1. B 1 № 337331. Найдите значение выражения Ре​ше​ние

Вариант № 786496
1. B 1 № 337331. Най​ди​те зна​че​ние вы​ра​ж е​ния
Ре​ше​ние.
Умно​ж им чис​ли​тель и зна​ме​на​тель на 10:
Ответ: 1.
Ответ: 1
2. A 1 № 337433. На ко​ор​ди​нат​ной пря​мой от​ме​че​но число
Рас​по​ло​ж и​те в по​ряд​ке убы​ва​ния числа
1)
2)
3)
4)
Ре​ше​ние.
За​ме​тим, что
тогда
Пра​виль​ный ответ ука​з ан под но​ме​ром: 1.
Ответ: 1
3. A 2 № 337462. Най​ди​те зна​че​ние вы​ра​ж е​ния
1) 360
2)
3)
4)
Ре​ше​ние.
Найдём зна​че​ние вы​ра​ж е​ния:
Пра​виль​ный ответ ука​з ан под но​ме​ром: 4.
Ответ: 4
Таким об​ра​з ом,
4. B 2 № 338494. Ре​ши​те урав​не​ние
Ре​ше​ние.
По​с ле​до​ва​тель​но по​лу​ча​ем:
Ответ: −9,7.
Ответ: -9,7
5. B 3 № 339184. На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c. Для
каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта
D.
Гра​фик
Знаки чисел
1) a > 0, D > 0
2) a > 0, D < 0
3) a < 0, D > 0
4) a < 0, D < 0
За​пи​ши​те в ответ цифры, рас​по​ло​ж ив их в по​ряд​ке, со​от​вет​с тву​ю​щем бук​вам:
А
Ре​ше​ние.
Гра​фик функ​ции
и вниз, если
Б
В
Г
— па​ра​бо​ла. Ветви этой па​ра​бо​лы на​прав​ле​ны вверх, если
При D > 0 уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет два корня, то есть график
функции y = ax 2 + bx + c имеет два пересечения с осью абсцисс. Если D < 0, то корней нет, а
соответственно график не пересекает ось абсцисс. Таким образом, получаем ответ: A — 1, Б —
4, В — 2, Г — 3.
Ответ: 1423.
Ответ: 1423
6. B 4 № 314423. Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с
1, нужно сло​ж ить, чтобы по​лу​чив​ша​я​с я сумма была боль​ше 465?
Ре​ше​ние.
Для от​ве​та на во​прос за​да​чи тре​бу​ет​с я найти такое наи​мень​шее что
Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом
и разностью
Cумма
пер​вых чле​нов ариф​ме​ти​че​с кой про​грес​с ии вы​чис​ля​ет​с я по фор​му​ле:
в нашем слу​чае
Найдем наименьшее натуральное решение неравенства
урав​не​ния
. Для этого найдём корни
Вы​чис​лим дис​кри​ми​нант:
от​ку​да по​лу​ча​ем:
Таким образом, при
сумма 30 слагаемых равна 465. Следовательно, наименьшее
на​ту​раль​ное число, для ко​то​ро​го сумма будет боль​ше 465, равно 31.
Ответ: 31.
При​ме​ча​ние.
Можно заметить, что
или
откуда сразу же получаем:
Ответ: 31
7. B 5 № 338141. Най​ди​те зна​че​ние вы​ра​ж е​ния
Ре​ше​ние.
Пре​об​ра​з у​ем вы​ра​ж е​ние:
Под​с та​вим зна​че​ние
Ответ: 0,5.
Ответ: 0,5
при
8. A 3 № 338550. Ре​ши​те не​ра​вен​с тво
1) (− ∞; +∞)
2) нет ре​ше​ний
3) (− 5; 5)
4) (− ∞; −5)∪(5; +∞)
Ре​ше​ние.
По​с ле​до​ва​тель​но по​лу​ча​ем:
Пра​виль​ный ответ ука​з ан под но​ме​ром: 3.
Ответ: 3
9. B 6 № 339385. Площадь прямоугольного треугольника равна
Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, лежащего
на​про​тив этого угла.
Ре​ше​ние.
Пусть длина ги​по​те​ну​з ы равна а длина ка​те​та, ле​ж а​ще​го на​про​тив угла 30° равна Сумма
углов в треугольнике равна 180°, следовательно, второй острый угол равен
180° − 90° − 30° = 60°. Площадь треугольника можно найти как половину произведения двух
сто​рон на синус угла между ними:
От​ку​да по​лу​ча​ем:
Ответ: 38.
Ответ: 38
10. B 7 № 339892. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от
центра окружности до хорды CD, если AB = 18, CD = 24, а расстояние от центра окружности до
хорды AB равно 12.
Ре​ше​ние.
Проведём построения и введём обозначения как показано на
рисунке. Рассмотрим треугольники
и
они прямоугольные,
стороны
и
равны как радиусы окружностей,
— общая,
следовательно,
треугольники
и
равны. Откуда
Аналогично, равны треугольники
откуда
Рассмотрим треугольник
и
найдём
по тео​ре​ме Пи​фа​го​ра:
Рас​с мот​рим тре​у голь​ник
он пря​мо​у голь​ный, из тео​ре​мы Пи​фа​го​ра найдём
Таким об​ра​з ом, рас​с то​я​ние от цен​тра окруж​но​с ти до хорды
равно 9.
Ответ: 9.
Ответ: 9
11. B 8 № 169893. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание —
, а угол, ле​ж а​щий на​про​тив ос​но​ва​ния, равен 30°. Най​ди​те пло​щадь тре​у голь​ни​ка.
Ре​ше​ние.
Пло​щадь тре​у голь​ни​ка равна по​ло​ви​не про​и з​ве​де​ния сто​рон на синус угла между ними:
Ответ: 25.
При​ме​ча​ние:
Пло​щадь тре​у голь​ни​ка можно было найти по фор​му​ле Ге​ро​на.
Ответ: 25
12. B 9 № 311491. Най​ди​те тан​генс угла
тре​у голь​ни​ка
, изоб​ражённого на ри​с ун​ке.
Ре​ше​ние.
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к
при​ле​ж а​ще​му. Тре​у голь​ник ABC — пря​мо​у голь​ный, по​э то​му
Ответ: 0,4.
Ответ: 0,4
13. B 10 № 316286. Ука​ж и​те но​ме​ра вер​ных утвер​ж де​ний.
1) Если угол равен 47°, то смеж​ный с ним равен 153°.
2) Если две пря​мые пер​пен​ди​ку​ляр​ны тре​тьей пря​мой, то эти две пря​мые па​рал​лель​ны.
3) Через любую точку про​х о​дит ровно одна пря​мая.
Ре​ше​ние.
Про​ве​рим каж​дое из утвер​ж де​ний.
1) «Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°» — не​вер​но, сумма смежных углов
равна 180°.
2) «Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны» —
верно, по при​з на​ку па​рал​лель​но​с ти пря​мых.
3) «Через любую точку проходит ровно одна прямая» — не​вер​но через ону точку проходит
бес​ко​неч​ное мно​ж е​с тво пря​мых.
Ответ: 2.
Ответ: 2
14. A 4 № 314135. Учёный Комаров выезжает из Москвы на конференцию в СанктПе​тер​бург​с кий уни​вер​с и​тет. Ра​бо​та кон​фе​рен​ции на​чи​на​ет​с я в 8:30.
В таб​ли​це дано рас​пи​с а​ние ноч​ных по​ез​дов Москва — Санкт-Пе​тер​бург.
При​б ы​тие в
Номер От​п рав​л е​ние
Санктпо​е з​да из Моск​вы
Пе​тер​б ург
032АВ
22:50
05:48
026А
23:00
06:30
002А
23:55
07:55
004А
23:59
08:00
Путь от вокзала до университета занимает полтора часа. Укажите номер самого позднего
(по вре​ме​ни от​прав​ле​ния) из мос​ков​с ких по​ез​дов, ко​то​рые под​х о​дят учёному Ко​ма​ро​ву.
1) 032АВ
2) 026А
3) 002А
4) 004А
Ре​ше​ние.
Поскольку путь от вокзала до университета занимает полтора часа, поезд должен прибыть
на вокзал не позднее 07:00. Этому условию удовлетворяют поезда под номерами: 032АВ и 026А.
Из них позже от​прав​ля​ет​с я поезд под но​ме​ром 026А.
Пра​виль​ный ответ ука​з ан под но​ме​ром 2.
Ответ: 2
15. B 11 № 311515. Из пункта
в пункт
вышел
пешеход, и через некоторое время вслед за ним выехал
велосипедист. На рисунке изображены графики
движения пешехода и велосипедиста. На сколько
километров в час скорость пешехода меньше скорости
ве​ло​с и​пе​ди​с та?
Ре​ше​ние.
Пешеход прошел путь до места встречи за 40 мин или
путь за 20 мин или
ве​ло​с и​пе​ди​с та
часа. Велосипедист проехал этот же
часа. Таким образом, скорость пешехода равна
км/ч, а скорость
км/ч.
Таким об​ра​з ом, ско​рость пе​ше​х о​да мень​ше ско​ро​с ти ве​ло​с и​пе​ди​с та на 6 км/ч.
Ответ: 6
16. B 12 № 316377. На молочном заводе пакеты молока упаковываются по 15 штук в коробку,
причём в каждой коробке все пакеты одинаковые. В партии молока, отправляемой в магазин
«Уголок», коробок с полуторалитровыми пакетами молока вдвое меньше, чем коробок с
литровыми пакетами. Сколько литров молока в этой партии, если коробок с литровыми
па​ке​та​ми мо​ло​ка 32?
Ре​ше​ние.
Найдём количество коробок с полуторалитровыми пакетами молока: 32 : 2 = 16. Теперь
рас​с чи​та​ем ко​ли​че​с тво лит​ров мо​ло​ка в этой пар​тии: 32 · 15 · 1 + 16 · 15 · 1,5 = 840 л.
Ответ: 840.
Ответ: 840
17. B 13 № 311522. Определите высоту дома, ширина фасада
которого равна 6 м, высота от фундамента до крыши равна 4 м, а
длина ската крыши равна 5 м.
Ре​ше​ние.
Крыша дома имеет форму равнобедренного треугольника. Высота этого треугольник
яв​ля​ет​с я ме​ди​а​ной и равна
Высота всего дома равна длине высоты крыши и высоты фундамента до крыши. Таким
об​ра​з ом вы​с о​та дома равна: 4 + 4 = 8 м.
Ответ: 8.
Ответ: 8
18. B 14 № 315175. На диаграмме представлено
распределение количества пользователей некоторой
социальной сети по странам мира. Всего в этой
со​ци​аль​ной сети 12 млн поль​з о​ва​те​лей.
Какое из сле​ду​ю​щих утвер​ж де​ний не​вер​но?
1) Пользователей
из
Украины больше, чем
поль​з о​ва​те​лей из Литвы.
2) Поль​з о​ва​те​лей из Укра​и ​ны мень​ше чет​вер​ти об​ще​го числа поль​з о​ва​те​лей.
3) Поль​з о​ва​те​лей из Бе​ла​ру​с и боль​ше 3 мил​ли​о​нов.
4) Поль​з о​ва​те​лей из Рос​с ии боль​ше, чем из всех осталь​ных стран, вме​с те взя​тых.
Ре​ше​ние.
Про​ве​рим каж​дое утвер​ж де​ние:
1) Из диаграммы видно, что пользователей из Украины больше чем пользователей из
"дру​гих стран", а зна​чит, и боль​ше, чем поль​з о​ва​те​лей из Литвы. Пер​вое утвер​ж де​ние верно.
2) Из диаграммы видно, что пользователей из Украины меньше четверти общего числа
поль​з о​ва​те​лей. Вто​рое утвер​ж е​дние верно.
3) Из диаграммы видно, что пользователей из Беларуси меньше четверти от общего числа
пользователей. Всего пользователей 12 млн, значит пользователей из Беларуси менее 3 млн.
Тре​тье утвер​ж де​ние не​вер​но.
2) Из диаграммы видно, что пользователей из Росии около двух третей от общего числа
пользователей, значит, пользователей из России больше, чем из всех остальных стран вместе
взя​тых. Четвёртое утвер​ж де​ние верно.
Не​вер​ным яв​ля​ет​с я утвер​ж де​ние под но​ме​ром 3.
Ответ: 3
19. B 15 № 315173. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из
Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется
жре​би​ем. Най​ди​те ве​ро​ят​ность того, что пер​вым будет стар​то​вать спортс​мен не из Рос​с ии.
Ре​ше​ние.
Всего спортсменов 11 + 6 + 3 = 20 человек. Поэтому вероятность того, что первым будет
стар​то​вать спортс​мен не из Рос​с ии равна
Ответ: 0,45.
Ответ: 0,45
20. B 16 № 338203. Закон Менделеева-Клапейрона можно записать в виде PV = νRT, где P —
давление (в паскалях), V — объём (в м3), ν — количество вещества (в молях), T — температура
(в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К⋅моль).
Пользуясь этой формулой, найдите объём V (в м3), если T = 250 К, P = 23 891,25 Па,
ν = 48,3 моль.
Ре​ше​ние.
Выразим объём из закона Клапейрона-Менделеева:
по​лу​ча​ем:
Ответ: 4,2.
Ответ: 4,2
Подставляя,
21. C 1 № 338112. Най​ди​те зна​че​ние вы​ра​ж е​ния
если
Ре​ше​ние.
Пре​об​ра​з у​ем ра​вен​с тво
так, чтобы оно со​дер​ж а​ло вы​ра​ж е​ние
Ответ: 1.
22. C 2 № 339511. В треугольнике ABC отмечены середины M и N
сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 57.
Най​ди​те пло​щадь четырёхуголь​ни​ка ABMN.
Ре​ше​ние.
Поскольку
— средняя линия треугольника
и
Рассмотрим
треугольники
и
углы
и
равны как соответствующие углы при
параллельных прямых, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда
коэффициент подобия
квадрат коэффициента
четрыёхуголь​ни​ка
Площади подобных фигур соотносятся как
подобия,
поэтому
Найдём площадь
Ответ: 171.
23. C 3 № 338660. Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и
выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий,
вы​пол​ня​ю​щий такой же заказ. Сколь​ко де​та​лей в час де​ла​ет вто​рой ра​бо​чий?
Ре​ше​ние.
Пусть — число деталей, изготавливаемых первым рабочим за час, тогда
— число
деталей, изготавливаемых вторым рабочим за час. Заказ, состоящий из 60 деталей первый
ра​бо​чий вы​пол​ня​ет на 3 часа быст​рее, чем вто​рой, со​с та​вим урав​не​ние:
Корень −10 не подходит по условию задачи, следовательно, первый рабочий изготавливает
20 де​та​лей в час. Зна​чит, вто​рой ра​бо​чий из​го​тав​ли​ва​ет 10 де​та​лей в час.
Ответ: 10.
24. C 4 № 340104. Через точку O пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и T соответственно. Докажите,
что BP = DT.
Ре​ше​ние.
Проведём через точку
прямую
перпендикулярную
сто​ро​не
По​с коль​ку сто​ро​ны
и
параллельны,
также перпендикулярно и стороне
Диагонали
параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Рассмотрим треугольники
и
равно
,
р авно
углы
и
равны как вертикальные,
следовательно, треугольники равны. Поэтому равны их
соответствующие
элементы,
то
есть
Рассмотрим треугольники
и
они прямоугольные,
равно
углы
и
равны как вертикальные, следовательно, треугольники равны, поэтому
равно
Рассмотрим треугольники
и
равно
равно
углы
и
равны как
вер​ти​каль​ные.
25. C 5 № 338300. Постройте график
функции
и определите, при каких
зна​че​ни​ях пря​мая
имеет c гра​фи​ком ровно одну общую точку.
Ре​ше​ние.
Упро​с тим вы​ра​ж е​ние:
График исходной функции сводится к графику функции
с выколотой точкой
Этот гра​фик изоб​ражён на ри​с ун​ке:
Прямая
точку. Тогда
Ответ:
будет иметь с графиком одну общую точку, если пройдёт через выколотую
и урав​не​ние пря​мой при​мет вид:
26. C 6 № 339825. В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является
центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и
пря​мых AD и AC со​от​вет​с твен​но равны 5, 4 и 3. Най​ди​те пло​щадь па​рал​ле​ло​грам​ма ABCD.
Ре​ше​ние.
Проведём построения и введём обозначения как
показано на рисунке. Пусть — центр окружности,
вписанной в треугольник
Центр вписанной
окружности — это точка пересечения биссектрис,
поэ тому
—
биссектрисы. Из
прямоугольного
треугольника
по теореме
Пи​фа​го​ра найдём
От​рез​ки
и
равны как ра​ди​у ​с ы впи​с ан​ной в тре​у голь​ник
окружности, то есть
Рассмотрим треугольники ALO и AOK, они прямоугольные, углы
и
равны,
— общая, следовательно, треугольники равны, откуда
Аналогично из
ра​вен​с тва тре​у голь​ни​ков
и
по​лу​ча​ем
а из равенства треугольников
и
—
Площадь треугольника
можно найти как произведение радиуса
впи​с ан​ной окруж​но​с ти на по​лу​пе​ри​метр:
Пло​щадь па​рал​ле​ло​грам​ма равна про​и з​ве​де​нию вы​с о​ты на ос​но​ва​ние:
Рассмотрим треугольники
и
следовательно, треугольники
и
по​ло​ви​не пло​ща​ди па​рал​ле​ло​грам​ма:
Пло​щадь па​рал​ле​ло​грам​ма равна:
Ответ:
равно
,
равно
углы
и
равны. Поэтому площадь треугольника
равны,
равна