что нужно знать учителю массовой школы о детях;pptx

§1. Проекция вектора на ось и её свойства

Определение 1.1. Проекцией точки P на ось l называется основание Q
перпендикуляра, опущенного из точки P на прямую l (рис. 1.1).
B
B
P

l
Q
Рис. 1.1. Проекция точки на ось
B
B
A
A

A

l
e
A
B1
B1 A1
AA1
Рис. 1.2. Понятие компоненты вектора вдоль оси

Определение 1.2. Компонентой любого вектора AB вдоль оси l

называется вектор A1B1 , где A 1 , B1 – проекции точек А и B на ось l (рис. 1.2).

Пусть e – орт оси (рис. 1.2), тогда

(1.1)
A1B1   | A1B1 | e .

Определение 1.3. Проекцией вектора AB на ось l называется длина его

компоненты A1 B 1 , взятая со знаком «+», если компонента сонаправлена с e ,

и со знаком «–», если компонента и ось l противонаправлены.

Обозначение: пр  AB или пр  a .
l
l
Из определения 1.3 и соотношения (1.1) следует равенство

A1B1  прl ABe .
(1.2)


Определение 1.4. Углом между двумя ненулевыми векторами a и b ,
приведѐнными к общему началу, называется наименьший угол, на который
надо повернуть один из этих векторов так, чтобы его направление совпало с

направлением второго вектора,обозначение: (a, b ) .
(Угол между векторами не является направленным углом
(он не зависит от
направления поворота) и принимает любое значение между 0 и
:
 
0≤ ( a , b ) ≤.)
Свойства проекций векторов



1. пр l a есть координата на оси l компоненты вектора a на этой оси;

2. проекции вектора a на оси прямоугольной декартовой системы
  

координат являются координатами a в прямоугольном базисе ( i , j , k ) ,
определяющем эту систему;

 

3. прl (a  b )  пр l a  пр l b ;


4. прl (a )    пр l a ;
 
   
5. пр b a | a | cos (a, b ) , a  0 .
1
►1. Данное утверждение следует из равенства 1.2 и понятия координаты
вектора на оси, введѐнного в §6 главы 1 (ср. (1.2) с формулой (6.1) из
упомянутой главы).

2. Начало вектора a поместим в начале декартовой прямоугольной

системы координат. Обозначим через A конец вектора a , через B – основание
перпендикуляра, опущенного из точки A на плоскость Oxy, а через C, D, Е –
проекции точки B на оси Ox, Oy, Оz (рис. 1.3),
z

Е
(1.3)
a  OB  BA  OC  OD  BA ,
A
где, как легко видеть, OC , ОD
 , ВА  ОЕ

a
k
являются компонентами вектора a вдоль осей

j
координат. Согласно (1.2) имеем:
D y
O

 
 
i
OC = (прia)i , OD  (пр j a ) j , BA  (пр k a )k .
C
x
Подставляя эти равенства в равенство (1.3) ,
приходим к соотношению:


 
 
(1.4)
a  (прia)i  (пр j a) j  (прka)k .
B


Рис. 1.3. Разложение вектора OA
по компонентам вдоль
осей координат

Равенство (1.4) есть разложение вектора a в

прямоугольном базисе, поэтому пр i a  x ,



пр j a  y , пр k a  z – координаты a в этом базисе, что и требовалось
доказать.
3, 4. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат, один из

 
базисных векторов которой совпадают с ортом оси l . Тогда пр l (a  b ) или

прl (a ) является, согласно свойству 2, одной из декартовых координат
 

вектора a  b или a . Свойства 3 и 4 теперь следуют из правил 1 и 2
действий с векторами, заданными разложениями в некотором базисе (см. §6
главы 1).

a
A


b
B
B
B1
B1
Рис. 1.4. Иллюстрация к доказательству

св. 5 проекции вектора a на направление

 
вектора b . Случай 0    (a, b)  
2

a


A

b
Рис. 1.5. Иллюстрация к доказательству

св. 5 проекции вектора a на направление

 
вектора b . Случай     (a, b)  
2


5. Угол φ между векторами a и b удовлетворяет условию:
 
0    (а, b )   . Рассмотрим два случая: угол φ – острый или тупой (рис. 1.4,

| AB1 | прb a
 
 
  , т.е. пр b a  | a | cos(a, b ) . Во
1.5). В первом из них cos 
|a |
| AB |
2
| AB1 |

| AB |

прb a





 
= –  , т. е. прba  | a | cos  | a | cos(  ) | a | cos | a | cos(a, b) .◄
|a |

Пример 1.1. Дан вектор a  AB , где A(1,  1, 0) , B(1, 2, 3) . Найти его
проекции на оси прямоугольной декартовой системы координат.

►По свойству 2 проекции a на оси координат – это его координаты в

  



базисе ( i , j , k ) . В силу формулы (6.6) главы 1 имеем a  AB  2i  3 j  3k ,



отсюда пр Oxa  2, пр Oy a  3, пр Oz a  3 . ◄
втором cos  
3