p - XII Всероссийское совещание по проблемам управления

7605
УДК 519.248:681.51
ДИАГНОСТИКА СОСТОЯНИЯ
ПРОЦЕССА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ
КОНТРОЛЯ РАССЕЯНИЯ
В.Н. Клячкин
Ульяновский государственный технический университет
Россия, 432027, Ульяновск, Северный Венец ул., 32
E-mail: [email protected]
Т.И. Святова
Ульяновский государственный технический университет
Россия, 432027, Ульяновск, Северный Венец ул., 32
E-mail: [email protected]
Ю.С. Донцова
Ульяновский государственный технический университет
Россия, 432027, Ульяновск, Северный Венец ул., 32
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: многомерный статистический контроль, контрольная карта, диагностика, обобщенная дисперсия, эффективная дисперсия, чувствительность карты, средняя
длина серий
Аннотация: При статистическом контроле многопараметрического технологического
процесса обычно используется многомерная карта Хотеллинга, которая отслеживает изменение среднего уровня процесса. Для контроля рассеяния процесса могут быть применены карты обобщенной и эффективной дисперсии. Показано, что чувствительность
этих карт к возможным нарушениям недостаточна, предложены методы повышения эффективности контроля рассеяния и диагностики возможных нарушений процесса по его
результатам.
1. Введение
Статистические методы управления технологическими процессами, регламентированные нормативными документами, предусматривают контроль процесса лишь по одному показателю качества выпускаемого изделия. Используются двойные карты Шухарта: карта средних значений для контроля среднего уровня процесса и карта размахов
или стандартных отклонений для контроля рассеяния процесса [1].
Часто качество изделия характеризуется несколькими показателями, которые могут быть коррелированны между собой. В такой ситуации необходимо применение
многомерных статистических методов. Погрешности при использовании одномерных
методов контроля взаимосвязанных показателей обусловлены следующими причинами.
Во-первых, различны доверительные области: например, при независимом контроле
это прямоугольный параллелепипед, стороны которого определяются границами регулирования карт Шухарта (рис.1, а). При независимом контроле каждого из двух показателей в системе координат Х1, Х2 опытные точки, лежащие внутри прямоугольника,
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7606
образованного границами карт, свидетельствуют о том, что, согласно карте Шухарта,
процесс стабилен. С учетом корреляционных связей в действительности доверительная
область при многомерном нормальном распределении показателей представляет собой
эллипсоид, главные оси которого повернуты относительно осей параллелепипеда:
опытные точки, оказывающиеся внутри прямоугольника (при двумерном контроле), но
вне эллипса, свидетельствуют о нормальном ходе процесса, хотя на самом деле он статистически неуправляем и требует вмешательства. Во-вторых, определение совместного уровня значимости (вероятности ложной тревоги) невозможно при контроле по отдельным показателям, коррелированным между собой.
Основным инструментом контроля многопараметрического процесса является карта
Хотеллинга, предназначенная для проверки гипотезы о том, что средний уровень процесса соответствует заданным спецификациям, т.е. проверяется стабильность процесса
по среднему уровню. На рис.1, а показан статистически управляемый процесс для двух
контролируемых параметров Х1 и Х2: эллипс рассеяния лежит в заданных пределах. Нарушение процесса, связанное со смещением его среднего уровня, иллюстрирует рис. 1,
б (именно такого рода нарушения контролируются с помощью карты Хотеллинга). На
рис. 1, в показано нарушение процесса, связанное с увеличением технологического рассеяния.
Х2
Х2
Х2
Х1
а)
Х1
б)
Х1
в)
Рис. 1. Возможные нарушения процесса: а – нарушений нет; б – нарушение, связанное
со смещением среднего уровня процесса; в – нарушение, связанное с увеличением рассеяния
По вопросу оценки стабильности многомерного технологического рассеяния у специалистов пока нет единого мнения: предложены несколько различных статистических
инструментов, основанных на оценке обобщенной или эффективной дисперсий [2,3].
2. Контроль рассеяния независимых параметров
2.1. Карта стандартных отклонений
Изменение показателя технологического рассеяния процесса – стандартного отклонения  может быть проанализировано с использованием контрольных карт размахов
(обычно при построении карт вручную), стандартных отклонений или карт дисперсий.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7607
Проверяется нулевая гипотеза о равенстве дисперсии процесса заданному значению Н0:
 2 =  02 при альтернативе Н1:  2   02 [4]. На карте стандартных отклонений откладываются значения st, вычисляемые из формулы
1
st2 
 ( xti  x t ) 2 ,
n 1 i
где xti – результат i-го наблюдения в t-й мгновенной выборке, i = 1, …, n; t = 1,…, m, xt
– среднее значение контролируемого показателя Х в t-й выборке.
Положение центральной линии карты определяется средним стандартным отклонением:
1
s =  st .
m t
Величина s является смещенной оценкой  , несмещенная оценка устанавливается
из равенства
 = s / с,
где
2 (n / 2)
c
.
n 1 n 1
(
)
2
При определении положения контрольных границ предполагается, что случайная
величина S имеет приблизительно нормальное распределение со средним значением,
равным s, и со стандартным отклонением, равным  / 2n : S  N(s,  / 2n ).
Контрольные границы S-карты при известном  приближенно могут быть найдены
по формуле
u

c0   u1  / 2
 ( c 0  1  / 2 ) ,
2n
2n
n 1
где с0 = с
, u1-/2 – квантиль нормального распределения порядка 1-/2,  – уроn
вень значимости.
Для используемого на практике правила «трех сигма» можно воспользоваться коэффициентами, приведенными в таблицах: при известном  нижняя контрольная граница равна LCL = В1  , верхняя UCL = В2  ; при неизвестном значении  соответственно LCL = В3s и UCL = В4s . При n < 6 нижние контрольные границы этих карт нулевые: LCL = 0 (чтобы исключить физически невозможные отрицательные значения,
получающиеся по соответствующим зависимостям).
Возможен и другой способ построения карт стандартных отклонений. Известно, что
если случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами  и  , то
величина (n – 1)s2 /  2 распределена по закону хи-квадрат с (n – 1) степенью свободы.
При использовании одностороннего доверительного интервала вероятность
P((n – 1)s2/  2 < 21-(n – 1)) = 1 – ,
тогда
P(s <  [21-(n – 1) / (n – 1)] 1/2) = 1 – .
В этом случае верхняя граница S-карты равна:
1 2
(1)
UCL = 
1 (n  1) ,
n 1
где 21-(n – 1) – квантиль распределения хи-квадрат с (n – 1) степенью свободы порядка 1 – .
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7608
2.2. Анализ чувствительности карты стандартных отклонений к
нарушению процесса
Проанализируем, насколько чувствительна карта стандартных отклонений к возможным нарушениям технологического процесса. При анализе чувствительности контрольных карт используется специальная характеристика, называемая средней длиной
серий, – это среднее значение числа мгновенных выборок, взятых от момента нарушения процесса до момента обнаружения этого нарушения.
Предположим, что произошло увеличение рассеивания в  раз (    0 ). Как скоро
карта отреагирует на это нарушение? Сколько в среднем надо взять выборок, начиная с
момента нарушения, чтобы среднее значение, откладываемое на карте, вышло за контрольные границы, показав тем самым, что технологический процесс вышел из-под
контроля?
Пусть Р – вероятность выхода контролируемого показателя за границы регулирования в данной мгновенной выборке. Вероятность того, что этот показатель выйдет за
контрольную границу через k выборок, равна [1 – P]k-1 P. Средняя длина серий L –
среднее значение дискретной случайной величины, принимающей значения k = 1, 2, …
с вероятностями [1 – P]k–1 P. Используя формулу суммы членов арифметикогеометрической прогрессии kqk = q / (1 – q)2, получим: L =  k [1 – P]k–1 P = P–1.
С учетом (1) имеем:
1
Ps ( )  P( S   0
 12 (n  1) ) 
n 1
1
(n  1) S 2
 P( S 2   02
  12 (n  1)) 
12 (n  1))  P(
n 1
 02
 P(
(n  1) S 2
(n  1) S 2  12 (n  1)
2

n


P


(
1
))
(
)
1
( /  ) 2
2
2
 1  P(
(n  1) S 2
2

 12 (n  1)
),
2
откуда Ps() = 1 – F(21-(n – 1)/ 2), где через F(x) обозначена функция распределения
хи-квадрат с (n – 1) степенью свободы.
Средняя длина серий карты стандартных отклонений рассчитывается по формуле:
(2)
Ls() = [1 – F(21–(n–1)/ 2)]–1.
3. Методы контроля многомерного рассеяния
3.1. Характеристики многомерного рассеяния
При одномерном контроле основная характеристика рассеивания одномерной случайной величины – дисперсия 2. Аналогом дисперсии при многомерном контроле является ковариационная матрица .
Предположим, что Х1, Х2, …, Хn, – n-мерная выборка показателей качества из наблюдений p-мерной нормально распределенной генеральной совокупностью, Х 
N(,). Тогда выборочная оценка ковариационной матрицы
1
S=
∑ (  i   )(  i   )Т
n 1
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7609
1
, n–1) с ковариационной матрицей /(n – 1) и
n 1
(n – 1) степенью свободы [5]. Распределение Уишарта является обобщением распределением хи-квадрат для оценки дисперсии генеральной совокупности.
Плотность распределение Уишарта
имеет распределение Уишарта W(
1
exp( tr (  1 )
2
w(, n  1)  1
,
1
1
p ( p 1)
( n 1) p
n j
( n 1) p
2
4
2

)
2
 (
j 1
2
где А=(n – 1)S, а tr(A) – след матрицы А.
Также в качестве аналога дисперсии в многомерном процессе используется обобщенная дисперсия || – определитель ковариационной матрицы.
Выборочная обобщенная дисперсия
1
2
( n  p  2)
1
∑(  i   )(  i   )Т |
n 1
имеет то же распределение, что и величина /(n – 1)p, умноженная на произведение p
независимых величин, j-я из которых имеет распределение хи-квадрат с (n – j) степенями свободы:
|S|=|∑|2(n – 1)* 2(n – 2) *…* 2(n – p) /(n – 1)p.
Математическое ожидание обобщенной дисперсии равно
( n  1)( n  2)...( n  p )
S 
,
np
а дисперсия
(n  1) 2 (n  2) 2 ...( n  p ) 2 p ( 2n  1  p ) 2
 .
2S 
(n  p )(n  p  1) n 2 p
При p > 2 распределение выборочной обобщенной дисперсии приводит к расчету
трудно вычисляемых интегралов, поэтому полезно знать асимптотическое решение.
При этом доказывается, что случайная величина
n1/2(|S|/|| – 1)
ассимптотически нормальна с математическим ожиданием  = 0 и 2 = 2p.
Если известно, что совокупность показателей Х  N(0,), то вероятность того, что Х
окажется внутри эллипсоида ХТ-1Х =21-α(p) равна 1–α. Объем данного эллипсоида зависит от обобщенной дисперсии и равен
|S|=|
2
p/2

1/ 2

2
1-
( p)
p ( p / 2)

p/2
.
3.2. Контрольная карта обобщенной дисперсии
Оценка стабильности процесса по рассеянию сводится к проверке гипотезы о равенстве ковариационной матрицы процесса заданному значению 0, т.е. к проверке нулевой гипотезы Н0:  = 0 при альтернативе Н1: Σ ≠ Σ0. Значимое изменение рассеяния
приводит к отклонению нулевой гипотезы.
Для проверки рассматриваемой гипотезы предложено использовать в качестве критерия обобщенную дисперсию – определитель ковариационной матрицы [2].
Предположим, что контролируются р показателей качества технологического процесса: через равные промежутки времени берутся р-мерные мгновенные выборки объ-
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7610
ема n. Для каждого момента времени t формируется выборочная ковариационная матрица St
(3)
 s11t
s
 21t
St =  ...

 s p1t
s12t
s 22t
...
s p 2t
... s1 pt 
... s 2 pt 
... ...  ,

... s ppt 
где
s jkt 
1
 ( xijt  x j )( xikt  x k ) ,
n 1
xijt – результат i-го наблюдения по j-му показателю в t-й выборке (i = 1, … , n, j и
k = 1, …, p, t = 1, …, m; m – количество выборок, взятых для анализа процесса).
Определитель матрицы (3) |St| – это выборочная обобщенная дисперсия t-й мгновенной выборки.
Также вычисляются оценки средней ковариации по всей совокупности выборок
1 m
s jk   s jkt ,
m t 1
которые образуют ковариационную матрицу S. Ее определитель |S| используется в качестве оценки целевой обобщенной дисперсии |0|.
При построении контрольной карты на ней откладываются выборочные значения
обобщенной дисперсии |St| для каждой t-й выборки.
Контрольные границы карты обобщенной дисперсии определяются из соотношений
(4)
m|s|  u1/2|s|,
где u1/2 – квантиль нормального распределения порядка 1 – /2;  – уровень значимости; при обычно принимаемом значении по правилу «трех сигма»  = 0,0027 u1/2=3;
математическое ожидание обобщенной дисперсии
(5)
m|s| = b1|0|;
стандартное отклонение
(6)
|s| = b2 |0|;
коэффициенты
p
1
(7)
b1 
 (n  j);
(n  1) p j 1
(8)
p
p
p
1
b2 
 (n  j )[ (n  k  2)   (n  k )] .
( n  1) 2 p j 1
k 1
k 1
Тогда положение верхней UCL и нижней LCL границ карты обобщенной дисперсии
определяется по формуле
(9)
UCL 
b2 ).
  |0| (b1  u1/2
LCL 
Если при этом нижняя граница LCL окажется отрицательной, то принимается нулевое значение.
3.3. Контрольная карта эффективной дисперсии
Карта эффективной дисперсии позволяет проверить гипотезу о равенстве рассеяния
процесса заданному значению Σ0. Вычисляется определитель матрицы (3), а затем из
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7611
него извлекается корень степени р. Полученное значение |St|1/р называется эффективной
дисперсией и откладывается на контрольной карте.
Карта эффективной дисперсии |S|1/р предложена Гарсиа-Диазом [3] и основана на
том факте, что отношение (|S|/|0|)1/р имеет распределение [6]
(10)
Г(
p(n  p) p(n  1)
( p  1)( p  2) 1 / p
) ),
(1 
,
2n
2
2
где Г(a,b) – гамма-распределение с параметром разброса a =
p(n  p)
и параметром
2
p(n  1)
( p  1)( p  2)
.
(1 
2
2n
В работе [3] предложены два варианта карт эффективной дисперсии: с одной и
двумя контрольными границами. Контрольные границы карты
формы b =
(11)
UCL   0
1/ p
  / 2 (a, b)
(12)
LCL   0
1/ p
 1 / 2 ( a , b )
где Г (a,b)  квантиль Г-распределения порядка .
При использовании только верхней границы принимается LCL = 0:
1/ p
UCL  0  (a, b).
В этом случае карта отслеживает только увеличение рассеяния, в то время, как карта с двумя границами контролирует как увеличение, так и уменьшение рассеяния.
В отличие от карты обобщенной дисперсии карта эффективной дисперсии позволяет оценивать стабильность рассеяния процесса при различном количестве контролируемых параметров: на практике иногда возникает ситуация, когда в разные промежутки времени стабильность процесса оценивается по различному количеству показателей.
(13)
4. Оценка средней длины серий для многомерных
контрольных карт рассеяния
Для оценки средней длины серий карты обобщенной дисперсии введем в качестве
характеристики превышения фактической обобщенной дисперсии при нарушении процесса || над целевой дисперсией |0| отношение d = ||/ |0|  1.
Средняя длина серий контрольной карты обобщенной дисперсии определяется по
1
формуле L(d ) 
, где P(d) – вероятность того, что процесс стабилен по рас1  P(d )
сматриваемому критерию обобщенной дисперсии.
Обозначив математическое ожидание || через m||, а стандартное отклонение ||,
получим с учетом выражений (5)-(8):
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7612
 LCL  m  
 UCL  m  

  
P(d )  P (UCL    LCL )  












  (b  u
  0 (b1  u1 / 2 b2 )  b1  
b )  b1  

   0 1 1 / 2 2
 





b
b

2
2




u
 u
 b1 (d  1) / b2 
 b1 (d  1) / b2 



.
1 / 2
1 / 2
 
 


d
d




Тогда для средней длины серий карты обобщенной дисперсии получим зависимость
(14)
1
L(d ) 
.
u
u
 b1 (d  1) / b2 
 b1 (d  1) / b2 
  

1 / 2
1 / 2





d
d




На рис. 2 показаны соответствующие кривые (в полулогарифмических координатах)
при количестве контролируемых показателей р, построенные в системе Mathcad. Из
рис. 2 следует, что для обнаружения увеличения обобщенной дисперсии в 1,5 раза при
контроле двух показателей потребуется в среднем 34 выборки.
p=4
p=3
p=2
Рис. 2. Кривые средней длины серий для карты обобщенной дисперсии.
Так как наиболее важной задачей является обнаружение увеличения рассеяния технологического процесса, рассмотрим сначала контрольную карту эффективной дисперсии с одной (верхней) контрольной границей.
Для карты эффективной дисперсии с одной контрольной границей с учетом (13) получим зависимость:
1
L(d ) 
(15)
;
1  P  ( a , b )   ( / 2 ) ( a , b ) / d 1 / p
вероятность в знаменателе формулы – это значения функции гамма-распределения от
аргумента Г  /d 1 / p .


XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7613
Аналогичная зависимость для средней длины серий карт эффективной дисперсии с
двумя контрольными границами получена в виде
(16)
L(d ) 
1
.
1  P (a, b)   ( / 2 ) ( a, b) / d 1 / p  P ( a, b)   (1 / 2 ) ( a, b) / d 1 / p

 

Расчеты по формулам (15) и (16) показывают, что чувствительность карт эффективной дисперсии значительно ниже, чем карт обобщенной дисперсии: для обнаружения
увеличения рассеяния в 1,5 раза при контроле двух показателей потребуется примерно
вдвое больше выборок, чем при использовании карты обобщенной дисперсии.
5. Повышение эффективности диагностики состояния
процесса при контроле многомерного рассеяния
Повышение эффективности при диагностике процесса можно достичь, во-первых,
модификацией предложенных карт: построением карт кумулятивных сумм или экспоненциально взвешенных скользящих средних на обобщенной или эффективной дисперсиях [7, 8], а также применением предупреждающих границ, и, во-вторых, тщательным
исследованием неслучайных структур на соответствующих картах.
Для обобщенной дисперсии карта экспоненциально взвешенной скользящей
(EWMA) может быть представлена в виде
E|S|t = (1 – k) E|S|t-1 + k|St|;
0  k  1 – параметр сглаживания, E|S|0 = |0|; |St| – обобщенная дисперсия t-й мгновенной выборки. Процесс считается статистически управляемым, если найденное значение
лежит внутри контрольных границ
|0|  HEE|S|t,
где HE – параметр, определяющий положение границ карты; (при использовании правила «трех сигма» HE = 3); E|S|t – среднеквадратичное отклонение величин Et, определяемое из формулы:
S2 k
2
E|S|t =
[1  (1  k ) 2t ],
n 2k
где |s| определяется по формуле (6).
По аналогии для эффективной дисперсии карты экспоненциально взвешенной
скользящей средней могут быть построены по тем же формулам заменой обобщенной
дисперсии на эффективную, в частности,
E’|S|t= (1 – k) E’|S|t-1 + |St|1/p.
В качестве примера рассмотрим контроль трех показателей качества – геометрические размеры клина теплостока Redstone для электронного модуля: Х1 – длина клина
18h12 мм, X2 – угол наклона 45о  30, Х3 – диаметр 5,3Н7 мм. Контроль проводился по
15 выборкам по 3 измерения в каждой: всего проведено 45 измерений каждого показателя через равные промежутки времени. Анализ полученных данных показал, что показатели Х1 и Х2 коррелированны между собой. Для оценки статистической управляемости процесса и выявления нарушений был проведен статистический контроль по двум
коррелированным показателям качества с использованием карт экспоненциально взвешенных скользящих средних для обобщенной и эффективной дисперсии.
На рис. 3 показаны контрольные карты, построенные в среде электронных таблиц
OpenOffice.org Calc. Обе карты свидетельствуют о статистической управляемости (все
опытные точки лежат ниже соответствующих контрольных границ).
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7614
EWMA карта обобщенной дисперсии
0,0000025
0,0000020
0,0000015
0,0000010
0,0000005
0,0000000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
EWMA карта эффективной дисперсии
0,0014
0,0012
0,0010
0,0008
0,0006
0,0004
0,0002
0,0000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Рис. 3. Контрольные карты экспоненциально взвешенных скользящих средних.
Другой подход, связанный с повышением эффективности диагностики процесса, –
использование на картах предупреждающих границ. Статистическое управление процессами предусматривает использование карт для арифметического среднего с предупреждающими границами, которые являются модификацией обычных карт Шухарта.
Они отличаются высокой чувствительностью к изменениям процесса и позволяют фиксировать даже небольшие отклонения или медленно формирующееся ухудшение качества процесса. Выводы делают на основе информации, полученной от точек, попавших
в предупреждающую зону.
UCL
UCLW
CL
LCLW
LCL
Рис. 4. Положение предупреждающих границ на контрольной карте.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
7615
Введем дополнительную предупреждающую границу MSw. Существуют следующие
варианты расположения точки на контрольной карте (рис. 4): точка лежит в области,
где процесс статистически управляем, т.е. MSt< MSw («целевая» область Т); точка лежит в области с «переходным» состоянием процесса, т.е. MSw ≤MSt≤MSкр («предупреждающие» области W+ и W-); точка лежит в области, в которой происходит нарушение
процесса: MSt >MSкр («критические» области А+ и А-)
Процесс считается нарушенным в одном из двух случаев: или контролируемая статистика в критической области, или несколько значений статистики подряд оказалось в
переходной области. Расчет положения контрольной и предупреждающей границ проводится на основе теории марковских цепей [1,9].
Наконец, для повышения эффективности контроля можно использовать диагностику состояния процесса по наличию неслучайных структур на картах обобщенной и эффективной дисперсий, подобно тому, как это делается на карте Хотеллинга [10, 11].
6. Заключение
Рассмотрены статистические инструменты диагностики состояния процесса по результатам контроля многомерного рассеяния. Показано, что чувствительность используемых на практике контрольных карт обобщенной и эффективной дисперсий недостаточна для обнаружения нарушений процесса.
Предложены методы повышения эффективности контроля и диагностики процесса,
основанные с одной стороны, на применении карт другого типа (кумулятивных сумм и
экспоненциально взвешенных скользящих средних на обобщенной и эффективной дисперсиях), с другой – на более тонком анализе используемых карт (с применением предупреждающей границы и анализом неслучайных структур)
Список литературы
1.
Клячкин В.Н. Модели и методы статистического контроля многопараметрического технологического процесса. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. 196 с.
2. Aparisi F., Jabaloyes J., Carrion A. Statistical properties of the |S| multivariate control chart // Comm. In
Statistics – Theory and Methods. 1999. Vol. 28, No. 11.
3. Carlos García-Díaz J. The ‘effective variance’ control chart for monitoring the dispersion process with missing data // European J. Industrial Engineering. 2007. Vol. 1, No. 1.
4. Клячкин В.Н. Статистические методы в управлении качеством: компьютерные технологии. М.: Финансы и статистика, ИНФРА-М, 2009. 304 с.
5. Андерсон Т. Введение в многомерный статистический анализ / Пер. с англ.; под ред. Б.В. Гнеденко.
М.: Физматгиз, 1963. 500 с.
6. Peña D., Rodríguez J., Descriptive measures of multivariate scatter and linear dependence // Journal of Multivariate Analysis. 2003. Vol. 85.
7. Клячкин В.Н., Святова Т.И. Статистический контроль технологического рассеяния в многопараметрическом процессе // Автоматизация и современные технологии. 2013. № 12. С. 22-25.
8. Клячкин В.Н., Кравцов Ю.А., Святова Т.И. Методы повышения эффективности многомерного статистического контроля // Наукоемкие технологии. 2013. № 5. С. 53-58.
9. Клячкин В.Н., Донцова Ю.С. Сравнительный анализ точности нелинейных моделей при прогнозировании состояния системы на основе марковской цепи // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2013. Т. 15, № 4 (4). С. 924-927.
10. Клячкин В.Н., Михеев А.Ю. Идентификация режима статистического контроля многопараметрического технологического процесса // Автоматизация и современные технологии. 2011. № 12. С. 27-31.
11. Клячкин В.Н., Кравцов Ю.А. Диагностика состояния объекта по наличию неслучайных структур на
контрольной карте // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2013. № 5. С. 44-50.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.