1. B 6 № 132776. Сумма двух углов равнобедренной трапеции

Вариант № 365184
1. B 6 № 132776. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 140°. Найдите больший
угол тра​пе​ции. Ответ дайте в гра​ду​с ах.
Ре​ше​ние.
Так как сумма односторонних углов трапеции равна 180°, в условии говорится о сумме углов
при основании. Поскольку трапеция является равнобедренной, углы при основании равны.
Значит, каждый из них равен 70°. Сумма односторонних углов трапеции равна 180°, поэтому
боль​ший угол равен 180° − 70° = 110°.
Ответ: 110.
2. B 7 № 311487. Центральный угол
равен 60°. Найдите длину хорды
он опи​ра​ет​с я, если ра​ди​у с окруж​но​с ти равен 5.
, на которую
Ре​ше​ние.
Так как OA и OB- радиусы, то треугольник AOB — равнобедренный. Однако, в
равнобедренном треугольнике
, тогда треугольник является правильным. Таким
об​ра​з ом, хорда
Ответ: 5.
3. B 8 № 169878. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а синус одного
из углов равен . Най​ди​те пло​щадь па​рал​ле​ло​грам​ма.
Ре​ше​ние.
Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними. Таким
об​ра​з ом,
Ответ: 20.
4. B 9 № 311958.
На рисунке изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину
ме​ди​а​ны тре​у голь​ни​ка, про​ведённую из вер​ши​ны пря​мо​го угла.
Ре​ше​ние.
Введем обозначения как показано на рисунке и проведём медиану
треугольника AH. В прямоугольном треугольнике ABC длины катетов равны
3
и
4,
поэтому
гипотенуза
равна
В
прямоугольном
тре​у голь​ни​ке ме​ди​а​на равна по​ло​ви​не ги​по​те​ну​з ы, т. е. 5 : 2 = 2,5.
Ответ: 2,5.
5. B 10 № 316286. Ука​ж и​те но​ме​ра вер​ных утвер​ж де​ний.
1) Если угол равен 47°, то смеж​ный с ним равен 153°.
2) Если две пря​мые пер​пен​ди​ку​ляр​ны тре​тьей пря​мой, то эти две пря​мые па​рал​лель​ны.
3) Через любую точку про​х о​дит ровно одна пря​мая.
Ре​ше​ние.
Про​ве​рим каж​дое из утвер​ж де​ний.
1) «Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°» — не​вер​но, сумма смежных углов
равна 180°.
2) «Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны» —
верно, по при​з на​ку па​рал​лель​но​с ти пря​мых.
3) «Через любую точку проходит ровно одна прямая» — не​вер​но через ону точку проходит
бес​ко​неч​ное мно​ж е​с тво пря​мых.
Ответ: 2.
6. B 13 № 132754. Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад.
Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет
между ними через 2 часа?
Ре​ше​ние.
Най​дем ско​рость пер​во​го теп​ло​х о​да:
Най​дем ско​рость вто​ро​го теп​ло​х о​да:
Теплоходы движутся вдоль катетов прямоугольного треугольника, гипотенуза которого
является расстоянием между ними. Найдем это расстояние по теореме Пифагора:
Ответ: 50.
7. C 4 № 314809.
Стороны AC, AB, BC
треугольника ABC
равны
,
и 2
соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC , причём отрезок KC пе​ре​с е​ка​ет
сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C по​до​бен
ис​х од​но​му. Най​ди​те ко​с и​нус угла AKC, если ∠KAC>90°.
Ре​ше​ние.
Рассмотрим подобные треугольники
и
и установим соответствие между их
углами. Против большей стороны всегда лежит больший угол, в треугольнике
это угол
в треугольнике
, в свою очередь, есть тупой угол
и он является наибольшим, значит
Угол
заведомо не может быть равен углу
так как он составляет только
его часть. Сле​до​ва​тель​но угол
равен углу
Найдём ко​с и​нус угла KAC ис​поль​з уя тео​ре​му ко​с и​ну​с ов:
Ответ:
8. C 5 № 314987. В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M.
Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника
AMD.
Ре​ше​ние.
Проведём
высоту
так, чтобы она
про​х о​ди​ла через точку
Углы
и
равны друг другу как вертикальные.
Вспомним также, что диагонали делятся
точкой
пересечения
пополам,
с ледовательно,
Рассмотрим
тр еу гольни к и
и
,
они
прямоугольные, имеют равные углы и
равные гипотенузы, следовательно эти
треугольники равны, а значит равны
отр ез к и
и
. Таким образом,
Пло​щадь па​рал​ле​ло​грамм равна
а пло​щадь тре​у голь​ни​ка
9. C 6 № 314954. На рисунке изображён колодец с
«журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо
— 3 м. На сколь​ко мет​ров опу​с тит​с я конец длин​но​го плеча, когда
конец ко​рот​ко​го под​ни​мет​с я на 1 м?
Ре​ше​ние.
Введём обозначения, приведённые на рисунке. Здесь
— плечи "журавля" до опускания,
— после,
— высота, на которую поднялся конец короткого плеча,
— высота, на
которую опустился конец длинного. Рассмотрим треугольники
и
углы
и
равны, как вер​ти​каль​ные, сле​до​ва​тель​но равны и углы при ос​но​ва​ни​ях:
Следовательно,
треугольники
и
подобны
по
двум
углам,
то
есть
Рассмотри прямые
и
их пересекает секущая
углы, обозначенные на рисунке 1 и 2
накрест лежащие и равны друг другу, следовательно прямые
и
параллельны. Стороны
углов 3 и 4 па​рал​лель​ны друг другу, сле​до​ва​тель​но они равны.
Рассмотрим
треугольники
и
они прямоугольные, имеют равные углы,
сле​до​ва​тель​но они по​доб​ны, зна​чит:
Ответ: 1,5.
При​ме​ча​ние
Можно привести несколько иное доказательство подобия треугольников
и
. На
приведённой ниже картинке есть два маленьких треугольника обозначенные
и
, они
прямоугольные и одна пара углов равна друг другу как накрест лежащие при параллельных
пря​мых, сле​до​ва​тель​но они по​доб​ны.
Затем, можно заметить, что у треугольников
и
соответственные углы, не важно
какие, равны друг другу, потому что их стороны параллельны, следовательно, треугольники
подобны. Аналогично с треугольниками
и
Из трёх пар подобий этих треугольников
сле​ду​ет, что тре​у голь​ни​ки
и
по​доб​ны.