Семинар 7. Типовая задача на модель Хардина (проблемы

Семинар 7. Типовая задача на модель Хардина (проблемы
коллективной собственности)
В городе М-ске проживает постоянное количество азартных игроков (Y), которые
любят посещать казино. Также в этом городе живут 3
R(G)
одинаковых владельца казино, которые решают вопрос о
том, сколько игорных заведений им построить в М-ске.
Выручка от одного казино напрямую зависит от их
количества (G) в городе:
G
0
1
10
G0
 0,

2
R (G )  Y  G , 0  G  10 .
 0,
G  10

Издержки открытия и содержания одного казино составляют с.
Задание:
1. Допустим, владельцы казино принимают решение независимо друг от друга.
Посчитайте, сколько казино будет открыто в данном случае. Посчитайте прибыль каждого
владельца и общую прибыль при условии, что Y = 100, а с = 40.
2. Предположим, что владельцы казино рассматривают вопрос о принятии
решения о количестве казино сообща. Сколько казино будет открыто в этом случае?
Какую прибыль получат владельцы казино? Выгодно ли им объединяться?
3. Сравните результаты первого и второго пунктов и ответьте на вопрос:
присутствует ли в данной ситуации так называемая проблема общин? Ответ пояснить.
4. Допустим, один из участников кооперации решил обмануть остальных.
Покажите, что у него действительно есть стимулы к обману. Посчитайте прибыли
участников и количество казино в данном случае.
5. Допустим, что владельцы казино, принимая решение о коллективном действии,
договорились о наказании того игрока, который решит отклониться от договора. Какой в
таком случае необходимо установить минимальный штраф?
6. Что произойдет, если два владельца казино решат организовать альянс, а один
владелец не будет вступать в этот альянс? Будет ли альянс устойчивым? Примечание:
альянс и владелец казино не вошедший в альянс принимают решение о количестве казино
независимо друг от друга. Прибыль внутри альянса делится пополам.
Решение:
1. Если владельцы казино принимают решение независимо друг от друга, то
каждый из них максимизирует свою собственную прибыль, не оглядываясь на остальных.


 i  g i 100   g i   c  max
2
g i ,i 1, 2 ,3
 i
2
 100   g i   c  2 g i ( g i )  0
g i
100  c  G 2
gi 
2G
Общее количество казино в этом случае будет:
3(100  c  G 2 )
2G
2
2G  3(100  c  G 2 )
G  3  gi 
5G 2  3(100  c)
G
3(100  c)
3(100  40)

6
5
5
А каждый владелец казино откроет по 2 казино.
В итоге прибыль каждого участника игрального бизнеса в городе будет:
 i  2(100  36  40)  48
3
Общая прибыль:

i
 144
i 1
2. Если владельцы казино принимают решение об открытии игорных заведений
сообща, то они максимизируют свою общую прибыль.
  G (100  G 2  c )  max
G

 100  3G 2  c  0
G
G
gi 
100  с
100  40

 2 5  4,47
3
3
100  с
100  40 2


5  1,49
27
27
3
(1)
Общая прибыль составит:   2 5 (100  40  20)  80 5  178,89 . Прибыль каждого
участника:  i 
80
5  59,63 .
3
Сравнивая прибыли при отдельном принятии решений и при принятии решения
сообща, можно сделать вывод о том, что совместная максимизация прибыли выгоднее
владельцам казино.
3. В данном взаимодействии присутствует проблема общин. Участники игры
вынуждены максимизировать прибыль на ограниченном пространстве (количество
азартных игроков постоянно); при этом, чем больше казино открывается в городе, тем
меньше становится прибыль участников (см. таблицу 1).
Таблица 1.
Совместное
Показатель
принятие
Отдельное
Знак
решения
Общее
количество
казино
в
<
6
1,49
<
2
178,89
>
144
59,63
>
48
Количество казино, открытых
каждым участником, (gi)
Прибыль
каждого
решения
4,47
городе, (G)
Общая прибыль, (  )
принятие
владельца
казино, (  i )
Из таблицы 1 видно, что больше казино будет открыто том в случае, когда
владельцы принимают решение независимо. Однако максимум общей прибыли (и
максимум прибыли отдельного участника) достигается, когда решение принимается
сообща. Подобное неоптимальное распределение ресурсов (при независимом принятии
решения) объясняется тем, что владельцы казино стремятся максимизировать свою
прибыль путем увеличения количества казино.
4. Посчитаем прибыль участника, решившего обмануть остальных (пусть это будет
первый
участник),
не
учитывая
поведения
остальных
владельцев
казино.
Он
максимизирует прибыль, считая количество казино других владельцев фиксированной
величиной, поэтому:
 1  g1 (100  ( g1  g 2  g 3 ) 2  c)  max
g1
При том, что (из формулы 1): g 2  g 3 
2
5  1,49 .
3
Решаем дальше:
 1
4
4
 100  ( g1 
5 ) 2  2 g1 ( g1 
5 )  40  0
g1
3
3
Выражаем отсюда g1 и приводим выражение к квадратному уравнению:
g12 
16
460
5 g1 
0
9
27
Корни которого равны: 2,59 и (-6,59). Поскольку нас интересуют только
положительные корни, то решением данной задачи максимизации будет: 2,59 казино
откроет нарушитель кооперативного соглашения. В этом случае у него будет прибыль:
 1  2,59(100  40  (2,59  2,98) 2 )  75,05 .
А прибыль остальных игроков будет:
 2,3  1,49(100  40  (2,59  2,98) 2 )  43,17.
Видно, что их прибыль уменьшилась по сравнению с той, какую они рассчитывали
получить при кооперативном поведении. И эта прибыль даже меньше той, что они могли
бы получить при независимом принятии решений. А поскольку, все будут действовать
именно так, то система придет к равновесию, где каждый решает вопрос о количестве
открытого казино автономно.
5. Минимальный штраф должен быть следующим. Нужно сделать невыгодным
отклонение от кооперативной стратегии, т.е. минимальный штраф составляет разницу
между выигрышем от кооперативного поведения и не кооперативного (т.е. обмана) =
59,63 – 75,05 = - 15,42. Таким образом, у игроков нет стимула отклоняться от кооперации,
иначе их выигрыш будет меньше, чем при коллективном действии.
6. Предположим, что первый и второй владельцы решили создать альянс:
g1  g 2  g 4 .
Тогда задача максимизации прибыли, при независимом принятии решений,
становится следующей:


 i  g i 100   g i   c  max
g ,i 3 , 4
2
i
 i
2
 100   g i   c  2 g i ( g i )  0
g i
100  c  G 2
gi 
2G
Общее количество казино в данном случае будет:
(100  c  G 2 )
G
2
2
G  100  c  G
G  2  gi 
2G 2  100  c
G
100  c
100  40

 30
2
2
Альянс и независимый владелец откроют по 0,5 30 казино, что принесет им
общую прибыль в размере:   30 (100  40  30)  30 30. И прибыль в размере
15 30  82,14 на каждого. Прибыль внутри альянса будет поделена поровну, т.е. каждый
получит по 7,5 30  41,07 . Т.е. прибыль каждого участника альянса будет меньше даже
той прибыли, которую они могли бы получить при независимом принятии решений.
Другими словами, у участников альянса всегда будет стимул выйти из него, и альянс будет
неустойчивым.