ЛЕКЦИЯ 24 Расчет многопролетных неразрезных балок

В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
1
ЛЕКЦИЯ 24 Расчет многопролетных неразрезных балок
Неразрезными называются
балки, имеющие 2 и более пролета
и не имеющие шарниров над
промежуточными
опорами.
Неразрезная балка, имеющая 2 и
более
пролетов,
статически
является
неопределимой
Рис. 1
(см. рис. 1).
1 Общий вид многопролетной балки и определение степени
статической неопределимости
Рис. 2
Обозначение:
1. Нумерация опор: 0, 1, … , m;
2. Нумерация участков: 1, 2, …, m (по номеру правой опоры участка);
3. Обозначение длины участка – в соответствии с его номером;
4. Р1, Р2, …, Рm – суммарная внешняя нагрузка, действующая в пределах
i-го участка;
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
2
5. Степень статической неопределимости системы:
m + 1 шарниров,
m + 2 связей в опорах,
k = m + 2 – 3 = (m – 1) раз статически неопределимая система (m
– число пролетов).
2 Методика раскрытия статической неопределимости.
Вывод уравнения трех моментов как условия совместности угловых
деформаций
Выделим два соседних участка: n и n+1 и рассмотрим их в
равновесии.
или:
Рис. 3
На опорах n – 1 и n + 1 действие отброшенных участков заменено
моментами Mn-1 и Mn+1. Они приложены как положительные, используя
ранее принятое правило знаков:
Силовое взаимодействие n
и
n+1
участков
выражаем через Mn, который действует в сечении над средней опорой.
Очевидно, рассматриваемая задача 1 раз статически неопределима и для ее
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
раскрытия надо
деформаций.
воспользоваться
условиями
совместности
3
угловых
Рассмотрим условие совместности
угловых деформаций участков n и n+1 в
таком виде:
n,n – угол поворота n-го шарнира, т.е.
Рис. 4
угол поворота правого сечения левого
участка должен быть равен углу поворота
левого сечения правого участка:
n,n = +n,n+1
(1)
1. Из рассмотрения равновесия пролета n определяем n,n.
n,n = n,n(Pn) + n,n(Mn-1) +
+ n,n(Mn).
(2)
а) определяем угол поворота на правой
Рис. 5
опоре
левого
пролета,
вызванный
внешними силами, приложенными к
левому пролету, т.е. угол n,n(Pn):
Единичное состояние показано на рис. 6:
Применяя метод Мора, можно записать, что
l
1 n
 n ,n Pn  
 M yP x M y x dx   n ,n . (3)
EI y 0
Заметим, что угол  n ,n можно вычислить при
любом законе изменения функции M yP  x  .
Рис. 6
4
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
б) Определяем угол поворота на правой опоре
левого пролета, вызванный моментом M n 1 ,
т.е. угол  n ,n M n 1  :
Единичное состояние имеет вид, показанный
на рис. 7.
 n ,n M n 1  
1 M n 1ln 1

2
3
EI
(4)
с) определим угол поворота на правой опоре
левого пролета, вызванный моментом M n ,
т.е. угол  n ,n M n  (см. рис. 8):
Единичное
Рис. 7
состояние
имеет
вид,
представленный на рис. 8.
 n ,n M n  
1 M n  ln 2

2
3
EI
(5)
Подставляя (3), (4), (5) в уравнение
(2), получаем в итоге
 n ,n   n ,n 
M n 1  ln M n ln
.

6 EI y
3EI y
(6)
2. Из рассмотрения равновесия пролета
n+1 определяем  n ,n 1 (см. рис. 9).
 n ,n 1   n ,n 1 Pn 1    n ,n 1 M n  
  n ,n 1 M n 1 
Рис. 8
(7)
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
5
а) определяем угол поворота на левой
опоре правого пролета, вызванный
внешними силами, приложенными к
пролету,
Рис. 9
 n ,n 1 Pn 1 
т.е.
(см.
рис. 10):
1
 n ,n 1 Pn 1  
EI
l n 1
  n ,n 1
 M yP x M y x dx 
0
(8)
Замечание: Знак (-) вытекает из-за
разных
знаков
эпюр
грузового
и
единичного состояний.
в) определяем угол поворота на левой
опоре правого пролета, обусловленный
Mn ,
моментом
Рис. 10
т.е.
 n ,n 1 M n 
(см рис 11):
 n ,n 1 M n  
1 M n  ln 1  2 
 .
2
EI y
 3
(9)
с) определяем угол поворота на левой
опоре правого пролета, обусловленный
моментом
M n 1 , т.е.  n ,n 1 M n 1 
(см. рис. 12):
Рис. 11
6
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
 n ,n 1 M n 1  
1 M n 1ln 1  1 
 .
2
EI y
 3
(10)
Подставим (8), (9), (10) в (7), получаем
окончательно:
 M l

n n 1  
 3EI y 


 n,n 1   n,n 1   
 M l

   n 1 n 1  .

6 EI y 

(11)
На основании (1), (3) и (5) получаем:
 n, n 
Рис. 12
или
  n,n 1 
M n 1ln M nln


6 EI y
3EI y
M nln 1 M n 1ln 1

3EI y
6 EI y
M n 1ln  2M n ln  ln 1   M n 1ln 1  6 EI y  n ,n   n ,n 1  .
(12)
(13)
Уравнение (13) называется уравнением трех моментов.
Для любой многопролетной неразрезанной балки можно
составить число уравнений 3-х моментов, равное числу промежуточных
опор, т.е. степени статической неопределимости системы и раскрыть
ее статическую неопределимость.
В случае трижды статически неопределимой балки имеем три
уравнения трех моментов, связывающие соседние пролеты, как показано на
рис. 13:
Рис. 13
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
7
Входящие в формулу (13) углы  n ,n и  n ,n 1 – это углы поворота,
вызванные внешними силами, приложенными в пределах левого и правого
пролетов соответственно.
3 Особые случаи
1. За пределами одной из крайних опор имеется консольный участок. В
этом случае необходимо привести систему сил, действующую в пределах
Рис. 14
консольного
участка,
к
ближайшей
опоре
и
рассматривать
момент
этой
системы
как
сил
внешний
силовой фактор или как внутренний момент (что то же самое), входящий в
левую часть уравнения трех моментов.
2. Один из концов балки жестко защемлен – при этом жесткую заделку
заменяют фиктивным пролетом нулевой длины
В этом случае l1  0 ,
l2  l ,
1,1  0 , 1,2  1,2 P  ,
Рис. 15
M0  0,
M2  0.
Момент M 1 в сечении
над промежуточной сторон (т.е. в жесткой заделке) легко определяется из
уравнения трех моментов (13).
4 Примеры расчета статически неопределимых неразрезных балок
Example 1 Open the static indeterminacy of the beam shown in Fig. 16.
8
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
Given: F=10 kN,
a=1m, b=2m,
c=3m
Qz  x  , M y  x   ?
Fig. 16
The system is two-fold statically indeterminate. A feature of the system is
the presence of the overhanging end on the right and the built-in end on the
left. We transfer the force F to the point over the right support and introduce the
moment M 3 in place of the removed overhang (cantilever part).
We replace the built-in fixation by two infinitely close supports, i.e., we
introduce a span of length l1  0 on the left. Equivalent system is shown in Fig. 16
For the pair of spans AB and BC equation (13) becomes
M 0l1  2 M1l1  l2   M 2l2  6 EI 1,1  1,2  , M 0  0 , 1,1  1,2  0 .
l1  0, l2  a, l3  b .
We proceed to the second pair of spans. The moment of the given force
M D  M 3 may be considered either as a support moment equal to  Fс or as a
given external load. We shall consider the moment  Fс as a support moment.
Equation (13) then yields
M1l2  2 M 2 l2  l3   M 3l3  6 EI  2,2   2,3 ,  2,2   2,3  0 .
By solving the equations obtained simultaneously, we find
0  0  2 M1  0  a   M 2a  0,

 M1a  2 M 2  a  b   F  C  b  0,
2 Fbc
Fbc
M2 
 10.91 kNm, M1 
 5.45 kNm .
3a  4b
3a  4b
Thereafter we draw a bending moment diagram connecting to separately
considered spans:
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
9
Fig. 17
Example 2 Open the statically indeterminacy of the beam shown in Fig. 18.
Given: F=10 kN,
q=10 kN/m,
M A  20kNm ,
M B  40kNm ,
M C  30kNm ,
a=1m, b=2m,
c=3m, d=1m
Qz  x  , M y  x   ?
Fig. 18
In this case
M 0  F  a  M A  10  1  20  10kNm,
d2
1
M 2  q
 M C  10  30  25kNm.
2
2
1.1  11  M B   
Fig. 19
M Bb
40  2
80


.
3EI
3EI
3EI
10
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
qc3
10  33
45


1,2  1,2  q   
24 EI
24 EI
4 EI
Fig. 20
Substituting into equation (13) we get
45 
 80
10  2  2 M  2  3  25  3  6 EI  

.
 3EI 4 EI 
From this, M1  3.75 kNm.
Therefore, opening of statical indeterminacy is finished and we will consider the
equilibrium of two separate spans:
(a) left span:
Fig. 21
(b) right span:
В.Ф. ДЕМЕНКО МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ 2013
Fig. 22
11