Производная функции одной переменной

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Производная функции одной
переменной
Методические указания и варианты заданий для самостоятельной
работы студентов I курса, обучающихся по программе бакалавриата
Москва 2013
2
УДК 512.91 (07)
ББК 22.143я73
Т 45
Ассеева Е.Е., Ворожейкина О.М., Гусакова Т.А.,
Петелина В.Д.,Фриштер Л.Ю.
Производная функции одной переменной. Методические
указания / «Моск. гос. строит. ун-т». – Москва: МГСУ, 2013. – с.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по программе
бакалавриата по направлению 270800 «Строительство» и студентов,
обучающихся по специальности 271101 «Строительство уникальных
зданий и сооружений
3
Приращением функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 называется
разность значений функции ∆𝑦 = 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥0 , если
аргументу в точке 𝑥0 дано приращение ∆𝑥.
Производной функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 называется
предел отношения приращения функции к приращению аргумента
при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот
предел существует:
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0 )
∆𝑦
𝑓 ′ 𝑥0 = lim
= lim
.
∆𝑥→0
∆𝑥→0 ∆𝑥
∆𝑥
Таблица производных функций
1.
2.
𝐶
𝑥𝛼
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
= 0, 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡;
′
= 𝛼 ∙ 𝑥 𝛼−1 , 𝛼 ∈ 𝑅,
′
𝑥
′
= 1,
𝑥
′
=
1
2 𝑥
1 ′
1
=− 2;
𝑥
𝑥
𝑥
2 𝑥3
𝑎 𝑥 ′ = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 , 𝑒 𝑥 ′ = 𝑒 𝑥 ;
1
1
log 𝑎 𝑥 ′ =
( 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 ), ln x ′ = ;
𝑥 ln 𝑎
𝑥
1
3.
4.
′
=−
1
,
sin 𝑥 ′ = cos 𝑥 ;
cos 𝑥 ′ = − sin 𝑥 ;
1
tg𝑥 ′ =
;
cos 2 𝑥
1
ctg 𝑥 ′ = − 2 ;
sin 𝑥
1
′
arcsin 𝑥 =
, 𝑥 < 1;
1 − 𝑥2
1
arccos 𝑥 ′ = −
, 𝑥 < 1;
1 − 𝑥2
1
arctg 𝑥 ′ =
;
1 + 𝑥2
1
arcctg 𝑥 ′ = −
;
1 + 𝑥2
sh 𝑥 ′ = ch 𝑥 ;
ch 𝑥 ′ = sh 𝑥 ;
1
th 𝑥 ′ = 2 ;
ch 𝑥
1
′
cth 𝑥 = − 2 .
sh 𝑥
,
4
Правила дифференцирования
1.
2.
′
𝑈 𝑥 ±𝑉 𝑥
𝑈 𝑥 ∙𝑉 𝑥
′
= 𝑈′ 𝑥 ± 𝑉 ′ 𝑥 ;
= 𝑈′ 𝑥 𝑉 𝑥 + 𝑈 𝑥 𝑉 ′ 𝑥 ;
Частный случай: 𝐶𝑈 𝑥
3.
4.
5.
6.
′
= 𝐶𝑈 ′ 𝑥 , 𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡;
′
𝑈 𝑥
𝑈′ 𝑥 𝑉 𝑥 − 𝑈 𝑥 𝑉 ′ 𝑥
=
𝑉 𝑥 ≠0 ;
𝑉 𝑥
𝑉2 𝑥
Сложная функция
𝑦 = 𝑓 𝑢 ; 𝑢 = 𝑢 𝑥 ; 𝑦 ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑢 ∙ 𝑢′ 𝑥 = 𝑓𝑢′ ∙ 𝑢𝑥′ ;
Параметрически заданная функция
𝑦′ 𝑡
𝑦𝑡′
𝑥 = 𝑥(𝑡)
=> 𝑦 ′ 𝑥 = ′
= ′ 𝑥′𝑡 ≠ 0 ;
𝑦 = 𝑦(𝑡)
𝑥 𝑡
𝑥𝑡
Обратная функция
1
1
𝑥 = 𝑥 𝑦 => 𝑥 ′ 𝑦 = ′
= ′ 𝑦′ 𝑥 ≠ 0 .
𝑦 (𝑥) 𝑦𝑥
Геометрический смысл производной функции
𝒚 = 𝒇 𝒙 в точке с абсциссой 𝒙𝟎
Значение производной
𝑓′(𝑥0 )
равно
угловому
коэффициенту касательной к
графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в
точке с абсциссой 𝑥0 :
𝑘 = tg 𝜑 = 𝑓 ′ 𝑥0
(рис. 1, рис. 2 а - г).
Уравнение касательной
к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)
в точке 𝑀 𝑥0 , 𝑦0 :
𝑦 − 𝑦0 = 𝑓 ′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 .
Уравнение нормали к
графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в
точке 𝑀 𝑥0 , 𝑦0 :
𝑦 − 𝑦0 = −
1
𝑓 ′ 𝑥0
𝑥 − 𝑥0 .
5
Механический смысл производной функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке с
абсциссой 𝑥0 определяет скорость изменения данной функции в
точке 𝑥0 . Пусть 𝑆 = 𝑆 𝑡 – расстояние, которое проходит тело при
прямолинейном движении за время t. Скорость прямолинейного
движения в момент времени t:
𝑣 𝑡 = 𝑠′ 𝑡 .
Таблица производных сложных
функций 𝒚 = 𝒇 𝒖 , 𝒖 = 𝒖(𝒙)
1.
2.
3.
4.
5.
𝛼 ′
𝑢 𝑥
𝑎𝑢
𝑒𝑢
=𝛼∙ 𝑢 𝑥
𝑥
′
= 𝑎𝑢
𝑥
𝑥
′
= 𝑒𝑢
𝑥
𝛼−1
∙ 𝑢′ 𝑥 , 𝛼 ∈ 𝑅;
∙ ln 𝑎 ∙ 𝑢′ 𝑥 ;
∙ 𝑢′ 𝑥 ;
𝑢′ 𝑥
log a 𝑢 𝑥 ′ =
𝑢 𝑥 ln 𝑎
′
𝑢
𝑥
ln 𝑢 𝑥 ′ =
;
𝑢 𝑥
𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1 ;
6
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
sin 𝑢 𝑥
cos 𝑢 𝑥
′
′
= cos 𝑢 𝑥 ∙ 𝑢 𝑥 ;
= − sin 𝑢 𝑥 ∙ 𝑢′ 𝑥 ;
𝑢′ 𝑥
tg 𝑢 𝑥 ′ =
;
cos2 𝑢 𝑥
𝑢′ 𝑥
ctg 𝑢 𝑥 ′ = − 2
;
sin 𝑢 𝑥
𝑢′ 𝑥
arcsin 𝑢 𝑥 ′ =
;
1 − 𝑢2 𝑥
𝑢′ 𝑥
arccos 𝑢 𝑥 ′ = −
;
1 − 𝑢2 𝑥
𝑢′ 𝑥
′
arctg 𝑢 𝑥 =
;
1 + 𝑢2 𝑥
′
𝑢 𝑥
arcctg 𝑢 𝑥 ′ = −
;
1 + 𝑢2 𝑥
sh 𝑢 𝑥 ′ = ch 𝑢 𝑥 ∙ 𝑢′ 𝑥 ;
ch 𝑢 𝑥 ′ = sh 𝑢 𝑥 ∙ 𝑢′ 𝑥 ;
𝑢′ 𝑥
th 𝑢 𝑥 ′ = 2
;
ch 𝑢 𝑥
𝑢′ 𝑥
cth 𝑢 𝑥 ′ = − 2
.
sh 𝑢 𝑥
′
Дифференциал функции 𝒚 = 𝒇(𝒙)
Дифференцируемой функцией 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 называется
функция, для которой приращение функции имеет вид:
∆𝑦 = 𝐴 ∙ ∆𝑥 + 𝑜 ∆𝑥 ,
где A – постоянная,
𝑜 ∆𝑥 – бесконечно малая более высокого порядка малости по
сравнению с ∆𝑥.
Дифференциалом функции называется главная, линейная
относительно ∆𝑥 часть приращения функции d𝑦 = 𝐴 ∙ ∆𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥0 ∆𝑥
Дифференциал функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке 𝑥0 равен
производной функции 𝑓 ′ (𝑥0 ), умноженной на дифференциал
независимой переменной x.
d𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥0 d𝑥, ∆𝑥 = d𝑥.
Дифференциал функции в произвольной точке d𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥 d𝑥
7
Геометрический смысл дифференциала функции 𝒚 = 𝒇(𝒙).
Дифференциал
d𝑦
функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке
𝑥0
равен
приращению
ординаты
точки
касательной, проведенной к
графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥)
в точке 𝑀 𝑥0 , 𝑓 𝑥0 , если
аргументу дано приращение
∆𝑥 (рис 3).
d𝑦 = 𝑃𝑀, ∆𝑦 = 𝑃𝑁,
∆𝑦 – приращение функции.
рис. 3
Дифференциалы основных элементарных функций
1.
dC = 0
2.
d 𝑥 𝛼 = 𝛼 ∙ 𝑥 𝛼−1 ∙ d𝑥;
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
𝑥
C = const ;
𝑥
d𝑢 = 𝑢′ (𝑥) ∙ d𝑥;
d 𝑢 𝑥
𝑥
𝛼
=𝛼∙𝑢 𝑥
= 𝑎𝑢
= 𝑒𝑢
𝛼−1
∙ d𝑢, 𝛼 ∈ 𝑅;
d 𝑎 = 𝑎 ∙ ln 𝑎 ∙ d𝑥;
d 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 d𝑥;
1
d log 𝑎 𝑥 =
d𝑥;
𝑥 ln 𝑎
d𝑥
d ln 𝑥 =
;
𝑥
d 𝑎𝑢
d 𝑒𝑢
𝑥
d sin 𝑥 = cos 𝑥 d𝑥;
d cos 𝑥 = − sin 𝑥 d𝑥;
d𝑥
d tg 𝑥 =
;
cos 2 𝑥
d𝑥
d ctg 𝑥 = − 2 ;
sin 𝑥
d𝑥
d arcsin 𝑥 =
;
1 − 𝑥2
d arccos 𝑥 =
d𝑥
=−
;
1 − 𝑥2
d𝑥
d arctg 𝑥 =
;
1 + 𝑥2
d sin 𝑢 𝑥 = cos 𝑢 𝑥 d𝑢;
d cos 𝑢 𝑥 = − sin 𝑢 𝑥 d𝑢;
d𝑢
d tg 𝑢 𝑥 =
;
2
cos 𝑢 𝑥
d𝑢
d ctg 𝑢 𝑥 = − 2
;
sin 𝑢 𝑥
d𝑢
d arcsin 𝑢 𝑥 =
;
1 − 𝑢2 𝑥
d𝑢
d arccos 𝑢 𝑥 = −
;
1 − 𝑢2 𝑥
∙ ln 𝑎 ∙ d𝑢;
d𝑢;
1
d log 𝑎 𝑢 𝑥 =
d𝑢, ;
𝑢 𝑥 ln 𝑎
d𝑢
d ln 𝑢 𝑥 =
;
𝑢 𝑥
𝑥
d arctg 𝑢 𝑥
𝑥
=
d𝑢
;
1 + 𝑢2 𝑥
8
14.
15. d
16. d
17.
d
18.
d𝑥
;
1 + 𝑥2
sh 𝑥 = ch 𝑥 d𝑥;
ch 𝑥 = sh 𝑥 d𝑥;
d𝑥
th 𝑥 = 2 ;
ch 𝑥
d𝑥
cth 𝑥 = − 2 ;
sh 𝑥
d arcctg 𝑥 = −
d
d𝑢
;
1 + 𝑢2 𝑥
sh 𝑢 𝑥 = ch 𝑢 𝑥 d𝑢;
ch 𝑢 𝑥 = sh 𝑢 𝑥 d𝑢;
d𝑢
th 𝑢 𝑥 = 2
;
ch 𝑢 𝑥
d𝑢
cth 𝑢 𝑥 = − 2
.
sh 𝑢 𝑥
d arcctg 𝑢 𝑥
d
d
d
d
=−
Свойства дифференциалов
1. d 𝑢 𝑥 ± 𝑣 𝑥 = d𝑢 𝑥 ± d𝑣 𝑥 = 𝑢′ 𝑥 ± 𝑣 ′ 𝑥 d𝑥;
2. d 𝑢 𝑥 ∙ 𝑣 𝑥 = 𝑣 𝑥 d𝑢 𝑥 + 𝑢 𝑥 d𝑣 𝑥 =
= 𝑢′ 𝑥 𝑣 𝑥 + 𝑢 𝑥 𝑣 ′ 𝑥 d𝑥;
Частный случай:
d 𝐶 ∙ 𝑢 𝑥 = 𝐶d𝑢 𝑥 ;
𝑢 𝑥
𝑣 𝑥 d𝑢 𝑥 − 𝑢 𝑥 d𝑣 𝑥
3. d
=
, 𝑣(𝑥) ≠ 0
𝑣 𝑥
𝑣2 𝑥
Дифференциал сложной функции
4.
𝑦 = 𝑓 𝑢 , 𝑢 = 𝑢 𝑥 => d 𝑦 = 𝑓 ′ 𝑢 d𝑢 = 𝑓 ′ 𝑢 ∙ 𝑢′ 𝑥 d𝑥;
Дифференциал функции 𝑦 = 𝑓 𝑥 сохраняет одну и ту же
форму независимо от того, является ли аргумент 𝑢 независимой
переменной или функцией от другой независимой переменной
(свойство инвариантности).
Производные высших порядков функции 𝒚 = 𝒇 𝒙
Пусть функция 𝑦 = 𝑓 𝑥 имеет производную 𝑓′ 𝑥 , которая
является дифференцируемой функцией. Производную от 𝑓 ′ (𝑥)
называют производной второго порядка функции 𝑓(𝑥):
′
𝑦 ′′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑓 ′′ 𝑥 .
Аналогично вводятся производные третьего и последующих
порядков:
′
𝑦 ′′′ 𝑥 = 𝑓 ′′ 𝑥 = 𝑓 ′′′ 𝑥 , … ,
𝑦
𝑛
𝑥 = 𝑓
𝑛−1
𝑥
′
=𝑓
𝑛
𝑥 .
9
Рассмотрим наиболее типичные примеры из варианта
расчѐтно-графической работы.
1. Вычислить значение производной функции в указанной
точке.
1) 𝑦 = ln⁡(𝑥 + 𝑥 2 + 3), 𝑥0 = 1.
Решение:
1
2𝑥
𝑦′ =
1+
=
𝑥 + 𝑥2 + 3
2 𝑥2 + 3
𝑥 + 𝑥2 + 3
1
=
=
,
(𝑥 + 𝑥 2 + 3 ) 𝑥 2 + 3
𝑥2 + 3
1
𝑦′ 1 = .
2
𝜋
2) 𝑒 𝑦 − cos 𝑥 + 𝑦 2 = 0, 𝑀( 2 ; 0).
Решение.
Продифференцируем уравнение
𝑒 𝑦 𝑦 ′ + sin 𝑥 + 𝑦 2 1 + 2𝑦𝑦 ′ = 0,
𝜋
подставим 𝑥 = 2 , 𝑦 = 0
𝜋
2
𝑦 ′ + sin = 0, 𝑦 ′
3
𝜋
2
= −1 .
3𝜋
𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑡
, 𝑡 = 4.
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 0
Решение.
𝑦 ′ (𝑡) = −3𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑡 , 𝑥 ′ 𝑡 = 3𝑠𝑖𝑛2 𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑡 ,
−3𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑦′ 𝑥 =
= −𝑐𝑡𝑔𝑡 ,
3𝑠𝑖𝑛2 𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑡
3𝜋
𝑦 ′ 4 = −1.
2. Найти производную показательно – степенной функции
𝑦 = (sin 𝑥)tg 𝑥 .
Решение (метод логарифмического дифференцирования).
Прологарифмируем равенство:
𝑙𝑛𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 ∙ ln⁡(𝑠𝑖𝑛𝑥),
полученное равенство дифференцируем, учитывая, что
𝑦 = 𝑦(𝑥):
(𝑙𝑛𝑦)′ = (𝑡𝑔𝑥 ∙ ln 𝑠𝑖𝑛𝑥 )′,
𝑦′
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
=
ln
𝑠𝑖𝑛𝑥
+
𝑡𝑔𝑥
,
𝑦 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
1
𝑦 ′ = 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑡𝑔𝑥
ln 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 .
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
3)
10
3. Составить уравнение касательной и нормали к графику
функции
𝑦=𝑒
𝑥
в точке 𝑥0 = 4 .
Решение.
Уравнение касательной 𝑦 − 𝑦0 = 𝑓′(𝑥𝑜 )(𝑥 − 𝑥0 ) ,
1
уравнение нормали 𝑦 − 𝑦0 = −
(𝑥 − 𝑥0 ).
4
2
′
𝑓′(𝑥 0 )
1
=
2 𝑥
Находим 𝑦0 = 𝑒 = 𝑒 , 𝑓 𝑥
найденные значения в уравнения.
Уравнение касательной 𝑦 − 𝑒 2 =
𝑒2
4
4
− 2
𝑒
𝑒
𝑥
1
4
, 𝑓 ′ 4 = 𝑒 2 , подставляем
(𝑥 − 4) ,
уравнение нормали 𝑦 − 𝑒 2 =
(𝑥 − 4) .
4. Составить уравнение касательной и нормали к графику
функции 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 , если известно, что касательная
параллельна прямой 2𝑥 − 2𝑦 − 5 = 0 .
Решение.
Найдѐм угловой коэффициент заданной прямой 𝑘 = 1 . Касательная
параллельна прямой, следовательно 𝑓 ′ 𝑥0 = 1 . Это равенство
позволяет найти 𝑥0 :
1
1
𝑓′ 𝑥 = ,
=1,
𝑥0 = 1 , 𝑦0 = 𝑙𝑛1 = 0 .
𝑥
𝑥
Составляем уравнение касательной 𝑦 = 𝑥 − 1 и
уравнение нормали 𝑦 = −(𝑥 − 1) .
5. Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции:
1
𝑦=
в точке 𝑥0 = 1 .
2−𝑥
Решение.
1
1
1
2 − 𝑥 − 2 + 𝑥 + ∆𝑥
𝑦 ′ = lim
−
= lim
=
∆𝑥→0 2 − 𝑥 − ∆𝑥
2 − 𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥→0 2 − 𝑥 − ∆𝑥 2 − 𝑥 ∆𝑥
1
=
,
𝑦 ′ 1 = 1.
2−𝑥 2
11
Вариант 1
1. Найти производные следующих функций:
3𝑥 5
2
𝜋
+
− ;
6
5
3𝑥
2
1.1
𝑦=2 𝑥−
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
𝑦 = 3𝑥 2 − 𝑥 + 2 ∙ 𝑒 𝑥 ;
𝑦 = 2𝑥 ∙ cos 𝑥 ;
𝑦 = 𝑥 2 ∙ arctg 𝑥 − arcctg 𝑥 ;
𝑦 = cos 2 𝑥 ∙ 𝑒 − tg 𝑥 ;
2cos𝑥 − 3
𝑦=
;
sin𝑥 + 4
1.7
𝑦=
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
sin2𝑥 + 1
;
𝑥2
3
𝑥 −4
𝑦=
;
ln𝑥
𝑦 = arcsin 𝑥 2 − 2𝑥 − 5 ;
𝑦 = (𝑒 4𝑥 + 32𝑥 + ln 2𝑥)3 ;
1
𝑥 𝜋
𝑦 = ∙ lg 4 cos +
;
2
2 3
𝑦 = 2 1 − 4𝑥 2 ∙ arccos 2𝑥 ;
2 − tg 𝑥
𝑦=
;
1 + ctg 𝑥
𝑦 = arctg2 3𝑥 ∙ 1 + 9𝑥 2 ;
𝑥 = tg 𝑡 ,
𝑦 = ln 1 + ctg 𝑡 ;
𝑒 𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑒𝑥
1.16
1
1.17 𝑦 = (1 + cos 𝑥)𝑥 .
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
𝜋
2.1 𝑦 = cos 2 𝑥 ∙ ctg 2𝑥 , 𝑥0 = ;
6
𝑥
2.2 𝑥𝑦 = arctg + 𝑦 − 1, 𝑥0 = 0;
𝑦
𝑥 = ln 𝑡 ,
2.3
𝑡0 = 1.
𝑦 = 𝑡 2 + 1,
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝜋
𝑦 = sin 𝑥 ∙ cos 𝑥 в точке 𝑀 2 ; 0 . Сделать чертѐж.
12
𝜋
Определить по чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 6 ,
ответ обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
5.
2𝑡 2 , 𝑡 ∈ 0 ; 1 ,
S(t) = 6 − 𝑡 − 3 2 , 𝑡 ∈ (1 ; 3 ,
6 , 𝑡 ∈ (3 ; 6 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 2 сек , 𝑡2 = 5 сек ;
3) среднюю скорость за первые 2 сек;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1
6.2
6.3
𝑦 = ln 2𝑥 + 2𝑥 + 1 ;
𝑥
𝑦 = cos 3 ;
3
𝑦 = 2 arcctg 5𝑥.
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
3𝑥 − 2
, 𝑥0 = 2.
𝑥+1
8∗ . Написать уравнение касательной и нормали к кривой:
𝜋
𝑦 = tg 𝑥, 𝑥𝜖(0; ), зная, что касательная параллельна прямой
2
4𝑥 − 𝑦 = 1.
𝑓 𝑥 =
9. Теорема Ферма (формулировка, геометрический смысл).
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = arcsin 𝑥.
13
Вариант 2
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
𝑥4 𝑒 𝑥 𝑒
𝑦=3 𝑥+ − 3 − ;
4
𝑥
2
𝑦 = 2𝑥 2 − 4𝑥 ∙ 4𝑥 ;
𝑒𝑥
𝑦= 2
;
𝑥 +1
1
𝑦 = ctg 𝑥 − tg 𝑥 ;
4
𝑦 = 3𝑥 − 4 sin 𝑥 + 3 1 + 𝑥 2 cos 𝑥 ;
arccos 2𝑥
𝑦=
;
1 − 4𝑥 2
2𝑥
𝑦= 𝑥
;
2 +1
𝑥
𝑦 = arctg 3𝑥 −
;
3𝑥 + 1
𝑐𝑜𝑠 3 3𝑥
𝑦 = sin 3𝑥 −
;
3
5
𝑦 = tg 5𝑥 ;
𝑦 = 2−𝑥 ∙ cos 2𝑥 ;
𝑦 = arcctg 1 + 2𝑥 ;
𝑦 = 𝑒 1+𝑥 ∙ 1 + 𝑥;
1
𝑦 = lg 𝑥 6 + 2 ;
3
𝑥 = 2 cos 2𝑡 ,
𝑦 = sin 𝑡 ;
tg 𝑦 = 𝑥 2 + 1 𝑦;
3
1.16
1
1.17 𝑦 = (1 + 𝑥 4 )𝑥 .
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
𝑦 = ln2 𝑥 2 + 1 , 𝑥0 = 1;
2.2
2𝑥𝑦 − 5𝜋𝑦 + 12 = cos 𝑥,
2.3
𝑥 = 2𝑡 + 3 cos 𝑡
,
𝑦 = 3𝑡 3
𝑥0 =
𝜋
;
2
𝑡0 = 1.
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой 𝑦 = 𝑥
в точке 𝑀(1; 1). Сделать чертѐж. Определить по чертежу
знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 4, ответ обосновать.
14
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
5.
1 2 1 3
𝑡 − 𝑡 , 𝑡 ∈ 0;1 ,
4
6
1
S(t) =
, 𝑡 ∈ (1 ; 3 ,
12
1
+ (𝑡 − 3)2 , 𝑡 ∈ (3 ; 5 ,
12
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 2 сек , 𝑡2 = 5 сек ;
3) среднюю скорость в отрезке 𝑡 ∈ 2; 4 ;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1
6.2
6.3
𝑦 = arcsin
1
;
𝑥
𝑦 = tg 2 𝑥 + 1 ;
𝑦 = ln 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 + 1 .
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝑓 𝑥 =
3
𝑥 + 1 , 𝑥0 = 0.
8∗ . Написать уравнение нормали к кривой:
x 2 − 4x − 3y 2 − 12y − 14 = 0, зная, что
параллельна прямой x + y = 1.
эта
нормаль
9. Теорема Ролля (формулировка, геометрический смысл).
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = ln 𝑥, используя
определение производной функции.
15
Вариант 3
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
𝑥2 − 3
1 𝑒
− 3− ;
2
𝑥
5
𝑦 = 2𝑥 2 − 4𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥;
𝑦 = 𝑒 𝑥 ∙ sin 𝑥 ;
𝑦 = arccos 𝑥 − 2 𝑥 ;
𝑦 = arctg 𝑥 − 2 tg 𝑥 + 𝜋 ;
arcsin 𝑥
𝑦=
;
1 − 𝑥2
1 + 2𝑥
𝑦=
;
cos 𝑥
𝑥 3 ( 2)𝑥
𝑦=
+
;
ln 4
2
1
𝑦 = ln 𝑥 + 2 +
;
2𝑥 − 1
3
𝑦 = sin 4𝑥 ;
𝑦 = (1 + 𝑥)4 ∙ 𝑒 1−𝑥 ;
𝑦 = arctg 𝑒 2𝑥 ;
cos 2 𝑥
𝑦=
;
1 + 𝑡𝑔𝑥
1
𝑦 = arcsin2 ;
𝑥
𝑥 = arctg 𝑡 ,
1
𝑦 = 𝑡2 ;
2
𝑒 𝑦𝑥 = 𝑥 + 𝑦 3 ;
𝑦 = (1 + 𝑥 )2 𝑥 .
3
𝑦 = 2 𝑥4 +
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝑦 = 𝜋 arctg 𝑥 , 𝑥0 = 1 ;
𝑒 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦, 𝑥0 = 0 ;
𝑥= 𝑡
, 𝑡0 = 1 .
3
𝑦= 𝑡
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 = ln(2𝑥 + 1) в точке 𝑀(0; 0). Сделать чертѐж. Определить
16
по чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 5 , ответ
обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
5.
2𝑡 2 , 𝑡 ∈ 0 ; 1 ,
S(t) = 6 − (𝑡 − 3)2 , 𝑡 ∈ (1 ; 3 ,
6 , 𝑡 ∈ (3 ; 6 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 2 сек , 𝑡2 = 5 сек ;
3) среднюю скорость за первые 2 сек;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
1
;
𝑥
6.2 𝑦 = ln2 1 − 𝑒 𝑥 ;
𝑥
6.3 𝑦 = sin2 .
2
∗
7 . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
6.1
𝑦 = arctg
3𝑥 − 2
,𝑥 = 2.
𝑥−1 0
8∗ . Написать уравнение касательной к кривой:
y 2 − 2y = 4x + 73, зная, что эта касательная параллельна
прямой 2x − y + 1 = 0.
𝑓 𝑥 =
9. Теорема Лагранжа (формулировка, геометрический смысл).
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = 𝑒 𝑥 , используя
определение производной функции.
17
Вариант 4
1. Найти производные следующих функций:
3
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
𝑥3
𝑥 𝜋
𝑦=2 𝑥− − 3 + ;
3
𝑥
4
𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 ∙ 𝑒 2𝑥 ;
sin 𝑥 − 1
𝜋
𝑦=
+ tg ;
cos 𝑥
5
𝑦 = 𝑥 2 ∙ lg 3 𝑥 ;
arcsin 𝑥 − 2𝑥
𝑦=
;
𝑒𝑥
3
𝑦 = (3 sin 𝑥 − 𝑥 ) ∙ cos 𝑥 ;
1
𝑦 = 2 − arcctg 𝑥 ;
2𝑥
𝑦 = 3𝑥 + 𝑥 ∙ 3𝑥 − 𝑥 ;
4
𝑦 = cos 2𝑥 ;
arctg 𝑥
𝑦= 4
;
𝑥 + 2𝑥 2 + 1
𝑦 = 1 − 2𝑥 ∙ 𝑒 −2𝑥 ;
2
𝑦 = arcsin ;
𝑥
1
𝜋
4
𝑦 = ∙ ln tg 𝑥 +
;
4
4
1
𝑦 = 3𝑥
;
(𝑒 + 3)4
𝑥 = cos 𝑡 ,
𝑦 = sin2 𝑡 ;
2𝑦 + 1 = 𝑥(𝑦 + 1)3 ;
𝑦 = (𝑥 2 + 1)ctg 𝑥 .
4
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝑦 = ln 𝑥 2 − 4 , 𝑥0 = 3 ;
𝜋 𝜋
𝑡𝑔 𝑦 = 𝑥𝑦 , 𝑥0 = 0, 𝑦0 ∈ − , ;
4 4
𝜋
𝑥 = cos 3 𝑡 ,
𝑡 = .
𝑦 = 2 sin3 𝑡, 0 4
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой 𝑦 = 2𝑥
в точке 𝑀(1; 2). Сделать чертѐж. Определить по чертежу
знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 2, ответ обосновать.
18
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
5.
Закон прямолинейного движения точки:
𝜋
3sin2 𝑡 , 𝑡 ∈ 0 ;
,
2
𝜋
3 ,𝑡 ∈ ( ;3 ,
S(t) =
2
1
3 + (𝑡 − 3)2 , 𝑡 ∈ (3 ; 6 ,
2
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
𝜋
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 4 сек , 𝑡2 = 4 сек;
3) среднюю скорость в отрезке 𝑡 ∈ 4; 6 ;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
1−𝑥
;
𝑥+1
6.2 𝑦 = arcsin3 𝑥 ;
1
6.3 𝑦 =
.
2 − 𝑒 2𝑥
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
6.1
𝑦 = 𝑙𝑛
𝑓 𝑥 =
3
2 − 3𝑥 , 𝑥0 = −2
8∗ . Написать уравнение нормали к кривой:
x 2 + 4x − 2y 2 + 4y − 6 = 0,
зная,
что
перпендикулярна прямой x = y.
эта
нормаль
9. Теорема о связи между непрерывностью функции в точке и
существованием производной в точке.
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = sin 𝑥, используя
определение производной функции.
19
Вариант 5
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
𝑥2 3
+
;
2 𝑥3
𝑦 = 𝑥2 − 2 𝑒 𝑥 − 𝑒2 ;
2𝑥
1
𝑦=
+
;
ln 𝑥 ln 10
cos 𝑥 − 𝑥 2
𝑦=
;
2𝑥 − sin 𝑥
𝑥 − ctg 𝑥
𝑦=
;
tg 𝑥
𝑦 = 5 arctg 𝑥 + 3 arcctg 𝑥 ;
1
𝑦 = 2𝑥 ∙ arccos ;
𝑥
𝑥 + 3𝑥
𝑦=
;
1 + 3𝑥
𝜋
𝑦 = tg 4𝑥 + ctg ;
5
𝑥
𝑦 = 3𝑥 ∙ cos ;
3
𝑦 = ln2 𝑥 − lg 2 5𝑥 − 2 ;
𝑥
𝑦 = 4arccos2 ;
2
𝑦 = 𝑥 + 1 ∙ 4 − 𝑥2 ;
𝑦 = ln ctg 𝑥 3 ;
𝑥 = arcctg 2𝑥 ,
1
;
𝑦=
1−𝑡
2𝑦 = 0,3 sin 2𝑦 + 𝑥 ;
3
𝑦=𝑥 𝑥−
1.16
1
1.17 𝑦 = (𝑥 3 + 2)𝑥 .
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝑦 = ln3 𝑥 , 𝑥0 = 1 ;
𝑥2 𝑦2
+
= 1, 𝑥0 = 2 ;
16 4
−𝑡
𝑥 = 𝑡𝑒 ,
𝑡0 = 0 .
𝑦 = 𝑒 2𝑡 ,
20
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑥
2𝜋 1
𝑦 = cos в точке 𝑀
; . Сделать чертѐж. Определить по
2
3
чертежу знак
обосновать.
2
производной
𝑦′(𝑥0 ) при
𝜋
𝑥0 = 2 ,
ответ
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
5.
Закон прямолинейного движения точки:
1 3
𝑡 , 𝑡 ∈ 0 ;2 ,
2
S(t) =
7 − 3(𝑡 − 3)2 , 𝑡 ∈ (2 ; 3 ,
7 , 𝑡 ∈ (3 ; 6 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 1 сек , 𝑡2 = 4 сек;
3) среднюю скорость в отрезке 𝑡 ∈ 1; 4 ;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1 𝑦 = cos ln 𝑥 ;
6.2
𝑦=
𝑥+
1
;
𝑥
1
.
−1
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝑥2
𝑓 𝑥 =
, 𝑥 =2
𝑥+1 0
8∗ . Написать уравнение касательной к кривой:
9x 2 + 8y 2 = 144, зная, что эта касательная перпендикулярна
прямой 4x + 3y + 2 = 0.
6.3
𝑦=
𝑒𝑥
9. Производная обратной функции (вывод формулы).
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = tg 𝑥.
21
Вариант 6
1. Найти производные следующих функций:
5
1
2
2 ;
−
+
2
∙
𝑥
𝑥3
𝑥
2 − 3𝑥 2
1.2 𝑦 =
;
𝑒𝑥
1.3 𝑦 = 𝑥 3 − 3𝑥 + 1 ∙ 2𝑥 ;
1.4 𝑦 = 𝑥 2 ∙ ln 𝑥 − tg 𝑥 + ln3 5 ;
1.5 𝑦 = 1 − 𝑥 2 ∙ arcsin 𝑥 ;
𝑥 4 ∙ arctg 𝑥
1.6 𝑦 =
;
4
𝑒𝑥
1.7 𝑦 =
;
𝑥2
cos 𝑥
1.8 𝑦 =
;
2 sin 𝑥 + 1
1
1.9 𝑦 = ∙ cos2 𝑥 − cos 2𝑥 ;
2
1.10 𝑦 = 𝑒 2𝑥 − 1 ;
𝑥
2
2
1.11 𝑦 = tg 2 −
𝑥 ;
𝑐𝑜𝑠
1.1
𝑦=
2
1.12 𝑦 = 2𝑥 − 3 ∙ 𝑥 2 − 3𝑥 ;
1.13 𝑦 = arcctg2 1 + 𝑥 ;
1.14 𝑦 = lg 2 + 𝑐𝑡𝑔2 𝑥 ;
𝑡
𝑥 = cos ,
1.15
2
𝑦 = cos 2𝑡 ;
1.16 𝑒 𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑒𝑥 ;
1.17 𝑦 = (ln(𝑥 + 2))2𝑥 .
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
3
𝑦 = sin 𝑥 3 + 𝜋 , 𝑥0 = 𝜋 ;
𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑎3 + sin 𝑥 , 𝑥0 = 0 ;
𝜋
𝑥 = 𝑒 𝑡 cos 𝑡,
𝑡0 = .
𝑡
𝑦 = 𝑒 sin 𝑡 ,
4
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 = 2 𝑥 в точке 𝑀 4; 4 . Сделать чертѐж. Определить по
22
чертежу знак
обосновать.
производной
𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 1, ответ
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
5.
1 2
𝑡 , 𝑡 ∈ 0 ;2 ,
4
1
S(t) =
2 − (𝑡 − 4)2 , 𝑡 ∈ (2 ; 4 ,
4
2 , 𝑡 ∈ (4 ; 6 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 3 сек , 𝑡2 = 5 сек;
3) среднюю скорость в отрезке 𝑡 ∈ 3; 5 ;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1
6.2
6.3
𝑦 = sin ln2 𝑥 ;
𝑦 = 𝑥4 + 1 ;
𝑦 = arccos 𝑒 −𝑥 .
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝑥2
; 𝑥 =2
𝑥+1 0
8∗ . Написать уравнение касательной к кривой:
9x 2 + +8y 2 = 144,
зная,
что
эта
перпендикулярна прямой 4x + 3y + 2 = 0.
𝑓 𝑥 =
касательная
9. Производная функции, заданной параметрически (вывод
формулы).
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = ctg 𝑥.
23
Вариант 7
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
4 𝑥4 + 1
−
;
3
𝑥3
2
𝑥4
𝑦 = 𝑒 𝑥 ∙ 𝑥 4 − 4𝑥 3 ;
4
𝑦 = 4 𝑥 − 3 ∙ ln 𝑥 − ln 3 ;
ln 𝑥
lg 𝑥
𝑦= 3
−
;
2𝑥 + 𝑥
2
1
𝜋
𝑦 = ∙ ctg 3𝑥 − tg ;
3
8
𝑦 = 𝑥 − 1 arccos 𝑥 − arccos 0,1 ;
10𝑥 + 1
𝑦=
;
ln 10
1
𝑥 + ln 2
𝑦=
;
2𝑥
1
𝑦=
;
(2𝑥 + 4)2
3
𝑦 = 1 + sin 3𝑥 ;
𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑒 −2 𝑥
ln⁡(ln 𝑥 + 1)
𝑦=
;
(ln 𝑥 + 1)2
𝑦 = 𝑒 − arctg 3𝑥 + arcctg 3𝑥 ;
𝑥
𝑦 = 3 ln ctg ;
3
1
𝑥=
,
𝑡+1
𝑦 = cos 2𝑡 ;
arctg 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 ;
𝑦 = (tg 2 𝑥 + 2)3𝑥 .
y=
3
−5+
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝜋
;
4
arctg 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑥0 = 0 ;
1
𝑥=
1+𝑡
, 𝑡0 = 2 ;
𝑡 2
𝑦=
𝑡+1
𝑦 = cos 𝑥 2 , 𝑥0 =
24
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 = 2 𝑥 в точке 𝑀 4; 4 . Сделать чертѐж. Определить по
чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 1, ответ
обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
5.
3𝑡 2 − 2𝑡 3 , 𝑡 ∈ 0 ; 1 ,
1 , 𝑡 ∈ (1 ; 4 ,
S(t) =
1 + (𝑡 − 4)2 , 𝑡 ∈ (4 ; 5 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 4 сек , 𝑡2 = 5 сек;
3) среднюю скорость в отрезке 𝑡 ∈ 4; 5 ;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
𝑥2
6.1 𝑦 = 𝑒 − 2 ;
6.2
6.3
𝑦 = ln sin 𝑥 ;
𝑦=
1 − 𝑥 − 𝑥2 .
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝑓 𝑥 =
1
5 + 2𝑥
, 𝑥0 = 2 .
8∗ . Написать уравнение нормали к кривой:
𝑦 = 1 − 𝑒 𝑥 , зная, что эта нормаль параллельна прямой
𝑦 − 𝑒 2 x − e = 0.
9. Дифференциал функции (определение и геометрический
смысл).
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = arctg 𝑥.
25
Вариант 8
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
𝑥3
1
−2 𝑥+ 4−𝜋;
3
2𝑥
𝑦 = 2𝑥 − 3 ln 𝑥 + ln 𝑒 2 + 1 ;
𝑒𝑥
𝑦=
;
1 + 2𝑥
𝑥 cos 𝑥 + 1
𝑦=
;
sin 𝑥
tg 𝑥 − ctg 𝑥
𝑦=
;
3
𝑦 = 𝑥 + 1 arcsin 2𝑥 ;
𝑦 = ( 3)𝑥 − 𝑥 3 ;
arcctg 𝑥
𝑦= 4
;
𝑥 −1
2
𝑦=
;
ctg 3 𝑥
𝑦 = ln 5𝑥 − 𝑥 ln 4 ;
𝑦 = (1 − 𝑥)4 𝑒 1−𝑥 ;
3
𝑦 = 1 + 4𝑥 2𝑥 + 1 ;
6𝑥 2 − 1
𝑦=
;
𝑥
3 2
𝑦 = lg 𝑥 + 2𝑥 + 3 ;
𝑥 = 𝑒 2𝑡 ,
𝑦 = cos 2 𝑡 ;
𝜋
𝜋𝑥
tg 𝑦 +
= 𝑥𝑦 +
;
4
4
𝑦 = (1 + 𝑙𝑛𝑥)arctg 𝑥 .
𝑦=
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
2
𝑦 = 2𝑥 , 𝑥0 = 1 ;
𝑥 3 + 2𝑥 2 𝑦 + 𝑦 2 = 4 , 𝑥0 = 1, 𝑦0 ∈ 0; 2 ;
𝑥 = arcsin 𝑡 ,
𝑡 =0.
𝑦 = ln 1 − 𝑡 2 , 0
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 = 𝑒 −2𝑥 в точке 𝑀 −1 ; 𝑒 2 . Сделать чертѐж. Определить по
чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 1, ответ
обосновать.
26
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
5.
Закон прямолинейного движения точки:
𝑡
sin2 , 𝑡 ∈ 0 ; 𝜋 ,
2
S(t) =
1 , 𝑡 ∈ (𝜋 ; 5 ,
1 + (𝑡 − 5)2 , 𝑡 ∈ (5 ; 6 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 4 сек , 𝑡2 = 6 сек ;
3) среднюю скорость в отрезке 𝑡 ∈ 4; 6 ;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.2
1
;
sin 𝑥
𝑦 = 2 lg 𝑥 + 𝑥 ;
6.3
𝑦 = sin3 𝑥 − sin3
6.1
𝑦=
𝜋
.
4
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝑓 𝑥 =
1
3 𝑥
, 𝑥0 = 8 .
8∗ . Написать уравнение одной из касательных к кривой:
y = arcsin 𝑥, зная, что эта касательная параллельна прямой
3y − 2x = 0.
9. Производная функции, заданной параметрически (вывод
формулы).
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = arcctg 𝑥.
27
Вариант 9
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
2𝑥 5
2
𝑥
+
− 𝑒𝑥 3 + ;
5
2
𝑥
𝑒𝑥 − 3
𝑦=
;
𝑥+1
𝑦 = 3𝑥 2 − 𝑥 + 2 ln 𝑥 ;
(𝑥 + 1) sin 𝑥
𝑦=
− cos 2𝑥 ;
3𝑥
arccos
3
𝑦=
;
𝑒2
𝑥
( 3)
𝑦=
−2 𝑥;
ln 3
arcctg 𝑥
𝑦=
;
1 + 𝑥2
𝑦 = 2𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 + 𝜋 ;
1
𝑦 = ln 2𝑥 − 3 −
;
2𝑥 − 3
3
𝑦 = sin2 3𝑥 ;
𝑦 = arctg 2𝑥 ∙ ln2 1 + 4𝑥 2 ;
cos 2 𝑥
𝑦=
;
1 + tg 𝑥
𝑦 = arcsin2 𝑥 ;
1
𝜋
𝑦 = tg3 2𝑥 −
;
3
4
𝑥 = ln 𝑡 ,
1
𝑦=
;
𝑡+1
tg 𝑦 = 𝑥 2 + 1 𝑦 ;
𝑦 = (𝑥 + 1)ln 2𝑥 .
𝑦=
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
𝜋
2.1 𝑦 = sin 2𝑥 , 𝑥0 = ;
4
2.2
𝑥 − 𝑦 = 𝑎 , 𝑥0 = 4𝑎 ;
𝑥 = 𝑒 −3𝑡 ,
2.3
𝑡 =1.
𝑦 = 𝑒 8𝑡 , 0
28
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝜋
𝑦 = 2 sin 𝑥 в точке 𝑀 ; 1 . Сделать чертѐж. Определить по
6
чертежу знак
обосновать.
производной
𝑦′(𝑥0 ) при
𝜋
𝑥0 = 2 ,
ответ
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
5.
Закон прямолинейного движения точки:
1 3
𝑡 , 𝑡 ∈ 0 ;2 ,
4
3
S(t) =
5 − (𝑡 − 4)2 , 𝑡 ∈ (2 ; 4 ,
4
5 , 𝑡 ∈ (4 ; 5 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 4 сек , 𝑡2 = 5 сек;
3) среднюю скорость за первые 3 сек;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
1
6.1 𝑦 =
;
2 − 𝑒 2𝑥
6.2 𝑦 = arcsin 2𝑥 ;
𝑥
6.3 𝑦 = sin lg .
2
∗
7 . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝑓 𝑥 = 2 − 𝑥 , 𝑥0 = −7 .
8∗ . Написать уравнение касательной к кривой:
𝑦 = 𝑥 − 2, зная, что эта касательная перпендикулярна
прямой 4x − y = 0.
9. Теорема о производной суммы двух функций.
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = 𝑎 𝑥 .
29
Вариант 10
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
𝑒
4
𝑥5
+4
−
;
2
𝑥 3 10
𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 1 𝑒 2𝑥 ;
ln 𝑥
1
𝑦=
−
;
𝑥
2 ln 2
𝜋
𝑦 = 2 cos 𝑥 − sin ∙ sin 𝑥 ;
10
ctg 2𝑥 − tg 2𝑥
𝑦=
;
2
arctg 2𝑥
𝑦=
;
1 + 4𝑥 2
𝑦 = 𝑥 ∙ arccos 𝑥 ;
2𝑥
𝑦= 𝑥
;
2 +1
𝑥
𝑦 = ctg 3 ;
3
𝑦 = 2 𝑥 2 + 1 arctg 𝑥 − 2𝑥 ;
𝑦 = sin 𝑥 ∙ 𝑒 cos 𝑥 ;
𝑦 = ln4 𝑒 𝑥 + 1 ;
1
𝑦 = 𝑥 ∙ arcsin ;
𝑥
3
𝑦 = arccos 2𝑥 − 1 − 4𝑥 2 ;
𝑥 = arcsin 𝑡 ,
𝑦=
𝑦 = 1 − 𝑡2 ;
1.16 𝑦 = 𝑒 1−𝑥𝑦 ;
2
1.17 𝑦 = (cos 2𝑥)𝑥 +1 .
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝑦 = 2𝑥 2 − 4 , 𝑥0 = 2 ;
𝑦
ln 𝑥 + 𝑒 −𝑥 = 𝑒 , 𝑥0 = 1 ;
𝜋
𝑥 = 𝑡 𝑡 cos 𝑡 − 2 sin 𝑡 ,
𝑡0 = .
𝑦 = 𝑡 𝑡 sin 𝑡 + 2 cos 𝑡 ,
4
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 = − 𝑥 + 3 в точке 𝑀(−2 ; −1). Сделать чертѐж.
Определить по чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 6,
ответ обосновать.
30
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
5.
1 2
𝑡 , 𝑡 ∈ 0 ;3 ,
3
S(t) =
4 − (𝑡 − 4)2 , 𝑡 ∈ (3 ; 4 ,
4 , 𝑡 ∈ (4 ; 6 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 4 сек , 𝑡2 = 5 сек;
3) среднюю скорость за первые 4 сек;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1
𝑦=
2
;
ln 𝑥
1 3
𝑥 ;
3
𝜋
6.3 𝑦 = cos 2 3𝑥 + sin2 .
3
∗
7 . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
6.2
𝑦 = 𝑒𝑥 +
𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑒 2 , 𝑥0 = 2 .
8∗ . Написать уравнение касательной к кривой:
𝑦 = 2 sin 𝑥,
𝑥𝜖 𝑜; 𝜋 ,
зная,
что
эта
перпендикулярна прямой 3y + x = 1.
касательная
9. Теорема о производной разности двух функций.
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = 𝑥 𝛼 , используя
определение производной функции.
31
Вариант 11
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1
𝑥4 + 1
3
−6 𝑥+
;
2𝑥
2
𝑦 = 3 − 𝑥 3 𝑒 𝑥 − 𝑒𝑥 ;
𝑥 3 − 2𝑥 + 1
𝑦=
;
ln 𝑥
3 sin 𝑥 + 4
𝑦=
;
4 cos 𝑥 − 3
tg 𝑥 − 2
𝑦=
;
cos 𝑥
𝜋
𝑦 = 2 ctg 𝑥 − tg 𝑥 + ctg ;
3
𝑦 = arctg 𝑥 − 𝑥 2 arcctg 𝑥 ;
3𝑥
2𝑥
𝑦=
−
+𝑥;
ln 2 ln 3
2
𝑦 = ln 𝑥 − ln 3𝑥 + 1 ;
1
𝑦 = sin3 𝑥 − sin 𝑥 ;
3
𝑦 = 1 − 𝑥 ∙ 𝑒 −2𝑥 ;
cos 2 2𝑥
𝑦=
;
1 − tg 2𝑥
1
𝑦 = 𝑥 − arccos
;
𝑥
𝑦 = arctg 𝑒 𝑥 ;
𝑥 = sin 2𝑡 ,
𝑦 = cos 2 𝑡 ;
ctg 𝑦 = 𝑥 2 + 2 𝑦 ;
2
𝑦 = (1 + cos 𝑥)ln 𝑥 .
𝑦=
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
3𝑥 3 + 4 , 𝑥0 = −1 ;
𝑥
ln 𝑥 + = 𝑐 , 𝑥0 = 1 ;
𝑦
1+𝑡
𝑥=
,
𝑡3
𝑡0 = 2 .
3
1
𝑦= 2+
,
2𝑡
2𝑡
𝑦=
32
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 = 2 ln 𝑥 + 1 в точке 𝑀 𝑒 ; 3 . Сделать чертѐж. Определить
по чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 1, ответ
обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
5.
1)
2)
3)
4)
5)
Закон прямолинейного движения точки:
1 2 1 3
𝑡 − 𝑡 , 𝑡 ∈ 0 ;1 ,
2
3
1
S(t) =
, 𝑡 ∈ (1 ; 5 ,
6
1
+ (𝑡 − 5)2 , 𝑡 ∈ (5 ; 6 ,
6
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
скорость движения в момент 𝑡1 = 4 сек , 𝑡2 = 5 сек;
среднюю скорость в отрезке 𝑡 ∈ 4; 6 ;
интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1 𝑦 = 2𝑥 + 1 ;
𝑥
6.2 𝑦 = arcsin ;
4
𝑥
6.3 𝑦 = 𝑡𝑔3 .
3
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 , 𝑥0 = 10 .
8∗ . Написать уравнение одной из касательных к кривой:
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥, зная, что эта касательная перпендикулярна
прямой 𝑦 + 4𝑥 = 2.
9. Теорема о производной произведения двух функций.
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = ln 𝑥, используя
определение производной функции.
33
Вариант 12
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
𝑥−2
2
− 1,5 + 2 𝑥 ;
4
3𝑥
𝑥 2 − 2𝑥 + 5
𝑦=
;
𝑒𝑥
𝑦 = 3 − 4𝑥 ln 𝑥 − 2 ln 3 ;
1 − cos 𝑥
𝑦=
;
1 + sin 𝑥
𝑦 = 𝑒 𝑥 tg 𝑥 − 𝑒 ;
1 − 2 arcsin 𝑥
𝑦=
;
𝑥
𝑦 = arcctg 𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑒 𝑥 ;
𝑦=
𝑦=
1 𝑥
3
+2
3
𝑥
;
ln 3
−2𝑥
𝑦 = ln 1 − 3𝑥 − 𝑒
;
𝑦 = ctg3 4𝑥 ;
𝑥
𝑥
𝑦 = sin ∙ ln cos ;
2
2
𝑥
𝑦=
;
𝑥2 − 4
1
𝑦 = 2 arccos 𝑥 2 ∙ 𝑥 2 + 1 ;
1.13
1.14 𝑦 = 𝑒 − sin 2𝑥 ;
𝑥 = 𝑒 1−2𝑡 ,
1
1.15
𝑦=
;
2𝑡 − 1
1.16 𝑦 = cos 𝑥 + 𝑦 ;
1.17 𝑦 = (1 + 𝑡𝑔𝑥)ctg 𝑥 .
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝑦 = arcsin 4𝑥 2 , 𝑥0 = 0 ;
3
3
3
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 , 𝑥0 = 𝑎 ;
𝑥 = ln 𝑡 ,
𝑡 =1.
𝑦 = 2𝑡 + 1 cos 𝑡 , 0
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 = 2−(𝑥+1) в точке 𝑀(−1 ; 1). Сделать чертѐж. Определить
34
по чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = −2, ответ
обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
5.
1 − cos 𝑡 , 𝑡 ∈ 0 ; 𝜋 ,
2 , 𝑡 ∈ (𝜋 ; 4 ,
S(t) =
2 − (𝑡 − 4)2 , 𝑡 ∈ (4 ; 5 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 4 сек , 𝑡2 = 6 сек;
3) среднюю скорость в отрезке 𝑡 ∈ 4; 5 ;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1
6.2
6.3
𝑦 = ln ln 2𝑥 ;
𝑦 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 8 ;
𝑦 = arctg 𝑥 2 .
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝑓 𝑥 =
1
3𝑥 − 8
, 𝑥0 = 3 .
8∗ . Написать уравнение касательной к кривой:
3
𝑦 = 𝑥 + 1, зная, что эта касательная параллельна прямой
3𝑦 − 𝑥 = 1.
9. Теорема о производной частного двух функций.
10. Вывести формулу производной функции
используя определение производной функции.
𝑦 = cos 𝑥,
35
Вариант 13
1. Найти производные следующих функций:
6
2
𝑥7 + 1
1.1 𝑦 = 3 −
+
;
𝑥
7
𝑥 𝑥
2𝑒 𝑥 + 2
1.2 𝑦 =
;
2 − 𝑥2
1.3 𝑦 = 2 arccos 𝑥 − arcsin 𝑥 ;
ln 𝑥 + 1
1.4 𝑦 =
;
𝑥2
𝜋
tg ∙ tg 𝑥
𝜋
1.5 𝑦 = 3
− ctg ;
3
3
𝑥
1.6 𝑦 = 1 + 𝑥 2 + arcctg 𝑥 ;
2 − tg 𝑥
1.7 𝑦 =
;
1 + ctg 𝑥
3𝑥
1.8 𝑦 = 𝑥
;
2 +𝑥
1
1.9 𝑦 =
− 3𝑥 − 1 −1 ;
ln⁡(3𝑥 − 1)
1
1.10 𝑦 =
+ cos 2 𝑥 ;
sin2 𝑥
3
1.11 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑒 1−𝑥 ;
3
1.12 𝑦 = arcsin3 ;
𝑥
1.13 𝑦 = 3 𝑥 ∙ arccos 𝑥 + 1 ;
1.14 𝑦 = lg 4 + ctg2 3𝑥 ⁡;
𝑥 = ln 1 + 𝑡 2 ,
1.15
𝑦 = 𝑡2
;
1.16 𝑒 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦 2 ;
3
1.17 𝑦 = (1 − 3 𝑥 ) 𝑥 .
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1 𝑦 = arccos 2𝑥 3 , 𝑥0 = 0 ;
𝑥−𝑦
, 𝑥0 = 0 ;
2.2 𝑦 3 =
𝑥+𝑦
1
𝑥=
,
𝑡+2
2.3
𝑡0 = − 1 .
𝑡 2
𝑦=
,
𝑡+2
36
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 = 𝑙𝑛(𝑒𝑥) в точке 𝑀(1 ; 1). Сделать чертѐж. Определить по
чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 𝑒 2 , ответ
обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
𝑡3 , 𝑡 ∈ 0 ; 1 ,
5 3
2
S(t) = 2 − 2 (𝑡 − 2) , 𝑡 ∈ (1 ; 2 ,
5
, 𝑡 ∈ (2 ; 5 ,
2
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 4 сек , 𝑡2 = 5 сек;
3) среднюю скорость за первые 4 сек;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
1
6.1 𝑦 =
;
cos 4𝑥
6.2 𝑦 = 𝑒 2𝑥 + 1 ;
𝑥
𝜋
6.3 𝑦 = cos 3 + sin3 .
3
6
∗
7 . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
1
𝑓 𝑥 =
, 𝑥0 = 1 .
(3 − 2𝑥)2
5.
8∗ . Написать уравнение нормали к кривой:
𝜋
𝑦 = 𝑡𝑔𝑥, 𝑥𝜖 0; 2 зная, что эта нормаль параллельна прямой
𝑥 + 4𝑦 = 0.
9. Теорема о производной сложной функции.
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = 𝑒 𝑥 , используя
определение производной функции.
37
Вариант 14
1. Найти производные следующих функций:
3
1+3 𝑥
1
𝑦=
− 3 + 2𝑥 5 ;
2
3𝑥
1.2 𝑦 = 𝑒 𝑥 ∙ 2 − 𝑥 − 𝑥 2 ∙ 𝑒 2 ;
ln 𝑥
1.3 𝑦 = 3 − lg 3 ;
𝑥
1.4 𝑦 = 2𝑥 − 5 ∙ cos 2𝑥 − 2 sin 2𝑥 ;
2 + ctg 𝑥
1.5 𝑦 =
;
1 + tg 𝑥
1.6 𝑦 = 2 𝑥 − arcsin 2𝑥 ;
𝑒𝑥
1.7 𝑦 =
;
arctg 𝑥
𝑥
3
1.8 𝑦 = 𝑥 + ( 3 ) ;
ln 3
2
1.9 𝑦 = 𝑒 4𝑥 ∙ sin 2𝑥 − 𝑒 2 ;
1 + 2𝑥
1.10 𝑦 =
;
lg⁡(1 + 2𝑥)
1.11 𝑦 = 1 − 4𝑥 2 ∙ arccos 2𝑥 ;
𝑥3
1.12 𝑦 = 𝑥 2 ∙ 𝑒 − 3 − 𝑥 ;
1.1
1.13 𝑦 = arcsin 2−𝑥 ;
𝑥
1.14 𝑦 = ln 1 + sin
;
2
−𝑡
𝑥=𝑒
,
1.15
2
𝑦 = sin 𝑡 ;
1.16 𝑎cos 2 𝑥 + 𝑦 = 𝑏𝑦 ;
1.17 𝑦 = (tg 2 𝑥 + 2)3𝑥 .
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
2
𝑦 = 𝑒 −5𝑥 , 𝑥0 = −1 ;
𝑥 1
arctg = ln 𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑥0 = 0, 𝑦0 ∈ 0; 2 ;
𝑦 2
2𝑡
𝑥=
,
1 + 𝑡3
𝑡0 = 1 .
𝑡2
𝑦=
,
1 + 𝑡2
38
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 = −2 𝑥 в точке 𝑀(1 ; −2). Сделать чертѐж. Определить по
чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 2, ответ
обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
5.
1)
2)
3)
4)
5)
Закон прямолинейного движения точки:
1 2
𝑡 , 𝑡 ∈ 0 ;2 ,
2
S(t) =
3 − (𝑡 − 3)2 , 𝑡 ∈ (2 ; 3 ,
3 , 𝑡 ∈ (3 ; 6 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
скорость движения в момент 𝑡1 = 4 сек , 𝑡2 = 5 сек;
среднюю скорость за первые 4 сек;
интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
2
6.1 𝑦 = ctg ;
𝑥
6.2 𝑦 = 2 cos 𝑥 + 1 ;
6.3 𝑦 = ln2 1 − 3𝑥 .
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
1
𝑓 𝑥 = 2 , 𝑥0 = 2 .
𝑥
∗
8 . Написать уравнение нормали к кривой:
x 2 + 4x − 2y 2 + 4y − 6 = 0,
зная,
что
эта
нормаль
перпендикулярна прямой x = y.
9. Геометрический смысл производной.
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = 𝑎 𝑥 .
39
Вариант 15
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
2𝑥 3
3
1
𝜋
+3 − 4+ ;
3
2
𝑥 4𝑥
3
𝑦 = (𝑥 + 𝑥) ∙ ln 𝑥 ;
𝑥2
3
𝑦=
−
;
ln 𝑥 ln 3
𝑥 + sin 𝑥
𝑦=
;
3 cos 𝑥
𝑦 = 1 − tg 𝑥 ∙ 2 + ctg 𝑥 ;
𝑦 = 2𝑥 arctg 2𝑥 − 𝑥 ;
1 − 2𝑥
𝑦=
;
arcctg 𝑥
𝑦 = 3𝑥 + 𝑥 ∙ 3𝑥 − 𝑥 ;
4
𝑦 = cos 4𝑥 ;
1
𝑦 = cos 2 𝑥 − cos 𝑥 ;
2
𝑥2
𝑦 = ln3 2 +
;
3
𝑦 = arcctg 𝑒 2𝑥 ;
arctg 𝑥
𝑦=
;
1 − 𝑥2
2
𝑦 = 𝑥 4 ∙ arccos 2 ;
𝑥
𝑡
𝑥 = cos ,
2
𝑦 =
𝑡
𝑦 = 𝑒 sin 2 .
1.16 𝑒 𝑦 − 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑦 = 0 ;
1.17 𝑦 = (1 + 𝑥)2 𝑥 .
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
2
𝑦 = 7𝑥 , 𝑥0 = 1 ;
𝑦 − 0,3 ∙ sin 𝑦𝑥 = 𝑥 , 𝑥0 = 0 ;
𝑥 = 𝑡2 − 1 ,
𝑡0 = 2 .
𝑡+1
𝑦=
,
2
𝑡 −1
40
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
1
𝑦 = ln 2x − 1 в точке 𝑀 ; −1 . Сделать чертѐж.
2
Определить по чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 2,
ответ обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
5.
Закон прямолинейного движения точки:
6𝑡 2 − 4𝑡 3 , 𝑡 ∈ 0 ; 1 ,
2 , 𝑡 ∈ (1 ; 3 ,
S(t) =
2 + (𝑡 − 3)2 , 𝑡 ∈ (3 ; 5 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 4 сек , 𝑡2 = 5 сек;
3) среднюю скорость за первые 4 сек;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1 𝑦 = arcctg 2𝑥 ;
6.2 𝑦 = 1 + 𝑥 4 ;
6.3 𝑦 = ln 1 + 𝑒 𝑥 . ⁡
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
1
𝑓 𝑥 =
, 𝑥0 = 1 .
2−𝑥
8∗ . Написать уравнение нормали к кривой:
𝑦 = 𝑒 1−𝑥 , зная, что эта нормаль параллельна прямой 𝑦 + e𝑥 +
2e = 0.
9. Уравнение касательной к кривой.
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = 𝑥 𝛼 , используя
определение производной функции.
41
Вариант 16
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
2
4
𝑦 = 4𝑥 3 − 4𝑥 3 + 2 𝑥 − 5 ;
3
𝑦 = 2 + 5 cos 𝑥 − log 4 𝑥 ;
𝑥
7𝑥 4 − 2
𝑦=
;
sin 𝑥 − 2𝑥
𝑦 = 3𝑒 𝑥 ∙ arcsin 𝑥 ;
𝑦 = 3𝑥 3 arctg 𝑥 − 𝑥 2 − 𝑒 ∙ arccos 𝑥 ;
4
4 lg 𝑥
𝑦 = arcctg 𝑥 +
;
3
𝑥
𝑦 = 2𝑥 6 − 3𝑥 ∙ 5𝑥 + 7 ;
3 ctg 𝑥 − 𝑥
𝑦=
;
4 − tg 𝑥
3
1.9
𝑦 = 1 + sin 𝑥 ;
2
3
1.10 𝑦 = sin3 𝑥 + cos5 𝑥 ;
3
5
1.11 𝑦 = ln(1 − 3𝑥) ∙ lg 2𝑥 + 1 ;
1.12 𝑦 =
4
2𝑥 − 1
;
3𝑥 + 2
1.13 𝑦 = log 3 tg 3𝑥 ;
𝑥−2 9
1.14 𝑦 =
;
(𝑥 − 1)2
𝑥 = 2𝑒 −𝑡 + 3𝑡 ,
1.15
𝑦 = 3𝑒 2𝑡 − 4𝑡 ;
1.16 arctg 𝑥 + 𝑦 = 𝑦𝑥 ;
1.17 𝑦 = ln 𝑥 + 3 4𝑥 .
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝑦 = ln 6𝑥 2 − 5 , 𝑥0 = 1 ;
𝑥
𝑥 2 + 𝑦 2 − 1 = arctg , 𝑥0 = 0 ,
𝑦
𝑥 = 4𝑡 + 2𝑡 2 ,
𝑡 = −2 .
𝑦 = 5𝑡 3 − 3𝑡 2 , 0
𝑦0 𝜖 0; 2 ;
42
1
𝑥
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой 𝑦 = в
точке 𝑀 1; 1 . Сделать чертѐж. Определить по чертежу знак
производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 2, ответ обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
5.
3𝑡 2 − 𝑡 3 , 𝑡 ∈ 0 ; 2 ,
4 , 𝑡 ∈ (2 ; 3 ,
S(t) =
𝜋(𝑡
− 3)
4 + sin2
, 𝑡 ∈ (3 ; 5 ,
4
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 1 сек , 𝑡2 = 4 сек;
3) среднюю скорость в интервале 𝑡 ∈ 1; 4 ;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1
6.2
6.3
𝑦 = arcctg 𝑥 ;
𝑦 = 𝑥 ∙ cos 2 2𝑥 ;
𝑦 = ln3 (1 + 𝑥) .
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝜋
𝑓 𝑥 = sin 𝑥 +
, 𝑥0 = 0 .
4
8∗ . Написать уравнение касательной к кривой:
𝑦 = 4𝑦 2 − 8𝑦 − 𝑥 2 − 4𝑥 = 20, зная, что эта касательная
перпендикулярна прямой 𝑦 = 3𝑥 + 1.
9. Уравнение нормали к кривой.
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = arctg 𝑥.
43
Вариант 17
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
𝑦=
𝑥−4
−
2
+ 2𝑥 4 𝑥 − 2 ;
𝑥3
𝑥
4
𝑦 = + 5 arctg 𝑥 − log 2 𝑥 ;
𝑥
𝑦 = 2𝑥 3 − 1 + 𝑥 𝑒 𝑥 ;
𝜋
𝑦 = 3𝑥 arcsin 𝑥 − 5𝑥 + tg
;
7
arcctg 𝑥
𝑦=
;
1 + 𝑥2
ln 𝑥
𝑦 = 3 arccos 𝑥 +
;
𝑥
1
𝑦 = 2 cos 𝑥 − ∙ sin 𝑥 + 7 ;
𝑥
3 ln 𝑥 − ln 4
𝑦=
;
4𝑥 3 − 3𝑥
𝑦 = 1 + tg 𝑥 5 ;
𝑦 = sin3 4𝑥 ∙ cos5 3𝑥 ;
𝑦 = 4𝑒 −𝑥 ∙ ctg 7𝑥 ;
𝑥 + 5 − 𝑥2
𝑦 = ln
;
2𝑥 5
2
𝑦 = 3arctg (2𝑥+1) ;
arcsin 5𝑥
𝑦=
;
𝑥−1 5
𝑥 = sin 2𝑡 + 1 ,
𝑦 = cos 3𝑡 − 1 ;
ctg 𝑥 3 + ln 𝑦 − 4𝑥𝑦 = 0 ;
𝑦 = tg 𝑥 6𝑥 .
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝑦 = 7𝑥 − 4 6 , 𝑥0 = 1 ;
𝑎 ∙ 𝑥 ∙ cos 2 𝑥 + 𝑦 = 𝑏 ∙ 𝑦,
𝑥 = arcsin 𝑡 ,
𝑡0 = 10 .
𝑦 = 1 − 𝑡2 ,
𝑥0 = 0;
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 = 2−𝑥 + 2 в точке с абсциссой 𝑥0 = 0. Сделать чертѐж.
44
Определить по чертежу знак производной 𝑦′(𝑥1 ) при 𝑥1 = 2,
ответ обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
5.
Закон прямолинейного движения точки:
𝜋
𝑡𝑔2 𝑡 , 𝑡 ∈ 0 ;
,
4
3𝜋 8
𝜋
− ,𝑡 ∈ ( ;𝜋 ,
S(t) = 1 +
2 𝜋
4
2 + 3𝜋
, 𝑡 ∈ (𝜋 ; 5 ,
2
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
𝜋
𝜋
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 4 сек , 𝑡2 = 2 сек;
𝜋
3) среднюю скорость в интервале 𝑡 ∈ 2 ; 𝜋 ;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1 𝑦 = 𝑒 2𝑥 + 𝑥 2 ;
6.2 𝑦 = ln ln(5 + 𝑥) ;
6.3 𝑦 = 0,2 ∙ arccos 5𝑥 .
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝑓 𝑥 = 𝑥+2
3
, 𝑥0 = 3 .
8∗ . Написать уравнение касательной к кривой:
𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥 2 + 1), зная, что эта касательная параллельна
прямой 5𝑦 + 4x = 1.
9. Приращение
независимой
переменной
и
(определения и геометрическая иллюстрация).
функции
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = sin 𝑥, используя
определение производной функции.
45
Вариант 18
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
5 − 𝑥7
2
5
−
+𝑥∙ 𝑥− 3 ;
3
2
𝑥
3
𝑥
𝑦 = 5 + 5 − cos 𝑥 ;
𝑥
𝑦 = 1 + tg 𝑥 𝑒 𝑥 ;
𝑦 = 𝑥 + ctg 𝑥 5𝑥 + cos 3 ;
arcctg 𝑥
𝑦=
;
𝑥 + 7𝑥 4
ln 𝑥 − 4
𝑦 = 𝑥 ∙ tg 𝑥 +
;
3 𝑥
1
𝑦 = 2𝑥 − sin 𝑥 ;
𝑥
log 3 𝑥 − ln 𝑥
𝑦=
;
cos 𝑥 − 3
2𝑥 + 1
𝑦 = arccos
;
3𝑥 − 2
4
𝑦 = 2𝑥 + 1 + 3 ;
4
𝑦 = 3− cos 2𝑥 ;
𝑦 = 1 + tg 4𝑥 𝑒 −3𝑥 ;
3
𝑦 = ctg 3 4𝑥 − ln 2 ;
5𝑥
𝑦=
;
4 − 𝑥5
𝑥 = sin3 2𝑡 ,
𝑦 = 2 cos3 2𝑡 ;
𝑦=
2
2
1.16 𝑥 3 + 𝑦 3 − 𝑒 𝑥𝑦 = 1 ;
1.17 𝑦 = arctg 2𝑥 sin 3𝑥 .
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝑦 = arctg 𝑥 2 , 𝑥0 = 1 ;
𝑥 𝑦 = 𝑦 𝑥 , 𝑥0 = 1 ;
ln 𝑡
𝑥=
,
𝑡0 = 1 .
𝑡
2
𝑦 = 𝑡 ln 𝑡 ,
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 = 2𝑥 − 2 в точке 𝑀(1; 0). Сделать чертѐж. Определить по
46
чертежу знак
обосновать.
производной
𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 2, ответ
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
𝜋
𝑡 − sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0 ;
,
2
3𝜋
1
𝜋
− 1 − (𝑡 − 𝜋)2 , 𝑡 ∈ ( ; 𝜋 ,
S(t) =
4
𝜋
2
3𝜋 − 4
, 𝑡 ∈ (𝜋 ; 5 ,
4
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
𝜋
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 4 сек , 𝑡2 = 4 сек;
5.
𝜋
3) среднюю скорость в отрезке 𝑡 ∈ 0; 2 ;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1 𝑦 = 𝑒 −𝑥 ∙ sin 𝑒 𝑥 ;
6.2 𝑦 = 4 − 𝑥 4 ∙ 𝑥 ;
1
6.3 𝑦 =
.
arctg 2𝑥
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 , 𝑥0 = 0 .
8∗ . Написать уравнение касательной к кривой:
y 2 + 4y − 𝑥 + 5 = 0,
зная,
что
эта
перпендикулярна прямой y = 4𝑥 + 1.
9. Производная
функции
геометрический смысл).
в
точке
касательная
(определение
и
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = cos𝑥, используя
определение производной функции.
47
Вариант 19
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
𝑦=
2 − 𝑥4
−
1
𝑥3
3
+ 4𝑥 ∙ 𝑥 − 𝜋 ;
3
4
𝑦 = + 𝑒 − tg 𝑥 ;
𝑥
𝑦 = 3𝑒 𝑥 ∙ arcsin 𝑒 𝑥 ;
𝑦 = 𝑥 + ctg 𝑥 5𝑥 + cos 3𝑥 ;
4𝑥 + 4𝑥
𝑦= 4
;
2𝑥 − 3
2 ln 𝑥
𝑦 = 5 arccos 𝑥 ∙
− ln 3 ;
𝑥
𝑥3
𝑦=
∙ sin 𝑥 − 𝑥 2 arctg 𝑥 ;
3
arcctg 𝑥 − log 5 𝑥
𝑦=
;
𝑥5 − 2
𝑦 = ln 1 + sin 𝑥 ;
2
𝑦 = 𝑒 −𝑥 ∙ cos3 𝑥 ;
𝑦 = 2ctg 5𝑥+1 ;
𝑦 = 1 + tg 4𝑥 ∙ 2𝑥 − 1 3 ;
arcsin 1 − 𝑥 2 ⁡
𝑦=
;
2 − 3𝑥 3
3 4
𝑦 = arctg 𝑥 − 3𝑥 ;
𝑥 = 7cos3 𝑡 ,
4
𝑦=
;
arccos 𝑡
(𝑥 + 𝑦)4 + (𝑥 − 3𝑦)2 = 0 ;
𝑥 𝑥
𝑦 = arccos
.
3
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝑦 = cos 2𝑥 2 + 𝜋 , 𝑥0 = 𝜋 ;
𝑦
ln 𝑦 2 = 𝑥 + ln , 𝑥0 = 1;
𝑥
𝑥 = arctg 𝑡 ,
𝑡 = −15 .
𝑦 = ln 1 + 𝑡 2 , 0
48
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝜋
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 +
в точке с абсциссой 𝑥0 = 0.
6
Сделать чертѐж. Определить по чертежу знак производной
𝜋
𝑦′(𝑥1 ) при 𝑥1 = − 3 , ответ обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
5. Закон прямолинейного движения точки:
𝜋
sin3 𝑡 , 𝑡 ∈ 0 ;
,
2
𝜋
S(t) =
1 ,𝑡 ∈ ( ;3 ,
2
𝑡 2 − 6𝑡 + 10, 𝑡 ∈ (3 ; 5 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 3 сек , 𝑡2 = 4 сек;
3) среднюю скорость за первые 4 сек;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
𝑥
−1;
6.1 𝑦 =
𝑥+1
2
𝑥
6.2 𝑦 = 2𝑥𝑒 − 2 ;
2𝑥 − 1
6.3 𝑦 = ln
.
2𝑥 + 1
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
1 − 2𝑥
𝑓 𝑥 =
, 𝑥0 = 1 .
𝑥
8∗ . Написать уравнение одной из касательных к кривой:
y 2 − 6y − 6𝑥 + 5 = 0, зная, что эта касательная параллельна
прямой 2y + 3𝑥 = 0.
9. Теорема о связи между непрерывностью функции в точке и
существованием производной в точке.
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = arccos 𝑥.
49
Вариант 20
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
𝑥6
;
3
𝑥2 ∙ 𝑥
𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 ∙ 2 − 𝑙𝑛𝑥 ;
𝑦 = 𝑥 4 ∙ 4𝑥 + cos 𝑥 − 4𝑒 ;
sin 𝑥
𝑦=
+ 𝑥 5𝑥 + 3 ;
3
4 + tg 𝑥
𝑦= 7
;
𝑥 − ctg 𝑥
𝑦 = arcsin 𝑥 ∙ 2𝑥 5 − 3 ;
𝑥2
𝑦=
∙ 𝑥 + arcctg 𝑥 ;
2 𝑥
4𝑒 − ln 𝑥
𝑦=
;
3 − arccos 𝑥
𝑦 = arcsin ctg 𝑥 ;
𝑦 = cos 3𝑥 ∙ 6 − 𝑥 3 ;
2
𝑦 = 51−𝑥 ∙ 𝑒 3𝑥 ;
1 + 3𝑥 2
𝑦=
;
2 + 3 sin 𝑥 2
arccos 2𝑥
𝑦=
;
(4𝑥 − 3)4
𝑦 = 𝑒 arcsin (1−𝑥)⁡;
𝑥 = ctg3 𝑡 ,
𝑦 = arcctg 1 + 𝑡 3 ;
(𝑥 + 1)3 + (𝑦 + 1)3 − 3 𝑥 + 1 𝑦 + 1 = 0;
𝑦 = (arctg 𝑥)sin 𝑥 .
𝑦=
4
+𝑥∙
3
𝑥4 −
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝑦 = sin 𝑥 , 𝑥0 = 𝜋 2 ;
𝑦𝑒 𝑦 = 𝑒 𝑥+1 , 𝑥0 = 0;
𝑥 = arcsin 𝑡 ,
𝑡0 = 1 .
𝑦 = ln 𝑡 ,
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 = ln(𝑥 − 4) в точке 𝑀(4 + 𝑒; 1). Сделать чертѐж.
Определить по чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 7,
ответ обосновать.
50
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
5.
3𝑡 2 , 𝑡 ∈ 0 ; 1 ,
S(t) = 6 − 3(𝑡 − 2)2 , 𝑡 ∈ (1 ; 2 ,
6, 𝑡 ∈ (2 ; 6 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 1 сек , 𝑡2 = 3 сек;
3) среднюю скорость в отрезке 𝑡 ∈ 1; 2 ;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1
6.2
6.3
1
;
cos 𝑥 + 1
𝑥
−𝑥
𝑦 = ln 𝑒 + 𝑒
;
𝑦 = arccos 𝑥 .
𝑦=
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝑥
𝑓 𝑥 =
, 𝑥0 = −1 .
(𝑥 + 2)2
8∗ . Написать уравнение касательной к кривой:
3y 2 − 24y + 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 0, зная, что эта касательная
параллельна прямой y + 𝑥 = 2.
9. Дифференциал функции
геометрический смысл).
в
точке
(определение
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = arcsin 𝑥.
и
51
Вариант 21
1. Найти производные следующих функций:
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
4−5 𝑥
2
5
− 4 + ;
3
3 𝑥 𝑥
3
𝑦 = 𝑒 − 𝑥 2 − cos 𝑥 ;
2 sin 𝑥 − 𝑥 3
𝑦=
;
4−𝑥
𝑥
𝑒 −2
𝑦=
;
ctg 𝑥 − 6
𝑦 = tg 𝑥 − 3 arctg 𝑥 + 2 ;
1
𝑦 = 𝑥 3 ∙ 4𝑥 − 𝑥 2 arcctg 𝑥 ;
3
4 log 3 𝑥 − 1
𝑦=
;
𝑥 − arccos 𝑥
5 − 𝑙𝑛𝑥
𝑦=
− 3;
arcsin 𝑥
𝑦 = ln 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ;
4 + cos 𝑥
𝑦=
;
1 + sin 3𝑥
4
𝑦 = 2 tg 3𝑥 ∙ 𝑥 − 𝑥 4 ;
3 log 4 (𝑥 + 2)
𝑦=
;
sin(𝑥 + 3)
𝑦 = arcsin3 𝑥 ∙ ctg2 𝑥 ;
𝑦 = 5cos 4𝑥 ;
1
1
𝑥 = 𝑡3 + 𝑡2 + 𝑡 ,
3
2
1 2 1
𝑦= 𝑡 + ;
2
𝑡
𝑥 ln 1 + 𝑦 2 + 𝑦 ln(1 + 𝑥 2 ) = 0 ;
3
𝑦 = (arcsin 3𝑥)𝑥 .
𝑦=
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝜋3
;
8
𝑒 𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑒, 𝑥0 = 0 ;
𝜋
𝑥 = 3 𝑡 − sin 𝑡 ,
𝑡 = .
𝑦 = 3 2 cos 𝑡 , 0 2
3
𝑦 = ctg 𝑥 , 𝑥0 =
52
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 = 𝑒 −𝑥 + 1 в точке 𝑀(0; 2). Сделать чертѐж. Определить по
чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = −1, ответ
обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
5.
9𝑡 2 − 6𝑡 3 , 𝑡 ∈ 0 ; 1 ,
3 , 𝑡 ∈ (1 ; 4 ,
S(t) =
3 + (𝑡 − 4)2 , 𝑡 ∈ (4 ; 5 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 3 сек , 𝑡2 = 5 сек;
3) среднюю скорость в отрезке 𝑡 ∈ 3; 5 ;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.2
𝑦=𝑒 𝑥− 𝑥;
𝑦 = ln 𝑥 + 𝑥 2 − 3 ;
6.3
𝑦 = arcctg 𝑥 .
6.1
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝑓 𝑥 = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1 , 𝑥0 = 1 .
8∗ . Написать уравнение одной из касательных к кривой:
38y 2 + 48y − 9𝑥 2 − 36𝑥 + 108 = 0, зная, что эта касательная
параллельна прямой 2y − 3𝑥 = 0.
9. Теорема о производной сложной функции.
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = 𝑎 𝑥 .
53
Вариант 22
1. Найти производные следующих функций:
𝑥3
4
5
−4
+ 4 − 𝑒3 ;
3
3
𝑥
𝑥
1
1.2 𝑦 = 5 − 3𝑥 −
𝜋 − sin 𝑥 ;
𝑥
2 cos 𝑥 − 3
1.3 𝑦 =
;
4𝑥 − 𝑥 3
𝑒
1.4 𝑦 =
+ ln 𝑥 ;
ctg 𝑥
1.5 𝑦 = 6𝑥 7 ∙ 2𝑥 − 10𝑥 ∙ 𝑥 ;
2 − arcctg 𝑥
1.6 𝑦 =
;
1 + tg 𝑥
1.7 𝑦 = 5 − 3𝑥 𝑒 − arcsin 𝑥 ;
2 − log 3 𝑥
1.8 𝑦 =
;
arctg 𝑥
2
1.9 𝑦 = ln ln 𝑥 − 3 − 3
;
ln 𝑥 − 3
1.10 𝑦 = cos 2𝑥 2 + 3𝑥 + 1 ;
3−𝑥
1.11 𝑦 = 𝑥 9 ∙ arctg
;
4+𝑥
1
1.12 𝑦 = 𝑒 lg 𝑥 ∙ arcsin 3𝑥 ;
1.1
𝑦=
sin3 𝑥
− ctg2 𝑥 ;
5sin 𝑥
1.14 𝑦 = arcctg 𝑥 5 ;
𝑥 = 2𝑡 − 1 ,
1.15
𝑦 = arccos 1 − 2𝑡 ;
1.16 𝑥𝑦 − 2 5 𝑦 = 𝑥 2 ;
1.17 𝑦 = (ctg 2𝑥) 𝑥 .
1.13 𝑦 =
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝑦 = 5 cos 2 𝑥 , 𝑥0 = 𝜋 ;
𝑦𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑦 = 𝑒 + 1 , 𝑥0 = 0,
𝜋
𝑥 = sin 2𝑡,
𝑡0 = − .
2
𝑦 = cos 𝑡,
8
𝑦0 = 1;
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 = 2𝑒 −𝑥 в точке 𝑀(−1; 2𝑒). Сделать чертѐж. Определить по
54
чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = −2, ответ
обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
5.
1 3
𝑡 , 𝑡 ∈ 0 ;1 ,
2
3
S(t) =
2 − (𝑡 − 3)2 , 𝑡 ∈ (1 ; 3 ,
8
2, 𝑡 ∈ (3 ; 6 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 1 сек , 𝑡2 = 4 сек;
3) среднюю скорость в отрезке 𝑡 ∈ 1; 3 ;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1
𝑦=
6.2
𝑦 = cos 2𝑥 −
6.3
9 − 4𝑥 2 ;
1
;
cos 2𝑥
𝑦 = arcsin 𝑥 .
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝜋
𝑓 𝑥 = sin 𝑥 , 𝑥0 = .
4
∗
8 . Написать уравнение касательной к кривой:
1−𝑥
𝑦 = arctg
, зная, что эта касательная параллельна прямой
1+𝑥
y + 𝑥 = 2.
9. Теорема о производной произведения двух функций.
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = tg 𝑥.
55
Вариант 23
1. Найти производные следующих функций:
2
5
1.1 𝑦 = 3 𝑥 5 − 4 + 2 − 𝜋 3 ;
𝑥 𝑥
1
1.2 𝑦 = 3 −
𝜋 cos 𝑥 − tg 𝑥 ;
𝑥
2 log 5 𝑥 − 𝑥
1.3 𝑦 =
;
1 − 𝑥2
arctg 𝑥 − 3𝑥
1.4 𝑦 =
+ sin 𝑥 ;
6 − 𝑒𝑥
𝑥
1.5 𝑦 = 3 − 3 𝑥 ∙ 𝑥 3 ;
arcsin 𝑥 − 6𝑥
;
1.6 𝑦 =
1 + ctg 𝑥
𝜋
1.7 𝑦 = tg − 3𝑥 3 7 − arccos 𝑥 ;
8
3 − ln 𝑥
1.8 𝑦 =
;
arcctg 𝑥 − 𝑥 4
1.9 𝑦 = log 2 (1 + sin 𝑥) ;
2
1.10 𝑦 =
+ ctg 3𝑥 ;
3
cos(𝑥 − 1) ⁡
1.11 𝑦 = arctg 4𝑥 + arcctg 3𝑥 ;
1.12 𝑦 = lg tg 𝑥 + 1 − 5𝑥 − 3 ;
𝑥
arccos 3
1.13 𝑦 =
;
1 + 𝑒 2𝑥
1.14 𝑦 =
arcsin 2𝑥 − 𝑥 2 − 5 ;
1
𝑥 = 𝑡 + sin 2𝑡 ,
2
𝑦 = cos3 𝑡 ;
1.16 𝑥 2 𝑦 − 𝑦 2 𝑥 + 𝑥 − 𝑦
2
1.17 𝑦 = (log 2 𝑥) 𝑥 .
1.15
3
=0;
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1 𝑦 = 3 sin2 𝑥 , 𝑥0 = 𝜋 ;
𝑒 𝑥𝑦
1
2.2
= 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + , 𝑥0 = 0 ;
2
𝑥 +𝑦
2
𝑥 = arccos 𝑡 ,
2.3
𝑡 =4.
𝑦 = −2 1 − 𝑡 2 , 0
56
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝑦 2 + 4𝑦 − 𝑥 + 5 = 0 в точке 𝑀(2; −1). Сделать чертѐж.
Определить по чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 5,
ответ обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
1 2
𝜋
sin 𝑡 , 𝑡 ∈ 0 ;
,
2
2
1
𝜋
S(t) =
,𝑡 ∈ ( ;2 ,
2
2
1
+ (𝑡 − 2)2 , 𝑡 ∈ (2 ; 5 ,
2
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
𝜋
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 4 сек , 𝑡2 = 3 сек ;
3) среднюю скорость за первые 4 сек;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1 𝑦 = 2 − 𝑥 − 𝑥 2 ;
6.2 𝑦 = tg 𝑒 −2𝑥 ;
1
6.3 𝑦 = arcctg .
𝑥
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
3
𝑓 𝑥 =
, 𝑥0 = −1 .
(𝑥 + 2)3
8∗ . Написать уравнение касательной к кривой:
𝜋 𝜋
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥,
𝑥𝜖 − ; ,
зная,
что
эта
нормаль
2 2
перпендикулярна прямой 𝑥 + 𝑦 = 2.
5.
9. Теорема о производной суммы двух функций.
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = ctg 𝑥.
57
Вариант 24
1. Найти производные следующих функций:
2𝑥 3 − 4
1.1
𝑦=
1.2
𝑦 = 𝑒𝑥 −
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
3
𝑥7
+ 𝑥2 − 𝜋 ;
1
4 − 𝑐𝑡𝑔𝑥 ;
𝑥3
ln 𝑥 − 𝑥
𝑦=
;
cos 𝑥 − 2𝑥 2 𝑥
arcsin 𝑥 − 3
𝑦=
+ sin 𝑥 ;
5
𝜋 𝑥
𝑦 = cos
∙ cos 𝑥 − 4 ;
5
arctg 𝑥 − 3
𝑦=
;
1 + tg 𝑥
𝑦 = 1 − 𝑥 3 arcctg 𝑥 − 3 7 − 𝑥 ;
log 4 𝑥
𝑦=
;
5𝑥 − 𝑥 4
3
𝑦 = ctg 𝑥 + (4𝑥 + 3)2 ;
5+𝑥
𝑦 = lg
;
2−𝑥
3
𝑦 = 𝑥 ∙ 3cos 𝑥 ;
(arcsin 𝑥)3
𝑦=
;
ln(4𝑥 − 3) ⁡
𝑦 = 𝑥 ∙ arctg3 5𝑥 + ln tg 𝑥 ;
𝑥
𝑦 = sin3 5𝑥 ∙ cos 2 ;
3
𝑥 = arcsin 𝑡 2 − 1 ,
𝑦 = arccos 2𝑡 ;
2𝑥 = 𝑒 𝑥−𝑦 ;
𝑦 = (𝑥 3 − 1)ln 𝑥 .
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝜋
𝑦 = tg 𝑥 2 , 𝑥0 =
;
2
cos 𝑦
𝜋 𝜋
+ 𝑥 2 − 2 = 0, 𝑥0 = 1, 𝑦0 ∈ − ;
;
𝑥
4 4
2
𝑥 = ln 𝑡 ,
𝑡 =1.
𝑦 = 𝑡 + ln 𝑡 , 0
58
2
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой 𝑦 = 3−𝑥
в точке 𝑀(2; 2). Сделать чертѐж. Определить по чертежу
знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 = 5, ответ обосновать.
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
Закон прямолинейного движения точки:
5.
1 3
𝑡 , 𝑡 ∈ 0;2 ,
3
14
− 2(𝑡 − 3)2 , 𝑡 ∈ (2 ; 3 ,
3
14
, 𝑡 ∈ (3 ; 6 ,
3
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
S(t) =
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 1 сек , 𝑡2 = 4 сек;
3) среднюю скорость в отрезке 𝑡 ∈ 1; 3 ;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1
6.2
6.3
𝑦 = sin 2𝑥 + 1 ;
𝑦 = ln ln −𝑥 ;
𝑦 = arccos 𝑥 + 1 .
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
(𝑥 + 1)2
, 𝑥0 = 2 .
𝑥
8∗ . Написать уравнение нормали к кривой:
9𝑥 2 + 5𝑦 2 = 90, зная, что эта касательная перпендикулярна
прямой 𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0.
𝑓 𝑥 =
9. Теорема о производной частного двух функций.
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = arctg 𝑥.
59
Вариант 25
1. Найти производные следующих функций:
3
+ 𝑥 5 − ln 5 ;
𝑥
1.2 𝑦 = 𝑥 3 ∙ arcsin 𝑥 ;
sin 𝑥 + 𝑥
1.3 𝑦 =
;
3
𝑥 − 2𝑥
𝑥
𝑥−3
1.4 𝑦 =
+ 8 tg 𝑥 ;
5
1.5 𝑦 = ln 4 ∙ ctg 𝑥 + 2 ;
log 6 𝑥 − arcctg 𝑥
1.6 𝑦 =
;
𝑒𝑥
3
1.7 𝑦 = 1 − 2𝑥 ∙ arctg 𝑥 ;
ln 𝑥
1.8 𝑦 =
;
5 cos 𝑥 − 𝑥 3
1
1
1.9 𝑦 = sin3 𝑥 + cos5 𝑥 ;
3
5
1.10 𝑦 = ln 1 − 3𝑥 ∙ lg 2𝑥 + 1 ;
1.11 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑥 2 ;
arccos(2𝑥 + 1) ⁡
1.12 𝑦 =
;
2𝑡𝑔𝑥
1
1.13 𝑦 = arctg ln
;
𝑥
2
1.14 𝑦 = 5sin 𝑥 ;
𝑥 = 𝑡 5 + 2𝑡,
1.15
𝑦 = 𝑡 3 + 8𝑡 ;
𝑦 1
1.16 arctg = ln 𝑥 2 + 𝑦 2 ;
𝑥 2
1.17 𝑦 = (sin 𝑥) 𝑥 .
1.1
𝑦=
𝑥3 − 3
2. Вычислить значение производной функции 𝑦(𝑥) в точке 𝑥0 :
2.1
2.2
2.3
𝜋2
;
4
ln 𝑥 2 + 𝑦 2 = arctg 𝑦𝑥 , 𝑥0 = 0, 𝑦0 𝜖 0; 2 ;
𝑥 = 𝑡 𝑒𝑡 ,
1
𝑡 𝑡0 = − .
𝑦= 𝑡 ,
2
𝑒
𝑦 = ctg 𝑥 , 𝑥0 =
60
3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
𝜋
𝑦 = sin 𝑥 cos 𝑥 в точке 𝑀( ; 0). Сделать чертѐж. Определить
2
по чертежу знак производной 𝑦′(𝑥0 ) при 𝑥0 =
обосновать.
3𝜋
,
2
ответ
4. Найти производные второго порядка для функций, заданных
в пунктах 1.1, 1.2, 1.3.
5.
Закон прямолинейного движения точки:
𝑡 , 𝑡 ∈ 0;4 ,
S(t) =
2, 𝑡 ∈ (4 ; 5 ,
2 + (𝑡 − 5)2 , 𝑡 ∈ (5 ; 7 ,
где S(t) – путь в метрах, t – время в секундах.
Построить график функции S(t). Найти:
1) зависимость скорости движения от времени и построить
график этой зависимости;
2) скорость движения в момент 𝑡1 = 2 сек , 𝑡2 = 6 сек;
3) среднюю скорость за первые 4 сек;
4) интервал времени, в течение которого точка находилась в
покое;
5) момент времени, когда точка имела наибольшую скорость.
6. Найти дифференциалы функций:
6.1 𝑦 = 𝑥 + tg 2𝑥 ;
6.2 𝑦 = ln 𝑒 −𝑥 + 1 ;
1
6.3 𝑦 =
.
cos 𝑥 2
7∗ . Используя определение производной, найти 𝑓′(𝑥0 ) для
функции
𝑓 𝑥 = 2𝑥 2 − 3𝑥 + 1, 𝑥0 = 1 .
8∗ . Написать уравнение касательной к кривой:
9𝑥 2 − 18𝑥 − 2𝑦 2 − 8𝑦 − 17 = 0, зная, что
параллельна прямой 3𝑦 = 1 − 𝑥.
эта
нормаль
9. Теорема о связи между непрерывностью функции в точке и
существованием производной в точке.
10. Вывести формулу производной функции 𝑦 = ln𝑥, используя
определение производной функции.