x - Школа №1

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ЖЕРДЕВСКАЯ ОСНОВНАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ
ФУНКЦИЯ
по учебнику «Алгебра и начала анализа 10-11»
под редакцией А.Н.Тихонова
учитель математики
Толстопятов В.В.
ТВВ
2
ВЫПИСКА ИЗ ТЕМАТИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
Преподавание по учебнику под редакцией А.Н.Тихонова,
«Просвещение», 2000 - 2006 г. – 3 урока в неделю.
Т3. Показательная функция.
11
12
13
14
Показательная функция, её свойства и график.
Показательные уравнения.
Показательные неравенства.
Системы показательных уравнений и неравенств.
Решение дополнительных задач.
Контрольная работа № 3.
Москва,
Количество
уроков
2
2
2
2
2
1
«Некоторые наиболее часто встречающиеся
виды трансцендентных функций, прежде
всего показательные, открывают доступ ко
многим исследованиям».
Л.Эйлер
Основная цель темы – познакомить учащихся с показательной
функцией; научить решать показательные уравнения и неравенства,
системы, содержащие показательные уравнения; привести в систему
сведения о степенях.
Прежде чем вводить понятие показательной функции, необходимо
повторить понятие функции, еѐ виды, особое внимание обратить на
степенную функцию.
ТВВ
3
Урок № 1. Показательная функция, еѐ свойства и график.
Цель урока:
 вспомнить и закрепить понятие функции, виды функций и их некоторые
свойства;
 напомнить свойства степени;
 напомнить понятие монотонности;
 дать определение показательной функции и еѐ свойства.
Ход урока.
1. Организационный момент (некоторые вопросы по работе над ошибками
из прошлой темы).
2. Вопросы мерцающего повторения.
Функция.
Зависимая и независимая переменная.
Виды функций, их свойства и графики.
3. Тема урока.
- Напомнить свойства степени:
Пусть a>0, b>0, x, x1, x2 – любые действительные числа. Тогда
a x1 a x 2
a x1
a x2
a x1
a x1
x2
a x1
x2
ab
x
ax bx
x
ax
bx
a
b
ax
0
a
1, x
a
1, x1
0
a
x2
a x1 x 2
0, a x
1
x2 , a x1
1, x1
a x2
x2 , a x1
a x2
ТВВ
4
Степенная функция
y
Показательная функция
p
x , где p – заданное
y
действительное число.
a x , где a – заданное число,
a 0, a 1.
- Построение графика, свойства показательной функции.
 график построить для двух функций y 3x , y
1
3
x
в одной системе
координат.
 рассмотреть смещение графиков:
y
ax
вверх
по оси ординат;
вниз
влево
- график смещается
по оси абсцисс.
вправо
m - график смещается
y ax
n
- Вопрос мерцающего повторения:
При каком значении a, a x 1 , при условии x 0 .
4. Решение задач: №№ 195 (1;2), 196 (1-4).
5. Домашнее задание: к следующему уроку - § 11, до конца изучения темы
(последний срок – пред контрольной работой) – любые 10 номеров (№№
246 – 265, I вариант – нечѐтные номера, например, 246 (1, 3), 247 (1, 3), II
вариант – чѐтные номера, например, 246 (2, 4), 247 (2, 4)).
6. Подведение итогов урока и проверочные вопросы для тех учеников,
которые отличились на уроке:
Какая функция называется показательной?
Выберите
из
предложенных
функций
показательные:
y
3
x 2
,y
3
x ,y
1
,y
x
2
2x , y
xx.
Конец урока.
Урок № 2. Решение Простейших показательных уравнений. Построение
графиков показательной функции.
Цель урока: - проверить знания учащихся свойств показательной функции;
- научить решать простейшие показательные уравнения;
- учить культуре оформления графиков.
Ход урока.
1. Организационный момент (некоторые вопросы домашней работы).
2. Вопросы мерцающего повторения.
Функция.
Область значений.
30 : 0,5.
ТВВ
5
Показательная функция.
Возрастающая функция.
Назовите показательную функцию с основанием
1 1
.
3 2
Назовите функцию обратную y x 2
Область определения показательной функции.
Уравнение
В какую степень нужно возвести число 3, чтобы получить 27?
3. Тема урока.
- Рассмотрим еѐ на некоторых примерах:
Найти точки пересечения графиков: 1) y 3x , y 81 , 2) y 2 x , y 2.
- Решение задач: №№ 197 (1, 4), 197 – 198 (устно).
- Построение графиков
Вопросы мерцающего повторения:
График функции.
Изобразить схематически график показательной функции при
a 1, a 1
Способы построения графиков.
Построить графики функций и описать их свойства: 1) y 3x 2 (опираясь на
график, построенный на уроке № 1), обратить внимание на экспликацию,
2).Постройте самостоятельно y 2 x 1 , 3) y 2 x .
4. Домашнее задание: § 11 (стр. 73).
5. Подведение итогов урока и проверочные вопросы для тех учеников,
которые отличились на уроке:
Способы решения уравнений.
Свойства показательной функции.
Выберите из предложенных графиков графики показательной
функции.
Конец урока.
Урок № 3. Показательные уравнения (с продолжением на элективных
курсах) (мини-лекция).
Цель урока: - проверить знания учащихся свойств степени;
- закрепить навыки решения простейшие показательные уравнения;
- показать способы решения показательные уравнения.
Ход урока.
1. Организационный момент (некоторые вопросы домашней работы).
2. Вопросы мерцающего повторения
Уравнение.
ТВВ
6
Корень уравнения.
Что, значит, решить уравнение?
Придумайте показательное уравнение со степенью, имеющей
основание 2.
Придумайте показательное уравнение, корень которого 2.
3. Тема урока.
ПОСТАРАЙТЕСЬ ПРЕДСТАВИТЬ ВСЕ СТЕПЕНИ С
НЕИЗВЕСТНЫМ В ПОКАЗАТЕЛЕ СТЕПЕНЬЮ С ОДИНАКОВЫМ
ОСНОВАНИЕМ.
1)
2 4x
4x
64, Нашли неизвестный множитель или разделили обе части на одно и тоже число.
32,
22x
Представили обе части в виде степени с одинаковым основанием.
Т.к. основания равны, то и показатели равны.
Найти неизвестный множитель.
25 ,
2x
5,
x
2,5.
Ответ: 2,5.
2)
2 3ч
2
2 3ч
2 3ч
2
24 1
23 x
2
15 30,
23 x
2
2
30,
30,
2,
3 x 2 1,
3 x 3,
Вынести за скобки степень с самым маленьким показателем.
Вычислить значение выражения в скобках.
Разделить обе части на одно и тоже число.
Т.к. основания равны, то и показатели равны.
Найти неизвестный множитель.
x 1.
Ответ: 1.
3)
32 x
1
3 3
2x
10 3 x
3 0,
x
10 3 3 0,
Пусть 3x a, a 0,
3a 2 10 a 3 0,
D 64,
1
a1 3, a 2
,
3
3 x 3, 3 x 1 ,
3
x 1;
x
1.
Ответ: 1.
Избавиться от суммы и разности в показателе, используя
свойства степени.
Выполнить замену, не забывая про условие.
Решить квадратное уравнение.
Проверить, выполняется ли условие?
ТВВ
7
4)
5x
5
2
42x 2 ,
x 2
4
5x 2
16 x 2
Представить обе части в виде степени с одинаковым показателем.
Разделить обе части на степень, стоящую справа (т.к. она не равна 0).
,
Представить 1 в виде степени с основанием как в левой части,
воспользоваться свойством степени.
1,
x 2
5
16
x 2
x
2 ( x 2)
0
5
16
,
Т.к. основания равны, то и показатели равны.
0,
2.
Ответ: 2.
5)
16 9 x
25 12 x
9 16 x
0,
Представили все степени в виде степени с самым
16 3
25 3 4 9 4
0,
маленьким основанием, заметив, что среднее
x
x
пусть a 3 , b 4 , a 0, b 0, основание есть произведение крайних оснований.
Выполнить замену, не забывая про условие.
16 a 2 25ab 9b 2 0, : b 2 ,
Разделить обе части на одну из степеней.
2
2x
a
b
16
пусть
16 y 2
D
x
25
9
0,
Выполнить замену, не забывая про условие.
Решить квадратное уравнение.
49,
3x
4x
x
a
b
2x
a
y , y 0,
b
25 y 9 0,
9
;
16
y1 1, y 2
3
4
x
3
4x
1,
x
0.
Проверить, выполняется ли условие.
3
4
0
3
4
,
x
x
9
,
16
x
3
4
2
,
2.
Ответ: 0; 2.
4. Домашнее задание: § 12, по одному показательному уравнению
(индивидуально) для каждого ученика из книги В.Н.Литвиненко,
А.Г.Мордковича «Практикум по элементарной математике» стр. 121 №№
723 - 770.
5. Подведение итогов урока и проверочные вопросы для тех учеников,
которые отличились на уроке:
Способы решения уравнений.
6. Объявление: Каждый четверг после шестого урока проводятся
дополнительные уроки (элективные курсы) по теме «Способы решения
показательных уравнений и неравенств».
Конец урока.
ТВВ
8
Урок № 4. Решение показательных уравнений.
Цель урока: - проверить знания учащихся свойств степени;
- закрепить навыки решения простейшие показательные уравнения;
- закрепить некоторые способы решения показательные уравнения.
Ход урока.
1. Организационный момент (некоторые вопросы домашней работы).
2. Вопросы мерцающего повторения
Уравнение.
Корень уравнения.
Что, значит, решить уравнение?
Способы решения показательных уравнений.
Запишите простейшее показательное уравнение с основанием
степени равным количеству цветов радуги.
Придумайте показательное уравнение, корнем которого является
количество стульев, в поисках которых погиб Остап Бендер.
3. Решение показательных уравнений (урок-тренировка).
Решение №№ 210(3), 211(3), 212(3), 213(3) с комментариями учеников.
Для продвинутых учеников №№ 224, 221.
4. Домашнее задание: § 12. Задание для участников «Математического
калейдоскопа».
5. Подведение итогов урока и проверочные вопросы для тех учеников,
которые отличились на уроке:
Способы решения показательных уравнений.
Конец урока.
Урок № 5. Решение показательных неравенств (мини-лекция).
Цель урока: - проверить знания учащихся свойств степени;
- закрепить навыки решения показательные уравнения;
- показать способы решения показательных неравенств.
Ход урока.
1. Организационный момент (некоторые вопросы домашней работы).
2. Повторение темы прошлого урока.
Выясните: какому промежутку принадлежат корни уравнения
52 x 7 x 52 x 17 7 x 17 0
1) 0;1 ;2)
2; 1 ;3) 0;1 ;4) 0;1 .
ТВВ
9
Решение:
5 2 x 1 17
5
16 5
2x
2x
x
7 x 1 17
7
x
0,
7 ,
Сгруппировать и вынести за скобку общий множитель.
Разделить обе части на одно и тоже число.
Разделить обе части на степень.
Приравнять показатели.
x
25
7
x 0.
0,
1,
Ответ: 3.
3. Тема урока.
- Напомнить, что такое неравенство.
Мини-лекция «Показательные неравенства».
Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств:
ax
ab , a x
bb .
Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания
показательной функции.
1. Если a n a m и a 1, то n m.
2. Если a n a m и 0 a 1, то n m.
Рассмотрим на примерах, обратив внимание на то, что способы решения
неравенств очень похожи на способы решения уравнений.
1)
53 x
1
53 x
5
3x 3
5
5
3x 3
1,
3
4
624,
1
Вынесем за скобки степень с самым маленьким показателем.
Разделим обе части на одно и тоже число.
Т.к. 5 1, то функция y 5t - возрастающая, значит можно
«отбросить» основания, сохранив знак неравенства для
показателей.
624,
3 x 3 0,
x 1.
Ответ:
2)
x
1
4
1
8
32
x2 1
Приведѐм неравенство к виду…
32 0,
Представим обе части неравенства в виде степени с одинаковым
основанием.
25 ,
Т.к. 2 1, то функция y 2t - возрастающая, значит можно
«отбросить» основания, сохранив знак неравенства для
показателей.
Решим квадратное неравенство методом интервалов.
2 x 3 x2 3
1
2
2
3x 2
2x 3
25 ;
2 x 8 0,
1
1 ;2 .
3
1
Ответ: 1 ;2 .
3
x
0,
2 x 3 x2 3
1
2
23x
;1 .
ТВВ
3)
10
1
2
x
x
1
. Какие функции можно увидеть слева и справа
2
от знака
неравенства.
Вопросы мерцающего повторения
Показательная функция, еѐ свойства и график.
Линейная функция, еѐ свойства и график.
x
Рассмотрим две функции: y
1
,y
2
x
1
.
2
y
1
1
x
Ответ: x 1
Обратить внимание учащихся на то, какие неравенства решаются графическим
способом, предложив им самим вначале попытаться ответить на этот вопрос.
4. Решаем любое неравенство, предложенное учениками.
5. Домашнее задание: § 13.
6. Подведение итогов урока и проверочные вопросы для тех учеников, которые
отличились на уроке:
Способы решения показательных неравенств.
Конец урока.
ТВВ
11
Урок № 6. Решение показательных неравенств (практика).
Цель урока: - проверить знания учащихся свойств степени;
- закрепить навыки решения показательные уравнения и
неравенств.
Ход урока.
1. Организационный момент (некоторые вопросы домашней работы).
2. Повторение темы прошлого урока.
Решение показательных неравенств.
Учащимся предлагается набор неравенств по вариантам:
- №№ 228 – 230 (все под № 3);
- №№ 231 – 235 (все под № 3);
- №№ 236 – 239 (все под № 3).
Уровни заданий – 3; 4; 5.
3. В середине урока учащиеся разбиваются на группы, соответственно
вариантам, и учитель предлагает группам ещѐ по оному заданию. Ученики,
решив его, выбирают лидера, который представляет решение на доске,
получая оценку. Если ученики группы не справились с неравенством, то им
помогает консультант более высокого уровня или учитель.
4. Упражнение на повторение.
Определите, какому промежутку принадлежит произведение корней уравнения:
9x
4 3x 3 0
1) 0;2 ;
2) 0;2 ;
3) 0,2 ;
4) нет
5. Домашнее задание: § 12 – 13. Повторить способы решения систем уравнений.
6. Подведение итогов урока.
Конец урока.
ТВВ
12
Урок № 7. Решение систем уравнений, содержащих показательные
уравнения.
Цель урока: закрепить навыки решения показательные уравнения систем.
Ход урока.
1. Организационный момент (некоторые вопросы домашней работы).
2. Проверка домашнего задания:
Найдите самое маленькое целое число, удовлетворяющее решению
1
4
неравенства
x
1
2
x
12. Ответ: -1.
Способы решения систем уравнений.
Способы решения показательных уравнений.
3. Рассмотрим вместе с учениками на примерах.
1) Способ подстановки.
1
,
9
2.
3x 2 x
y x
Ученик:
y x
y
2,
2 x
3x 22
x
1
,
9
В результате какого действия в показателе степени появляется +?
1
9
3x 2 x 4
Чему равно произведение степеней с одинаковым показателем?
6 , y
y
2.
x
3 2
x
2
2 2,
0.
Ответ: (-2; 0).
2) Способ сложения.
3x
5y
8,
3x 5 y
2.
В чѐм заключается способ сложения?
Решение:
3x
5y
3x
5y
2 3
3x
x
8,
2
3 5y
2,
y 1.
6,
3,
Ответ: (1; 1)
x 1.
3) Решает учитель.
3x 2 y
4,
3y 2x
9;
y
6 6
x
y
2 x 32
x
2x
32.
36,
6 x y 62 ,
y x 2,
Ответ: (0; 2).
ТВВ
13
4) Способ «замены».
3x
22 y
77,
2y
7.
x
32
Пусть a 2 y , b
3 x , тогда
b 2 a 2 77,
b a 7.
Ответ: (4; 1).
Упражнение на повторение № 1238 (3).
4. Домашнее задание: § 14. Повторить способы решения показательных
уравнений.
5. Подведение итогов урока.
Конец урока.
Урок № 8. Решение систем уравнений, содержащих показательные
уравнения.
Цель урока: закрепить навыки решения показательные уравнения и систем.
Ход урока.
1. Организационный момент (некоторые вопросы домашней работы).
2. Повторение темы прошлого урока.
Решение систем.
Учащимся предлагается набор упражнений по вариантам:
- №№ 240 – 242 (все под № 1);
- №№ 243 (1-4);
- №№ 244 – 245 (все под № 1).
Уровни заданий – 3; 4; 5.
3. В середине урока учащиеся разбиваются на группы, соответственно
вариантам, и учитель предлагает группам ещѐ по оному заданию. Ученики,
решив его, выбирают лидера, который представляет решение на доске,
получая оценку. Если ученики группы не справились с неравенством, то им
помогает консультант более высокого уровня или учитель.
4. Домашнее задание: § 14.
5. Подведение итогов урока.
Конец урока.
Урок № 9. Обучающая самостоятельная работа «Проверь себя».
Цель урока: обнаружить и ликвидировать пробелы в знаниях по изучаемой теме.
1. Организационный момент (некоторые вопросы домашней работы).
2. Вопросы мерцающего повторения.
Что такое уравнение?
Какие уравнения называются показательными?
ТВВ
14
Какие уравнения называются иррациональными?
Равносильные уравнения.
Показательная функция с основанием равным числу боковых граней
египетской пирамиды возрастающая или убывающая?
Назовите функцию обратную y 2 x.
Область определения показательной функции.
3. Проверь себя. Учащиеся делятся на группы, в каждой из которых
присутствует ученик уровня
, которые являются
консультантами. Приступаем к решению заданий.
I.
Построить схематически в одной системе координат графики функций
и опишите их свойства:
x
1
,2) y 5 x.
5
1) y
II.
Сравнить числа:
1
1)
5
III.
0, 2
1
и
5
0, 2
;2)5
и0,5
1, 2
.
Решить уравнения:
1)3 x
1
27 x 1 ;
2)0,2 x
3)2
2
4x 5
x 3
4)4 2
IV.
1, 2
2
1;
x 1
12;
5 2
x
2x
1 0.
Решите неравенства:
1)7 x
2
2)0,5 x
49;
2
2
1
.
4
4. Подведение итогов урока
5. Домашнее задание: следующий урок будет урок-консультация, поэтому
необходимо своим консультантам в группах предоставить вопросы,
вызывающие затруднение.
Конец урока.
ТВВ
15
Урок № 10. ПОВТОРЕНИЕ ТЕМЫ «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ».
Цель урока: вспомнить, обобщить знания основных свойств показательной
функции, напомнить учащимся некоторые способы решения задач.
ХОД УРОКА.
1)Устно: 22, 2в квадрате, 33, 3в кубе,…, 1211/2,…,11,…, 30, 00, ахаy.
Вопросы мерцающего повторения.
Какие уравнения называются показательными?
Какие уравнения называются иррациональными?
Равносильные уравнения.
Показательная функция с основанием равным числу обратному
частному от деления года Куликовской битвы на 10 возрастающая
или убывающая?
Назовите показательную функцию с самым маленьким целым
основанием.
Назовите показательные функции, основания которых простые
числа, находящиеся в первом десятке.
2)Свойства: запись на доске.
Почему свойства степени, а функция показательная?
3)Все эти свойства используются при решении уравнений, кстати,
1. Что такое уравнение?
2. Что значит решить уравнение?
4)Решить уравнение (устно) 4х=4.
Решить самостоятельно по вариантам:
1В. 3х+1=27х-2
2В. 2х+2х-3=18
3В. 2х-2х-22х/4=0.
5)Решим уравнение у доски (сборник под ред. М.И.Сканави)
3 16 x
2 81x
5 36 x.
6)Качественные оценки за самостоятельную работу.
7)Построение графика функции по точкам, координаты, которых являются
корнями уравнений (0;1), (1;2), (2;4), (3;8).
8)Достроить левую часть графика, перечислить свойства.
9)Какое из перечисленных свойств применяется при решении неравенств?
10)Решение показательного неравенства:
0,2 х 6 х 7 1 .
2
11) Итоги урока с контрольными вопросами.
ТВВ
12) Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, заполнить бланк
регистрации, которые сдаются ответственному ученику.
Урок № 11. Контрольная работа.
Цель урока: проверить знания и навыки учащихся по теме «Показательная
функция»;
преодолевать
психологический
стресс
при
заполнении
экзаменационных бланков.
Ход урока.
1. Учащиеся заполняют верхние части бланков по образцам на доске.
2. Учащиеся выполняют задания теста.
16
ТВВ
17
ТВВ
18
Тест № 3. Вариант № 10.
Часть 1.Из предложенных вариантов ответов выберите правильный
А1.
4x
1
25
5
2x 1
1) 0; 2) – 8; 3)
1
; 4) 0,125.
8
x
5 4 1) 0; 2) - 1;3; 3) - 1; 0; 4) Ø.
А2. 5
Часть 2. Для всех уравнений части В запишите правильный ответ
В1. Сравните
2
и 2
3,14
1
В2. Сравните
3
.
2
3
1
3
и
.
В3. Запишите самое маленькое целое значение x, удовлетворяющее
x
неравенству 0,3
2
6x
0,3 x .
Для каждого задания части С приведите решение уравнения:
С1. Постройте график функции
С2. Решите уравнение
y
1
2
x 1
и опишите еѐ свойства.
10 81x 9 225 x 9 625 x
0.
Тест № 3. Вариант № 20.
Часть 1.Из предложенных вариантов ответов выберите правильный
5x 1
4 2 x . 1) - 1; 2) 0; 3) 1 ; 4) 1; 5) другой ответ.
А1. 2
9
x
x 1
9 0 1) – 1,5; 2) 3; 3) 1; 4) Ø.
А2. 2 9 3
Часть 2. Для всех уравнений части В запишите правильный ответ
В1. Сравните
3
2
и
3 3.
В2. Сравните
1
2
5
и
1
2
3
.
В3. Запишите самое большое значение x, удовлетворяющее неравенству
2,7 x
2
4x
2,7 x .
Для каждого задания части С приведите решение уравнения:
С1. Решите графически
С2. Решите уравнение
2x
5x 1
2 x 3.
6 2 5x . .
Оценивание:
 А1-2 – по 1 баллу;
 В1-2 – по 2 балла;
 В3 - 3 балла;
 С1-2 - по 4 балла.
 «5» - более 11 баллов;
 «4» - от 8 до 10 баллов;
 «3» - от 5 до 7 баллов.