ISSUE;pdf

3760
УДК 681.5
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ТРАЕКТОРНЫМ ДВИЖЕНИЕМ
МОБИЛЬНОГО РОБОТА
А.А. Кабанов
Севастопольский национальный технический университет
Россия, Севастополь, Университетская ул., 33
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: траекторное управление, квадратический критерий качества, оптимальное управление, мобильный робот
Аннотация: Данная работа посвящена разработке оптимальной системы управления
траекторным движением мобильного робота. Синтез закона траекторного управления
основан на методах оптимального управления и асимптотических методах теории сингулярных возмущений. Последние применяются с целью понижения порядка решаемой
задачи, что позволяет упростить реализацию закона управления. Предлагаемая система
имеет два контура управления: первый – траекторный, второй – скоростной. Исходя из
этого, структура системы управления представляется двумя модулями: задающий и исполнительный модули. В работе представлены результаты экспериментальной проверки
работоспособности системы на мобильном роботе Rover5 с шасси танкового типа.
1. Введение
Автономные мобильные роботы все чаще внедряются в промышленности, в научно-исследовательских проектах и во многих других областях, где нежелательно или невозможно непосредственное участие человека. Проблема управления мобильными роботами (МР) на протяжении многих лет является актуальной ввиду широкого круга
практических приложений и теоретических задач, связанных с ней. Подтверждением
этому являются множество публикаций, изданных за последние несколько десятилетий,
в области управления движением МР, обзор которых можно найти в [1-8].
При управлении траекторным движением задача сводится к минимизации отклонения текущего положения МР от положения, заданного траекторией. При этом, как правило, оперируют простыми нелинейными моделями, характеризующими только кинематические зависимости между текущими параметрами движения МР и параметрами,
заданными траекторией. Здесь можно выделить два основных подхода к синтезу траекторного управления. Первый основан на использовании методов линейного синтеза и
использовании линеаризованных в окрестности заданной траектории моделей движения. При этом обычно используют метод модального управления для настройки параметров регулятора [4,7,8]. Второй подход основан на применении линеаризирующей
обратной связи или нелинейных методов управления, согласно которых параметры регулятора рассчитываются с помощью метода функций Ляпунова [2 ,3, 5-8].
Несмотря на работоспособность указанных выше подходов, вполне естественным
является вопрос об использовании методов оптимального управления для синтеза траекторных регуляторов. Здесь можно отметить работы [9-11], где для настройки параметров регулятора предлагается решать различные оптимизационные задачи. При этом
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
3761
качество следования МР по заданной траектории определяется некоторым критерием,
который необходимо оптимизировать. В результате получают законы управления, которые определяются выбранными критериями, методами их оптимизации.
Настоящая работа посвящена решению задачи синтеза оптимальной системы траекторного управления движением МР. В основе синтеза данной системы лежат методы
оптимального управления и асимптотические методы теории сингулярных возмущений
[12]. Последние, основанные на понижении порядка системы и асимптотическом приближении регулятора, позволяют упростить реализацию закона управления.
Статья построена следующим образом: второй раздел содержит описание математической модели МР и постановку задачи управления. Третий раздел посвящен вопросам синтеза системы оптимального управления траекторным движением МР. Результаты экспериментальных испытаний синтезированной системы показаны в четвертом
разделе. В заключении представлены основные выводы.
2. Разработка математической модели МР и постановка
задачи управления
2.1. Математическая модель МР
Рассматривается движение робота с шасси танкового типа в горизонтальной плоскости (рис. 1). Модель кинематики МР имеет вид [13]:
V1  V2
 dX
 dt  V cos  2 cos ,

V V
 dY
(1)
 V sin   1 2 sin  ,

2
 dt
d
V
V



2
1
 dt    2d ,
где X , Y – текущее положение МР в земной системе координат; V1, V2 , V – линейные
скорости левой, правой гусениц и самого МР, соответственно;  – угловая скорость
МР;  – угол между вектором скорости V и осью Х.
Y
y
V1
R1
x
V
ω
F1
V2
ϕ
R2
2d
O
F2
X
Рис. 1. Схема сил при движении МР на плоскости.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
3762
Уравнения динамики движения робота МР в горизонтальной плоскости с учетом
динамики исполнительных двигателей (считается, что оба двигателя являются полностью идентичными) имеют вид [13]:
 dV cm  n
m dt  r ( I1  I 2 ),

 J d  cm  n  d ( I  I ),
2
1
 dt
r
(2)

 L dI1   Rm  I1  ce  n (V  d   )  U1 ,
 dt
r
 dI
n
c
 L 2   Rm  I 2  e (V  d   )  U 2 ,
r
 dt
где m, J – масса и момент инерции робота, соответственно; n – передаточное отношение редуктора; r – радиус ведущего колеса; c m – постоянная момента двигателя;
I i – ток в якорной обмотке двигателя; R m , L – сопротивление и индуктивность якорной обмотки двигателя, соответственно; c e – постоянная э.д.с. двигателя; U i – напряжение в цепи якоря двигателя.
2.2. Постановка задачи управления траекторным движением МР
Пусть имеется некоторая заданная траектория
pref (t )  ( X ref (t ), Yref (t ),  ref (t )) .
Ошибка следования МР по заданной траектории p ref (t ) (рис. 2) определяется как [4]
(3)
 e1   cos
  
 e2     sin 
e   0
 3 
sin 
cos
0
0   X ref  X 

 
0    Yref  Y .
1    ref   
Рис. 2. Постановка задачи управления траекторным движением МР.
Дифференцируя (3), получаем нелинейную модель динамики ошибки следования
МР по заданной траектории:
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
3763
 de1
 dt  ref  e2  V  Vref  cos e3 ,

 de2
 ref  e1  Vref  sin e3 ,

dt

 de3
 dt  ref   .
Линеаризация последних уравнений в окрестности заданной траектории (т.е. при
ei  0, i  1,2,3 ) приводит к системе
 de1
 dt  ref  e2  u1 ,

 de2
(4)
 ref  e1  Vref  e3 ,

dt

 de3
 dt  u2 ,
где обозначено u1  Vref  V , u2  ref  .
Задача заключается в синтезе управлений u1 и u 2 , при которых достигался бы минимум интегрального квадратического критерия качества

(5)


1
   q1e12  q2 e22  q3e32  r1u12  r2u22 dt  min .
u1 , u 2
20
Зная сигналы управления u1 и u2 , рассчитываются требуемые значения скоростей
робота:
Vdes  Vref  u1 , des  ref  u2 .
Далее задача сводится к стабилизации линейной и угловой скоростей МР относительно требуемых значений Vdes и des , которую также можно сформулировать как задачу оптимального управления, т.е. минимизировать критерий качества
(6)
f 



1
~
~
~
qV V 2  q~ 2  rU 1U12  rU 2U 22 dt  ~min
~ ,

U 1 ,U 2
20
на траекториях системы (2), записанной в отклонениях от номинального режима
~
~     , U~  U  U , i  1,2 , которому соответствует движение МР
V  V  Vdes , 
des
i
i
i des
с требуемой скоростью.
Таким образом, задача управления траекторным движением сводится к двум подзадачам: первая – касается синтеза траекторного регулятора на основе решения оптимизационной задачи (4), (5); вторая – связана с синтезом регулятора скоростей (линейной и угловой) движения МР на основе решения оптимизационной задачи (2), (6). Следует отметить, что если Vref и  ref постоянные, то первая подзадача является стационарной, иначе – нестационарной; вторая подзадача – стационарная.
3. Решение задачи управления траекторным движением
3.1. Синтез траекторного регулятора
Траекторный регулятор конструируется на основе решения оптимизационной задачи (4), (5), которую удобно записать в векторно-матричной форме:
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
3764

(7)


1
 K   e TQ K e  u KT RK u K dt  min,
uK
20
QK  diag( q1, q2 , q3 )  0, RK  diag( r1, r2 )  0
при ограничениях
de
(8)
 AK (t ) e  BK u K ,
dt
0
ref (t )
0 
 e1 
 1 0

 




u 
0
AK (t )    ref (t )
Vref (t ) , BK   0 0 , e   e2 , u K   1  ,
 u2 
e 
 0 1

0
0
0 
 3



где «Т» – знак транспонирования; «diag(…)» – означает диагональную матрицу с указанными элементами на главной диагонали.
Решение задачи (7), (8) при условии управляемости пары матриц ( A(t ), B) (что
справедливо  Vref ,  ref , кроме V ref   ref  0 ) имеет вид [14] (здесь и далее зависи-
мость от времени опускаем для упрощения записи)
uK   RK1BKT PK e  GK e,
g12 g13 
g
,
GK   RK1BKT PK   11
 g 21 g 22 g 23 
где PK – симметричная положительно определенная матрица, которая является решением дифференциального уравнения Риккати
dPK
  AKT PK  PK AK  PK BKT RK1BK PK  QK , PK (t  t f  )  0.
dt
Окончательно для требуемых значений линейной и угловой скоростей МР имеем
Vdes  Vref  g11e1  g12e2  g13e3 , des  ref  g 21e1  g22e2  g 23e3.
3.2. Регулятор скоростей движения МР
Задачу (2), (6) синтеза регулятора скоростей сформулируем в векторно-матричной
форме:

(9)



1
x TQx  u T Ru dt  min,
u
2 0
Q  diag ( qV , q , 0, 0)  0, R  diag ( rU 1 , rU 2 )  0,
при ограничениях
dx
 Ax  Bu, x(0)  x0 ,
dt
где обозначено
(10)
a1 
0 0



a2 
0 0
,B
,
0 
 a 4  a5
b1 0 



0
a4
 a5 
 0 b1 
c n
d m
c n
R
1
a1  m , a2  a1 
, a3  e , a4  a3  d , a5  m , b1  .
rm
J
rL
L
L
 0
V 

 
 U1 
 0
 
x   , u    , A  
a
I
U 2 
 3
 1 
  a3
 I2 
0
0
a1
 a2
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
3765
Задача минимизации критерия качества (9) на движениях системы (10) при условии
управляемости пары ( A, B) и наблюдаемости пары ( A, C) имеет единственное решение [14]:
(11)
u   R 1 B T Px  Gx ,
где P – решение матричного алгебраического уравнения Риккати
0   AT P  PA T  PB T R 1 BP  Q .
Основными недостатками такого решения являются, во-первых, вычислительные
трудности, связанные с решением матричного алгебраического уравнения Риккати в
реальном времени, во-вторых, необходимость измерения всех компонентов вектора состояния для расчета управления. В данном случае второй аспект наиболее остро ограничивает применение оптимального закона управления (11), поскольку, как правило,
МР оснащаются датчиками частоты вращения двигателей, но не датчиками тока. Предположим, что конструкция МР позволяет измерять только угловые скорости вращения
двигателей r1 и r 2 . Из (1) несложно показать, что
n
n
r1  (V  d), r 2  (V  d) .
(12)
r
r
Тогда уравнение состояния (10) дополняется уравнением выхода
y  Cx,
 
n 1 d 0 0 
.
y   r1 , C  
r 1  d 0 0 
 r 2 
Для преодоления указанного ограничения предлагается использовать субоптимальное управление, которое представляет собой асимптотическое приближение к исходному оптимальному [12,13].
Метод синтеза субоптимального управления основан на сингулярно возмущенном
представлении системы и ее последующей редукции [12]. При этом фазовые переменные принято разделять на «медленные» x1 (медленно изменяющиеся) и «быстрые» x2
(быстро изменяющиеся). Как правило «медленными» считают переменные, характеризующие траекторные перемещения, а «быстрыми» – переменные, описывающие внутренние процессы в системе. В такой ситуации логичным является определить «медленными» переменными линейную и угловую скорости робота, а быстрыми – токи в двигателях робота. Тогда систему (10) можно переписать в сингулярно возмущенном виде
 dx1
 dt  A12 x2 , , x1 (0)  x10 ,

 dx2
 A21 x1  A22 x2  B2u, x2 (0)  x20 ,
(13)
 
dt

 y  C1 x1 ,


где
U 
I 
V 
n 1 d 
,
x1   , x2   1  , u   1  , C1  
r 1  d 
 
U 2 
 I2 
a1 
  a  a4 
 a
 a
, A22   5
 , A21   3
A12   1
  a2 a2 
  a3 a4 
 0
c n
a3  e , a4  a3  d , a5  Rm ,   L.
r
0 
1 0
 , B2  
,
 a5 
0
1


XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
3766
При достаточно малом  и невырожденной матрице A22 вектор «медленных» переменных x1 приближенно (с точностью до O ( ) , O – символ Ландау) можно описать
вектором x s , который определяется уравнением [12]
dx s
(14)
 As x s  Bs us , x s (0)  x s 0 ,
dt
1
1
y  C1 xs , As   A12 A22
A21, Bs   A12 A22
B2 .
Решим задачу минимизации на движениях системы (14) критерия:

s 
1
( xsTQs x s  usT Rus )dt  min, Qs  diag ( q1 , q2 )  0.

us
20
Оптимальное управление для этой задачи по аналогии можно записать в виде
us   R 1BsT Ps  Gs xs ,
(15)
0   AsT Ps  Ps As  Ps BsT R 1Bs Ps  Qs .
Важно отметить то свойство решений (11) и (15), что при достаточно малом  и
гурвицевой матрице A22 выполняется асимптотическое равенство [12, 13]
(16)
u  u s  O ( )  G s x1  O ( ).
Нерешенным остается вопрос о реализации обратной связи по компонентам вектора x1 . Из выражения для выхода системы (13) можно выразить:
1
x1  C11
y.
Используя (16) и последнее выражение, из (11) получаем выражение для асимптотического приближения оптимального управления:
1
u  G s C11
y  O ( ).
(17)
Соотношения (15)–(17) являются математической основой для синтеза оптимального управления скоростью МР, для расчета которого необходимо решать задачу пониженного порядка.
Полезным оказывается тот факт, что при условии устойчивости медленной и быстрой подсистем, замкнутая система является устойчивой при всех значениях параметра
возмущений  из некоторого интервала ( 0,   ) [12,13]. Критическое значение   выступает в роли количественного показателя робастных свойств системы, т.е. чем больше   , тем более робастна система. Ряд методов расчета значения   приведены в [12].
3. Разработка системы управления траекторным движением
3.1. Структура системы
Разделение задачи управления на две подзадачи (синтез траекторного регулятора и
синтез регулятора скоростей) приводит к очевидной структуре системы управления
траекторным движением (рис.3), состоящей из двух основных модулей: задающий модуль и исполнительный модуль.
Задающий модуль, содержащий генератор траекторий, траекторный регулятор и
блок расчета ошибок следования по заданной траектории, предлагается реализовать на
персональном компьютере. Исполнительный модуль, включающий в себя регулятор
скоростей МР (для управления двигателями) и блок оценки текущих параметров движения МР (положение, линейная и угловая скорость), предлагается реализовать на борту МР.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
3767
Vref 
 
ref 
 
 Xref 


 Yref 
 
 ref 
 e1 
 
 e2 
e 
 3
U1
Vdes 
 
des
X , Y ,  
T
U2
V , T
Рис. 3. Структурная схема системы управления МР.
3.2. Генератор траекторий МР
Программное движение МР по заданной траектории определяется координатами
некоторой произвольной точки М этого робота X ref , Yref . Проекции скорости точки М
на неподвижные оси координат являются непрерывными функциями времени:
dX ref
dY
VXref 
, VYref  ref .
dt
dt
Особенностью задач управления рассматриваемого МР, который представляет собой неголономную систему, являются ограничения, возникающие при задании программных траекторий и определяемые неголономной связью вида [1]
 VX sin  VY cos  0 .
Наличие данной связи не позволяет произвольно задавать угловую координату робота  , которая в данной ситуации должна быть решением дифференциального уравнения [1]
d ref
 V Xref sin   VYref cos 
(18)

,  ref (0)   0 ,
dt
bM cos 
где bM cos и bM sin  – постоянные координаты некоторой точки М в подвижной системе координат, связанной с роботом. Закон изменения курсового угла  ref определяется путем интегрирования уравнения (18).
3.3. Оценка текущего положения МР
Оценка текущего положения МР рассчитывается на основе измерений текущих
значений угловых скоростей двигателей r1 и r 2 на левом и правом борту робота. Далее из (12) рассчитываются линейная и угловая скорости:
r
r
V
(r1  r 2 ),  
(r1  r 2 ).
2n
2d n
Текущее положение МР определяется из соотношения (1) с помощью аппроксимации Эйлера:
X  X p  V  cos p  Ts , Y  Y p  V  sin p  Ts ,    p    Ts ,
где Ts – период выборки, индекс «p» означает соответствующее значение в последний
момент выборки.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
3768
4. Результаты эксперимента
4.1. Описание экспериментального МР
Объектом исследования является МР, построенный на базе гусеничного шасси
Rover5 производства фирмы DAGU (рис.4, а). Силовая часть движителя робота включает в себя два электропривода на базе двигателей постоянного тока. В качестве устройства управления используется контроллер Arduino UNO R3 на базе микроконтроллера ATmega328 от Atmel. Для управления силовой частью МР используется печатная
плата Rover5 Explorer PCB от DAGU, оснащенная двумя H-мостами, поддерживающими ток до 4А, а также встроенной схемой подзарядки никель-металлогидридных и никель-кадмиевых аккумуляторов. Интерфейс беспроводной связи реализован на основе
usb-программируемого модуля беспроводной связи Wixel от Pololu Corporation, который сопрягается с Arduino через плату Wixel Shield.
Линейные размеры робота: длина гусеницы l  0 . 245 , м; радиус ведущего колеса
r  0 . 03 , м; расстояние от центра робота до гусеницы d  0 . 19 , м; Масса робота
m  0 . 83 , кг. Параметры электродвигателей: номинальное напряжение U н  7.2 , В; сопротивление якоря Rm  100 , Ом; индуктивность якоря L  0 .0123 , Гн; передаточное
число редуктора n  86 . 8 . Для измерения скоростей двигателей робот Rover5 оснащен
двумя квадратурными энкодерами (рис.4, б). Разрешение энкодера 1000 импульсов на 3
оборота ведущего колеса.
а)
б)
Рис. 4. МР Rover5 с шасси танкового типа (а) и экодер МР Rover5 (б).
4.2. Результаты моделирования
В качестве тестовой траектории была взята окружность. В начальный момент времени робот находится в точке с координатами (0; 0), траектория начинает свое движение из точки с координатами (0; 0.25). Частота гармонических сигналов X ref (t ) и
Yref (t ) задана такой, что траектория p ref (t ) образует окружность за 40 секунд.
Результаты эксперимента на реальном роботе Rover5 показаны на рис. 5-7, где изображены, соответственно, заданная и реальная траектории Rover5, требуемая линейная
скорость Vdes и реальная линейная скорость V робота, требуемая  des и реальная 
угловые скорости робота. Из результатов следует, что система обладает приемлемым
качеством. Робот выходит на заданную траекторию за 8 секунд, после чего отклонения
составляют e X  0.022 , м, eY  0.008 , м, e  0.05 , рад, относительная ошибка следования по траектории не превышает 9 %.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
3769
Рис. 5. Результаты эксперимента на реальном роботе Rover5: заданная и реальная траектории.
Рис. 6. Результаты эксперимента на реальном роботе Rover5: требуемая и реальная линейные скорости.
Рис. 7. Результаты эксперимента на реальном роботе Rover5: требуемая и реальная угловые скорости.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
3770
5. Заключение
В данной работе рассматривается задача синтеза оптимальной системы управления
траекторным движением мобильного робота с шасси танкового типа. Предлагаемая
система состоит из двух модулей (задающий и исполнительный модули) и имеет, соответственно, два контура управления: первый – траекторный, второй – скоростной.
Синтез траекторного контура управления основан на решении задачи оптимальной
стабилизации системы, математическая модель которой представляет собой линейную
аппроксимацию отклонения положения МР от положения, заданного траекторией. В
общем случае закон управления представляет собой обратную связь по ошибке следования, коэффициенты которой зависят от времени. Нестационарный характер задачи
определяется изменяющимися во времени значениями заданных линейной и угловой
скоростей МР. В случае, когда эти скорости постоянные задача становится стационарной, и, следовательно, коэффициенты обратной связи также будут стационарными.
Проектирование контура управления скоростями (линейной и угловой) МР также
основано на решении задачи линейно-квадратической оптимизации. Для упрощения
данной задачи с точки зрения вычислений и реализации оптимального регулятора в работе предлагается использовать его асимптотическое приближение, полученное на основе метода теории сингулярных возмущений.
Экспериментальная проверка предлагаемой системы управления траекторным
движением МР была выполнена на гусеничном роботе Rover5 с шасси танкового типа.
Результаты эксперимента подтвердили приемлемое качество системы управления.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Мартыненко Ю.Г. Управление движением мобильных колёсных роботов // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11, Вып. 8. С. 29-80.
Aguiar A.P., Hespanha J.P. Trajectory-Tracking and Path-Following of Underactuated Autonomous Vehicles With Parametric Modeling Uncertainty // IEEE Transaction of Automatic Control. 2007. Vol. 52, No. 8.
P. 1362-1379.
Dixon W.E., Dawson D.M., Zergeroglu E. Nonlinear Control of Wheeled Mobile Robots. London: Springer,
2001. 198 p.
Luca A., Oriolo G., Vendittelli M. Control of Wheeled Mobile Robots: An Experimental Overview // Lecture Notes in Control and Information Sciences. London: Springer, 2001. P. 181-226.
Robot Motion and Control: Recent Developments / Ed. by K. Kozlowski. London: Springer, 2006. 406 p.
Samson C. Control of Chained Systems Application to Path Following // IEEE Transaction of Automatic
Control. 1995. Vol. 40, No. 1. P. 64-77.
Springer Handbook of Robotics / Ed. by B. Siciliano, O. Khatib. London: Springer, 2008. 1611 p.
Theory of Robot Control / Ed. by C. A. Canudas de Wit, B. Siciliano, G. Bastin. London: Springer, 1996.
392 p.
Augiar A.P., Hespahna J.P., Kokotovic P.V. Performance limitations in reference tracking and path following for nonlinear systems // Automatica. 2008. Vol. 44. P. 598-610.
Charalambous C.D., Lambis A., Li X. Optimal Control of a Two-Wheeled Mobile Robot Via Finite Capacity Communication Channel // Proceedings of 16th Mediterranean Conference on Control and Automation.
Ajaccio, France, 2008: IEEE Press. 2008. P. 946 – 951.
Sheng L., Guoliang M., Weili H. Stabilization and Optimal Control of Nonholonomic Mobile Robot // Proceedings of 8th International Conference on Control, Automation, Robotics and Vision. Kunming, China,
2004: IEEE Press. 2004. Vol. 2. P.1427-1430.
Kokotovic P.V., Khalil H.K., O’Reilly J. Singular perturbation methods in control: analysis and design. Orlando: Academic Press, 1986. 371 p.
Кабанов А.А. Система робастного субоптимального управления движением мобильного робота /
А.А. Кабанов // Мехатроника, автоматизация, управление, 2013. № 4. С. 14-19.
Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. 456 с.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.