2.1.6. Векторная алгебра (комплект №2)

ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
2.1.6. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 1
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r
2m ⋅ n + 4n 2 + 1
3. Упростить:
r
r r r r r
построить векторы a + b ; a − b ; 3a − 2b .
r 1 r
r r
r
r
r∧ r
( 2m + n ) × ( n − 2m ) , если m = , n = 6 , ( m n ) = 60° .
3
и
r r
r r r
r
а) a × (b + 2c ) + c × ( a − 2c ) ;
r r
r r r r r r
б) 2(i + j ) ⋅ k − 3i ⋅ ( k + j ) − ( k + i ) 2 ;
r r
r r
r r r r r r
в) 2(i + j ) × k + 3i × ( k + j ) − ( k + i ) × ( k + i ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (1; − 2; γ ) , b = (3; β ; 4) , c = (α ; 0; 2) , d = (α ; 4; − 2) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v r
б) Пр gr f , если g = 2a + d , f = b − c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r
r
r r
5. Силы f1 = 4i + 3 j − 2k , f 2 = i + j приложены к
равнодействующей этих сил относительно точки O (0; − 1; 0) .
точке
A(0; 1; 2) .
Найти
момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (4; − 1; 0) при перемещении материальной точки из
положения A(0; 1; 2) в положение B(0; − 4; 2) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (0; − 4; 3) , A2 (7; 3; 0) , A3 (−1; 2; 3) , A4 (3; 0; 2) . Сделать
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ;
г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 2i − 4 j и b = i + 8 j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(1; − 2; 3) , B(0; 1; 2) , C (1; − 1; 1) , D(−1; 2; 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM
= 3;
MD
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 2
2. Найти
r
r r r r r
построить векторы a + b ; a − b ; 2a − 3b .
r
иb
r
1. По векторам a
r r
r r r
3m ⋅ ( n + m) + (4m + n ) ⋅ n + 2
r
r r
r
r∧ r
π
r
m × ( 4m − n ) , если m = 2 , n = 2 , ( m n ) = .
3
и
r r r r r
r r
3. Упростить: а) a × (c − 2b ) + c × ( a + b − c ) ;
r r r
r r
r r r
б) 2( k + j ) ⋅ i − 2 j ⋅ ( k + i ) + (k − i ) 2 ;
r r r
r r
r r
r r r
в) ( k + j ) × i − 2 j × ( k + i ) + ( k + i ) × ( k − i ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (1; − 2; γ ) , b = (β ; 2; 1) , c = (α ; 2; 1) , d = (α ; 0; − 4 ) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v
r
б) Пр gr f , если g = 2a − d , f = b + 2c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r r
r r
r
5. Силы f1 = 2i + 3k , f 2 = i + j приложены к точке A(0; − 2; 3) . Найти момент равнодействующей
этих сил относительно точки O (1; 2; 4) .
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (0; 4; 3) при перемещении материальной точки из
положения A(0; 1; 2) в положение B(−3; 4; 2) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (0; 1; 2) , A2 ( −1; 3; 4) , A3 (0; 4; 3) , A4 (1; 0; − 1) .
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
Найти: а) длину ребра A1 A2 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоту, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 2 j + 3k и b = i − j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(0; 1; 2) , B(−1; 2; 4) , C ( 2; − 4; 3) , D(0; 1; 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM
= 2;
MD
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 3
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r r r r 1r 3r
построить векторы a + b ; a − b ; a − b .
4
2
r
r r
m 2 + n2 − m ⋅n
и
r
r
r r
r
r
r∧ r
( 2m − 3n ) × ( n − m) , если m = 2 , n = 0.2 , ( m n ) = 45° .
r r r r r r
3. Упростить: а) ( a + b ) × b − a × (b + c ) ;
r r
r r
r r r r r r
б) (i + j ) 2 − 3i ⋅ j + 4i ⋅ ( j + k ) + k ⋅ (i − j ) ;
r r
r r
r r
r r r
в) (i + j ) × (i + j ) − 3i × j + 4i × ( j + k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (γ ; − 3; 4) , b = (2; β ; 3) , c = (α ; 0; 4 ) , d = (α ; 2; − 4) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r r v r
r
r
б) Пр gr f , если g = 2a − 3d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r
r r
r
5. Силы f1 = 4i + 2 j − k , f 2 = −i + 2k приложены к
равнодействующей этих сил относительно точки O (−1; 2; 3) .
точке
A(−3; 0; 4) .
Найти
момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (1; 2; 3) при перемещении материальной точки из
положения A(−1; 2; 4) в положение B( 4; − 2; 3) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (2; − 1; 3) , A2 ( 4; 3; 0) , A3 ( −1; 3; 4) , A4 (0; 1; − 3) . Сделать
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
8. На векторах a = −2i + 4 j и b = − j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(1; − 2; 4) , B(0; 1; 2) , C (−1; 1; 2) , D(1; − 1; 4) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 1
= ;
MD 2
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 4
r
иb
r
1. По векторам a
r
r r
r r 1r
построить векторы a + b ; − a − b ; a − 3b .
2
r r
r
r
r
r
r
r
r
r∧ r
2. Найти ( 2m − 3n ) 2 + 4m 2 + 8 и (8m − n ) × ( n − 3m) , если m = 2 , n = 4 , ( m n ) = 90° .
r r r r
r
r r r r
3. Упростить: а) ( 2a + 3b + c ) × b + ( a − 2c ) × c + c × a ;
r
r r r
r
r
r r
б) (i − 2k ) 2 + 4i ⋅ ( j − 2k ) + k ⋅ ( j − 2k ) ;
r
r
r r r
r
r
r r
в) (i − 2k ) × (i + 2k ) + 4i × ( j − 2k ) + k × j .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (− 4; γ ; 3) , b = (β ; 4; 8) , c = (α ; 1; 2) , d = (2; α ; 4) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r r v r
r
r
б) Пр gr f , если g = 3a − 4d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r
r
r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r
r r
r
5. Силы f1 = 4 j − 2k , f 2 = i + 2 j + k приложены к
равнодействующей этих сил относительно точки O (−3; 0; 1) .
точке
A(2; − 1; 0) .
Найти
момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (0; 4; − 2 ) при перемещении материальной точки из
положения A(4; − 1; 3) в положение B(−2; 3; 2) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 ( 2; − 3; 4) , A2 (−1; 0; − 3) , A3 (2; 2; − 1) , A4 (1; 0; 2) . Сделать
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
8. На векторах a = −i + 2 j и b = 4 j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A( 2; 1; 4) , B(−1; 0; 2) , C (−2; 3; 4) , D(1; 1; − 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 1
= ;
MD 3
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 5
r
иb
r
1. По векторам a
r
r r r r 1r
построить векторы a + b ; a − b ; a + 2b .
3
r
r r
r
r
r
r r
r 1 r
r∧ r
2. Найти ( m − 2n ) ⋅ (m + 3n ) − 2 и ( m − 2n ) × ( n + m) , если m = , n = 3 , ( m n ) = 60° .
2
r r r r r
r
r r
3. Упростить: а) ( a − 3b + c ) × a + ( a + b ) × (c + b ) ;
r r r r
r r r
r r
б) (i + j ) ⋅ ( k − j ) − 2i ⋅ ( j + k ) + (i − j ) 2 ;
r r
r r
r r r r r r
в) (i + j ) × ( k − j ) − 2i × ( j + k ) + k × (i − j ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (γ ; 3; − 1) , b = (2; β ; 3) , c = (α ; 0; 4 ) , d = (− 1; 5; α ) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r r v r
r r
б) Пр gr f , если g = a − 3d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r
r
r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r r r
r r r
5. Силы f1 = 3i − j + k , f 2 = −2i + j − k приложены к точке
равнодействующей этих сил относительно точки O (2; 0; 4) .
A(−2; 4; 0) . Найти момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (4; 2; − 3) при перемещении материальной точки из
положения A(−2; 0; 1) в положение B( 2; 1; 3) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 ( 2; 4; 0) , A2 (3; − 1; 2) , A3 (1; − 2; 3) , A4 ( 2; 0; 3) . Сделать
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 2i + 3 j и b = i − 4 j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(1; − 2; 4) , B(−1; 3; 1) , C (0; 1; 2) , D(1; 4; 3) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM
= 4;
MD
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 6
r
иb
r
1. По векторам a
r
r r r r r
построить векторы a + b ; a − b ; a − 3b .
r∧ r
r
r r
r
r
r
r
r
r
r
2. Найти ( m − 4n ) ⋅ (m − 4n ) − 8 и ( m − 4n ) × (n + 4m ) , если m = 1 , n = 3 , ( m n ) = 30° .
r r r r r r
r
3. Упростить: а) b × ( a − c ) + c × ( a − b + 2c ) ;
r r
r r
r
r r r r
б) ( k + j ) 2 − i ⋅ ( j − 2i ) + ( j + k ) ⋅ (k − j ) ;
r r
r r r r
r r
r
r r
в) ( k + j ) × ( k + j ) − i × ( j − 2i ) + ( k − j ) × ( j + k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (1; 10; γ ) , b = (β ; − 1; 4 ) , c = (α ; − 1; 2) , d = (2; α ; 4 ) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v r
б) Пр gr f , если g = 2a − d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r
r
r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r
r r
r
r
5. Силы f1 = 3i + j − 2k , f 2 = i − 2 j + 4k приложены к точке
равнодействующей этих сил относительно точки O (−4; 3; 0) .
A(2; − 1; 3) . Найти момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (4; 2; − 1) при перемещении материальной точки из
положения A(−1; 0; 3) в положение B(−3; 4; 0) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 ( −1; 0; 3) , A2 ( 2; 3; 4) , A3 ( 2; − 1; − 2) , A4 (2; 4; − 3) . Сделать
чертеж и найти:
а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = −i + 2 j и b = 4i − j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(−1; 2; 4) , B(1; − 1; 2) , C (0; 1; 4) , D(−1; 2; 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM
= 3;
MD
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 7
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r r
r r r
построить векторы a + b ; − a − b ; 2a − 4b .
r 1 r∧ r
r
r
r r
r
( n + 4m) × ( 2m − n ) , если m = 4 , n = , ( m n ) = 120° .
3
r r r
r
( 2m − n ) ⋅ (n − 2m ) + 3 и
r r r r r r r r
3. Упростить: а) a × ( a + b + c ) + b × ( a − b − c ) ;
r
r r
r
r r
r r r
б) ( j − 2i ) ⋅ ( j + 2i ) + (3 j + k ) 2 + i ⋅ ( k − j ) ;
r
r
r
r
r r
r r r r
в) ( j + 2i ) × ( j − 2i ) + (3 j + k ) × (3 j + k ) + i × k .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (γ ; 4; − 3) , b = (1; β ; 2) , c = (α ; 2; − 1) , d = (2; α ; − 3) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
v r
r
r r r
б) Пр gr f , если g = 2a − d , f = 3b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r r r r r r r
5. Силы f1 = i + j − k , f 2 = j + k приложены к точке A(−1; 2; 3) . Найти момент равнодействующей
этих сил относительно точки O (−1; 2; 4) .
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (0; − 4; 3) при перемещении материальной точки из
положения A( −1; − 2; 4) в положение B(0; 1; 2) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (0; − 1; 2) , A2 (4; 2; − 3) , A3 ( −1; 0; 2) , A4 (1; 2; 3) . Сделать
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = −i + 2 j и b = −4i − j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(0; 1; 2) , B(−1; 4; 1) , C (1; 2; − 2) , D (0; 1; 2) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 2
= ;
MD 3
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 8
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r r
r r 1r
построить векторы a + b ; − a − b ; a + 3b .
2
r r r
r
r
r
r
r∧ r
3 r r
m ⋅ n + 4(m + 2n ) 2 − 3 и ( 4n + m) × n , если m = 8 , n = 3 , ( m n ) = 150° .
2
r r
r r
r r
r r r
3. Упростить: а) ( a − b ) × (a + b ) + (b + c ) × ( a + b + c ) ;
r
r r
r r r
r r
б) (i − 3 j ) ⋅ k − (2 j + i ) ⋅ i + 2( j + k ) 2 ;
r
r r
r r r
r r
r r
в) (i − 3 j ) × k − (2 j + i ) × i + 2( j + k ) × ( j + k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (γ ; 4; − 3) , b = (1; β ; 7 ) , c = (α ; 4; 0 ) , d = (3; α ; 7 ) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r r
v r
r
r
б) Пр gr f , если g = 3a + 5d , f = −b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r
r
r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r r r
r
5. Силы
f1 = 3i + j − k , f 2 = j − 8k приложены к точке
равнодействующей этих сил относительно точки O (−3; 4; 0) .
A(−7; 8; 3) .
Найти
момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (1; 0; 4) при перемещении материальной точки из
положения A(−1; 3; 4) в положение B(1; 0; 2) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 ( −1; 3; 4) , A2 (0; 1; 3) , A3 (1; 4; 7) , A4 ( −2; 4; 3) . Сделать
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 2i − j и b = −3i + j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(−1; 2; 3) , B(−2; 1; 4) , C (0; 1; 3) , D(0; 1; 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 2
= ;
MD 5
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 9
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r r
2n 2 − 1 + 3m ⋅ n
r
r r r r
r
построить векторы 2a + 3b ; a − b ; 2a − 3b .
и
r∧ r
r r
r
r
r
r
( 2m − n ) × (n + 2m ) , если m = 1 , n = 2 , ( m n ) = 30° .
r
r r
r r r
3. Упростить: а) c × (b + 2c ) + c × ( a − 2b ) ;
r r
r r r
r r r
б) j ⋅ ( k − 3i ) + ( k − j ) 2 + 2k ⋅ ( k + i ) ;
r r
r r
r r r
r r r
в) j × ( k − 3i ) + ( k − j ) × (k − j ) + 2k × ( k + i ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (γ ; 2; − 8) , b = (2; β ; − 1) , c = (α ; 2; − 2 ) , d = (4; α ; 3) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r r
v
r r
r
б) Пр gr f , если g = a + 4d , f = −b + 2c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r
r
r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r r r
r
r
r
r
r r
5. Силы f1 = 4k , f 2 = 3 j − k , f 3 = i + j − 2k приложены к точке A(−1; 2; 4) . Найти момент
равнодействующей этих сил относительно точки O (0; 0; 0) .
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (4; 1; − 2) при перемещении материальной точки из
положения A(4; 3; − 1) в положение B(0; − 1; 1) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 ( −1; 2; 3) , A2 (0; 4; 3) , A3 (0; 2; 3) , A4 (0; 1; 0) . Сделать чертеж
и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 4i − j и b = −3i + 2 j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(1; − 1; 2) , B(0; 1; 2) , C ( 4; 2; 0) , D(1; 0; 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 1
= ;
MD 2
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 10
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r r r r r 1r
построить векторы a + b ; a − b ; 3a − b .
2
r r
r r
r r
r
r
r
r
r
r∧ r
( 2n + m) ⋅ (3m − n ) + 5n ⋅ m − 1 и ( 2n − 4m ) × m , если m = 8 , n = 4 , ( m n ) = 90° .
r r
r r r
r
3. Упростить: а) a × (b + 2c ) + c × ( a − 2c ) ;
r r r
r r
r
r
r
б) i ⋅ ( j + 4k ) − j ⋅ ( k − 2i ) + 4( j + 2i ) 2 ;
r r r
r r
r
r
r
r
r
в) i × ( j + 4k ) − j × ( k − 2i ) + 4( j + 2i ) × ( j + 2i ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (1; γ ; 8) , b = (β ; 4; 7 ) , c = (α ; 8; 1) , d = (7; α ; − 8) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
v
r r r r
r
б) Пр gr f , если g = a + d , f = 3b − 2c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r r
r r
r
r
r
r
r
5. Силы f1 = 4i + 3 j − 4k , f 2 = i − 4 j + 8k , f 3 = −7i приложены к точке A(−1; 14; 5) . Найти момент
равнодействующей этих сил относительно точки O (−2; 4; 7) .
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (4; 8; − 7 ) при перемещении материальной точки из
положения A(−1; 8; 7) в положение B( 2; 1; 4) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 ( −1; 0; 4) , A2 (4; 2; 5) , A3 (1; 2; 3) , A4 (3; − 2; 1) . Сделать
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = −i + 4 j и b = 3i + 2 j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(1; 2; − 1) , B(0; 1; 4) , C (−1; 0; 1) , D(1; 1; 2) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 3
= ;
MD 2
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 11
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r
r
r r r
построить векторы a + 3b ; − a − b ; a − 2b .
r r
r
r
4n ⋅ m + 7( m − 2 n ) 2 и
r
r
r
( m − 2 n ) × 3m ,
r
r
r∧ r
если m = 12 , n = 7 , ( m n ) = 45° .
r r r r r r
3. Упростить: а) c × (b + a ) + b × (b − c ) ;
r
r r
r
r r
r r
б) i ⋅ ( j + 4k ) − ( 2 j − i ) 2 + k ⋅ ( j + 8k ) ;
r
r
r r
r r
r r r r
в) i × ( j + 4k ) − ( 2 j − i ) × (2 j − i ) + k × ( j + 8k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (− 12; γ ; 8) , b = (β ; 7; 11) , c = (α ; 4; − 1) , d = (3; α ; 0) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v r
б) Пр gr f , если g = 2a − d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
5. Силы f1 = 4i + j − 2k , f 2 = j + 3k , f 3 = i − 2 j приложены к точке A(−2; 4; 0) . Найти момент
равнодействующей этих сил относительно точки O (0; 0; 1) .
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (2; 1; 0 ) при перемещении материальной точки из
положения A(−1; 2; 0) в положение B( 2; 1; 4) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 ( −4; 0; 3) , A2 (0; 1; 4) , A3 ( −2; 3; 1) , A4 (2; 4; 3) . Сделать
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 12i − 3 j и b = −3i + 4 j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(1; − 2; 3) , B(0; 1; 4) , C (−2; 1; 3) , D(0; 1; 3) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 2
= ;
MD 3
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 12
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r r r r
r
r
построить векторы a + 2b ; a − b ; 4a − 3b .
r r
r
r
1 + 4n ⋅ m + ( m + 2n ) 2
и
r
r
r r
( n + 4m) × ( n − m) ,
r 1 r∧ r
r
если m = 3 , n = , ( m n ) = 120° .
3
r r
r r r
r r
3. Упростить: а) a × ( a + 2b − c ) + (b + a ) × c ;
r r
r r r
r
r r
б) k ⋅ (i + 2 j ) − (i + j ) ⋅ 4k − ( j + k ) 2 ;
r r
r r r
r
r r
r r
в) k × (i + 2 j ) − (i + j ) × 4k − ( j + k ) × ( j + k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (2; 4; γ ) , b = (3; β ; − 2) , c = (α ; 4; − 3) , d = (1; α ; 0) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v r
б) Пр gr f , если g = 3a − d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r r r r r r
r
5. Силы f1 = 4i + 3 j − k , f 2 = i + j , f 3 = −4i + 3k приложены к точке A(−3; 4; 0) . Найти момент
равнодействующей этих сил относительно точки O (0; 0; − 1) .
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (4; 1; − 3) при перемещении материальной точки из
положения A(−3; 1; 0) в положение B(3; 4; 2) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (−2; 1; 4) , A2 (0; 3; 4) , A3 ( 2; 1; 4) , A4 (7; 1; 3) . Сделать чертеж
а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
и найти:
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 2i − 3 j и b = −i + j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(2; − 1; 0) , B(0; 1; 4) , C (−1; 3; 2) , D (0; 1; 2) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 2
= ;
MD 3
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 13
r
1. По векторам a
2. Найти
r
иb
r
r r r
r
r
построить векторы − a + 2b ; a − b ; − 4a + 3b .
r r
r
1 + 4n ⋅ m − 5n 2
r r
r
m × ( n − 3m ) ,
и
r∧ r
r
r
если m = 0.5 , n = 0.3 , ( m n ) = 30° .
r r
r r r
r
3. Упростить: а) a × (b + 2c ) + c × ( a − 2c ) ;
r r r r r
r r r
б) 2(i + j ) ⋅ k − ( k + i ) 2 − 3i ⋅ ( j + k ) ;
r r
r r r r r
r r r
в) 2(i + j ) × k − ( k + i ) × ( k + i ) − 3i × ( j + k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (γ ; 1; 2 ) , b = (1; β ; 3) , c = (α ; 0; 4 ) , d = (2; α ; 1) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
v r
r
r r r
б) Пр gr f , если g = 2a + d , f = 3b − c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r
r
r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r r
r
r r
5. Силы f1 = 3i − 2 j + k , f 2 = j − 4k приложены к
равнодействующей этих сил относительно точки O (2; 0; 0) .
точке
A(−1; 2; 3) .
Найти
момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (0; 1; 2) при перемещении материальной точки из
положения A(1; 2; 3) в положение B(−1; 2; 0) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 ( −4; 3; 0) , A2 (1; 2; − 1) , A3 ( −2; 1; 4) , A4 (0; 0; 1) . Сделать
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = −3i + 2 j и b = 3i + j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(0; 1; 3) , B(−1; 2; 1) , C (−3; 4; 2) , D (0; 1; 2) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 3
= ;
MD 4
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 14
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r r
2m 2 − 3n ⋅ m + 2
r
r 1r
r r
r
построить векторы − 2a + b ; − a − 3b ; a − 2b .
2
и
r
r
r r
( m + 2n ) × ( n − m) ,
r
r
r∧ r
если m = 0.25 , n = 0.1 , ( m n ) = 135° .
r r r r r r
3. Упростить: а) ( a + b ) × b − a × (b + c ) ;
r r
r r
r r r r r r
б) (i + j ) 2 − 3i ⋅ j + 4i ⋅ ( j + k ) + k ⋅ (i − j ) ;
r r
r r
r r
r r r r r r
в) (i + j ) × (i + j ) − 3i × j + 4i × ( j + k ) + k × (i − j ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (1; 3;γ ) , b = (β ; 4; 2 ) , c = (α ; − 4; 1) , d = (1; α ; − 2 ) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r r
v r
r
r
б) Пр gr f , если g = 3a + 2d , f = 2b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r
r
r
r r
5. Силы f1 = 2i + 5 j − 2k , f 2 = i − 3 j + k приложены к точке
равнодействующей этих сил относительно точки O (−1; 4; 2) .
A(0; 1; 3) . Найти момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (− 1; 2; 0) при перемещении материальной точки из
положения A(0; 4; − 3) в положение B(−2; 1; 4) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (0; 4; 3) , A2 ( −2; 3; − 1) , A3 (0; 1; − 2) , A4 ( 4; 3; 1) . Сделать
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 3i − 4 j и b = 2i + 3 j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(0; 1; 4) , B(−1; 3; 2) , C (1; 3; 4) , D (0; 1; 0) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 3
= ;
MD 4
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 15
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r
r
r
1r r
построить векторы a − 2b ; − 4a + 3b ; − a + b .
2
r r
r
r
7( m + n ) ⋅ ( 4n − 3m ) − 1
r
r
r
r
( m + 7 n ) × ( n − 4m ) ,
и
r
r
r∧ r
если m = 2 , n = 3 , ( m n ) = 90° .
r r r r r r r r r r
3. Упростить: а) ( a + c ) × b + a × (b + c ) + b × ( a − b − c ) ;
r r
r
r
r
r r r
б) (i − 3 j ) 2 + 4k ⋅ ( j − 2i ) + 4 j ⋅ ( 2i − k ) ;
r r
r
r
r r
r
r
r
r
в) (i − 3 j ) × (i − 3 j ) + 4k × ( j − 2i ) + 4 j × ( 2i − k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (γ ; 1; 4 ) , b = (2; 4; β ) , c = (α ; − 1; 4) , d = (2; 1; α ) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v r
б) Пр gr f , если g = 2a + d , f = b − c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r
r r
r
r
5. Силы f1 = 2i + j − 3k , f 2 = i − 3 j + 2k приложены к точке
равнодействующей этих сил относительно точки O (0; − 1; 0) .
A(−1; 2; 0) . Найти момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (4; 0; 1) при перемещении материальной точки из
положения A(0; 1; 2) в положение B(−1; 3; 4) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 ( −2; 0; 3) , A2 (2; 4; − 3) , A3 ( −1; − 4; 5) , A4 ( −1; 2; 1) . Сделать
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 4i + j и b = 2i − j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(0; 4; 3) , B(−1; 2; 1) , C (1; 3; 1) , D (0; 1; 0) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 1
= ;
MD 2
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 16
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r
r r r
1r
построить векторы 2a − b ; a + 2b ; − a + 3b .
2
r
r
r
r
( m + 3n ) ⋅ ( 2n − 4m) + 2
r
r
r
r
( m + 3n ) × ( n − 4m ) ,
и
r
r 1 r∧ r
если m = 2 , n = , ( m n ) = 45° .
2
r r r r
r r
r
3. Упростить: а) ( a + b ) × (b − a ) + c × (c + 2a ) ;
r
r
r r
r r
r r
б) (i + j ) 2 − ( k + 2 j ) ⋅ k − 4i ⋅ ( j − 2k ) ;
r
r
r r
r r
r r
r r
в) (i + j ) × (i + j ) − ( k + 2 j ) × k − 4i × ( j − 2k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (1; 2; γ ) , b = (γ ; 1; 3) , c = (α ; 4; − 1) , d = (2; − 1; α ) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v r
б) Пр gr f , если g = 2a − d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r
r
r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r r
r
r
5. Силы f1 = 3i + 2 j , f 2 = i − 2 j + k приложены к
равнодействующей этих сил относительно точки O (−2; 3; 1) .
точке
A(1; 3; − 1) .
Найти
момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (4; − 1; 3) при перемещении материальной точки из
положения A(0; 4; − 3) в положение B(−1; 2; 3) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (0; 4; − 1) , A2 (3; 0; 2) , A3 ( −1; 2; 1) , A4 (0; 2; 3) . Сделать
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 2i + j и b = −3i + j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(−1; 2; 4) , B(0; 1; 3) , C (−1; 2; 0) , D( 4; 3; 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 3
= ;
MD 2
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 17
r
иb
r
1. По векторам a
r
r
r
r
r
r
построить векторы a − 2b ; − 4a + 2b ; − 3a − 2b .
r
r
r
r
2. Найти ( m − 3n ) ⋅ ( 4n + 2m) + 3
и
r
r
r r
( m − 3n ) × (4n + m ) ,
r
r∧ r
r
если m = 0.1 , n = 2 , ( m n ) = 30° .
r r
r r
r r r
3. Упростить: а) a × ( a + 2b − c ) + ( a + b ) × c ;
r r r
r
r r
r r
б) (i − j ) 2 + 4i ⋅ ( j − 2k ) + k ⋅ ( k + 2i ) ;
r r r
r r
r r
r r
r
в) (i − j ) × (i − j ) + 4i × ( j − 2k ) + k × (k + 2i ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (γ ; 2; − 1) , b = (− 1; 3; β ) , c = (α ; 0; 2 ) , d = (1; α ; 3) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v r
б) Пр gr f , если g = 2a + d , f = b − c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r
r
r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r r r r
r r r r
r
r
5. Силы f1 = 2i − j + k , f 2 = i + 3 j − 4k , f 3 = i + k приложены к точке A(0; 1; 3) . Найти момент
равнодействующей этих сил относительно точки O (−2; 3; 0) .
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (− 1; 0; 1) при перемещении материальной точки из
положения A(0; − 1; 4) в положение B(−2; 3; 4) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (−1; 0; 2) , A2 (3; 4; 1) , A3 (0; 1; 4) , A4 ( −1; 2; 3) . Сделать
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 3i + 8 j и b = −4i + 2 j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(−1; 2; 0) , B( 4; 3; 2) , C (−3; 4; 2) , D(−3; 2; 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 3
= ;
MD 5
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 18
r
иb
r
1. По векторам a
r
r
r
r r
r
построить векторы − 3a + 2b ; − 2a + b ; − a + 2b .
r
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r∧ r
2. Найти ( m + 2n ) ⋅ (n + 3m ) − 4m 2 и ( m − 2n ) × ( n + 8m ) , если m = 1 , n = 3 , ( m n ) = 120° .
r r r r r r r r
3. Упростить: а) a × ( a + b + c ) + b × ( a − b − c ) ;
r
r r
r r r
r r
б) (i − 3 j ) ⋅ k − (2 j + i ) ⋅ i + 2(i + k ) 2 ;
r
r r
r r r
r r
r r
в) (i − 3 j ) × k − ( 2 j + i ) × i + 2(i + k ) × (i + k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (1; − 3; γ ) , b = (β ; 2; 5) , c = (α ; 1; 3) , d = (2; α ; − 1) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v r
б) Пр gr f , если g = 2a + d , f = b − c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r r
r
r r
r
r
5. Силы f1 = i + 2 j + 3k , f 2 = i − 3 j приложены к
равнодействующей этих сил относительно точки O (−2; 1; 4) .
точке
A(−2; 4; 3) .
Найти
момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (2; − 1; 5) при перемещении материальной точки из
положения A(−4; 3; 1) в положение B(1; 2; − 1) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 ( −2; 1; 3) , A2 (1; 0; − 3) , A3 ( 4; 2; 1) , A4 ( 2; 0; 1) . Сделать
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 4i + j и b = 2 j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(−2; 4; 3) , B(−1; 0; 1) , C (3; 4; 2) , D(−1; 2; 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 4
= ;
MD 3
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 19
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r r
r
r
1r
построить векторы − 3a − 3b ; a − 2b ; − a + 3b .
2
r
r
r
r
( m + 3n ) ⋅ ( 2n − 4m) + 2
r
r
r
r
( m + 3n ) × ( n − 4m ) ,
и
r
r 1 r∧ r
если m = 2 , n = , ( m n ) = 45° .
2
r r r r
r r
r
3. Упростить: а) ( a + b ) × (b − a ) + c × (c + 2a ) ;
r
r
r r
r r
r r
б) (i + j ) 2 − ( k + 2 j ) ⋅ k − 4i ⋅ ( j − 2k ) ;
r
r
r r
r r
r r
r r
в) (i + j ) × (i + j ) − ( k + 2 j ) × k − 4i × ( j − 2k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (1; 2; γ ) , b = (γ ; 1; 3) , c = (α ; 4; − 1) , d = (2; − 1; α ) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v r
б) Пр gr f , если g = 2a − d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r r
r
r
5. Силы f1 = 3i + 2 j , f 2 = i − 2 j + k приложены к
равнодействующей этих сил относительно точки O (−2; 3; 1) .
точке
A(1; 3; − 1) .
Найти
момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (4; − 1; 3) при перемещении материальной точки из
положения A(0; 4; − 3) в положение B(−1; 2; 3) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (0; 4; − 1) , A2 (3; 0; 2) , A3 ( −1; 2; 1) , A4 (0; 2; 3) . Сделать
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 2i + j и b = −3i + j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(−1; 2; 4) , B(0; 1; 3) , C (−1; 2; 0) , D( 4; 3; 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 3
= ;
MD 2
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 20
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r r
r
1r
r
построить векторы − 2a − 3b ; a − 4b ; − a + 6b .
4
r
r r
r
( m − 3n ) ⋅ ( n + 3m) + 4
r
r
r r
r
r
r∧ r
и ( m − 2n ) × (4n + m ) , если m = 4 , n = 2 , ( m n ) = 135° .
r r r r r r r r
3. Упростить: а) a × ( a + b + c ) + b × ( a − b − c ) ;
r
r
r r r
r
r r
r
б) (i + 2 j ) ⋅ (i − 2 j ) + ( k + 3 j ) 2 + i ⋅ ( k − j ) ;
r
r
r
r r r r
r
r
r
r
в) (i + 2 j ) × (i − 2 j ) + (k + 3 j ) × (k + 3 j ) + i × ( k − j ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (γ ; 4; 3) , b = (− 1; γ ; 2) , c = (α ; 4; 3) , d = (3; − 2; α ) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r r v r
r
r
б) Пр gr f , если g = 2a + 3d , f = b − c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r
r
r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r r
r r r r
r
5. Силы f1 = i + 4 j − 4k , f 2 = i − j приложены к точке A(2; 4; 0) . Найти момент равнодействующей
этих сил относительно точки O (−3; 4; 0) .
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (4; − 1; 3) при перемещении материальной точки из
положения A(0; 4; − 3) в положение B (4; 3; 8) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 ( −1; 2; 3) , A2 ( 4; − 3; 5) , A3 (0; 1; 2) , A4 (7; 3; 8) .
Сделать чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 3i + 4 j и b = −2 j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(0; 1; 4) , B(0; − 1; 3) , C ( 2; 1; − 3) , D(−1; 4; 3) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 1
= ;
MD 3
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 21
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r
r
r r r
построить векторы − 2a + b ; a − 3b ; − 3a − 4b .
r 1r
r
r
r 1 r∧ r
r r
r r
r
( m + n ) ⋅ ( 4n − 8m) − 3 и ( m − n ) × ( n + m ) , если m = 3 , n = , ( m n ) = 120° .
2
2
r r r r
r
r r r r
3. Упростить: а) ( 2a + 3b + c ) × b + ( a − 2c ) × c + c × a ;
r
r r r
r
r
r r
б) ( j − 2k ) 2 + 4i ⋅ ( j − 2k ) + k ⋅ ( j − 2k ) ;
r
r
r r r
r
r
r
r r
в) ( j − 2k ) × ( j − 2k ) + 4i × ( j − 2k ) + k × ( j − 2k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (2; 4; γ ) , b = (− 1; γ ; 8) , c = (− 4; α ; 3) , d = (8; 1; α ) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v r
б) Пр gr f , если g = 4a − d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r
r
r
r
r
5. Силы f1 = 3 j − 4k , f 2 = j + 3k , f 3 = 2i приложены к точке
равнодействующей этих сил относительно точки O (0; 0; 2) .
A(−1; 0; 3) . Найти момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (2; 1; − 1) при перемещении материальной точки из
положения A(−1; 0; 3) в положение B(1; 2; − 1) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (1; − 1; 2) , A2 ( −1; 4; 3) , A3 ( −7; 4; − 3) , A4 (0; 3; 2) . Сделать
чертеж и найти:
а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 3i − j и b = 4i + j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(−1; 2; 3) , B( 4; 3 0) , C (0; 1; 2) , D(−1; 0; 3) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 3
= ;
MD 5
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 22
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r
r
r r r
построить векторы − 2a + b ; 3a − 4b ; − a − 2b .
r
r r
r r
( m + n ) 2 + 2n ⋅ ( n + 3m) − 1
r 1 r∧ r
r r
r r
r
( m + n ) × ( n + m) , если m = 2 , n = , ( m n ) = 90° .
3
и
r r r r r r
r
3. Упростить: а) b × ( a − c ) + c × ( a − b + 2c ) ;
r r
r r r r
r r
r
б) ( k + j ) 2 − i ⋅ ( j − 2i ) + ( k − j ) ⋅ ( k + j ) ;
r r
r r r r
r r
r r
r
в) ( k + j ) × ( k + j ) − i × ( j − 2i ) + ( k − j ) × (k + j ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (γ ; 1; 8) , b = (2; β ; − 3) , c = (α ; 8; 3) , d = (4; α ; 2) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r r v r
r
r
б) Пр gr f , если g = 2a − 3d , f = b − c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r
r
r
r
5. Силы f1 = 2i + 3 j + 3k , f 2 = 2i − 4 j приложены к точке
равнодействующей этих сил относительно точки O (−1; 3; 4) .
A(−1; 0; 3) .
Найти
момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (− 2; 1; − 3) при перемещении материальной точки из
положения A(0; − 3; 1) в положение B(−1; 0; 3) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 ( −1; 0; 2) , A2 ( 4; 3; 2) , A3 ( 2; 1; 3) , A4 (3; 0; 1) .
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
Сделать чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = i + 3 j и b = −2i + j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(0; 1; 2) , B( 4; 3; − 1) , C (1; − 1; 0) , D(3; 0; 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 2
= ;
MD 5
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 23
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r 1r
r r r
построить векторы − 2a + b ; a − 3b ; 4a + b .
2
r r
r
r
r r
r r
r r
r
r
r∧ r
n ⋅ ( n + 2m) + m ⋅ (4n − m ) + 2 и ( 2m + n ) × ( 4n − m ) , если m = 4 , n = 2 , ( m n ) = 45° .
r
r r r r r r r
3. Упростить: а) b × ( a + b + c ) + a × (c − a − 2b ) ;
r
r r
r r r r
r
б) ( j + k ) 2 + j ⋅ ( k + i ) + i ⋅ (2 j − 3k ) ;
r
r r
r r r r r r
r
в) ( j + k ) × ( j + k ) + j × (k + i ) + i × ( 2 j − 3k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (γ ; 1; − 1) , b = (2; β ; 3) , c = (α ; 4; − 1) , d = (− 1; α ; 0) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v r
б) Пр gr f , если g = 2a − d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r
r
r
r
5. Силы f1 = i + 2 j + 2k , f 2 = −i + 2 j − 4k приложены к точке
равнодействующей этих сил относительно точки O (−1; 2; 4) .
A( 2; 1; 0) . Найти момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (4; 0; 1) при перемещении материальной точки из
положения A(4; 2; 3) в положение B(0; 1; − 1) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (1; 0; 2) , A2 (3; 4; − 1) , A3 (0; 4; − 1) , A4 (2; 3; 1) .
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
Сделать чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = i + 3 j и b = −2 j + k построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A( 2; 1; − 3) , B (4; − 1; 2) , C (3; − 4; 1) , D(−2; 1; 3) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 1
= ;
MD 3
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 24
r
иb
r
1. По векторам a
построить векторы
r r 1r
1r r r
a − b ; a + 2b ; a − b .
2
2
r∧ r
r r r r
r r
r r
r r
r
r
π
2. Найти ( m + n ) ⋅ m + n ⋅ ( 4n − m) и ( m + n ) × (4n − m) , если m = 2 , n = 1 , ( m n ) = .
3
r r r r r r
r r
3. Упростить: а) a × ( a + 2b + c ) + b × (a − b − c ) ;
r r
r
r r r r
r r
б) ( k + i ) 2 + i ⋅ ( j + 2k ) + (i − j ) ⋅ ( k + j ) ;
r r
r r r r
r
r r
r r
в) ( k + i ) × ( k + i ) + i × ( j + 2k ) + (i − j ) × ( k + j ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (γ ; − 1; 2 ) , b = (2; − 3; β ) , c = (α ; 1; 3) , d = (α ; 4; 2α ) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r r r r v r
б) Пр gr f , если g = a − d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r
r
r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r r r
r
r
r
r
r
5. Силы f1 = i + j − 3k , f 2 = i + 2 j + 2k приложены к точке
равнодействующей этих сил относительно точки O (1; 2; − 3) .
A(1; − 1; 4) . Найти момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (0; 2; 1) при перемещении материальной точки из
положения A(0; 1; 2) в положение B( 2; 4; 3) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (0; 1; 2) , A2 (1; − 1; 3) , A3 ( 4; − 2; 3) , A4 (0; 1; 0) .
Сделать чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = j + 2k и b = i − j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(1; 2; 3) , B(−4; 1; 0) , C ( 2; − 3; 0) , D(0; 1; 2) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 2
= ;
MD 5
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 25
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r r r r 1r
построить векторы a − b ; a + b ; a + 2b .
2
r
r
r
r
( m + 3n ) ⋅ ( 2n − 4m) + 2
r
r
r
r
r
r 1 r∧ r
( m + 3n ) × ( n − 4m ) , если m = 2 , n = , ( m n ) = 45° .
2
и
r r r r
r r
r
3. Упростить: а) ( a + b ) × (b − a ) + c × (c + 2a ) ;
r
r
r r
r r
r r
б) (i + j ) 2 − ( k + 2 j ) ⋅ k − 4i ⋅ ( j − 2k ) ;
r
r
r r
r r
r r
r r
в) (i + j ) × (i + j ) − ( k + 2 j ) × k − 4i × ( j − 2k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (1; 2; γ ) , b = (γ ; 1; 3) , c = (α ; 4; − 1) , d = (2; − 1; α ) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v r
б) Пр gr f , если g = 2a − d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r
r
r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r r
r
r
5. Силы f1 = 3i + 2 j , f 2 = i − 2 j + k приложены к
равнодействующей этих сил относительно точки O (−2; 3; 1) .
точке
A(1; 3; − 1) .
Найти
момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (4; − 1; 3) при перемещении материальной точки из
положения A(0; 4; − 3) в положение B(−1; 2; 3) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (0; 4; − 1) , A2 (3; 0; 2) , A3 ( −1; 2; 1) , A4 (0; 2; 3) .
Сделать чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 2i + j и b = −3i + j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(−1; 2; 4) , B(0; 1; 3) , C (−1; 2; 0) , D( 4; 3; 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 3
= ;
MD 2
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 26
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r
r r r
1r
построить векторы 2a − b ; a + 2b ; − a + 3b .
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r 1 r∧ r
( m + 3n ) ⋅ ( 2n − 4m) + 2 и ( m + 3n ) × ( n − 4m ) , если m = 2 , n = , ( m n ) = 45° .
2
r r r r
r r
r
3. Упростить: а) ( a + b ) × (b − a ) + c × (c + 2a ) ;
r
r
r r
r r
r r
б) (i + j ) 2 − ( k + 2 j ) ⋅ k − 4i ⋅ ( j − 2k ) ;
r
r
r r
r r
r r
r r
в) (i + j ) × (i + j ) − ( k + 2 j ) × k − 4i × ( j − 2k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (1; 2; γ ) , b = (γ ; 1; 3) , c = (α ; 4; − 1) , d = (2; − 1; α ) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v r
б) Пр gr f , если g = 2a − d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r
r
r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r r
r
r
5. Силы f1 = 3i + 2 j , f 2 = i − 2 j + k приложены к
равнодействующей этих сил относительно точки O (−2; 3; 1) .
точке
A(1; 3; − 1) .
Найти
момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (4; − 1; 3) при перемещении материальной точки из
положения A(0; 4; − 3) в положение B(−1; 2; 3) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (0; 4; − 1) , A2 (3; 0; 2) , A3 ( −1; 2; 1) , A4 (0; 2; 3) . Сделать
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 2i + j и b = −3i + j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(−1; 2; 4) , B(0; 1; 3) , C (−1; 2; 0) , D( 4; 3; 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 2
= ;
MD 5
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 27
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r
2m ⋅ n + 4n 2 + 1
r
r r r 1r r
построить векторы a + b ; a − b ; 3a − 4b .
2
r r
r
r
r 1 r
r∧ r
( 2m + n ) × ( n − 2m ) , если m = , n = 6 , ( m n ) = 30° .
3
и
r r
r r r
r
3. Упростить: а) a × (b + 2c ) + c × ( a − 2c ) ;
r r
r r r r r r
б) 2(i + j ) ⋅ k − 3i ⋅ ( k + j ) − ( k + i ) 2 ;
r r
r r
r r r r r r
в) 2(i + j ) × k + 3i × ( k + j ) − ( k + i ) × ( k + i ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (1; − 2; γ ) , b = (3; β ; 4) , c = (α ; 0; 2 ) , d = (α ; 2; − 1) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v r
б) Пр gr f , если g = 2a + d , f = b − c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r
r
r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r
r
r r
5. Силы f1 = 4i + 3 j − 2k , f 2 = i + j приложены к
равнодействующей этих сил относительно точки O (0; − 1; 0) .
точке
A(0; 1; 2) .
Найти
момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (4; − 1; 0) при перемещении материальной точки из
положения A(0; 1; 2) в положение B(0; − 4; 2) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (0; − 4; 3) , A2 (7; 3; 0) , A3 ( −1; 2; 3) , A4 (3; 0; 2) . Сделать
чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 2i − 4 j и b = i + 8 j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(1; − 2; 3) , B(0; 1; 2) , C (1; − 1; 1) , D(−1; 2; 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM
= 3;
MD
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 28
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r r r r r
построить векторы a + b ; a − b ; 2a − 3b .
r r
r r r
3m ⋅ ( n + m) + (4m + n ) ⋅ n + 2
r
r r
m × ( 4m − n ) ,
и
r
r∧ r
π
r
если m = 2 , n = 2 , ( m n ) = .
3
r r r r r
r r
3. Упростить: а) a × (c − 2b ) + c × ( a + b − c ) ;
r r r
r r
r r r
б) 2( k + j ) ⋅ i − 2 j ⋅ ( k + i ) + (k − i ) 2 ;
r r r
r r
r r
r r r
в) ( k + j ) × i − 2 j × ( k + i ) + ( k + i ) × ( k − i ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (1; − 2; γ ) , b = (β ; 2; 1) , c = (α ; 2; 1) , d = (α ; 0; − 4) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r
r r r v
r
б) Пр gr f , если g = 2a − d , f = b + 2c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r r
r r
r
5. Силы f1 = 2i + 3k , f 2 = i + j приложены к точке A(0; − 2; 3) . Найти момент равнодействующей
этих сил относительно точки O (1; 2; 4) .
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (0; 4; 3) при перемещении материальной точки из
положения A(0; 1; 2) в положение B(−3; 4; 2) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 (0; 1; 2) , A2 ( −1; 3; 4) , A3 (0; 4; 3) , A4 (1; 0 − 1) . Сделать чертеж
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
r
8. На векторах a = 2 j + 3k и b = i − j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(0; 1; 2) , B(−1; 2; 4) , C ( 2; − 4; 3) , D(0; 1; 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM
= 2;
MD
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 29
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r r r r 1r 3r
построить векторы a + b ; a − b ; a − b .
4
2
r
r r
m 2 + n2 − m ⋅n и
r
r
r r
( 2m − 3n ) × ( n − m) ,
r
r
r∧ r
если m = 2 , n = 0.2 , ( m n ) = 45° .
r r r r r r
3. Упростить: а) ( a + b ) × b − a × (b + c ) ;
r r
r r
r r r r r r
б) (i + j ) 2 − 3i ⋅ j + 4i ⋅ ( j + k ) + k ⋅ (i − j ) ;
r r
r r
r r
r r r
в) (i + j ) × (i + j ) − 3i × j + 4i × ( j + k ) .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (γ ; − 3; 4) , b = (2; β ; 3) , c = (α ; 0; 4 ) , d = (α ; 2; − 4) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r r v r
r
r
б) Пр gr f , если g = 2a − 3d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r
r r
r
5. Силы f1 = 4i + 2 j − k , f 2 = −i + 2k приложены к
равнодействующей этих сил относительно точки O (−1; 2; 3) .
точке
A(−3; 0; 4) .
Найти
момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (1; 2; 3) при перемещении материальной точки из
положения A(−1; 2; 4) в положение B( 4; − 2; 3) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 ( 2; − 1; 3) , A2 ( 4; 3; 0) , A3 ( −1; 3; 4) , A4 (0; 1; − 3) .
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
Сделать чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
8. На векторах a = −2i + 4 j и b = − j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A(1; − 2; 4) , B(0; 1; 2) , C (−1; 1; 2) , D(1; − 1; 4) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 1
= ;
MD 2
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.
ИрГУПС
Кафедра «Высшая математика»
2.1.6. Векторная алгебра
Комплект № 2
____________________________________________________________________________________
Вариант № 30
r
иb
r
1. По векторам a
2. Найти
r
r r
r r 1r
построить векторы a + b ; − a − b ; a − 3b .
2
r
r
r
( 2m − 3n ) 2 + 4m 2 + 8
r r
r
r
(8m − n ) × ( n − 3m) ,
и
r
r
r∧ r
если m = 2 , n = 4 , ( m n ) = 90° .
r r r r
r
r r r r
3. Упростить: а) ( 2a + 3b + c ) × b + ( a − 2c ) × c + c × a ;
r
r r r
r
r
r r
б) (i − 2k ) 2 + 4i ⋅ ( j − 2k ) + k ⋅ ( j − 2k ) ;
r
r
r r r
r
r
r r
в) (i − 2k ) × (i + 2k ) + 4i × ( j − 2k ) + k × j .
r
r
r r r r
r
r
4. Даны векторы: a = (− 4; γ ; 3) , b = (β ; 4; 8) , c = (α ; 1; 2 ) , d = (2; α ; 4) и a || b , c ⊥ d .
r r r r
Определить: а) координаты векторов a , b , c , d ;
r
r r v r
r
r
б) Пр gr f , если g = 3a − 4d , f = b + c ;
r
в) направляющие косинусы вектора a ;
r r r
г) компланарны ли векторы a , b , c ;
r
д) орт вектора d .
r
r
r
r
r r
r
5. Силы f1 = 4 j − 2k , f 2 = i + 2 j + k приложены к
равнодействующей этих сил относительно точки O (−3; 0; 1) .
точке
A(2; − 1; 0) .
Найти
момент
r
6. Найти работу, совершаемую силой F = (0; 4; − 2) при перемещении материальной точки из
положения A( 4; − 1; 3) в положение B(−2; 3; 2) .
7. Даны координаты вершин пирамиды A1 ( 2; − 3; 4) , A2 ( −1; 0; − 3) , A3 ( 2; 2; − 1) , A4 (1; 0; 2) .
б) угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;
Сделать чертеж и найти: а) длину ребра A1 A2 ;
в) площадь грани A1 A2 A3 ; г) объем пирамиды;
д) длину высоты, опущенной из вершины A4 .
r
r
r
r
r
8. На векторах a = −i + 2 j и b = 4 j построен параллелограмм. Найти площадь, углы и длины
диагоналей этого параллелограмма. Сделать чертеж.
9. Даны точки A( 2; 1; 4) , B(−1; 0, 2) , C (−2; 3; 4) , D(1; 1; − 1) .
Определить: а) AB ⋅ CD ;
б) AC × DA ;
в) AB BC DA ;
г) координаты точки М, делящей отрезок AD в отношении
AM 1
= ;
MD 3
д) лежат ли точки А, В, С, D в одной плоскости;
е) площадь ∆ABC , его углы и длину медианы, проведенной к стороне АВ.