На пути к большому автокластеру;pdf

,J
Е
I0Z усJ,(хdи
IJeHho
j5йтЕйпýпэ
винаьztgо Bшdoql
(чнашоrс) шипвхифиruау
:rrипвýиrгвиПаuз
:
их{оlоJrош аинаlгавdшвц
циншdпиIЕи хихэ пhиЕпYошJ
ихJо gчdgо цохэ шhиJчиIпJ,Yш IrиdоflI
(lчниrпиПсиV uшtцвd;оdп ruнqэь,( rеьо9еd)
IчниIf LIиПэиY YиIиIYdJodLI KVHчIfaJvBoEYdgo
l-?0z--ф-,
qolfegoнox.LI.H
оIYYжd
<<rсиOаЕоаJ и
вdпефву
emxdBtrN>)
tJинваOf,чrошоdЕан
r,{rиrонц
(JtrJиэdf,flинл
цихэшhинхшJ
цIчнншflIэdYYлэоJ
цихэJлхdи>
oIIfl лоgJФ
иипвdаЕаq) ЦО}tСцисJоd инfвн и ljиHвflocBdgo оаrсdаrсинииJ
,J-7
,J
t I0Z хсJ,(хdи
IJBHhO
i5йТЕйЕбП5
@
rrинаьz(9о виrdоq,
(чнапаrэ) шипвхифиrвау
:uиПвýиrвиПашз
:
и}Ifl
оlоJПоtl оинаrавdпвц
цинtrdfl иIЕи хихэtrhиttrYопJ
ихIо gYdýо цохэ шhиJYиiшJYи[ IrиdопJ
(lчниrпиIlсиY
ur^{r{еdJоdш
ruн9эь,( ruьоgud)
IчниrгшиПэиY чИIиIYсIJоdп rVнчIfаJYвоtYdgо
оZ---ф-,,-v,,
воrевонох.ш.нЪ
эrо9еd ион9эь,{ бш dбЙэdоdц
оIчYжdтflJ,л
(виýаtsоаJ и оrаtr ао>lоdаtsцаmхdвtrц>>
вdrафву
tJинваOf,чrошоdЕаrl
rzfuиrонц
1. Информация из ФГОС, относящаяся к дисциплине
1.1. Вид деятельности выпускника
Дисциплина охватывает круг вопросов относящиеся к виду деятельности выпускника: проектно-изыскательская.
1.2. Задачи профессиональной деятельности выпускника
В дисциплине рассматриваются указанные в ФГОС задачи профессиональной деятельности выпускника:
• разработка алгоритмов, программ и методик решений инженерногеодезических задач при проектировании, строительстве и эксплуатации
зданий и инженерных сооружений;
• выполнение математической обработки результатов полевых геодезических измерений, астрономических наблюдений, гравиметрических
определений.
1.3. Перечень компетенций, установленных ФГОС
Освоение программы настоящей дисциплины позволит сформировать у обучающегося следующие компетенции:
• готовностью к разработке алгоритмов, программ и методик решений инженерно-геодезических задач при проектировании, строительстве и
эксплуатации зданий и инженерных сооружений (ПК-26);
• владением методами математической обработки результатов полевых геодезических измерений, астрономических наблюдений, гравиметрических определений (ПК-27).
1.4. Перечень умений и знаний, установленных ФГОС
Студент после освоения программы настоящей дисциплины должен:
знать:
• теорию математической обработки геодезических измерений и
вычислительные алгоритмы для решения инженерно-геодезических задач;
уметь:
• выполнять уравнивание и производить оценку точности плановых,
высотных и пространственных геодезических сетей и предрасчёты точности результатов геодезических измерений;
владеть:
• методами вероятностно-статистического анализа и интерпретации
геопространственных данных.
2. Цели и задачи освоения программы дисциплины
Цель освоения программы дисциплины заключается в формировании у студентов систематизированного комплекса базовых профессиональных знаний по основам теории математической обработки геодезических измерений.
Основными задачами освоения программы дисциплины являются:
2
• изучение алгоритмов, программ и методик решений инженерногеодезических задач при проектировании, строительстве и эксплуатации
зданий и инженерных сооружений;
• освоение методов математической обработки результатов полевых
геодезических измерений, астрономических наблюдений, гравиметрических определений;
• изучение основных понятий о процессе измерений и факторах,
влияющих на точность;
• изучение основных понятий об ошибках, возникающих в процессе
измерений, закономерностях их возникновения и мерах по уменьшению их
влияния на результат измерений;
• освоение инженерных методов обоснования точности геодезических измерений;
• исследование основ и практических способов уравнительных вычислений различных типов геодезических сетей на основе метода наименьших квадратов.
3. Место дисциплины в структуре ООП
Для изучения дисциплины, необходимо освоение содержания дисциплин: геодезия, математика, физика.
Знания и умения, приобретаемые студентами после освоения содержания дисциплины, будут использоваться в следующих дисциплинах:
высшая геодезия, прикладная геодезия, информационные технологии в
геодезии, фотограмметрия, проектирование топографо-геодезических работ.
4. Основная структура дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 ЗЕТ – 180 часов.
Таблица 1 – Структура дисциплины
Трудоемкость, часов
Вид учебной работы
Семестр
Всего
№4
Общая трудоемкость дисциплины
180
180
Аудиторные занятия, в том числе:
72
72
лекции
36
36
практические/семинарские занятия
36
36
Самостоятельная работа (в том числе кур72
72
совое проектирование)
Вид промежуточной аттестации (итогово- Экзамен (36), Экзамен (36),
го контроля по дисциплине), в том числе
КП
КП
курсовое проектирование
3
5. Содержание дисциплины
5.1. Перечень основных разделов и тем дисциплины
Раздел 1. Результаты измерений как случайные величины. Вероятностные основы теории ошибок измерений. Равноточные и неравноточные измерения. Зависимые и независимые измерения
Тема 1.1. Введение в теорию математической обработки геодезических измерений. Измерения. Ошибки результатов измерений и их классификация.
Тема 1.2. Результаты измерений, их ошибки как случайные величины. Роль нормального закона распределения как закона распределения результатов измерений и их ошибок. Правило двух и трех сигм.
Тема 1.3. Абсолютные и относительные ошибки. Ошибки округлений.
Тема 1.4. Принцип равных влияний и его использование для расчетов точности отдельных геодезических измерений.
Тема 1.5. Систематические ошибки и способы их выявления.
Раздел 2. Оценка точности функций результатов измерений
Тема 2.1. Характеристики точности результатов измерений и их
функций.
Тема 2.2. Вычисление дисперсии функции общего вида. Дисперсия и
вес некоторых функций.
Тема 2.3. Обратный вес функции общего вида. Вес функции измеренных величин.
Тема 2.4. Общая арифметическая средина. Ошибка единицы веса и
среднеквадратические ошибки отдельных измерений.
Тема 2.5. Уравнительные вычисления методом эквивалентной замены.
Тема 2.6. Критерии оценки точности измерений. Формула Гаусса и
Бесселя.
Тема 2.7. Оценка точности результатов геодезических измерений: по
разностям двойных измерений, по методу наименьших квадратов.
Раздел 3. Уравнительные вычисления
Тема 3.1. Основы метода наименьших квадратов. Уравнивание по
методу наименьших квадратов, параметрический и коррелатный способы
уравнивания результатов измерений.
Тема 3.2. Оценка точности и вычислительные алгоритмы. Строгое и
приближенное уравнивание.
Тема 3.3. Понятие о рекуррентном уравнивании. Обобщенный способ уравнивания и его частные случаи. Контроль грубых ошибок.
Раздел 4. Уравнивание геодезических построений различных видов
Тема 4.1. Уравнивание триангуляции коррелатным способом.
Тема 4.2. Уравнивание полигонометрии любой формы двухгрупповым методом.
Раздел 5. Решение больших систем уравнений
4
Тема 5.1. Составление и решение больших систем нормальных
уравнений. Уравнивание функций результатов измерений.
5.2. Краткое описание содержания теоретической части разделов
и тем дисциплины
Раздел 1. Результаты измерений как случайные величины.
Вероятностные основы теории ошибок измерений. Равноточные и
неравноточные измерения. Зависимые и независимые измерения.
Тема 1. Введение в теорию математической обработки
геодезических измерений. Измерения. Ошибки результатов измерений и их
классификация
Теория математической обработки геодезических измерений
(ТМОГИ) является одним из базовых курсов в подготовке специалистов
геодезического профиля. Изучение ТМОГИ основывается на двух
разделах: теории ошибок измерений и метода наименьших квадратов
(МНК).
Основные вопросы, рассматриваемых в теории ошибок измерений,
можно сформулировать следующим образом:
1) изучение законов возникновения и распределения ошибок
измерений и вычислений;
2) установление допусков, т.е. критериев, указывающих на наличие
недопустимых отклонений результатов измерений (грубых ошибок);
3) отыскание наиболее точного по вероятности значения
определяемой величины из результатов ее многократных измерений;
4) предвычисление ожидаемой точности и оценка точности
полученных результатов измерений;
5) характеристика точности окончательных значений определяемых
величин по результатам математической обработки измерений.
Основной задачей метода наименьших квадратов является
уравнивание геодезических сетей (построений), при этом должны
учитываться математические связи между измеренными величинами для
совместной их обработки.
Условием и причиной возникновения задачи уравнивания является
наличие избыточно измеренных величин и неизбежность малых ошибок
измерений.
В метрологии даются следующие определения: «… измерение – это
нахождение значения физической величины опытным путем с помощью
специальных технических средств…», и «… результат измерения – полученное значение физической величины, выраженное в принятых единицах
измерений».
Из определения понятия «измерение» следует, что измерение –
некоторый технологический процесс, выполнение которого можно разбить
на несколько этапов.
Первый этап – постановка задачи, на этом этапе определяется, что и
с какой точностью надо измерить.
5
Второй этап – это выбор технических средств измерений, методики
измерений, достаточных для решения поставленной задачи.
Третий этап – собственно измерения (измерительная процедура),
получение результата (результатов) измерений. Измерительная процедура
может быть простой, например, измерение отрезка линейкой, может быть
и достаточно сложной, например, измерения угла на станции теодолитного
хода, или превышения на станции нивелирного хода.
Заключительный, четвертый этап – обработка результатов измерений.
Разность результата измерений и истинного значения измерявшейся
величины назовем истинной ошибкой результата измерений.
Классификация ошибок измерений может быть проведена по разным
показателям.
А) Классификация ошибок измерений по факторам, их вызывающим:
Факторы, вызывающие ошибки измерений, можно разделить на несколько основных групп и соответственно этим группам классифицировать ошибки измерений.
1. инструментальные (приборные) ошибки, - ошибки, связанные с
используемыми средствами измерений. Например, при геометрическом
нивелировании - негоризонтальность визирного луча, ошибки делений реек и т.д.
2. личные (субъективные) ошибки – ошибки, связанные с особенностями лица, проводящего измерения.
3. внешние ошибки – ошибки, вызываемые влиянием внешних условий, например, влиянием рефракции.
4. методические ошибки – ошибки, связанные с отличием принятой
модели измерений от действительной, с неучетом или неправильным учетом влияния некоторых факторов.
Таким образом, на результат измерения оказывают влияние множество факторов, относящихся к этим группам, поэтому истинную ошибку
можно представить в виде суммы элементарных ошибок ε j
Δi = ε 1 + ε 2 +  ε j +  .
Б) Проведем классификацию ошибок измерений по особенностям их
проявления в рядах измерений.
1. Грубые ошибки, промахи.
Грубые ошибки – это ошибки, величина которых не может быть
объяснена точностью используемых приборов, они – результат грубого
промаха исполнителя (например, неправильный отсчет), сбоя средства
измерения, резкого изменения внешних условий.
При организации, проведении и обработке измерений принимаются
специальные меры для исключения результатов измерений, содержащих
грубые ошибки. Например, каждая величина измеряется по крайней мере
дважды, не допускается измерение вертикальных углов в периоды, когда
велика вертикальная рефракция, регламентирована постоянная проверка и
6
юстировка приборов, проводятся избыточные измерения для выявления
грубых ошибок по невязкам.
2. Систематические ошибки.
Систематическая ошибка сохраняет свою величину и знак при
повторных измерениях в тех же условиях. Как правило, систематическая
ошибка – следствие действия какого-либо одного фактора, она меняется в
зависимости от изменения этого фактора.
Опыт показывает, что полностью исключить систематические ошибки невозможно, однако измерения должны быть организованы так, чтобы
остаточное влияние систематических ошибок было пренебрегаемо малым,
чтобы систематической составляющей можно было пренебречь.
3. Случайные ошибки.
Даже исключив из результатов измерений влияние систематических
ошибок, мы получим ряды результатов измерений, содержащие ошибки,
величина и знак которых меняются случайным образом. Эти ошибки составляют случайную составляющую истинной ошибки.
В) Результаты измерений делятся на равноточные и неравноточные.
Очевидно, что примером равноточных измерений будут измерения
физических величин одного типа, выполняемые в одинаковых условиях
исполнителями одинаковой квалификации с использованием измерительных средств одинаковой точности.
Г) Принято так же делить измерения на прямые и косвенные.
К прямым измерениям относятся измерения, выполненные приборами, специально предназначенными для измерения величин данного типа. В
измерительных средствах для прямых измерений физических величин одного и того типа могут использоваться различные физические принципы,
например, для измерения длин линий могут использоваться и мерные ленты и светодальномеры, для измерения атмосферного давления и ртутные
барометры и барометры-анероиды, в которых в качестве датчика давления
используется упругий элемент.
К косвенным измерениям относятся случаи, когда значение искомой
величины вычисляется как функция непосредственно измеренных величин. Например, превышение может быть найдено из тригонометрического
нивелирования, в котором непосредственно измеряется наклонная дальность и угол наклона.
Тема 2. Результаты измерений, их ошибки как случайные величины.
Роль нормального закона распределения как закона распределения результатов измерений и их ошибок. Правило двух и трех сигм.
Опыт показывает, что случайные составляющие истинной ошибки
измерений, хотя это и случайные величины, в массе подчиняются определенным закономерностям, которые обычно приводятся в курсах геодезии:
1. по абсолютной величине ошибки измерений не превосходят некоторого предела;
2. положительные и отрицательные ошибки встречаются одинаково
7
часто;
3. среднее арифметическое ошибок многократных измерений имеет
тенденцию стремиться к нулю с увеличением числа измерений;
4. большие по абсолютной величине ошибки обычно встречаются
реже меньших.
Зная закон распределения случайной величины x, можно найти ее
количественные характеристики, важнейшими из которых являются математическое ожидание и дисперсия.
Математическое ожидание – одна из количественных характеристик положения, по определению математическое ожидание непрерывной
случайной величины равно
+∞
M{x} = a x =
∫ x f (x )dx
−∞
Дисперсия – одна из количественных характеристик рассеивания,
разброса случайной величины около математического ожидания. По определению дисперсия случайной величины x равна математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания, т.е.
D{x} = σ 2x = M{( x − a x ) 2 }
Функции случайной величины – случайные величины, закон распределения функции случайной величины зависит от закона распределения
аргумента и вида функции.
Если случайная величина y – функция случайного аргумента x,
y = ϕ(x)
то математическое ожидание случайной величины y равно
+∞
M{y} = b y =
∫ ϕ(x ) f (x )dx
−∞
Для вычисления дисперсии случайной величины x
+∞
D{x} = σ 2x = M{( x − a x ) 2 } =
∫ (x − a
x
) 2 f ( x )dx
−∞
Корень квадратный из дисперсии называется среднеквадратическим
отклонением σ x случайной величины
σ x = D{x}
Математическое ожидание k-ой степени случайной величины x называется начальным моментом порядка k
α k = M{x k }
Таким образом, математическое ожидание – начальный момент первого порядка
M{x}= α1
Центральным моментом порядка k называется математическое
ожидание k-ой степени разности случайной величины и ее математического ожидания
ν k = M{( x − α 1 ) k }
Следовательно, дисперсия – центральный момент второго порядка
8
σ 2x = D{x} = ν 2
Если математическое ожидание результатов измерений равно истинному значению измеряемой величины, т.е. если справедливо, мы будем говорить, что результаты измерений – несмещены, результаты измерений –
несмещенные оценки измеряемой величины.
Дисперсия неслучайных величин X и δ равна нулю, поэтому дисперсии результатов измерений, истинных ошибок и случайной составляющей
истинной ошибки равны, т.е. D{ x } = D{ ∆} = D{d } поэтому удобно их обозначать символом σ , т.е.
σ x2 = σ ∆2 = σ d2 = σ
соответственно равны и их среднеквадратические отклонения
σx =σ∆ =σd =σ
Напомним, что закон распределения элементов случайной выборки
равен закону распределения генеральной совокупности, поэтому количественные характеристики элементов случайной выборки равны соответствующим количественным характеристикам генеральной совокупности.
Следовательно, если M { x } = X , D{ x} = σ x2 = σ 2 , то и
M { xi } = M { x } = X , D{ xi } = D{x } = σ x2 = σ 2
Соответственно,
, D{ ∆ i } = D{∆ } = σ ∆2 = σ 2
M{∆i } = M{∆}
M { d i } = M { d } = 0 , D{ d i } = D{d } = σ d2 = σ 2
Используя таблицы, легко найти, что
p(|∆| <2σ)=Ф(t = 2) = 0,95
p(|∆| <3σ)=Ф(t = 3) = 0,997
Такие соотношения очень важны.
Из них следует, что вероятность того, что случайная ошибка превысит по абсолютной величине
удвоенное ско равна 0.05,
утроенное ско равна 0.003.
Эти вероятности малы, поэтому события |∆|>2σ и |∆|>3σ практически невозможны при одиночном измерении, следовательно, удвоенное или
утроенное среднее квадратическое отклонение можно считать предельным
значением ошибки, предельно возможным значением ошибки измерений.
Отсюда правило двух и трех сигм – ошибку измерений, которая превысила удвоенное и тем более утроенное ско следует считать грубой, недопустимой ошибкой.
ний
Тема №3. Абсолютные и относительные ошибки. Ошибки округле-
Среднеквадратическая ошибка m – величина, определяемая по формуле Гаусса:
m=
∆21 + ∆22 + ... + ∆2n
=
n
[∆ ]
2
n
где истинные ошибки Δi = xi – X (i = 1,2,…,n); x – результат измерения ве9
личины, истинное значение которой равно X.
Средняя ошибка υ – среднее арифметическое из абсолютных значений случайных ошибок, т.е.
ϑ=
∆ 1 + ∆ 2 + ... + ∆ n
n
=
[∆ ]
n
Вероятная или срединная ошибка r находится в середине ряда, в котором все ошибки располагают по убыванию или возрастанию их абсолютных значений.
Среднеквадратическая ошибка более предпочтительна, чем средняя
и вероятная, т.к. на ее величину большее влияние оказывают большие по
абсолютной величине ошибки и она более устойчива, т.е. довольно надежно определяется при небольшом n числе ошибок. Среднеквадратическую
ошибку самой ошибки определяют по формуле:
m m = m / 2n
Предельное значение ошибки
∆ пред ≤ 3m
При ограниченном числе измерений на практике считают
∆ пред ≤ 2,5m и ∆ пред ≤ 2m
Среднеквадратическая ошибка тесно связана со средней ошибкой υ и
вероятной ошибкой r приближенными формулами:
m = 1,25 υ; m = 1,48 r
Все приведенные выше ошибки называют абсолютными. Кроме
абсолютных имеются относительные ошибки fотн, которыми называют
отношение абсолютной ошибки к среднему значению измеряемой
величины. Относительные ошибки выражают дробью, числитель которой
равен единице, а знаменатель – отношению среднего значения измеряемой
величины к абсолютной ошибке.
Ошибки округлений возникают при вычислениях и измерениях. При
вычислениях результаты округляют до удерживаемого в каждой
вычислительной операции десятичного знака. Если отбрасываем часть
меньше или больше 0,5 единицы удерживаемого десятичного знака, то
округление производят соответственно с сохранением или увеличением
цифры этого знака на единицу. Если же отбрасывают точно 0,5 единицы
удерживаемого знака, то предложенному Гауссом правилу округление
производят до четной цифры. Правило Гаусса исключает одностороннее
накопление ошибок за округление и позволяет иметь совершенно
идентичные результаты, когда одни и те же вычисления выполняют разные
лица.
При измерениях ошибки возникают при отсчетах по мерным шкалам
отсчетных приборов в случаях, когда десятые доли деления шкалы
отбрасывают и отсчет производят с округлением до ближайшего целого
деления шкалы. Но если десятые доли шкалы определяют на глаз, то
ошибка отсчета будет ошибкой измерения, а не округления.
Свойства ошибок округления:
10
1) предельная ошибка одного округления α= 0,5 единицы
последнего удерживаемого десятичного знака;
2) положительные
и
отрицательные
ошибки
округлений
равновозможны;
3) математическое ожидание ошибок округлений равно нулю, т.е.
M(∆) = 0.
4) большие и малые ошибки округлений равновозможны.
Тема 4. Принцип равных влияний и его использование для расчетов
точности отдельных геодезических измерений. Систематические ошибки
и способы их выявления
Нередко искомые величины непосредственно измерить нельзя и их
определяют путем вычисления функции измеренных величин. Ошибка
функции будет зависеть от ошибок входящих в нее аргументов. Предположим, что в функции
аргументы х,, х2, ..., хп попарно коррелированы и получены со среднеквадратическими ошибками тх, тх, ..., тх.
Если X, У,... U— истинные (точные) значения аргументов, то их истинные ошибки
а истинная ошибка функции
Раскладывая второе слагаемое в ряд Тейлора с учетом первых двух
членов ряда, находим
где R — остаточный член разложения, равный сумме всех нелинейных членов ряда Тейлора, его значением в геодезии в большинстве случаев
можно пренебречь. Тогда
При многократных намерениях имеем
11
Возведя левые и правые части в квадрат, суммируя и деля на n с учетом предыдущей формулы получим
Согласно формуле
Для попарно коррелированных аргументов находим
Значения частных производных обычно определяют по приближенным значениям аргументов. При вычислениях по формуле (2.27) производные вычисляют с сохранением трех значащих цифр, в конечном результате удерживают две значащих цифры. Коэффициенты корреляции rxy
…, rxu предварительно определяют из специальных исследований.
При выполнении различных расчетов часто возникает необходимость по известной точности функции найти точность определения каждого аргумента. При решении этой задачи обычно используют принцип равных влияний, согласно которому полагают
и вместо выражения получим
откуда
Раздел 2. Оценка точности функций результатов измерений
Тема 6. Характеристики точности результатов измерений и их
функций.
Измерения могут быть равноточными и неравноточными. Но как
охарактеризовать их точность, что использовать в качестве характеристики
точности измерений?
Интуитивно ясно, что точность измерений должна характеризовать
близость результатов измерений к истинному значению измеряемой
величины.
В метрологии точность результатов измерений определяется двумя
показателями
12
1) правильность измерений и 2) сходимость измерений.
Под «правильностью измерений» в метрологии понимается близость
к нулю систематической составляющей истинной ошибки, сходимость
измерений связана с разбросом, рассеиванием результатов измерений, т.е.
со случайной составляющей истинной ошибки.
Мы будем избегать использования термина «правильность измерений» в указанном смысле, считая, что термин «несмещенность результатов
измерений», указывающий на незначимость систематической ошибки,
лучше характеризует данное свойство ошибок измерений.
Поэтому вместо термина «правильность измерений» мы будем использовать термин «несмещенность результатов измерений», который характеризует незначимость систематической ошибки. Геодезические измерения организуются таким образом, чтобы обеспечить несмещенность результатов, практическое отсутствие систематических ошибок, и в этом
смысле они - "несмещенные результаты измерений" ,«правильные измерения».
В качестве характеристики сходимости измерений используется одна
из количественных характеристик рассеивания. Как это и делается в метрологии и геодезии, будем использовать в качестве характеристики сходимости измерений среднее квадратическое отклонение результатов измерений и, следовательно, среднее квадратическое отклонение будет использоваться как характеристика точности измерений. Напомним, что среднее
квадратическое отклонение обозначается символом σ и аббревиатурой
"ско".
Часто возникает необходимость вычисления функций результатов
измерений (вспомните определение косвенных измерений). Как характеристику точности найденных значений функций результатов измерений будем использовать среднее квадратическое отклонение этих функций.
Можно привести ряд доводов в пользу выбора среднеквадратического отклонения (ско) в качестве характеристики точности измерений, но
ограничимся следующими:
1. если известны ско аргументов, достаточно просто вычислить ско
их функций;
2. даже по сравнительно малому числу измерений можно довольно
надежно оценить ско;
3. зная ско легко вычислить предельную ошибку измерений. Так, для
нормального закона распределения ошибок измерений вероятность того,
что случайная составляющая ошибок не превысит по абсолютной величине
утроенное среднее квадратическое отклонение равна 0.997.
Кроме ско, которое можно назвать абсолютной характеристикой
точности результатов измерений и их функций, в ТМОГИ и геодезии
широко используется относительная характеристика точности – вес
результата измерений (вес функции результатов измерений).
По определению вес p x результата равен отношению дисперсии единицы веса σ 02 к дисперсии σ 2x данного результата измерений (функции ре13
зультатов измерений)
px =
σ 02
σ 2x
- вес результата (значения) x,
px
p x σ x - ско (среднее квадратическое отклонение) результата (значе-
ния) x,
px
σx
σ 0 - ско единицы веса (среднее квадратическое отклоне-
ние результата (значения), вес которого равен единице).
Из формулы следует, что если известны σ 0 и вес px , среднее квадратическое отклонение σ x легко найти по формуле
σx =
σ0
px
При назначении весов надо обеспечить постоянство σ 0 , только в
этом случае можно сравнивать точность результатов измерений (функций
результатов измерений) по их весам.
Широкое использование весов в геодезии связано с тем, что
- в ряде случаев можно вычислить (назначить) веса результатов
измерений, не зная их среднеквадратических отклонений σx ;
- если известны веса аргументов, легко вычислить веса функций ;
- с помощью весов удобно сравнивать точность неоднородных
величин;
- немаловажно и то, что применение весов позволяет в ряде случаев
упростить написание формул, сделать их более удобными, наглядными.
Единица веса σ 0 обычно выбирается так, чтобы веса выражались
числами в диапазоне 0-10.
При вычислении среднеквадратических отклонений и весов обычно
удерживается не более трех значащих цифр.
Тема 7. Вычисление дисперсии функции общего вида. Дисперсия и вес
некоторых функций.
Одна из важнейших задач теории ошибок – определение точности
функций результатов измерений. Так как в качестве характеристики
точности результатов измерений и их функций применяется среднее
квадратическое отклонение (корень квадратный из дисперсии), для
определения точности функции найдем ее дисперсию.
В теории вероятности доказывается, что, если y – функция случайных величин x 1 , x 2 , x n ,
y = ϕ( x 1 , x 2 ,  x n )
то дисперсия σ этой функции равна
2
y
n
 ∂ϕ   ∂ϕ 
 ∂ϕ  2
 k ij
 
 σ i + 2∑ 
σ = ∑ 


x
x
x
∂
∂
∂
1 
j<i 
i 0
j 0
i 0 
n
2
2
y
В формуле σ i - ско случайных аргументов x i , σ i = D{x i } ,
14
k ij - ковариации случайных аргументов x i и x j , то есть если
a i = M{x i } , то k ij = M{( x i − a i )( x j − a j )}
 ∂ϕ 

 - частные производные функции y по аргументам x i , нижний
 ∂x i  0
индекс ноль указывает, что их значения вычисляются по заданным значениям аргументов.
Отметим, что при выводе формулы не делается никаких предположений о совместном законе распределения аргументов x i , а дисперсия σ 2y функция только вторых центральных моментов аргументов x i .
Формула точна для линейных функций, для нелинейных функций ее
точность определяется точностью линеаризации функции y = ϕ( x 1 , x 2 , x n ) .
Точность линеаризации определяется как «гладкостью» функции,
так и возможными отклонениями значений аргументов x i от своих
математических ожиданий. В случае измерений – это величина случайной
составляющей истинной ошибки, которая практически не превышает по
абсолютной величине 3 σ i .
Для независимых аргументов ковариации k ij равны нулю и формула
получит вид
2
 ∂ϕ  2
σ = ∑ 
 σ i .
1  ∂x i  0
n
2
y
Измерения обычно организуются так, чтобы результаты измерений
были независимы, поэтому для вычисления дисперсии функций
результатов измерений практически всегда используется вышеприведенная
формула.
В качестве характеристики связи случайных величин часто
используется коэффициент корреляции rij – нормированное значение
ковариации
rij =
тогда
k ij
σi σ j
k ij = rij σ i σ j
и формула получит вид
 ∂ϕ   ∂ϕ 
 ∂ϕ  2
 rij σ i σ j
 
 σ i + 2∑ 
σ = ∑ 


 ∂x i  0
 ∂x i  0  ∂x j  0
2
2
y
Запишем формулу полностью для трех аргументов, n = 3,
y = ϕ( x 1 , x 2 , x 3 ) , получим
2
2
2
 ∂ϕ   ∂ϕ 
 ∂ϕ  2  ∂ϕ  2  ∂ϕ  2
 σ 3 + 2 
 
 r12 σ1 σ 2 +
 σ1 + 
 σ 2 + 
σ = 
x
x
x
x
x
∂
∂
∂
∂
∂
 2 0
 1 0  2 0
 1 0
 3 0
2
y
 ∂ϕ   ∂ϕ 
 ∂ϕ   ∂ϕ 
 r13 σ1 σ 3 + 2 
 
 
+ 2 
 r23 σ 2 σ 3
 ∂x 1  0  ∂x 3  0
 ∂x 2  0  ∂x 3  0
15
Так как значение среднеквадратического отклонения достаточно
знать с точностью до 2-3 значащих цифр, то частные производные могут
быть вычислены не по математическим ожиданиям аргументов (обычно
неизвестным), а по результатам измерений, уравненным результатам
измерений и т.п.
Формула дисперсии функции общего вида – одна из основных
формул не только ТМОГИ, но и других дисциплин "геодезического
цикла", она используется для решения целого ряда задач.
А) «Прямое» использование формулы дисперсии функции.
1. при планировании измерений для предрасчета точности
определения функций, если заданы точности определения аргументов;
2. при косвенных измерениях, когда значение искомой величины
вычисляется как функция непосредственно измеренных аргументов;
3. для вычисления среднеквадратического отклонения невязки
результатов измерений σ w при назначения предельной невязки
| w пред |= k γ σ w .
Б) Формула дисперсии функции используется для решения обратной
задачи – предрасчета необходимой точности измерения (определения)
аргументов при заданной точности определения функции.
В) Формула дисперсии функции общего вида может использоваться
и для определения выгоднейших условий измерений, выгоднейшей формы
(геометрии) геодезического построения. Значения частных производных в
формуле дисперсии функции зависят от геометрии геодезического
построения, условий измерений. Задача сводится к определению того, при
каких значениях этих влияющих факторов σ 2y будет минимальна.
Полезно помнить вид формулы дисперсии функции независимых
случайных аргументов для некоторых частных случаев.
1) функция y – пропорциональна аргументу.
y = kx
k – постоянный коэффициент.
 ∂y
Тогда σ = 
 ∂x
2
y
2
 2
 σ x = k 2 σ 2x и, следовательно,

0
σy = k σx
2) y – линейная функция независимых случайных величин x
y = ± k1x1 ± k 2 x 2 ±± k n x n
 ∂y
σ = ∑ 
1  ∂x i
n
2
y
2
 2
 σ i = k 12 σ12 + k 22 σ 22 +  + k 2n σ 2n
0
Обратите внимание, что независимо от знака коэффициентов в
выражении, все слагаемые в выражении положительны.
3) функция y - равна натуральному логарифму аргумента.
y = lnx
 ∂y
σ =
 ∂x

2
y
2
2
2

 σ 2x =  1  σ 2x = σ x

x2
 x 0
0
16
или
σy =
σx
x
4) y – произведение случайных аргументов, например, при n = 3
y = x1 x 2 x 3
В этом случае удобно прологарифмировать функцию y
ln y = ln x 1 + ln x 2 + ln x 3
и применить формулу дисперсии логарифма
σ y2
y2
=
σ 12
x12
+
σ 22
x22
+
σ 32
x32
.
Полезно помнить формулы дисперсии и веса некоторых функций.
1. Докажем, что если функция y равна произведению случайного аргумента x на его вес, то среднее квадратическое отклонение функции y
равно среднему квадратическому отклонению единицы веса и, следовательно, вес функции равен единице, т.е. если
то
y = x px
σ y = σ0 и p y = 1
Найдем вес и среднее квадратическое отклонение функции y.
Производная функции y по x равна
поэтому
 ∂y 
  = px
 ∂x 0
 ∂y 
σ 2y =   σ 2x = p x σ 2x
 ∂x  0
2
но в соответствии с определением веса
p x σ 2x = σ 02
и, следовательно, дисперсия функции y = x p x равна
σ 2y = σ 02
По общему правилу обратный вес функции y равен
1  ∂y  1
1
= px
=1
= 
p y  ∂x  0 p x
px
2
Следовательно, выражение доказано. Рассмотрим пример использования преобразования.
Пусть имеем ряд неравноточных результатов измерений li , ско которых равны σi , а веса pi , причем в соответствии с определением веса
σi pi = σ0 .
Ряду результатов измерений li соответствует ряд истинных ошибок θi
, ско и веса которых также равны σi и pi .
Умножим истинные ошибки на корень из их веса, получим функции
Θ i' = Θ i p i
Вес функций Θ i' равен единице, ско равно ско единицы веса σ 0 , сле17
довательно, ряд Θ i' можно рассматривать как случайную выборку из генеральной совокупности Θ ' , дисперсия которой равна σ 02 , т.е. как ряд истинных ошибок равноточных измерений.
2. Пусть y – среднее арифметическое n независимых равноточных
результатов измерений li . Так как измерения равноточны, их среднеквадратические отклонения равны, т.е. σi = σ , i = 1, 2, … , n., а веса равны единице. Найдем среднее квадратическое отклонение и вес функции y
n
y=
∑l
1
n
i
=
[l] 1
1
1
= l1 + l 2 + ... + l n
n
n
n
n
Производные функции y по li равны
 ∂y 
1
  =
 ∂l i  0 n
Дисперсия функции y в соответствии с этим равна
n
σ =∑
2
y
1
равен
2
2
n
σ2
 ∂y  2
 1  2 nσ
  σ i = ∑   σ = 2 =
n
n
1 n
 ∂l i  0
2
Учитывая, что pi = 1 обратный вес функции y в соответствии с этим
2
n
n
n
 ∂y  1
1
1
n
1
1 1
=∑ 2 = 2 =
= ∑ 
= ∑  
py
n
n
1  ∂l i  0 p i
1  n 0 pi
1 n
2
Следовательно, среднее квадратическое отклонение и вес среднего
арифметического независимых равноточных измерений равны
σy =
σ
n
py = n
Формулу Вы применяли еще в теории вероятностей при доказательстве теоремы Чебышева.
3. Если l i , i = 1, 2, …, n ряд независимых неравноточных измерений
величины L с весами p i , то средним весовым результатов измерений называется отношение суммы произведений p i l i к сумме весов.
Пусть y – среднее весовое независимых неравноточных результатов
измерений li . Так как измерения неравноточны, их среднеквадратические
отклонения равны σ i . Найдем среднее квадратическое отклонение и вес
функции y .
n
y=
∑p l
i i
1
n
∑p
=
p
p
[pl] p1
=
l1 + 2 l 2 + ... + n l n
[ p] [ p]
[ p]
[ p]
i
1
Производная функции y по li равна
 ∂y 
p
  = i
 ∂l i  0 [p]
Поэтому обратный вес функции y в соответствии с этим равен
18
2
2
n
n
n
 ∂y  1
p  1
p
1
[ p]
1

= ∑ 
= ∑  i 
= ∑ i2 =
=
2
py
[ p]
[ p]
1  ∂l i  0 p i
1  [ p]  0 p i
1 [ p]
В соответствии с определением веса
σ 02
σ =
py
2
y
Следовательно, вес и среднее квадратическое отклонение среднего
весового независимых неравноточных измерений равны
py = [ p]
σy =
σ0
[p]
4. Функция y - сумма n независимых, равноточных аргументов,
y = x1 + x 2 +  + x n
Так по условию σ i = σ , p i = 1 , получим
σ 2y = σ12 + σ 22 +  + σ 2n = nσ 2
1
1
1
1
=
+
++
=n
p y p1 p 2
pn
Следовательно,
σy = σ n
py =
1
n
Тема 8. Обратный вес функции общего вида. Вес функции измеренных величин
Точность аргументов x 1 , x 2 , x n функции y = ϕ( x 1 , x 2 , x n ) может
быть задана не среднеквадратическими отклонениями σ i , а весами p i .
Найдем, как определить в этом случае вес функции y.
Из определения веса следует, что
σi =
σ0
pi
Подставим σi в формулу дисперсии общего вида
 ∂ϕ   ∂ϕ 
 ∂ϕ  2
 rσσ
 
 σ i + 2∑ 
σ = ∑ 
 ∂x  ij i j
x
x
∂
∂
 i 0  j 0
 i 0
2
2
y
Получим
 ∂ϕ  σ 02
 ∂ϕ   ∂ϕ 
σ 02


 
= ∑ 
+ 2∑ 
 ∂x 
py
∂
x
p
∂
x
 i 0 i
 i 0  j 
σ 02 rij
2
0
pi p j
Так как среднее квадратическое отклонение единицы веса не равно
нулю, сократим обе части уравнения на σ 02 , получим
19
 ∂ϕ   ∂ϕ 
 ∂ϕ  1
1

 

+ 2∑ 
= ∑ 
 ∂x 
x
p
x
py
∂
∂
 i 0  j 
 i 0 i
2
rij
0
pi p j
Если аргументы функции независимые величины, то коэффициенты
корреляции будут равны нулю и формула получит вид
2
n
 ∂ϕ  1
1

= ∑ 
py
1  ∂x i  0 p i
Так как результаты измерений, как правило, независимы, в теории
ошибок практически всегда используется формула, более общая формула
для оценки точности уравненных результатов измерений, которые зависимы. Кроме того, надо помнить, что функции даже независимых аргументов
– зависимые величины, и если возникает необходимость оценить точность
функций этих функций надо применять указанную формулу.
Рассмотрим несколько примеров назначения весов в таких случаях.
1. Назначение весов в геометрическом нивелировании.
Превышение хода геометрического нивелирования равно сумме превышений, измеренных на станциях хода, т.е. если в ходе имеется n станций, то
h = ε1 + ε2 + … + εn
εi – независимые превышения, измеренные на станциях хода.
Если точность измерения превышения на станциях постоянна и равна σст , то ско превышения h равно
σh = σ ст n
В соответствии с определением веса
ph =
откуда с учетом этого
ph =
σ 02
σ 2h
σ 02
2
σ ст
*n
Видим, что вес превышения обратно пропорционален числу станций
в ходе. В зависимости от того, что принято за ско единицы веса, получим
разные формулы для назначения весов превышений (вспомните, что вес –
относительная характеристика точности)
а) Примем, что ско единицы веса равно ско измерения превышения
на станции, т.е.
σ 0 = σ ст
Тогда вес превышения будет равен
ph =
2
σ ст
1
= .
2
σ ст * n n
В ходе обычно несколько десятков станций, поэтому получим для
весов очень маленькие величины и применять формулу неудобно.
б) Примем за ско единицы веса точность определения превышения
ходом в С станций, т.е.
σ 0 = σ ст C
20
Тогда вес превышения будет равен
ph =
2
σ ст
*C C
=
2
σ ст * n n
Следовательно, если число станций в ходе равно ni , то pi – вес превышения равен
pi =
C
ni
Причем, если веса превышений вычисляются по формуле
pi =
45
ni
где ni число станций в ходе, то за единицу веса принята точность определения превышения ходом в 45 станций.
Обычно трассу геометрического нивелирования выбирают так, чтобы рельеф по трассе был достаточно «спокоен». В этом случае число станций на километр хода для всех ходов будет примерно одинаково. Пусть
для данной нивелирной сети число станций на километр хода равно nкм.
Тогда число станций в ходе длиной в s километров будет равно
n=
s
n км
Подставив это выражение в формулу, получим
ph =
C C * n км
=
n
s
Видим, что за единицу веса принята точность измерения превышения ходом в C * n км километров. Оставив для этой величины обозначение
C , получим формулу для назначения весов превышений, если заданы длины ходов
pi =
C
si
Причем, если, например, веса превышений вычисляются по формуле
pi =
15
si
где si длина хода в километрах, то за единицу веса принята точность определения превышения ходом длиной в 15 километров.
Замечание
Обратите внимание на то, что при вычислении весов превышений по
формуле, делается предположение только о том, что точность измерения
превышений на станциях постоянна, значение σст может быть любым.
При вычислении весов превышений по формуле предполагается, что
точность измерения превышений на станциях постоянна и, кроме того, что
для данной нивелирной сети число станций на километр хода примерно
одинаково.
2. При обработке результатов измерений часто вычисляются средние
арифметические результатов измерения отдельных величин и уже эти
средние значения берутся в дальнейшую обработку. Как назначить веса в
этом случае?
21
Например, угол α измерен nα приемами, найдено среднее из этих результатов
nα
α=
∑α
i
1
nα
=
[α]
,
nα
а угол β измерен nβ приемами, найдено среднее из этих результатов
nβ
∑β
β=
1
nβ
i
=
[β]
nβ
Если в дальнейшую обработку взяты α и β , чему равны веса этих
величин ?
Пусть все измерения независимы и ско измерения угла одним приемом σпр постоянно для всех измерений. Тогда в соответствии с формулой
ско α и β будут равны
σα =
σ пр
nα
и σβ =
σ пр
nβ
По общему правилу веса этих величин будут равны
pα =
σ 02 σ 02 * n α
=
2
σ 2α
σ пр
2
σ 02 σ 0 * n β
pβ = 2 =
2
σβ
σ пр
Если за единицу веса принято ско приема, σ 0 = σ пр , то веса будут
равны p i = n i
где n i - число приемов измерения соответствующего угла, по которым были вычислены средние.
Если за единицу веса принята точность среднего из С приемов, то
σ0 =
σ пр
С
, и веса будут равны
pi =
ni
C
Причем, если, например, веса вычисляются по формуле
pi =
ni
4
то за единицу веса принята точность среднего из 4-х приемов.
Замечание. Обратите внимание на то, что при вычислении весов по
формуле, делается предположение только о том, что точность измерений
постоянна, σпр = пост., значение же σпр может быть любым.
Тема 9. Общая арифметическая средина. Ошибка единицы веса и
среднеквадратические ошибки отдельных измерений
В предыдущих разделах для многократных, независимых,
несмещенных измерений была найдена оценка измерявшейся величины –
среднее весовое
22
l=
[ pl ]
[p]
и оценка среднеквадратического отклонения единицы веса –
среднеквадратическая ошибка единицы веса
[pv 2 ]
n −1
µ=
Найдем, какова точность среднего весового, т.е. найдем вес, среднее
квадратическое отклонение и среднеквадратическую ошибку среднего
весового.
Среднее весовое - линейная функция результатов измерений
l=
p
p
[pl] p1
=
l1 + 2 l 2 +  + n l n
[ p] [ p]
[ p]
[ p]
Так как по условию результаты измерений независимы, обратный
вес среднего весового вычисляется по формуле обратного веса
независимых аргументов
n
 ∂l
1
= ∑ 
pl
1  ∂ li
2
 1

0 pi
Частные производные равны
 ∂l

 ∂ li

p
 = i
 0 [ p]
Поэтому обратный вес среднего весового равен
n
 ∂l
1
= ∑ 
pl
1  ∂ li
2
2
n
n
 1
p  1
p
1
[ p]

= ∑  i 
= ∑ i2 =
=
2
[ p]
[ p]
1 [ p]
1  [ p]  p i
0 pi
Следовательно, вес среднего весового равен сумме весов результатов
измерений. Обычно вес среднего весового обозначается прописной латинской буквой P.
p l = P = [ p]
В соответствии с определением веса ско (среднее квадратическое отклонение) среднего весового равно
σl =
σ0
pl
=
σ0
P
=
σ0
[ p]
Если среднее квадратическое отклонение единицы веса σ 0
неизвестно, а получена (например, по формуле Бесселя) его оценка,
среднеквадратическая ошибка единицы веса µ, подставив в формулу µ
вместо σ 0 найдем оценку ско среднего весового - среднеквадратическую
ошибку среднего весового. Среднеквадратическая ошибка среднего
весового обычно обозначается буквой М
σl = M =
µ
[ p]
Оценка так же, как и в выше приведенных формулах – точечная
оценка.
23
ны
Тема 10. Уравнительные вычисления методом эквивалентной замеВ разработке
Тема 11. Критерии оценки точности измерений. Формула Гаусса и
Бесселя
Формула Гаусса предполагает точное значение измеряемой величины.
Так как величины всегда измеряют несколько раз, то всегда можно
найти арифметическую средину:
Можно также получить величины уклонений каждого измеренного
значения от Х0, т.е получить ряд равенств:
Вычтем из уравнения (2) уравнение (1), получим:
В левых частях уравнений стоят истинные ошибки арифметической
средины. Заменим их СКО арифметической средины:
Возведем в квадрат и просуммируем:
Разделим обе части на n:
Формула Бесселя:
24
.
Предрасчет необходимой точности измерения аргументов. Отбраковка результатов измерений по невязкам
1. Предрасчет необходимой точности измерения аргументов.
Пусть y – функция аргументов xi , y = ϕ(x1, x2, … , xn). Значение
функции y должно быть определено со средним квадратическим
отклонением, ско функции, не большим σ y . Как найти необходимую
точность измерения (определения) аргументов, ско аргументов σ i ?
Естественно, что эта задача может иметь множество решений.
Основной метод ее решения – применение принципа равных влияний:
влияние каждого источника ошибок на точность конечного результата
должно быть примерно одинаковым.
Обычно измерения организуются так, чтобы они были
независимыми, поэтому
2
2
 ∂y
 ∂y  2  ∂y  2
 σ 2 +  + 
 σ1 + 
σ = 
 ∂x n
 ∂x 2  0
 ∂x 1  0
2
y
2
 2
 σ n
0
Видим, что влияние точности измерения величины x i на точность
2
 ∂y  2
 σ1 .
определения функции y , дисперсию σ равно 
 ∂x 1  0
2
y
Принцип равных влияний предписывает, чтобы влияние каждого
источника ошибок на точность результата ( функции y) было одинаковым
2
 2 σy
 σ n =
.
n
0
Отсюда получаем, что ско аргумента x i должно быть равно
2
2
 ∂y  2  ∂y  2
 ∂y

 σ1 = 
 σ 2 =  = 
 ∂x 1  0
 ∂x 2  0
 ∂x n
2
σi =
σ y  ∂y
:
n  ∂x i


0
Естественно, что полученные значения σ i в дальнейшем
корректируются, они могут быть несколько уменьшены или увеличены, но
так, чтобы σ y не превышало заданную величину и в целом выдерживался
принцип равных влияний.
Если задано не ско σ y , а предельная ошибка функции | ∆ϕ |пред , то надо перейти от предельной ошибки к среднему квадратическому отклонению, например, используя правило двух или трех сигм.
2. Отбраковка результатов измерений по невязкам
Геодезические измерения организуются так, чтобы исключить появление грубых ошибок.
Одним из способов исключения, отбраковки результатов измерений,
содержащих грубые ошибки, служит отбраковка результатов измерений по
невязкам.
25
Одна из особенностей геодезических измерений – наличие избыточных измерений , т.е. измерений, которые проводятся сверх необходимых
для решения поставленной задачи.
Избыточные измерения приводят к тому, что истинные значения измерявшихся величин оказываются связанными условиями, условными
уравнениями.
Например,
а). Углы плоского треугольника α*, β*, γ* связаны условием
α*+ β*+ γ* = 180°
Для определения углов плоского треугольника необходимо измерить
два угла. Если мы измерим все три угла треугольника и получим результаты измерений α, β, γ , то сумма результатов измерений в общем случае не
будет равна 180°, вычтя из суммы результатов измерений 180°, получим
невязку
w = α+ β+ γ - 180°
*
б). Сумма превышений h i в замкнутом полигоне равна нулю, сумма
превышений по ходам между реперами рпнач и рпкон должна быть равна
разности высот H *нач и H *кон этих реперов,
рп кон
∑h
рп нач
*
i
= H *кон − H *нач
Для обозначения истинных значений измерявшихся величин использован верхний индекс * .
Из-за ошибок измерений сумма измеренных превышений не будет
равна этой величине, получим невязку
w = ∑ h i − (H *кон − H *нач )
величин Li
Таким образом, невязка – функция результатов измерений li
w = ϕ(l1 , l2 , … , ln )
Обычно, результаты измерений – независимые величины, поэтому по
формуле (105.3) можем вычислить дисперсию невязки ( σ i равно ско li )
2
 ∂w  2
 σ i .
σ = ∑ 
1  ∂l i  0
n
2
w
Если в результатах измерений нет систематических ошибок, то истинное значение, математическое ожидание невязок равно нулю.
Поэтому, предполагая, что невязки подчиняются нормальному закону распределения w ∈ N(0, σ 2w ) , легко вычислить вероятность того, что по
абсолютной величине невязка не превысит заданное значение b

b
p( w < b) = Ф t =
σw




где Ф(t) – интеграл вероятностей.
Выразим b через t и σw , получим b = tσw . Тогда формулу можно записать в виде
26
p( w < tσ w ) = Ф(t ) .
Обратным интерполированием по таблице интеграла вероятностей
по заданной вероятности p можно найти соответствующее значение tp коэффициента t , так что Ф(tp)= p
Поэтому, задав вероятность β, можно найти tβ , такое, что
p( w < t β σ w ) = Ф(t β ) = β
Следовательно, вероятность того, что невязка по абсолютной величине не превысит t β σ w равна β
Зададим вероятность β достаточно большой, такой, чтобы событие,
вероятность которого не меньше β, было практически достоверным событием, тогда противоположное событие , вероятность которого не больше (1
- β ), будет практически невозможным событием.
Задав вероятность β , по таблице интеграла вероятностей найдем соответствующее tβ и вычислим
| w |β = t β σ w
Величину | w |β = t β σ w в этом случае называется предельной, предельно допустимой невязкой и обозначают | w |пред .
Если невязка по абсолютной величине окажется большей | w |пред , то
произошло событие, практически невозможное при заданной точности измерений, следовательно, логично предположить, что точность измерений
менее заданной, и поэтому они должны быть забракованы.
Обычно вероятность β принимают равной 0.95 , 0.99 , соответствующие значения коэффициента tβ будут равны 2.0 , 2.6 .
Вспомните правило двух и трех сигм. По формуле (109.5)
для t = 2 получим p( w < 2σ w ) = Ф(2) = 0.9544 ≈ 0.95 ,
для t = 3 получим p( w < 3σ w ) = Ф(3) = 0.9974 ≈ 0.997
Следовательно, с вероятностью 0,95 невязка по абсолютной величине не превышает 2σw, а с вероятностью 0,997 - не превышает 3σw, т.е.
Если невязка превышает 2σw и тем более 3σw естественно предположить, что в результатах измерений есть грубая ошибка.
Замечание. Рассматриваемая задача – один из примеров проверки
статистических гипотез.
Выдвигается нулевая гипотеза H0 : – точность результатов измерений
не ниже заданной.
Для ее проверки выбирается критерий, случайная величина, распределение которой при условии правильности нулевой гипотезы, известно. В
рассматриваемом случае это односторонний критерий – значение невязки
по абсолютной величине | w | .
Устанавливается вероятность γ - уровень значимости критерия, событие, вероятность которого не превышает уровень значимости, считается
практически невозможным.
Определяется область допустимых значений критерия, вероятность
27
попадания значения критерия в эту область равна β = (1 − γ ) , попадания
значения критерия в нее - практически достоверное событие при условии
правильности нулевой гипотезы. В нашем случае вычисляется предельно
допустимое значение невязки | w |пред , область допустимых значений - интервал {0 - | w |ïðåä }.
Если выборочное, вычисленное по результатам измерений значение
критерия попадает в область допустимых значений, нулевая гипотеза принимается, в противном случае – отвергается, вместо нее принимается другая, альтернативная гипотеза.
Естественно, наше решение может быть ошибочным.
В математической статистике принята следующая классификация
возможных ошибочных решений.
При проверке статистических гипотез можно допустить ошибку первого рода – отклонить нулевую гипотезу, когда она верна. Вероятность совершить ошибку первого рода равна γ , уровню значимости критерия.
Ошибка второго рода – принятие неверной гипотезы. Вероятность не
допустить ошибку второго рода называется мощностью критерия. Вычислить мощность критерия сложно, но даже интуитивно ясно, что всегда с
уменьшением уровня значимости, т.е. уменьшением вероятности допустить ошибку первого рода, расширяется область допустимых значений,
следовательно, увеличивается вероятность принять нулевую гипотезу, когда она не верна, т.е. уменьшается мощность критерия.
Тема 12. Оценка точности результатов геодезических измерений:
по разностям двойных измерений, по методу наименьших квадратов
Одна из задач теории ошибок – оценка точности результатов измерений. При оценке точности результатов измерений по ряду многократных
измерений одной величины (по формулам Гаусса или Бесселя) необходимо, чтобы число измерений было не менее 8-10. В практике геодезических
измерений такая ситуация возникает редко, однако всегда каждая величина
измеряется не менее двух раз. Например, измерение угла состоит из двух
полуприемов, превышение на станции нивелирного хода измеряется по
черной и красной сторонам рейки и т.п.. Отсюда задача – оценить точность результатов измерений, используя двойные измерения разных величин.
Пусть
Li, i =1, 2,…, n – измерявшиеся величины,
l′i , l′i′ - результат первого и второго измерения величины Li,
p ′i , p ′i′ - веса результатов измерений l′i и l′i′ .
Наша задача - найти µ, оценку среднеквадратического отклонения
единицы веса σ0.
С точностью измерений связаны разности двойных измерений
d i = l i' - l i''
так как очевидно, что чем больше точность измерений, тем в целом
28
меньше разности d i
Определим, как с разностями d i связаны истинные ошибки результатов измерений.
Результат измерения l i равен истинному значению Li измерявшейся
величины плюс истинная ошибка θi
li = L + θi (*)
В истинной ошибке θi можно выделить случайную ∆i и систематическую δi составляющие, то есть
l′i = L i + ∆ ′i + δ′i
l′i′ = L i + ∆ ′i′ + δ′i′
Тогда разности двойных измерений будут равны
d i = (∆ ′i − ∆ ′i′) + (δ′i − δ′i′)
или
di = ∆i + δi
где ∆i = ( ∆ i − ∆ ) - случайная составляющая разности di, δi = ( δ i' − δ i'' ) систематическая составляющая разности di, ее обычно называют остаточной систематической ошибкой разности, так как систематическая составляющая разности равна разности систематических ошибок результатов измерений.
Остаточная систематическая ошибка будет равна нулю не только,
если оба измерения величины Li не имеют систематической ошибки, но и
если систематические ошибки обоих измерений величины Li равны , т.е.
δi = 0, если δ i' = δ i'' = 0 и если δ i' = δ i'' .
Если же систематические ошибки результатов двух измерений l i' и
l i'' имеют разные знаки, абсолютное значение остаточной систематической
ошибки разности будет равно сумме абсолютных значений систематических ошибок результатов измерений.
Истинное значение разности двойных измерений – ноль, поэтому
разности можно рассматривать не только как результаты измерений величины, истинное значение которой равно нулю, но и в соответствии с (*)
одновременно как истинные ошибки этих измерений.
Веса Pi разностей di вычислим по формуле обратного веса функции
общего вида для независимых аргументов
'
''
i
p / + p //
1
1
1
= / + // = i / //i ,
Pi p i p i
pi ⋅ pi
отсюда вес разности равен
Pi =
p i/ ⋅ p i//
p i/ + p i//
Следовательно, имеем ряд разностей двойных измерений di,, который можно рассматривать как ряд многократных измерений, ряд истинных
ошибок многократных измерений, веса которых равны Pi.
d1 , d 2 , , d n
P1 , P2 ,  , Pn
Таким образом, мы свели задачу обработки двойных измерений к
29
обработке ряда истинных ошибок, к обработке ряда многократных независимых неравноточных измерений величины, истинное значение которой
равно нулю, и, следовательно, можем применить для решения нашей задачи формулы обработки ряда многократных измерений..
По результатам изучения и освоения первых двух разделов лекционного материала студенты будут владеть методами математической обработки результатов полевых геодезических измерений, астрономических наблюдений, гравиметрических определений (ПК-27).
Раздел 3. Уравнительные вычисления.
Тема 13. Основы метода наименьших квадратов. Уравнивание по
методу наименьших квадратов, параметрический и коррелатный способы
уравнивания результатов измерений
Метод наименьших квадратов (МНК) - метод оценки параметров модели на основании экспериментальных данных, содержащих случайные
ошибки. В основе метода лежат следующие рассуждения: при замене точного (неизвестного) параметра модели приблизительным значением необходимо минимизировать разницу между экспериментальными данными и
теоретическими (вычисленными при помощи предложенной модели). Это
позволяет рассчитать параметры модели с помощью МНК с минимальной
погрешностью.
Мерой разницы в методе наименьших квадратов служит сумма квадратов отклонений действительных (экспериментальных) значений от теоретических. Выбираются такие значения параметров модели, при которых
сумма квадратов разностей будет наименьшей – отсюда название метода:
= min
где Y – теоретическое значение измеряемой величины, y – экспериментальное.
При этом полученные с помощью МНК параметры модели являются
наиболее вероятными.
Метод наименьших квадратов, а также его различные модификации
(нелинейный МНК, взвешенный МНК и т.д.) широко используется в геодезии, в частности, при уравнивании геодезических сетей. Как правило,
предполагается линейная зависимость (параметры которой требуется установить) между величиной невязки и поправок.
Тема 14. Оценка точности и вычислительные алгоритмы. Строгое и
приближенное уравнивание
В разработке.
Тема 15. Понятие о рекуррентном уравнивании. Обобщенный способ
уравнивания и его частные случаи
В разработке
30
дов
Раздел 4. Уравнивание геодезических построений различных виТема 16. Уравнивание триангуляции коррелатным способом
В разработке
Тема 17. Уравнивание полигонометрии любой формы двухгрупповым
методом
В разработке
Раздел 5. Решение больших систем уравнений
Тема 18. Составление и решение больших систем нормальных уравнений. Уравнивание функций результатов измерений
В разработке
Знания метода наименьших квадратов и решения систем линейных уравнений обеспечивает готовность студентов к разработке алгоритмов, программ и методик решений инженерно-геодезических задач
при проектировании, строительстве и эксплуатации зданий и инженерных сооружений (ПК-26).
5.3. Краткое описание лабораторных работ
5.3.1. Перечень рекомендуемых лабораторных работ
Лабораторные работы не предусмотрены.
5.4. Краткое описание практических занятий
5.4.1. Перечень практических занятий (наименования, темы)
Практическое занятие № 1. Исследование рядов ошибок на
нормальное распределение;
Практическое занятие № 2. Математическая обработка ряда
равноточных измерений одной величины;
Практическое занятие № 3. Вычисление среднеквадратической
ошибки функции измеренных величин;
Практическое занятие №4. Оценка точности по разностям двойных
равноточных измерений (без систематических ошибок);
Практическое занятие №5. Оценка точности по разностям двойных
равноточных измерений (при наличии систематических ошибок);
Практическое занятие №6. Предрасчёт точности прямых
геодезических измерений на основе принципа равных влияний;
Практическое занятие №7. Оценка точности ряда неравноточных измерений одной величины;
Практическое занятие №8. Оценка точности ряда двойных неравноточных измерений (равноточных в парах);
31
Практическое занятие №9. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой раздельным способом;
Практическое занятие № 10. Уравнивание системы неравноточных
нивелирных ходов с двумя узловыми точками способом эквивалентной замены.
5.4.2. Методические указания по выполнению заданий на практических занятиях
Практическое занятие № 1. Исследование рядов ошибок на
нормальное распределение
Цель работы: научиться исследовать ряд ошибок на нормальное
распределение.
Задание:
В таблице 1.1 даны невязки 32-х треугольников. Невязки
f= ∑ β − 180 можно считать истинными ошибками ∆, так как сумму углов в треугольнике можно рассматривать как измеренную величину, истинное значение которой равно 180 . Выполнить исследование ряда невязок {∆ i } на нормальный закон распределения.
Таблица 1.1 – Ошибки измерений
невязки
невязки
невязки
Невязки
№
№
№
№
∆i
∆i
∆i
∆i
1
–0,76″
9
+1,29″
17
+0,71″
25
+0,22″
2
+1,52″
10
+0,38″
18
+1,04″
26
+0,06″
3
–0,24″
11
–1,03″
19
–0,38″
27
+0,43″
4
+1,31″
12
+0,00″
20
+1,16″
28
–1,28″
5
–1,27″
13
–1,23″
21
–0,19″
29
–0,41″
6
–1,88″
14
–1,38″
22
+2,28″
30
–2,50″
7
+0,01″
15
–0,25″
23
+0,07″
31
+1,92″
8
–0,69″
16
–0,73″
24
–0,95″
32
–0,62″
Найдём ряд сумм, необходимых для дальнейшего исследования:
[ ∆ > 0] = +12,40 ; [ ∆ < 0] = −15,79 ; [ ∆ ] =−3,39 ;  ∆  =28,19 ;
120,70 .
38,75 ; [ ∆ 3 ] =−
( 34,41 + 30,03) =−4,38 ; [ ∆ 4 ] =
[∆2 ] =
Решение:
1. Вычисление оценок параметров нормального распределения M ∆ ,
σ∆ , кривая плотности которого определяется выражением:
[ ∆ ] −3,39 −0,106″ ,∗)
M ∆∗ == =
n
32
∗)
Критерий обнаружения постоянной систематической ошибки имеет вид [1, стр.95]
∗ ≤ t σ∗
M∆
∆ n,
где t выбирается из таблиц Приложения B (при n > 30 ) по вероятности β = Φ (t ) .
β =0,95 : t = 1,96 и t σ∗∆ n = 1, 96 × 1,10″ 32 = 0, 38″ .
Как видно из результатов вычислений, критерий выполняется, так как
Находим для
32
[∆2 ] =
38,75
= 1,10″ .
n
32
2. Вычисление средней ошибки ϑ* и коэффициента k1практ. :
ϑ∗ = 28,19 32 =
0,88″ ;
∗
k1практ.= m ϑ= 1,10″ 0,88=
″ 1,25 ; k1теор. = 1,25 .
3. Определение вероятной ошибки r ∗ и коэффициента k2практ. .
Располагаем истинные ошибки в ряд по возрастанию их абсолютных
величин: +0,00; +0,01; +0,06;+0,07; –0,19; +0,22; –0,24; –0,25; +0,38; –0,38;
–0,41; +0,43; –0,62; –0,69; +0,71; –0,73; –0,76; –0,95; –1,03; +1,04; +1,16; –
1,23; –1,27; –1,28; +1,29; +1,31; –1,38; +1,52; –1,88; +1,92; +2,28; –2,50.
Находим:
r ∗ = ( ∆ 16 + ∆ 17 )=
2 (0,73″ + 0,76″)=
2 0,74″ ;
σ∗∆ = m =
∗ 1,10″ 0,74
k2практ.
= m r=
=
″ 1,49 ; k2теор. = 1,48 .
4. Построение статистического группированного ряда.
Распределим невязки (таблица 1.2) в двенадцати интервалах (длину
интервала примем равной половине среднеквадратической ошибки, т.е.
0,5m ).
Таблица 1.2 – Обработка статистического группированного ряда ошибок
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∑
длины
интервалов
в долях
m
–3,0m –2,5m
–2,5m –2,0m
–2,0m –1,5m
–1,5m –1,0m
–1,0m –0,5m
–0,5m +0
+0
+0,5m
+0,5m +1,0m
+1,0m +1,5m
+1,5m +2,0m
+2,0m +2,5m
+2,5m +3,0m
длины
интервалов
в секундах
∆ i =ti m
–3,30″
–2,75
–2,20
–1,65
–1,10
–0,55
–0
+0,55
+1,10
+1,65
+2,20
+2,75
–2,75″
–2,20
–1,65
–1,10
–0,55
–0
+0,55
+1,10
+1,65
+2,20
+2,75
+3,30
число
ошибок
mi
Qi = mi n
0
1
1
4
6
5
7
2
4
1
1
0
32
0,000
0,031
0,031
0,125
0,188
0,156
0,219
0,062
0,125
0,031
0,031
0,000
1,000
частоты
высоты
прямоугольников
hi = Qi (0,5m)
0,000
0,056
0,056
0,227
0,342
0,284
0,398
0,113
0,227
0,056
0,056
0,000
―
mi — число ошибок, попавших в i-й интервал, подсчитывается непосредственно. Если значение ошибки совпадает с границей интервала, то эту
ошибку следует поместить в тот интервал, в котором теоретически ожидается большее число ошибок (см. рисунок 1)
∗
M=
∆ 0,106″ < 0, 38″ ,
следовательно, с вероятностью 0,95 постоянной систематической ошибкой можно пренебречь и считать, что M ∆∗ = 0 .
33
5. Построение гистограммы и выравнивающей её кривой распределения.
По данным таблицы 2 (столбцы 2 и 6) строим гистограмму
(рис. 1) — график эмпирического распределения (на выбор масштаба изображения наложим лишь условие наглядности).
Рис. 1 – Гистограмма и выравнивающая кривая ϕ (∆)
Вид гистограммы позволяет действительно предположить нормальный закон распределения ошибок ∆i. Теоретическая кривая, наилучшим
образом выравнивающая (сглаживающая) гистограмму, определяется
уравнением
−∆ 2
1
2
=
ϕ(∆)
=
e m2 hy ,
m 2π
−t 2
1
1
∆
∗
где m =σ∗∆ =1,10″ ; M (∆) ≈ 0 ; t = ; h =
; y=
e2 .
m
π
m 2
Результаты вычислений поместим в таблице 1.3.
Таблица 1.3 – Обработка ошибок измерений
левые
1
∆
границы
№
ϕ(∆ i ) =hyi
h=
ti = i
yi
п/п интервалов
m
m 2
∆i
1
0
0
0,564
0,645
0,364
2
0,5m
0,5
0,498
―"―
0,321
3
1,0m
1,0
0,342
―"―
0,220
4
1,5m
1,5
0,183
―"―
0,118
5
2,0m
2,0
0,076
―"―
0,049
6
2,5m
2,5
0,025
―"―
0,016
7
3,0m
3,0
0,006
―"―
0,004
По данным таблицы 1.3 (столбцы 2 и 6) на графике рис. 1 наносим
ряд точек ( ∆ i ; ϕ(∆ i ) ) , которые соединяем плавной кривой. Левую ветвь
кривой строим по тем же ординатам.
Как видно из графика, кривая ϕ(∆) удовлетворительно сглаживает
гистограмму.
34
6. Применение критерия χ2-Пирсона.
Для оценки степени приближения статистического распределения
(гистограммы) к теоретическому нормальному закону (кривой распределения) вычисляем величину
k ( m − np ) 2
i
,
χ 2 =∑ i
npi
i =1
где
=
pi P(ti < T < ti=
0,5{Φ (ti +1 ) − Φ (ti )} .
+1 )
Результаты вычислений поместим в таблице 1.4.
Φ (ti ) находят по таблице Приложения B для левых границ интервалов ti.
Таблица 1.4 – Расчет теоретических параметров распределения
(mi − npi ) 2
Интервалы 0,5Φ (t )
pi
№
mi
npi
i
ti
npi
1 –3,0 –2,5 –0,5
0,0062
0
0,20
0,20
2 –2,5 –2,0 –0,4938
0,0166
1
0,53
0,42
3 –2,0 –1,5 –0,4772
0,0440
1
1,41
0,12
4 –1,5 –1,0 –0,4332
0,0918
4
2,94
0,38
5 –1,0 –0,5 –0,3414
0,1500
6
4,80
0,30
6 –0,5 +0
–0,1914
0,1914
5
6,12
0,20
7 +0
+0,5 +0
0,1914
7
6,12
0,13
8 +0,5 +1,0 +0,1914
0,1500
2
4,80
1,63
9 +1,0 +1,5 +0,3414
0,0918
4
2,94
0,38
10 +1,5 +2,0 +0,4332
0,0440
1
1,41
0,12
11 +2,0 +2,5 +0,4772
0,0166
1
0,53
0,42
12 +2,5 +3,0 +0,4938
0,0062
0
0,20
0,20
13 +3,0 +∞ +0,5
―
―
―
―
1,0000 32 32,00
4,50
Σ
Число степеней свободы определяется формулой r = k − s − 1. Находим r = 12 − 1 − 1 = 10 (k — число интервалов, s = 1 , так как только один параметр σ(∆) оценивался по выборке, а M(∆) принято равным нулю).
По таблице Приложения E по числу степеней свободы r = 10
2
для χ =4 находим вероятность P = 0,947 , а для χ 2 =6 находим P = 0,815 .
2
Интерполируя, для χ 2 =4,5 получим P(χ=
4,5)
= 0,914 .
∗
7. Вычисление оценок скошенности Sk и эксцесса Ε∗ и проверка
соотношений [1, стр.81]:
Sk ∗ ≤ 3σSk ; Ε∗ ≤ 5σΕ ,
которые являются критериями нормального закона.
Находим:
1) µ∗3 =[ ∆ 3 ] n =−4,38 32 =−0,137 ;
2) Sk ∗ =
−0,137 (1,10)3 =
−0,103 ;
µ∗3 (σ∗∆ )3 =
3) µ∗4 = [ ∆ 4 ] n =120,7 32 = 3,77 ;
35
4) Ε∗ = µ∗4 (σ∗∆ ) 4 − 3 =3,77 (1,10) 4 − 3 =−0,42 ;
6
24
= 0,86
= 0,43 ; σ=
E
n
n
Как видно из вычислений, соотношения выполняются.
В результате исследования приходим к выводу о том, что рассматриваемый ряд истинных ошибок является действительно рядом случайных
ошибок, подчиняющихся приближенно нормальному закону, так как:
1) выполняются свойства случайных ошибок:
а) среднее арифметическое M∗ (∆) практически равно нулю,
б) положительные и отрицательные ошибки, равные по абсолютной
величине (см. гистограмму), примерно одинаково часто встречаются в
данном ряде,
в) малые по абсолютной величине ошибки встречаются чаще, чем
большие,
г) случайные ошибки ∆ с заданной вероятностью β не превосходят
определенного предела, равного t ⋅ m , ни одна из ошибок ряда не превышает предельной ошибки, равной
∆ пред. = 3m = 3,30″ ;
2) коэффициенты k1практ. и k2практ. совпадают с их теоретическими значениями ( k1 = 1,25 ; k2 = 1,48 );
3) вероятность P(χ 2 ) =
0,91 велика, так как значительно больше критического уровня значимости, равного 0,1;
4) величины скошенности и эксцесса незначительно отличаются от
нуля.
5) σSk=
Практическое занятие № 2. Математическая обработка ряда
равноточных измерений одной величины
Цель работы: приобрести навыки в вычислениях при математической обработке ряда равноточных измерений одной величины.
Задание:
Выполнены многократные измерения одного горизонтального угла
теодолитом 3Т2КП 12-ю приемами.
1. Вычислить вероятнейшие (средние значения) измерения угла β ,
среднеквадратическую ошибку одного измерения m β , среднеквадратическую ошибку среднего значения угла M β , погрешность среднеквадратической ошибки 1-ого измерения m m , погрешность среднеквадратической
ошибки среднего значения m M ;
2. Показать числовой оси предельные значения ошибок, т. е. построить интервалы ± m,±2m,±3m .
Порядок выполнения задания:
1) Составим таблицу с результатами измерений и вычислением
поправок (таблица 2.1).
36
В первом столбце указываем номер приема измерения, во втором –
результаты измерений β i , в третьем – уклонения ε i от минимального
значения результата измерений β i , в четвертом – среднее значение β ,
вычисленное по формуле, в пятом – поправка ν i в измеренное значение
результата измерений, вычисленное по формуле, в шестом – квадрат поправки ν i2 .
№
приема
Таблица 2.1 – Обработка результатов измерений
Уклонение
Измеренные значения
ε i (с.)
β i (г.м.с.)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
73 21 40
35
39
44
32
41
35
43
38
34
42
36
8
3
7
12
0
9
3
11
6
2
10
4
Среднее значение
β
(г.м.с.)
73 21 38,2
[ε ] = 75
Поправка
ν i = β − βi
(с)
-1,8
3,2
-0,8
-5,8
6,2
-2,8
3,2
-4,8
0,2
4,2
-3,8
2,2
[ν i ] = −0.6
ν i2 (с.)
3,24
10,24
0,64
33,64
38,44
7,84
10,24
23,04
0,04
17,64
14,44
4,84
[ν ] = 164,28
2
i
2) Уклонением ε i результата измерений называют величиной, вычисленной как разница между измеренным β i и минимальным значением β 0 результатов измерений.
3) Вероятнейшее среднее значение β результатов измерений вычисляется по следующей формуле:
[ε ]
β = β0 + i ,
n
где β 0 − минимальное значение равно 73 21 32 (г.м.с.), что соответствует
пятому приему.
β = 73 21 32 + 75/2 = 73 21 38,25 (г.м.с.); ∆ okp = β − β 0 = -0,”05,
где ∆ okp - ошибка округления.
4) Поправка ν i в измеренное значение результата измерений вычисляется как разница между средним значением β и измеренным значением
βi :
ν i = β − βi
4) Среднеквадратическую ошибку одного измерения m β рассчитывают следующим образом:
mβ =
[v ] = ±
2
n −1
164,28
= ±3′′,86 ≈ ±3′′,9 .
11
37
5) Среднеквадратическую ошибку среднего значения угла M β равна:
Mβ = ±
mβ
=±
3′′,9
= ±1′′,1
n
12
6) Погрешность среднеквадратической ошибки 1-ого измерения m m :
mβ
3′′,9
mm = ±
=±
= ±0 ′′,83
2(n − 1)
22
7) Погрешность среднеквадратической ошибки среднего значения m M :
Mβ
1′′,1
mM = ±
=±
≈ ±0 ′′,23
2(n − 1)
22
8) По условиям задания на числовой оси показать предельные интервалы, в нашем примере:
± m = ±3′′,9
± 2m = ±7 ′′,8
± 3m = ±11" ,7
Рис. 2.1 – Предельные значения ошибок на числовой оси
Практическое занятие № 3. Вычисление среднеквадратической
ошибки функции измеренных величин
Цель работы: приобрести навыки в
вычислении
среднеквадратической
ошибки
функции измеренных величин.
Задание:
1. В треугольнике измерено два угла (β1, β2)
со средними квадратическими ошибками mβ1 = 10;
mβ2 = 10, а третий угол был вычислен. Найти:
среднеквадратическую ошибку mγ вычисленного угла γ.
Порядок выполнения задания:
а) учитывая свойства треугольника, в котором сумма всех углов рав38
на 180°, получим γ = 180° - β1 - β2. Это уравнение называют уравнением
связи.
б) для нахождения среднеквадратической ошибки третьего вычисленного угла используем теорию функции измеренных величин и получим
выражение:
2
2
 ∂γ  2  ∂γ  2
 mβ1 + 
 mβ 2 ,
mγ = 
 ∂β1 
 ∂β 2 
где ∂γ = −1 ; ∂γ = −1 – частные производные по переменным β1, β2 от
∂β 2
∂β1
уравнения связи.
в) в результате получаем
2
mγ =
 ∂γ  2  ∂γ
 mβ1 + 

 ∂β 2
 ∂β1 
2
 2
 mβ 2 =

200 = 14" ,1
Задание:
2. При измерении высоты телевышки было выполнено тригонометрическое нивелирование и получены d = 206,265 м; δ = 45°, i =1,6 м. Найти высоту телевышки и среднеквадратическую ошибку высоты телевышки,
если md = 20 мм ; mδ = 10" ; mi = 10 мм .
Порядок выполнения задания:
1. Высота телевышки была измерена косвенным способом и определяется из выражения тригонометрического нивелирования:
H = d × tgδ + i = 206,265 × tg 45° + 1,6 = 207,865 м
2. Учитывая основное равенство тригонометрического нивелирования, зависящего от трех переменных d;
δ, i, находим частные производные по
этим переменным.
∂H
∂H
d
∂H
=1
=
= tg∂ ;
;
2
∂i
∂δ cos δ
∂d
При расчете среднеквадратической ошибки участвуют угловые и линейные величины, поэтому угловую величину надо преобразовать из градусов
в радианы. Для этого один радиан соответствует углу
, следовательно P' ' = 206264,806 ≈ 206265 c м .
2
 ∂H  2  ∂H  mδ  ∂H  2
mH = ± 
+
 mi = ± 400 + 282 + 100 = 782 = 27,9 мм

 md + 
2
 ∂δ  P' '  ∂i 
 ∂d 
2
2
2
m H = ±27,9 мм
Относительная среднеквадратическая ошибка:
mH
27,9 мм
1
=
=
H
207865 мм 207865
=
27,9
1
.
7450
39
Практическое занятие №4. Оценка точности по разностям
двойных равноточных измерений (без систематических ошибок)
Цель работы: приобрести навыки работы при оценке точности по
разностям двойных равноточных измерений (без систематических ошибок).
Задание:
В нивелирном ходе на 10-ти станциях были измерены превышения
по отсчетам черной и красной сторон рейки. По условиям задания требуется проверить измерения на наличие систематических ошибок δ сист и оценить величину этих ошибок; найти среднеквадратическую ошибку одного
измерения ( mh ) и среднеквадратическую ошибку среднего из пары превышений (Mh).
Порядок выполнения задания:
1) Составим таблицу с результатами измерений и вычислением разностей превышений. В первом столбце указываем номер станции измерения, во втором и третьем – результаты измерений hч и hкр, в четвертом –
разность превышений hч и hкр, в пятом – квадрат разности превышений d2.
В последней строке приведены суммы значений по столбцам.
Таблица 4.1 – Обработка результатов измерений
№
ст
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Измеренные превышения
hч
hкр
-1562
-1564
-1485
-1482
-1371
-1373
0103
0105
2185
2185
1220
1222
-0101
-0102
-0154
-0151
1202
1198
0158
0159
Разность
d i = hiч − hiкр , мм
2
-3
2
-2
0
-2
1
-3
4
-1
[d i ] = −2 мм
d2, мм2
4
9
4
4
0
4
1
9
16
1
[d ] = 52
2
i
2) Для оценки точности двойных измерений необходимо вычислить
среднюю остаточную систематическую ошибку и проверить уровень (допустимость) систематической ошибки.
а) δ сист =
[d i ] = − 2 мм = −0,2 мм ; б) [d ] ≤ 0.25[ d ] →
i
i
n
10
2 ≤ 5 , т.к. неравенство
выполняется, тогда значения систематических ошибок малы, и их можно
не учитывать в дальнейших вычислениях.
3) Находим среднеквадратическую ошибку одного измерения mh по
формуле Бесселя: mh = ±
[d ] = ±
2
i
2n
52
= 1,6 мм
2 ×10
4) Далее находим среднеквадратическую ошибку среднего из пары:
40
Mh = ±
mh
n
=±
1,6
= ±1,1мм
2
Практическое занятие №5. Оценка точности по разностям
двойных равноточных измерений (при наличии систематических
ошибок)
Цель работы: приобрести навыки работы при оценке точности по
разностям двойных равноточных измерений (при наличии систематических ошибок).
Задание:
В полигонометрическом ходе измерены семь сторон в прямом и обратном направлении. По условиям задания требуется найти:
- среднюю остаточную систематическую ошибку и оценить её величину;
- среднеквадратическую ошибку одного измерения;
- относительную среднеквадратическую ошибку заданной стороны;
- среднеквадратическую ошибку среднего из пары измерений;
- относительную среднеквадратическую ошибку среднего из пары
измерений для заданной стороны.
Таблица 5.1 – Обработка результатов измерений
№
сторон
1
2
3
4
5
6
7
Измеренные значения
сторон
пр
Siоб ,м
Si , м
967,489
967,398
752,469
752,421
692,223
692,250
1023,536
1023,536
808,457
808,444
612,692
612,665
675,158
675,082
d i = Siпр − Siоб ,
см
ε i = d i − δ сист
, см
ε i2 , см2
9,1
4,8
-2,7
0
1,3
2,7
7,6
5,9
1,6
-5,9
-3,2
-1,9
-0,5
4,4
34,81
2,56
34,81
10,24
3,61
0,25
19,36
[d i ] = 22,8
[ε i ] = 0,4
[ε i2 ]= 105,64
Порядок выполнения работы:
1. δ сист =
[d i ] = 22,8 = ±3,25 ≈ ±3,2 см
n
7
[d i ] ≤ 0,25[ d i ] ,
22,8 ≥ 7,05 , т.к. неравенство не выполняется, то систематические ошибки велики и их нужно учитывать при дальнейших вычислениях
2. Средняя квадратическая ошибка одного измерения:
[ε i2 ]
105,64
= ±2,97 см
2(n − 1)
12
3. Относительную ошибку для одного измерения:
mS
1
2,97
=
=
S 6 61269,2 20629
mS = ±
=±
41
4. Средняя квадратическая ошибка среднего из пары:
m
2,97
MS = ± S = ±
= ±2,11
2
2
5. Найти относительную среднюю квадратическую ошибку из пары
измерений для шестой стороны:
MS
2,11
1
=
=
S6
61269,2 29171
Практическое занятие № 6. Предрасчёт точности прямых
геодезических измерений на основе принципа равных влияний
Цель работы: приобрести навыки работы при оценке предварительном расчёте точности прямых геодезических измерений на основе принципа равных влияний.
Задание №1:
Угол измерен теодолитом 2Т30 со среднеквадратической ошибкой
одного приема mβ = 30" . Чему равно число приемов n, среднее из которых
имело бы среднеквадратическую ошибку M β = 15" .
Порядок выполнения работы:
Mβ =
mβ
n=
n
mβ2
2
Mβ
=
900
= 4 приема.
225
Задание №2:
Надо измерить высоту телевышки (рис. 1) косвенным способом со
средней квадратической ошибкой m h =25 мм при значениях прямо измеряемых величин d = 206,265 м, δ = 45 , i=1,6 м. По условиям задания требуется найти вид функции измеренных величин, на основе принципа равных влияний определить среднеквадратические ошибки отдельных измерений ( m d = ?, mδ = ?, mi = ? ) и рекомендовать приборы и методику измерения, обеспечивающую заданную точность.
Рис. 5. Схема измерения высоты телевышки
Порядок выполнения работы:
1. Вид функции измеренных величин h = d × tgδ + i .
 ∂h  2  ∂h  mδ2
 ∂h 
=   md =  
=   mi2
2.
Ρ"  ∂i 
3  ∂d 
 ∂δ 
1 радиан равен Ρ" = 206264,806 ≈ 206265 c м
m h2
2
2
2
42
Находим частные производные по переменным функции h:
d
 ∂h 
 ∂h 
 ∂h 
;   =1
  = tgδ ;   =
 ∂d 
 ∂i 
 ∂δ  cos 2 δ
Используя правило принципа равных влияний, получим:
(
)
m / n = tg δ × m ;
2
h
2
Относительная
2
d
mh2
625
md = ±
=±
= ±14,4 мм
2
3
3tg δ
среднеквадратическая
ошибка
составляет
md
14,4
1
=
=
;
206,265 14325
d
mh2
mδ2
Ρ 2 × mh2 × cos 4 δ
625 × 0,25
d2
=±
= ±7",2
=
× 2 ; mδ = ±
2
4
3
3d
n
cos δ Ρ
2
m h2
2
= (1) mi2 ; mi = ± mh = ± 625 = ±14,4 мм
n
3
3
3. Рекомендации: на основании найденных среднеквадратических
ошибок рекомендуем следующие геодезические приборы:
а) для измерения расстояния - светодальномеры 2СТ10 или СТ5 расстояние необходимо измерить одним приёмом.
б) для измерения высоты прибора – рулетка или нивелирная рейка,
высоту необходимо измерить одним приёмом.
в) для измерения угла наклона – теодолит: 2Т5КП или 3Т5КП, причём угол наклона ν необходимо измерить теодолитами 2Т5КП или 3Т5КП
4-мя приёмами и из них взять среднее арифметическое.
Практическое занятие № 7. Оценка точности ряда неравноточных измерений одной величины
Цель работы: научиться оценивать ряда неравноточных измерений
одной величины.
Рис. 6. Схема проложения нивелирных ходов
L – нивелирные хода, Рп – исходные пункты (реперы), А – узловая точка
Задание:
Нивелирная сеть из 6-ти ходов различной длины пройденных от
твердых реперов и сходящихся в угловой точке А. По условиям задания
требуется найти:
- вес каждого хода приняв один из них за эталонный (за единицу веса)
43
- среднее весовое значение высотной отметки узловой точки H A .
- с.к.о. единицы веса µ .
- с.к.о. среднего весового значения отметки узловой точки М Н .
- с.к.о. измеренных превышений для каждого нивелирного хода m hi
А
Таблица 7 – Обработка результатов измерений
№
ходов
Значение
отметки
L,
км
εi
Вес хода
C
Pi =
Li
1
736,39
11,0
3
0,90
2
736,37
10,0
1
3
736,36
8,3
4
736,48
5
6
Pi ε i ,
± m hi ,
Vi = H A − H iA ,
см
PiVi2
2,7
-1,4
1,764
5,1
1,00
1,0
3,4
11,560
4,8
0
1,20
0
4,4
23,232
4,4
18,2
12
0,55
6,6
-7,6
31,768
6,5
736,50
21,3
14
0,50
7,0
-9,6
46,080
6,8
736,42
16,1
6
0,60
3,6
-1,6
1,536
6,2
4,75
20,9
∑
1. Найдем вес хода:
Pi =
логично и для остальные ходов.
HA
см
736,404
115,94
c
10
. Например: P2 = = 1; С=10 км. АнаLi
10
2. Находим среднее весов:
[
P1 H 1A + P2 H 2A + ... + P6 H 6A
Pi H iA
HA =
=
[Pi ]
P1 + P2 + ... + P6
H A = H +
см
]
[Piε i ] = 73636см + 20,9 = 73640,4см = 736,404 м
[Pi ]
4,75
ε i = H iA − H  ; примем что H0=736,36м
3. Найдем с.к.о. единицы веса:
µ=±
[Pν ] = ±
2
i i
n −1
115.94
= ±4.8см
5
ν i = H A − H iA
т.А
4. Найти с.к.о. среднего весового значения отметки узловой точки
M HA =
µ
[Pi ]
=±
4.8
= ±2.2см
4.75
44
хода.
5. Найти с.к.о. измеренных превышений для каждого нивелирного
m hi = ±
µ
=±
4.8
= ±5.1
Pi
0.9
аналогично и для остальных ходов, результаты приведены в таблице.
Практическое занятие № 8. Оценка точности ряда двойных неравноточных измерений (равноточных в парах)
Цель работы: научиться оценивать точность ряда двойных неравноточных измерений, но равноточных в парах.
Задание:
Даны разности превышений ( hiпр , hiоб ) для 10-ти нивелирных ходов
разной длины. Требуется найти: с.к.о. одиночного хода из 10-ти станций;
с.к.о. 2-ого хода той же длины; найти погрешности этих ошибок.
Таблица 8 – Обработка результатов измерений
№
хода
Разность
d, мм
Число
ст.
ki
Вес хода
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14
-24
-19
25
-22
21
-22
23
22
-17
7
21
13
25
28
15
19
18
16
23
1,43
0,37
0,77
0,40
0,30
0,66
0,52
0,56
0,62
0,43
Pi =
c
ki
[Pi ] = 6.12
∑
[d i
d i Pi
Pi d i
Pi d i2
16,744
-14,592
-16,663
15,8
-12,056
17,052
-15,862
17,204
17,314
-11,152
20,02
-8,88
-14,63
10
-6,6
13,86
-11,44
12,88
13,64
-7,31
]
[Pi d i ] = 20.22
280,28
213,12
277,97
250
145,2
291,06
251,68
296,24
300,08
124,27
P d 2  =
 i i 
Pi = 12,56
2458.94
Порядок выполнения работы:
Выбираем за эталонный (для нахождения весов нивелирных ходов)
ход из 10-ти станций (ед. веса)
c
С=10 ст
находим Pi = .
ki
1. Вычисляем среднюю остаточную систематическую ошибку:
δ сист =
[Pi d i ] = 20.22 = ±3.3 мм
[Pi ] 6.12
2. Проверяем систематическую ошибку на допустимость
d i Pi ≤ 0.25 d i Pi
[
]
[
]
12.56 ≤ 38.91
Так как неравенство выполняется, и систематические ошибки малы,
45
то ими можно пренебречь.
3. Находим среднеквадратическую ошибку единицы веса
µ =±
[P d ] = ±
i
2
i
2n
2458.94
= ±11.1мм
2 ×10
4. Найдем с.к.о. среднего арифметического из пары измерений:
Mh = ±
µ
2
=±
11.1
= ±7.8 мм
2
5. Находим погрешность вычисленной среднеквадратической ошибки единицы веса
mµ = ±
µ
2n
=±
11.1
= ±2.5 мм
20
6. Находим погрешность вычисленной средней квадратической
ошибки среднего из пары измерений
mM = ±
M
7.8
=±
= ±1.7 мм
2n
20
Практическое занятие № 9. Уравнивание системы полигонометрических ходов с одной узловой точкой раздельным способом
Рис. 7. Схема полигонометрических ходов, проложенных от твердых исходных сторон к узловой точке т. 3
Цель работы: научиться уравнивать систему полигонометрических
ходов с одной узловой точкой раздельным способом.
Задание:
Три полигонометрических хода проложены от твердых исходных
сторон к узловой точке т. 3 (рис. 1). По условиям задания требуется уравнять систему полигонометрических ходов разделенным способом и выполнить оценку точности этих ходов.
46
Таблица 6 – Исходные данные
Координаты исходных пунктов
X
Y
10706,486
10065,077
8320,000
9552,000
9716,107
7155,384
Название
пункта
Демидово
Никитино
Филатово
Исходные дирекционные углы:
α
Попово
Петрово
α
= 275 20′07′′
= 117  28′55′′
Никитино
Демидова
Дуб
= 57  21′ 41′′
α
Филатово
Порядок выполнения задания:
1. Вычисление весов полигонометрических ходов:
Pi =
c
, где n – число сторон в ходе
n +1
Возьмем за эталонный ход, состоящий из 12-ти углов, C=12.
P1 =
12
=3
4
P2 =
12
= 2.4
5
P3 =
12
=2
6
2. Вычислим вероятное (среднее весовое) значение дирекционного угла фиктивного направления 3-А:
α n−1 = α n + β iлев ± 180
1-й ход α 31− А = 134 29′17′′
2-ой ход α 32− А = 134 29′10′′
3-й ход α
α
3
3− А
= 134 28′55′′

ур
3− А
P1α 1 + P2α 2 + P3α 3
=
= 134 29′09′′
P1 + P2 + P3
3. Вычисляем условие невязки:
Для 1-го хода f β = α 31− A − α 3ур− A = 134 29′17′′ − 134 29′09 = 8′′
Для 2-го хода f β = α 32− A − α 3ур− A = 134 29′10′′ − 134 29′09 = 1′′
Для 3-го хода f β = α 33− A − α 3ур− A = 134 28′55′′ − 134 29′09 = −14′′
4. Вычисляем координаты условной т. 3 по каждому ходу и уравниваем эти координаты:
Для 1-го хода
Для 2-го хода
Для 3-го хода
X 3изм = X демидово + ∑ ∆X = 9608.153 м
Y3изм = Y демидово + ∑ ∆Y = 9585.885 м
X 3изм = X никитино + ∑ ∆X = 9608.142 м
Y3изм = Y никитино + ∑ ∆Y = 9585.869 м
X 3изм = X филатово + ∑ ∆X = 9608.590 м
47
Y3изм = Y филатово + ∑ ∆Y = 9585.836 м
X 3урв =
Y3урв =
P1 X 31 + P2 X 32 + P3 X 33
= 9608.275 м
P1 + P2 + P3
P1Y31 + P2Y32 + P3Y33
= 9585.868 м
P1 + P2 + P3
5. Вычислим линейные невязки для каждого хода:
1-й ход
2-й ход
f x1 = X 31 − X 3ур = −0.122 м
f x2 = X 32 − X 3ур = −0.133 м
f y1 = Y31 − Y3ур = −0.017 м
f y2 = Y32 − Y3ур = 0.001м
3-й ход
f = X 33 − X 3ур = 0.306 м
3
x
f y3 = Y33 − Y3ур = −0.016 м
6. Распределение линейных невязок и вычисление уровненных
приращений координат:
∆Yi ур = ∆Yi выч + dx
∆X iур = ∆X iвыч + dx
f d
dx = − x i
Pi
dy = −
f y di
Pi
7. Вычисляем уравненные координаты точек полигонометрических ходов:
ур
X iур
+1 = X i + ∆X i
Yi +1ур = Yi + ∆Yi ур
8. Оценка точности полигонометрических ходов (вычисление
относительной ошибки хода):
1-й ход
1
=±
f абс
f
1
отн
2
=±
f абс
f
1 2
x
1 2
y
= ± (0.122) 2 + (0.017) 2 = ±0.123 м
1
f абс
1
=
=
∑ d 9914
2-й ход
2
отн
(f ) + (f )
(f ) + (f )
2 2
x
2 2
y
= ± (−0.133) 2 + (0.001) 2 = ±0.133 м
2
f абс
1
=
=
∑ d 12145
3-й ход
3
f абс
=±
3
f отн
=
(f ) + (f )
3 2
x
3 2
y
= ± (0.306) 2 + (−0.016) 2 = ±0.306 м
3
f абс
1
=
∑ d 8260
48
Практическое занятие № 10. Уравнивание системы неравноточных нивелирных ходов с двумя узловыми точками способом эквивалентной замены
Цель работы: научиться уравнивать систему полигонометрических
ходов с одной узловой точкой раздельным способом.
Задание:
Система из пяти неравноточных нивелирных ходов с двумя узловыми точками, опирающимися на 4 исходных репера. Требуется:
1. Уравнять систему нивелирных ходов способом эквивалентной замены.
2. Выполнить оценку точности по результатам уравнивания.
Рис. 8. Схема системы неравноточных нивелирных ходов с двумя узловыми точками
Сущность метода эквивалентной замены заключается в том, что
система нивелирных ходов с несколькими узловыми точками преобразуется в эквивалентную по точности систему ходов с одной узловой точкой.
Используя принцип среднего весового, два или несколько нивелирных ходов преобразуем в один эквивалентный по точности воображаемый
нивелирный ход.
Порядок выполнения работы:
1) Найти веса ходов;
2) Найти уравненные значения высотной отметки узловой точки I;
3) Найти вес (Р1,2) и длину (L 1,2) эквивалентного нивелирного хода
1,2;
4) Найти вес (Р1,2+3) и длину (L 1,2+3) эквивалентного нивелирного
хода 1,2+3;
5) Найти уравненные значения высотной отметки узловой точки II;
6) Найти поправки (vi) в измеренные превышения (hi) для каждого
хода;
7) Найти уравненные превышения (hi) для каждого хода;
8) Выполнить оценку точности по результатам уравнивания
а) Найти ошибку единицы веса µ;
б) Найти С.К.О. превышения для каждого хода;
в) Найти С.К.О. уравненных высотных отметок узловых точек I и II.
1. Для нахождения весов ходов примем ход №5 за эталонный, т.е.
с=7,0 км и веса других ходов найдём по формуле:
49
Рi =
c 7,0
=
Li
Li
Вычисления весов приведены в таблице 1.
Таблица 7 – Исходные данные по нивелирным ходам системы и вычислений
№ Длина хо- Вес хоИзм.
Поправки Уравненные С.К.О.
хода
да
да
превыш- превыш-я превыш-я превышc
hiур , м
я hi, м
я
Li, км
Vi, м
Р =
i
1
2
3
4
5
9,0
8,2
6,5
5,0
7,0
mhi
Li
0,78
0,85
1,08
1,40
1,00
1,706
0,614
0,024
-1,217
0,866
-0,078
0,055
-0,017
-0,030
0,041
1,628
0,669
0,007
-1,247
0,907
,м
±0,066
±0,063
±0,056
±0,049
±0,058
Таблица 8 – Таблица исходных высотных отметок реперов и уравненных высотных отметок узловых точек
Название Уравненные Исходные
точки
отметки Н
отметки
узл I
188,482
узл II
188,509
Рn1
186,856
Pn2
187,815
Pn3
189,754
Pn4
187,600
I и II.
2. Находим приближенное значение отметки узловой точки из ходов
I
a) H 1 = H Pn1 + h1 = 186,482 + 1,706 = 188,562 (м)
H 2I = H Pn 2 + h2 = 187,815 + 0,614 = 188,429 (м)
P H I + P2 H 2I
H 1I, 2 = 1 1
= 188,493
P1 + P2
б) Заменяем ходы I и II на эквивалентный по точности ход.
P1, 2 = PHI1, 2 = P1 + P2 = 0,78 + 0,85 = 1,63
L1, 2 =
c
7,0
=
= 4,29
P1, 2 1,63
(км)
в) Заменив ходы 1,2 и 3 одним эквивалентным ходом, получим:
L1, 2+3 = L1, 2 + L3 = 4,29 + 6,5 = 10,79
P1, 2+3 =
c
L1, 2+3
=
(км)
7,0
= 0,65
10,79
г) Находим уравненную отметку узловой точки II.
50
H 4II = H Pn 3 + h4 = 188,537 (м)
H 5II = H Pn 4 + h5 = 188,466 (м)
H 1II, 2+3 = H 1, 2 + h3 = 188,536
P4 H
H урII =
II
4
+ P5 H
(м)
II
5
+ P1, 2+3 ⋅ H 1II, 2+5
P4 + P5 + P1, 2+3
= 188,507
(м)
3. а) Находим поправки в превышения ходов 4-го, 5-го и эквивалентного 1,2+3.
V4 = H урII − H 4II = 188,507 − 188,537 = −0,030
V5 = H
−H
II
ур
V1, 2+3 = H
II
5
= 188,507 − 188,466 = 0,041
−H
II
ур
II
1, 2 + 3
(м)
(м)
= 188,507 − 188,536 = −0,028
(м)
б) Находим поправки в ходы 3 и эквивалентной 1,2
Поправки в 3-ий ход:
V3 =
V1, 2+3
L1, 2+3
V1, 2 =
⋅ L3 =
V1, 2+3
− 0,028
⋅ 6,5 = −0,017
10,79
⋅ L1, 2 = −0,011
L1, 2+3
в) Находим уравненное значение высотной отметки I узловой точки.
H урI = H 1I, 2 + V1, 2 = 187,493 − 0,011 = 188,482
г) Находим поправки уравненных значений превышений.
I
V1 = H ур
− H 1I = −0,078
V2 = H урI − H 2I = 0,055
д) Находим уравненные значения превышений:
hiур = hiизм + Vi
h1ур = h1изм + V1 = 1,706 − 0,078 = 1,628
h2ур = h2изм + V2 = 0,614 + 0,055 = 0,669
h3ур = h3изм + V3 = 0,024 − 0,017 = 0,007
h4ур = h4изм + V4 = −1,217 − 0,030 = −1,247
h5ур = h5изм + V5 = 0,866 − − + 0,041 = 0,907
4. Оценка точности по результатам уравнивания.
а) Вычисление С.К.О. единицы веса µ
µ=±
[PV ] =
2
i
i
n−k
102,73
= ±0,058
5−2
(м)
n – число всех измерений
k – число необходимых измерений
(n-k) – число избыточных измерений
б) Находим С.К.О. измеренных превышений для каждого хода.
mh i = ±
µ
Pi
51
mh1 = ±
mh2 = ±
mh3 = ±
mh4 = ±
mh5 = ±
0,058
= ±0,066
0,78
0,058
= ±0,063
0,85
0,058
= ±0,056
1,08
0,058
1,40
0,058
1,0
= ±0,049
= ±0,058
II
в) Находим С.К.О. H ур
m HII ур = ±
µ
PHIIур
=±
0,058
3,05
г) Находим С.К.О. H
m HI ур = ±
µ
I
H ур
=±
P
= ±0,039
(м)
I
ур
0,058
2,34
= ±0,038
(м)
PH I = P1 + P2 + P4,5+3 = 0,78 + 0,85 + 0,74 = 2,37
ур
P4,5 = P4 + P5 = 2,4
L4 , 5 =
7,0
= 2,92
2,4
(км)
L4,5+3 = L4,5 = L3 = 2,92 + 6,5 = 9,42
P4,5+3 =
ний»;
c
L4 , 5 + 3
=
(км)
7,0
= 0,74
9,42
5.5. Краткое описание видов самостоятельной работы
5.5.1. Общий перечень видов самостоятельной работы
1. Написание реферата по темам раздела «Теория ошибок измере-
2. Написание курсового проекта по теме «Уравнивание геодезических сетей методом наименьших квадратов»;
3. Подготовка и оформление отчета по практическим занятиям и к
его защите.
4. Подготовка к экзамену.
5.5.2. Методические рекомендации по выполнения каждого задания самостоятельной работы
1. Вид работы – написание реферата.
Цель работы: закрепление знаний, полученных на практических занятиях.
Порядок выполнения:
Примерные темы направлений написания реферата:
1. Общие положения теории погрешностей измерений;
52
2. Понятие о погрешности измерений;
3. Классификация измерений;
4. Необходимые и избыточные измерения;
5. Равноточные и неравноточные измерения;
6. Зависимые и независимые измерения;
7. Прямые и косвенные измерения;
8. Виды погрешностей измерений;
9. Грубые промахи;
10. Систематические погрешности;
11. Случайные погрешности;
12. Свойства случайных погрешностей измерений;
13. Ошибки округления;
14. Меры точности результатов измерений (σ и m);
15. Прямая и обратная задача теории погрешностей измерений;
16. Интервальная оценка результатов измерений;
17. Статистическое исследование ряда случайных погрешностей.
В рамках примерных тем направлений написания реферата, студент
самостоятельно выполняет следующие разделы работы:
- самостоятельно выбирает вид геодезических измерений (угловые
или линейные измерения) и информирует об этом преподавателя;
- описывает в общем виде характеристику выбранного вида геодезического измерения;
- в соответствии с темой направления написания реферата обосновывает вид геодезического измерения и доказывает ее необходимым расчетом на основе теории ошибок;
- студент самостоятельно формулирует вывод о выполненной работе
и определяет перспективу использования полученных результатов в конкретных задачах геодезического производства;
- готовит отчет в виде реферата, в который включает указанные выше пункты.
Требование к реферату с результатами выполненной самостоятельной работы.
На титульном листе реферата указываются: название университета,
института и кафедры; тема работы, содержащая описание выбранного вида
геодезического измерения; подпись, номер группы, фамилия, имя и отчество студента, выполнившего работу; должность, фамилия, имя и отчество
преподавателя, выполняющего проверку работы; дата сдачи реферата студентом и дата приема реферата преподавателем.
Реферат должен содержать следующие разделы:
- описание выбранного вида геодезического измерения;
- обоснование вид геодезического измерения и доказывает необходимым расчетом на основе теории ошибок;
- определение перспективы использования полученных результатов в
конкретных задачах геодезического производства;
- список использованных источников.
53
2. Вид работы – подготовка и оформление отчета по практическим
занятиям и к его защите.
Цель работы: подготовка теоретического материала и оформление
практической части отчета в соответствии с установленными требованиями.
Порядок выполнения:
При подготовке отчета студент должен использовать теоретический
материал из списка литературы пункта 8 настоящей программы. Студент
кратко описывает тему, которой посвящено практическое занятие, иллюстрируя рисунками, схемами и подтверждая строгими расчетами.
Требования к оформлению отчета по практическим занятиям.
Отчет оформляется на листах формата А4. Отчет по каждому занятию сдается в день выполнения следующего за ним практического занятия (шрифт
Times New Roman, кегль 14, межстрочный интервал одинарный, поля:
верхнее и нижнее – 2 см, слева – 3 см, справа 1 см, абзацный отступ 1,25
см, автоматическая расстановка переносов). Размер шрифта формул – 14
кегль, размер шрифта индексов – 12 кегль. Не допускаются в тексте отчета
и формулах выделения жирным шрифтом. Иллюстрации, схемы, таблицы
должны быть подписаны и иметь соответствующую ссылку в тексте или в
соответствии с требованиями стандарта ИрГТУ СТО. 005-2009 «Учебнометодическая деятельность. Общие требования к оформлению текстовых и
графических работ студентов».
Каждое из практических занятий начинается с нового листа с указанием заголовка, вида работ.
Защита отчета проводится в виде тезисного доклада, который готовит самостоятельно студент. В докладе должны быть представлены цель и
задачи работы, применяемые материалы и методы в работе, полученные
результаты и выводы по работе. При необходимости преподаватель может
задать дополнительные вопросы из пункта 7.3 настоящей программы.
3. Вид работы – подготовка к экзамену.
Цель работы: подготовка к экзамену по лекционному и теоретическому материалу.
Порядок выполнения:
При подготовке экзамену студент должен использовать теоретический материал из списка литературы пункта 8 настоящей программы, а
также лекционный материал, выданный на занятиях. Контрольные вопросы к экзамену выдаются за месяц до экзамена. Контрольные вопросы к экзамену приведены в пункте 7.3 настоящей программы.
4. Требования к выполнению курсового проекта приведены в
пункте 5.5.2. настоящей программы.
5.5.2. Описание курсового проекта
Курсовой проект состоит из двух заданий, в ходе выполнения которых студенты должны показать способность самостоятельно выполнять
54
уравнительные вычисления методом наименьших квадратов типовых геодезических сетей.
Задание №1. Уравнивание группы направлений, исходящих из одного пункта.
Между четырьмя направлениями измерены горизонтальные углы во
всех комбинациях (рис. 1). Исходные данные представлены в таблице 1. В
результате уравнивания должны быть вычислены: уравненные значения
всех углов; средняя квадратическая ошибка mi результата непосредственного измерения и средняя квадратическая ошибка mm самой ошибки.
A
t1
6
4
1
2
O
Результаты измерений
B
Угол
1
2
3
4
5
6
AOB
BOC
COD
AOC
BOD
AOD
t2
t3
D
Рис. 1 Схема измерений
горизонтальных углов
Измеренный угол
°
C
5
3
№ угла
23
5
2
29
8
31
42
18
54
00
13
55
16,3
30,8
47,3
45,8
17,3
33,8
Таблица 1
Неизвестные
(параметры)
t1
t2
t3
t1+ t2
t2+ t3
t1+ t2+ t3
Ход решения:
Выбор необходимых неизвестных (параметров). Параметры
должны быть независимыми. Чтобы обеспечить это условие, необходимо
выбрать максимальное количество независимых условных уравнений. Это
означает, что нельзя выразить одно уравнение как линейную комбинацию
остальных. В нашем случае их будет три, образующих систему независимых условных уравнений (рис. 1):
X4 = X1+X2
X5 = X2 + X3
(1)
X6 = X1 +X2 +X3
Итак, число необходимых измерений k равно разнице между числом
измеренных величин n и числом условных независимых уравнений r. Откуда следует k = n – r = 6 – 3 = 3. В связи с этим в качестве необходимых
неизвестных (параметров) выбрано три угла (AOB, BOC, COD) из шести
измеренных. Обозначим истинные значения Xi выбранных неизвестных
через t1, t2, t3 (табл. 1).
Х1 = t1 ; X2 = t2 ; X3 = t3
Теперь, вводим неизвестные vi – поправки в измеренное значение xi ,
чтобы получить уравненные значения xi + vi, таким образом, чтобы [vi] = 0.
Составление параметрических уравнений связи. Выразим все
шесть уравненных значений измеренных величин Хi через уравненные
значения трех необходимых неизвестных t1, t2, t3.
В нашем случае, параметрические уравнения связи будут выражены
55
следующим образом (рис. 1):
1) Х1 = t1
4) X4 = t1+t2
2) X2 = t2
5) X5 = t2 + t3
3) X3 = t3
6) X6 = t1 +t2 +t3
Определение приближенных значений параметров. В качестве
приближенных значений неизвестных t1, t2, t3 выберем их измеренные значения xi:
t01 = x1 = 23°42 16˝,3
t02 = x2 = 5°18 30˝,8
t03 = x3 = 2°54 47˝,3
Составление параметрических уравнений поправок. Общий вид
параметрического уравнения связи:
Хi = xi + vi = F(t1, t2, t3), или vi = F(t1, t2, t3) - xi (i = 1, 2, …, 6)
(2)
Теперь выполним условие [vv] = min и получим:
n
∑(F(t1, t2, t3) - xi)2= min
(3)
i =1
Требование [vv] = min означает, чтобы сумма квадратов поправок
была наименьшей по сравнению с суммой квадратов поправок, полученных любым другим путем.
В левой части выражения (3) неизвестны только величины tk, поэтому его можно написать в виде некоторой функции F(t1,…, tk):
F(t1, …, tk) = min
(4)
Поскольку введенные необходимые неизвестные t свелись к задаче
на абсолютный экстремум, то необходимо составить определенную систему уравнений:
∂F
= 0 (ν = 1, 2, …, k)
(5)
∂tν
из которой могут быть получены неизвестные t1, … tk.
Однако, если уравнения имеют нелинейный вид, то их решение
практически невозможно. Поэтому для параметров tν находят приближенные значения t0ν, причем с такой точностью, чтобы привести функцию (2) к
линейному виду путем разложения в ряд Тейлора, в котором можно пренебречь членами разложения второго и высшего порядков.
Представим неизвестные tν в виде:
tν = t0ν + τν (ν = 1, 2, …, 6),
(6)
0
где t ν – приближенные значения, τν – неизвестные поправки к ним.
Подставим эти значения tν в равенство (2), получим:
(7)
vi = F(t01+τ1, …, t0k+τk) - xi
Разлагая функцию Fi в ряд Тейлора, находим:
 ∂X 
 ∂X 
vi = F (t10 ,..., t k0 ) +  i  τ 1 + ... +  i  τ k + R − xi ,
(8)
 ∂t1  0
 ∂t k  0
где R – сумма всех членов разложения, кроме линейных. Приближенные
значения должны быть найдены таким образом, чтобы можно было пренебречь R.
56
Пренебрегая величиной R, получаем:
 ∂X 
 ∂X 
vi =  i  τ 1 + ... +  i  τ k + F (t10 ,..., t k0 ) − xi
 ∂t1  0
 ∂t k  0
{
}
(9)
Введем обозначения:
 ∂X
 ∂X i 

 = ai1 ; …;  i
 ∂t1  0
 ∂t k

 = aik ; F (t10 ,..., t k0 ) − xi = xi0 − xi = li
0
В нашем случае, общий вид параметрического уравнения поправок:
i = 1, 2, …, 6
(10)
vi =ai1τ1 + ai2τ2 + ai3τ3 + li
Рассмотрим составление уравнения поправок на примере 5-го параметрического уравнения связи. Для 5-го уравнения связи имеем:
v5 =a51τ1 + a52τ2 + a53τ3 + l5,
a52= ( ∂X 5 / ∂t 2 )o = +1 a53= ( ∂X 5 / ∂t3 )o = +1
где а51 = ( ∂X 5 / ∂t1 )o = 0
Свободный член будет выражен следующим образом:
L5 = (t02 + t03) – x5 = 5°18 30˝,8 + 2°54 47˝,3 – 8°13 17˝,3 = 0˝,8
Следовательно, v5 = τ2 + τ3 + 0˝,8
Составляем уравнения поправок для всех параметрических уравнений связи:
1. v1 = τ1
2. v2 =
τ2
τ3
(11)
3. v3 =
4. v4 = τ1 + τ2
+ 1˝,3
5. v5 =
τ2 + τ3 + 0˝,8
6. v6 = τ1 + τ2 + τ3 + 0˝,6
По этим уравнениям составляем таблицу коэффициентов уравнений
поправок с контролем по формулам (13-15) (см. табл. 2).
Сумма всех значений Si (в данном примере +12,7) точно равняется
сумме значений, записанных в строке предшествующей последнюю, выделенную полужирным курсивом, которые в свою очередь, получены как
суммы чисел по столбцам.
Таблица 2
Коэффициенты уравнений поправок и нормальных уравнений
№№
уравн.
1
2
3
4
5
6
[]
τi
№№
уравн.
1
2
a
b
c
l
S
v
av
-0,28
-0,52
-0,02
+0,50
+0,26
-0,22
-0,28
+1,3
+0,8
+0,6
+2,7
+1,0
+1,0
+1,0
+3,3
+2,8
+3,6
+12,7
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+4
-0,52
+1
+3
-0,28
aa
ab
1
0
0
0
ac
0
0
+1
+1
+3
-0,02
al
0
0
aS
bb
1
0
bc
0
1
bl
0
0
0
0
bS
cv
vv
0,0784
0,2704
0,0004
0,2500
0,0625
0,0529
0,7146
-0,52
-0,02
0,50
0,50
0,26
-0,22
0,02
-0,22
0
cc
0
1
bv
0
0
cl
cS
0
0
0,26
-0,22
0,02
ll
0
0
0
0
lS
SS
0,00
0,00
1,00
1,00
57
3
4
5
6
[]
0
1
0
1
0
1
0
1
3,0
2,0
0
0
0 1,3
0
0
1 0,59
1,0
1,89
0
3,3
0
3,59
7,89
0
1
1
1
4,0
0
0
0 1,30
1 0,79
1 0,59
2,0
0
3,30
2,79
3,59
1
0
0
0
1 0,79
1 0,59
2,68 10,68 3,00 1,38
1,00
0 0,00 1,00
0 1,69 4,29 10,89
2,79 0,62 2,20 7,78
3,59 0,35 2,12 12,89
7,38
2,66 8,61 34,56
Составление весовой функции. По условию требуется оценить точность уравненного значения первого, второго и третьего углов. Выразим
их через необходимые неизвестные:
F1 = X1 = t1 ; F2 = X2 = t2 ; F3 = X3 = t3
В соответствии с формулой найдем коэффициенты, используемые
впоследствии для оценки точности функции:
ƒ1 = (dF/dt1)0 = +1 ; ƒ2 = (dF/dt2)0 = +1 ; ƒ3 = (dF/dt3)0 = +1
Составление нормальных уравнений. Система из трех нормальных
уравнений имеет следующий вид:
[aa] τ1 + [ab] τ2+ [ac] τ3 + [al] = 0
[ab] τ1 + [bb] τ2+ [bc] τ3 + [bl] = 0
(12)
[ac] τ1 + [bc] τ2+ [cc] τ3 + [cl] = 0
Значения коэффициентов и свободные члены этой системы вычислены в табл. 3 по данным табл. 2.
Все вычисления контролируют по формулам:
[aa] + [ab] + [ac] + [al] = [as]
[ab] + [bb] + [bc] + [bl] = [bs]
[ac] + [bc] + [cc] + [cl] = [cs]
(13)
[al] +[bl] + [cl] + [ll] = [ls]
[as] + [bs] + [cs] + [ls] = [ss]
Далее по примеру (табл. 2):
1) +3+2+1+1,89=7˝,89
[as] = +7˝,89
2) +2+4+2+2,68=+10˝,68
[bs] = +10˝,68
3) +1+2+3+1,38=+7˝,38
[cs] = +7˝,38
4) +1,89+2,68+1,38+2,66=+8˝,61
[ls] = +8˝,61
5) +7,89+10,68+7,38+8,61=+34˝,56
[ss] = +34˝,56
Для оценки точности функции находим контрольные суммы:
Σ1 = [as] - [al] + ƒ1
Σ2 = [bs] - [bl] + ƒ2
(14)
Σ3 = [cs] - [cl] + ƒ3
Далее по примеру:
Σ1 = [as] - [al] + ƒ1 = +7,89 – 1,89 + 1,0 = +7˝,0
Σ2 = [bs] - [bl] + ƒ2 = +10,68 –2,68 + 1,0 = +9˝,0
Σ3 = [cs] - [cl] + ƒ3 = + 7,38 – 1,38 + 1,0 = +7˝,0
Общая сумма составляет Σ = +23˝,0
Вычисление контрольных сумм проверяется по формуле (15):
[Σ] = [ƒ]+[as ]+[bs ]+[cs ]+[ll]–[ls],
(15)
где [ƒ] = [ƒ1] + [ƒ2] + [ƒ3]
[Σ] = 3,0+7,89+10,68+7,38+2,66 – 8,61=+23˝,0
58
Используя данные таблицы 2, получаем систему нормальных уравнений:
3τ1+2τ2+τ3 +1,89 = 0
2τ1+4τ2+2τ3 +2,68 = 0
τ1+2τ2+3τ3 +1,38 = 0
Решение нормальных уравнений. При решении систем нормальных уравнений используем алгоритм способа Гаусса. В его основе лежит
метод последовательного исключения неизвестных. Система обозначений,
облегчающая решение нормальных уравнений:
- a, b, c – столбцы коэффициентов нормальных уравнений;
- l – столбец свободного члена нормальных уравнений;
- N1, N2, N3 – строки коэффициентов нормальных уравнений;
- E1, E2, E3 – строки коэффициентов элиминационных уравнений
(слово «элиминационный» происходит от латинского слова «elimino», означающего «выносить за порог», исключать);
- (1), (2) – строки величин, полученных путем перемножения коэффициентов элиминационных уравнений E1, E2 на коэффициенты нормальных уравнений N1, N2;
- а, b – строки величин, полученных путем сложения коэффициентов
элиминационных уравнений и величин (1), (2), … (их количество зависит
от числа нормальных уравнений);
- τ1, τ2, τ3 – неизвестные величины.
По условиям задания рассмотрим способ Гаусса на примере системы
трех нормальных уравнений (см. формулы (12).
В таблице 3 приводятся формулы расчета и числовые значения коэффициентов нормальных и элиминационных уравнений.
Таблица 3
Решение нормальных и элиминационных уравнений
№
строк
Обозначение
1
N1
2
3
4
5
6
a
b
c
l
[aa ]
[ab]
[aс]
[al ]
3,0
2,0
1,0
1,9
−
E1
N2
(1)
a
E2
−
[ab]
[aa ]
−
[ac]
[aa ]
−
[al ]
[aa ]
-0,67
-0,333
-0,63
[bb]
[bc]
[bl ]
4,0
2,0
2,7
[ab] [ab]
[aa]
−
[ab] [ac]
[aa]
−
[ab] [al ]
[aa ]
-1,33
-0,67
-1,26
[bb *1]
[bc *1]
[bl *1]
2,67
1,33
1,42
−
[bc *1]
[bb *1]
-0,500
−
[bl *1]
[bb *1]
-0,533
59
№
строк
Обозначение
7
N3
8
(1)
a
b
−
c
l
[cc]
[cl ]
3,00
1,38
[ac] [ac]
[aa]
[ac] [al ]
[aa ]
−
-0,33
9
10
11
−
(2)
[bc *1] [bc *1]
[bb *1]
b
-0,63
−
[bc *1] [bl *1]
[bb *1]
-0,67
-0,71
[cc * 2]
[cl * 2]
2,00
0,04
−
E3
[cl * 2]
[cc * 2]
-0,02
12
−
τ3
[cl * 2]
[cc * 2]
-0,02
13
14
[ ]
-0,523
τ2
τ1
[ ]
-0,275
−
[ab] * X
[aa ] 2
0,348
−
[bc *1] * X
[bb *1] 3
−
−
[bl *1]
[bb *1]
0,010
-0,533
[ac] * X
[aa ] 3
−
0,0067
-0,630
[al ]
[aa ]
После определения значений всех неизвестных их следует подставить
в систему нормальных уравнений для проведения контроля полученных
результатов. Контроль будет считаться успешным при равенстве уравнений
нулю (с учетом степени округления).
Контроль решения нормальных уравнений:
3*(-0,275) + 2*(-0,523) + 1*(-0,02) +1,89 = 0
2*(-0,275) + 4*(-0,523) + 2*(-0,02) +2,68 = 0
1*(-0,275) + 2*(-0,523) + 3*(-0,02) +1,38 = 0
Вычисление поправок к результатам измерений. Поправки vi к измеренным значениям находят в табл. 2 по формулам (10) и заканчивают
составление этой таблицы.
Вычисление уравненных значений неизвестных (параметров).
Так как в данном примере в качестве параметров выбраны измеренные величины, то рассматриваемые вычисления удобно совместить с вычислениями следующего этапа.
Вычисление уравненных значений измеренных величин. В таблице 4 вычисляют уравненные значения углов, используя поправки vi .
Заключительный контроль уравнивания. Он состоит в повторном вычислении уравненных значений углов по уравнениям связи (формула (2).
Контрольные вычисления приводятся в табл. 4.
60
Оценка точности. При оценке точности вычисляют среднюю квадратическую ошибку mi результата непосредственного измерения и среднюю квадратическую ошибку mm самой ошибки.
[vv]
mi =
(n − k )
=
0,7146
= ±0, ' '49 ; mm =
(6 − 3)
mi
2(n − k )
=
Уравненные значения углов
№ угла
Углы
Измеренные
значения xi
1
2
3
4
5
6
АОВ
ВОС
СОД
АОС
ВОД
АОД
23 42 16,3
5 18 30,8
2 54 47,3
29 00 45,8
8 13 17,3
31 55 33,8
Поправки
vi
-0,28
-0,52
-0,02
+0,50
+0,26
-0,22
Уравненные
значения Хi
23 42 16,02
5 18 30,28
2 54 47,28
29 00 46,30
8 13 17,56
31 55 33,58
0,49
2(6 − 3)
= ±0, ' '20
Таблица 4
Уравнения
связи
Xi=ƒi(t1,t2,t3)
t1
t2
t3
t1+t2
t2+t3
t1+t2+t3
Контроль
23 42 16,02
5 18 30,28
2 54 47,28
29 00 46,30
8 13 17,56
31 55 33,58
Задание №2. Уравнивание геодезического четырёхугольника
коррелатным способом
В геодезическом четырёхугольнике измерены 8 горизонтальных углов (рис. 2 и табл. 5). Пункты А и В исходные, а пункты С и D определяемые. В геодезическом треугольнике требуется выполнить: уравнительные
вычисления измеренных углов в геодезическом четырёхугольнике коррелатным способом; провести оценку точности угловых измерений по результатам уравнивания; произвести оценку точности стороны АD.
C
Таблица 5
Результаты измерений
4
B
3
5
2
O
6
1
A
8
7
D
Рис. 2 Схема измерений горизонтальных
углов в геодезическом четырехугольнике
№ измеренных
углов
1
2
3
4
5
6
7
8
Значение измеренного угла βi
48003'42,1"
45022'50,2"
42027'08,9"
44006'23,0"
49026'17,8"
44000'07,3"
40030'27,9"
46003'05,6"
Ход решения:
Перед математической обработкой геодезических измерений необходимо выполнить расчёт числа независимых условных уравнений поправок r в геодезической сети, которое будет равно разнице между числом
всех измерений n и числом необходимых измерений k.
r=n–k
61
Геодезический четырехугольник является замкнутой фигурой сети,
тогда возникает у с л о в и е ф и г у р . При данном условии необходимо
выполнить требование, чтобы сумма измеренных углов при всех вершинах
фигуры после уравнивания была равна геометрической сумме углов данной фигуры.
При условии фигур, в геодезическом четырехугольнике возникает
несколько совместно зависимых уравнений:
f1 = β1 + β2 + β3 + β4 = 180°
f2 = β3 + β4 + β5 + β6 = 180°
f3 = β5 + β6 + β7 + β8 = 180°
(16)
f4 = β1 + β2 + β7 + β8 = 180°
f5 = β1 + β2 + β3 + β4 + β5 + β6 + β7 + β8 = 360°
Их зависимость выражена следующим образом:
f1 + f2 – f3 – f4 = 0; f1 + f2 – f5 = 0; f3 + f4 – f5 = 0
Перед нами стоит задача – выбрать максимальное число независимых условных уравнений, где нельзя было бы выразить одно уравнение
как линейную комбинацию других. Однако любые три комбинации уравнений независимы:
f1 + f2 + f3 ≠ 0; f1 + f3 + f5 ≠ 0; f3 + f4 + f5 ≠ 0;
Таким образом, для геодезического четырехугольника достаточно
иметь любые три уравнения фигуры.
У с л о в и я п о л ю с а возникают, когда в замкнутой фигуре треугольников, имеющих общую вершину (полюс), отношение связующих
сторон треугольников было равно единице. В нашем примере, имеется по
два треугольника, имеющих общую вершину и пересеченных диагональю
четырехугольника, то в этом случае условие полюса называется б о к о вым условием.
Учитывая, что у четырехугольника имеется четыре вершины (полюса) и точка пересечения диагоналей, то возникает пять уравнений полюса.
Составим для каждого полюса соответствующее уравнение:
AC AD sin β 4 ⋅ sin( β 6 + β 7 ) ⋅ sin β 2
= 1 (полюс в т. А)
=
AD AB sin( β 2 + β 3 ) ⋅ sin β 5 ⋅ sin β 7
BD BA sin β 6 ⋅ sin( β1 + β 8 ) ⋅ sin β 4
=
= 1 (полюс в т. B)
BA BC sin( β 4 + β 5 ) ⋅ sin β 7 ⋅ sin β1
CD CA CB sin β 8 ⋅ sin( β 2 + β 3 ) ⋅ sin β 6
=
= 1 (полюс в т. C)
f8 =
CA CB CD sin( β 6 + β 7 ) ⋅ sin β1 ⋅ sin β 3
AB
AC
BC
f7 =
BD
f6 =
(17)
DA DB DC sin β 2 ⋅ sin( β 4 + β 5 ) ⋅ sin β 8
=
= 1 (полюс в т. D)
DB DC DA sin( β1 + β 8 ) ⋅ sin β 3 ⋅ sin β 5
OA OB OC OD sin β 2 ⋅ sin β 4 ⋅ sin β 6 ⋅ sin β 8
=
= 1 (полюс в т. O)
f10 =
OB OC OD OA sin β1 ⋅ sin β 3 ⋅ sin β 5 ⋅ sin β 7
f9 =
Из уравнения полюса получаем справедливое равенство f6 f8 – f7 f9 =
0, из которого выразим каждую из функций:
62
f6 =
f7 f9
f f
f f
f f
; f8 = 7 9 ; f 7 = 6 8 ; f9 = 6 8
f8
f6
f9
f7
(18)
Отсюда имеем одно независимое уравнение полюса из пяти приведенных выражений (17).
Таким образом, числа независимых условных уравнений поправок r
равно 4 (три уравнения фигуры и одно уравнение полюса).
k=n–r=8–4=4
Величину r еще называют числом избыточных измерений.
Составление условных уравнений поправок и нахождение невязок.
В геодезическом четырехугольнике рассмотрим три треугольника
ABC, BCD, CDA. Как известно, сумма углов в плоском треугольнике равна
180°, следовательно, сумма измеренных углов в данном треугольнике будет отклоняться от 180°. Величина отклонения называется н е в я з к о й
треугольника. Условные уравнения фигур имеют линейный вид. Следовательно:
β1 + β2 + β3 + β4 - 180° = W1 = 0°00 04 ,2
β3 + β4 + β5 + β6 - 180° = W2 = - 0°00 03 ,0
(19)
β5 + β6 + β7 + β8 - 180° = W3 = - 0°00 01 ,4
Затем составим условные уравнения поправок:
v1 + v2 + v3 + v4 + W1 = 0
v3 + v4 + v5 + v6 + W2 = 0
(20)
v5 + v6 + v7 + v8 + W3 = 0
Далее, в нашем случае, запишем условное уравнение полюса, например для т. А:
AB AC AD sin β 4 ⋅ sin( β 6 + β 7 ) ⋅ sin β 2
=
=1
AC AD AB sin( β 2 + β 3 ) ⋅ sin β 5 ⋅ sin β 7
sin β 4 ⋅ sin( β 6 + β 7 ) ⋅ sin β 2
=1
sin( β 2 + β 3 ) ⋅ sin β 5 ⋅ sin β 7
(21)
Прологарифмируем обе стороны выражения (21) для приведения
уравнения полюса к линейному виду:
lg sin β 4 + lg sin( β 6 + β 7 ) + lg sin β 2 − lg sin( β 2 + β 3 ) − lg sin β 5 − lg sin β 7 = 0
Уравнение полюса преобразуем в уравнение поправок:
∆ 4 v 4 + ∆ 6 + 7 ( v 6 + v 7 ) + ∆ 2 v 2 − ∆ 2 + 3 ( v 2 + v 3 ) − ∆ 5 v 5 − ∆ 7 v 7 + W4 = 0 ,
(22)
где Δi – изменение lg sin при измерении угла на 1 секунду.
Выражения (20) и (21) являются независимыми условными уравнениями.
Теория. Вывод условных уравнений поправок. Как указывалось,
задачу нахождения минимума функции независимых уравнений [vv] = min
63
решают способом Лагранжа, вводя вспомогательные множители независимых условных уравнений.
ϕ1 ( X 1 ,...., X n ) = 0 
ϕ 2 ( X 1 ,...., X n ) = 0

.......................... 
ϕ r ( X 1 ,...., X n ) = 0 
(23)
где n – число измерений, r – число избыточных измерений (число независимых условных уравнений).
Как видно, из системы уравнений (23) в правой части стоят нули, но
для величин Xi получены результаты измерений x1, …., xn. Так как значения
xi отягощены ошибками измерений, и при подстановке их в левые части
условных уравнений (23), то в правых их частях получаются не нули, а невязки W.
Следовательно, уравнения (28) примут вид:
(24)
ϕ j ( x1 ,...., x n ) = W j ( j = 1, 2, …, r)
Чтобы невязки Wi были равны нулю, необходимо их устранить за
счет поправок v. В результате получаем:
(25)
ϕ j ( x1 + v1 ,...., x n + vi ) = 0 ( j = 1, 2, …, r)
Поскольку задачу на условный экстремум решают по правилам Лагранжа при помощи неопределенных множителей условных уравнений, тогда введем функцию Ф, зависящую от измеренных значений xn и неопределенных множителей λr. В результате получаем:
Ф(v1 ,...., v n ; λ1 ,...., λ r ) = f (v1 ,...., v n ) + λ1ϕ1 ( x1 ,...., x n ) + .... + λ r ϕ r ( x1 ,...., x n ) ,
(26)
2,
…,
r)
и
где ϕ j = ϕ j ( x1 + v1 ,...., x n + vi ) = 0 ( j = 1,
λ1ϕ1 ( x1 ,...., x n ) + .... + λ r ϕ r ( x1 ,...., x n ) = 0
вида:
Искомые значения поправок v должны удовлетворять равенствам
∂Ф
= 0 ( i = 1, 2, …, n)
∂vi
(27)
∂Ф
= 0 ( j = 1, 2, …, r)
∂λ j
Далее получаем систему уравнений:
∂ϕ
∂ϕ r
∂Ф ∂Ф
=
+ λ1 1 + ... + λ r
=0
∂v1 ∂v1
∂x1
∂x1
………………………………..
∂ϕ r
∂ϕ
∂Ф ∂Ф
=0
=
+ λ1 1 + ... + λ r
∂x n
∂x n
∂v n ∂v n
∂Ф
= ϕ1 ( x1 ,...,x n ) = 0
∂λ1
…………………..
64
∂Ф
= ϕ r ( x1 ,...,x n ) = 0
∂λ r
ных.
В результате получаем суммы n + r уравнений и n(v) + r(λ) неизвест-
Если условные уравнения будут иметь нелинейный вид, то задача
станет практически неразрешимой. Для этого, пренебрегая нелинейными
членами разложения функций φi в ряд Тейлора, можно выражения (25) записать следующим образом:
 ∂ϕ j
 ∂x1
ϕ j ( x1 + v1 ,...., x n + vi ) = ϕ j ( x1 ,...., x n ) + 
 ∂ϕ j
 ∂xi
Заменяя 

 ∂ϕ
 v1 + ... +  j
0
 ∂x n

 v n
0

 = aij
0
(28)
и учитывая равенства (27), получим:
a1 j v1 + ... + a nj v n + W j = 0 ( j = 1, 2, …, r)
(29)
или в сокращенной форме:
[a1v] + W1 = 0 
[a 2 v] + W2 = 0

...................... 
[a r v] + Wr = 0 
Это равенство (29) называют у с л о в н ы м у р а в н е н и е м п о правок.
В случае если переменная v связаны между собой уравнениями (29) и
подставим их вместо функции φ в выражении (26). Для удобства вычислений множители Лагранжа обозначим так: λ1 = -2k1, λ2 = -2k2, …, λr = -2kr.
Множители k1, k2, …, kr называют к о р р е л а т а м и .
[ ]
Ф(v1 ,...., vn ) = v 2 − 2k1 ([a1v ] + W1 ) − .... − 2k r ([ar v ] + Wr )
Далее возьмем частные производные по аргументам vi и приравняем
их нулю, получим:
∂Ф
= 2vi − 2k1 ai1 − ... − 2k r air = 0
∂vi
откуда общий вид уравнения поправок для равноточных измерений:
vi = ai1 k1 + ai 2 k 2 + ... + air k r ,
(30)
В нашем случае, уравнения поправок будут иметь вид:
vi = ai K 1 + bi K 2 + ci K 3 + d i K 4
где ai, bi, ci, di – коэффициенты условных уравнений поправок, Ki – неопределенные множители (коррелаты). При соблюдении условия [vv] = min,
получим уравнения коррелат.
65
Вычисление коэффициентов уравнения фигур. Для вычисления
коэффициентов уравнения фигур необходимо взять частные производные
dF
выражений (20) по аргументам vi. После чего получаем:
dvi
для 1-го уравнения:
a1 = a 2 = a 3 = a 4 = 1 ;
a5 = a6 = a7 = a8 = 0
для 2-го уравнения:
b1 = b2 = b7 = b8 = 0 ;
b3 = b4 = b5 = b6 = 1
для 3-го уравнения:
c 5 = c 6 = c 7 = c8 = 1 ;
c1 = c 2 = c3 = c 4 = 0
Значения коэффициентов уравнения фигур записываются в таблицу
7 (столбцы ai, bi, ci).
Вычисление коэффициентов Δi полюсного уравнения и его невязки W4.
Таблица 6
Вычисление невязки полюсного уравнения
Углы Значение βi
4
44o06'23"
6+7
84o30'35,2"
2
45o22'50,2"
[ ]
lg sin βi
9,8426048
9,9980031
9,8523509
29,6929588
Δi(7)*
21,70
2,02
20,78
Значение βi
87o43'59,1"
49o26'17,8"
40o30'27,9"
Углы
2+3
5
7
[ ]
* Δi – изменение lg sin при измерении угла на 1 секунду.
lg sin βi
9,9996893
9,8806455
9,8126132
29,6929480
Δi(7)*
0,80
18,00
24,65
Величина Δi рассчитывается по формуле:
∆ i = lg sin( β i + 1" ) − lg sin β i
(35)
Невязка уравнения полюса вычисляется как разница между суммами
правым и левым столбцом lg sin βi таблицы 6.
W4 = ∑ lg sin β i − ∑ lg sin β i = 107,82 ( 7 ) = 10,78 ( 6)
Вычисление коэффициентов уравнения полюса (см. столбец di таблицу 7):
d1 = ∆ 1 = 0
d8 = ∆8 = 0
d 2 = ∆ 2+3 − ∆ 2 = 0,80 − 20,8 = −20 ( 7 ) = −2,0 ( 6 )
d 3 = ∆ 2+3 = 0,80 ( 7 ) = 0,08 ( 6 )
d 4 = ∆ 4 = −21,70 ( 7 ) = −2,17 ( 6 )
d 5 = ∆ 5 = 18,02 ( 7 ) = 1,80 ( 6 )
d 6 = ∆ 6+ 7 = −2,03( 7 ) = −0,20 ( 6 )
d 7 = ∆ 7 − ∆ 6+ 7 = 24,65 − 2,02 = 22,63( 7 ) = 2,26 ( 6 )
Таблица 7
Вычисление коэффициентов условных уравнений поправок
№ угла
ai
bi
ci
di
Fi
Сумма S'
1
2
3
4
5
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0,00
-2,00
0,08
-2,17
1,80
0,00
2,08
0,00
0,00
0,00
1,00
1,08
2,08
-0,17
3,80
66
№ угла
ai
bi
ci
di
Fi
Сумма S'
6
7
8
[ ]
0
0
0
4
1
0
0
4
1
1
1
4
-0,20
2,26
0,00
0,00
-2,46
0,00
1,80
0,80
1,00
Вычисление коэффициентов нормальных уравнений коррелат.
Поскольку полученная система из четырёх линейных уравнений (три уравнения фигур плюс одно уравнение полюса) не решаема, преобразуем ее на
основе способа наименьших квадратов ([vv] = min) в четыре нормальных
уравнения коррелат:
[aa ]K1 + [ab]K 2 + [ac]K 3 + [ad ]K 4 + W1 = 0
[ba]K1 + [bb]K 2 + [bc]K 3 + [bd ]K 4 + W2 = 0
(36)
[ca]K1 + [cb]K 2 + [cc]K 3 + [cd ]K 4 + W3 = 0
[da]K1 + [db]K 2 + [dc]K 3 + [dd ]K 4 + W4 = 0
Таблица 8
Вычисление коэффициентов нормальных уравнений коррелат
[a
[b
[c
[d
[F
[S'
a]
4
2
0
-4,09
2,08
3,99
b]
2
4
2
-0,49
0,00
7,51
c]
0
2
4
3,86
-2,46
7,40
d]
F]
S']
Невязка Wi S=S'+Wi
-4,09
-2,08
3,99
4,2
8,19
-0,49
0
7,51
-3
4,51
3,86
-2,46
7,40
-1,4
6,0
17,1029 -9,7196 6,6633
-10,78
-4,118
0
0,2784
-9,7196 10,378 0,2784
6,6633 0,2784 25,8417
Заполнение таблицы 8 осуществляется по данным таблицы 7. Значения величин, выделенные полужирным курсивом и другим типом шрифта,
не записываются. В нашем случае, значения величин нужны для контрольных вычислений.
Столбец S = S' + Wi служит для контроля решения нормальных уравнений. Значения этого столбца сравнивают со значениями таблицы 9 в
строках нормальных уравнений коррелат.
Решение нормальных уравнений коррелат. Решение нормальных
уравнений коррелат было выполнено по схеме Гаусса, ход которого приведен в таблице 9.
Значения коррелат определены, начиная с 4-го коэффициента, по
формулам (37). Значения дробных соотношений берутся из таблицы 9.
[W4 3]
= 0,6532
[dd 3]
[W 2]
[cd 2]
K3 = −
K 4 − 3 = −1,4416
[cc 2]
[cc 2]
K4 = −
(37)
[W 1]
[bc1]
[bd1]
K3 −
K 4 − 2 = 2,3226
[bb1]
[bb1]
[bb1]
W
[ad ]
[ab]
[ac]
K1 = −
K2 −
K3 −
K 4 − 1 = −1,5434
[aa ]
[aa ]
[aa ]
[aa ]
K2 = −
67
Вычисление поправок в измеренные углы. Вычисление поправок
осуществляется по уравнению поправок (30) и их значения записывают в
табл. 10.
Контроль
осуществляется
следующим
равенствами:
− [Wi K i ] = [VV ] = 18,475 . Кроме того, правильность вычислений можно проконтролировать, подставляя в условные уравнения соответствующие поправки и свободные члены.
Таблица 10
Вычисление поправок
βi
1
2
3
4
5
6
7
8
aiK1
-1,5434
-1,5434
-1,5434
-1,5434
0
0
0
0
biK2
0
0
2,3226
2,3226
2,3226
2,3226
0
0
ciK3
0
0
0
0
-1,4416
-1,4416
-1,4416
-1,4416
diK4
0
-1,3064
0,0522
-1,4174
1,1758
-0,1306
1,4762
0
v
-1,5434
-2,8498
0,8314
-0,6382
2,0568
0,7504
0,0346
-1,4416
vv
2,3821
8,1214
0,6912
0,4073
4,2304
0,5631
0,0012
2,0782
[vv] = 18,475
Оценка точности по результатам уравнивания.
1) Среднеквадратическая ошибка измеренного угла:
mβ =
[v 2 ]
18,475
=
= 2, ' '15
n−k
8−4
2) Среднеквадратическая ошибка логарифма стороны AD:
mlg S = mβ Pi −1 = ±2,15 4,212 = ±4, ' '72
3) Относительная ошибка стороны AD:
mlg S
mS
4,72
1
=
=±
=±
, где M = 0,43429 ≈ 0,4343
6
6
S
89916
M × 10
0,43429 × 10
4) Среднеквадратическая ошибка уравненного угла стороны AD.
M β = ± mβ
n−r
8−4
= ±2,15
= ±1, ' '52 .
8
n
Структура и требования к оформлению курсового проекта. Курсовой проект должен включать следующие структурные элементы:
- титульный лист;
- оглавление;
- текст задания;
- введение;
- основное содержание (пояснительная записка);
- заключение;
- список использованных источников.
Список использованных источников оформить согласно ГОСТ 7.1 –
2003 «Система стандартов по информации, библиотечному и издательско68
му делу. Библиографическое описание документа. Общие требования и
правила составления», обязателен контроль библиографа.
График защиты курсовых проектов составляется по степени готовности работы у каждого студента, из расчета 4 защиты на один академический час.
Требования к оформлению проекта. Объем курсового проекта до 3035 страниц формата А4. Работа принимается за неделю до защиты в печатном виде на листе формата А4 (шрифт Times New Roman, кегль 14, межстрочный интервал одинарный, поля: верхнее и нижнее – 2 см, слева – 3
см, справа 1 см, абзацный отступ 1,25 см, автоматическая расстановка переносов). Размер шрифта формул – 14 кегль, размер шрифта индексов – 12
кегль. Не допускаются в тексте отчета и формулах выделения жирным
шрифтом. Иллюстрации, схемы, таблицы должны быть подписаны и иметь
соответствующую ссылку в тексте или в соответствии с требованиями
стандарта ИрГТУ СТО. 005-2009 «Учебно-методическая деятельность.
Общие требования к оформлению текстовых и графических работ студентов».
6. Применяемые образовательные технологии
При реализации данной программы применяются инновационные
технологии обучения, активные и интерактивные формы проведения занятий, указанные в таблице 2.
Таблица 2 - Применяемые образовательные технологии
Виды занятий
Технологии
Курсовой
Лекции Лабор. Практ./Сем. СРС
проект
Мозговой штурм
4
Проектный метод
14
Описание образовательных технологий, применяемых при реализации настоящей основной программы дисциплины:
Лекционные занятия
На каждом лекционном занятии проводится мозговой штурм
«Обсуждение пройденного материала по теме «Результаты измерений и
их ошибки». Общая продолжительность 4 акад. часа, что составляет 240
мин. В среднем проведение мозгового штурма занимает не менее 13 мин
всего объема времени одного лекционного занятия (2 акад. часов).
Мозговой штурм направлен на повышение активности студентов и
освобождения от психологических барьеров.
Сценарий проведения мозгового штурма:
1. Преподаватель на каждой лекции задает проверочные вопросы по
пройденной теме предыдущей лекции. Если студент не может ответить на
заданный вопрос, то на него может ответить другой студент. При этом
студенты могут задавать друг другу свои вопросы, исходя из заданной
темы лекции.
69
2. Из числа студентов могут быть сформирована группа экспертов (3
чел.) по оценке результатов опроса.
3. Преподаватель делает краткое заключение о степени раскрытия
темы обсуждения и принимает решение о качестве подготовки студентов к
следующей теме лекции.
Например, вопрос «Как выполнить контроль грубых ошибок при
измерениях?», студенты могут предложить свои варианты контроля
ошибок и дать соответствующее обоснование. Другой пример, вопрос
«Назовите участников измерений?», студенты на конкретном виде
измерения и объекте работ перечисляют участников измерений.
Практические занятия
Проектов метод заключается в выполнении математических расчетов в геодезических измерениях с целью определения оптимальных условий и методов их обработки. Общая продолжительность 14 акад. часов, что
составляет 840 мин. В среднем проведение проектного метода занимает
не менее 31 мин всего объема времени одного практического занятия (2
акад. часов).
Проектов метод позволяет формировать умения студентов самостоятельно конструировать знания, ориентироваться в информационном пространстве, организовывать самостоятельную деятельность, интегрировать
знания из смежных дисциплин. Проектный метод является строго индивидуальным и используется в решении расчетных геодезических задач. Проекты носят практико-ориентированный и исследовательский характеры.
Т.е. студентам заданы реальные примеры результатов геодезических измерений, а также студенты могут предложить свои методы и способы математической обработки результатов измерений.
Результатом применения проектного метода является активизация
интереса учащегося к проблемам при изучении содержания образования и
закрепление полученных знаний посредством проектной деятельности.
Сценарий проведения проектного метода:
1. Студенты самостоятельно используют известные методы и способы математической обработки геодезических измерений, обсуждая их с
преподавателем и между собой с целью апробации своих результатов расчета в измерениях.
2. Выборочно или добровольно студенты могут публично выступить
и защитить свои результаты расчета в измерениях.
3. Преподаватель делает краткое заключение о степени правильности
расчетов и принимает решение о качестве получения студентами практических навыков расчета в измерениях.
Например, студент выходит к доске и демонстрирует свои результаты расчета с теоретическим доказательством соответствующих выводов.
При этом выступающий студент обсуждает свои результаты расчета с преподавателем и другими студентами.
70
лине
8. Методы и технологии контроля уровня подготовки по дисцип-
8.1. Виды контрольных мероприятий, применяемых контрольно-измерительных технологий и средств.
В качестве контрольно-измерительных средств на занятии применяются контрольные задания и задачи. Каждому студенту выдается вариант
контрольного задания соответствующий порядковому номеру студента в
списке группы. Для закрепления пройденной темы студентам выдаются
задачи, направленные на совершенствование техники расчета по теории
ошибок измерений. Оценка качества выполнения контрольных заданий и
задач производится на основе назначения за каждую правильно сделанную
работу. При этом ставится 1 балл за 1 задачу или контрольное задание.
Суммарное количество баллов зависит от объема выполненной работы отдельного студента, но не менее 20 баллов.
- не менее 20 баллов – оценка «удовлетворительно»;
- от 20 до 25 баллов – оценка «хорошо»;
- свыше 25 баллов – оценка «отлично».
8.2. Критерии оценки уровня освоения учебной программы
(рейтинг).
Результат экзамена выражается оценкой «отлично» «хорошо»,
«удовлетворительно», «неудовлетворительно».
Оценка «отлично» выставляется, если студент показал глубокое полное знание и усвоение теоретического материала дисциплины в его взаимосвязи с другими дисциплинами и с предстоящей производственной,
учебной деятельностью, усвоение основной литературы, рекомендованной
рабочей учебной программой, и знание дополнительной литературы, способность к самостоятельному пополнению и обновлению знаний.
Оценки «хорошо» заслуживает студент, показавший полное знание
основного материала дисциплины, знание основной литературы и знакомство с дополнительной литературой, рекомендованной рабочей программой, способность к пополнению и обновлению знаний.
Оценки «удовлетворительно» заслуживает студент, показавший при
ответе на экзамене знание основных положений дисциплины, допустивший отдельные погрешности и сумевший устранить их с помощью преподавателя, знакомый с основной литературой, рекомендованной рабочей
программой.
Оценка «неудовлетворительно» выставляется, если при ответе выявились существенные пробелы в знаниях студент, а основных положений
дисциплины, неумение даже с помощью преподавателя сформулировать
правильные ответы на вопросы.
7.3 Контрольно-измерительные материалы и другие оценочные
средства для итоговой аттестации по дисциплине.
Контрольные вопросы для экзамена «Теория математических
обработки геодезических измерений»:
71
1. Основные вопросы, рассматриваемые в теории ошибок измерений. Основная задача метода наименьших квадратов;
2. Понятие «измерение», «результат измерения». Технологические
этапы измерения;
3. Что называют истинной ошибкой результата измерений;
4. Классификация ошибок измерений по факторам их вызывающим;
5. Классификация ошибок измерений по особенностям их проявления в рядах измерений;
6. Что называется равноточными и неравноточными измерениями,
поясните на примерах;
7. Свойства случайных ошибок результатов измерений;
8. Среднеквадратическая, средняя и вероятная ошибки. Порядок их
вычисления и в чем их отличие?
9. Что называют абсолютными и относительными ошибками;
10. Ошибки округления. Правила округления по Гауссу.
11. Как определяют наличие систематических ошибок в результатах
измерений;
12. В чем заключается принцип арифметической середины;
13. Перечислите свойства арифметической середины;
14. В чем заключается принцип равных влияний, применимый в вычислениях точности прямых измерений;
15. Понятие веса и среднего весового. Определение и формулы их
расчета;
ний»:
Образцы контрольных задач по разделу «Теория ошибок измере-
ВАРИАНТ 1
1. В чем заключается принцип арифметической середины;
2. Определить среднюю квадратическую ошибку суммы углов одного треугольника, если угловые невязки треугольников в триангуляционной
сети равны +1,4’’, -2,1’’, -1,2’’, -3,1’’, +0,7’’, +3,2’’.
3. Определить, с какой относительной ошибкой проложен теодолитный ход, если абсолютная (линейная) ошибка fабс = 1,43 м, а длина хода L=
2145 м.
ВАРИАНТ 2
1. В чем заключается принцип равных влияний, применимый в вычислениях точности прямых измерений;
2. Определить, какая из указанных двух линий измерена точнее, если
известны их длины и соответствующие средние квадратические ошибки
измерения: d1 = 125,40 м, m1 = 0,12 м; d2 = 333,15 м, m2 = 0,22 м.
3. Угол C получен как дополнение до 180° к сумме двух других измеренных углов A и B треугольника. Найти среднюю квадратическую
ошибку угла C, если каждый из углов A и B измерен со средней квадратической ошибкой m = 5’’.
72
Образцы экзаменационного билета:
ВАРИАНТ 1
1. Основные вопросы, рассматриваемые в теории ошибок измерений.
Основная задача метода наименьших квадратов.
2. Уравнивание функций результатов измерений.
3. Определить среднеквадратическую ошибку суммы углов одного
треугольника, если угловые невязки треугольников в триангуляционной
сети равны +1,4’’, -2,1’’, -1,2’’, -3,1’’, +0,7’’, +3,2’’.
ВАРИАНТ 2
1. Понятие «измерение», «результат измерения». Технологические
этапы измерения.
2. Составление и решение больших систем нормальных уравнений.
3. Определить, с какой относительной ошибкой проложен теодолитный ход, если абсолютная (линейная) ошибка fабс = 1,43 м, а длина хода L=
2145 м.
8. Рекомендуемое информационное обеспечение дисциплины
8.1. Основная учебная литература: \
1. Олзоев Б.Н. Основы математической обработки геодезических
измерений : учеб. пособие. - Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2012.
8.2. Дополнительная учебная и справочная литература:
1. Загибалов А.В., Охотин А.Л. Основы математической обработки
результатов измерений : учеб. пособие. – Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2001. –
120 с.
2. Большаков В.Д., Гайдаев П.А. Теория математической обработки
геодезических измерений : учеб. пособие для вузов. - М: Недра, 1985. - 423
с.
3. Беляев Б.И. Практикум по математической обработке маркшейдерско-геодезических измерений : учеб. пособие для вузов. - М.: Недра,
1989. - 316 с.
4. Куштин Е.Ф. Геодезия: математическая обработка измерений. –
Ростов-на-Дону, 2006.
5. Олзоев Б.Н. Теория математической обработки геодезических измерений : метод. указ. к выполн. курс. раб. - Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2010.
- 44 с.
8.3. Электронные образовательные ресурсы:
8.3.1. Ресурсы ИрГТУ, доступные в библиотеке университета
или в локальной сети университета.
Электронные ресурсы библиотечного фонда ИрГТУ, расположенные
в электронном зале в библиотеке университета.
73
8.3.2. Ресурсы сети Интернет
1. Методические указания по курсу «Теория математической обработки геодезических измерений. - М.: Изд. МИИГАиК, 2010, сост. Русяева
Е.А. Режим доступа [http://library.miigaik.ru/search/met_uk/].
2. Литература, статьи, методические указания. Режим доступа
[http://www.synergy-gis.com/lib.php].
9. Рекомендуемые специализированные программные средства
1. Microsoft Excel предназначен для выполнения математических
расчетов обработки геодезических измерений;
2. Microsoft Word предназначен для оформления отчетов к практическим занятиям и курсовому проекту.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Задания к практическим работам, курсовому проекту и решения задач студенты должны выполняться на персональных компьютерах в компьютерном классе кафедры «Маркшейдерское дело и геодезия».
74
и оrэV
и
о?У ,, /'r'sI с{эrпrв,iчrге17
'[email protected],ltr
rинвgоtчrошоdYец
а.lg
dоr,хаdи[
rохоrосIIт
вr,(rиrсни / еJэIчIг,{хвф
ad gоtsо вш l,t вdrоdц
иэс ииI ох иохсэhиVоJа IлI иинеY есес uн
вн
шоо
чrгаrиtsоаох,tд
иоdrэфвх,авg
"'
7
Fюе
ао>tсdоV4агпхdеlл>> rчdrrафвх иинеYасеs
У2
,,, l 'r,V FIиJохо/
<<ииgэVоаr
,J
глOZ
r'l
и оrэY а
,, y'Q
urtг
lioxorodIl
<<rисаЕоэ,l
ен BHadgotso виlиrвd.lоdц
цоdYэфвх,авg
dnlдu :иttвdyэфвх с
BHBeocвrJoc вшшЕdrоdц
,,
,H,J,>r'lнаПоЕ',H,g sаоsшо
rиавJ.сос rtиrиlвd"lоdц
:
rиrаyоаJ rвнyuшиdц l*voz1
(иrсонпuпrпru'l'fТrЖýtr#Ж:Р*Ъ*
оп IJинеаосвdgо оJончtr€ноиссэфоdш оJэIпсIча и[оrdеЕнЕIэ иtннчшаrеносвd9о
щIчнноg.LэdеV,(со.l lltI,It]sIredaYaбl с ии8JсJа8.lоос в внаrгавlсоJ вl,tиrвd.lоdц