Математика - Национальный минерально

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Национальный минерально-сырьевой университет «Горный»
УТВЕРЖДАЮ
______________
Ректор профессор
В.С. Литвиненко
ПРОГРАММА
вступительного испытания по математике
на направления подготовки
высшего образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2014
I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Арифметика, алгебра и начала анализа
1. Натуральные числа
N  .
Простые и составные числа. Делитель, кратное.
Наибольший общий делитель (НОД). Наименьшее общее кратное (НОК).
p

2. Целые числа Z , рациональные числа  ; p, q  Z  ; их сложение, вычитание,
q

умножение и деление. Сравнение рациональных чисел. Действительные числа R  , их
представление в виде десятичных дробей. Сравнение действительных чисел,
умножение и деление действительных чисел. Числовая прямая. Числовые промежутки.
Модуль действительного числа, его геометрический смысл.
3. Числовые выражения. Выражения с переменными. Тождественно равные
выражения. Формулы сокращенного умножения.
4. Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.
Десятичные логарифмы, их свойства.
5. Одночлен и многочлен, стандартный вид многочлена. Многочлен с одной
переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.
6. Понятие
функции.
Способы
задания
функции.
Область
определения,
множество значений функции. Понятие функции, обратной заданной. График
функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность.
7. Определение и основные свойства функций: линейной y  kx  b , квадратичной
y  ax 2  bx  c ,
логарифмической
степенной
y  ax n
показательной
y  ax ,
y  log a x , тригонометрических функций ( y  sin x ,
y  tg x ), арифметического корня
8. Уравнения.
n N  ,
Множество
n
a  0,
y  cos x ,
x n N  .
решений
уравнения.
Равносильные
уравнения.
Неравенства. Множество решений неравенства. Равносильные неравенства. Системы
уравнений и неравенств. Решение систем уравнений. Множество решений системы.
Равносильные системы уравнений.
9. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-го члена и суммы
первых n членов арифметической прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n
2
членов геометрической прогрессии.
10. Синус
и
косинус
суммы
и
разности
двух
аргументов
(формулы).
Преобразования в произведения сумм вида: sin a  sin b , cos a  cosb .
11. Определение производной функции y  f x  . Ее физический и геометрический
смысл.
Производные
от
элементарных
функций,
основные
формулы
дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций. Касательная
к графику функции.
12. Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке.
Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема
Ферма). Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значения
функции на промежутке.
13. Число e . Натуральные логарифмы.
14.Первообразная и интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление площади
криволинейной трапеции.
Геометрия
1. Прямая, луч, отрезок, ломанная; длина отрезка. Угол, величина угла.
Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг. Параллельные прямые.
2. Осевая и центральная симметрии. Параллельный перенос. Поворот.
3. Выпуклые фигуры. Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали. Оси и
центры симметрии многоугольников. Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота.
Виды
треугольников.
Средняя
линия
треугольника.
Четырехугольники:
параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция. Средняя линия трапеции.
4. Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр и радиус окружности. Касательная к
окружности. Дуга окружности. Круговой сектор. Центральные и вписанные углы.
Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и
площадь сектора.
5. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники.
Выражение стороны правильного многоугольника через радиус описанной около него
окружности.
6. Площадь
многоугольника.
Формулы
3
площадей
фигур:
треугольника,
прямоугольника,
параллелограмма,
ромба,
квадрата,
трапеции,
правильного
многоугольника (через радиус описанной около него окружности).
7. Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.
8. Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости. Параллельность
прямой и плоскости.
9. Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости. Двугранные углы.
Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярность двух плоскостей.
10. Многогранники. Вершины, ребра, грани и диагонали многогранника. Прямая и
наклонная призмы, пирамида. Правильные призма и пирамида. Параллелепипед.
Прямоугольный параллелепипед. Куб.
11. Тела вращения: цилиндр, конус, шар. Центр, диаметр и радиус шара.
Плоскость, касательная к сфере.
12. Площадь поверхности и объем многогранников и тел вращения. Площадь
поверхности и объем призмы, пирамиды, цилиндра, конуса и шара.
II. ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ
1. Производить арифметические действия над числами, заданными в виде
десятичных и обыкновенных дробей; с требуемой точностью округлять числа и
результаты вычислений.
2. Проводить тождественные преобразования многочленов, дробей (содержащих
переменные), выражений, содержащих степенные, показательные, логарифмические и
тригонометрические функции.
3.
Изображать графики линейной, квадратичной, степенной, показательной,
логарифмической и тригонометрических функций.
4. Решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и
неравенства, приводящиеся к ним; решать системы уравнений и неравенств первой и
второй степени и приводящиеся к ним (уравнения и неравенства, содержащие
степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции).
5. Решать задачи на составление уравнений и систем уравнений. Использовать
геометрические представления при решении алгебраических задач, методы алгебры и
тригонометрии при решении геометрических задач.
4
6. Изображать геометрические фигуры на плоскости и производить простейшие
построения в пространстве.
Рекомендуемая литература
1.Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобраз. учреждений / Ш. А.
Алимов и др. - М.: Просвещение, 2013.
2.Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие/ 5-е изд. –
М.: Высш. шк., 2008.
3.Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике// М.: АСТ, 2008.
4.Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для 6-10 классов средней школы.
Изд. Просвещение. 2013.
5