О, 5. Итак, в данном примере

Вестник Московского университета. Серия
Д о к а з а т е л ь с т в о
Это
мере
значит,
одну
что
предельную
для
Физика. Астрономия.
Из следствия теоремы
.
ясно, что ограниченное множество
крайней
3.
{a.L (77)}
точку
некоторой
1
llz°' - zll 2=
имеет по
при
77
19
1997. No 6
О.
---7
последовательности
h2
2
(
Используя функцию
а. )2 + (a.+h2) 2·
l+a.
w(a.),
как в теореме
{ Т)N} ---7 О соответствующая последовательность пара-·
хождения параметра регуляризации
a.L(h)
метров регуляризации {а.н}
L-кривой, получим, что
1
некоторому пределу а, а
с а.
=
а.н
?
{а.L(ТJн)} сходится к
=
a.шin· Тогда из равенства
(2)1
при помощи стандартной техники дока-·
зательства (см.
с.
[3,
222; 8,
с.
192])
можно получить
сходимость
= v (аЕ
при
h
---7 о. Тог-
О, 5. Итак, в данном примере
метод L-кривой дает неустранимую систематическую
ошибку в
50%.
Этот пример показывает, что оценка
ных исследований за финансовую
2,
поддержку (грант
95-01-00486).
Литература
llz°'N - zll 2 = l :Z - zll 2 =
2
в] vтz-11 ;:;:
;:;: 0:211 (аЕ + RT R)-1 vтz-112 ;:;:
а;2
2
а.2 .
;:;: г 2)2 11vтz-11 ;:;: ( mш 2)2 llzll 2·
О'.
+ Р1
O'.min + Р1
Аналогичное соотношение справедливо и для любой
другой сходящейся последовательности
бранной из семейства {a.L(ТJ)},
77 ---t
{a.L (ТJN) },
вы-·
О. Это и доказывает
теорему.
В заключение рассмотрим пример, иллюстриру-·
ющий результат теоремы 2. Пусть А
Ah = diag(l, h) (О
<
как легко вычислить,
h
= diag(l, О) ,
1) и и= щ = (1, l)т. Тогда,
<
z=
(1, О)т.
Для данного примера
можно найти, что
w(a.) = 2 (1 +а. 2 ) 3/2
УДК
=
---7 а=
Авторы благодарят Российский фонд фундаменталь­
+ RT R)- 1 RT RVтz.
1
= llv [(аЕ + RT R)- RT R-
4.
a.L(h)
неулучшаема.
Поэтому
lim
+ а)
(1
/
2
для на­
систематической ошибки снизу, данная в теореме
нп ~
(~
-т-)-1 _т
z°'N -----7 z = а.Е +А А
А u=
N--+oo
да Лsist
= а2
1,
по методу
{
(
1
)
l+a. 3
1.
Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некоррект­
ных задач. М.,
2.
1979.
Тихонов А.Н., Гончарский А.В" Степанов В.В" Ягола А.Г.
Численные
методы
решения
3.
М.,
Тихонов А.Н., Леонов А.С, Ягола А.Г. Нелинейные некор­
1995.
4. Hansen Р.С. 11 Inverse ProЫems. 1992. 8. Р. 849.
5. Hansen Р.С., O'Leary D.P. 11 Report UМIACS-TR-91-142.
Dept. ofComput. Science, Univ. ofMaryland, 1991.
6. Hansen Р.С. 11 SIAМ Rev. 1992. 34, No.4. Р. 561.
7. Леонов А.С, Ягола А.Г. 11 Вести. Моск. ун-та. Физ.
Астрон. 1995. №4. С. 28 (Мoscow University Phys. Bull.
1995. No. 4. Р. 25).
8. Воеводин В.В" Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.,
1984.
9. Бакушинский А.Б" Гончарский А.В. Некорректные задачи.
Численные методы и приложения. М., 1989.
ректные задачи. М.,
2
}
h
+ (a.+h2)
3
некорректных задач.
1990.
Поступила в редакцию
'
19.03.97
530.145
АНТИСИММЕТРИЧНОЕ ТЕНЗОРНОЕ ПОЛЕ
В ПРОСТРАНСТВЕ С КРУЧЕНИЕМ
А. Ю. Бауров, П. И. Пронин
(кафедра теоретической физики)
Проведено обобщение калибровочных преобр:азований антисимметричного тензорного поля (АТП)
второго ранга для случая пространства с кручением по аналогии с преобразованиями электромаг­
нитного поля. В результате вычислений с использованием ЭВМ получено выражение для поправки
первого порядка в эффективное действие АТП 1в этом пространстве.
Введение
оказались
Абелевы антисимметричные тензорные поля (АТП)I
с необходимостью появляются в теории струн
моделей супергравитации
[2].
Они
[1]
оказались
и ряде
весьма
не
вполне
эквивалентными,
и
их
различие
проявилось на уровне однопетлевых вкладов в эффек­
тивное действие
В
[5].
действительности
оказалось,
что
поля любого
полезной конструкцией при альтернативном описании
спина, в том числе и скалярные, могут быть описаны
спинорных полей
В то
на языке АТП. Однако очевидно, что свойства сим­
же время два подхода к описанию фермионных полей
метрии АТП отличаются от свойств скалярных полей.
[3]
и в решеточных моделях
[4].
20
Вестник Московского университета. Серия
3.
Физика. Астрономия.
1997. No 6
Возникает новая калибровочная симметрия, которая
Легко заметить, что оно само калибровочно инвариант­
для свободных полей в евклидовом пространстве фик-·
но относительно преобразований Аµ ---7 А~
сируется и к новым физическим результатам не приво-·
которые также следует фиксировать, например наложе­
дит. Различия же в двух способах описания проявляют-·
нием калибровки Лоренца: дµАµ
ся при введении взаимодействия, в частности с внешним
вариантного
гравитационным полем. В данной работе мы исследуем
интеграла это
этот
«духов для духов»
вопрос как
на классическом, так и
на квантовом
=
+ дµа,
О. В процедуре ко­
квантования с помощью
приводит к
= Аµ
появлению
континуального
так
называемых
[8].
Рассмотрим теперь взаимодействие АТП с внеш­
уровне именно для этого случая.
ним калибровочным гравитационным полем в рамках
1.
АТП второго ранга и скалярные поля
Свободное АТП второго ранга
вается лагранжианом
Bµv
[6, 7]
=B[µv]
И4 -геометрии.
описы-·
2.
Введение взаимодействия АТП с гравитационным
Lo -- 1 Farз 1 F 0:(31 ,
(1)
6
полем может быть осуществлено в рамках схемы ми­
нимального взаимодействия путем замены дµ
где
в
Faf31
=0:(31
L даВf31
Лагранжиан
АТП второго ранга в пространстве И4
= даВf31
+ дrзВ1а + д1Ваf3·
Ковариантные
(2)
рµ
уравнениям
движения,
второго
ранга
аналогичным
(9)
где
.\
уравнениям Максвелла:
~.\
Г µv = Г µv
(4)
рµ
\7 µВа(3 = дµВа(3 - ГРо:µВр(3 - гр(ЗµВар,
(3)
к
АТП
v µваrз = дµ ваrз + Г°' BPf3 + гrз В°'Р '
v µВ°'rз = дµВ°'rз + Г°'рµврrз - грrзµВ°'р,
(1) инвариантен относительно калибра-·
приводит
производные
имеют вид
вочных преобразований:
он
---7 \7 µ
(1 ), (2).
-
.\
+ К µv
связность Римана-Картана,
~.\
(5)
Г µv =
21 g.\и (gµ,,.,v + gv,,.,µ
- gµv,u)
где дуальное векторное поле
Лагранжиан
(1)
и уравнение
(4)
в терминах дуального
поля имеют вид
-
символы Кристоффеля, а
-
тензор конторсии. Тензор кручения является анти­
симметричной частью связности:
(6)
F[µ,v]
Если положить
Fµ
(7)
=О.
дµф, то уравнение
полнено тождественно, а
(5)
(7)
примет вид Dф
будет вы-·
= О. Таким
Обсудим
теперь
калибровочные
преобразования
АТП в пространстве Римана-Картана.
Известно, что существует неоднозначность в опи­
образом, классическое АТП второго ранга описывает
сании калибровочных преобразований АТП в
безмассовые скалярные частицы.
скольку процедура замены частных производных на ко­
В терминах исходных потенциалов
(4)
Bµv
уравнение
вариантные
(9)
U4 ,
по­
в кинетической части лагранжианов по­
лей, обусловленная требованием общей ковариантнос­
имеет «недиагональный» вид:
ти, приводит к появлению контактного взаимодействия
кручения с соответствующим потенциалом. Последнее
Поэтому на поле во:f3 необходимо наложить допол-·
нительно условие даВ°'f3 = О или, что эквивалентно"
добавить к лагранжиану
(1) член, фиксирующий кали-·
бровку:
же нарушает обычную калибровочную инвариантность
теории тензорного поля, если таковая имелась в М4 •
Например, тензор напряженности электромагнитного
поля в И4 принимает вид
(8)
Условие инвариантности
ных преобразований
(3)
(8)
относительно калибровоч-·
имеет вид
---7
Fµv = дµАv - дvАµ
---7
Gµv = \7 µAv - \7 vAµ = Fµv + 2Q\vA.\,
(10)
где появляется новый член, который, вообще говоря,
следует записывать со своей собственной константой
Вестник Московского университета. Серия
3.
Физика. Астрономия.
1997. No 6
21
взаимодействия, отличной от электромагнитной и гра­
аналогичное
витационной.
чение выражается через свой след:
Аналогичная
ситуация
складывается
и
второго ранга, а именно: если в лагранжиане
для
(1)
А ТП
дµf(х)
сделать
(13)
=
и также имеющее решение, если кру­
-~Qµ
f(x) =
===?
-~
замену
f
Qµdxµ.
СЕИ•
Fa(3 1
Ga(3 1 = Fa(3 1 - 2 L Qло:(3В1 л,
0:(31
---7
то уравнения движения
(4),(5)
V1 pio:f3 =
2Fµv[o:Qf3]
µv'
Гlµpo:f31
[9],
просы квантовой теории
При этом тензор
(11)
примет вид
примут вид
Еµо:(3/ v
Некоторые авторы
(11)
=
о
Таким образом, для АТП в И4 аналогично электро­
динамике можно ввести расширенную калибровочную
·
инвариантность.
рассматривавшие общие во­
поля на фоне
U4 ,
предла­
Рассмотрим
квантование такой
модели
с учетом
введенных модификаций.
гали вообще отказаться от введения взаимодействия
3.
кручения с калибровочными полями. Однако подобная
модернизация принципа минимального
вия, как было отмечено в работах
[10-13],
Поляризация вакуума АТП второго ранга
в пространстве Римана-Картана
взаимодейст­
нарушает
Выберем действие для
Bµv
единообразие введения взаимодействия между гравита­
ционным полем и полями материи.
В работах
[12, 13]
было предложено модифициро­
S = So
вать сами калибровочные преобразования для электро­
в И4 в виде
+ Sfix = j{~(Gµvл) 2 + (VµBµv) 2 }y'=gd4x,
(15)
и.
магнитного поля, заменив
где
(12)
определено соотношением
тодом фонового поля
---7 А 'µ
=
Аµ
+
порядке по
д~дv]Ф = Q\v·
h
ства-времени, для того чтобы сохранить инвариантной
При этом нетрудно видеть, что функция
f
ф(х) = -~
D~ =-
(13)
52s[ф]
дr.р2
.
Воспользуемся хорошо известным результатом
[15],
из
Qµdxµ.
где D = gµvVµVvдij, а 5µ = {Sµij} и Х
некоторые N х N-матрицы, можно записать
СЕИ•
При этом тензор напряженности
~
которого следует, что для оператора
ф(х) связана только со следом кручения:
===?
h
+ i 2 ln(det llDll) + · · ·,
где
ний закладывалась информация о геометрии простран­
дµф(х) = -~Qµ
в котором для полей любой
имеет вид
Г[ф] = S[ф]
(13)
Тем самым в определение калибровочных преобразова­
Fµv·
[14],
тензорной размерности эффективное действие в первом
е Ф(х) д µа,
где ф(х) подчиняется уравнению
форму
(11 ).
на фоне И4 в эффективное действие воспользуемся ме­
на новое соотношение
Аµ
G µv>.
Для вычисления вклада поляризации вакуума АТП
{X;j} -
принимает вид
1
~
{ln(detD)} 00 = - - B4(D),
2
167Г Е
где
Легко заметить, что аналогичная ситуация складыва­
ется и для случая АТП второго ранга. Действительно,
рассмотрим для
ваний
(3)
Bµv
B4(D) =
вместо калибровочных преобразо­
!
b4(x)y'=gd4x,
п=
2k, k
Е Z,
и.
новые:
а
+ (дµАv -
Bµv ---t B~v = Bµv
Подстановка их в
(11)
уравнение для функции
ef(x).
и учет инвариантности дают
f (х):
L(д[~дµf(х)
µvЛ
дvАµ)
+ 2Q[~v)д(3l =О,
(14)
(17)
Вестник Московского университета. Серия
22
Здесь введены следующие обозначения для
матриц: 1 = д;j -
(N
х
N)-·
единичная матрица, Z = Х - V µSµ -
-SµSµ, Yµv = Fµv + Gµv' где Gµv = VµSv - VvSµ+
+SµSv - SvSµ.
В нашем случае оператор второй вариации D дейст-·
вия принимает вид (16)*)
3.
Физика. Астрономия.
Вклад духов в эффективное действие Г[Вµv]
взять с коэффициентами
«-2»
для
Sgh,,
1997. No 6
следует
так как гауссов
функциональный интеграл в этом случае берется по
грассмановым переменным, и
имеют следующий вид:
!
«+2» для Sgh 2 •
Интегралы
- {
~
Df)D77e-(Т1IDIТ1)=
~}±1 ,
detD
где берется знак«+» для антикоммутирующих полей и
«-»в противоположном случае. Таким образом, эффек­
где
тивное действие для АТП второго ранга в пространстве
И4 примет вид
[sµ]°'(3
рт
= 2 (Q [р[alµ - Q[aµ)
15f3]т] +
[р
+2 (Q[a15f3] - Q а(3) дµ +
[р
+2 ( Q[рд[~] X°'f3
рт
= 2_R[a
[рт]
[р
где
т]
B 4 (D)
Q[~T) gf3]µ'
[р
т]
[р
т]
+ Q[;(3Qp]) + 2QТ/°'f3QТ/рт+
для антисимметричного тензорного поля второго ранга
Коэффициент спектрального разложения Ь 4 (D) рас-·
считывался по формуле
го пакета ТЕНЗОР
(17)
[16],
с помощью программно-·
использующего
REDUCE 3.4..
В случае, когда кручение выражается через свой след,
было получено следующее выражение:
133 ~2
9 ~2
8
2
- -R - -(\7 Qµ) +
30 µv
20
27 µ
2
µ
16
v
µ
64 (
+ 81
Qµ) (\7 µQ ) + 9(\7 µQ )(\7 vQ )-
8 R(Q )2
-27
µ
-
+
32
4
81 (Qµ)
в пространстве Римана-Картана. Продемонстрирован­
ный нами подход может быть распространен на случай
АТП более высокого ранга. В последующих публика­
циях мы уделим этому внимание.
Следует отметить, что выбранное обобщение кали­
бровочных преобразований не является единственным.
Однако оно оказывается наиболее удобным, так как в
b4(D) = - R
- 64
2
81 (VvQµ)
Заключение
В данной работе вычислено эффективное действие
-2v[ т Q р]°'rз + 2v[°'QrзJрт - 4V[°'Q[ р 15rзJт] ·
~~
+ 9Rµv(\7
µ
этом случае нет необходимости обобщать соответству­
ющие преобразования для действия духов.
(18)
Заметим также, что результат при
v
Q )-
eff
полей с гравитацией на
оказывается калибровочно инвариантным относитель-·
но преобразований
Литература
так как это действие для «Элек-·
тромагнитного поля» с антикоммутирующими вектор-·
ными полями. Поэтому к нему также нужно добавить
член, фиксирующий калибровку Лоренца, и написать
[8].
-
коммутиру-·
В результате полное действие духов
для АТП второго ранга будет иметь вид
(19)
D не влияет на вид коэффициента (17).
=О
:
µv
60
[17],
где исследо­
валось взаимодействие антисимметричных тензорных
странства.
вклад так называемых «духов для духов»
30
отличается от приведенного в работе
Действие духов Фаддеева-Попова, построенное дляr
(12),
Qa
ЛL(1) = ~_R2 - 19 _R2
16 ~
µ v
27RµvQ Q.
АТП второго ранга по стандартному алгоритму, само
Знак перед
B 4 (Dgh) -
тромагнитного поля с духами:
+4Q[a Q µv 15f3] + 8Q[a Q µlf3] + 4V Q [alµ15f3] -µv [р
т]
[тlµ
р]
µ [р
т]
*)
а
(18),
f3] - 2_R[a 15f3J + 8Q[°'Q 15f3J -
-4 ( Q[°'Qf3Jт
ющих скаляров
определяется формулой
коэффициентом спектрального разложения для элек­
фоне псевдориманова про­
1. NатЬи У. 11 Phys. Reports. 1976. 23. Р. 250.
2. Gliozzi F" Scherk J., Olive D. //Nucl. Phys. 1977. В122. Р. 253.
3. lvanenko D" Landaи L. 11 Z. f. Phys. 1928. 48. Р.340;
Юihler Е. 11 Rend. Semin. Mat. 1962. 21. Р. 425.
4. Savit R. 11 Rev. Mod. Phys. 1980. 52. Р. 453.
5. Obиchov Уи.N 11 Nuc1. Phys. 1983. В212. Р. 237.
6. Hayashi К. 11 Phys. Lett. 1973. 44В. Р. 497.
7. Kalb М, Ramond Р. 11 Phys. Rev. 1974. D9. Р. 2282.
8. Toиnsend Р.К. 11 Phys. Lett. 1979. 88В. Р. 97.
9. Нehl F. W., Неуdе Р. von der, Kerlick G.D" Nester J.M 11 Rev.
Mod. Phys. 1976. 48. Р. 393.
10. Обухов Ю.Н., Пронин П.И. 11 Проблемы гравитации /
Под. ред. Д. В. Гальцова. М., 1986. С. 130.
Вестник Московского университета. Серия
11.
3.
Физика. Астрономия.
1997. No 6
23
Биррел Н., Девис П. Квантовые поля в искривленном про­
Пономарев В.Н.,
15.
Физ. Асгрон.
странстве-времени. М., 1986.
16. Pronin P.I" Stepanyantz К. V. 11 Proc. Fourth Intern. Workshop
on Software Engineering, Artificial Intelligence and Expert
Systems for High Energy and Nuclear Physics. World Scientific,
1995. Р. 187.
17. Sezgin Е" Nieиwenhиizen Р. van 11 Phys. Rev. 1980. D22.
Р. 301.
Сметанин Е.В. 11 Вестн. Моск. ун-та .
1978. № 5. С. 29; № 6. С. 3 (Мoscow University
Phys. Bull. 1978. No.5. Р. 25; No.6. Р. 1).
12. Hoiman S" Rosenbaиm М, Ryan
Rev. 1978. D17. Р. 3141.
13.
Миkkи С.,
14.
Де'Витт Б.
1987.
МР"
Shepley L.C. 11 Phys .
Sayed W.A. 11 Phys. Lett. 1979.
82В. Р.
382.
Динамическая теория групп и полей. М. ,
Поступила в редакцию
31.03.97