МКОУ СОШ №10 села Ачикулак

МКОУ СОШ №10 села Ачикулак
Решение заданий
№10
по материалам
открытого банка задач ЕГЭ
по математике 2015 года
Автор: учитель математики Гамзатова
Сайгат Мусаидовна
1.Найдите значение выражения
f ( x − 9)
, если
f ( x − 11)
f ( x ) = 8x
Решение.
Выполним преобразования
f ( x − 9 ) 8 x −9 8 x ⋅ 8−9
2
= x −11= x −11= 8=
64
f ( x − 11) 8
8 ⋅8
Ответ: 64
m
Использовано : a n + =
an ⋅ am и
an
n−m
a
=
am
5
15
2.Найдите значение выражения
28
a − 77
235 4 a
При a>0
Решение.
15 5
a − 7 7 20 a 15140 a − 7140 a
= =
140
35 4
2
a
2 a
28
8140 a 8
= = 4
140
2 a 2
Ответ: 4
Использовано
n m
a = n⋅m a
20
a
a
2a + 5b
,
если
=1
3.Найдите
b
5a + 2b
Решение.
Выполним преобразования
2a + 5b
1 ⇒ 2a + 5b =5a + 2b ⇒
=
5a + 2b
3a = 3b
Ответ: 1
a
=1
b
4.Найдите
10сosα + 4sin α + 15
, если
2sin α + 5cos α + 3
tgα = −2,5
Решение.
sin α
tgα =
= −2,5
cos α
sin α = −2,5cos α
10сosα + 4 ( −2,5cos α ) + 15 15
= = 5
2 ( −2,5cos α ) + 5cos α + 3
3
Использовано :
tgα =
sin α
cos α
3 sin t + 5 cos t + 1 1
= .
2 sin t + cos t + 4 4
5. Найдите tg t, если
Решение.
3 sin t + 5 cos t + 1 1
=
2 sin t + cos t + 4 4
4(3 sin t + 5 cos t + 1) = 2 sin t + cos t + 4
12 sin t + 20 cos t + 4 = 2 sin t + cos t + 4
12 sin t − 2 sin t = cos t − 20 cos t
10 sin t = −19 cos t
: cos t
10 sin t − 19 cos t
=
cos t
cos t
10tgt = −19
19
tgt = −
10
tgt = −1,9.
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t
6. Найдите tg t, если
Решение.
5 29
cos t =
=
29
5 29

 3π
cos t =
, t ∈
; 2π .
29

 2
5
29
2
25 29 25
4
 5 
2
2
sin t = 1 − cos t = 1 − 
=
−
=
 =1−
29
29
29
29
 29 
4
2

 3π
, где t ∈ 
; 2π  ⇒ sin t < 0
=−
29
29

 2
2
−
sin t
29 = − 2 = −0,4.
=
tgt =
5
cos t
5
29
sin t = −
Использованы тождества:
sin2
t+
cos2
sin t
t = 1 и tg t =
.
cos t
7. Найдите значение выражения
Решение.
60
.
π
π
19
31




sin  −

 cos 
3
6




60
60
=
=
19
31
5
π
π
π
π








sin  −
 cos 
 − sin  3 ⋅ 2π +  cos  3 ⋅ 2π −

3 
6 
3

 6 


60
60
60
60
60
=
=
=
=
=
= 80.
π
5π
3
π
π
3
3
3 3

− sin cos
−
− cos 
cos  π −  −
⋅

3
6
4
2
6
2 
6
2 2

Использованы:
а) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
б) свойство периодичности функций sin t и cos t:
sin (2πn ± t) = ± sin t, cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
г) формула приведения: cos (π – t) = − cos t.
д) таблица значений тригонометрических функций.
8. Найдите значение выражения
Решение.
33 cos 63°
.
sin 27°
33 cos 63° 33 cos (90° − 27°) 33 sin 27°
=
=
= 33.
sin 27°
sin 27°
sin 27°
Использована формула приведения: cos (90º – t) = sin t
9. Найдите значение выражения
6 3tg
π
π
sin .
6
6
Решение.
6 3 tg
π
π
1 1 6 3
sin = 6 3 ⋅
⋅ =
= 3.
6
6
3 2 2 3
Использована таблица значений тригонометрических
функций.
10. Найдите значение выражения
Решение.
2 sin 11° ⋅ cos 11°
.
sin 22°
2 sin 11° ⋅ cos 11° sin 22°
=
= 1.
sin 22°
sin 22°
Использована формула: sin 2t = 2sin t · cos t
11. Найдите значение
Решение.
(
)
(
)
22 sin 2 9° − cos 2 9°
выражения
.
cos 18°
(
)
− 22 cos 2 9° − sin 2 9°
− 22cos 2 ⋅ 9°
22 sin 2 9° − cos 2 9°
=
=
=
cos 18°
cos 18°
cos 18°
− 22cos 18°
=
= −22.
cos 18°
Использована формула: сos 2t = cos2 t – sin2 t
12. Найдите значение выражения 24 3 cos (− 750°).
Решение.
24 3 cos (− 750°) = 24 3 cos (2 ⋅ 360° + 30°) = 24 3 cos 30° =
= 24 3 ⋅
3 24 3 ⋅ 3
=
= 12 ⋅ 3 = 36.
2
2
Использованы:
а) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.
13. Найдите значение выражения 34 sin 100° .
sin 260°
Решение.
34 sin 100° 34 sin (90° + 10°) 34 cos 10°
=
=
= −34.
sin 260°
sin (270° − 10°)
− cos 10°
Использованы формулы приведения:
sin (90º + t) = cos t и sin (270º − t) = − cos t
14. Найдите значение выражения 5 tg 154° ⋅ tg 244°.
Решение.
5 tg 154° ⋅ tg 244° = 5 tg (90 + 64°) ⋅ tg (180 + 64)° =
= −5 ctg 64° ⋅ tg 64° = −5.
Использованы:
а) формулы приведения: tg (90º + t) = − ctg t и tg (180º + t) = tg t
б) тождество: tg t · ctg t = 1.
15. Найдите −20cos 2t, если sin t = −0,8
Решение.
(
)
(
)
− 20 cos 2t = −20 1 − 2 sin 2 t = −20 1 − 2 ⋅ (− 0,8 ) =
= −20(1 − 2 ⋅ 0,64) = −20(1 − 1,28 ) = −20 ⋅ (− 0,28 ) = 5,6.
2
Использована формула: сos 2t = 1 – 2sin2 t
16. Найдите
Решение.
2 sin 4t
, если sin 2t = −0,7.
5 cos 2t
2 sin 4t 4 sin 2t ⋅ cos 2t 4 sin 2t 4 ⋅ (− 0,7 ) − 2,8
=
=
=
=
= −0,56.
5 cos 2t
5 cos 2t
5
5
5
Использована формула: sin 2t = 2sin t cos t

 3π
− t , если sin t = 0,96, t ∈ (0; 0,5π).

 2
17. Найдите − 4 sin 
Решение.
cos 2 t = 1 − sin 2 t = 1 − (0,96)
2
2
625 576
49
 24 
=
−
=
=1− 

25
625 625 625


49
7
28
=
=
= 0,28, где t ∈ (0; 0,5π ) ⇒ cos t > 0
625 25 100

 3π
− 4 sin 
− t  = 4 cos t = 4 ⋅ 0,28 = 1,12.

 2
cos t =
Использованы:
а) формула приведения: sin (3π/2 − t) = − cos t
б) тождество: sin2 t + cos2 t = 1.
18. Найдите значение выражения
Решение.
 3π

cos (3π − t ) − sin  −
+t
 2
.
5 cos (t − π )
 3π

 3π

cos (3π − t ) − sin  −
+ t  − cos t + sin 
−t
 2
=
 2
=
5 cos (t − π )
5 cos (π − t )
− cos t − cos t − 2cos t 2
=
=
= = 0,4.
− 5 cos t
− 5 cos t 5
Использованы:
а) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
б) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
в) формулы приведения:
cos (3π − t) = −cos t, sin (3π/2 − t) = − cos t, cos (π − t) = − cos t.
19. Найдите значение выражения:
4tg(−3π – t) – 3tg t, если tg t = 1.
Решение.
4tg (− 3π − t ) − 3tgt = −4tg (3π + t ) − 3tgt = −4tgt − 3tgt = −7tgt =
= −7 ⋅ 1 = −7.
Использованы:
а) свойство нечетности функции tg t: tg (−t) = − tg t
б) формула приведения: tg (3π + t) = tg t.
20. Найдите значение выражения 27 cos 2
Решение.
13π
13π
− 27 sin 2
.
12
12
13π
13π
13π
13π 

− 27 sin 2
= 27  cos 2
− sin 2
=
12
12
12
12 

π
π

 13π 
 13π 
= 27 cos  2 ⋅
 = 27 cos  2π +  = 27 cos =
 = 27 cos 
12 
6
6

 6 

27 cos 2
3 9
=3 3⋅
= = 4,5.
2
2
Использованы:
а) формула cos 2t = cos2 t – sin2 t.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.
21. Найдите значение выражения
Решение.
11π
8 − 32 sin
.
8
2
11π
11π 
 11π 

= 8 1 − 2 sin 2
=
 = 8 cos  2 ⋅
8
8
8





3π 
3π
2

 11π 

 = −2.
= 2 2 ⋅ −
= 8 cos 
 = 8 cos
 = 8 cos  2π +

4 
4

 4 
 2 
8 − 32 sin 2
Использованы:
а) формула cos 2t = 1 – 2sin2 t.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t
22. Найдите значение выражения
2
3
если cos t = − .
Решение.

 π
2cos (2π + t ) + 5 sin  − + t ,

 2


π
 π
2cos (2π + t ) + 5 sin  − + t  = 2cos t − 5 sin  − t  = 2cos t − 5 cos t =


2
 2
 2
= −3 cos t = −3 ⋅  −  = 2.
 3
Использованы формулы приведения:
cos (2π + t) = cos t, sin (π/2 − t) = cos t.
23. Найдите значение выражения x + x 2 − 4x + 4
при х ≤ 2.
Решение.
Т.к. при х ≤ 2
x + x 2 − 4x + 4 = x +
x − 2 = − x + 2.
(x − 2)2
= x + x − 2 = x − x + 2 = 2,
24. Найдите значение выражения
(11a ⋅ b
6
3
(
2
)) (
3
− 3a b : 4a 6b 6
)
при b = 2.
Решение.
(11a
6
3
(
2
⋅ b − 3a b
) ) : (4a b )
3
6
6
Т.к. b = 2, то
11a 6b 3 − 27a 6b 3 − 16a 6b 3 − 4
=
=
= 3 ,
6 6
6 6
4a b
4a b
b
−4
= −0,5.
3
2
23,5 ⋅ 35,5
25. Найдите значение выражения 4,5
6
.
Решение.
23,5 ⋅ 35,5 23,5 ⋅ 35,5 23,5 ⋅ 35,5
3
3,5 − 4,5
5,5 − 4,5
−1
1
=
=
=
2
⋅
3
=
2
⋅
3
=
= 1,5.
4,5
4,5
4,5
4,5
6
2 ⋅3
2
(2 ⋅ 3)
26. Найдите значение выражения35 −4,7 ⋅ 75,7 : 5 −3,7
.
Решение.
35 −4,7 ⋅ 75,7 : 5 −3,7 = (5 ⋅ 7 )
⋅ 75,7 ⋅ 53,7 = 5 −4,7 ⋅ 7 −4,7 ⋅ 75,7 ⋅ 53,7 =
= 5 −4,7+3,7 ⋅ 7 −4,7+5,7 = 5 −1 ⋅ 71 =
7
= 1,4.
5
−4,7
Литература:
1. http://mathege.ru/or/ege/Main −
Материалы открытого банка заданий
по математике 2015 года
2.ЕГЭ 2015. Математика. Задача В10 /
Под ред. А.Л. Семенова и И.В.
Ященко.− М.: МЦНМО, 2015. −
30вариантов.