Содержание

Содержание
Уравнение теплопроводности
Вывод уравнения
Постановка задачи Коши
Численное решение
Простой явный метод
Схема Кранка-Никольсона
Программа
Визуализация данных
Используемые материалы
2
4
5
6
7
8
10
11
13
Уравнение теплопроводности
Уравнение теплопроводности является параболическим уравнением в
частных производных. Также оно называется уравнением диффузии.
Уравнение описывает процесс распространения тепла в среде или диффузию
в однородной изотропной среде.
При начальном условии
и граничными условиями
точное решение имеет вид
Коэффициент температуропроводности
В уравнении теплопроводности – постоянная, называемая коээфициентом
температуропроводности и выражается как
– теплопроводность, - изобарная удельная теплоёмкость, – плотность.
Температуропроводность характеризующая скорость изменения
(выравнивания) температуры вещества в неравновесных тепловых
процессах.
Материал
Золото
Железо
Воздух
Вода
Температупроводность
1
Вывод уравнения
Закон Фурье: если температура тела неравномерна, то в нем возникают
тепловые потоки, направленные из мест с более высокой температурой в
места с более низкой.
В случае, когда изменение температуры имеет различную велечину на
разных участках или стержень неоднороден, то количество тепла, которое
необходимо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на , равно
Также стоит учесть выделение (например вследствии прохождения тока или
химических реакций) тепла на стержне, которое можно охарактеризовть
объемной плотностью тепловых источников
в точке x в момент . В
результате действия источников за промежуток времени
на
участке стержня
выделится количество тепла
– количество тепла, протекающее за промежуток времени
сечение x.
через
Уравнение теплопроводности получается при подсчете баланса тепла на
некотором отрезке
за некоторый промежуток времени
.
Применяя закон сохранения энергии и пользуясь вышеприведенными
формулами, запишем равенство
Предположим, что функция u имеет непрерывные производные
и .
1
Воспользовавшись теоремой о среднем, а затем теоремой о конечных
приращениях и перейдя к пределу при
и
, получим
уравнение
1
Подробнее в А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, Уравнения математической физики, глава 3, пункт 1
2
В случае однородного стержня, , , , можно считать постоянными, тогда
уравнение записывается в виде
3
Постановка задачи Коши
Исследуем решение уравнения теплопроводности на двумерной пластине c
размерами
, где краевые условия заданы на краях пластины (всего 4)
как функции координаты и времени.
Также задано начальное условие
4
Численное решение
В связи с тем, что не всегда получается получить решение в аналитическом
виде и проблематичностью получения такого решения на компьютере,
приходится переходить от уравнений в частных производных к конечноразностным задачам.
Если функция
непрерывна, а
достаточно мало, но конечно, то
значение выражения под пределом будет близко к значению производной
.
Введем некоторые базовые понятия.
Задача называется стационарной, если решение уравнения в частных
производных внутри некоторой области определяется лишь условиями на
границе этой области. Физически стационарная задача описывает
установившийся процесс, а математически сводится к решению задачи с
граничными условиями.
Разностная схема называется явной, если в каждое алгебраическое
уравнение входит лишь одно неизвестное, которое с помощью этого
уравнения может быть выражено через известные велечины. Остальные
схемы являются неявными.
Разностная схема называется устойчивой, если на каждом шаге любая
ошибка не возрастает при переходе от одного шага к другому.
Согласованной называется разностная схема, аппроксимирующая уравнение
в частных производных.
Сходимость – стремление решения конечно-разностного аналога уравнения
в частных произвдных к решению исходного уравнения (для одинаковых
начальных и граничных условий) при измельчении сетки.
Теорема Лакса об эквивалентности
Необходимым и достаточным условием сходимости разностной схемы для
решения корректно поставленной задачи с начальными данными для
5
линейного уравнения в частных производных является выполнение условий
согласованности и устойчивости.
Простой явный метод
Простой явный метод использует шаблон «уголок» и имеет ограничения на
шаг по времени (зависит от шага по координате).
Одномерный случай
Двумерный случай
Устойчивость
Перепишем схему в виде
Будем искать решение в виде суммы гармоник вида
6
Последнее условие выполняется лишь при
. Возвращаясь к шагам
разностной сетки, получим условие устойвости в виде
Схема Кранка-Николсона
Схема разработана английскими математиками Джоном Кранком (1916 –
2006) и Филлис Николсон (1917 – 1968) в 1947 году. Схема является
абсолютно устойчивой.
Одномерный случай
Двумерный случай
7
Благодаря тому, что дифференциальные операторы правой части
аппроксимируются полусуммой значений на производных на двух
последовательных шагах по времени, схема имеет второй порядок точности
с погрешность апроксимации
.
Для дальнейшего исследования перепишем схему в виде
где
Матрица системы уравнений для двумерного случая имеет более сложный
вид, в отличии от одномерного случая с трехдиагональной матрицей.
Например, при использовании сетки 4 x 4, получаем систему из четырех
уравнений (2 x 2 внутренних точек):
Которая приводит к матричному уравнению
8
Программа
Программа написана на C# с использованием дополнения к Microsoft Office
Excel для визуализации данных.
Для парсинга математических выражений используется библиотека NCalc,
что позволяет не задавать начальные и краевые условия в коде программы, а
вводить во время исполнения.
Также используется возможности библиотеки Alglib для матричных
вычислений.
Исходный код и исполняемый файл доступны по адресу
https://sourceforge.net/projects/heateq/files/
9
Визуализация результатов
Начальное условие
, краевые условия по нулям, сетка
.
10
Начальное условие
, краевой условие на левом краю пластинки равно
0.5, остальным по нулям, сетка
.
11
Используемые материалы
 Д. Андерсон, Дж. Таннехил, Р. Плетчер, “Вычислительная
гидромеханика и теплообмен”
 А. А. Самарский, “Введение в численные методы”
 В. М. Пасконов, В. И. Полежаев, Л. А. Чудов, “Численное
моделирование процессов тепло и массообмена”
 С.К. Годунов, В.С. Рябенький, “Разностные схемы”, 1977
 А.Н. Тихонов, А. А. Самарский, “Уравнения математической физики”,
1977
12