Извещение;doc

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Сибирское отделение
Институт ядерной физики имени Г.И. Будкера
На правах рукописи
Смалюк Виктор Васильевич
Диагностика поперечного движения пучка в
накопителе: разработка и развитие методов, их
практическая реализация на комплексе ВЭПП-4М.
01.04.20 – физика пучков заряженных частиц
и ускорительная техника
Диссертация на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Научные руководители:
кандидат технических наук
Калинин Александр Сергеевич,
кандидат технических наук
Киселев Владимир Афанасьевич
Новосибирск – 1999
2
Содержание
Введение ............................................................................................................................5
Глава 1. Бетатронные колебания .................................................................................9
1.1 Уравнения движения ..............................................................................................9
1.2 Пооборотное измерение колебаний ....................................................................12
1.3 Фазовые траектории .............................................................................................14
1.4 Метод двух пикапов .............................................................................................15
1.5 Метод одного пикапа............................................................................................17
1.5.1 Сосредоточенная нелинейность.................................................................18
1.5.2 Равномерно распределенная нелинейность..............................................23
1.5.3 Нелинейность с произвольным распределением .....................................27
1.6 Критерий сходства двух фазовых траекторий ...................................................28
Глава 2. Дискретный спектральный анализ колебаний.
Фильтрация шума .........................................................................................29
2.1 Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) ........................................................29
2.2 Точность ДПФ.......................................................................................................31
2.3 Методы уточнения ДПФ ......................................................................................33
2.3.1 Метод интерполяции амплитудного спектра ...........................................33
2.3.2 Метод промежуточных Фурье-гармоник..................................................34
2.3.3 Сравнительный анализ методов уточнения ДПФ ....................................37
2.4 Дискретный гребенчатый фильтр .......................................................................41
Глава 3. Измерение частоты, амплитуды и фазы колебаний пучка.
Практические приложения .........................................................................43
3.1 Особенности измерения параметров затухающих колебаний .........................44
3.2 Диагностика инжекции ........................................................................................46
3.3 Измерение структурных функций.......................................................................47
3.4 Измерение хроматизма.........................................................................................49
3.5 Измерение нелинейности ведущего поля...........................................................50
3
3.6 Спектральный анализ медленного движения пучка..........................................51
Глава 4. Измерение и численный расчет нелинейных бетатронных колебаний.
Практические приложения .........................................................................54
4.1 Построение фазовых траекторий методом двух пикапов.................................54
4.2 Построение фазовых траекторий методом одного пикапа ...............................58
4.2.1 Структура с финальным фокусом. Накопитель ВЭПП-4М ....................58
4.2.2 Периодическая структура. Накопитель "Сибирь-2" ................................64
4.3 Обзор практических результатов, полученных на накопителе ВЭПП-4М .....67
Глава 5. Синхротронные колебания..........................................................................71
5.1 Дискретные уравнения движения .......................................................................71
5.2 Фазовое уравнение................................................................................................73
5.3 Фазовые траектории синхротронных колебаний...............................................74
5.3.1 Построение фазовых траекторий
по независимым измерениям энергии и фазы .........................................74
5.3.2 Метод одного пикапа для синхротронных колебаний ............................75
Глава 6. Импедансы связи ...........................................................................................80
6.1 TMC неустойчивость в накопителе ВЭПП-4М .................................................80
6.2 Взаимодействие пучка с окружающей структурой ...........................................83
6.2.1 Wake-потенциалы........................................................................................83
6.2.2 Импедансы ...................................................................................................85
6.3 Измерение интегральных импедансов связи с использованием пучка ...........86
6.3.1 Продольный импеданс................................................................................86
6.3.2 Поперечный импеданс ................................................................................87
Глава 7. Измерение азимутального распределения импедансов .........................89
7.1 Метод измерения азимутального распределения
поперечного импеданса .......................................................................................91
7.2 Поперечный импеданс накопителя ВЭПП-4М. Результаты измерений .........96
Заключение ...................................................................................................................100
4
Приложение.
Система пикапов с регистрацией сигналов на каждом обороте ........................102
П.1 Устройство и работа системы...........................................................................102
П.2 Программное обеспечение................................................................................105
П.3 Точность измерений ..........................................................................................106
П.3.1 Шумовое разрешение системы диагностики.........................................106
П.3.2 Погрешность измерения орбиты, зависящая от тока пучка.................107
Литература....................................................................................................................109
5
Введение
В настоящее время наиболее высокие требования к качеству пучков заряженных
частиц предъявляются в накопителях, таких как коллайдеры и источники синхротронного
излучения. Для достижения требуемого качества пучка необходима тонкая настройка
магнитной структуры, ускоряющей системы, систем впуска-выпуска и т.д. Эффективность
работы накопителя напрямую зависит от точности установки расчетных физических
параметров и их долговременной стабильности.
В
процессе
запуска
и
эксплуатации
ускорительного
комплекса
возникает
необходимость в большом объеме разнообразной информации о пучке и физических
параметрах установок комплекса. Единственным способом получения значительной части
требуемой информации является непосредственное измерение параметров пучка с помощью
различных систем диагностики.
Предмет диссертационной работы составляют методы диагностики поперечного
движения пучка в накопителе электронов/позитронов. Работа включает в себя разработку
новых методов, исследование и развитие существующих, а также практическое решение
задач диагностики, актуальных для накопителя ВЭПП-4М Института Ядерной Физики им.
Г.И. Будкера СО РАН.
Для решения широкого ряда задач диагностики используется спектральный анализ
когерентных колебаний пучка. Основным методом спектрального анализа является
дискретное преобразование Фурье (ДПФ), примененное к массиву выборок колебаний пучка,
измеренных пикапом на каждом обороте. Однако точность измерения частоты, амплитуды и
фазы колебаний, обеспечиваемая ДПФ, часто оказывается недостаточной.
Известны методы уточнения ДПФ, например, описанные в [1], из которых наиболее
широко используемым является метод интерполяции амплитудного спектра. В диссертации
дано описание метода промежуточных Фурье-гармоник, не требующего, в отличие от
интерполяции, задания в явном виде функции, описывающей амплитудный спектр.
С помощью численного моделирования поведены сравнительные исследования этих
методов для анализа колебаний с амплитудой, изменяющейся во времени, и при наличии
шума.
6
В задаче диагностики, состоящей в определении параметров линейных колебаний,
оптимальным фильтром шума является ДПФ. В задачах, связанных с диагностикой
нелинейных колебаний, кроме частоты, амплитуды и фазы основной гармоники, требуется
определить форму колебаний. Для таких задач предложен дискретный гребенчатый фильтр,
обеспечивающий оптимальное подавление шума.
Представление нелинейных колебаний на фазовой плоскости существенно расширяет
возможности их анализа. Фазовые траектории нелинейных бетатронных колебаний пучка
предоставляют значительный объем наглядной информации о характере нелинейности,
нелинейных резонансах, динамической апертуре и т.д.
Метод построения фазовых траекторий бетатронных колебаний, основанный на
одновременном измерении пооборотных выборок координаты пучка двумя пикапами,
используется во многих ускорительных центрах (см., например, [2], [3], [4]). Однако если в
магнитной структуре ускорителя нелинейность распределена по азимуту так, что не найдется
пары пикапов с пренебрежимо малой нелинейностью между ними, то применение метода
двух пикапов может оказаться несостоятельным.
В результате анализа математических моделей нелинейных бетатронных колебаний
показано, что существуют соотношения между дискретными спектрами координаты и
импульса на данном азимуте циклического ускорителя, независящие от амплитуды
колебаний. Эти соотношения, полученные тем или другим способом, позволяют вычислить
массив выборок импульса, исходя из массива выборок координаты, и являются основой
метода построения фазовых траекторий бетатронных колебаний по данным, измеренным
единственным пикапом.
Известны системы измерения фазовых траекторий синхротронных колебаний
(например,
[5]),
в
которых
относительное
изменение
энергии
определяется
по
горизонтальной координате, измеренной пикапом, а отклонение синхротронной фазы от
равновесной определяется независимо, с помощью фазоизмерителя.
Результатом исследований, описанных в диссертации, являются аналитические
соотношения между дискретными спектрами энергии и синхротронной фазы. Эти
соотношения являются основой метода построения фазовых траекторий синхротронных
колебаний по массиву выборок горизонтальной координаты, измеренных единственным
пикапом.
Предельный ток пучка в накопителе ВЭПП-4М ограничивается неустойчивостью
вертикальных бетатронных колебаний, обусловленной TMC (transverse mode coupling)
7
эффектом, причиной которого является электромагнитное взаимодействие пучка с
окружающей структурой. Это взаимодействие характеризуется импедансом связи. Знание
импеданса позволяет сделать оценки условий устойчивости движения пучка, оценить
пороговую интенсивность пучка, а также характерное время развития неустойчивости. В
настоящее время обязательным условием проектирования вакуумной камеры ускорителей
является минимизация импеданса связи. Вычисление импедансов ускорителей, вакуумная
камера которых содержит большое количество неоднородностей, является весьма сложной и
трудоемкой задачей. Однако во многих случаях импедансы таких ускорителей могут
исследоваться экспериментально путем анализа движения пучка.
В ЦЕРНе на накопителе LEP были разработаны методы измерения распределения
продольного и поперечного импедансов вдоль азимута накопительного кольца, основанные
на пучковых измерениях. [6] Однако эти методы оказались неприменимыми на накопителе
ВЭПП-4М, так как существенно иная структура импеданса делает эффект примерно на
порядок меньшим, чем на LEP.
Для накопителя ВЭПП-4М был разработан новый метод измерения распределения
импеданса вдоль азимута накопительного кольца. Метод базируется на измерении искажения
равновесной орбиты пучка локальным поперечным импедансом.
Важную роль в решении задач диагностики играет компьютерное моделирование.
Анализ численной модели в процессе планирования эксперимента позволяет наблюдать
ожидаемый эффект, оценить его величину, и сформулировать требования к системе
диагностики, в частности, требования к точности. Сравнение экспериментальных данных с
данными численного моделирования оказывается полезным для понимания происходящих
процессов и планирования дальнейших исследований. Применение численных моделей
также весьма эффективно для тестирования методов измерений и алгоритмов обработки
данных в процессе их разработки.
Таким образом, практическое решение задач диагностики, рассматриваемых в
диссертационной работе, включает в себя:
„
компьютерное моделирование движения пучка в каждой конкретной задаче;
„
алгоритмы определения параметров колебаний из массива дискретных выборок;
„
методы диагностики нелинейных колебаний;
„
проверку методов измерений и алгоритмов обработки данных с помощью численных
моделей;
„
разработку практических методик измерений;
8
„
оценку необходимой точности измерений и формулировку требований к системам
диагностики.
Вышеперечисленные
методы
диагностики
были
применены
для
решения
практических задач диагностики пучка, актуальных для накопителя ВЭПП-4М, таких как:
„
диагностика инжектируемого пучка;
„
измерение и коррекция структурных функций;
„
измерение параметров бетатронных и синхротронных колебаний;
„
измерение хроматизма, кубической нелинейности, связи бетатронных мод;
„
исследование нелинейной динамики пучка, измерение динамической апертуры, поиск
путей ее расширения;
„
измерение импеданса связи.
Практическое применение результатов диссертационной работы оказалось весьма
полезным для обеспечения эффективной работы ускорительного комплекса ВЭПП-4М.
9
Глава 1
Бетатронные колебания
1.1 Уравнения движения
Малые
рассматривать
отклонения
в
траектории
сопровождающей
частицы
системе
от
равновесной
координат
( x, z, s)
орбиты
[7],
горизонтальное и вертикальное смещение частицы соответственно,
координата.
Часто
представляется
удобным
в
качестве
принято
где
x, z —
s — продольная
независимой
переменной
использовать обобщенный азимут ϑ :
ϑ=
где
C — периметр орбиты,
s
,
R
R=
C
,
2π
(1.1.1)
R — ее средний радиус. В азимутально-симметричной
структуре обобщенный азимут ϑ совпадает с обычным азимутальным углом θ .
Магнитное
поле
элементов
структуры
циклического
ускорителя
содержит
нелинейные компоненты — секступольную и октупольную, а также нелинейности высших
порядков. Рассмотрим, следуя [8], движение частицы в таком поле, используя параксиальное
приближение, характеризуемое следующими условиями:
„
в медианной плоскости ускорителя z = 0 продольная и горизонтальная компоненты
магнитного поля равны нулю, а вертикальная компонента Bz ( x , z = 0, s ) представлена в
виде ряда:
Bz ( x , z = 0, s ) = B +
„
„
∂Bz
∂ 2 Bz x 2 ∂ 3 Bz x 3
x+
⋅
+
⋅ +K;
∂x
∂x 2 2 ! ∂x 3 3!
поперечный импульс частицы мал по сравнению с полным импульсом p x , z << p ;
поперечное смещение от равновесной орбиты мало по сравнению с радиусом кривизны
траектории x , z << ρ .
10
Каноническими переменными Гамильтона являются обобщенные координатаимпульс:
x, p x ≡ x ' =
dx
;
ds
z, p z ≡ z ' =
dz
.
ds
При анализе колебаний на фазовой плоскости удобно использование переменных действиефаза ( J , φ ) , которые выражаются через обобщенные координату-импульс следующим
образом:
J =
где y = x, z , а β и α = −
β'
2
y 2 + (αy + βy ' ) 2
,
2β
tan φ = α +
βy '
y
,
— параметры Твисса.
Гамильтониан частицы с равновесной энергией имеет вид:
H ( x, x ' , z, z ' , s ) =
⎞ x2
z2
x'2 z'2 ⎛ 1
+
+ ⎜⎜ 2
+ k ( s ) ⎟⎟
− k ( s)
+
2
2
2 ⎝ ρ ( s)
⎠ 2
+ m( s )
где
ρ( s ) — радиус
кривизны
3
2
4
2 2
4
x − 3xz
x + 6x z + z
+ o( s )
+ K,
6
24
траектории;
∂B
1
k ( s) =
⋅ z ,
Bρ ( s ) ∂x
(1.1.2)
∂ 2 Bz
1
m( s ) =
⋅
,
Bρ( s ) ∂x 2
∂ 3 Bz
1
o( s ) =
⋅
, … — фокусирующие силы квадрупольной, секступольной, октупольной,
Bρ ( s ) ∂x 3
и т.д. составляющих магнитного поля.
Уравнения движения частицы в нелинейном поле выглядят следующим образом:
⎛ 1
⎞
x2 − z2
x 3 − 3xz 2
x"+⎜ 2
+ k ( s )⎟ x = m( s )
+ o( s )
+K ,
2
6
⎝ ρ ( s)
⎠
z 3 − 3x 2 z
z"− k ( s ) z = m( s ) xz + o( s )
+K .
6
(1.1.3)
Аналитическое решение уравнений (1.1.3) для произвольного азимутального распределения
нелинейных полей неизвестно. Для аналитических оценок нелинейного движения обычно
используются приближенные решения, полученные на основе теории возмущений (см.,
например, [9] и список литературы там же).
В линейном приближении вертикальное и горизонтальное движения независимы,
гамильтониан распадается на два несвязанных между собой слагаемых H x ( x, x ' , s ) и
H z ( z, z ' , s ) :
11
H x ( x, x ' , s ) =
H z ( z, z' , s ) =
⎞ x2
x'2 ⎛ 1
+ ⎜⎜ 2
+ k ( s ) ⎟⎟ ,
2 ⎝ ρ ( s)
⎠ 2
2
(1.1.4)
2
z'
z
− k ( s) .
2
2
Линеаризованные уравнения поперечного движения частицы имеют вид [7]:
x"+ g x ( s ) x = 0 ,
z" + g z ( s ) z = 0 ,
1
+ k ( s) ,
ρ ( s)
g z ( s ) = −k ( s ) .
g x ( s) =
2
В циклическом ускорителе коэффициенты упругости
gx , gz
(1.1.5)
зависят от азимута
периодическим образом:
g x, z ( s + C ) = g x, z ( s) ,
где C — периметр ускорителя. Уравнения (1.1.5) описывают линейные бетатронные
колебания.
Свойства уравнения типа (1.1.5) — линейного дифференциального уравнения второго
порядка с периодическими коэффициентами (уравнения Хилла), достаточно полно изучены.
Следуя [7], запишем решение уравнения Хилла, описывающее линейные бетатронные
колебания частицы в циклическом ускорителе. Обозначим поперечные координату и
импульс частицы как y и y ' соответственно, имея в виду, что выражения, приведенные
ниже, применимы как к горизонтальным, так и к вертикальным колебаниям.
Выражения y ( s ) и y ' ( s ) имеют вид:
y ( s ) = a β ( s ) cosψ ( s ),
y' ( s) = −
(1.1.6)
a
[α ( s ) cosψ ( s ) + sinψ ( s )] ,
β ( s)
s
ds
+ ψ 0 — бетатронная фаза. Константы a и ψ 0
0 β ( s)
где β ( s ) — бета-функция, ψ ( s ) = ∫
определяются начальными условиями. Колебания (1.1.6) представляют собой искаженную
синусоиду с переменной амплитудой a β (s ) , модулированной пропорционально корню из
бета-функции,
и
пропорциональным
фазой
ψ ( s) ,
изменяющейся
с
переменным
темпом,
1
.
β ( s)
Рассмотрим непрерывный пучок частиц, равномерно распределенных вдоль азимута
циклического ускорителя. Если в таком пучке возбудить стационарные когерентные
12
бетатронные колебания, зависимость от времени координаты y и импульса y ' на некотором
азимуте s0 будет иметь вид:
~
y ( t ) = a β cos( 2πQf 0 t + ϕ ) ,
y' (t ) = −
где
(1.1.7)
a
~
~
α cos( 2πQf
[
0 t + ϕ ) + sin( 2 πQf 0 t + ϕ )] ,
β
1 C ds
~
— бетатронная
Q=
2π ∫0 β ( s )
частота,
f 0 — частота
обращения,
(1.1.8)
β = β ( s0 )
и
α = α ( s0 ) — параметры Твисса на азимуте датчика, a и ϕ — константы, определяемые
начальными условиями. Как следует из (1.1.7), (1.1.8), координата y и импульс y ' на
азимуте s0 зависят от времени по синусоидальному закону.
Для описания движения частицы в магнитной структуре с нелинейностью необходимо
использовать уравнения (1.1.3). Рассмотрим зависимость от времени координаты y и
импульса y ' на некотором азимуте s0 в рамках описанной выше модели непрерывного
пучка, колеблющегося как целое. Запишем выражения y ( t ) и y ' (t ) в виде, подобном
(1.1.7), (1.1.8):
~
y ( t ) = a ( t ) β cos[2πQf 0 t + ϕ ( t )] ,
y' (t ) = −
a( t )
β
(1.1.9)
{α cos[2πQf~ t + ϕ (t )] + sin[2πQf~ t + ϕ (t )]} ,
0
0
(1.1.10)
где амплитуда a( t ) и фаза ϕ ( t ) колебаний явно зависят от времени, в отличие от линейных
колебаний, где они являются константами. Зависимость от времени y ( t ) и y ' (t ) является
периодической, но несинусоидальной.
1.2 Пооборотное измерение колебаний
Рассмотрим стационарные когерентные бетатронные колебания пучка, имеющего вид
бесконечно короткого сгустка. В этом случае зависимость от времени координаты и
импульса на некотором азимуте s0 представляет собой последовательность бесконечно
коротких пиков, следующих с частотой обращения. Если колебания линейны, пооборотные
значения координаты y k и импульса y' k бесконечно короткого пучка будут представлять
собой дискретные выборки непрерывных функций (1.1.7), (1.1.8):
13
y k = a β cos( 2πQk + ϕ ) ,
a
y'k = −
(1.2.1)
[α cos(2πQk + ϕ ) + sin(2πQk + ϕ )],
β
(1.2.2)
~
где Q — дробная часть бетатронной частоты Q , k = 0, 1, 2, K — номер оборота.
В накопителях электронов продольный размер пучка мал по сравнению с длиной
волны
бетатронных
колебаний,
и
выражение
(1.2.1)
описывает
сигнал
пикапа,
расположенного на азимуте s0 . Таким образом, когда короткий пучок совершает линейные
бетатронные колебания, мгновенные значения его поперечной координаты, измеряемые
пикапом на каждом обороте, представляют собой выборки синусоиды с частотой Q ,
амплитудой a β и фазой ϕ .
Спектр колебаний содержит единственный пик. Частота, амплитуда и фаза колебаний
могут быть определены путем дискретного спектрального анализа массива из N элементов
последовательности (1.2.1).
В случае нелинейных колебаний пооборотные значения координаты y k и импульса
y' k
короткого
пучка
будут
представлять
собой
дискретные
выборки
функций
(1.1.9), (1.1.10):
y k = a k β cos( 2πQk + ϕk ) ,
y' k = −
ak
β
[α cos(2πQk + ϕk ) + sin( 2πQk + ϕk )] ,
(1.2.3)
(1.2.4)
где k = 0, 1, 2, K — номер оборота. Значения амплитуды a k и фазы ϕk изменяются от
оборота к обороту, в отличие от линейных колебаний.
Выражение (1.2.3) также описывает сигнал пикапа. Однако, если колебания
нелинейны, значения поперечной координаты пучка, измеряемые пикапом на каждом
обороте, представляют собой выборки периодической, но несинусоидальной функции.
Спектр колебаний будет сложным, содержащим гармоники.
На рисунке 1.1 приведен пример нелинейных бетатронных колебаний, полученных
путем компьютерного трекинга частицы в нелинейной магнитной структуре накопителя
ВЭПП-4М. Представлены графики пооборотных значений координаты y k (а), амплитуды a k
(б), и набега бетатронной фазы 2πQk + ϕk (в), а также фазовая траектория y ' k ( y k ) (г) и
амплитудный спектр колебаний (д).
14
Рисунок 1.1. Пооборотные выборки нелинейных бетатронных колебаний
(численное моделирование).
1.3 Фазовые траектории
В случае линейных колебаний, путем несложных преобразований выражений (1.1.7),
(1.1.8) получается квадратичная форма, связывающая координату y и импульс y ' на
азимуте s0 :
y 2 (t ) + [αy (t ) + βy ' (t )] = βa 2 .
2
(1.3.1)
Выражение (1.3.1) является уравнением траектории колебаний на фазовой плоскости ( y , y ' ) .
Фазовая траектория линейных бетатронных колебаний представляет собой эллипс,
параметры Твисса α и β определяют эксцентриситет и угол наклона фазового эллипса.
Анализ бетатронных колебаний на фазовой плоскости удобно проводить в
y ' = αy + βy ' ) . В этих координатах форма фазовой
нормализованной системе координат ( y , ~
траектории не зависит от азимута, и фазовая траектория линейных колебаний представляет
собой окружность, описываемую уравнением:
15
y 2 (t ) + ~
y ' 2 (t ) = βa 2 ,
(1.3.2)
y (t ) = 2 Jβ cos φ (t ),
~
y ' (t ) = − 2 Jβ sin φ (t ),
(1.3.3)
или в параметрическом виде:
где J =
y2 + ~
y '2 a 2
=
— действие, φ (t ) = 2πQf 0 t + ϕ — фаза.
2β
2
В координатах действие-фаза ( J , φ ) фазовые траектории линейных бетатронных
колебаний представляют собой семейство параллельных прямых J =
Уравнение
фазовой
траектории
нелинейных
a2
= const .
2
бетатронных
колебаний
в
нормализованных координатах выглядит как
y 2 (t ) + ~
y ' 2 ( t ) = βa 2 ( t ) ,
(1.3.4)
y ( t ) = 2 J ( t )β cos φ ( t ),
~
y ' ( t ) = − 2 J ( t )β sin φ ( t ).
(1.3.5)
или в параметрическом виде:
Амплитуда колебаний a и, соответственно, действие J уже не являются константами, а фаза
φ зависит от времени нелинейным образом, в отличие от линейных колебаний. Фазовая
траектория нелинейных бетатронных колебаний в нормализованных координатах
( y, ~
y ' = αy + βy ' ) отличается от окружности. Форма траектории зависит от вида и величины
нелинейной силы, от близости бетатронной частоты к нелинейным резонансам, а также от
амплитуды колебаний.
1.4 Метод двух пикапов
Задача построения фазовой траектории колебаний пучка состоит в определении
зависимости y ' ( y ) , где y — поперечная координата пучка, y ' — поперечный импульс.
Основной проблемой при этом является невозможность прямого измерения поперечного
импульса
y'
существующими средствами диагностики. Информация о колебаниях,
поставляемая системой диагностики, содержится в последовательности выборок поперечных
координат пучка, измеренных пикапом, расположенным на каком-либо азимуте ускорителя.
Известен метод построения фазовых траекторий нелинейных бетатронных колебаний,
основанный на одновременном измерении пооборотных выборок координаты пучка двумя
16
пикапами. [2] Для пояснения сути метода рассмотрим известное преобразование координаты
линейным участком магнитной структуры [10]:
y2 =
β2
(cos Δψ 21 + α1 sin Δψ 21 ) ⋅ y1 + β1 β 2 sin Δψ 21 ⋅ y '1 ,
β1
(1.4.1)
где y1,2 , y '1,2 , β1,2 , α1,2 — значения координаты, импульса, бета и альфа функций в начале (1)
и в конце (2) участка, Δψ 21 — набег бетатронной фазы.
Пусть y1k — координата, измеряемая на каждом обороте пикапом, расположенным в
начале линейного участка структуры, а y 2 k — пикапом, расположенным в конце участка.
y ' = αy + βy ' ) :
Переписав (1.4.1) в нормализованных координатах ( y , ~
β2
( y cos Δψ 21 + ~y '1k sin Δψ 21 ) ,
β1 1k
y2k =
(1.4.2)
y '1k ( y1k ) бетатронных колебаний на азимуте
получим уравнение фазовой траектории ~
первого пикапа:
~
y '1k =
β1
y − y1k cos Δψ 21
β 2 2k
.
sin Δψ 21
(1.4.3)
Таким образом, если известны значения бета-функции β1 , β 2 на азимутах обоих
пикапов и набег бетатронной фазы Δψ 21 между пикапами, то решение задачи построения
y '1k ( y1k ) нелинейных бетатронных колебаний возможно, при условии,
фазовой траектории ~
что структура на участке между пикапами является линейной.
При равенстве значений бета-функции на азимутах обоих пикапов и набеге
бетатронной фазы, кратном π/2:
β1 = β 2 ,
Δψ 21 =
π
+ 2πn ,
2
n − целое,
(1.4.4)
выражение (1.4.3) приобретает простой вид:
~
y '1k = y 2 k ,
и
фазовая
траектория
в
нормализованных
(1.4.5)
координатах
непосредственно по двум измеренным массивам y1k , y 2 k .
может
быть
построена
17
1.5 Метод одного пикапа
Может оказаться так, что в магнитной структуре ускорителя нелинейность
распределена по азимуту так, что не найдется пары пикапов с достаточно малой
нелинейностью между ними. В этом случае применение метода двух пикапов может
оказаться несостоятельным. Ввиду этого ограничения, возможность построения фазовой
траектории, исходя из массива выборок координаты, измеренных единственным пикапом,
была бы весьма полезной.
Пусть в магнитной структуре циклического ускорителя имеется сколь угодно малый
y ' в начале
линейный участок. Тогда пооборотные значения нормализованного импульса ~
1k
участка могут быть выражены через пооборотные значения координаты y1k в начале и y 2 k в
конце участка с помощью соотношения (1.4.3). Разделив (1.4.3) на y1k , получим выражение
~y '
1k
=
y1k
β1 y 2 k
− cos Δψ 21
β2 y1k
,
sin Δψ 21
как левая, так и правая части которого не зависят от амплитуды колебаний. Это дает
основание полагать, что существуют соотношения между пооборотными значениями
координаты и импульса на данном азимуте циклического ускорителя, независящие от
амплитуды колебаний. Из пооборотных соотношений следует существование амплитуднофазовых соотношений между дискретными спектрами координаты и импульса, также
независящих от амплитуды колебаний.
Были проведены исследования математических моделей нелинейных бетатронных
колебаний, в результате которых для двух предельных случаев — магнитной структуры с
единственным, бесконечно коротким нелинейным элементом и структуры с равномерно
распределенной нелинейностью — получены аналитические выражения пооборотных и
спектральных соотношений. В случаях, когда получить аналитические выражения не
представляется возможным, эти соотношения могут быть рассчитаны путем численного
решения модельного уравнения движения.
Таким образом, соотношения между пооборотными значениями координаты и
импульса и амплитудно-фазовые соотношения между их дискретными спектрами,
полученные тем или другим способом, являются основой метода построения фазовых
траекторий нелинейных колебаний — метода одного пикапа. [11]
18
1.5.1 Сосредоточенная нелинейность
Рассмотрим возможность использования единственного пикапа в случае магнитной
структуры с единственным, бесконечно коротким нелинейным элементом. Начнем с
азимутально-симметричной структуры. Поперечное движение частицы в течение периода
обращения может быть описано линейным уравнением, влияние нелинейности сводится к
скачкообразному изменению импульса на каждом обороте:
∞
y"+ Ω 2 y = ∑ f ( y ) ⋅ δ (θ − θ 0 + 2πk ) ,
(1.5.1)
k =0
где
Ω 2 = g y — параметр
фокусировки
( g y = const
для
азимутально-симметричной
структуры). Нелинейный элемент любого вида (секступольный, октупольный и т.д.),
расположенный на азимуте θ 0 , моделируется произведением соответствующей нелинейной
функции f ( y ) и δ-функции δ (θ − θ 0 + 2πk ) , "включающей" нелинейную силу на каждом
обороте k.
Для решения уравнения (1.5.1) может быть применен метод преобразования Лапласа.
Пусть начальные условия равны y (0) , y ' (0) . Преобразованное уравнение имеет вид:
∞
( p 2 + Ω 2 ) ⋅ y ( p ) − py (0) − y ' (0) = ∑ f [ y (θ 0 + 2πk )] ⋅ e p (θ0 +2 πk ) ,
(1.5.2)
k =0
где p — комплексный параметр Лапласа. Решение уравнения (1.5.2):
y( p) =
p
2
p + Ω2
⎛
⎞
y ' ( 0) 1 ∞
⎜⎜ y (0) +
+ ∑ f [ y (θ 0 + 2 πk )] ⋅ e p (θ0 +2 πk ) ⎟⎟ .
p
p k =0
⎝
⎠
(1.5.3)
Произведя обратное преобразование Лапласа с использованием теоремы о свертке
t
F1 * F2 → ∫ f1 (t − τ ) f 2 (t )dτ [12], получаем:
0
y (θ ) = y (0) cos Ωθ +
y ' ( 0)
sin Ωθ +
Ω
∞
θ
k =0
0
+ ∑ f [ y (θ 0 + 2πk )] ⋅ ∫ cos Ω (θ − τ ) ⋅ ε (θ − θ 0 + 2πk )dτ =
= y (0) cos Ωθ +
∞
y ' ( 0)
sin Ωθ + ∑ f [ y (θ 0 + 2πk )] ⋅
Ω
k =0
θ
где ε — единичная функция Хевисайда.
θ
∫ cos Ω(θ − τ )dτ
0 + 2 πk
,
19
Выражения y (θ ) и y ' (θ ) =
dy
имеют вид:
dθ
y (θ ) = y ( 0) cos Ωθ +
−
y '( 0)
Ω
sin Ωθ −
(1.5.4)
∞
1
∑ f [ y(θ0 + 2πk )] ⋅ sin Ω (θ − θ0 + 2πk ) ⋅ ε (θ − θ0 + 2πk )
Ω
,
k =0
y ' (θ ) = − Ωy (0) sin Ωθ + y ' (0) cos Ωθ −
∞
(1.5.5)
− ∑ f [ y (θ 0 + 2πk )] ⋅ cos Ω (θ − θ 0 + 2πk ) ⋅ ε (θ − θ 0 + 2πk ) .
k =0
Таким образом, функции (1.5.4) и (1.5.5), описывающие движение частицы, являются
суперпозицией линейных колебаний, обусловленных начальными условиями, и колебаний,
возбуждаемых нелинейной силой на каждом обороте.
Пусть на азимуте θ = 0 расположен пикап, регистрирующий поперечные координаты
частицы на каждом обороте. Переходя в (1.5.4), (1.5.5) к дискретным соотношениям, можно
записать выражения для выборок y k и y' k на k-ом обороте ( y 0 = y (0), y ' 0 = y ' (0) ):
y k = y 0 cos 2πQk +
y'0
1 k −1
sin 2πQk − ∑ f m sin[2πQ ( k − m ) − Δψ ] ,
Ω
Ω m =0
y ' k = − Ωy0 sin 2πQk + y ' 0 cos 2πQk −
где
Q — дробная
часть
(1.5.6)
k −1
∑ f m cos[2πQ (k − m) − Δψ ] ,
(1.5.7)
m =0
невозмущенной
бетатронной
частоты,
Δψ = ΩΔθ — набег
бетатронной фазы на участке между пикапом и нелинейным элементом. Выражение (1.5.6)
описывает сигнал пикапа.
Путем замены азимутальной переменной θ
на обобщенный азимут ϑ (1.1.1),
произведя необходимые преобразования, запишем соотношения, аналогичные (1.5.6), (1.5.7),
для структуры, не являющейся азимутально-симметричной:
k −1
y k = y 0 cos 2πQk + βy ' 0 sin 2πQk − β ∑ f m sin[2πQ ( k − m) − Δψ ] ,
(1.5.8)
m =0
y'k = −
1
β
y0 sin 2πQk + y ' 0 cos 2πQk −
k −1
∑ f m cos[2πQ(k − m) − Δψ ] ,
(1.5.9)
m =0
в этом случае y' k являются выборками нормализованного импульса y ' =
α , β — значения альфа- и бета-функций на азимуте пикапа.
dy α
+ y , где,
ds β
20
Выражения (1.5.8), (1.5.9) дают возможность вычислить значение импульса y ' k +1 для
каждого следующего оборота, используя измеренные значения координаты y k , y k +1 и
значение импульса y' k , вычисленное для предыдущего оборота.
Запишем для (k+1)-го оборота:
y k +1 = y k cos 2πQ + βy ' k sin 2πQ − βf k sin(2πQ − Δψ ) ,
y ' k +1 = −
1
β
y k sin 2πQ + y ' k cos 2πQ − f k cos(2πQ − Δψ ) .
(1.5.10)
(1.5.11)
Умножая уравнения (1.5.10), (1.5.11) соответственно на cos(2πQ − Δψ ) и sin(2πQ − Δψ ) , и
вычитая (1.5.10) из (1.5.11), получим выражение:
y ' k +1 sin(2πQ − Δψ ) + y ' k sin Δψ =
1
β
[ y k +1 cos(2πQ − Δψ ) − yk cos Δψ ] ,
(1.5.12)
откуда:
y ' k +1 =
y k +1 cos(2πQ − Δψ ) − y k cos Δψ − βy ' k sin Δψ
,
β sin(2πQ − Δψ )
k = 0, 1, 2, K .
(1.5.13)
Таким образом, в случае сосредоточенной нелинейности вида f ( y ) ⋅ δ (θ − θ 0 ) , имея
массив y k выборок координаты частицы, измеренных на каждом обороте, можно вычислить
массив выборок импульса y' k , используя рекуррентную формулу (1.5.13), и построить
фазовую траекторию y ' k ( y k ) при любой амплитуде колебаний.
Замечательно, что, как следует из (1.5.13), это можно сделать для любого вида
нелинейной силы f ( y ) . Значения f k ( y k ), k = 0, 1, 2, K можно также вычислить из (1.5.10),
после вычисления y' k :
fk =
y k cos 2πQ − y k +1 + βy ' k sin 2πQ
.
β sin(2πQ − Δψ )
Более того, отбор последовательных значений
(1.5.14)
y k в пределах от минимального до
максимального и аппроксимация соответствующего набора значений f k позволяет найти
вид функции f ( y ) нелинейного элемента.
В выражение (1.5.13) входит набег бетатронной фазы Δψ на участке между пикапом
и нелинейным элементом. Покажем, что фазовая траектория, построенная для случая Δψ ≠ 0
по формуле (1.5.13), путем поворота на угол ( − Δψ ) приводится к фазовой траектории,
построенной для случая совмещенных пикапа и нелинейного элемента ( Δψ = 0 ).
21
Запишем (1.5.12) при Δψ = 0 в виде:
y ' k +1 sin 2πQ =
1
β
[ yk +1 cos 2πQ − yk ] .
(1.5.15)
Применим к (1.5.15) линейное преобразование, описывающее поворот осей координат
( y , βy ' ) на угол χ:
y = Y cos χ + βY ' sin χ ,
βy ' = −Y sin χ + βY ' cos χ .
(1.5.16)
Подставляя в (1.5.15) ( y , y ' ) , выраженные через (Y , Y ' ) согласно формулам (1.5.16),
получаем выражение:
Y ' k +1 sin(2πQ + χ ) − Y ' k sin χ =
1
β
[Yk +1 cos(2πQ + χ ) − Yk cos χ ] ,
(1.5.17)
совпадающее с (1.5.12) при χ = − Δψ .
Выражение силы (1.5.14) путем преобразования поворота приводится к виду:
fk =
y k cos 2πQ − y k +1 + βy ' k sin 2πQ
.
β sin 2πQ
(1.5.18)
Выведем аналитическое соотношение между дискретными спектрами массивов
пооборотных выборок координаты и импульса. Выше было показано, что фазовая траектория
при Δψ ≠ 0 может быть приведена к фазовой траектории при Δψ = 0 путем поворота на
угол ( − Δψ ) . Поэтому достаточно найти соотношения, связывающие спектры координаты и
импульса при Δψ = 0 .
Разложим последовательности выборок координаты y k и импульса y' k в ряды Фурье
по гармоникам бетатронной частоты Q. Действительная A j и мнимая B j компоненты j-ой
гармоники Y j = A j + iB j вычисляются по формулам:
A j ≡ Re Y j =
2
N
N −1
∑ y k cos 2πjQk ,
k =0
B j ≡ Im Y j =
2
N
N −1
∑ y k sin 2πjQk .
(1.5.19)
k =0
Обозначив действительную и мнимую компоненты спектра координаты как A j , B j , а
компоненты спектра импульса — A' j , B' j , применим разложение по гармоникам (1.5.19) к
обеим частям соотношения (1.5.15):
2 cos 2πQ
Nβ
N −1
2
∑ yk +1 cos 2πjQk − Nβ
k =0
N −1
2 cos 2πQ
Nβ
N −1
N −1
2
∑ yk +1 sin 2πjQk − Nβ
k =0
2 sin 2πQ N −1
∑ yk cos 2πjQk = N ⋅ ∑ y 'k +1 cos 2πjQk ,
k =0
k =0
2 sin 2πQ N −1
y
sin
2
π
jQk
=
⋅ ∑ y ' k +1 sin 2πjQk .
∑ k
N
k =0
k =0
(1.5.20)
22
Произведя тригонометрические преобразования, перенумеровывая члены рядов,
прибавляя и вычитая члены для образования полных сумм, пренебрегая остающимися
членами порядка 1/N, получим выражения компонент спектра импульса A' j и B' j через
компоненты спектра координаты A j , B j :
A' j =
B' j =
A j (cos 2πQ − cos 2πQj ) − B j sin 2πQj
β sin 2πQ
A j sin 2πQj − B j (cos 2πQ − cos 2πQj )
β sin 2πQ
j = 1, 2, K , N − 1,
,
(1.5.21)
,
Q ≠ 0, 0.5, 1, K
Пренебрежение членами порядка 1/N имеет следствием то, что амплитуды гармоник
импульса, близкие по величине к 1/N, будут вычисляться с большой погрешностью. Будем
выбрасывать такие гармоники из спектра.
На рисунке 1.2 приведен график зависимости от частоты
нормированных амплитуд
a ' j / a '1
a j / a1
Q
отношения
и разности фаз ϕ ' j −ϕ j , вычисленных из (1.5.21) для
гармоник j = 1, 2, …, 5. Следует отметить, что эти отношения и разности универсальны, они
не зависят от амплитуды колебаний, вида и величины нелинейности, как и рекуррентная
формула (1.5.13).
Рисунок 1.2. Соотношения между дискретными спектрами координаты и импульса.
23
Замечательно, что амплитудно-фазовые соотношения в окрестности практически
важных резонансов Q = 1 / 3 и Q = 1 / 4 имеют простой и удобный для использования вид
[13]:
a' j
a '1
=
aj
a1
,
ϕ' j = ϕ j −
π
π
+ ( j − 1) ,
2
2
j = 1, 2, K , N .
(1.5.22)
Отметим, что в области низких частот Q → 0 , когда на период колебаний приходится
большое число выборок N → ∞ , спектральные соотношения (1.5.21) соответствуют теореме
о спектре F r–ой производной непрерывной функции y (t ) [12]:
F [ y ( r ) (t )] = (iω ) r F [ y (t )] ,
при r = 1 :
a' j
a '1
= j
aj
a1
π
2
ϕ' j = ϕ j − .
,
(1.5.23)
Итак, для структуры с единственным, бесконечно коротким нелинейным элементом,
мы получили соотношения (1.5.13), (1.5.21), независящие от амплитуды колебаний, вида и
величины нелинейности. Эти соотношения позволяют вычислить массив выборок импульса
y' k путем анализа массива выборок координаты y k , измеренных единственным пикапом, и
построить фазовую траекторию y ' k ( y k ) нелинейных бетатронных колебаний.
1.5.2 Равномерно распределенная нелинейность
Для полноты картины рассмотрим теперь другой предельный случай — азимутальносимметричную структуру с равномерно распределенной нелинейностью. Бетатронное
движение частицы в такой структуре описывается уравнением:
∞
y"+ Ω 2 y = ∑ f n y n ,
(1.5.24)
n =2
где
Ω 2 = g y — параметр
фокусировки
( g y = const
для
азимутально-симметричной
структуры), f n — мультипольные коэффициенты нелинейной силы. Решение уравнения
(1.5.24) можно получить с помощью известной подстановки y ' = p( y ) .
В случае нелинейности вида f n y n уравнение (1.5.24) относится к типу [14]
y" = A1 y m1 + A2 y m2 ,
и имеет аналитическое решение в параметрическом виде:
(1.5.25)
24
dτ
θ = a∫
C1 − τ
m1 +1
± τ m2 +1
+ C2 ,
(1.5.26)
y = bτ ,
(1.5.27)
где параметры a и b выражаются через A1 , A2 :
A1 = −
( m1 + 1)b1−m1
,
2a 2
A2 = ±
( m2 + 1)b1−m2
.
2a 2
(1.5.28)
Подставляя в (1.5.28) A1 = − Ω 2 , A2 = f 2 , m1 = 1 , m2 = 2 , получаем решение для
секступольной нелинейной силы, пропорциональной y 2 :
θ=
dτ
1
+ C2 ,
∫
Ω
C1 − τ 2 ± τ 3
(1.5.29)
3 Ω2
τ.
y= ⋅
2 f2
(1.5.30)
Продифференцируем (1.5.29) по y , учитывая (1.5.30):
f2
dθ
2
.
=± ⋅
3 Ω C1 − τ 2 ± τ 3
dy
(1.5.31)
Обращая (1.5.31), получим функцию y ' ( y ) , являющуюся уравнением фазовой траектории:
y' ≡
dy
1
=±
dθ
Ω
9 C1Ω 4
2 f
⋅
− y 2 ± ⋅ 22 y 3 .
2
4 f2
3 Ω
(1.5.32)
Константа C1 определяется начальными условиями y (0), y ' (0) :
2
3
⎡2 f
⎤
⎡2 f
⎤
C1 = ⎢ ⋅ 22 y (0)⎥ ± ⎢ ⋅ 22 y (0)⎥ − y ' (0) .
⎣3 Ω
⎦
⎣3 Ω
⎦
Можно показать, что для нелинейности вида
f n y n при любом n существует
соотношение для фазовой траектории, аналогичное (1.5.32). Более того, с помощью
подстановки y ' = p( y ) , задача может быть решена и для силы общего вида
∞
∑ fn yn .
n =2
На рисунке 1.3 приведен пример фазовых траекторий, полученных численным
решением
уравнения
(1.5.25)
с
параметрами
(секступольная нелинейность):
y"+ Ω 2 y = f 2 y 2
для различных начальный условий.
A1 = − Ω 2 , A2 = f 2 , m1 = 1 , m2 = 2
25
Рисунок 1.3. Фазовая траектория нелинейных колебаний (численное моделирование)
Пусть на некотором азимуте θ расположен пикап, регистрирующий поперечные
координаты пучка y k на каждом обороте. Переходя в (1.5.32) к дискретным соотношениям,
можно записать уравнение фазовой траектории y ' k ( y k ) :
y'k = ±
где C =
1
2 f
C − y k2 ± ⋅ 22 y k3 ,
Ω
3 Ω
(1.5.33)
9 C1Ω 4
.
⋅
4 f 22
Чтобы построить фазовую траекторию колебаний, необходимо знать параметры f 2 и
C . Покажем, что эти параметры могут быть определены из того же исходного массива
выборок координаты y k .
Как следует из (1.5.32), фазовая траектория в координатах ( y , y ' ) симметрична
относительно оси абсцисс (рисунок 1.3). Тангенс угла наклона γ касательной к фазовой
траектории равен
dy'
:
dy
f2 2
y
dy '
Ω2
.
tan γ =
=±
dy
2 f2 3
2
Ω C−y ± ⋅ 2 y
3 Ω
−y±
26
Угол γ равен нулю при выполнении условия − y ±
f2 2
y = 0 , то есть при y = 0 .
Ω2
Это означает, что фазовая траектория пересекает ось ординат в точках y ' min и y ' max . Угол γ
равен π/2 при C − y 2 ±
2 f2 3
⋅
y = 0 , т.е. при y ' = 0 . Таким образом, фазовая траектория
3 Ω2
пересекает ось абсцисс в точках y min и y max , в которых выполняется условие:
2
− y min
±
2 f2 3
2 f
2
3
,
⋅ 2 y min = − y max
± ⋅ 22 y max
3 Ω
3 Ω
откуда можно определить коэффициент f 2 :
y + y max
3
,
f 2 = ± ⋅ 2 2 min
2
2 Ω ( y min + y min y max + y max
)
(1.5.34)
и, зная f 2 , определить константу C:
2
C = y max
m
2 f2 3
⋅
y .
3 Ω 2 max
(1.5.35)
Выражения (1.5.34), (1.5.35) позволяют определить коэффициенты f 2 и C, используя
y min , y max и Ω , и затем построить фазовую траекторию (1.5.33) при неизвестных начальных
условиях y (0), y ' (0) . Возможность использования y min , y max вместо начальных условий
означает, что ориентация траектории на фазовой плоскости
( y, y ' )
для случая
распределенной нелинейной силы естественным образом не зависит от азимута, в отличие от
случая короткого нелинейного элемента.
Бетатронная частота Ω может быть определена путем спектрального анализа массива
выборок координаты y k . Значения y min , y max можно определить, находя максимальный и
минимальный члены массива y k , при условии, что дробная часть Q бетатронной частоты
отлична от нуля и от 1/2.
Для
бетатронных
колебаний
в
структуре
с
равномерно
распределенной
нелинейностью также существуют соотношения между дискретными спектрами координаты
и импульса, независящие от амплитуды колебаний и величины нелинейности, несмотря на
то, что в соотношения между выборками координаты и импульса (1.5.32) и (1.5.33) параметр
нелинейности f n входит.
27
Вывести соотношения между спектрами аналитически в виде, подобном (1.5.21),
применив разложение (1.5.19) к выражению (1.5.33), не представляется возможным, так как
получаются алгебраически неразрешимые выражения.
Эти соотношения в виде выражений, связывающих амплитуды и фазы гармоник в
спектрах координаты a j , ϕ j и импульса a ' j , ϕ ' j , можно получить, решая уравнение
движения численно, и применяя к полученным массивам выборок координаты и импульса
дискретное преобразование Фурье. Амплитудно-фазовые соотношения не зависят ни от
величины коэффициента нелинейности, ни от амплитуды колебаний. Они не зависят также
от частоты колебаний:
a' j
a '1
= j
aj
a1
,
ϕ' j = ϕ j −
π
,
2
(1.5.36)
где j — номер гармоники. Соотношения (1.5.36) естественным образом совпадают с
амплитудно-фазовыми соотношениями (1.5.23), следующими из теоремы о спектре
производной непрерывной функции.
Таким образом, в случае структуры с равномерно распределенной нелинейностью, как
и в случае структуры с единственным, коротким нелинейным элементом, имея массив y k
выборок координаты частицы, измеренных на каждом обороте, можно вычислить массив
пооборотных значений импульса y' k , используя (1.5.33) или (1.5.36) и построить фазовую
траекторию y ' k ( y k ) нелинейных бетатронных колебаний.
Отметим, что в области низких частот Q → 0 обе предельные модели, рассмотренные
выше, смыкаются, давая одинаковые амплитудно-фазовые соотношения (1.5.23) и (1.5.36).
Это происходит потому, что при Q → 0 на период бетатронных колебаний приходится число
актов воздействия нелинейного элемента, стремящееся к бесконечности, то есть действие
дискретного элемента приобретает непрерывный характер.
1.5.3 Нелинейность с произвольным распределением
Задача построения фазовой траектории по данным, измеренным единственным
пикапом, в общем случае не может быть решена для структуры с неизвестным
распределением нелинейности. Однако использование информации о магнитной структуре
ускорителя позволяет найти решение этой задачи для ряда практически важных случаев.
28
Магнитная структура большинства современных накопителей и синхротронов состоит
из магнитных элементов с разделенными функциями и обычно обладает некоторой
симметрией. Такая структура позволяет довольно точно определить азимутальное
распределение нелинейных элементов и записать модельное уравнение движения. В этом
случае амплитудно-фазовые соотношения могут быть выведены путем спектрального
анализа массивов пооборотных выборок координаты и импульса, полученных численным
решением модельного уравнения движения.
Условием применимости метода является возможность описания движения частицы в
реальной магнитной структуре модельным уравнением движения.
В
параграфе
4.2.2,
на
примере
накопителя
электронов
"Сибирь-2"
(РНЦ
"Курчатовский институт", Москва), рассмотрена задача вывода амплитудно-фазовых
соотношений для магнитной структуры, состоящей из нескольких одинаковых периодов.
1.6 Критерий сходства двух фазовых траекторий
При сравнении двумерных объектов, какими являются фазовые траектории,
необходимо использование какого-либо формального объективного критерия сходства двух
траекторий, полученных, например, в результате измерений и численного моделирования. В
качестве такого критерия будем использовать коэффициент корреляции K12 , определенный
как максимум нормированной корреляционной функции [15] двух дискретных фазовых
траекторий J 1k (φ1k ) и J 2 k (φ 2 k ) в координатах действие-фаза:
N −1
K12 =
∑ ( J 1k (φ1k ) − J 1 )( J 2k (φ2k ) − J 2 )
k =0
N −1
где J 1,2 =
1
N
N −1
∑ ( J 1k (φ1k ) − J 1 ) ⋅ ∑ ( J 2k (φ2k ) − J 2 )
k =0
2
,
(1.6.1)
2
k =0
N −1
∑ J 1,2 k (φ1,2k ) — средние значения по N
элементам.
k =0
Модуль коэффициента корреляции
| K12 |
заключен в пределах 0÷1. Если
функциональные зависимости J 1k (φ1k ) и J 2k (φ 2k ) близки, и отличие фазовых траекторий
друг от друга мало, то | K12 | близок к единице, в то время как из значительного отклонения
| K12 | от единицы следует существенное различие фазовых траекторий J 1k (φ1k ) и J 2 k (φ 2 k ) .
29
Глава 2
Дискретный спектральный анализ
колебаний. Фильтрация шума
Прецизионное измерение частоты, амплитуды и фазы колебаний необходимо для
решения широкого ряда задач диагностики, связанных с бетатронными и синхротронными
колебаниями.
Для
определения
параметров
колебаний
используется
дискретный
спектральный анализ массива пооборотных выборок когерентных колебаний пучка,
измеренных пикапом. Точность измерений должна быть достаточно высокой, поэтому к
алгоритмам вычисления спектра предъявляются повышенные требования.
Амплитудные
спектры
бетатронных
и
синхротронных
колебаний
пучка
в
циклическом ускорителе имеют вид совокупности пиков конечной ширины. Задача
определения частоты и амплитуды колебаний может быть решена путем поиска
максимального пика в амплитудном спектре. Величина пика соответствует амплитуде
колебаний, а его положение на оси частот позволяет определить частоту колебаний.
2.1 Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Интегральное преобразование Фурье непрерывной функции f (t ) дает комплексный
спектр F (ν ) :
F (ν ) =
∞
∫ f ( t ) ⋅ ei⋅2πνt dt .
(2.1.1)
0
Амплитудный F(ν ) и фазовый arg F (ν ) спектры вычисляются по формулам:
F (ν ) = Re 2 F (ν ) + Im 2 F (ν ),
arg F (ν ) = arctan
Im F (ν )
.
Re F (ν )
(2.1.2)
Амплитудный спектр Y(ν ) синусоидальной функции y (t ) :
y ( t ) = a cos( 2πQt + ϕ ) ,
(2.1.3)
30
взятой в интервале 0 < t < T , имеет вид [12]:
Y (ν ) = a ⋅
sin 2πT ( Q − ν )
sin 2πT ( Q + ν )
+a⋅
,
sin π( Q − ν )
sin π( Q + ν )
0 ≤ ν < 1.
(2.1.4)
Функция Y(ν ) имеет два максимума при значениях аргумента ν = Q и ν = 1 − Q .
Спектр дискретной функции f k , k = 0, 1, … , вычисляется с помощью дискретного
преобразования Фурье (ДПФ) [12]. Применив ДПФ к массиву из N значений f k , получим
комплексный дискретный спектр F j :
Fj =
FN =
2
N −1
∑
fk ⋅ e
k =0
i⋅2 π
j
k
N
j = 0, 1, K,
,
N
N
− 1,
+ 1, K, N − 1,
2
2
(2.1.5)
N −1
∑ f k ⋅ ( −1)k .
k =0
Дискретные амплитудный F j и фазовый arg F j спектры вычисляются по формулам:
F j = Re 2 F j + Im 2 F j ,
arg F j = arctan
Im F j
Re F j
.
(2.1.6)
Получим выражение для дискретного спектра Y j массива выборок синусоидальных
колебаний y k :
y k = a cos( 2πQk + ϕ ) ,
(2.1.7)
применив (2.1.5) к (2.1.7):
Yj =
N −1
∑ a cos(2πQk + ϕ ) ⋅ e
i⋅2 π
j
k
N
,
(2.1.8)
k =0
N −1
A j ≡ Re Y j = a ⋅ ∑ cos(2 πQk + ϕ ) ⋅ cos 2 π
k =0
j
k=
N
a ⎛ sin( π( N − 1)Q+ + ϕ ) ⋅ cos πNQ+ sin( π( N − 1)Q− + ϕ ) ⋅ cos πNQ−
= ⋅ ⎜⎜
+
2 ⎝
sin πNQ+
sin πNQ−
N −1
B j ≡ Im Y j = a ⋅ ∑ cos(2πQk + ϕ ) ⋅ sin 2π
k =0
j
k=
N
a ⎛ sin( π( N − 1)Q+ + ϕ ) ⋅ sin πNQ+ sin( π( N − 1)Q− + ϕ ) ⋅ sin πNQ−
= ⋅ ⎜⎜
+
2 ⎝
sin πNQ+
sin πNQ−
где Q+ = Q +
j
j
, Q− = Q − .
N
N
⎞
⎟⎟ ,
⎠
⎞
⎟⎟ ,
⎠
(2.1.9)
(2.1.10)
31
Дискретный спектр Y j представляет собой совокупность значений непрерывной функции
спектра Y (ν ) (2.1.4) в точках ν j =
j
,
N
j = 0, 1, K , N − 1 .
Максимум амплитудного спектра
Yj =
находится внутри интервала
Aj2 + B j2
(2.1.11)
m −1
m
m
m +1
≤ν ≤
≤ν ≤
, где m — номер гармоники
или
N
N
N
N
Ym дискретного спектра, максимальной по амплитуде. Часть спектра Y(ν ) в области
максимума и соответствующие значения Y j изображены на рисунке 2.1.
Рисунок 2.1. Амплитудный спектр синусоидального сигнала.
На практике обычно используется модификация ДПФ — алгоритм быстрого
преобразования
Фурье
(БПФ)
[16],
позволяющий
сократить
объем
вычислений
тригонометрических функций с N 2 до N log 2 N , где N = 2 n — размер массива.
2.2 Точность ДПФ
Из вышеизложенного следует, что применение ДПФ к массиву пооборотных выборок
координаты
пучка,
совершающего
когерентные
бетатронные
колебания,
позволяет
определить дробную часть бетатронной частоты. В дискретном спектре Y j ближайшей к
искомой частоте Q является частота ν m =
m
гармоники Ym , максимальной по амплитуде
N
(или обе частоты из пар ν m−1 , ν m или ν m , ν m +1 в случае, когда Q находится посредине
между ними, и амплитуды этих максимальных гармоник равны):
Q = ν m + ε Q ДПФ ,
(2.2.1)
32
где ε Q ДПФ — погрешность, определяемая дискретностью преобразования Фурье. Из рисунка
2.1 видно, что погрешность ε Q ДПФ зависит от положения измеряемой частоты Q внутри
интервала
1
между соседними гармониками ДПФ и не превышает половины интервала.
N
Таким образом, дискретное преобразование Фурье позволяет определить частоту
колебаний с точностью
εQ ДПФ ≤
1
.
2N
(2.2.2)
Из (2.2.2) следует простейший способ улучшения точности — увеличение размера массива.
В ряде случаев помимо частоты Q необходимо также определить амплитуду a и фазу
ϕ колебаний, которые можно представить следующим образом:
a = Ym + εa ДПФ ,
ϕ = arctan
Im Ym
+ εϕ ДПФ ,
Re Ym
(2.2.3)
где Ym — максимальная по амплитуде комплексная гармоника ДПФ, соответствующая
частоте ν m =
m
, ε a ДПФ и ε ϕ ДПФ — погрешность определения амплитуды и фазы.
N
На рисунке 2.2 приведен результат численного расчета погрешности ДПФ для случая
сигнала, представляющего собой массив выборок синусоидальных колебаний (2.1.7).
Погрешности определения частоты, амплитуды и фазы колебаний вычислены из выражений
(2.2.1), (2.2.3).
Рисунок 2.2. Погрешность ДПФ.
Рисунок
демонстрирует
относительную
погрешность
амплитуды
εa ДПФ
a
и
погрешность фазы ε ϕ ДПФ в зависимости от погрешности частоты ε Q ДПФ . Как видно из
33
графика, при изменении ε Q ДПФ в интервале ±
достигать соответственно 35% и ±
εa ДПФ
1
, значения
2N
a
и ε ϕ ДПФ могут
π
. Причина столь значительной погрешности состоит в
2
том, что максимальное значение Ym дискретной функции амплитудного спектра равно
амплитуде исходного сигнала a только в случае точного совпадения частот сигнала Q и
гармоники ДПФ ν m , а при удалении Q от ν m погрешность определения амплитуды быстро
возрастает. Аналогичная ситуация наблюдается и при вычислении фазы.
Если точность измерения частоты с помощью ДПФ в принципе может быть повышена
путем увеличения размера N массива, то погрешность вычисления амплитуды и фазы может
оставаться значительной при любом N.
2.3 Методы уточнения ДПФ
Для определения частоты колебаний с помощью ДПФ используется вся информация,
содержащаяся в массиве дискретных выборок непрерывной функции, описывающей
колебания.
Точность
определения
частоты
зависит
от
количества
информации,
следовательно, от размера массива.
Чтобы определить частоту колебаний с точностью, превосходящей точность ДПФ,
требуется дополнительная информация о колебаниях, не содержащаяся в массиве выборок.
Рассмотрим методы уточнения ДПФ, основанные на использовании такой дополнительной
информации.
2.3.1 Метод интерполяции амплитудного спектра
Для более точного вычисления частоты колебаний, представленных массивом
дискретных выборок f k , может быть использована интерполяция дискретной функции
амплитудного спектра F j
вблизи максимума какой-либо непрерывной функцией. Эта
непрерывная функция и дает требуемую дополнительную информацию, не содержащуюся в
массиве дискретных выборок колебаний.
Искомая частота представляет собой аргумент интерполяционной функции в точке
максимума. Наилучшей интерполяционной функцией будет амплитудный спектр F(ν )
34
(2.1.1) непрерывных колебаний f (t ) , значения которого в точках ν j =
j
совпадают с
N
дискретным амплитудным спектром F j .
В работе [1] для сигнала, представляющего собой массив выборок синусоидальных
колебаний (2.1.7), в качестве интерполяционной функции как раз используется такой спектр
(2.1.4). Из интерполяционной функции получено следующее выражение для частоты
колебаний:
QIA =
m 1
+ ⋅ arctan
N π
Ym+1 sin
Ym + Ym+1
π
N
π
cos
N
,
(2.3.1)
где Ym — максимальная гармоника ДПФ, Ym+1 — следующая гармоника. Для больших N
может быть использована простейшая линейная интерполяция:
QIA =
Ym+1
m 1
+ ⋅
.
N N Ym + Ym+1
(2.3.2)
Погрешность определения частоты интерполяционным методом, вычисленная в [1],
составляет:
εQ IA ≤
где
εQ ДПФ ≤
εQ ДПФ
N2
,
(2.3.3)
1
— погрешность ДПФ. Как видно из (2.3.3), метод интерполяции
2N
амплитудного спектра весьма эффективно уменьшает погрешность определения частоты.
Таким образом, для уточнения ДПФ методом интерполяции, помимо массива
дискретных выборок колебаний, необходима в явном виде непрерывная функция
амплитудного спектра. Отличие используемой интерполяционной функции от реальной
функции амплитудного спектра будет приводить к погрешности определения частоты.
2.3.2 Метод промежуточных Фурье-гармоник
Нами был разработан метод промежуточных Фурье-гармоник, позволяющий находить
максимум дискретного амплитудного спектра и его положение на оси частот с более
высокой точностью, чем точность ДПФ. В отличие от интерполяции, метод не требует
знания непрерывной функции амплитудного спектра в явном виде. Дополнительной
35
информацией, необходимой в данном методе, является тот факт, что непрерывный
амплитудный спектр в окрестности максимума имеет вид гладкого пика.
Ширина пика в амплитудном спектре массива выборок колебаний минимальна в
случае синусоидальной функции (2.1.7), амплитуда которой не изменяется со временем, и
равна
2
N
по основанию (см. рисунок 2.1). Таким образом, набор гармоник ДПФ
аппроксимирует непрерывную функцию амплитудного спектра F(ν ) вблизи максимума
двумя гармониками — максимальной Fm
и одной из соседних, Fm+1 или Fm−1 . Эти
гармоники используются в (2.3.1) для уточнения частоты методом интерполяции спектра.
Максимум
νm −
непрерывного
амплитудного
спектра
F(ν )
лежит
в
интервале
m
1
1
, где ν m =
≤ ν ≤ ν m или ν m ≤ ν ≤ ν m +
— частота максимальной гармоники
N
2N
2N
ДПФ. Разобьем этот интервал на L равных частей. Аппроксимируем непрерывную функцию
F(ν ) совокупностью Фурье-гармоник Fl , вычисленных для набора частот νl , равномерно
распределенных в интервале ν m −
Fl =
1
1
≤ ν ≤ νm +
:
2N
2N
N −1
∑ f k ⋅ e i⋅2 πν k ,
l
k =0
νl = ν m −
1
l
+
,
2 N NL
l=0, 1, K , L .
(2.3.4)
Как и гармоники ДПФ, промежуточные Фурье-гармоники Fl представляют собой
значения непрерывной функции спектра F(ν ) в точках νl . Частота νlmax максимальной
гармоники из набора Fl
большую, чем
отличается от искомой частоты колебаний на величину, не
1
. Таким образом, метод промежуточных Фурье-гармоник позволяет
NL
определить частоту колебаний с погрешностью ε Q DA , в
ДПФ εQ ДПФ ≤
На
L
раз меньшей, чем погрешность
2
1
, производя при этом L дополнительных вычислений Фурье-гармоник.
2N
рисунке
2.3
приведены
примеры
дискретных
амплитудных
спектров
синусоидального сигнала, представленного выборками y k (2.1.7). Темными кружками
выведены гармоники ДПФ Y j , светлыми — гармоники Yl , вычисленные по формуле
36
(2.3.4). Сплошной линией выведен также амплитудный спектр Y(ν ) (2.1.4) непрерывного
сигнала (2.1.3) с максимумом на частоте ν = Q .
Рисунок 2.3. Метод промежуточных Фурье-гармоник.
Для поиска максимума спектра весьма эффективным является метод дихотомии,
обеспечивающий быструю сходимость. Гармоники Fl′ из набора (2.3.4) вычисляются с
1
, где l ′ = 1, 2, K , n . Число операций n
2 N
прогрессивно уменьшающимся шагом
l′
выбирается, исходя из минимальной допустимой погрешности ε Q DA :
εQ DA ≤
1
<< εQ ДПФ .
2 ⋅N
n
(2.3.5)
Таким образом, количество вычислений гармоник уменьшается с L до log 2 L .
Рисунок 2.4. Поиск максимума спектра с помощью дихотомии.
На рисунке 2.4 приведен пример использования алгоритма уточнения ДПФ методом
промежуточных Фурье-гармоник с применением дихотомии. Метод использован для анализа
синусоидального сигнала (2.1.7) в наихудшем из возможных случаев, когда частота
37
колебаний Q находится посредине между гармониками ДПФ ν m и ν m+1 , и погрешности
ε Q ДПФ и ε a ДПФ максимальны ( ε ϕ ДПФ = 0 ). Как видно из рисунка, для N = 1024 уже при n = 4,
погрешность частоты составляет меньше чем 10−4, а погрешность амплитуды — 0.1%.
2.3.3 Сравнительный анализ методов уточнения ДПФ
Алгоритм определения максимума амплитудного спектра методом промежуточных
Фурье-гармоник используется на комплексе ВЭПП-4М для спектрального анализа колебаний
пучка [18]. Алгоритм уточнения ДПФ методом интерполяции амплитудного спектра,
описанный в работе [1], также имел целью анализ колебаний пучка.
Практический интерес представляет задача определения частоты, амплитуды и фазы
колебаний с амплитудой, изменяющейся во времени, на которые наложен шум. С помощью
численного
моделирования
были
исследованы
возможности
применения
двух
вышеописанных методов уточнения ДПФ для анализа реальных сигналов, поставляемых
системой диагностики: как незатухающих, так и затухающих колебаний, сопровождаемых
шумом. [17]
В результате проведенных исследований было подтверждено предположение, что
точность определения частоты методом интерполяции значительно ухудшается при отличии
временной зависимости амплитуды сигнала от той, для которой была получена
интерполяционная функция.
В отличие от интерполяции, на точность метода промежуточных Фурье-гармоник не
влияет вид временной зависимости амплитуды сигнала, что является существенным
преимуществом в случае анализа реальных сигналов, когда зависимость амплитуды
колебаний от времени может быть заранее неизвестной и, более того, сама может быть
предметом анализа.
Было также установлено, что поведение обоих методов уточнения ДПФ в зависимости
от шума, сопровождающего сигнал, практически одинаково.
Применим эти методы для спектрального анализа простейшего модельного сигнала:
массива из N выборок затухающих синусоидальных колебаний, просуммированных с "белым
шумом":
y k = a cos(2 πQk + ϕ ) ⋅ e
−δ
k
N
+ ηk ,
(2.3.6)
где Q — частота колебаний, a и ϕ — начальные амплитуда и фаза, δ — декремент затухания.
38
Для моделирования дискретного "белого шума" использовался алгоритм [16], генерирующий
последовательность случайных чисел ηk с гауссовым распределением в пределах ± 3σ :
η2
− k2
1
⋅ e 2σ ,
2πσ
P(ηk ) =
где
(2.3.7)
P(ηk ) — вероятность генерации случайного числа ηk , σ — среднеквадратичная
амплитуда шума.
Рисунок 2.5. Численное моделирование белого шума.
На рисунке 2.5 представлен пример гистограммы распределения ηk и график массива
выборок yk , вычисленных по формуле (2.3.6) для случая N = 1024 , δ = 0 . Массив yk
вычислен при равенстве среднеквадратичной амплитуды шума и амплитуды сигнала σ = a ,
т.е. при отношении сигнал/шум 20 lg
Определенная
таким
a
σ
, равном 0 дБ.
образом
численная
модель
(2.3.6)
сигнала
с
шумом
использовалась для анализа точности методов уточнения ДПФ. При этом варьировались
следующие параметры: число выборок, отношение сигнал/шум, декремент затухания. В
качестве величины, характеризующей точность метода, использовалась погрешность
частоты, усредненная по ряду реализаций. Число операций дихотомии n в методе
промежуточных
Фурье-гармоник
выбиралось
систематическую погрешность ε Q DA <<
достаточно
большим,
чтобы
сделать
1
меньше, чем погрешность, обусловленную
2 N
n
шумом.
Рисунок 2.6 демонстрирует точность методов уточнения ДПФ в зависимости от вида
функции, описывающей изменение амплитуды колебаний во времени.
39
а) Синусоидальный сигнал без затухания
б) Синусоидальный сигнал с экспоненциальным затуханием
Рисунок 2.6. Точность методов уточнения ДПФ.
Представлены графики зависимости для двух значений размера массива: N = 64 и N = 1024.
Отношение сигнал/шум варьировалось в диапазоне −20 ÷ +60 дБ. Средние величины
вычислялись по 40 реализациям. Светлыми символами изображены значения lg | ε Q IA | для
метода интерполяции, темными — значения lg | ε Q DA | для метода промежуточных Фурьегармоник (N = 64 — кружки, N = 1024 — треугольники). На рисунке 2.6а приведен график
40
погрешности определения частоты незатухающего ( δ = 0 ) сигнала (2.3.6), на рисунке 2.6б —
сигнала (2.3.6) с экспоненциальным затуханием ( δ = 1 ).
Из рисунка 2.6а видно, что в случае незатухающего синусоидального сигнала
применение
обоих
методов
дает
практически
одинаковые
результаты.
Логарифм
погрешности почти линейно зависит от отношения сигнал/шум. Резкое возрастание
погрешности при уменьшении отношения сигнал/шум до +2 дБ для N = 64 и до −10 дБ для
N = 1024 отражает ситуацию, когда максимальная гармоника шума становится больше
гармоники сигнала, что делает невозможным определение частоты последней по максимуму
спектра.
Сравнивая же зависимости на рисунках 2.6а и 2.6б, можно сделать вывод, что
точность метода интерполяции при декременте δ ≠ 0 существенно ухудшается, а точность
метода промежуточных Фурье-гармоник практически не зависит от величины δ .
Рисунок 2.7. Точность определения частоты, амплитуды и фазы колебаний с шумом.
Уточнение частоты тем или другим методом позволяет существенно повысить
точность измерения амплитуды и фазы колебаний. На рисунке 2.7 приведены в
логарифмическом масштабе значения погрешности определения частоты lg | ε Q | (кружки),
амплитуды lg | ε a | (квадраты) и фазы lg | ε ϕ | (треугольники). Как и на рисунке 2.6,
представлены графики зависимости для двух значений размера массива: N = 64 и N = 1024.
Отношение сигнал/шум варьировалось в диапазоне −20 ÷ +60 дБ. Средние величины
вычислялись по 40 реализациям.
41
Как видно из рисунка, зависимость погрешности определения амплитуды и фазы
имеет такой же характер, что и зависимость погрешности определения частоты.
2.4 Дискретный гребенчатый фильтр
Координатное разрешение системы диагностики определяется шумом в полосе
выходного
сигнала.
Шумовая
погрешность,
будучи
обратно
пропорциональной
интенсивности пучка, зависит от полосы частотной характеристики пикапа. Для уменьшения
влияния шума и улучшения координатного разрешения используются различные аналоговые
и дискретные фильтры. Оптимальным фильтром для периодических сигналов является
гребенчатый фильтр [15].
Для задачи диагностики, состоящей в определении частоты, амплитуды и фазы
бетатронных или синхротронных колебаний пучка, оптимальным фильтром является
дискретное преобразование Фурье, примененное к массиву пооборотных выборок
колебаний. Дискретное преобразование Фурье повышает разрешение в
N раз, где N —
число выборок в массиве.
Если в задачу диагностики входит определение формы нелинейных колебаний, то
оптимальное подавление шума дает применение узкополосного дискретного гребенчатого
фильтра (ДГФ). Суть фильтра состоит в Фурье-синтезе нового массива φk из Фурьеразложения исходного массива f k выборок сигнала с шумом по гармоникам основной
частоты Q спектра. При такой операции разложение/синтез шумовые гармоники,
содержащиеся в полном Фурье-спектре исходного сигнала, отбрасываются, что и улучшает
отношение сигнал/шум в новом массиве выборок φk .
Разложим исходный массив f k по гармоникам частоты колебаний Q. Действительная
Aj
и мнимая
Bj
компоненты j-ой гармоники комплексного дискретного спектра
F j = A j + iB j вычисляются по формулам:
2
A j ≡ Re F j =
N
N −1
∑ f k cos 2πjQk ,
k =0
2
B j ≡ Im F j =
N
N −1
∑ f k sin 2πjQk .
(2.4.1)
k =0
Среднеквадратичная шумовая компонента каждой гармоники из разложения (2.4.1) будет в
N раз меньше, чем исходная широкополосная шумовая компонента каждого элемента
массива f k .
42
Синтезируем массив φk , используя первые n << N гармоник разложения (2.4.1):
n
n
j =1
j =1
φk = ∑ A j cos 2πjQk + ∑ B j sin 2πjQk .
В этом массиве шумовая компонента будет в
(2.4.2)
N
раз меньше, чем в исходном массиве f k .
n
Как известно из теории спектрального анализа, ряды Фурье периодических функций
достаточно быстро сходятся, и такие функции могут быть аппроксимированы рядами Фурье,
состоящими из небольшого числа членов. Таким образом, дискретный гребенчатый фильтр
обеспечивает подавление шума в
N
раз, где N — размер массива данных, а n — число
n
Фурье-гармоник, достаточных для аппроксимации восстанавливаемого сигнала с требуемой
точностью.
Как будет показано ниже, использование ДГФ позволило значительно повысить
точность результатов измерений в исследованиях нелинейной динамики пучка ВЭПП-4М.
При типичных значениях N = 1024 и n = 4÷8 применение ДГФ обеспечивало подавление
шума в 11÷16 раз и позволило сделать количественные оценки некоторых параметров
нелинейного движения пучка.
43
Глава 3
Измерение частоты, амплитуды и фазы
колебаний пучка. Практические
приложения
В этой главе описано практическое применение методов спектрального анализа,
рассмотренных в Главе 2. Прецизионное измерение параметров колебаний пучка
необходимо для решения широкого ряда задач, актуальных в процессе запуска и текущей
эксплуатации циклического ускорителя. Некоторые из них перечислены ниже:
„
диагностика инжектируемого пучка;
„
измерение характеристик ускорителя (структурные функции, частоты бетатронных и
синхротронных колебаний, хроматизм, кубическая нелинейность, связь бетатронных мод);
„
исследование нелинейной динамики пучка;
„
исследование неустойчивости поперечного движения;
„
измерение характеристик взаимодействия пучка с окружающей электромагнитной
структурой (импеданс связи).
Шумовая составляющая реальных сигналов, поставляемых системой диагностики,
зависит от интенсивности пучка. На рисунке 3.1 приведен график такой зависимости для
выходного сигнала системы "Впуск" (см. Приложение), использующейся на накопителях
комплекса ВЭПП-4М для пооборотного измерения поперечного положения пучка.
Отношение сигнал/шум 20 lg
a
σ
измерено в диапазоне интенсивности пучка 2·109÷1.5·1011
частиц. Среднеквадратичная амплитуда шума σ
вычислялась путем статистического
анализа массива из 1024 пооборотных выборок бетатронных колебаний пучка с амплитудой
a = 1 мм.
44
Рисунок 3.1. Зависимость отношения сигнал/шум от интенсивности пучка.
Для задачи диагностики, состоящей в определении частоты, амплитуды и фазы
бетатронных или синхротронных колебаний пучка, максимальное подавление шума
обеспечивает дискретное преобразование Фурье. Примененное к массиву из N пооборотных
выборок колебаний, дискретное преобразование Фурье повышает разрешение в
N раз.
Для практических измерений на комплексе ВЭПП-4М обычно используется массив из
1024 выборок координат пучка, измеряемых системой "Впуск". Сравнение рисунков 2.6, 2.7
и 3.1 показывает, что применение ДПФ с уточнением для спектрального анализа такого
массива обеспечивает точность определения частоты не хуже 10−5, амплитуды — 1 % и
фазы — 0.01π при интенсивности пучка, превышающей 2·1010 частиц, что соответствует
току 12.8 мА ВЭПП-3 или 2.6 мА ВЭПП-4М.
3.1 Особенности измерения параметров затухающих
колебаний
Свободные когерентные бетатронные колебания затухают вследствие потерь энергии.
Кроме того, реальный пучок представляет собой ансамбль осцилляторов, синфазность
колебаний которых со временем исчезает вследствие разброса частот (т.е. колебания
становятся некогерентными), и это проявляется в сигнале пикапа, пропорциональном
смещению центра заряда пучка, также как затухание.
45
Затухание колебаний приводит к уширению пика в амплитудном спектре, положение
максимума пика остается таким же, как и при отсутствии затухания. Как было показано
выше, частота затухающих колебаний может быть определена путем спектрального анализа
массива выборок колебаний методом промежуточных Фурье-гармоник. С помощью
аппроксимации огибающей массива пооборотных выборок координаты можно определить
параметры функции, описывающей временную зависимость амплитуды колебаний (в
частности, начальную амплитуду и декремент в случае экспоненциального затухания).
Рассмотрим массив пооборотных выборок синусоидальных колебаний с амплитудой
Ak , изменяющейся с характерным временем τ, много большим периода колебаний
y k = Ak cos( 2πQk + ϕ ) .
1
:
Q
(3.1.1)
Для определения временной зависимости амплитуды колебаний разобьем массив yk на
последовательные отрезки, число элементов в которых равно n = (int)
1
, где (int) означает
Q
округление до целого. В каждом таком отрезке найдем максимальный элемент y in . Массив
y in , состоящий из (int)QN элементов, представляет собой совокупность выборок функции,
описывающей зависимость амплитуды колебаний от времени: Ai = y in , i = 0, 1, K , (int)QN .
Рисунок 3.2 иллюстрирует применение данного алгоритма к массиву выборок
затухающих синусоидальных колебаний с амплитудой Ak = a ⋅ e
−δ
k
N
.
Рисунок 3.2. Определение временной зависимости амплитуды колебаний.
Во многих ускорительных задачах, таких как, например, диагностика инжекции,
измерение структурных функций, нелинейности, и др., необходимо определить начальную
46
амплитуду затухающих колебаний. В качестве примера на рисунке 3.3 представлены
графики когерентных горизонтальных (а) и вертикальных (б) бетатронных колебаний пучка
ВЭПП-4М, измеренных пикапом в течение 1024 оборотов. На рисунке также приведены
графики
экспоненциальных
функций,
аппроксимирующих
временную
зависимость
амплитуды колебаний и вычисленные значения времен затухания, нормированные на период
обращения.
а) Горизонтальные колебания
б) Вертикальные колебания
Рисунок 3.3. Затухающие бетатронные колебания.
3.2 Диагностика инжекции
Диагностическая система с регистрацией сигналов пикапа на каждом обороте [19]
является весьма информативной при настройке инжекции благодаря возможности измерения
параметров бетатронных и синхротронных колебаний инжектируемого пучка, которые
возникают при отклонении условий инжекции от номинальных. Кроме индикации наличия
колебаний и определения их частот, амплитуд и фаз, спектральный анализ дает возможность
определить поперечную координату и импульс в сечении впуска, что позволяет настраивать
инжектор.
47
При произвольном расположении пикапа начальные условия инжекции y inj и y ' inj
связаны с координатой y p и импульсом y ' p первого пролета пикапа пучком через матрицу
перехода [10]. Координата y p и импульс y ' p на азимуте пикапа определяются по амплитуде
a и фазе ϕ бетатронных колебаний, вычисленным путем спектрального анализа массива
пооборотных выборок координаты.
На рисунке 3.4 приведен пример вывода программы, используемой для диагностики
инжектируемого пучка. [18]
Рисунок 3.4. Диагностика инжектируемого пучка.
Обработка данных включает в себя визуализацию движения инжектируемого пучка и
спектральный анализ. На дисплей выводятся пооборотные графики тока и координат,
графики спектров бетатронных и синхротронных колебаний, и вычисленные значения частот
и
амплитуд
бетатронных
и
синхротронных
колебаний.
Приведенные
графики
демонстрируют потери тока при инжекции, быстро затухающие вертикальные бетатронные
колебания,
горизонтальные
колебаниями,
возникающими
бетатронные
вследствие
колебания
в
осцилляций
сумме
энергии
с
при
горизонтальными
синхротронных
колебаниях.
3.3 Измерение структурных функций
Для измерения амплитудных и фазовых функций бетатронных колебаний на
накопителе ВЭПП-4М использовался метод, предложенный в [19]. Метод основан на
измерении амплитуды и фазы когерентных бетатронных колебаний, регистрируемых
системой пикапов, распределенных по азимуту ускорителя. [20] Квадрат измеренной
амплитуды колебаний пропорционален значению бета-функции на азимуте пикапа, а фаза
48
колебаний связана с набегом бетатронной фазы от кикера до пикапа. Параметры колебаний
определялись с помощью ДПФ с уточнением методом промежуточных Фурье-гармоник.
В системе "Орбита" (см. Приложение), использовавшейся для измерения, реализован
последовательный опрос пикап-электродов. Для вычисления массива выборок координаты
необходимо было поочередно измерить массивы выборок сигналов четырех пикапэлектродов, возбуждая бетатронные колебания четырьмя последовательными ударами.
Нормировка измеренных массивов на амплитуду удара, измеряемую системой "Впуск"
позволила избежать ошибок вследствие нестабильности импульса кикера.
Достигнутая точность измерений сделала возможной глобальную коррекцию бетафункции накопителя ВЭПП-4М. Задача коррекции бета-функции, в отличие от коррекции
орбиты, является принципиально нелинейной. Однако, если линейная часть возмущения
существенно
больше
нелинейной,
то
возможно
применение
линейных
методов,
разработанных для коррекции орбиты. Оказалось возможным таким способом за 5÷10
итераций уменьшить биения бета-функции с 50 % до величины 10÷20 %, приемлемой для
нормальной работы накопителя.
На рисунке 3.5 приведен результат коррекции вертикальной бета-функции. Сплошная
линия представляет собой график расчетной бета-функции, измеренные вышеописанным
методом значения исходной бета-функции изображены кружками, скорректированной —
треугольниками.
Рисунок 3.5. Вертикальная бета-функция ВЭПП-4М до и после коррекции.
49
3.4 Измерение хроматизма
Для измерения хроматизма используется методика, основанная на измерении сдвига
бетатронных частот δQ при изменении продольного импульса частицы:
δQ = ξ
где ξ — хроматизм,
δp
p
δp
p
,
(3.4.1)
— относительное приращение продольного импульса. Выражая
изменение продольного импульса при вариации частоты обращения f 0 как
δp
p
=−
1 δf 0
,
α f0
из (3.4.1) получаем:
⎛ δf ⎞
ξ = −αδQ⎜ 0 ⎟
⎝ f0 ⎠
−1
,
(3.4.2)
где α — коэффициент расширения орбит.
Таким образом, хроматизм может быть определен путем измерения сдвига
бетатронной частоты δQ в зависимости от заданной вариации частоты обращения δf 0 .
Применение ДПФ с уточнением частоты методом дихотомии обеспечивает точность
измерения бетатронных частот не хуже 10−4. Достигнутая точность позволяет проводить
прецизионные измерения нелинейного хроматизма. На рисунке 3.6 приведен пример такого
измерения.
Рисунок 3.6. Нелинейный хроматизм ВЭПП-4М.
50
3.5 Измерение нелинейности ведущего поля
Секступольная и октупольная компоненты ведущего поля приводят к тому, что
бетатронные колебания становятся нелинейными. Нелинейные эффекты проявляются в
амплитудно-зависимом сдвиге частот бетатронных колебаний. Выражения для зависимости
бетатронной частоты от амплитуды колебаний как для секступольного, так и для
октупольного возмущения, в двумерном случае имеют вид [21]:
δQx ( a x , a z ) = C11a x2 + C12 a z2 ,
(3.5.1)
δQz ( a x , a z ) = C21a x2 + C22 a z2 ,
где δQ x , δQ z — сдвиг горизонтальной и вертикальной бетатронных частот, a x , a z —
соответствующие амплитуды колебаний.
Таким образом, коэффициенты кубической нелинейности Cij могут быть определены
путем измерения зависимости частоты бетатронных колебаний от их амплитуды.
Использовалась
следующая
методика
измерения
кубической
нелинейности.
Когерентные бетатронные колебания возбуждались импульсным кикером с регулируемой
амплитудой удара. Для нескольких значений амплитуды удара измерялись частота Q и
амплитуда a бетатронных колебаний путем спектрального анализа массива из 1024
пооборотных выборок координат, измеренных пикапом. Точность измерения бетатронной
частоты была не хуже 2·10−4, амплитуды — не хуже 1%. Разброс измеренных значений
εa
a
≅ 5% определялся нестабильностью амплитуды удара.
С помощью описанной методики были проведены исследования зависимости
коэффициента нелинейности C11 от невозмущенной частоты бетатронных колебаний Q x 0 в
окрестности нелинейного резонанса
3Qx = 26 . [21], [22], [23] Экспериментальные
результаты сравнивались с аналитическими оценками, полученными при помощи теории
возмущений, и с данными численного моделирования движения частицы в магнитной
структуре ВЭПП-4М. Анализ результатов измерений в режимах с различными значениями
силы секступольных и октупольных корректоров позволил разделить вклад секступольной и
октупольной компонент магнитного поля в зависимость частоты бетатронных колебаний от
амплитуды.
Примеры измерения зависимости Q x ( a x2 )
в двух рабочих точках ВЭПП-4М
приведены на рисунке 3.7. Сплошной линией изображена линейная аппроксимация, по
51
которой определялись невозмущенная частота Q x 0 и, затем, коэффициент нелинейности C11 .
Их значения приведены в таблице.
1
2
Qx0
0.6962
0.6919
C11 , мм−2
9.17·10−4
6.28·10−4
Рисунок 3.7. Измеренная зависимость Q x ( a x2 ) для ВЭПП-4М.
3.6 Спектральный анализ медленного движения пучка
В накопителях наблюдается медленное поперечное движение пучка с характерными
частотами порядка десятков или сотен герц. Причиной таких вибраций пучка обычно
являются пульсации источников питания магнитной системы и сейсмические колебания
грунта. Последствия вибраций могут быть серьезными, такими, как уменьшение светимости
в экспериментах на встречных пучках или снижение эффективной яркости пучка СИ.
Таким образом, задача исследования низкочастотных вибраций пучка оказывается
актуальной. Существенную информацию об амплитудно-частотных характеристиках
медленного движения дает спектральный анализ массива
yk
выборок поперечной
координаты пучка с помощью ДПФ:
Yj =
N −1
∑ y k ⋅ e i⋅2 πν k ,
j
(3.6.1)
k =0
где ν j — дискретный набор частот, равномерно распределенный в полосе Δν с шагом
δν =
Δν
, определяющим спектральное разрешение.
N
52
Представляют интерес частотные распределения амплитуды | Y j | и относительной
мощности
| Y j |2
δν
гармоник, и интеграла спектральной плотности
∞
| Y | Σ (ν ) = ∫ | Y (ν ′ )| dν ′ ,
(3.6.2)
ν
или в дискретной форме
| Y | Σj =
N −1
∑ Yk
,
(3.6.3)
k= j
характеризующего удельный вклад гармоник в суммарную амплитуду колебаний.
В отличие от задач, связанных с бетатронным движением, координатное разрешение
при измерениях медленных вибраций должно быть существенно выше, так как их амплитуда
на 1 ÷ 2 порядка меньше типичной амплитуды возбуждаемых бетатронных колебаний. В
измерениях на накопителе ВЭПП-4М в качестве дополнительного аналогового фильтра
нижних частот с варьируемой граничной частотой использовался интегрирующий АЦП.
Время интегрирования АЦП, определяющее граничную частоту фильтра, может быть
выбрано в пределах 1.25 ÷ 160 мс, что позволяет измерять вибрации пучка в диапазонах от
0 ÷ 2 Гц до 0 ÷ 266 Гц с частотным разрешением от 0.004 до 0.52 Гц соответственно.
Амплитудное разрешение зависит от диапазона, для диапазона 0 ÷ 66 Гц оно составляло
0.15 мкм.
На рисунке 3.8 приведен пример измерений, выполненных для электронного пучка
ВЭПП-4М (а) и для тестового сигнала, имитирующего пучок (б). На графиках изображены:
массив выборок координаты y k (мкм, N = 1024, время измерения одной выборки — 15 мсек),
амплитудный спектр (мкм), спектр относительной мощности гармоник (мкм2/Гц) и интеграл
спектральной плотности (мкм).
Из рисунка 3.8а видно, что основной вклад в амплитуду медленных вибраций пучка
вносят гармоники с частотами от 0 до 16 Гц, причина которых — сейсмические колебания
грунта, источник которых был идентифицирован. Рисунок 3.8б демонстрирует спектральное
разрешение системы диагностики. На обоих рисунках виден пик 50 Гц с амплитудой около
4 мкм, обусловленный пульсациями источников питания электроники системы диагностики.
53
а) Электронный пучок ВЭПП-4М
б) Тестовый сигнал
Рисунок 3.8. НЧ спектры.
Отделив спектральные составляющие, обусловленные сейсмическими колебаниями и
сетевыми наводками, можно оценить величину вибраций, производимых пульсациями
источников питания элементов магнитной структуры. На накопителе ВЭПП-4М это сделать
не удалось, так как частота пульсаций — около 300 Гц — находилась за пределами полосы
аппаратуры, использовавшейся для обработки сигнала.
54
Глава 4
Измерение и численный расчет
нелинейных бетатронных колебаний.
Практические приложения
Представление нелинейных колебаний пучка на фазовой плоскости существенно
расширяет возможности их анализа. Фазовые траектории нелинейных бетатронных
колебаний предоставляют значительный объем наглядной информации о характере
нелинейности,
нелинейных
резонансах,
динамической
апертуре
и
т.д.
Весьма
информативным является также сравнение фазовых траекторий реального движения с
фазовыми траекториями, полученными численным моделированием.
Ниже описаны практические методы построения фазовых траекторий нелинейных
бетатронных колебаний по измеренным выборкам координаты. Поскольку в эту задачу
диагностики входит определение формы нелинейных колебаний, то оптимальное подавление
шума дает применение дискретного гребенчатого фильтра (ДГФ). Использование ДГФ
позволило значительно повысить точность результатов измерений в исследованиях
нелинейной динамики пучка ВЭПП-4М.
Исследована точность и границы применимости этих методов, приведены примеры
экспериментальных результатов, полученных на ускорительном комплексе ВЭПП-4М.
4.1 Построение фазовых траекторий методом двух
пикапов
Метод построения фазовых траекторий бетатронных колебаний, основанный на
одновременном измерении пооборотных выборок координаты пучка двумя пикапами (метод
двух пикапов), применяется довольно широко.
55
a) SPEAR, 1985
б) ELSA, 1991
в) KEK, 1996
Рисунок 4.1. Примеры фазовых траекторий нелинейных бетатронных колебаний,
построенных методом двух пикапов.
56
Одна из первых публикаций по данной теме — [2], где приведены результаты
измерений, проведенных в 1985 году на накопителе SPEAR (Рисунок 4.1а). На рисунке 4.1б
представлены измерения 1991 года на накопителе ELSA [3], а на рисунке 4.1в — результаты
эксперимента на Photon Factory Storage Ring (KEK), опубликованные в 1996 году [4].
На рисунке 4.2 приведен пример фазовой траектории горизонтальных бетатронных
колебаний пучка ВЭПП-4М, построенной по массивам пооборотных выборок координаты
x1k и x2 k , измеренных пикапами NRP3 и SRP3 соответственно, в сравнении с расчетной
фазовой траекторией. Измерения проводились вблизи резонанса 3Qx = 26 ( Qx = 8.624 ) при
условиях, близких к оптимальным (1.4.4):
β1 ≅ β 2 = 4.5 м ,
Δψ 21 = 3.46π .
Рисунок 4.2. ВЭПП-4М. Фазовая траектория, построенная методом двух пикапов.
Для
построения
расчетной
фазовой
траектории
использовались
результаты
компьютерного трекинга частицы в нелинейной структуре ВЭПП-4М при следующих
условиях:
Q x = 8.624 ,
β1 = 4.7 м ,
β 2 = 4.4 м ,
Δψ 21 = 3.49π .
Влияние нелинейных элементов на движение частицы моделировалось методом
"тонких линз", т.е. нелинейный элемент заменялся конечным числом "ударов", мгновенно
изменяющих поперечный импульс на величину, пропорциональную квадрату (секступоль)
или кубу (октуполь) координаты. Как показано в [24], точность решения методом "тонких
линз" вполне удовлетворительна даже при замене нелинейного элемента единственным
"ударом".
57
Как видно из рисунков 4.1 и 4.2, точки фазовых траекторий, построенных по
измеренным данным, имеют значительный шумовой разброс. Значительное подавление
шума дает применение дискретного гребенчатого фильтра. Число Фурье-гармоник n ,
необходимых для аппроксимации нелинейных бетатронных колебаний, мало по сравнению с
размером массивов N , и, при типичных значениях N = 1024 и n = 4÷8, применение ДГФ
улучшает шумовое разрешение в 11÷16 раз.
Рисунок 4.3. Фазовая траектория, построенная методом двух пикапов с применением ДГФ.
На рисунке 4.3 приведен пример фазовой траектории X 2 k ( X 1k ) горизонтальных
бетатронных колебаний пучка ВЭПП-4М, построенной с использованием дискретного
гребенчатого фильтра из тех же, что на рисунке 4.2, массивов x1k
и x 2 k , измеренных
пикапами NRP3 и SRP3, в сравнении с той же расчетной фазовой траекторией. Видно
значительное уменьшение шума по сравнению с рисунком 4.2. Среднеквадратичный разброс
значений X1k , X 2 k при использовании дискретного гребенчатого фильтра ( n = 4 ) составляет
около 10 мкм, в то время как пооборотное разрешение пикапа не лучше 150 мкм.
Коэффициент корреляции фазовой траектории, построенной методом двух пикапов, и
расчетной фазовой траектории равен | K12 |= 0.89 .
58
4.2 Построение фазовых траекторий методом одного
пикапа
В Главе 1 были проведены исследования математических моделей нелинейных
бетатронных колебаний, результатом которых являются соотношения между выборками
координаты и импульса, а также соотношения между их дискретными спектрами,
независящие от амплитуды колебаний. Для двух предельных случаев — магнитной
структуры с единственным, бесконечно коротким нелинейным элементом и структуры с
равномерно распределенной нелинейностью — получены аналитические выражения этих
соотношений. В случаях, когда аналитического решения нет, амплитудно-фазовые
соотношения между дискретными спектрами координаты и импульса могут быть получены
путем численного решения уравнения движения и спектрального анализа полученных
массивов.
Эти соотношения, полученные тем или другим способом, и являются основой метода
построения фазовых траекторий путем анализа массива дискретных выборок координаты,
измеренных единственным пикапом. Ниже описаны способы практической реализации
метода одного пикапа на примерах реальных ускорителей.
4.2.1 Структура с финальным фокусом. Накопитель ВЭПП-4М
Рассмотрим поперечное движение частицы в электрон-позитронном коллайдере
ВЭПП-4М, имеющем зеркально-симметричную структуру с финальным фокусом. [23]
Накопитель ВЭПП-4М состоит из двух полуколец с магнитной структурой типа FODO и
двух прямолинейных промежутков, в одном из которых производится инжекция пучков и
размещены ускоряющие резонаторы, а в другом находится место встречи пучков —
финальный фокус. Периметр накопителя 366 м, бетатронные частоты Qx = 8.62 , Qz = 7.56 .
Структура ВЭПП-4М обладает значительным натуральным хроматизмом: ξx = −13.6 ,
ξz = −20.7 (главным образом за счет квадрупольных линз финального фокуса, где бетафункция максимальна). Для компенсации хроматизма используются следующие элементы:
„
секступольные
сосредоточенные
корректоры
в
элементах
периодичности
(32
вертикальных и 32 горизонтальных корректора);
„
сосредоточенные парные корректоры SES2, NES2 и SES3, NES3, расположенные
симметрично вблизи финального фокуса.
59
Секступольные корректоры, использующиеся для компенсации хроматизма, являются
основными источниками нелинейного возмущения, пропорционального x 2 .
На рисунке 4.4 приведены графики азимутального распределения квадрупольной и
секступольной компонент поля, а также график горизонтальной бета-функции. Как видно из
рисунка, горизонтальные корректоры SES2 и NES2 расположены в местах, где бета-функция,
определяющая локальную амплитуду бетатронных колебаний, более чем на порядок
превышает среднее значение бета-функции в полукольцах.
Рисунок 4.4. Магнитная структура накопителя ВЭПП-4М.
Этот факт приводит к выводу, что нелинейные искажения фазовой траектории
горизонтальных бетатронных колебаний будут определяться главным образом этими
короткими нелинейными элементами. Набег бетатронной фазы на участке между
корректорами SES2 и NES2 близок к π. Это означает, что пучок, испытав воздействие обоих
нелинейных элементов, движется так же, как если бы один из них отсутствовал, а другой
имел удвоенную силу. Эти два соображения приводят к заключению, что математическая
модель (1.5.1) структуры с единственным, бесконечно коротким нелинейным элементом
может быть применена к накопителю ВЭПП-4М для анализа нелинейных бетатронных
колебаний.
Таким образом, основой метода одного пикапа, разработанного нами для построения
фазовых траекторий бетатронных колебаний пучка ВЭПП-4М, являются аналитические
соотношения (1.5.13), (1.5.21), полученные для модельной структуры с сосредоточенной
нелинейностью.
60
Оценим точность метода с помощью численного моделирования. В качестве критерия
точности будем использовать коэффициент корреляции (1.6.1). На рисунке 4.5 представлен
график зависимости от бетатронной частоты Qx модуля коэффициента корреляции | K12 |
фазовых траекторий J 1k (φ1k ) и J 2 k (φ 2 k ) . Фазовая траектория J 1k (φ1k ) построена по
x ' k на
массивам пооборотных значений координаты x k и нормализованного импульса ~
азимуте пикапа NRP3, являющихся результатом компьютерного трекинга частицы в
структуре ВЭПП-4М с учетом всех нелинейных элементов. Фазовая траектория J 2 k (φ 2 k )
построена путем преобразования того же массива пооборотных значений координаты x k с
помощью вышеупомянутых аналитических соотношений.
Рисунок 4.5. Точность метода (численное моделирование).
Уменьшение коэффициента корреляции при приближении частоты к полуцелому
резонансу Qx = 8.5 обусловлено тем, что массив дискретных выборок колебаний на частоте,
кратной 0.5 вырождается в набор чисел, равных одному из двух значений координаты,
зависящих от фазы колебаний. Информации, содержащейся в таком массиве, недостаточно
для определения амплитуды и фазы колебаний. Быстрое нарастание ошибки метода при
приближении частоты к полуцелому резонансу математически следует из формул (1.5.21),
где в знаменателе присутствует множитель sin 2πQ , стремящийся к нулю при Q → n + 0.5 .
Однако, как видно из рисунка 4.5, в наиболее интересном диапазоне бетатронных
частот 8.62 ÷ 8.75, где проявляются нелинейные резонансы
3Qx = 26
и
4 Q x = 35 ,
приводящие к значительным нелинейным искажениям фазовых траекторий, величина
коэффициента корреляции не меньше чем 0.9. Это означает, что, во-первых, вкладом
остальных секступольных корректоров в нелинейность колебаний действительно можно
пренебречь, по сравнению с SES2, NES2, и, во-вторых, применение модельной структуры с
61
единственным нелинейным элементом к накопителю ВЭПП-4М оправдано в данной области
бетатронных частот.
Построим методом одного пикапа фазовую траекторию горизонтальных бетатронных
колебаний пучка ВЭПП-4М по измерениям, сделанным пикапом NRP3 (рисунок 4.6), и
сравним ее с траекторией, построенной традиционным методом двух пикапов по
измерениям, сделанным пикапами NRP3 и SRP3 (рисунок 4.3). Измерения проводились на
электронном пучке вблизи горизонтального секступольного резонанса 3Qx = 26 . Для
уменьшения шумовой погрешности массивы координат были предварительно обработаны
дискретным гребенчатым фильтром. Сплошной линией на рисунке 4.6 изображена также
расчетная фазовая траектория на азимуте пикапа NRP3, построенная по результатам
компьютерного трекинга. Коэффициент корреляции фазовой траектории, построенной по
измерениям одного пикапа, и расчетной фазовой траектории равен | K12 |= 0.96 .
Рисунок 4.6. Фазовая траектория вблизи резонанса 3Qx = 26 .
x ' ) повернута относительно
Ось симметрии фазовых траекторий в координатах ( x, ~
оси x на угол χ ≅ 80° , определяемый взаимным расположением источников нелинейности и
пикапа. Как было показано в Главе 1, в случае единственного источника нелинейности, этот
угол равен взятому с обратным знаком набегу бетатронной фазы на участке между
источником нелинейности и пикапом. Набег бетатронной фазы между последним по ходу
электронного пучка секступольным корректором NES2 и пикапом NRP3, рассчитанный с
помощью численного моделирования, составляет Δψ N = 6.46π . Угол χ ≅ 80° близок к
дробной части набега фазы Δψ N .
62
Анализ результатов численного моделирования и практических измерений на
ВЭПП-4М показал, что метод одного пикапа может быть использован для построения
фазовых траекторий бетатронных колебаний. Преимуществами метода одного пикапа
являются более высокое шумовое разрешение (в
2 раз), а также отсутствие погрешностей,
обусловленных ошибками измерения бета-функции в пикапах и набега бетатронной фазы
между ними, характерных для метода двух пикапов.
Отбирая из массива x1k , измеренного пикапом, последовательные значения в
пределах
от
минимального
до
максимального,
вычислим
по
формуле
(1.5.14)
соответствующие значения силы f k . На рисунке 4.7 представлен график зависимости
величины βΔx ' k , пропорциональной f k , от координаты x k . Аппроксимируя зависимость
степенным
полиномом,
получим
вид
силы
нелинейного
элемента:
f ( x ) ~ 0.078 + 0.0023x + 0.067 x 2 − 0.0011x 3 − 0.00094 x 4 +K , позволяющий сделать вывод, что
источниками нелинейности действительно являются секступоли.
Рисунок 4.7. Нелинейная сила вблизи резонанса 3Qx = 26 .
Другим нелинейным резонансом вблизи рабочей точки ВЭПП-4М является резонанс
четвертого
порядка
4Qx = 35 .
На
рисунке
4.8
изображена
фазовая
траектория
горизонтальных бетатронных колебаний в окрестности этого резонанса, построенная
методом одного пикапа по измерениям, сделанным пикапом NRP3. Сплошной линией также
выведена расчетная траектория, построенная по результатам трекинга. Фазовые траектории в
координатах ( x, ~
x ' ) имеют четырехугольную форму, характерную для резонанса четвертого
порядка. Коэффициент корреляции фазовой траектории, построенной по измерениям одного
пикапа, и расчетной фазовой траектории равен | K12 |= 0.95 .
63
Рисунок 4.8. Фазовая траектория вблизи резонанса 4Qx = 35 .
На рисунке 4.9 представлен график пооборотных значений βΔx ' k в зависимости от
координаты x k . Аппроксимация зависимости степенным полиномом дает вид силы
. x 2 − 0.0084 x 3 − 0.020 x 4 +K , имеющей
нелинейного элемента: f ( x ) ~ 0.0046 + 0.0032 x + 0168
секступольный характер так же, как и вблизи резонанса 3Qx = 26 .
Рисунок 4.9. Нелинейная сила вблизи резонанса 4Qx = 35 .
Тот факт, что для резонанса 4Qx = 35 модель с единственным, бесконечно коротким
нелинейным элементом также дала правдоподобный результат с углом поворота фазовой
траектории в координатах (x, ~
x ' ) , близким к фазовому набегу Δψ N и силой,
пропорциональной x 2 , говорит о том, что ответственными за этот резонанс являются те же
преобладающие секступольные корректоры SES2 и NES2 и что паразитной октупольной
64
составляющей поля в паре квадрупольных линз финального фокуса, несмотря на большое
значение горизонтальной бета-функции, можно пренебречь.
Таким образом, численное моделирование и экспериментальная проверка метода
одного пикапа на накопителе ВЭПП-4М позволяют сделать следующие выводы.
1 Модель бетатронного движения в структуре с единственным, коротким нелинейным
элементом может оказаться подходящей для ускорителя, если его магнитная структура
включает в себя участки с большой бета-функцией, что делает расположенные там
нелинейные элементы преобладающими. Такую структуру обычно имеют коллайдеры
с одним финальным фокусом, например, ВЭПП-4М.
2 Для построения фазовых траекторий нелинейных бетатронных колебаний в таких
структурах может с успехом применяться метод одного пикапа, причем для таких
структур соотношения между выборками координаты и импульса, а также
соотношения между их дискретными спектрами, описываются аналитическими
выражениями.
4.2.2 Периодическая структура. Накопитель "Сибирь-2"
Магнитная структура многих современных накопителей и синхротронов состоит из
нескольких одинаковых периодов. Рассмотрим задачу построения фазовых траекторий
бетатронных колебаний в таких структурах на примере накопителя электронов "Сибирь-2"
(РНЦ "Курчатовский институт", Москва).
Накопитель "Сибирь-2" является специализированным источником синхротронного
излучения. Его структура состоит из шести одинаковых зеркально-симметричных элементов
периодичности, каждый из которых содержит две пары дипольных магнитов, образующих
ахроматический
поворот,
фокусирующие
квадрупольные
линзы
и
прямолинейные
промежутки. [24] Периметр накопителя C = 116 м, бетатронные частоты: горизонтальная
Qx = 7.72 , вертикальная Qz = 7.69 .
На рисунке 4.10 приведены графики азимутального распределения квадрупольной и
секступольной компонент поля, а также графики горизонтальной и вертикальной бетафункций в элементе периодичности накопителя "Сибирь-2".
Нелинейность горизонтального бетатронного движения определяется главным
образом секступольными линзами S1, а вертикального — секступольными линзами S2,
65
расположенными в максимумах соответственно горизонтальной и вертикальной бетафункций.
Рисунок 4.10. Магнитная структура элемента периодичности накопителя "Сибирь-2".
Такая структура дает возможность использовать для описания бетатронного
движения, в приближении только секступольной нелинейности, следующее уравнение:
∞
M
y"+ Ω 2 y = ∑ ∑ f 0 y 2 ⋅ δ (ϑ − 2π
k =0 m = 0
m
+ 2πk ) ,
M
(4.2.1)
где M — число периодов (для накопителя "Сибирь-2" M = 6 ). Секступольные линзы на
каждом периоде моделируются нелинейным элементом, описываемым произведением
квадратичной функции
δ (ϑ − 2π
f 0 y 2 , где f0 — приведенная сила секступоля, и δ-функции
m
m
+ 2πk ) , "включающей" M нелинейных сил на каждом обороте k, 2π
M
M
( m = 0, 1, K , M ) — азимут нелинейного элемента.
На каждом элементе периодичности возможно аналитическое решение уравнения
(4.2.1) с помощью преобразования Лапласа так же, как это было сделано в случае уравнения
(1.5.1), описывающего движение в структуре с единственным нелинейным элементом.
Однако, переходя к дискретным соотношениям на каждом обороте, записать выражения для
координаты и импульса, подобные (1.5.8), (1.5.9) и найти рекуррентную формулу для
вычисления пооборотных значений импульса не представляется возможным.
Тем не менее, решая уравнение (4.2.1) численно, и производя дискретный
спектральный анализ массивов пооборотных значений координаты и импульса, можно
66
получить амплитудно-фазовые соотношения между спектрами координаты и импульса,
которые оказываются независящими от амплитуды колебаний.
На рисунке 4.11 приведены графики зависимости от бетатронной частоты Qx
отношения
нормированных
амплитуд
a ' j / a '1
a j / a1
и
разности
фаз
ϕ ' j −ϕ j
гармоник
j = 1, 2, K , 5 спектров координаты и импульса. Амплитудно-фазовые соотношения
получены путем дискретного спектрального анализа массивов пооборотных значений
горизонтальных координаты x k и импульса x ' k в центре элемента периодичности. Точками
выведены графики, построенные по результатам трекинга частицы в нелинейной структуре
накопителя "Сибирь-2", сплошными линиями — графики, построенные по результатам
численного решения уравнения (4.2.1) методом Рунге-Кутта.
Рисунок 4.11. Амплитудно-фазовые соотношения между спектрами координаты и импульса
(накопитель "Сибирь-2", численное моделирование).
Из рисунка 4.11 видно, что амплитудно-фазовые соотношения, полученные двумя
способами, практически совпадают. Разброс значений пятой гармоники обусловлен
погрешностью расчета, возникающей из-за малости амплитуды данной гармоники.
На рисунке 4.12 представлен график зависимости от бетатронной частоты Qx модуля
коэффициента корреляции | K12 | фазовых траекторий J 1k (φ1k ) и J 2 k (φ 2 k ) . Фазовая
траектория
J 1k (φ1k )
построена по массивам
xk
и
x' k , являющихся результатом
67
компьютерного трекинга, фазовая траектория J 2 k (φ 2 k ) построена путем преобразования
дискретного спектра массива пооборотных значений координаты
xk
с помощью
вышеупомянутых амплитудно-фазовых соотношений.
Рисунок 4.12. Точность метода (численное моделирование).
Как видно из графика, в широком диапазоне бетатронных частот величина
коэффициента корреляции близка к единице. Причина уменьшения коэффициента
корреляции в области полуцелого резонанса изложена в 4.2.1.
Таким образом, для построения фазовых траекторий бетатронных колебаний в
симметричной магнитной структуре типа "Сибирь-2" также возможно применение метода
одного
пикапа.
Амплитудно-фазовые
соотношения
между
дискретными
спектрами
координаты и импульса могут быть получены путем численного решения уравнения
движения и последующего спектрального анализа массивов пооборотных значений
координаты и импульса.
На основе вышеизложенного можно сделать вывод, что методы исследования
нелинейной динамики пучка на фазовой плоскости, разработанные для экспериментов на
ВЭПП-4М [21], [22], [23], [25], [26], могут быть успешно применены и на накопителе
"Сибирь-2".
4.3 Обзор практических результатов, полученных на
накопителе ВЭПП-4М
Исторически метод одного пикапа был разработан для построения фазовых
траекторий нелинейных бетатронных колебаний пучка в накопителе ВЭПП-4М как
эмпирический, до того, как были детально исследованы возможности его применения, его
свойства и ограничения.
68
Эмпирической базой служил компьютерный трекинг, с помощью которого
моделировались эффекты, наблюдаемые по результатам измерений. В области бетатронных
частот, включающей два наиболее важных с практической точки зрения нелинейных
резонанса 3Qx = 26 и 4Qx = 35 , было найдено амплитудно-фазовое соотношение для
вычисления дискретного спектра импульса путем преобразования спектра координаты. [13]
Построенные
по
интерпретируемыми
измеренным
и
дали
данным
возможность
фазовые
сделать
траектории
оказались
численные
оценки
хорошо
параметров
нелинейного бетатронного движения.
Основными задачами экспериментов [21], [22], [23], [25], [26] по изучению
нелинейной динамики пучка ВЭПП-4М были:
„
исследование особенностей нелинейного движения пучка в накопителе ВЭПП-4М;
„
определение основных источников нелинейного возмущения;
„
сравнение результатов эксперимента с результатами численного моделирования и
аналитическими оценками;
„
измерение динамической апертуры и разработка методов ее расширения.
В результате проведенных исследований были предложены способы увеличения
горизонтальной динамической апертуры.
Приведем несколько примеров применения метода одного пикапа в экспериментах
[21], [22], [23], [25], [26].
На рисунке 4.13 показаны фазовые траектории нелинейных бетатронных колебаний
пучка ВЭПП-4М, построенные методом одного пикапа, в двух случаях: бетатронная частота
Qx = 8.63 находится ниже резонанса 3Qx = 26 (а), и Qx = 8.70 выше резонанса (б). Фазовые
x ' ) вблизи резонанса третьего порядка имеют характерную
траектории в координатах ( x, ~
треугольную форму. В соответствии с теорией, ориентация траектории в координатах ( x, ~
x' )
при переходе через резонанс меняется на противоположную, а в координатах ( J , φ )
максимумы и минимумы кривой J (φ ) меняются местами.
Рисунок 4.14 демонстрирует фазовые траектории горизонтальных бетатронных
колебаний, построенные методом одного пикапа, вблизи этого же резонанса третьего
порядка 3Qx = 26 . Измерения проводились при изменяемой амплитуде колебаний. Как
видно из рисунка, с ростом амплитуды глубина модуляции фазовой кривой увеличивается.
69
а) Qx = 8.63
б) Qx = 8.70
Рисунок 4.13. Фазовые траектории слева (а) и справа (б) от резонанса 3Qx = 26 .
Рисунок 4.14. Фазовые траектории бетатронных колебаний с различной амплитудой.
70
Оказалось возможным построить фазовые траектории нелинейных бетатронных
колебаний в непосредственной близости от резонансов высших порядков. На рисунке 4.15
показаны фазовые траектории, построенные методом одного пикапа вблизи резонансов
четвертого (а) и пятого (б) порядка. Фазовые траектории вблизи резонансов распадаются на
"островки", число которых соответствует порядку резонанса.
а) Qx = 8.7499
б) Qx = 8.6002
Рисунок 4.15. Фазовые траектории вблизи резонансов 4Qx = 35 и 5Qx = 43 .
71
Глава 5
Синхротронные колебания
5.1 Дискретные уравнения движения
В резонансном режиме ускорения частицы в циклическом ускорителе получают
энергию от переменного электрического ВЧ-поля, сосредоточенного в ускоряющих
резонаторах. В накопителях электронов в стационарном режиме необходимо также с
помощью ВЧ-поля компенсировать потери энергии на синхротронное излучение.
Запишем, следуя [27], основные соотношения, описывающие продольное движение
частицы в резонансном режиме ускорения. Будем считать промежуток, в котором
сосредоточено ускоряющее поле, бесконечно коротким. Обозначив t k время, когда частица
k -й раз проходит ускоряющий промежуток, и E k +1 — энергию частицы на выходе
ускоряющего промежутка после k -го прохода, запишем уравнения, в общем виде
описывающие пооборотные соотношения между энергией и периодом обращения частицы:
Ek +1 − Ek = eV sin ω RF t k − Wk ,
t k +1 − t k = T ( E k +1 ),
k = 1, 2, K
(5.1.1)
где V — амплитуда и ω RF — циклическая частота ускоряющего напряжения, T (E k +1 ) —
период обращения частицы с энергией E k +1 , Wk — потери энергии на обороте после k -го
прохода (например, на синхротронное излучение).
Равновесная энергия E s определяется как энергия частицы, для которой выполняется
точный синхронизм:
ω RF = qω s = q
где ω s
и
2π
,
Ts
(5.1.2)
Ts = T ( Es ) — соответственно циклическая частота и период обращения
равновесной частицы, q — целое число. Полагая изменение энергии частицы за оборот
72
малым по сравнению с равновесной энергией, E k +1 − E k << E s , введем новую переменную:
ΔE k = E k − E s . Разложим зависимость периода обращения от энергии в ряд Тейлора:
T ( E k ) = Ts +
dT
dE
E = Es
ΔE k +K .
(5.1.3)
Рассмотрим движение ультрарелятивистской частицы. В этом случае
dT
dE
можно
E = Es
выразить через коэффициент расширения орбит α :
α=
ps dT
Ts dp
≅
p = ps
E s dT
Ts dE
,
E = Es
где p — продольный импульс. Сохраняя члены, линейные по малому параметру
ΔE
,
Es
перепишем (5.1.3) в виде:
⎛
ΔE k ⎞
T ( E k ) ≅ Ts ⎜1 + α
⎟.
Es ⎠
⎝
(5.1.4)
Положим процесс ускорения линейным, т.е., будем считать, что изменение
равновесной энергии и потери энергии за оборот не изменяются от оборота к обороту:
Wk +1 = Wk = W = const ,
(E s )k +1 − (E s )k
= ΔE s = const . Используя (5.1.1) и (5.1.4), вводя
синхротронную фазу ϕk = ω RF t k и опуская равновесное приращение фазы за оборот
ω RFTs = 2πq , запишем пооборотные уравнения, связывающие синхротронную фазу и
отклонение энергии от равновесной:
ΔE k +1 − ΔE k = − eV (sin ϕ k − sin ϕ s ) ,
ϕ k +1 − ϕ k = 2πqα
ΔE k +1
,
Es
(5.1.5)
(5.1.6)
где k = 1, 2, K — номер оборота, ϕ s — равновесная фаза, определяемая из условия:
− eV sin(ϕ s − π ) = W + ΔE s .
(5.1.7)
5.2 Фазовое уравнение
Полагая изменение энергии и синхротронной фазы медленным по сравнению с
периодом обращения, заменяя дискретные переменные непрерывными:
73
t=
2π
ωs
k,
ϕ (t ) = ϕ k ,
ΔE (t ) = ΔE k ≅ ΔE k +1 ,
(5.2.1)
и используя следующие приближения:
dΔ E ω s
(ΔEk +1 − ΔEk ),
≅
2π
dt
dϕ ω s
(ϕ k +1 − ϕ k ) ,
≅
dt
2π
(5.2.2)
запишем дифференциальные уравнения:
ω
dΔ E
= − s eV (sin ϕ − sin ϕ s ),
2π
dt
dϕ
ΔE
.
= qω sα
Es
dt
(5.2.3)
Система уравнений (5.2.3) преобразуется в дифференциальное уравнение второго
порядка, известное как фазовое уравнение:
sin ϕ − sin ϕ s
d 2ϕ
+ Ω2
= 0,
2
cos ϕ s
dt
где
Ω = ωs
qeVα cos ϕ s
— синхротронная
2πE s
частота.
(5.2.4)
Уравнение
(5.2.4)
описывает
синхротронные колебания неравновесной частицы. Синхротронная частота обычно много
меньше частоты обращения, на один период синхротронных колебаний приходятся десятки
или сотни оборотов.
Так как ϕ
не зависит от
ΔE , система (5.2.3) является гамильтоновой с
гамильтонианом:
qω s E sα
H=
2
2
⎛ ΔE ⎞
eVω s
⎟⎟ −
(cos ϕ + ϕ sin ϕ s ) .
⋅ ⎜⎜
2π
⎝ Es ⎠
(5.2.5)
Из (5.2.5) следует уравнение фазовых траекторий синхротронных колебаний в канонических
координатах фаза-энергия:
Ω
ΔE
=±
Es
qω sα
где C =
2πH
= const .
eVω s
2(C + cos ϕ + ϕ sin ϕ s )
,
cos ϕ s
(5.2.6)
74
5.3 Фазовые траектории синхротронных колебаний
5.3.1 Построение фазовых траекторий по независимым измерениям
энергии и фазы
В работе [5] описана система наблюдения фазовых траекторий синхротронных
колебаний, разработанная на накопителе электронов Photon Factory Storage Ring (KEK),
предназначенном для генерации синхротронного излучения. Система предназначена для
исследований продольной нелинейной динамики пучка. Необходимость таких исследований
обусловлена проблемой подавления продольной неустойчивости, ограничивающей яркость
пучка СИ.
Метод
построения
фазовых
траекторий
продольного
движения
основан
на
независимом измерении энергии и синхротронной фазы пучка. Пооборотные значения
относительного
изменения
энергии
определялись
по
отклонению
горизонтальной
координаты, измеренной пикапом, расположенным на азимуте с ненулевой дисперсией.
Пооборотные значения отклонения синхротронной фазы от равновесного значения
измерялись независимо с помощью фазоизмерителя. Точность измерения фазы была не хуже
0.136º, динамический диапазон до 8º.
а)
б)
Рисунок 5.1. Фазовые траектории синхротронных колебаний.
На рисунке 5.1 приведены фазовые траектории синхротронных колебаний,
построенные с помощью системы, описанной в [5]. По оси абсцисс отложены значения
отклонения
синхротронной
фазы
от
равновесной,
по
оси
ординат — значения
75
относительного изменения энергии. На рисунке 5.1а представлена фазовая траектория
синхротронных колебаний, возбужденных модуляцией фазы ускоряющего напряжения, на
рисунке 5.1б — фазовая траектория колебаний, возникших по причине продольной
неустойчивости.
5.3.2 Метод одного пикапа для синхротронных колебаний
Отклонение Δp продольного импульса неравновесной частицы, совершающей
синхротронные колебания, от равновесного значения p s вызывает смещение траектории в
горизонтальном направлении от равновесной орбиты. Величина смещения на каком-либо
азимуте ϑ , в линейном приближении по Δp , равна [7]:
x (ϑ ) = η(ϑ )
Δp
,
ps
(5.3.1)
где η (ϑ ) — дисперсионная функция. Для ультрарелятивистского пучка
x (ϑ ) = η(ϑ )
Δp ΔE
=
и
ps
Es
ΔE
.
Es
(5.3.2)
Пусть на некотором азимуте ϑ0 расположен пикап, регистрирующий поперечные
координаты
короткого
ультрарелятивистского
пучка,
совершающего
когерентные
синхротронные колебания. Запишем выражение пооборотных значений x$ k горизонтальной
координаты, измеряемых пикапом:
x$ k = x + η(ϑ0 )
ΔEk − ΔW (ϑ0 )
,
Es
k = 1, 2, K ,
(5.3.3)
где x — смещение равновесной орбиты на азимуте ϑ0 , ΔW(ϑ0 ) — потери энергии на
участке от ускоряющего промежутка до пикапа.
Вычитая из (5.3.3) постоянную составляющую x − η(ϑ0 )
усреднения массива пооборотных значений
ΔW (ϑ0 )
, вычисленную путем
Es
x$ k , получим пооборотные выборки
xk
колебаний в горизонтальной плоскости:
x k = η(ϑ0 )
ΔE k
,
Es
k = 1, 2, K ,
откуда можно выразить пооборотные значения относительного отклонения энергии:
(5.3.4)
76
ΔEk
xk
,
=
Es
η(ϑ0 )
k = 1, 2, K .
(5.3.5)
Используя дискретное уравнение (5.1.5), запишем рекуррентную формулу для
вычисления пооборотных значений синхротронной фазы:
ϕ k +1 = ϕ k + 2πqα
ΔE k +1
,
Es
k = 1, 2, K ,
(5.3.6)
являющуюся решением уравнения в конечных разностях (5.1.5). С учетом (5.3.5), перепишем
(5.3.6) в виде:
ϕk +1 = ϕk + 2πqα
xk
,
η(ϑ0 )
k = 1, 2, K .
(5.3.7)
Значения равновесной фазы ϕs и начальной фазы ϕ1 являются неизвестными, вследствие
чего на синхротронные колебания фазы относительно ϕ s , вычисляемые по формуле (5.3.7) с
равновесной и начальной фазами, положенными, например, равными нулю, будет
накладываться неизвестная постоянная составляющая (ϕ1 + ϕ s ) . Это приведет к сдвигу
фазовой траектории по оси абсцисс относительно истинной на величину − (ϕ1 + ϕ s ) , форма
же траектории останется без искажений.
Таким образом, соотношения (5.3.5) и (5.3.7) позволяют построить фазовую
траекторию синхротронных колебаний
ΔE k
(ϕ k ) по массиву выборок горизонтальных
Es
колебаний xk , измеренных единственным пикапом.
Отметим, что по сигналу единственного пикапа невозможно измерить вариации
равновесной фазы, в отличие от метода с независимым измерением фазы [5].
Путем дискретного спектрального анализа пооборотного уравнения (5.1.6) выведем
амплитудно-фазовые соотношения между спектрами относительного изменения энергии
ΔE k
и синхротронной фазы ϕ k .
Es
Перенумеруем последовательности выборок энергии
начиная с нуля, и разложим массивы
ΔE k
и синхротронной фазы ϕ k ,
Es
Ω
ΔE k
и ϕ k в ряды Фурье по гармоникам ν s =
ωs
Es
синхротронной частоты, нормированной на частоту обращения. Применим разложение по
гармоникам ν s к обеим частям соотношения (5.1.6):
77
N −1
N −1
N −1
k =0
k =0
ΔE k
cos 2πjν s k ,
k =0 Es
N −1
N −1
N −1
k =0
k =0
∑ ϕk +1 cos 2πjνs k = ∑ ϕk cos 2πjνs k + 2πqα ∑
ΔEk
sin 2πjν s k , .
k =0 Es
∑ ϕk +1 sin 2πjνs k = ∑ ϕk sin 2πjνs k + 2πqα ∑
(5.3.8)
j = 1, 2, K , N − 1.
Обозначим действительную и мнимую компоненты j-ой гармоники спектра энергии
AE j , BE j ,
а
компоненты
j-ой
гармоники
спектра
фазы — Aϕ j , Bϕ j .
Произведя
тригонометрические преобразования, прибавляя и вычитая члены для образования полных
сумм, пренебрегая остающимися членами порядка 1/N, получим выражения компонент
спектра синхротронной фазы Aϕ j , Bϕ j через компоненты спектра энергии AE j , BE j :
⎛
sin 2πjν s ⎞
Aϕj = − πqα ⎜ AEj + BEj
⎟ ,
1 − cos 2πjν s ⎠
⎝
⎛
sin 2πjν s ⎞
Bϕj = − πqα ⎜ BEj − AEj
⎟ ,
1 − cos 2πjν s ⎠
⎝
(5.3.9)
j = 1, 2, K , N − 1.
Пренебрежение членами порядка 1/N имеет следствием то, что амплитуды гармоник в
спектре фазы, близкие по величине к 1/N, будут вычисляться с большой погрешностью.
Будем выбрасывать такие гармоники из спектра.
Рисунок 5.2. Амплитудно-фазовые соотношения между дискретными спектрами энергии и
синхротронной фазы.
78
На рисунке 5.2 приведен график зависимости от частоты
нормированных амплитуд
aϕ j / aϕ 1
aE j / aE 1
aj =
νs
отношения
и разности фаз φϕ j − φE j , вычисленных по формулам:
A2j + B 2j ,
φ j = arctan
Bj
(5.3.10)
Aj
для гармоник j = 1, 2, …, 5.
Нелинейные синхротронные колебания могут быть аппроксимированы рядом Фурье
из небольшого числа гармоник j = 1, 2, K , n . Поскольку синхротронная частота обычно
много меньше частоты обращения, то для этих гармоник выполняется условие jν s << 1 , и
соотношения (5.3.9) можно приближенно записать в простом виде:
Aϕj ≅ − BEj
qα
,
2 jν s
Bϕj ≅ AEj
qα
,
2 jν s
jν s << 1 ,
j = 1, 2, K , n .
(5.3.11)
Амплитудно-фазовые соотношения, полученные из (5.3.11), совпадают с соотношениями,
следующими из теоремы о производной непрерывной функции [12].
Таким образом, фазовая траектория синхротронных колебаний может быть также
построена с помощью спектральных соотношений (5.3.9).
Рисунок 5.3. Фазовые траектории синхротронных колебаний (численное моделирование).
На рисунке 5.3 приведен пример фазовых траекторий (1) и (2), построенных
соответственно с помощью рекуррентной формулы (5.3.6) и спектральных соотношений
(5.3.9), в сравнении с фазовой траекторией (3) синхротронных колебаний вблизи
сепаратрисы с равновесной фазой ϕs = 170° , построенной по результатам численного
79
решения дискретных уравнений (5.1.5), (5.1.6). Заметим, что все три фазовые траектории
совпадают по форме, но траектория (1), построенная по рекуррентной формуле (5.3.6),
сдвинута по оси абсцисс относительно истинной фазовой траектории (3) на − (ϕ1 + ϕ s ) , а
траектория (2), построенная с помощью спектральных соотношений (5.3.9), не имеет
постоянной составляющей.
Применение дискретного гребенчатого фильтра обеспечивает шумовой разброс точек
фазовых траекторий значительно меньший, чем, например, в [5].
Рисунок 5.4. Фазовые траектории синхротронных колебаний пучка ВЭПП-3
(результаты измерений)
В качестве примера на рисунке 5.4 приведены фазовые траектории синхротронных
колебаний пучка в накопителе ВЭПП-3, построенные вышеописанным методом по
измерениям горизонтальной координаты единственным пикапом.
Для фильтрации шума был применен дискретный гребенчатый фильтр, колебания
аппроксимировались рядом из n = 4 гармоник, что при размере массива N = 1024 ,
дисперсионной функции на азимуте пикапа, равной η(ϑ0 ) ≅ 1 м , и пооборотном разрешении
пикапа около 150 мкм, обеспечивает разрешение по отклонению энергии σ ΔE ≅ 10 −5 и по
E
фазе — σϕ ≅ 0.005° .
80
Глава 6
Импедансы связи
6.1 TMC неустойчивость в накопителе ВЭПП-4М
Для достижения проектной светимости на электрон-позитронном коллайдере
ВЭПП-4М при энергии 5 ГэВ необходимо иметь ток в одном сгустке не менее 20 мА. Однако
при первых же попытках инжекции пучков требуемой интенсивности было обнаружено, что
существует ограничение максимального тока сгустка в ВЭПП-4М. Были проведены
исследования причин ограничения и возможности получения больших токов [28].
Причиной ограничения тока является неустойчивость вертикальных бетатронных
колебаний, обусловленная TMC (transverse mode coupling) эффектом, иначе называемым
сильным head-tail взаимодействием. TMC-эффект возникает вследствие электромагнитного
взаимодействия пучка с окружающей структурой и характеризуется значительным
когерентным сдвигом бетатронной частоты, пропорциональным току пучка.
Интенсивность взаимодействия пучка с окружающей структурой определяется
амплитудным значением тока сгустка I a . Для сгустка, имеющего гауссово распределение
плотности с дисперсией σ s , амплитудное значение тока связано со средним током I
следующим образом:
Ia =
IC
,
2πσ s
(6.1.1)
где C — периметр ускорителя.
При токе пучка, равном пороговому, когда величина когерентного сдвига близка к
синхротронной частоте, частоты дипольной (0-й) и квадрупольной (−1-й) мод колебаний
сравниваются, что приводит к развитию неустойчивости и сбросу тока до величины ниже
пороговой. Величина порогового тока может быть оценена путем анализа простейшей
двухчастичной модели [29].
81
Рисунок 6.1. Частоты 0-й, −1-й и +1-й мод вертикальных бетатронных колебаний.
На рисунке 6.1 приведен пример измеренных частот 0-й, −1-й и +1-й мод
вертикальных бетатронных колебаний в зависимости от среднего тока пучка. Сплошными
линиями выведены результаты численного моделирования.
Частоты мод колебаний определялись путем спектрального анализа массива
пооборотных выборок вертикальных бетатронных колебаний, измеренных пикапом, с
использованием алгоритмов, описанных в Главе 2. На рисунке 6.2 представлены спектры
колебаний, измеренных при двух значениях среднего тока пучка: 4.1 мА (а) и 10.4 мА (б).
а)
б)
Рисунок 6.2. Спектры вертикальных бетатронных колебаний.
Поведение пучка при наличии неустойчивости исследовалось экспериментально с
помощью
системы
пооборотного
измерения
поперечных
координат
"Впуск"
(см.
Приложение), измеренные данные сравнивались с результатами численного моделирования.
На рисунке 6.3 приведен пример развития неустойчивости вертикальных бетатронных
колебаний пучка, инжектируемого в ВЭПП-4М. Средний ток инжектируемого пучка был
примерно в 1.5 раза больше порогового, продольный размер сгустка более чем вдвое
превышал равновесное значение.
82
а) Измеренные данные
б) Численное моделирование
Рисунок 6.3. Развитие неустойчивости инжектируемого пучка.
На рисунке 6.3а представлены графики среднего тока I и вертикальной координаты z
центра масс пучка, измеренных пикапом через 100 мсек после инжекции в течение 1600
оборотов (около 2 мсек), на рисунке 6.3б — графики I , z и вертикального размера σz,
обусловленного квадрупольной модой колебаний, полученные в результате численного
моделирования движения пучка. Из рисунка 6.3б видно, что причина потери тока — резкое
увеличение вертикального размера до величины, превышающей размеры апертуры.
83
Механизм развития неустойчивости следующий: за время порядка τ = 130 мсек из-за
радиационного затухания длина σs сгустка, инжектированного в ВЭПП-4М, уменьшается до
равновесной величины, амплитудное значение тока сгустка I a достигает порогового
значения, и, хотя амплитуда дипольной моды колебаний остается небольшой, поперечный
размер пучка, обусловленный квадрупольной модой колебаний, быстро возрастает, и ток
сбрасывается до величины ниже пороговой.
6.2 Взаимодействие пучка с окружающей структурой
Причиной TMC неустойчивости является электромагнитное взаимодействие частиц
пучка с окружающей структурой: вакуумной камерой, ускоряющими резонаторами,
длинными линиями и т.п. Электромагнитные поля, наведенные пучком в окружающей
структуре, в ускорительной физике называют wake-полями. Эти поля могут быть рассчитаны
путем решения уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями. Число
аналитически разрешимых случаев невелико, аналитическое решение возможно только для
простейших структур. Для расчета полей в практически важных структурах существуют
компьютерные программы, такие как Xwake, MAFIA, и др.
6.2.1 Wake-потенциалы
Следуя [30], рассмотрим взаимодействие частицы с wake-полями в аксиальносимметричных структурах, в которых электромагнитное поле может быть разложено в ряд
Фурье по азимутальным компонентам, пропорциональным r cos mϕ , где m = 0, 1, K , а
r, ϕ — соответственно радиус и азимутальный угол в цилиндрической системе координат с
осью z вдоль направления движения пучка. В большинстве практических случаев для
анализа неустойчивости движения пучка достаточно рассматривать первые два члена
разложения — монопольную m = 0 и дипольную m = 1 компоненты поля.
Для оценки этих компонент в [30] взаимодействие частицы с wake-полями
рассматривается в рамках модели кольцевого пучка. Заряд пучка q распределен по кольцу
как cos mϕ независимо для каждой компоненты m . Кольцо радиусом r0 с центром на оси
r = 0 движется со скоростью c. Тестовая частица с зарядом e, на которую воздействуют
wake-поля, движется с той же скоростью на постоянном продольном расстоянии Δs от пучка
и имеет поперечное смещение r от оси.
84
m
Для каждой компоненты
выражения продольной
F||
и поперечной
F⊥
электромагнитных сил, воздействующих на тестовую частицу, имеют вид:
F|| = eE s cos mϕ ,
F⊥ = e( Er − cBϕ ) cos mϕ ⋅ r ≡ F⊥ cos mϕ ⋅ r ,
(6.2.1)
где r — единичный радиус-вектор, Es , Er , Bϕ — продольная, радиальная и азимутальная
компоненты электрического и магнитного поля при ϕ = 0 .
Изменение продольного Δp|| и поперечного Δp⊥ импульса тестовой частицы за счет
взаимодействия с wake-полями можно записать в виде:
∞
Δp|| =
∫
−∞
∞
F|| ( s, t =
s + Δs
)ds ≡ − eqw|| m ( Δs ) ⋅ r0mr m cos mϕ ,
c
s + Δs
Δp ⊥ = ∫ F⊥ ( s, t =
)ds ≡ eqw⊥ m ( Δs ) ⋅ mr0m r m−1 cos mϕ ⋅ r,
c
−∞
(6.2.2)
где w|| m ( Δs ) , w⊥ m ( Δs ) — m -е компоненты соответственно продольного и поперечного
wake-потенциалов. Wake-потенциалы являются функциями Δs и определяются только
формой и свойствами структуры, окружающей пучок. [31]
Взаимосвязь между продольным и поперечным wake-потенциалами описывается
теоремой Панофского-Венцеля [32]:
Δs
w⊥ m ( Δs ) =
∫ w|| m ( s)ds .
(6.2.3)
0
Из (6.2.2) следует, что для частиц, находящихся вблизи оси, компонентами поля с
m ≥1
можно пренебречь, и для них существенным является только продольное
взаимодействие. Поперечное взаимодействие определяется компонентами с m ≥ 1 , главным
образом дипольной, m = 1 . Из (6.2.2) также следует, что интенсивность взаимодействия
пропорциональна поперечному смещению r0 частиц пучка, наводящего wake-поля, и не
зависит от поперечного положения тестовой частицы r.
Для структур аксиально-несимметричных, но обладающих симметрией относительно
координатных плоскостей ( x, z ) , таких как вакуумные камеры эллиптического или
прямоугольного сечения, пластины разведения и т.п., перекрестные члены в разложении
(6.2.2) возрастают, и заметный вклад во взаимодействие вносится также и квадрупольной
компонентой поля m = 2 .[33] В то время как дипольная компонента поля всегда является
85
дефокусирующей для пучка, квадрупольная компонента дефокусирует в одном направлении,
но фокусирует в ортогональном.
Для
структур,
лишенных
какой-либо
симметрии,
таких
как
приемники
синхротронного излучения, пробники и т.п., корректные выводы о wake-потенциалах могут
быть сделаны только на основе знания пространственного распределения полей.
6.2.2 Импедансы
Часто представляется удобным описывать взаимодействие пучка с wake-полями в
пространстве частот, представляя компоненты вакуумной камеры в виде частотнозависимых импедансов связи. Продольный Z|| и поперечный Z⊥ импедансы выражаются как
Фурье-образы соответствующих wake-потенциалов:
iω
1 ∞
Z|| (ω ) = ∫ w|| ( s ) ⋅ e c ds,
c −∞
iω
i ∞
Z⊥ (ω ) = − ∫ w⊥ ( s ) ⋅ e c ds .
c −∞
s
s
(6.2.4)
Из теоремы Панофского-Венцеля следует взаимосвязь между продольным и
поперечным импедансами для m -й компоненты поля :
Z ⊥ m (ω ) =
c
ω
Z|| m (ω ) .
(6.2.5)
В частности, для накопителя с вакуумной камерой круглого сечения приближенное
соотношение между нормализованным продольным импедансом
Z||
n
( m = 0 ) и поперечным
импедансом Z⊥ ( m = 1 ) имеет вид:
Z⊥ = 2
R Z||
⋅ ,
a2 n
где n — номер гармоники частоты обращения, R =
(6.2.6)
C
— средний радиус кольца, a —
2π
радиус вакуумной камеры.
Взаимодействие пучка с продольным импедансом приводит к удлинению сгустка,
если длина сгустка много больше поперечных размеров вакуумной камеры. Если длина
сгустка сравнима с поперечными размерами вакуумной камеры или много меньше их,
импеданс имеет преимущественно резистивный характер, и взаимодействие пучка с
импедансом приводит к когерентным потерям энергии. Поперечный импеданс является
причиной возникновения неустойчивости, приводящей к потерям интенсивности пучка.
86
Знание импедансов позволяет сделать оценки условий устойчивости движения пучка,
оценить
пороговую
интенсивность
пучка,
а
также
характерное
время
развития
неустойчивости. В настоящее время обязательным условием проектирования вакуумной
камеры ускорителей является минимизация импедансов связи. Вычисление импедансов
ускорителей, вакуумная камера которых имеет большое число неоднородностей, является
весьма сложной и трудоемкой задачей. Однако в таких случаях импедансы могут
исследоваться экспериментально путем анализа движения пучка.
6.3 Измерение интегральных импедансов связи с
использованием пучка
Как продольный Z|| , так и поперечный Z⊥ импедансы связи являются комплексными
функциями частоты. Действительная (резистивная) и мнимая (реактивная) части импеданса
проявляются в различных физических эффектах, что позволяет определить их величины,
используя результаты пучковых измерений. Методы измерения интегральных величин
импеданса и экспериментальные результаты, полученные на ВЭПП-4М, описаны в [34].
6.3.1 Продольный импеданс
Резистивная часть продольного импеданса характеризуется фактором когерентных
потерь K L , который может быть определен из измеренной зависимости равновесной фазы
ϕs ускоряющего напряжения от среднего тока пучка I :
K L = f 0V RF cos ϕ s ⋅
Δϕ s
,
ΔI
(6.3.1)
где VRF — амплитуда ускоряющего напряжения, f 0 — частота обращения. Когерентные
потери энергии пучка за один оборот определяются произведением продольного фактора
потерь на заряд сгустка.
Если длина сгустка много больше характерного вертикального размера вакуумной
камеры, то реактивная часть продольного импеданса имеет индуктивный характер и
приводит к удлинению сгустка с ростом тока пучка. Нормализованное значение импеданса
Z||
n
может быть вычислено из выражения [35]:
87
σ s3 − σ s20σ s =
Z||
2π IR 3
⋅
,
qV RF cos ϕ s n
(6.3.2)
с использованием измеренных значений I , σ s , параметров ВЧ-системы q , VRF , ϕ s , и
расчетного значения длины сгустка при нулевом токе σ s 0 .
Частотные характеристики резистивной и реактивной составляющих продольного
импеданса могут быть построены по результатам измерений при различных значениях
длины сгустка. На рисунке 6.4а приведены измеренные значения фактора потерь K L , а на
рисунке 6.4б — измеренные значения нормализованного продольного импеданса
Z||
n
ВЭПП-4М, в зависимости от длины сгустка σ s .
а)
б)
Рисунок 6.4. Частотные характеристики резистивной (а) и реактивной (б) составляющих
продольного импеданса ВЭПП-4М.
6.3.2 Поперечный импеданс
Резистивную часть поперечного импеданса Re Z⊥ можно определить по измерениям
декремента δ быстрого затухания бетатронных колебаний [31]:
δ=
где I — средний ток пучка, ξ =
Iξc Re Z⊥
,
8Q 2α E e
(6.3.3)
ΔQ
— хроматизм, Q — бетатронная частота, E —
Δp p
энергия, α — коэффициент расширения орбит.
Декремент δ находился путем аппроксимации экспонентой временной зависимости
амплитуды затухающих когерентных бетатронных колебаний, измеренных пикапом. В
88
результате исследований, проведенных на ВЭПП-4М, была оценена величина резистивной
части поперечного импеданса Re Z⊥ ≅ 3.5 МОм/м. [34]
Реактивная часть поперечного импеданса Im Z⊥ приводит к когерентному сдвигу
бетатронной частоты ΔQc в зависимости от амплитудного значения тока сгустка I a .
Когерентный
сдвиг,
рассчитанный
в
рамках
двухчастичной
модели,
описывается
выражением [28]:
ΔQc = −
где
1 I a Im Z ⊥ β
⋅
,
Ee
8π
(6.3.4)
Im Z⊥ β — взвешенный поперечный импеданс (среднее значение по бетатронным
функциям β магнитной структуры).
Типичная величина когерентного сдвига вертикальной бетатронной частоты
ВЭПП-4М,
нормированного на среднее значение тока, равна
соответствует
интегральной
Im Z⊥ β ≅ 22 МОм. [34]
величине
взвешенного
импеданса
ΔQc
= 1.5 А−1, что
ΔI
ВЭПП-4М,
равной
89
Глава 7
Измерение азимутального распределения
импедансов
На накопителе LEP в ЦЕРНе был разработан метод измерения распределения
продольного импеданса вдоль азимута накопительного кольца, основанный на измерениях
орбиты пучка с помощью системы пикапов. [6] Результатом взаимодействия пучка с
резистивной частью продольного импеданса являются когерентные потери энергии,
величина которых пропорциональна интенсивности пучка. Изменение энергии приводит к
отклонению горизонтальной орбиты на участках с ненулевой дисперсией. Таким образом, по
результатам измерений искажения горизонтальной орбиты в зависимости от интенсивности
пучка может быть определено азимутальное распределение продольного импеданса.
Импеданс накопителя LEP определяется в основном высшими модами ускоряющих
резонаторов, которые расположены в двух относительно коротких прямолинейных
промежутках с нулевой дисперсией. Это иллюстрирует пример измеренного искажения
орбиты в зависимости от тока пучка [6], приведенный на рисунке 7.1.
Рисунок 7.1. Разность орбит, измеренных при двух значениях тока пучка LEP.
90
Искажение орбиты из-за потери энергии на выключенном резонаторе (точка 2 на оси
абсцисс) значительно превышает эффект от потерь энергии за счет взаимодействия пучка с
продольным
импедансом
остальной
части
кольца.
Суммарные
потери
энергии
компенсируются включенным резонатором (точка 6 на оси абсцисс).
Как видно из рисунка, при разности тока, равной 346 мкА, величина измеряемого
эффекта была около 300 мкм, т.е. значительно превосходила шумовое разрешение системы
пикапов.
Измеряемое искажение орбиты Δy пропорционально разности токов пучка ΔI , при
которых производятся измерения: Δy = aΔI ; а погрешность измерения δy , определяемая
шумом, обратно пропорциональна току пучка: δy =
b
. Коэффициент пропорциональности a
I
зависит от фактора когерентных потерь и дисперсионной функции, а b определяется
характеристиками системы диагностики. Отношение измеряемого эффекта к шумовой
погрешности описывается формулой:
Δy
=
δy
aΔI ( I max − ΔI )
b 2−2
ΔI ⎛ ΔI ⎞
−⎜
⎟
I max ⎝ I max ⎠
2
,
где I max — максимальный ток пучка, при котором производятся измерения. Функция
I
Δy
( ΔI ) , то есть отношение сигнал/шум, имеет максимум в точке ΔI = max . Таким образом,
δy
2
при заданном токе I max , шумовая погрешность будет минимальной, если измерения орбиты
производить при токах пучка I max и
I max
.
2
Также в ЦЕРНе, на накопителе LEP, был разработан метод измерения азимутального
распределения поперечного импеданса. Измерение набега бетатронной фазы вдоль азимута
накопителя позволяет определить вклад различных участков кольца в когерентный сдвиг
бетатронной частоты (6.3.4) и, таким образом, получить распределение реактивной части
поперечного импеданса.
Измеренная зависимость от тока пучка набега бетатронной фазы вдоль кольца
накопителя LEP [6] приведена на рисунке 7.2. Видны резкие скачки бетатронной фазы в
местах IP2 и IP6 расположения ускоряющих резонаторов.
91
а) Горизонтальная
б) Вертикальная
Рисунок 7.2. Зависимость набега бетатронной фазы вдоль кольца от тока пучка.
7.1 Метод измерения азимутального распределения
поперечного импеданса
Основной вклад в импеданс ВЭПП-4М вносят около 50 мест нарушения
однородности вакуумной камеры, таких как резкое изменение ее поперечного сечения или
продольные разрывы, где установлены керамические вставки, а также 16 пар согласованных
пластин, предназначенных для электростатического разведения пучков по вертикали и 3
пары пластин — по радиусу. Все участки с высоким импедансом расположены в
техническом и экспериментальном прямолинейных промежутках и во вставках, находящихся
в середине полуколец.
Было рассчитано модельное распределение импеданса ВЭПП-4М по формулам для
простейших электромагнитных структур [31], таких как аксиально-симметричная полость,
резкий переход в сечении и симметричная длинная линия, расположенных в предполагаемых
местах локализации импеданса. Для проверки модельного распределения необходимо было
измерить вклад различных участков кольца в суммарный импеданс.
Наши попытки использовать на накопителе ВЭПП-4М
методы измерений,
разработанные в ЦЕРНе, потерпели неудачу, так как структура импеданса существенно иная,
и ожидаемый эффект примерно на порядок меньше, чем на LEP. Искажение орбиты,
обусловленное потерями энергии, даже при оптимальной разности токов сравнимо с
шумовым разрешением системы пикапов. Кроме того, система "Орбита", используемая нами
для измерений, вносит систематическую ошибку, зависящую от амплитуды входного
92
сигнала, что проявляется как паразитное искажение равновесной орбиты, сравнимое по
величине с полезным эффектом.
Для накопителя ВЭПП-4М был разработан новый метод измерения распределения
импеданса вдоль азимута накопительного кольца [36]. Метод базируется на измерении
искажения равновесной орбиты пучка локальным поперечным импедансом. Если пучок
смещен от нулевой орбиты, действие локального поперечного импеданса равносильно
действию дефокусирующей квадрупольной линзы и приводит к искажению замкнутой
орбиты в виде стоячей бетатронной волны.
Рассмотрим выражение для когерентного сдвига бетатронной частоты, рассчитанного
в рамках двухчастичной модели, коротким участком Δs с поперечным импедансом Z⊥ :
ΔQc = −
1 I a Im Z ⊥ β
⋅
,
Ee
8π
(7.1.1)
где β — значение бета-функции на данном участке.
Сравнивая
(7.1.1)
с
формулой
малой
расстройки
бетатронной
частоты
дефокусирующей квадрупольной линзой с силой GΔs :
ΔQ = −
1 GΔsβ
⋅
,
4π Hρ
(7.1.2)
можно сделать вывод, что произведение амплитудного значения тока сгустка на реактивную
компоненту локального поперечного импеданса представляет собой силу некоторой
дефокусирущей линзы. Зависимость этой силы от тока пучка позволяет включать/выключать
"линзу".
Проходя тонкую квадрупольную линзу, частица получает приращение поперечного
импульса, пропорциональное ее поперечной координате в линзе. Это приводит к тому, что
траектория частицы зависит от ее координаты в данной линзе. Если на участке Δs создать
локальное П-образное искажение орбиты (бамп) с амплитудой y 0 и сравнить орбиту,
измеренную при малом токе пучка I a1 ("линза" выключена) с орбитой, измеренной при
большом токе I a 2 ("линза" включена), то разность этих орбит Δy ( s ) будет представлять
собой бетатронную волну, распространяющуюся от места расположения "линзы":
Δy ( s ) =
ΔI a Im Z⊥ β ( s )β
y0 ,
4( E e ) sin πQ
(7.1.3)
93
где ΔI a = I a 2 − I a1 — приращение тока, β ( s ) — бета-функция. Амплитуда волны (7.1.3)
несет информацию о величине реактивной компоненты поперечного импеданса Im Z⊥ на
участке Δs локализации бампа.
Если на длине участка Δs импеданс Z⊥ и бета-функция β не являются постоянными,
то в формуле (7.1.1) произведение Im Z⊥ β следует заменить взвешенным поперечным
импедансом Im Z⊥ β . В этом случае амплитуда волны (7.1.3) содержит информацию об
усредненной с весом β величине импеданса на участке Δs .
Следует отметить важное ограничение сверху на длину бампа Δs . Набег бетатронной
фазы на длине бампа должен быть много меньше π. В противном случае, если на длине
бампа есть два коротких участка с одинаковым импедансом, и фазовый набег между ними
равен π, то амплитуда бетатронной волны вне бампа будет равна нулю. Измеряемое
искажение орбиты будет сосредоточено на длине бампа, и, возможно, ввиду малого
количества пикапов на данном участке, точность измерений будет низкой.
Оценим величину измеряемого эффекта. Пусть весь импеданс кольца сосредоточен в
одном месте. В этом случае амплитуда волны (7.1.3) может быть просто оценена из
выражения для когерентного сдвига бетатронной частоты (7.1.1). Полагая sin πQ ≅ 1 ,
получаем:
Δy max ≅ 2πΔQc y 0 ,
(7.1.4)
если ΔQc = 0.03 и y 0 = 5 мм, то Δy max ≅ 1 мм. Таким образом, эффект сосредоточенного
импеданса достаточно заметен, и можно ожидать, что искажение орбиты может быть
успешно измерено, даже учитывая тот факт, что импеданс распределен по более чем
пятидесяти участкам.
Нами была разработана методика измерения азимутального распределения импеданса
с использованием системы измерения орбиты. Систематическая ошибка, возникающая из-за
наводки на входные цепи пикап-станций, зависящей от амплитуды входного сигнала,
проявляется как паразитное искажение равновесной орбиты, измеряемой при различных
значениях интенсивности пучка, и маскирует измеряемый эффект. Для подавления этой
систематической ошибки процедура измерения импеданса отдельного участка состоит из
ряда последовательных операций, перечисленных ниже.
„
Перед измерениями производится глобальная коррекция вертикальной и горизонтальной
орбиты к нулю, чтобы минимизировать искажение орбиты за счет импеданса остальной
94
части кольца. На практике орбита считалась приемлемой, когда среднеквадратичное по
всем пикапам отклонение орбиты от нуля не превышало 0.5 мм.
„
Скорректированная таким образом орбита измеряется при большом (15÷20 мА) и малом
(порядка 1 мА) токе сгустка. Измеренные данные y 01 ( s ) (малый ток) и y 02 ( s ) (большой
ток) сохраняются в памяти компьютера.
„
С помощью согласованной тройки корректоров создается локальное искажение орбиты
(бамп) на участке Δs , импеданс которого предполагается измерить.
„
Орбита с бампом измеряется при тех же значениях тока сгустка, что и нулевая орбита,
измеренные данные y11 ( s ) (малый ток) и y12 ( s ) (большой ток) также сохраняются в
памяти компьютера.
„
Для подавления систематической ошибки, возникающей из-за наводки, зависящей от
амплитуды входного сигнала, вычисляется следующая комбинация четырех орбит:
Δy ( s ) = [ y12 ( s ) − y11 ( s )] − [ y 02 ( s ) − y 01 ( s )] .
(7.1.5)
Измеренное по вышеописанной процедуре искажение орбиты Δy ( s ) представляет
собой чистый эффект (7.1.3) и определяется только величиной взвешенного импеданса
Im Z⊥ β участка Δs , на котором создан бамп.
На рисунке 7.3 приведен пример измерений, выполненных на ВЭПП-4М.
Представлены графики вертикальных и горизонтальных разностных орбит y12 ( s ) − y11 ( s)
(рисунок 7.3а), y 02 ( s ) − y 01 ( s ) (рисунок 7.3б) и Δy ( s ) (рисунок 7.3в). На графиках показан
шумовой среднеквадратичный разброс измерений (разрешение пикапов). Величина
разрешения, усредненная по всем пикапам, составляет около 20 мкм. На рисунках 7.3а и 7.3в
также приведены графики искажения орбиты, вычисленного с помощью компьютерного
моделирования движения пучка в структуре с импедансом.
Как видно из графиков, систематическая ошибка, возникающая из-за наводки,
зависящей от тока пучка (рисунок 7.3б), по порядку величины сравнима с измеряемым
эффектом (рисунок 7.3в). Обработка данных с использованием комбинации четырех орбит
(7.1.5) позволяет избавиться от этой систематической ошибки. Таким образом, погрешность
измерений определяется шумовым разрешением системы пикапов и составляет 10÷20 %.
95
а) Измеряемый эффект + систематическая ошибка
б) Систематическая ошибка из-за наводки, зависящей от тока пучка
в) Измеряемый эффект: искажение орбиты локальным импедансом
Рисунок 7.3. Разность измеренных орбит ВЭПП-4М.
Описанный метод измерения локального поперечного импеданса достаточно
универсален, обеспечивая в принципе измерение двумерной топологии электромагнитного
поля, наводимого пучком в окружающей структуре. Точность метода определяется шумовым
разрешением системы диагностики и возможностью создания короткого локального
искажения орбиты, и может быть сделана достаточно высокой. Измеренные данные могут
быть использованы для исследования гармонического состава поперечного импеданса.
Частотная зависимость импеданса связи также может быть измерена с помощью
варьирования длины сгустка.
96
7.2 Поперечный импеданс накопителя ВЭПП-4М.
Результаты измерений
После проверки применимости и оценки точности новый метод измерения
азимутального распределения импеданса связи был применен на накопителе ВЭПП-4М.
Ниже приведены некоторые результаты экспериментов.
а) Локальное искажение вертикальной орбиты (бамп)
б) Искажение вертикальной орбиты локальным импедансом
Рисунок 7.4. Измерение импеданса участка ST.
Рисунок 7.4 иллюстрирует измерение взвешенного импеданса участка длиной около
15 м, расположенного в южной части технического промежутка ST ВЭПП-4М. На этом
участке размещены 3 пары пластин вертикального разведения, 3 из 5 ускоряющих
резонаторов и 5 мест с резким изменением сечения вакуумной камеры. На рисунке приведен
график орбиты с локальным искажением (а) и график комбинации (7.1.5) (б). Сплошной
линией на рисунке 7.4б выведен результат численного моделирования, представляющий
собой бетатронную волну, амплитуда которой пропорциональна взвешенному импедансу на
участке локализации бампа. Величина взвешенного вертикального импеданса данного
участка составляет Im Z⊥ β = 2.1 МОм.
Для измерения вклада высших мод ускоряющих резонаторов в суммарный импеданс
участка ST были проведены измерения импеданса с локальным искажением горизонтальной
97
орбиты. Результат измерений в сравнении с результатом численного моделирования
представлен на рисунке 7.5. В отличие от рисунка 7.4 комбинация (7.1.5) вертикальных
орбит не содержит существенной информации, но искажение горизонтальной орбиты
представляет собой бетатронную волну, амплитуда которой пропорциональна величине
импеданса,
определяемой
высшими
модами
3-х
ускоряющих
резонаторов:
Im Z⊥ β = 0.7 МОм.
а) Локальное искажение горизонтальной орбиты (бамп)
б) Искажение горизонтальной орбиты локальным импедансом
Рисунок 7.5. Измерение вклада высших мод резонаторов в импеданс участка ST.
Рисунок 7.6 иллюстрирует измерение взвешенного импеданса участка длиной около
10 м, расположенного в половине вставки NI северного полукольца ВЭПП-4М. Импеданс
этого участка определяется в основном резкими переходами в сечении вакуумной камеры и
четырьмя парами пластин вертикального разведения.
Искажение же горизонтальной орбиты во вставке NI северного полукольца ВЭПП-4М
(рисунок 7.7) не дает заметного эффекта, в отличие от вертикальной. Такая же картина
наблюдается и на остальных участках кольца, не содержащих резонаторов.
98
а) Локальное искажение вертикальной орбиты (бамп)
б) Искажение вертикальной орбиты локальным импедансом
Рисунок 7.6. Измерение импеданса половины вставки NI.
а) Локальное искажение горизонтальной орбиты (бамп)
б) Искажение горизонтальной орбиты локальным импедансом
Рисунок 7.7. Отсутствие эффекта от горизонтального бампа во вставке NI.
99
Таким образом, можно сделать вывод, что влияние взаимодействия пучка с
окружающей структурой на горизонтальное движение определяется только высшими модами
резонаторов. Взаимодействие же пучка с остальными неоднородностями вакуумной камеры
значительно влияет на вертикальное движение пучка и является причиной TMC
неустойчивости вертикальных бетатронных колебаний. Этот происходит потому, что
горизонтальная апертура более чем вдвое превышает вертикальную, и коллективные
эффекты проявляются в горизонтальном движении гораздо слабее.
С помощью вышеописанной методики был измерен взвешенный импеданс остальных
участков кольца ВЭПП-4М. Поскольку локальное искажение орбиты имеет конечную длину,
представляется удобным ввести понятие удельного взвешенного импеданса на единицу
длины
Δ Im Z⊥ β
.
Δs
Рисунок 7.8. Распределение удельного взвешенного импеданса вдоль азимута ВЭПП-4М.
На рисунке 7.8 приведено измеренное вышеописанным методом распределение
удельного взвешенного импеданса
Δ Im Z⊥ β
вдоль азимута накопителя ВЭПП-4М. [34] Как
Δs
и предполагалось, основной вклад в суммарный импеданс накопителя ВЭПП-4М вносят
неоднородности вакуумной камеры во вставках полуколец (SI, NI), в техническом
промежутке (NT-ST) и экспериментальном промежутке (SE-NE). Вакуумная камера
полуколец достаточно гладкая, за исключением короткого участка в районе азимута s = 40 м,
где наблюдается локальное сужение вертикальной апертуры, причина которого пока не
найдена.
100
Заключение
Диссертация посвящена разработке и развитию методов диагностики поперечного
движения пучка в циклическом ускорителе. Автором проведены теоретические и
экспериментальные исследования методов диагностики, разработаны и внедрены на
практике практические методики измерений.
Основные результаты диссертационной работы перечислены ниже:
1. Разработан метод промежуточных Фурье-гармоник для дискретного спектрального
анализа колебаний с амплитудой, изменяющейся во времени [17], [18]. Исследована
зависимость точности алгоритмов уточнения ДПФ от отношения сигнал/шум [17]. На
ускорительном
комплексе
ВЭПП-4М
внедрены
алгоритмы
обработки
данных,
позволившие существенно расширить ряд задач диагностики, решаемых с помощью
пикапа, регистрирующего положение пучка на каждом обороте [13], [20].
2. Для построения фазовых траекторий нелинейных бетатронных и синхротронных
колебаний пучка разработан метод одного пикапа. [11] Метод основан на применении
дискретных спектральных соотношений, независящих от амплитуды колебаний, к спектру
массива пооборотных выборок координаты, измеренных единственным пикапом.
3. Применительно к задаче определения формы нелинейных колебаний предложен
дискретный гребенчатый фильтр (ДГФ) для подавления шума, содержащегося в массиве
измеренных выборок колебаний.
4. Фазовые траектории нелинейных бетатронных колебаний, построенные методом одного
пикапа с применением ДГФ, оказались полезными в исследованиях динамики пучка
накопителя ВЭПП-4М вблизи нелинейных резонансов. В результате проведенных
исследований предложен способ увеличения динамической апертуры накопителя
ВЭПП-4М. [21], [22], [23], [25], [26]
5. Реализован метод измерения азимутального распределения поперечного импеданса связи,
основанный на измерении искажения равновесной орбиты локальным импедансом. [36]
Практическое
применение
результатов
диссертационной
работы
внесло
определенный вклад в решение проблем, стоящих на пути оптимизации работы
ускорительного комплекса ВЭПП-4М. Методы диагностики, описанные в диссертации,
могут быть применены и на других ускорительных комплексах.
101
Апробация работы и публикации
Работы, составляющие материал диссертации, докладывались и обсуждались на
научных семинарах в ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН (Новосибирск). Доклады, отражающие
основные результаты диссертационной работы представлены на следующих конференциях:
„
XIV и XV Совещания по ускорителям заряженных частиц (Протвино, 1994, 1996);
„
5-я и 6-я Европейские конференции по ускорителям заряженных частиц EPAC-96
(Барселона) и EPAC-98 (Стокгольм);
„
Международная конференция по ускорителям высоких энергий HEACC-98 (Дубна);
„
4-е Европейское совещание по диагностике пучков в ускорителях DIPAC-99 (Честер).
Результаты исследований нелинейной динамики и динамической апертуры ВЭПП-4М
опубликованы в журналах Nuclear Instruments & Methods и Particle Accelerators
соответственно.
По теме диссертации опубликовано 13 статей в препринтах, журналах, трудах
конференций [11, 13, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 34, 36, 37].
Благодарности
Автор выражает искреннюю благодарность научным руководителям, кандидату
технических наук А.С. Калинину и кандидату технических наук В.А. Киселеву, совместная
работа с которыми во многом определила результаты исследований, описанные в
диссертации.
Автор благодарит заведующего лабораторией 1-3 И.Я. Протопопова, начальников
установок С.И. Мишнева и В.В Петрова, а также команду ускорительного комплекса
ВЭПП-4М за содействие в проведении экспериментов на установках комплекса.
Автор признателен сотрудникам ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН Е.Б. Левичеву,
В.В. Сажаеву, Д.Н. Шатилову, Е.А. Симонову за плодотворные дискуссии по вопросам,
составляющим тему диссертации.
102
Приложение
Система пикапов с регистрацией сигналов
на каждом обороте
На накопителях электронов/позитронов Института Ядерной Физики им. Г.И. Будкера
применяется система диагностики с пооборотной регистрацией сигналов пикап-электродов
[37]. Такими системами оснащены накопители ВЭПП-4М и ВЭПП-3, а также накопитель –
источник СИ "Сибирь-2" (РНЦ "Курчатовский институт", Москва).
П.1 Устройство и работа системы
Пикапы, распределенные по азимуту накопительного кольца, объединены в систему
"Орбита" и предназначены для измерения равновесной орбиты пучка, дисперсионной
функции, амплитудных и фазовых функций бетатронных колебаний. Пикапы объединены в
группы, пикапы одной группы опрашиваются путем поочередного подключения к общему
кабелю.
При измерении орбиты электроды выбранного пикапа по очереди подключаются к
общему измерительному каналу с помощью ключей, и сигнал с выхода измерительного
канала регистрируется интегрирующим АЦП. Вычисление координат с нормировкой на
интенсивность пучка и с учетом различных поправок производится в управляющем
компьютере. Для измерения структурных функций также используется последовательный
опрос электродов, при этом на каждом такте регистрируется массив пооборотных сигналов с
помощью быстрого АЦП с памятью.
Система "Впуск" состоит из отдельного пикапа (на ВЭПП-4М — двух пикапов) и
четырех параллельных измерительных каналов, аналогичных тому, что используется в
системе "Орбита". Система "Впуск" используется для пооборотного измерения тока и
координат инжектируемого пучка, параметров бетатронных и синхротронных колебаний, а
также для измерения соотношения токов в отдельных сгустках. Обработка данных,
103
поставляемых системой "Впуск", с применением различных алгоритмов позволяет изучать
многие аспекты динамики пучка.
Для ввода измеренных данных в компьютер, в котором производится их обработка,
конечная функция измерительного канала должна быть преобразованием характерного
сигнала пикап-электрода в аналоговый сигнал, пригодный для оцифровки с помощью АЦП.
В описываемой системе в качестве оконечного устройства измерительного канала
используется
преобразователь
"выборка/хранение",
выходной
сигнал
которого
пропорционален пиковому напряжению импульсов, наводимых пучком на пикап-электроды.
Рисунок П.1. Аппаратура для обработки сигналов пикап-электродов.
Структурная схема базового комплекта аппаратуры системы "Орбита" изображена на
рисунке П.1. Первичная обработка сигналов пикап-электродов производится электроникой
пикап-станций, расположенных в ускорительном зале, в непосредственной близости от
пикапа. Для получения сигнала, форма и длительность которого пригодна для работы
преобразователя "выборка/хранение" S&H, короткий импульс (~ 0.5 нс), наведенный пучком
на пикап-электрод, проходит последовательность фильтров нижних частот LPF1, LPF2 и
RC-цепочек, которые удлиняют импульс. На выходе пикап-станции имеется буферный
усилитель A, передающий этот сигнал в кабель.
Выходной
сигнал
пикап-станции
имеет
вид
колоколообразного
импульса
длительностью 40 нс на полувысоте с последующим выбросом обратной полярности
экспоненциально затухающим с постоянной времени около 200 нс (рисунок П.2).
104
Рисунок П.2. Выходной сигнал пикап-станции.
В пикап-станцию встроен также формирователь F тестового сигнала, имитирующего
сигнал пучка интенсивностью примерно 1010 частиц.
Сигнал от пикап-станции передается по кабелю на измерительный канал, аппаратура
которого располагается вне ускорительного зала. Сигнал поступает на основной
широкополосный усилитель MA, коэффициент усиления которого может устанавливаться в
пределах 0÷60 дБ, соответствующих динамическому диапазону интенсивности пучка. Для
обеспечения оптимального уровня выходного сигнала в широком диапазоне интенсивности
пучка используется алгоритм автоматической установки усиления, реализованный в
управляющих программах.
Усиленный
сигнал
поступает
на
преобразователь
"выборка/хранение"
S&H
(длительность выборки 10 нс), который в момент прихода строб-импульса преобразует
входной сигнал в квазипостоянное напряжение, присутствующее на выходе до следующего
строб-импульса. Совмещение по времени строб-импульса с пиком сигнала каждой пикапстанции, производится с помощью блока задержки D опорного сигнала, поступающего от
ВЧ-системы. Опорный сигнал представляет собой импульсы, следующие с частотой
обращения пучка и привязанные к нулевой фазе ускоряющего ВЧ-напряжения.
Пикап-станция системы "Впуск" состоит из четырех одинаковых входных цепей,
аналогичных цепи LPF1 — RC-цепочка — LPF2 — A. Сигналы с выходов четырех
буферных усилителей A передаются, каждый по отдельному кабелю, на четыре
параллельных измерительных канала, аналогичных тем, что используются в системе
"Орбита".
Для оцифровки сигнала применены АЦП двух типов: быстрый АЦП для пооборотных
измерений и медленный АЦП интегрирующего типа для диагностики медленного движения
с высоким координатным разрешением.
105
П.2 Программное обеспечение
Сочетание аппаратуры, регистрирующей сигналы пикап-электродов на каждом
обороте пучка, с эффективными алгоритмами обработки данных позволяет решать широкий
ряд задач диагностики пучка на ускорительном комплексе на ВЭПП-4М [13].
Эти задачи можно условно разбить на две группы:
1. Рутинная диагностика:
„
настройка инжекции и захвата пучка ускоряющим ВЧ-полем;
„
измерение бетатронных и синхротронной частот;
„
измерение и коррекция орбиты;
„
измерение хроматизма, кубической нелинейности, связи бетатронных мод.
2. Исследование динамики пучка и физических свойств ускорителя:
„
измерение и коррекция структурных функций;
„
экспериментальное изучение нелинейной динамики пучка и динамической апертуры;
„
исследование неустойчивости бетатронных колебаний, ограничивающей ток пучка;
„
измерение характеристик взаимодействия пучка с окружающей структурой;
„
диагностика низкочастотного движения пучка.
Для
решения
вышеперечисленных
задач
необходим
оперативный
контроль
работоспособности системы диагностики и ее калибровка, а также измерение разрешения,
долговременной стабильности и т.д.
Управление системой, сбор и обработка данных выполняются с помощью комплекта
прикладных программ [17], [18], работающих в управляющем микрокомпьютере "Одренок",
включенном в сеть системы управления комплексом ВЭПП-4М [38]. Информация,
необходимая
для
работы программ — адреса электронных
блоков,
масштабные
и
калибровочные коэффициенты пикапов и т.п. — содержится в базе данных, что позволяет
вносить изменения в систему, не затрагивая программное обеспечение. Программы работают
в реальном времени, синхронизация программ и аппаратуры осуществляется посредством
внешних прерываний, генерируемых системой синхронизации ускорительного комплекса
ВЭПП-4М.
В настоящее время также разработана программа обработки в режиме off-line данных,
поставляемых системой пооборотного измерения положения пучка, работающая в среде MS
Windows. [17] Программа содержит набор эффективных алгоритмов обработки данных,
некоторые из них описаны в диссертации. Среди функций программы — вывод пооборотных
106
графиков тока и координат пучка, спектральный анализ бетатронных и синхротронных
колебаний, представление колебаний на фазовой плоскости, анализ медленного движения
пучка, измерение шумового разрешения системы и т.д. Программа может быть также
использована для анализа результатов численного моделирования с целью их сравнения с
результатами измерений.
П.3 Точность измерений
П.3.1 Шумовое разрешение системы диагностики
Координатное разрешение системы с регистрацией сигналов пикап-электродов на
каждом обороте, определяется шумом во всей полосе входного сигнала преобразователя
"выборка/хранение". Для уменьшения влияния шума и улучшения координатного
разрешения используются различные дискретные и аналоговые фильтры.
Разрешение характеризуется стандартным отклонением серии измерений координат,
при условии, что координаты пучка постоянны. Способ измерения координатного
разрешения основан на использовании тестового сигнала, имитирующего пучок. Тестовый
сигнал поочередно подается на пикап-электроды, сигналы которых измеряются и
используются для вычисления координат. Стандартное отклонение измеренных таким
образом значений "координат" определяет разрешение системы.
На
рисунке
П.3а
приведен
пример
гистограмм
распределения
серии
последовательных измерений горизонтальной x и вертикальной z координат пучка в
накопителе ВЭПП-3. Эти гистограммы отражают суммарный шум, в который входят
шумовое движение пучка, обусловленное пульсациями источников питания элементов
магнитной структуры накопителя, и шум обрабатывающей электроники. Стандартные
отклонения координат от средних значений составляют σ x = 5.1 мкм, σ z = 4.8 мкм в полосе
частот 0÷40 Гц. На рисунке П.3б приведены гистограммы распределения "координат",
измеренных с использованием тестового сигнала. Стандартное отклонение σ x0 , σ z 0
характеризует разрешение пикапа, в частности для пикапа 4P2, используемого в измерениях,
результаты которых приведены на рисунке, σ x0 = 2.6 мкм, σ z 0 = 1.2 мкм в той же полосе
частот.
107
а)
б)
Рисунок П.3. Шум пучка и обрабатывающей электроники.
Метод измерения разрешения с помощью тестового импульса имеет ряд недостатков,
от которых свободен метод измерения разрешения системы диагностики непосредственно по
сигналам пучка. [17] Этот метод основан на том, что для любой геометрии пикапа, наряду с
комбинациями
сигналов
пикап-электродов,
пропорциональными
смещению
пучка,
используется "квадрупольная" комбинация, независящая, в линейной аппроксимации, от
положения пучка. Вычисляя стандартное отклонение "квадрупольной" комбинации сигналов
можно определить координатное разрешение системы.
П.3.2 Погрешность измерения орбиты, зависящая от тока пучка
Паразитные высокочастотные сигналы во входных цепях пикап-станции, наводимые
пучком, являются причиной систематической погрешности, проявляющейся как искажение
равновесной орбиты, измеряемой при различных значениях интенсивности пучка.
На рисунке П.4 приведены графики паразитного искажения орбиты пучка ВЭПП-4М,
вносимого этой погрешностью, измеренные при изменении тока пучка от 19 мА до 12 мА (1)
и от 19 мА до 2 мА (2).
Данная погрешность превышает случайный разброс, определяемый шумовым
разрешением системы, и затрудняет проведение прецизионных измерений орбиты при
изменении интенсивности пучка.
108
Рисунок П.4. Паразитное искажение орбиты пучка ВЭПП-4М.
В частности, при измерении искажения орбиты локальным импедансом, полезный
эффект
оказывается
одного
порядка
с
паразитным
искажением.
Систематическая
погрешность накладывается на реальное искажение орбиты, обусловленное взаимодействием
пучка с импедансом связи, и маскирует измеряемый эффект. Для выделения полезного
эффекта из измеренных данных был разработан разностный метод измерений, описанный в
Главе 7.
109
Литература
[1]
R. Bartolini, M. Giovannozzi, W. Scandale, A. Bazzani, E. Todesco. Algorithms for a Precise
Determination of the Betatron Tune. // Proc. of the 5-th European Particle Accelerator
Conference, Barcelona, 1996, E. Asseo, CERN PS/85-3 (LEA) (1985).
[2]
P.L. Morton, J. -L. Pellegrin, T. Raubenheimer, L. Rivkin, M. Ross, R.D. Ruth, W.L. Spence.
A Diagnostic for Dynamic Aperture // Proc. of the International Particle Accelerator
Conference, Vancouver, 1985.
[3]
M. Schillo, K.H. Althoff, W.v. Drachenfels, T. Goetz, D. Husmann, M. Neckenig, M. Picard,
F.J. Schittko, W. Shauerte, J. Wenzel. A Beam Diagnostic System for ELSA. // Proc. of the
International Particle Accelerator Conference, San Francisco, 1991.
[4]
Y. Kobayashi, T. Mitsuhashi, A. Ueda, T. Kasuga. Phase Space Monitor System at the Photon
Factory Storage Ring. // Proc. of the 5-th European Particle Accelerator Conference,
Barcelona, 1996.
[5]
Y. Kobayashi, M. Izawa. A Longitudinal Phase Space Monitor at the Photon Phactory
Storage Ring // KEK Preprint 97-39, 1997.
[6]
D. Brandt, P. Castro, K. Cornelis, A. Hoffmann, G. Morpurgo, G.L. Sabb, J. Wenninger,
B. Zotter. Measurement of Impedance Distribution and Instability Threshold in LEP. // Proc.
of the International Particle Accelerator Conference, Dallas, 1995.
[7]
А.А. Коломенский. Физические основы методов ускорения заряженных частиц. М.:
Издательство МГУ, 1980.
[8]
Wiedemann H. Particle Accelerator Physics II: Non-linear and Higher Order Beam Dynamics.
Berlin e.a.: Springer, 1995.
[9]
Е.Б. Левичев, В.В. Сажаев. Динамическая апертура накопителя электронов с малым
эмиттансом. – Новосибирск, 1998. (Препринт / ИЯФ СО РАН; 98-52).
[10] E.D. Courant, H.S. Snyder. Theory of the Alternating Gradient Synchrotron. // Annals of
Physics, vol. 3, 48 (1958).
110
[11] A. Kalinin, V. Smaluk. Turn-by-turn Phase Space Diagram Construction for Nonlinear
Betatron Oscillations. // Proc. of the 4-th European Workshop on Diagnostics for Particle
Accelerators, Chester, 1999.
[12] Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.:
Наука, 1974.
[13] A.S. Kalinin, A.N. Dubrovin, D.N. Shatilov, E.A. Simonov, V.V. Smaluk. Application of
Beam Diagnostic System at the VEPP-4. // Proc. of the 5-th European Particle Accelerator
Conference, Barcelona, 1996.
[14] В.Ф. Зайцев,
А.Д. Полянин.
Справочник
по
нелинейным
обыкновенным
дифференциальным уравнениям. М.: Факториал, 1997.
[15] Справочник по радиоэлектронике, том 1, М.: "Энергия", 1967.
[16] CERNLIB, CERN Program Library. CERN, Geneva, 1993.
[17] A. Kalinin, V. Smaluk. Data Processing for Turn-by-Turn Beam Position Monitor. // Proc. of
International Conference for High Energy Accelerators HEACC-98, Dubna, 1998.
[18] А.С. Калинин, Е.А. Симонов, В.В. Смалюк, Д.Н. Шатилов. Компьютерное управление и
обработка данных в системе диагностики пучков на комплексе ВЭПП-4М. // Труды
XIV Совещания по ускорителям заряженных частиц, Протвино, 1994.
[19] А.М. Батраков,
А.С. Калинин,
И.Я. Протопопов,
А.Д. Хильченко.
Диагностика
впускаемого и циркулирующего пучков с помощью пикап-электродов в накопителе
ВЭПП-4. – Новосибирск, 1980. (Препринт / ИЯФ СО АН СССР).
[20] А.Н. Дубровин, А.С. Калинин, Е.А. Симонов, В.В. Смалюк, Д.Н. Шатилов. Измерение и
коррекция бета-функции на накопителе ВЭПП-4М. // Труды XIV Совещания по
ускорителям заряженных частиц, Протвино, 1994.
[21] V. Kiselev, E. Levichev, V. Sajaev, V. Smaluk. Experimental Study of Nonlinear Beam
Dynamics at VEPP-4M. // Nuclear Instruments and Methods, A 406 (1998).
[22] A. Kalinin, V. Kiselev, E. Levichev, I. Protopopov, V. Sajaev, V. Smaluk, A Non-linear
Beam Dynamics Experiments at VEPP-4M Storage Ring. // Proc. of the 5-th European
Particle Accelerator Conference, Barcelona, 1996.
111
[23] Киселeв В.А.,
Левичев Е.Б.,
Сажаев В.В.,
Смалюк В.В.
Экспериментальное
исследование нелинейной динамики на накопителе ВЭПП-4М. // Труды XV Совещания
по ускорителям заряженных частиц, Протвино, 1996 – Новосибирск, 1996. (Препринт /
ИЯФ СО РАН; 96-69, 96-67 англ.).
[24] В.Н. Корчуганов, Е.Б. Левичев, В.В. Сажаев. Компенсация хроматизма и динамическая
апертура
накопителя
электронов
"Сибирь-2"
(численное
моделирование).
–
Новосибирск, 1993. (Препринт / ИЯФ СО РАН; 93-27).
[25] Киселeв В.А., Левичев Е.Б., Сажаев В.В., Смалюк В.В. Экспериментальное изучение
динамической апертуры на накопителе ВЭПП-4М. // Труды XV Совещания по
ускорителям заряженных частиц, Протвино, 1996 – Новосибирск, 1996. (Препринт /
ИЯФ СО РАН; 96-71).
[26] V. Kiselev, E. Levichev, V. Sajaev, V. Smaluk. Dynamic Aperture Measurement at the
VEPP-4M Storage Ring. // Particle Accelerators, vol.57 (1997).
[27] N.A. Vinokurov. Longitudinal Motion in Storage Rings and Quantum Excitation. – Beam
Measurement (Proc. of the Joint US-CERN-Japan-Russia School on Particle Accelerators),
World Scientific Publishing, 1999.
[28] Киселев В.А. Разработка и создание систем транспортировки пучков ускорительнонакопительного комплекса ВЭПП-4М: Диссертация на соискание ученой степени
кандидата технических наук. – Новосибирск, 1997.
[29] A. Chao. // SLAC-PUB-2946, 1982.
[30] Y.H. Chin. Impedance and Wake Field. – Beam Measurement (Proc. of the Joint US-CERNJapan-Russia School on Particle Accelerators), World Scientific Publishing, 1999.
[31] A.W. Chao. Physics of Collective Beam Instabilites in High Energy Accelerators. New York:
John Wiley & Sons, Inc., 1993.
[32] W.K.H Panofsky and W.A Wenzel. // Rev. Sci. Instr. 27, 967 (1956).
[33] S. Heifets, A. Wagner, B. Zotter. Generalized Impedances and Wake in Asymmetric
Structures. // SLAC/AP110, 1998.
[34] V. Kiselev, V. Smaluk. Experimental Study of Impedances and Instabilities at the VEPP-4M
Storage Ring. // Proc. of the 6-th European Particle Accelerator Conference, Stockholm, 1998.
[35] B. Zotter. // CERN/ISR-TH/78-16, 1978.
112
[36] V. Kiselev, V. Smaluk. A Method for Measurement of Transverse Impedance Distribution
along Storage Ring. // Proc. of the 4-th European Workshop on Diagnostics for Particle
Accelerators, Chester, 1999.
[37] A.S. Kalinin, D.N. Shatilov, E.A. Simonov, V.V. Smaluk. A Beam Diagnostic System for
Storage Rings. // Proc. of the 5-th European Particle Accelerator Conference, Barcelona,
1996.
[38] А.Н. Алешаев, С.Д. Белов, А.Н. Дубровин и др. Система управления комплексом
ВЭПП-4. // Труды XI Всесоюзного совещания по ускорителям заряженных частиц.
Дубна, 1989