08010001 Линейная алгебра

1
2
3
1.
Цели и задачи дисциплины
1.1. Цель, задачи дисциплины, ее место в подготовке бакалавра, специалиста (с учетом требований
ФГОС)
Дисциплина «Линейная алгебра» является базовой дисциплиной математического цикла дисциплин
ФГОС ВПО по направлению «Экономика». Дисциплина является общим теоретическим
основанием для всех математических и естественно-научных дисциплин, входящих в ООП
бакалавра экономики.
Цели: оснастить студентов математическим аппаратом, необходимым для применения
математических методов в практической деятельности и в экономических исследованиях; дать
студентам базовые математические знания по линейной алгебре и аналитической геометрии,
необходимые для понимания математического анализа, теории вероятностей и других
математических дисциплин.
Задачи: теоретическое освоение студентами современных концепций и моделей математики;
приобретение практических навыков применения математического аппарата в экономике.
1.2.Требования к уровню усвоения дисциплины
Студент должен знать: основы линейной алгебры и аналитической геометрии, необходимые для
решения экономических задач.
Студент должен уметь: решать системы линейных уравнений; выполнять операции над матрицами
и векторами; составлять уравнения прямой, плоскости, кривых второго порядка; применять методы
линейной алгебры и аналитической геометрии для решения экономических задач.
Студент должен иметь представление о математике как особом способе познания мира, об
алгебраических структурах на множествах, о математическом моделировании.
У студента должны быть сформированы следующие общекультурные компетенции (ОК) и
профессиональные компетенции (ПК) : ОК-13 – владеть основными методами, способами и
средствами получения, хранения, переработки информации, иметь навыки работы с компьютером как
средством управления информацией, способностью работать с информацией в глобальных
компьютерных сетях; ПК-1 – способность собрать и проанализировать исходные данные,
необходимые для расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих
деятельность хозяйствующих субъектов; ПК-3- способностью выполнять необходимые для
составления экономических разделов ,планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты
работы в соответствии с принятыми в организации стандартами; ПК-4- способностью осуществлять
сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач.
1.3. Связь с другими дисциплинами Учебного плана
Перечень действующих и предшествующих
дисциплин
Экономическая теория
Теория игр
Перечень последующих дисциплин, видов
работ
Математический анализ
Теория вероятностей и математическая
статистика
Эконометрика
Выпускная квалификационная работа
(бакалаврская работа)
2. Содержание дисциплины, способы и методы учебной деятельности преподавателя
Методы обучения – система последовательных, взаимосвязанных действий, обеспечивающих усвоение содержания
образования, развитие способностей студентов, овладение ими средствами самообразования и самообучения; обеспечивают
цель обучения, способ усвоения и характер взаимодействия преподавателя и студента; направлены на приобретение знаний,
формирование умений, навыков, их закрепление и контроль.
Монологический (изложение теоретического материала в форме монолога)
Показательный (изложение материала с приемами показа)
Диалогический (изложение материала в форме беседы с вопросами и ответами)
Эвристический (частично поисковый) (под руководством преподавателя студенты
рассуждают, решают возникающие вопросы, анализируют, обобщают, делают выводы и
решают поставленную задачу)
Проблемное изложение (преподаватель ставит проблему и раскрывает доказательно пути
М
П
Д
Э
ПБ
4
ее решения)
Исследовательский (студенты самостоятельно добывают знания в процессе разрешения
проблемы, сравнивая различные варианты ее решения)
Программированный (организация аудиторной и самостоятельной работы студентов
осуществляется в индивидуальном темпе и под контролем специальных технических средств)
Другой метод, используемый преподавателем (формируется самостоятельно), при этом в п.п.
2.1.-2.4. дается его наименование, необходимые пояснения
И
ПГ
Приведенные в таблице сокращения обозначения педагогических методов используются составителем Рабочей программы
для заполнения п.п. 2.1., 2.2. и 2.3. в столбце «Методы».
1-6
12
-
1
2
2
2
-
3
2
-
4
2
-
5
2
-
6
2
-
7-12
7
12
2
2
-
Первый семестр
Лекции
Модуль 1 «Матрицы и определители».
Тема «Элементы теории множеств»
Основные понятия и определения теории множеств. Способы
задания множеств. Подмножество. Операции над
множествами: пересечение, объединение, разность, их
свойства. Примеры числовых множеств. Декартово
произведение множеств.
Тема «Матрицы»
Понятие матрицы. Размерность матриц. Равенство матриц.
Линейные операции над матрицами и их свойства. Нулевая
матрица. Произведение матриц и его свойства. Единичная
матрица. Операция транспонирования, ее свойства.
Тема «Определители»
Понятие определителей второго и третьего порядков. Понятие
миноров и алгебраических дополнений. Понятие определителя
п-го порядка. Теорема о разложении определителя по строке
(столбцу). Основные свойства определителей. Лемма о
равенстве нулю суммы парных произведений элементов строки
(столбца) определителя на алгебраические дополнения другой
строки (столбца).
Тема «Обратная матрица»
Определение обратной матрицы. Теорема о существовании
обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью
траспонированной матрицы алгебраических дополнений.
Понятие о матричных уравнениях и их решение.
Тема «Комплексные числа»
Определение комплексного числа. Алгебраическая форма
комплексного числа. Действия над комплексными числами в
алгебраической форме. Геометрическое представление
комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Правила
умножения и деления комплексных чисел в
тригонометрической форме. Формула Муавра.
Основные понятия, связанные с многочленами. Формулировка
основной теоремы алгебры. Разложение на множители
многочлена с действительными коэффициентами.
Модуль 2 «Системы линейных уравнений».
Тема «Системы линейных уравнений».
Системы линейных уравнений. Основные определения:
решение системы, совместные и несовместные системы,
определенные и неопределенные системы. Однородные
М,Д,И,Э
М, Д
Реализуемые
компетенции
Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание
Методы
в том числе в
интерактивной
форме, час.
Неделя
Кол. час
2.1. Аудиторные занятия (лекции, лабораторные, практические, семинарские) – очная форма обучения
ПК-1
ПК-3
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М, Д
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ПК-1,
ПК-3
М, Д
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
И, Э,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
5
8
2
-
9
2
-
10
2
-
11
2
12
2
13-18
13
системы уравнений и их совместность. Равносильные системы
уравнений. Элементарные преобразования систем линейных
уравнений. Теорема о элементарных преобразованиях систем
линейных уравнений.
Тема «Метод Крамера решения систем линейных уравнений».
М,И,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
ПК-1,
ПК-3
Тема «Методы Гаусса и Жордана-Гаусса».
Матрица системы линейных уравнений. Матричная запись
системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы.
Базисные и свободные переменные. Метод Гаусса. Решение
системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод
полного исключения неизвестных). Понятие общего, частного
и базисного решений системы линейных уравнений.
Тема «Модифицированные жордановы исключения».
Модифицированные жордановы исключения (МЖИ).
Применение МЖИ в исследовании систем линейных
уравнений и нахождении их базисных решений. Решение
системы однородных уравнений. Условие существования
ненулевого решения системы однородных уравнений.
И, Э,Д
Э,И,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М,И,Д
2
Тема «Матричные уравнения».
Решение системы линейных уравнений с помощью обратной
матрицы.
Тема «Модель Леонтьева межотраслевого баланса».
12
4
Модуль 3 «Экономические приложения: симплексный метод».
М,И,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
2
2
Тема «Основы линейного программирования»
Математическая модель задачи линейного программирования.
Общая задача линейного программирования. Основные
определения: план, допустимый план, опорный план,
оптимальный план. Примеры построения экономикоматематических моделей. Основная, каноническая и общая
задачи линейного программирования. Переход от одной формы
к другой.
Вспомогательные предположения (леммы). Примеры задач
линейного программирования. Алгоритм решения задачи
линейного программирования графическим методом.
Тема «Симплексный метод решения задачи линейного
программирования»
Идея симплекс-метода. Симплекс-таблица. Симплекс-метод
решения задачи линейного программирования для случая
неотрицательных свободных членов. Основные теоремы.
Критерий оптимальности задачи на максимум. Алгоритм
нахождения оптимального плана.
Тема «Симплекс-метод решения задачи линейного
программирования в общем случае»
Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
для случая свободных членов произвольного знака. Случаи
неразрешимости задачи.
Тема «Элементы теории двойственности».
Постановка пары взаимно-двойственных задач. Теорема о
допустимом решении двойственных задач. Правила
построения математической модели двойственной задачи.
Двойственная симплекс-таблица. Основные теоремы
двойственности. Экономическая интерпретация пары
двойственных задач на примере задачи рационального
использования ресурсов.
Тема «Решение задач линейного программирования с
помощью надстройки «Поиск решения» пакета Excel».
Практические занятия
Модуль 1. Матрицы и определители.
М,И,Д
14
2
-
15
2
-
16
2
-
17
2
2
18
2
-
1-6
12
2
ПК-1
ПК-3
М,Д
ПК-4
М,Д
ПК-4
М,Д
ПК-4
М,И,Д
ПК-1
ПК-3
М,Д,И,Э
ОК-13
М,Д,И,Э
ПК-1
6
1
2
-
2
2
2
Тема «Матрицы»
Понятие матрицы. Размерность матриц. Равенство матриц.
Линейные операции над матрицами и их свойства. Нулевая
матрица. Произведение матриц и его свойства. Единичная
матрица. Операция транспонирования, ее свойства.
Тема «Деловая игра по теме «Матрицы».
М, Д
И,Э
ПК-3,
ПК-4
М,Д
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ПК-1,
ПК-3
Цель игры – обучение моделированию простейшего
экономического процесса. Предприятие производит
продукцию трех видов и использует сырье двух типов.
Необходимо определить общие затраты предприятия на
производство определенного количества каждого вида
продукции. Группа делится на три команды, каждая из
которых получает индивидуальное задание.
Тема «Определители»
Понятие определителей второго и третьего порядков. Понятие
миноров и алгебраических дополнений. Теоремы разложения и
аннулирования. Понятие определителя п-го порядка. Основные
свойства определителей.
Тема «Обратная матрица»
Определение обратной матрицы. Теорема о существовании
обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью
траспонированной матрицы алгебраических дополнений.
Понятие о матричных уравнениях и их решение.
Модульная контрольная работа «Матрицы и определители».
3-4
4
-
5
2
-
6
2
7-12
12
-
Модуль 2. Системы линейных уравнений.
М,Д,И,Э
7-8
4
-
М,Д
9-10
4
-
11
2
-
12
2
-
Тема «Системы линейных уравнений»
Системы линейных уравнений. Основные определения:
решение системы, совместные и несовместные системы,
определенные и неопределенные системы. Однородные
системы уравнений и их совместность. Равносильные системы
уравнений. Элементарные преобразования систем линейных
уравнений. Метод Крамера решения систем линейных
уравнений.
Тема «Методы Гаусса и Жордана-Гаусса»
Матрица системы линейных уравнений. Матричная запись
системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы.
Базисные и свободные переменные. Метод Гаусса. Решение
системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод
полного исключения неизвестных). Понятие общего, частного
и базисного решений системы линейных уравнений.
Тема «Модифицированные жордановы исключения»
Модифицированные жордановы исключения (МЖИ).
Применение МЖИ в исследовании систем линейных
уравнений и нахождении их базисных решений. Решение
системы однородных уравнений. Условие существования
ненулевого решения системы однородных уравнений.
Модульная контрольная работа «Решение систем линейных
уравнений»
13-18
12
2
Модуль 3.Экономические приложения: симплексный метод.
М,И,Д
4
2
Тема «Основы линейного программирования»
Построение экономико-математических моделей задач
линейного программирования. Общая задача линейного
программирования. Основные определения: план, допустимый
план, опорный план, оптимальный план. Основная,
каноническая и общая задачи линейного программирования.
М,И,Д
13-14
ПК-3
ПК-1,
ПК-3
И
И,Э,Д
Э,И,Д
И
ПК-1,
ПК-3
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4,
ОК-13
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
ПК-1,
ПК-3
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
ПК-1,
ПК-3
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
ПК-1
ПК-3
7
15-16
4
-
17
2
-
18
2
-
Переход от одной формы к другой. Решения задачи линейного
программирования графическим методом.
Тема «Симплексный метод решения задачи линейного
программирования»
Идея симплекс-метода. Симплекс-таблица. Симплекс-метод
решения задачи линейного программирования для случая
неотрицательных свободных членов. Основные теоремы.
Критерий оптимальности задачи на максимум. Алгоритм
нахождения оптимального плана.
Тема «Симплекс-метод решения задачи линейного
программирования в общем случае»
Симплекс-метод решения задачи линейного программирования
для случая свободных членов произвольного знака. Случаи
неразрешимости задачи.
Модульная контрольная работа «Симплексный метод решения
задачи линейного программирования»
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
М,Д
ПК-4
И
ПК-4
4
2
24-25
2
2
26-27
2
-
28-33
6
-
28-29
2
-
30-31
2
-
32-33
2
-
34-41
8
-
34-35
2
-
Второй семестр
Лекции
Модуль 1.
Экономические приложения: транспортная задача.
Тема «Транспортная задача»
Постановка транспортной задачи и ее математическая модель.
Закрытая и открытая модели транспортной задачи. Теорема о
разрешимости транспортной задачи. Методы построения
первого опорного плана.
Тема «Транспортная задача»
Метод потенциалов. Понятие цикла. Критерий оптимальности
плана транспортной задачи. Пересчѐт по циклу. Построение
оптимального плана транспортной задачи. Вырождение в
транспортной задаче. Открытая модель транспортной задачи.
Модуль 2. Аналитическая геометрия.
Реализуемые
компетенции
24-27
Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание
Методы
в том числе в
интерактивной
форме, час.
Кол. час
Неделя
Аудиторные занятия (лекции, лабораторные, практические, семинарские) – очная форма обучения
М,Д
ПК-4
М,Д
ПК-4
М,Д
ПК-4
М,И,Д,Э
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R2».
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия
параллельности и перпендикулярности прямых.
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R3».
Параметрические и канонические уравнения прямой в
пространстве R3. Уравнения плоскости в пространстве R3.
Пересечение прямой и плоскости.
Тема «Кривые второго порядка»
Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы,
параболы. Полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет
эллипса, гиперболы и их построение. Фокус параболы с
вершиной в начале координат и ее директриса.
Модуль 3. Линейные пространства и линейные операторы.
М,Д
Тема «Векторные пространства»
Векторы, линейные операции над векторами. Свойства
линейных операций. Линейная комбинация векторов.
Пространство Rn. Определение векторного пространства,
М,Д
М,Д
ОК13, ПК1,
ПК-3
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М,И,Д,Э
ПК-1
ПК-3
ПК-4
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
8
36-37
2
-
38-41
4
-
24-27
8
4
24-25
4
4
26
2
-
27
2
28-33
28-29
12
4
30-31
4
32
2
33
34-41
2
16
34-35
4
-
36-37
4
-
-
-
примеры векторных пространств. Понятие линейной
зависимости и независимости системы векторов. Два
определения линейной независимости системы векторов.
Доказательство эквивалентности двух определений линейной
независимости векторов. Теорема о линейной зависимости
системы векторов, содержащей линейно-зависимую
подсистему.
Тема «Размерность и базис линейных пространств»
Теорема о существовании n линейно независимых векторов в
Rn. Теорема о линейной зависимости любых n+1 векторов в Rn.
Базис векторного пространства. Теорема о единственности
разложения вектора по базису. Скалярное произведение
векторов и его свойства. Норма вектора. Ортогональность
векторов. Ортонормированный базис. Евклидово пространство.
Подпространства линейного пространства.
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
Тема «Линейные операторы»
Определение линейного оператора. Ядро и образ линейного
оператора. Понятие матрицы линейного оператора. Действия
над линейными операторами. Понятие собственных значений
собственных векторов линейного оператора (матрицы).
Понятие характеристического уравнения линейного оператора.
Практические занятия
Модуль 1.
Экономические приложения: транспортная задача.
Тема «Транспортная задача»
Постановка транспортной задачи и ее математическая модель.
Закрытая и открытая модели транспортной задачи. Теорема о
разрешимости транспортной задачи. Методы построения
первого опорного плана.
Тема «Транспортная задача»
Метод потенциалов. Понятие цикла. Критерий оптимальности
плана транспортной задачи. Пересчѐт по циклу. Построение
оптимального плана транспортной задачи. Открытая модель
транспортной задачи.
Модульная контрольная работа «Решение транспортной
задачи».
Модуль 2. Аналитическая геометрия.
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R2».
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия
параллельности и перпендикулярности прямых.
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R3».
Параметрические и канонические уравнения прямой в
пространстве R3. Уравнения плоскости в пространстве R3.
Пересечение прямой и плоскости.
Тема «Кривые второго порядка»
Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы,
параболы. Полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет
эллипса, гиперболы и их построение. Фокус параболы с
вершиной в начале координат и ее директриса.
Модульная контрольная работа «Аналитическая геометрия»
Модуль 3. Линейные пространства и линейные операторы.
М
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
Тема «Векторные пространства»
Векторы, линейные операции над векторами. Свойства
линейных операций. Линейная комбинация векторов.
Пространство Rn. Определение векторного пространства,
примеры векторных пространств. Понятие линейной
зависимости и независимости системы векторов. Два
определения линейной независимости системы векторов.
Тема «Размерность и базис линейных пространств»
Базис векторного пространства. Теорема о единственности
разложения вектора по базису. Скалярное произведение
векторов и его свойства. Норма вектора. Ортогональность
М,Д
М,Д,Э
ПК-4
М,Д
ПК-4
М,Д
ПК-4
Э
М,И,Д
М,И,Д
М,И,Д
ПК-4
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
Э
М,И,Д,Э
ПК-4
ПК-1
ПК-3
ПК-4
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
9
38-40
6
-
41
2
-
векторов. Ортонормированный базис. Евклидово пространство.
Тема «Линейные операторы»
Определение линейного оператора. Ядро и образ линейного
оператора. Понятие матрицы линейного оператора. Действия
над линейными операторами. Понятие собственных значений
собственных векторов линейного оператора (матрицы).
Понятие характеристического уравнения линейного оператора.
Модульная контрольная работа «Линейные пространства и
линейные операторы».
М
ПК-4
Э
ПК-4
8
1
1
1
2
1
1
1
Лекции
Тема «Матрицы»
Понятие матрицы. Размерность матриц. Равенство матриц.
Линейные операции над матрицами и их свойства. Нулевая
матрица. Произведение матриц и его свойства. Единичная
матрица. Операция транспонирования, ее свойства.
Тема «Определители»
Понятие определителей второго и третьего порядков. Понятие
миноров и алгебраических дополнений. Теоремы разложения и
аннулирования. Понятие определителя п-го порядка. Основные
свойства определителей.
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R2».
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия
параллельности и перпендикулярности прямых.
Тема «Системы линейных уравнений»
Системы линейных уравнений. Основные определения:
решение системы, совместные и несовместные системы,
определенные и неопределенные системы. Однородные
системы уравнений и их совместность. Равносильные системы
уравнений. Элементарные преобразования систем линейных
уравнений. Метод Крамера решения систем линейных
уравнений.
Тема «Основы линейного программирования»
Математическая модель задачи линейного программирования.
Общая задача линейного программирования. Основные
определения: план, допустимый план, опорный план,
оптимальный план. Основная, каноническая и общая задачи
линейного программирования
Тема «Транспортная задача»
Постановка транспортной задачи и ее математическая модель.
Закрытая и открытая модели транспортной задачи. Теорема о
разрешимости транспортной задачи. Методы построения
первого опорного плана. Метод потенциалов. Понятие цикла.
Критерий оптимальности плана транспортной задачи. Пересчѐт
по циклу. Построение оптимального плана транспортной
задачи.
Тема «Векторные пространства»
Векторы, линейные операции над векторами. Свойства
линейных операций. Линейная комбинация векторов.
Пространство Rn. Определение векторного пространства,
примеры векторных пространств. Понятие линейной
зависимости и независимости системы векторов. Два
определения линейной независимости системы векторов.
Реализуемые
компетенции
Вид занятия, модуль, тема и краткое содержание
Методы
Кол. час
Неделя
Аудиторные занятия (лекции, лабораторные, практические, семинарские)- заочная форма обучения, 5
лет 00 мес.
М, Д
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ПК-1,
ПК-3
М,И,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
М,Д
М,И,Д
ПК-1
ПК-3
М,Д
ПК-4
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
10
14
2
2
2
2
2
2
2
Практические занятия
Тема «Матрицы»
Понятие матрицы. Размерность матриц. Равенство матриц.
Линейные операции над матрицами и их свойства. Нулевая
матрица. Произведение матриц и его свойства. Единичная
матрица. Операция транспонирования, ее свойства.
Тема «Определители»
Понятие определителей второго и третьего порядков. Понятие
миноров и алгебраических дополнений. Теоремы разложения и
аннулирования. Понятие определителя п-го порядка. Основные
свойства определителей.
Тема «Обратная матрица»
Определение обратной матрицы. Теорема о существовании
обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью
траспонированной матрицы алгебраических дополнений.
Понятие о матричных уравнениях и их решение.
Тема «Методы Гаусса и Жордана-Гаусса»
Матрица системы линейных уравнений. Матричная запись
системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы.
Базисные и свободные переменные. Метод Гаусса. Решение
системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод
полного исключения неизвестных). Понятие общего, частного
и базисного решений системы линейных уравнений.
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R2».
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия
параллельности и перпендикулярности прямых.
Тема «Симплексный метод решения задачи линейного
программирования»
Идея симплекс-метода. Симплекс-таблица. Симплекс-метод
решения задачи линейного программирования для случая
неотрицательных свободных членов. Основные теоремы.
Критерий оптимальности задачи на максимум. Алгоритм
нахождения оптимального плана.
Тема «Транспортная задача»
Закрытая и открытая модели транспортной задачи. Методы
построения первого опорного плана. Метод потенциалов.
Понятие цикла. Критерий оптимальности плана транспортной
задачи. Пересчѐт по циклу. Построение оптимального плана
транспортной задачи.
М, Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
И, Э,Д
ПК-1
ПК-3
М,И,Д
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
М,Д
ПК-4
Аудиторные занятия (лекции, лабораторные, практические, семинарские)- заочная форма обучения, 3
года 06 мес.
8
1
1
1
2
Лекции
Тема «Матрицы»
Понятие матрицы. Размерность матриц. Равенство матриц.
Линейные операции над матрицами и их свойства. Нулевая
матрица. Произведение матриц и его свойства. Единичная
матрица. Операция транспонирования, ее свойства.
Тема «Определители»
Понятие определителей второго и третьего порядков. Понятие
миноров и алгебраических дополнений. Теоремы разложения и
аннулирования. Понятие определителя п-го порядка. Основные
свойства определителей.
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R2».
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия
параллельности и перпендикулярности прямых.
Тема «Системы линейных уравнений»
Системы линейных уравнений. Основные определения:
решение системы, совместные и несовместные системы,
определенные и неопределенные системы. Однородные
системы уравнений и их совместность. Равносильные системы
уравнений. Элементарные преобразования систем линейных
уравнений. Метод Крамера решения систем линейных
М, Д
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ПК-1,
ПК-3
М,И,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
М,Д
11
1
1
1
8
1
1
1
1
1
2
1
уравнений.
Тема «Основы линейного программирования»
Математическая модель задачи линейного программирования.
Общая задача линейного программирования. Основные
определения: план, допустимый план, опорный план,
оптимальный план. Основная, каноническая и общая задачи
линейного программирования
Тема «Транспортная задача»
Постановка транспортной задачи и ее математическая модель.
Закрытая и открытая модели транспортной задачи. Теорема о
разрешимости транспортной задачи. Методы построения
первого опорного плана. Метод потенциалов. Понятие цикла.
Критерий оптимальности плана транспортной задачи. Пересчѐт
по циклу. Построение оптимального плана транспортной
задачи.
Тема «Векторные пространства»
Векторы, линейные операции над векторами. Свойства
линейных операций. Линейная комбинация векторов.
Пространство Rn. Определение векторного пространства,
примеры векторных пространств. Понятие линейной
зависимости и независимости системы векторов. Два
определения линейной независимости системы векторов.
Практические занятия
Тема «Матрицы»
Понятие матрицы. Размерность матриц. Равенство матриц.
Линейные операции над матрицами и их свойства. Нулевая
матрица. Произведение матриц и его свойства. Единичная
матрица.
Тема «Определители»
Понятие определителей второго и третьего порядков. Понятие
миноров и алгебраических дополнений. Понятие определителя
п-го порядка. Основные свойства определителей.
Тема «Обратная матрица»
Определение обратной матрицы. Вычисление обратной
матрицы с помощью траспонированной матрицы
алгебраических дополнений.
Тема «Методы Гаусса и Жордана-Гаусса»
Матрица системы линейных уравнений. Матричная запись
системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы.
Базисные и свободные переменные. Метод Гаусса. Решение
системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод
полного исключения неизвестных). Понятие общего, частного
и базисного решений системы линейных уравнений.
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R2».
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия
параллельности и перпендикулярности прямых.
Тема «Симплексный метод решения задачи линейного
программирования»
Идея симплекс-метода. Симплекс-таблица. Симплекс-метод
решения задачи линейного программирования для случая
неотрицательных свободных членов. Основные теоремы.
Критерий оптимальности задачи на максимум. Алгоритм
нахождения оптимального плана.
Тема «Транспортная задача»
Закрытая и открытая модели транспортной задачи. Методы
построения первого опорного плана. Метод потенциалов.
Понятие цикла. Критерий оптимальности плана транспортной
задачи. Пересчѐт по циклу. Построение оптимального плана
транспортной задачи.
М,И,Д
ПК-1
ПК-3
М,Д
ПК-4
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М, Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
И, Э,Д
ПК-1
ПК-3
М,И,Д
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
М,Д
ПК-4
Аудиторные занятия (лекции, лабораторные, практические, семинарские)- заочная форма обучения, 2
года 06 мес.
8
Лекции
12
1
1
1
2
1
1
1
8
1
1
1
1
1
Тема «Матрицы»
Понятие матрицы. Размерность матриц. Равенство матриц.
Линейные операции над матрицами и их свойства. Нулевая
матрица. Произведение матриц и его свойства. Единичная
матрица. Операция транспонирования, ее свойства.
Тема «Определители»
Понятие определителей второго и третьего порядков. Понятие
миноров и алгебраических дополнений. Теоремы разложения и
аннулирования. Понятие определителя п-го порядка. Основные
свойства определителей.
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R2».
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия
параллельности и перпендикулярности прямых.
Тема «Системы линейных уравнений»
Системы линейных уравнений. Основные определения:
решение системы, совместные и несовместные системы,
определенные и неопределенные системы. Однородные
системы уравнений и их совместность. Равносильные системы
уравнений. Элементарные преобразования систем линейных
уравнений. Метод Крамера решения систем линейных
уравнений.
Тема «Основы линейного программирования»
Математическая модель задачи линейного программирования.
Общая задача линейного программирования. Основные
определения: план, допустимый план, опорный план,
оптимальный план. Основная, каноническая и общая задачи
линейного программирования
Тема «Транспортная задача»
Постановка транспортной задачи и ее математическая модель.
Закрытая и открытая модели транспортной задачи. Теорема о
разрешимости транспортной задачи. Методы построения
первого опорного плана. Метод потенциалов. Понятие цикла.
Критерий оптимальности плана транспортной задачи. Пересчѐт
по циклу. Построение оптимального плана транспортной
задачи.
Тема «Векторные пространства»
Векторы, линейные операции над векторами. Свойства
линейных операций. Линейная комбинация векторов.
Пространство Rn. Определение векторного пространства,
примеры векторных пространств. Понятие линейной
зависимости и независимости системы векторов. Два
определения линейной независимости системы векторов.
Практические занятия
Тема «Матрицы»
Понятие матрицы. Размерность матриц. Равенство матриц.
Линейные операции над матрицами и их свойства. Нулевая
матрица. Произведение матриц и его свойства. Единичная
матрица.
Тема «Определители»
Понятие определителей второго и третьего порядков. Понятие
миноров и алгебраических дополнений. Понятие определителя
п-го порядка. Основные свойства определителей.
Тема «Обратная матрица»
Определение обратной матрицы. Вычисление обратной
матрицы с помощью траспонированной матрицы
алгебраических дополнений.
Тема «Методы Гаусса и Жордана-Гаусса»
Матрица системы линейных уравнений. Матричная запись
системы линейных уравнений. Расширенная матрица системы.
Базисные и свободные переменные. Метод Гаусса. Решение
системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса (метод
полного исключения неизвестных). Понятие общего, частного
и базисного решений системы линейных уравнений.
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R2».
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия
М, Д
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ПК-1,
ПК-3
М,И,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
М,Д
М,И,Д
ПК-1
ПК-3
М,Д
ПК-4
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М, Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3
И, Э,Д
ПК-1
ПК-3
М,Д
ОК-13,
ПК-1,
13
2
1
параллельности и перпендикулярности прямых.
Тема «Симплексный метод решения задачи линейного
программирования»
Идея симплекс-метода. Симплекс-таблица. Симплекс-метод
решения задачи линейного программирования для случая
неотрицательных свободных членов. Основные теоремы.
Критерий оптимальности задачи на максимум. Алгоритм
нахождения оптимального плана.
Тема «Транспортная задача»
Закрытая и открытая модели транспортной задачи. Методы
построения первого опорного плана. Метод потенциалов.
Понятие цикла. Критерий оптимальности плана транспортной
задачи. Пересчѐт по циклу. Построение оптимального плана
транспортной задачи.
М,Д
ПК-3
ОК-13,
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
М,Д
ПК-4
Неделя
Кол. час
Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы к
практическим и лабораторным занятиям; тематика рефератной работы, контрольных
работ, рекомендации по использованию литературы и ЭВМ и др.
1-18
1
54
2
Первый семестр
Матрица. Линейные операции над матрицами. Транспонированная матрица.
2
3
4
5
2
2
2
2
Произведение матриц. Единичная матрица.
Вычисление определителей.
Построение обратной матрицы.
Решение матричных уравнений.
6
7
2
2
Подготовка к модульной контрольной работе «Матрицы и определители».
Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
8-9
4
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
10-11
12
4
2
Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.
Подготовка к модульной контрольной работе «Системы линейных уравнений».
13
14
2
2
15
2
16
2
17-18
1-18
2
18
Построение экономико-математических моделей.
Основная, каноническая и общая задачи линейного программирования. Переход от
одной формы к другой.
Симплекс-метод решения задачи линейного программирования для случая
неотрицательных свободных членов.
Симплекс-метод решения задачи линейного программирования для случая
свободных членов произвольных знаков.
Подготовка к модульной контрольной работе
Усвоение текущего учебного материала.
1-18
2
Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента.
Тема «Экономико-математическое моделирование».
Реализуемые
компетенции
2.2.Самостоятельная работа студента-очная форма обучения
ПК-1,
ПК-3
ПК-1
ПК-1,
ПК-3
ПК-1,
ПК-3
ПК-1,
ПК-3
ПК-1
ПК-1,
ПК-3
ПК-1,
ПК-3
ПК-1,
ПК-3
ПК-1,
ПК-3
ПК-1
ПК-3
ПК-4
Самостоятельная работа студента-очная форма обучения
Неделя
24-41
24
Кол.
час
36
1
Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы к
практическим и лабораторным занятиям; тематика рефератной работы,
контрольных работ, рекомендации по использованию литературы и ЭВМ и
др.
Второй семестр
Тема «Транспортная задача». Постановка транспортной задачи и ее
Реализуемые
компетенции
14
математическая модель. Закрытая и открытая модели транспортной задачи.
25
1
Тема «Транспортная задача». Методы построения первого опорного плана.
26
1
Тема «Транспортная задача» Метод потенциалов. Понятие цикла. Критерий
оптимальности плана транспортной задачи. Пересчѐт по циклу.
27
1
28
1
29
1
30
1
Тема «Транспортная задача» Построение оптимального плана транспортной
задачи. Вырождение в транспортной задаче. Открытая модель транспортной
задачи. Подготовка к модульной контрольной работе «Решение транспортной
задачи».
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R2».
Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R2».
Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R3». Параметрические и
канонические уравнения прямой в пространстве R3.
31
1
32
1
33
1
34
1
35
1
36
1
37
1
38
1
39
1
40
1
41
1
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R3». Уравнения плоскости в
пространстве R3.
Тема: «Аналитическая геометрия в пространстве R3». Пересечение прямой и
плоскости.
Тема «Кривые второго порядка»
Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы.
Полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса, гиперболы и их
построение. Подготовка к модульной контрольной работе «Аналитическая
геометрия».
Тема «Векторные пространства». Векторы, линейные операции над векторами. Свойства линейных операций. Линейная комбинация векторов.
Тема «Векторные пространства». Пространство Rn. Определение векторного
пространства, примеры векторных пространств. Понятие линейной
зависимости и независимости системы векторов.
Тема «Векторные пространства». Два определения линейной независимости
системы векторов.
Тема «Размерность и базис линейных пространств». Базис векторного
пространства. Скалярное произведение векторов и его свойства. Норма
вектора.
Тема «Размерность и базис линейных пространств».Ортогональность
векторов. Ортонормированный базис. Евклидово пространство.
Тема «Линейные операторы».Определение линейного оператора. Ядро и
образ линейного оператора. Понятие матрицы линейного оператора. Действия
над линейными операторами.
Тема «Линейные операторы».Понятие собственных значений собственных
векторов линейного оператора. Понятие характеристического уравнения
линейного оператора.
Подготовка к модульной контрольной работе «Линейные пространства и
линейные операторы».
24-41
16
Усвоение текущего учебного материала.
24-41
2
Темы и вопросы, определяемые преподавателем с учетом интересов студента.
Тема «Построение экономико-математической модели транспортной задачи».
ПК-1,
ПК-3
ПК-1
ПК-3
ПК-3,
ПК-4
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
ПК-4
ПК-4
ПК-3
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
ПК-3,
ПК-4
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
ПК-3,
ПК-4
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
ПК-3,
ПК-4
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
ПК-1,
ПК-3,
ПК-4
ПК-4
Самостоятельная работа студента- заочная форма обучения, 5 лет
Неделя
Кол.
час
6
Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы к
практическим и лабораторным занятиям; тематика рефератной работы,
контрольных работ, рекомендации по использованию литературы и ЭВМ и
др.
Матрица. Линейные операции над матрицами. Транспонированная матрица.
Реализуемые
компетенции
ПК-1,
15
6
6
Произведение матриц. Единичная матрица.
Вычисление определителей.
6
6
Построение обратной матрицы.
Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
6
6
6
6
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.
Построение экономико-математических моделей.
Основная, каноническая и общая задачи линейного программирования.
Переход от одной формы к другой.
Симплекс-метод решения задачи линейного программирования для случая
неотрицательных свободных членов.
Постановка транспортной задачи и ее математическая модель. Закрытая и
открытая модели транспортной задачи.
6
6
ПК-3
ПК-4
ПК-1,
ПК-3
ПК-4
ПК-1,
ПК-3
ПК-1
ПК-1
ПК-3
ПК-1
ПК-1
ПК-3
6
Методы построения первого опорного плана.
ПК-3
6
Метод потенциалов. Понятие цикла. Критерий оптимальности плана
транспортной задачи. Пересчѐт по циклу.
ПК-3
6
ПК-3
40
Построение оптимального плана транспортной задачи. Вырождение в
транспортной задаче. Открытая модель транспортной задачи.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и
перпендикулярности прямых.
Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве R3.
Уравнения плоскости в пространстве R3. Пересечение прямой и плоскости.
Векторы, линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.
Линейная комбинация векторов. Пространство Rn. Определение векторного
пространства, примеры векторных пространств. Понятие линейной
зависимости и независимости системы векторов. Два определения линейной
независимости системы векторов.
Базис векторного пространства. Теорема о единственности разложения
вектора по базису. Скалярное произведение векторов и его свойства. Норма
вектора. Ортогональность векторов. Ортонормированный базис. Евклидово
пространство.
Определение линейного оператора. Ядро и образ линейного оператора.
Понятие матрицы линейного оператора. Действия над линейными
операторами. Понятие собственных значений собственных векторов
линейного оператора. Понятие характеристического уравнения линейного
оператора.
Выполнение контрольной работы.
40
Усвоение текущего учебного материала
6
6
6
6
6
ПК-4
ПК-4
ПК-4
ПК-4
ПК-4
ПК-1
ПК-3
ПК-4
ПК-1
ПК-3
ПК-4
Самостоятельная работа студента- заочная форма обучения, 3 года 6 мес.
Неделя
Кол.
час
6
Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы к
практическим и лабораторным занятиям; тематика рефератной работы,
контрольных работ, рекомендации по использованию литературы и ЭВМ и
др.
Матрица. Линейные операции над матрицами. Транспонированная матрица.
6
6
Произведение матриц. Единичная матрица.
Вычисление определителей.
6
6
Построение обратной матрицы.
Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
6
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Реализуемые
компетенции
ПК-1,
ПК-3
ПК-4
ПК-1,
ПК-3
ПК-4
ПК-1,
ПК-3
ПК-1
16
Решение системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса.
Построение экономико-математических моделей.
Основная, каноническая и общая задачи линейного программирования.
Переход от одной формы к другой.
Симплекс-метод решения задачи линейного программирования для случая
неотрицательных свободных членов.
Постановка транспортной задачи и ее математическая модель. Закрытая и
открытая модели транспортной задачи.
ПК-1
ПК-3
ПК-1
6
Методы построения первого опорного плана.
ПК-3
6
Метод потенциалов. Понятие цикла. Критерий оптимальности плана
транспортной задачи. Пересчѐт по циклу.
ПК-3
6
ПК-3
46
Построение оптимального плана транспортной задачи. Вырождение в
транспортной задаче. Открытая модель транспортной задачи.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и
перпендикулярности прямых.
Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве R3.
Уравнения плоскости в пространстве R3. Пересечение прямой и плоскости.
Векторы, линейные операции над векторами. Свойства линейных операций.
Линейная комбинация векторов. Пространство Rn. Определение векторного
пространства, примеры векторных пространств. Понятие линейной
зависимости и независимости системы векторов. Два определения линейной
независимости системы векторов.
Базис векторного пространства. Теорема о единственности разложения
вектора по базису. Скалярное произведение векторов и его свойства. Норма
вектора. Ортогональность векторов. Ортонормированный базис. Евклидово
пространство.
Определение линейного оператора. Ядро и образ линейного оператора.
Понятие матрицы линейного оператора. Действия над линейными
операторами. Понятие собственных значений собственных векторов
линейного оператора. Понятие характеристического уравнения линейного
оператора.
Выполнение контрольной работы.
40
Усвоение текущего учебного материала
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
ПК-1
ПК-3
ПК-4
ПК-4
ПК-4
ПК-4
ПК-4
ПК-1
ПК-3
ПК-4
ПК-1
ПК-3
ПК-4
Самостоятельная работа студента- заочная форма обучения, 2 года 6 мес.
Неделя
Кол.
час
8
8
8
8
8
8
8
6
8
10
8
8
8
8
8
34
Темы, разделы, вынесенные на самостоятельную подготовку, вопросы к
практическим и лабораторным занятиям; тематика рефератной работы,
контрольных работ, рекомендации по использованию литературы и ЭВМ и
др.
Матрицы.
Определители.
Системы линейных уравнений.
Векторные пространства.
Скалярное произведение векторов.
Линейные операторы.
Собственные значения и собственные векторы матрицы.
Квадратичные формы.
Гиперплоскость в R3.
Прямая в R2 и R3.
Кривые второго порядка.
Задачи линейного программирования.
Графический метод решения задач линейного программирования.
Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
Транспортная задача.
Выполнение контрольной работы.
Реализуемые
компетенции
ПК-1
ПК-3
ПК-4
ПК-1
ПК-1
ПК-3
ПК-1
ПК-1
ПК-3
ПК-3
ПК-3
ПК-4
ПК-4
ПК-4
ПК-4
ПК-1
17
10
Усвоение текущего учебного материала
ПК-3
ПК-4
ПК-1
ПК-3
ПК-4
2.3. Интерактивные технологии и инновационные методы, используемые в образовательном процессе
Основаны на использовании современных достижений науки и информационных технологий. Направлены на
повышение качества подготовки путем развития у студентов творческих способностей и самостоятельности
(методы проблемного обучения, исследовательские методы, тренинговые формы, рейтинговые системы обучения
и контроля знаний и др.). Нацелены на активизацию творческого потенциала и самостоятельности студентов и
могут реализовываться на базе инновационных структур (научных лабораторий, центов, предприятий и организаций
и др.).
№
Наименование основных форм
Деловые
и ролевые игры
Разбор
конкретных ситуаций
Ориентация
содержания на лучшие
отечественные аналоги образовательных
программ
Краткое описание и примеры,
использования в модулях темах, место
проведения
Учебная деловая игра по теме «Матрицы»
в модуле 1 первого семестра на
практическом занятии
Тема «Основы линейного
программирования» в модуле 3 на лекции
и практическом занятии; Тема «Элементы
теории двойственности» на лекции;
тема «Транспортная задача» в модуле 1 на
лекции и практическом занятии. Тема
«Модель Леонтьева межотраслевого
баланса» в модуле 2 на лекции.
Содержание дисциплины ориентируется на
образовательную программу Московского
государственного университета
им.М.В.Ломоносова, ГУ ВШЭ,
Российской экономической школы и
Финансового университета при
правительстве Российской Федерации
(Финакадемии)
Часы
2
14
3. Средства обучения
3.1.Информационно-методические
№
1.
Перечень основной и дополнительной литературы, методических разработок; с указанием наличия в
библиотеке
Основная литература:
50
Виленкин, Игорь Владимирович. Высшая математика. Линейная алгебра. Аналитическая
геометрия. Дифференциальное и интегральное исчисление [Текст] : [учеб. пособие] / И. В.
Виленкин, В. М. Гробер. 6-е изд. - Ростов н/Д : Феникс, 2011. - 415 с. : ил. - (Высшее
образование). - 2000 экз. - ISBN 978-5-222-18236-9.
.
2.
3.
4.
Кремер Н. Ш. Путко Б. А. Высшая математика для экономических специальностей Москва
Высшее образование,2008.-523 с.
10
Ильин, Владимир Александрович. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Текст] : учеб.
для студентов ун-тов и техн. вузов, обучающихся по спец. "Математика", "Приклад.
математика и информатика" / В. А. Ильин, Г. Д. Ким ; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. 3е изд., перераб. и доп. - М. : Проспект, 2012. - 400 с. - 2000 экз. - ISBN 978-5-392-02856-6.
50
Скрыдлова, Елена Викторовна. Линейная алгебра [Текст] : учеб. пособие для студентов вузов,
обучающихся по напр. подготовки 010100 "Математика" / Е. В. Скрыдлова, О. О. Белова. Ростов н/Д : Феникс, 2012. - 142 с. : ил. - (Высшее образование). - 2500 экз. - ISBN 978-5-222-
25
18
19713-4.
Кундышева Е. С. Математика. Учебное пособие для экономистов - М. : Дашков и К, 2007. 424 с.
5.
30
10
6.
Солопова, Ольга Григорьевна. Линейная алгебра [Текст] : контрол. задания и метод. указания /
О. Г. Солопова, С. В. Рогожин ; Рост. гос. экон. ун-т (РИНХ), Фак. информатизации и упр.,
Каф. фундамент. и приклад. математики. - Ростов н/Д : Изд-во РГЭУ (РИНХ), 2012. - 46 с. - 100
экз.
Калачев Н.В. Линейные и евклидовы пространства. Пособие для бакалавров экономики и
менеджмента. Ч.1- М.: Финакадемия при Правительстве РФ, 2009.- 130 с.
5
7.
Тищенко А.В. Линейная алгебра : Элементы аналитической геометрии: Учебное пособие для
бакалавриата. Ч.3 М.: Финакадемия, 2009.= 125 с.
1
8.
Дополнительная литература
Бережная Е.В.,Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических
систем.:Уч. Пос.-2-е изд.М.: Финансы и статистика,2006.-370 стр.
12
1.
Костевич Л.С. Математическое программирование: Информ.технологии оптимальных
решений: Уч.пос..-Мн.: Новое знание,2003.-424 с.
2
2.
Красс М.С. Математика для экономических специальностей. Учебник.-М.: ИНФРА-М,1999579 с.
5
3.
Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Математическое программирование. Уч. Пособие.Минск:Высшая школа, 1994.- 352 с.
50
4.
3.2.Материально-технические
№ ауд.
308,
309,
310,
207
Основное оборудование, стенды, макеты, компьютерная
техника, наглядные пособия и другие дидактические
материалы, обеспечивающие проведение лабораторных и
практических занятий, научно-исследовательской работы
студентов с указанием наличия
Компьютерная техника.
Телевизионная техника для презентаций.
Основное назначение (опытное,
обучающее, контролирующее) и
краткая характеристика использования
при изучении явлений и процессов,
выполнении расчетов.
ППП МS Excel, Eviews 6.0
Все студенты направления 010400 Прикладная математика и информатика имеют индивидуальный
доступ из любой точки, в которой имеется доступ к сети Интернет к учебно-методическим материалам
на сайте РГЭУ(РИНХ).
Ростовский государственный экономический университет (РИНХ) располагает в достаточном
количестве современной вычислительной техникой, обеспечивающей выход в сеть Интернет (ауд. 201,
301, 302, 303, 203, 210, 212, 213,214, 532).
19
4. Текущий, промежуточный контроль знаний студентов
№
Тесты, темы курсовых работ/проектов, вопросы для текущего контроля, для подготовки к зачету,
экзамену
Семестр 1 модуль 1
Тестовые задания
1.
Задание 1. Указать, в каком из приведенных примеров существует произведение матриц:
3 1 1 


 3
1 
1 2 
 3
1 3 
  1 4
  1 3 , в)    3 1    , г) 1 3  
а)    4 2    4 0 2  , б) 1 3  
1 
 3
3 4
1 
 2 1
5 1 3 


Задание 2. Найти АВ, если А =
а)
1

1
2

0 
б)
1 2 

 , В =
 0 1
 3 4 


 1  2
в)
1

1
 3 2


 1 0
2

0 
г)
 4 4


  1  1
Контрольный опрос теоретического материала
Вопросы контрольного опроса
1.Понятие матрицы. Размерность матриц. Равенство матриц.
2.Линейные операции над матрицами и их свойства.
3.Нулевая матрица. Произведение матриц и его свойства. Единичная матрица. Операция
транспонирования, ее свойства.
4.Понятие определителей второго и третьего порядков.
5.Понятие миноров и алгебраических дополнений.
6.Теоремы разложения и аннулирования.
7.Понятие определителя п-го порядка.
8.Основные свойства определителей.
9.Определение обратной матрицы.
9.Теорема о существовании обратной матрицы.
10.Вычисление обратной матрицы с помощью траспонированной матрицы алгебраических дополнений.
11.Понятие о матричных уравнениях и их решение.
2.
Семестр 1 модуль 2
Тестовые задания
Задание 1. Решить систему уравнений а) по формуле Крамера;
б) матричным способом:
20
Варианты ответов: 1)
; 2)
; 3)
; 4)
.
Задание 2. Решить систему уравнений а) методом Жордана-Гаусса; б) методом модифицированных
жордановых исключений. Найти все базисные решения системы.
Варианты ответов:
а)
1)
4)
;
2)
;
3)
;
.
б) 1)
3)
; 2)
; 4)
;
.
Задание 3. Если главный определитель системы равен нулю , то:
а)система является несовместной или неопределенной, б) система имеет единственное решение,
в) система имеет ровно два различных решения, г) система имеет ровно три различных решения
Задание 4. Если главный определитель системы не равен нулю, то:
а) система несовместна, б) система имеет единственное решение, в) система имеет бесконечно много
решений, г) система имеет ровно два различных решения
3.
Задание 4. Найти расстояние от точки А(5, -3,8) до плоскости 3х-5у+2z+4=0.
Семестр 1 модуль 3
21
Тестовые задания
Задание 1. Решить графически задачу линейного программирования:
х+3у→max
x  y  2

2 x  3 y  3
 x, y  0

Задание 2.Решить симплекс-методом задачу линейного программирования:
x-4y+2z+t→min
 x  5 y  3z  6

 2 x  7 y  5z  8t  1
 x, y , z , t  0

Семестр 2 модуль 1
Тестовые задания
Найти оптимальный план для следующих транспортных задач (в верхней строке таблиц указаны
потребности bj в грузе пунктов Bj; в левом столбце - запасы груза ai в пунктах Аi; в остальных клетках тарифы сij):
1.
Bj
Аi
110
110
80
3.
Bj
50
90
90
70
7
2
6
8
4
3
1
5
5
3
9
2
100 110
80
2.
60
Bj
Аi
60
80
100
40 60 80 60
Bj
40 30 30 50
4.
Аi
2
6
1
2
4
2
3
3
2
4
1
1
Аi
120
50
180
10
5
1
3
7
4
5
6
3
8
4
7
60
70
20
2
2
3
4
3
4
5
9
2
1
4
5
Семестр 2 модуль 2
Тестовые задания
Задание 1. Дан треугольник с вершинами А(-4,0),
B(-2,6), C(2,2). Найти:
(а) уравнение стороны АС; (б) уравнение высоты АК; (в) длину средней линии MP/BC;
(г) угол
^
; (д) точку пересечения высот треугольника;
Варианты ответа:
а) 1)
б) 1)
; 2)
; 2)
; 3)
; 3)
; 4)
; 4)
.
.
22
в) 1)
; 2)
г) 1)
; 2)
д) 1)
, 2)
; 3)
; 4)
; 3)
.
; 4)
; 3)
; 4)
.
.
Задание 2. Найти:
а) уравнение прямой
, проходящей через точки A(1,2,3),B(3,4,4).
б) уравнение плоскости
, проходящей через точки 0(0, 0, 0), С(0, -3, 1) параллельно прямой
в) пересечение прямой с плоскостью H:
.
Варианты ответа:
а) 1)
; 2)
4)
;
.
б) 1)
в) 1)
; 3)
; 2)
; 2)
; 3)
; 3)
; 4)
; 4)
.
.
Задание 3. Выбрать из предложенных уравнений уравнение прямой линии:
а) х2 + у2 = а2,
б) у = 2х2 + 3, в) у = 3/х, г) 2у + 3х = 0
Семестр 2 модуль 3
Тестовые задания
Задание 1. При каком значении параметра t данная система векторов а = (1, 2, 0), b = (5, t, 2), c =(t, 1, 3)
линейно зависима:
а) 7/32, б) 5/7,
в) 32/7, г) 1/7, д) 0
Задание 2. При каком значении параметра t векторы
a и b ортогональны, если a=(1, -5, t), b=(3, 4t,19)
а) -6, б) 6, в) 3, г) -12, д) 12
  2 2 2


  2 2 2
  2 2 2
.
Задание 3. Найти собственные значения линейного оператора с матрицей 
а) 2,0
б) -2, 0
в) 2, -2
г) 0
23
4.2.Индивидуальные задания
1
Семестр 1 модуль 2
Индивидуальное задание 1.
Дана система уравнений:
2 x  6 y  2 z  6a  2b  2c

 2 x  5 y  z  5a  b  2c
cx  (3c  2) y  ( a  c ) z  a(3c  b  2)  c(c  a )

Решить систему уравнений: 1) по формулам Крамера, 2) методом Жордана-Гаусса,
3) методом обратной матрицы.
Задание 2. Найти все базисные решения системы уравнений методом МЖИ:
2ax  3by  cz  3abc

ax  by  cz  abc
3ax  4by  2cz  2abc

4
Семестр 2 модуль 2
Индивидуальное задание 2.
Дан треугольник с вершинами A(b-5,0), B(a-3,6), C(c+1,2). Найти:
1) угол А; 2) уравнение высоты АК; 3) уравнение медианы из вершины А;
4) длину высоты АК; 5) уравнение средней линии МР, параллельной ВС;
6) площадь треугольника.
4.4.Вопросы к зачету (первый семестр)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Понятие матрицы. Различные виды матриц. Равенство матриц. Линейные операции над
матрицами.
Умножение матриц.
Понятие определителей и их основные свойства.
Миноры и алгебраические дополнения. Теоремы разложения и аннулирования. Понятие об
определителях п-го порядка.
Понятие обратной матрицы. Теорема существования обратной матрицы. Формула нахождения
обратной матрицы. Свойства обратной матрицы.
Матричные уравнения и их решения.
Системы линейных уравнений. Основные определения: решение, совместность, несовместность,
определенность, неопределенность.
Теорема (формулы) Крамера.
Метод Жордана-Гаусса решения системы линейных уравнений общего вида. Равносильные
преобразования систем, алгоритм метода Жордана-Гаусса, общее, частное, базисное решение;
система, приведенная к единичному базису, базисные и свободные неизвестные.
Модифицированные жордановы исключения.
Матричная форма записи системы линейных уравнений. Матричный способ решения системы
линейных уравнений.
Математическая модель задачи линейного программирования.
Допустимый план, опорный план, оптимальный план.
Общая задача линейного программирования. Основная и каноническая формы задач линейного
программирования.
Фундаментальная теорема линейного программирования. Алгоритм решения задачи линейного
программирования графическим методом.
Идея симплекс-метода. Симплекс-таблица. Симплекс-метод решения задачи линейного
24
программирования для случая с неотрицательными свободными членами системы ограничений.
Теорема о выборе разрешающего элемента. Критерий оптимальности задачи на максимум.
17.
Симплекс-метод решения задачи линейного программирования для случая свободных членов
произвольного знака.
4.5.Вопросы к экзамену (второй семестр)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами.
Умножение матриц.
Понятие определителей и их основные свойства.
Миноры и алгебраические дополнения. Теоремы разложения и аннулирования. Понятие об
определителях п-го порядка.
Понятие обратной матрицы. Теорема существования обратной матрицы. Формула нахождения
обратной матрицы.
Матричные уравнения и их решения.
Системы линейных уравнений. Основные определения: решение, совместность, несовместность,
определенность, неопределенность.
Формулы Крамера.
Метод Жордана-Гаусса решения системы линейных уравнений общего вида. Равносильные
преобразования систем, алгоритм метода Жордана-Гаусса, общее, частное, базисное решение;
система, приведенная к единичному базису, базисные и свободные неизвестные.
Модифицированные жордановы исключения.
Математическая модель задачи линейного программирования.
Допустимый план, опорный план, оптимальный план.
Общая задача линейного программирования. Основная и каноническая формы задач линейного
программирования.
Фундаментальная теорема линейного программирования. Алгоритм решения задачи линейного
программирования графическим методом.
Идея симплекс-метода. Симплекс-таблица. Симплекс-метод решения задачи линейного
программирования для случая с неотрицательными свободными членами системы ограничений.
Теорема о выборе разрешающего элемента. Критерий оптимальности задачи на максимум.
Постановка транспортной задачи и ее математическая модель. Закрытая и открытая модели
транспортной задачи.
Теорема о разрешимости транспортной задачи. Методы построения первого опорного плана.
Метод потенциалов. Понятие цикла. Критерий оптимальности плана транспортной задачи.
Пересчѐт по циклу. Построение оптимального плана транспортной задачи.
Открытая модель транспортной задачи.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности
прямых. Уравнение пучка прямых
Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве R3. Уравнения плоскости в
пространстве R3. Пересечение прямой и плоскости.
Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы. Полуоси, координаты
фокусов и эксцентриситет эллипса, гиперболы и их построение.
Векторы, линейные операции над векторами. Свойства линейных операций. Линейная
комбинация векторов. Пространство Rn. Определение векторного пространства, примеры
векторных пространств. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов.
Два определения линейной зависимости системы векторов. Доказательство эквивалентности
двух определений линейной зависимости векторов. Теорема о линейной зависимости системы
векторов, содержащей линейно-зависимую подсистему.
Теорема о существовании n линейно независимых векторов в Rn. Теорема о линейной
зависимости любых n+1 векторов в Rn. Базис векторного пространства. Теорема о
единственности разложения вектора по базису.
Скалярное произведение векторов и его свойства. Норма вектора. Ортогональность векторов.
Ортонормированный базис. Евклидово пространство.
Определение линейного оператора. Ядро и образ линейного оператора. Понятие матрицы
линейного оператора. Действия над линейными операторами.
Понятие собственных значений и собственных векторов линейного оператора . Понятие
характеристического уравнения линейного оператора.
Образец экзаменационного билета
1.
2.
3.
4.
Окружность, эллипс: их канонические уравнения и характеристики (теоретический вопрос).
Теорема о разрешимости транспортной задачи . (теоретический вопрос).
Решить задачу линейного программирования симплекс-методом (практическое задание).
Найти собственные векторы данного линейного оператора(практическое задание).
25
4.5 .Задание для студентов заочной формы обучения.
Домашнее задание представляет собой письменную работу, которая должна продемонстрировать степень
усвоения знаний, приобретенных студентом в ходе самостоятельной подготовки. Задание состоит из 10
вариантов задач по основным темам дисциплины.
Контрольная работа сдается форме собеседования, в ходе которого студент сначала кратко излагает
основные результаты работы и отвечает на замечания, отмеченные в рецензии. По результатам защиты
выставляется оценка (зачтено\незачтено), которая учитывает и ответы студента на вопросы, заданные
преподавателем. Студент должен владеть основными понятиями линейной алгебры в объеме программы,
четко формулировать определения, уметь применять эти понятия при решении практических задач.
Студенты 1 курса заочного отделения должны выполнить по учебному плану одну контрольную работу
своего варианта. Номер варианта совпадает с последней цифрой его учебного шифра (номер зачетной
книжки). Номера задач вариантов контрольных работ указаны в таблице, приведенной ниже:
номер
Контрольная работа
варианта
1
1
11
21
31
41
51
61
71
81.
2
2
12
22
32
42
52
62
72
82.
3
3
13
23
33
43
53
63
73
83.
4
4
14
24
34
44
54
64
74
84.
5
5
15
25
35
45
55
65
75
85.
6
6
16
26
36
46
56
66
76
86.
7
7
17
27
37
47
57
67
77
87.
8
8
18
28
38
48
58
68
78
88.
9
9
19
29
39
49
59
69
79
89.
10
10
20
30
40
50
60
70
80
90.
Задание 1. Решить систему уравнений а) методом Жордана-Гаусса; б) методом модифицированных
жордановых исключений. Найти все базисные решения системы.
26
 x  x2  x3  4,
5. 1
 x1  x2  x3  2.
Задание 2. Решить систему уравнений а) по формулам Крамера; б) матричным способом.
Задание 3. Выяснить является ли система векторов линейно зависимой или линейно независимой, в
случае линейной зависимости привести пример нетривиальной линейной комбинации, равной нулевому
вектору (представить один из векторов в виде линейной комбинации остальных).
21. а1 = (1; 2; 3; 4), а2 = (4; 3; 2; 1), а3 = (5; 5; 5; 5).
22. а1 = (1; 1; 1; 1), а2 = (1; 2; 3; 4), а3 = (1; 3; 3; 1).
23. а1 = (1; 3; 3; 6), а2 = (2; 3; 0; 3), а3 = (1; 2; 1; 3).
24. а1 = (1; 1; 1; 1), а2 = (1; -1; 1; -1), а3 = (2; 3; 1; 4).
25. а1 = (0; 2; 4; 6), а2 = (-1; 0; 1; 1), а3 = (2; 4; -1; 3).
26. а1 = (4; 3; 2; 1), а2 = (1; 2; 3; 4), а3 = (5; 6; 5; 0).
27. а1 = (1; 3; 2; -4), а2 = (1; 2; 0; 4), а3 = (2; 4; 0; 8).
28. а1 = (4; 3; 2; 1), а2 = (2; 3; 4; 5), а3 = (6; 6; 6; 6).
29. а1 = (1; 2; 0; 3), а2 = (2; 1; 3; 4), а3 = (1; 0; 3; -2).
30. а1 = (0; 1; 1; 2), а2 = (1; 2; 3; 1), а3 = (1; 2; 3; -4).
Задание 4. Показать, что векторы а1, а2, а3 образуют базис в R 3 базис и разложить вектор а4 по этому
27
базису.
31. а1 = (2; 1; 3), а2 = (-4; -2; -1), а3= (3; 4; 5) , а4 = (1; 3; 2).
32. а1 = (2; 1; 4), а2 = (-3; 5; 1), а3= (1; -4; -3) , а4 = (2; -5; -4).
33. а1 = (2; 3; 1), а2 = (-1; 2; -2), а3= (1; 2; 1) , а4 = (2; -2; 1).
34. а1 = (1; 2; 1), а2 = (2; -1; 3), а3= (3; -1; 4) , а4 = (5; 1; 6).
35. а1 = (2; 2; -1), а2 = (0; 4; 8), а3= (-1; -1; 3) , а4 = (1; 1; 2).
36. а1 = (1; -2; 1), а2 = (1; 1; 1), а3= (-1; 1; 1) , а4 = (2; 3; 6).
37. а1 = (3; -2; 2), а2 = (-1; 1; -1), а3= (0; 1; 4) , а4 = (5; 0; 15).
38. а1 = (5; 1; 4), а2 = (0; -1; 1), а3= (4; 2; 2) , а4 = (1; 0; 1).
39. а1 = (2; 3; 1), а2 = (2; 2; 1), а3= (-1; -3; -2) , а4 = (4; 7; 3).
40. а1 = (2; -1; 4), а2 = (1; -2; 2), а3= (-1; 2; 1) , а4 = (-4; 14; 7).
Задание 5. Дана матрица А линейного оператора в
. 1). Построить матричный оператор, заданный
матрицей А. 2). Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора (матрицы). 3).
Привести квадратичную форму, заданную матрицей А в
, к каноническому виду, а также найти
ортонормированный базис, в котором она имеет этот вид. 4). Построить линии уровня квадратичной
формы.
 3  2
 2 3  .
41. А=
 1  3
 3 1  .
46. А=
42. А=
47. А=
.
43. А=
48. А=
.
44. А=
.
45. А=
49. А=
50. А=
.
.
.
.
.
Задание 6. Дан треугольник с вершинами A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). Найти:
(а) уравнение стороны АС;
(б) уравнение высоты АК;
(в) длину средней линии MP/BC;
(г) угол
^
;
(д) точку пересечения высот треугольника.
51. А (-4,0),
B (-2,6), C (2,2).
28
52. A (-3,0),
B (-1,6), C (3,2).
53. A (-2,0),
B (0,6), C (4,2).
54. A (-1,0),
B (1,6), C (5,2).
55. A (0,0),
B (2,6), C (6,2).
56. A (1,0),
B (3,6), C (7,2).
57. A (2,0),
B (4,6), C (8,2).
58. A (3,0),
B (5,6), C (9,2).
59. A (4,0),
B (6,6), C (10,2).
60. A (-5,0),
B (-1,6), C (1,2).
Задание 7. Найти:
а) уравнение прямой
, проходящей через точки А(x1, y1, z1); B(x2, y2, z2).
б) уравнение плоскости
, проходящей через точки 0(0, 0, 0), С(0, y3, 1) параллельно прямой
в) пересечение прямой с плоскостью H: сx+ay+z+1=0.
61. A(1,2,3),
B(3,4,4),
C(0,-3,1),
H: 3x+y+2z+1=0.
62. A(1,1,2),
B(3,2,3),
C(0,-4,1),
H: 2x+y+z+1=0.
63. A(1,1,1),
B(3,3,2),
C(0,-4,1),
H: x+y+z+1=0.
64. A(1,1,3),
B(3,2,4),
C(0,-4,1),
H: 3x+y+z+1=0.
65. A(2,1,1),
B(5,2,2),
C(0,-4,1),
H: x+2y+z+1=0.
66. A(2,2,1),
B(5,4,2),
C(0,-3,1),
H: x +2y+2z+1=0.
67. A(3,2,1),
B(7,4,2),
C(0,-3,1),
H: x+3y+2z+1=0.
68. A(3,2,2),
B(7,4,2),
C(0,-3,1),
H: 2x+3y+2z+1=0.
69. A(4,1,1),
B(9,2,2),
C(0,-4,1),
H: x+4y+z+1=0.
70. A(4,2,1),
B(9,4,2),
C(0,-3,1),
H: x+4y+2z+1=0.
Задание 8. Решить графическим методом задачу линейной оптимизации
81.
82.
83.
84.
.
29
85.
86.
87.
88.
89.
90.
5. Дополнения и изменения в рабочей программе на учебный год __2012___/___2013___
в литературе
Следующие записи относятся к п.п. 3.1
Автор
Зав. кафедрой
Принято УМУ__________________________________ Дата:_____________________
30