Треугольник ABC — Сумма углов треугольника равна 180^\circ

Образовательный портал «СДАМ ГИА» (http://математика.сдамгиа.рф)
Вариант № 1154743
1. За​да​ние 9 № 339364. В треугольнике ABC AC = BC. Внешний угол при вершине B равен
146°. Най​ди​те угол C. Ответ дайте в гра​ду​с ах.
Ре​ше​ние.
Сумма смежных углов равна 180°, откуда
равнобедренный, поэтому
сле​до​ва​тель​но,
Треугольник ABC —
Сумма углов треугольника равна 180^\circ,
Ответ: 112.
2. За​да​ние 9 № 323344. Площадь прямоугольного треугольника равна
Один из ост​рых углов равен 30°. Най​ди​те длину ги​по​те​ну​з ы.
Ре​ше​ние.
Пусть — длина катета, лежащего против угла в 30°, тогда гипотенуза равна
катет равен
.
Пло​щадь пря​мо​у голь​но​го тре​у голь​ни​ка равна по​ло​ви​не про​и з​ве​де​ния ка​те​тов.
второй
Сле​до​ва​тель​но, длина ги​по​те​ну​з ы, равна 16.
Ответ: 16.
При​в едём дру​гое ре​ше​ние.
Пусть длина гипотенузы равна а длина катета, прилежащего к углу 30° равна Площадь
тре​у голь​ни​ка можно найти как по​ло​ви​ну про​и з​ве​де​ния двух сто​рон на синус угла между ними:
От​ку​да по​лу​ча​ем:
02.03.2015
Стр. 1 из 8
Образовательный портал «СДАМ ГИА» (http://математика.сдамгиа.рф)
3. За​да​ние 9 № 311343. В равностороннем треугольнике ABC медианы
BK и AM пе​ре​с е​ка​ют​с я в точке O. Най​ди​те
.
Ре​ше​ние.
Медианы в равностороннем треугольнике являются биссектрисами и высотами, по​э то​му
. Тре​у голь​ник AOK — пря​мо​у голь​ный, по​э то​му
.
Ответ: 60.
4. За​да​ние 9 № 322819. Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите
вы​с о​ту, про​ве​ден​ную к ги​по​те​ну​з е.
Ре​ше​ние.
Пусть катеты имеют длины и а гипотенуза — длину Пусть длина высоты, проведённой
к ги​по​те​ну​з е равна Найдём длину ги​по​те​ну​з ы по тео​ре​ме Пи​фа​го​ра:
Площадь прямоугольного треугольника может быть найдена как половина произведения
ка​те​тов или как по​ло​ви​на про​и з​ве​де​ния вы​с о​ты, про​ведённой к ги​по​те​ну​з е на ги​по​те​ну​з у:
Ответ: 33,6.
5. За​да​ние 9 № 339389. Вы​с о​та рав​но​с то​рон​не​го тре​у голь​ни​ка равна
Най​ди​те его пе​ри​метр.
Ре​ше​ние.
Высота равностороннего треугольника равна
следовательно, сторона треугольника
Таким об​ра​з ом, пе​ри​метр рав​но​с то​рон​не​го тре​у голь​ни​ка равен
Ответ: 90.
02.03.2015
Стр. 2 из 8
Образовательный портал «СДАМ ГИА» (http://математика.сдамгиа.рф)
6. За​да​ние 9 № 340384. В тре​у голь​ни​ке
= 35,
равен 90°. Найдите радиус описанной окружности
тре​у голь​ни​ка.
угол
этого
Ре​ше​ние.
По тео​рем Пи​фа​го​ра найдём сто​ро​ну
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника равен половине
ги​по​те​ну​з ы.
Ответ: 20.
7. За​да​ние 9 № 323416. Периметр равнобедренного треугольника равен 196, а основание —
96. Най​ди​те пло​щадь тре​у голь​ни​ка.
Ре​ше​ние.
Пусть — длина основания равнобедренного треугольника, — длина боковой
стороны равнобедренного треугольника, — длина основания проведённого к
вы​с о​те. Найдём длину бо​ко​вой сто​ро​ны:
Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, также является его
биссектрисой и медианой. Из прямоугольного треугольника найдём высоту по теореме
Пи​фа​го​ра:
Пло​щадь тре​у голь​ни​ка равна по​ло​ви​не про​и з​ве​де​ния ос​но​ва​ния на вы​с о​ту:
Ответ: 672.
При​ме​ча​ние.
Пусть — полупериметр треугольника. Можно не находить высоту, а найти площадь по
фор​му​ле Ге​ро​на:
02.03.2015
Стр. 3 из 8
Образовательный портал «СДАМ ГИА» (http://математика.сдамгиа.рф)
8. За​да​ние 9 № 340890. В треугольнике OAB угол B равен 90°, AB = 6,
sin O = 0,3. Най​ди​те OA.
Ре​ше​ние.
Синус угла равен от​но​ше​нию про​ти​во​ле​ж а​ще​го ка​те​та AB к ги​по​те​ну​з е OA. По​э то​му:
Ответ: 20.
9. За​да​ние 9 № 333011. В прямоугольном треугольнике ABC
катет AC = 75, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна
Най​ди​те
Ре​ше​ние.
Из пря​мо​у голь​но​го тре​у голь​ни​ка
Углы
и
си​ну​с ы равны:
по тео​ре​ме Пи​фа​го​ра найдём
равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому их
Ответ: 0,08.
10. За​да​ние 9 № 340078. В треугольнике ABC
AC = 4, tg A = 0,75. Най​ди​те BC.
угол C равен 90°,
Ре​ше​ние.
По опре​де​ле​нию тан​ген​с а:
Ответ: 3.
02.03.2015
Стр. 4 из 8
Образовательный портал «СДАМ ГИА» (http://математика.сдамгиа.рф)
11. За​да​ние 9 № 339863. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°.
Най​ди​те BC, если ра​ди​у с окруж​но​с ти, опи​с ан​ной около тре​у голь​ни​ка ABC, равен 14.
Ре​ше​ние.
Сумма
углов
треугольника
равна
180°,
поэтому
По тео​ре​ме си​ну​с ов:
От​ку​да по​лу​ча​ем, что
Ответ: 14.
12. За​да​ние 9 № 339369. В треугольнике ABC проведена биссектриса
AL, угол ALC равен 112°, угол ABC равен 106°. Найдите угол ACB. Ответ
дайте в гра​ду​с ах.
Ре​ше​ние.
Пусть угол
равен
угол
равен
Сумма углов в треугольнике
отк у да
Аналогично, из треугольника
си​с те​му урав​не​ний:
Таким об​ра​з ом, угол
равна 180°,
Получаем
равен 62°.
Ответ: 62.
13. За​да​ние 9 № 340586. В
равнобедренном
треугольнике ABC с
основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину
угла ВАС. Ответ дайте в гра​ду​с ах.
Ре​ше​ние.
Сумма смежных углов равна 180°, поэтому
тре​у голь​ни​ке углы при ос​но​ва​нии равны, сле​до​ва​тель​но,
В равнобедренном
Ответ: 57.
02.03.2015
Стр. 5 из 8
Образовательный портал «СДАМ ГИА» (http://математика.сдамгиа.рф)
14. За​да​ние 9 № 339370. В треугольнике
угол
равен 90°,
Най​ди​те
Ре​ше​ние.
Найдём ко​с и​нус угла
По опре​де​ле​нию ко​с и​ну​с а,
от​ку​да
15. За​да​ние 9 № 311848. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 18, tgA = 3. Найдите
AC.
Ре​ше​ние.
Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к
при​ле​ж а​ще​му, по​э то​му
Ответ: 6.
16. За​да​ние 9 № 315026. В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 3
, cosB = 0,6. Най​ди​те AB.
Ре​ше​ние.
По опре​де​ле​нию ко​с и​ну​с а:
По​э то​му
Ответ: 5.
02.03.2015
Стр. 6 из 8
Образовательный портал «СДАМ ГИА» (http://математика.сдамгиа.рф)
17. За​да​ние 9 № 316320. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 12 , tgA = 1,5. Найдите
BC.
Ре​ше​ние.
Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к
при​ле​ж а​ще​му:
Ответ: 18.
18. За​да​ние 9 № 333090. В пря​мо​у голь​ном тре​у голь​ни​ке ABC катет AC
= 70, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна
. Найдите
.
Ре​ше​ние.
Из пря​мо​у голь​но​го тре​у голь​ни​ка
Углы
и
си​ну​с ы равны:
по тео​ре​ме Пи​фа​го​ра найдём
равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, поэтому их
Ответ: 0,9.
19. За​да​ние 9 № 323089. У треугольника со сторонами 12 и 3 проведены высоты к этим
сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко
вто​рой сто​ро​не?
Ре​ше​ние.
Пусть известные стороны треугольника равны и а высоты, проведённые к ним
и
Площадь треугольника можно найти как половину произведения стороны на высоту,
про​ведённую к этой сто​ро​не:
Ответ: 4.
02.03.2015
Стр. 7 из 8
20. За​да​ние 9 № 311498.
Най​ди​те
.
Образовательный портал «СДАМ ГИА» (http://математика.сдамгиа.рф)
В
треугольнике
угол
прямой,
.
Ре​ше​ние.
Тре​у голь​ник ABC — пря​мо​у голь​ный. Таким об​ра​з ом,
Ответ: 20.
02.03.2015
Стр. 8 из 8