О проведении открытого аукциона по продаже права на;doc

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.
М.В.ЛОМОНОСОВА - 2013 Г.
ВАРИАНТ ф31.
1. Определите, какие из трех чисел: −4, 0, 1 являются решениями неравенства:
√
√
| 1 − 2 | ·x ≥ 3 − 18.
Решение:
√
√
| 1 − 2 | ·x ≥ 3 − 18
√
√
| 1 − 2 | ·x ≥ 3(1 − 2)
√
Так как (1 − 2) < 0
√
√
( 2 − 1)x ≥ 3(1 − 2)
x ≥ −3
Ответ: Неравенству удовлетворяют 0 и 1.
2. Решите уравнение:
3 + cos 18x + 2 sin 9x = 0.
Решение:
3 + cos 18x + 2 sin 9x = 0
3 + 1 − 2 sin2 9x + 2 sin 9x = 0
Сделаем замену (sin 9x = t)
Получается квадратное уравнение
t2 − t − 2 = 0
Так как | t |≤ 1. Отсюда следует, что t = −1.
Далее: sin 9x = −1 ⇒ 9x = − π2 + 2πk, k ∈ Z
π
Ответ: x = − 18
+
2πk
;k
9
∈ Z.
1
2
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА - 2013 Г.
3. Решите уравнение:
√
6x2 + 4x + 9 = 3x2 + 2x − 3.
Решение:
Сделаем замену 3x2 + 3x = t
Получается уравнение
√
2t + 9 = t − 3 (
(
t ≥ 3,
t ≥ 3,
Отсюда получается
⇔
⇒ t = 8.
2
2t + 9 = (t − 3) .
t2 − 8t = 0.
Далее: 3x2 + 2x − 8 = 0
x1 = −1+5
= 43 ,
3
x2 = −1−5
= −2.
3
Ответ: x1 =
−1+5
3
= 43 , x2 =
−1−5
3
= −2.
4. Найдите сумму всех натуральных чисел от 1 до 300, не делящихся на 3.
Решение:
· 300 = 45150.
Сумма всех чиел от 1 до 300 равна 1+300
2
Сумма чисел от 1 до 300, делящихся на 3 равна 1+300
· 100 = 15150.
2
Значит, сумме чисел от 1 до 300, не делящихся на 3, равна 45150 − 15150 = 30000.
Ответ: 30000.
5. Решите неравенство:
log9 4
4
.
log √
25 (log 1 (4x + 7)) < 3
2
Решение:
log9 4
4
log √
25 (log 12 (4x + 7)) < 3
4 log25 (log 1 (4x + 7)) < 2
2
2 log5 (log 1 (4x + 7)) < 2
2
1 log5 (log 1 (4x + 7)) < 1
2
0 < log 1 (4x + 7) < 5
2
15
< 4x + 7 < 1
2
1
− 7 < 4x < −6
32
− 223
< 4x < −6
32
223
− 128 < x < − 32 .
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА - 2013 Г.
3
223
< x < − 32 .
Ответ: − 128
6. Трапеция площади 24 см2 , в которой есть углы 90◦ и 150◦ , описана около окружности.
Найдите радиус окружности.
Решение:
Пусть ABCD− трапеция( смотрите рисунок ). Проведем высоту CH. Пусть
AB = CH = x, BC = AH = y.
√
Тогда CD = 2x, HD = 3x. Так как трапеция описана около окружности, то
√
AB + CD = BC + AD, т.е. 3x = 2y + 3x.√Площадь трапеции равн
· CH = 2y+2 3x · x.
24 = AD+BC
2
(
√
√
√
(3 − 3)x = 2y,
√
Имеем
⇒ ((3 − 3)x + 3x)x = 48
(2y + 3x)x = 48.
3x2 = 48 ⇒ x = 4.
Ответ: Радиус окружности равен 2.
4
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА - 2013 Г.
7. Решите систему уравнений:


 yz = 6,
2z 2 + 3z + x(2z − y) = 13,

 (4z + 6x + 8)z = 36 + 3xy.
Решение:
Ответ:









yz
=
6,
 yz = 6,

2
2z 2 + 3z + 2xz − xy = 13,
2z + 3z + x(2z − y) = 13, ⇒


 4z 2 + 6xz + 8z − 3xy = 36.
 (4z + 6x + 8)z = 36 + 3xy.
Умножим второе уравнение на 3 и вычтем третье. Имеем:
2z 2 + z = 3 ⇒ z = 1 или z = − 23 .
Если z = 1, получаем
 систему



 y = 6,
 y = 6,
x = −2,
2x + xy = 8, ⇒


 z = 1.
 z = 1.
3
Если z = − 2 , получаем
 систему
3


 − 2 y = 6,
 y = −4,
−3x − xy = 13, ⇒
x = 13,


 z = −3.
 z = −3.
2
2


y = 6,
 y = −4,
x = −2, и
x = 13,


z = 1.
z = − 23 .
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. М.В.ЛОМОНОСОВА - 2013 Г.
5
8. Около правильной треугольной пирамиды с высотой длины 18 описан шар радиуса
13. Найдите радиус шара, вписанного в эту пирамиду.
Решение:
Пусть SABC− данная пирамида, SH высота O− центр описанного шара. Имеем
SH = 18, SO = 13 ⇒ OH = 5.
√
√
Так как AO = 13, то AH = AO2 − Oh2 = 12. Значит, AB = 12 3.
Радиус описанного шара будем искать по формуле
r = 3V
, где S− площадь V − ее объем.
√
√
√S2
3
1
1
Имеем: V = 3 SABC ·√SH = 4 · 4 (12 3) · 18 = 646 3.
√
√
Далее: S = SABC + 3SSBC .SABC = 43 (12 3)2 = 108 3. Найдем SSBC . Пусть K−
середина BC, SK− высота трекугольника SBC.
√
√
√
√
√
√
2
2
SK = SH + HK = 324 + 36 = 6 10 и SSBK = √12 · BC · SK = 12 · 12 3 · 6 10 = 36 30.
√
√
√
3√
18
√
Тогда S = 108 3 + 108 30 и r = 108√1944
=
=
2(
10 − 1).
3+108 30
1+ 10
√
Ответ: Радиус шара равен 2( 10 − 1).