8 класс

Заочный тур девятой открытой Краевой олимпиады школьников по
геометрии им. проф. С.А. Анищенко
8 класс
1. В квадрате ABCD точка М принадлежит диагонали АС, причем
АМ=АВ; НМ ⊥ АС, Н∈ВС. Докажите, что ВН=НМ=МС.
2. Из одной вершины остроугольного неправильного треугольника
проведена высота, из другой – медиана, из третьей – биссектриса. Докажите,
что если пересечения этих отрезков являются вершинами треугольника, то он
не может быть равносторонним.
3. Из
вершины
равнобедренного
прямоугольного
треугольника
проведена биссектриса, разбивающая катет на отрезки, которые служат
сторонами квадратов. Докажите, что площадь одного из них в два раза
больше площади другого.
4. Каждая
диагональ
четырехугольника
разбивает
его
на
два
равнобедренных треугольника. Верно ли, что этот четырехугольник – ромб?
Ответ обоснуйте.