Линейные и нелинейные уравнения физики

Линейные и нелинейные уравнения физики
3 курс, 5 семестр, 2014/2015 учебный год, очное отделение, направление
«Фундаментальная физика», факультет физики и ИТ
Перечень вопросов к экзамену
1. Линейные пространства.
2. Евклидовы и Эрмитовы пространства.
3. Линейные
операторы.
подпространства.
Матрица
линейного
оператора.
Инвариантные
4. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
5. Сопряжённые и нормальные операторы.
6. Самосопряжённые, ортогональные и унитарные операторы.
7. Задача Штурма - Лиувилля.
8. Группы. Примеры групп, имеющих приложение в физике.
9. Группы преобразований и однородные пространства. Условия инвариантности
уравнений движения.
10. Представления групп. Представление группы симметрии уравнения Шредингера,
реализующееся на его собственных функциях.
11. Разложение функций в ряд Тейлора.
12. Гильбертовы пространства. Ортогональные системы функций. Ряды Фурье.
13. Интеграл Фурье.
14. Преобразование Фурье.
15. Обобщённые функции.
16. Вывод уравнения колебаний струны.
17. Вывод уравнения теплопроводности.
18. Общее решение одномерного волнового уравнения.
19. Задача Коши для одномерного волнового уравнения.
20. Смешанная задача для уравнения колебаний закреплённой струны.
21. Задача Коши для одномерного уравнения теплопроводности.
22. Трёхмерное волновое уравнение. Плоские волны.
23. Трёхмерное волновое уравнение. Сферические волны.
24. Уравнение Лапласа.
25. Волны на поверхности воды.
26. Уравнение Кортевега–де-Вриза.
27. Стационарные решения уравнения Кортевега–де–Вриза.
28. Общее уравнение теории специальных функций.
29. Задачи, приводящие к уравнению Лежандра. Полиномы Лежандра.
30. Полиномы Эрмита и Лагерра.
Итоговая контрольная работа
1. Является ли система векторов
зависимой?
линейного пространства C(R) линейно
2. Доказать, что произведение самосопряжённых операторов является самосопряжённым в том, и
только в том случае, когда они коммутируют.
3. Найти собственные числа и собственные функции линейного оператора
множестве функций с граничными условиями:
, заданного на
а)
б)
4. Пусть операторы А, В - самосопряжённые. Доказать, что
самосопряжённый.
5. Найти собственное значение оператора
.
6. Проверить операторные равенства
оператор
-
, принадлежащее собственной функции
является представлением группы R
7. Показать, что отображение
в линейном пространстве R2.
8. Найти частное решение дифференциального уравнения
виде тригонометрического ряда Фурье.
9. Функцию
в интервале
в
представить интегралом Фурье в комплексной форме.
10. Решить интегральное уравнение
11. Проверить, что функция
, где
- произвольные дважды
дифференцируемые функции, удовлетворяет одномерному волновому уравнению
.
12. Решить задачу Коши:
13. Найти полиномы Лежандра
отрезке [-1; 1].
по формуле Родрига и построить их графики на
14.
по
Найти
15. Найти распределение температуры
.
внутри кольца, ограниченного окружностями
удовлетворяющее условиям
17. Вычислить 4 первых полинома Эрмита
.
. Для n=0,1 использовать
, для n=2,3 – рекуррентную формулу
18. Показать, что
формуле
в бесконечном стержне, если начальное
распределение температуры имеет вид
16. Найти решение уравнения
рекуррентной
для
формулу