1. B 7 № 314850. В окружности с центром в точке O проведены

Вариант № 702586
1. B 7 № 314850. В окружности с центром в точке O проведены
диаметры AD и BC, угол OAB равен 70° . Найдите величину угла
OCD.
Ре​ше​ние.
Треугольники AOB и COD равнобедренные и равны друг другу по двум сторонам и углу
между ними. По​э то​му их углы при ос​но​ва​нии равны: ∠OCD = ∠OAB = 70°.
Ответ: 70.
2. B 7 № 311816. В тре​у голь​ни​ке ABC угол C равен 90°, BC = 20,
= 0,5. Най​ди​те AC.
Ре​ше​ние.
Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к
при​ле​ж а​ще​му:
Ответ: 40.
3. B 7 № 311374. Найдите ∠KOM, если известно, что градусная мера
дуги MN равна 124°, а гра​дус​ная мера дуги KN равна 180°.
Ре​ше​ние.
Так как вся окружность составляет 360°, градусная мера дуги KM = 360° − 180° − 124° =
56°. Поэтому угол KOM является центральным, он равен дуге, на которую опирается, ∠KOM =
56°.
Ответ: 56.
4. B 7 № 311681. К окружности с центром в точке О
проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус
окруж​но​с ти, если AB = 12 см, AO = 13 см.
Ре​ше​ние.
Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку
касания, поэтому OB перпендикулярен AB. Задача сводится к нахождению катета OB
пря​мо​у голь​но​го тре​у голь​ни​ка AOB: по тео​ре​ме Пи​фа​го​ра равен 5 см.
Ответ: 5.
5. B 7 № 316346. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при
вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной
около этого тре​у голь​ни​ка.
Ре​ше​ние.
Вос​поль​з у​ем​с я тео​ре​мой ко​с и​ну​с ов:
Здесь и — бо​ко​вые сто​ро​ны рав​но​бед​рен​но​го тре​у голь​ни​ка, — ос​но​ва​ние.
Диа​метр опи​с ан​ной окруж​но​с ти вы​чис​лим по фор​му​ле:
6. B 7 № 311319. Най​ди​те гра​дус​ную меру ∠MON, если известно, NP —
диа​метр, а гра​дус​ная мера ∠MNP равна 18°.
Ре​ше​ние.
Тре​у голь​ник MON — рав​но​бед​рен​ный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.
Ответ: 144.
7. B 7 № 316257. В тре​у голь​ни​ке ABC угол C равен 90°, BC = 18, tgA = 3. Най​ди​те AC.
Ре​ше​ние.
Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к
при​ле​ж а​ще​му:
Ответ: 6.
-------------Дуб​ли​ру​ет 311848
8. B 7 № 311410. Радиус OB окружности с центром в точке O
пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите
длину хорды AC, если BD = 1 см, а ра​ди​у с окруж​но​с ти равен 5 см.
Ре​ше​ние.
Найдем отрезок DO: DO = OB − BD = 5 − 1 = 4. Так как OB перпендикулярен AC,
т р е у г о л ь н и к AOD
—
прямоугольный.
По
теореме
Пифагора
имеем:
. Треугольник AOC — равнобедренный так как AO = OC = r,
тогда AD = DC. Таким об​ра​з ом, AC = AD·2 = 6.
Ответ: 6.
9. B 7 № 311848. В тре​у голь​ни​ке ABC угол C равен 90°, BC = 18, tgA = 3. Най​ди​те AC.
Ре​ше​ние.
Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к
при​ле​ж а​ще​му, по​э то​му
Ответ: 6.
10. B 7 № 311488. Найдите величину (в градусах) вписанного угла α,
опи​ра​ю​ще​го​с я на хорду AB, рав​ную ра​ди​у ​с у окруж​но​с ти.
Ре​ше​ние.
Проведем радиусы OA и OB. Так как по условию задачи хорда AB равна радиусу, то
треугольник AOB — равносторонний, следовательно, все его углы равны 60°. Угол AOB —
центральный и равен 60° Угол ACB — вписанный и опирается на ту же дугу, что и угол AOB.
Таким об​ра​з ом,
Ответ: 30.