Расчет статически неопределимых систем методом сил

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
1
ЛЕКЦИЯ 22 Расчет статически неопределимых систем методом сил
1 Статически неопределимые стержневые системы
Стержневой системой называется всякая конструкция, состоящая из
элементов, имеющих форму бруса. Примеры стержневых систем показаны
на рис. 1
Рис. 1
Стержневая система называется рамой, если ее элементы работают, в
основном, на изгиб и кручение. Примеры рам показаны на рис. 2.
Рис. 2
Стержневая система называется статически неопределимой (СН), если реакции ее связей, а следовательно, и ВСФ в элементах системы не могут
быть определены из уравнений статического равновесия. Примеры статически неопределимых стержневых систем и рам показаны на рис. 3.
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
2
Рис. 3
2 Внешние связи. Связи необходимые и дополнительные (лишние)
Известно, что внешняя связь – это связь, исключающая абсолютное
(линейное или угловое) перемещение некоторого сечения.
Необходимым числом связей называется их минимальное количество, обеспечивающее кинематическую неизменяемость системы.
Отметим, что необходимое число связей всегда равно числу независимых уравнений статического равновесия, которые могут быть составлены
для системы внешних сил, действующих на данную конструкцию.
Дополнительные связи – связи, наложенные на систему сверх необходимого числа.
3 Степень статической неопределимости системы
Будем рассматривать только внешним образом статически неопределимые системы (СНС). Для них
K = m – n,
где:
K – степень статической неопределимости;
m – число внешних связей;
n – число необходимых связей.
(1)
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
3
Пример:
Рис. 4
4 Порядок раскрытия статической неопределимости систем методом
сил
Очевидно, что реакции дополнительных связей не могут быть найдены из уравнений статического равновесия. Их определяют, записывая дополнительные уравнения, имеющие геометрическую природу.
(а) установить степень статической неопределимости
Рис. 5
Перечеркнутыми стрелками указаны перемещения, которые ограничены в рассматриваемом сечении из-за наличия опоры данного типа.
(б) отбросить дополнительные связи
При этом необходимо следить, чтобы система не превратилась в механизм.
4
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
Определение система, полученная из исходной путем отбрасывания
лишних связей и удаления всех внешних нагрузок, называется основной
системой (ОС).
Рис. 6
(в) заменить действие отброшенных дополнительных (лишних) связей
их реакциями, обозначив эти неизвесные реакции X1, X2, …, Xk, и
построить эквивалентную систему
Определение Эквивалентная система (ЭС) – это система, получаемая
из ОС путем приложения всех внешних сил и реакций всех отброшенных
дополнительных связей.
Например, используя первую основную
систему, получаем ЭСI:
Рис. 7
(г) годобрать реакции отброшенных связей таким образом, чтобы выполнялись ограничения на перемещения, или обусловленные
Для этого составим уравнения, фиксирующие тот факт, что перемещения точки приложения каждой из дополнительных связей в соответствующем направлении равны нулю. Число таких уравнений всегда равно числу
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
5
отброшенных дополнительных связей (или искомых реакций), следовательно, система уравнений разрешима всегда.
Решая полученную систему уравнений, находим X1, X2, …, Xk. На
этом раскрытие статической неопределимости закончено.
(д) в дальнейшем рассматриваем статически определимую систему,
нагруженную внешними силами, в число которых включены и найденные в п. (г) реакции отброшенных дополнительных связей
5 Методика составления уравнений для определения лишних неизвестных. Вывод канонических уравнений метода сил для нахождения
неизвестных реакций лишних связей
Уравнения, составленные по п. (г) решения,
записываются в строго определенной, канонической
форме.
Рассмотрим пример. Здесь Р – произвольная плоская
система
сил,
действующих
в
плоскости
конструкции.
1. Установим степень статической неопределимости системы:
m = 6,
Рис. 8
n = 3,
К = m – n = 3.
2. Выберем одну из основных систем:
Рис. 9
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
6
Для дальнейших расчётов выбираем, например, 1-й вариант (ОС1).
3. Строим эквивалентную систему (ЭС), соответствующую выбранной основной.
Эквивалентность этой системы и исходной
будет обеспечена при таких значениях X1 X2 X3,
когда линейные и угловые перемещения сечения В
будут равны 0.
4. Запишем уравнения, фиксирующие этот факт:
f гор В   X 1 , X 2 , X 3 , P   1  0 

f вертВ   X 1 , X 2 , X 3 , P    2  0 

f углов В   X 1 , X 2 , X 3 , P    3  0
(2)
Перепишем систему (2), используя принцип суРис. 10
перпозиции (независимости действия сил), т.е. запишем сумму перемещений, создаваемых каждым из 4-х слагаемых системы нагружения. Очевидно,
что искомые перемещения вызваны 4-мя причинами. Это X1, X2, X3, Р.
Тогда
1  11  12  13  1P  0 

 2   21   22   23   2 P  0
 3   31   32   33   3P  0 
где
(3)
 ik – перемещение (линейное или угловое) точки приложения реак-
ции i-той связи вдоль линии ее действия под действием реакции связи k.
 iр – перемещение (линейное или угловое) точки приложения реак-
ции связи i связи вдоль линии ее действия под действием системы внешних
сил.
Сказанное хорошо иллюстрирует рис. 11.
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
7
Рис. 11
В силу линейной взаимосвязи между усилиями и перемещениями
(справедлив закон Гука) можно записать:
.
 ik =  ik Хk,
где
(4)
 ik – коэффициент пропорциональности – перемещение точки при-
ложения реакции связи i вдоль линии ее действия под действием единичной по величине силы, совпадающей по направлению и точке приложения с реакцией связи k.
Подставляем  ik из (4) в (3):
11 X 1  12 X 2  13 X 3  1P  0 

 21 X 1   22 X 2   23 X 3   2 P  0
31 X 1  32 X 2  33 X 3   3P  0 
(5)
Система (5) является системой канонических уравнений метода сил.
Если конструкция является К раз статически неопределимой, т.е. число лишних связей равно К, то система (5) приобретает вид:
8
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
11 X 1  12 X 2  ...  1k X k  1P  0 
 21 X 1   22 X 2  ...   2k X k   2 P  0

......................................................

 k1 X 1   k 2 X 2  ...   kk X k   kP  0 
(6)
Замечания
1.
В силу теоремы о взаимности перемещений
 ik =  ki.
2.
Всегда
 ik > 0,
3.
(7)
при i = k.
(8)
При определении величин  ip – рационально непосредственное инте-
грирование с использованием формулы Мора, а  ik рационально определять
способом Верещагина.
4.
Если в результате решения системы (5) получаем Xi < 0, это значит,
что действительное направление реакции Xi противоположно избранному
при построении эквивалентной системы.
5.
Для многократно статически неопределимых систем целесообразно
решение системы (6) на ЭВМ.