Рациональные уравнения Некоторые сведения из алгебры. P x Q x

Рациональные уравнения
Рассматриваются рациональные уравнения вида P(x) = 0,
P( x )
 0 , где P(x) и Q(x) –
Q( x )
многочлены, а также уравнения вида f(x) = g(x), где f(x) и g(x) – рациональные
выражения.
Решение любого уравнения начинается, как правило, с нахождения ОДЗ. Однако в
ряде случаев это не освобождает от необходимости последующей проверки найденных
значений подстановкой в исходное уравнение или в уравнение, равносильное ему.
Некоторые сведения из алгебры.
1. Если х = а – корень многочлена P(x), то P(x) делится на двучлен
(х – а) без остатка.
2. Пусть все коэффициенты многочлена P(x) – целые числа, причем старший
коэффициент равен 1. Если такой многочлен имеет своим корнем рациональное число, то
это число целое.
Отметим, что при решении целых рациональных уравнений выполняемые
преобразования приводят к уравнению, равносильному данному, поэтому проверка
найденных корней необязательна. Решение дробно–рационального уравнения вида
 P( x )  0,
P( x )
что позволяет избежать
 0 сводится к решению равносильной системы 
Q( x )
Q( x )  0,
появления лишних корней.
При решении рациональных (и других) уравнений основными методами являются:
разложение на множители; введение новых переменных.
Метод разложения на множители заключается в следующем:
если f ( x )  f1( x )  f 2 ( x ) f n ( x ) , то всякое решение уравнения f ( x )  0 является
решением совокупности уравнений:
 f1 ( x )  0,
 f ( x )  0,
 2


 f n ( x )  0.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Пример 1. Решить уравнение:
x 3  2x 2  3x  6  0 .
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители. Имеем:
x ( x  2)  3( x  2)  0 , и далее: ( x  2)  ( x 2  3)  0 . Последнее уравнение равносильно
2
совокупности уравнений:
 x  2  0,
(1)
 2
x

3

0
.

Из первого уравнения совокупности (1) получаем: x1  2 . Второе уравнение не имеет
действительных корней. Найденный корень принадлежит ОДЗ.
Ответ: {–2}.
Пример 2. Решить уравнение:
x 2 1
x
 2  2,9 .
x
x 1
Решение: Найдем ОДЗ уравнения: х  0. Введем новую переменную t 
x 21
,
x
1
t
получим уравнение: t   2,9 . Умножим полученное уравнение на знаменатель ( t  0 ) и
перенесем все члены в левую часть: t 2  2,9t  1  0 . Решая квадратное уравнение,
получаем: t1 
5
2
, t2  . Возвращаемся к старым переменным. Для этого необходимо
5
2
решить следующую совокупность уравнений:
 x 2 1
 x 
 2
 x 1 
 x
5
,
2
2
5

2 x 2  2  5 x ,
 2
5x  5  2 x

2 x 2  5x  2  0,

 2
5x  2 x  5  0
 x  2; x  1
2
2,
 1
.

Найденные значения х принадлежат ОДЗ.
 
Ответ: 2;
1
.
2
Пример 3. Решить уравнение:
x2  x
x 2  x 2

 1.
x 2  x 1 x 2  x 2
Решение: Найдем ОДЗ уравнения
 x 2  x  1  0,  x  2,

.

 2
x


1
.


x  x  2  0
Введем новую переменную y  x 2  x , тогда уравнение примет вид:
y
y 2

 1.
y 1 y 2
Решаем его, приводя к общему знаменателю и перенося все слагаемые в левую часть:
y ( y 2 )( y 2 )( y 1) y 1( y 2 )
0
( y 1)( y 2 )


 y 2 4 y
0
( y 1)( y 2 )
 y 2  4 y  0,
 y 2  4 y  0,
 y( y  4)  0,





 y  1, y  2
 y  1, y  2
 y  1, y  2
 y  0, y  4,


y1  0; y2  4 .
y


1
,
y

2

Получаем два случая:
 x 2  x  0,
 2
 x  x  4
Найденные значения х принадлежат ОДЗ.
Ответ:  0;1 .

 x1  0; x2  1,
.


