
e
.


(1.3)
Аппроксимация при выводе формул (1.2)-(1.3), основана на использовании
линейного многошагового метода с характеристической функцией (z ) для решения
задачи Коши дифференциального уравнения первого порядка, возникающей в процессе
преобразования (1.1):
23
d
x(t , s)  sx(t , s)  g (t ) , x(0, s)  0.
dt
(1.4)
Многошаговый метод должен иметь порядок точности p  1 , являясь строго нульустойчивым или A-устойчивым. Функция
f (s) должна быть ограничена в правой
полуплоскости относительно прямой c  i, c  i :
f ( s)  K s

при
K  ,   0.
При условии аналитичности f (s) и ограниченности в области
arg( s  c)     ,
где    , критерий устойчивости можно ослабить до A( )  устойчивости.
2
В качестве соответствующих примеров многошаговых методов можно привести
методы дифференцирования назад порядка p  6 : для A-устойчивого метода второго
порядка (  90 ) можно записать:
( z )  3 2  2 z  z 2 2.
Пусть функция f (s) в уравнении (1.3) вычисляется с погрешностью  , тогда
выбор L  N и R n   допускает погрешность вычисления  n порядка (  ) .
Метод квадратур сверток близок к шаговому методу обращения интегрального
преобразования Лапласа. Но если метод квадратур сверток основан на теореме о свертке
двух оригиналов, то шаговый метод обращения преобразования Лапласа основан на
теореме об интегрировании оригинала. Шаговый метод можно рассматривать как частный
случай метода квадратур сверток при g ( )  1 . В этом случае имеем:
y (0)  0,
n
y (nt )   k ( t ), n  1,... N ,
(1.5)
k 1
R n
n ( t ) 
L
L 1

l 0
 ( Rе il 2L )  inl 2
e L .
f


t


(1.6)
В работе применяется шаговый метод обращения преобразования Лапласа при
условии f (t )  y (t ) .
1.3. Программная реализация
Для численной реализации представленной гранично-элементной схемы был
разработан программный комплекс для расчета статических и динамических задач
24
трехмерных анизотропных теорий упругости и электроупругости. Комплекс состоит из
трех независимых модулей: вспомогательной программы ANISGN, расчетного модуля
ABEM и программы STINV. Все программы написаны на алгоритмическом языке
Фортран и представляют собой консольные приложения. Программа ANISGN является
препроцессором и генерирует интерполяционные таблицы для заданного анизотропного
материала. Расчетный модуль ABEM реализует численное решение поставленной задачи в
изображениях по Лапласу. Программа STINV используется для обращения полученного
решения во временную область.
Программа ANISGN. В программе ANISGN генерируются интерполяционные
таблицы для статической части фундаментального решения и его производных. В
программу
передаются
следующие
входные
данные:
тип
материала
–
упругий/электроупругий; имя файла, содержащего параметры материала; тип и параметры
подхода, используемого для вычисления фундаментального решения и его производных в
узлах интерполяции; параметры интерполяционной сетки. Результатом работы программы
ANISGN являются два файла с интерполяционными таблицами, которые в дальнейшем
используются расчетным модулем ABEM.
Программа ABEM состоит из исполняемого модуля, конфигурационного файла и
совокупности вспомогательных файлов. В файле конфигурации задаются такие исходные
данные
как:
тип
задачи,
метод
вычисления
фундаментальных
решений,
гранично-элементная сетка, описывающая поверхность тела, граничные условия и т.п.. В
качестве вспомогательных файлов могут задаваться: файл с параметрами материала,
интерполяционные таблицы, файл содержащий набор значений параметра интегрального
преобразования Лапласа s.
С целью минимизации затрат на добавление и отладку новой функциональности
реализация программы ABEM имеет модульную организацию. Каждый модуль
объединяет в себе набор подпрограмм, реализующих определенную функциональность и
набор входных и выходных данных. Взаимодействие модулей обеспечивается через обмен
данных, осуществляющийся с помощью общего банка данных. Результаты выполнения
каждого модуля после его завершения могут быть записаны в банк данных и затем
использованы
в
работе
других
модулей.
Как
следствие
подобной
реализации
взаимодействия повышается независимость каждого модуля в отдельности. На рис. 2
представлена принципиальная схема взаимодействия между модулями программы.
25
Конфигурационный файл
Начало
SYST
GMAT
Вспомогательные файлы
GEON
BCON
FREQ
INTG
Конец
Банк данных
Рис. 2
В модуле SYST производится инициализация банка данных, затем в него
считывается
конфигурационный
файл.
Считывание
параметров
материала
из
вспомогательного файла и дальнейшая их обработка производится в модуле GMAT.
Построение полной дискретной модели геометрии задачи происходит в модуле GEON. В
модуле BCON производится обработка граничных условий задачи. Модуль FREQ
считывает набор значений параметра преобразования Лапласа из вспомогательного файла.
Назначением модуля INTG является вычисление коэффициентов разрешающей системы
линейных алгебраических уравнений и её решение. Полученные в изображениях по
Лапласу результаты записываются в выходной файл.
Для получения решения в явном времени, к изображению решения задачи
необходимо применить обратное преобразование Лапласа. Для достижения этой цели
была разработана программа STINV, которая реализует алгоритм численного обращения
интегрального преобразования Лапласа по шаговому методу. В качестве входных данных
для работы программы задаются: шаг по времени, шаг по углу, радиус окружности, по
которой производится интегрирование и имя файла с изображением решения. Результат
обращения записывается в выходной файл.
Для успешной эксплуатации программного комплекса необходимо подготовить
конфигурационный файл и полный набор вспомогательных файлов. Структура
конфигурационного файла организована по логической структуре программы ABEM.
Входные данные каждого модуля объединены в блоки данных, формат которых
определяется модулем, а очередность этих блоков в файле конфигурации определяется
очередность выполнения модулей. Подобная гибкая организация описания исходных
данных и структура программного комплекса с применением вспомогательных файлов
позволяют повторно использовать наборы данных, одинаковые для различных задач. Что
значительно сокращает время на предпроцессорную подготовку.
26
В качестве основных выводов по главе I можно сформулировать следующее.
Глава I содержит постановки начально-краевых задач линейных теорий анизотропной
упругости и электроупругости. С помощью введенных сокращенных обозначений –
векторов
обобщенных
перемещений
и
усилий,
сформулирована
обобщенная
начально-краевая задача, позволяющая рассматривать задачи анизотропной теории
упругости и электроупругости с единых позиций. В пространстве изображений по
Лапласу записан обобщенный вид начально-краевой задачи. Дана схема сведения
начально-краевой задачи в обобщенном виде к ГИУ прямого подхода на основе теоремы
взаимности
Бетти
и
формулы
Сомильяны.
Представлена
гранично-элементная
дискретизация на основе регуляризованных ГИУ. Приведена гранично-элементная
методика решения ГИУ в изображениях по Лапласу на основе ГЭ-схемы с согласованной
поэлементной аппроксимацией. Для получения решения во временной области
используется частный случай метода квадратур сверток – шаговый метод численного
обращения интегрального преобразования Лапласа. Дано краткое описание созданного
программного комплекса компьютерного моделирования трехмерных начально-краевых
задач анизотропной упругости и электроупругости с использованием метода ГИУ и
интегрального преобразования Лапласа. Комплекс программ состоит из трех независимых
компонент. В главе описано назначение каждой из этих компонент. Указан принцип
взаимодействия и структура обмена данными между этими компонентами на базе
вспомогательных файлов.
27
Глава II
Фундаментальные решения и модельные задачи равновесия
2.1. Анизотропные фундаментальные решения
Фундаментальные решения или функции Грина играют ключевую роль в методе
граничных интегральных уравнений и методе граничных элементов для анализа
статических и динамических задач линейной теории упругости с сопряженными полями.
Рассмотрим неограниченную однородную анизотропную линейную упругую или
электроупругую среду. Обобщенные динамические функции Грина Gkp (x, t ) (матрица
N  N , где N  3 для упругости и N  4 для электроупругости) во временной области
математически определяются следующей системой дифференциальных уравнений в
частных производных:
 (x, t )     (x) (t ), i, l  1,3, j , k , p  1, N ,
Cijkl Gkp ,li (x, t )   jk G
kp
jp
 ,
 jp   jp
0
j , p  1,3
,
иначе
с начальными условиями:
Gkp (x, t )  0, t  0,
где  jp – дельта Кронекера,  (x) – дельта-функция Дирака,  – плотность среды,
x  ( x1 , x2 , x3 ) – точка наблюдения, t – время.
Для материалов с наиболее общей степенью анизотропии, функции Грина
невозможно получить в явном конечном виде. C помощью интегрального преобразования
Радона [110, 122], для фундаментальных решений и их производных возможно получить
интегральные представления [121]. Пусть f ( x )  R 3 , p – действительное число, тогда
прямое и обратное преобразования Радона имеет вид:
fˆ ( p, n)   f (x)   f (x)   ( p  n  x)dx,
f ( x)  
 2 fˆ ( p, n)
8 2 n1 p 2
1
dS (n)
p nx
Обобщенные динамические функции Грина в пространстве изображений по
Лапласу с параметром s имеют вид [150, 174]:

g jk (x, s)   G jk (x, t )e st dt  g Sjk (x)  g Rjk (x, s),
0
g Sjk – статическая (сингулярная), g Rjk – динамическая (регулярная) части обобщенного
фундаментального решения.
28
В упругом случае динамическая часть имеет вид [138, 150, 174]:
g Rjp (x, s)  
1
8
3


2 |n| 1
|nx| 0 m1
k m E jm E pm
c
2
m
e km |nx| dS (n),
j, p  1,3
(2.1)
Для электроупругости динамическая часть имеет вид [176]:
g (x, s)  
R
jp
Q
1
8
2
 
n 1 m 1
nx 0
k m Pjpm
c
2
m
e
 km nx
j , p  1,4
dS (n),
где
dS (n)  D R  {0  b  1; 0    2 },
 m
 Pjp ,

 k 4 Pjkm
m
Pjp  
 44
 4 k Pklm l 4

2
 44
Pjpm 
A mjp
m
ii
A
cm 


j , p  1,3
j  1,3, p  4
j p4

, Amjp  adj L jp  cm2  jp , L jp   jp 
 j 4 4 p
44
m
s
x
, km 
, n  1  b 2 d  be, e  ,

cm
x


e  d  0, d  e2 cos   e1e3 sin  ,e1 cos   e2 e3 sin  , 1  e32 sin 

1  e32 ,
где m , E pm в упругом случае – собственные числа и соответствующие собственные
вектора матрицы Кристоффеля  jk (n)  Cijkl ni nl ; в электроупругом случае – собственные
числа и соответствующие собственные вектора матрицы L jp , Q – количество различных
собственных чисел; cm , k m – фазовые скорости и волновые числа; n – единичный вектор
направления распространения волны; D R – область интегрирования динамической части
решения (половина единичной сферы).
Статическая часть матрицы фундаментальных решений (или статическая матрица
Грина) для упругости и электроупругости имеет вид [121, 174]:
g Sjk (x) 
1
8
2


1
jk
(n) (n  x)d(n) 
1
8 2 r

1
jk
(d)d(d)
(2.2)
d 1
d(d)  D S  {0    2 },
где D S – область интегрирования статической части (единичная окружность)
29
2.1.1. Построение статических фундаментальных решений
В выражении (2.2) для статической части обобщенного анизотропного
фундаментального решения можно заметить, что матрица Кристоффеля является
симметричной и положительно определенной, поэтому обратная к ней матрица всегда
существует. Учитывая это, последнее выражение в (2.2) можно напрямую вычислять при
помощи подходящей квадратуры. Такой подход к вычислению статической части
фундаментального решения называют интегральным [121, 174].
Статические функции Грина, определенные в (2.2), можно записать как:
g Sjk (x) 
1
8

2
1
jk
(n) (n  x)d(n) 

1
8
2


A jk (n)
D(n)
 (n  x)d(n),
где A jk (n) – присоединенная матрица для  jk (n) , D(n) - определитель  jk (n).
Тогда, с использованием основной теоремы о вычетах, фундаментальные решения
можно выразить в виде [151, 170]:
g Sjk (x)  
Im N

2r m1
A jk (p   m q)
N
 (
a2 N 1 ( m   )

m
m
,
  k )( m   )

k
k 1,k  m
p
(2.3)
e v
, q  e  p,
e v
где v – произвольный единичный вектор, отличный от e , Im m  0, m  1, N – корни
 m – комплексное сопряженное к  m , a2 N 1 –
многочлена степени 2N: D(p  q)  0 ,
коэффициент при старшей степени. Единственным численным шагом при вычислении
статической части функции Грина по формуле (2.3) является нахождение корней
многочлена. Данный подход называется полиномиальным [151, 170].
Если перейти к сферической системе координат (r , , ) , то статическую часть
матрицы Грина можно выразить следующим образом [164, 169]:
g ( r , ,  ) 
S
jk
H Sjk ( , )
4r
, j, k  1, N ;
(2.4)
где тензор H Sjk ( ,  ) является периодическим с интервалом 2 для обоих сферических
углов. Соответственно, его можно представить в виде разложения в двойной ряд Фурье:
H Sjk ( ,  ) 

( m,n )
jk

1
4 2


 
m n
 
( m,n ) i ( m  n )
jk
  H jk ( , )e
 
S
e
i ( m  n )
,
dd ,
(2.5)
(2.6)
30
Коэффициенты Фурье (2.6) могут быть вычислены при помощи, например,
квадратуры Гаусса-Лежандра. Как только коэффициенты Фурье определены, статические
обобщенные функции Грина в произвольной точке можно записать как:
1   ( m,n ) i ( m  n )
,
   jk e
4r m n
g Sjk (r , ,  ) 
(2.7)
где параметр метода  – некоторое целое число, достаточно большое для достижения
необходимой точности.
Такой метод вычисления фундаментальных решений называют методом с
использованием рядов Фурье [164, 169].
2.1.2. Статические функции Грина для трансверсально изотропных сред
Не считая хорошо известного решения Кельвина-Томсона для изотропных
материалов, явные выражения для статических функций Грина были получены только для
трансверсально изотропных сред Lifshitz and Rozenweigх [131]; Kröner [128]; Willis [178];
Pan and Chou [152]. Различными авторами предпринимались попытки получить
статические фундаментальные решения в явном виде для материалов с кубической
симметрией, но удалось вывести только приближенные формулировки Mura and Kinoshita
[144]. Дальнейшие исследования ориентированы на использование численных методов
Mura [143] Tonon et al. [170].
Рассмотрим важный случай – трансверсально изотропную среду. Широко
используемые материалы, например, пьезокерамические композиты и некоторые
поликристаллы, относятся именно к этому классу материалов. Для трансверсально
изотропных материалов тензор модулей упругости имеет следующий вид:
c11 c12 c13 0
c12 c11 c13 0
c13 c13 c33 0
C 0
0
0 c44
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
c44
0
0
0
0
0
0
c11  c12
c66 
2
Приведем выражения для статических функций Грина в виде, в котором они
представлены в работе Ahmad Pouya [157]. Не теряя общности, в дальнейшем
предполагается, что источник расположен в начале координат, а x( x1 , x2 , x3 ) – точка
наблюдения. Введем следующие обозначения:
c  c11c33 ,
31
12
 (c  c13 )( c  c13  2c44 
 ,
 
4c33c44


12
 (c  c13 )(c  c13  2c44 
 ,
 
4
c
c
33 44


 (c  c13 )(c  c13  2c44 

e1  
4c33c44


 (c  c13 )( c  c13  2c44 

e2  
4
c
c
33 44


c11  c12
,
2c44
e3 
12
12
c11
,
2c44  c13
e4 
p  x  n,   x  x  p 2 ,
n  (0,0,1),
Ri   2  ei2 p 2 , Ri  Ri  ei p, i  1,3.
Если c  c13  2c44  0 :
Q2  R12  R22 , Q3  R14  R12 R22  R24 , Q4  R16  R14 R22  R12 R24  R26 ,

Q4   2Q3
2
2 

,
 2 3

(
Q


)
2
p

2
3

e1 R1  e2 R2 
e1 R1  e2 R2

 2
 2Q3  R12 R22Q2
e2 R13  e1 R23
 2e1e2 p 3 
4
e2 R1  e1 R2
.
Если c  c13  2c44  0 :
4

2
4
R1
R R
R
,  1 1  1 .
2e1 R1
e1
2e1 R1
Дополнительно введем вспомогательные функции:
w1 
 c (R2  R2 )

2
44
1
2

,

  2  2c e e (e R  e R )

e
R

e
R
R1 R2  33 1 2 1 1 2 2
1 2
2 1
1
w2 
 c44


,



2 2  c e e
R1 R2 R1 R2  33 1 2

1
w3 
c13  c44
,
c33 R1 R2 (e2 R1  e1 R2 )
 c11 ( R12  R22   2 ) c44e1e2  2 
1

,
w4 

c33e1e2 R1 R2  e1 R1  e2 R2
e2 R1  e1 R2 
f1  w1 
p
,
R3 R3
f 3  (w3  f 2 ) p,
f 2  w2 
1
e3 R3 R3
2
,
f 4  w4  f1  f 2 p 2  2 f 3 p.
32
Статические функции Грина для упругой трансверсально изотропной среды
запишутся в виде:
g ijS (x) 
1
 f1 ij  f 2 xi x j  f 3 ( xi n j  ni x j )  f 4 ni n j , i, j  1,3.
4c44
Для электроупругости свойства материала дополняются пьезоэлектрическим
тензором и тензором диэлектрической проницаемости, которые в случае трансверсально
изотропной среды принимают вид:
0
0
0
0

e 0
0
0 e15
e
e
e
 31 31 33 0
e15
0
0
0
0 ,
0
0
~11 0
~ε   0 ~
0 .
11
~
0
0  33 

Статические
функции
Грина
в
явном
виде
для
трансверсально
изотропных
электроупругих сред были получены в работе [139]. Приведем эти выражения. Для этого
введем следующие обозначения:
Ri  x12  x22  zi2 , i  0,3
Ri  Ri  zi ,
zi   i x3 ,
 0  c66 c44 ,
i  
1
, i  1,3,
si
где si – корни кубического уравнения:
a 2 b
c
s  s   0,
d
d
d
2
a  c11 (~11c33  2e15e33 )  ~11c13 (c13  2c44 )  c44 (~33c11  e31
)  2e15c13 (e31  e15 ),
s3 
b  c33 (~11c44  ~33c11  e31(e31  e15 ))  c13~33 (c13  2c44 ) 
 (e31  e15 )(c33e15  2c13e33 )  e33 (c11e33  2c44e31 ),
2
c  c44 (~33c33  e33
),
2
d  c11(~11c44  e15
).
33
Функции Грина для трансверсально изотропного электроупругого материала
запишутся в виде:
3
g Sj1 (x)   Ai( j ) uv
i
i 1
3
g Sj2 (x)   Ai( j ) uv
i
i 1
x1
,
Ri Ri
j  3,4
x2
,
Ri Ri
j  3,4
3
g Sj3 (x)   Ai( j ) iw
i 1
3
g Sj4 (x)   Ai( j ) i
i 1
1
,
Ri
j  3,4
1
,
Ri
j  3,4
 1
 1
x2  3
x12 
S

g11
(x)  D0  *  2 *    Di uv

,
i
*
2 

R
R
R
R
R
i

1
R
0 0 
 0
i i 
 i
 1
 1
x2  3
x22 
S

g 22
(x)  D0  *  1 *    Di uv

,
i
 Ri* R R  2 
 R0 R0 R0  i 1
i i 

3
x1 x2
x1 x2

Di uv
,

i
*
2
R0 R0 i 1
Ri Ri
S
S
g12
(x)  g 21
(x)  D0
3
3
x1
,
Ri Ri
S
g 23
(x)   Di iw
x
g (x)   Di i 1  ,
Ri Ri
i 1
g (x)   Di iw
S
g13
(x)   Di iw
i 1
3

S
14
i 1
3
S
24
i 1
x2
,
Ri Ri
x2
,
Ri Ri
где
3
uv
i  1,3,
i  ( c13  c44 )e33  c33 (e31  e15 )  i  c44e31  c13e15  i ,
iw  c44e33 i4  e31(c13  c44 )  e33c11  e15c13  i2  e15c11, i  1,3,
i  c44c33 i4  c13 (c13  2c44 )  c11c33  i2  c44c11, i  1,3,
D0 
D1 
( 3)
1
A
1
,
4c44 0
(2 3w  3 2w )
,
4c44 t


2
e uv
2
( 12  1) n2e uv
3 ( 3  1)  n3 2 ( 2  1)

,
2 a
A1( 4 )  
( 12  1)( 22  1)( 32  1)
,
 1 ( 12   12 )( 12   32 )4 e
34


),
2
w

nia  2 uv
i  1,3,
i ( c13  c44 i )   i i ( c44  c33 )   i i ( e15  e33 ) ,

2
w
 ~
~
nie  2  uv
i ( e15 i  e31 )   i i ( e33  c15 )   i i (11   33
i  1,3,
a e
a e
2
uv
a e
a e
 a  ( 12  1)1uv (n2a n3e  n3a n2e )  ( 22  1)uv
2 (n3 n1  n1 n3 )  ( 3  1)3 ( n1 n2  n2 n1 ),
2
  c11(e33  e15 )2 
 e  (~11  ~33 )c11(c44  c33 )  c44 (c33  2c13 )  c13
 c33 (e31  e15 ) 2  c44 (e33  e31 ) 2  2c13 e15 (e15  e31  e33 )  e33e31 ,
 w
 w
uv
 w
 w
 t   11uv (32w  23w )  2uv
2 (1 3  3 1 )   33 (2 1  1 2 ).
Выражения для A2( j ) , A3( j ) и D2 , D3 получаются с помощью циклической перестановки
индексов 1, 2 и 3 в выражениях для A1( j ) и D1 , соответственно.
2.1.3. Численные примеры построения статических функций Грина
Чтобы установить работоспособность и точность численной реализации
описанных выше подходов к вычислению обобщенных анизотропных статических
функций Грина рассмотрим несколько примеров. Пусть задана линейная упругая
трансверсально изотропная среда, в которой плоскость изотропии параллельна
координатной плоскости x1 x2 . Тензор модулей упругости материала имеет следующий
вид [170]:
0
88 72 40 0
72
88
40
0
0


40
40
24
0
0
C
0 0 0 1.6 0
0 0 0
0 1.6
 0 0 0
0
0
Для точки наблюдения
матрицы
Грина,
вычисленные
x  (1, 0.8, 1.5)
по
0
0
0  10 6 Па
0
0
8
компоненты упругой статической
полиномиальному
методу,
в
сравнении
с
фундаментальными решениями для трансверсально изотропной среды представлены в
таблице 1, а их производные – в таблице 2.
Таблица 1.
i, j
g ijS трансверсально
изотропные
g ijS полиномиальный метод
Относительная
погрешность, %
1,1
4.01415886104E-07
4.01415886158E-07
1.35E-08
1,2; 2,1
-2.93155291433E-08
-2.93155291543E-08
3.75E-08
1,3; 3,1
-2.15178851716E-07
-2.15178851713E-07
1.39E-09
2,2
3.88223897990E-07
3.88223898010E-07
5.15E-09
2,3; 3,2
1.72143081372E-07
1.72143081402E-07
1.74E-08
3,3
1.90032202843E-06
1.90032202866E-06
1.21E-08
35
Таблица 2.
i, j
k
g ijS,k трансверсально
изотропные
1,1
1,2; 2,1
1,3; 3,1
2,2
2,3; 3,2
3,3
g ijS,k полиномиальный метод
Относительная
погрешность, %
1
-3.51688330194E-08
-3.51688388569E-08
1.66E-05
2
-3.04959918650E-08
-3.04959447195E-08
1.55E-04
3
-2.74791950421E-07
-2.74791696431E-07
9.24E-05
1
7.95395662869E-09
7.95395742526E-09
1.00E-05
2
-1.95551534195E-08
-1.95551633255E-08
5.07E-05
3
3.52757390037E-08
3.52756858717E-08
1.51E-04
1
6.27086393960E-08
6.27086416519E-08
3.60E-06
2
1.21976169852E-07
1.21976169986E-07
1.10E-07
3
1.20204370136E-07
1.20204380351E-07
8.50E-06
1
2.85072821747E-08
2.85072801686E-08
7.04E-06
2
3.58252325461E-08
3.58252496965E-08
4.79E-05
3
-2.58917867873E-07
-2.58917772246E-07
3.69E-05
1
1.21976169859E-07
1.21976164589E-07
4.32E-06
2
1.17597915828E-07
1.17597942688E-07
2.28E-05
3
-9.61634961004E-08
-9.61633548346E-08
1.47E-04
1
7.99734628161E-07
7.99734600081E-07
3.51E-06
2
-6.39787702808E-07
-6.39787489420E-07
3.34E-05
3
-3.92504824838E-07
-3.92503693288E-07
2.88E-04
Для интегрального метода в таблицах 3, 4 приведены результаты при различных
порядках k квадратуры Гаусса-Лежандра.
Таблица 3.
i, j
1,1
g ijS трансверсально
g ijS интегральный
изотропные
метод, k  16
4.01415886104E-07
Относительная погрешность, %
1,2; 2,1
-2.93155291433E-08
Относительная погрешность, %
1,3; 3,1
-2.15178851716E-07
Относительная погрешность, %
2
2
3.88223897990E-07
Относительная погрешность, %
k  32
k  48
4.01415414110E-07
4.01415886177E-07
4.01415886104E-07
1.18E-04
1.82E-08
0.00E+00
-2.92921654507E-08 -2.93155291563E-08
-2.93155291433E-08
7.98E-02
4.43E-08
0.00E+00
-2.15191821967E-07 -2.15178852003E-07
-2.15178851716E-07
6.03E-03
1.33E-07
0.00E+00
3.88233939657E-07
3.88223898057E-07
3.88223897990E-07
2.59E-03
1.73E-08
0.00E+00
36
2,3; 3,2
1.72143081372E-07
1.72153457573E-07
1.72143081602E-07
1.72143081372E-07
6.03E-03
1.34E-07
0.00E+00
1.90026882712E-06
1.90032202654E-06
1.90032202843E-06
2.80E-03
9.95E-08
0.00E+00
Относительная погрешность, %
3
3
1.90032202843E-06
Относительная погрешность, %
Таблица 4.
i, j
1,1
1,2; 2,1
1,3; 3,1
2,2
2,3; 3,2
3,3
k
g ijS,k трансверсально
g ijS,k интегральный
Относительная
изотропные
метод, k  48
погрешность, %
1
-3.51688330194E-08
-3.51688330554E-08
1.02E-07
2
-3.04959918650E-08
-3.04959918423E-08
7.44E-08
3
-2.74791950421E-07
-2.74791950457E-07
1.31E-08
1
7.95395662869E-09
7.95395662876E-09
8.80E-10
2
-1.95551534195E-08
-1.95551534175E-08
1.02E-08
3
3.52757390037E-08
3.52757390040E-08
8.50E-10
1
6.27086393960E-08
6.27086393854E-08
1.69E-08
2
1.21976169852E-07
1.21976169864E-07
9.84E-09
3
1.20204370136E-07
1.20204370140E-07
3.33E-09
1
2.85072821747E-08
2.85072821714E-08
1.16E-08
2
3.58252325461E-08
3.58252325496E-08
9.77E-09
3
-2.58917867873E-07
-2.58917867905E-07
1.24E-08
1
1.21976169859E-07
1.21976169864E-07
4.10E-09
2
1.17597915828E-07
1.17597915824E-07
3.40E-09
3
-9.61634961004E-08
-9.61634961120E-08
1.21E-08
1
7.99734628161E-07
7.99734628427E-07
3.33E-08
2
-6.39787702808E-07
-6.39787702742E-07
1.03E-08
3
-3.92504824838E-07
-3.92504825206E-07
9.38E-08
Полученные
результаты
свидетельствуют
о
более
высокой
точности
интегрального подхода уже при использовании простой квадратуры Гаусса-Лежандра с 48
узлами.
37
Чтобы удостовериться в корректности численной реализации метода основанного
на рядах Фурье, рассмотрим полностью анизотропный материал, со следующим тензором
модулей упругости [164]:
65.7  81.2
 544.8 153.6 57.3 10.5
 153.6 531.1 28.4  14.7  18.1 89.7 
28.4 654.4 19.8  6.4 10.4  ГПа
C   57.3
10.5  14.7 19.8 106.4 24.8 13.3 
 65.7  18.1  6.4 24.8 167.9 22.5 
 81.2 89.7 10.4 13.3
22.5 243.5 
В таблицах 5, 6 приведены результаты при различных значениях  (параметр
метода) для точки наблюдения x  (r  1.0,    4 ,    3) в сравнении с результатами
из [164].
Таблица 5.
g ijS  10 12 , ряды Фурье при различных значениях 
g ijS 10 12
  10
  12
  14
  16
  18
  20
0.336396
0.336431
0.336381
0.336389
0.336397
0.336396
0.336395
Погрешность, %
0.010514
0.004367
0.001930
0.000533
0.000171
0.000054
0.021313
0.021433
0.021329
0.021300
0.021311
0.021315
0.021314
Погрешность, %
0.558781
0.073526
0.061795
0.011713
0.008301
0.001119
1,3;3,1 -0.006535
-0.006627
-0.006501
-0.006522
-0.006540
-0.006536
-0.006535
Погрешность, %
1.382241
0.531206
0.195176
0.073501
0.020551
0.001013
2,2
0.364307
0.364747
0.364262
0.364253
0.364312
0.364314
0.364306
Погрешность, %
0.120529
0.012371
0.014931
0.001265
0.001903
0.000139
2,3;3,2 -0.008461
-0.008409
-0.008435
-0.008468
-0.008464
-0.008460
-0.008460
Погрешность, %
0.614431
0.309622
0.088873
0.040647
0.008510
0.009558
3,3
0.375787
0.376262
0.375773
0.375729
0.375788
0.375794
0.375790
Погрешность, %
0.126191
0.003837
0.015323
0.000137
0.001816
0.000904
i, j
1,1
1,2;2,1
из [164]
g
i, j
1,1
1,2; 2,1
S
ij ,k
10
12
из [164]
g
S
ij ,k
10
12
, ряды Фурье с
параметром   20
k
Таблица 6.
Относительная
погрешность, %
1
-0.04601177940
-0.04600475055
0.015278533
2
-0.21608759770
-0.21608276099
0.002238363
3
-0.26559203930
-0.26559948327
0.002802706
1
0.06694044906
0.06695382142
0.019972507
2
0.02150721591
0.02151107729
0.017950655
3
-0.08223774135
-0.08224810879
0.012605076
38
1,3; 3,1
2,2
2,3; 3,2
3,3
1
0.07571706910
0.07571736836
0.000395241
2
-0.01923255233
-0.01923762287
0.026357405
3
-0.01196058715
-0.01195643917
0.034692425
1
-0.01492118318
-0.01487920570
0.282121778
2
-0.11621323714
-0.11619427838
0.016316434
3
-0.40710359886
-0.40714029221
0.009012459
1
0.05283699230
0.05283003062
0.013177508
2
-0.03465172737
-0.03465434949
0.007566491
3
0.01555602768
0.01556063586
0.029614307
1
-0.14194579380
-0.14198665513
0.02877829
2
-0.42951717449
-0.42953011831
0.003013484
3
-0.08849748776
-0.08847064917
0.030336155
Рассмотрим вычисление статической матрицы Грина и её производных для
электроупругой
среды.
В
качестве
материала
взят
трансверсально
изотропный
пьезокерамик цирконат-титанат свинца PZT-4, со следующими параметрами [151]:
0
0
0 
 139 77.8 74.3
0
0
0 
77.8 139 74.3

74
.
3
74
.
3
115
0
0
0  ГПа
C
0
0
0
25.6
0
0 
 0
0
0
0
25.6
0 
 0
0
0
0
0
30.3
0
0
0 12.7 0
 0
e 0
0
0 12.7
0
0 Кл м 2
 5.2  5.2 15.1 0
0
0
0
0 
6.461
~
ε  0
6.461 0  10 9 Кл Вм
 0
0
5.62
Точка наблюдения расположена в x  (1, 1, 1) . Результаты вычислений для
компонент статической матрицы Грина и их производных по полиномиальному методу
приведены в таблицах 7, 8, по интегральному методу в таблицах 9, 10, по методу с
использованием рядов Фурье в таблицах 11, 12, в сравнении с результатами, полученными
по явным формулам для электроупругих трансверсально изотропных материалов.
39
Таблица 7.
i, j
g ijS трансверсально
g ijS полиномиальный
Относительная
изотропные
метод
погрешность, %
1,1
1.15073834692E-12
1.15073829147E-12
4.82E-06
1,2; 2,1
1.94285289749E-13
1.94285295002E-13
2.70E-06
1,3; 3,1
1.72416797362E-13
1.72416788755E-13
4.99E-06
1,4; 4,1
2.08250097467E-04
2.08250087620E-04
4.73E-06
2,2
1.15073834692E-12
1.15073830140E-12
3.96E-06
2,3; 3,2
1.72416797362E-13
1.72416781795E-13
9.03E-06
2,4; 4,2
2.08250097467E-04
2.08250079188E-04
8.78E-06
3,3
7.97314388947E-13
7.97314363337E-13
3.21E-06
3,4; 4,3
1.52387289424E-03
1.52387284574E-03
3.18E-06
4,4
-4.39142143545E+06
-4.39142124783E+06
4.27E-06
Таблица 8.
i, j
1,1
1,2; 2,1
1,3; 3,1
1,4; 4,1
2,2
k
g ijS,k трансверсально
g ijS,k полиномиальный
Относительная
изотропные
метод
погрешность, %
1
-9.26187902586E-14
-9.26750799497E-14
6.07E-02
2
-4.81189369756E-13
-4.81181619596E-13
1.61E-03
3
-5.76930186906E-13
-5.76863846485E-13
1.15E-02
1
1.65929102008E-14
1.65984790758E-14
3.36E-02
2
1.65929102008E-14
1.65924667090E-14
2.67E-03
3
-2.27471110150E-13
-2.27477301940E-13
2.72E-03
1
1.82108618018E-14
1.82023896614E-14
4.65E-02
2
-1.54205935560E-13
-1.54204652468E-13
8.32E-04
3
-3.64217236036E-14
-3.64111113974E-14
2.91E-02
1
6.70401912703E-06
6.69438371736E-06
1.44E-01
2
-2.01546078340E-04
-2.01544610555E-04
7.28E-04
3
-1.34080382541E-05
-1.33959422187E-05
9.03E-02
1
-4.81189369756E-13
-4.81235212641E-13
9.53E-03
2
-9.26187902586E-14
-9.26125478628E-14
6.74E-03
3
-5.76930186906E-13
-5.76875689325E-13
9.45E-03
40
2,3; 3,2
2,4; 4,2
3,3
3,4; 4,3
4,4
1
-1.54205935560E-13
-1.54221666905E-13
1.02E-02
2
1.82108618018E-14
1.82131563816E-14
1.26E-02
3
-3.64217236036E-14
-3.64028130890E-14
5.19E-02
1
-2.01546078340E-04
-2.01564555232E-04
9.17E-03
2
6.70401912703E-06
6.70675511119E-06
4.08E-02
3
-1.34080382541E-05
-1.33858879450E-05
1.65E-01
1
-3.30458722335E-13
-3.30484516179E-13
7.80E-03
2
-3.30458722335E-13
-3.30455082658E-13
1.10E-03
3
-1.36396944277E-13
-1.36366200850E-13
2.25E-02
1
-6.19996639045E-04
-6.20045506877E-04
7.88E-03
2
-6.19996639045E-04
-6.19989764869E-04
1.11E-03
3
-2.83879616148E-04
-2.83821533979E-04
2.05E-02
1
1.18591339858E+06
1.18610308720E+06
1.60E-02
2
1.18591339858E+06
1.18588732169E+06
2.20E-03
3
2.01959463829E+06
2.01936989964E+06
1.11E-02
Таблица 9.
i, j
g ijS трансверсально
g ijS интегральный метод,
Относительная
изотропные
k  48
погрешность, %
1,1
1.15073834692E-12
1.15073834692E-12
0.00E+00
1,2; 2,1
1.94285289749E-13
1.94285289749E-13
0.00E+00
1,3; 3,1
1.72416797362E-13
1.72416797362E-13
0.00E+00
1,4; 4,1
2.08250097467E-04
2.08250097467E-04
0.00E+00
2,2
1.15073834692E-12
1.15073834692E-12
0.00E+00
2,3; 3,2
1.72416797362E-13
1.72416797362E-13
0.00E+00
2,4; 4,2
2.08250097467E-04
2.08250097467E-04
0.00E+00
3,3
7.97314388947E-13
7.97314388947E-13
0.00E+00
3,4; 4,3
1.52387289424E-03
1.52387289424E-03
0.00E+00
4,4
-4.39142143545E+06
-4.39142143546E+06
2.28E-10
41
Таблица 10.
i, j
1,1
1,2; 2,1
1,3; 3,1
1,4; 4,1
2,2
2,3; 3,2
2,4; 4,2
3,3
3,4; 4,3
4,4
k
g ijS,k трансверсально
g ijS,k интегральный метод,
Относительная
изотропные
k  48
погрешность, %
1
-9.26187902586E-14
-9.26187902586E-14
0.00E+00
2
-4.81189369756E-13
-4.81189369756E-13
0.00E+00
3
-5.76930186906E-13
-5.76930186906E-13
0.00E+00
1
1.65929102008E-14
1.65929102008E-14
0.00E+00
2
1.65929102008E-14
1.65929102008E-14
0.00E+00
3
-2.27471110150E-13
-2.27471110150E-13
0.00E+00
1
1.82108618018E-14
1.82108618018E-14
0.00E+00
2
-1.54205935560E-13
-1.54205935560E-13
0.00E+00
3
-3.64217236036E-14
-3.64217236035E-14
2.75E-10
1
6.70401912703E-06
6.70401912698E-06
7.46E-10
2
-2.01546078340E-04
-2.01546078340E-04
0.00E+00
3
-1.34080382541E-05
-1.34080382540E-05
7.46E-10
1
-4.81189369756E-13
-4.81189369756E-13
0.00E+00
2
-9.26187902586E-14
-9.26187902586E-14
0.00E+00
3
-5.76930186906E-13
-5.76930186906E-13
0.00E+00
1
-1.54205935560E-13
-1.54205935560E-13
0.00E+00
2
1.82108618018E-14
1.82108618018E-14
0.00E+00
3
-3.64217236036E-14
-3.64217236035E-14
2.75E-10
1
-2.01546078340E-04
-2.01546078340E-04
0.00E+00
2
6.70401912703E-06
6.70401912698E-06
7.46E-10
3
-1.34080382541E-05
-1.34080382540E-05
7.46E-10
1
-3.30458722335E-13
-3.30458722335E-13
0.00E+00
2
-3.30458722335E-13
-3.30458722335E-13
0.00E+00
3
-1.36396944277E-13
-1.36396944276E-13
7.33E-10
1
-6.19996639045E-04
-6.19996639045E-04
0.00E+00
2
-6.19996639045E-04
-6.19996639045E-04
0.00E+00
3
-2.83879616148E-04
-2.83879616150E-04
7.05E-10
1
1.18591339858E+06
1.18591339858E+06
0.00E+00
2
1.18591339858E+06
1.18591339858E+06
0.00E+00
3
2.01959463829E+06
2.01959463829E+06
0.00E+00
42
Таблица 11.
i, j
g ijS трансверсально
g ijS , ряды Фурье с
Относительная
изотропные
параметром   20
погрешность, %
1,1
1.15073834692E-12
1.15073834692E-12
0.00E+00
1,2; 2,1
1.94285289749E-13
1.94285289751E-13
1.03E-09
1,3; 3,1
1.72416797362E-13
1.72416797365E-13
1.74E-09
1,4; 4,1
2.08250097467E-04
2.08250097464E-04
1.44E-09
2,2
1.15073834692E-12
1.15073834692E-12
0.00E+00
2,3; 3,2
1.72416797362E-13
1.72416797365E-13
1.74E-09
2,4; 4,2
2.08250097467E-04
2.08250097464E-04
1.44E-09
3,3
7.97314388947E-13
7.97314388937E-13
1.25E-09
3,4; 4,3
1.52387289424E-03
1.52387289423E-03
6.56E-10
4,4
-4.39142143545E+06
-4.39142143544E+06
2.28E-10
Таблица 12.
i, j
1,1
1,2; 2,1
1,3; 3,1
1,4; 4,1
2,2
k
g ijS,k трансверсально
g ijS,k , ряды Фурье с
Относительная
изотропные
параметром   20
погрешность, %
1
-9.26187902586E-14
-9.26187902528E-14
6.26E-09
2
-4.81189369756E-13
-4.81189369755E-13
2.08E-10
3
-5.76930186906E-13
-5.76930186915E-13
1.56E-09
1
1.65929102008E-14
1.65929102034E-14
1.57E-08
2
1.65929102008E-14
1.65929102034E-14
1.57E-08
3
-2.27471110150E-13
-2.27471110158E-13
3.52E-09
1
1.82108618018E-14
1.82108618056E-14
2.09E-08
2
-1.54205935560E-13
-1.54205935559E-13
6.48E-10
3
-3.64217236036E-14
-3.64217236112E-14
2.09E-08
1
6.70401912703E-06
6.70401912567E-06
2.03E-08
2
-2.01546078340E-04
-2.01546078338E-04
9.92E-10
3
-1.34080382541E-05
-1.34080382513E-05
2.09E-08
1
-4.81189369756E-13
-4.81189369755E-13
2.08E-10
2
-9.26187902586E-14
-9.26187902531E-14
5.94E-09
3
-5.76930186906E-13
-5.76930186915E-13
1.56E-09
43
2,3; 3,2
2,4; 4,2
3,3
3,4; 4,3
4,4
1
-1.54205935560E-13
-1.54205935559E-13
6.48E-10
2
1.82108618018E-14
1.82108618056E-14
2.09E-08
3
-3.64217236036E-14
-3.64217236112E-14
2.09E-08
1
-2.01546078340E-04
-2.01546078338E-04
9.92E-10
2
6.70401912703E-06
6.70401912561E-06
2.12E-08
3
-1.34080382541E-05
-1.34080382513E-05
2.09E-08
1
-3.30458722335E-13
-3.30458722359E-13
7.26E-09
2
-3.30458722335E-13
-3.30458722359E-13
7.26E-09
3
-1.36396944277E-13
-1.36396944219E-13
4.25E-08
1
-6.19996639045E-04
-6.19996639064E-04
3.06E-09
2
-6.19996639045E-04
-6.19996639065E-04
3.23E-09
3
-2.83879616148E-04
-2.83879616104E-04
1.55E-08
1
1.18591339858E+06
1.18591339864E+06
5.06E-09
2
1.18591339858E+06
1.18591339864E+06
5.06E-09
3
2.01959463829E+06
2.01959463816E+06
6.44E-09
Полученные результаты позволяют сделать вывод о корректности численной
реализации подходов к вычислению обобщенных анизотропных статических функций
Грина и о высокой точности получаемых результатов, как для упругих, так и для
электроупругих сред.
2.1.4. Интерполяционный подход
Опишем подход к построению обобщенных анизотропных статических
фундаментальных решений на основе интерполяционной схемы вычисления. Если
вернуться к представлению функций Грина в сферической системе координат (2.4):
g Sjk (r , , ) 
H Sjk ( , )
, j , k  1, N ,
4r
    , 0     ,
можно заметить, что тензор H Sjk ( ,  ) полностью определен на области изменения
сферических углов  и  . В силу того, что область определения сферических углов
ограничена, значение g Sjk в произвольной точке может быть получено при помощи
подходящей интерполяционной схемы [121, 179] для вычисления значений тензора H Sjk ,
например, линейной интерполяции Лагранжа.
В качестве примера приведем трехмерные визуализации в виде поверхностей
(рис. 3-26) для компонент анизотропной упругой статической матрицы Грина в точках
наблюдения, расположенных на единичной сфере (r  1,       , 0     ), для
44
четырех различных анизотропных материалов со следующими тензорами модулей
упругости [121, 175]:
Монокристалл алюминия
Ниобат бария-натрия
0
0 
 108 61.3 61.3 0
0
0 
61.3 108 61.3 0
0
0
0  ГПа
61.3 61.3 108
0
0
2.85
0
0 
 0
 0
0
0
0
2.85 0 
 0
0
0
0
0
2.85
239 104 50 0 0 0 
104 247 52 0 0 0 
 50 52 135 0 0 0  ГПа
0
0 65 0 0 
 0
 0
0
0
0 66 0 
 0
0
0
0 0 76
Сапфир
Углепластик
0 
 494 158 114  23 0
0
0 
 158 494 114 23
0
0
0  ГПа
 114 114 496
0
145
0
0 
 23 23
 0
0
0
0
145  23
0
0
0
 23 168 
 0
95.5
28.9
 4.03
 0
 0
44.7
28.9
25.9
4.65
0
0
15.6
4.03
0
0
4.65
0
0
16.3
0
0
0
4.4
 1.78
0
 1.78 6.45
0.54
0
0
44.7
15.6 
0.54 ГПа
0 
0 
32.7
Рис. 3 g 11S для монокристалла алюминия
S
Рис. 4 g 22
для монокристалла алюминия
S
Рис. 5 g 33
для монокристалла алюминия
Рис. 6 g 12S для монокристалла алюминия
45
Рис. 7 g 13S для монокристалла алюминия
S
Рис. 8 g 23
для монокристалла алюминия
Рис. 9 g 11S для ниобата бария-натрия
S
Рис. 10 g 22
для ниобата бария-натрия
S
Рис. 11 g 33
для ниобата бария-натрия
Рис. 12 g 12S для ниобата бария-натрия
46
Рис. 13 g 13S для ниобата бария-натрия
S
Рис. 14 g 23
для ниобата бария-натрия
Рис. 15 g 11S для сапфира
S
Рис. 16 g 22
для сапфира
S
Рис. 17 g 33
для сапфира
Рис. 18 g 12S для сапфира
47
Рис. 19 g 13S для сапфира
S
Рис. 20 g 23
для сапфира
Рис. 21 g 11S для углепластика
S
Рис. 22 g 22
для углепластика
S
Рис. 23 g 33
для углепластика
Рис. 24 g 12S для углепластика
48
S
Рис. 26 g 23
для углепластика
Рис. 25 g 13S для углепластика
В случае электроупругой среды рассмотрим
со следующими параметрами:
72.8
74.9
 1.68
 122
125
75.9
 0.712
 72.8
75.9
126
 0.276
C   74.9
 1.68  0.712  0.276
24.4
 1.48
1.64
0.361  0.208
 2.67
1.66
1.96
0.441
полностью анизотропный материал
1.48
2.67 
1.64
1.66 
0.361
1.96  ГПа
 0.208 0.441 
24.5
 0.766
 0.766
23.6 
4.30 0.706 3.13
5.67 
  13.0 5.19
e   4.66 10.7  3.30 3.51 0.706  8.27 Кл м 2
 2.58  2.20 6.28
7.03  9.16 0.706 
0.365
0.202 
 5.99
~ε  0.365
6.18
 0.155 10 9 Кл Вм
0.202  0.155
6.38 
Визуализации компонент матрицы Грина для точек на единичной
(r  1,       , 0     ) даны на рис. 27-36.
сфере
Рис. 27
49
Рис. 28
Рис. 29
Рис. 30
50
Рис. 31
Рис. 32
Рис. 33
51
Рис. 34
Рис. 35
Рис. 36
52
2.1.5. Динамические функции Грина, численные примеры
Для достижения высокой точности вычисления динамических функций Грина и
Неймана применяется составная квадратурная формула Гаусса-Лежандра [172]. Пусть n –
количество участков разбиения промежутка интегрирования [a, b] , p – количество узлов
на каждом из участков, тогда:
b

n 1 ai  h
f ( x)dx  


i 0 ai
a
n 1
f ( x)dx  
i 0
h h
h
f  t  ai  dt 

2 1  2
2
1
h n1 p
h  h n1 p
h m
h
h
B j f  t j  ai     B j f  t j  a  (2i  1)    Ak f ( xk ),

2 i 0 j 1
2  2 i 0 j 1
2  k 1
2
2
h
Aip j 
h
Bj ,
2
ba
, ai  a  ih, i  0, n, np  m,
n
h
h
xip j  t j  a  (2i  1) , i  0, n  1, j  1, p,
2
2
где B j , t j – абсциссы и узлы обычной квадратурной формулы Гаусса порядка p .
Для оценки достоверности и аккуратности численной реализации схемы
вычисления анизотропного динамического фундаментального решения по формуле (2.1)
были выполнены три теста [138]:
 Тест 1 включает в себя вычисление изотропных динамических матриц Грина и
Неймана, для которых известны выражения в явном виде.
 в тесте 2 производится сравнение матриц Грина и Неймана для трансверсально
изотропного в плоскости x1 x2 материала, с соответствующими результатами из
[118].
 Тест 3 содержит сравнение матриц Грина и Неймана для полностью анизотропного
материла, полученного из трансверсального изотропного путем преобразования
системы координат. А именно, в декартовой системе координат {xi }; i  1,3
компоненты тензора модулей упругости для трансверсально изотропного в
плоскости x1 x2 материала определяются следующим образом:
c11 c12 c13 0
c12 c11 c13 0
c
c
c
0
 13 13 33
C0
0
0 c44
0
0
0
0


0
0
0
0

0
0
0
0
c44
0
0 
0 
0 

0 
0 
c11  c12 

2 
Поворачиваем исходную систему координат {xi } в новую {xi} , соответствующим
преобразованием:
53
xi  lij(1) x j , i, j  1,3,
где lij(1)
– компоненты матрицы преобразования поворота вокруг произвольного
единичного вектора v на некоторый угол  .
В новой системе координат {xi} тензор модулей упругости будет иметь вид:
(1) (1)
  lip(1)l (jq1)lmr
Cijmn
lns C pqrs.
Дополнительное вращение на угол  вокруг некоторого вектора v  , заданного
уже в новой системе координат:
xi  lij( 2) xj ,
порождает полностью анизотропный материал со следующим тензором модулей
упругости:
( 2) ( 2)
  lip( 2)l (jq2)lmr
Cijmn
lns Cpqrs,
или

c11
c12

c
C   13

c14

c
 15
c16


c12

c22

c23

c24

c25

c26
 c14

c13
 c24

c23
 c34

c33
 c44

c34
 c45

c35
 c46

c36

c15

c25

c35

c45

c55

c56
 
c16
 
c26
 
c36
.
 
c46
 
c56
 
c66
Функции Грина для полностью анизотропного материала g ik могут быть выражены
через функции Грина для трансверсально изотропного материала g pk следующим
образом:
( 2 ) ( 2) (1) (1)
gik  lim
l jn lmp lnq g pq , i, j, m, n, p, q  1,3.
Статическая часть матрицы Грина во всех тестах вычислялась по интегральному
методу с порядком квадратуры Гаусса k  48.
Тест 1. В случае, когда материал является изотропным, численная схема должна
давать результаты, близкие к получаемым по известным аналитическим выражениям.
Рассмотрим вычисление функций Грина и Неймана для случая со следующими
параметрами:


,

, r  1,
3
4
r  r (sin  cos , sin  sin , cos ),
 1 1 1 
n
,
,

 3 3 3
s  0.3  i 1,   1,   2 Па,   1Па,
n  p  10,
54
где r – радиус-вектор точки наблюдения (точка нагружения расположена в начале
координат), s – значение параметра преобразования Лапласа,
 ,  ,  – плотность,
модуль упругости и модуль сдвига модельного изотропного материала, n(n1 , n2 , n3 ) –
единичный вектор, необходимый для вычисления матрицы Неймана hij  Cmjkl gik ,l nm , n –
количество участков разбиения промежутка интегрирования, p – количество узлов на
каждом из участков.
Для установления точности вычислений введем следующую оценку погрешности:

err (g , g) 
g  g
g

2
,
2
здесь и далее g  обозначает матрицу Грина, полученную по аналитической формуле (тест
1 и тест 2) или с помощью соответствующего преобразования системы координат (тест 3),
g – матрицу Грина, полученную численно по формуле (2.1),
2
– 2-норма матрицы.
В таблицах 13, 14 приведено сравнение полученных результатов для функций
Грина и Неймана, соответственно. Погрешность вычислений для матрицы Грина в
сравнении с аналитическим результатом составила err(g  , g)  5.35  10 -15 , для матрицы
Неймана err(h  , h)  1.26  10 -15 .
Таблица 13.
i, j
Re( g ij )
Im( g ij )
Re( g ij )
Im( g ij )
1,1
2.76401753E-02 -3.61239597E-02 2.76401753E-02 -3.61239597E-02
1,2
1.25675660E-02 -2.84706901E-03 1.25675660E-02 -2.84706901E-03
1,3
1.02613747E-02 -2.32462212E-03 1.02613747E-02 -2.32462212E-03
2,1
1.25675660E-02 -2.84706901E-03 1.25675660E-02 -2.84706901E-03
2,2
2.76401753E-02 -3.61239597E-02 2.76401753E-02 -3.61239597E-02
2,3
1.02613747E-02 -2.32462212E-03 1.02613747E-02 -2.32462212E-03
3,1
1.02613747E-02 -2.32462212E-03 1.02613747E-02 -2.32462212E-03
3,2
1.02613747E-02 -2.32462212E-03 1.02613747E-02 -2.32462212E-03
3,3
2.34509867E-02 -3.51749367E-02 2.34509867E-02 -3.51749367E-02
55
Таблица 14.
i, j
Re( hij )
Im(hij )
Re( hij )
Im(hij )
1,1
-9.69358646E-02 2.49588819E-02 -9.69358646E-02 2.49588819E-02
1,2
-7.30495146E-02 7.58020596E-03 -7.30495146E-02 7.58020596E-03
1,3
-5.80710265E-02 5.45414213E-03 -5.80710265E-02 5.45414213E-03
2,1
-7.30495146E-02 7.58020596E-03 -7.30495146E-02 7.58020596E-03
2,2
-9.69358646E-02 2.49588819E-02 -9.69358646E-02 2.49588819E-02
2,3
-5.80710265E-02 5.45414213E-03 -5.80710265E-02 5.45414213E-03
3,1
-6.12009481E-02 7.32148647E-03 -6.12009481E-02 7.32148647E-03
3,2
-6.12009481E-02 7.32148647E-03 -6.12009481E-02 7.32148647E-03
3,3
-7.25718331E-02 2.27564624E-02 -7.25718331E-02 2.27564624E-02
Результаты теста 1 демонстрируют высокую степень точности используемой
схемы численного интегрирования при вычислении как полей перемещений, так и полей
поверхностных усилий.
Тест 2. Рассматривается вычисление матрицы Грина для трансверсально
изотропного материала, для следующего набора параметров:
0.97 0.9178 0 0 0 
 1.97
1.97 0.9178 0 0 0 
 0.97
C  0.9178 0.9178 22.73 0 0 0  Па,
0
0
0
1 0 0
 0
0
0
0 1 0
 0
0
0
0 0 0.5


,
(3)

, r  1,
3
4
r  r (sin  cos , sin  sin , cos ),
 1 1 1 
n  
,
,

 3 3 3
s  0  i 1,   1,
n  p  10.
Значения компонент матрицы Грина в сравнении с результатами Dravinski и
Zheng [118] приведены в таблице 15. Тест показывает высокую степень согласованности
полученных результатов с результатами других авторов. Также вычисления проводились
на широком наборе точек наблюдения 1  r a  15. Здесь и далее a  1 м – параметр
расстояния. Изображения реальных и мнимых частей некоторых компонент матриц Грина
и Неймана приведены на рис. 37-42.
56
Таблица 15.

ij
i, j

ij
Re( g )
Re( g ij )
Im( g )
Im( g ij )
1,1
3.305547E-02 7.758555E-02 3.30554788E-02 7.75855491E-02
1,2
2.975494E-02
8.06068E-02 2.97549312E-02 8.06067600E-03
1,3
1.88524E-03
1.9895E-04 1.88524919E-03 1.98951656E-04
2,1
2.975494E-02
8.06068E-03 2.97549312E-02 8.06067600E-03
2,2
3.305547E-02 7.758555E-02 3.30554788E-02 7.75855491E-02
2,3
1.88524E-03
1.9895E-04 1.88524919E-03 1.98951656E-04
3,1
1.88524E-03
1.9895E-04 1.88524919E-03 1.98951656E-04
3,2
1.88524E-03
1.9895E-04 1.88524919E-03 1.98951656E-04
3,3
1.248244E-02 1.540302E-02 1.24819052E-02 1.54030226E-02
0.08
0.06
g11
0.04
── – Re( g11 )
- - - – Im( g11 )
0.02
0
-0.02
-0.04
0 1
5
r/a
10
15
Рис. 37
2
x 10
-3
1.5
g23
1
0.5
── – Re( g 23 )
- - - – Im( g 23 )
0
-0.5
-1
-1.5
0
1
5
r/a
10
15
Рис. 38
57
0.02
0.015
g33
0.01
── – Re( g 33 )
- - - – Im( g 33 )
0.005
0
-0.005
-0.01
0
1
5
r/a
10
15
Рис. 39
0.02
0
-0.02
h12
── – Re( h12 )
- - - – Im(h12 )
-0.04
-0.06
-0.08
0 1
5
r/a
10
15
Рис. 40
0.01
0
h13
-0.01
── – Re( h13 )
-0.02
- - - – Im(h13 )
-0.03
-0.04
-0.05
0 1
5
r/a
10
15
Рис. 41
58
0.02
0
h22
-0.02
-0.04
── – Re( h22 )
-0.06
- - - – Im(h22 )
-0.08
-0.1
-0.12
0
1
5
10
r/a
15
Рис. 42
Тест 3. В последнем тесте сравниваются матрица Грина для полностью
анизотропного материала, полученная через преобразование системы координат с
матрицей, прямо вычисленной по формуле (2.1). Параметры преобразования поворота
системы координат выбраны следующие:
v  (0, 1, 0), v  (0, 0, 1),  

18
.
Тензор модулей упругости трансверсально изотропного материала из теста 2 в
новой системе координат примет вид [138]:
0.9689
1.4529
0.0148  0.2525
 2.0416
1.9717
0.9360
0.0287
0.0059
 0.9689

1
.
4529
0
.
9360
21
.
5523
0
.
5714

3.2408
C  
0.0148
0.0287
0.5714
1.0020  0.0969
  0.2525 0.0059  3.2408  0.0969 1.5346
 0.0077  0.0050  0.0941  0.0871 0.0312
 0.0077
 0.0050
 0.0941.
 0.0871
0.0312 
0.5156 
В случае следующих параметров вычисления:


,

, r  1,
3
4
r  [r (sin  cos , sin  sin , cos )]T {lij(1) } {lij( 2) },
 1 1 1 
n  
,
,

 3 3 3
s  0  i 1,   1,
n  p  10.
результаты теста для матрицы Грина приведены в таблице 16.
59
Таблица 16.
Re( g ij )
i, j
1,1
1,2
1,3
2,1
2,2
2,3
3,1
3,2
3,3
Im( g ij )
Re( g ij )
Im( g ij )
4.17386762E-02 7.84042759E-02 4.17386768E-02 7.84042759E-02
2.74444349E-02 7.75930501E-03 2.74444346E-02 7.75930501E-03
6.42909601E-03 1.09334814E-02 6.42909356E-03 1.09334814E-02
2.74444349E-02 7.75930501E-03 2.74444346E-02 7.75930501E-03
2.31071190E-02 7.48237442E-02 2.31071189E-02 7.48237442E-02
5.99822328E-03 -3.07601451E-04 5.99822513E-03 -3.07601451E-04
6.42909601E-03 1.09334814E-02 6.42909356E-03 1.09334814E-02
5.99822328E-03 -3.07601451E-04 5.99822513E-03 -3.07601451E-04
1.37470675E-02 1.73461007E-02 1.37470736E-02 1.73461007E-02
Результаты вычислений для набора точек наблюдения 1  r / a  15 приведены на
рис. 43, 44. Для полностью анизотропного материала численная реализация схемы
вычисления матрицы Грина по формуле (2.1) позволяет получать результаты с высокой
степенью точности.
0.1
g11
0.05
0
-0.05
0 1
5
r/a
10
──
--○
*
–
–
–
–
Re( g11 )
Im( g11)

Re( g11
)

Im( g11 )
──
--○
*
–
–
–
–
Re( g11 )
Im( g11)

Re( g11
)

Im( g11 )
15
Рис. 43
x 10
-3
6
4
g23
2
0
-2
-4
0
5
r/a
10
15
Рис. 44
60
Проведенные тесты демонстрируют высокую точность численной реализации
схемы вычисления динамических упругих матриц Грина и Неймана даже в случае
наиболее общей анизотропии материала.
2.2. Модельные задачи равновесия
2.2.1. Однородный упругий анизотропный куб под действием нагрузки на
часть торца [42, 121]
Чтобы
оценить
влияние
степени
дискретизации
сетки
интерполяции
фундаментальных решений на точность вычислений, рассмотрим статическую упругую
анизотропную задачу, конфигурация которой изображена на рис. 45. Нижний торец
x3  0 м куба жестко закреплен, на 1/5 части правой x1  0.01 м стороны приложена
равномерно распределенная нагрузка ~
t1  t 0 , t0  1108 Па, направленная вдоль оси x1.
Остальная поверхность тела является свободной от поверхностных усилий. Анизотропные
фундаментальные решения в точках интегрирования вычислялись с помощью линейной
интерполяции Лагранжа на сетках 100100, 200 200, 400 400, и 800 800. В узлах
интерполяции фундаментальные решения вычислялись по интегральному методу с
порядком квадратуры Гаусса равным 48. Кроме того, в случае изотропного материала
фундаментальные решения вычислялись по формулам Кельвина.
10 мм
10 мм
10 мм
x3
O
O
x2
x1
Рис. 45
Рассматривалось
изотропная
сталь,
четыре
материала
с
трансверсально-изотропный
различной
степенью
цирконат-титанат
анизотропии:
свинца
(ЦТС),
61
ортотропная древесина и моноклинный углепластик. Тензоры модулей упругости
материалов приведены в таблице 17 [121].
Таблица 17.
Сталь
ЦТС
0
0
0 
282.7 121.2 121.2
0
0
0 
121.2 282.7 121.2
121.2 121.2 282.7
0
0
0  ГПа
 0
0
0
80.8 0
0 
 0
0
0
0 80.8
0 
 0
0
0
0
0 80.8
0
0
0 
107.6 63.1 61.9
0
0
0 
 63.1 282.7 61.9
 61.9 61.9 100.4 0
0
0  ГПа
 0
0
0
19.6 0
0 
 0
0
0
0 19.6
0 
 0
0
0
0
0
22.2
Древесина
Углепластик
0
0 
0.44 0.32 0.19 0
0
0 
0.32 16.27 0.45 0
0.19 0.45 0.78 0
0
0  ГПа
 0
0
0
0.61
0
0 
 0
0
0
0
0.039
0 
 0
0
0
0
0
0.76
95.5
28.9
 4.03
 0
 0
44.7
28.9
25.9
4.65
0
0
15.6
4.03
0
0
4.65
0
0
16.3
0
0
0
4.4  1.78
0
 1.78 6.45
0.54
0
0
44.7
15.6 
0.54 ГПа
0 
0 
32.7 
Расчеты проводились на трех ГЭ-сетках, сведения о которых представлены в
таблице 18. Сетка «а» изображена на рис. 46, сетка «б» на рис. 47, сетка «в» - на рис. 48.
Таблица 18.
Маркер ГЭ-сетки Количество элементов
«а»
150
«б»
600
«в»
2400
Рис. 46
62
Рис. 47
Рис. 48
Исследовался отклик перемещений
u1
в точке
0.01, 0, 0.01 м .
Сравнение
полученных решений, при использовании различных интерполяционных сеток для
вычисления фундаментальны решений, с ГЭ-решениями из [121] приведено в таблицах
19-22 для стали, ЦТС, древесины и углепластика, соответственно.
Таблица 19.
Сетка
Перемещения u1  10 6 м.
интерполяции
ГЭ-сетка «а»
ГЭ-сетка «б»
ГЭ-сетка «в»
[121]
100х100
-7.6274935
-7.5877104
-7.5546995
-7.489
200х200
-7.6435510
-7.6041117
-7.5711012
-7.506
400х400
-7.6476213
-7.6080357
-7.5752412
-7.511
800x800
-7.6486649
-7.6090608
-7.5762673
Кельвин
-7.6463304
-7.6067718
-7.5740006
-7.512
Таблица 20.
Сетка
Перемещения u1 10 6 м.
интерполяции
ГЭ-сетка «а»
ГЭ-сетка «б»
ГЭ-сетка «в»
[121]
100х100
-28.963324
-28.699586
-28.532188
-28.73
200х200
-29.033982
-28.770367
-28.602077
-28.81
400х400
-29.051923
-28.787290
-28.619776
-28.83
800x800
-29.056498
-28.791714
-28.624155
-28.83
63
Таблица 21.
Перемещения u1 10 4 м.
Сетка
интерполяции
ГЭ-сетка «а»
ГЭ-сетка «б»
ГЭ-сетка «в»
[121]
100х100
-71.180752
-72.138776
-72.211399
-71.89
200х200
-71.663901
-72.592817
-72.650209
-72.33
400х400
-71.784404
-72.706129
-72.763814
-72.44
800x800
-71.815332
-72.734872
-72.791575
-42.47
Таблица 22.
Перемещения u1 10 6 м.
Сетка
интерполяции
ГЭ-сетка «а»
ГЭ-сетка «б»
ГЭ-сетка «в»
[121]
100х100
-94.870807
-96.839414
-97.327060
-97.23
200х200
-95.219997
-97.192477
-97.685491
-97.79
400х400
-95.302926
-97.285045
-97.777935
-97.93
800x800
-95.322796
-97.306014
-97.799969
-97.96
Из полученных результатов можно сделать вывод, что с увеличением степени
анизотропии материала, для аккуратной интерполяции фундаментальных решений
требуется увеличение размера интерполяционной сетки. Как правило, сетка 800 800
позволяет получить достаточно точные результаты для перемещений.
2.2.2.
Однородный
электроупругий
куб
под
действием
одноосной
нагрузки [34, 124]
Для
верификации
предложенной
гранично-элементной
методики
решения
статических задач электроупругости, с интерполяционным способом построения
фундаментальных и сингулярных решений, рассматривается следующий численный
пример.
Единичный электроупругий куб, с центром в начале координат, подвергнут
~
одноосному растяжению t3  100 Па вдоль ось x3, или действию равномерно
распределённой поверхностной плотности заряда q~  1010 Кл м 2 (рис 49). В узлах,
~
расположенных на серединной линии x3  0.5 м задан электрический потенциал   0 В.
Остальная поверхность
куба является свободной
от поверхностных
усилий
и
поверхностной плотности заряда. Анизотропные фундаментальные решения в точках
64
интегрирования строились с помощью линейной интерполяции Лагранжа на сетках
100100,
200 200,
400 400,
и
800 800,
по
аналитическим
формулам
для
трансверсально-изотропных материалов. В узлах интерполяции фундаментальные
решения вычислялись по интегральному методу с порядком квадратуры Гаусса
равным 48.
1м
1м
1м
O
x3
O
x2
x1
Рис. 49
В
качестве
материала
рассматриваются
два
трансверсально
изотропных
пьезокерамика – цирконат-титанат свинца PZT-4, со следующими параметрами [124]:
0
0
0 
 126 77.8 74.3
0
0
0 
77.8 126 74.3

74
.
3
74
.
3
115
0
0
0  ГПа
C
0
0
0
25.6
0
0 
 0
0
0
0
25.6
0 
 0
0
0
0
0
24.1
0
0
0 12.7 0
 0
e 0
0
0 12.7
0
0 Кл м 2
 5.2  5.2 15.1 0
0
0
0
0 
6.463
~
ε  0
6.463
0  10 9 Кл Вм
 0
0
5.622
и цирконат-титанат свинца PZT-5H, со следующими параметрами [34]:
0
0
0 
126 55 53
0
0
0 
 55 126 53

53
53
117
0
0
0  ГПа
C
0
0
0 35.3 0
0 
 0
0
0
0
35.3 0 
 0
0
0
0
0
35.5
65
0
0
0 17.0
 0
e 0
0
0 17.0 0
 6.5  6.5 23.3 0
0
0 
15.1 0
~
ε   0 15.1 0  10 9 Кл
 0
0 13.0
0
0 Кл м 2
0
Вм
Ось трансверсальной изотропии материалов совпадает с осью x3 используемой
декартовой системы координат. В силу симметрии задачи гранично-элементная сетка
строится с учетом трех плоскостей симметрии. Расчеты проводились с использованием
ГЭ-сеток с различной степенью дискретизации на 1/8 части куба. Сведения о них
представлены в таблице 23.
Таблица 23.
Маркер ГЭ-сетки Количество элементов Количество узлов
«а»
75
91
«б»
147
169
«в»
192
217
Рассматриваются отклики перемещений u1 , u3 и электрического потенциала  в
точке 0.5, 0.5, 0.5 м. Для материала PZT-4 в таблицах 24-26 дано сравнение полученных
при механической нагрузке гранично-элементных решений, в зависимости от уровня
дискретизации сетки интерполяции фундаментальных решений. При нагрузке в виде
поверхностной плотности заряда сравнения представлены в таблицах 27-29.
Таблица 24.
Сетка интерполяции
Перемещения u1 10 9 м.
ГЭ-сетка «а»
ГЭ-сетка «б»
ГЭ-сетка «в»
100х100
-0.11568132
-0.11568990
-0.11570104
200х200
-0.11612710
-0.11615881
-0.11616652
400х400
-0.11623882
-0.11627391
-0.11628395
800x800
-0.11626638
-0.11630194
-0.11631264
-0.11627530
-0.11631111
-0.11632197
Аналитические
формулы
66
Таблица 25.
Сетка интерполяции
100х100
200х200
400х400
800x800
Аналитические
формулы
Перемещения u3 10 9 м.
ГЭ-сетка «а»
0.41169784
0.41185801
0.41190024
0.41191105
ГЭ-сетка «б»
0.41162998
0.41182316
0.41186846
0.41188117
ГЭ-сетка «в»
0.41161707
0.41180957
0.41185602
0.41186913
0.41191414
0.41188451
0.41187269
Таблица 26.
Сетка интерполяции
100х100
200х200
400х400
800x800
Аналитические
формулы
Электрический потенциал  , В
ГЭ-сетка «а»
1.3202214
1.3202955
1.3203158
1.3203197
ГЭ-сетка «б»
1.3204131
1.3204733
1.3204826
1.3204875
ГЭ-сетка «в»
1.3204597
1.3205324
1.3205401
1.3205452
1.3203208
1.3204880
1.3205455
Таблица 27.
Сетка интерполяции
100х100
200х200
400х400
800x800
Аналитические
формулы
Перемещения u1 10
12
м.
ГЭ-сетка «а»
-0.59137393
-0.59057660
-0.59037654
-0.59032329
ГЭ-сетка «б»
-0.59140956
-0.59056172
-0.59034791
-0.59029843
ГЭ-сетка «в»
-0.59141544
-0.59055801
-0.59034219
-0.59028666
-0.59030754
-0.59028044
-0.59027086
Таблица 28.
Сетка интерполяции
100х100
200х200
400х400
800x800
Аналитические
формулы
Перемещения u3  10
11
м.
ГЭ-сетка «а»
0.13208051
0.13211485
0.13212640
0.13212852
ГЭ-сетка «б»
0.13207100
0.13211280
0.13212202
0.13212476
ГЭ-сетка «в»
0.13206945
0.13211014
0.13212090
0.13212334
0.13212933
0.13212541
0.13212406
67
Таблица 29.
Сетка интерполяции
Электрический потенциал   10 2 В
ГЭ-сетка «а»
ГЭ-сетка «б»
ГЭ-сетка «в»
100х100
-0.42538869
-0.42538398
-0.42538126
200х200
-0.42536835
-0.42536476
-0.42536342
400х400
-0.42536690
-0.42536214
-0.42536116
800x800
-0.42536565
-0.42536124
-0.42535999
-0.42536539
-0.42536091
-0.42535966
Аналитические
формулы
Полученные результаты свидетельствуют о сходимости гранично-элементного
решения как по количеству элементов в ГЭ-сетке, так и по уровню дискретизации
интерполяционной сетки фундаментальных решений. Для материала PZT-4 в таблице 30
дано сравнение ГЭ решений при механической нагрузке, полученных на сетке
интерполяции 800  800, с ГЭ- и аналитическими решениями из [124], для нагрузки в виде
поверхностной плотности заряда – в таблице 31. Соответствующие сравнения для PZT-5H
представлены в таблицах 32, 33.
Таблица 30.
u1  10 9 м.
u3  10 9 м.
, В
ГЭ решение на сетке «в»
-0.11631264
0.41186913
1.3205452
ГЭ решение из [124]
-0.1160
0.4415
1.320
-0.1164
0.4117
1.321
Аналитическое решение из
[124]
Таблица 31.
u1  10 12 м.
u3  10 11 м.
  10 2 В
ГЭ решение на сетке «в»
-0.59028666
0.13212334
-0.42535999
ГЭ решение из [124]
-0.589
0.132
-0.425
-0.559
0.1321
-0.425
Аналитическое решение из
[124]
68
Таблица 32.
u1  10 10 м.
u3  10 9 м.
, В
ГЭ решение на сетке «в»
-0.78420461
0.35585510
0.71612719
ГЭ решение из [124]
-0.784
0.3557
0.7163
-0.785
0.3558
0.7162
Аналитическое решение из
[124]
Таблица 33.
u1  10 12 м.
u3  10 12 м.
  10 2 В
ГЭ решение на сетке «в»
-0.29133799
0.71625684
-0.22712967
ГЭ решение из [124]
-0.291
0.716
-0.227
-0.291
0.716
-0.227
Аналитическое решение из
[124]
2.2.3.
Эффективность методов построения статических анизотропных
фундаментальных и сингулярных решений.
Чтобы сравнить вычислительную эффективность представленных методов
построения статических анизотропных фундаментальных и сингулярных решений, при
непосредственном применении в разработанном гранично-элементном программном
комплексе, рассмотрим модельную статическую задачу упругости. Куб со стороной 1 м.
подвергнут действию равномерно распределенной растягивающей нагрузки ~
t3  t 0 ,
t0  1011 Па, приложенной на торце x3  1 м и действующей в направлении оси x3
(рис. 50). На противоположном торце задана скользящая заделка x3  0 м . В качестве
анизотропного
материала
взят
альфа-кварц
со
следующим
тензором
модулей
упругости [167]:
0
0 
87.6 6.07 13.3 17.3
0
0 
6.07 87.6 13.3  17.3

13
.
3
13
.
3
106
.
8
0
0
0  ГПа
C
17.3  17.3
0
57.2
0
0 
 0
0
0
0
57.2 17.3 
 0
0
0
0
17.3 40.765
69
1м
1м
1м
O
x2
O
x1
x3
Рис. 50
Задача решалась на четырех ГЭ-сетках с различной степенью дискретизации.
Сведения о них представлены в таблице 34.
Таблица 34.
Маркер ГЭ-сетки Количество элементов
«а»
24
«б»
96
«в»
384
«г»
864
Для методов построения фундаментальных решений были выбраны следующие
параметры. В интегральном подходе использовалась квадратура Гаусса с числом узлов
равным 48. В подходе через ряды Фурье параметр метода  был выбран равным 20. В
интерполяционном подходе использовалась сетка 800 800. В таблице 35 дано сравнение
аналитического решения из [51] с ГЭ-решениями для перемещений u 2 в точке
A 0.5, 0.5, 0.5 м , полученными всеми четырьмя методами на всех ГЭ-сетках.
Таблица 35
Метод
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
Сетка «г»
Интегральный
-0.068125910
-0.068573379
-0.068732356
-0.068771439
Полиномиальный
-0.068125861
-0.068573783
-0.068732893
-0.068771967
Ряды Фурье
-0.068125629
-0.068572499
-0.068729618
-0.068767503
Интерполяционный
-0.068125443
-0.068567061
-0.068725716
-0.068766432
Аналитическое
решение
-0.06891066
70
Все четыре метода демонстрируют сеточную сходимость к аналитическому
решению и дают очень близкие результаты. В таблице 36 приведены длины временных
промежутков (в секундах), которые потребовались для полного решения задачи при
использовании каждого из четырех методов.
Таблица 36
Метод
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
Сетка «г»
Интегральный
0.686377
6.046857
55.764638
201.402983
Полиномиальный
13.907842
122.904028
1125.197593
4448.760543
Ряды Фурье
5.926398
46.985990
425.044197
1523.026008
Интерполяционный
6.411665
6.558576
8.287672
15.513955
Совокупность полученных результатов позволяет сделать однозначный вывод,
что
с
практической
точки
зрения
интерполяционный
подход
к
построению
фундаментальных и сингулярных анизотропных статических решений, имеет наибольшую
вычислительную эффективность. В случае серьезных ограничений по объему доступной
оперативной памяти имеет смысл использовать интегральный подход.
В качестве итогов второй главы можно привести следующие результаты.
Представлены выражения для анизотропных динамических фундаментальных решений
для упругих и электроупругих сред в пространстве изображений по Лапласу, записанные в
виде суммы статической и динамической частей, полученные с помощью применения
интегрального преобразования Радона. Описаны четыре метода вычисления статических
анизотропных
упругих
и
электроупругих
функций
Грина:
интегральный,
полиномиальный, с применением рядов Фурье и интерполяционный. Даны выражения
статических функций Грина для трансверсально изотропных упругих и электроупругих
сред. Проведено тестирование численной реализации подходов к построению статических
фундаментальных решений. Представлены трехмерные полутоновые визуализации в виде
поверхностей для компонент анизотропной упругой статической матрицы Грина для
четырех различных анизотропных материалов. В случае электроупругой среды
визуализации даны для полностью анизотропного материала. Проведена верификация
численной реализации схемы вычисления динамических анизотропных фундаментальных
решений. Проведен ряд численных экспериментов. Исследована работоспособность и
вычислительная
эффективность
описанных
методов
построения
статических
анизотропных фундаментальных и сингулярных решений, при непосредственном
применении в разработанном гранично-элементном программном комплексе. Решены две
модельные задачи для верификации предложенной гранично-элементной методики
решения статических задач линейных теорий анизотропной упругости и электроупругости
с интерполяционным способом вычисления функций Грина. Полученные ГЭ-решения
приведены в сравнении с аналитическими результатами и результатами других авторов.
71
Глава III
Гранично-элементное моделирование
3.1. Анизотропные упругие задачи
3.1.1. Статическая задача о действии давления внутри сферической
полости [175]
Рассмотрим сферическую полость с радиусом R  1 м, заданную в
неограниченной анизотропной упругой среде (рис. 51). К границе полости приложено
равномерно распределенное нормальное давление P  107 Па . Исследуются перемещения
на границе полости. Анизотропные фундаментальные решения в точках интегрирования
строились при помощи интерполяционного подхода на сетке 800 800. В узлах
интерполяции фундаментальные решения вычислялись интегральным методом с
порядком квадратуры Гаусса равным 48.
Рис. 51
Решение задачи рассматривалось для четырех различных материалов: изотропный
поликристаллический алюминий, монокристалл алюминия, ниобат бария-натрия и
сапфир. Тензоры модулей упругости материалов приведены в таблице 37 [175].
Таблица 37.
Поликристаллический алюминий
Монокристалл алюминия
111 61 61
 61 111 61
 61 61 111
0
0
 0
 0
0
0
 0
0
0
Ниобат бария-натрия
239 104 50
104 247 52
 50 52 135
0
0
 0
 0
0
0
0
0
 0
 108
61.3
61.3
 0
 0
 0
Сапфир
 494
 158
 114
 23
 0
 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0  ГПа
25 0 0 
0 25 0 
0 0 25
0 0 0
0 0 0
0 0 0  ГПа
65 0 0 
0 66 0 
0 0 76
61.3 61.3 0
0
0 
108 61.3 0
0
0 
61.3 108
0
0
0  ГПа
0
0
2.85
0
0 
0
0
0
2.85 0 
0
0
0
0
2.85
158 114  23 0
0 
494 114 23
0
0 
114 496
0
0
0  ГПа
23
0
145
0
0 
0
0
0
145  23
0
0
0
 23 168 
72
Расчеты проводились на трех гранично-элементных сетках с различной степенью
дискретизации. Сведения о них представлены в таблице 38. Сетка «а» изображена на рис.
52, сетка «б» на рис. 53, сетка «в» - на рис. 54.
Таблица 38.
Маркер ГЭ-сетки Количество элементов
«а»
216
«б»
384
«в»
600
Рис. 52
Рис. 53
Рис. 54
Исследовался отклик радиальных перемещений ur  u12  u22  u32
в точках,
расположенных на границе полости в плоскостях x1 , x2 , 0 и 0, x2 , x3  . Для изотропного
материала сравнение полученных гранично-элементных решений в точках на плоскости
x1 x2 с аналитическим и ГЭ-решением из [175] приведено на рис. 55, где   arctan x2 x1 .
Для монокристалла алюминия сравнения в точках на плоскостях x1 x2 и x2 x3 даны
соответственно на рис. 56 и рис. 57, где   arctanx2 x3 , для ниобата бария-натрия – на
рис. 58, 59 и для сапфира – на рис. 60, 61.
73
10.5
x 10
-5
10
○
□
∆
*
─
ur , м
9.5
9
– ГЭ-решение на сетке «а»
– ГЭ-решение на сетке «б»
– ГЭ-решение на сетке «в»
– ГЭ-решение из [175]
– аналитическое решение
8.5
-3
-2
-1
0
, рад
1
2
3
Рис. 55 Перемещения u r в плоскости x1 x2 для поликристаллического алюминия
x 10
-5
9.5
ur , м
9
○
□
∆
*
8.5
8
– ГЭ-решение на сетке «а»
– ГЭ-решение на сетке «б»
– ГЭ-решение на сетке «в»
– ГЭ-решение из [175]
7.5
-3
-2
-1
0
, рад
1
2
3
Рис. 56 Перемещения u r в плоскости x1 x2 для монокристалла алюминия
10
x 10
-5
ur , м
9
○
□
∆
*
8
7
– ГЭ-решение на сетке «а»
– ГЭ-решение на сетке «б»
– ГЭ-решение на сетке «в»
– ГЭ-решение из [175]
6
-3
-2
-1
0
, рад
1
2
3
Рис. 57 Перемещения u r в плоскости x2 x3 для монокристалла алюминия
74
x 10
-5
3.4
ur , м
3.3
○
□
∆
*
3.2
3.1
– ГЭ-решение на сетке «а»
– ГЭ-решение на сетке «б»
– ГЭ-решение на сетке «в»
– ГЭ-решение из [175]
3
2.9
-3
-2
-1
0
, рад
1
2
3
Рис. 58 Перемещения u r в плоскости x1 x2 для ниобата бария-натрия
x 10
-5
5.5
5
ur , м
4.5
○
□
∆
*
4
3.5
3
– ГЭ-решение на сетке «а»
– ГЭ-решение на сетке «б»
– ГЭ-решение на сетке «в»
– ГЭ-решение из [175]
2.5
2
-3
-2
-1
0
, рад
1
2
3
Рис. 59 Перемещения u r в плоскости x2 x3 для ниобата бария-натрия
1.6
x 10
-5
1.55
ur , м
1.5
○
□
∆
*
1.45
1.4
1.35
– ГЭ-решение на сетке «а»
– ГЭ-решение на сетке «б»
– ГЭ-решение на сетке «в»
– ГЭ-решение из [175]
1.3
-3
-2
-1
0
, рад
1
2
3
Рис. 60 Перемещения u r в плоскости x1 x2 для сапфира
75
2
x 10
-5
ur , м
1.8
○
□
∆
*
1.6
1.4
– ГЭ-решение на сетке «а»
– ГЭ-решение на сетке «б»
– ГЭ-решение на сетке «в»
– ГЭ-решение из [175]
1.2
-3
-2
-1
0
, рад
1
2
3
Рис. 61 Перемещения u r в плоскости x2 x3 для сапфира
Продемонстрировано поведение радиальных перемещений в двух координатных
плоскостях на границе сферической полости для четырех материалов с различной
степенью анизотропии. Проводя сравнение полученных ГЭ-решений с аналитическим
решением в изотропном случае, необходимо отметить, что результаты на ГЭ-сетке «в»
значительно лучше, чем результаты на ГЭ-сетке «а», что свидетельствует о сходимости к
аналитическому решению. Сеточная сходимость гранично-элементного решения
наблюдается для всех рассмотренных анизотропных материалов.
3.1.2. Статическая задача об анизотропном кубе с полостью [167]
Рассмотрим сферическую полость с радиусом r расположенную внутри
анизотропного упругого куба с длиной ребра L  40 м , при этом стороны куба
ориентированы параллельно координатным плоскостям декартовой системы координат.
На трех сторонах куба задана скользящая заделка, а на противоположных – нормальная
поверхностные усилия величиной t 0  1 Па (рис. 62).
Рис. 62
76
Рассматривался полностью анизотропный материал со следующим тензором
модулей упругости [167]:
107.4  4.7 23.4  5.7  5.4 7.9 
8.2 
  4.7 118.6  1.0 15.9 2.9
23
.
4

1
.
0
85
.
9

7
.
4
7
.
6

5.4 ГПа.

C
  5.7 15.9  7.4 36.3  1.7 4.7 
  5.4 2.9
7.6  1.7 65.2  4.7
 7.9
8.2  5.4 4.7  4.7 38.7 
Расчеты проводились на гранично-элементной сетке, содержащей 600 элементов –
384 элемента на сторонах куба и 216 на полости. Исследовались абсолютные
перемещения ua  u12  u22  u32 в узлах, расположенных на границе полости в плоскости
x1 , x2 , 0.
Задача рассматривалась для четырех значений величины радиуса полости
r  R0 , 2R0 , 4R0 и 6R0 ,
R0  1м .
С
использованием
программной
системы
конечно-элементного анализа ANSYS (лицензия ANSYS Academic Research, Customer
Number 623640) было получено конечно-элементное решение задачи. КЭ-сетка содержит
74612 элементов типа SOLID186 и 102564 узла. Сравнения полученных КЭ- и ГЭрешений для нормализованных абсолютных перемещений c11ua R 0 t 0 приведены на рис.
63-66, где   arctanx2 x1 .
── – ГЭ-решение при r  R0
- - - – КЭ-решение при r  R0
Рис. 63
77
── – ГЭ-решение при r  2R0
- - - – КЭ-решение при r  2R0
Рис. 64
── – ГЭ-решение при r  4R0
- - - – КЭ-решение при r  4R0
Рис. 65
── – ГЭ-решение при r  6R0
- - - – КЭ-решение при r  6R0
Рис. 66
78
Приведены абсолютные перемещения в узлах, расположенных на границе
сферической полости, находящейся внутри анизотропного упругого куба. Проведено
сравнение полученных ГЭ- и КЭ-решений для различных значения величины радиуса
полости.
3.1.3. Действие стационарной горизонтальной нагрузки на торец Г-образного
однородного упругого анизотропного тела [121]
Рассмотрим
задачу
о
вынужденных
колебаниях
однородного
упругого
анизотропного тела, изображенного на рис. 67. На стороне x1  0.1 м приложены
поверхностные усилия ~
t1  t 0 , t0  1108 Па, направленные вдоль оси x1 . На нижнем
торце тело
жестко закреплено, остальная поверхность
является свободной
от
поверхностных усилий. Задача рассматривалась для двух материалов: изотропной стали (с
параметрами материала: E  1.008 1011 Па ,   0.3 и плотностью   7800 кг м3 ), и
трансверсально-изотропного цирконата-титаната свинца (ЦТС) PZT с плотностью
  7850 кг м3 и следующим тензором модулей упругости [121]:
0
0
0 
107.6 63.1 61.9
0
0
0 
 63.1 107.6 61.9
61
.
9
61
.
9
100
.
4
0
0
0  ГПа

C
0
0
19.6 0
0 
 0
 0
0
0
0 19.6
0 
 0
0
0
0
0
22.2
Рис. 67
Параметр преобразования Лапласа, для которого проводились расчеты, в случае
стали равен s  0  i 100 , в случае ЦТС s  0  i  50. Задача решалась на двух ГЭ-сетках,
сведения о которых представлены в таблице 39. Сетка «а» изображена на рис. 68, сетка
«б» – на рис. 69.
79
Таблица 39.
Маркер ГЭ-сетки Количество элементов
«а»
350
«б»
1400
Рис. 69 Сетка «б»
Рис. 68 Сетка «а»
Исследовался отклик перемещений u1 в узлах вдоль линии
0.05, 0, x3  м.
Сравнение полученных ГЭ-решений с решениями из [121] приведено для стали на рис. 70
и для ЦТС на рис. 71. На рис. 72-73 представлены трехмерные полутоновые визуализации
распределения поля перемещений u1 для стали и ЦТС, соответственно.
2.5
x 10
-5
u1, м
2
1.5
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
1
∆ – ГЭ-решение из [121]
0.5
0
0
0.02
0.04
x3, м
0.06
0.08
0.1
Рис. 70
80
x 10
-5
8
u1, м
6
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
4
∆ – ГЭ-решение из [121]
2
0
0
0.02
0.04
x3, м
0.06
0.08
0.1
Рис. 71
x 10
-4
x 10
5
-4
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
Рис. 72
Рис. 73
Приведены отклики перемещений в узлах вдоль вертикальной линии на границе
тела. Полученные ГЭ-решения для стали и ЦТС на двух ГЭ-сетках даны в сравнении с
результатами других авторов. Представлены трехмерные полутоновые визуализации
распределения полей перемещений на сетке «б».
3.1.4.
Одноосное
стационарное
растяжение
упругого
анизотропного
призматического тела [142]
Рассмотрим упругую анизотропную стационарную задачу, изображенную на
рис. 74. Нижний торец жестко закреплен, к верхнему торцу приложены поверхностные
t  t , t  100 Па, направленные вдоль оси x .
усилия ~
3
0
0
3
81
Рис. 74
В качестве материала взят сапфир с плотностью   3970 кг м3 и следующим
тензором модулей упругости [142]:
0 
 494 158 114  23 0
0
0 
 158 494 114 23
114
114
496
0
0
0  ГПа

C
0
145
0
0 
 23 23
 0
0
0
0
145  23
 0
0
0
0
 23 168 
Расчеты проводились для двух различных значений параметра преобразования
Лапласа: s1  0  i   и s2  0  i  4 .
Задача решалась на двух ГЭ-сетках, сведения о
которых представлены в таблице 40. Сетка «а» изображена на рис. 75, сетка «б» – на рис.
76.
Таблица 40.
Маркер ГЭ-сетки Количество элементов
«а»
352
«б»
1408
82
Рис. 76 Сетка «б»
Рис. 75 Сетка «а»
Исследовались
0.2, 0.15, x3  м.
отклики
перемещений
ui , i  1,3
в
точках
вдоль
линии
Сравнения полученных ГЭ-решений с решениями из [142] даны на рис.
77-79 для s1 и на рис. 80-82 для s2. На рис. 83, 84 представлены трехмерные полутоновые
визуализации распределения поля абсолютных перемещений ua  u12  u22  u32 для s1 и s2,
соответственно.
x 10
-12
5
0
u1, м
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
∆ – ГЭ-решение из [142]
-5
-10
0
0.2
0.4
x3, м
0.6
0.8
1
Рис. 77 Перемещения u1 при параметре преобразования Лапласа s1
83
3
x 10
-12
2
1
u2, м
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
0
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
∆ – ГЭ-решение из [142]
-1
-2
-3
0
0.2
0.4
x3, м
0.6
0.8
1
Рис. 78 Перемещения u 2 при параметре преобразования Лапласа s1
2
x 10
-11
u3, м
0
-2
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
-4
∆ – ГЭ-решение из [142]
-6
-8
0
0.2
0.4
x3, м
0.6
0.8
1
Рис. 79 Перемещения u 3 при параметре преобразования Лапласа s1
2
x 10
-11
u1, м
1
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
0
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
∆ – ГЭ-решение из [142]
-1
-2
0
0.2
0.4
x3, м
0.6
0.8
1
Рис. 80 Перемещения u1 при параметре преобразования Лапласа s 2
84
1.5
x 10
-11
1
0.5
u2, м
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
0
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
∆ – ГЭ-решение из [142]
-0.5
-1
-1.5
0
0.2
0.4
x3, м
0.6
0.8
1
Рис. 81 Перемещения u 2 при параметре преобразования Лапласа s 2
6
x 10
-11
u3, м
4
2
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
0
∆ – ГЭ-решение из [142]
-2
-4
0
0.2
0.4
x3, м
0.6
0.8
1
Рис. 82 Перемещения u 3 при параметре преобразования Лапласа s 2
-11
-11
x 10
7
x 10
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
Рис. 83 Перемещения u a для параметра
преобразования Лапласа s1
Рис. 84 Перемещения u a для параметра
преобразования Лапласа s 2
85
Приведены
отклики
перемещений
при
различных
значениях
параметра
преобразования Лапласа. Дано сравнение полученных на различных ГЭ-сетках решений с
результатами других авторов. Представлены полутоновые визуализации распределения
поля абсолютных перемещений для обоих значений параметра преобразования Лапласа.
3.1.5. Действие нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец
Г-образного однородного упругого анизотропного тела [36, 121]
Рассмотрим задачу о действии равномерно распределённой горизонтальной
нагрузки в виде функции Хевисайда по времени ~
t1 (t )  t0 H (t ), t0  1105 Па на боковую
поверхность однородного упругого анизотропного тела, изображенного на рис. 85.
Расчеты проводились на четырех ГЭ-сетках, сведения о которых представлены в таблице
41. Сетка «а» изображена на рис. 86, сетка «б» – на рис. 87, сетка «в» – на рис. 88, сетка
«г» – на рис. 89.
Рис. 85
Таблица 41.
Маркер ГЭ-сетки Количество элементов
«а»
126
«б»
350
«в»
504
«г»
686
86
Рис. 86
Рис. 87
Рис. 88
Рис. 89
Задача рассматривается для двух материалов с различной степенью анизотропии:
трансверсально изотропный цирконат-титанат свинца (материал 1)
и моноклинный
углепластик (материал 2). Плотности (в кг/м3) и ненулевые компоненты тензоров модулей
упругости (в ГПа) для этих материалов приведены в таблице 42 [121]. Для идентификации
графиков откликов перемещений и поверхностных усилий, построенных на сетке «а»
используется маркер «○», на сетке «б» – «∆», на сетке «в» – «□», на сетке «г» – «*».
Рассмотрим точку A с координатами (0, 0, 0.1)м. Сходимость решения в перемещениях
для материала 1 продемонстрирована на рис. 90-92, для материала 2 на рис. 93-95.
Значение
параметра
шагового
метода
численного
обращения
интегрального
преобразования Лапласа выбрано t  5  10 6 с.
87
Таблица 42.
с11
с12
с13
с16
с22
с23
с26
с33
с36
с44
с45
с55
с66
ρ
Трансверсально изотропный цирконат-титанат свинца
(материал 1)
107.6
63.1
61.9
0
107.6
61.9
0
100.4
0
19.6
0
19.6
22.2
7800
Моноклинный углепластик (материал 2)
1
x 10
95.5
28.9
4.03
44.7
25.9
4.65
15.6
16.3
0.54
4.40
-1.78
6.45
32.7
1600
-6
0
u1, м
-1
-2
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
∆ – ГЭ-решение на сетке «в»
-3
* – ГЭ-решение на сетке «г»
-4
-5
0
1
2
t, с
3
4
5
x 10
-4
Рис. 90 Перемещения u1 (t ) для материала 1.
3
x 10
-8
u2, м
2
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
1
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
∆ – ГЭ-решение на сетке «в»
0
* – ГЭ-решение на сетке «г»
-1
-2
0
1
2
t, с
3
4
5
x 10
-4
Рис. 91 Перемещения u2 (t ) для материала 1.
88
2
x 10
-7
0
-2
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
u3, м
-4
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
-6
∆ – ГЭ-решение на сетке «в»
-8
* – ГЭ-решение на сетке «г»
-10
-12
-14
0
1
2
t, с
3
4
5
x 10
-4
Рис. 92 Перемещения u3 (t ) для материала 1.
0
x 10
-5
-0.2
-0.4
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
u1, м
-0.6
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
-0.8
∆ – ГЭ-решение на сетке «в»
-1
* – ГЭ-решение на сетке «г»
-1.2
-1.4
-1.6
0
1
2
t, с
3
4
5
x 10
-4
Рис. 93 Перемещения u1 (t ) для материала 2.
4
x 10
-7
2
u2, м
0
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
-2
∆ – ГЭ-решение на сетке «в»
-4
* – ГЭ-решение на сетке «г»
-6
-8
0
1
2
t, с
3
4
5
x 10
-4
Рис. 94 Перемещения u2 (t ) для материала 2.
89
1
x 10
-6
u3, м
0
-1
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
-2
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
∆ – ГЭ-решение на сетке «в»
-3
* – ГЭ-решение на сетке «г»
-4
-5
0
1
2
t, с
3
4
5
x 10
-4
Рис. 95 Перемещения u3 (t ) для материала 2.
Рассмотрим центральный элемент на закрепленном торце. Сеточная сходимость
решения для поверхностных усилий для материала 1 продемонстрирована на рис. 96-98,
для материала 2 на рис. 99-101. Рассматривались только три сетки – «а», «б» и «г», так как
на сетке «в» центральный элемент отсутствует.
12
x 10
4
10
t1, Па
8
6
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
4
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
2
∆ – ГЭ-решение на сетке «г»
0
-2
-4
0
1
2
t, c
3
4
5
x 10
-4
Рис. 96 Поверхностные усилия t1 (t ) для материала 1.
90
4000
3000
t2, Па
2000
1000
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
0
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
-1000
∆ – ГЭ-решение на сетке «г»
-2000
-3000
-4000
0
1
2
t, c
3
4
5
x 10
-4
Рис. 97 Поверхностные усилия t2 (t ) для материала 1.
6
x 10
4
4
t3, Па
2
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
0
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
∆ – ГЭ-решение на сетке «г»
-2
-4
-6
0
1
2
t, c
3
4
5
x 10
-4
Рис. 98 Поверхностные усилия t3 (t ) для материала 1.
3
x 10
5
2.5
t1, Па
2
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
1.5
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
1
∆ – ГЭ-решение на сетке «г»
0.5
0
-0.5
0
1
2
t, с
3
4
5
x 10
-4
Рис. 99 Поверхностные усилия t1 (t ) для материала 2.
91
x 10
2
4
1.5
1
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
t2, Па
0.5
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
0
∆ – ГЭ-решение на сетке «г»
-0.5
-1
-1.5
0
1
2
t, с
3
4
5
x 10
-4
Рис. 100 Поверхностные усилия t2 (t ) для материала 2.
6
x 10
4
4
t3, Па
2
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
0
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
-2
∆ – ГЭ-решение на сетке «г»
-4
-6
-8
0
1
2
t, с
3
4
5
x 10
-4
Рис. 101 Поверхностные усилия t3 (t ) для материала 2.
Сходимость
шагового
метода
численного
обращения
интегрального
преобразования Лапласа по параметру t , продемонстрирована для материала 2 на рис.
102-104 на примере перемещений в т. А (0, 0, 0.1)м. В качестве расчетной ГЭ-сетки здесь и
далее используется сетка «в».
92
0
x 10
-5
-0.2
-0.4
Параметр шагового метода
u1, м
-0.6
○ – t  2 105
-0.8
□ – t  1105
-1
∆ – t  5 106
-1.2
-1.4
-1.6
0
1
2
t, с
3
4
5
x 10
-4
Рис. 102 Перемещения u1 (t ) для материала 2.
2
x 10
-7
u2, м
0
Параметр шагового метода
-2
○ – t  2 105
□ – t  1105
-4
∆ – t  5 106
-6
-8
0
1
2
t, с
3
4
5
x 10
-4
Рис. 103 Перемещения u2 (t ) для материала 2.
1
x 10
-6
0
u3, м
-1
Параметр шагового метода
○ – t  2 105
-2
□ – t  1105
-3
∆ – t  5 106
-4
-5
0
1
2
t, с
3
4
5
x 10
-4
Рис. 104 Перемещения u3 (t ) для материала 2.
93
На рис. 105, 106 представлено сравнение полученных ГЭ-решений для
перемещений по оси x1 в точке А (0, 0, 0.1)м с решениями из [121] для метериалов 1 и 2,
соответственно.
1
x 10
-6
0
u1, м
-1
○ – ГЭ-решение
□ – ГЭ-решение из [121]
-2
∆ – КЭ-решение из [121]
-3
-4
-5
0
1
2
t, c
3
4
5
x 10
-4
Рис. 105 Перемещения u1 (t ) в точке А для материала 1.
5
x 10
-6
u1, м
0
-5
○ – ГЭ-решение
□ – ГЭ-решение из [121]
∆ – КЭ-решение из [121]
-10
-15
-20
0
1
2
t, c
3
4
5
x 10
-4
Рис. 106 Перемещения u1 (t ) в точке А для материала 2.
На рис. 107-118 приведена полутоновая визуализация поля абсолютных
перемещений решения задачи для материала 1, причем палитра моделируется линейкой от
0 м (синий цвет) до 6.3  10 6 м (красный цвет). На рис. 119-130 приведена трехмерная
визуализация решения задачи для материала 2. В этом случае, для наглядности,
перемещения
были
умножены
на
безразмерный
коэффициент
равный
10 3.
Представленные изображения соответствуют интервалу времени t  [0,0.0005] с с шагом
t  0,000045 c.
94
Рис. 107 t  0.0 с
Рис. 108 t  0.000045 с
Рис. 109 t  0.00009 с
Рис. 110 t  0.000135 с
Рис. 111 t  0.00018 с
Рис. 112 t  0.000225 с
95
Рис. 113 t  0.00027 с
Рис. 114 t  0.000315 с
Рис. 115 t  0.000360 с
Рис. 116 t  0.000405 с
Рис. 117 t  0.00045 с
Рис. 118 t  0.0005 с
96
Рис. 119 t  0.0 с
Рис. 120 t  0.000045 с
Рис. 121 t  0.00009 с
Рис. 122 t  0.000135 с
Рис. 123 t  0.00018 с
Рис. 124 t  0.000225 с
97
Рис. 125 t  0.00027 с
Рис. 126 t  0.000315 с
Рис. 127 t  0.000360 с
Рис. 128 t  0.000405 с
Рис. 129 t  0.00045 с
Рис. 130 t  0.0005 с
98
Для оценки влияния степени анизотропии материала на отклик перемещений, на
рис. 131, 132 представлено сравнение ГЭ-решений u1 и u3 в точке B (0.05, 0.025, 0.05)м
для обоих материалов.
1
x 10
-6
0
-1
u1, м
-2
○ – материал 1
□ – материал 2
-3
-4
-5
-6
-7
0
0.2
0.4
t, с
0.6
0.8
1
x 10
-3
Рис. 131 Отклик перемещений u1 (t ) в точке B.
5
x 10
-6
4
u3, м
3
○ – материал 1
□ – материал 2
2
1
0
-1
0
0.2
0.4
t, с
0.6
0.8
1
x 10
-3
Рис. 132 Отклик перемещений u3 (t ) в точке B.
Приведены динамические отклики перемещений для двух материалов с различной
степенью анизотропии. Исследована сеточная сходимость и сходимость по параметру
шагового метода численного обращения интегрального преобразования Лапласа. Дано
сравнение полученных ГЭ-решений с ГЭ- и КЭ-решениями других авторов. Приведены
полутоновые визуализации распространения поля абсолютных перемещений для
материала 1 и трехмерные визуализации решения задачи для материала 2.
99
3.1.6 Динамический изгиб композитной балки
Рассмотрим задачу о численном моделировании динамического испытания на
изгиб композитной балки (рис. 133). Размеры образца составляют 6 мм 15 мм  80 мм . На
одной стороне на полосе шириной a  1.4 мм , расположенной симметрично относительно
~
начала координат, заданы нормальные поверхностные усилия
t (t )  t f (t ),
1
0
t0  1.074748571108 Па , вид функции f (t ) дан на рис. 134. На противоположной стороне
имеются
две
опоры
шириной
b  1.5 мм
каждая,
расположенные
симметрично
относительно начала координат. Расстояние между опорами составляет c  45 мм. На
этих опорах задана скользящая заделка u1  0 . Остальная поверхность балки свободна от
поверхностных усилий. Использовался ортотропный материал.
Гранично-элементные решения сравнивались с результатами эксперимента
(методика описана в [6, 7, 46, 112]) и соответствующими результатами, полученными в
программных
комплексах
конечно-элементного
моделирования
«Динамика-3»*
и
ANSYS (лицензия ANSYS Academic Research, Customer Number 623640). Расчеты
проводились на двух гранично-элементных сетках с различной степенью дискретизации.
Сведения о них представлены в таблице 43. ГЭ-сетка «а» изображена на рис. 135, ГЭсетка «б» – на рис. 136. Значение параметра шагового метода численного обращения
интегрального преобразования Лапласа выбрано t  1  10 7 с . Исследовался отклик
перемещений u1 (t ) в точке O(0, 0, 0).
Таблица 43.
Маркер ГЭ-сетки Количество элементов
«а»
1048
«б»
1900
Рис. 133
*
Сертификат соответствия Госстандарта России № POCC RU.ME20.H00338
100
1
0.8
f(t)
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
t, мкс
40
50
60
Рис. 134
Рис. 135
Рис. 136
Приведем
краткое
описание
эксперимента.
Нагружение
балки-образца
осуществлялось в системе «нагружающий стержень – опорная трубка». Схема
представлена на рис. 137.
Рис. 137
101
Мерные трубка и стержень были изготовлены из алюминиевого сплава Д16.
Физические и геометрические характеристики экспериментальной установки приведены в
таблице 44. Фотография экспериментальной установки дана на рис. 138.
Рис. 138
Таблица 44.
Внешний диаметр опорной трубки
48
мм
Толщина стенки
1,5
мм
Внутренний диаметр трубки
45
мм
Диаметр нагружающего стержня
20
мм
Площадь
сечения
нагружающего
стержня, S i
314,1593 мм2
Площадь сечения опорной трубки, S t
219,1261 мм2
Модуль Юнга, E
74000
МПа
Стержневая скорость звука, c
5150
м/c
Перемещения точек опоры образца и действующие на образец силы можно
определить, используя формулы Кольского. Сила F1 , действующая на балку со стороны
нагружающего стержня, сила F2 , возникающая в опорной трубке при изгибе балки, и
прогиб балки определяются по импульсам деформации следующим образом:
F1 (t )  ES i ( I (t )   R (t )),
F2 (t )  ES t  T (t ),
t
U (t )   c( I ( )   R ( )   T ( ))d ,
0
где  I ,  R
 T – падающий, отраженный и прошедший импульсы деформации,
соответственно.
Сравнение полученных ГЭ-решений прогиба балки с экспериментальным
данными дано на рис. 139. Сравнения с КЭ-решениями из ANSYS и «Динамика-3»
представлены на рис. 140, 141, соответственно.
102
8
x 10
-4
u1, м
6
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
4
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
2
∆ – эксперимент
0
-2
0
1
2
3
4
t, c
5
6
7
-5
x 10
Рис. 139
8
x 10
-4
u1, м
6
○ – ГЭ-решение на сетке «б»
4
□ – КЭ-решение из ANSYS
2
∆ – эксперимент
0
-2
0
1
2
3
4
t, c
5
6
7
-5
x 10
Рис. 140
8
x 10
-4
u1, м
6
○ – ГЭ-решение на сетке «б»
4
□ – КЭ-решение из «Динамика-3»
2
∆ – эксперимент
0
-2
0
1
2
3
4
t, c
5
6
7
-5
x 10
Рис. 141
103
Приведено гранично-элементное моделирование динамического испытания на
изгиб композитной балки. Продемонстрирована хорошая согласованность полученных на
двух различных сетках ГЭ-решений и результатов эксперимента. Кроме того дано
сравнение результатов с решениями, полученными в программных комплексах
конечно-элементного моделирования.
3.2. Анизотропные электроупругие задачи
3.2.1. Равновесие однородного электроупругого Г-образного тела под
действием разности потенциалов, приложенных к торцам [34, 121]
Рассматривается статическая электроупругая задача о действии разности
потенциалов, приложенных к однородному телу (рис. 142). На нижнем торце x3  0 м
~
тело жестко закреплено и к нему приложен электрический потенциал 1  0 В . На правом
~
торце x1  0.1 м приложен электрический потенциал 2  100 кВ . Остальная поверхность
тела является свободной от поверхностных усилий и поверхностной плотности заряда.
Задача рассматривалась для трансверсально изотропного материала – цирконата-титаната
свинца (ЦТС) PZT со следующими параметрами [121]:
0
0
0 
107.6 63.1 61.9
0
0
0 
 63.1 107.6 61.9
61
.
9
61
.
9
100
.
4
0
0
0  ГПа

C
0
0
19.6 0
0 
 0
 0
0
0
0 19.6
0 
0
0
0
0
22.2
 0
0
0
0 12.0 0
 0
e 0
0
0 12.0 0 0 Кл м 2
0 0
 9.6  9.6 15.1 0
0
0
1.7141344

8
~
ε
0
1.7141344
0
  10 Кл Вм
0
0
1.8673086

Рис. 142
Расчеты проводились на двух ГЭ-сетках, сведения о которых представлены в
таблице 45. Сетка «а» изображена на рис. 143, сетка «б» – на рис. 144.
104
Таблица 45.
Маркер ГЭ-сетки Количество элементов
«а»
350
«б»
1400
Рис. 144
Рис. 143
Исследовался отклик перемещений u3 и электрического потенциала  в точках
вдоль линии 0.05, 0, x3  м. Сравнение полученных решений с ГЭ-решениями из [121]
приведено на рис. 145 для u3 и на рис. 146 для  . На рис. 147, 148 представлены
трехмерные полутоновые визуализации распределения поля перемещений
u1
и
электрического потенциала  , соответственно.
0
x 10
-5
u3, м
-0.5
-1
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
-1.5
∆ – ГЭ-решение из [121]
-2
-2.5
0
0.02
0.04
x3, м
0.06
0.08
0.1
105
Рис. 145
7
x 10
4
6
, В
5
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
4
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
3
∆ – ГЭ-решение из [121]
2
1
0
0
0.02
0.04
x3, м
0.06
0.08
0.1
Рис. 146
x 10
4
-6
x 10
10
4
3
8
2
1
6
0
-1
4
-2
2
-3
-4
0
Рис. 147
Рис. 148
Приведены отклики перемещений и электрического потенциала. Проведено
сравнение полученных ГЭ-решений с ГЭ-решениями других авторов. Представлены
трехмерные
полутоновые
визуализации
распределения
полей
перемещений
и
электрического потенциала.
3.2.2. Равновесие призматического электроупругого тела, под действием
равномерно распределенной вертикальной нагрузки и/или поверхностной
плотности заряда [39, 148]
Рассмотрим гранично-элементное решение статической задачи электроупругости,
когда призматическое тело подвергнуто действию равномерно распределенной
механической, электрической или смешанной нагрузок. У единичного электроупругого
106
куба на нижнем торце x3  0.5 м задана скользящая заделка – u3  0 м,   0 В. В
первом варианте нагружения к верхнему торцу x3  0.5 м приложена равномерно
распределённая растягивающая нагрузка ~
t3  P  1108 Па, q  0 Кл м 2 (рис. 149).
Остальная поверхность тела является свободной – на ней заданы поверхностные усилия
ti  0 Па (i  1,3) и поверхностная плотность заряда q  0 Кл м .
2
Рис. 149
В
качестве
материала
рассматриваются
два
трансверсально
изотропных
пьезокерамика – цирконат-титанат свинца PZT-4, со следующими параметрами [117]:
0
0
0 
 126 77.8 74.3
0
0
0 
77.8 126 74.3

74
.
3
74
.
3
115
0
0
0  ГПа
C
0
0
0
25.6
0
0 
 0
0
0
0
25.6
0 
 0
0
0
0
0
24.1
0
0
0 12.7 0
 0
e 0
0
0 12.7
0
0 Кл м 2
 5.2  5.2 15.1 0
0
0
0
0 
6.46
~
ε 0
6.46
0   10 9 Кл Вм
 0
0
5.62
и цирконат-титанат свинца PZT-5H, со следующими параметрами [117]:
0
0
0 
126 55 53
0
0
0 
 55 126 53

53
53
117
0
0
0  ГПа
C
0
0
0 35.3 0
0 
 0
0
0
0
35.3 0 
 0
0
0
0
0
35.5
0
0
0 17.0
 0
e 0
0
0 17.0 0
 6.5  6.5 23.3 0
0
0 
15.1 0
~
ε   0 15.1 0  10 9 Кл
 0
0 13.0
0
0 Кл м 2
0
Вм
107
Ось трансверсальной изотропии материалов совпадает с осью x3 используемой
декартовой системы координат. В силу симметрии задачи гранично-элементная сетка
строится с учетом двух плоскостей симметрии. Расчеты проводились с использованием
ГЭ-сеток с различной степенью дискретизации. Сведения о них представлены в
таблице 46. Сетка «а» изображена на рис. 150, сетка «б» на рис. 151, сетка «в» на рис. 152.
Таблица 46.
Маркер ГЭ-сетки Количество элементов Количество узлов
Рис. 150
«а»
40
42
«б»
160
162
«в»
640
642
Рис. 151
Рис. 152
Рассматривались гранично-элементные решения задачи в точках A (0.5, 0, 0)м,
B (-0.25, 0.5, 0.25)м и O (0, 0, 0)м. Статические фундаментальные решения строились
двумя способами: с помощью интерполяции на сетке 800 800 , значения функций Грина
и её производных в узлах интерполяции вычислялись по интегральному методу с
порядком квадратуры Гаусса равным 48; по аналитическим формулам для трансверсально
изотропных материалов. Для задачи существует аналитическое решение [148], которое
используется для сравнения с полученными ГЭ-решениями. В таблицах 47-49 приведено
сравнение полученных гранично-элементных решений задачи для материала PZT-4 с
численными и аналитическими результатами из [148] для точек A, B и O, соответственно.
Для PZT-5H результаты приведены в таблицах 50-52.
108
Таблица 47
Точка A
ГЭ-решения для материала PZT-4
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
-1.1639037E+00
аналитические -1.1591069E+00
-1.1613906E+00
-1.1624939E+00
ГЭ-решение
-1.1639037E+00
интерполяция -1.1590851E+00
-1.1613693E+00
-1.1624687E+00
4.1131920E-13
-6.9204286E-12
1.3768851E-08
u 2 10 4 м
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
ГЭ-решение
-1.5200000E-10
интерполяция -3.4477629E-13
5.3614475E-12
-2.1838430E-08
аналитика
4.1171126E+00
аналитические 4.1178194E+00
4.1172141E+00
4.1168394E+00
ГЭ-решение
4.1171110E+00
интерполяция 4.1178575E+00
4.1172512E+00
4.1168760E+00
аналитика
1.3211135E+01
аналитические 1.3201303E+01
1.3206991E+01
1.3210088E+01
ГЭ-решение
1.3211150E+01
интерполяция 1.3201303E+01
1.3206993E+01
1.3210091E+01
u 3 10 4 м
  105 В
Таблица 48
Точка B
ГЭ-решения для материала PZT-4
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
5.8195180E-01
аналитические
5.8174514E-01
5.8171949E-01
5.8173294E-01
ГЭ-решение
5.8195140E-01
интерполяция
5.8173736E-01
5.8171245E-01
5.8172325E-01
аналитика
-1.1639040E+00
аналитические
-1.1579946E+00
-1.1610562E+00
-1.1623386E+00
ГЭ-решение
-1.1639030E+00
интерполяция
-1.1579846E+00
-1.1610437E+00
-1.1623276E+00
аналитика
6.1756690E+00
аналитические
6.1769468E+00
6.1759006E+00
6.1753098E+00
ГЭ-решение
6.1756680E+00
интерполяция
6.1769987E+00
6.1759521E+00
6.1753619E+00
аналитика
1.9816700E+01
аналитические
1.9801571E+01
1.9810534E+01
1.9815174E+01
ГЭ-решение
1.9816720E+01
интерполяция
1.9801581E+01
1.9810547E+01
1.9815184E+01
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
109
Таблица 49
Точка O
ГЭ-решения для материала PZT-4
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
-2.0070855E-12
-4.5451019E-11
-2.0526265E-07
ГЭ-решение
1.1500000E-10
интерполяция
-5.2147790E-07
-5.4560863E-07
1.3005616E-07
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
-3.9628348E-12
-2.8701262E-10
2.3093108E-07
ГЭ-решение
-1.9400000E-10
интерполяция
-1.9792163E-12
-2.9798138E-10
1.5907924E-07
аналитика
4.1171126E+00
аналитические
4.1179638E+00
4.1172736E+00
4.1168675E+00
ГЭ-решение
4.1171110E+00
интерполяция
4.1180026E+00
4.1173121E+00
4.1169048E+00
аналитика
1.3211135E+01
аналитические
1.3201601E+01
1.3207173E+01
1.3210183E+01
ГЭ-решение
1.3211150E+01
интерполяция
1.3201602E+01
1.3207177E+01
1.3210187E+01
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
Таблица 50
Точка A
ГЭ-решения для материала PZT-5H
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
-7.8468960E-01
аналитические
-7.8336563E-01
-7.8404994E-01
-7.8436806E-01
ГЭ-решение
-7.8468870E-01
интерполяция
-7.8334961E-01
-7.8403405E-01
-7.8434855E-01
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
1.3000094E-16
-7.8946520E-12
3.7657884E-09
ГЭ-решение
2.2600000E-10
интерполяция
-4.9167472E-17
3.4744783E-12
4.2239880E-09
аналитика
3.5581449E+00
аналитические
3.5587017E+00
3.5584557E+00
3.5583073E+00
ГЭ-решение
3.5581440E+00
интерполяция
3.5587335E+00
3.5584865E+00
3.5583373E+00
аналитика
7.1619801E+00
аналитические
7.1605641E+00
7.1612158E+00
7.1615823E+00
ГЭ-решение
7.1619880E+00
интерполяция
7.1605723E+00
7.1612248E+00
7.1615918E+00
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
110
Таблица 51
Точка B
ГЭ-решения для материала PZT-5H
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
3.9234478E-01
аналитические
3.9215415E-01
3.9224933E-01
3.9228654E-01
ГЭ-решение
3.9234440E-01
интерполяция
3.9214689E-01
3.9224302E-01
3.9228391E-01
аналитика
-7.8468910E-01
аналитические
-7.8292159E-01
-7.8391194E-01
-7.8431013E-01
ГЭ-решение
-7.8468960E-01
интерполяция
-7.8291081E-01
-7.8389990E-01
-7.8429801E-01
аналитика
5.3372174E+00
аналитические
5.3380636E+00
5.3376617E+00
5.3374588E+00
ГЭ-решение
5.3372170E+00
интерполяция
5.3381046E+00
5.3377023E+00
5.3374906E+00
аналитика
1.0742970E+01
аналитические
1.0740724E+01
1.0741832E+01
1.0742382E+01
ГЭ-решение
1.0742990E+01
интерполяция
1.0740740E+01
1.0741849E+01
1.0742398E+01
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
Таблица 52
Точка O
ГЭ-решения для материала PZT-5H
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
-1.2133337E-12
-1.6897399E-10
-2.2203125E-07
ГЭ-решение
-3.5600000E-10
интерполяция
-3.4724579E-07
-3.8201104E-07
-1.5447034E-07
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
-7.9801537E-13
1.3429287E-10
3.4096157E-07
ГЭ-решение
1.8100000E-10
интерполяция
1.4525675E-12
5.9706539E-11
2.5101607E-08
аналитика
3.5581449E+00
аналитические
3.5588555E+00
3.5585177E+00
3.5583352E+00
ГЭ-решение
3.5581430E+00
интерполяция
3.5588885E+00
3.5585504E+00
3.5583670E+00
аналитика
7.1619800E+00
аналитические
7.1606798E+00
7.1612771E+00
7.1616119E+00
ГЭ-решение
7.1619900E+00
интерполяция
7.1606890E+00
7.1612874E+00
7.1616227E+00
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
111
На рис. 153, 154 представлены относительные погрешности для величин
перемещений и электрического потенциала в точке B, в зависимости от количества
граничных элементов на ГЭ-сетке. Сравнение проводилось с аналитическими решениями
из [148]. Максимальная относительная погрешность составила не многим более 0.5% на
Относительная погрешность, %
ГЭ-сетке с наименьшим числом элементов.
0,5
0,4
○ – перемещения u1 в т. B
0,3
□ – перемещения u2 в т. B
0,2
∆ – перемещения u3 в т. B
* – электрический потенциал  в
0,1
т. B
0
0 40
160
Количество граничных элементов
640
Относительная погрешность, %
Рис. 153 Относительные погрешности для материала PZT-4
0,2
○ – перемещения u1 в т. B
0,15
□ – перемещения u2 в т. B
0,1
∆ – перемещения u3 в т. B
* – электрический потенциал  в
0,05
т. B
0
0 40
160
Количество граничных элементов
640
Рис. 154 Относительные погрешности для материала PZT-5H
Рассмотрим вариант задачи, когда на верхнем торце тела задана поверхностная
плотность
заряда
q~  Q  1102 Кл м 2 ,
ti  0 Па, i  1,3 .
Сравнение
полученных
ГЭ-решений с численными и аналитическими результатами из [148] приведены в
таблицах 53-55 для PZT-4 и в таблицах 56-58 для PZT-5H.
112
Таблица 53
Точка A
ГЭ-решения для материала PZT-4
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
-5.9017200E-01
аналитические
-5.9037772E-01
-5.9032447E-01
-5.9029812E-01
ГЭ-решение
-5.9017260E-01
интерполяция
-5.9039229E-01
-5.9033883E-01
-5.9031150E-01
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
-3.6429193E-13
-9.9580581E-13
1.3161432E-10
ГЭ-решение
-3.7700000E-11
интерполяция
2.6556177E-13
-5.4962274E-13
-1.1690656E-08
аналитика
1.3211135E+00
аналитические
1.3214489E+00
1.3213918E+00
1.3213644E+00
ГЭ-решение
1.3211140E+00
интерполяция
1.3214457E+00
1.3213888E+00
1.3213614E+00
аналитика
-4.2535390E+00
аналитические
-4.2545040E+00 -4.2543786E+00
-4.2543189E+00
ГЭ-решение
-4.2535410E+00
интерполяция
-4.2545013E+00
-4.2543167E+00
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
-4.2543757E+00
Таблица 54
Точка B
ГЭ-решения для материала PZT-4
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
2.9508620E-01
аналитические
2.9518055E-01
2.9515820E-01
2.9514685E-01
ГЭ-решение
2.9508630E-01
интерполяция
2.9518960E-01
2.9516708E-01
2.9515420E-01
аналитика
-5.9017200E-01
аналитические
-5.9043051E-01
-5.9034137E-01
-5.9030602E-01
ГЭ-решение
-5.9017250E-01
интерполяция
-5.9043979E-01
-5.9035069E-01
-5.9031503E-01
аналитика
1.9816702E+00
аналитические
1.9822079E+00
1.9821107E+00
1.9820594E+00
ГЭ-решение
1.9816700E+00
интерполяция
1.9822042E+00
1.9821070E+00
1.9820555E+00
аналитика
-6.3803080E+00
аналитические
-6.3817454E+00
-6.3815753E+00
-6.3814825E+00
ГЭ-решение
-6.3803120E+00
интерполяция
-6.3817410E+00
-6.3815713E+00
-6.3814784E+00
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
113
Таблица 55
Точка O
ГЭ-решения для материала PZT-4
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
-1.1849759E-12
1.6420559E-11
-1.3566133E-08
ГЭ-решение
-8.6200000E-11
интерполяция
-3.9672764E-07
-1.5372753E-07
-1.0721597E-06
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
1.7319174E-12
7.1084309E-11
2.0028136E-09
ГЭ-решение
-1.1900000E-10
интерполяция
-4.5265871E-13
-2.8022950E-11
3.3125025E-08
аналитика
1.3211135E+00
аналитические
1.3214349E+00
1.3213846E+00
1.3213604E+00
ГЭ-решение
1.3211140E+00
интерполяция
1.3214319E+00
1.3213818E+00
1.3213577E+00
аналитика
-4.2535390E+00
аналитические
-4.2545450E+00
-4.2544000E+00
-4.2543297E+00
ГЭ-решение
-4.2535410E+00
интерполяция
-4.2545422E+00
-4.2543969E+00
-4.2543271E+00
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
Таблица 56
Точка A
ГЭ-решения для материала PZT-5H
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
-2.9127900E-01
аналитические
-2.9133737E-01
-2.9130731E-01
-2.9129278E-01
ГЭ-решение
-2.9127900E-01
интерполяция
-2.9134496E-01
-2.9131490E-01
-2.9130006E-01
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
6.1702006E-17
8.7863575E-13
6.0599318E-10
ГЭ-решение
2.1600000E-10
интерполяция
1.0370237E-16
-2.3743011E-12
-3.4436282E-09
аналитика
7.1619800E-01
аналитические
7.1626139E-01
7.1622886E-01
7.1621312E-01
ГЭ-решение
7.1619820E-01
интерполяция
7.1626067E-01
7.1622822E-01
7.1621254E-01
аналитика
-2.2712280E+00
аналитические
-2.2714011E+00
-2.2713137E+00
-2.2712702E+00
ГЭ-решение
-2.2712290E+00
интерполяция
-2.2714052E+00 -2.2713177E+00
-2.2712745E+00
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
114
Таблица 57
Точка B
ГЭ-решения для материала PZT-5H
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
1.4563940E-01
аналитические
1.4566786E-01
1.4565319E-01
1.4564665E-01
ГЭ-решение
1.4563950E-01
интерполяция
1.4567237E-01
1.4565764E-01
1.4565154E-01
аналитика
-2.9127900E-01
аналитические
-2.9136695E-01
-2.9131754E-01
-2.9129707E-01
ГЭ-решение
-2.9127900E-01
интерполяция
-2.9137254E-01
-2.9132313E-01
-2.9130280E-01
аналитика
1.0742970E+00
аналитические
1.0744074E+00
1.0743545E+00
1.0743255E+00
ГЭ-решение
1.0742970E+00
интерполяция
1.0744067E+00
1.0743539E+00
1.0743261E+00
аналитика
-3.4068420E+00
аналитические
-3.4071016E+00
-3.4069749E+00
-3.4069078E+00
ГЭ-решение
-3.4068440E+00
интерполяция
-3.4071075E+00
-3.4069811E+00
-3.4069141E+00
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
Таблица 58
Точка O
ГЭ-решения для материала PZT-5H
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
8.8731106E-12
1.7775088E-11
3.2103030E-08
ГЭ-решение
1.3900000E-09
интерполяция
-1.8341758E-07
-7.1112849E-08
-4.5956516E-07
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
-2.6663394E-12
6.6973184E-11
-7.1552314E-08
ГЭ-решение
1.5300000E-10
интерполяция
-6.3104813E-12
9.5392867E-11
-4.0716801E-09
аналитика
7.1619800E-01
аналитические
7.1625347E-01
7.1622468E-01
7.1621093E-01
ГЭ-решение
7.1619830E-01
интерполяция
7.1625286E-01
7.1622413E-01
7.1621037E-01
аналитика
-2.2712280E+00
аналитические
-2.2714223E+00
-2.2713234E+00
-2.2712748E+00
ГЭ-решение
-2.2712290E+00
интерполяция
-2.2714263E+00
-2.2713274E+00
-2.2712792E+00
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
115
Относительные погрешности величин перемещений и электрического потенциала
в точке B, в зависимости от количества граничных элементов на ГЭ-сетке отображены на
рис. 155, 156. Сравнение проводилось с аналитическими решениями из [148].
Максимальная относительная погрешность в случае электрической нагрузки получилась
на порядок меньше чем в случае механической, и составила чуть более 0.045%.
Относительная погрешность, %
0.05
0.045
0.04
○ – перемещения u1 в т. B
0.035
□ – перемещения u2 в т. B
0.03
∆ – перемещения u3 в т. B
* – электрический потенциал  в
0.025
т. B
0.02
0.015
0 40
160
Количество граничных элементов
640
Рис. 155 Относительные погрешности для материала PZT-4
Относительная погрешность, %
0.035
0.03
0.025
○ – перемещения u1
0.02
□ – перемещения u2
0.015
∆ – перемещения u3
* – электрический потенциал  в
0.01
т. B
0.005
0
0 40
160
Количество граничных элементов
640
Рис. 156 Относительные погрешности для материала PZT-5H
Рассмотрим случай смешанной нагрузки. На верхнем торце тела одновременно
~
заданы растягивающая нагрузка t3  P  1  108 Па и поверхностная плотность заряда
q~  Q  1  10 2 Кл м 2 .
Полученные
ГЭ-решения
в
сравнении
с
численными
и
аналитическими результатами из [148] приведены в таблицах 59-61 для PZT-4 и в
таблицах 62-64 для PZT-5H.
116
Таблица 59
Точка A
ГЭ-решения для материала PZT-4
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
-1.7540760E+00
аналитические
-1.7494846E+00
-1.7517150E+00
-1.7527920E+00
ГЭ-решение
-1.7540750E+00
интерполяция
-1.7494774E+00
-1.7517081E+00
-1.7527802E+00
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
-2.9652929E-13
-4.8883965E-12
1.7736081E-09
ГЭ-решение
-1.9000000E-10
интерполяция
-2.5478751E-14
-1.1716160E-12
1.9789881E-08
аналитика
5.4382261E+00
аналитические
5.4392683E+00
5.4386059E+00
5.4382038E+00
ГЭ-решение
5.4382250E+00
интерполяция
5.4393032E+00
5.4386400E+00
5.4382374E+00
аналитика
8.9575961E+00
аналитические
8.9467994E+00
8.9526128E+00
8.9557695E+00
ГЭ-решение
8.9576040E+00
интерполяция
8.9468012E+00
8.9526177E+00
8.9557743E+00
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
Таблица 60
Точка B
ГЭ-решения для материала PZT-4
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
8.7703800E-01
аналитические
8.7692569E-01
8.7687768E-01
8.7687722E-01
ГЭ-решение
8.7703760E-01
интерполяция
8.7692696E-01
8.7687952E-01
8.7687751E-01
аналитика
-1.7540760E+00
аналитические
-1.7484251E+00
-1.7513976E+00
-1.7526459E+00
ГЭ-решение
-1.7540760E+00
интерполяция
-1.7484244E+00
-1.7513944E+00
-1.7526408E+00
аналитика
8.1573391E+00
аналитические
8.1591546E+00
8.1580113E+00
8.1573719E+00
ГЭ-решение
8.1573380E+00
интерполяция
8.1592029E+00
8.1580591E+00
8.1574196E+00
аналитика
1.3436394E+01
аналитические
1.3419826E+01
1.3428959E+01
1.3433692E+01
ГЭ-решение
1.3436410E+01
интерполяция
1.3419840E+01
1.3428976E+01
1.3433705E+01
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
117
Таблица 61
Точка O
ГЭ-решения для материала PZT-4
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
-3.6387242E-12
-1.1919054E-10
6.1861167E-08
ГЭ-решение
-2.0100000E-10
интерполяция
-9.1820252E-07
-6.9960285E-07
-1.0897960E-06
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
1.9429199E-13
1.2919807E-10
1.1543232E-08
ГЭ-решение
-3.1200000E-10
интерполяция
-3.3286382E-12
2.4878001E-11
4.2445045E-08
аналитика
5.4382261E+00
аналитические
5.4393987E+00
5.4386582E+00
5.4382279E+00
ГЭ-решение
5.4382250E+00
интерполяция
5.4394345E+00
5.4386939E+00
5.4382626E+00
аналитика
8.9575961E+00
аналитические
8.9470562E+00
8.9527727E+00
8.9558530E+00
ГЭ-решение
8.9576060E+00
интерполяция
8.9470599E+00
8.9527803E+00
8.9558599E+00
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
Таблица 62
Точка A
ГЭ-решения для материала PZT-5H
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
-1.0759680E+00
аналитические
-1.0747030E+00
-1.0753573E+00
-1.0756608E+00
ГЭ-решение
-1.0759680E+00
интерполяция
-1.0746946E+00
-1.0753489E+00
-1.0756486E+00
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
1.9170294E-16
-4.3009453E-12
-3.2476479E-09
ГЭ-решение
4.2700000E-10
интерполяция
5.4534895E-17
5.1586848E-12
2.3226815E-09
аналитика
4.2743429E+00
аналитические
4.2749631E+00
4.2746845E+00
4.2745204E+00
ГЭ-решение
4.2743420E+00
интерполяция
4.2749941E+00
4.2747147E+00
4.2745499E+00
аналитика
4.8907523E+00
аналитические
4.8891630E+00
4.8899021E+00
4.8903121E+00
ГЭ-решение
4.8907590E+00
интерполяция
4.8891672E+00
4.8899071E+00
4.8903173E+00
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
118
Таблица 63
Точка B
ГЭ-решения для материала PZT-5H
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
5.3798420E-01
аналитические
5.3782201E-01
5.3790252E-01
5.3793579E-01
ГЭ-решение
5.3798390E-01
интерполяция
5.3781926E-01
5.3790067E-01
5.3793519E-01
аналитика
-1.0759680E+00
аналитические
-1.0742885E+00
-1.0752295E+00
-1.0756041E+00
ГЭ-решение
-1.0759680E+00
интерполяция
-1.0742834E+00
-1.0752230E+00
-1.0756019E+00
аналитика
6.4115144E+00
аналитические
6.4124710E+00
6.4120162E+00
6.4117846E+00
ГЭ-решение
6.4115140E+00
интерполяция
6.4125114E+00
6.4120562E+00
6.4118213E+00
аналитика
7.3361285E+00
аналитические
7.3336226E+00
7.3348570E+00
7.3354741E+00
ГЭ-решение
7.3361420E+00
интерполяция
7.3336325E+00
7.3348680E+00
7.3354837E+00
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
Таблица 64
Точка O
ГЭ-решения для материала PZT-5H
Результаты из
[148]
Функции Грина
Сетка «а»
Сетка «б»
Сетка «в»
u1 10 4 м
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
-8.3114939E-12
-1.5031650E-10
-4.5302942E-08
ГЭ-решение
1.0200000E-09
интерполяция
-5.3067031E-07
-4.5331959E-07
-5.8604689E-07
аналитика
0.0000000E+00
аналитические
-3.0485615E-12
-7.2461026E-11
5.5718696E-08
ГЭ-решение
3.3400000E-10
интерполяция
2.5280577E-12
3.7357568E-10
-2.6843606E-08
аналитика
4.2743429E+00
аналитические
4.2751090E+00
4.2747424E+00
4.2745461E+00
ГЭ-решение
4.2743420E+00
интерполяция
4.2751414E+00
4.2747745E+00
4.2745774E+00
аналитика
4.8907523E+00
аналитические
4.8892576E+00
4.8899537E+00
4.8903371E+00
ГЭ-решение
4.8907600E+00
интерполяция
4.8892627E+00
4.8899600E+00
4.8903435E+00
u 2 10 4 м
u 3 10 4 м
  105 В
119
В силу линейности задачи результаты, полученные при смешанной нагрузке,
являются суперпозицией значений, полученных отдельно при механической и
электрической нагрузках. Зависимости относительных погрешностей от количества
граничных элементов изображены на рис. 157, 158 для PZT-4 и PZT-5H, соответственно.
Максимальная относительная погрешность в случае смешанной нагрузки составила
0.323%.
Относительная погрешность, %
0,4
0,3
○ – перемещения u1 в т. B
□ – перемещения u2 в т. B
0,2
∆ – перемещения u3 в т. B
* – электрический потенциал  в
0,1
т. B
0
0 40
160
Количество граничных элементов
640
Рис. 157 Относительные погрешности для материала PZT-4
Относительная погрешность, %
0.2
0.15
○ – перемещения u1 в т. B
□ – перемещения u2 в т. B
0.1
∆ – перемещения u3 в т. B
* – электрический потенциал  в
0.05
т. B
0
0 40
160
Количество граничных элементов
640
Рис. 158 Относительные погрешности для материала PZT-5H
В таблицах 65, 66 приведены полутоновые визуализации полей абсолютных
перемещений ua  u12  u22  u33 и электрического потенциала  соответственно.
120
Таблица 65
Абсолютные перемещения ua  u12  u22  u33 , м
Тип нагрузки
PZT-4
PZT-5H
Механическая
Электрическая
Смешанная
121
Таблица 66
Электрический потенциал  , В
Тип нагрузки
PZT-4
PZT-5H
Механическая
Электрическая
Смешанная
122
Рассмотрим решение задачи, когда материал PZT-4 повернут относительно
рабочей системы координат на 18 вокруг оси x3, затем на 35.25 вокруг оси x1 и на 67
вокруг оси x2. В таком случае материал становится полностью анизотропным со
следующими параметрами [148]:
72.8
74.9
 1.68
1.48
2.67 
 122
125
75.9
 0.712 1.64
1.66 
 72.8
75.9
126
 0.276 0.361
1.96  ГПа
C   74.9
 1.68  0.712  0.276
24.4
 0.208 0.441 
 1.48
1.64
0.361  0.208
24.5
 0.766
 2.67
1.66
1.96
0.441  0.766
23.6 
4.30
  13.0 5.19
e   4.66 10.7  3.30
 2.58  2.20 6.28
0.365
 5.99
~ε  0.365
6.18
0.202  0.155
0.706 3.13
5.67 
3.51 0.706  8.27 Кл м 2
7.03  9.16 0.706 
0.202 
 0.155 10 9 Кл Вм
6.38 
Нижний торец тела жестко закреплен и на нем задан нулевой электрический потенциал.
Боковые поверхности свободны от усилий и поверхностной плотности заряда. На верхнем
торце приложена нагрузка ~
t  P  1108 Па, q  0 Кл м 2 . На рис. 159 дана полутоновая
3
визуализация распределения поля абсолютных перемещений, на рис. 160 – электрического
потенциала. В силу полной анизотропии используемого материала, перемещения и
электрический потенциал в направлении действии нагрузки не являются линейными.
5
x 10
-4
x 10
14
12
12
0.5
0.5
10
10
x
3
8
0
x
3
8
0
6
4
6
-0.5
-0.5
4
-0.5
0
0
x2
0.5 0.5
Рис. 159
2
x1
0
-0.5
-0.5
2
-0.5
x2
0
0
0.5 0.5
x1
0
-2
Рис. 160
123
3.2.3. Задача о действии нагрузки на дневную поверхность электроупругого
полупространства [130].
Рассмотрим гранично-элементные решения статической начально-краевой задачи
[130] о действии равномерно распределённой вертикальной нагрузки ~
t3  P  121  10 9 Па
на часть дневной поверхности электроупругого полупространства (рис. 161). Дневная
поверхность является свободной – на ней заданы поверхностные усилия ti  0 Па (i  1,3) и
поверхностная
плотность
заряда
q  0 Кл м ,
2
кроме
нагружаемого
участка,
ограниченного окружностью радиусом r  a  1 м с центром в начале координат.
Рис. 161
В качестве материала взят трансверсально изотропный цирконат-титанат свинца –
пьезокерамик PZT5A со следующими параметрами [130]:
0
0
0 
 121 75.4 75.2
0
0
0 
75.4 121 75.2

75
.
2
75
.
2
111
0
0
0  ГПа
C
0
0
0
21.1 0
0 
 0
0
0
0
21.1 0 
 0
0
0
0
0
22.8
0
0
0 12.3 0
 0
e 0
0
0 12.3 0 0 Кл м 2
0 0
 5.4  5.4 15.8 0
0 
8.11 0
~ε   0 8.11 0  10 9 Кл Вм
 0
0 7.35
124
Исследовались отклики некоторых компонент вектора обобщенных перемещений
и вектора напряжений, вычисленные по формуле Сомильяны, во внутренних точках
полупространства A (1, 0, -2)м, B (2, 0, -2)м, C (3, 0, -2)м, E (4, 0, -2)м, расположенных на
глубине x3  2 м вдоль оси x1 . Гранично-элементная сетка строится с учетом одной
плоскости симметрии. Половина расчетной сетки содержит 696 элементов и 741 узел (рис.
162).
Рис. 162
В таблице 67 приведены полученные ГЭ-решения для нормализованных
поверхностных усилий t3 P , в таблице 68 – поверхностной плотности заряда qc11 e33P в
сравнении с ГЭ-, КЭ- и аналитическими решениями из [130].
Таблица 67.
t3 P
Точка
ГЭ-решение
Аналитическое
ГЭ-решение из
КЭ-решение из
решение из [1]
[1]
[1]
A
-2.3099E-01
-2.3045E-01
-2.3368E-01
-2.2545E-01
B
-1.6390E-01
-1.6975E-01
-1.7216E-01
-1.7119E-01
C
-7.5520E-02
-7.476E-02
-7.421E-02
-7.043E-02
E
-2.2730E-02
-2.606E-02
-2.513E-02
-2.648E-02
Таблица 68.
qc11 e33 P
Точка
ГЭ-решение
Аналитическое
ГЭ-решение из
КЭ-решение из
решение из [1]
[1]
[1]
A
-3.0169E-01
-3.0209E-01
-3.0365E-01
-2.9437E-01
B
-2.0155E-01
-2.1182E-01
-2.1284E-01
-2.0959E-01
C
-7.3851E-02
-7.384E-02
-7.364E-02
-7.821E-02
E
-1.1517E-02
-1.019E-02
-9.84E-03
-9.7E-03
125
На
рис.
163-165
представлены
сравнения
ГЭ-решений
для
откликов
перемещений u1 , u3 и электрического потенциала  в узлах вдоль оси x1 на дневной
поверхности и величин откликов u1 , u3 и  , вычисленных по формуле Сомильяны, для
узлов расположенных вдоль оси x1 на глубине d  2 м от дневной поверхности.
── – ГЭ-решение на дневной
поверхности
- - - – Решение внутри
полупространства
Рис. 163
── – ГЭ-решение на дневной
поверхности
- - - – Решение внутри
полупространства
Рис. 164
126
── – ГЭ-решение на дневной
поверхности
- - - – Решение внутри
полупространства
Рис. 165
Отметим, что нормализованные перемещения u3 и электрический потенциал 
имеют идентичную форму отклика.
Рассмотрим вариант задачи когда исследуемые точки расположены на глубине
d  1 м от дневной поверхности. Гранично-элементная сетка строится с учетом двух
плоскостей симметрии. Четверть расчетной сетки содержит 348 элементов и 387
узлов (рис. 166). На рис. 167-170 продемонстрировано сравнение полученных по формуле
Сомильяны решений для нормализованных перемещений u3c11 aP , электрического
потенциала 10e33 aP , поверхностной плотности заряда  qc11 e33 P и напряжений  t3 P
для
точек
с
координатами
x1 a  [0,4], x2 a  0, x3 a  1
в
сравнении
с
соответствующими ГЭ- и КЭ-решениями из [130].
Рис. 166
127
1.6
1.4
u3c11/aP
1.2
○ – Решение внутри
1
полупространства
0.8
□ – ГЭ-решение из [130]
0.6
∆ – КЭ-решение из [130]
0.4
0.2
0
1
2
x1/a
3
4
Рис. 167
2.5
10e33/aP
2
○ – Решение внутри
1.5
полупространства
□ – ГЭ-решение из [130]
1
∆ – КЭ-решение из [130]
0.5
0
0
1
2
x1/a
3
4
Рис. 168
0.8
-qc11/e33P
0.6
0.4
○ – Решение внутри
полупространства
0.2
□ – ГЭ-решение из [130]
0
-0.2
0
1
2
x1/a
3
4
Рис. 169
128
0.7
0.6
-t3/P
0.5
○ – Решение внутри
0.4
полупространства
0.3
□ – ГЭ-решение из [130]
0.2
∆ – КЭ-решение из [130]
0.1
0
0
1
2
x1/a
3
4
Рис. 170
Рассмотрим вариант задачи, когда исследуемые точки расположены на оси x3 , а в
качестве нагрузки на части дневной поверхности задана поверхностная плотность заряда
q~  Q  15.8 Кл м 2
(рис. 171). Гранично-элементная сетка строится с учетом двух
плоскостей симметрии. Четверть расчетной сетки содержит 348 элементов и 387 узлов
(рис. 172). На рис. 173-175 продемонстрировано сравнение полученных по формуле
Сомильяны
величин
нормализованных
напряжений
и электрического потенциала
 10 tr e33 c11Q, tr  t12  t22 ,
2
 e33
c11aQ
перемещений
u3e33 aQ
для точек с
координатами
 x3 a  [0,4], x1 a  0, x2 a  0 , с соответствующими ГЭ-решениями
из [130].
Рис. 171
129
Рис. 172
0.5
-10tre33/c11Q
0.4
0.3
○ – Решение внутри
полупространства
0.2
□ – ГЭ-решение из [130]
0.1
0
0
1
2
x3/a
3
4
Рис. 173
130
0.35
0.3
u3e33/aQ
0.25
0.2
○ – Решение внутри
0.15
полупространства
□ – ГЭ-решение из [130]
0.1
0.05
0
0
1
2
x3/a
3
4
Рис. 174
0.2
○ – Решение внутри
0.1
полупространства
2
-e33/c11aQ
0.15
□ – ГЭ-решение из [130]
0.05
0
0
1
2
x3/a
3
4
Рис. 175
Решена задача о действии нормальной силы на часть дневной поверхности
электроупругого полупространства. Рассмотрено два различных случая расположения
исследуемых точек внутри полупространства. Решен вариант задачи, когда на части
дневной поверхности задана поверхностная плотность заряда.
Полученные решения
приведены в сравнении с результатами других авторов.
131
3.2.4. Контактная задача Герца для электроупругого полупространства [130]
Рассмотрим гранично-элементные решения статической начально-краевой задачи
~
о действии контактной нагрузки Герца F(r)  Q(r ),0, P(r ), где P( r )   p0 1  r 2 c 2 ,
p0  121  109 Па, Q(r )  fP (r ),
f  0.25, r  x12  x22 , на часть дневной поверхности
электроупругого полупространства (рис. 176). Дневная поверхность является свободной –
на ней заданы поверхностные усилия ti  0 Па (i  1,3) и поверхностная плотность заряда
q  0 Кл м . Нагружаемый участок ограничен окружностью радиусом c  1 м с центром в
2
начале координат.
Рис. 176
В качестве материала взят трансверсально изотропный цирконат-титанат свинца –
пьезокерамик PZT5A со следующими параметрами [130]:
0
0
0 
 121 75.4 75.2
0
0
0 
75.4 121 75.2
75
.
2
75
.
2
111
0
0
0  ГПа

C
0
0
21.1 0
0 
 0
 0
0
0
0
21.1 0 
0
0
0
0
22.8
 0
0
0
0 12.3 0
 0
e 0
0
0 12.3 0 0 Кл м 2
0 0
 5.4  5.4 15.8 0
0 
8.11 0
~
ε   0 8.11 0   10 9 Кл Вм
0 7.35
 0
Гранично-элементная сетка строится с учетом одной плоскости симметрии.
Половина расчетной сетки содержит 696 элементов и 741 узел (рис. 177).
132
Рис. 177
На рис. 178, 179 представлены полученные по формуле Сомильяны величины
откликов нормализованных напряжений t3 p0 и поверхностной плотности заряда
qc11 e33 p0 для точек с координатами x1 c  [4,1]  [1,4], x2 c  0, x3 c  2.
0
-0.02
t3/p0
-0.04
-0.06
── – Решение внутри
полупространства
-0.08
-0.1
-0.12
-0.14
-4
-2
-1
0
x1/c
1
2
4
Рис. 178
0.05
qc11/e33p0
0
-0.05
── – Решение внутри
полупространства
-0.1
-0.15
-0.2
-4
-2
-1
0
x1/c
1
2
4
Рис. 179
133
Рассмотрим
контактную
задачу
Герца
с
дефектом
–
электроупругое
полупространство ослаблено полостью, расположенной под площадкой нагружения
(рис. 280). Форма полости определяется следующим уравнением:
x12 x22 x3  d 


 1,
a2 a2
b2
2
где a  2b  c  1 м, d  2 м.
Рис. 180
Рис. 181
Гранично-элементная сетка строится с учетом одной плоскости симметрии.
Половина расчетной сетки содержит 1128 элементов (рис. 181).
На рис. 182, 183 приведены сравнения полученных по формуле Сомильяны
величин откликов нормализованных напряжений t3 p0 и поверхностной плотности
134
заряда qc11 e33 p0 для точек расположенных слева и справа от полости вдоль оси x1 при
x1 c  [4,1]  [1,4], x2 c  0, x3 c  2 с соответствующими ГЭ-решениями из [130].
0
t3/p0
-0.1
○ – Решение внутри
полупространства
-0.2
□ – ГЭ-решение из [130]
-0.3
-0.4
-4
-2
0
2
x1/c
4
Рис. 182
qc11/e33p0
0
-0.2
○ – Решение внутри
-0.4
полупространства
□ – ГЭ-решение из [130]
-0.6
-0.8
-4
-2
0
2
x1/c
4
Рис. 183
Для сравнения с контактной задачей без дефекта вводится коэффициент
возмущения [130]:
K h  
Концентрации напряжений
hс дефектом 
.
hбез дефекта 
t 3 p0
на левой и правой границах полости
составляют 0.27085 и 0.30456, тогда как коэффициенты возмущений K t3  – 2.66 и 2.48.
Дефект в виде полости приводит к большим возмущениям напряжений слева от полости,
хотя большая концентрация напряжений располагается справа от полости. Аналогичный
вывод о влияния полости можно сделать и для поверхностной плотности заряда.
Концентрации поверхностной плотности заряда qc11 e33 p0 на левой и правой границах
135
полости составляют 0.40127 и 0.47573, коэффициенты возмущений K q  – 3.51 и 2.93.
На рис. 184, 185 приведено сравнение полученных ГЭ-решений контактной задачи без
дефекта с соответствующими ГЭ-решениями контактной задачи с дефектом.
── – ГЭ-решение задачи
с дефектом
- - - – ГЭ-решение задачи без
дефекта
Рис. 184
── – ГЭ-решение задачи с дефектом
- - - – ГЭ-решение задачи без
дефекта
Рис. 185
Для исследования влияния электрических констант, рассмотрен вариант задачи с
дефектом, когда материал считается упругим. На рис. 186 дано сравнение ГЭ-решений для
нормализованных напряжений t3 p0 в электроупругом и упругом случае для точек
расположенных слева и справа от полости вдоль оси x1. Коэффициенты возмущений K t3 
на левой и правой границах полости в упругом случае составляют 2.76 и 2.55,
концентрации напряжений составляют 0.30599 и 0.34966. Можно сделать вывод, что
связанность механического и электрического полей приводит к падению на 11.48% и на
136
12.99% в концентрациях напряжений, и на 3.6% и на 2.7% в коэффициентах возмущений
на левой и правой границах полости, соответственно.
── – ГЭ-решение для
электроупругого материала
- - - – ГЭ-решение для
упругого материала
Рис. 186
На рис. 187 приведена трехмерная визуализация решения контактной задачи
Герца с дефектом для электроупругого полупространства. Для наглядности перемещения
умножены на безразмерный коэффициент равный 0.5.
Рис. 187
Решены два варианта контактной задачи Герца (с дефектом и без дефекта) для
электроупругого полупространства. Проведены сравнения полученных в обоих случаях
ГЭ-решений
для
напряжений
и
поверхностной
плотности
заряда
для
точек,
расположенных внутри полупространства. Для задачи с дефектом дано сравнение с
результатами других авторов. Проведено исследование влияния электрических констант
материала на отклики напряжений. Для этого решен вариант контактной задачи с
дефектом, когда материал принимался упругим.
137
3.2.5. Задача об одновременном действии электрического потенциала и
нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на однородное Г-образное
электроупругое анизотропное тело [32, 121].
Рассмотрим
электроупругую
начально-краевую
задачу,
изображенную
на
рис. 188. К однородному электроупругому анизотропному телу, находящемуся в
равновесии, приложена равномерно распределенная горизонтальная нагрузка в виде
функции Хевисайда по времени ~
t1 (t )  t0 H (t ), t0  1108 Па на стороне x1  0.1 м . На
жестко закрепленном торце
x3  0 м к телу приложен электрический потенциал
~
 (t )  0 В . Остальная поверхность тела является свободной от поверхностных усилий и
поверхностной плотности заряда. Расчеты проводились на четырех ГЭ-сетках, сведения о
которых представлены в таблице 69. Сетка «а» изображена на рис. 189, сетка «б» – на рис.
190, сетка «в» – на рис. 191, сетка «г» – на рис. 192.
Рис. 188
Таблица 69.
Маркер ГЭ-сетки Количество элементов
«а»
126
«б»
350
«в»
504
«г»
686
138
Рис. 189
Рис. 190
Рис. 191
Рис. 192
В качестве материала взят трансверсально-изотропный пьезокерамик PZT –
цирконат-титанат свинца с плотностью   7800 кг/м3 и со следующими параметрами
[121]:
0
0
0 
107.6 63.1 61.9
0
0
0 
 63.1 107.6 61.9

61
.
9
61
.
9
100
.
4
0
0
0  ГПа
C
0
0
0
19.6 0
0 
 0
0
0
0 19.6
0 
 0
0
0
0
0
22.2
0
0
0 12.0 0
 0
e 0
0
0 12.0 0 0 Кл м 2
 9.6  9.6 15.1 0
0 0
0
0
1.7141344
 8
~
ε 
0
1.7141344
0
 10 Кл Вм

0
0
1.8673086
139
Исследование сеточной сходимости проводилось на 4 ГЭ-сетках (табл. 69, рис.
189-192). Для идентификации
графиков откликов обобщенных
перемещений и
обобщенных поверхностных усилий, построенных на сетке «а» используется маркер «○»,
на сетке «б» –«∆», на сетке «в» – «□», на сетке «г» – «*». Рассмотрим точку A с
координатами (0, 0, 0.1)м. Сеточная сходимость решения для обобщенных перемещений
продемонстрирована на рис. 193-196. Значение параметра шагового метода численного
обращения интегрального преобразования Лапласа выбрано t  5 10 6 с.
1
x 10
-3
u1, м
0
-1
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
-2
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
∆ – ГЭ-решение на сетке «в»
-3
* – ГЭ-решение на сетке «г»
-4
-5
0
0.2
0.4
t, c
0.6
0.8
1
x 10
-3
Рис. 193
3
x 10
-5
u2, м
2
1
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
0
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
∆ – ГЭ-решение на сетке «в»
-1
* – ГЭ-решение на сетке «г»
-2
-3
0
0.2
0.4
t, c
0.6
0.8
1
x 10
-3
Рис. 194
140
2
x 10
-4
0
u3, м
-2
-4
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
-6
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
-8
∆ – ГЭ-решение на сетке «в»
* – ГЭ-решение на сетке «г»
-10
-12
-14
0
0.2
0.4
t, c
0.6
0.8
1
x 10
-3
Рис. 195
8
x 10
4
, В
6
4
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
2
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
∆ – ГЭ-решение на сетке «в»
0
* – ГЭ-решение на сетке «г»
-2
-4
0
0.2
0.4
t, c
0.6
0.8
1
x 10
-3
Рис. 196
Рассмотрим центральный элемент на закрепленном торце. Сеточная сходимость
решения для обобщенных поверхностных усилий дана на рис. 197-200. Рассматривались
только три сетки – «а», «б» и «г», так как на сетке «в» центральный элемент отсутствует.
141
10
x 10
7
8
t1, Па
6
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
4
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
2
∆ – ГЭ-решение на сетке «г»
0
-2
0
0.2
0.4
t, с
0.6
0.8
1
x 10
-3
Рис. 197
2
x 10
6
1.5
t2, Па
1
0.5
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
0
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
-0.5
∆ – ГЭ-решение на сетке «г»
-1
-1.5
-2
0
0.2
0.4
t, с
0.6
0.8
1
x 10
-3
Рис. 198
t3, Па
5
x 10
7
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
0
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
∆ – ГЭ-решение на сетке «г»
-5
0
0.2
0.4
t, с
0.6
0.8
1
x 10
-3
Рис. 199
142
3
x 10
-3
q, Кл/м
2
2
1
○ – ГЭ-решение на сетке «а»
0
□ – ГЭ-решение на сетке «б»
-1
∆ – ГЭ-решение на сетке «г»
-2
-3
0
0.2
0.4
t, с
0.6
0.8
1
x 10
-3
Рис. 200
Сходимость
шагового
метода
численного
обращения
интегрального
преобразования Лапласа по параметру t , продемонстрирована на рис. 201-204 для
обобщенных перемещений в т. А (0, 0, 0.1)м. В качестве расчетной ГЭ-сетки здесь и далее
используется сетка «в».
1
x 10
-3
0
Параметр шагового метода
u1, м
-1
○ – t  2 10 5
-2
□ – t  1  105
-3
∆ – t  5  106
-4
-5
0
0.2
0.4
t, с
0.6
0.8
1
x 10
-3
Рис. 201
143
2
x 10
-5
1.5
1
Параметр шагового метода
u2, м
0.5
○ – t  2 10 5
0
□ – t  1  105
-0.5
∆ – t  5  106
-1
-1.5
-2
0
0.2
0.4
t, с
0.6
0.8
1
x 10
-3
Рис. 202
2
x 10
-4
0
-2
Параметр шагового метода
u3, м
-4
○ – t  2  10 5
-6
□ – t  1  105
-8
∆ – t  5  106
-10
-12
-14
0
0.2
0.4
t, с
0.6
0.8
1
x 10
-3
Рис. 203
8
x 10
4
6
, В
4
Параметр шагового метода
○ – t  2 10 5
2
□ – t  1  105
0
∆ – t  5  106
-2
-4
0
0.2
0.4
t, с
0.6
0.8
1
x 10
-3
Рис. 204
144
На рис. 205-208 представлено сравнение ГЭ-решений для перемещений по оси
x1 и электрического потенциала в точке А (0, 0, 0.1)м с ГЭ- и КЭ-решениями из [121],
соответственно.
── – ГЭ-решение
- - - – ГЭ-решение из [121]
Рис. 205
── – ГЭ-решение
- - - – ГЭ-решение из [121]
Рис. 206
145
── – ГЭ-решение
- - - – КЭ-решение из [121]
Рис. 207
── – ГЭ-решение
- - - – КЭ-решение из [121]
Рис. 208
На рис. 209-220 приведена полутоновая визуализация распространения поля
электрического потенциала по поверхности тела, палитра моделируется линейкой от
- 96.0898 103 В (синий цвет) до 88.2422 103 В (красный цвет). На рис. 221-232 приведена
трехмерная визуализация решения задачи. Для наглядности, перемещения были
умножены на безразмерный коэффициент равный 3. Представленные изображения
соответствуют интервалу времени t  [0,0.000495] с с шагом t  0,000045 c.
146
Рис. 209 t  0.0 с
Рис. 210 t  0.000045 с
Рис. 211 t  0.00009 с
Рис. 212 t  0.000135 с
Рис. 213 t  0.00018 с
Рис. 214 t  0.000225 с
147
Рис. 215 t  0.00027 с
Рис. 216 t  0.000315 с
Рис. 217 t  0.00036 с
Рис. 218 t  0.000405 с
Рис. 219 t  0.00045 с
Рис. 220 t  0.000495 с
148
Рис. 221 t  0.0 с
Рис. 222 t  0.000045 с
Рис. 223 t  0.00009 с
Рис. 224 t  0.000135 с
Рис. 225 t  0.00018 с
Рис. 226 t  0.000225 с
149
Рис. 227 t  0.00027 с
Рис. 228 t  0.000315 с
Рис. 229 t  0.000360 с
Рис. 230 t  0.000405 с
Рис. 231 t  0.00045 с
Рис. 232 t  0.000495 с
150
На рис. 233-235 приведены сравнения решений для u1 , u3 и  в точках
B (0.1, 0, 0.1)м и C (0.05, 0, 0.05)м.
── – ГЭ-решение в т. B
- - - – ГЭ-решение в т. C
Рис. 233
── – ГЭ-решение в т. B
- - - – ГЭ-решение в т. C
Рис. 234
── – ГЭ-решение в т. B
- - - – ГЭ-решение в т. C
Рис. 235
151
Приведены динамические отклики перемещений и электрического потенциала.
Помимо сеточной сходимости исследована сходимость по параметру шагового метода
численного
обращения
интегрального
преобразования
Лапласа.
Дано
сравнение
ГЭ-решений с ГЭ- и КЭ-решениями других авторов, продемонстрирована хорошая
согласованность
полученных
результатов.
Приведены
полутоновые
визуализации
распространения поля электрического потенциала и трехмерные визуализации решения
задачи.
В качестве основных выводов по главе III можно сформулировать следующее.
Получены ГЭ-решения следующих статических упругих задач: о действии давления
внутри сферической полости, расположенной в неограниченной анизотропной упругой
среде; смешанной задачи о полости внутри анизотропного упругого куба. Решены две
стационарные задачи: о действии нагрузки на торец Г-образного однородного
анизотропного упругого тела; об одноосном растяжении упругого анизотропного
призматического тела. Полученные на разных ГЭ-сетках результаты позволяют сделать
вывод о наличии сеточной сходимости. ГЭ-решения приведены в сравнении с
аналитическими решениями и результатами других авторов. Решена анизотропная
упругая динамическая задача о действии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени
на торец однородного анизотропного упругого тела. Приведены сравнения полученных
ГЭ-решений с КЭ- и ГЭ-решениями других авторов. Проведено исследование сеточной
сходимости и сходимости по параметру шагового метода обращения преобразования
Лапласа.
Представлены результаты ГЭ-моделирования динамического испытания на
изгиб композитной балки. ГЭ-решения сравнивались с КЭ-решениями, полученными в
программных комплексах конечно-элементного моделирования. Продемонстрировано
хорошее
соответствие
полученных
гранично-элементных
решений
результатам
эксперимента. Проведено гранично-элементное моделирование следующих статических
задач электроупругости: о действии разности потенциалов, приложенных к Г-образному
однородному электроупругому телу; о действии нормальной нагрузки или заданной
поверхностной плотности заряда на торец призматического электроупругого тела; о
действии
вертикальной
полупространства;
силы
решена
на
часть
контактная
дневной
задача
поверхности
Герца
для
электроупругого
электроупругого
полупространства и контактная задача Герца с дефектом. Проведено сравнение
полученных гранично-элементных решений с известными аналитическими решениями и
результатами других авторов.
Представлено ГЭ-решение задачи электроупругой
динамики об одновременном воздействии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени
и
электрического
потенциала
на
Г-образное
однородное
электроупругое
тело.
Исследована сеточная и шаговая сходимость. Приведено сравнение ГЭ-решений с КЭ- и
ГЭ-решениями других авторов, полученных
152
Заключение
1. Развито и создано гранично-элементное методическое и программное обеспечение
решения краевых/начально-краевых задач статики и динамики трехмерных
однородных электроупругих и анизотропных упругих тел на основе матриц Грина
в форме Радона и метода квадратур сверток в форме шагового метода численного
обращения преобразования Лапласа.
2. Проведено гранично-элементное моделирование следующих задач равновесия:
 о действии давления внутри сферической полости в анизотропном
пространстве;
 смешанная задача об упругом анизотропном кубе с полостью;
 о действием разности потенциалов, приложенных к торцам однородного
электроупругого Г-образного тела;
 о действии равномерно распределенной вертикальной нагрузки и/или
поверхностной плотности заряда на призматическое электроупругое тело;
 о
действии
нагрузки
на
дневную
поверхность
электроупругого
полупространства;
 контактная задача Герца для электроупругого полупространства;
3. Проведено гранично-элементное моделирование следующих динамических задач:
 о действии стационарной нагрузки на торец Г-образного однородного
упругого анизотропного тела;
 о действии одноосной стационарной растягивающей нагрузки на упругое
анизотропное призматическое тело;
 о действии нагрузки в виде функции Хевисайда по времени на торец
Г-образного однородного анизотропного трехмерного упругого тела;
 о действии нестационарной нормальной силы на упругую композитную
балку;
 о действии электрического потенциала и нагрузки в виде функции
Хевисайда по времени на однородное Г-образное электроупругое тело.
153
Список литературы
1.
Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со
смешанными граничными условиями . М.: Наука, 1986. 336с.
2.
Александров А.Я. Решение основных задач теории упругости путем
численной реализации метода интегральных уравнений. В кн.: Успехи
механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С.3-24.
3.
Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных
динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984. 256с.
4.
Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных
линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. 343 с.
5.
Баженов В.Г., Игумнов Л.А. Методы граничных интегральных уравнений и
граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории
упругости с сопряженными полями. М.: Физматлит, 2008. 352 с.
6.
Брагов
А.М.,
Ломунов
А.К.
Использование
метода
Кольского
для
динамических испытаний конструкционных материалов // Прикладные
проблемы прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз.сб. / Нижегородский
ун-т, 1995, N 51. С.127-137.
7.
Брагов
А.М.,
Ломунов
А.К.
Особенности
построения
диаграмм
деформирования методом Кольского // Прикладные проблемы прочности и
пластичности: Всесоюз. межвуз. сб. / Горьк. ун-т, Горький. 1984. Вып.28.
С.125-137
8.
Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344с.
9.
Будаев B.C. Об одной краевой задаче динамики упругих анизотропных сред.
Динамика сплошной среды. В. 14. Новосибирск. СОАН СССР. 1973. С.22-29.
10.
Будаев B.C. Упругие волны в кристаллах металлов.// Прикладная механика.
1975. Т. 11. № 5. С.93-98.
11.
Верюжский Ю.В. Метод потенциала в статических задачах строительной
механики. М., 1981.
12.
Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные
задачи теории упругости. М.: Наука, 1974. 456 с.
13.
Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории
упругости для неклассических областей. М.: Наука, 1979. 320 с.
14.
Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и
резонансные явления в деформируемых средах. М.: Научный мир, 1999. 246с.
154
15.
Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости. М.:
Наука, 1980. 304с.
16.
Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных трердых
волноводов. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1993. 144с.
17.
Головчан В.Т., Кубенко В.Д., Шульга Н.А., Гузь А.Н., Гринченко В.Т.
Пространственные задачи теории упругости и пластичности. Т. 5. Динамика
упругих тел. Киев: Наук, думка, 1986. 288 с.
18.
Гольдштейн Р.В., Клейн И.С., Эскин Г.И. Вариационно-разностный метод
решения некоторых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений
трехмерных задач теории упругости. Препринт № 33 ИПМ АН СССР, М.
1973. 56с.
19.
Гольдштейн Р.В. Плоская трещина произвольного разрыва в упругой среде //
Механика твердого тела. 1979. № 3. С. 111-126.
20.
Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с
подвижными границами. М.: Наука, 1995. 352с.
21.
Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел
конечных размеров. Киев: Наукова думка, 1978. 264 с.
22.
Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих
телах. Киев: Наук, думка, 1981. 284 с.
23.
Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Пространственные задачи теории упругости и
пластичности. Т. 3. Равновесие упругих тел канонической формы. Киев:
Наук, думка, 1985. 280 с.
24.
Гузь А.Н., Бабич С.Ю., Рудницкий В.Б. Контактное взаимодействие упругих
тел с начальными напряжениями. Киев: Вищ.школа, 1995. 304с.
25.
Гузь А.Н., Кубенко В.Д., Черевко М.А. Дифракция упругих волн. Киев: Наук,
думка, 1978. 308 с.
26.
Гузь А.Н., Немиш Ю.Н. Пространственные задачи теории упругости и
пластичности. Т. 2. Статика упругих тел неканонической формы. Киев: Наук,
думка, 1984. 280 с.
27.
Зволинский Н.В. Волновые задачи в теории упругости непрерывной среды.//
Изв. АН СССР. Механика. 1965. № 1. С. 109-123.
28.
Зволинский Н.В. Отраженные и головные волны, возникающие на плоской
границе раздела двух упругих сред. I.// Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1957.
№10. С. 1201-1218.
155
29.
Зволинский Н.В. Отраженные и головные волны, возникающие на плоской
границе раздела двух упругих сред. II.// Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1958.
№I. С. 3-9.
30.
Зволинский Н.В. Отраженные и головные волны, возникающие на плоской
границе раздела двух упругих сред. III.// Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1958.
№2. С. 165-174.
31.
Зволинский Н.В., Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Динамика деформируемых тел.
Механика в СССР за 50 лет. Т. 3. М.: Наука. 1972. С 291-323.
32.
Игумнов Л.А., Марков И.П. Гранично-элементное моделирование динамики
трехмерных
анизотропных
и
электроупругих
тел
//
Математика
и
математическое моделирование: сборник материалов VIII Всероссийской
молодежной научно-инновационной школы. Саров, 8-11 апреля 2014. Саров:
ООО «Интерконтакт». 2014. С.23.
33.
Игумнов
Л.А.,
Марков
И.П.
Гранично-элементное
моделирование
трехмерных краевых задач электроупругого равновесия // Проблемы
прочности и пластичности. Межвуз.сб. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского
госуниверситета. 2013. Вып. 75(3). С. 185-191
34.
Игумнов
Л.А.,
Марков
И.П.
Гранично-элементный
расчет
электромеханических полей трехмерной пьезоупругой керамики // Вестник
Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Н. Новгород: Изд-во
ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2013. Вып. 3(1).
35.
Игумнов Л.А., Марков И.П. Применение метода ГИУ для решения краевых
динамических
упругопластических
задач
в
трехмерной
постановке.
Электронное методическое пособие. Нижний Новгород: Нижегородский
госуниверситет, 2011. 21с.
36.
Игумнов Л.А., Марков И.П. Применение метода граничных элементов для
анализа динамики анизотропных упругих тел // Проблемы прочности и
пластичности.
Межвуз.сб.
Н.
Новгород:
Изд-во
Нижегородского
госуниверситета. 2014. Вып. 76(1). С. 65-69
37.
Игумнов Л.А., Марков И.П., Аменицкий А.В., Петров А.Н. Волны от
действия ударной силы по телу на полупространстве в пороупругой
постановке // Материалы XIX Международного симпозиума «Динамические
и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им.
А.Г.Горшкова. – М.: ООО "ТР-Принт", 2013. Т.1. С.8.
156
38.
Игумнов Л.А., Марков И.П., Литвинчук С.Ю. Методы квадратур сверток,
Дурбина и граничного элемента в динамических задачах упругих тел //
Современные
проблемы
механики
сплошной
среды.
Труды
XII
международной конф., г. Ростов-на-Дону, 1-5 декабря 2008г. Ростов-на-Дону:
Изд-во ООО «ЦВВР». 2008. Т. С. 95-98.
39.
Игумнов Л.А., Марков И.П., Литвинчук С.Ю. Применение метода граничных
элементов для решения трехмерных задач равновесия анизотропной теории
упругости с сопряженными полями // Материалы XX Международного
симпозиума
«Динамические
и
технологические
проблемы
механики
конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. Т.1. М.: ООО "ТР-Принт".
2014. С.89.
40.
Игумнов Л.А., Марков И.П., Литвинчук С.Ю., Пазин В.П. Матрица Грина
трехмерной теории термоупругости // Материалы XVIII Международного
симпозиума
«Динамические
и
технологические
проблемы
механики
конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова. М.: ООО "ТР-Принт".
2012. Т.1. С.88.
41.
Игумнов Л.А., Марков И.П., Литвинчук С.Ю., Пазин В.П. Построение матриц
Грина и гранично-элементное моделирование трехмерных краевых задач
упругого
равновесия
с
сопряженными
полями
//
Математическое
моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы
граничных и конечных элементов. 23 сентября – 26 сентября 2013г. СанктПетербург,
Россия.
Труды.
Том
1.
(Тезисы
докладов).
Отпечатано
копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного
процесса физического факультета СПбГУ. С.94-96.
42.
Игумнов Л.А., Марков И.П., Пазин В.П. Гранично-элементное решение
краевых задач трехмерной анизотропной теории упругости // Вестник
Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Н. Новгород: Изд-во
ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2013. Вып. 1(3). С. 115-119.
43.
Игумнов Л.А., Марков И.П., Пазин В.П., Ипатов А.А. Гранично-элементное
построение решений для трехмерной матрицы Грина // Проблемы прочности
и пластичности. Межвуз.сб. – Н. Новгород: Изд-во Нижегородского
госуниверситета. 2013. Вып. 75(2). С.123-129.
44.
Исраилов М.Ш. Динамическая теория упругости и дифракция волн. М. Издво МГУ, 1992. 204с.
157
45.
Кадырбеков
Т.В.
Нелинейные
колебания
вязкоупругой
балки.
Сейсмостойкость подземных сооружений и натурное исследование зданий.
Ташкент: Фан. 1976. С. 159-167.
46.
Кольский Г. Исследования механических свойств материалов при больших
скоростях нагружения // Механика. Вып. IV. М.: ИЛ, 1950. С.108-119.
47.
Космодамианский А.С., Сторожев В.И. Динамические задачи теории
упругости для анизотропных сред. Киев: Наукова думка, 1985. 175с.
48.
Костров Б.В. Автомодельные смешанные динамические задачи о вдавливании
жесткого штампа в упругое полупространство. // Изв. АН СССР. ОТН. Мех. и
маш. 1964. №4. С.54-62.
49.
Лазарев М.И. Метод граничных интегральных уравнений. Алгоритмы и их
реализация // Информационный материал, НИВЦ АН СССР. Пущино-на-Оке,
1984. 54 с.
50.
Лаша Ж.К., Уотсон Дж.О. Усовершенствованная программа для решения
трехмерных задач теории упругости методом граничных интегральных
уравнений // Метод граничных интегральных уравнений. Вычислительные
аспекты и приложения в механике. М.: Мир, 1978. С. 111-128.
51.
Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1950. 299с.
52.
Марков И.П. Интерполяционное построение матриц Грина // Форум молодых
ученых: Тезисы докладов. Том 1. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И.
Лобачевского, 2013. С. 78-79
53.
Марков И.П. Применение граничных интегральных уравнений к решению
трехмерных краевых задач упругопластики // Вестник ННГУ. Сер. Механика.
 Н.Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2011. Вып.4(4)
Доклады X Всероссийского съезда по фундаментальным проблемам
теоретической и прикладной механики. С. 1611-1612.
54.
Марков И.П. Применение граничных интегральных уравнений к решению
трехмерных краевых задач упругопластики // Современные методы механики
– X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и
прикладной механики. Вторая Всероссийская школа молодых ученыхмехаников. Тезисы докладов (Нижний Новгород, 24–30 августа 2011 г.).
Нижний
Новгород:
Изд-во
Нижегородского
госуниверситета
им. Н. И. Лобачевского, 2011. – С. 104-105
158
55.
Марков И.П., Лаганкин А.С., Ильин А.С., Литвинчук С.Ю. Графическая
визуализация результатов гранично-элементного моделирования динамики
упругих тел // 14 Нижегородская сессия молодых ученых – математические
науки. Н.Новгород: Гладкова О.В., 2009 г. С. 33-34.
56.
Марков И.П., Литвинчук С.Ю., Петров А.Н., Белов А.А. Граничноэлементные схемы с переменным шагом в трехмерных краевых задачах
пороупругой динамики // Труды VII Всероссийской (с международным
участием) конференции по механике деформируемого твердого тела.
г.Ростов-на-Дону, 15–18 октября 2013 г.: в 2 т. Т. II. Ростов-на-Дону:
Издательство Южного федерального университета, 2013. С. 91-95
57.
Марков И.П., Пазин В.П., Литвинчук С.Ю. Перемещения и напряжения в
анизотропной
и электроупругой среде от действия сосредоточенного
источника // 15 Нижегородская сессия молодых ученых – математические
науки. Н.Новгород: Гладкова О.В., 2010 г. С. 52.
58.
Мельников Ю.А., Красникова Р.Д. Построение функций Грина некоторых
граничных задач математической физики. Днепропетровск: ДГУ, 1981. 55 с.
59.
Михлин С.Г. Плоская деформация в анизотропной среде // Тр. Сейсмол. ин-та
АН СССР. 1936. N 76. С. 1-19.
60.
Михлин С.Г. Метод граничных интегральных уравнений. Серия: Механика //
Новое в зарубежной науке. М.: Мир, 1978. Вып. 15. 209 с.
61.
Морозов Н.Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: Изд-во
ЛГУ, 1978. 182с.
62.
Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984.
63.
Моссаковский В.И., Качаловская Н.Е., Голикова С.С. Контактные задачи
математической теории упругости. Киев: Наук, думка, 1985. 176 с.
64.
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
512 с.
65.
Николаев О.П. Разработка и применение модифицированной методики
граничных
элементов
для
трехмерных
смешанных
задач
упругого
равновесия: автореф. канд. дисс. / Николаев Олег Петрович. – Горький: ГГУ,
1983.
66.
Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости. М.:
Наука, 1977. – 312 с.
159
67.
Петрашень Г.И. О рациональном методе решения задач динамической теории
упругости в случае слоисто - изотропных областей с плоско - параллельными
границами раздела. // УЧ. зап. ЛГУ. Сер. мат. 1956. № 208. В. 30. С. 5-59.
68.
Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. Л.:
Наука, 1980. 280с.
69.
Петрашень Г.И. Распространение упругих волн в слоисто - изотропных
средах, разделённых параллельными плоскостями.// УЧ. зап. ЛГУ. Сер.. мат.
1952. №162. В. 26. 188 с.
70.
Петрашень Г.И., Марчук Г.И., Огурцов К.И. О задаче Лемба в случае
полупространства.// УЧ. зап. ЛГУ. Сер. мат. 1950. № 35. В. 21. С.71-118.
71.
Петрашень Г.И., Молотков Л.А., Крауклис П.В. Волны в слоисто-однородных
изотропных упругих средах. Л.: Наука, 1982. 289с.
72.
Плещинский Н.Б. Интегральные уравнения с логарифмической особенностью
в ядре для граничных задач теории упругости для плоскости, полуплоскости
и круга с дефектом вдоль гладкой дуги. Препринт 97-1. Казань: Изд-во
Казанск. матем. об-ва, 1997. 22 с.
73.
Подильчук Ю.Н. Трехмерные задачи теории упругости. Киев: Наук, думка,
1979. 240 с.
74.
Попов Г.Я. Контактные задачи для линейно-деформируемого основания.
Киев; Одеса: Вища школа, 1982. 168 с.
75.
Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.
328с.
76.
Рвачев B.JL, Синек on Н.С. Метод R-функций в задачах теории упругости и
пластичности. Киев: Наук, думка, 1990. 216 с.
77.
Сарайкин В.А., Слепян Л.И. Плоская задача о динамике трещины в упругом
теле. // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 4. С.54-73.
78.
Саркисян B.C. Контактные задачи для полуплоскостей и полос с упругими
накладками. Ереван: Изд-во Ереванского ун-та, 1983. 260 с.
79.
Свекло В.А. Задача Лемба при смешанных граничных условиях. // ДАН
СССР. 1954. Т. 95. № 4. С. 737-740.
80.
Свекло В.А. К решению динамических задач плоской теории упругости для
анизотропного тела. // ПММ. 1961. Т.25. № 5. С.885-896.
81.
Свекло В.А. Смешанная задача для упругой анизотропной полуплоскости. //
ПММ. 1962. Т. 26. № 5. С.896-905.
82.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1984. 560с.
160
83.
Сеймов В.М. Динамические контактные задачи. Киев: Наукова думка, 1976.
284с.
84.
Сеймов В.М., Трофимчук А.Н., Савицкий О.А. Колебания и волны в
слоистых средах. Киев: Наук.думка, 1990. 224с.
85.
Сеницкий Ю.Э. Биортогональное многокомпонентное конечное интегральное
преобразование и его приложение к краевым задачам механики // Известия
вузов. Математика. 1996. №8. С.474-477.
86.
Сеницкий
Ю.Э.
Динамическое
кручение
конечного
анизотропного
цилиндрического слоя. // Прикладная механика. 1985. Т.21. №6. С.11-17.
87.
Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных
преобразований. Саратов. Изд-во Саратов, ун-та. 1985. 176с.
88.
Сеницкий Ю.Э. Метод конечных интегральных преобразований и его перспективы в решении краевых задач прикладной теории упругости. // Труды
международной конференции "Численные и аналитические методы расчёта
конструкций". Самара. 1998.
89.
Сеницкий Ю.Э. О решении динамической задачи для упругой анизотропной
прямоугольной
области.
//
Расчёт
пространственных
строительных
конструкций. Межвузовский сб. науч. ст. / Куйбышевский госуниверситет.
1981. С. 3-13.
90.
Сеницкий Ю.Э. Обобщенные биортогональные конечные интегральные
преобразования и их приложение к нестационарным задачам механики //
ДАН России. 1995. Т.341. №4. С.474-477.
91.
Сеницкий Ю.Э. Обратные задачи динамики для неоднородных анизотропных
цилиндра, сферы и стержня. Сб. Сопротивление материалов и теория
сооружений. Киев. Будівельник. 1984. В.45. С.27-32.
92.
Сеницкий Ю.Э. Расчет неоднородных анизотропных цилиндра и сферы при
действии произвольной радиально-симметричной динамической нагрузки //
Прикладная механика. 1978. Т.14. №5. С.9-15.
93.
Сеницкий Ю.Э., Марченко В.А. Динамика двойной упругосвязанной балки //
Известия вузов. Строительство. 1996. Т.1. С.18-24.
94.
Сеницкий Ю.Э., Марченко В.А. Напряженно-деформированное состояние
неоднородных
пологих
сферических
оболочек
при
нестационарном
локальном неосесимметричном загружении // Труды Международной
конференции по теории оболочек и пластин. Саратов. 1997. Т.1. С.53-58.
161
95.
Сеницкий Ю.Э., Савельев О.Л. Свободные колебания прямоугольной
пластины, несущей сосредоточенную массу // Известия вузов. Строительство
и архитектура. 1982. №3. С.45-52.
96.
Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. Л.: Судостроение, 1972. 374с.
97.
Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных
задачах механики. Л. Судостроение. 1980. 344с.
98.
Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости /
В.Д. Купрадзе [и др.]; ред. В.Д. Купрадзе. Изд. 2-е. М.: Наука, 1976. 664с.
99.
Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике
деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во КГУ, 1986. 296с.
100. Федечев А.Ф. Динамическая задача термоупругости для анизотропного
сферического слоя. // 1 Сб. Расчет простран. строит, конструкций. Куйбышев
1981. В. 9. С. 21-27.
101. Филиппов И.Г. Приближённый метод решения динамических задач для
линейных вязкоупругих сред. // ПММ. 1979. Т.43. Вып.1. С.132-137.
102. Фролов В.Н. Специальные классы функций в анизотропной теории
упругости. Ташкент: Изд-во "ФАН" УзССР, 1981. 224с.
103. Черных К.Ф., Литвиненкова З.Н. Теория больших упругих деформаций. Л.:
Изд-во Ленинград, ун-та, 1988. 256с.
104. Ях Г.И., Адлуцкий В.Я. Об одном алгоритме решения трехмерных задач
упругого равновесия методом граничных интегральных уравнений //
Актуальные проблемы механики деформируемых сред. – Днепропетровск:
ДГУ, 1979. – С. 218-224.
105. Achenbach J.D. Wave propagation in elastic solids. Amsterdam: Nort-Holland
Publ. Co. 1973. 425p.
106. Akopyan A.V., Soloviev A.N., Parinov I.A., Shevtsov S.N. Definition of Constants
for Piezoceramic Materials. New York, Nova Science Publisher, Inc. 2010. 205 p.
107. Andrew N. Norris Dynamic Green’s functions in anisotropic piezoelectric,
thermoelastic and poroelastic solids // Proc.R.Soc.Lond. A (1994) 447. P.175-188.
108. Antes H., Panagiotopoulos P.D. The boundary integral Approach to static and
dynamic contact problems // Int. Series of Numerical Mathematics 108. –
Birkhauser, Basel, 1992. – 313 p.
109. Atkinson С. On axially symmetric expanding boundary value problems in classical
elasticity // Engng. Sci. 1968. Vol. 6. № 1. P. 27-35.
162
110. Bacon D. J., Barnett D.M., Scattergood R.O. // Progress in Materials Science. Vol.
23. Oxford: Pergamon Press. Chap. 2: Anisotropic continuum theory of lattice
defects, 1980. Р. 251-262
111. Ben-Menahem A., Singh S.J. Seismic waves and sources. New York: SpringerVerlag, 1981. 1108p.
112. Bragov A.M., Lomunov A.K. Methodological aspects of studying dynamic
material properties using the Kolsky method // Int. J. Impact. Engng. 1995. Vol.16,
No2. Р.321-330.
113. Buchwald V.T. Elasic waves in anisotropic media // Proc. R. Soc. A 1959; 253.
Р.563–580.
114. Burridge R., Chadwick P., Norris A.N. Fundamental elastodynamics solutions for
anisotropic media with ellipsoidal slowness surfaces // Proc R Soc A 1993; 440:
655–681.
115. Cady W.G. Piezoelectricity. New York: Dover Publishers; 1964.
116. Cruse T. A. Numerical solutions in three-dimensional elastostafics // Int. J. Solids
and Structures. 1969. № 6. P.1259–1274.
117. Ding H, Liang J. The fundamental solutions for transversely isotropic
piezoelectricity and boundary element method. Comp. Struct 1999; 71:445–455.
118. Dravinski M., Zheng T. Numerical evaluation of three-dimensional time-harmonic
Green’s functions for a nonisotropic full-space // Wave Motion 2000; 32:141–151.
119. Durbin F. Numerical inversion of Laplace transforms: an efficient improvement to
Dubner and Abate’s method // The Computer Journal. 1974. Vol.17, 4. P.371–376.
120. Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press F. Elastic waves in layered media. New York
etc.: Mc Graw – Hill Book Co. 1957. 380p.
121. Gaul L., Kogl М., Wagner M. Boundary Element Methods for Engineers and
Scientists. Berlin Springer, 2003. 488 p.
122. Gel’fand I. M., Graev M. I., Vilenkin N.Y. Generalized Functions // New York,
London: Academic Press; 1966.
123. Graff K.F. Wave motion in elastic solids. Oxford: Clarendon press, 1975. 666p.
124. Ding H., Liang J. The fundamental solutions for transversely isotropic
piezoelectricity and boundary element method // Computers and Structures 71
(1999) P.447-455, 1999 Elsevier Science Ltd.
163
125. Hirose S. Boundary integral equation method for transient analysis of 3-D cavities
and inclusions // EngAnalBoundElem1991;8: 146–153.
126. Igumnov L.A., Markov I.P., Ipatov A.A., Litvinchuk S. Yu. Using the BoundaryElement Method for Analyzing 3-D Problems of Equilibrium of Anisotropic
Elasticity with Conjugated Fields // 2014 International Symposium on Physics and
Mechanics of New Materials and Underwater Applications (PHENMA 2014):
Abstracts & schedule. Khon Kaen, Thailand, March 27-29, 2014. P.38-39
127. Kazi-Aoual M.N., Bonnet M., Jouanna P. Response of an infinite elastic
transversely isotropic medium to a point force. an analytical solution in Hankel
space // Geophys J 1988; 39: 587–590.
E.
Das
Fundamentalintegral
der
anisotropen
128. Kröner
Differentialgleichungen // Z. Phys. 1953. 136, 402–410.
elastischen
129. Lachat, J.C. Effective numerical treatment of boundary integral equations: a
formulation fot three-dimensional elastostatics / J.C. Lachat, J.O. Watson // Int. J.
Numer. Mech. Eng. 1976. № 10. Р. 991-1005.
130. Liew K. M., Liang J. Three-dimensional piezoelectric boundary element analysis of
transversely isotropic half-space // Computational Mechanics 32 (2003) 29–39
Springer-Verlag 2003.
131. Lifshitz I.M., Rozenweig, L.N., On the construction of the Green’s tensor for the
basic equation of the theory of elasticity of an anisotropic infinite medium // J. Exp.
Theor. Phys. JETP 1947. 17, 783–791
132. Lighthill M.J. Studies on magneto-hydrodynamic waves and other anisotropic
wave motions. Philos Trans R Soc A 1960;252: 397–430.
133. Lubich C. Convolution Quadrature and Discretized Operational Calculus. I. //
Numerische Mathematik. 1988. № 52. P. 129–145.
134. Lubich C. Convolution Quadrature and Discretized Operational Calculus. II. //
Numerische Mathematik. 1988. № 52. P. 413–142.
135. Manolis G.D. A comparative study on three boundary element method approaches
to problem in elastodynamics // Int. J. Num. Meth. Eng. 1983. Vol. 19, 1. Р.73–91.
136. Mansur W.J. A Time-Stepping Technique to Solve Wave Propagation Problems
Using the Boundary Element Method // Phd thesis, University of Southampton,
1983.
137. Mansur W.J., Brebbia C.A. Transient Elastodynamics Using a Time-Stepping
Technique // In Boundary Elements. Berlin, Springer-Verla, 1983. P.677-698.
164
138. Marijan Dravinski, Yuqing Niu Three-dimensional time-harmonic Green’s
functions for a triclinic full-space using a symbolic computation system // Int. J.
Numer. Meth. Engng 2002; 53:455–472; 2001 John Wiley & Sons, Ltd.
139. Martin l. Dunn, Wienecke A. green’s functions for transversely isotropic
piezoelectric solids // int. J. Solids structures vol. 33, no. 30, pp. 4571-4581, 1996
elsevier science Ltd.
140. Maue A.W. Die Beugung elastischer Wellen an der Halbebene. Z. Angew. II Math,
und Mech. 1953. Bd. 33. H 1/2, P. 1-10.
141. Miklowitz J. The theory of elastic waves and waveguides. Amsterdam: NorthHolland Publ. Co. 1978. 618p.
142. Milazzo A., Benedetti I., Aliabadi M.H. Hierarchical fast BEM for anisotropic
time-harmonic 3-D elastodynamics // Computers and Structures 96-97 (2012) P. 9–
24 2012 Elsevier Ltd
143. Mura T. Micromechanics of Defects in Solids. Martinus Nijhoff Publishers, The
Hague. 1982.
144. Mura T., Kinoshita N. Green’s function for anisotropic elasticity // Phys. Status
Sol. (b) 1971. 47. p. 607–618.
145. Musgrave M.J.P. Crystal acoustics. Holden-Day Inc.; 1970.
146. Musgrave M.J.P. Elastic waves in anisotropic media // In: Sneddon IN, Hill R,
Progress in Solids Mechanics, vol. 2, 1961, North-Holland Publishing Company.
Р.64–85.
147. Narayanan G.V., Beskos D.E. Numerical operational methods for time-dependent
linear problems // Int. J. Num. Meth. Eng. 1982. Vol.18 (12). P. 1829-1854.
148. Thurieau N., Njiwa R.K., Taghite M. A simple solution procedure to 3Dpiezoelectric problems: Isotropic BEM coupled with a point collocation method //
Engineering Analysis with Boundary Elements 36 (2012) 1513–1521 Elsevier Ltd.
2012.
149. Niwa Y., Kobayashi S., Azuma N. An analysis of transient stresses produced
around cavities of arbitrary shape during the passage of traveling waves // Memo.
Faculty of Eng. Kyoto Univ. 1975. Vol. 37. P.28–46.
150. Norris A.N. Dynamic Green’s functions in anisotropic piezoelectric, thermoelastic
and poroelastic solids // Proc. R. Soc. Lond. A (1994) 447, 175-188.
151. Pan E., Tonon F. Three-dimensional Green’s functions in anisotropic piezoelectric
solids // Int J Solids Struct 2000;37:943–958.
165
152. Pan Y.-C., Chou T.-W. Point force solution for an infinite transversely isotropic
solid // Trans. ASME, J. Appl. Mech. 43 1976. (4), 608–612.
153. Pao Y.H. Elastic waves in solids. Trans. ASME //J. Appl. Mech. 1983. December.
Vol. 50. №4. P.1152-1162.
154. Parton V.Z., Kudryavtsev B.A. Electrocmagnetoelasticity. Gordon and Breach
Science Publishers; 1988.
155. Payton R.G. Elastic wave propagation in transversely isotropic media. Martinus
Nijhoff Publishers; 1983.
156. Pleshchinskii N.B. Some classes of singular integral equations solvable in a closed
form and their applications // Pitman Research Notes in Mathematics Series.
Longman Scientific fc Technical. New York, 1991. V. 256. P. 246-256.
157. Pouya A. Green’s function solution and displacement potentials for Transformed
Transversely Isotropic materials // European Journal of Mechanics A/Solids 26
(2007) 491–502. 2006 Elsevier Masson SAS.
158. Rizzo F.J., Shippy D.J. An advanced boundary integral equation method for threedimensional thermoelasticity // Int. J. Num. Meth. Eng. – 1977. – Vol. 11, № 11. –
P. 1753-1768.
159. Schanz M. A boundary element formulation in time domain for viscoelastic solids
// Commun Numer Methods Eng 1999;15: 799–809.
160. Schanz M. Application of 3D time domain boundary element formulation to wave
propgation in poroelastic solids // Eng Anal Bound Elem 2001; 25: 367–76.
161. Schanz M. Wave Propogation in Viscoelastic and Poroelastic Continua // Berlin
Springer, 2001. 170 p.
162. Shiah Y.C., Tan C.L., Lee R.F. Internal point solutions for displacements and
stresses in 3D anisotropic elastic solids using the boundary element method //
CMES: Comput. Model. Eng. Sci. 2010. 69, 167–197
163. Shiah Y.C., Tan C.L., Lee V.G. Evaluation of explicit-form fundamental solutions
for displacements and stresses in 3D anisotropic elastic solids // CMES: Comput.
Model. Eng. Sci. 2008. 34, 205–226.
164. Shiah Y.C., Tan C.L., Wang C.Y. Efficient computation of the Green’s function
and its derivatives for three-dimensional anisotropic elasticity in BEM analysis //
Eng. Anal. Boundary Elem. 2012. 36, 1746–1755.
166
165. Shiah Y.C., Tan C.L., Wang C.Y. Efficient computation of the Green’s function
and its derivatives for three-dimensional anisotropic elasticity in BEM analysis //
Engineering Analysis with Boundary Elements 36 (2012) 1746–1755; 2012
Elsevier Ltd.
166. Skalak R. Longitudinal impact of a semi - infinite circular elastic bar. II J. Appl.
Mech. 1967. Vol. 24. № 1. P. 59 - 64.
167. Tan C.L., Shiah Y.C., Wang C.Y. Boundary element elastic stress analysis of 3D
generally anisotropic solids using fundamental solutions based on Fourier series //
International Journal of Solids and Structures 50 (2013) P.2701–2711
168. Tiersten H.F. Linear piezoelectric plate vibrations. New York: Plenum Press; 1969.
169. Ting T.C.T., Lee V.G. The three-dimensional elastostatic Green’s function for
general anisotropic linear elastic solid // Q J Mech Appl Math 1997; 50:407–426.
170. Tonon F., Pan E., Amadei B. Green’s functions and boundary element method
formulation for 3D anisotropic media // Computers and Structures 2001. 79, 469–
482.
171. Tsvanskin I.D., Chesnokov Y.M. Wave fields of point sources in arbitrary
anisotropic media // Izv Earth Phys 1989;25:528–540.
172. Van Loan C.F. Introduction to Scientic Computing. Prentice-Hall, Englewood
CliJs, NJ, 1997.
173. Wang C.Y., Achenbach J.D. Elastodynamic fundamental solution for anisotropic
Solids // Geophys J Int 1994;118:384–392.
174. Wang C.Y., Achenbach J.D. Three-dimensional time-harmonic elastodynamic
Green’s functions for anisotropic solids // Proceedings of the Royal Society of
London A 1995; 449:441– 458.
175. Wang C.-Y., Denda M. 3D BEM for general anisotropic elasticity // International
Journal of Solids and Structures 44 (2007) P.7073–7091.
176. Wang C.Y., Zhang Ch. 3-D and 2-D Dynamic Green’s functions and time-domain
BIEs for piezoelectric solids // Engineering Analysis with Boundary Elements 29
(2005) 454–465; 2005 Elsevier Ltd
177. Willis J.R. Self- similar problems in elastodynamics. II Phil. Trans. Roy. Soc.
London, ser. A. 1973. Vol. 274. №1240. P.435-491.
178. Willis J.R. The elastic interaction energy of dislocation loops in anisotropic media
// Quart. J. Mech. Appl. Math. 1965. 18, 419.
167
179. Wilson R.D., Cruse T.A. Efficient implementation of anisotropic three dimensional
boundary-integral equation stress analysis // International Journal for Numerical
Methods in Engineering, 1978. 12, 1383-1397.
180. Zhu H. A method to evaluate three-dimensional time-harmonic elastodynamic
Green’s functions in transversely isotropic media // J Appl Mech 1992; 59: 587–
590.
168