ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4.
ПРОВЕРКА СПРАВЕДЛИВОСТИ ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНТСА - ШТЕЙНЕРА С ПОМОЩЬЮ
ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
Цель работы: Определить момент инерции тела методом колебаний и сравнить его с моментом инерции,
рассчитанным по теореме Гюйгенса-Штейнера.
Приборы и оборудование: физический маятник, секундомер, штангенциркуль, линейка.
Теоретическое введение. Моментом инерции системы материальных точек (тела) относительно оси
вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс n материальных точек системы на
квадраты их расстояний до рассматриваемой оси
n
I   m i ri2 ,
(1)
i 1
где mi  масса i-й материальной точки, а ri  расстояние от этой точки до оси вращения.
Момент инерции всегда определяется относительно заданной оси вращения и является мерой инертности тела
при вращательном движении, определяя способность тела изменять состояние вращательного движения под

действием момента силы M . Размерность момента инерции в системе СИ - [кгм2].
Момент инерции тела зависит от выбора оси, относительно которой оно вращается, и от того, как распределена
масса тела по объему. В случае непрерывного распределения массы, момент инерции тела равен
V
I   r 2  dV ,
(2)
0
где r – расстояние между осью, проходящей через центр масс, и осью вращения, ρ – плотность тела.
Момент инерции механической системы1, состоящей из N тел, относительно произвольной оси складывается из
моментов инерции Ii тел, составляющих систему, относительно этой же оси.
N
I   Ii
(3)
i 1
В ряде случаев момент инерции тел можно найти, воспользовавшись теоремой
Гюйгенса-Штейнера (рисунок 1), которая формулируется следующим образом:
момент инерции тела Jz относительно произвольной оси z равен сумме его момента
инерции JzC относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр
инерции тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
I z  I zC  md 2 .
(4)
С доказательством теоремы Гюйгенса – Штейнера, моментами инерции тел
относительно осей симметрии, проходящих через центры их масс, и методиками их
определения ознакомьтесь самостоятельно.
Физическим маятником (рисунок 2) называют тело, совершающее
колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела.
Если маятник отклонить от равновесного положения на угол  и предоставить
самому себе, то он будет совершать колебания в вертикальной плоскости под
действием момента силы тяжести. В этом случае положение маятника определяется
одной координатой, например, углом отклонения  от положения равновесия.
При малых углах отклонения маятник будет совершать гармонические
колебания с периодом T относительно оси вращения Z, проходящей через точку
подвеса О.
Считая известными момент инерции тела I z относительно оси Z, его массу m и
расстояние L между точкой подвеса О и центром масс тела С, получим выражение,
определяющее период колебаний T данного физического маятника.

Момент сил M относительно неподвижной точки О определяется как

к
Z
Рисунок 2 - Колебания физического маятника
 
M  [r ,F],
где
Рисунок 1 – Иллюстрация
теореме Гюйгенса-Штейнера
(5)


r – радиус-вектор приложения силы M относительно точки О.
При отклонении маятника от положения равновесия на угол <8 (рисунок 2) в нем под действием силы тяжести
возникает возвращающий момент:
M   mgL  sin  ,
(6)
знак «–» указывает на то, что маятник стремится вернуться в положение равновесия.
1
Механической системой называют совокупность тел, рассматриваемых как единое целое.
Уравнение динамики вращательного движения (см. лабораторную работу №3) в проекции на ось вращения Z,
проходящую перпендикулярно плоскости колебаний, без учета силы трения имеет вид:
Iz
d 2
  mgL  sin 
dt 2
(7)
В случае линейных колебаний при малых углах отклонения можно считать, что sin   . Тогда:
d 2  mgL

  0.
dt 2
Iz
(8)
Выражение (8) представляет собой уравнение свободных гармонических колебаний с циклической частотой
  mgL I z , тогда период колебаний равен:
Iz
2
 2
.

mgL
T
(9)
Отсюда выразим момент инерции маятника относительно оси Z:
Iz 
mgL  T 2
(10)
4 2
где I z – момент инерции тела, рассчитанный по экспериментальным данным. Выражение (10) может быть применено
к данной механической системе, если исследуемый физический маятник можно рассматривать как абсолютно
жёсткую систему2.
ЗАДАНИЯ И ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Задание 1. Определение периода колебаний однородного гладкого стержня
Теорема Гюйгенса - Штейнера оказывается особенно полезной при вычислении
моментов инерции симметричных тел относительно осей, не являющихся осями
симметрии тела.
На рисунке 3 представлен однородный гладкий стержень, вращающийся вокруг
оси Z, проходящей через точку O и перпендикулярной оси стержня. Если известен
момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент
инерции относительно любой другой параллельной оси определяется по теореме
Гюйгенса-Штейнера.
I z  IC  mr 2
где IC  момент инерции тела массой m относительно оси, проходящей через его центр
масс, а Iz  момент инерции того же тела относительно оси Z, параллельной данной и
отстоящей от нее на расстояние r (рис. 3).
Теоретически период колебаний физического маятника можно найти в соответствии
с соотношением:
Tт  2
Iz
mgr
.
Z
Рисунок 3 - Однородный глад-кий
стержень, вращающийся вокруг
оси, проходящей через точку О и
перпендикулярной оси стержня.
(11)
Легко видеть, что если ось подвеса физического маятника проходит через центр масс тела, то период его
колебаний стремится к бесконечности. В случае колебаний относительно произвольной оси период колебаний
маятника принимает некоторое конечное значение.
Экспериментально период колебаний физического маятника можно найти, измерив время t N полных колебаний:
Тэ 
t
N
(11*)
Близкие значения, рассчитанного теоретически и измеренного экспериментально, периодов колебаний
подтверждают справедливость соотношений (3) и (11).
Момент инерции однородного гладкого стержня длиной L, ось вращения которого проходит через центр стержня
перпендикулярно его главной оси симметрии, равен
1
(12)
IC( ст )  mL2
12
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через один из его концов, найдем по теореме Штейнера.
Учитывая, что расстояние между осями r = L/2, имеем:
2
Абсолютно жесткой механической системой называется такая механическая система, в которой расстояния между любыми двумя точками ее
остаются постоянными на любых движениях этой системы.
2
I z ( ст )
1
1
 L
 mL2  m   mL2
12
3
 2
(13)
Теоретический период колебаний такого стержня равен:
Tст  2
mL2
2L
L
 2
 5 ,130
3g
g
 L
3mg  
 2
(14)
1. Измерьте длину стержня L.
2. Рассчитайте по формуле (14) теоретическое значение периода колебаний стержня Tт.
3. Измерьте время t 30-40 полных колебаний стержня 3-5 раз. Определите экспериментальные значения периодов
колебаний Т э по формуле (11*).
4. Найдите среднее значение экспериментального периода колебаний стержня Т э . Результаты вычислений запишите
в таблицу 1.
5. Сравните теоретическое и среднее экспериментальное значения периодов колебаний гладкого однородного
стержня.
6. Оцените относительную погрешность измерений Tт и Т э .
Задание 2. Определение периода колебаний однородного гладкого обруча
В работе используется однородный гладкий обруч радиуса R, главная ось симметрии которого проходит через
2
центр масс обруча перпендикулярно к его плоскости. Соответствующий ей момент инерции IC(обр) = mR . Момент
инерции обруча относительно оси Z, проходящей через любую точку обруча параллельно главной оси симметрии,
определяется по теореме Гюйгенса - Штейнера
Iz(обр)= mR2 + mR2 = 2mR2,
(15)
тогда теоретический период колебаний обруча диметром D равен
Tобр
2mR 2
D
.
 2
 2
mgR
g
(16)
1. Измерьте диаметр обруча D.
2. Рассчитайте по формуле (16) теоретическое значение периода колебаний обруча.
3. Измерьте время t 30-40 полных колебаний обруча 3-5 раз и определите экспериментальные значения периода
колебаний Т э по формуле (11*).
4. Найдите среднее значение Т э . Результаты вычислений запишите в таблицу 1.
Таблица 1.
Период колебаний
Тело
Tт , с
стержень (L=
обруч (D=
м)
м)
т , %
Тэ , с
э, %
Тэ =
Тэ =
5. Сравните теоретическое и среднее экспериментальное значения периодов колебаний обруча.
6. Оцените относительную погрешность измерений Tт и Т э , соответствующую прямым э и косвенным измерениям
т
Задание 3. Определение момента инерции однородного стержня с двумя грузами на концах
Исследуемым телом, момент инерции которого необходимо определить, является стержень с двумя грузами на концах
(рисунок 4). Грузы 1 и 2 в форме дисков крепят стержень на оси, другой груз 4 в форме цилиндра можно перемещать вдоль
стержня 3. Диски 1 и 2 выполнены из материала с удельной плотностью 1,2 = 7400 кг/м3; стержень 3 имеет плотность 3 =
8000 кг/м3; цилиндр 4 с отверстием имеет удельную плотность 4 = 7400 кг/м3.
Рассматривая исследуемое тело как систему, состоящую из четырех тел правильной геометрической формы,
можно теоретически рассчитать его момент инерции относительно оси вращения. Масса и плотность тела связаны
соотношением m= V. Тогда массы дисков и стержней можно представить следующим образом:
2
  D1
 h1 ,
4
2
  D3
m3   3 
 L3 ,
4
m1  1 
2
  D2
 h2 ,
4
2
  D4
m4   4 
 L4 ,
4
m2   2 
(17)
где D1, D2, D3, D4 –диаметры соответствующих дисков и стержней, h1, h2, L3, L4 – высоты дисков и длины стержней,
соответственно.
С учетом того, что цилиндр 4 находится на конце стержня 3 и ось вращения Z проходит через конец стержня 3,
получаем выражение для момента инерции данного тела относительно оси вращения в виде:
I т  I1  I 2  I 3  I 4 
D2 1
D2 1
1
1
m1 1  m 2 2  m 3 L23  m4 L24  m4 d 2 .
2
4
2
4
3
12
(18)
1. Измерьте с помощью штангенциркуля и линейки с точностью до трех значащих цифр диаметры D1, D2 , D3, D4,
высоты h1, h2 и длины L3, L4 дисков 1, 2 и стержней 3, 4, составляющих физический маятник (рисунок 4). Измерьте
расстояние d между центром масс тела 4 и точкой подвеса. Повторите каждое измерение не менее 3-5 раз. Результаты
занесите в таблицу 2. Найдите средние значения измеренных величин.
Таблица 2
Данные для теоретического расчета момента инерции тела сложной конфигурации
№ изм.
D1 , м
D2 , м
D3 , м
D4 , м
h1 , м
h2 ,м
L3 ,м
L4 ,м
d, м
1
2
3
4
5
среднее
1
2
L
3
L3
d
4
L4
Рисунок 4 - Физический маятник
Рисунок 5 - Определение центра масс маятника
2. Снимите маятник с установки, расположите его на призме, как показано на рисунке 5, и добейтесь состояния
равновесия. В состоянии равновесия точка упора будет совпадать по вертикали с положением центра масс маятника.
Измерьте расстояние L от точки подвеса до центра масс маятника. Результат занесите в таблицу 3.
Повесьте маятник на установку. Пять раз определите время 20 полных колебаний, данные измерения занесите в
таблицу 3. Найдите среднее значение экспериментального периода колебаний Т э .
3. По известным значениям удельной плотности материалов и данным таблицы 2 рассчитайте массы m1 , m2 , m3 , m4 .
4. По формуле (11) и данным таблицы 3 рассчитайте экспериментальное значение момента инерции , приняв массу
маятника m = m1+ m2+ m3+ m4 .
5. Используя соотношение (18), рассчитайте теоретическое значение момента инерции маятника.
6. Сравните
результаты,
полученные
теоретически
и
экспериментально,
пользуясь
формулой
  I э  I т I э  100% .
Таблица 4
Экспериментальные данные для определения момента инерции тела сложной конфигурации
t1 , с
L=
m=
t2 , с
t3 , с
, m1 =
, Iт =
t4 , с
, m2 =
, Iэ =
t5 , с
tср, с
, m3 =
, =
Тэ , с
, m4 =
L, см
,
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем проявляется физическое единство законов, описывающих поступательное и вращательное движения?
2. Что называется моментом инерции тела и от чего он зависит? В чем проявляется отличие момента инерции тела от его массы?
3. Сформулируйте теорему Гюйгенса - Штейнера. Можно ли изменять ориентацию оси, проходящей через точку О?
4. В каких случаях является затруднительным аналитический расчет момента инерции тела? Как поступают в этом случае?
5. Что такое физический маятник?
6. В чем состоит метод проверки справедливости теоремы Гюйгенса – Штейнера, используемый в данной работе?
7. Получите формулы для периода колебаний стержня и обруча. Каким образом теорема Гюйгенса - Штейнера применяется для
расчета периода колебаний физического маятника?
8. По указанию преподавателя получите формулу для момента инерции симметричного тела относительно его главной оси
симметрии.
9. Какие физические величины должны быть измерены для определения момента инерции цилиндра относительно оси,
проходящей параллельно оси симметрии цилиндра?
10. Какие физические величины влияют на период колебаний маятников, используемых в данной работе?
11. *Докажите, что при углах поворота маятников на угол, больший, чем 8–10, период колебаний зависит от амплитуды
колебаний.
12. *Каким образом влияет амплитуда колебаний на погрешности определения момента инерции маятника?
13. * Предложите способ измерения и расчета момента инерции тел, имеющих внутреннюю полость или неправильную форму?
14. *При длительном пребывании в невесомости космонавты обычно худеют. Как можно измерить массы тела космонавтов в
невесомости?
15. *Как можно определить момент инерции Земли, Луны?
16. *Как можно определить момент инерции молекулы водорода, кислорода?
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1. Тонкостенная трубка и кольцо, имеющие
одинаковые массы и радиусы, вращаются с одинаковой
угловой скоростью. Отношение величины момента
импульса трубки к величине момента импульса колеса
равно…
2. Момент инерции тела массой 1 кг относительно
центра масс равен 6 кг·м2, а относительно параллельной
ей оси 10 кг·м2. Найти расстояние между осями.
3. Три маленьких шарика расположены в вершинах
правильного треугольника. Момент инерции этой
системы относительно оси O1, перпендикулярной
плоскости треугольника и проходящей через его центр –
I1 . Момент инерции этой же системы относительно оси
O2, перпендикулярной плоскости треугольника и
проходящий через один из шаров – I2. Как соотносятся
моменты инерций I1 и I2?
4. Если ось вращения тонкого кольца перенести из
центра масс на край, то момент инерции относительно
новой оси увеличится в…
5. Тонкий обруч радиусом 1 м, способный свободно
вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей
через точку О перпендикулярно плоскости рисунка,
отклонили от вертикали на угол  / 2 и отпустили. В
начальный момент времени угловое ускорение (в рад/с2)
обруча равно...
6. Из жести вырезали три одинаковые детали в виде
эллипса. Две детали разрезали пополам вдоль разных
осей симметрии. Затем все части отодвинули друг от
друга на одинаковое расстояние и расставили
симметрично относительно оси ОО’. Как соотносятся
между собой моменты инерции I1, I2 и I3 относительно
оси ОО’?