Приближенные методы-Буханько АА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени академика С.П. КОРОЛЕВА
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
А.А. БУХАНЬКО, О.П. ЧОСТКОВСКАЯ
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,
УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебно-методического пособия
САМАРА
Издательство СГАУ
2011
УДК СГАУ: 519.24 (075)
ББК 22.1я7
Б 94
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, доц. СамГУ Л.В. Степанова;
д-р физ.-мат. наук, проф. СГАУ А.И. Хромов.
Б 94
Буханько А.А., Чостковская О.П.
Приближенные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и интегральных уравнений: учеб.-метод. пособие /
А.А. Буханько, О.П. Чостковская. – Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2011. - 68 с.: ил.
ISBN 978-5-7883-0816-6
Пособие посвящено методам нахождения приближенных решений краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с
частными производными (гиперболического, параболического и эллиптического типов) и интегральных уравнений (Фредгольма, Вольтерра). Пособие
содержит материалы, необходимые для выполнения курсовой работы по курсу «Уравнения математической физики».
Предназначено для студентов специальностей «Механика и математическое моделирование», «Динамика и прочность машин» и других инженернотехнических специальностей, а также для аспирантов и инженернотехнических работников. Предложенный материал полезен при изучении
приближенных методов решения задач некоторых разделов математики и
механики.
ISBN 978-5-7883-0816-6
2
© Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2011
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
4
1
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
5
1.1 Метод конечных разностей ........................................................................... 5
1.2 Метод прогонки .............................................................................................. 8
1.3 Базисные функции ........................................................................................ 15
1.4 Метод Галеркина .......................................................................................... 16
1.5 Метод коллокаций ........................................................................................ 20
1.6 Метод Ритца для простейшей краевой задачи ........................................... 21
2
МЕТОД СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
25
2.1 Метод сеток для уравнений параболического типа .................................. 27
2.2 Метод сеток для уравнений гиперболического типа ................................ 32
2.3 Метод сеток для задачи Дирихле ................................................................ 37
2.4 Итерационный метод решения системы
конечно-разностных уравнений........................................................................... 39
3
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
43
3.1 Метод последовательных приближений .................................................... 44
3.2 Метод конечных сумм ................................................................................. 47
3.3 Метод вырожденного ядра .......................................................................... 51
4
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
55
I
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений ....... 55
II Уравнения в частных производных ............................................................ 55
III Интегральные уравнения ............................................................................. 58
ПРИЛОЖЕНИЕ I . Аналитические решения уравнений в частных
производных (метод Фурье)
61
I.1 Смешанная задача о колебаниях однородной струны .............................. 61
I.2 Смешанная задача о теплопроводности в однородном стержне .............. 62
ПРИЛОЖЕНИЕ I I. Связь между дифференциальным уравнением и
уравнением Вольтерра
64
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
66
3
ВВЕДЕНИЕ
В самых разнообразных областях современной науки и техники часто
приходится встречаться с математическими задачами, для которых невозможно получить точное решение классическими методами или же решение
может быть получено в таком сложном виде, которое неприемлемо для практического использования.
Цель пособия – помочь студенту при изучении приближенных методов
решения различных дифференциальных и интегральных уравнений. В данной
работе рассмотрены основные вычислительные методы, позволяющие найти
приближенные решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и интегральных уравнений. В каждом разделе для лучшего понимания алгоритмов решений приведены примеры расчетов.
В первой главе пособия рассматриваются численные и аналитические методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Вторая глава посвящена одному из самых распространенных методов
численного решения уравнений с частными производными – методу сеток.
Рассматривается применение этого метода для уравнений параболического,
гиперболического и эллиптического типов.
В третьей главе рассматриваются некоторые численные методы решения
интегральных уравнений: методы последовательных приближений, конечных
сумм и вырожденного ядра.
Четвертая глава содержит задание на курсовую работу по курсу «Уравнения математической физики». Выполнение курсовой работы требует самостоятельного составления краевых задач и интегральных уравнений, их решения приближенными методами и сравнения с точным (аналитическим)
решением. Цель курсовой работы состоит в том, чтобы освоить приближенные методы решения некоторых дифференциальных и интегральных уравнений. Структура курсовой работы соответствует структуре первых трех глав
данного учебно-методического пособия.
4
1 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассматриваются методы решения линейной краевой задачи:
L[ y] y p( x) y q( x) y f ( x),
a [ y]
0 y (a)
b [ y]
0 y (b)
1y
1
(a)
(b )
(1.1)
A,
(1.2)
B,
где p( x), q( x), f ( x) - известные непрерывные на отрезке [a, b] функции,
- заданные постоянные, причем | 0 | | 1 | 0 и
0 , 1 , 0 , 1 , A, B
| 0 | | 1 | 0 . Если A B 0 , то краевые условия (1.2) называются однородными.
Методы приближенного решения краевой задачи (1.1), (1.2) разделяются
на две группы:
- разностные методы (позволяют найти приближенное решение в виде
таблицы);
- аналитические методы (позволяют найти приближенное решение в виде аналитического выражения).
1.1 Метод конечных разностей
Одним из наиболее простых методов решения краевой задачи (1.1) – (1.2)
является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений.
Разобьем отрезок [a, b] на n
равноотстоящих узлов с некоторым
b a
шагом h
. Точки разбиения
n
имеют абсциссы
x0 a , xn b , xi x0 ih
( i 1, n 1 ).
Получаемые в результате расчета приближенные значения искомой
функции y ( x) (рис. 1.1) и ее произ-
Рис. 1.1
водных y ( x) , y ( x) в узлах xi обозначим через yi , yi , yi соответственно.
Также введем обозначения
pi p( xi ), qi q( xi ), fi f ( xi ) .
Заменим приближенно в каждом внутреннем узле производные конечноразностными отношениями
5
yi
yi
yi
1
h
,
yi
y0
,
yi
2
2 yi
h2
1
yi
,
(1.3)
а на концах отрезка положим
yn 1
.
(1.4)
h
h
Подставив (1.3), (1.4) в уравнение (1.1) и условия (1.2):
yi 2 2 yi 1 yi
y
yi
pi i 1
qi yi f i (i 0, n 2),
2
h
h
(1.5)
y1 y0
yn yn 1
A,
B,
0 y0
1
0 yn
1
h
h
получим линейную систему n 1 алгебраических уравнений с n 1 неизвестными. Решив ее, получим таблицу приближенных значений искомой функции.
y0
y1
yn
yn
Пример 1.1. Методом конечных разностей найти приближенное решение уравнения
1
(11)
y
y 0,5 y 0,5x 2 ln x 4 ,
x
удовлетворяющее краевым условиям
y (1) y (1) 1,
(12)
y (2) 0,5 y (2) 1,1137,
используя конечно-разностные отношения.
Выберем шаг h 0, 2 , получим шесть узлов сетки: x0 1 , x1 1, 2 ,
x2 1,4 , x3 1,6 , x4 1,8 , x5 2 . Используя формулы (1.3), заменяем уравнение (11) системой конечно-разностных уравнений:
yi 2 2 yi 1 yi 1 yi 1 yi
0,5 yi 0,5 xi2 ln xi 4, i 0,1, 2,3 .
xi
h
h2
В результате приведения подобных членов получаем
yi 1
h
xi
0,5h 2
yi
1
2
h
xi
yi
2
h 2 0,5 xi2
ln xi
4 .
(13)
В граничных узлах краевые условия (12) согласно (1.4) принимают вид
y1 y0
y y4
y0
1, y5 0,5 5
1,1137.
h
h
Записав предпоследнее уравнение для каждого узла i 0,1, 2,3 и добавив последние уравнения, получим систему
6
0,82 y0 1,8 y1
y2
0,18,
0,853 y1 1,833 y2
y3
0,182,
0,877 y2 1,857 y3
y4
0,186,
0,895 y3 1,875 y4
y5
0,192,
0,8 y0
y1
0, 2,
0,3 y5 0,5 y4 0, 223,
решая которую, получаем
y0 1,066, y1 1,053, y2 1, 201, y3 1, 485, y4 1,891, y5 2, 408 .
Для сравнения приведем значения точного решения задачи (1 1), (12)
y( x) x 2 2ln x в соответствующих точках:
y ( x0 ) 1, 000, y( x1 ) 1, 075, y( x2 ) 1, 287,
y( x3 ) 1, 620, y( x4 )
2, 064, y( x5 )
2, 614.
Другое приближенное решение получается, если производные заменить
центрально-разностными отношениями
yi 1 yi 1
yi 1 2 yi yi 1
.
yi
, yi
2h
h2
Тогда получим систему
yi 1 2 yi yi 1
y
yi 1
pi i 1
qi yi f i (i 1, n 1),
2
2h
h
(1.6)
y1 y0
yn yn 1
A, 0 yn
B.
0 y0
1
1
h
h
Замечание: Если функция y y( x) достаточно гладкая, то более точные
значения дают формулы
y2 4 y1 3 y0
3 yn 4 yn 1 yn 2
(1.7)
y0
, yn
n 2 .
2h
2h
Оценка погрешности метода конечных разностей для задачи (1.1), (1.2)
имеет вид
h2 M 4
yi y( xi )
(b a)2 ,
96
где y( xi ) — значение точного решения при x
xi , M 4
max y (4) ( x) .
x a ,b
Пример 1.2. Методом конечных разностей найти приближенное решение уравнения (11), удовлетворяющее краевым условиям (12), используя центрально-разностные отношения с шагом h 0, 2 .
7
Используя формулы (1.6) и (1.7), заменяем уравнение (1 1) и краевые условия (12) системой конечно-разностных уравнений:
yi
1
1
h
2 xi
yi
2 0,5h 2
yi
1
1
h
2 xi
h 2 0,5 xi2 ln xi
4
(i 1, 2,3, 4),
y0
y2
4 y1 3 y0
2h
1,
y5 0,5
3 y5 4 y4
2h
y3
(14)
1,1137.
Подставляя значения соответствующих
коэффициентов, последняя система примет
вид
1, 083 y2 1,98 y1 0,917 y0 0,182,
1, 071 y3 1,98 y2
0,929 y1
0,186,
1, 063 y4 1,98 y3
0,938 y2
0,192,
1, 056 y5 1,98 y4
0,944 y3
0, 201,
2, 6 y0
Рис. 1.2
4 y1 2 y2
0, 4,
1,1 y5 2 y4 0,5 y3 0, 446.
Решением этой системы будет
y0 1, 037, y1 1, 099, y2 1, 299,
y3 1, 622, y4 2, 055, y5 2,594.
На рис. 1.2 представлено графическое сравнение решений задачи (1 1)-(12),
полученных в примерах 1.1 и 1.2, с точным решением. Из графиков видно,
что значения, близкие к точным, дают в данном случае центральноразностные соотношения.
1.2 Метод прогонки
При применении метода конечных разностей к краевым задачам для
дифференциальных уравнений второго порядка получается «трехчленная
система» линейных алгебраических уравнений, каждое из которых содержит
три соседних неизвестных. Для решения такой системы разработан метод,
получивший название метода прогонки.
Запишем первые n 1 уравнений системы (1.5) в виде
yi 2 mi yi 1 ki yi h 2 f i ,
(1.8)
mi
2 hpi , ki 1 hpi h 2 qi (i 0, n 2).
Разрешая уравнение (1.8) относительно yi 1 :
8
fi 2 1
ki
(1.9)
h
yi 2
yi
m1
mi
mi
и предполагая, что с помощью полной системы (1.5) из уравнения (1.9) исключена неизвестная yi , получим
yi
yi
1
1
ci (di
yi 2 )
i
0, n 2 ,
(1.10)
где ci , di ( i 1, n 2 ) – некоторые коэффициенты. Из (1.10) следует, что
yi ci 1 (di 1 yi 1 ) .
Подставляя (1.11) в уравнение (1.8), получим
yi 2 mi yi 1 ki ci 1 (di 1 yi 1 ) h 2 f i ,
откуда
1
yi 1
h2 fi ki ci 1di 1 yi 2 .
mi ki ci 1
(1.11)
Сравнивая последнее выражение с (1.10), получим для определения ci , di
рекуррентные формулы:
1
(1.12)
ci
, di fi h2 ki ci 1di 1 (i 1, n 2).
mi ki ci 1
Для определения коэффициентов c0 , d 0 запишем соотношения (1.11), (1.12)
при i 0 :
y0 c 1 d 1 y1 ,
1
, d0 h2 f0
m0 k0 c 1
и выразим из первого краевого условия (1.5)
c0
Ah
1
y0
0
h
1
k0 c 1d
1
y1 .
1
Сравнивая последние два равенства, получим
k0 Ah
1
0h
(1.13)
c0
, d0
f0 h2 .
m0 ( 1
h
)
k
h
0
0 1
1
0
Вычисления по методу прогонки проводятся следующим образом.
Прямой ход. По формулам (1.8) вычисляем значения mi , ki . Находим по
формулам (1.13) коэффициенты c0 , d 0 , а затем, применяя последовательно
рекуррентные формулы (1.12), получаем значения ci , di при i 1, n 2 .
Обратный ход. Из уравнения (1.10) при i n 2 и последнего уравнения
(1.5) получаем
9
yn
cn 2 (d n
1
yn ),
2
yn
yn 1
B.
0 yn
1
h
Разрешив полученную систему относительно y n , определяем
c d n 2 Bh
,
(1.14)
1 (1 cn 2 )
0h
используя уже найденные значения cn 2 , dn 2 . Далее, последовательно применяя рекуррентные формулы (1.10), вычисляем значения y n ( i n 1, ,1 ):
1 n 2
yn
yn
yn
cn 2 (d n
1
cn 3 (d n
2
y1
c0 (d 0
yn ),
2
yn 1 ),
3
(1.15)
y2 ).
Значение y 0 находим из предпоследнего уравнения системы (1.5):
Ah
.
(1.16)
1
0h
Все вычисления метода прогонки рекомендуется располагать так, как показано в табл. 1.1.
Таблица 1.1 – Порядок вычислений по методу прогонки (конечно-разностные
отношения)
y0
y
1 1
xi
mi
ki
fi
0
x0
m0
k0
1
x1
m1
k1
2
…
n 2
x2
…
xn 2
m2
…
mn 2
k2
…
kn 2
n 1
xn
i
1
Прямой ход
Обратный
ход
ci
di
yi
f0
c0
d0
y0
f1
c1
d1
y1
f2
…
fn 2
c2
…
cn 2
d2
…
dn 2
y2
…
yn 2
yn
1
n
xn
yn
Пример 1.3. Методом прогонки найти приближенное решение уравнения
1
(11)
y
y 0,5 y 0,5x 2 ln x 4 ,
x
удовлетворяющее краевым условиям
10
y (1)
y (1) 1,
y (2) 0,5 y (2) 1,1137,
используя конечно-разностные отношения.
Выберем шаг h 0, 2 . Согласно (13), (1.8) и условий задачи имеем:
h
h
mi
2
, ki 1
0,5h 2 , fi 0,5 xi2 ln xi 4,
xi
xi
0
1,
1,
1
1,
0
0,5,
1
Прямой ход. Записываем в табл. 1.2 числа xi
mi , ki , fi ( i
(12)
A 1, B 1,1137.
0, 2i и вычисляем величины
0,3 ). Далее находим по (1.13):
1 0, 2
0,82 0, 2
1, 290, d0
4,5 0,04 0,385.
1,8 0,8 0,82
0,8
Записываем полученные числа в табл. 1.2 и вычисляем ci , di при i 1, 2,3 :
c0
i 1:
i
2:
c1
1
m1 k1c0
d1
f1h 2
c2
d2
i
3:
m2
1
1,833 0,853
k1c0 d 0
1
k2 c1
f2 h2
k2 c1d1
c3
1
m3 k3 c2
d3
f3 h 2
k3c2 d 2
1,366,
1, 29
4,538 0,853
1
1,857 0,877
1, 29 0,385
1,366
4, 644 0, 04 0,877
1
1,875 0,895
1,517
4,81 0, 04 0,895
0, 605;
1,517,
1,366 0, 605
0,911;
1,933,
1,517 0,911 1, 429.
Полученные значения ci , di записываем в табл. 1.2.
Обратный ход. По формуле (1.14) находим
0,5 1,933 1, 429 1,1137 0, 2
y5
2, 407 .
0,5(1 1,933) 0, 2
Далее по формулам (1.15) приступаем к последовательному вычислению
значений yi ( i 4,3, 2,1 ) и заполняем столбец обратного хода в табл. 1.2.
y4
c3 (d3
y5 ) 1,890,
y3
c2 (d 2
y4 ) 1, 484,
y2
c1 (d1
y3 ) 1, 200,
y1
c0 (d0
y2 ) 1, 052.
Значение y 0 находим по формуле (1.16):
11
1,052 0, 2
1,065
1 0, 2
и записываем в табл. 1.2, в последнем столбце которой для сравнения приведены значения точного решения y( x) x 2 2ln x .
Таблица 1.2 – Метод прогонки для задачи (11), (12), конечноразностные отношения
y0
i
0
1
2
3
4
5
xi
mi
ki
fi
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-1,800
-1,833
-1,857
-1,875
0,820
0,853
0,877
0,895
4,500
4,538
4,644
4,810
Обратный
ход
Прямой ход
ci
-1,290
-1,366
-1,517
-1,933
di
0,385
0,605
0,911
1,429
Рассмотрим метод прогонки для решения системы,
при замене уравнения (1.1) и второго краевого условия
конечно-разностными отношениями:
yi 1 2 yi yi 1
y
yi 1
pi i 1
qi yi f i (i
2
2h
h
y1 y0
yn 1 yn 1
A, 0 yn
0 y0
1
1
h
2h
Запишем первые n 1 уравнений системы (1.17) в виде
2h 2 f i
yi 1 mi yi ki yi 1
i,
2 hpi
yi
1,065
1,052
1,200
1,484
1,890
2,407
ci (di
yi 1 )
1,000
1,075
1,287
1,620
2,064
1,614
которая получается
(1.2) центральными
1, n 1),
(1.17)
B.
(1.18)
2qi h 2 4
2 hpi
mi
, ki
.
2 hpi
2 hpi
Аналогично предыдущему приводим уравнения (1.18) к виду
yi
y( xi )
i 1, n 1 ,
(1.19)
где коэффициенты ci , di вычисляются по формулам:
i 1:
i
12
c1
2, n : ci
1
m1 (
1
0h
h
k1
0 )
1
, di
mi ki ci 1
, d1
1
1
Ah
k1
1
i
ki ci 1di 1.
0
h
;
(1.20)
Вычисления проводятся следующим образом.
Прямой ход. По формулам (1.18) вычисляем значения mi , ki . По формулам (1.20) определяем коэффициенты c0 , d 0 , а затем по рекуррентным формулам находим последовательно значения ci , di при i 2, n .
Обратный ход. Из уравнения (1.19) при i n , i n 1 и последнего
уравнения системы (1.17) получаем систему
yn cn (d n yn 1 ),
yn
cn 1 (d n
1
yn 1
2h
разрешая которую относительно y n , получим
0
yn
yn
yn ),
1
yn
1
1
2 Bh
dn
1
2 0h
1
B,
cn 1d n
cn
1
1
cn
1
.
(1.21)
Используя уже известные значения cn , dn , cn 1 , dn 1 , находим y n . Значения
yi (i n 1, ,1) получаем из рекуррентных формул (1.19). Для вычисления
y 0 используем предпоследнее уравнение системы (1.17):
Ah
.
(1.22)
1
0h
Результаты вычислений рекомендуется представлять в виде таблицы (см.
табл. 1.3).
Таблица 1.3 – Порядок вычислений по методу прогонки (центральноразностные отношения)
y0
i
xi
mi
ki
0
x0
1
x1
m1
k1
2
…
n 1
n
x2
…
xn 1
m2
…
mn 1
k2
…
kn 1
xn
mn
kn
y
1 1
Прямой ход
i
ci
di
Обратный
ход
yi
y0
c1
d1
y1
n 1
c2
…
cn 1
d2
…
dn 1
y2
…
yn 1
n
cn
dn
yn
1
2
…
13
Пример 1.4. Методом прогонки найти приближенное решение задачи
(11)- (12), используя центрально-разностные отношения.
Согласно (14), (1.18) и условиям задачи имеем:
h 2 4 xi
2 xi h
2h 2 xi
mi
, ki
,
0,5 xi2 ln xi 4 ,
i
2 xi h
2 xi h
2 xi h
0
1,
1
1,
0
1,
1
0,5,
A 1, B 1,1137.
Прямой ход. Записываем в табл. 1.4 числа xi
mi , ki ,
i
0, 2i и вычисляем величины
( i 1,5 ). Далее находим по (1.20)
1 0, 2
0, 2
1, 299, d1 0,168 0,846
0,379.
1,828 0,8 0,846
0,8
Записываем полученные числа в табл. 1.4 и вычисляем последовательно ci ,
c1
di при i 2,5 . Результаты приведены в табл. 1.4.
Обратный ход. По формуле (1.21) находим
2 1,1137 0, 2 0,5 2,947 2,072 1, 464
y5
2, 401 .
1
0, 4 0,5 2,072
92,172
Далее по формулам (1.19) приступаем к последовательному вычислению
значений yi ( i 4,3, 2,1) и заполняем столбец обратного хода в табл. 1.4.
Значение y 0 находим по формуле (1.22):
1,309 0, 2
1,386
0,8
и записываем в табл. 1.4, в последнем столбце которой приведены значения
точного решения y( x) x 2 2ln x .
Таблица 1.4 – Метод прогонки для задачи (11), (12), центральноразностные отношения
y0
i
0
1
2
3
4
5
14
xi
mi
ki
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
-1,828
-1,848
-1,864
-1,876
-1,886
0,846
0,867
0,882
0,895
0,905
Прямой ход
i
0,168
0,173
0,181
0,191
0,202
ci
di
-1,299
-1,384
-1,557
-2,072
-92,172
0,379
0,600
0,914
1,464
2,947
Обратный
ход
yi
1,386
1,309
1,387
1,602
1,943
2,401
y( xi )
1,000
1,075
1,287
1,620
2,064
1,614
1.3 Базисные функции
Рассматриваемые ниже аналитические методы нахождения приближенного решения краевой задачи (1.1) – (1.2) основаны на выборе системы базисных (координатных) функций. Системы базисных функций обладают тем
свойством, что все остальные функции (с учѐтом некоторых ограничений)
могут быть разложены на их сумму (или интеграл). Например, любая аналитическая функция одного аргумента может быть разложена в сумму
степенных функций с различными коэффициентами, то есть разложена в ряд
Тейлора. Если в качестве базисных выбраны синусоидальные функции, то
разложение по ним есть преобразование Фурье и т.д.
Система базисных функций
(1.23)
u0 ( x), u1 ( x), , un ( x), ,
заданная на отрезке [a, b] , удовлетворяет следующим условиям:
1) Система (1.23) является ортогональной, т.е.
b
ui x u j x dx
0 при i
j,
a
b
ui2 x dx
0.
a
2) Система (1.23) является полной, т.е. не существует никакой другой отличной от нуля функции, ортогональной ко всем функциям ui x i 0,1,2, .
3) Конечная система базисных функций ui x
i
0, n выбирается так, что
функция u0 x удовлетворяет неоднородным (заданным) краевым условиям:
u0
a
а остальные функции ui x
A,
u0
b
B,
(1.24)
i 1, n удовлетворяют однородным (нулевым)
краевым условиям:
a
ui
b
ui
0
i 1, n .
(1.25)
Отметим, что при выборе базисных функций условие ортогональности не
является обязательным. Например, взяв за основу полную систему функций.
ортогональных на отрезке [a, b] , можно выбрать в качестве базисных функций линейные комбинации функций из этой системы. Достаточно лишь, чтобы выбранные функции (1.23) были линейно независимы на отрезке [a, b] .
Решение краевой задачи (1.1) – (1.2) методами Галеркина, коллокаций и
Ритца ищется в виде
n
y x
u0 x
ci ui x .
(1.26)
i 1
15
Из условий (1.24), (1.25) следует, что функция (1.26) удовлетворяет краевым
условиям a y A, b y B.
Точность приближенного решения в большой степени зависит от удачного подбора базисных функций и, вообще говоря, возрастает с увеличением их
числа.
1.4 Метод Галеркина
Пусть имеем линейную краевую задачу (1.1) – (1.2). Выбрав систему базисных функций (1.23), удовлетворяющую краевым условиям (1.2), составим
функцию
n
R x, c1 , c2 ,
, cn
L u0
ci L ui ,
f x
(1.27)
i 1
называемую невязкой. Коэффициенты ci выбираются таким образом, чтобы
значение интеграла от квадрата невязки
b
R 2 x, c1 , c2 , , cn dx
a
было наименьшим. Доказано [1], что это достигается лишь в том случае, если
невязка R x, c1 , c2 , , cn ортогональна к базисным функциям ui x :
b
uk x R x, c1 , c2 ,
, cn dx
0
k
1, n .
a
Подставляя в это условие невязку (1.27), получим систему алгебраических
уравнений относительно коэффициентов ci :
n
ci aki
bk
k 1, n ,
(1.28)
i 1
b
где aki
b
uk x L ui dx, bk
a
uk x
f x
L u0 dx. Подставив коэффи-
a
циенты ci , найденные из решения системы (1.28), в выражение (1.26), получим приближенное решение краевой задачи (1.1) – (1.2).
Пример 1.5. Методом Галеркина найти приближенное решение уравнения
1
(11)
y 0,5 y 0,5x 2 ln x 4 ,
x
удовлетворяющее краевым условиям
(15)
y (1) 0, y(2) 2,6137 .
В качестве системы базисных функций выберем следующие функции:
y
16
u0 ( x )
x2
2, 6137; u1 ( x)
u3 ( x)
x
4
2 x; u2 ( x)
4 x 8; u4 ( x)
x
5
x 3 3x 2;
(16)
5 x 22.
Эти функции линейно независимы на отрезке [1, 2] , причем функция u0 x
удовлетворяет заданному краевому условию, а остальные функции – однородным краевым условиям. Будем искать решение в виде (1.26):
4
y x
ci ui x .
u0 x
i 1
Находим L ui
(i
0,1, 2,3, 4) :
1
u0 0,5u0 0,5 2,3167 1,3069 ;
x
1
2
;
L u1 u1
u1 0,5u1 0,5x2 x 4
x
x
1
3
;
L u2 u2
u2 0,5u2 0,5x3 0,75x 1
x
x
4
5
;
L u3 0,5x4 16 x2 2 x 4
; L u4 0,5x5 25x3 2,5x 11
x
x
f ( x) L[u0 ] 0,5x 2 ln x 2,6931 .
Коэффициенты aki , bk равны
L u0
u0
2
a11
2
1
2
a12
x 4
2
dx
x
1, 4 ;
2 x 0,5x3 0, 75 x 1
3
dx
x
5, 6583 ;
x2
u1 x L u1 dx
2 x 0,5 x 2
1
2
x2
u1 x L u2 dx
1
1
2
a13
2
u1 x L u3 dx
15, 7286; a14
1
2
a21
5,8024; a22
1
23,5697;
u2 x L u4 dx
158, 2392;
2
u2 x L u3 dx
65,8673; a24
1
1
2
a31
2
u3 x L u1 dx
16,5382; a32
1
u3 x L u2 dx
67,527;
u3 x L u4 dx
458, 4015;
1
2
2
u3 x L u3 dx
1
u2 x L u2 dx
1
2
a33
37,5804;
2
u2 x L u1 dx
a23
u1 x L u4 dx
1
189, 7447; a34
1
17
2
a41
2
u4 x L u1 dx
40, 4819; a42
1
2
a43
u4 x L u2 dx
166,142;
u4 x L u4 dx
1140,3115;
1
2
u4 x L u3 dx
469,3888; a44
1
1
2
x2
b1
2 x 0,5x 2 ln x 2, 6931 dx
2, 2435;
1
2
b2
x3 3x 2 0,5 x 2 ln x 2, 6931 dx
9, 2681;
x4
26,3291;
1
2
b3
4 x 8 0,5 x 2 ln x 2, 6931 dx
1
2
x5 5 x 22 0,5 x 2 ln x 2, 6931 dx
b4
64, 2376.
1
Подставляя найденные коэффициенты в (1.28), получим следующую систему
алгебраических уравнений:
1, 4c1 5, 6583c2 15, 7286c3 37,5804c4 2, 2435,
5,8024c1 23,5697c2
65,8673c3 158, 2392c4
16,5382c1 67,527c2 189, 7447c3
40, 4819c1 166,142c2
9, 2681,
458, 4015c4
469,3888c3 1140,3115c4
26,3291,
64, 2376,
решением которой являются коэффициенты
c1 1,5614, c2 0,7661, c3
0, 4495, c4 0,0743 .
6
Таким образом, согласно (1.26) и (1 ) получили приближенное решение исходной задачи:
y ( x)
3,9946 x 1,5614 x 2 0,7661x3 0, 4495 x 4 0,0743x5 3,0429 . (17)
В табл. 1.5 приведены значения точного решения y( x) x 2 2ln x , полученного приближенного решения и приближенного решения
y x
2,9585 x 0,924 x 2 0,5567 x 3 0,1399 x 4 2, 6195 ,
полученного с помощью базисных функций ui i 1,3 системы (16).
Таблица 1.5 – Точное и приближенные решения задачи (11), (15)
x
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
y ( x)
1,0000
1,0754
1,2871
1,62
2,0644
y ( x)
1,0006
1,0744
1,2858
1,6199
2,0647
y ( x)
18
1,0018
1,0717
1,2788
1,6147
2,066
2,0
2,6137
2,6137
2,6137
Из таблицы видно, что при выборе большего числа базисных функций приближенное решение дает более точный результат.
Пример 1.6. Методом Галеркина найти приближенное решение уравнения (11):
1
y
y 0,5 y 0,5x 2 ln x 4 ,
x
удовлетворяющее краевым условиям:
(18)
y(1) 1, y(2) 2,6137 .
В качестве системы базисных функций выберем функции вида
u0 ( x) 1,6137 x 0,6137; u1 ( x)
u3 ( x)
x 1
3
x 1 x 2 ; u 2 ( x)
x 2 ; u4 ( x )
x 1
Аналогично примеру 1.5 определяем функции L ui
4
x 1
2
x 2 ;
(19)
x 2 .
i 1, 4 и коэффициенты
aki , bk . Получим:
L u0
0,807 x
1,614
0,307; L u1
x
L u2
1,5x 0,5x 2
0,5x3 2 x2 11,5x 17
3
5;
x
5
;
x
7
;
x
9
;
L u4 0,5x5 3x4 32 x3 104 x2 130.5x 65
x
1,614
f x L u0 0,5x 2 0,807 x ln x
4,307 ;
x
a11
0,309; a12
0,144; a13
0, 083; a14
0, 054;
L u3
0,5x4 2,5x3 20,5x2 48,5x 37
a21
0,166; a22
0,127; a23
0, 093; a24
0, 07;
a31
0,104; a32
0, 099; a33
0, 083; a34
0, 068;
a41
0, 072; a42
0, 077; a43
0, 071; a44
0, 062;
b1
0, 459; b2
0, 236; b3
0,144; b4
0, 097.
Система алгебраических уравнений (1.28) принимает вид
19
0,309c1 0,144c2
0, 0836c3 0, 054c4
0, 459,
0,166c1 0,127c2
0, 093c3 0, 07c4
0,104c1 0, 099c2
0, 083c3 0, 068c4
0,144,
0, 072c1 0, 077c2
0, 071c3
0, 097.
0, 236,
0, 062c4
Откуда коэффициенты ci равны:
c1 1,613, c2
0,371, c3 0, 206, c4
0,062 .
Приближенное решение задачи (11), (18) имеет вид
y ( x)
0,062 x5 0,578x 4 2, 269 x3 5,943x 2 7,08 x 3, 89 .
В табл. 1.6 приведены значения точного решения y( x)
ного
y x
приближенного
0,113x
4
0,897 x
решения
3
3,953 x
2
y ( x)
и
x2
2ln x , получен-
приближенного
решения
5, 661x 3, 492 , полученного с помощью
базисных функций ui (i 1,3) из выбранной для решения системы.
Таблица 1.6 – Точное и приближенные решения задачи (11), (18)
x
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
y x
1,0000
1,0754
1,2871
1,62
2,0644
2,0
2,6137
y x
1,0000
1,0753
1,287
1,6199
2,0644
2,6137
y x
1,0000
1,0754
1,2871
1,6203
2,0646
2,6137
1.5 Метод коллокаций
Решение краевой задачи (1.1) – (1.2) будем искать в виде (1.26), выбрав
систему функций (1.23), удовлетворяющих условиям (1.24), (1.25).
Потребуем, чтобы невязка (1.27) обращалась в нуль на некоторой системе
точек x1, x2 , , xn отрезка [a, b] , называемых точками коллокации, причем
число таких точек должно равняться числу коэффициентов ci в выражении
(1.26). Тогда для определения ci получаем систему алгебраических уравнений:
20
R x1 , c1 , c2 ,
, cn
0,
R x2 , c1 , c2 ,
, cn
0,
R xn , c1 , c2 ,
, cn
0.
(1.29)
Разрешая систему (1.29) относительно коэффициентов ci i 1, n и подставляя их в (1.26), получим функцию y x , дающую приближенное решение
исходной краевой задачи.
Пример 1.7. Методом коллокаций найти приближенное решение уравнения (11):
1
y
y 0,5 y 0,5x 2 ln x 4 ,
x
удовлетворяющее краевым условиям (15):
y (1) 0, y(2) 2,6137 .
В качестве базисных функций возьмем функции системы (1 6):
u0 ( x) 2, 6137; u1 ( x) x 2 2 x; u2 ( x) x 3 3x 2;
u3 ( x)
x4
4 x 8; u4 ( x)
x 5 5 x 22.
Выберем точки коллокации: x1 1, 2, x2 1, 4, x3 1,6, x4 1,8 . Вычисляя
невязку R( x) по (1.27) в точках коллокации и приравнивая нулю, получим
систему алгебраических уравнений относительно ci (i 1, 4) :
1, 42c1 1, 0493c2 0, 7965c3 0,3406c4
1, 7371c1 0,1234c2
2, 005c1 1, 453c2
2,5316,
0, 6592c3 0.7391c4
0,5418c3 0,1609c4
2, 2533c1 2,9138c2
2,8999c3
2, 6681,
2,8173,
2,5190c4
2,9902.
Решая эту систему, находим коэффициенты
c1 1,6102, c2
0,3607, c3 0,1918, c4
0,0568 ,
1
5
и приближенное решение задачи (1 ), (1 ) методом коллокаций согласно
(1.26) принимает вид
y ( x)
6,8742 x 5,688x2 2,1149 x3 0,5326 x4 0,0568x5 3,8253 . (110)
1.6 Метод Ритца для простейшей краевой задачи
Путь дано линейное дифференциальное уравнение вида
d
p x y
q x y f x
dx
с краевыми условиям
y(a) A, y(b) B ,
где p x , q x , f x
C a, b , причем p x
0 при a
(1.30)
(1.31)
x b.
21
Краевая задача (1.30) – (1.31) при известных условиях эквивалентна вариационной задаче для функционала вида
b
p x y2
F y
q x y2
(1.32)
2 f x dx
a
на множестве функций y x
C
2
a, b , удовлетворяющих краевым услови-
ям (1.31).
Для решения вариационной задачи (1.32), (1.31) применяем метод Ритца.
Выбираем систему линейно независимых функций (координатные функции)
u0 ( x), u1 ( x), , un ( x) таких, что
u0 a
ui a
A, u0 b
ui b
B,
0 i 1, n .
Решение вариационной задачи определяется в виде линейной комбинации
базисных функций (1.26):
n
y x
ci ui x ,
u0 x
i 1
где ci i 1, n - некоторые постоянные. Очевидно, что функция (1.26) удовлетворяет заданным краевым условиям (1.31).
Коэффициенты c1 , c2 , , cn подбираются так, чтобы функция y ( x) давала
экстремум функционалу (1.32). Подставим решение вида (1.26) в выражение
(1.32), получим квадратичную функцию переменных c1 , c2 , , cn :
b
F y
a
2
n
p x u0 x
ci ui x
2
n
q x u0 x
i 1
ci ui x
i 1
n
2 f x u0 x
ci ui x
dx
c1 , c2 ,
, cn .
i 1
Для того, чтобы дифференцируемая функция
значениях c1 , c2 ,
условий:
(c1 , c2 , , cn ) при некоторых
, cn имела экстремум, необходимо выполнение следующих
(1.33)
0,
0,
0.
c1
c2
cn
Система (1.33) является линейной относительно искомых коэффициентов
c1 , c2 , , cn , причем число уравнений равно числу неизвестных. Составив систему (1.33) и решив ее относительно c1 , c2 , , cn , найдем решение вариацион22
ной задачи, а следовательно и решение исходной краевой задачи по формуле
(1.26) .
Замечание: Определим связь функций p x , q x , f x и p x , q x , f x ,
входящих в уравнения (1.1) и (1.30) соответственно. Запишем уравнение
(1.30) в виде
p x y p x y q x y f x ,
y
p x
y
q x
f x
y
p x
p x
p x
Сравнивая последнее уравнение с (1.1), получим
p x
q x
p x
, q x
, f x
p x
p x
.
f x
p x
,
откуда
p x
p x dx
e
, q x
q x e
p x dx
,
f x
f x e
p x dx
.
(1.34)
Пример 1.8. Методом Ритца найти приближенное решение уравнения
(11):
1
y
y 0,5 y 0,5x 2 ln x 4 ,
x
удовлетворяющее краевым условиям (15):
y (1) 0, y(2) 2,6137 .
Для того чтобы воспользоваться методом Ритца, найдем сначала функции
(1.34):
e
p x dx
e
1
dx
x
x,
x
x 2
, f x
x 2 ln x 8 .
2
2
В качестве базисных функций также возьмем функции системы (16):
u0 ( x) 2, 6137; u1 ( x) x 2 2 x; u2 ( x) x 3 3x 2;
p x
x, q x
u3 ( x) x 4 4 x 8; u4 ( x) x 5 5 x 22.
Подставляя решение в виде (1.26) в функционал (1.32), получим:
2
c1 , c2 , c3 , c4
x c1 2 x 2
c2 3x 2 3
c3 4 x 3 4
c4 5x 4 5
2
1
x
2, 6137 c1 x 2
2
2x
c2 x3 3x 2
c3 x 4 4 x 8
c4 x 5 5 x 22
2
23
x x 2 2ln x 8 2,6137 c1 x 2 2 x
c3 x 4 4 x 8
c2 x3 3x 2
c4 x5 5x 22
dx.
Согласно (1.33) получим систему алгебраических уравнений относительно
коэффициентов ci (i 1, 4) :
3,967c1 +16,524c 2 +47,344c3 +116,496c 4 =6,225,
16,524c1 +69,175c 2 +199,213c3 +492,677c 4 =25,849,
47,344c1 +199,213c 2 +576,71c3 +1433,711c 4 =73,818,
116,496c1 +492,677c 2 +1433,711c3 +3582,702c 4 =181,05,
решением которой являются
c1 4, 0378, c2
1,101,
c3 0, 2360, c4
0, 0238.
Тогда приближенное решение задачи (11), (15) методом Ритца согласно (1.26)
принимает вид
y ( x)
5,5976 x 4,0378x 2 1,101x3 0, 236 x 4 0,0238 x5 3, 4513 . (111)
В табл. 1.7 приведены значения точного решения y( x) x 2 2ln x и
приближенных решений задачи (11), (15), полученных методами Галеркина
(17), коллокаций (110) и Ритца (111).
Таблица 1.7 – Точное и приближенные решения задачи (11), (15)
x
y x
1,0
1,0000
1,2
1,0754
1,4
1,2871
1,6
1,62
1,8
2,0644
2,0
2,6137
y x , (17)
1,0006
1,0744
1,2858
1,6199
2,0647
2,6137
10
1,0107
1,0854
1,2958
1,6268
2,0685
2,6137
11
1,0027
1,0762
1,2862
1,6193
2,0648
2,6137
y x , (1 )
y x , (1 )
24
2 МЕТОД СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Метод сеток (метод конечных разностей) является одним из самых распространенных методов численного решения уравнений с частными производными. В его основе лежит идея замены производных конечноразностными отношениями. Для приближенного решения краевых задач для
двумерных дифференциальных уравнений идея метода заключается в следующем:
1) в плоской области G , в которой разыскивается решение, строится
сеточная область, состоящая из одинаковых ячеек и приближающая данную
область G ;
2) заданное дифференциальное уравнение заменяется в узлах построенной сетки соответствующим конечно-разностным уравнением;
3) на основании граничных условий устанавливаются значения искомого решения в граничных узлах сеточной области.
Решая полученную систему конечно-разностных уравнений (алгебраическая система уравнений с определенным числом неизвестных), находим значения искомой функции в узлах сетки – численное решение исходной задачи.
Пусть в плоскости xOy имеется некоторая область G , ограниченная кривой
(рис. 2.1). Строим на плоскости два семейства параллельных прямых:
x x0 ih (i 0, 1, 2, ), y j y0 jl ( j 0, 1, 2, ) .
Точки пересечения этих прямых называются узлами. Два узла называются
соседними, если они удалены друг от
друга в направлении оси Ox или Oy на
расстояние, равное шагу сетки h или l
соответственно. Те узлы, у которых все
четыре соседних узла принадлежат выделенному множеству узлов, называются внутренними (узел А, рис. 2.1). Множество внутренних узлов образуют сеточную область. Те узлы, у которых
Рис. 2.1
хотя бы один соседний узел не принадлежит к рассматриваемому множеству, называются граничными (узлы B, C,
рис. 2.1), а их совокупность образует границу сеточной области.
Обозначим значение искомой функции u( x, y) в узлах сетки через
uij u( xi , y j ) . В каждом внутреннем узле ( xi , y j ) заменим частные производные разностными отношениями:
25
u
x
ui
ij
1, j
ui
2h
1, j
,
u
y
ui , j
ij
ui , j
1
2l
1
;
в граничных узлах используем менее точные формулы:
ui 1, j uij
ui , j 1 uij
u
u
,
.
x ij
h
y ij
l
Частные производные второго порядка заменяются соотношениями:
2
2
ui 1, j 2u ij ui 1, j
ui , j 1 2u ij ui , j 1
u
u
,
.
2
2
2
x ij
h
y ij
l2
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Все разностные схемы можно разбить на два типа: явные и неявные. Явными
называются такие схемы, что при любом j в каждое из уравнений, связывающих значения искомого решения на горизонтальных рядах
j, j 1, , j n , входит лишь одна точка ряда j , так что значения решения в
каждом узле j -го горизонтального ряда можно вычислить независимо от его
значений в других узлах этого ряда (исключая граничные узлы), рис. 2.2,а.
Неявными называют такие схемы, когда для определения значений решения в
узлах j -го ряда при известных значениях решения во всех предыдущих рядах нужно решать систему уравнений, связывающих значения решения в узлах j -го ряда, рис. 2.2,б.
(а)
(б)
Рис. 2.2
Таким образом, явные схемы позволяют очень просто вычислить значения
искомого решения в узлах j -го горизонтального ряда, если известны значения решения на предыдущих рядах. Но они имеют существенный недостаток:
для того, чтобы они были устойчивы, необходимо налагать сильные ограничения на сетку. Кроме того, если в ходе решения необходимо уменьшить шаг
по x , то нельзя этого сделать, не уменьшая шага по y . Неявные схемы свободны от этого недостатка, но использование их связано с другой трудностью: для отыскания значений решения в узлах j -то горизонтального ряда
26
при известных значениях в узлах предыдущих рядов приходится решать систему алгебраических уравнений с большим числом неизвестных.
При использовании конечно-разностной схемы для решения краевой задачи возникает важный вопрос об устойчивости такой схемы. Конечноразностная схема называется устойчивой, если малые погрешности, допущенные в процессе решения, затухают или, во всяком случае, остаются малыми при неограниченном увеличении номера текущего слоя, [1,2]. В противном случае схема называется неустойчивой. Очевидно, что неустойчивая
конечно-разностная схема противопоказана для вычислений, так как неизбежные незначительные ошибки, например погрешности округлений, могут
создать большие отклонения от точного решения краевой задачи и привести к
результатам, не имеющим ничего общего с действительностью.
Отметим, что погрешность приближенного решения, полученного разностным методом, складывается из трех погрешностей:
погрешности замены дифференциального уравнения разностным;
погрешности аппроксимации краевых условий;
погрешности, получаемой в результате того, что система разностных
уравнений решается приближенным методом.
2.1 Метод сеток для уравнений параболического типа
Рассмотрим смешанную задачу для уравнения теплопроводности 1: найти
функцию u ( x, t ) , удовлетворяющую уравнению
u
t
2
a2
u
,
x2
(2.4)
начальному условию
u( x,0)
f ( x) (0
x
s)
(2.5)
и краевым условиям
(2.6)
u(0, t )
(t ), u(s, t )
(t ) (t 0) .
Для отыскания приближенного решения задачи (2.4)-(2.6) методом сеток
рассмотрим прямоугольную сетку узлов в полосе t 0 , 0 x s , образуемую точками пересечения двух семейств параллельных прямых:
x ih (i 0,1, 2, ), t jl ( j 0,1, 2, ).
Введем обозначения xi ih, t j jl , uij u ( xi , t j ) и приближенно заменим в
2
каждом внутреннем узле ( xi , t j ) производную
1
u
разностным отношением
x2
Задача о распространении тепла в однородном стержне длины s , [5].
27
2
2
u
x
ui
2u ij ui
1, j
1, j
h2
ij
,
(2.7)
u
одним из двух разностных отношений:
t
ui , j 1 uij
uij ui , j 1
u
u
.
,
t ij
l
t ij
l
В соответствии с предлагаемыми способами аппроксимации производных
получим для уравнения (2.4) два типа конечно-разностных уравнений2:
ui , j 1 uij
ui 1, j 2u ij ui 1, j
,
a2
l
h2
uij ui , j 1
ui 1, j 2u ij ui 1, j
.
a2
l
h2
Первая разностная схема является явной схемой, вторая – неявная. Полученные разностные уравнения содержат значения решения в четырех узлах и
аппроксимируют уравнение (2.4) с точностью до O(l h2 ) [1].
а производную
Обозначив
a 2l
, приведем эти уравнения к виду
h2
ui , j 1 1 2 uij
ui 1, j ui 1, j ,
1 2
uij
ui
1, j
ui
ui , j
1, j
1
(2.8)
0,
(2.9)
При выборе числа в уравнениях (2.8), (2.9) следует учитывать, что:
- погрешность замены дифференциального уравнения разностным должна
быть наименьшей;
- разностное уравнение должно быть устойчивым.
1
В [1,2] доказано, что уравнение (2.8) будет устойчиво при 0
, а урав2
нение (2.9) – при любом . Наиболее простой вид уравнение (2.8) принимает
1
при
:
2
ui 1, j ui 1, j
,
(2.10)
ui , j 1
2
2
Использование разностного отношения
неустойчивой разностной схеме [1].
28
u
t
ui , j
ij
ui , j
1
2l
1
приводит к
а при
1
:
6
1
(2.11)
ui 1, j 4uij ui 1, j .
6
Оценки погрешностей приближенных решений, получаемых из уравнений (2.10), (2.11) и (2.9) в полосе 0 x s , 0 t T соответственно имеют
вид3 [4]:
T
T
l h2
u u
M 1h 2 , u u
M 2h4 , u u T
M1 ,
3
135
2 12
ui , j
1
где u - точное решение задачи (2.4) – (2.6);
M1
max f IV x ,
0 x s
0 t T
x ,
x
, M2
max f VI x ,
0 x s
0 t T
IV
x ,
IV
x
.
Из приведенных оценок погрешностей следует, что уравнение (2.11) дает более высокую точность решения по сравнению с решением (2.10). Но уравнение (2.10) имеет более простой вид, а, кроме того, шаг l по аргументу t для
уравнения (2.11) должен быть значительно меньше, что приводит к большему
объему вычислений. Уравнение (2.9) дает меньшую точность, но при этом
шаги l и h выбираются независимо друг от друга. Уравнения (2.10), (2.11)
позволяют вычислить значения функции u ( x, t ) на каждом слое по явным
формулам через значения на предыдущем слое; уравнение (2.9) – неявная
схема – этим свойством не обладает.
Данным методом можно решать смешанную краевую задачу для неоднородного параболического уравнения
2
u
u
a 2 2 F x, t .
t
x
Тогда соответствующее разностное уравнение, использующее явную схему
узлов, имеет вид
ui , j 1 1 2 uij
ui 1, j ui 1, j lFij .
Откуда при
1
имеем
2
ui , j
1
1
ui
2
1, j
ui
1, j
lFij ;
(2.12)
3
Оценки погрешности даны для случая a 1 . Читателю предлагается самостоятельно
получить выражение оценки при a 1 . Аналогично для оценок в рассматриваемых
далее методах.
29
при
1
:
6
1
ui 1, j 4uij ui 1, j lFij .
6
В этом случае имеют место следующие оценки погрешности [4]:
T
1
T 1
1
u u
M2
M 4 h2 , u u
M3
M 6 h4 ,
4
3
72 3
5
ui , j
где M 2
max
2
u
t
2
, M3
1
max
3
u
t
3
4
, M4
u
, M6
x4
max
(2.13)
6
max
u
.
x6
Пример 2.1. Используя разностное уравнение (2.12), найти приближенное решение уравнения
ut 8uxx ,
удовлетворяющее условиям
u x,0
13sin
x 0 x 2 ,
2
u 0, t , u 2, t 0 t 0 ,
и сравнить его с аналитическим решением.
Выберем по аргументу x шаг h 0, 25 и воспользуемся конечноразностным уравнением (2.10), т.е.
1 2 , откуда шаг по аргументу t будет
h2
0,0039 . Записываем в табл. 2.1 начальные и краевые значения, т.е.
a2
заполняем строку при j 0 и крайние столбцы (при i 0 и i 8 ) соответственно. Значения функции u ( x, t ) на первом слое находим, используя значения
на нулевом (начальном) слое и краевые условия согласно (2.10) при j 0 :
l
ui ,1
Откуда получаем
u11
u21
и т.д.
30
1
u20
2
1
u30
2
u10
u00
ui
ui
1,0
2
1,0
.
1
9,1924 0
2
4,5962,
1
12, 0104 4,9749
2
8, 4927
Записываем полученные значения ui1 ( i 1,2,3,4,5,6,7 ) во вторую строку
табл. 2.1. Переходим к вычислению значений на втором слое по формуле
(2.10) при j 1 :
ui 1,1
.
2
Подобным образом определяем последовательно значения u ij при t 0,0039;
0,0078; 0,0117 и т.д.
Таблица 2.1 – Результаты вычислений для примера 2.1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
i
xi 0,0 0,25
j tj
0,5
0,75
1,0
1,25
1,5
1,75 2,0
ui ,2
ui
1,1
0,0
0,0039
0,0078
0,0117
0,0156
0,0195
0,0234
0,0273
0,0312
u( x;0,0312)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4,9749
4,5962
4,2464
3,9231
3,6245
3,3486
3,0937
2,8582
2,6407
4,9749
4,5962
4,2464
3,9231
3,6245
3,3486
3,0937
2,8582
2,6407
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2,6873 4,9655 6,4877 7,0223 6,4877 4,9655 2,6873
0
u u
0
0,0466 0,0862 0,1126 0,1220 0,1126 0,0862 0,0466
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9,1924
8,4927
7,8462
7,2490
6,6972
6,1874
5,7164
5,2813
4,8793
12,0104 13,0 12,0104
11,0962 12,0104 11,0962
10,2516 11,0962 10,2516
9,4712 10,2516 9,4712
8,7503 9,4712 8,7503
8,0842 8,7503 8,0842
7,4689 8,0842 7,4689
6,9003 7,4689 6,9003
6,3751 6,9003 6,3751
9,1924
8,4927
7,8462
7,2490
6,6972
6,1874
5,7164
5,2813
4,8793
Аналитическое решение данной задачи определяется согласно приложению I формулой
2
n
u x, t
e 2 nt Bn sin
x,
2
n 1
2
где Bn
2
n
13sin x sin
xdx
20
2
2
2
B1
2
13 sin 2
0
Получаем u x, t
0 при n 1 :
2
xdx
2
13
1 cos x dx
2 0
13
1
x
sin x
2
2
13 .
0
x - точное решение данной задачи.
2
В последних двух строках табл. 2.1 приведены значения точного решения
задачи и модуля разности u u при t 0,0312 . Для данной задачи
13e
2
t
sin
31
13 4
sin x , следовательно M1
16
2
погрешности приближенного решения будет
0,0312 13 4 2 2
u u
a h 0, 4116 .
3 16
(t )
(t )
0 , f IV x
13
16
4
и оценка
2.2 Метод сеток для уравнений гиперболического типа
Рассмотрим смешанную задачу для уравнения свободных колебаний однородной струны [5]: найти функцию u ( x, t ) , удовлетворяющую уравнению
2
u
t
2
2
a2
u
,
x2
(2.14)
начальным условиям
u( x,0)
f ( x),
u( x,0)
t
x
(0
x
s)
(2.15)
и краевым условиям
(2.16)
u(0, t )
(t ), u(s, t )
(t ) (t 0) .
Как и для уравнения параболического типа, построив в полосе t 0 ,
0 x s прямоугольную сетку
xi ih (i 0,1, , n), t j jl ( j 0,1, 2, ) ,
заменяем производные в уравнении (2.14) разностными отношениями (2.3):
ui , j 1 2u ij ui , j 1
ui 1, j 2u ij ui 1, j
.
a2
2
l
h2
al
Обозначив
, получим разностное уравнение
h
2
ui , j 1 2uij ui , j 1
ui 1, j 2u ij ui 1, j ,
(2.17)
которое является устойчивым при
1 [1]. В частности, при
ние (2.17) принимает наиболее простой вид:
ui , j 1 ui 1, j ui 1, j ui , j 1 .
1 уравне(2.18)
Оценка погрешности приближенного решения, полученного из уравнения
(2.17) в полосе 0 x s , 0 t T , имеет вид
h2
u u
M 4 h 2M 3 T T 2 M 4 ,
12
k
k
u
u
, k
k 3, 4 .
где u - точное решение; M k max
k
t
x
32
Из уравнения (2.17) видно, что для получения значений u ( x, t ) на ( j 1) слое используются значения u ( x, t ) на слоях j и ( j 1) ,
(рис. 2.3). Для начала вычисления необходимо
знать значения u ( x, t ) на первых двух слоях:
j 0 , j 1 , которые можно определить одним из следующих способов, используя начальные условия (2.15) .
П е р в ы й с п о с о б . Заменяя в начальном условии (2.15) производную ut ( x,0) разностным отношением
ui1 ui 0
xi
i,
l
для определения u ( x, t ) на слоях j 0 , j 1 получим
Рис. 2.3
ui 0 fi , ui1 fi l i .
Оценка погрешности значений ui1 имеет вид [1]:
ui1 ui1
h
M2, M2
2
max
2
u
t
2
2
u
x2
,
.
В т о р о й с п о с о б . Заменяем производную ut ( x,0) разностным отношением
ui1 ui ,
1
, где ui , 1 - значение функции u ( x, t ) на слое j
2l
из начальных условий (2.15) получаем
u u
ui 0 fi , i1 i , 1
i.
2l
Записав разностное уравнение (2.18) для слоя j 0 :
ui1 ui 1,0 ui 1,0 ui , 1
1 . Тогда
и исключив из последних двух уравнений значения ui , 1 , получим
1
fi 1 fi 1
2
Оценка погрешности значений ui1 имеет вид [1]:
ui 0
ui1 ui1
h4
M4
12
f i , ui1
h3
M3, Mk
6
k
max
t
l
u
k
i
.
k
,
u
xk
k
3, 4 .
33
Т р е т и й с п о с о б . Если функция f ( x) задана аналитически и имеет
конечную вторую производную, то значения ui1 можно определить с помощью формулы Тейлора:
u
l 2 2ui 0
.
ui1 ui 0 l i 0
t
2 t2
Из уравнения (2.14) и начальных условий (2.15) имеем
2
2
ui 0
ui 0
ui 0
2
ui 0 fi ,
l i,
a
a 2 fi .
2
t
t
x2
Тогда
a 2l 2
ui1 ui 0 l i
fi .
2
Погрешность значений ui1 , полученных по этой формуле, имеет порядок
O(l 3 ) .
Аналогичным образом применяется метод сеток при решении смешанной
краевой задачи для неоднородного волнового уравнения
2
2
u
u
a 2 2 F x, t .
2
t
x
В этом случае разностное уравнение имеет вид
2 2
h
2
ui , j 1 2uij ui , j 1
ui 1, j 2u ij ui 1, j
Fij .
a2
Пример 2.2. Методом сеток найти приближенное решение задачи
utt 16uxx ,
u x,0
x, ut x,0
sin x 0 x 4 ,
4
4
u 0, t 0, u 4, t 0 t 0
с шагом h 0,5 , используя первый и второй способы для вычисления значений ui1 . Результат сравнить с аналитическим решением задачи.
Для решения воспользуемся соотношением (2.18) при
1 . Тогда, учитывая, что шаг по аргументу x равен 0,5, получим шаг по аргументу t равным l h a 1 8 0,125 . Результаты вычислений будем заносить в таблицу
следующим образом: сначала заполняем столбцы, соответствующие значениям x0 0 и x8 4 (согласно краевым условиям), затем вычисляем значения
u ( x, t ) на первых двух слоях (согласно начальным условиям), и далее по
формуле (2.18) вычисляем значения u ij на последующих слоях:
34
2sin
j 1: ui ,2
ui
1,1
ui
1,1
ui ,0 ;
j
2 : ui ,3
ui
1,2
ui
1,2
ui ,1 ;
j
3 : ui ,4
ui
1,3
ui
1,3
ui ,2
и т.д.
П е р в ы й с п о с о б . Значения u ( x, t ) на первых двух слоях находим по
формулам
ui 0
fi
2sin
4
xi , ui1
fi
l
2 l
i
sin
4
xi ;
заносим в табл. 2.2.
В т о р о й с п о с о б . Значения u ( x, t ) на первых двух слоях находим по
формулам
1
ui 0 fi 2sin xi , ui1
fi 1 fi 1 l i
sin xi 1 sin xi 1 l sin xi ,
4
2
4
4
4
заносим в табл. 2.3.
В табл. 2.2 и 2.3 представлены результаты вычислений. В последних
строках таблиц приведены значения точного решения задачи и модулей разности u u при t 0,875 . Аналитическое решение задачи определяется по
формуле (см. приложение I):
u x, t
An cos
n 1
n
n
n
at Bn sin at sin
x,
4
4
4
4
2
x
nx
2sin
sin
dx
где An
40
4
4
при n 1 :
4
sin 2
A1
0
4
B1
x
dx
4
1
x
sin 2
dx
20
4
0 и Bn
2
a n0
4
1
x
1 cos
dx
20
2
4
1
x
1 cos
dx
40
2
Следовательно, функция u x, t
l
sin
1
x
2
x
nx
sin
dx
4
4
2
1
x
4
2 cos t sin t sin
sin
2
sin
4
x
2
x
2
0,
4
2,
0
4
1.
0
x является точным
решением рассматриваемой задачи.
35
Таблица 2.2 – Результаты вычислений для примера 2.2 (первый способ)
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0,0
0,125
0,250
0,375
0,500
0,625
0,750
0,875
1,000
u( x;0,875)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,7654
0,9157
0,9265
0,7964
0,5449
0,2106
-0,1559
-0,4985
-0,7654
1,4142
1,6919
1,7121
1,4714
1,0070
0,3890
-0,2879
-0,9213
-1,4142
1,8478
2,2106
2,2368
1,9227
1,3155
0,5085
-0,3764
-1,2036
-1,8478
2
2,3927
2,4212
2,0809
1,4242
0,5501
-0,4072
-1,3029
-2
1,8478
2,2106
2,2368
1,9227
1,3155
0,5085
-0,3764
-1,2036
-1,8478
1,4142
1,6919
1,7121
1,4714
1,0070
0,3890
-0,2879
-0,9213
-1,4142
0,7654
0,9157
0,9265
0,7964
0,5449
0,2106
-0,1559
-0,4985
-0,7654
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0,5607 -1,0360 -1,3536 -1,4651 -1,3536 -1,0360 -0,5607
0
u u
0
0,0622 0,1147 0,1500 0,1622 0,1500 0,1147 0,0622
0
j tj
xi
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Таблица 2.3 – Результаты вычислений для примера 2.2 (второй способ)
i
j tj
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
xi
1
2
3
4
5
6
7
8
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
0,0
0,125
0,250
0,375
0,500
0,625
0,750
0,875
1,000
u ( x;1, 0)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,7654
0,8574
0,8189
0,6557
0,3927
0,0698
-0,2635
-0,5569
-0,7654
1,4142
1,5843
1,5131
1,2116
0,7255
0,1292
-0,4871
-1,0289
-1,4143
1,8478
2,0699
1,9770
1,5829
0,9481
0,1686
-0,6362
-1,3445
-1,8478
2
2,2405
2,1398
1,7135
1,0260
0,1827
-0,6888
-1,4551
-2,0020
1,8478
2,0699
1,9770
1,5829
0,9481
0,1686
-0,6362
-1,3445
-1,8478
1,4142
1,5843
1,5131
1,2116
0,7255
0,1292
-0,4871
-1,0289
-1,4143
0,7654
0,8574
0,8189
0,6557
0,3927
0,0698
-0,2635
-0,5569
-0,7654
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0,5607 -1,0360 -1,3536 -1,4651 -1,3536 -1,0360 -0,5607
0
u u
0
0,0038 0,0071 0,0091 0,0100 0,0091 0,0071 0,0038
0
Сравнивая результаты вычислений, видим, что лучший результат вычислений получается при втором способе заполнения первых двух слоев таблицы.
36
2.3 Метод сеток для задачи Дирихле
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения Пуассона (задачу Дирихле): найти функцию u ( x, t ) , удовлетворяющую внутри некоторой области G уравнению
2
2
u
u
(2.19)
u
f x, y ,
2
x
y2
а на границе - условию
u
( x, y ) ,
где
( x, y) - заданная непрерывная функция.
Выбрав шаги h и l по x и y соответственно, строим сетку
xi
x0 ih (i
0, 1, 2, ),
yj
y0
jl ( j
0, 1, 2, )
2
2
u
u
ко,
x2
y2
нечно разностными отношениями (2.3), а уравнение (2.19) – конечноразностными уравнениями:
ui 1, j 2u ij ui 1, j ui , j 1 2u ij ui , j 1
(2.20)
fij .
h2
l2
Уравнения (2.20) вместе со значениями u ij в граничных узлах образуют
и заменяем в каждом внутреннем узле
производные
xi , y j
систему линейных алгебраических уравнений. Наиболее простой вид эта система имеет для прямоугольной области и при l h . В этом случае уравнения
(2.20) записываются в виде
ui 1, j ui 1, j ui , j 1 ui , j 1 4uij h 2 fij ,
(2.21)
а значения в граничных узлах в точности равны значениям граничной функции. При f ( x, y) 0 уравнение (2.19) называется уравнением Лапласа и соответствующие конечно-разностные уравнения имеют вид
1
uij
ui 1, j ui 1, j ui , j 1 ui , j 1 .
(2.22)
4
При этом погрешность аппроксимации имеет оценку
Rij
h2
M4, M4
6
4
max
G
4
u
u
, 4
4
x
y
.
При составлении уравнений (2.21) и (2.22) была использована схема узлов, представленная на рис. 2.4. На рис. 2.5 показана другая схема узлов, при
которой конечно-разностные уравнения, соответствующие уравнению Лапласа, принимают вид
37
Рис. 2.4.
Рис. 2.5.
1
ui 1, j 1 ui 1, j 1 ui 1, j 1 ui 1, j 1 ,
4
а для уравнения Пуассона
1
h2
(2.23)
uij
ui 1, j 1 ui 1, j 1 ui 1, j 1 ui 1, j 1
fij ,
4
2
4h2
причем погрешность аппроксимации не превосходит
M4 .
3
Другие схемы узлов, расположенных определенным образом около узла
(i, j ) , рассмотрены в [1].
uij
Пример 2.3. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в
прямоугольнике A(0,0), B(0,1), C(1, 2), D(2,0) :
uxx
u yy
xy,
2
u AB
2 y , u BC
u CD
2 y, u AD
(21)
3 x,
2.
Построим сетку с шагом h 0,5 , получим три внутренних узла (рис. 2.6).
Запишем в этих узлах конечно-разностные уравнения согласно (2.21) и подu02
u01
u00
3
u12
u11
2, 25
2
2,5 u22
u10
2
2
u21
u20
2
Рис. 2.6.
38
u32
1,5 u42
u31
u30
2
1
u41 1,5
u40
2
ставим известные из краевых условий значения u ij в граничных узлах:
1
u21 u01 u12
4
u11
u21
1
x 1 y1
16
u10
1
u31 u11 u22 u20
4
1
x 2 y1
16
1
u21 2, 25 2,5 2
4
1
u31 u11 2 2
4
1 1 1
,
16 2 2
1
1
1 ,
16 2
1
1
1
1 3 1
u41 u21 u32 u20
x 3 y1
1,5 u21 1,5 2
.
4
16
4
16 2 2
После преобразования получим алгебраическую систему уравнений относительно неизвестных значений u ij во внутренних узлах:
u31
64u11 16u21
107,
8u11 32u21 8u31
31,
16u21 64u31 77.
Решив эту систему методом Гаусса, получим
965
27
755
u11
2,1540, u21
1,9286, u31
1,6853 .
448
14
448
Запишем теперь во внутренних узлах конечно-разностные уравнения согласно (2.23) и подставим значения u ij в граничных узлах:
u11
1
u00
4
u20
u02
u22
1 1
8 4
1
2 2 3 2
4
1
32
u21
1
u10
4
u30
u12
u32
1 1
8 2
1
2 2 2,5 1,5
4
1
1 3 1
3
u20 u40 u22 u42
2 2 2 1
4
8 4 4
32
Выполнив несложные действия, получим
u11 2, 2188, u21 1,9375, u31 1,6563 .
u31
71
,
32
1
16
31
,
16
53
.
32
2.4 Итерационный метод решения системы
конечно-разностных уравнений
Непосредственное решение системы конечно-разностных уравнений методами последовательного исключения при большом числе узлов оказывается
39
слишком громоздким. Тогда более удобны итерационные методы решения,
которые учитывают специальный вид таких систем [1-3] . Рассмотрим наиболее простой метод – процесс усреднения Либмана для систем вида (2.22), согласно которому вычисления ведутся следующим образом: выбрав начальные
приближения uij(0) , последовательные приближения uij( k
1)
для внутренних
узлов сеточной области определяются по формуле
uij( k
1)
1 (k )
ui 1, j
4
ui( k1,) j
ui(,kj) 1 ui(,kj) 1
k
0,1, 2
.
(2.24)
Доказано [5], что для любого шага сетки h процесс Либмана сходится к точному решению независимо от выбора начальных значений, т.е. существует
lim uij( k ) uij ,
k
причем погрешность приближенного решения имеет порядок O h 2 .
Обычно итерации продолжаются до тех пор, пока в двух последовательных приближениях не совпадет требуемое количество десятичных знаков.
Для оценки погрешности приближенного решения уравнения Лапласа можно
использовать принцип Рунге [1], согласно которому погрешность h приближенного решения u h , полученного с шагом h , дается приближенной
формулой
uh u2h
,
3
- приближенное решение, полученное с шагом 2h .
h
где u2h
Пример 2.4. Применяя метод усреднения Либмана, найти приближенное
1
решение задачи (21) с шагом h
. Итерации проводить с точностью до
2
0,01.
Запишем итерационную формулу для соотношения (2.22):
1 (k )
h2
(2.25)
ui 1, j ui( k1,) j ui(,kj) 1 ui(,kj) 1
fij k 0,1, 2 .
4
4
В предлагаемой сеточной области (рис. 2.6) три внутренних узла u11 , u21 , u31 ,
uij( k
1)
соотношение (2.25) для каждого их этих узлов примет вид
40
u11( k
1)
(k
u21
1)
(k
u31
1)
1 (k )
u21
4
1 (k )
u31
4
1 (k )
u41
4
(k )
u01
u12( k )
u10( k )
u11( k )
(k )
u22
(k )
u20
(k )
u21
(k )
u32
(k )
u30
h2
f11 ,
4
h2
f 21 ,
4
h2
f 31 .
4
Подставляя соответствующим образом значения в граничных узлах (см. рис.
2.6) и значения функции f ( x, y) xy в каждом внутреннем узле, получим
u11( k
1)
(k
u21
1)
(k
u31
1)
1 (k )
u21
4
1 (k )
u31
4
1 (k )
u21
4
107
,
64
31
,
32
u11( k )
77
.
64
В качестве начального приближения выберем u11(0)
(0)
u21
0 . Результаты
(0)
u31
вычислений по полученной системе итерационных соотношений представлены в табл. 3.1.
Таблица 3.1 – Результаты итерационного процесса для примера 2.4
k
0
1
2
3
4
5
6
7
ui(7)
ui(6)
1
1
u11
0
1,6719
1,9141
2,0938
2,1240
2,1465
2,1503
2,1531
0,0028
u21
0
0,9688
1,6875
1,8086
1,8984
1,9136
1,9248
1,9267
0,0019
u31
0
1,2031
1.4453
1,6250
1,6553
1,6777
1,6815
1,6843
0.0028
По результатам вычислений видно, что заданная точность вычислений 0,01
была достигнута на 7-й итерации – на этом процесс останавливается.
Формулы (2.20) – (2.25) используются для задачи Дирихле в случае, когда
граница
области G прямоугольной формы. Если граница
криволинейна, то значения u ij для граничных узлов получаются путем переноса значений
из точек границы
[1-3]. Погрешность, получаемую в результате такого переноса, можно значительно уменьшить, если для каждого граничного узла
составлять уравнения следующего вида:
41
- для узла вида Ah (рис. 2.7)
u
1 B
u Ah
1
hu A
;
h
- для узла вида C h (рис. 2.7)
u
2 D
uCh
2
Рис. 2.7.
huC
.
h
Получив одно из таких уравнений для каждого граничного узла и присоединив его к любой из систем
конечно-разностных уравнений (2.21) – (2.25), получим систему алгебраических уравнений относительно значений u ij в узлах сетки. Если эту систему
решать методом Либмана, то последовательные приближения граничных значений будут вычисляться по формулам
u A( kh
42
1)
uA
1
uB( k ) u A
, uC( kh
h
1
1)
uC
2
uD( k ) uC
.
h
2
3 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Интегральное уравнение – уравнение, содержащее неизвестную функцию
y x под знаком определенного интеграла. Наиболее часто встречающиеся
линейные интегральные уравнения, в которых неизвестная функция входит
линейно (в первой степени) – интегральные уравнения Фредгольма первого и
второго рода соответственно:
b
K x, s y ( s)ds
f x ,
(3.1)
a
b
y x
K x, s y(s)ds
f x ,
(3.2)
a
– числовой параметр4.
где K x, s (ядро) и f x – известные функции,
Интегральные уравнения вида
x
K x, s y ( s)ds
f x ,
(3.3)
a
x
y x
K x, s y(s)ds
f x
(3.4)
a
называются интегральными уравнениями Вольтерра первого и второго рода
соответственно. Вводя функцию
K x, s при a s x,
K x, s
0
при s x,
уравнения Вольтерра (3.3) и (3.4) можно свести к уравнениям Фредгольма с
ядром K
x, s .
Замечание: если ядро K x, s и функция f x - непрерывно дифференцируемые, причем K x, x
0 при a x b , то уравнение Вольтерра первого рода (3.3) сводится к уравнению Вольтерра второго рода (3.4).
4
Интегральное уравнение (3.2) не всегда имеет решения при данном значении
параметра . Варьируя параметр , можно добиться того, чтобы решение уравнения
(3.2) существовало.
43
К линейным интегральным уравнениям может быть приведено большое
количество задач математической физики. Основными проблемами здесь являются:
1) нахождение приближенного или точного решения неоднородного интегрального уравнения при заданном значении параметра ;
2) нахождение собственных значений и соответствующих собственных
функций однородного интегрального уравнения.
3.1 Метод последовательных приближений
Рассмотрим уравнение Фредгольма второго рода (3.2) в виде
b
y x
f x
K x, s y (s )ds ,
a
где функции K x, s
f x непрерывны. Будем искать решение этого урав-
нения в виде степенного ряда (по степеням
n
y x
n
x
0
( x)
1
):
2
( x)
2
( x)
n
n
(3.5)
( x)
n 0
Подставляя выражение (3.5) в интегральное уравнение (3.2) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях , получим
f x ,
0 x
b
1
x
K x, s
0
s ds,
a
(3.6)
..........................................
b
n
x
K x, s
s ds,
n 1
a
..........................................
Пусть K x, s
M и
f x
N в области R a
формул (3.6) по индукции получаем
n
n
1
.
M b a
Приняв
n
k
yn x
k
k 0
44
b, a
s
b . Из
M n N b a , и сходимость
x
ряда (3.5) будет обеспечена, если
y ( x)
x
x ,
получим приближенное решение интегрального уравнения (3.2) с погрешностью
y x
n
k
yn x
k
x
k n 1
N M b a
k
N M b a
1 M b a
k n 1
(3.7)
n 1
.
Формула (3.5) дает аналитическое относительно
решение уравнения
Фредгольма (3.2) в окрестности точки
0 . Из формул (3.6) вытекает, что
решение (3.5) можно записать в виде
b
y x
n 1
f x
n 1
K n x, s f (s )ds
a
или
b
y x
f x
R x, s ,
f (s )ds .
(3.8)
a
Здесь функция
n 1
R x, s,
K n x, s
n 1
называется резольвентой уравнения (3.2), определяется данным степенным
рядом при малых
. Пользуясь аналитическим продолжением, резольвенту
R x, s,
можно продолжить на всю комплексную плоскость параметра
,
за исключением собственных значений 1 , 2 ,
(особые точки), которые
являются полюсами резольвенты. Тогда формула (3.8) дает решение уравнения (3.2) при любом
1, 2 ) .
k (k
Коэффициенты K n x, s , так называемые итерированные ядра, могут
быть найдены последовательно по формулам
K1 x, s K x, s ,
b
K 2 x, s
K x, t K1 t , s dt ,
a
...............................................
b
K n x, s
K x, t K n
1
t , s dt ,
a
...............................................
Рассмотрим теперь соответствующее уравнение Вольтера (3.4):
45
x
y x
K x, s y (s )ds ,
f x
a
где a
x b . Полагая
n
y x
x ,
n
(3.9)
n 0
аналогично предыдущим выкладкам получим
x
0
x
f x ,
n
x
K x, s
,
s ds n 1, 2
n 1
a
откуда
n
K x, s
n
M nN b a
x
n
n!
f x
N
M,
0,1, 2,
при a
x
,
b, a
(3.10)
s
b.
Следовательно, ряд (3.9) сходится при любом
и дает единственное решение уравнения (3.4). Погрешность приближенного решения
n
k
Yn x
k
x
k 0
на основании оценок (3.10) определяется формулой
n
y x
N M b a
Yn x
k
N e
k!
k n 1
M b a
M b a
k 0
k!
k
.
Замечание: Неудобством метода последовательных приближений является необходимость вычисления квадратур. Если интегралы не вычисляются
точно, то приходится прибегать к численным квадратурным формулам.
Пример 3.1. Методом последовательных приближений найти приближенное решение уравнения Фредгольма
1
y s
y x x
ds 0 x 1 .
10 x s
0
Полагая y x
n
n
x , имеем
n 0
0
b
1
x
f x
x,
1
K x, s
a
x
0
s ds
s
ds 1
10 x s
0
Тогда в качестве первого приближения можно взять
46
10 x ln
11 x
.
10 x
y x
0
( x)
1
( x)
x
1
10 x
1 (10 x) ln 1
.
Здесь
M
max K x, s
max
a x b
a s b
0 x 1
0 s 1
1
10 x s
0,1 N
max f x
0 x 1
1
0,1 1 0
Следовательно, полученный ряд сходится при
сти, при
max x 1 .
a x b
10 . В частно-
1 на основании (3.7) точность решения будет
2
1 0,1 1 1
y ( x) y1 ( x)
0, 01 .
1 0,1 1 1
3.2 Метод конечных сумм
Идея метода конечных сумм заключается в замене определенного интеграла конечной суммой с помощью некоторой квадратурной формулы
b
n
F x dx
Ai F xi
R F ,
(3.11)
i 1
a
где xi i 1, n - абсциссы точек отрезка [a, b] ; Ai i 1, n - числовые коэффициенты, не зависящие от выбора функции F ( x) ; R F - остаточный член
n
(ошибка) формулы (3.11). Обычно Ai
0 и
Ai
b a . В случае равноот-
i 1
стоящих точек xi
a ih
i
b a
, имеем:
n
0, n 1 , где h
1) для формулы прямоугольников
Ai
h
2) для формулы трапеций
A0
An
3) для формулы Симпсона
при n
i 1, n 1 , An
h
,
2
Ai
2m, h
h
0;
i 1, n 1 ;
b a
,
2m
h
4h
2h
.
, A1 A3
A2m 1
, A2 A4
A2 m 2
3
3
3
Погрешность приближенного решения зависит от погрешности выбранной
квадратурной формулы.
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода (3.2):
A0
A2m
47
b
y x
K x, s y (s)ds
f x
a
x
b .
a
Выбирая
y xi
yi , K xi , x j
точки
и
x i [a, b]
K ij , f xi
fi
обозначая
1, n на основании формулы (3.11)
i, j
будем иметь
n
yi
Aj Kij y j
fi
i 1, n ,
Ri
j 1
где Ri - соответствующие ошибки. Отбрасывая в этой системе величины Ri ,
для приближенных значений yi решения y x
линейную систему алгебраических уравнений:
в узлах x i , i 1, n получим
n
yi
Aj Kij y j
fi
i 1, n .
(3.12)
j 1
1, i
j
и учитывая, что yi
ij y j (немой
0, i j
индекс j – индекс суммирования), систему (3.12) можно записать в виде
Вводя символы Кронекера
ij
n
ij
fi
i 1, n .
(3.13)
Aj K ij
0,
(3.14)
Aj Kij y j
j 1
Если
det
ij
то система (3.13) имеет единственное решение yi , которое можно найти методами решения систем алгебраических уравнений.
Найдя yi ( i 1, n ) для решения y ( x) , получаем из уравнения (3.2) приближенное аналитическое выражение
n
y x
f x
A j K x, x j y j .
j 1
Замечание: метод конечных сумм дает хорошие результаты, если ядро
K x, s и правая часть f x достаточно гладкие функции.
Метод конечных сумм может быть применен также к интегральному
уравнению Фредгольма первого рода (3.1):
b
K x, s y ( s )ds
a
48
f x .
В этом случае приближенные значения yi решения y x
определяются из системы
в узлах x i , i 1, n
n
Aj Kij y j
i 1, n .
fi
j 1
Особенно просто применение метода конечных сумм для решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода (3.4):
x
y x
K x, s y (s)ds
f x
a
x
b,
a
которое можно рассматривать как уравнение Фредгольма второго рода. Здесь
Kij 0 при j i и, следовательно, соответствующая система (3.12) имеет
вид
i
A(j i ) Kij y j
yi
fi
i
0, n .
(3.15)
j 0
Причем коэффициенты A(j i ) вычисляются для соответствующей квадратурной
формулы на каждом i -том шаге, поскольку интеграл, входящий в уравнение
Вольтерра, имеет переменный верхний предел.
Пример 3.2. Применяя формулу трапеций с шагом h 0, 2 на отрезке
[1, 2] , найти приближенное решение уравнения
x
y x
1
1
0,5 x s
x
y s ds
0,5x 2 ln x 3,5 .
(31)
Для формулы трапеций для каждого i -го шага ( i 0,5 ) будем иметь
h
A0(i ) Ai( i )
, A(j i ) h
j i
j 1, 2,3, 4 .
2
Полагая в уравнении (31) x xi (i 0,5) , получим
y0
xi
yi
1
1
xi
0,5 xi
s
y s ds
f0 ,
0,5 xi2
ln xi
4 i 1, 2,3, 4,5 .
Применяя к определенным интегралам формулу трапеций с шагом h 0, 2 ,
согласно (3.15) получим систему уравнений
49
y0
f0 ,
y1
A0(1) K10 y0
A1(1) K11 y1
f1 ,
y2
A0(2) K 20 y0
A1(2) K 21 y1
A2(2) K 22 y2
y3
y4
y5
(3)
0
A K 30 y0
(4)
0
A K 40 y0
(5)
0
A K50 y0
(3)
1
A K 31 y1
(4)
2
A K 41 y1
тальные
A(j i )
h
0, 2
(5)
3
A K52 y2
A2(2)
A0(3)
A K53 y3
A3(3)
для всех
A4(4) K 44 y4
(5)
4
A K 54 y4
j
A4(4)
1
0,5 xi x j , fi 0,5xi2 ln xi 4 ( i
xi
ной системы последовательно находим
y0 f 0 4, 0000,
A5(5) K 55 y5
f5 ,
A0(5)
A4(5)
0,5 ) (табл. 3.1) и из получен-
y1
f1 0,1K10 y0 1 0,1K11
y2
f 2 0,1K 20 y0 0, 2 K 21 y1 1 0,1K 22
y3
f3 0,1K30 y0 0, 2 K 31 y1
K 32 y2
1 0,1K 33
y4
f 4 0,1K 40 y0 0, 2 K 41 y1
K 42 y2
K 43 y3
y5
f5 0,1K50 y0 0, 2 K 51 y1
K 52 y2
K 53 y3
3,3825,
1
Таблица 3.1 – Значения коэффициентов
K1i
K 2i
K3i
i
0
0,9333
0,9143
0,9250
1
0,8333
0,8143
0,8250
2
0,7143
0,7250
3
0,6250
4
5
3, 0118,
1
2, 7719,
1 0,1K 44
K 54 y4
K 4i
0,9556
0,8556
0,7556
0,6556
0,5556
Уравнение (31) соответствует краевой задаче
1
y
y 0,5 y 0,5 x 2 ln x 4,
x
u (1) 1, u (1) 0.
50
f4 ,
h
0,1; а ос2
i . Составляем таблицу значений
A0(4)
Kij
1
f3 ,
A K 43 y3
(5)
2
A K51 y1
A0(2)
(4)
3
A K 42 y2
(5)
1
A1(1)
A3(3) K 33 y3
A K 32 y2
(4)
1
где A0(1)
f2 ,
(3)
2
1
2, 6077,
1 0,1K 55
K5i
1,0000
0,9000
0,8000
0,7000
0,6000
0,5000
1
2, 4906.
fi
4,0000
4,0377
4,1435
4,3100
4,5322
4,8069
(32)
Связь между решением y ( x) интегрального уравнения (31) и решением
u ( x) x 2 2 ln x краевой задачи (32) определена выражениями (II.3), (II.5),
см. приложение II. Следовательно, точным
решением уравнения (31) будет
d 2u x
y x
2
2
2
dx
x2
и, обратно, приближенное решение задачи
(32) будет иметь вид:
xi
ui
xi
0,5 .
s yi ds 1 i
1
На рис. 3.1 представлено графическое сравнение точных и приближенных решений
уравнений (31), (32); в табл. 3.2 – их значения.
Рис. 3.1
Таблица 3.2 – Сравнение приближенных
и точных решений
y ( x)
xi
yi
u ( x)
ui
1,0
4,0000
4,0000
1,0000
1,0000
1,2
3,3889
3,3825
1,0754
1,0676
1,4
3,0204
3,0118
1,2871
1,2409
1,6
2,7813
2,7719
1,6200
1,4989
1,8
2,6173
2,6077
2,0644
1,8345
2,0
2,5000
2,4906
2,6137
2,2453
3.3 Метод вырожденного ядра
Ядро K x, s называется вырожденным, если оно может быть представлено в виде конечной суммы парных произведений:
n
K x, s
i
x
i
s ,
(3.16)
i 1
где функции
i
x ,
i
s можно считать линейно независимыми. Для таких
ядер интегральное уравнение Фредгольма второго рода (3.2):
b
y x
f x
K x, s y (s )ds
a
51
решается весьма просто. Подставляя выражение (3.16) в уравнение (3.2), будем иметь
n
y x
( x) ,
(3.17)
s y s ds i 1, n
(3.18)
f x
ci
i
i 1
где
b
ci
i
a
некоторые постоянные коэффициенты. Если в выражения (3.18) подставить
функцию (3.17), то для определения коэффициентов ci получим алгебраическую систему линейных уравнений
b
b
ci
i
s f s ds
n
i
a
s
ci
s ds
1
i 1, n
i 1
a
или
n
ci
cj
fi ,
ji
(3.19)
j 1
где
b
fi
b
s f s ds,
i
ij
i
a
s
j
s ds .
(3.20)
a
Запишем систему (3.19) в виде
n
ij
ji
cj
fi
i 1, n .
j 1
Обозначим определитель этой системы
1
det
11
12
ij
ij
ij
ij
n1
22
n2
ji
1n
и через
21
1
2n
1
nn
- алгебраические дополнения соответствующих элементов
этого определителя. Если
0 , то по правилу Крамера нахо-
дим
n
ji
ci
j 1
( ) fj
i 1, n .
Следовательно, в силу (3.17) интегральное уравнение (3.2) имеет единственное решение:
52
n
y x
n
ji
f x
fj
x .
i
i 1 j 1
Отсюда, подставляя вместо fi соответствующее выражение (3.20) и заменяя
сумму интегралов интегралом суммы, получим
b
x, s ,
(3.21)
y x
f x
f s ds ,
a
где
n
n
x, s,
i
x
s
j
. Из формулы (3.21) вытекает, что
ji
i 1 j 1
функция
x, s ,
R ( x, s , )
n
n
i
x
j
s
ji
i 1 j 1
есть резольвента интегрального уравнения (3.2).
Собственные значения ядра K x, s определяются из уравнения
0.
Если
k
(3.22)
k 1, m; m n есть корень уравнения (3.22) (очевидно,
то соответствующие собственные функции
k
k
0 ),
x ядра K x, s , т.е. нетриви-
альные решения однородного уравнения
b
y x
K x, s y ( s )ds ,
k
a
будут иметь вид
n
x
k
ci( k )
k
i
x ,
i 1
где ci( k ) - ненулевые решения линейной однородной системы
n
ij
ji
cj
k
0 i 1, n .
j 1
Если
k
есть собственное значение ядра K x, s , то неоднородное
уравнение (3.2) или не имеет решений, или имеет бесконечное множество
решений.
Пример 3.3. Найти приближенное решение уравнения
1
sh( xs) y s ds 1 x 2 .
y x
(33)
0
53
Заменяем ядро K ( x, s)
sh( xs) суммой первых трех членов ряда Тейлора:
( xs)3 ( xs)5
.
3!
5!
Тогда решение уравнения (33) будем искать в виде
y( x) 1 x2 c1 x c2 x3 c3 x5 .
sh( xs)
Обозначим f ( x) 1 x 2 ,
1
xs
x,
x3 ,
2
x5 ,
3
1 ( s)
s,
2 ( s)
s3
,
3!
s5
и найдем по формулам (3.20) коэффициенты системы (3.19):
5!
1
1
1
f1
( s s 3 )ds
,
1 ( s ) f ( s ) ds
4
0
0
3
1
1
f2
2
1 3
(s
3!
0
( s ) f ( s )ds
0
1
1
f3
3
1 5
(s
5!
0
( s ) f ( s )ds
0
1
11
1
1
s 2 ds
( s) 1 ( s) ds
0
0
1
s 4 ds
21
0
1
1
,
72
s 5 )ds
1
,
5
1
,
3
1
22
1
12
1 6
s ds
3!
0
1
1 4
s ds
3!
0
1
,
42
1
,
2880
s 7 )ds
1
,
30
1
23
1
13
1 8
s ds
5!
0
1
1 6
s ds
5!
0
1
,
840
1
,
1080
1
1 8
1
1 10
1
, 32
s ds
, 33
s ds
.
31
7
3!
54
5!
1320
0
0
0
Таким образом, получаем систему
1
1
1
1
c1
c1
c2
c3
,
3
5
7
4
1
1
1
1
c2
c1
c2
c3
,
30
42
54
72
1
1
1
1
c3
c1
c2
c3
.
840
1080
1320
2880
Решив ее методом итерации, получаем c1 0,3833, c2 0,0273, c3 0,0008.
Таким образом, приближенное решение уравнения (3 3) можно записать в
виде
y( x) 1 x 2 0,3833x 0,0273x3 0,0008 x5 .
s 6 ds
54
4
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
I Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
I.1. Найти решение краевой задачи
y p ( x) y q ( x) y
0
y (a )
0
y (b)
f ( x), x
1
1
y (a )
y (b)
a, b
A1 ,
B1
с шагом h 0,1 :
а) методом конечных разностей, используя конечно-разностные и центрально-разностные отношения; сравнить результаты вычислений с точным
решением; сделать вывод;
б) методом прогонки, используя разностную схему, давшую в п. а) лучший результат;
в) сравнить результаты вычислений методом конечных разностей,
методом прогонки с точным решением; сделать вывод.
I.2. Найти решение краевой задачи:
y p ( x) y q( x) y f ( x), x a, b
y (a )
A2 ,
y (b)
B2
с шагом h 0,1 методом Галеркина, методом коллокаций и методом Ритца.
Привести сравнение результатов вычислений с точным решением. Сделать
вывод.
Примечание: Для составления краевых задач использовать функции y ( x) ,
p( x) , q ( x) и коэффициенты
0,
1,
0,
1,
приведенные в табл. 4.1.
II Уравнения в частных производных
II.1. Методом сеток найти приближенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:
ut a 2 u xx , x 0, l , t 0;
2x2
l
, 0 x
,
l
2
u x, 0
l
l x,
x l;
2
u 0, t u l , t 0.
Сравнить результаты решений с аналитическим решением.
55
№
a
l
№
a
l
1
4
3
11
2
7
2
5
5
12
3
4
3
3
2
13
4
8
4
5
8
14
3
5
5
5
6
15
4
2
6
3
10
16
5
4
7
2
5
17
4
6
8
3
3
18
4
4
9
2
4
19
6
3
10
5
3
20
4
1
II.2. Методом сеток найти приближенное решение первой смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке [0, l ] :
utt
u x,0
a 2uxx , x
0, l , t
0;
x x l , ut x,0
0;
u 0, t u l , t 0.
Сравнить результаты вычислений с аналитическим решением.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
a
3
3/2
2
2/3
4
2
1/2
1/3
l
3
3
1
2/3
2
2
1
1/2
№
11
12
13
14
15
16
17
18
a
4
1/3
3
3/2
3
2
1/2
1/2
l
3
2
3/2
3/2
2
1/2
3/2
1/2
9
1/3
1
19
3/2
1
10
2/3
1
20
2
3
II.3. Найти приближенное решение задачи Дирихле в квадрате с вершинами A(0,0), B(0,1), C(1,1), D(1,0) :
u 0,
u AB
1
y , u BC
u CD
2
y , u AD
1
x ,
2
с шагом h 1 3 , применяя:
а) метод сеток;
б) метод усреднения Либмана с точностью 0,1.
56
x
№
y
1
x
1
y
2
1
30 y
30 1 x 2
2
30 y
30 cos
3
50 y 1 y 2
0
0
4
20 y
20
20 y 2
5
0
6
30sin y
7
30 1 y
x
2
2
0
x
0
y
2
30 cos
30x
50sin x
50 x 1 x
50 y 1 y 2
50 x 1 x
20x
20 y
30 x 1 x
20 x
20 y
50 x 1 x
30 1 x
2
8
50sin y
30 x
30 y
9
40 y 2
40
40
40 sin
10
50 y
50 1 x
0
0
11
40 1 y
30x
30 y
40 1 x 2
12
10 y 2 1 y 2
0
0
10sin x
13
50sin y
20x
20 y 2
50sin x
14
30 y 2
30 1 x
0
0
15
20 y
20 cos
16
40sin y
50 x
17
10 y
10
18
15y
15 cos
19
10 y 1 y 2
20
0
x
2
0
30 x 1 x
y
2
20 cos
50 y 2
10 y
x
2
50sin x
15 cos
x
2
20x
40sin x
2
30 x 1 x
y
2
0
30 y 1 y 2
15x
20sin x
30 x 1 x
57
III Интегральные уравнения
III.1. Для краевой задачи
y p ( x) y
q ( x) y
f ( x), x
y (a )
A3 ,
y (a )
B3
a, b
получить соответствующее уравнение Вольтерра второго рода:
x
y x
K x, s y s ds
f x
a
и найти его приближенное решение. Результат сравнить с точным решением.
III.2. Составить интегральное уравнение Фредгольма второго рода:
b
y x
K x, s y s ds
f x
a
и найти его приближенное решение. Результат сравнить с точным решением.
Примечания: 1) Для составления уравнений использовать функции y ( x) ,
K ( x, s) , приведенные в табл. 4.1.
2) При составлении уравнения Фредгольма необходимо уточнить сходимость будущего решения, т.е. определить диапазон значений величины
1
.
M b a
Требования к оформлению курсовой работы
Оформление курсовой работы (структура, оформление текста, нумерация
страниц и разделов, графический материал, таблицы, формулы и уравнения,
список использованной литературы, приложения) производится согласно [7].
При выполнении работы предлагается использовать программные продукты MathCAD, Maple и др.
58
№
1
x3
0,1N
N 1
[ N 1, N 2]
y ( x)
[ a , b]
p ( x)
( N 1) x
q( x)
0,1
,
0,1
2
x
eN
( N 1) x
0
-2
K ( x, s)
1
1 x2 s2
№
5
4
0,1Nx
N 1
[ N 2, N 1]
y ( x)
[ a , b]
p ( x)
(2 N 1) x
q( x)
0,3N
0,1
,
0,1
1
3
[1, 2]
1
(N
0,1Nx
3
3 -2
1
2) x
(N
2) x
0,1N 1
1
0
3
2
1
0
1
0
3
x s
1 xs
6
7
8
-2
2
0,1N
N 1
[ N 3, N 2]
(1 2 N ) x
( N 1)e
-1
0,1Nx
0,1N ln Nx
[ N 4, N 3]
1
(1 N ) x
[1, 2]
1
(2 N ) x
0,3Nx2
0,3Nx
2
1
0,1N
1 x s
2 xs
x
1
0,1N
N x
[ N 1, N 2]
(1 s)(e0,3 xs 1)
1
0
4
ln Nx 0,1N
0,1N
[ N 2, N 3]
1
0,1N
1
3
1
0
1
0
1
0,3N
1
2
3
-1
1
0
K ( x, s)
1 s
2 xs
x s
x s
x s
s
1
1 x2 s2
№
9
10
11
12
y ( x)
N 2
x 0, 2 N
cos( Nx) 0,1N
sin( Nx) 0,1N
[ a , b]
[ N 5, N 4]
p ( x)
( N 3) x
q( x)
0,1
,
0,1
K ( x, s)
[ , ]
2
1
( N 3) x
N 1
x
10
0,3N 1
2
-1
1
(3 N ) x
0
(1 s)(e0,2 xs 1)
1
0
3
2 s
1 xs
1
(3N 1) x
N 1 2
x
10
2
0
1
2
2 x s
1 xs
0,1N
[ N 6, N 5]
[ , ]
2
1
( N 1) x 2
1
N 1
10 x
-1
2
-1
0
1
x s
x s
59
№
13
14
x3
0, 2 N
N 1
[N,
N 1]
y ( x)
[ a , b]
p ( x)
(1 3N ) x
q( x)
N 2
x
10
0,1
,
0,1
K ( x, s)
0
1
№
(N
N
[N
N
[ a , b]
0,1xs
1) x
3
1,
2]
(0,1N 1) x
q( x)
1 N
x
10
0,1
K ( x, s)
60
(0,1N 1) x
0
1
2
1 x
1 xs
1
3
1
0
1)
1
15
16
1
ln Nx
0,1N
0, 2N
N x
[1, 2]
[ N 2,
N 1]
(1 0,1N ) x
1
(0, 2 N 1) x
0,1N
x
0,1Nx 2
4
p ( x)
,
N]
2
0
1
-2
1
0,3N
x
1
-2
3
0
1
2 x2 s 2
1 s
2 xs
1 x s
2 xs
18
19
20
17
y ( x)
0,1
[ N 1,
1
-2
(1 s)(e
1
e
0,1N
x
N
1
1
3N
cos(0, 2 Nx) sin(0,1Nx) N (0,1N 1) x 2
N
10
[ N 2,
[ , ]
[ , ]
N 1]
2
2
1
(1 0, 2 N ) x
1
(0, 2 N 1) x
2 N
x
10
3
-3
2
0
1
( N 5) x
2 N 2
x
10
1
(1 s)(e0,3 xs 1)
0
1
2
1 x
2 xs
1
0,3Nx 1
-3
1
0
-3
1 x s
1 xs
2
ПРИЛОЖЕНИЕ I . Аналитические решения уравнений
в частных производных (метод Фурье)
Метод Фурье (или метод разделения переменных) принадлежит к числу
важнейших методов решения уравнений математической физики. Схема решения для смешанных задач в случае двух независимых переменных состоит
в следующем:
на первом этапе находится решение, удовлетворяющее уравнению и
краевым условиям: частные решения уравнения ищутся в виде произведения
двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной; с
учетом граничных условий определяются собственные значения и соответствующие им собственные функции;
на втором этапе согласно начальным условиям определяются коэффициенты разложения в ряд Фурье по соответствующим собственным функциям для полученного на первом этапе решения.
Ниже предлагаются решения смешанных задач для уравнений параболического и гиперболического типов, полученные методом Фурье [5].
I.1 Смешанная задача о колебаниях однородной струны
Найти функцию u ( x, t ) , удовлетворяющую уравнению
utt
a 2uxx ,
(I.1)
начальным условиям
(I.2)
u( x,0) f ( x), ut ( x,0)
( x) (0 x s)
и однородным краевым условиям:
1) оба конца струны закреплены:
(I.3)
u(0, t ) 0, u(l , t ) 0 ;
2) левый конец струны ( x 0 ) закреплен, правый ( x l ) – свободен:
(I.4)
u(0, t ) 0, ux (l, t ) 0 ;
3) левый конец струны ( x 0 ) свободен, правый ( x
ux (0, t ) 0, u(l, t ) 0 ;
4) оба конца струны свободны:
ux (0, t ) 0, ux (l , t ) 0 .
Общее решение задачи имеет вид
u x, t
An cos
n
at Bn sin
n
l ) – закреплен:
(I.5)
(I.6)
at X n x ,
n
l
An
2
f x X n x dx, Bn
l 0
2
al n
l
x X n x dx,
0
61
где n – собственные значения, X n ( x) – собственные функции, соответствующие краевой задаче (см. табл. I.1.).
Таблица I.1. – Собственные значения и функции для волнового уравнения
X n ( x)
Задача
n
n
, n 1,
l
2n 1
, n 1,
2l
2n 1
, n 0,
2l
n
, n 0,
l
(I.1), (I.2), (I.3)
(I.1), (I.2), (I.4)
(I.1), (I.2), (I.5)
(I.1), (I.2), (I.6)
sin
n
x
sin
n
x
cos
n
x
cos
n
x
I.2 Смешанная задача о теплопроводности в однородном стержне
Найти функцию u ( x, t ) , удовлетворяющую уравнению
ut
a 2uxx ,
(I.7)
начальному условию
(I.8)
u( x,0) f ( x) (0 x s)
и однородным краевым условиям:
1) оба конца стержня теплоизолированы:
(I.9)
ux (0, t ) 0, ux (l , t ) 0 ;
2) на обоих концах стержня поддерживается постоянная температура:
(I.10)
u(0, t ) 0, u(l , t ) 0 ;
3) левый конец стержня ( x 0 ) теплоизолирован, на правом конце
( x l ) поддерживается постоянная температура:
(I.11)
ux (0, t ) 0, u(l, t ) 0 ;
4) на левом конце стержня ( x 0 ) поддерживается постоянная температура, правый конец ( x l ) теплоизолирован:
(I.12)
u(0, t ) 0, ux (l, t ) 0 .
Общее решение задачи имеет вид
u x, t
An cos
n
x Bn sin
n
x e
2 2
na t
.
n
В табл. I.2 представлены собственные значения
тов An , Bn , соответствующие краевой задаче.
62
n
и значения коэффициен-
Таблица I.2. – Собственные значения и коэффициенты разложения
X n ( x)
Задача
n
l
(I.7), (I.8), (I.9)
n
, n 0,
l
An
2
f x cos
l 0
(I.7), (I.8), (I.10)
n
, n 1,
l
An
0, Bn
, n 0,
An
2
f x cos
l 0
, n 1,
An
0, Bn
(I.7), (I.8), (I.11)
(I.7), (I.8), (I.12)
2n 1
2l
2n 1
2l
n
xdx, Bn
0
l
2
f x sin
l 0
n
xdx
xdx, Bn
0
l
n
l
2
f x sin
l 0
n
xdx
63
ПРИЛОЖЕНИЕ I I. Связь между дифференциальным
уравнением и уравнением Вольтерра
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
d 2u
du
dx
p x
2
dx
при начальных условиях
q x u
u a
f x
A, u a
a
x
(II.1)
b
B.
(II.2)
Положим
d 2u
(II.3)
y x
dx 2
и дважды проинтегрируем
du
dx
x
x
y s ds C1 , u
s
ds y t dt C1 x a
a
a
C2 .
a
Изменяя порядок интегрирования в двойном интеграле, получим
x
s
x
ds y t dt
a
a
x
x
dt y t ds
a
x
x s y s ds .
x t y t dt
t
a
a
Кроме того, из начальных условий (I.2) при x
Поэтому
du
dx
a найдем C1
B, C2
A.
x
y s ds B ,
(II.4)
a
x
u x
x s y s ds B x a
A.
(II.5)
a
Подставляя выражения (II.3), (II.4) и (II.5) в дифференциальное уравнение
(II.1), получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода:
x
y x
K x, s y s ds
F x ,
(II.6)
a
где
K x, s
F ( x)
p( x) q( x)( x s),
f ( x) Bp( x)
B( x a) A q( x).
Зная функцию y ( x) , можно по формуле (II.5) найти решение u ( x) и производную u ( x) ; таким образом, интегральное уравнение (II.6) включает в
64
себя всю информацию, связанную с начальной задачей (задачей Коши) для
дифференциального уравнения (II.1).
Аналогичный результат получается для линейного дифференциального
уравнения n-го порядка.
Обратно, если ядро K ( x, s) является целым полиномом относительно s
степени n, т.е.
n
am x s m ,
K x, s
m 0
то путем последовательного дифференцирования интегрального уравнения
(II.6) придем к задаче Коши для некоторого линейного дифференциального
уравнения.
Пример II.1. Решить интегральное уравнение
x
y x
2 x s y s ds
x2 .
(II1)
0
Последовательно продифференцировав уравнение (II1) два раза, получим
x
y x
2y x
y s ds
2x ,
(II2)
0
(II3)
y ( x) 2 y ( x) y( x) 2 .
1
2
Из уравнение (II ) и (II ) при x 0 получаем начальные условия:
y(0) 0, y (0) 0 .
Решая известным способом дифференциальное уравнение (II3), находим
y ( x)
2 2e x 1 x .
65
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Березин, И.С. Методы вычислений: т. 2 // И.С. Березин, Н.П. Жидков. - 2-е
изд. – М.: Физматгиз, 1962. – 620 с.
2 Демидович, Б.П. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова. – М.: Наука, 1967. – 368 с.
3 Копченова, Н.В. Вычислительная математика в примерах и задачах / Н.В.
Копечнова, И.А. Марон. – М.: Наука, 1972. – 368 с.
4 Михлин, С.Г. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / С.Г. Михлин, Х.Л. Смолицкий. – М.: Наука, 1965. – 384 с.
5 Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики: учеб. пособие для вузов /
А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Наука, 1977. – 725 с.
6 Чудесенко, В.Ф. Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. Типовые расчеты: учеб. пособие / В.Ф. Чудесенко – СПб.: Издательство «Лань»,
2005. – 128 с.
7 Стандарт организации СГАУ 02068410-004-2007: Общие требования к учебным текстовым документам. (http://www.ssau.ru/resources/standards)
66
Учебное издание
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,
УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Учебно-методическое пособие
Составители Буханько Анастасия Андреевна
Чостковская Ольга Петровна
Редактор Н.С. Куприянова
Верстка А.А. Буханько
Подписано в печать 08.08.2011. Формат 60х84 1/16
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Печ. л. 4,25.
Тираж 50 экз. Заказ
. Арт./2011
Самарский государственный
аэрокосмический университет.
443086, Самара, Московское шоссе, 34.
___________________________________________________________
Изд-во Самарского государственного
аэрокосмического университета.
443086, Самара, Московское шоссе, 34.
67
68
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЁВА
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
А.А. БУХАНЬКО, О.П. ЧОСТКОВСКАЯ
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,
УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С А М А Р А 2011
69