В поисках пары лакса для трехмерной задачи

Научный журнал «Известия КГТУ», №35, 2014 г.
УДК 51:53
НЕЛИНЕЙНЫЕ МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ:
ОПЫТ КОНСТРУИРОВАНИЯ
Р.В. Чириков, А.А. Юрова
EXPERIENCE OF CONSTRUCTION OF A NONLINEAR MULTIDIMENSIONAL
INTEGRABLE PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION
R.V. Chirikov, A.A. Yurova
С момента открытия метода обратной задачи рассеивания стало
очевидным, что системы интегрируемых нелинейных уравнений в частных
производных имеют огромное значение как физике, так и в прикладной
математике. Особенно важны интегральные системы с четырьмя независимыми
переменными. Поиски систематического подхода к построению трехмерных
интегрируемых систем стали одной из важнейших нерешенных задач в теории
интегрируемых систем.
3-мерное нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных,
пара Лакса, точные решения, полная интегрируемость
After many years of development of the inverse scattering method it became
quite clear how important integrable systems of a nonlinear partial differential equation
are in both physics and mathematics. Among them, the special place is reserved for the
systems with four independent variables. The search of a systematical approach to the
development of 3-dimensional integrable systems has become one of the most important
unsolved problems in the theory of integrable systems.
3-dimensional nonlinear partial differential equation, Lax pair, exact solution,
integrable equations, full integrability
В В ЕД Е НИ Е
Большая часть известных полностью интегрируемых нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных одномерны. При
размерности пространства от двух и выше существующая теория встречает ряд
фундаментальных алгебраических и геометрических препятствий.
Имеются мощные способы построения точных решений подобных систем,
такие как метод обратной задачи рассеивания и метод одевания в их различных
проявлениях[1-5] и некоторые другие техники [6-8].
Интегрируемость нелинейных дифференциальных уравнений в частных
производных прочно связана с существованием пар Лакса. Пары Лакса играют
важную роль в решении солитонных уравнений при помощи метода обратной
задачи рассеивания. Однако существование [L,A]-пары не гарантирует (в общем
Научный журнал «Известия КГТУ», №35, 2014 г.
случае) интегрируемость соответствующего уравнения в частных производных,
хотя в большинстве случаев её наличие позволяет построить нетривиальные
точные решения исходного уравнения.
Для любого d ≥ 1 и произвольного нелинейного скалярного эволюционного
уравнения
u t F[u] ,
где F[u] - алгебраическое выражение, содержащее u и ее пространственные
производные, существует пара [L, A]. Опустим одномерный и двумерные случаи
и прейдем непосредственно к трёхмерной задаче d=3.
Выберем [L, A]-пару в виде
xyz = U ;
t =
5x
5y
B3 3 y C3 3 z
C1 z U ,
A4 4 x B4 4 y C4 4 z A3 3 x
A2 2 x B2 2 y C2 2 z A1 x B1 y
5z
(1)
где Ai ; Bi ; Ci (i 1..4) - произвольные константы, и функции имеют вид
U U ( x, y, z, t ),
( x, y, z, t ) ; индекс "k x" означает k-кратное дифференцирование по x.
Проверим условие совместности для данной пары
( xyz ) t = ( t ) xyz ,
(*)
которую также можно записать в виде:
(U ) t = ( t ) xyz .
(**)
Подставив (1) в (*)-(**) и продифференцировав соответствующие функции,
найдём уравнение совместности, приравняв коэффициенты при соответствующих
в котором, получим систему уравнений:
Ut
U 2 U5x U5 y U5z
A4U 4 x
B4U 4 y
C4U 4 z
A3U 3 x
B3U 3 y C3U 3 z A4, xU 3 x
B4, yU 3 y C4, zU 3 z A2U 2 x B2U 2 y
C2U 2 z A3, xU 2 x B3, yU 2 y C3, zU 2 z A1U x B1U y C1U z
A2, xU x B2, yU y C2, zU z A1, xU B1, yU C1, zU U = 0;
4 A4U 3 x 3 A4, xU 2 x 3 A3U 2 x 2 A2U x 2 A3, xU x A2, xU 5U 4 x
A1, xyz = 0;
6 A4U 2 x 3 A4, xU x 3 A3U x A3, xU A1, zy 10U 3 x A2, xyz 0;
4 A4U x A4, xU A2, yzU 10U 2 x A3, xyz 0;
4 B4U 3 y 3B4, yU 2 y 3B3U 2 y 2 B2U y 2 B3, yU y B2, yU 5U 4 y
B1, xyz 0;
6 B4U 2 y 3B4, yU y 3B3U y B3, yU B1, xz 10U 3 y B2, xyz 0;
4 B4U y B4, yU B2, xzU 10U 2 y B3, xyz 0;
4C4U 3 z 3C4, zU 2 z 3C3U 2 z 2C2U z 2C3, zU z C2, zU 5U 4 z
C1, xyz 0;
6C4U 2 z 3C4, zU z 3C3U z C3, zU C1, xy 10U 3 z
4C4U z C4, zU C2, xyU 10U 2 z C3, xyz 0.
C2, xyz
0;
Научный журнал «Известия КГТУ», №35, 2014 г.
4x ,
A4, y , A4, z , A4, yz = 0 = 0
B4, x , B4, z , B4, xz = 0
A3, yz
B3, xz
A4, xyz 5U x = 0
C 4, x , C 4, y , C 4, xy = 0,
B4, xyz 5U y = 0
C3, xy C 4, xyz 5U z = 0,
A3, z
A4, xz = 0
B3, z
B4, yz = 0
C3, y
C 4, yz = 0,
A3, y
A4, xy = 0
B3, x
B4, xy = 0
C3, x
C 4, xz = 0,
A2, y
A3, xy = 0
B2, z
B3, yz = 0
C 2, y
C3, yz = 0,
A2, z
A3, xz = 0
B2, x
B3, xy = 0
C 2, x
C3, xz = 0,
A1, z
A2, xz = 0
B1, z
B2, yz = 0
C1, y
C 2, yz = 0,
A1, y
A2, xy = 0
B1, x
B2, xy = 0
C1, x
C 2, xz = 0,
B1, yz
A1, xz = 0
A1, xy C1, yz = 0
B1, xy C1, xz = 0.
В данном случае нас интересуют, прежде всего, коэффициенты при
4 y , 4 z , 4 xy , x 4 y , x 4 z , удовлетворяющие следующим условиям:
A4, xz
A3, z = 0
A4, xyz
A3, yz
B 4, yz
5U x = 0
B3, z = 0
B 4, xyz
C 4, xyz C 3, yz
C 4, yz
B3, xz
C 3, y = 0
5U y = 0
5U z = 0
без потери общности, полагая константы интегрирования равными нулю.
Видно, что A3 = A4, x , B3 = B4, y ,C3 = C4, z , следовательно, U x = 0,U y = 0,U z = 0 , а
это означает, что U = const . То есть система уравнений (1) не имеет для нас
никакой ценности.
Значит, нам нужно изменить задачу, добавив соответствующие слагаемые
в LA-пару (1). Как было указано выше, такие слагаемые должны добавляться при
4 x , 4 y , 4 z , 4 x , 4 xy , x 4 y , x 4 z , для чего подходят лишь производные 5-го порядка,
т.е. функции 4 xy , x 4 y , y 4 z с соответствующими коэффициентами A5 , B5 , C5 .
Система (1) принимает вид
xyz
=U
=
5x
t
B4
C2
4y
2z
5y
C4
A1
A5
5z
4z
x
A3
B1
3x
y
4 xy
B3
C1 z
B5
3y
x4 y
C3
C5
3z
y4z
A2
2x
A4 4 x
B2 2 y
U
Вычислив условие совместности в данном случае
и
коэффициенты при соответствующих , получим систему уравнений:
выписав
Научный журнал «Известия КГТУ», №35, 2014 г.
U 2 U 5x U 5 y U 5z
Ut
A5, y U 4 x
A5, xU 3 xy
B5, xU 4 y
B5, xyU 3 y
C 5, yz U 3 z
C 5U y 4 z
C 5, z U y 3 z
B3U 3 y
C 3U 3 z
C 2U 2 z
A3, xU 2 x
A2, xU x
B5U 4 y
A4, xU 3 x
B 2, y U y
4 A4U 3 x
C 2, z U z
A1, xU
A5U 4 xy
B5, y U x3 y
B 4U 4 y
C 5, y U 4 z
C 4U 4 z
C 4, z U 3 z
C 3, z U 2 z
4 A5, y U 3 x
3 A4, xU 2 x
A4U 4 x
B 4, y U 3 y
B3, y U 2 y
B5, y U 3 y
A5, xyU 3 x
B5U x 4 y
A2U 2 x
A1U x
B1U y
4 A5U 3 xy
3 A3U 2 x
2 A2U x
6 A5U 2 xy
3 A5, xU xy
B 2U 2 y
C1U z
B1, y U C1, z U U
3 A5, xyU 2 x
A3U 3 x
=0
3 A5, xU 2 xy
2 A3, xU x
A2, xU
5U 4 x
A1, xyz = 0,
6 A5, y U 2 x
3 A5, xyU x
3 A3U x
A3, xU
4 A5, y U x
A1, zy
A5, xyU
10U 2 x
10U 3 x
4 A5U xy
6 A4U 2 x
A2, xyz = 0,
A5, xU y
4 A4U x
A4, xU
A2, yz U
A3, xyz = 0
A5, y U
A5U y
A3, yz
A2, z
A3, xz
A5, xU
A1, z
A2, xz
6 A5U 2 x
C 5U 4 z
C 5, z U 3 z
A4, xyz
3 A5, xU x = 0,
A5U 4 x
3B5, y U x 2 y
2 B3, y U y
B 2, y U
6 B5, xU 2 y
3B3U y
5U x = 0,
4 A5U x = 0,
4 B5U x3 y
A5, xU 3 x
4 B 4U 3 y
5U 4 y
3B5, xyU y
4 B5, xU 3 y
3B 4, y U 2 y
3B5, xyU 2 y
3B3U 2 y
2 B 2U y
B1, xyz = 0,
6 B5U x 2 y
3B5, y U xy
6 B 4U 2 y
B1, xz 10U 3 y
B 2, xyz = 0,
B5, xyU 4 B5U xy B5, y U x 4 B 4U y
3B 4, y U y
B3, y U
4 B5, xU y
10U 2 y
B5U x
B3, xz
B 2, z
B3, yz
B5, y U
B1, z
B 2, yz
6 B5U 2 y
4C 5, yU 3 z
5U 4 z
B 4, xyz
B 2, xz U
5U y = 0,
4 B5U y = 0,
3B5, y U y = 0,
3C 5, yzU 2 z
3C 4, zU 2 z
4C 5U y 3 z
3C 3U 2 z
2C 2U z
3C 5, zU y 2 z
2C 3, zU z
4C 4U 3 z
C 2, zU
C1, xyz = 0,
6C 5, yU 2 z
3C 5, yzU z
3C 4, zU z
3C 3U z
6C 5U y 2 z
C 3, zU
C 5, yzU
4C 5U yz
C 2, xyU
10U 2 z
C 3, xyz = 0,
C 5U y
C 3, xy
C 4, xyz
3C 5, zU yz
C1, xy
4C 5, yU z
C 5, yU
B 4, y U
B3, xyz = 0,
B5, xU
10U 3 z
C 5, zU y
6C 4U 2 z
C 2, xyz = 0,
4C 4U z
C 4, zU
5U z = 0,
C 2, x
C 3, xz
C 5, zU
C1, x
C 2, xz
6C 5U 2 z
3C 5, zU z = 0,
C1, yz
4 B5U 3 y
3B5, yU 2 y
A1, xy
3 A4, xU x
4C 5U z = 0,
4 A5U 3 x
3 A5, xU 2 x = 0.
Научный журнал «Известия КГТУ», №35, 2014 г.
A5, z , A5, xz = 0
A4, z
B5, z , B5, yz = 0
A5, yz = 0
B 4, z
A4, y , A4, yz = 0
C 5, x , C 5, xz = 0,
B5, xz = 0
B 4, x , B 4, xz = 0
A5, xyz = 0
B3, z
C 4, x
C 5, xy = 0,
C 4, y , C 4, xy = 0,
A3, z
A4, xz
B 4, yz
A3, y
A4, xy = 0
B3, x
B 4, xy = 0
C 3, x
C 4, xz = 0,
A2, y
A3, xy = 0
B 2, x
B3, xy = 0
C 2, y
C 3, yz = 0,
A1, y
A2, xy = 0
B1, x
B 2, xy = 0
C1, y
C 2, yz = 0,
B1, yz
A1, xz = 0
B1, xy
C1, xz
B5, xyz = 0 C 3, x
4C 5U 3 z
C 4, xz
C 5, xyz = 0,
3C 5, z U 2 z = 0.
Её решение имеет вид:
A1 = A2, x
B1 = B 2, y
C1 = C 2, z
A2 = A3, x
B 2 = B3, y
C 2 = C 3, z
A3 = A4, x
B3 = B 4, y
C 3 = C 4, z
A4 = A5, y
B 4 = B5, x
C 4 = C 5, y
A5 =
5U 2 xU
2(U xyU U xU y )
C5 =
5U 2 z U
2(U yzU U z U y )
B5 =
5U 2 y U
2(U xyU U xU y )
Подставив полученные значения коэффициентов при
упростив его, получим
U t U 2 = U 5 x U 5 y U 5 z A5, xU 3 xy B5, yU x3 y
A3U 3 x B3U 3 y C3U 3 z B1, yU U
в уравнение и
C5, zU y 3 z
Но в данном случае уравнение несимметрично. Поэтому было решено
добавить еще три производные 5-го порядка, соответственно, 4 xz , z 4 y , x 4 z с
коэффициентами A6 , B6 , C6 [9-13]
xyz
=U
=
5x
t
C5 y 4 z
C3 3z
5y
C6
A2
5z
x4 z
2x
A4
B2
A5
4x
2y
4 xy
B4
C2
A6
4y
2z
4 xz
C4
A1
B5
x4 y
4z
A3
x
B1
B6
3x
y
z4 y
B3
C1
z
3y
U
Проверяя условия совместности, получим следующую систему уравнений:
Научный журнал «Известия КГТУ», №35, 2014 г.
Ut
U 2 U 5x U 5 y U 5z
A6, xU 3 xz
B6, z U 4 y
C 6, xzU 3 z
B6, yzU 3 y
C 6, xU 4 z
A5, xU 3 xy
A4U 4 x
B 4U 4 y
B3U 3 y
C 3U 3 z
A4, xU 3 x
B 4, y U 3 y
A2U 2 x
B 2U 2 y
C 2U 2 z
A3, xU 2 x
B3, y U 2 y
B1U y
C1U z
A2, xU x
B 2, y U y
A5U 4 xy
B5, y U x3 y
A3U 3 x
A1U x
C 6U x 4 z
A5, xyU 3 x
B5U x 4 y
C 5, z U y 3 z
A6, xzU 3 x
B6, y U 3 yz
A5, y U 4 x
B5, xyU 3 y
C 5U y 4 z
A6U 4 xz
B6U 4 yz
C 6, z U x 3 z
B5, xU 4 y
C 5, yzU 3 z
A6, z U 4 x
C 5, y U 4 z
C 4U 4 z
C 4, z U 3 z
C 3, z U 2 z
C 2, z U z
A1, xU
B1, y U C1, z U U = 0,
C 6, z U 3 z
C 6U 4 z
3 A6, xU 2 xz
4 A6, z U 3 x
4 A6U 3 xz
B5, y U 3 y
4 A5, y U 3 x
3 A5, xyU 2 x
B5U 4 y
4 A5U 3 xy
2 A2U x
3 A6, xzU 2 x
3 A5, xU 2 xy
2 A3, xU x
4 A4U 3 x
A2, xU
3 A4, xU 2 x
5U 4 x
3 A3U 2 x
A1, xyz = 0,
6 A6, z U 2 x
3 A6, xzU x
6 A6U 2 xz
3 A6, xU xz
3 A5, xyU x
6 A5U 2 xy
3 A5, xU xy
6 A4U 2 x
6 A5, y U 2 x
3 A4, xU x
3 A3U x
A3, xU
A1, zy 10U 3 x
4 A6, z U x
A6, xzU
4 A6U xz
A6, xU z
4 A5, y U x
4 A5U xy
A5, xU y
4 A4U x
A4, xU
A2, yzU 10U 2 x
A6, z U
A6U z
A5, y U
A5U y
A2, xyz = 0,
A3, yz
A2, z
A3, xz
A5, xU
4 A5U x = 0,
A2, y
A3, xy
A6, xU
4 A6U x = 0,
A1, z
A2, xz
6 A5U 2 x
3 A5, xU x = 0,
A1, y
A2, xy
6 A6U 2 x
3 A6, xU x = 0,
4 B6, z U 3 y
3B6, yzU 2 y
4 B6U 3 yz
C 5, z U 3 z
A5U 4 x
A5, xU 3 x
4 B5U x 3 y
3B5, y U x 2 y
2 B 2U y
2 B3, y U y
6 B6, z U 2 y
3B6, yzU y
3B5, xyU y
B 2, y U
4 B5, xU 3 y
6 B6U 2 yz
6 B5U x 2 y
3B3U y
B3, y U
B1, xz 10U 3 y
4 B6, z U y
B6, yzU
4 B6U yz
4 B5U xy
B6, z U
B5, y U x
B 6U z
4 B 4U y
B5, xU
B5U x
3B5, xyU 2 y
3B3U 2 y
B1, xyz = 0,
3B6, y U yz
3B5, y U xy
C 5U 4 z
3B 4, y U 2 y
5U 4 y
A3, xyz = 0,
A4, xyz 5U x = 0,
3B6, y U 2 yz
4 B 4U 3 y
A5, xyU
6 B5, xU 2 y
6 B 4U 2 y
3B 4, y U y
B 2, xyz = 0,
B6, y U z
4 B5, xU y
B5, xyU
B 4, y U
B 2, xzU 10U 2 y
B3, xz
B 4, xyz 5U y = 0,
B 2, z
B3, yz
B5, y U
4 B5U y = 0,
B 2, x
B3, xy
B6, y U
4 B6U y = 0,
B1, z
B 2, yz
6 B5U 2 y
3B5, y U y = 0,
B1, x
B 2, xy
6 B 6U 2 y
3B6, y U y = 0,
B3, xyz = 0,
Научный журнал «Известия КГТУ», №35, 2014 г.
B 6U 4 y
B6, y U 3 y
A6U 4 x
4C 6U x 3 z
3C 6, z U x 2 z
3C 5, z U y 2 z
4C 4U 3 z
C 2, z U
5U 4 z
6C 6, xU 2 z
C 6, xU
3C 5, yzU 2 z
4C 5U y 3 z
2C 2U z
2C 3, z U z
3C 6, z U xz
6C 4U 2 z
6C 5, y U 2 z
3C 4, z U z
3C 3U z
3C 5, yzU z
C 3, z U
C 2, xyz = 0,
C 6, xzU
4C 6U xz
4C 4U z
C 6U x
3C 6, xzU 2 z
3C 3U 2 z
6C 6U x 2 z
3C 5, z U yz
C 5, z U y
4C 6, xU 3 z
C1, xyz = 0,
C1, xy 10U 3 z
4C 6, xU z
4C 5, y U 3 z
3C 4, z U 2 z
3C 6, xzU z
6C 5U y 2 z
A6, xU 3 x
C 6, z U x
C 4, z U
C 5, y U
4C 5, y U z
C 2, xyU 10U 2 z
C 5U y
C 3, xy
C 5, yzU
4C 5U yz
C 3, xyz = 0,
C 4, xyz 5U z = 0,
C 2, x
C 3, xz
C 5, z U
4C 5U z = 0,
C 2, y
C 3, yz
C 6, z U
4C 6U z = 0,
C1, x
C 2, xz
6C 5U 2 z
3C 5, z U z = 0,
C1, y
C 2, yz
6C 6U 2 z
3C 6, z U z = 0,
A1, xy
C1, yz
4 B5U 3 y
3B5, y U 2 y
4 A5U 3 x
3 A5, xU 2 x = 0,
B1, yz
A1, xz
4C 6U 3 z
3C 6, z U 2 z
4 A6U 3 x
3 A6, xU 2 x = 0,
B1, xy
C1, xz
4C 5U 3 z
3C 5, z U 2 z
4 B 6U 3 y
3B6, y U 2 y = 0.
A6, y , A6, xy = 0
B6, x , B6, xy = 0
A5, z , A5, xz , A4, yz = 0
C 6, y , C 6, yz = 0,
B5, z , B5, yz , B 4, xz = 0
C 5, x , C 5, xz , C 4, xy = 0,
A4, z
A5, yz = 0
B 4, z
B5, xz = 0
C 4, x
C 5, xy = 0,
A6, yz
A4, y = 0
B6, xz
B 4, x = 0
C 6, xy
C 4, y = 0,
A3, z
A4, xz
A5, xyz = 0, B3, z
B 4, yz
B5, xyz = 0, C 3, x
C 4, xz
C 5, xyz = 0,
A3, y
A4, xy
A6, xyz = 0, B3, x
B 4, xy
B6, xyz = 0, C 3, y
C 4, yz
C 6, xyz = 0.
Очевидным здесь является только то, что:
A4 = A5, y
B4 = B5, x
C4 = C5, y
A4 = A6, z
B4 = B6, z
C4 = C6, x
Имеются способы выразить A3 , A5 , A6 , а также неочевидные способы
выразить A1, A2 (в данный момент не обнаружены). Поскольку эти
коэффициенты ( A1, A2 ) присутствуют в системе уравнений только в их
производных и очевидных способов их выражения нет, говорить о каком-либо
упрощении уравнения при
не приходится.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Одной из ключевых проблем математической физики по праву можно
назвать вопрос о полной интегрируемости систем дифференциальных уравнений
в частных производных. Однако здесь существует сложность – отсутствие
общепринятого определения интегрируемости. За последние сорок лет было
Научный журнал «Известия КГТУ», №35, 2014 г.
предложено множество различных определений и подходов, каждое со своими
преимуществами, но ни одному из них пока так и не удалось охватить всю
сущность интегрируемости. Примечательно то, что большинство этих подходов
всё же объединяет одна общая идея, а именно: требование существования пары
Лакса.
В данной работе были предприняты попытки поиска общего вида пары
Лакса,
приводящей
к
интегрируемым
(3+1)-мерным
нелинейным
дифференциальным уравнениям в частных производных. Несмотря на то, что
сложность получающихся уравнений пока не позволяет использовать их для
точного моделирования каких-либо (физических) процессов, нам представляется
целесообразным продолжить работу в данном направлении.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ЛИТЕРАТУРНЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. M.J. Ablowitz, H. Segur. Harvey Solitons and the inverse scattering transform.
SIAM, Phil., PA, 1981
2. М.М. Crum. Associated Sturm-Liouville systems. Quart. J. Math. Oxford Ser.
(2) 6 (1955) 121-127.
3. R. Hirota, The direct method in soliton theory, Cambridge University Press,
Cambridge, 2004.
4. S.В. Lcble. M. A. Salle. A. V. Yurov. Darboux transforms for DaveyStewartson equations and solitons in multidimensions. Inverse problems 4 (1992) 207-218.
5. B.G. Konopelchenko, Introduction to multidimensional integrable equations.
The inverse spectral transform in 2 + 1 dimensions, Plenum Press, New York, 1992.
6. E.V. Ferapontov, K.R. Khusnutdinova, On integrability of (2+1)-dimensional
quasilinear systems, Comm. Math. Phys.248 (2004), 187–206, arXiv:nlin/0305044.
7. V.B. Matveev and M.A. Salle Darboux Transformation and Soliton, BerlinHeidelberg: Springer Verlag, 1991.
8. L.D. Faddeev, The new life of complete integrability, Phys. Usp. 56 (2013),
no.5, 465–472.
9. A.S. Fokas, Symmetries and integrability, Stud. Appl. Math. 77 (1987), no. 3,
253–299.
10. F. Calogero, Why are certain nonlinear PDEs both widely applicable and
integrable?, in: What is integrability?, ed. by V.E. Zakharov, Springer, Berlin, 1991, 1-62.
11. E. Hopf. The partial differential equation u t uu x u xx . Comm. Pure Appl.
Math. 3 (1950) 201-230.
12. B.A. Dubrovin, Hamiltonian PDEs: deformations, integrability, solutions,
J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010), pap. 434002.
13. А.С. Newell. Solitons in mathematics and physics. CBMS-NSF Regional
Conference Series in Applied Mathematics, 48,Philadelphia, PA, 1985. xvi-244 pp.
REFERENCES
1. M.J. Ablowitz, H. Segur. Harvey Solitons and the inverse scattering transform.
SIAM, Phil., PA, 1981.
Научный журнал «Известия КГТУ», №35, 2014 г.
2. M.M. Crum. Associated Sturm-Liouville systems. Quart. J. Math. Oxford Ser.
(2) 6 (1955), pp. 121-127.
3. R. Hirota, The direct method in soliton theory, Cambridge University Press,
Cambridge, 2004.
4. S.V. Lcble. M. A. Salle. A. V. Yurov. Darboux transforms for DaveyStewartson equations and solitons in multidimensions. Inverse problems 4 (1992),
pp. 207-218.
5. B.G. Konopelchenko, Introduction to multidimensional integrable equations.
The inverse spectral transform in 2 + 1 dimensions, Plenum Press, New York, 1992.
6. E.V. Ferapontov, K.R. Khusnutdinova, On integrability of (2+1)-dimensional
quasilinear systems, Comm. Math. Phys. 248 (2004), 187-206, arXiv:nlin/0305044.
7. V.B. Matveev and M.A. Salle Darboux Transformation and Soliton, BerlinHeidelberg: Springer Verlag, 1991.
8. L.D. Faddeev, The new life of complete integrability, Phys. Usp. 56 (2013),
no.5, pp. 465-472.
9. A.S. Fokas, Symmetries and integrability, Stud. Appl. Math. 77 (1987), no. 3,
pp. 253-299.
10. F. Calogero, Why are certain nonlinear PDEs both widely applicable and
integrable?, in: What is integrability?, ed. by V.E. Zakharov, Springer, Berlin, 1991,
pp. 1-62.
11. E. Hopf. The partial differential equation . Comm. Pure Appl. Math. 3
(1950), pp. 201-230.
12. B.A. Dubrovin, Hamiltonian PDEs: deformations, integrability, solutions,
J. Phys. A: Math. Theor. 43 (2010), pap. 434002.
13. A. S. Newell. Solitons in mathematics and physics. CBMS-NSF Regional
Conference Series in Applied Mathematics, 48, Philadelphia, PA, 1985. xvi-244 pp.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Чириков Роман Викторович – Балтийский федеральный университет им. И. Канта,
аспирант кафедры теоретической физики; E-mail: [email protected]
Chirikov Roman Viktorovich – Baltic Federal University named after I. Kant, the
postgraduate of the Theoretical Physics Department; E-mail: [email protected]
Юрова Алла Александровна – Балтийский федеральный университет им. И. Канта,
Калининградский государственный технический университет, кандидат
физико-математических наук, доцент; E-mail: [email protected]
Yurova Alla Aleksandrovna – Baltic Federal University named after I. Kant, Kaliningrad
State Technical University, Ph.D. of Physics and Mathematics Sciences, Docent;
E-mail: [email protected]
Научный журнал «Известия КГТУ», №35, 2014 г.