XMP : Mathématiques Programme de la olle de la semaine du 5.01 au 12.01 Fontions vetorielles, ars paramétrés Ce hapitre poursuit trois objetifs : étendre le programme d'analyse réelle de première année au adre des fontions vetorielles ; préiser les notions de tangente et de vitesse instantanée ; fournir des outils pour l'étude des équations diérentielles linéaires et du alul diérentiel. Les fontions sont dénies sur un intervalle I de R, à valeurs dans un espae normé de dimension nie E . Contenus Capaités & ommentaires a) Dérivabilité en un point Dérivabilité en un point. Dérivabilité à droite et à gauhe d'une fontion en un point. Formes équivalentes : taux d'aroissement, développement limité à l'ordre 1. Interprétation inématique. ⇆ PC : vitesse instantanée. Tradution par les oordonnées dans une base de E . b) Opérations sur les fontions dérivables Combinaison linéaire de fontions dérivables. Dérivabilité et dérivée de L ◦ f , où L est linéaire. Dérivabilité et dérivée de B(f, g), où B est bilinéaire. Cas du produit salaire. Dérivabilité et dérivée de f ◦ ϕ où ϕ est une fontion réelle de variable réelle et f une fontion vetorielle. Appliations de lasse C k . Opérations sur les appliations de lasse C k . ⇆ PC : dérivée de la densité volumique de l'énergie életromagnétique. ⇆ PC et SI : veteur aélération. ) Intégration sur un segment Intégrale d'une fontion f ontinue par moreaux sur un segment de R, à valeurs dans E . Dénie par les intégrales des oordonnées dans une Z Z b Z b base. Notations f, f, f (t) dt. [a,b] Linéarité de l'intégrale. Z b Relation de Chasles. Z b Inégalité f kf k . 6 a a Sommes de Riemann assoiées à une subdivision régulière. a a ⇆ PC et SI : intégration d'un hamp de veteurs en méanique et életromagnétisme. Extension de l'énoné relatif aux fontions numériques étudié en MPSI. e) Intégrale fontion de sa borne supérieure Dérivation de x 7→ Z x f (t) dt pour f ontinue. a Inégalité des aroissements nis pour une fontion de lasse C 1 . Ce paragraphe fournit l'oasion de revoir les résultats orrespondants pour les fontions numériques et les tehniques de alul de primitives. f ) Formules de Taylor Formule de Taylor ave reste intégral. © Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013 http://www.enseignementsup-reherhe.gouv.fr Mathématiques MP 1/2 Contenus Inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre n pour une fontion de lasse C n . Formule de Taylor-Young à l'ordre n pour une fontion de lasse C n . Capaités & Commentaires Les étudiants doivent onnaître la diérene de nature entre la formule de Taylor-Young (loale) et les formules de Taylor globales (reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange). g) Ars paramétrés Ar paramétré de lasse C 1 à valeurs dans E . Paramètre régulier. Exemples simples d'ars paramétrés plans. Interprétation géométrique de la dérivée : tangente en un point assoié à un paramètre régulier. Les étudiants doivent savoir déterminer la tangente et la normale à un ar paramétré plan en un point assoié à un paramètre régulier. L'étude des points stationnaires, des ourbes asymptotes et des ars dénis par une équation polaire est hors programme. La pratique du traé des ars paramétrés n'est pas un objetif du programme. ⇆ I : réalisation de traés à l'aide de l'outil informatique. Pour ette olle : Trois étudiants pendant une heure © Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013 http://www.enseignementsup-reherhe.gouv.fr Mathématiques MP 2/2
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