Расчет статически неопределимых систем методом сил

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
1
ЛЕКЦИЯ 23 Расчет статически неопределимых систем методом сил
(продолжение)
1 Примеры решения задач
1.1 Раскрытие статической неопределимости один раз статически
неопределимой рамы
Дано:
P, a, EI = const
Необходимо:
построить
эпюры
внутренних силовых факторов
Решение
1.
Устанавливаем
степень
статической неопределимости
m = 4,
2.
Выбираем основную систему
ОС
3.
Создаем эквивалентную систему
ЭС
n = 3,
k = 1.
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
2
4.
Составляем каноническое уравнение:
f верт т.В  11 X 1  1P  0 .
5.
Для определения коэффициентов 11 и 1P строим грузовую и
вспомогательную системы:
Грузовая система
6.
№
Вспомогательная система
Уравнения внутренних силовых факторов сводим в таблицу:
Длина участка
M y P x 
M y x 
I
0<x<a
 Px
0
II
0<x<a
0
0
III
0<x<a
 P( x  a)
х
п/п
7.
Строим
эпюры
изгибающих
моментов
грузовой
вспомогательной систем:
8.
Вычисляем коэффициенты канонических уравнений:
и
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
1
11 
EI y
3
3
aa 2  1 a

0

0

0

0
a 
– способом Верещагина

2 3  3 EI y
a
a
a
3

1 
5 Pa

 Px   0dx   00dx    Px  a xdx  
1P 
EI y  
6 EI y

0
0

0
–
методом
нахождения
лишней
Мора.
Подставляя в каноническое уравнение по п.4, получаем:
3
3
1 a
5 Pa
 0 , X 1  2,5P .
X1 
3 EI y
6 EI y
9.
Далее продолжаем работу с системой:
Заметим,
что
после
неизвестной X 1 эквивалентная система становится
статически определимой.
10. Построим
эпюры
внутренних
силовых
факторов:
M yI  x    Px x 0  0 x 0   Pa,
M yII  x   0,
M yIII  x    P  a  x   X1  x x 0   Pa x  a  22 Pa  2,5 Pa  0,5 P
(*)
Эпюры имеют вид:
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
4
11.
Проверка правильности решения.
(а) проверка равновесия в узле:
(б) определение заведомо равного нулю перемещения с
использованием новой основной системы и построенной эпюры M y  x  в
качестве грузовой.
Замечание Новую основную систему необходимо выбрать так, чтобы в
числе отбрасываемых лишних связей была обязательно освобождена
связь на искомое перемещение.
В нашем случае новой
основной системе
соответствует новая
эквивалентная
Очевидно, что новую эквивалентную систему
описывают уравнения (*).
Для определения угла поворота на левой
опоре новой эквивалентной системы ЭС ІІ
необходимо, согласно методу Мора, представить
ее в качестве грузовой, а в качестве единичной
системы рассмотреть следующую:
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
Для единичной системы: R A 
I
5
1
1
, RB  .
a
a
III
II
M y x   0 ; M y x   0 ; M y
x    1 x .
a
Искомый угол поворота определяется по методу Мора следующим
образом:
a
a
a

1 
I
I
II
II
III
III
A 
M y  x M y  x dx   M y  x M y  x dx   M y  x M y  x dx  
EI y  

0
0
0

1
a
a
1 
x 






Px

0

dx

0

0

dx


Pa

Px

X
x
dx 
1


EI y  
a 
0
0
0


2 a
3a
3 a
2
2
3
X1 x 
1  Pa x
Px
1  Pa
Pa
5a 

  0.







EI y  a 2
a 3
a 3  EI y  2
3
6 



0
0
0 
1.2 Раскрытие статической неопределимости дважды статически
неопределимой плоской рамы
Дано:
P, a, EIy = const
Необходимо:
построить
эпюры
внутренних силовых факторов
Решение
1.
Устанавливаем
степень
статической неопределимости системы
m = 5,
n = 3,
k = 2.
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
6
2.
Выбираем основную систему
3.
Создаем эквивалентную систему
4.
Составляем систему канонических уравнений (не забыли,
почему их два?!):
 f гор . т.В  11 X 1  12 X 2  1P  0 ,

 f верт. т.В   21 X 1   22 X 2  1P  0.
(1)
Напомним, что коэффициенты канонических уравнений по своей сути
являются перемещениями. Необходимо усвоить, что в данном случае
а) 11  X 1 – горизонтальное перемещение точки В, вызванное неизвестной
пока силой X 1 , а 11 – горизонтальное перемещение точки В, вызванное
единичной по величине силой X 1  1, приложенной в той же точке и в том
же направлении, что и X 1 ;
б) 12  X 2 – горизонтальное перемещение точки В, вызванное неизвестной
пока силой X 2 , а 12 – горизонтальное перемещение точки В, вызванное
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
7
единичной по величине силой X 2  1 , приложенной в той же точке, что и
X2;
в) 1P – горизонтальное перемещение точки В, вызванное внешними
силами, т.е. силой Р.
г)  21  X 1 – вертикальное перемещение точки В, вызванное неизвестной
пока силой X 1 , а  21 – вертикальное перемещение точки В, вызванное
единичной по величине силой X 1  1;
д)  22  X 2 – вертикальное перемещение точки В, вызванное неизвестной
пока силой X 2 , а  22 – вертикальное перемещение точки В, вызванное
единичной по величине силой X 2  1 ;
е)  2 P – вертикальное перемещение точки В, вызванное внешними силами.
5.
Определим коэффициенты канонических уравнений. Для этого
строим грузовую и две вспомогательные системы.
6.
Записываем уравнения внутренних силовых факторов грузового
и двух единичных состояний. Сводим их в таблицу для облегчения
последующих вычислений. В учебных целях все коэффициенты определим
методом Мора и способом Верещагина:
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
8
№
Длина участка
M y P x 
M y1  x 
M y2 x 
I
0<x<a
–Pх
0
0
II
0<x<a
0
–х
0
III
0<x<a
–P(x+a)
–a
х
п/п
(а)
определение 11 , 12 ,  22 , 1P ,  2 P методом Мора.
a
a
a

1 
11 
0  0  dx    x  x dx    a  a dx  
EI y  

0
0
0

1

EI y
 4 a3
 a3
3
 a 
,
 3 EI y
 3
a
a
a
3

1 
a
12   21 
0  0  dx    x   0 dx    a  x dx   
,
EI y  
2 EI y

0
0
0

a
a
a
 a3
1 
 22 
0  0  dx   0  0  dx    x  x dx  
,
EI y  
 3EI
0
0
0

a
a
a
 3Pa 3
1 
 Px   0  dx   0   x  dx   Pax  a dx  
1P 
,
EI y  
 2 EI y
0
0
0

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
9
a
a
a
3

1 
5
Pa
 Px   0  dx   0  0 dx    Px  a x dx   
 2P 
.
EI y  
6 EI y

0
0
0

(б) определение 11 , 12 ,  22 , 1P ,  2 P способом Верещагина.
1
11 
EI y
1
 22 
EI y
1
 21  12 
EI y
1
1P 
EI y
1
 2P 
EI y
3
aa 2

 4 a
0

0

a

a

a

0

  3 EI ,
2 3
y
3
aa 2  1 a

a 
0

0

0

0

,

2 3  3 EI y
3
aa
aa
1 a




a
0

0


0




,


2
2
2 EI y
2
 3 Pa 3
 Pa 2
Pa
2

0  0
 a  Pa  a  
,
2
 2 EI y
 2
2
 Pa 2
 5 Pa 3
Pa  2 
2 a 

0  00 
.
  a   Pa    
2  3 
 2  6 EI y
 2
Подставляя в (1), получим:
3
X1   P ,
7
X2 
13
P.
7
(3)
На этом раскрытие статической неопределимости системы закончено.
7. Далее проводим расчет следующей системы:
Построим
эпюры
внутренних
силовых
факторов. Для этого запишем их уравнения на
каждом из участков:
I-I:
0 xa
I
N y x   0 ;
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
10
I
Qz x    P ;
I
M y  x    Px x  0  0 x  a   Pa ;
0 xa
II-II:
II
N y x    X 2  
13
P;
7
3
II
Qz x    X 1   P ;
7
3
II
M y  x   X 1x x  0  0 x  a  Pa ;
7
III-III:
0 xa
III
Ny
III
Qz
III
My
x    X1   3 P ;
7
x   P  X 2  P  13 P   6 P ;
7
x    Px  a   X1a  X 2 x x  0   Pa  3 Pa   4 Pa x  a  2 Pa .
7
Эпюры имеют вид:
12.
7
Проверка правильности решения.
7
7
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
11
(а) проверка равновесия в узле:
(б) определение
заведомо
равного
нулю
перемещения
с
использованием новой основной системы и построенной эпюры M y  x  в
качестве грузовой.
Определим, например, заведомо равный
нулю угол поворота на левой опоре. Для этого,
как нам уже известно из предыдущего примера,
необходимо выбрать новую основную систему,
причем так, чтобы при отбрасывании лишних
связей была освобождена именно связь на то
перемещение, которое предстоит определять. В
нашем случае это будет, например, угол поворота
на левой опоре.
Этой новой основной системе соответствует
новая
эквивалентная,
показанная на рисунке.
Очевидно, что новую эквивалентную систему описывают полученные
в п.7 уравнения внутренних силовых факторов. Поэтому нам известна
2
величина момента X 3  Pa .
7
Если подставить перед собой задачу определить угол поворота на
левой опоре А в новой эквивалентной системе (Вам понятно, что он
заведомо равен нулю?!), то в соответствии с методом Мора для этого
12
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
необходимо рассмотреть заданную систему в качестве грузовой и
единичную систему такого вида, как на рисунке.
Опорные
реакции
определяются
из
уравнений равновесия и равны
RB 
1
,
a
RA 
1
.
a
Уравнения внутренних силовых факторов
этого единичного состояния имеют вид:
I
II
III
M y x   0 ; M y x   0 ; M y
x    1 x .
a
Внимание Помните, что для записи этих уравнений единичное
состояние надо разбить на участки точно так, как были разбиты
первая и вторая эквивалентные системы.
Искомый угол поворота определим следующим образом
a
a
a

1 
I
I
II
II
III
III
A 
M y  x M y  x dx   M y  x M y  x dx   M y  x M y  x dx  

EI y 

o
0
0

a
a
a
1 

  Px   0  dx   X 1  x  0  dx    Pa  x   X 1  a 
EI y  
0
0
0
 x 
 X 2  x    dx  
a 
2
2
a 
Px
x  

dx  X 1  xdx  X 2  dx  
   Pxdx 
a
a  

0 
 

2 a
3a
2 a
3 a
X x 
1 
x
Px
x

P

 X1
 2


2
2
EI y
a 3
a 3 

0
0
0
0 
1

EI y
2
2

1  Pa
3
Pa
2 13
2



 Pa  Pa   0 .
3
14
21
EI y  2

