Дифференциал функции нескольких переменных

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Сибирский государственный индустриальный университет»
Кафедра высшей математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Методические указания для практических занятий
Новокузнецк
2014
УДК 517.2(07)
Д 503
Рецензент
доктор технических наук, профессор, заведующая кафедрой
прикладной информатики
Л.Д. Павлова
Д 503 Дифференциал функции нескольких переменных: метод.
указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т; сост. В. И. Базайкин. – Новокузнецк :
Изд. центр СибГИУ, 2014. – 9 с.
Даны понятия производной и дифференциала функции
нескольких
переменных
(ФНП).
Рассмотрены
примеры.
Дифференциал ФНП в точке определён как значение линейного
отображения, действующее в окрестности точки на вектор
приращения аргумента ФНП; элементами матрицы производного
отображения являются значения частных производных ФНП в точке.
Предназначено для студентов – бакалавров и магистров,
изучающих дисциплины «Математика» и «Дополнительные главы
математики».
Печатается по решению Совета Института фундаментального образования
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта учебно-методическая разработка предназначена для
студентов втузов инженерных направлений обучения, изучающих
раздел «Дифференцирование функций нескольких переменных»
учебной дисциплины "Математика". Разработка содержит учебный
материал практических занятий, темой
которых является
дифференциал функции нескольких переменных и его приложения.
Для понимания постановок задач и методов их решения
необходимы знания по ранее изученным разделам дисциплины:
линейной алгебре, аналитической геометрии, дифференцированию
функции одной переменной.
Предлагаемая разработка отражает опыт составителя в
проведении практических занятий по дисциплине «Математика» в
ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный индустриальный
университет».
3
1 Дифференцирование функции нескольких переменных
Пусть х0 − внутренняя точка области D определения функции
нескольких переменных y = f(x). Пусть {xm} − любая векторная
последовательность, сходящаяся к вектору-точке х0, а  f  xm  −
числовая последовательность значений функции в точках xm,
сходящаяся к числу f(x0). Для простоты опустим указание на порядок
m следования члена xm векторной последовательности.
Определение. Если найдётся набор конечных вещественных
чисел (k1, k2, … , kn) такой, что разность между полным приращением
[f(x) − f(x0)] функции, обусловленным приращением ∆x = x − x0 =
(∆x1, ∆x2, …, ∆xn) её аргумента, стремится к нулю быстрее, чем
длина |∆x| вектора ∆x при стремлении её к нулю:
lim
f  x   f  x0    k1  x1  k2  x2  ...  kn  xn 
Δx
Δx 0
 0,
то:
а) функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке х0;
б) линейная функция dy = k1·∆x1+k2·∆x2+…+ kn·∆xn аргумента
∆x, определённая в окрестности точки x0 и однозначно заданная
числом набором чисел (k1, k2, … , kn), называется производной
функцией в точке x0;
в) значение dy этой линейной функции называется
дифференциалом функции f(x), обусловленным приращением
∆x её аргумента.
Согласно определению, производная функция − это линейная
функция f x0 , аргументом ∆x которой является приращение аргумента
х функции
f(x), значение линейной функции f x0 называется
дифференциалом функции f(x).
Производную функцию f x0 в точке x0 как частный случай
линейного отображения можно задать матрицей-строкой: ( f x0 ) = (K)
= (k1 k2 … kn). Тогда дифференциал функции записан в левой части
выражения производной функции: dy = ( f x0 )(∆x) = (K)(∆x) = k1·∆x1 +
k2·∆x2 +…+ kn·∆xn .
Здесь ki − значение частной производной функции у = f(x) по
переменной xi в точке х0; матрица производной функции имеет вид:
4

 f     xy  x  ,
x0
0
1

y
y
x0  , ... ,
x0   ,


x2
xn

а дифференциал функции равен сумме произведений значений
частных производных в точке х0 на соответствующие им приращения
переменных:
n
dy  y  x0   x1  y  x0   x2  ...  y  x0   xn   y  x0   xi .
x1
x2
xn
i 1
xi
Рисунок иллюстрирует геометрический смысл производной
функции двух переменных в точке х0; её графиком является
плоскость, касательная к графику функции y = f(x) в точке (x0, f(x0))
графика; точка М1 – точка графика функции y = f(x), точка М*1 –
точка касательной плоскости.
Рисунок – Геометрический смысл производной и дифференциала
функции двух переменных
2 Дифференциал ФНП
По конструкции дифференциал функции – это произведение
матрицы-строки производной функции в точке на матрицу-столбец
вектора ∆х приращения аргумента х:
 dy    f x    x  dy ,
0
dy 
y
y
x0   x1  ... 

 x   xn .
x1
xn 0
По смыслу дифференциал dy – приближение полного
приращения Δy функции f(x), линейное относительно приращения
аргумента Δх. Геометрически величина dy – приращение ординаты
точки М*1 плоскости относительно ординаты точки М0 касания.
5
Дифференциал функции находит широкое применение в
приближённых вычислениях. Например, опираясь на знание точных
значений частных производных ФНП в некоторой точке х0, можно
прогнозировать приближённое значение ФНП в близкой к х0 точке х,
полагая Δх = х – х0:
f (x)  f (x0 )  dy  f (x0 )  y  x0   x1  ...  y  x0   xn
x1
xn
Пример
1. Вычислите приближённое значение числа
sin  310   cos  610  , используя приближение полного приращения
функции её дифференциалом. Укажите результат с точностью до трёх
знаков после запятой.
Решение. Используем формулу:
z  r   z  x, y   z  x0  x; y0  y   z  x0 , y0   dz .
Заданное число является значением функции z  x, y   sin x  cos y .
Примем x0  300 , у0 =600.
Найдём приращения аргументов
относительно значений х0, у0:
x  310  300  10
y  610  600  10
Переводя меру угла 10 в радианы: 10 → π/180 = 0,0175, получаем
расчётные значения приращений аргументов: Δх = Δу = 0,0175.
Найдем значение функции z в точке r0 = (х0, у0):
z  x0 , y0   sin  300   cos  600     .
1 1
2 2
1
4
Находим частные производные и их значения в точке r0:
z
 cos x cos y;
x
z
  sin x sin y;
y
z
3 1
3
 r0   cos  300   cos  600     ;
x
2 2 4
z
1 3
3
 r0    sin 300 sin 600      .
y
2 2
4
Вычислим полный дифференциал функции z  r  , обусловленный
   
приращением Δr = (Δх, Δу) аргумента r:
dz 
z
z
3
3
x  y 
 0,0175 
 0,0175  0
x
y
4
4
Окончательно получаем:
sin  310   cos  610  
6
1
 0  0,250 .
4
Замечания. Так как окончательный ответ надо дать с точностью
до трёх знаков после запятой, то в промежуточных расчётах
выражение 10 в радианной мере взято на порядок точнее.
Тот факт, что дифференциал, обусловленный приращением Δr =
r – r0 аргумента r, равен нулю, говорит о том, что в направлении
вектора Δr значения функции z  r  в малой окрестности точки r0 не
изменяются, оставаясь равными 0,250.
Пример 2. Высота конуса Н = 10 м, радиус его основания R = 5
м. Оцените изменение объёма конуса, если его высота увеличится на
0,05 м, а радиус основания уменьшится на 0,03 м (для оценки
используйте приближение полного приращения функции её
дифференциалом).
Решение.
Вспомним
выражение
объёма
V
конуса:
1
V  V  R, H    R 2 H . Оценивается изменение объёма при следующих
3
изменениях аргументов функции V = V(R, H): ∆H = 0,05, ∆R = −0,03.
Точное изменение
∆V = 1   ( R  R)2 ( H  H )  R2 H  . Оценка с
3
привлечением дифференциала функции:
V  dV 
V
V
R0 , H 0  R 

 R , H  H ,
R
H 0 0
R0  5, H 0  10,
V
100
5,10  
  104,72,

R
3
V 2
V 1 2
  RH ,
 R ,
R 3
H 3
V
25
5,10     26,18,

H
3
2
1
100
25
1,75
V   RH  R   R2  H  
  0,03    0,05  
  1,83.
3
3
3
3
3
-----------------------------------------------------------------------------------------Простые примеры по теме настоящих методических указаний и
доступное их объяснение можно найти в пособии [1]. Полное
изложение темы имеется в учебнике [2].
Задачи для самостоятельного решения
1. Найдите численное значение (с точностью до 0,01) выражения
1,942е0,12 .
Ответ: 4,24
7
2. Найдите значение дифференциала функции
y  f (x) 
x1x2
,
 x22
x12
обусловленного изменением её аргумента от значения х0 = (2, 1) до
значения х = (2,01, 1,03).
Ответ: 1/36.
3. Запишите выражение дифференциала функции    (t, )  t  .
t 
Ответ:
2
2t
d  
2 dt 
2 d .
t  
t  
4. Стороны прямоугольника имеют длины 6 и 8 единиц измерения.
Их укоротили на 0,4 и 0,1 единицы соответственно. Как изменилась
диагональ прямоугольника ? Выделите из изменения длины часть,
линейно зависящую от изменений длин сторон прямоугольника.
Ответ: Δl = – 0,317; dl = – 0,320.
5. Имея начальное значение х0 = (2, 1, 1), аргумент функции
x
получил новое значение х = (1,95, 1,03, 0,90).
y  f (x)  x1 x22  1
x3
Используя дифференциал функции, оцените изменение функции.
Ответ: Δу ≈ 0,12.
3
2
6. Аргумент х функции y  f ( x)  x3 x2 x12 , имея исходное значение
x1  x3
х0 = (1, 1, 1), получил новое значение х = (1, 1,1 1). Используя
дифференциал функции, оцените новое значение функции.
Ответ: 0,55.
7. Найдите приближённое значение выражения
1, 032
3
0,98 4 1, 053
.
Ответ: 1,054
Библиографический список
1. Лунгу К.Н. Высшая математика. Руководство к решению задач.
Часть 1: учебное пособие / К. Н. Лунгу, Е. В. Макаров. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2010. – 211 с.
2. Зорич В.А. Математический анализ. Часть II: учебник / В. А.
Зорич. – М.: Наука, 1984. – 640 с.
8
Учебное издание
Составитель
Базайкин Владимир Ильич
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Методические указания для практических занятий
Напечатано в полном соответствии с авторским оригиналом
Подписано в печать 10.02.2014
Формат бумаги 60х84 1/16. Бумага писчая. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 0, 52. Уч.-изд. л. 0,59. Тираж 50 экз. Заказ
Сибирский государственный индустриальный университет
654007, г. Новокузнецк, ул. Кирова, 42.
Издательский центр СибГИУ
9
10