лекция 2 часть, 784 kb

Лекция 2.8
Переменный ток
План:
1.
Введение
2.
Квазистационарные токи
3.
Переменный ток через сопротивление
4.
Переменный ток через индуктивность
5.
Переменный ток через емкость
6.
Цепь, содержащая индуктивность, емкость и сопротивление
7.
Переменный ток через индуктивность и сопротивление
8.
Резонанс напряжений
9.
Резонанс токов
10. Мощность переменного тока
11. Литература
12. Вопросы для самопроверки
1. Введение
Переменным током называют электрический ток, который периодически изменяется по модулю и направлению.
Он нашел широкое применение в промышленности и быту. Практически каждое устройство питается с помощью переменного тока.
Основные преимущества переменного тока:
 Более удобен для получения и передачи на большие расстояния
(меньше потерь);
Международное сокращение:
DC – постоянный ток (direct
current)
AC – переменный ток (alternating current)
Как правило, под переменным
током имеют в виду синусоидальный ток, сила которого
меняется по закону синуса
(либо косинуса).
 Можно легко менять напряжение с помощью трансформатора.
Тем не менее, надо отметить, что большинство электронных приборов используют постоянный ток.
2. Квазистационарные токи
Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания
можно рассматривать как протекание в цепи, содержащей резистор,
катушку индуктивности и конденсатор переменного тока.
Переменный ток можно считать квазистационарным, т. е. для
него мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распространяются по цепи со
скоростью, равной скорости света.
Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются
закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа.
Рассмотрим последовательно процессы, происходящие на участке
цепи, содержащем резистор, катушку индуктивности и конденсатор,
к концам которого приложено переменное напряжение:
Квази- (лат. quasi)
первая часть сложных слов то
же, что «как будто», «мнимый»,
«лже-».
Ток промышленной частоты
50 Гц квазистационарен для
цепей длиной до ~100 км.
Лекция 2.8. Переменный ток
U  U m cos( t) ,
где
(1)
Векторная диаграмма – графическое изображение вели-
U m — амплитуда напряжения.
чины, меняющейся по закону
синуса (косинуса).
3. Переменный ток, через сопротивление
Например:
Схема электрической цепи представлена на рис. 1, а. В данном случае можно считать:
ставляется в виде проекции



Величина S  A cos( t) , пред-
S x на ось Ox вектора S , вращающегося с постоянной угло-
R0
L0
C 0
вой скоростью
 ( A  S ):
При выполнении условия квазистационарности ток через резистор
определяется законом Ома:
I
U Um

cos( t)  I m cos( t) ,
R
R
Um
– амплитуда (максимальное значение) силы тока;
R
R – активное (омическое) сопротивление резистора.
Im 
где
а)
Для наглядного изображения соотношений между переменными токами и напряжениями воспользуемся методом векторных диаграмм.
На рис. 1, б дана векторная диаграмма амплитудных значений тока
I m и напряжения U m на резисторе.
б)
Сдвиг фаз между I m и U m равен нулю, т.е. I m и U m векторы кол-
Рис. 1. Цепь с резистором
линерны и одинаково направлены.
Коллинерные векторы – век-
4. Переменный ток, через индуктивность
торы, лежащие на параллельных прямых, или на одной пря-
Схема электрической цепи представлена на рис. 2, а:



мой.
L0
R 0
C 0
а)
Если в цепи приложено переменное напряжение (1), то в ней потечет
переменный ток, в результате чего возникнет ЭДС самоиндукции:
б)
dI
S  L
dt
Тогда закон Ома для рассматриваемого участка цепи имеет вид
U m cost  L
L
2 из 12
dI
0,
dt
dI
 U m cost
dt
Рис. 2. Цепь с катушкой
(2)
Лекция 2.8. Переменный ток
Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности,
то
UL  L
dI
dt
(3)
есть падение напряжения на катушке.
Из уравнения (2) следует, что
dI 
Um
cost   dt
L
После интегрирования, учитывая, что постоянная интегрирования
равна нулю (так как отсутствует постоянная составляющая тока), получим
I
где
Um
U




sin t  m cos t    I m cos t   ,
L
L
2
2



Um
;
L
RL  L .
(4)
Im 
(5)
Величина (5) называется реактивным индуктивным сопротивлением (или индуктивным сопротивлением).
Из выражения (5) вытекает, что для постоянного тока (   0 ) катушка индуктивности не имеет сопротивления.
Подстановка значения
U m  LI m
dI
 U m cost
dt
dI
UL  L
с учетом
dt
приводит к следующему значению падения напряжения на катушке
индуктивности:
в выражение
L
U L  LI m cost
(6)
Сравнивая с выражением


I  I m cos t   ,
2

приходим к выводу, что падение напряжения U L опережает по фазе
ток I , текущий через катушку, на
диаграмме (рис.2,б).
3 из 12

, что и показано на векторной
2
◄ Индуктивное сопротивление
Лекция 2.8. Переменный ток
5. Переменный ток, текущий через емкость
а)
Схема электрической цепи представлена на рис. 3, а:



C0
R0
L0
б)
Если переменное напряжение (1) приложено к конденсатору, то он
все время перезаряжается, и в цепи течет переменный ток.
Так как все внешнее напряжение приложено к конденсатору, а сопротивлением подводящих проводов можно пренебречь, то
q
 U C  U m cost
C
Рис. 3. Цепь с конденсатором.
Сила тока
I
dq


 CU m sin t  I m cos t   ,
dt
2

Величина
RC 
(7)
1
C
◄ Емкостное сопротивление
называется реактивным емкостным сопротивлением (или емкостным сопротивлением).
Для постоянного тока (   0 ) RC   , т. е. постоянный ток через
конденсатор течь не может.
Падение напряжения на конденсаторе
UC 
1
I m cos t
C
(8)
Сравнение выражений (7) и (8) приводит к выводу, что напряжение U C отстает по фазе от текущего через конденсатор тока I на
Это показано на векторной диаграмме (рис. 3, б).
4 из 12

.
2
Лекция 2.8. Переменный ток
НАПРЯЖЕНИЕ И ТОК В ЭЛЕМЕНТАХ ЦЕПИ
Резистор
Изменяются синфазно (одинаковые по фазе)
сопротивления
Катушка
индуктивности
Конденсатор
Напряжение опережает ток на

2
Напряжение отстает от тока на

2
6. Цепь переменного тока, содержащая емкость, ин-
а)
дуктивность и сопротивление
Схема электрической цепи представлена на рис. 4, а. В данном
случае можно считать:



б)
R0
L0
C0
В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения U R , U L и U C .
На рис. 4, б представлена векторная диаграмма амплитуд падений
напряжений на резисторе ( U R ), катушке ( U L ) и конденсаторе ( U C ).
Амплитуда U m приложенного напряжения должна быть равна
векторной сумме амплитуд этих падений напряжений.
Как видно из рис. 4, б, угол  определяет разность фаз между
Рис. 4. Цепь с резистором,
катушкой и конденсатором
напряжением и силой тока. Из рисунка следует, что
tg  
L 
1
C
(9)
R
и тока в RLC-цепи
Из прямоугольного треугольника получаем
RI m 2   L 

5 из 12
◄ Разность фаз напряжения
1  
2
I  U m
C  m 
Лекция 2.8. Переменный ток
откуда амплитуда силы тока имеет значение:
Um
Im 
1 

R   L 

C 

(10)
2
◄ Амплитуда тока в RLC-цепи
2
Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону
U  U m cos( t) , то в цепи течет ток:
I  I m cos( t   ) ,
где
tg  
L 
(11)
1
C
R
и
Um
Im 
1 

R   L 

C 

2
,
2
Величина Z называется полным сопротивлением цепи:
2
1 

2
2
Z  R 2   L 
  R  RL  RC  ,
C 

(12)
◄ Полное сопротивление цепи
а величина X – реактивным сопротивлением
X  RL  RC  L 
1
C
◄ Реактивное сопротивление
7. Переменный ток через индуктивность и
а)
сопротивление
Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. Схема электрической цепи представлена на рис. 5, а:
 C0
 R0
 L0
б)
В данном случае падения напряжений U R и U L в сумме равны
приложенному напряжению U .
U  UR UL
Рис. 5. Цепь с резистором и ка-
Векторная диаграмма для данного случая представлена на
рис. 5, а, из которого следует, что
tg  
L
R
и
Im 
Um
R  L 
2
2
,
(13)
Выражения (9) и (10) совпадают с (13), если в них RC  0 , т.е.
C .
Следовательно, отсутствие конденсатора в цепи означает, что
C   , а не C  0 .
6 из 12
тушкой
Лекция 2.8. Переменный ток
Данный вывод можно трактовать следующим образом: сближая
обкладки конденсатора до их полного соприкосновения, получим
цепь, в которой конденсатор отсутствует (расстояние между обкладками стремится к нулю, а емкость — к бесконечности).
C
 0 S
d
8. Резонанс напряжений
Резонанс – явление резкого
Если в цепи переменного тока, содержащей последовательно
включенные конденсатор, катушку индуктивности и резистор (см.
рис. 4, а),
увеличения амплитуды вынужденных колебаний, при
совпадении частоты внешней
вынуждающей силы с собственной частотой колебатель-
1
L 
,
C
(14)
ной системы
то вектор напряжения «ложится» вдоль вектора тока (рис. 6).
Другими словами, угол сдвига фаз между током и напряжением (13)
обращается в нуль   0 . В этом случае говорят, что изменения тока
и напряжения происходят синфазно.
Условию (14) удовлетворяет частота
 рез 
1
(15)
LC
Если учитывать активное сопротивление R контура:
 рез 
1
R2
 2
LC L
Частота собст 
◄ Частота резонанса
напряжений
1
, называется собственной частотой контура.
LC
В данном случае полное сопротивление цепи Z (12) становится
минимальным, равным активному сопротивлению R цепи, и ток в
цепи определяется этим сопротивлением, принимая максимальные
(возможные при данном U m ) значения (рис 6).
При этом падение напряжения на активном сопротивлении равно
внешнему напряжению, приложенному к цепи ( U R  U ), а падения
напряжений на конденсаторе ( U C ) и катушке индуктивности ( U L )
одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе.
Явление резкого увеличения амплитуды силы тока в контуре,
при совпадении частоты питающего напряжения с собственной
частотой контура, называется резонансом напряжений (последовательным резонансом), а частота (15) — резонансной
частотой.
В случае резонанса напряжений
U L рез  U C рез
7 из 12
Рис. 6. Резонанс напряжений
Лекция 2.8. Переменный ток
подставив в эту формулу значения резонансной частоты и амплитуды
напряжений на катушке индуктивности и конденсаторе, получим
В случае резонанса на конденсаторе можно получить
напряжение с амплитудой
L
1 L
U L рез  U C рез 
Im 
U m  QU m ,
C
R C
где
Q
QU m . (В данном случае Q —
добротность контура, кото-
— добротность контура, определяемая выражением
1 L
(обычно Q  1 ).
Q
R C
рая может быть значительно
больше U m ).
Такое усиление напряжения
возможно только для узкого
Явление резонанса напряжений используется в технике для усиления колебания напряжения какой-либо определенной частоты.
Явление резонанса напряжений необходимо учитывать при расчете изоляции электрических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивности, так как иначе может наблюдаться их пробой.
интервала частот вблизи резонансной частоты контура, что
позволяет выделить из многих
сигналов одно колебание
определенной частоты, т. е. на
радиоприемнике настроиться
на нужную длину волны.
9. Резонанс токов
Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно
включенные конденсатор емкостью C и катушку индуктивностью L
(рис. 7, а).
Для простоты допустим, что активное сопротивление обеих ветвей
настолько мало, что им можно пренебречь.
Если приложенное напряжение изменяется по закону
U  U m cost , то, согласно формуле (11), в ветви 1С2 течет ток
I1  I m1 cost  1  ,
а)
б)
амплитуда которого определяется из выражения (10) при условии
R0 и L0:
I m1 
Um
 U m  C
1
C
Рис. 7. Резонанс токов
Начальная фаза 1 этого тока по формуле (9) определяется равенством:
tg1   ,


3
2
1   2n   ,
(16)
где n  1, 2, 3, ...
Аналогично, сила тока в ветви 1L2
I 2  I m2 cost  2 
амплитуда, которого определяется из (10) при условии R  0 и C  
(условие отсутствия емкости в цепи):
I m2 
Um
L
Начальная фаза  2 этого тока (9):
8 из 12
Лекция 2.8. Переменный ток


где
1
2
 2   2n   ,
tg1   ,
(17)
n  1, 2, 3, ...
Из сравнения выражений (16) и (17) вытекает, что разность фаз токов в ветвях 1С2 и 1L2 равна 1   2   , т. е. токи в ветвях противоположны по фазе. Амплитуда силы тока во внешней (неразветвленной) цепи
1 

I m  I m1  I m 2  U m C 
L 

Если    рез 
1
LC
, то I m1  I m2 и I m  0 .
Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней
цепи, питающей параллельно включенные конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частоты  приложенного напряжения к резонансной частоте  рез называется резонансом токов (параллельным резонансом).
В данном случае для резонансной частоты получили такое же значение, как и при резонансе напряжений (15).
Амплитуда силы тока оказалась равна нулю I m  0 потому, что
активным сопротивлением контура пренебрегли. Если учесть сопротивление R , то разность фаз 1—2 будет равна , поэтому при резонансе токов амплитуда силы тока I m будет отлична от нуля, но примет наименьшее возможное значение.
Таким образом, при резонансе токов во внешней цепи токи I1 и I 2
компенсируются и сила тока I в подводящих проводах достигает минимального значения, обусловленного только током через резистор.
При резонансе токов силы токов I1 и I 2 могут значительно превышать силу тока I .
Итак, резонанс токов интересен тем, что полной сопротивление
цепи оказывается чисто активным и имеет наибольшее сопротивление (при резонансе напряжений – наименьшее). Другими словами,
рассмотренный контур оказывает большое сопротивление переменному току с частотой, близкой к резонансной.
Представим эти выводы в виде таблицы:
Резонанс
напряжений
токов
Z  R , т.к. RL  RC
сопротивление максимальное
сопротивление минимальное
Z  R  Z max
Z  R  Z min
Развиваемая мощность выделяется на активном сопротивлении
цепи R .
9 из 12
Лекция 2.8. Переменный ток
Свойство резонанса токов используется в резонансных усилителях, позволяющих выделять одно определенное колебание из сигнала
сложной формы.
Кроме того, резонанс токов используется в индукционных печах,
где нагревание металлов производится вихревыми токами. В них
емкость конденсатора, включенного параллельно нагревательной катушке, подбирается так, чтобы при частоте генератора получился резонанс токов, в результате чего сила тока через нагревательную катушку будет гораздо больше, чем сила тока в подводящих проводах.
Вихревые токи – индукционные токи, возникающие в проводниках при изменении пронизывающего их магнитного
потока (явление электромагнитной индукции).
Используются в металлургии в
индукционных печах – в катушку,
питаемую
высокоча-
стотным генератором большой
мощности,
помещают
проводящее тело. Вследствие
10. Мощность переменного тока
сильного и быстрого изменения магнитного поля в нем
Мгновенное значение мощности переменного тока равно
произведению мгновенных значений напряжения и силы тока:
P(t )  U (t ) I (t ) ,
где
возникают
вихревые
токи,
разогревающие его до температуры плавления.
◄ Мгновенная мощность тока
U  U m cos( t) ,
I  I m cos( t   )
Раскрыв cos( t   ) , получим
P(t )  I mU m cos( t   ) cos( t) 

 I mU m cos2 t  cos  sin t  cost  sin 

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебания.
Учитывая, что
cos2  t 
1
2
и
sin  t  cos t  0
получим
P 
1
I mU m cos
2
(18)
◄ Средняя мощность
Из векторной диаграммы (рис. 6) следует, что
U m cos  RI m2
поэтому P 
1 2
RI m
2
Im
2
Действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения называются соответственно величины:
Такую же мощность развивает постоянный ток I 
I
Im
,
2
U
Um
2
Все амперметры и вольтметры градуируются по действующим
значениям тока и напряжения.
10 из 12
◄ Действующие значения
тока и напряжения
Лекция 2.8. Переменный ток
Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение
средней мощности (18) можно записать в виде
P  IU cos ,
где
(19)
cos – называется коэффициентом мощности.
Формула (19) показывает, что мощность, выделяемая в цепи переменного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между ними.
Если в цепи реактивное сопротивление отсутствует, то
cos  1 и
P  IU
Если цепь содержит только реактивное сопротивление ( R  0 ), то
cos  0 и средняя мощность равна нулю, какими бы большими ни
были ток и напряжение.
Если cos имеет значения, существенно меньше единицы, то для
передачи заданной мощности при данном напряжении генератора
нужно увеличивать силу тока что приведет либо к выделению джоулевой теплоты, либо потребует увеличения сечения проводов, что повысит стоимость линий электропередачи.
Поэтому на практике всегда стремятся увеличить cos , наименьшее допустимое значение которого для промышленных установок составляет примерно 0,85.
11 из 12
◄ Средняя мощность
Лекция 2.8. Переменный ток
11. Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Трофимова Т.И.
Курс физики. – М.: Академия, 2010. – 560 с.
Савельев И.В.
Курс общей физики. В 5 томах. Том 2. Электричество и магнетизм. – М.: Лань, 2011. – 348 с.
Детлаф А. А., Яворский Б.М.
Курс физики. – М.: Академия, 2009. – 720 с.
Сивухин Д.В.
Общий курс физики. В 5 томах. Том 3. Электричество. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 656 с.
Ваганова Т.Г.
Физика. Практикум по решению задач. Часть I: Механика.
Электричество. Магнетизм. – Улан-Удэ: Издательство
ВСГТУ, 2009. – 114 с.
Чертов А.Г, Воробьев А.А.
Задачник по физике. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 640 с.
12. Вопросы для самопроверки
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
12 из 12
Какой ток называют переменным?
Для чего переменный ток представляют как квазистационарный ток?
В чем заключается метод векторных диаграмм?
Как изменяются напряжение и ток в цепи с катушкой индуктивности?
Как изменяются напряжение и ток в цепи с конденсатором?
Какое сопротивление называют реактивным? От чего оно зависит?
В чем заключается резонанс напряжений? Резонанс токов?
Чему равна мощность переменного тока?