Инструкция для потребителя Терморег;pdf

Определители
Семинар 8.
Задача 1. Докажите, что набор из n непрерывных функций f1 , . . . , fn : R → R линейно независим
тогда и только тогда, когда существует набор различных точек p1 , . . . , pn ∈ R такой, что определитель
матрицы fi (pj ) отличен от нуля.
x 1 2 x
x 3 x 4
4
3
Задача 2. Вычислите коэффициент при x и x у определителя матрицы −1
x 1 0 .
x 1 1 1
Задача 3. Вычислите определитель
a11
a21
(a) a31
a41
a51
a12
a22
0
0
0
a13
a23
a33
a43
a53
a14
a24
0
0
0
a15
a25
a35
a45
a55
;
0 0 ... 0 a1 t 0 ... 0 0 .
... ...
0 0 0 ... an t
t
(b) a2
Задача 4. Как изменится определитель матрицы порядка n, если
(a) 5-ую и 7-ую строчки матрицы умножить на константу c;
(b) у всех элементов матрицы изменить знак на противоположный;
(c) элементы изменить по правилу aij 7→ cj−i aij для заданного c 6= 0;
(d) первый столбец поставить на последнее место, а остальные столбцы сдвинуть влево, сохраняя
их расположение;
(e) записать строки в обратном порядке?
Задача 5. Как меняется детерминант матрицы при элементарных преобразованиях строк (столбцов) этой матрицы?
Задача 6. Числа 20604, 53227, 25755, 20927, 289 делятся на 17.
2 0 6 0 4
5 3 2 2 7
2
5
7
5
5
Доказать, что определитель тоже делится на 17.
2 0 9 2 7
00289
Задача
определитель
x7. Вычислите
y
z 1 1+x y 1+x y
1 1
1 2
y z x 1
...
(a) z x y 1 ;
(b) 1+xn y1 1+xn y2
x+z x+y y+z 1 2
2
2
... 1+x1 yn ...
.
... 1+xn yn
Задача 8. Пусть ϕ : R[x]6n → R[x]6n – отображение из пространства многочленов степени не
′′
′′′
выше n в себя, сопоставляющее многочлену f (x) многочлен f (x) + f ′ (x) + f 2(x) + f 6(x) + . . .. Вычислить определитель
матрицы этого отображения, записанной в базисе интерполяционных многочленов
Q
x−x
fi (x) := j6=i xi −xjj , где x0 , . . . , xn – набор из (n + 1) различных точек на прямой R.
Задача 9. Сравните количество операций, нужных для вычисления
(a) определителя n × n матрицы по явной формуле и методом Гаусса;
(b) обратной матрицы размера n × n методом Крамера и методом Гаусса.
Какой из методов быстрее для матриц 3 × 3 и матриц 4 × 4.
Задача
Вычислите
матрицы с помощью метода Крамера
2обратные
1 10.
1 31 12 20 2 23 00 00 (b) 0 0 1 −1 .
(a) 1 −1 1 3 ;
0 1 02
0 0 1 −2
Задача 11. Пусть A матрица, матричные элементы которой являются многочленами. Докажите,
что обратная к ней матрица с коэффицинтами в многочленах существует тогда и только тогда, когда
её определитель является числом, отличным от нуля.
Задача 12. (Формула Бине-Коши) Пусть A – матрица размера
m × n и B – матрица размера
P
n × m (для m > n). Докажите, что det(AB) = 0 и det(BA) = 16i1 <...<in 6m Ai1 ...in Bi1 ...in , где Ai1 ...in
(соответственно Bi1 ...in ) – миноры порядка m, составленные из строк (столбцов) с номерами i1 , . . . , in .