ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 16 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы. Определение 1. Преобразованием Фурье функции f из L1(R) называется функ ция f ( ) , определяемая равенством  (1) f( ) f ( x )e i x dx.  Оператор F : f  f называется преобразованием Фурье. Введя обозначения Fc ( f )( ) f ( x ) cos xdx, Fs ( f )( ) f ( x ) sin xdx, (2) (3) формулу (1) можно переписать в виде F(f) = Fc(f) + iFs(f). Преобразования (2) и (3) называются соответственно косинус- и синуспреобразованиями Фурье. Ясно, что F(f) = Fc(f), если f — четная функция, и F(f) = iFs(f), если f - нечетная функция. Оператор F инъективен, и при некоторых условиях имеет место следующая формула обращения , задающая обратный оператор F-1, : 1  (4) f ( x) f ( )e i x d 2 (интеграл понимается в смысле главного значения). Вот одно из точных утверждений этого сорта.  ТЕОРЕМА 1. Если f и f принадлежат L1(R), то для п.в. х из R имеет место равенство (4). То же справедливо с заменой L1(R) на L2(R) (см. теорему 4 ниже). Другие условия справедливости формулы (4) см. в [1], [2], [6]. Для нахождения прямого и обратного преобразований Фурье применяют также специальные таблицы , например, [7] - [10]. Заметим, что при использовании различных 26 источников требуется определенная осторожность, поскольку определение преобразования Фурье в них может отличаться от нашего числовым множителем перед интегралом или в показателе экспоненты. Определение 2. Сверткой функций f и g называется функция (если интеграл существует) (f g )( x ) f (x y ) g ( y )dy. ТЕОРЕМА 2. Пространство L1(R) со сверткой в качестве умножения является коммутативной алгеброй. ТЕОРЕМА 3 (О свертке). При f,g из L1(R) имеет место формула F ( f g ) F ( f ) F ( g ). Следующая теорема содержит в себе, в частности, определение преобразования Фурье для функций из L2(R) (определение 1 для этой цели не годится, так как L2(R) не содержится в L1(R)). ТЕОРЕМА 4 (Планшерель). Для всякой функции f из L2(R) функция n  f ( ): f ( x )e i x dx n при любом натуральном n принадлежит пространству L2(R). Последовательность   ( f n ) сходится в метрике L2(R) к некоторой функции f L2(R), называемой преобразо ванием Фурье функции f . Возникающее при этом отображение F : f  f является линейным ограниченным биективным оператором , действующим в пространстве L2(R), и выполняется равенство Парсеваля:  || f ||2 2 || f ||2 . Л и т е р а т у р а: [1], c. 201 - 210; [2], c. 397 - 414; [8], c. 15 - 29. II. З А Д А Ч И 1. Пользуясь определением, найдите преобразование Фурье функции f из L1(R) (здесь и далее f(x) f(x) f(x) - индикатор (характеристическая функция) множества A R) 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 -2|x| -x x e e R+(x) e [-1,1](x) 1/(1 + x2) [0,1](x)sinx 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 ix 3 2 x [0,1](x) e [0,1](x) x [0,2](x) x [-1,1](x) [-1,1](x)cosx 1.11 1.12 1.13 1.14 -|x| 2 2 2 e sgnx sin x [0,1](x) cos x [-1,1](x) e x /2 A 27 Решение задачи 1.14. Полагая для краткости y = F(f), имеем y( ) e x2 / 2 e i x dx e x2 / 2 cos xdx. Дифференцируя по параметру, а затем интегрируя по частям, получаем y' ( ) e x2 / 2 ( sin x )dx sin xde x2 / 2 e x2 / 2 sin x e x2 / 2 cos xdx y ' ( ), т.е. у удовлетворяет дифференциальному уравнению y ' y 0. Общее решение этого уравнения есть y Ce / 2 , а постоянную С находим из начального условия 2 y (0) e x2 / 2 dx 2  (интеграл Эйлера-Пуассона). Окончательно получаем, что f ( ) 2 e 2 /2 .  2. Считая известным преобразование Фурье f функции f из L1(R), найдите преобразование Фурье функции g. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 g(x) f(-3x) f(x-a) f(-x) f(2x) sinxf(x) 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2 g(x) cosxf(x) f(x)-f(-x) sin xf(x) cos2xf(x) f (x 1) 2.11 2.12 2.13 2.14 g(x) f(1-x) f(x-1)+f(x+1) Ref(x) f ( x) Решение задачи 2.14. Поскольку Re f ( x) f ( x) f ( x), то      g( ) f ( ) f ( x )e i x dx f ( ) f ( x )e i x dx f ( ) f ( ). 3. Решите следующие функциональные уравнения в пространстве L1(R): 3.1. f ( x) f ( x 1) f ( x 2) [ 0 , 3] ( x). 28 3.2. f ( x ) f (x 2 ) e ix ( x ). [ 0, 4 ] 1 1 ) f (x ) e 4 ix [ 0,5; 2 2 3.4. f ( x 1) f ( x 3) f ( x 5) 3.3. f ( x 3.5. f ( 2 x ) f ( 2 x 4) 3.6. f ( f ( x) x) 3.7. f ( x ) f (1 x ) e 2 3.8. f (1 x ) f (2 x ) 3.9. f ( x 1) f ( x 1) 3.10. f ( x 2 ) 3.11. f ( x () [ 2, 2 ] [ 0, 2 ] 2 ix , ] [ 1, 0 ] f ( x 1) 3.13. f ( x f (x ) f (2 x ) ( x) [ 4 ,4 ] ( x) 2 f ( x) 3.14. f (1 x ) [ 3, 1] e 2 ix 3.12. f ( x 1) ) ( x ). ( x ). ( f (x 2 ) f ( x 1) ( x ). [ 0,6 ] ( x ). [ 0, 2 ] e ( x ). ( x ). 2 ix [ 1, 5 ] e 2ix ( [ 0 ,1] [ 1, 2 ] [ ,0] [1, 3 ] ( x ). ( x) [1, 2 ] ( x ). ( x ). ( x) f (3 x ) ( x )). [ ,2 ] ( x )). e2 f (4 x ) ix [ 0, 4 ] ( x ). Решение задачи 3.14. Если положить f(1-x) = g(x), то уравнение принимает вид g ( x) g ( x 1) g ( x 2) g ( x 3) e2 ix [ 0, 4 ] ( x). (5) Поскольку F( [ a ,b ] e )( ) i a e i  F ( e aix ( x ))( ) ( i b , (6) a ), (7) то, переходя в (5) к преобразованию Фурье, имеем  g ( )(1 e i e 2i e 3i 1 e 4i ( 2 ) i( 2 ) ) 1 e 4i . i( 2 ) Так как 1 e i e 2i e 3i 1 e 4i , 1 ei то 1 ei 1 e i( 2 ) . i( 2 ) i( 2 ) Снова воспользовавшись формулами (6) и (7), получаем отсюда, что  g( ) 29 Поэтому g ( x) e2 F ( g )( ) F (e 2 ix [ 0,1] ( x))( ). ( x). Полагая в этом равенстве x = 1 - t, имеем окончательно [ 0,1] f (t ) e 2 it [ 0,1] (t ). ix 4. Вычислите свертку, f если [ 1.1] 4.1 4.2 4.3 4.4 4 2 3 x x f(x) 1 x x e xe 1 x2 1 x2 4.8 4.9 4.10 4.11 -|x| -x 3 f(x) e e cosx x 1 x2 4 x 1 4.5 sin3x 4.6 e sinx 4.12 e | x| R 4.13 R ( x) ( x) 1 x 2 Решение задачи 4.14. По определению 1 f [ 1,1] ( x ) f (x y) [ 1,1] ( y ) dy e (x y) R (x 1 x 1 [y x t] e t e t dt. (t )dt R x 1 [ x 1, x 1] R Для вычисления последнего интеграла рассмотрим три случая. , поэтому f 1). x 1. Тогда [ x 1, x 1]  R ( x) 0. [ 1,1] 2). 1 x 1. Тогда [ x 1, x 1]  R [0, x 1]. Поэтому x 1 f [ e t dt 1 e 1,1] ( x ) x 1 . 0 3). x 1. Тогда [ x 1, x 1] R . Следовательно, x 1 f [ 1,1] ( x ) e t dt ( e e 1 )e x . x 1 Окончательно имеем 0, f [ 1,1] ( x) x 1 e x, 1 1 x 1 ( e e 1 )e x , x 1. 5. Решите интегральное уравнение в пространстве L1( R ) 30 4.7 1 x y )dy x2 1 4.14 e x R (x) f (t ) 5.1 f(t) e t2 K(t) e 4t 2 f(t) K(t) f(t) K(t) 5.2 1 2 t 4 1 t2 1 5.7 -|t| e (1 + |t|) 5.6 t 2 (t 9) 2 t 2 (t 1) 2 5.11 te 2 t 5.3 e 2t t2 te 4t2 5.12 t 2 (t 2) 2 1 t2 1 e 2t 2 e 2 5.9 1 t2 3t 5.5 t 2 (t 4) 2 1 t2 1 5.10 2 te 5.8 e 3t 2 5.4 2 t /2 te -|t| 2 te K (t s ) x( s )ds. 3 1 t2 2 5.14 e t sh 2t 5.13 t 2 (t 4) 2 t (t 2 3) 2 te t2 / 4 e t2 / 2 2 te t2 Решение задачи 5.14. Применяя к обеим частям данного уравнения преобразование Фурье, в силу теоремы о свертке имеем  f( )  x( )  . K( )   Мы вычислим f , K не прибегая к помощи таблиц, а пользуясь лишь формулой F (e ax 2 )( ) e 2 / 4a , a где (a>0),которая выводится при помощи того же приема, что и в задаче 1.14. Поскольку  ( g ' )^ ( ) i g ( ), te t (1 / 2)( e t )' , то  K ( ) F (te t )( ) i e /4. 2 Далее, 1 t 2t e ( t 1) f (t ) e t sh2t e (e e 2t ) (e e ( t 1) ). 2 2 Поскольку F ( g ( x a ))( ) e i a F ( g )( ), то  e i e f( ) (e e / 4 ei e / 4 ) e / 4 (e i e i ) ie e / 4 sin . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 31 2 2 Таким образом,  x( )  f( )  K( ) ie e 2 /4 sin 2 2e sin . /4 i e 2 Неизвестная функция х теперь может быть найдена из таблиц (см. [7] - [10]), но мы воспользуемся формулой (6), из которой при а=-1, в=1 следует, что sin 2 F ( [ 1,1] )( ). Окончательно получаем, что x (t ) e [ 1,1] (t ). 6. Верно ли, что преобразование Фурье F есть линейный оператор, действующий из пространства X в пространствоY? X Y 6.1 L1(R) C0(R)={f C(R):f( ) 0} 6.2 L1(R) L1(R) 6.3 L2(R) L1(R)  L2(R) 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 L2(R) L1(R) L1(R) C0(R) BC(R) UC(R) — пространство равномерно непрерывных функций на R. ax { f ; f ( x)e L1 ( R) a 0} { f L1 ( R ) : xf ( x ) L1 ( R )} { f L1 ( R ) : f ' ' L1 ( R )} L2(R) D(R) L1(R)  L2(R) {f L1(R) L1 ( R) : f ( x)e|x| L1 ( R)} BC(R)  O(C) C(1)(R) L1(R) L1(R) O( R ) L1(R)  L2(R) L2(R) O({|Imz|<1}) O(D) - пространство функций, аналитических в области D C. Решение задачи 614. В доказательстве нуждается лишь утверждение, что  F ( f ) Y f X . Докажем это. Функция f ( ) ( R) формулой  (6) f ( z) f ( x )e izx dx i ) , поскольку в этой полосе инпродолжается в полосу {|Imz|<1} z-плоскости ( z  теграл (6) абсолютно сходится. Осталось доказать дифференцируемость функции f (z ) в каждой точке z0 этой полосы. В соответствии с теоремой о дифференцировании несобственного интеграла, зависящего от параметра (см., например, [6]; для интеграла Лебега эта теорема также справедлива), достаточно показать, что интеграл 32 f ( x )e izx ( ix )dx от производной по параметру подинтегральной функции в (6) сходится равномерно (по параметру z) в некоторой окрестности точки z0. Действительно, если q < 1таково, что |Imz0| < q, то в полуплоскости { q} , содержащей z0, имеем оценку | f ( x )e izx ( ix ) | | f ( x ) || x | e x | f ( x ) | e |x| | x | e x |x| | f ( x ) | e |x| | x | e ( 1 q )| x | , причем последняя функция интегрируема. Осталось применить мажорантный признак (признак Вейерштрасса) равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Варианты заданий см. в лабораторной работе 13. III. Д О П О Л Н И Т Е Л Ь Н Ы Е З А Д А Ч И. 19. Решите задачу 1 для функции f(x) = 1/(x - i) из L2( R ). 20. Решите задачи 2.1 - 2.14 в случае, когда f принадлежит L2( R ). 21. Решите функциональные уравнения в пространстве L1( R ) f( x - 1 ) + f( x + 1 ) = g(x) chx для правых частей g ( x) e x ch2 x, , [ 1,1] ( x). ch2 chx 22. Решите задачу 4 для f . [ a ,b ] 23. Решите задачу 5 при f(t) = arctg(2 / t2), K(t) = 1/(1 + t2). 24. Решите задачу 6, если X = Y = S(R) (пространство Шварца). 2 33