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XMP : Mathématiques
Programme de la olle de la semaine du 5.01 au 12.01
Fontions vetorielles, ars paramétrés
Ce hapitre poursuit trois objetifs :
étendre le programme d'analyse réelle de première année au adre des fontions vetorielles ;
préiser les notions de tangente et de vitesse instantanée ;
fournir des outils pour l'étude des équations diérentielles linéaires et du alul diérentiel.
Les fontions sont dénies sur un intervalle I de R, à valeurs dans un espae normé de dimension nie E .
Contenus
Capaités & ommentaires
a) Dérivabilité en un point
Dérivabilité en un point.
Dérivabilité à droite et à gauhe d'une fontion en un
point.
Formes équivalentes : taux d'aroissement,
développement limité à l'ordre 1.
Interprétation inématique.
⇆ PC : vitesse instantanée.
Tradution par les oordonnées dans une base de E .
b) Opérations sur les fontions dérivables
Combinaison linéaire de fontions dérivables.
Dérivabilité et dérivée de L ◦ f , où L est linéaire.
Dérivabilité et dérivée de B(f, g), où B est bilinéaire.
Cas du produit salaire.
Dérivabilité et dérivée de f ◦ ϕ où ϕ est une fontion
réelle de variable réelle et f une fontion vetorielle.
Appliations de lasse C k . Opérations sur les appliations de lasse C k .
⇆ PC : dérivée de la densité volumique de l'énergie
életromagnétique.
⇆ PC et SI : veteur aélération.
) Intégration sur un segment
Intégrale d'une fontion f ontinue par moreaux sur
un segment de R, à valeurs dans E .
Dénie par les intégrales des oordonnées dans une
Z
Z b Z b
base. Notations
f,
f,
f (t) dt.
[a,b]
Linéarité de l'intégrale.
Z b Relation de Chasles.
Z
b Inégalité f
kf k .
6
a
a
Sommes de Riemann assoiées à une subdivision
régulière.
a
a
⇆ PC et SI : intégration d'un hamp de veteurs en
méanique et életromagnétisme.
Extension de l'énoné relatif aux fontions numériques
étudié en MPSI.
e) Intégrale fontion de sa borne supérieure
Dérivation de x 7→
Z
x
f (t) dt pour f ontinue.
a
Inégalité des aroissements nis pour une fontion de
lasse C 1 .
Ce paragraphe fournit l'oasion de revoir les résultats
orrespondants pour les fontions numériques et les
tehniques de alul de primitives.
f ) Formules de Taylor
Formule de Taylor ave reste intégral.
© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013
http://www.enseignementsup-reherhe.gouv.fr
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Contenus
Inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre n pour une fontion de lasse C n .
Formule de Taylor-Young à l'ordre n pour une fontion de lasse C n .
Capaités & Commentaires
Les étudiants doivent onnaître la diérene de nature entre la formule de Taylor-Young (loale) et les
formules de Taylor globales (reste intégral et inégalité
de Taylor-Lagrange).
g) Ars paramétrés
Ar paramétré de lasse C 1 à valeurs dans E .
Paramètre régulier.
Exemples simples d'ars paramétrés plans.
Interprétation géométrique de la dérivée : tangente en
un point assoié à un paramètre régulier.
Les étudiants doivent savoir déterminer la tangente
et la normale à un ar paramétré plan en un point
assoié à un paramètre régulier.
L'étude des points stationnaires, des ourbes asymptotes et des ars dénis par une équation polaire est
hors programme.
La pratique du traé des ars paramétrés n'est pas un
objetif du programme. ⇆ I : réalisation de traés à
l'aide de l'outil informatique.
Pour ette olle :
Trois étudiants pendant une heure
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