Задачник

Задачник
Поговорим о задачах, собранных в разделе "Функции" в Открытом банке на странице
http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3.
Примеры являются одними из самых лёгких, в них просят просто посмотреть на картинку – ломаная
линия на графике, гистограмма, плавные линии на графике – и ответить на какой-то совершенно
простой вопрос.
Ошибаться в таких задачах никто не имеет никакого права.
Джендубаев Эдуард, 18 июля 2014 года.
***ВНИМАНИЕ!!!***
Разумеется, моя методичка содержит ошибки в предложенных решениях. Задача читателя состоит в
том, чтобы их отыскать и решить правильно все задачи. Без ошибок было бы не интересно, а зная,
что они есть, вы будете тщательнее проверять свои решения – самосовершенствоваться.
***СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!***
Функции
От страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3 и до конца страницы
http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3?page=7 под номерами 18831, 18833, ..., 18969 (всего
70) представлены задачи, не решить которые будет преступлением.
Задание №18831
На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с
6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в
градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какой
была наименьшая среднесуточная температура за указанный период. Ответ дайте в градусах
Цельсия.
Решение.
Нетрудно видеть, что наименьшая среднесуточная температура была 16 июля, трудно понять её
величину.
Для этого определим цену деления оси температур. Берем любые два деления, значения которых
указаны, находим их модуль разности. Полученное число делим на число одинаковых отрезков,
которые заключены между выбранными отметками.
(25 – 23) / 2 = 1.
Значит искомая температура 17 – 1 = 16.
Буду только счастлив, если вы сейчас усмехнулись над моими рассуждениями, дескать, задача и так
решается за секунду и безо всяких слов.
Ответ: 16.
Задание №18847
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за
каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в
градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в период с
мая по декабрь 1973 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение.
Надо понимать, что область нашего поиска заключена между столбцами 5 (май) и 12 (декабрь).
Видим, что глубже всех в область отрицательных температур залез 12-ый столбец, но отметка
температуры в соответствующем месяце не указана. А это значит, нам надо вновь определить цену
деления оси температур.
(12,0 – 8,0) / 2 = 2,0.
Значит температура в декабре была –4 –2 = –6. Не –6,0, а –6. Почему – потому что ,0 – незначащие
символы. Это всё равно, что вместо –6 написать –6,0000000000000000000000000000000. Числа
равны, но не надо играть со смертью – потерей верного балла.
Ответ: –6.
Задание №18877
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по
15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество
осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на
рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода не выпадало
осадков.
Решение.
Нас интересует горизонтальная линия с отметкой 0.
График пересекается с ней в четырёх точках: (5;0), (8;0), (9;0), (12;0). Их количество и запишем в
ответ.
Ответ: 4.
От страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3?page=8 и до середины страницы
http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3?page=18 под номерами 263597, 263598; 263599,
263601, ..., 263801 (всего 104) следуют абсолютно такие же, как и ранее рассмотренные, задачи.
Задание №263597
На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с
6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в
градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, какая
была температура 15 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение.
Цена деления оси температур равна 1 градусу.
Ответ: 16.
Задание №263599
На рисунке жирными точками показан курс австралийского доллара, установленный Центробанком
РФ, во все рабочие дни с 1 по 27 октября 2010 года. По горизонтали указываются числа месяца, по
вертикали — цена доллара в рублях. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией.
Определите по рисунку, какого числа курс доллара впервые равнялся 29,7 рубля.
Решение.
Вообще говоря, удобно в таких задачах орудовать чем-нибудь прямолинейным. На экзамене у вас
будут листы с ровными границами, ну я просто прикладываю линейку горизонтально к отметке 29,7
и встречаю жирную точку графика, которой соответствует (приложив уже линейку вертикально)
отметка 14.
Ответ: 14.
От середины страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3?page=18 и до начала
страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3?page=26 под номерами 263863 – 263866;
263867, 263869, ..., 264011 (всего 77) следуют задачи точно такого же смысла, как и ранее
разобранные.
Задание №263863
Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая на крылья, зависит
только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета. На оси
абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси ординат – сила (в тоннах силы).
Определите по рисунку, чему равна подъемная сила (в тоннах силы) при скорости 200 км/ч?
Решение.
Определив цены деления обеих осей, находим, что отметка 200 км/ч будет сразу после отметки 100
км/ч. Видно, что вертикальная линия этой отметки пересекает график в точке, с горизонтальной
отметкой 1.
Ответ: 1.
Задание №263877
На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту.
На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат — крутящий момент в Н⋅м.
Чему равен крутящий момент (в Н⋅м), если двигатель делает 1500 оборотов в минуту?
Решение.
Определив цену деления горизонтальной оси оборотов, находим, что отметке в 1500 об/мин
соответствует точка графика с ординатой (отметкой вертикальной оси крутящего момента) 60.
Ответ: 60.
Задание №263913
При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в электрической цепи
фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи от времени работы фонарика.
На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в часах, на вертикальной оси —
напряжение в вольтах. Определите по рисунку, какое напряжение будет в цепи через 2 часа работы
фонарика. Ответ дайте в вольтах.
Решение.
Ответ очевиден.
Ответ: 1,2.
Задание №264011
На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс
откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура
двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, за сколько минут двигатель нагреется
с 50∘C до 80∘C.
Решение.
Отметке 50 градусов соответствует отметка 3 минуты, 80 градусов – 7. Находим разность 7 – 3 = 4.
Ответ: 4.
От начала страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3?page=26 и до середины
страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3?page=33 под номерами 26863 – 26879;
26881, 27490, 27510 – 27513, 27515 – 27522; 27523, 27525, ..., 27541; 28711, 28713, ..., 28759; 28762 –
28765 (всего 70) представлены уже ставшие родными нам самые простые в ЕГЭ по математике
задачи.
Задание №26868
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали
указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия.
Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах
Цельсия.
Решение.
Наибольшая температура 22 января наблюдалась между 12:00 и 18:00 и была равна -10 градусов
Цельсия.
Ответ: –10.
Задание №26871
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по
15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество
осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на
рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало 5 миллиметров
осадков.
Решение.
Смотрим на горизонтальную линию отметки 5 миллиметров и замечаем жирную точку графика,
которой соответствует на оси дней число 11.
Ответ: 11.
Задание №27490
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−2;12). Найдите сумму
точек экстремума функции f(x).
Решение.
Эта задача явно "не из этой оперы", ей самое место в разделе "Начала математического анализа".
Забегая вперед скажу, что через какое-то время мы встретим еще множество таких задач.
Точка экстремума функции в терминах данной задачи – это абсцисса точки, в которой функция
меняет характер своего изменения – с возрастания на убывание или наоборот.
Попросту, точка экстремума функции – это абсцисса той точки графика, которая является или
вершиной горки, или дном впадинки.
Цену деления оси ординат определять нам не нужно, а вот оси абсцисс – обязательно.
|–2 –0| / 2 = 1.
Абсцисса вершины первой горки – х=1. Затем идёт впадинка, абсцисса её дна х=2. Снова горка – х=4.
Впадинка – х=7, горка – 9, впадинка – 10, горка – 11.
Теперь находим сумму этих чисел 1+2+4+7+9+10+11 = 44.
Задача довольно сложная, пришлось применить знание темы, которая называется "Производная",
много раз искать координату соответствующей точки, определить цену деления одной оси.
Ответ: 44.
Задание №27511
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде (Горьком) за
каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в
градусах Цельсия. Определите по диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в 1994 году.
Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение.
Цена деления оси температур 2.
Ответ: –14.
Задание №28711
На рисунке жирными точками показана средняя недельная аудитория поискового сайта Ya.ru во все
месяцы с декабря 2008 по октябрь 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали —
количество человек, посетивших сайт хотя бы раз за неделю (среднее за 4 недели месяца). Для
наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько было
таких месяцев за данный период, когда средняя недельная аудитория была меньше 2 миллионов.
Решение.
Видим, что ниже на горизонтальной линии отметки 2000000 находятся декабрь, месяц между
декабрем и февралем – январь, февраль, апрель, месяц между апрелем и июнем – май, июнь, месяц
между июнем и августом – июль, август и месяц между августом и октябрем – сентябрь.
Конечно, этого всего расписывать не надо было – просто захотелось пощеголять своим знанием
месяцев в году, надо было просто посчитать точки ниже отметки 2000000, их 9.
Ответ: 9.
Задание №28723
На диаграмме показано количество запросов со словом СНЕГ, сделанных на поисковом сайте
Yandex.ru во все месяцы с марта 2008 по октябрь 2009 года. По горизонтали указываются месяцы, по
вертикали — количество запросов за данный месяц. Определите по диаграмме, сколько было таких
месяцев за данный период, когда было сделано более 300 000 запросов со словом СНЕГ.
Решение.
Задание №28765
На диаграмме показано количество посетителей сайта РИА Новости во все дни с 10 по 29 ноября
2009 года. По горизонтали указываются дни месяца, по вертикали — количество посетителей сайта
за данный день. Определите по диаграмме, во сколько раз наибольшее количество посетителей
больше, чем наименьшее количество посетителей за день.
Решение.
Наибольшему количеству посетителей за день соответствует отметка 800000, наименьшему –
400000. Их частное равно 2.
Ответ: 2.
От середины страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3?page=33 и до середины
страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3?page=39 под номерами 323024; 323027,
323029, ..., 323075; 4С3292; 5327, 5329, ..., 5381 (всего 55) представлены всё те же задачи.
Задание №323024
На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006
год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место —
Казахстан. Какое место занимала Индонезия?
Решение.
Здесь надо просто расположить столбцы в порядке убывания высоты. США, Перу, Китай, Австралия,
Индонезия – на 5 месте.
Ответ: 5.
Задание №4C3292
На рисунке жирными точками показана цена золота на момент закрытия биржевых торгов во все
рабочие дни с 3 по 24 октября 2002 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали
— цена унции золота в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены
линией. Определите по рисунку наименьшую цену золота на момент закрытия торгов в указанный
период (в долларах США за унцию).
Решение.
Цена на золото была минимальной 21-го числа, 310 долларов США за унцию.
Ответ: 310.
Задание №5327
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали
указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по
рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Решение.
Наибольшая температура 22 января наблюдалась между 12:00 и 18:00 и была равна –10 градусов
Цельсия.
Ответ: –10.
От конца страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3?page=39 и до конца страницы
http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3?page=50 под номерами 7327, 7329, ..., 7549 (всего
112) следуют задачи "не из этой оперы" – на точки экстремума. Они чуть сложнее подавляющего
большинства задач раздела "Функции".
Задание №7327
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−2;12). Найдите сумму
точек экстремума функции f(x).
Решение.
Эту задачу мы уже решили раньше, правда тогда она была под номером 27490.
Ответ: 44.
Задание №7549
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−5;7). Найдите сумму
точек экстремума функции f(x).
Решение.
Точка экстремума функции в терминах данной задачи – это абсцисса точки, в которой функция
меняет характер своего изменения – с возрастания на убывание или наоборот.
Попросту, точка экстремума функции – это абсцисса той точки графика, которая является или
вершиной горки, или дном впадинки.
Горка – х= –4, впадинка – х= –1, горка – х=0, впадинка – х=2, горка – х=3, впадинка – х=5, горка –
х=6. В сумме 11.
Ответ: 11.
От конца страницы http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3?page=50 и до страницы
http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3?page=57 под номерами 77159, 77161; 77165, 77167,
..., 77173; 77179, 77183, ..., 77239; 77243, 77245, 77265; B31A4, B4370F, BD0500, F5B331 (всего 58)
следуют обыкновенные задачи, коих мы уже решили великое множество.
Задание №77159
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших Якутске с 18 по
29 октября 1986 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество
осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на
рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа в первый раз за указанный период
выпало 0,5 миллиметров осадков.
Решение.
22-го числа.
Ответ: 22.
Задание №77179
На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Пскове каждый день
с 15 по 28 марта 1959 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в
градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку,
сколько дней из данного периода среднесуточная температура была от 2 до 7 градусов Цельсия.
Решение.
Определив цену деления оси температур, считаем количество точек, которое находится в полосе,
заключающей горизонтальными линиями отметок 2 и 7. Таких точек 7, включая 28-ое число.
Ответ: 7.
Задание №77199
На рисунке жирными точками показано количество запросов со словом ЖАРА, сделанных на
поисковом сайте Yandex.ru во все месяцы с марта 2008 по октябрь 2009 года. По горизонтали
указываются месяцы, по вертикали — количество запросов за данный месяц. Для наглядности
жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько месяцев из данного
периода количество запросов со словом ЖАРА было от 56000 до 72000.
Решение.
Действуем аналогично предыдущей задаче.
Ответ: 9.
***************************************************************************************
В подобных задачах доверяйте жирным точкам, не стесняйтесь пользоваться линейкой.
Было рассмотрено 546 задач. Притом отложено было новых 9 задач и встречено 9 ранее отложенных
в других разделах.
Среди отложенных были задачи части С, здесь их не будет.
Итого 564.
Ошибка составила
Ошибка ФИПИ – задачи под номерами 7327 и 27490 полностью совпадают.
Спасибо всем, кто прочитал мою работу.
Джендубаев Эдуард, 19 июля 2014 года.
***************************************************************************************
Я надеюсь, что вы посетили сайт http://opengia.ru/subjects/mathematics-11/topics/3 и увидели внизу
страницы мелким шрифтом "Использование материалов открытого банка в коммерческих целях
запрещено". Поэтому, я не имею никакого права ни у кого просить вознаграждения. В то же время,
любой труд должен быть оплачен ☺. Мой телефон +7 963 170 43 67.