2014

Геометрия и алгебра
Экзаменационные вопросы
Группы 81-01–81-02
1. Поле комплексных чисел: операции над комплексными числами в алгебраической форме записи.
2. Тригонометрическая форма записи и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Умножение и
деление комплексных чисел в тригонометрической записи. Формула Муавра.
3. Извлечение корня натуральной степени из комплексных чисел.
4. Числовые кольца и поля.
5. Многочлены. Сложение и умножение многочленов. Свойства операций. Деление с остатком. Делимость.
6. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Коэффициенты Безу. Расширенный алгоритм Евклида
7. Взаимно простые многочлены. Критерий. Свойства.
8. Деление на линейный множитель. Теорема Безу. Схема Горнера
9. Корни многочлена. Кратность корня. Производная многочлена. Корни производной.
10. Основная теорема алгебры (без доказательства). Разложение на линейные множители. Единственность
разложения. Разложение на линейные и квадратичные множители многочлена с вещественными
коэффициентами.
11. Формулы Виета.
12. Интерполяционный многочлен. Существование и единственность. Интерполяционный многочлен в
форме Лагранжа.
13. Неприводимые многочлены над полем. Существование и единственность разложения многочленов на
неприводимые множители. Освобождение от кратных множителей.
14. Отыскание рациональных корней многочлена с целыми (рациональными) коэффициентами.
15. Неприводимость многочленов над полем рациональных чисел. Примитивные многочлены. Лемма
Гаусса.
16. Признак Эйзенштейна неприводимости многочленов над кольцом целых чисел.
17. Алгоритм Кронекера разложения многочлена над кольцом целых чисел.
18. Геометрические векторы. Линейные операции над ними. Коллинеарные и компланарные векторы.
Базис. Аффинная (общая декартова) и прямоугольная системы координат. Деление отрезка в заданном
отношении.
19. Скалярное произведение геометрических векторов. Его свойства. Выражение скалярного произведения
через координаты в ортонормированном базисе.
20. Векторное и смешанное произведения. Их свойства. Выражение смешанного произведения через
координаты векторов. Выражение векторного произведения через координаты векторов в
ортонормированном базисе.
21. Метод Гаусса и метод Жордана–Гаусса решения систем линейных уравнений.
22. Линейное (векторное) пространство. Примеры (геометрические радиус-векторы, арифметическое
пространство, пространство многочленов). Простейшие следствия из аксиом.
23. Подпространство, его критерий. Линейная оболочка системы векторов. Линейная оболочка –
минимальное подпространство, содержащее данные векторы.
24. Линейная комбинация и линейная выразимость. Транзитивность отношения линейной выразимости.
Эквивалентные системы векторов, критерий эквивалентности.
25. Линейные зависимость и независимость системы векторов. Критерий линейной зависимости.
26. Лемма о замене.
27. База и ранг системы векторов. Существование базы у конечной ненулевой системы.
28. Конечномерное пространство, его базис и размерность. Эквивалентные определения: базис –
максимальная линейно независимая система, базис – минимальная полная система.
29. Координаты векторов линейного пространства. Их свойства.
30. Размерность пространства геометрических радиус-векторов.
31. Изоморфизм линейных пространств. Критерий изоморфности.
32. Размерность подпространства конечномерного пространства. Сумма и пересечение подпространств.
Связь размерностей суммы и пересечения подпространств.
33. Прямая сумма подпространств. Критерий прямой суммы.
34. Матрицы. Определения и свойства операций A + B, αA, A⋅B, AT. Действия с матрицами, разбитыми на
блоки.
35. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса их решения.
36. Понятия столбцового и строчечного ранга матрицы. Их эквивалентность.
37. Критерий Кронекера–Капелли существования решения системы линейных уравнений.
38. Пространство решений системы линейных однородных уравнений. Его базис (фундаментальная
система решений) и размерность.
39. Описание множества решений системы линейных неоднородных уравнений. Линейное многообразие.
40. Задание линейного подпространства/многообразия в виде множества решений системы линейных
уравнений.
41. Прямые и плоскости, их общие и параметрические уравнения.
42. Нахождение расстояния между точкой и прямой на плоскости, между точкой и плоскостью.
43. Нахождение расстояния между точкой и прямой в пространстве. Нахождение расстояния между
скрещивающимися прямыми.
44. Изменение координат вектора при замене базиса. Матрица перехода.
45. Изменение координат вектора при замене системы координат.