Download (PDF, 463KB)

http://www.zachet.ru/
Контрольное задание №5
Задача 5.5. Построить полигон относительных частот по данным вариационного ряда
( n  110 ):
xi 2 3 6 7 10 12
mi
8 10 32 45 13
2
Решение.
xi
2
3
6
7
10
12
mi
8
10
32
45
13
2
i 
mi
n
0.073 0.091 0.291 0.409 0.118 0.018
Полигон относительных частот:
Задача 5.6. Построить гистограмму относительных частот по данным распределениям
выборки объема n  100 :
i xi  X  xi1 mi
1
–2–2
5
2
2–6
25
3
6–10
40
4
10–14
12
5
14–16
18
Решение.
i
xi  X  xi1
mi
1
2
3
4
5
–2–2
2–6
6–10
10–14
14–16
5
25
40
12
18
mi
n
0.05
0.25
0.40
0.12
0.18
i 
http://www.zachet.ru/
Гистограмма относительных частот:
Задача 6.5. Выручка B в магазине от продажи обуви составила соответственно по месяцам
следующие значения (млн. руб.):
Месяц 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
0,2
0,5
0,4
0,2
0,4
0,5
0,2
0,2
0,4
0,5 0,4 0,2
B
Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию.
Решение.
Выборочная средняя M B 
1 n
1
Bi  0.2  0.5  0.4    0.4  0.2  0.34167 .

n i1
12
Выборочная дисперсия
1 n
1
2
0.2  0.341672  0.5  0.341672    0.2  0.341672  0.0158 .
DB   Bi  M B  
n i1
12


Задача 6.6. При условии равномерного распределения случайной величины X произведена
выборка:
xi 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
ni 21 16 15 26 22 14 21 22 18 25
Найти оценку параметров a и b , где a  x1 и b  x2 .
Решение.
1 n
1
3  21  5 16    21 25  12.31 .
xi ni 

N i1
200
1 n
1
2
3  12.312  21    21  12.312  25  33.7839 .
Дисперсия Dx   xi  M x  ni 
N i1
200
Математическое ожидание M x 


b  a  .
ab
и DX 
2
12
2
Для равномерно распределенной величины MX 
http://www.zachet.ru/
ab

MX  2  12.31
Получим систему уравнений: 
. Тогда отсюда a  2.24 , b  22.38 .
2
 DX  b  a   33.7839

12
Задача 6.7. Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения
1
f x  
e
 2
  x a 2
2 2
. Известно, что   Dx , a  M x . Произведена выборка:
xi
3 5
7
9
11 13 15
ni 6 9 16 25 20 16 8
Найти оценку параметра a и несмещенную оценку параметра  .
Решение.
1 7
1
3  6  5  9    15  8  9.48 ,
a~   xi ni 
N i1
100
1 7
xi  a 2 ni  1 3  9.482  6    15  9.482  8  10.35 , ~  10.35  3.22 .
~ 2 

N  1 i1
99


Задача 6.12. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Статистическое
распределение выборки представлено в таблице:
xi 3 5 7 8 10 12 14
ni 3 7 4 6 7 5 8
Найти с надежностью 0.97 доверительный интервал для оценки математического ожидания
и с надежностью 0.95 – для оценки среднего квадратического отклонения.
Решение.
Доверительный интервал для математического ожидания
S2
S2
a~  t1 n  1 
 a  a~  t1 n  1 
, где
n
n
2
2
1 4
1
3  3  5  7    14  8  9.05 ;
a~   xi ni 
N i1
40
1 4
1
2
3  9.052  3  5  9.052  7    14  9.052  8  12.3475 .
S 2   xi  a~  ni 
N i1
40
  0.97 , t1 n  1  t0.98539  2.252 .
ZACHET.RU


2
Тогда 9.05  2.252 
12.3475
12.3475
 a  9.05  2.252 
, 7.80  a  10.30 .
40
40
Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения: S 
  0.95 , 
2
1
2
n  1  
2
0.025
39  23.654 ,  n  1  
2
1
2
2
0.975
39  58.120 .
n 1

2
1
2
 S  S
n 1
 12
2
.
http://www.zachet.ru/
Тогда 12.3475 
39
39
, 2.88  S  4.51 .
 S  12.3475 
58.120
23.654
Задача 7.1. Средний диаметр подшипников должен составлять 35 мм. Однако для выборки
из 82 подшипников он составил 35.3 мм при выборочном среднем квадратическом
отклонении 0.1 мм. При 5%-м уровне значимости проверить гипотезу о том, что станок, на
котором изготавливают подшипники, не требует подналадки.
Решение.
Для решения данной задачи необходимо проверить гипотезу о том, что неизвестная
генеральная средняя нормальной совокупности точно равна числовому значению, когда
дисперсия генеральной совокупности известна.
Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
H 0 : a  a0  35 – неизвестная генеральная средняя равна числовому значению (диаметр
подшипников соответствует норме).
H1 : a  35 – неизвестная генеральная средняя больше числового значения (диаметр
подшипников больше установленной нормы, станок требует подналадки).
x  a0
35.3  35
n
82  27.17 .
Наблюдаемое значение критерия U набл 

0.1
1  2   1  2  0.05
Критическое значение находим из условия  0 U кр  

 0.45 , U кр  1.645 .
2
2
Так как U набл  U кр , то на данном уровне значимости нулевая гипотеза отвергается в пользу
конкурирующей. По имеющимся данным с более чем 95%-ой надежностью можно
утверждать, что средний диаметр подшипников превышает норму. Следовательно, станок
требует подналадки.
Задача 7.9. Производительность каждого из агрегатов A и B составила (в кг вещества за час
работы):
Номер замера
1
2
3
4
5
Агрегат А
14,1 13,1 14,7 13,7 14,0
Агрегат В
14,0 14,5 13,7 12,7 14,1
Можно ли считать производительность агрегатов A и B одинаковой в предположении, что
обе выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей, при
уровне значимости   0.1?
Решение.
Для решения данной задачи необходимо сравнить 2 средние нормально распределенных
генеральных совокупностей, генеральный дисперсии которых неизвестны.
Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
H 0 : x  y – производительность агрегатов A и B одинакова.
H1 : x  y – производительность агрегата A больше производительности агрегата B .
1 5
1 5
1 5
2
x   xi  13.92 , ~
Вычислим ~
y   yi  13.8 , sx2   xi  ~
x   0.342 ,
5 i1
5 i1
4 i1
1 5
2
s y2    yi  ~
y   0.460 .
4 i1
http://www.zachet.ru/
Приступать к проверке гипотезы о равенстве генеральных средних 2 нормально
распределенных совокупностей с неизвестными дисперсиями можно лишь в том случае, если
генеральные дисперсии равны. В противном случае, данная задача в теории неразрешима.
Поэтому, прежде чем проверять эту гипотезу, проверим гипотезу о равенстве генеральных
дисперсий нормальных совокупностей.
Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию задачи.
H 0 : D X   DY  – генеральные дисперсии 2 нормально распределенных совокупностей
равны.
H1 : D X   DY  – генеральная дисперсия для Y больше генеральной дисперсии для X .
Выдвигаем правостороннюю конкурирующую гипотезу, так как исправленная выборочная
дисперсия для Y значительно больше, чем исправленная выборочная дисперсия для X .
Так как конкурирующая гипотеза – правосторонняя, то и критическая область –
правосторонняя.
В качестве критерия для сравнения 2 дисперсий нормальных генеральных совокупностей
используется случайная величина F критерий Фишера-Снедекора.
s y2 0.460
Его наблюдаемое значение рассчитывается по формуле f набл  2 
 1.345 .
sx 0.342
Критическое значение f кр  , n  1, n  1  f кр 0.1,4,4  4.11 .
Так как f кр  f набл , то на данном уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей.
Следовательно, можно приступить к проверке гипотезы о равенстве генеральных средних
двух нормально распределенных совокупностей.
В качестве критерия для проверки этой гипотезы используется случайная величина
t  критерий Стьюдента.
Его наблюдаемое значение рассчитывается по формуле
~
nx n y nx  n y  2
x~
y
13.92  13.80
5  5  5  5  2
tнабл 

 0.3 .
2
2
nx  n y
55
4  0.342  4  0.460
nx  1sx  ny  1s y
Критическое значение tкр  , nx  ny  2  tкр 0.1, 8  1.4 .
Так как tкр  tнабл , то на данном уровне значимости нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу о равенстве производительностей агрегатов A и B .
http://www.zachet.ru/
Задача 7.12. Масса (в граммах) произвольно выбранных 30 пачек полуфабриката «Геркулес»
такова: 503, 509, 495, 493, 489, 485, 507, 511, 487, 495, 506, 504, 507, 511, 499, 491, 494, 518,
506, 515, 487, 509, 507, 488, 495, 490, 498, 497, 492, 495.
Можно ли при уровне значимости   0.05 утверждать, что случайная величина X – масса
пачки – подчинена нормальному закону распределения?
Решение.
Разобьем ряд на k  1  3.32 lg n  1  3.32 lg 30  6 интервалов. Величина интервала
x  xmin 518  485
h  max

 6.
k
6
Получим интервальный ряд:
Интервал
484;490 490;496 496;502 502;508 508;514
487
493
499
505
511
Середина интервала, zi
514;520
517
ni
6
8
3
7
4
2
i
0.2
0.267
0.1
0.233
0.133
0.067
Найдем математическое ожидание:
6
M z   zi  i  487  0.2  494  0.267    517  0.067  499.2 ;
i 1
6
дисперсию Dz   zi  M z   i  487  499.2  0.2    517  499.2  0.067  87.56 .
2
2
2
i 1
f x  
  x  a 2
1
2
e 2 , где a  M z  499.2 ,   Dz  9.36 .
 2
Найдем вероятности попадания случайной величины в интервалы.
1   490  a 
 484  a   1
P484  X  490   
  
    0.695   1.149 
2   2 
  2  2
1
 0.674  0.896  0.111.
2
1   496  a 
 490  a   1
P490  X  496   
  
    0.242   0.695 
2   2 
  2  2
1
  0.268  0.674  0.203 .
2
1   502  a 
 496  a   1
P496  X  502   
  
   0.212   0.242 
2   2 
  2  2

1
0.235  0.268  0.251.
2
1   508  a 
 502  a   1
P502  X  508   
  
   0.665  0.212 
2   2 
  2  2
1
 0.653  0.235  0.209 .
2

http://www.zachet.ru/
1   514  a 
 508  a   1
P508  X  514   
  
   1.118  0.665 
2   2 
  2  2
1
 0.886  0.653  0.117 .
2
1   520  a 
 514  a   1
P514  X  520   
  
   1.572  1.118 
2   2 
  2  2
1
 0.974  0.886  0.044 .
2
6
 0.1  0.1112 0.267  0.2032 0.1  0.2512

i  pi 2
2
Найдем величину   n  
 30  



pi
0.111
0.203
0.251
i 1

2
2
2

0.233  0.209 0.133  0.117  0.067  0.044 
  5.969 .




0.209
0.117
0.044

2
2
Из таблицы возьмем значение  , r  0.05,3  7.815 , где   0.05 – уровень значимости,
r  l  t  6  3  3 – число степеней свободы ( l – число интервалов, t  3 – число условий).
Т.к.  2   02.05,3 , то гипотеза о нормальном распределении принимается.
Задача 8.1. С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на пяти
однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня
месячной зарплаты X и числа уволившихся за год рабочих Y :
X 100 150 200 250 300
60 35 20 20 15
Y
Найти линейную регрессию Y на X и выборочный коэффициент корреляции.
Решение.
Линейная регрессия Y на X задается уравнением y x  y  rxy 
1 5
1
xi   100  150  200  250  300  200 .

n i1
5
5
1
1
y   yi   60  35  20  20  15  30 .
n i1
5
5
1
1
 x2   xi  x 2   100  2002    300  2002  5000 .
n i1
5
5
1
1
 y2    yi  y 2   60  302    15  302  270 .
n i1
5
Ковариация Cxy  M  XY   x  y .
x




1 5
1
xi yi   100  60  150  35    300 15  4950 .

n i1
5
Cxy  M  XY   x  y  4950  200  30  1050 .
M  XY  
y
x  x  .
x
http://www.zachet.ru/
Коэффициент корреляции rxy 
Тогда y x  y  rxy 
Cxy
 x y

 1050
 0.904 .
5000  270
y
x  x  после подстановки примет вид yx  30  0.904  270 x  200,
x
5000
yx  0.21x  72 .
Задача 8.5. Найти уровень регрессии Y на X
xi
5 10
yi
14
4 6
24
– 8
34
– –
44
– –
по данным:
15 20 25 30
– 8
10 –
32 –
4 12
–
6
–
6
4
–
–
–
Решение.
Линейная регрессия Y на X задается уравнением y x  y  rxy 
y
x  x  .
x
1 6
1
xi ni 
 5  4  10 14  15  46  20  20  25 12  30  4  16.7 .

n i1
100
1 4
1
y   yj 
 14  22  24  24  34  32  44  22  29.4 .
n j 1
100
x


1 6
xi  x 2 ni  1  5  16.72  4  10  16.72 14    30  16.72  4  30.61.

n i1
100
4
1
1
2
2
 y2   y j  y 2 n j 
 14  30.61  22    44  30.61  22  112.84 .
n j 1
100
Ковариация Cxy  M  XY   x  y .
 x2 


1 4 6
1
xi y j nij 
 5 14  4  10 14  6  10  24  8  15  24 10  15  34  32  15  44  4 

n j 1 i1
100
 20 14  8  20  44 12  25  24  6  25  44  6  30 14  4  502.8 .
Cxy  M  XY   x  y  502.8  16.7  29.4  11.82 .
M  XY  
Коэффициент корреляции rxy 
Тогда y x  y  rxy 
Cxy
 x y

11.82
 0.2 .
30.61  112.84
y
x  x  после подстановки примет вид yx  29.4  0.2  112.84 x  16.7 ,
x
30.61
yx  0.384 x  22.99 .
http://www.zachet.ru/
Задача 9.2. В трех филиалах одного из банков были организованы три уровня различных
услуг клиентов. После этого в течение шести месяцев измерялись объемы вкладов X (тыс.
руб.). Данные приведены в таблице. Проверить нулевую гипотезу о влиянии организации
услуг на объемы вкладов при уровне значимости 0.05 .
Уровни фактора
Номер измерения
3
1  2
1
10
17
14
2
15
15
18
3
14
25
30
4
18
22
27
5
20
30
34
6
16
28
40
Решение.
Общее число наблюдений составило N  6  3  18 .
5
Дополним таблицу данными x j   xij ; n j – количество испытаний на каждом факторе:
i 1
Уровни фактора
Номер
3
измерения 1  2
1
10
17
14
2
15
15
18
3
14
25
30
4
18
22
27
5
20
30
34
6
16
28
40
xj
93 137 163
nj
6
6
6
2
1 3 
Введем вспомогательные формулы: Q1   x , Q2   , Q3    x j  .
N  j 1 
j 1 n j
i 1 j 1
6
3
3
2
ij
Тогда дисперсии вычисляются по формулам S A2 
6
x 2j
Q2  Q3
Q  Q2
2
 1
и Sост
.
m 1
N m
3
Найдем Q1   xij2  102  17 2  142  152  152    282  402  9713 ;
i 1 j 1
2
j
3
x
j 1
nj
Q2  

932 137 2 1632


 8997.83 ;
6
6
6
93  137  163  8580.5 .
1 3 
Q3    x j  
N  j 1 
18
Подставив полученные значения в формулы дисперсий, получим:
8997.83  8580.5
9713  8997.83
2
S A2 
 208.67 , Sост

 47.68 .
3 1
18  3
2
2
http://www.zachet.ru/
S A2
208.67

 4.38 .
2
Sост
47.68
Для уровня значимости   0.05 со степенями свободы k1  m  1  3  1  2 и
k2  N  m  18  3  15 : F0.05, 2,15  3.682 .
Отсюда
S A2
 F0.05, 2,15 , то нулевую гипотезу о равенстве групповых средних не принимаем,
2
Sост
т.е. на объемы вкладов оказывает влияние организация услуг.
Так как
Если данная работа оказалась полезной для вас, то мы были бы признательны вам
за небольшую финансовую поддержку нашего проекта http://www.zachet.ru/donate/