;doc

Глава 7 Плоскость в пространстве
Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению:
Ax
By Cz
где А, В, С – координаты вектора N

Ai
D
0,


Bj Ck -вектор нормали к плос-
кости.
Возможны следующие частные случаи:
А = 0 – плоскость параллельна оси Ох
В = 0 – плоскость параллельна оси Оу
С = 0 – плоскость параллельна оси Оz
D = 0 – плоскость проходит через начало координат
А = В = 0 – плоскость параллельна плоскости хОу
А = С = 0 – плоскость параллельна плоскости хОz
В = С = 0 – плоскость параллельна плоскости yOz
А = D = 0 – плоскость проходит через ось Ох
В = D = 0 – плоскость проходит через ось Оу
С = D = 0 – плоскость проходит через ось Oz
А = В = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью хОу
А = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью xOz
В = С = D = 0 – плоскость совпадает с плоскостью yOz
7.1 Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Для того, чтобы через три какие- либо точки пространства можно было
провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали
на одной прямой.
Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в общей декартовой системе координат.
Для того, чтобы произвольная точка М(x, y, z) лежала в одной плоскости с
точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы M 1 M 2 , M 1 M 3 , M 1 M были компланарны.
( M1M 2 , M1M 3 , M1M ) = 0
M 1M
Таким образом,
{x
x1 ; y
y1 ; z
z1 }
M 1M 2
{x 2
x1 ; y 2
y1 ; z 2
z1 }
M 1M 3
{x3
x1 ; y 3
y1 ; z 3
z1 }
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
x x1
x 2 x1
y y1
y 2 y1
z z1
z 2 z1
x3
y3
z3
x1
y1
0
z1
7.2 Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному
плоскости

Пусть заданы точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и вектор a (a1 , a 2 , a3 ) .
Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и

произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору a .
Векторы
M 1M
M 1M 2
{x
{x 2
x1 ; y
y1 ; z
x1 ; y 2
z1 }

y1 ; z 2
z1 }
и вектор a (a1 , a 2 , a3 ) должны быть

компланарны, т.е. ( M 1 M , M 1 M 2 , a ) = 0
Уравнение плоскости:
x x1
x 2 x1
y y1
y 2 y1
z z1
z 2 z1
a1
a2
a3
0
7.3 Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости


Пусть заданы два вектора a (a1 , a 2 , a3 ) и b (b1 , b2 , b3 ) , коллинеарные
плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоско 
сти, векторы a , b , MM 1 должны быть компланарны.
Уравнение плоскости:
x
x1
y
y1
z
z1
a1
a2
a3
b1
b2
b3
0
7.4 Уравнение плоскости по точке и вектору нормали
Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали N (A,
B, C) имеет вид:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Доказательство: Для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, составим вектор M 0 M
( x x0 , y
y0 , z z 0 ) . Т.к. вектор N - вектор нор-
мали, то он перпендикулярен плоскости, а, следовательно, перпендикулярен
и вектору M 0 M . Тогда скалярное произведение M 0 M N = 0.
Таким образом, получаем уравнение плоскости
A( x
x0 )
B( y
y0 ) C ( z
z0 )
0 . Теорема доказана.
7.5 Уравнение плоскости в отрезках
Если в общем уравнении Ax
A
x
D
B
y
D
By Cz
C
z 1 0 , заменив
D
D
A
D
0 поделить обе части на (-D)
D
B
a,
b,
D
C
c , получим уравнение
плоскости в отрезках:
x
a
y
b
z
c
1
Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с
осями Ох, Оу, Оz.
7.6 Уравнение плоскости в векторной форме
 
r n

z), n

xi

p, где r

i cos

zk - радиус- вектор произвольной точки М(х, у,

yj

k cos

j cos
- единичный вектор, имеющий направле-
ние, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат.
и - углы, образованные этим вектором с осями Ох, Оу, Оz.
,
p – длина этого перпендикуляра.
В координатах это уравнение имеет вид:
xcos + ycos + zcos - p = 0.
7.7 Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от произвольной точки М0(х0, у0, z0)
Ax
By Cz
D
до плоскости
0 равно:
Ax0
d
By 0
A2
Cz 0
B2
D
C2
7.8 Угол между плоскостями
Угол между двумя плоскостями в пространстве
нормалями к этим плоскостям
1
соотношением:
=
связан с углом между
1
или
= 1800 -
1,
т.е.
cos = cos 1.
Определим угол
1.
Известно, что плоскости могут быть заданы соот-
ношениями:

N 1 r D1 0
, где

N 2 r D2 0
N 1 (A1, B1, C1), N 2 (A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их
скалярного произведения: cos
N1 N 2
1
N1 N 2
.
Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:
A1 A2
cos
2
1
A
2
1
B
B1 B2
2
1
C
C1C 2
2
2
A
B22
C 22
Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.
7.9 Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие
выполняется, если: A1 A2 B1 B2 C1C2
0.
Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: N 1
ловие выполняется, если:
A1
A2
B1
B2
N 2 .Это ус-
C1
C2
7.10 Пучок плоскостей. Связка плоскостей
В пространстве зададим две пересекающиеся плоскости 1 и 2 уравнениями A1x B1 y C1z D1 0 и A2 x B2 y C2 z D2 0 . Обозначим через d
линию их пересечения.
Определение. Совокупность плоскостей пространства, проходящих через
одну и ту же прямую d, называется пучком плоскостей. Прямая d называется
осью пучка.
Если относительно АСК Oxyz ось пучка определяется системой уравнений
A1 x B1 y C1z D1 0,
то всякая плоскость, принадлежащая этому пучку,
A2 x B2 y C2 z D2 0,
определяется уравнением вида
( A1x B1 y C1z
D1 )
( A2 x B2 y C2 z
D2 ) 0 , где
2
2
0.
Определение. Совокупность плоскостей пространства, проходящих через
одну и ту же точку М0, называется связкой плоскостей. Точка М0 называется
центром связки.
В
пространстве
зададим
три
плоскости
уравнениями
A1x B1 y C1z D1 0 , A2 x B2 y C2 z D2 0 и A3 x B3 y C3 z D3 0 соответственно. Тогда уравнение любой плоскости, принадлежащей данной
связке, можно представить в виде
( A1 x B1 y C1z D1 )
( A2 x B2 y C2 z D2 )
( A3 x B3 y C3 z D3 ) 0,
, где
2
2
2
0.
7.11 Примеры решения заданий
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4; -3; 12) – основание
перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
OP
(4; 3;12);
N
4
3 12
( ;
; )
13 13 13
OP
16 9 144
169 13
Таким образом, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, воспользуемся формулой:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
4
3
12
( x 4)
( y 3)
( z 12)
13
13
13
4
16 3
9 12
144
x
y
z
13
13 13
13 13
13
4
3
12
169
x
y
z
0
13
13
13
13
4 x 3 y 12z 169 0.
0
0
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1)
и Q(1; -1; 3) перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.
Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0 N (3;2; 1) параллелен искомой плоскости. Получаем:
x 2
1 2
y 0
1 0 3 1
3
x 2
1
3
z 1
2
y
1
2
0
1
z 1
4
0
1
( x 2)(1 8) y (1 12) ( z 1)( 2 3)
7( x 2) 11y ( z 1) 0
0
7 x 14 11y z 1 0
7 x 11y z 15 0
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и
В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.
Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор
нормали к этой плоскости n1 (A, B, C). Вектор AB (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор
нормали n2 (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

i
n1
AB n2

j
1 3
1 1

k
5
2
3
i
1
5
2
1
j
1
5
2
1 3
k
1 1



11i 7 j 2k .
Таким образом, вектор нормали n1 (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит
искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой
плоскости, т.е. 11 2 + 7 1 - 2 4 + D = 0;
D = -21. Итого, получаем уравнение
плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.
Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание
перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
Находим координаты вектора нормали OP = (4, -3, 12). Искомое уравнение
плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D
подставим в уравнение координаты точки Р:
16 + 9 + 144 + D = 0, D = -169.
Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0
Пример. Даны координаты вершин пирамиды А1(1; 0; 3), A2(2; -1; 3),
A3(2; 1; 1), A4(1; 2; 5).
1) Найти длину ребра А1А2.
A1 A2
{2 1; 1 0;3 3} {1; 1;0};
A1 A2
1 1 0
2) Найти угол между ребрами А1А2 и А1А4.
2 (ед).
A1 A4
{1 1;2 0;5 3} {0;2;2}
A1 A4
2 2 (ед)
A1 A2 A1 A4
(1; 1;0)(0;2;2)
A1 A2 A1 A4
A1 A 2 A1 A4 cos
A1 A2 A1 A4
cos
2
2
4
A1 A2 A1 A4
2 2 2 cos
1
;
2
4 cos
1200
3) Найти угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3.

Сначала найдем вектор нормали к грани А1А2А3 N как векторное произведение векторов A1 A3 и A1 A2 , A1 A3 (2-1; 1-0; 1-3).

i
1

N
1

N

k
2

j
1
1


j (0 2) k ( 1 1)

i (0 2)



2i 2 j 2k ;

N
( 2; 2; 2)
0
2 3
Найдем угол между вектором нормали и вектором A1 A4 .
N A1 A4

N A1 A4 cos
N A1 A4
-4 – 4 = -8.
2 3 2 2 cos
Искомый угол между вектором и плоскостью будет равен = 900 - .
sin
cos
8
2
4 6
6
6
.
3
arcsin
6
3
4) Найти площадь грани А1А2А3.
1
A1 A2
2
S
A1 A3
1 
N
2
3 (ед2 )
5) Найти объем пирамиды.
1
(( A1 A2
6
V
A1 A3 ) A1 A4 )
1 
N A1 A4
6
4
(ед3).
3
6) Найти уравнение плоскости А1А2А3.
Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.
x 1
2 1
2 1
y 0 z 3
1 0 3 3
1 0 1 3
x 1
1
1
2x 2 2 y 2z 6
y z 3
1
0
1
2
( x 1) 2
y ( 2) ( z 3)(1 1)
0
Получаем 2x + 2y + 2z – 8 = 0; x + y + z – 4 = 0;
2, 1, 5 и
Пример. Найти уравнение плоскости, параллельной вектору a
принадлежащей пучку плоскостей с осью, заданной относительно АСК Oe1e2е3
x y 2 z 1 0,
уравнениями
2 x y z 3 0.
Решение. Составим уравнение пучка плоскостей. Имеем:
( x y 2 z 1)
(2 x y z 3) 0 .
Преобразуем левую часть уравнения. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Получим уравнение
(
2 )x (
) y (2
)z (
3 ) 0.
2, 1, 5 , то, исПоскольку искомая плоскость параллельна вектору a
пользуя условие Aa Bb Cc 0 параллельности вектора плоскости, полу2 )( 2)
(
)( 1) (2
)5 0 для определения
чаем уравнение (
7
параметров
и . Откуда находим, что 7
. Следо2 0 , или
2
вательно, уравнение плоскости, принадлежащей пучку, определяемому
уравнением ( x y 2 z 1) (2 x y z 3) 0 , и параллельной вектору
a
2, 1, 5 , имеет вид
12 x 9 y 3 z 19 0 .
2 (x
y 2 z 1)
7 (2 x
y
z 3) 0 , или