1. B 4 № 311318. В геометрической прогрессии известно, что

Вариант № 337816
1. B 4 № 311318. В геометрической прогрессии
пятый член этой про​грес​с ии.
Ре​ше​ние.
В силу фор​му​лы
имеем:
известно, что
. Найти
Ответ: 32.
2. B 4 № 137299. Одна из данных последовательностей
про​грес​с и​ей. Ука​ж и​те эту по​с ле​до​ва​тель​ность.
1)
2)
3)
является
геометрической
4) ; ; ; ; ...
Ре​ше​ние.
Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, первый член
которой отличен от нуля, а каждый последующий, равен предшествующему, умноженному на
одно и тоже отличное от нуля число. Поэтому геометрической прогрессией является
по​с ле​до​ва​тель​ность:
Таким об​ра​з ом, пра​виль​ный ответ ука​з ан под но​ме​ром 2.
Ответ: 2.
3. B 4 № 137303. В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше,
чем в преды​ду​щем. Сколь​ко мест в ряду с но​ме​ром n?
1)
2)
3)
4)
Ре​ше​ние.
Количество мест в рядах кинозала образуют арифметическую прогрессию. По формуле для
на​х ож​де​ния n-го члена ариф​ме​ти​че​с кой про​грес​с ии имеем:
Таким об​ра​з ом, пра​виль​ный ответ ука​з ан под но​ме​ром 1.
Ответ: 1.
4. B 4 № 137308. Выписано несколько последовательных членов арифметической
про​грес​с ии: …; 11; ; –13; –25; … Най​ди​те член про​грес​с ии, обо​з на​чен​ный бук​вой .
Ре​ше​ние.
Найдем
разность
арифметической
прогрессии:
Поэтому,
Ответ: −1.
5. B 4 № 314425. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии –
7,2; –6,9; …
Ре​ше​ние.
Опре​де​лим раз​ность про​грес​с ии:
Найдём вы​ра​ж е​ние для n-го члена про​грес​с ии:
.
Най​дем номер по​с лед​не​го от​ри​ца​тель​но​го члена про​грес​с ии:
Следовательно, чтобы найти сумму всех положительных членов данной арифметической
про​грес​с ии не​об​х о​ди​мо сло​ж ить её пер​вые 24 чле​нов.
Сумма n пер​вых чле​нов ариф​ме​ти​че​с кой про​грес​с ии даётся фор​му​лой
от​ку​да имеем:
Ответ: −90.
6. B 7 № 38. К окружности с центром в точке О проведены
касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности,
если AB = 12 см, AO = 13 см.
Ре​ше​ние.
Соединим отрезком точки O и B; полученный отрезок — радиус, проведённый в точку
касания с касательной, следствием чего является перпендикулярность OB и AB. Задача
сводится к нахождению катета OB прямоугольного треугольника AOB: по теореме Пифагора
катет равен 5.
Ответ: 5.
7. B 7 № 316283. В тре​у голь​ни​ке ABC угол C равен 90°, BC = 12 , tgA = 1,5. Най​ди​те AC.
Ре​ше​ние.
Тангенс угла равен отношению противолежащего углу катета к
при​ле​ж а​ще​му:
Ответ: 8.
8. B 7 № 311319. Найдите градусную меру
диа​метр, а гра​дус​ная мера
равна 18°.
, если известно, NP —
Ре​ше​ние.
Тре​у голь​ник MON — рав​но​бед​рен​ный. Тогда
.
Ответ: 144.
9. B 7 № 311503. В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину
угла
.
Ре​ше​ние.
По​с тро​и м OA и OC ра​ди​у ​с ы. Най​дем цен​траль​ный угол AOC:
Угол ABC — впи​с ан​ный и опи​ра​ет​с я на ту же дугу. Таким об​ра​з ом,
Ответ: 22,5.
10. B 7 № 311398. В окружности с центром
диаметры. Угол
равен 26°. Найдите угол
гра​ду​с ах.
Ре​ше​ние.
Так как
по
свойству
яв​ля​ет​с я цен​траль​ным, а
вписанного
угла
и
—
. Ответ дайте в
— вписанным и они опираются на одну дугу, то
.
Таким
, так как BD — диа​метр. Таким об​ра​з ом
Ответ: 128.
образом,
.
.
Найдем
11. B 8 № 169864. В прямоугольнике одна сторона равна 10, другая сторона равна 12.
Най​ди​те пло​щадь пря​мо​у голь​ни​ка.
Ре​ше​ние.
Пло​щадь пря​мо​у голь​ни​ка равна про​и з​ве​де​нию его смеж​ных сто​рон. Таким об​ра​з ом,
Ответ: 120.
12. B 8 № 311375. В равнобедренном треугольнике
вы​с о​та
.
.
Найдите
, если
Ре​ше​ние.
По тео​ре​ме Пи​фа​го​ра имеем:
Так как вы​с о​та в рав​но​бед​рен​ном тре​у голь​ни​ке вы​с о​та яв​ля​ет​с я ме​ди​а​ной, то
Ответ: 12.
13. B 8 № 169848. Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь
делённую на
.
Ре​ше​ние.
Так как в равностороннем треугольнике все стороны равны, то сторона данного
треугольника равна 10. Угол равностороннего треугольника равен
. Площадь треугольника
равна по​ло​ви​не про​и з​ве​де​ния сто​рон на синус угла между ними, имеем:
Ответ: 25.
---------В от​кры​том банке ир​ра​ци​о​наль​ный ответ.
14. B 8 № 143.
Найдите
изоб​ражённой на ри​с ун​ке.
площадь
трапеции,
Ре​ше​ние.
Площадь трапеции( ) ищется путём перемножения длины высоты и средней
линии(среднего арифметического двух оснований). В данной трапеции длина средней линии
равна
, а длина вы​с о​ты — 6, таким об​ра​з ом, пло​щадь тра​пе​ции равна:
Ответ: 36.
15. B 8 № 311411. Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Диагональ трапеции делит
сред​нюю линию на два от​рез​ка. Най​ди​те длину боль​ше​го из них.
Ре​ше​ние.
Пусть KN — сред​няя линия тра​пе​ции, где L — точка пе​ре​с е​че​ния с диа​го​на​лью.
Так как KN — сред​няя линия тра​пе​ции, то KL и LN сред​ние линии тре​у голь​ни​ков ABC и СAD
со​от​вет​с твен​но.
,
Ответ: 5.
16. B 11 № 146. На рисунке изображён график изменения атмосферного давления в городе
Энске за три дня. По горизонтали указаны дни недели, по вертикали — значения
атмосферного давления в миллиметрах ртутного столба. Укажите наименьшее значение
ат​мо​с фер​но​го дав​ле​ния в среду.
Ре​ше​ние.
Оче​вид​но, что ми​ни​маль​ное зна​че​ние дав​ле​ния в среду равно 752 мм рт. ст.
Ответ: 752.
17. B 11 № 314126. В таблице даны результаты забега мальчиков 8-го класса на дистанцию
60 м.
Номер
до​рож​ки
1
Время (с)
10,3 10,7 11,0 9,1
2
3
4
Зачёт выставляется, если показано время не хуже 10,5 с. Выпишите номера дорожек, по
ко​то​рым бе​ж а​ли маль​чи​ки, по​лу​чив​шие зачёт.
Если утвер​жде​ний не​с коль​ко, за​пи​ши​те их через точку с за​пя​той в по​ряд​ке воз​рас​та​ния.
Ре​ше​ние.
Зачёт выставляется если время забега составляет 10,5 с или меньше. Следовательно, зачёт
по​лу​чат маль​чи​ки, бе​ж ав​шие по до​рож​кам 1 и 4.
Ответ: 1; 4.
18. B 11 № 316350. На графике показано, сколько человек зарегистрировалось с 13 января
по 4 марта 2013 года в качестве участников конференции. По горизонтали указаны числа
ме​с я​цев, а по вер​ти​ка​ли — ко​ли​че​с тво че​ло​век.
Во сколь​ко раз воз​рос​ло ко​ли​че​с тво за​ре​ги​с три​ро​вав​ших​с я с 23 ян​ва​ря по 22 фев​ра​ля?
Ре​ше​ние.
Из графика видно, что число зарегестрировавшихся на 23 января состваляло 90 человек, а
22 фев​ра​ля — 270. Сле​до​ва​тель​но, число за​ре​ги​с три​ро​вав​ших​с я воз​рос​ло в 270 : 90 = 3 раза.
Ответ: 3.
19. B 11 № 311518. Из пункта A в пункт B вышел
пешеход, и через некоторое время вслед за ним выехал
велосипедист. На рисунке изображены графики
движения пешехода и велосипедиста. На сколько минут
меньше затратил на путь из A в B велосипедист, чем
пе​ше​х од?
Ре​ше​ние.
На путь из A в B пешеход потратил 60 минут. Велосипедист выехал в момент времени 20
минут, а прибыл в момент времени 50 минут, т. е. находился в движении 30 минут.
Сле​до​ва​тель​но, ве​ло​с и​пе​дист на​х о​дил​с я в дви​ж е​нии на 30 минут мень​ше пе​ше​х о​да.
Ответ: 30.
20. B 11 № 311357. На рисунке изображен график
полета тела, брошенного под углом к горизонту. По
вертикальной оси откладывается расстояние от земли (в
м), по горизонтальной оси — пройденный путь (в м). По
рисунку определите, на какой высоте будет находиться
тело в мо​мент вре​ме​ни, когда оно про​ле​тит 60 мет​ров.
Ре​ше​ние.
По гра​фи​ку видно, что когда тело про​ле​тит 60 мет​ров, оно будет на​х о​дить​с я на вы​с о​те 2 м.
Ответ: 2.
21. B 12 № 316288. Черешня стоит 150 рублей за килограмм, а виноград — 160 рублей за
ки​ло​грамм. На сколь​ко про​цен​тов че​реш​ня де​шев​ле ви​но​гра​да?
Ре​ше​ние.
Че​реш​ня де​шев​ле ви​но​гра​да на 160 − 150 = 10 руб​лей. Раз​де​лим 10 на 160:
Зна​чит, ви​но​град де​шев​ле ма​ли​ны на 6,25%.
Ответ: 6,25.
22. B 12 № 137245. Сберегательный банк начисляет на срочный вклад 20% годовых.
Вкладчик положил на счет 800 р. Какая сумма будет на этом счете через год, если никаких
опе​ра​ций со сче​том про​во​дить​с я не будет?
Ре​ше​ние.
Через год вклад​чик по​лу​чит 20 % до​х о​да, что со​с та​вит
руб.
Таким об​ра​з ом, через год на счете будет:
руб.
Ответ: 960.
23. B 12 № 137252. В начале года число абонентов телефонной компании «Север»
составляло 200 тыс. чел., а в конце года их стало 210 тыс. чел. На сколько процентов
уве​ли​чи​лось за год число або​нен​тов этой ком​па​нии?
Ре​ше​ние.
За год до​ба​ви​лось 210 − 200 = 10 тыс. або​нен​тов, что со​с тав​ля​ет 10 : 200 = 0,05 или 5 %.
Ответ: 5.
24. B 12 № 43. Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей.
Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых
и 12 школь​ни​ков?
Ре​ше​ние.
Сто​и ​мость по​езд​ки со​с тав​ля​ет:
руб.
Ответ: 1980.
25. B 12 № 121. Чайник, который стоил 800 рублей, продаётся с 5%-ой скидкой. При
покупке этого чайника покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он
дол​ж ен по​лу​чить?
Ре​ше​ние.
Стоимость чайника равна 800 − 0,05 · 800 = 760 руб. Значит, сдача с 1000 рублей составит
240 руб​лей.
Ответ: 240.
26. B 15 № 311391. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от
15 до 29 де​лит​с я на 5?
Ре​ше​ние.
Чисел от 15 до 29 - 15 штук. Среди них на 5 делится только 3 числа. Таким образом,
вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 15 до 29 делится на 5 равна
27. B 15 № 311512. В группе из 20 российских туристов несколько человек владеют
иностранными языками. Из них пятеро говорят только по-английски, трое только пофранцузски, двое по-французски и по-английски. Какова вероятность того, что случайно
вы​бран​ный ту​рист го​во​рит по-фран​цуз​с ки?
Ре​ше​ние.
Количество туристов, говорящих по-французски, равно 5. Поэтому вероятность того, что
слу​чай​но вы​бран​ный ту​рист го​во​рит по-фран​цуз​с ки равна
28. B 15 № 71. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из
Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется
жре​би​ем. Най​ди​те ве​ро​ят​ность того, что пер​вым будет стар​то​вать спортс​мен не из Рос​с ии.
Ре​ше​ние.
Вероятность благоприятного случая( ) — отношение количества благоприятных случаев к
количеству всех случаев. В данной задаче благоприятным случаем является старт спортсмена
не из России под номером 1. Всего благоприятных случаев 2 + 5 = 7, а количество всех случаев
13 + 2 + 5 = 20. От​но​ше​ние со​от​вет​с твен​но равно
Ответ: 0,35.
29. B 15 № 201. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из
Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или
Шве​ции.
Ре​ше​ние.
Всего благоприятных случаев 2 + 5 = 7, а количество всех случаев 13 + 2 + 5 = 20. Поэтому
ве​ро​ят​ность равна
Ответ: 0,35.
30. B 15 № 132734. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4 желтых и
7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику.
Най​ди​те ве​ро​ят​ность того, что к нему при​е​дет жел​тое такси.
Ре​ше​ние.
Вероятность того, что приедет желтая машина равна отношению количества желтых машин к
об​ще​му ко​ли​че​с тву машин:
Ответ: 0,2.
31. B 16 № 311535. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно
найти по формуле
, где
и
— катеты, а
Поль​з у​ясь этой фор​му​лой, най​ди​те , если
Ре​ше​ние.
Под​с та​вим в фор​му​лу из​вест​ные зна​че​ния ве​ли​чин:
Ответ: 3,2.
и
— гипотенуза треугольника.
.
32. B 16 № 316381. Полную механическую энергию тела (в джоулях) можно вычислить по
формуле
где
— масса тела (в килограммах),
— его скорость (в м/с),
—
высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем (в метрах), а
— ускорение свободного падения (в м/с 2). Пользуясь этой формулой, найдите
ки​ло​грам​мах), если
а
Ре​ше​ние.
Вы​ра​з им массу:
(в
Под​с та​вим зна​че​ния пе​ре​мен​ных:
Ответ: 7.
33. B 16 № 311543. Площадь любого выпуклого четырехугольника можно вычислять по
фор​му​ле
, если
Ре​ше​ние.
Вы​ра​з им
, где
— длины его диа​го​на​лей, а
угол между ними. Вычислите
.
:
Под​с тав​ляя, по​лу​ча​ем:
Ответ: 0,4.
34. B 16 № 311544.
Период
колебания
математического
маятника
(в секундах)
приближенно можно вычислить по формуле
, где — длина нити (в метрах).
Пользуясь данной формулой, найдите длину нити маятника, период колебаний которого
со​с тав​ля​ет 7 с.
Ре​ше​ние.
Вы​ра​з им длину ма​ят​ни​ка:
Под​с тав​ляя, по​лу​ча​ем:
Ответ: 12,25.
35. B 16 № 202. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях)
рассчитывается по формуле
, где — длительность поездки, выраженная в
ми​ну​тах
. Поль​з у​ясь этой фор​му​лой, рас​с чи​тай​те сто​и ​мость 8-ми​нут​ной по​езд​ки.
Ре​ше​ние.
Под​с та​вим в фор​му​лу зна​че​ние пе​ре​мен​ной :
Ответ: 183.