1 - Физический факультет - Томский государственный университет

Томский государственный университет
Физический факультет
УТВЕРЖДАЮ
Зав. кафедрой квантовой теории
поля
проф.
В. Г. Багров
“
”
2011 г.
П. О. Казинский
Введение в общую теорию
относительности
Учебное пособие
Томск 2011 г.
РАССМОТРЕНО и УТВЕРЖДЕНО методической комиссией физического факультета Томского государственного университета
Протокол от “
”
Председатель комиссии
2011 г.
В. М. Вымятнин
Настоящее учебное пособие соответствует курсу “Основы общей теории относительности”, читаемому автором студентам четвертого курса, обучающимся на кафедрах теоретической физики и
квантовой теории поля физического факультета Томского госуниверситета. В пособии подробно изложен математический аппарат,
необходимый для понимания принципов и методов общей теории
относительности (ОТО). Рассмотрены постулаты ОТО и вывод ее
основных уравнений, исходя из этих постулатов. Классические
эксперименты, подтверждающие ОТО, также рассмотрены в данном пособии. Отдельное внимание уделено описанию свойств черных дыр и структуре пространства-времени в их окрестности. В
заключении приведены списки вопросов и задач для проверочного контроля работы студентов, а также материал для дальнейшего
более углубленного изучения ОТО.
Для студентов, специализирующихся в области теоретической
и математической физики.
РЕЦЕНЗЕНТ доктор физ.-мат. наук, профессор В. Г. Багров.
Оглавление
1 Элементы римановой геометрии
1.1 Определение основных понятий . . . . . . . . . . . .
1.2 Pullback, pushforward, производная Ли, векторы Киллинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Дифференциальные формы, интегрирование . . . . .
1.4 Параллельный перенос, связность, кривизна, кручение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Связность согласованная с метрикой . . . . .
1.4.2 Тетрадный формализм . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Уравнения Максвелла и Дирака на кривом
фоне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Геодезические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Девиация геодезических . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Римановы нормальные координаты . . . . . .
1.6 Симметрические пространства . . . . . . . . . . . . .
1.7 Конформные преобразования . . . . . . . . . . . . . .
41
45
46
48
51
60
2 Материя в искривленном пространстве
2.1 Принцип эквивалентности . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Движение пробных частиц в гравитационном поле
2.3 Тензор энергии-импульса . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Канонический подход . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Калибровочный подход . . . . . . . . . . . .
63
63
65
69
71
75
.
.
.
.
.
3 Уравнения гравитационного поля
3.1 Уравнения Эйнштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Линеаризованная гравитация . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Сферически-симметричное гравитационное поле
4.1 Решение Шварцшильда . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Геодезические в сферически-симметричном поле . .
4.2.1 Смещение перигелия . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Отклонение луча света гравитационным полем массивного объекта . . . . . . . . . . . .
3
5
5
14
18
25
35
38
82
82
86
89
96
. 96
. 104
. 107
. 109
4.2.3
Гравитационное красное смещение спектральных линий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 Сингулярность Шварцшильда . . . . . . . . . . . . . 112
5 Методический материал
5.1 Проверочные задания к модулю 1 . . . . . . . . . .
5.2 Проверочные задания к модулям 2 и 3 . . . . . . .
5.3 Проверочные задания к модулю 4 . . . . . . . . . .
5.4 Дополнительные проверочные задания . . . . . . .
5.5 Тематика проверочных заданий для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Перечень выносимых на экзамен вопросов . . . . .
Литература
122
. 122
. 126
. 128
. 132
. 132
. 134
142
4
1. Элементы римановой геометрии
1.1. Определение основных понятий
Определение 1.1. Множество X называется топологическим пространством, если в нем выделена система подмножеств U := {U :
U ∈ X} такая, что
1. X ∈ U , ∅ ∈ U ;
2. Объединение любого набора (в том числе и бесконечного)
множеств из U принадлежит U ;
3. Пересечение любого конечного числа множеств из U принадлежит U .
Множества из U называются открытыми множествами. Элементы
X – точки топологического пространства. Окрестность точки p ∈ X
– открытое множество в X, содержащее точку p.
Определение 1.2. Топологическое пространство X называется локально евклидовым, если существует его покрытие открытыми
множествами {Uα , α ∈ K}, каждое из которых гомеоморфно некоторому открытому множеству пространства Rn (n фиксировано
и называется размерностью локально евклидова топологического
пространства).
Пусть M произвольное множество, тогда
Определение 1.3. Картой в M называется пара (U, h), где U ⊂ M
и h : U → Rn , h – инъекция и h(U) – открытое множество в Rn .
Множество U называется носителем карты, а отображение h –
картирующее (координатное) отображение.
Определение 1.4. Две карты (U, h) и (V, k) называются согласованными, если либо U ∩V = ∅, либо выполнены условия
1. h(U ∩V ) и k(U ∩V ) – открытые множества в Rn ;
2. k|U∩V ◦ h−1 U∩V : Rn → Rn – диффеоморфизм.
Определение 1.5. Множество карт {(Uα , hα ), α ∈ K} называется
атласом на M, если
5
1. Любые две карты согласованы;
2. ∪α∈K Uα = M ({Uα } – покрытие M).
Определение 1.6. Многообразием называется локально евклидово топологическое пространство, на котором задан атлас {(Uα , hα ),
α ∈ K}, носители карт которого являются открытыми множествами.
Чтобы не вдаваться в технические математические детали, будем считать, что наше многообразие класса C∞ (или даже Cω ),
а также является хаусдорфовым топологическим пространством,
удовлетворяющим второй аксиоме счетности.
Напомним, что непрерывное левое действие топологической
группы в топологическом пространстве X называется эффективным, если gx = x, ∀x ∈ X влечет g = e.
Определение 1.7. Расслоенное пространство или расслоение† ξ
состоит из
1. Многообразие E = E(ξ) – пространство расслоения;
2. Многообразие B, называемое базой;
3. Гладкое отображение π : E → B, называемое проекцией, дифференциал которого имеет во всех точках максимальный
ранг n = dim B, называемый размерностью расслоения;
4. Многообразие F, называемое слоем;
5. Группа Ли G, эффективно действующая в слое F;
6. Покрытие открытыми множествами {Uα , α ∈ K} базы B, называемых координатными или тривиализующими окрестностями;
7. Заданного ∀α ∈ K диффеоморфизма ϕα : Uα × F → π−1 (Uα ),
называемого координатной функцией. При этом от координатных функций требуется:
(a) π ◦ ϕα (p, y) = p,
(p, y) ∈ Uα × F;
† См. определение косого (не прямого) произведения топологических пространств в [1], стр. 12, а также [2], стр. 602.
6
(b) ∀α, β ∈ K и ∀p ∈ Uα ∩Uβ диффеоморфизм
ϕβα (p) := ϕ−1
β ϕα : F → F,
p
порождается действием некоторого элемента группы G
(единственного, т.к. G действует в F эффективно);
(c) Отображение, которое сопоставляет ϕβα (p) элемент группы G, гладко.
Диффеоморфизм ϕβα := ϕ−1
β ϕα : (Uα ∩Uβ ) × F → (Uα ∩Uβ ) × F назы−1
вается отображением склейки. Диффеоморфизм ϕ−1
α : π (Uα ) →
Uα × F называется картирующим (координатным) отображением
или картой.
Нужно еще дополнить определение расслоения требованием
того, чтобы покрытие {Uα } было “максимальным” (что, правда,
является плохо определенным понятием), т.е. содержит в себе
все возможные покрытия. Покрытие {Uα } может содержать в себе одинаковые открытые множества. Также отметим, что переход
в расслоении от одной карты к другой, вообще говоря, никак не
связан с выбором карты на базовом многообразии B.
Исходя из определения, отображения склейки обладают групповыми свойствами
ϕαα = id,
ϕαβ ◦ ϕβα = id,
ϕαβ ◦ ϕβγ ◦ ϕγα = id,
(1.1.1)
где в последнем случае композиция определена на пересечении
трех координатных окрестностей Uα ∩ Uβ ∩ Uγ . Любое расслоение
можно получить склеивая слои над тривиализующими окрестностями при помощи заданных отображений ϕβα .
Определение 1.8. Расслоение называется тривиальным, когда существует диффеоморфизм E(ξ) → B × F.
Определение 1.9. Сечением расслоения ξ называется гладкое
отображение s : B → E(ξ), для которого π ◦ s = id.
−1
В карте ϕ−1
α : π (Uα ) → Uα × F расслоения ξ сечение s имеет
вид
sα := ϕ−1
(1.1.2)
α ◦ s|Uα : Uα → Uα × F,
7
а при переходе из карты в карту преобразуется как
sβ = ϕβα ◦ sα .
(1.1.3)
В основном нас будут интересовать так называемые векторные
расслоения.
Определение 1.10. Расслоение называется вещественным векторным расслоением, если:
1. Слой F диффеоморфен Rn и наделен структурой линейного
пространства над полем R;
2. Группа G ⊂ GL(n, R);
3. Отображения склейки ϕβα : (Uα ∩Uβ ) × F → (Uα ∩Uβ ) × F сохраняют структуру линейного пространства в F, т.е. послойно линейны
ϕβα (p, y) = (p, τβα (p)y),
∀p ∈ Uα ∩Uβ , ∀y ∈ F ' Rn , (1.1.4)
где τβα (p) – автоморфизм линейного пространства F ' Rn .
Сечения вещественного векторного расслоения образуют бесконечномерное линейное пространство над полем вещественных
чисел.
Определение 1.11. Говорят, что сечение векторного расслоения
обращается в нуль в данной точке базы p ∈ B, если s(p) = (p, 0).
Говорят, что сечения линейно независимы в данной точке базы,
если не существует их линейной комбинации с отличными от нуля
коэффициентами равной нулю в данной точке.
Теорема 1.1. Векторное расслоение тривиально тогда и только тогда, когда у него существуют dim F линейно независимых
в каждой точке базы сечений.
Доказательство. Если расслоение тривиально, то в нем существует карта, покрывающая все расслоение. В этой карте глобальный базис сечений задается, например, как {(x; 1, 0, . . . , 0), . . . ,
(x; 0, . . . , 0, 1)}. Обратно. Если у векторного расслоения существуют dim F линейно независимых в каждой точке базы сечений {sk },
8
то любая точка r ∈ E(ξ) может быть охарактеризована однозначным образом с помощью точки базы p = π(r) и коэффициентов
{ck } линейной комбинации данных сечений r = ∑k ck sk (p). Отображение E(ξ) → B × F : r → (r; ck ) – диффеоморфизм (напомним,
что F ' Rn ).
Расслоение ψ-функций Пусть заданы базовое многообразие M
– пространство-время (например, R1,3 ) и слой F ' C, с эффективно действующей на нем группой U(1). В некотором покрытии
{Uα } тривиализующими окрестностями многообразия M зададим
отображения склейки
ϕβα (p, z) = (p, eiφβα (p) z),
p ∈ Uα ∩Uβ ,
z ∈ C,
1
φβα : Uα ∩Uβ → S ' R/Z,
(1.1.5)
где φβα – непрерывная и гладкая функция по модулю 2π, т.е. φβα
может иметь разрывы, со скачком кратным 2π, а ее производные
могут иметь только лишь устранимые разрывы. Условия (1.1.1)
налагают ограничения на функции φβα
φαα (p) = 0,
φαβ (p) + φβα (p) = 0,
φαβ (p) + φβγ (p) + φγα (p) = 0,
(1.1.6)
где все равенства понимаются по модулю 2π. Сечения построен−1
ного расслоения в карте ϕ−1
α : π (Uα ) → Uα × C имеют вид
sα (p) = (p, ψα (p)),
ψα (p) ∈ C.
(1.1.7)
Координаты сечения ψα (p) можно рассматривать как квантовомеханическую ψ-функцию. Тогда переходу из одной карты в другую
будет отвечать калибровочное преобразование (1.1.3)
ψβ (p) = eiφβα (p) ψα (p).
(1.1.8)
Также дополнительно требуют существование глобально определенных сечений 1 и i, что возможно только на тривиальном расслоении.
9
Касательное расслоение С любым многообразием! M, dim M = n
можно естественным образом связать векторное расслоение.
Пусть задан атлас {(Uα , hα )} на многообразии M. Построим nмерное расслоение над базой M, задав отображения склейки на
пересечении тривиализующих окрестностей Uα ∩ Uβ следующим
образом
ϕβα (p, y) = (p, d(hβ ◦ h−1
(1.1.9)
α )(p)y),
где d – дифференциал отображения. В локальных координатах
{hiα } эта формула имеет вид
ϕβα (hiα , yi ) = (hiα (p),
∂ hiβ (p)
∂ hαj
y j ).
(1.1.10)
Несложно проверить, что так определенные отображения склейки удовлетворяют свойствам (1.1.1). Это расслоение называется
касательным расслоением к многообразию M и обозначается T M.
Отметим, что касательный вектор к кривой γ : [0, 1] → M, определенный в некоторой карте как!
V i (x(t)) := x˙i (t),
(1.1.11)
в другой карте расслоения также остается касательным к этой
кривой. Это свойство иногда кладется в основу определения касательного расслоения, как множества касательных векторов ко
всевозможным кривым.
Сечения касательного расслоения называются векторными полями. Для того чтобы записать их в компонентах, введем в каждой тривиализующей окрестности расслоения базисные сечения.
Пусть на многообразии M задана карта (U, x). Обозначим через
∂ /∂ xi , i = 1, n, базисные сечения, которые в этой карте (т.е., фактически, в области Rn ) имеют компоненты (1, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0)
и т.д. Тогда любое векторное поле может быть представлено в этой
карте в виде1
∂
V = V i (x) i ,
V ∈ Γ(T M).
(1.1.12)
∂x
! N.B. Существует много других эквивалентных определений касательного расслоения. Здесь излагается одно из возможных.
! N.B. Замечание по поводу обозначения f (x(y))| = f (x)| , где x и y координаты
p
p
точки p в разных картах.
1 Здесь и далее, если не оговорено противное, подразумевает соглашение о суммировании Эйнштейна.
10
Подчеркнем, что введенные базисные сечения определены только в соответствующей карте. Такое обозначение базисных сечений связано с тем, что можно определить множество векторных
полей, как множество линейных над полем вещественных чисел
отображений V : C∞ (M) → C∞ (M), обладающих свойствами
1. Если f = const, то V ( f ) = 0;
2. V ( f g) = V ( f )g + fV (g), ∀ f , g ∈ C∞ (M).
При переходе из одной карты в другую V остается инвариантом, а
базисные сечения преобразуются как производные: так определялось отображение склейки и преобразование компонент сечения
(1.1.3). Поэтому для компонент поля V в разных картах получаем
V 0i (y)
∂
∂ xi (y) ∂
= V j (x(y))
.
i
∂y
∂ y j ∂ xi
(1.1.13)
Задание 1.1. Понять изложенные выше определения, представить
и насладиться.
По касательному расслоению стандартным образом строится
дуальное к нему кокасательное расслоение T ∗ M, слои которого –
линейные пространства линейных функционалов на слоях касательного расслоения. Базисные сечения в картах кокасательного
расслоения обозначаются как dxi и определяются свойством
dxi (∂ j ) = δij ,
(1.1.14)
откуда, в частности, следует их закон преобразования из карты в
карту:
∂ yi j
dyi =
dx .
(1.1.15)
∂xj
Также можно определить расслоение T r,s M, являющееся тензорным произведением r касательных и s кокасательных расслоений
над базой M. Слоем такого расслоения будет тензорное произведение соответствующих линейных пространств. Сечением расслоения T r,s M называется r раз контравариантным и s раз ковариантным тензором, компоненты которого в некоторой карте имеют
вид
S = Si1 ...irj1 ... js ∂i1 ⊗ · · · ⊗ ∂ir ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js ,
(1.1.16)
11
где ⊗ означает тензорное произведение, т.е. билинейное отображение, определяемое свойствами
(e1 + e2 ) ⊗ e3 = e1 ⊗ e3 + e2 ⊗ e3 ,
e1 ⊗ (e2 + e3 ) = e1 ⊗ e2 + e1 ⊗ e3 ,
f (e1 ⊗ e2 ) = ( f e1 ) ⊗ e2 = e1 ⊗ ( f e2 ),
j
(e1 ⊗ e2 ) ⊗ e3 = e1 ⊗ (e2 ⊗ e3 ),
j
∂i ⊗ dx = dx ⊗ ∂i ,
(1.1.17)
где ei – набор базисных векторов и ковекторов, а f – произвольная
функция.
Тензоры образуют так называемую тензорную алгебру:
1. Сложение. Два тензора одного ранга можно складывать:
S+T =
= Si1 ...irj1 ... js ∂i1 ⊗ · · · ⊗ ∂ir ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js +
+ T i1 ...ijr1 ... js ∂i1 ⊗ · · · ⊗ ∂ir ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js =
= (Si1 ...irj1 ... js + T i1 ...ijr1 ... js )∂i1 ⊗ · · · ⊗ ∂ir ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js ;
2. Умножение на скаляр. Тензор можно умножить на скаляр
f (x), при этом компоненты тензора умножаются на этот скаляр;
3. Умножение. Тензоры можно умножать при помощи тензорного умножения:
S⊗T = Si1 ...ir j1 ... js T
ir+1 ...ir+k
j1
js+l
;
js+1 ... js+l ∂i1 ⊗· · ·⊗∂ir+k ⊗dx ⊗· · ·⊗dx
4. Свертка. Тензор типа (r, s) можно свернуть по паре индексов
– ковариантному и контравариантному. В результате получится тензор типа (r − 1, s − 1). Например,
i ...ir−1 i
S1
j1 ... js−1 i ∂i1
⊗ · · · ⊗ ∂ir−1 ⊗ dx j1 ⊗ · · · ⊗ dx js−1 .
Конечно, сворачиваемые индексы могут находиться в любом
другом положении.
Закон преобразования тензора при переходе из одной карты
в другую следует из его инвариантности и закона преобразования базисных векторов и ковекторов. Также можно определить
12
тензорные плотности степени k как объекты преобразующиеся из
карты в карту по закону
k
∂y
∂ x j ∂ xk ∂ ya
S0abc = Si jk b c i det
.
(1.1.18)
∂x
∂y ∂y ∂x
Тензорные плотности можно определить как сечения ассоциированного с T r,s M расслоения detk T r,s M.
Определение 1.12. Многообразие M, на котором задано симметричное, невырожденное сечение расслоения T 0,2 M (метрика), называется (псевдо)римановым многообразием (пространством).
Метрика задает в каждом слое касательного расслоения квадратичную форму
(1.1.19)
ds2 = gµν (x)dxµ dxν ,
где мы не пишем знак тензорного умножения между базисными
ковекторами, подразумевая под этим симметричность сечения, т.е.
dxµ dxν = dxν dxµ . Можно также понимать (1.1.19), как формулу
определяющую квадрат расстояния (интервал) между точками x
и x + dx. Другими словами, метрика задает скалярное произведение
(A, B)(x) = gµν (x)Aµ (x)Bν (x), (1.1.20)
(·, ·) : T M × T M → C∞ M,
а также позволяет построить естественный изоморфизм
g : Γ(T M) → Γ(T ∗ M),
Bµ = gµν Aν .
(1.1.21)
Функционал Bµ называется вектором Aµ с опущенным индексом.
В дальнейшем мы будем обозначать их одной буквой. Изоморфизм, обратный к (1.1.21), генерируется тензором, обратным к
gµν , который является симметричным сечением расслоения T 2,0 M,
и мы будем обозначать его как gµν , т.е.
ρ
gµν gνρ = δµ .
(1.1.22)
Ясно, что опускать и поднимать индексы таким образом можно у
тензоров произвольного ранга, например,
T
µν σ
ρ
0
= gρρ0 gσσ T
13
µνρ0
σ0 .
(1.1.23)
Определение 1.13. Разность между числом положительных и отрицательных собственных значений метрики gµν называется сигнатурой метрики. Если сигнатура метрики равна ±d, где d – размерность многообразия, то метрика называется евклидовой, а многообразие римановым. В противном случае метрика называется
псевдоевклидовой, а многообразие псевдоримановым. Если сигнатура псевдоевклидовой метрики равна ±(d − 2), то метрика также
еще называется лоренцевой.
Отметим, что для связного многообразия сигнатура метрики в
силу ее невырожденности не зависит от точки и в этом смысле
характеризует риманово многообразие. В некоторой фиксированной точке многообразия метрику можно привести к диагональному виду с ±1 на диагонали. Такая система координат называется
локально лоренцевой. Однако в окрестности этой точки привести
метрику к такому виду при помощи гладкой замены координат
возможно не всегда. Препятствием к этому служит кривизна, о
которой речь пойдет далее. Несложно понять этот факт из простого подсчета независимых функций: в метрике их d(d + 1)/2, а
в нашем распоряжении при замене координат их всего d.
1.2. Pullback, pushforward, производная Ли, векторы Киллинга
Тензоры† можно переносить с одного многообразия на другое при
помощи отображений. Пусть f : N → M – гладкое инъективное
отображение, тогда с этим отображением можно естественным
образом связать морфизм касательных расслоений
d f ≡ f∗ : Γ(T N) → Γ(T M),
( f∗ (V ))µ ( f (x))
yµ = f µ (xi ),
∂
∂ f µ (x) ∂
= V i (x)
.
µ
∂y
∂ xi ∂ yµ
(1.2.1)
Аналогичным образом можно перенести вдоль отображения любой контравариантный тензор.
Определение 1.14. Перенос контравариантного тензорного поля
вдоль гладкого инъективного отображения f : N → M, определен† Подробно
см. [4].
14
ный формулой (1.2.1), называется дифференциалом или pushforward’ом. Отметим, что полученное в результате такого переноса
тензорное поле на многообразии M определено только в точках
множества f (N).
Ковариантные тензоры, которые задают в слоях T M полилинейные функционалы, можно переносить в обратном направлении
по формуле
∂ f µ (x) i
dx ,
(1.2.2)
∂ xi
и аналогично для ковариантных тензоров более высокого ранга.
Отметим, что в данном случае инъективность отображения не
требуется.
( f ∗ (ω))i (x)dxi = ωµ ( f (x))
Определение 1.15. Перенос ковариантного тензорного поля против гладкого отображения f : N → M, определенный формулой
(1.2.2), называется pullback’ом или ограничением тензорного поля на многообразие N. Полученное в результате такого переноса
тензорное поле на многообразии N определено в точках открытого
множества f −1 (M).
Если f является диффеоморфизмом, то при помощи f любое
тензорное поле можно переносить в любом направлении и вводить
различные обозначения для этой операции ( f ∗ и f∗ ) в этом случае
не имеет смысла.
Пусть на многообразии M задано векторное поле V . Оно генерирует поток ϕt : M → M, который есть отображение эволюции
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
˙ ti (x0 ) = V i (ϕt (x0 )),
x˙i (t) = V i (x(t)) ⇒ ϕ
(1.2.3)
т.е. ϕt (x) сопоставляет точке x ту точку, в которой будет находиться динамическая система (1.2.3) в момент времени t вышедшая при t = 0 из точки x. Для достаточно малых t отображение
ϕt – диффеоморфизм.
Пусть T ∈ Γ(T r,s M), тогда
Определение 1.16. Определим производную Ли вдоль векторного
поля V как
LV : Γ(T r,s M) → Γ(T r,s M),
ϕt∗ (T ) − T
.
t→0
t
LV T := lim
15
(1.2.4)
Исходя из определения несложно показать, что производная
Ли перестановочна с операцией свертки и дифференцирует тензорную алгебру
LV T ii = (LV T )i i ,
LV (S ⊗ T ) = LV S ⊗ T + S ⊗ LV T.
(1.2.5)
Причем L задает гомоморфизм алгебры Ли векторных полей в
алгебру дифференцирований тензорной алгебры2 , т.е.
LcV = cLV ,
LV +U = LV + LU ,
[LV , LU ] = L[V,U] ,
(1.2.6)
где c – некоторая константа, V и U – векторные поля, а [V,U]
скобка Ли векторных полей. В локальных координатах из определения (1.2.4) следуют формулы
LV f = V i ∂i f ,
(LV U)i ∂i = (V j ∂ jU i −U j ∂ jV i )∂i =: [V,U]i ∂i ,
(LV ω)i dxi = (V j ∂ j ωi + ω j ∂iV j )dxi ,
(1.2.7)
а также общая формула на примере сечения из Γ(T 2,2 M)
LV T i jkl = V s ∂s T i jkl − T s jkl ∂sV i − T iskl ∂sV j + T i jsl ∂kV s + T i jks ∂l V s .
(1.2.8)
Задание 1.2. Доказать свойства производной Ли (1.2.5)-(1.2.8)
последовательно стартуя с определения.
Рассмотрим некоторое (псевдо)риманово многообразие M.
Определение 1.17. Векторным полем Киллинга или вектором
Киллинга называется векторное поле ξ такое, что
Lξ g = (ξρ ∂ρ gµν + gρν ∂µ ξρ + gµρ ∂ν ξρ )dxµ dxν = 0.
(1.2.9)
Уравнения (1.2.9) называются уравнениями Киллинга.
Векторы Киллинга образуют подалгебру в алгебре Ли векторных полей. Вообще говоря, пространство может и не обладать векторами Киллинга (вектор Киллинга имеет d компонент, в то время
как независимых уравнений Киллинга в общем случае d(d +1)/2).
2 Можно показать [4], стр. 38, что любое дифференцирование тензорной алгебры, не изменяющее ранг тензора, представимо в виде LV + S, S ∈ Γ(T 1,1 M).
16
Их наличие говорит о симметрии риманова пространства (гравитационного поля). Если перейти в карту, в которой векторное поле
ξ выпрямляется, то равенство нулю производной Ли будет просто
означать постоянство компонент метрического тензора вдоль векторного поля ξ.
Набор векторов Киллинга {ξa } называется независимым, если
ca ξa (x) ≡ 0 ⇒ ca = 0,
где
ca
(1.2.10)
некоторые константы.
Теорема 1.2. Число независимых векторов Киллинга не может
превышать d(d + 1)/2, где d – размерность (псевдо)риманова
пространства.
Доказательство. Покажем, что общее решение уравнения (1.2.9)
параметризуется не более чем d(d + 1)/2 константой. Пусть ξµ (x)
такое решение, тогда его можно однозначно построить в некоторой окрестности фиксированной точки x0 многообразия M, задавая ξµ (x0 ) и ∂[µ ξρ (x0 )gν]ρ (x0 ), т.е. в точности d(d + 1)/2 константу.
Действительно, рассматривая уравнение (1.2.9) в точке x0 и
используя указанные выше данные мы можем определить симметричную часть ∂(µ ξρ (x0 )gν)ρ (x0 ) и следовательно будем знать
первую производную от ξ в точке x0 . Далее, дифференцируя (1.2.9),
в точке x0 получим
∂σ1 ...σn (µ ξρ gν)ρ = Tσ1 ...σn µν ,
где Tσ1 ...σn µν зависит от производных ξµ (x) более низкого порядка
(n-го и ниже), вычисленных в точке x0 . Решая это уравнение,
приходим к
1
∂σ1 ...σn µ ξρ gνρ = (Tσ1 ...σn−1 σn µν + Tσ1 ...σn−1 µνσn − Tσ1 ...σn−1 νσn µ ),
2
т.е. выразим производную (n + 1)-го порядка через производные
более низкого порядка. Таким образом, пертурбативно можно найти производную любого наперед заданного порядка в точке x0 и
построить ξµ (x) в виде ряда Тейлора.
Может сложиться впечатление, что при помощи вышеизложенной процедуры мы можем всегда пертурбативно построить векторы Киллинга. Это неверно, поскольку в ходе доказательства существенно использовался факт существования решений (1.2.9).
17
Вообще говоря, можно попытаться аналогичным образом построить векторы Киллинга, но при этом необходимо доказать сходимость полученного ряда Тейлора в некоторой малой окрестности
точки x0 .
Задание 1.3. Найти векторы Киллинга для постоянной метрики в
d-мерном (псевдо)римановом пространстве. Сколько из них независимых?
1.3. Дифференциальные формы, интегрирование
Определение 1.18. Кососимметричные ковариантные тензорные
поля называются дифференциальными формами.
В локальных координатах дифференциальная форма ω ранга n
записывается как
ω=
1
ωµ ...µ dxµ1 ∧ . . . ∧ dxµn ,
n! 1 n
(1.3.1)
где мы ввели внешнее произведение ∧ на базисных ковекторах.
Оно обладает всеми свойствами тензорного произведения, а также
дополнительным свойством кососимметричности
dxi ∧ dx j = −dx j ∧ dxi ,
(1.3.2)
откуда, в частности, следует, что все дифференциальные формы
ранга выше d равны нулю. Линейное пространство всех дифференциальных форм Γ(ΛM) с внешним умножением ∧ называется
внешней алгеброй над многообразием M.
Определение 1.19. Говорят, что в абелевой группе A задана градуировка, если
A = ⊕ Ap,
(1.3.3)
p∈Z
где A p – подгруппы A .
Определение 1.20. Z2 градуированное векторное пространство L
называется супералгеброй, если на нем задана операция умножения · : L × L → L обладающая свойствами:
18
1. билинейность по обоим аргументам
υ1 · (αυ2 + βυ3 ) = αυ1 · υ2 + βυ1 · υ3 ,
(αυ1 + βυ2 ) · υ3 = αυ1 · υ3 + βυ2 · υ3 ,
(1.3.4)
2. четность
(υ1 · υ2 ) = (υ1 ) + (υ2 ) mod 2,
(1.3.5)
для любых чистых элементов υ, υ1 , υ2 , υ3 ∈ L и чисел α, β ∈ R,
где (·) = {0, 1} – градуировка (четность).
Как мы видим, линейное пространство дифференциальных форм
является супералгеброй, Z2 градуировка которой задается четностью ранга формы.
Определение 1.21. Супералгеброй (градуированной алгеброй) Ли
называется супералгебра, операция умножения которой [·, ·] : L ×
L → L, называемая градуированным коммутатором, обладает дополнительными свойствами:
1. антисимметричность
[υ1 , υ2 ] = (−1)(υ1 )(υ2 ) [υ2 , υ1 ],
(1.3.6)
2. тождество Якоби
[υ1 , [υ2 , υ3 ]] = [[υ1 , υ2 ], υ3 ] + (−1)(υ1 )(υ2 ) [υ2 , [υ1 , υ3 ]], (1.3.7)
для любых чистых υ1 , υ2 , υ3 ∈ L.
Определение 1.22. Отображение iV : Γ(Λn M) → Γ(Λn−1 M), задаваемое в локальных координатах формулой
(iV ω)µ1 ...µn−1 = V µ ωµµ1 ...µn−1 ,
называют внутренним умножением векторного поля V на дифференциальную форму ω.
Внутреннее умножение понижает ранг формы и является нильпотентным дифференцированием внешней (градуированной) алгебры, т.е.
iV2 = 0,
iV (ω ∧ θ) = (iV ω) ∧ θ + (−1)k ω ∧ (iV θ),
19
ω ∈ Γ(Λk M).
(1.3.8)
Внешняя алгебра является линейно оболочкой всевозможных внешних произведений базисных ковекторов и функций – компонент
дифференциальных форм. Действие внутреннего произведения на
образующие имеет вид
iV (dxi ) = V i .
iV f = 0,
: Γ(Λn M) → Γ(Λn+1 M),
Определение 1.23. Отображение d
емое в локальных координатах формулой
(1.3.9)
задава-
dω = dxµ ∧ ∂µ ω,
называют внешним дифференциалом.
Внешний дифференциал повышает ранг формы и является нильпотентным дифференцированием внешней (градуированной) алгебры, т.е.
d 2 = 0,
d(ω ∧ θ) = (dω) ∧ θ + (−1)k ω ∧ (dθ),
ω ∈ Γ(Λk M).
(1.3.10)
На образующих внешний дифференциал действует как
d f = ∂µ f dxµ ,
d(dxi ) = 0.
(1.3.11)
Определение 1.24. Дифференциальная форма ω называется замкнутой, если dω = 0 и точной, если существует глобально определенная дифференциальная форма ϕ, что ω = dϕ.
Внешний дифференциал перестановочен с pullback’ом:
d( f ∗ (ω)) = f ∗ (dω).
(1.3.12)
Исходя из определений, внешний дифференциал и внутреннее
умножение являются нечетными дифференциалами степени +1
и −1, соответственно. Дифференцирования образуют (градуированную) алгебру Ли, поэтому их (градуированные) коммутаторы
также являются дифференцированиями. В частности,
[d, iV ] = LV ,
[LV , iU ] = i[V,U] ,
[LV , d] = 0,
(1.3.13)
где квадратные скобки означают градуированный коммутатор. Интересно отметить, что дифференцирование внешней алгебры степени 0 может обладать последним свойством, только если это
производная Ли вдоль некоторого векторного поля† .
† См.
[4], стр. 41.
20
Задание 1.4. Доказать свойства внешнего дифференциала (1.3.12)
и (1.3.13).
На ориентируемом многообразии дифференциальные формы
максимального ранга, т.е. ранга d, можно интегрировать. По определению
Z
Z
ω=
M
M
ω0...d−1 dx0 ∧ . . . ∧ dxd−1 ≡
Z
M
ω0...d−1 d d x,
(1.3.14)
где в последнем случае интеграл понимается в смысле интеграла
второго рода. Порядок дифференциалов в формуле (1.3.14) важен.
При их нечетной перестановке меняется знак, что соответствует
смене ориентации многообразия. Определение (1.3.14) корректно,
т.е. не зависит от выбора системы координат. Замена переменных
в интеграле осуществляется по формуле
Z
Z
f ∗ (ω),
ω=
f (M)
f : N → M.
(1.3.15)
M
Формула Стокса на языке дифференциальных форм запишется
как
Z
Z
dω =
ω,
(1.3.16)
M
∂M
где ∂ M – граница многообразия M. В частности, если M компактно и хаусдорфово, а, следовательно, замкнуто, то интеграл от
точной формы равен нулю.
На римановом многообразии существует дополнительная операция – оператор Ходжа.
Определение 1.25. Оператор ∗ : Γ(Λr M) → Γ(Λd−r M), определяемый формулой
(∗ω)µ1 ...µd−r =
|g|1/2 νd−r+1 ...νd
ω
ενd−r+1 ...νd µ1 ...µd−r ,
r!
(1.3.17)
где ε0...d−1 = 1 – символ Леви-Чивита, и индексы у формы ω поднимаются с помощью метрики; называется оператором Ходжа, а
форма ∗ω – дуальной к ω.
Задание 1.5. Доказать, что εµ1 ...µd – тензорная плотность степени
−1, а |g|1/2 – скалярная плотность степени 1.
21
Задание 1.6. Доказать, что свертка двух ε-символов равна
εµ1 ...µk µk+1 ...µd εν1 ...νk µk+1 ...µd = g−1 (d − k)!
µ
µ
1
k
. . . δνσ(k)
.
∑ (−1)ε(σ) δνσ(1)
σ∈Sk
Оператор Ходжа обратим. Более того,
∗2 = sgn(g)(−1)n(d+1) .
(1.3.18)
Определение 1.26. Оператор δ := ∗d∗ : Γ(Λr M) → Γ(Λr−1 M) называют присоединенным дифференциалом или кодифференциалом.
Оператор ∆ := δd + dδ : Γ(Λr M) → Γ(Λr M) называется оператором
Лапласа-Бельтрами.
Присоединенный дифференциал нильпотентен δ2 = 0, понижает ранг формы на единицу, но не является дифференцированием
внешней алгебры. Также несложно показать, что
δω = sgn(g)|g|−1/2 ∂µ (|g|1/2 gµν ωµ ),
ω ∈ Γ(Λ1 M).
(1.3.19)
Задание 1.7. Выразить действие присоединенного дифференциала
на 1-форму через метрический тензор (формула (1.3.19)).
Для оператора Ходжа выполнены следующие коммутационные
соотношения
d∗ = sgn(g)(−1)(d+1)(n+1) ∗ δ,
iϕ ∗ = (−1)kn ∗ ϕ,
∗d = sgn(g)(−1)n(d+1) δ∗,
∗iϕ = (−1)k(n+1) ϕ∗,
(1.3.20)
где ϕ ∈ Γ(Λk M), и iϕ – оператор свертки с дифференциальной
формой ϕ по первым индексам в естественном порядке
(iϕ ω)µ1 ...µn−k =
1 ν1 ...νk
ϕ
ων1 ...νk µ1 ...µn−k .
k!
(1.3.21)
В частности,
∗ iϕ ∗ = sgn(g)(−1)kn+(d+1)(k+n) ϕ,
i∂ = sgn(g)(−1)(n+1)d δ.
(1.3.22)
Задание 1.8. Доказать перестановочные соотношения оператора
Ходжа со сверткой и дифференциалом.
22
Определение 1.27. Форма ∗1 = |g|1/2 dx0 ∧ . . . ∧ dxd−1 называется
формой объема.
Все формы максимального ранга отличаются друг от друга
умножением на скалярную функцию. Потому для интеграла по
риманову многообразию можем записать
Z
f (x)|g|1/2 d d x.
(1.3.23)
M
Теорема Стокса (1.3.16) в этих терминах имеет вид
Z
d ∗ ω = sgn(g)
M
Z
∗(∗d ∗ ω) =
M
Z
d d x∂µ (|g|1/2 gµν ων ) =
=
M
Z
∗ω =:
∂M
Z
dΣµ ωµ , (1.3.24)
∂M
где мы использовали формулу (1.3.19), а dΣµ – ориентированный
элемент площади на ∂ M, ортогональный поверхности ∂ M. Из последнего равенства и определения оператора Ходжа получаем
p
p
dΣµ = |g|εµν0 ...νd−2 ∂0 xν0 . . . ∂d−2 xνd−2 d d−1 τ =: nµ |h|d d−1 τ,
(1.3.25)
где nµ – единичный вектор нормали.
Задание 1.9. Доказать, что вектор нормали,
1/2
nµ = gh−1 εµν0 ...νd−2 ∂0 xν0 . . . ∂d−2 xνd−2 ,
нормирован на “единицу”:
n2 = sgn(gh).
Определение 1.28. Линейное над полем вещественных чисел
отображение ϕ : Γ(ΛM) → R называется током† . Характеристическим током, ассоциированным с многообразием N, f : N → M, называется ток
Z
jN [ω] :=
† Подробно
f ∗ (ω),
N
см. [3], стр. 64.
23
ω ∈ Γ(ΛM).
(1.3.26)
В компонентах
Z
jN [ω] =
µ ...µn
M
d d x jN1
ω ∈ Γ(Λn M),
(x)ωµ1 ...µn (x),
(1.3.27)
где выражение для плотности характеристического тока имеет вид
µ ...µn
jN1
Z
(x) =
N
d n τδd (x − f (τ))∂1 f [µ1 . . . ∂n f µn ] ,
(1.3.28)
где квадратные скобки означают антисимметризацию без 1/n!.
Для этих плотностей выполнено свойство
µν1 ...νn−1
∂µ jN
ν ...νn−1
= − j∂1N
.
(1.3.29)
С каждой такой плотностью ранга n можно связать (d − n)-форму,
свернув первую с символом Леви-Чивита
1 ν1 ...νn
j
εν1 ...νn µ1 ...µd−n .
(1.3.30)
n! N
Тогда формулу для дивергенции плотности тока (1.3.29) можно
переписать как
d ∗ JN = (−1)n ∗ J∂ N .
(1.3.31)
(∗JN )µ1 ...µd−n :=
Если многообразие N является замкнутым, то полученная (d − n)форма ∗J будет замкнутой. Если многообразие N является точным
(границей некоторого многообразия большей размерности), то и
форма ∗J является точной. Об этом свойстве говорят, что данные формы реализуют дуальность Пуанкаре между гомологиями
и когомологиями.
Задание 1.10. Доказать, что характеристические токи реализую
дуальность Пуанкаре.
Если на многообразии задана метрика, то знак ∗ можно понимать как отображение Ходжа. В том случае, когда многообразие
N имеет коразмерность 1, получаем
(∗JN )µ = (−1)d−1
Z
dΣµ
N
δd (x − f (τ))
p
.
|g|
(1.3.32)
Определение 1.29. Характеристической функцией многообразия
N, или тета-функцией Хевисайда, f : N → M, dim N = dim M = d,
называется 0-форма θN := ∗JN . Ясно, что
dθN = (−1)d ∗ J∂ N = −
Z
dΣµ
∂N
24
δd (x − f (τ))
p
.
|g|
(1.3.33)
Характеристические токи имеют прозрачную физическую интерпретацию в рамках классической электродинамики. Характеристический ток ранга 1 в пространстве-времени описывает плотность 4-тока точечной заряженной частицы, ранга 2 – заряженной
идеально тонкой струны (нити), ранга 3 – заряженной (мем)браны.
В общем случае, сингулярный источник N, обладающий распределенным по поверхности 2k -польным моментом, описывается в
классической электродинамике на плоском фоне плотностью тока
µ
Z
j =
N
d n τM µν1 ...νk (τ)∂ν1 · · · ∂νk δ(x − f (τ)),
(1.3.34)
где тензорная плотность поляризации M(τ) антисимметрична по
первым двум индексам.
1.4. Параллельный перенос, связность, кривизна,
кручение
Необходимость параллельного переноса и связности3 возникает
при попытке ввести в алгебре сечений расслоения производную.
Действительно, пусть A = Aa ea ∈ Γ(ξ) – сечение расслоения ξ над
базой M. Тогда при переходе из одной карты расслоения в другую для производной от A в общем случае (т.е когда меняются
координаты как на базе, так и в слоях) будем иметь
ν
b
∂ A0a
∂ xν ∂ τab b
a ∂x ∂A
=
τ
+
A ,
b
∂ yµ
∂ yµ ∂ xν ∂ yµ ∂ xν
(1.4.1)
где τab определено в формуле (1.1.4) для функции склейки расслоения ξ (для сокращения записи индексы α, β у них не выписаны).
Напомним, что отображения τab , взятые в точке x, находятся во
взаимооднозначном соответствии с элементами структурной группы G. Как мы видим, производная от сечения расслоения преобразуется нековариантно. Причина этого состоит в том, что при
вычислении производной нам необходимо взять разность сечений,
относящихся к разным точкам базы. Такая операция не дает сечения расслоения. Чтобы получить ковариантный объект нам необходимо, как, например, при определении производной Ли, перенести объекты в один слой, а затем вычесть.
3 Поскольку мы рассматриваем векторные расслоения, нас будут интересовать
только так называемые линейные связности.
25
Тривиальная и плоская связности. Можно поставить вопрос
несколько иначе. Пусть в некоторой карте расслоения нам задана производная от сечения ∂µ Aa . Можно ли указать такое сечение расслоения T ∗ M ⊗ ξ, которое в данной карте принимает
значение ∂µ Aa , т.е. ковариантизовать выражение ∂µ Aa ? Ясно, что
такой объект существует, поскольку можно просто потребовать,
чтобы ∂µ Aa преобразовывалось ковариантно и доопределить этот
объект во всех остальных картах. Обозначим это сечение как
∇A ∈ Γ(ξ ⊗ T ∗ M), тогда из (1.4.1) следует, что в произвольной
карте расслоения ξ это сечение запишется в виде
0a
−1 c
∂A
0b
µ
a
a ∂ (τ )b
a
e
,
Γ
:=
τ
∇µ A0a dyµ ea =
A
dy
+
Γ
,
a
c
µb
µb
∂ yµ
∂ yµ
(1.4.2)
где мы не пишем знак тензорного произведения между базисными
сечениями вследствие того, что они коммутируют. Величина Γaµb ,
либо сам оператор ∇, называются тривиальной связностью. Отметим, что если τab (x) ∈ G, то связность (1.4.2) является локальной
формой со значениями в алгебре Ли группы G4 . Связность можно рассматривать как локальное, т.е. определенное в одной карте,
сечение расслоения ξ ⊗ ξ∗ ⊗ T ∗ M, однако при переходе из карты
в карту она не преобразуется как сечение. По построению всегда
существует такая карта в которой тривиальная связность равна
нулю.
Задание 1.11. Найти закон преобразования связности Γ из карты
в карту.
Для того, чтобы обеспечить ковариантность объекта ∇A, достаточно только потребовать от Γ правильный закон преобразования (1.4.3)
(1.4.3)
Γ0µ = τΓµ τ−1 + τ∂µ τ−1 ,
который вы найдете в задаче. Другими словами можно забыть о
происхождении Γ и определять ее, как объект преобразующийся
из карты к карту по определенному закону. При этом оказывается, что не любая связность тривиальна, т.е. представима в виде
4 Для касательного расслоения и его тензорных произведений это алгебра
gl(n, R), поэтому в этом случае принадлежность связности алгебре очевидна. Следует, правда, отметить, что есть еще дополнительное условие “гладкости”, поскольку функции склейки для касательного расслоения имеют вид ∂ y/∂ x.
26
(1.4.2). Препятствием для этого является кривизна (которую мы
определим ниже), поэтому тривиальная связность также еще называется плоской связностью.
Стоит отметить, что для касательного расслоения плоская связность, т.е. связность вида (1.4.2), где τ – некоторые невырожденные матрицы, не всегда является тривиальной, т.е. приводимой к
нулю в некоторой карте. Для тривиальности связности еще необходимо, чтобы τ были представимы в виде производных от функций, задающих замену координат. Препятствием к этому является
кручение, которое мы также определим ниже.
Ковариантная производная.
рассуждения.
Формализуем изложенные выше
Определение 1.30. Связностью ∇ в векторном расслоении ξ называется линейное над полем вещественных чисел отображение
∇ : Γ(ξ) → Γ(ξ ⊗ T ∗ M), дифференцирующее тензорное произведение, т.е для любого расслоения η над базой M
∇(S ⊗ T ) = (∇S) ⊗ T + S ⊗ (∇T ),
∀S ∈ Γ(ξ),
∀T ∈ Γ(η). (1.4.4)
Можно доказать† , что отображение, обладающее указанными
двумя свойствами, на сечениях расслоения ξ действует как линейный дифференциальный оператор первого порядка вида ∇ = d + Γ,
где локально Γ ∈ Γ(ξ ⊗ ξ∗ ⊗ T ∗ M). Достаточно задать действие
связности на образующих тензорной алгебры
∇(ea ) =: dxµ Γbµa eb ,
∇( f ea ) = d f ⊗ ea + f ∇ea ,
(1.4.5)
где последнее равенство нужно понимать как определение Γ. Тогда, например,
0
0
0
β0
∇µ T aα bβ = ∂µ T aα bβ + Γaµa0 T a αbβ + Γαµα0 T aα bβ − Γbµb T aα b0 β − Γµβ T aα bβ0 .
(1.4.6)
Задание 1.12. Доказать исходя из определения коэффициентов
связности (1.4.5), что на базисных сечениях ea дуального расслоения ξ∗ , для которых ea (eb ) = δab , связность действует как
∇(ea ) = −dxµ Γaµb eb .
† См.
[4], стр. 122.
27
Теорема 1.3. На любом расслоении существует связность. Две
различные связности d + Γ и d + Γ0 отличаются друг от друга
на глобально определенное сечение расслоения ξ ⊗ ξ∗ ⊗ T ∗ M.
Доказательство. На любом расслоении существует тривиальная
связность, способ построения которой изложен в начале этого
раздела. То, что Γ − Γ0 является глобально определенным объектом, следует из закона преобразования Γ (доказать самостоятельно).
Связность со значениями в алгебре Ли. Обычно также дополнительно требуют от связности расслоения ξ, чтобы она принимала значения в алгебре Ли g структурной группы G. Как мы
уже отмечали, для тензорного произведения касательных и кокасательных расслоений это требование выполняется автоматически (если не учитывать условие гладкости), поскольку в этом
случае расслоение обладает структурной группой GL(n, R)! . Если же расслоение имеет менее широкую структурную группу, то
на основании только что доказанной теоремы можно выделить из
связности сечение расслоения ξ ⊗ ξ∗ ⊗ T ∗ M так, что оставшаяся
часть связности будет принадлежать алгебре g. В дальнейшем мы
всегда будем предполагать, что связность принимает значения в
алгебре Ли g. Сечение расслоения ξ ⊗ ξ∗ ⊗ T ∗ M, которое необходимо выделить из связности чтобы удовлетворить этому условию,
можно с физической точки зрения интерпретировать как некоторое дополнительное физическое поле, динамика и взаимодействие
с которым требуют отдельного изучения и интерпретации.
Параллельный перенос. Связность позволяет переносить векторы слоев расслоения вдоль кривых. Действительно, пусть γ :
[0, 1] → M – некоторая кривая на базе.
Определение 1.31. Сечение S ∈ Γ(ξ) называется параллельным
! N.B. Конструкция ковариантной производной остается ковариантной для касательного расслоения, даже если индексы “крутятся” на произвольные невырожµ
денные матрицы τν (x), не представимые в виде производных от функций перехода.
При этом индекс, отвечающий производной, можно рассматривать как независимый, т.е. он может крутиться на матрицу Якоби, либо на τ, либо, вообще, преобразовываться по другому представлению группы диффеоморфизмов (например, не
крутиться). Правда, тогда касательный вектор к кривой после такого преобразования не переходит в касательный вектор.
28
вдоль кривой γ, если
∇x˙ S = x˙µ (t)(∂µ Sa (x(t)) + Γaµb (x(t))Sb (x(t)) = 0,
∀t ∈ [0, 1]. (1.4.7)
Уравнение (1.4.7), которое можно записать как
S˙a + x˙µ Γaµb Sb = 0,
(1.4.8)
имеет единственное решение для заданного Sa (x(0)) и определяет
некоторое Sa (x(1)) в слое над точкой базы x(1). Таким образом
мы получим некоторый изоморфизм слоев uγ : Fx(0) → Fx(1) , независящий от параметризации пути и называемый параллельным
переносом порожденным связностью, причем
uγ1 ◦γ2 = uγ1 ◦ uγ2 ,
uγ−1 = (uγ )−1 ,
(1.4.9)
когда определено. В частности, если γ – петля, то uγ : Fx(0) → Fx(0) ,
при этом, вследствие того что связность принимает значения в
алгебре Ли g, изоморфизм uγ будет порождаться некоторым элементом группы G. Образ при отображении u множества всех петель, исходящих из точки x(0), в структурной группе G называется группой голономий данной связности и образует подгруппу в
G.
В связи с возможностью параллельного переноса при помощи
связности существует другое эквивалентное ее определение† .
Определение 1.32. Связностью (линейной) на расслоении ξ называется отображение из множества гладких кривых базы M в
множество диффеоморфизмов слоя на слой, которое кривой γ с началом x(0) и концом x(1) сопоставляет диффеоморфизм uγ : Fx(0) →
Fx(1) и удовлетворяет аксиомам:
1. Выполнены соотношения (1.4.9);
2. Для произвольного тривиализующего диффеоморфизма ϕα :
Uα ×F → π−1 (Uα ) и кривой γ ∈ Uα диффеоморфизм ϕ−1
α (x(1))◦
uγ ◦ ϕα (x(0)) : F → F задается действием некоторого элемента
γ
gϕα ∈ G.
† Подробно
см. [2], стр. 607, 628; [5], стр. 50.
29
γ(t)
3. Отображение gϕα , где γ(t) = γ|[0,t] , задает гладкую кривую
в G с началом в e ∈ G, а, следовательно, дифференциал этого отображения задает отображение касательного вектора к
кривой в точке t = 0 в алгебру Ли g;
4. Линейность. Указанное выше отображение в алгебру Ли g
линейно.
Тогда диффеоморфизм uγ называется параллельным переносом
вдоль γ. Кривая γ˜ ∈ E называется горизонтальной для связности,
˜ = uγ(t) (γ(0)).
˜
если она порождается uγ , т.е. γ(t)
Кривая γ˜ называется поднятием γ, и ее можно представлять себе как множество
точек, которые заметает конец вектора при параллельном переносе вдоль кривой γ.
Если {Sa } – координаты в слое F, то для некоторой начальной точки Sa (0) кривая в группе g(t) из п. 3 определения будет
генерировать кривую в F
−1
˙ = −g(t) dg (t) ◦ S(t),
S(t) = g(t) ◦ S(0) ⇒ S(t)
dt
(1.4.10)
где gdg−1 /dt – правоинвариантное векторное поле на группе Ли
G и, следовательно, элемент ее алгебры. Исходя из п. 3 определения этот элемент алгебры определятся точкой базы и касательным
вектором V µ ∂µ к кривой в этой точке (легко увидеть, если рассмотреть уравнение выше в точке 0), поэтому прообраз кривой
(1.4.10) в векторном расслоении E в некоторой карте имеет вид
S˙a (t) = −θab (V (x(t)), x(t))Sb (t),
x˙µ (t) = V µ (x(t)),
(1.4.11)
где мы использовали тот факт, что группа в векторном расслоении действует линейно, θab принимает значения в алгебре Ли g и
может быть записана в виде
θab (V, x) =: V µ Γaµb (V, x).
(1.4.12)
Дифференциальная локально определенная 1-форма Γµ dxµ со значениями в алгебре Ли называется (нелинейной) связностью.
Требование линейности п. 4 определения говорит о том, что
форма связности не должна зависеть от касательного вектора V .
30
Это требование эквивалентно требованию того, чтобы касательные векторы горизонтальных кривых, исходящих из точки z ∈ E
образовывали в Tz E линейное векторное подпространство Hz такое, что Tz E = Hz ⊕ Tz F. Распределение Hz , гладко зависящее от
точки z, называется горизонтальным распределением линейной
связности Γ. Оно определяет Γ однозначно: горизонтальные кривые являются интегральными кривыми распределения H. Эквивалентность данного определения линейности изложенному выше
легко понять, если помнить, что в карте горизонтальное векторное
поле имеет вид
(1.4.13)
− θab (V )Sb ∂a +V µ ∂µ .
Поля такого вида должны быть замкнуты в точке относительно
линейных операция над векторами V , что немедленно влечет линейную зависимость θab от V .
Кривизна связности. Горизонтальное распределение H, вообще
говоря, не интегрируемо. Препятствием к этому служит кривизна связности. Действительно, условие интегрируемости векторных
полей вида (1.4.13) запишется как
[V,U]µ (∂µ − Γaµb Sb ∂a ) −V µU ν (∂[µ Γaν]b + Γa[µc Γcν]b )Sb ∂a =
= ξµ (∂µ − Γaµb Sb ∂a ), (1.4.14)
для любых гладких сечений V , U и S, где ξ – некоторое векторное
поле на базе M. Объект
Rabµν ∂a dxb dxµ ∧ dxν := (∂[µ Γaν]b + Γa[µc Γcν]b )∂a dxb dxµ ∧ dxν ≡ dΓ + Γ ∧ Γ,
(1.4.15)
является по построению сечением расслоения ξ ⊗ ξ∗ ⊗ Λ2 M и называется кривизной связности. Можно убедиться, что Rabµν – тензор, непосредственно подставляя закон преобразования связности
из одной карты расслоения в другую. Если кривизна связности
равна нулю, то распределение H интегрируемо и, следовательно,
параллельный перенос вектора по любому стягиваемому в точку
замкнутому контуру не изменяет его. Отметим, что даже в случае ненулевой кривизны через некоторые точки E может проходить n-мерное интегральное многообразие распределения H. Эта
ситуация отвечает наличию у связности ковариантно постоянных
сечений.
31
Другой способ определения кривизны состоит в следующем.
Рассмотрим бесконечно малую площадку, натянутую на векторы
V и U. Перенесем параллельно сечение S сначала вдоль V , а потом
вдоль U, а затем наоборот. Тогда будем иметь
S(2) = g(1)g(0)S(0),
S0 (2) = g0 (10 )g0 (0)S(0),
(1.4.16)
где g(·) и g0 (·) – элементы группы, причем (мы учитываем только
ведущий вклад, подразумевая в дальнейшем переход к пределу
dτ → 0)
g(0) = 1 − dτV µ Γµ (0),
g(1) = 1 − dτU µ Γµ (1),
g0 (0) = 1 − dτU µ Γµ (0),
g0 (10 ) = 1 − dτV µ Γµ (10 ). (1.4.17)
Точки 1 и 10 имеют координаты V µ dτ и U µ dτ соответственно. Для
разности перенесенных таким образом сечений в точке 2 получим
S0a (2) − Sa (2) = dτ2V µU ν Rabµν Sb (0).
(1.4.18)
Если связность плоская, то в односвязной окрестности любой
точки базы можно построить ковариантно постоянные базисные
сечения ξa
∇ξa = 0,
(1.4.19)
разнося при помощи параллельного переноса базис в слое над
этой точкой по всей окрестности. Из этого равенства для связности Γ в базисе ea имеем (1.4.2).
Более подробно остановимся на касательном расслоении. Как
мы уже отмечали, плоская связность в касательном расслоении
не является, вообще говоря, тривиальной. Необходимым и достаточным условием тривиальности плоской связности является равенство нулю тензора
T := Γµ ∧ dxµ = dxµ ∧ dxν ∇µ (∂ν ),
T ∈ Γ(T M ⊗ Λ2 M),
(1.4.20)
называемого тензором кручения. Исходя из закона преобразования связности, несложно увидеть, что T действительно тензор.
Существование тензора кручения является отличительной чертой
32
касательного расслоения5 . Для плоской связности параллельный
перенос вектора вдоль контура в некоторой односвязной карте задается формулой
µ
S0µ (x) = τν (x)Sν (0),
(1.4.21)
а в случае тривиальной связности матрица τ представима в виде
некоторой матрицы Якоби. Подчеркнем, что даже в случае тривиальной связности операция параллельного переноса, вообще говоря, не переводит касательный вектор к кривой в касательный, в
отличие от переноса векторного поля с помощью диффеоморфизма
(производной Ли).
Получим некоторые соотношения для кривизны R = dΓ + Γ ∧ Γ
и кручения T = Γµ ∧ dxµ , где µ – индекс слоя. Тождества Бианки:
dR = R ∧ Γ − Γ ∧ R,
µ
ν
dTµνρ dx ∧ dx ∧ dxρ = Rρµν dxµ ∧ dxν ∧ dxρ − Γ ∧ T.
(1.4.22)
В частности, в случае отсутствия кручения, либо для связности
не на касательном расслоении, будем иметь
dxµ ∧ ∇µ R = 0,
Rλ[µνρ] = 0,
(1.4.23)
где квадратные скобки означают антисимметризацию трех индексов (т.е., в данном случае, цикл). Тождество Риччи:
λ
[∇µ , ∇ν ]Sabcd = −Tµν
∇λ Sabcd +
0
0
0
0
+ Raa0 µν Sa bcd + Rbb0 µν Sabcd − Sabc0 d Rccµν − Sabcd 0 Rddµν . (1.4.24)
В случае отсутствия кручения тождества Бианки и Риччи приводят к тождеству Якоби
[[∇µ , ∇ν ], ∇ρ ] + cycle(µ, ν, ρ) = 0.
(1.4.25)
Задание 1.13. Доказать справедливость тождества Якоби в случае отсутствия кручения.
5 Содержащийся в связности тензор кручения во многом напоминает элемент
не из алгебры, обсуждавшийся выше. Его также можно выделить из связности
и попытаться дать этому новому физическому полю отдельную геометрическую
и физическую интерпретации. См., например, Д.Д. Иваненко, П.И. Пронин, Г.А.
Сарданашвили, Калибровочная теория гравитации. – М.: Изд-во МГУ, 1985. – 144
с.
33
Связность в расслоении ψ-функций
Определение 1.33. Связность называется абелевой, если алгебра
Ли, в которой она принимает значения, абелева.
Теорема 1.4. Пусть γ : S1 → M – стягиваемая петля на базе
M, а uγ – диффеоморфизм слоя, порожденный параллельным
переносом вдоль этой кривой. Тогда для абелевой связности
Z uγ = exp − R ,
Σ
где Σ – двумерная поверхность, натянутая на контур γ, а R –
кривизна связности.
Доказательство. В силу того, что связность принимает значения
в абелевой алгебре с нею можно работать как с обычной функцией. Тогда решение уравнения (1.4.8) для кривой γ запишется
как
Z
S0a (γ(1)) = exp − dxµ Γaµb Sb (γ(0)),
γ
откуда по теореме Стокса следует утверждение теоремы.
Расслоение волновых функций обладает структурной группой
U(1) и, следовательно, определенная на нем связность абелева.
Ковариантная производная запишется как
Pµ = −i¯h∂µ + Aµ ,
Aµ ∈ R,
(1.4.26)
где Aµ – связность на расслоении ψ-функций (индексы, относящиеся к слою, пробегают единственное значение). Чтобы калибровочные поля Aµ были вещественны мы умножили ковариантную
производную на −i¯h. Кривизна связности (1.4.26) имеет вид
[Pµ , Pν ] = −i¯h∂[µ Aν] =: −i¯hFµν ,
(1.4.27)
а тождество Якоби и тождество Бианки – это условие замкнутости 2-формы Fµν . Из теоремы 1.4, в частности, следует, что
уравнение Гинзбурга-Ландау,
1
P0 ψ = Pi2 ψ + aψ + b|ψ|2 ψ,
4
34
(1.4.28)
для волновой функции куперовских пар имеет решение внутри
сверхпроводника, где электромагнитное поле отсутствует, удовлетворяющее Pµ ψ = 0, только если поток магнитного поля сквозь
замкнутый контур, лежащий в сверхпроводнике, квантуется (здесь
существенно, что расслоение тривиальное). Эти рассуждения объясняют наблюдаемое в эксперименте квантование магнитного потока сквозь сверхпроводящее кольцо.
1.4.1. Связность согласованная с метрикой
Везде далее мы будем считать, что в касательном расслоении задана связность без кручения и лишь иногда давать комментарии,
как изменяться формулы при включении кручения в рассмотрение. Пусть на многообразии M задана также (псевдо)евклидова
метрика gµν . Тогда можно согласовать эти структуры в следующем смысле: потребуем, чтобы параллельный перенос любых двух
векторов вдоль произвольной кривой сохранял их скалярное произведение, т.е. их длины и углы между ними. Получаем
δ(gµν Aµ Bν ) = dxρ (∂ρ gµν − gλν Γλρµ − gµλ Γλρν )Aµ Bν =
= dxρ ∇ρ gµν Aµ Bν = 0. (1.4.29)
Откуда следует, что ковариантная производная метрического тензора должна обращаться в нуль. Равенство нулю выражения
∂ρ gµν − gλν Γλρµ − gµλ Γλρν = 0,
(1.4.30)
для симметричной связности возможно тогда и только тогда, когда
1
gρλ Γλµν = (−∂ρ gµν + ∂µ gνρ + ∂ν gρµ ),
2
1
ρ
Γµν = gρλ (−∂λ gµν + ∂µ gνλ + ∂ν gλµ ).
2
(1.4.31)
ρ
Связность Γµν называется связностью, согласованной с метрикой,
или связностью Леви-Чивита, а формула (1.4.31) – формулой Кристоффеля (символы Кристоффеля).
Если многообразие M изометрически погружено в некоторое
(псевдо)евклидово пространство, то связность Леви-Чивита индуцируется естественным образом:
∇V Si = V j ∂ j (Sl ∂l xµ )hik ∂k xµ ,
35
hi j := ∂i xµ ∂ j xµ ,
(1.4.32)
где xµ (τ) – отображение вложения, τi – координаты на M, а xµ –
координаты в объемлющем пространстве. Когда мы представляем
себе искривленное пространство, в виде некоторой поверхности
в объемлющем пространстве, то мы наделяем его в нашем представлении именно связностью Леви-Чивита.
Отметим некоторые свойства этой связности. Как и любая другая связность без кручения, связность Леви-Чивита “согласована”
с дифференциалом форм в том смысле, что
∇ ∧ ω = dω.
(1.4.33)
Кроме того,
δωµ1 ...µn−1 = sgn(g)(−1)d(n−1) ∇ν ωνµ1 ...µn−1 .
(1.4.34)
Также верна формула
1
µ
1
1
1
∇µV µ = ∂µV µ + ΓµνV ν = ∂µV µ + |g|− 2 ∂ν |g| 2 V ν = |g|− 2 ∂µ (|g| 2 V µ ).
(1.4.35)
Чтобы ее получить необходимо воспользоваться формулой дифференцирования определителя матрицы
d det(a) = det(a)daij (a−1 )ij ⇔ ln det a = Sp ln a.
(1.4.36)
Тензор кривизны, построенный по связности Леви-Чивита, обладает свойствами:
ρ
σµν
1. R
= −R
ρ
σνµ ,
ρ
2. R σµν + cycle(σ, µ, ν) = 0 – тождество Бианки в отсутствие
кручения,
ρ
σµν + cycle(λ, µ, ν) = 0
3. ∇λ R
– тождество Бианки,
4. Rρσµν = −Rσρµν , откуда Sp Rµν = 0,
5. Rρσµν = Rµνρσ .
Задание 1.14. Доказать дополнительные свойства метрического
тензора кривизны.
36
Найдем количество независимых компонент тензора кривизны
для связности Леви-Чивита. Из свойств 4 и 5 следует, что число
независимых компонент должно быть не больше
1 d(d − 1) d(d − 1)
+1 .
2
2
2
Из свойства 2 следует, что полностью антисимметричная часть
тензора кривизны Rρσµν , которая также удовлетворяет 4 и 5, должна равняться нулю. Поэтому из вышенайденного числа независимых компонент мы должны вычесть число компонент полностью
антисимметричного тензора четвертого ранга, т.е. d(d −1)(d −2)(d −
3)/4!. В результате получаем, что число независимых компонент
тензора Римана равно
1 2 2
d (d − 1).
(1.4.37)
12
В частности, для четырехмерного пространства тензор Римана
имеет, в общем случае, 20 независимых компонент.
С помощью тензора кривизны и метрики можно построить еще
несколько ковариантных объектов, которые играют очень важную
роль в ОТО:
ρ
σρν
1. Rσν := R
– тензор Риччи;
2. R := gµν Rµν – скалярная кривизна;
3. Gµν := Rµν − 21 gµν R – тензор Эйнштейна;
4. Тензор конформной кривизны Вейля:
Rgρ[µ gν]σ
1
(g R − gσ[µ Rν]ρ ) +
,
d − 2 ρ[µ ν]σ
(d − 1)(d − 2)
(1.4.38)
где квадратные скобки означают антисимметризацию пары
индексов без 1/2.
Cρσµν := Rρσµν −
Заметим, что для построения тензора Риччи метрика не нужна.
Свойства тензора кривизны приводят к соотношениям:
1. Rµν = Rνµ – симметричность тензора Риччи;
2. Gµν = Gνµ – симметричность тензора Эйнштейна;
37
3. ∇ρ Gρµ = 0 – тождество Бианки.
4. Тензор Вейля обладает такими же симметриями, что и тензор кривизны Римана, и он бесследов по любой паре индексов.
Тензор Риччи и скалярная кривизна содержат информацию о следах тензора кривизны, в то время как тензор Вейля – это бесследовая часть тензора Римана. Тензор Вейля остается инвариантным при конформных преобразованиях метрики gµν → Ω2 (x)gµν . В
том случае, когда этот тензор равен нулю, говорят, что метрика
конформно плоская, т.е. (локально) представима в виде
gµν = Ω2 (x)ηµν .
(1.4.39)
Задание 1.15. Доказать свойства тензоров, построенных из тензора кривизны Римана, в том числе и все указанные свойства
тензора Вейля.
В случае двумерных и трехмерных многообразий тензор Вейля
равен нулю (либо неопределен) и вся информация о кривизне в
данной точке содержится в тензоре† Риччи.
1.4.2. Тетрадный формализм
Во многих случаях удобно использовать в тензорном произведении касательных и кокасательных расслоениях не координатный
базис ∂µ и дуальный к нему dxµ , а некоторые произвольные баµ
зисные сечения ea ∂µ и eaµ dxµ , определенные в некоторой карте,
µ
ea (eb ) = δab ,
µ
ea eaν = δν .
(1.4.40)
µ
Матрицы ea (x) невырождены и, следовательно, являются элеменµ
тами структурной группы касательного расслоения, т.е. ea (x) можно считать сечением расслоения со слоем в виде группы GL(n, R),
на котором эта группа действует правыми сдвигами (крутит индекс a). Отметим, что латинские индексы преобразуются независимо от греческих. Такого типа расслоения называются главными.
† Явное выражение для тензора Римана через тензор Риччи в этом случае см.
[2], стр. 280.
38
Индекс a принадлежит слоям главного расслоения. Если нам
задана некоторая связность ∇, то ее удобно доопределить на главном расслоении так, чтобы
ρ
∇µ eνa = ∂µ eνa + Γνµρ ea − ωbµa eνb = 0,
(1.4.41)
где ωbµa так называемая спиновая связность. Очевидно, что такая
спиновая связность существует и задается формулой
ρ
ωaµb = −eνb ∂µ eaν + eνb Γµν eaρ .
(1.4.42)
µ
Векторные поля ea и дуальные к ним формы eaµ называются тетрадами6 .
Тетрады позволяют конвертировать греческие индексы в латинские и наоборот. Например,
µ
V a := eaµV µ ,
Sµ := ea Sa .
При этом говорят, что, например, Sa – это компоненты векторного
поля S в неголономном базисе ea . С помощью такой операции
из определений тензоров кривизны (1.4.15) и кручения (1.4.20)
можно получить структурные уравнения Картана
Rab = dωab + ωac ∧ ωcb ,
T a = dea + ωab ∧ eb ,
(1.4.43)
где Rab и T a , соответственно, матрично- и векторнозначные 2формы. Другой способ вывода этих соотношений состоит в том,
чтобы построить из ∇ связность ∇0 без кручения. Тогда во внешней алгебре сечений расслоения Λ• M ⊗ ξ связность ∇0 можно записать как
∇0 = d + ωab .
(1.4.44)
Откуда используя тождества Бианки получаем
∇0 ∧ ∇0 ea = (dωab + ωac ∧ ωcb )eb = Rab eb ,
∇0 ea = dea + ωab ∧ eb = (∇ + T ) ∧ ea = T a .
(1.4.45)
6 В англоязычной литературе тетрады называют, помимо обычного “tetrad”, также “veilbein” или “vierbein”, “dreibein”, “zweibein” и “einbein” в зависимости от
числа независимых векторных полей в тетраде.
39
В последнем равенстве стоит знак “+” перед тензором кручения,
т.к. он действует на нижний индекс. Беря внешний дифференциал
от структурных уравнений (1.4.43), получаем тождества Бианки
в неголономном базисе
dR = R ∧ ω − ω ∧ R,
dT + ω ∧ T = R ∧ e.
(1.4.46)
На (псевдо)римановом многообразии от тетрад также дополнительно требуют, чтобы они были согласованы с метрикой
µ
ηab eaµ ebν = gµν ⇔ gµν ea eνb = ηab .
(1.4.47)
Можно думать о наборе векторных полей ea как о некоторой лоренцевой системе координат, связанной с наблюдателем, в заданной точке пространства-времени. В то же время тетрады, вообще
говоря, не задают систему координат в окрестности данной точки, поскольку распределение ea в общем случае не абелево (для
того чтобы ea можно было рассматривать как касательные векторы к осям координат, они должны быть в абелевой инволюции).
Абелевость этого распределения означала бы, что существует система координат, в которой метрика имеет вид ηµν . Откуда, в
частности, следует, что кривизна связности Леви-Чивита должна
быть равна нулю. Тем не менее тетрадный формализм оказывается
очень удобным и эффективным для перенесения результатов, моделей, конструкций и пр. из специальной теории относительности
на произвольный кривой фон.
С помощью метрики ηab и обратной к ней можно также поднимать и опускать латинские индексы. Эта операция согласована с
опусканием и поднятием индексов при помощи метрики gµν . Дополнительное условие (1.4.47) ограничивает группу допустимых
преобразований латинских индексов с GL(n, R) до группы Лоренца (если ηab – лоренцева метрика).
Условие отсутствия кручения связности имеет вид
dea + ωab ∧ eb = 0.
(1.4.48)
Условие согласованности связности с метрикой ∇g = 0 эквивалентно
0 = ∇µ ηab = −ωcµa ηcb − ωcµb ηac =: −ωµba − ωµab .
40
(1.4.49)
Другими словами спиновая связность, согласованная с метрикой
и одним опущенным или поднятым тетрадным индексом, антисимметрична по этим индексам.
Задание 1.16. Найти выражение для спиновой связности ЛевиЧивита в тетрадном формализме.
Ответ:
1
ωµνρ = −ωµρν = (tµνρ + tρµν − tνρµ ),
2
где tµνρ := ∂[µ eaν] eρa .
(1.4.50)
1.4.3. Уравнения Максвелла и Дирака на кривом фоне
В специальной теории относительности динамика электромагнитных полей, в присутствии некоторого сохраняющегося тока jµ ,
определяется функционалом действия
Z
1
4
µ
µν
SEM [A(x)] = −
d x Aµ j +
Fµν F ,
(1.4.51)
16π
R3,1
где F = dA – напряженность электромагнитного поля и скорость
света считается равной единице. Определение напряженности и
действие (1.4.51) влекут две пары уравнений Максвелла
δFµ = ∂ ν Fνµ = −4π jµ ,
dFµνρ = ∂µ Fνρ + cycle(µ, ν, ρ) = 0.
(1.4.52)
Обобщение этих уравнений на произвольный кривой фон, т.е.,
фактически, включение взаимодействия с гравитацией, состоит в
замене обычных производных на ковариантные. Это так называемое минимальное взаимодействие. Такой способ построения взаимодействия с гравитацией является общепринятым и во многих
случаях правильность такого подхода подтверждена экспериментально. Однако ясно, что существует бесконечно много других
способов включения взаимодействия с гравитацией.
Итак, после введения взаимодействия с гравитацией, уравнения Максвелла (1.4.52) запишутся как
p
1
|g|F νµ = −4π jµ ,
∇ν F νµ = p ∂ν
|g|
∇µ Fνρ + cycle(µ, ν, ρ) = 0.
(1.4.53)
41
Если связность ∇ без кручения, что мы всегда будем подразумевать, то на языке дифференциальных форм уравнения Максвелла
выглядят так же, как для плоского пространства-времени
δF = 4π j,
dF = 0.
(1.4.54)
Функционал действия теперь имеет вид
SEM [A(x)] = −
1
hdA, dAi − h j, Ai =
16π
Z
p
1
= − d 4 x |g|
Fµν F µν + jµ Aµ , (1.4.55)
16π
M
где индексы поднимаются при помощи метрики, и мы использовали в формуле скалярное произведение форм
hX,Y i := n!
Z
X ∧ ∗Y =
M
Z
d4x
M
p
|g|Xµ1 ...µn Y µ1 ...µn ,
∀ X,Y ∈ Λn M.
(1.4.56)
Задание 1.17. Пусть тензор напряженности F является решением уравнений Максвелла, а многообразие N включает в себя все
пространство-время M за исключением некоторой области вне источников j. Найти уравнения, которым подчиняется θN F. Получить общую формулу для решения уравнений Максвелла в N через ток j и граничные условия на ∂ N.
Обобщение уравнения Дирака на произвольный метрический
фон осуществляется несколько сложнее и существенным образом
использует тетрадный формализм† . Это связано с тем, что дираковские спиноры реализуют представление группы Лоренца и
поэтому, чтобы обеспечить их правильный закон преобразования
при общекоординатных преобразованиях, а, следовательно, и общековариантность уравнений Дирака, нам необходимо в каждой
точке многообразия задать лоренцеву систему отсчета – тетраду.
Напомним, что действие для полей Дирака, взаимодействующих с электромагнитными полями на фоне пространства Минковского, выглядит как (¯h = 1)
¯ =
SDir [ψ, ψ]
† См.,
Z
R3,1
µ
¯
¯ ,
i∂µ − Aµ ψ − mψψ
d 4 x ψγ
например, [15], стр. 390.
42
(1.4.57)
¯ := ψ+ γ0 – к нему сопряженный.
где ψ – дираковский спинор, а ψ
Минимизация функционала действия дает уравнения Дирака†2
µ
γ i∂µ − Aµ − m ψ = 0.
(1.4.58)
Матрицы Дирака реализуют представление алгебры Клиффорда и
удовлетворяют условиям эрмитовости:
{γµ , γν } = 2ηµν 1,
γµ+ = γ0 γµ γ0 .
(1.4.59)
При преобразованиях Лоренца для γ-матриц имеем соотношение
µ
S−1 (Λ)γµ S(Λ) = Λ ν γν ,
(1.4.60)
где невырожденные матрицы S крутят спинорные индексы. Подчеркнем, что γ-матрицы не преобразуются. Именно для сохранения соотношения (1.4.60) в искривленном пространстве нам
понадобится тетрада. При дополнительном условии нормировки,
det S = 1, уравнение (1.4.60) позволяет найти матрицы S(Λ) (с точностью до знака). В частности, можно показать, что
S+ γ0 = ±γ0 S−1 ,
(1.4.61)
где знак плюс соответствует ортохронным преобразованиям Ло¯ является псевдоскаляренца, откуда следует, что величина ψϕ
ром.
Будем так же, как и в случае электромагнитного поля, вводить
взаимодействие с гравитацией, заменяя обычные производные ковариантными. При этом все лоренцевы индексы будем относить
к некоторой тетраде и, как и раньше, обозначать их латинскими
буквами. Тогда, например, для матриц Дирака на произвольном
четырехмерном многообразии можем записать
µ
γµ (x) = ea (x)γa ,
(1.4.62)
где γa – обычные матрицы Дирака. Для матриц γµ определяющее
соотношение алгебры Клиффорда примет вид
{γµ , γν } = 2gµν (x)1.
†2 Подробно
см. [8], гл. 4, стр. 73.
43
(1.4.63)
Рассмотрим спинорное расслоение над M. Его сечения при переходе их карты в карту на базе преобразуются как
ψ(x) → ψ0 (x) = S(x)ψ(x),
(1.4.64)
где матрицы S(x) такие, что
S−1 (x)γa S(x) = Λab (x)γb ,
Λab (x) ∈ O(1, 3).
(1.4.65)
Проводя такие же рассуждения, как и в случае пространства
Минковского, можно доказать соотношение (1.4.61). В этом соотношении матрица γ0 – это матрица γa , при a = 0. В частности,
отсюда следует, что величина ψ+ γ0 ϕ является псевдоскаляром относительно общекоординатных преобразований.
Теперь необходимо ввести связность в спинорном расслоении
над M. От спинорной связности Ωµ потребуем, чтобы она сохраняла матрицы Дирака
∇µ γa = ∂µ γa + ωaµb γb + [Ωµ , γa ] = 0.
(1.4.66)
Получившееся уравнение на матрицу Ωµ линейно и имеет единственное решение с точностью до прибавления к ней матрицы,
пропорциональной единичной. В силу того, что матрицы S в преобразованиях спиноров имеют единичный определитель, связность
Ωµ , принадлежащая алгебре соответствующей группы преобразований, должна быть бесследова. Это ограничение полностью фиксирует произвол. Непосредственной подстановкой несложно убедиться, что решение уравнения (1.4.66) имеет вид
1
i
Ωµ = ωµab (γa γb − γb γa ) =: − ωµab σab ,
8
4
i
σab = [γa , γb ],
2
(1.4.67)
где σab – тензор спина (отсюда название для ωµab ). Очевидно,
что σab бесследова и удовлетворяет условию эрмитовости в смысле (1.4.59). Последнее свойство – это, фактически, следствие согласованности спинорной связности со скалярным произведением
спиноров
¯ := ψ+ γ0 ϕ,
hψ, ϕi := ψϕ
(1.4.68)
т.е. скалярное произведение двух спиноров не меняется при их
параллельном перенесении вдоль некоторой кривой.
44
к
Таким образом, уравнение Дирака на кривом фоне приводится
1
µ
ab
γ i∂µ − Aµ + ωµab σ
− m ψ = 0.
(1.4.69)
4
Это выражение, как и все наблюдаемые этой модели, общековариантны и не зависят от конкретного выбора тетрады. Функционал
действия запишется как
¯ =
SDir [ψ, ψ]
Z
d4x
p
¯ µ ∇µ ψ − mψψ
¯ .
|g| ψγ
(1.4.70)
M
Порядок, в котором написаны γ-матрицы и ковариантная производная не важен, поскольку они коммутируют.
1.5. Геодезические
Определение 1.34. Геодезической называется кривая, касательный вектор к которой остается касательным при параллельном
переносе вдоль нее.
Из определения геодезической для касательного вектора можем записать
∇V V = 0,
x˙µ = V µ ,
(1.5.1)
откуда получаем уравнение геодезической
µ
x¨µ + Γρσ x˙ρ x˙σ = 0.
(1.5.2)
Уравнение (1.5.2) не инвариантно относительно репараметризаций
кривой, т.е. параллельный перенос выделяет некоторую естественную, или, как говорят, натуральную параметризацию. Тем не менее уравнение геодезической инвариантно относительно линейных
замен параметра. Все такие параметризации называют аффинными. В произвольной параметризации в уравнении (1.5.2) появляется дополнительное слагаемое вида f (τ)x˙µ . Понятие геодезической
определено для произвольной связности на касательном расслоении. На первый взгляд кажется, что кручение (антисимметричная
часть связности) не влияет на геодезические. Однако, если требовать от связности с кручением согласованности с метрикой, тензор
кручения будет давать вклад и в симметричную часть связности.
45
Для связности, согласованной с метрикой, квадрат касательного вектора к геодезической сохраняется параллельным переносом
вдоль нее. Другими словами gµν x˙µ x˙ν является интегралом движения, в чем можно непосредственно убедиться, сворачивая уравнение (1.5.2) c x˙µ . Поэтому можно все геодезические траектории
разделить на три класса: времениподобные, изотропные (светоподобные) и пространственноподобные.
В ОТО постулируется, что свободная тестовая частица движется в гравитационном поле по времениподобной или изотропной
геодезической.
Можно также представлять себе геодезическую, как кривую
наибольшего интервала, соединяющую две заданные точки, т.е.
она будет доставлять минимум функционалу вида
Z
Z
q
S[x(τ)] = − ds := − dτ gµν (x(τ))x˙µ (τ)x˙ν (τ).
(1.5.3)
Данный функционал репараметризационно инвариантен. Уравнения Эйлера-Лагранжа для (1.5.3) в натуральной параметризации
x˙2 = 1 имеют вид (1.5.2).
Задание 1.18. Получить уравнение геодезической в произвольной и натуральной параметризациях, варьируя функционал релятивистской частицы (1.5.3).
Задание 1.19. Найти связность Леви-Чивита на сфере S2 вложенной в R3 . Построить ее геодезические.
1.5.1. Девиация геодезических
Чтобы лучше понять, как кривизна пространства влияет на геодезические, рассмотрим эффект девиации геодезических, т.е. эффект отклонения геодезических друг от друга в искривленном
пространстве. Для этого выделим некоторое однопараметрическое
семейство геодезических x(τ, σ), где τ – аффинный параметр на
геодезической, а σ нумерует геодезические. Если геодезические
семейства не пересекаются в некоторой малой окрестности рассматриваемой точки, то x(τ, σ) задает вложение двумерной поверхности в многообразие M. На образе этого вложения определены
два естественных векторных поля
V µ :=
∂ xµ
,
∂τ
Sµ :=
46
∂ xµ
.
∂σ
Для этих векторных полей легко получить очевидное соотношение:
[V, S] = 0.
(1.5.4)
Вектор ∇V S характеризует скорость разбегания геодезических в
системе отсчета, связанной с наблюдателем, двигающимся вдоль
геодезической с касательным вектором V . В то время как ∇V ∇V S
характеризует относительное ускорение геодезических в этой же
системе отсчета† :
∇V ∇V S = ∇V ∇SV = [∇V , ∇S ]V = R
ρ
σ µ ν
σµνV V S ∂ρ ,
(1.5.5)
где мы использовали уравнение геодезической, уравнение (1.5.4)
и условие нулевого кручения. Таким образом, наличие кривизны
пространства-времени можно регистрировать по отклонению геодезических друг от друга. В плоском пространстве геодезические,
имевшие изначально параллельные касательные векторы, остаются параллельными. Относительное ускорение геодезических за
счет наличия кривизны интерпретируется как действие приливных сил гравитации†2 .
Задание 1.20. Обобщить формулу (1.5.5) для девиации геодезических на случай связности с кручением. Попытаться дать интерпретацию получившемуся выражению и кручению.
Ответ:
∇V ∇V S = R
ξµ
ρ
σ µ ν
σµνV V S ∂ρ + ∇V ξ − ∇ξV,
(1.5.6)
µ
:= TρσV ρ Sσ .
где
Попытаться дать интерпретацию получившемуся выражению и кручению:
0ρ
ρ µ 0 ν
σ µ ν
0 ρ
σµνV V S − TµνV ∇SV − ∇ξV ,
∇V ∇V Sρ = R
(1.5.7)
где штрих означает отсутствие кручения в кривизне и связности.
Задание 1.21. Пусть наблюдатель движется вдоль некоторой геодезической с касательным вектором V . Определить работу совершаемую:
• электромагнитными силами по перемещению точечного заряда пробной массы вдоль бесконечно малого контура в окрестности этой геодезической;
† См.
†2 См.
[12], стр. 273; [11] раздел “Curvature”, стр. 32.
подробно [12], стр. 337.
47
• гравитационными силами по перемещению точечной пробной массы вдоль бесконечно малого контура в окрестности
геодезической, как для связности без кручения, так и с кручением.
1.5.2. Римановы нормальные координаты
Во многих случаях удобно воспользоваться произволом в выборе
системы координат на (псевдо)римановом многообразии и выбрать
ее таким образом, чтобы выражения для тензоров метрики, кривизны и ее ковариантных производных имели бы наиболее простой вид. В результате чего можно дать многим геометрическим
объектам более прозрачную физическую и геометрическую интерпретацию.
Здесь мы рассмотрим только так называемые римановы нормальные координаты и связанные с ними другие системы координат† .
Определение 1.35. Система координат называется геодезической
в точке p, если коэффициенты связности в этой точке равны
нулю: Γ| p = 0.
Такую систему координат легко построить. Для этого в окрестности точки p с координатами xµ = 0 нужно сделать замену переменных вида
1
µ
yµ = Cν (xν + Γνρσ (0)xρ xσ ),
(1.5.8)
2
µ
где Cν – некоторая постоянная невырожденная матрица. Существует бесконечно много (с функциональным произволом) геодезических систем координат в точке. Легко проверить, что замена переменных, отличающаяся от указанной выше прибавлением
функции равной нулю в точке p и с нулевыми первыми двумя
производными в этой точке, также будет задавать переход в геодезическую систему координат в точке.
Задание 1.22. Проверить, что замена переменных (1.5.8) задает
переход в геодезическую систему координат в точке p.
† См.
[6], стр. 42; [7], стр. 120.
48
В такой системе координат уравнения параллельного переноса
в точке p выглядят как dS = 0.
Можно зафиксировать имеющийся в определении геодезической системы координат в точке функциональный произвол. Для
этого рассмотрим всевозможные геодезические, исходящие из точки p. Решая уравнение геодезической в аффинной параметризации
µ
x¨µ + Γρσ x˙ρ x˙σ = 0,
xµ (0) = 0,
и беря xµ (1), мы получим отображение касательного пространства к многообразию в точке p на некоторую окрестность этой
точки. Это так называемое экспоненциальное отображение. Для
достаточно малой окрестности точки {0} касательного пространства (которое, напомним, изоморфно Rd ) экспоненциальное отображение инъективно и, следовательно, задает некоторую систему
координат в окрестности точки p ∈ M.
Определение 1.36. Определенная выше система координат называется геодезической или римановой. Она определена с точностью
до линейных замен переменных.
В такой системе координат геодезические, исходящие из точки
p, имеют вид прямых
yµ (τ) = V µ τ,
V µ ∈ Tp M,
V µ = const.
(1.5.9)
Поэтому из уравнения геодезических получаем, что в геодезической системе координат
µ
Γρσ (y)yρ yσ = 0.
(1.5.10)
В предположении аналитичности (и симметричности) коэффициентов связности в точке {0} проходим к
µ
Γρσ = 0,
µ
µ
∂(λ Γρσ) = 0,
∂(κλ Γρσ) = 0, . . . .
(1.5.11)
Используя эти соотношения в начале геодезических координат получаем
ρ
ρ
ρ
3∂σ Γµν = −R µνσ − R νµσ .
(1.5.12)
49
Аналогично получаются соотношения, выражающие более высокие степени производных от связности через кривизну† . Эти соотношения позволяют по заданному тензорному выражению в римановой системе координат восстановить его вид в произвольной
системе координат, записанный через ковариантные производные
от соответствующих тензоров.
Теорема 1.5. Для метрического тензора в римановой системе
координат верно соотношение
gµν (y)yν = gµν (0)yν .
(1.5.13)
Это равенство дает бесконечный набор соотношений между
производными метрического тензора, взятыми в начале координат.
Доказательство. Подставляя в уравнение (1.5.10) символы Кристоффеля имеем
1
1
yρ yσ ∂ρ gσλ = yρ yσ ∂λ gρσ ⇔ yρ ∂ρ (gλσ yσ ) = ∂λ (gρσ yρ yσ ).
2
2
Откуда, после разложения υµ := gµν yν в ряд Тейлора, приходим к
1
k + 1 (k) ρ
(k)
(k)
(k)
υρ y .
kυλ = ∂λ (υρ yρ ) ⇒ kυρ yρ =
2
2
(k)
Поэтому, при k 6= 1, υλ = 0, что дает (1.5.13).
Определение 1.37. Риманова система координат называется нормальной, если gµν (0) = ηµν . Риманова нормальная система координат определена с точностью до глобальных преобразований Лоренца в окрестности своего начала.
Производные от метрического тензора, вычисленные в римановой системе координат и взятые в ее начале, выражаются через
тензор кривизны и его ковариантные производные также взятые в
начале координат† :
1
1
gµν = ηµν − Rµρνσ yρ yσ − ∇λ Rµρνσ yλ yρ yσ + . . .
3
6
† Подробно
† См.
см. [6], стр. 49.
[6], стр. 50.
50
(1.5.14)
Задание 1.23. Доказать формулу (1.5.14) для разложения метрики в окрестности начала римановой системы координат в первом
нетривиальном порядке.
1.6. Симметрические пространства
В дальнейшем при получении точных решений уравнений Эйнштейна, описывающих гравитацию, мы будем существенным образом использовать симметрии рассматриваемой системы. Ясно,
что чем большим количеством симметрий обладает система, тем
легче решить соответствующие уравнения движения. В этом разделе мы рассмотрим пространства, обладающие максимально возможным количеством симметрий† .
Напомним, что симметрии риманова пространства характеризуются векторными полями Киллинга – генераторами движений
метрики. Также мы показали, что число независимых векторов
Киллинга не может превосходить d(d + 1)/2. В этом разделе мы
выясним, какие метрики (и, следовательно, римановы пространства) допускают такое количество векторов Киллинга.
Однородные и изотропные пространства
Определение 1.38. Риманово пространство называется однородным, если существует движение, переводящее любую точку x0 в
любую другую точку x в некоторой окрестности точки x0 .
В случае односвязного многообразия локальность несущественна, т.е. любую точку однородного пространства можно перевести
движением в любую другую точку этого пространства. На языке
векторов Киллинга однородность пространства говорит о существовании на римановом многообразии d линейно независимых в
каждой точке многообразия векторных полей Киллинга
Lξa gµν = ∇(µ ξaν) = 0,
a = 1, d,
(1.6.1)
где круглые скобки означают симметризацию без 1/2. В частности, можно выбрать эти поля так, чтобы в любой наперед заданной фиксированной точке x0 они имели бы компоненты
µ
µ
ξa (x0 ) = δa .
† См.
[15], стр. 400.
51
Определение 1.39. Риманово пространство называется изотропным в точке x0 , если существует d(d − 1)/2 независимых векторов
Киллинга, обращающихся в нуль в точке.
Такие векторы Киллинга генерируют изометрии риманова пространства, которые оставляют точку x0 на месте. Кроме того, для
µ
µ
векторов Киллинга ξab (x, x0 ) ≡ −ξba (x, x0 ), задающих преобразования изотропии в окрестности точки x0 , имеем
ab
∇(µ ξab
ν) (x0 , x0 ) = ∂(µ ξν) (x0 , x0 ) = 0.
(1.6.2)
Условие наличия d(d − 1)/2 независимых векторов Киллинга говорит о том, что можно построить такую их линейную комбинацию
с постоянными коэффициентами, что
a b
∂µ ξab
ν (x0 , x0 ) = δ[µ δν] .
(1.6.3)
Теорема 1.6. Для того чтобы (односвязное) пространство было изотропным в окрестности каждой точки, необходимо и
достаточно, чтобы оно было изотропным в окрестности некоторой точки и однородным.
Доказательство. Достаточность. Дано однородное (односвязное)
пространство, изотропное в окрестности некоторой точки x0 . Тогда
изотропность в окрестности любой другой точки x следует из того, что мы можем изометрически перенести эту точку в точку x0 ,
совершить в точке x0 преобразование изотропии и с помощью движения метрики вернуться обратно. В результате получится изометрическое преобразование, оставляющее x на месте. Либо мы
можем перенести с помощью дифференциала изометрии векторы
Киллинга, генерирующие преобразования изотропии в окрестности точки x0 , в окрестность точки x. В результате будем иметь
d(d − 1) независимых векторов Киллинга в окрестности точки x,
обращающихся в нуль в этой точке.
Необходимость. Пусть пространство изотропно в окрестности
каждой точки риманова пространства. Тогда нужно доказать, что
существуют d независимых в каждой точке пространства векторов
Киллинга. Таким образом, мы имеем для каждой точки x0 набор
векторов Киллинга ξab
µ (x, x0 )
ξab
µ (x0 , x0 ) = 0,
52
∀x0 ∈ M.
(1.6.4)
Поскольку линейная комбинация с постоянными коэффициентами векторов Киллинга является вектором Киллинга, ясно что
x
∂ν 0 ξab
µ (x, x0 ) также векторы Киллинга, зависящие от точки x с
ковекторным индексом µ. Покажем, что линейно комбинируя эти
вектора можно построить d независимых векторов Киллинга. Дифференцируя тождество (1.6.4), получаем
x
∂νx ξab
+ ∂ν 0 ξab
= 0,
∀x0 ∈ M.
(1.6.5)
µ (x, x0 )
µ (x, x0 )
x:=x0
x:=x0
Откуда с учетом формулы (1.6.3) следует
x
∂ν 0 ξab
= −δa[ν δbµ] .
µ (x, x0 )
x:=x0
(1.6.6)
x
Векторы Киллинга ∂ν 0 ξνa
µ (x, x0 )/(1 − d) в точке x := x0 имеют вид
1
x
∂ν 0 ξνa
(x,
x
)
= δaµ .
0
µ
1−d
x:=x0
(1.6.7)
Симметрические пространства
Определение 1.40. Риманово пространство, допускающее d(d +
1)/2 линейно независимых векторов Киллинга, называется максимально симметричным или симметрическим.
Теорема 1.7. Однородное и изотропное риманово пространство является максимально симметричным.
Доказательство. Фактически, нужно доказать, что d векторов
Киллинга, отвечающих однородности пространства, и d(d − 1)/2
векторов Киллинга, отвечающих его изотропности, линейно независимы. Пусть ξab
µ (x, x0 ) векторы Киллинга (из них d(d − 1)/2
независимых), отвечающие изотропности пространства в окрестности точки x0 , а d независимых векторов Киллинга ξaµ (x) отвечают однородности пространства. Зависимость векторов означала
бы существование отличных от нуля констант ca и cab таких, что
ca ξaµ (x) + cab ξab
µ (x, x0 ) = 0,
∀x ∈ M.
В точке x := x0 вторые векторы равны нулю и, следовательно, векторы ξaµ (x) должны быть зависимы в этой точке, что не верно.
53
Верна и обратная
Теорема 1.8. Максимально симметричное пространство однородно и изотропно.
Доказательство. Пусть нам дано d(d + 1)/2 векторов Киллинга.
Зафиксируем некоторую точку x0 . В этой точке мы можем выбрать
d линейно независимых векторов. Остальные d(d − 1)/2 векторов
можно сделать равными нулю в этой точке при помощи линейного комбинирования. Другими словами, с помощью линейной комбинации мы можем разделить d(d + 1)/2 независимых векторов
a
Киллинга на две набора ξaµ (x) и ξab
µ (x, x0 ). Причем ξµ (x0 ) линейно
независимы в точке, а ξab
µ (x0 , x0 ) = 0.
Классификация симметрических пространств. Как мы знаем, векторные поля Киллинга образуют подалгебру в бесконечномерной алгебре Ли векторных полей на M. Соответственно,
изометрии образуют подгруппу Ли G, dim G = d(d + 1)/2, в группе диффеоморфизмов. Таким образом, в случае симметрического пространства мы имеем транзитивное действие группы движений метрики на римановом пространстве. Преобразования изотропии, оставляющие выделенную точку пространства на месте,
образуют так называемую стационарную подгруппу H, dim H =
d(d − 1)/2, (группа изотропии, малая группа) в группе движений. Тогда точки однородного пространства можно отождествить
с фактор-пространством G/H группы G по левым смежным классам, генерируемым (замкнутой) подгруппой H. В результате, изучение и классификация симметрических пространств сводятся к
изучению и классификации соответствующих фактор-пространств
в группах Ли† . Для большинства групп такая классификация проведена.
Структура группы изотропии. Ясно, что дифференциал преобразований группы изотропии в некоторой точке сохраняет метрику в касательном пространстве в этой точке. Следовательно,
учитывая размерность группы изотропии, мы приходим к выводу,
что группа H изоморфна группе (псевдо)ортогональных преобразований (предполагается, что группа G действует эффективно на
† См. “Теория групп” каноническая реализация однородного пространства, а также [2], стр. 444 и др.
54
многообразии M)
µ
gµ0 ν0 (0) = Λµ0 (h)Λνν0 (h)gµν (0),
∀h ∈ H.
(1.6.8)
Таким образом, группа изометрии симметрического пространства
определяется сигнатурой метрики.
Построение метрики по заданному действию группы. Пусть
нам задано эффективное, транзитивное действие на многообразии
M группы G со стационарной подгруппой H, изоморфной (псевдо)ортогональной группе. Тогда в некоторой фиксированной точке должно выполняться равенство (1.6.8), откуда метрика в точке определяется с точностью до общего множителя (это легко
увидеть, если перейти в систему координат, диагонализующую
метрику в точке). Зная метрику в точке, мы можем разнести ее
по всему многообразию с помощью движений, связанных с однородностью пространства и, в результате, построить однородную
метрику с заданной группой изотропии. Эта процедура построения метрики на всем многообразии согласована, поскольку два
отображения, соответствующие двум различным элементам группы, переводящие исходную точку многообразия в одну и ту же
точку, отличаются на элемент из стационарной подгруппы. Таким образом метрика максимально симметричного пространства
определяется ее значением в некоторой точке. В итоге, по заданному действию группы мы построим максимально симметричную
метрику с точностью до постоянного общего множителя. Класс
диффеоморфных метрик симметрического пространства, возникающий в результате различных реализаций действия группы, определяется двумя характеристиками, одинаковыми для всех элементов класса: сигнатурой метрики и некоторым числом (постоянным
общим множителем). Отсюда, в частности, следует, что максимально симметричное пространство конформно плоское.
Пространства постоянной кривизны. Любой тензор, построенный из симметрической метрики и ее производных, определяется своим значением в некоторой точке, а во всех остальных
точках получается при помощи соответствующей изометрии. В
частности, любой скаляр, построенный из метрики и ее производных, остается постоянным при движениях. Поэтому скалярная
кривизна одинакова во всех точках максимально симметричного
55
пространства, вследствие чего максимально симметричные пространства также называют пространствами постоянной кривизны. Сигнатура и скалярная кривизна метрики однозначно, с
точностью до диффеоморфизма, характеризуют пространство постоянной кривизны.
Любой тензор, инвариантный относительно действия группы
изотропии некоторой точки, должен строиться в этой точке из
инвариантных объектов (лоренц-инвариантов). В нашем случае
таким объектами являются gµν (0) и εµ1 ...µd . Других инвариантных
объектов нет. В то же время, любой естественный тензор определяется своим значением в точке, поэтому в любой другой точке
тензор будет строиться из gµν , |g|1/2 εµ1 ...µd и некоторой функции
от скалярной кривизны (константа). Следовательно, тензор Риччи
и тензор Римана имеют вид
Rµν =
1
gµν R,
d
Rρσµν =
R
g g .
d(d − 1) ρ[µ ν]σ
(1.6.9)
Иногда эту формулу берут в качестве определения пространств
постоянной кривизны. Отметим, что ковариантная производная
любой ковариантной комбинации тензоров кривизны и метрики
равна нулю. Верно и обратное: если тензор кривизны имеет вышеуказанный вид, то пространство является максимально симметричным пространством! .
Задание 1.24. Доказать непосредственным вычислением, что пространства постоянной кривизны конформно плоские.
Метрика постоянной кривизны. Для того чтобы более подробно исследовать структуру пространств постоянной кривизны нам
необходимо построить хотя бы одну их явную реализацию. Остальные симметрические пространства будут получаться из построенного с помощью диффеоморфизмов.
Удобно реализовать максимально симметричное пространство
как гиперповерхность в некотором плоском пространстве. Рассмотрим (d + 1)-мерное пространство с метрикой†
ds2 = ηµν dxµ dxν + K −1 dz2 ,
(1.6.10)
! N.B. Как доказать? Из тожд. Бианки следует, что R = const, и все тензоры
ков. постоянны. Поэтому все естественные скаляры такие же, как у некоторого
симметрического пространства с той же сигнатурой и скалярной кривизной.
† См. [4], стр. 194.
56
где ηµν – некоторая матрица с ±1 на диагонали; K – некоторая постоянная. Определим в этом пространстве гиперповерхность уравнением
Kηµν xµ xν + z2 ≡ Kx2 + z2 = 1.
(1.6.11)
В зависимости от ηµν и знака K – это уравнение сферы или соответствующего гиперболоида (псевдосферы). Выражая z, получаем
индуцированную на этой поверхности метрику
gµν = ηµν +
Kxµ xν
⇒ gµν = ηµν − Kxµ xν .
1 − Kx2
(1.6.12)
В результате имеем некоторую метрику с той же сигнатурой, что и
ηµν (достаточно рассмотреть точку x = 0). В случае K = 0 получим
плоскую метрику.
Геодезические связности Леви-Чивиты определяются уравнением
µ
x¨µ + Γρσ x˙ρ x˙σ = 0,
(1.6.13)
откуда для неизотропных и светоподобных геодезических имеем,
соответственно,
x¨µ ± Kxµ = 0,
x¨µ = 0,
(1.6.14)
т.е. изотропные геодезические являются прямыми, а уравнения
неизотропных геодезических задаются линейной комбинацией синусов и косинусов, либо их гиперболических аналогов.
Используя выражение для связности, тензор кривизны можно
привести к виду
Rρσµν = Kgρ[µ gν]σ ,
(1.6.15)
и, следовательно, R = d(d − 1)K, т.е. построенное пространство является пространством постоянной кривизны. Изометрии задаются
поворотами в объемлющем пространстве, сохраняющими метрику
ds2 и уравнение гиперповерхности (1.6.11). В результате мы получаем максимально симметричное пространство. Отметим, что
симметрическая
метрика (1.6.12) после растяжения переменных
p
yµ = |K|xµ приобретает вид
"
#
(yµ dyµ )2
2
−1
µ ν
.
(1.6.16)
ds = |K|
ηµν dy dy + sgn K
1 − sgn Ky2
57
Как мы видим, все метрики с кривизной одного знака отличаются друг от друга умножением на константу. Формула (1.6.16),
записанная для K > 0, верна и для произвольного K 6= 0. Чтобы
привести ее к виду (1.6.16), при K < 0, необходимо сделать замену
переменных.
Задание 1.25. Получить выражение (1.6.15) для тензора Римана
пространства постоянной кривизны.
Рассмотрим несколько примеров. Метрика максимально симметричного пространства имеет вид
ds2 = ηµν dxµ dxν +
Kxµ xν dxµ dxν
.
1 − Kx2
(1.6.17)
Ограничимся также случаем ηµν = δµν . Если K = 0, то мы получаем метрику плоского евклидова пространства. При K := 1/r2 > 0
метрика запишется как
ds2 = dx2 +
(xdx)2
.
r 2 − x2
(1.6.18)
Другими словами мы получили метрику сферы x2 + r2 z2 = r2 , вложенной в плоское евклидово пространство с интервалом ds2 =
dx2 + r2 dz2 . Если K =: −1/r2 < 0, для получаем
ds2 = dx2 −
(xdx)2
.
r 2 + x2
(1.6.19)
Это метрика псевдосферы (гиперболоида) −x2 + r2 z2 = r2 в псевдоевклидовом плоском пространстве с метрикой ds2 = dx2 − r2 dz2 .
Пространства расслоенные на симметрические пространства.
В ОТО чаще приходится иметь дело не с симметрическими пространствами, а с пространствами, представляющими собой слоения со слоями в виде максимально симметричных пространств.
При этом метрика должна обладать достаточным количеством
векторов Киллинга. Пусть мы имеем n векторных полей Киллинга,
образующих подалгебру в алгебре всех векторов Киллинга. Они
задают некоторое интегрируемое распределение и превращают интегральные листы этого распределения в однородное пространство. Кроме того, необходимо чтобы в алгебре векторов Киллинга
58
существовало еще n(n − 1)/2 независимых векторов, касательных
к этим интегральным листам. Такие векторы Киллинга генерируют преобразования изотропии.
Для такого рода пространств верна
Теорема 1.9. В пространстве, расслоеном на максимально симметричные пространства, (локально) существует система координат, в которой метрика представима в виде
ds2 = gµν dxµ dxν = gαβ (υ)dυα dυβ + f (υ)g˜i j (u)dui du j ,
(1.6.20)
υα
ui
где – координаты на симметрических слоях;
– координаты на факторе; g˜i j (u) – метрика постоянной кривизны.
Примеры
1. Сферически-симметричное трехмерное евклидово пространство.
В данном случае симметрическими пространствами будут двумерные сферы. Вводя координаты ui = (θ, ϕ) и υ = r, согласно теореме
можем записать общий вид метрики такого пространства
ds2 = g(r)dr2 + f (r)(dθ2 + sin2 θdϕ2 ),
(1.6.21)
где g(r) и f (r) имеют одинаковые знаки. Переопределяя переменную r, функцию g(r) можно сделать равной единице. После такой
замены плоскому пространству будет соответствовать f (r) = r2 .
2. Сферически-симметричное четырехмерное пространство с лоренцевой сигнатурой, т.е. d = 4, n = 2. Выбирая ui = (θ, ϕ) и υα =
(t, r), приходим к
ds2 = gtt (t, r)dt 2 + 2gtr (t, r)dtdr + grr (t, r)dr2 + f (t, r)(dθ2 + sin2 θdϕ2 ).
(1.6.22)
3. Четырехмерное пространство лоренцевой сигнатуры, трехмерные подпространство которого являются однородными и изотропными. Вводим координаты ui = xi и υ = t, тогда
K(xdx)2
2
2
2
ds = g(t)dt + f (t) dx +
.
(1.6.23)
1 − Kx2
В сферических координатах (xdx) = rdr, x2 = r2 , dx2 = dr2 +r2 dθ2 +
r2 sin2 θdϕ2 метрика перепишется как
dr2
2
2
2
2
2
2
2
ds = dτ − b (τ)
+ r (dθ + sin θdϕ ) ,
(1.6.24)
1 − Kr2
59
где dτ2 = g(t)dt 2 и b2 (τ) := f (τ).
1.7. Конформные преобразования
Определение 1.41. Конформным (вейлевским) преобразованием
на римановом пространстве называется изменение поля метрики
вида
gµν (x) → g˜µν (x) = ω2 (x)gµν (x) ≡ e2Ω(x) gµν ⇔ d s˜2 = ω2 (x)ds2 , (1.7.1)
где ω(x) – некоторая ненулевая скалярная функция на римановом
многообразии.
Замечание 1.1. Такие преобразования метрики называются конформными, т.к. они сохраняют углы между векторами. Подчеркнем, что конформные преобразования не являются заменой координат на многообразии.
Определение 1.42. Диффеоморфизм риманова многообразия f :
M → M называется конформным отображением, если f∗ g конформно эквивалентна g, т.е. f∗ g = ω2 g, где ω(x) – некоторая ненулевая
скалярная функция на M.
Замечание 1.2. В комплексном анализе конформными преобразованиями называются отображения области комплексной плоскости вида w = f (z), где f (z) – однолистная голоморфная функция.
Такие отображения индуцируют евклидову (эрмитову) метрику в
области изменения переменной w
dwd w¯ = | f 0 (z)|2 dzd z¯,
(1.7.2)
т.е. метрику, конформно эквивалентную (в смысле определения
1.41) исходной. При таком преобразовании углы между кривыми
сохраняются.
Рассмотрим, как преобразуются различные объекты римановой
геометрии при конформных преобразованиях. Связность:
µ
µ
µ
µ
Γρσ → Γ˜ ρσ = Γρσ +Cρσ ,
где тензор
µ
µ
Cρσ = δ(ρ ∂σ) Ω − gρσ gµλ ∂λ Ω.
60
(1.7.3)
(1.7.4)
Заметим, что конформные преобразования риманова пространства переводят световой конус в себя. Действительно, изотропная
кривая остается изотропной под действием конформных преобразований, т.е.
gµν x˙µ x˙ν = 0 → ω2 (x)gµν x˙µ x˙ν = 0.
(1.7.5)
Более того, изотропные геодезические инвариантны относительно
таких растяжений масштабов, т.к.
µ
µ
˙ = 0.
x¨µ + Γρσ x˙ρ x˙σ = 0 → x¨µ + Γρσ x˙ρ x˙σ + 2x˙µ Ω
(1.7.6)
Дополнительный вклад в уравнения движения, как мы знаем,
может быть убран переопределением параметра геодезической:
dτ → −Ω−1 (τ)dτ. И вообще, с физической точки зрения конформно инвариантными являются только безмассовые модели (если,
конечно, при конформных преобразованиях не преобразовывать
массивный параметр) в силу того, что масса имеет в естественных единицах размерность обратной длины и, следовательно, не
может быть инвариантной относительно растяжения масштабов.
Тензор кривизны Римана:
ρ
σµν
R
ρ
σµν
→ R˜
ρ
ρ
ρ
σµν + ∇[µCν]σ + [Cµ ,Cν ] σ
=R
=
ρ
α ρ
ρα
σµν + (δσ δ[ν − g gσ[ν )∇µ]α Ω+
=R
ρ
+ δ[µ (∂ν] Ω∂σ Ω − gν]σ gαβ ∂α Ω∂β Ω) − gσ[µ ∂ν] Ωgρα ∂α Ω. (1.7.7)
Отметим, что две ковариантные производные, действующие на
скаляр, коммутируют для связности без кручения. Тензор Риччи:
Rµν → R˜ µν = Rµν −
h
i
− (d − 2) ∇µν Ω − ∂µ Ω∂ν Ω + gµν gαβ ∂α Ω∂β Ω) − gµν ∇2 Ω. (1.7.8)
Скалярная кривизна:
h
i
R˜ = e−2Ω R − 2(d − 1)∇2 Ω − (d − 1)(d − 2)gαβ ∂α Ω∂β Ω .
(1.7.9)
Вторая ковариантная производная и волновой оператор от скалярной функции:
ρ
˜ µ∇
˜ ν φ = ∇µν φ −Cµν
∇
∂ρ φ = ∇µν φ − ∂(µ φ∂ν) Ω + gµν gαβ ∂α φ∂β Ω,
h
i
˜ 2 φ = e−2Ω ∇2 φ + (d − 2)gαβ ∂α φ∂β Ω .
∇
(1.7.10)
61
Из последней формулы видно, что при d = 2 ковариантное волновое уравнение инвариантно относительно конформных преобразований и может быть сведено к обычному волновому уравнению в
подходящей системе координат.
Задание 1.26. Проверить формулы для законов преобразования
тензоров Римана, Риччи и скалярной кривизны, а также оператора
Лапласа-Бельтрами под действием конформных преобразований.
При каких значениях параметров µ и ξ ковариантное волновое
уравнение скалярного поля на d-мерном многообразии
(∇2 + ξR)φ = 0,
инвариантно относительно конформных преобразований
gµν → e2Ω gµν ,
φ → eµΩ φ.
Ответ: µ = (2 − d)/2, ξ = 41 (2 − d)/(d − 1).
Задание 1.27. Проверить, что так называемое специальное конформное преобразование
x0µ =
xµ − bµ x2
,
1 − 2bx + b2 x2
x2 ≡ ηµν xµ xν ,
где bµ – произвольный постоянный вектор, действительно задает
конформное отображение метрики Минковского. Нарисовать действие данного отображения для различных bµ (времени-, светои пространственноподобного). Доказать, что вместе с дилатациями и отражениями, это отображение исчерпывает все конформные
отображения метрики Минковского (Евклида) в d ≥ 3† .
† См.
книжку Фока [27].
62
2. Материя в искривленном пространстве
2.1. Принцип эквивалентности
Напомним, что в рамках Ньютоновской механики гравитация описывалась системой уравнений†
x¨i = −∂i ϕ,
∆ϕ = 4πGρ,
(2.1.1)
где ρ – плотность материи; G = 6, 6742 · 10−8 см3 с−2 г−1 – гравитационная постоянная. Общая теория относительности должна
была решить как минимум две задачи: согласовать уравнения
Ньютона со специальной теорией относительности и, в частности,
обеспечить конечность скорости распространения гравитационного взаимодействия; привести получившиеся уравнения к виду, не
зависящему от выбора наблюдателя (системы отсчета). Последнее требование называется принципом ковариантности. Математически он выражается в том, что все физические уравнения
должны быть общековариантны и, следовательно, должны записываться в терминах геометрических объектов на многообразии –
пространстве-времени, – т.е. в тензорном виде.
Можно попытаться обобщить уравнения (2.1.1) в духе специальной теории относительности†2 , однако при наивном обобщении мы неизбежно придем к противоречию с экспериментальными данными. К примеру, если рассматривать гравитационное
поле как релятивистское скалярное поле, то такое поле не будет
действовать на безмассовые частицы, либо безмассовые частицы
будут двигаться по поверхности φ = const.
Задание 2.1. Показать, что в безмассовом пределе модели релятивистской частицы
S[x(τ)] = −m
Z
√
dτeφ(x) x˙2 ,
взаимодействующей со скалярным полем, частица не будет с ним
взаимодействовать (наиболее просто это показать, если перейти в
† Отметим заранее, что в этом разделе мы лишь кратко коснемся физических
принципов и мотивов, повлекших создание ОТО. Подробно об этом см. [12, 15].
†2 Подробно см. [12], стр. 224.
63
гамильтонов формализм). Показать, что в модели
Z
S[x(τ), p(τ), λ(τ)] =
λ
dτ[pµ x˙µ + (p2 − m2 − f (φ))],
2
безмассовые частицы будут двигаться по эквипотенциальным поверхностям.
Если пытаться описывать гравитацию с помощью векторного
поля, то либо частицы одного заряда будут отталкиваться (как
в электродинамике), либо энергия гравитационного поля, например, энергия, уносимая гравитационными волнами, будет отрицательной, что приведет к неустойчивости системы. Вообще, можно
показать, что при условии положительности энергии поля два одноименных заряда будут притягиваться, если спин поля, посредством которого они взаимодействую, четный. Два одноименных
заряда отталкиваются, если спин поля взаимодействия нечетный.
Таким образом, можно попробовать построить модель гравитации в терминах релятивистского поля спина 2, т.е. симметричного
тензора второго ранга. При этом оказывается, что для непротиворечивости теории, она с необходимостью должна быть нелинейной и включать бесконечное число вершин самодействия (само
гравитационное поле обладает энергией-импульсом и создает гравитационное поле). Такая процедура последовательно реализована
в общей теории относительности, и это один из возможных способов получения уравнений ОТО† , который при некоторых дополнительных предположениях однозначно воспроизводит уравнения
Эйнштейна. В то же время при выводе своих уравнений А. Эйнштейн исходил из несколько других физических и геометрических
предпосылок, и мы в этом курсе будем придерживаться “исторического” пути становления ОТО.
А именно: в ОТО постулируется, что гравитация – это искривление пространства-времени, и таким образом гравитация действует на материю. С другой стороны, материя, которая отождествляется с ее энергией-импульсом, создает гравитационное поле, искривляя пространство-время. Построение модели, реализующей такую геометрическую картину мира, должно быть согласовано с принципом эквивалентности (существует много его
формулировок, здесь мы приведет одну из них): инерционная и
† Подробно
см. [13], стр. 55, 69; [15], стр. 189 и приведенные там ссылки.
64
гравитационная массы равны. Другими словами, все тела вне зависимости от их массы двигаются под действием гравитационных
сил с одинаковым ускорением, т.е. существует выделенный класс
траекторий частиц, двигающихся под действием только гравитационного поля (инерциальные траектории).
Еще одна формулировка принципа эквивалентности, эквивалентная указанная выше, говорит о том, что инерционные и гравитационные силы – это силы одной природы, т.е. движение частицы под действием гравитационного поля точно такое же, как
и в случае действия сил инерции в достаточно небольшом участке пространства. Обобщение принципа эквивалентности, называемое принципом эквивалентности Эйнштейна, состоит в том,
что в достаточно малой окрестности начала координат инерциальной системы отсчета все законы физики, сформулированные
для плоского пространства-времени, остаются в силе, т.е. в такой системе отсчета гравитация отсутствует. Вместе с принципом ковариантности (независимости объективной реальности от
наблюдателя) принцип эквивалентности позволяет обобщать модели, сформулированные для пространства Минковского, на произвольный кривой фон и тем самым включать взаимодействие с
гравитационным полем. Это так называемый принцип минимального взаимодействия, которые мы уже раньше формулировали и
использовали.
2.2. Движение пробных частиц в гравитационном
поле
Как мы знаем, действие свободной частицы, двигающейся на фоне
пространства Минковского, имеет вид
Z
q
S[x(τ)] = −m dτ ηµν x˙µ x˙ν .
(2.2.1)
Если мы перейдем из инерциальной системы отсчета {xµ } в неинерциальную систему отсчета {yµ }, то действие перепишется как
S[y(τ)] = −m
Z
0
q
dτ gµν y˙µ y˙ν ,
gµν = ηµ0 ν0
0
∂ xµ ∂ xν
.
∂ yµ ∂ yν
(2.2.2)
Траектории, доставляющие минимум этому действию, являются
геодезическими для метрики gµν . Согласно принципу эквивалент65
ности именно таким же образом должна действовать гравитация
на пробные частицы. Отличие от рассмотренного случая состоит лишь в том, что метрика теперь уже не представима в виде
(2.2.2), т.е. не является плоской. Именно наличие кривизны метрики отличает гравитационные силы от сил инерции.
Эволюция векторов связанных с частицей. Аналогичные рассуждения позволяют вывести уравнения движения векторов, связанных с пробной частицей, находящейся в гравитационном поле.
Таким векторами могут быть, например, вектор углового момента
или векторы, задающих направления главных осей твердого тела,
выступающего в роли пробной частицы. В последнем случае размеры тела должны быть много меньше характерных масштабов
изменения гравитационного поля.
В отсутствие гравитации в лоренцевой системе отсчета для
такого вектора можем записать
S˙µ (τ) = 0,
(2.2.3)
либо, если рассматривать не одну частицу, а бесконечный набор
частиц, двигающихся по не пересекающимся мировым линиям и
характеризуемым векторным полем V µ ,
V ρ (x)∂ρ Sµ (x) = 0,
(2.2.4)
где Sµ (x) – векторное поле, такое что S(x(τ)) = S(τ). Переходя в
штрихованную неинерциальную систему отсчета, получаем
µ
V 0ρ (∂ρ0 S0µ + Γρν S0ν ) = 0,
(2.2.5)
µ
где Γρν – тривиальная связность. Согласно принципу эквивалентности, при наличии гравитационного поля уравнения эволюции
вектора S запишутся как
µ
V ρ ∇ρ Sµ = 0 ⇒ S˙µ + x˙ρ Γρν Sν = 0.
µ
(2.2.6)
Теперь Γρν – связность, согласованная с метрикой gµν , а x(τ) –
траектория пробной частицы, т.е. вектор S параллельно переносится вдоль мировой линии. В силу того, что связность согласована с метрикой, длина вектора сохраняется эволюцией.
66
µ
Если нам задан набор векторов Sα , образующих в каждой точке лоренцев базис† ,
µ
Sa gµν Sbν = ηab ,
(2.2.7)
то их эволюция описывается уравнениями
µ
µ
µ
µ
V ρ ∇ρ Sa = S˙a + x˙ρ Γρν Saν − x˙ρ Γbρa Sb = 0,
(2.2.8)
где Γbµa – спиновая связность, описывающая лоренцевы повороты
векторов Sa в системе отсчета, связанной с пробной частицей.
Если вектора неподвижны в этой систем отсчета, то спиновая
связность Γbµa равна нулю.
Задание 2.2. Доказать, что векторы, связанные с ускоренно двигающейся частицей на фоне плоской метрики, испытывают перенос Ферми-Уолкера
S˙µ + x¨[µ x˙ν] Sν = 0.
Ньютоновский предел. Чтобы получить связь со вторым законом Ньютона и дать физическую интерпретацию компонентам
метрики, рассмотрим в лабораторной системе отсчета медленно
двигающуюся частицу в независящем от времени поле метрики
gµν , которая слабо отличается от плоской, т.е. gµν = ηµν + hµν , где
hµν 1. После разложения действия в ряд Тейлора, удержания ведущего вклада и откидывания полных производных, будем иметь
S[x(τ)] ≈
Z
dt
m 2
(˙x − h00 ).
2
(2.2.9)
Таким образом, мы видим, что в ньютоновском пределе g00 = 1 +
2ϕ, где ϕ = h00 /2 – потенциал ньютоновской гравитации.
Действие в форме Полякова. Рассмотрим еще некоторые свойства модели релятивистской частицы, взаимодействующей с гравитацией. Гамильтонова форма функционала действия (действие
в форме Полякова) запишется как
Z
SH [x(τ), p(τ), λ(τ)] =
† См.
λ
dτ[pµ x˙µ + (gµν pµ pν − m2 )],
2
подробно [12], стр. 271.
67
(2.2.10)
где λ – лагранжев множитель при связи первого рода, обеспечивающей выполнения условия массовой оболочки (einbein). Отвечающее ему лагранжево действие имеет вид
2
Z
λ
x˙
+ m2 ,
(2.2.11)
S[x(τ), λ(τ)] = − dτ
2λ 2
Откуда несложно видеть, что натуральной параметризации отвечает калибровка λ = m−1 . В этой калибровке функционал действия перепишется как
S[x(τ)] = −
Z
m
dτ gµν x˙µ x˙ν .
2
(2.2.12)
Можно убедиться, что уравнения движения, отвечающие такому
действию, – это уравнения геодезической в натуральной параметризации. Отметим, что в некоторых случаях для нахождения коэффициентов связности удобнее использовать действие (2.2.12),
варьируя его и сравнивая результат с уравнением геодезической.
Это так называемый метод геодезического лагранжиана.
Тензоры Киллинга и законы сохранения. Для гамильтоновых
уравнений движения в натуральной параметризации получаем
mx˙µ = −gµν pν ,
p˙µ =
1
∂µ gρσ pρ pσ .
2m
(2.2.13)
Наличие знака “−” в определении импульса связано с нашим выбором сигнатуры метрики.
Определение 2.1. Тензором Киллинга на римановом многообразии называется симметричное тензорное поле ξµ...µn такое, что
∇(µ1 ξµ2 ...µn+1 ) = 0.
(2.2.14)
В случае тензора первого ранга мы получаем стандартное определение векторного поля Киллинга.
Если на римановом пространстве существует тензор Киллинга,
то уравнения движения частицы обладают интегралом движения
68
I := ξµ1 ...µn pµ1 . . . pµn . Действительно,
p2
1
I˙ = { , I} = (nξµ1 ...µn−1 σ ∂σ gρµn − 2gρσ ∂σ ξµ1 ...µn )pρ pµ1 . . . pµn =
2m
2m
1
=−
gσ(ρ ∇σ ξµ1 ...µn ) pρ pµ1 . . . pµn = 0,
m(n + 1)!
(2.2.15)
где мы воспользовались тем, что в ковариантном выражении, содержащем только первые производные, их можно заменить на ковариантные (построенные по симметричной связности), и при этом
выражение не изменится.
Задание 2.3. Доказать непосредственным вычислением, что I =
ξµ1 ...µn pµ1 . . . pµn – интеграл движения.
Отметим, что если нам известно несколько тензоров Киллинга, то согласно теореме Лиувилля можно строить новые тензоры Киллинга, беря скобки Пуассона соответствующих сохраняющихся величин. Наличие k сохраняющихся величин позволяет понизить порядок системы дифференциальных уравнений на
k. В случае плоского пространства или пространства постоянной
кривизны соответствующими сохраняющимися величинами будут
энергия, импульс и момент импульса частицы. Знание такого количества интегралов движения позволяет легко проинтегрировать
уравнения движения частицы.
2.3. Тензор энергии-импульса
В предыдущих разделах нами было установлено как гравитация,
отождествленная с кривизной пространства-времени, действует на
материю. Теперь нам необходимо обобщить закон всемирного тяготения Ньютона и выяснить таким образом, как материя создает
гравитационное поле с учетом релятивистских эффектов.
Как мы уже отмечали, свойство материи создавать гравитационное поле в общей теории относительности отождествляется
только с наличием у нее энергии-импульса. Поэтому прежде всего
нам необходимо построить такую величину, которая бы характеризовала распределение энергии-импульса в системе. В специальной теории относительности у нас была такая величина – это
тензор энергии-импульса T µν .
69
От тензора энергии-импульса модели теории поля обычно требуют, чтобы это был лоренцовый тензор второго ранга, удовлетворяющий следующим условиям† :
1. Симметричность: T µν = T νµ ;
2. Положительность энергии:
(a) Слабое энергетическое условие (WEC): TµνV µV ν ≥ 0,
для любого времениподобного вектора V : V 2 > 0;
(b) Изотропное энергетическое условие (NEC): TµνV µV ν ≥
0, для любого изотропного вектора V : V 2 = 0;
Отметим, что из первого условия следует второе (второе
условие более слабое чем первое).
3. Сохранение плотности энергии-импульса: для замкнутой системы
∂ν T µν = 0,
на уравнениях движения полей материи, т.е. бездивергентность тензора энергии-импульса должна быть следствием
однородности пространства-времени;
Для лагранжевых систем это свойство означает, что T µν
должен строиться из соответствующего нетеровского тока.
4. Аддитивность: для двух невзаимодействующих систем тензор энергии-импульса должен быть суммой тензоров энергии-импульса этих систем.
Если T µν строится из лагранжиана, то это свойство выполнено автоматически.
5. Функция состояния: выражение для тензора энергии-импульса при всех указанных выше условиях не должно содержать
высших производных по времени от полей, т.е. можно построить распределение энергии-импульса в системе, зная ее
состояние только в данный момент времени;
† См. также [15], стр. 183, на примере псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля.
70
2.3.1. Канонический подход
Напомним, как выглядит теорема Нетер и соответствующий сохраняющийся ток для системы с действием
Z
SΩ [φ] =
dx
p
|g|L(φ, ∂ φ, . . . , ∂ n φ) =
Ω
Z
¯
dxL(φ,
∂ φ, . . . , ∂ n φ), (2.3.1)
Ω
инвариантным относительно трансляций в пространстве-времени,
где φ реализуют некоторое представление группы Лоренца. Под
действием диффеоморфизма fξ (трансляции), генерируемого постоянным бесконечно малым векторным полем ξµ , поля преобразуются как
δξ φ = Lξ φ = ξµ ∂µ φ.
(2.3.2)
Область пространства-времени Ω при этом переходит в fξ−1 (Ω).
Функционал действия инвариантен относительно такого преобразования! , следовательно
δξ SΩ [φ] = S f −1 (Ω) [φ] − SΩ [φ] + SΩ [φ + δξ φ] − SΩ [φ] =
ξ
Z
=
¯
dx[( fξ−1 )∗ L¯ − L¯ + Lξ L].
(2.3.3)
Ω
Выражение в квадратных скобках можно представить в виде
∂ L¯
∂µ ...µ (Lξ φ) =
∂ φµ1 ...µn 1 n
δS[φ]
∂ L¯
µ
¯
Lξ φ + ∂µ −Lξ +
∂µ ...µ (Lξ φ) − . . . , (2.3.4)
=
δφ
∂ φµµ2 ...µn 2 n
¯ µ) +
− ∂µ (Lξ
где φµ1 ...µn := ∂µ1 ...µn φ, и в последнем равенстве мы “интегрировали
по частям” (перекидывали производные). Отметим, что полученное выражение верно для любого векторного поля ξ, не обязательно постоянного, и в случае общековариантного действия это
выражение равно нулю (в силу произвольности области интегрирования Ω).
! N.B.
Значение действия (2.3.1) на поле φ(x) должно совпадать со значением
действия на поле φ(x + ξ), взятым на области f −1 (Ω) (область всегда можно так
выбрать, чтобы интеграл сходился). Иначе пространство неоднонородно.
71
Для постоянного ξµ и лагранжиана без высших производных
получаем закон сохранения плотности энергии-импульса
¯
µ
¯ µν + ∂ L ∂ν φ = 0,
∂µ Tc ν = ∂µ −Lδ
(2.3.5)
∂ ∂µ φ
при условии выполнения уравнений движения полей φ.
Определение 2.2. Тензор
µν
Tc :=
∂ L¯ ν
¯ µν ,
∂ φ − Lη
∂ ∂µ φ
(2.3.6)
называется каноническим тензором энергии-импульса.
Интегрируя равенство (2.3.5) по области пространства-времени,
ограниченной двумя пространственноподобными гиперповерхностями, и считая, что компоненты канонического тензора энергииимпульса спадают на пространственной бесконечности быстрее,
чем |x|2−d , получаем закон сохранения энергии-импульса
Z
Pµ :=
dΣν Tcν µ = интеграл движения.
(2.3.7)
Задание 2.4. Получить аналогичный закон сохранения в случае
модели с высшими производными (например, для модели с лагранжианом, зависящим от вторых производных).
Симметричность тензора энергии-импульса. Канонический
µν
тензор энергии-импульса Tc , вообще говоря, не симметричен.
Чтобы это исправить, можно воспользоваться неоднозначностью
определения нетеровского тока:
T µν → T µν + ∂ρ ψρµν ,
ψρµν + ψµρν = 0.
(2.3.8)
Другими словами, необходимо найти такое ψµνρ , что
T [µν] = ∂ρ ψρ[νµ] .
(2.3.9)
Это уравнение, очевидно, имеет решение (по крайней мере, локально), а в случае лоренц-инвариантного действия ψµνρ все-
72
гда можно выбрать в виде локальной величины! . Для лоренцинвариантных моделей существует явная формула для симметричного сохраняющегося тензора энергии-импульса в терминах
лагранжиана – это так называемый тензор Розенфельда-Белинфанте† . Этот тензор получается комбинированием канонического тензора энергии-импульса и нетеровского тока, отвечающего
преобразованиям Лоренца (изотропности пространства). Мы не
будем приводить здесь явного выражения для этого тензора, а
выведем его ниже исходя из несколько иных рассуждений. Подчеркнем, что ψρ[νµ] , найденное из уравнения (2.3.9), дает вклад в
симметричную часть тензора энергии-импульса:
1
∂ρ ψρµν = ∂ρ (ψρ[νµ] + ψν[µρ] − ψµ[ρν] ) ⇒
2
1
∂ρ ψρ(µν) = ∂ρ (ψµ[νρ] + ψν[µρ] ).
2
(2.3.10)
Задание 2.5. Используя формулу (2.3.4), найти выражение для
нетеровского тока, отвечающего преобразованиям Лоренца лоренцинвариантного функционала действия без высших производных,
учитывая, что
µ
δω xµ = ω ν xν ,
1
a
φb + ωµν xν ∂µ φa ,
δω φa = ωµν fµνb
2
ωµν = −ωνµ ,
a
где матрицы fµνb
удовлетворяют коммутационным соотношениям
алгебры Пуанкаре. Скомбинировать полученный сохраняющийся
ток с каноническим тензором энергии-импульса (2.3.6) так, чтобы получающийся тензор был бы симметричен и сохранялся на
уравнениях движения.
Задание 2.6. Обобщить выражение для тензора энергии-импульса
Розенфельда-Белинфанте на случай лагранжиана, зависящего от
вторых производных полей.
! N.B. Фиксирует ли требование локальности и лоренц-инвариантности произвол (локальность ψ нужно см. на ур-ях движ.)? Существование еще одного
симметричного ТЭИ влечет наличие дополнительных ЗС. Когда локально (2.3.10)?
Тождества для производных лагранжиана, следующие из лор. симм.
† См. [16], стр. 342. Также R.E.G. Sarav´i, On the energy-momentum tensor, J.
Phys. A 37, 9573 (2004), math-ph/0306020.
73
Неоднозначность в определении тензора энергии-импульса.
Требование симметричности и бездивергентности не фиксирует
однозначно вид тензора энергии-импульса. Действительно, легко
проверить, что тензор
T µν + ∂ρσ ξρ(µν)σ ,
ξρµνσ = −ξµρνσ ,
ξρµνσ = −ξρµσν ,
(2.3.11)
также симметричен и сохраняется, причем указанный произвол
исчерпывающий (по крайней мере, локально). В силу того, что
Z
dΣν ∂ρσ ξρ(µν)σ =
Ω
Z
dΣν ∂ρσ (ξσµνρ + ξρνµσ ) =
Ω
Z
=
dΣρν ∂σ (ξρµνσ + ξρνµσ ), (2.3.12)
∂Ω
в случае локального ξρ(µν)σ этот произвол не существенен в том
смысле, что не дает вклада в 4-импульс. Более того, в общем случае вклад в 4-импульс равен нулю от компоненты тензора ξρµνσ ,
пропорциональной
ξµσρν − ξρνσµ + cycle(σ, ρ, ν),
(2.3.13)
т.е. на ξρµνσ можно наложить дополнительное условие в виде равенства нулю полностью антисимметричного тензора (2.3.13).
Сохранение момента импульса. Наличие симметричного тензора энергии-импульса позволяет построить бездивергентный тензор плотности момента импульса
M ρµν := x[µ T ν]ρ ⇒ ∂ρ M ρµν = T [νµ] = 0,
(2.3.14)
интегрирование которого по пространственноподобной гиперповерхности
J µν :=
Z
dΣρ M ρµν = интеграл движения
дает тензор момента импульса системы.
74
(2.3.15)
2.3.2. Калибровочный подход
Можно получать законы сохранения, отвечающие глобальным симметриям, другим способом† нежели тот, что был использован при
доказательстве теоремы Нетер. А именно: можно сначала локализовать глобальные симметрии, т.е. сделать функционал действия
модели инвариантным относительно локальных (калибровочных)
преобразований, вводя для этого дополнительные калибровочные
поля (связности). Затем, варьируя действие по этим связностям,
получим сохраняющиеся, в силу калибровочной инвариантности,
токи. После варьирования дополнительные калибровочные поля,
входящие в токи, берутся равными такому значению, при котором калибровочно-инвариантное действие превращается в исходное. Данный способ оказывается во многих случаях гораздо более удобным средством получения выражений для сохраняющихся величин, чем непосредственное применение теоремы Нетер.
Кроме того, он позволяет получить тензор энергии-импульса для
пуанкаре-инвариантной системы сразу в симметричной форме.
Продемонстрируем, сначала, как работает этот метод на примере внутренних глобальных симметрий. Пусть лагранжиан модели
инвариантен относительно глобальных преобразований:
L(τφ, τ∂µ φ) = L(φ, ∂µ φ),
(2.3.16)
где постоянные матрицы τab принадлежат группе симметрии. Для
того чтобы сделать лагранжиан инвариантным относительно локальных преобразований симметрии, необходимо ввести вместо
обычных производных связности, т.е. перейти к лагранжиану
L(φ, (∂µ + Γµ )φ),
(2.3.17)
где Γaµb – связность. Построенный таким образом лагранжиан уже
инвариантен относительно калибровочных преобразований вследствие закона преобразования Γµ и (2.3.16). Вследствие закона преобразования связности (1.4.3) в инфинитезимальной форме
δε Γµ = −∂µ ε − Γµ ε + εΓµ = −∇Γµ ε,
(2.3.18)
† См., например, S. Deser, Self-interaction and gauge invariance, Gen. Relativ.
Gravit. 1, 9 (1970).
75
где ε принадлежит алгебре Ли группы симметрии, для калибровочно-инвариантного действия можем записать
Z
δε S[φ, Γ] =
dx
δS[φ, Γ]
δε φ(x) −
δφ(x)
Z
dx
δS[φ, Γ] Γ
∇ ε(x) = 0, (2.3.19)
δΓµ (x) µ
где вариационные производные понимаются в смысле производных Фреше, поскольку параметр калибровочного преобразования
ε(x) может быть выбран так, что все граничные вклады обратятся
в нуль. Ввиду того, что
S[φ, 0] = S[φ],
из (2.3.19) имеем
Z
dxε(x)∂µ
δS[φ, Γ] ≈ 0,
δΓµ (x) Γ=0
откуда, в силу произвольности ε(x), приходим к
δS[φ, Γ] ∂µ
≈ 0,
δΓµ (x) Γ=0
(2.3.20)
(2.3.21)
где приближенное равенство означает выполнение этого равенства
на уравнениях движения. Закон сохранения тока (2.3.21) является следствием инвариантности действия относительно глобальных
преобразований симметрии и, следовательно, эквивалентен соответствующему нетеровскому току, т.е. получается добавлением к
нему тривиально-сохраняющегося тока.
Задание 2.7. Проверить эквивалентность канонического и калибровочного подходов к определению сохраняющихся токов для действия без высших производных.
Тензор энергии-импульса для действия без спинорных полей. Рассмотрим теперь, как данный подход позволяет получать
симметричные тензоры энергии-импульса. Если в действии отсутствуют спинорные поля, то указанный выше способ модифицируется следующим образом. По заданному лагранжиану модели мы
должны построить некоторое общековариантное выражение (плотность), используя для этого вспомогательную метрику χµν . Будем
76
считать, что в общековариантном действии все поля, являвшиеся лоренцевыми тензорами, становятся тензорами относительно
общекоординатных преобразований, метрика Минковского заменяется, где необходимо, на χµν , а частные производные заменяются на ковариантные, построенные по χµν . Таким образом, для
моделей без высших производных можем записать
p
L(ηµν , φ, ∂µ φ) → |χ|L(χµν , φ, ∇χµ φ).
(2.3.22)
Вследствие пуанкаре-инвариантности исходного действия построенная указанным выше способом лагранжева плотность является плотностью относительно общекоординатных преобразований.
Общековариантность функционала действия влечет
δS[φ, χ] χ
∇ ξ (x) = 0,
δχµν (x) (µ ν)
(2.3.23)
где ξµ – обращающееся на бесконечности в нуль векторное поле, генерирующее диффеоморфизм. Последнее слагаемое в левой
части равенства принимает вид
!
Z
p
−2 δS[φ, χ]
ν χ
dx |χ|ξ ∇µ p
.
|χ| δχµν (x)
Z
δξ S[φ, χ] =
dx
δS[φ, χ]
Lξ φ(x) +
δφ(x)
Z
dx
В итоге полагая χµν = ηµν , получаем
δS[φ, χ] ≈ 0.
2∂µ
δχµν (x) χ =η
µν
(2.3.24)
µν
Этот закон сохранения является следствием инвариантности исходного действия относительно глобальных преобразований Пуанкаре и потому должен быть эквивалентен закону сохранения,
задаваемому теоремой Нетер.
Определение 2.3. Тензор
T
µν
δS[φ, χ] := −2
δχµν (x) χ
,
µν =ηµν
называется метрическим тензором энергии-импульса.
77
(2.3.25)
Задание 2.8. Указать, что отвечает в калибровочном подходе отмеченному произволу (2.3.11) в определении симметричного тензора энергии-импульса.
Можно показать†, что определенный таким образом тензор
энергии-импульса совпадает с тензором энергии-импульса Розенфельда-Белинфанте, по крайней мере для моделей без высших
производных.
Тензор энергии-импульса в общем случае. Если лагранжиан модели содержит спинорные поля, то необходимо несколько
модифицировать рассмотренную выше процедуру получения симметричного тензора энергии-импульса† . Действие в этом случае
ковариантизуется при помощи тетрад, как, например, мы уже
делали при рассмотрении дираковских полей на искривленном
пространстве-времени. При таком способе ковариантизации все
поля и лоренцева метрика в исходном лагранжиане считаются
сечениями тетрадного расслоения (имеют спинорные, либо латинские индексы), а частные производные заменяются на ковариантные, построенные по спиновой связности без кручения (1.4.42):
µ
∂µ → ea ∇µ .
(2.3.26)
Можно взять эту связность согласованной с метрикой – на определении тензора энергии-импульса это не скажется, т.к. в конечµ
µ
ном выражении мы положим ea = δa . Последний штрих в процедуре ковариантизации состоит в том, что мы домножаем пуанкареинвариантный лагранжиан на плотность | det(eaµ ηab ebν )|1/2 . В результате получится общековариантное действие, инвариантное относительно локальных лоренцевых преобразований.
Воспользуемся этими двумя типами симметрии функционала
действия. Инвариантность относительно локальных лоренцовых
преобразований влечет
Z
δω S[η, φ, e] =
† См.
dx
δS[η, φ, e]
δω φ(x)+
δφ(x)
Z
δS[η, φ, e]
ωab (x)ebµ (x) = 0. (2.3.27)
+ dx
µ
δea (x)
[15], стр. 396.
78
Откуда на уравнениях движения
T ab (x) − T ba (x) ≈ 0,
(2.3.28)
где
δS[η, φ, e] bµ T (x) :=
.
(2.3.29)
e (x)
µ
δea (x)
e≡id
Поскольку поля и метрика Минковского являются сечениями тетрадного расслоения, то инвариантность действия относительно общекоординатных преобразований приводит к
ab
Z
δξ S[η, φ, e] =
dx
δS[η, φ, e]
[ξ, ea ]µ (x) = 0 ⇒ ∂a T ab (x) = 0. (2.3.30)
µ
δea (x)
µ
µ
После того, как мы положили ea = δa , разделение индексов на
тетрадные и пространственно-временные уже не важно. Если исходный лагранжиан не зависел от спинорных полей, то построенной с помощью тетрадного формализма тензор энергии-импульса
(2.3.29) совпадает с метрическим тензором энергии-импульса.
Тензор энергии-импульса материи на кривом фоне. Аналогичным указанным выше способам определяется тензор энергииимпульса материи на фоне искривленного пространства-времени.
А именно: для действия, не содержащего спинорных полей,
2 δSm [φ, gµν ]
T µν := − p
,
|g| δgµν (x)
(2.3.31)
называется тензором энергии-импульса материи. Отличие от определенного выше тензора энергии-импульса состоит лишь в том,
что мы после вариации не полагаем метрику равной ηµν . Если
функционал действия материи содержит спинорные поля, то тензор энергии-импульса определяется как
1 δSm [φ, e] ρµ ν
g ea .
T µν := p
ρ
|g| δea (x)
(2.3.32)
В частности, для скалярного и электромагнитного полей тензоры энергии-импульса выглядят следующим образом
1
µν
Tφ = gµρ gνρ ∂ρ φ∂ρ φ − gµν (∂ φ)2 − m2 φ2 ,
2
(2.3.33)
1
1
µν
µρ ν
µν
ρσ
Tem =
F Fρ + g Fρσ F
.
4π
4
79
Задание 2.9. Используя изложенный выше формализм, построить тензор энергии-импульса для скалярного, электромагнитного
и дираковского полей
Способом, аналогичным рассмотренному выше, можно доказать, что тензор энергии-импульса материи с функционалом действия, инвариантным относительно общекоординатных преобразований, ковариантно бездивергентен
∇µ T µν ≈ 0,
(2.3.34)
на уравнениях движения полей материи, как в случае метрического тензора, так и в случае тензора, построенного с помощью
варьирования по тетрадам.
Задание 2.10. Доказать, что тензор энергии-импульса материи с
функционалом действия, инвариантным относительно общекоординатных преобразований, ковариантно бездивергентен на уравнениях движения полей материи.
Задание 2.11. Доказать, что тензор энергии-импульса материи
конформно-инвариантных моделей
Sm [ω2 (x)gµν (x), φω (x)] = Sm [gµν (x), φ(x)]
бесследов на уравнениях движения полей материи
gµν (x)
δSm [gµν , φ]
≈ 0.
δgµν (x)
Проверить, что максвелловская электродинамика конформно-инвариантна. Убедиться в бесследовости тензоров энергии-импульса
для электромагнитных полей и безмассового скалярного поля, взаимодействующего конформным образом с гравитацией.
Приведем также другие типы используемых в ОТО тензоров
энергии-импульса. Тензор энергии-импульса идеальной (изотропной) релятивистской жидкости†
T µν := (ε + p)uµ uν − pgµν ,
u2 = 1,
(2.3.35)
где скалярные функции ε и p – плотность энергии и давление
соответственно (w := ε + p называют плотностью энтальпии); а
† См.
[12], стр. 182; [13], стр. 215; [15], стр. 145; [9], стр. 125; [10], стр. 690.
80
uµ – 4-скорость потока. Говорят, что материя обладает ультрарелятивистским уравнением состояния, если p = ε/3, т.е. тензор
энергии-импульса бесследов (все частицы можно считать безмассовыми). Если p = 0, то тензор энергии-импульса описывает релятивистскую пыль (набор невзаимодействующих релятивистских
частиц). Тензор энергии-импульса вида
T µν = εnµ nν ,
n2 = 0,
(2.3.36)
отвечает светоподобной пыли (излучению).
Векторы Киллинга и законы сохранения. Отметим, что ковариантный закон сохранения плотности энергии-импульса (2.3.34)
не влечет, вообще говоря, сохранения каких-либо величин, т.к.
интеграл вида (2.3.7) не является ковариантной величиной. Данное обстоятельство легко объясняется с физической точки зрения
– для того, чтобы построить сохраняющийся 4-импульс, необходимо помимо энергии-импульса материи также учесть энергиюимпульс гравитационного поля. Как это конкретно делается, мы
рассмотрим несколько позднее, когда выведем уравнения движения гравитационного поля. Сейчас лишь заметим, что из тензора
энергии-импульса материи можно построить сохраняющуюся величину, если метрика обладает вектором Киллинга
∇(µ ξµ) = 0 ⇒ ∇µ (T µν ξν ) = 0 ⇒
Z
dΣµ T µν ξν = интеграл движения.
(2.3.37)
С физической точки зрения наличие вектора Киллинга означает,
что гравитационное поле однородно вдоль некоторого направления, что влечет сохранение компоненты обобщенного импульса
материи “вдоль” этого направления.
81
3. Уравнения гравитационного поля
3.1. Уравнения Эйнштейна
Обратимся теперь к релятивистскому обобщению уравнений Ньютона, описывающих гравитационное поле† . В нерелятивистском
пределе в приближении слабых полей мы знаем, что g00 = 1 + 2ϕ,
и уравнения Ньютона (2.1.1) выглядят тогда как
∆g00 = 8πGρ.
(3.1.1)
Необходимо ковариантизовать это выражение. Замечая, что плотность массы входит в тензор энергии-импульса ρ = T00 , можем
записать
∆g00 = 8πGT00 .
Естественным минимальным ковариантным обобщением этого уравнения является
Gµν = 8πGTµν ,
(3.1.2)
где Gµν – некоторый симметричный тензор, зависящий от метрики
и ее производных не выше второй. Потребуем от этого тензора,
чтобы он был
• равен нулю в плоском пространстве;
• линеен по старшим (вторым) производным от метрики;
• ковариантно бездивергентным для любых конфигураций полей метрики ∇µ Gµν ≡ 0.
Требование бездивергентности тензора, стоящего в правой части
уравнений (3.1.2), это математическая запись требования независимости уравнений гравитационного поля от выбора наблюдателя
(общековариантности).
Задание 3.1. Доказать, что дивергенция уравнений движения полей метрики, следующих из функционала действия, инвариантного относительно замен переменных, тождественно равна нулю
!
1 δS[gµν ]
≡ 0.
∇µ p
|g| δgµν (x)
† Подробно
см., например, [13], стр. 34.
82
Если уравнения движения Gµν [g] = 0 не следуют из вариационного принципа, то, вообще говоря, можно говорить только о
выполнении равенства
∇yρ
δGµν (x)
≈ 0.
δgρσ (y)
(3.1.3)
Однако при выполнении этого равенства всегда можно так линейно скомбинировать исходные уравнения движения (при помощи
невырожденного матричного оператора), что для новых уравнения
движения (которые эквивалентны исходным) будет выполняться
тождество Бианки.
Тензор Gµν с указанными выше свойствами единственнен (с
точностью до постоянного множителя) – раньше мы также обозначали такой тензор через Gµν и называли тензором Эйнштейна. Следовательно, при указанных выше ограничениях уравнения
гравитации принимают вид
1
c1 (Rµν − gµν R) = 8πGTµν .
2
(3.1.4)
Отметим, что вид этих уравнений не зависит от размерности
пространства-времени.
Осталось проверить, что полученные уравнения воспроизводят
для постоянного гравитационного поля в нерелятивистском пределе уравнения Ньютона (3.1.1) и зафиксировать константу c1 . Для
этого перепишем уравнения Эйнштейна в эквивалентном виде
1
c1 Rµν = 8πG(Tµν − gµν T ).
2
(3.1.5)
В нерелятивистском пределе T 00 /T 0i 1 и T 00 /T i j 1. Кроме
того, для слабых полей |hµν | 1, где gµν = ηµν + hµν . Учитывая
также, что каждая производная по x0 содержит 1/c в ведущем
порядке для (00)-компоненты уравнения (3.1.5) имеем
c1 R00 ≈ 4πGρ,
1
R00 ≈ ∂i Γi00 ≈ ∆h00 = ∆ϕ,
2
(3.1.6)
откуда c1 = 1. Таким образом, уравнения Эйнштейна выглядят как
1
1
Rµν − gµν R = 8πGTµν ⇔ Rµν = 8πG(Tµν − gµν T ).
2
2
83
(3.1.7)
Космологическая постоянная. В уравнения Эйнштейна можно добавить так называемый космологический член, дающий наиболее простое объяснение ускоренному расширению Вселенной.
При этом из всех условий, которые были наложены на тензор
Gµν , очевидно, нарушится только первое. Уравнения Эйнштейна с
космологической постоянной записываются в виде
1
Rµν − gµν R − Λgµν = 8πGTµν ⇔
2
(3.1.8)
Λ
1
gµν ),
Rµν = 8πG(Tµν − gµν T −
2
8πG
где константа Λ ≈ +10−57 см−2 . Для сравнения возраст Вселенной t ≈ 2.7 · 1010 лет, откуда нижняя оценка для радиуса Вселенной R ≈ 2.6 · 1027 см. Космологический член можно интерпретировать как некоторый вклад, отвечающий энергии вакуума† . Однако несмотря на то, что плотность энергии берется положительной
Λ > 0, эффективно это слагаемое приводит к антигравитации (давление также весит).
Естественные единицы. Приведем для справки значения характерных масштабов, ограничивающих область применимости общей теории относительности в ее классической формулировке со
стороны квантовых гравитационных эффектов (так называемый
планковский масштаб):
1
h¯ c 2
≈ 2.18 · 10−5 г,
EPl = mPl c2 ≈ 1.22 · 1019 ГэВ,
mPl =
G
h¯
l
lPl =
≈ 1.62 · 10−33 см,
tPl = Pl ≈ 5.39 · 10−44 с.
mPl c
c
(3.1.9)
Для сравнения, достижимая энергия на БАК (Large Hadron Collider) порядка 1.4 · 104 ГэВ.
Функционал действия. Уравнения Эйнштейна могут быть получены варьированием функционала действия Гильберта-Эйнштейна
Z
p
1
dx |g|(R − 2Λ) + Sm [gµν , φ].
(3.1.10)
S[gµν , φ] = −
16πG
† Подробно см., например, Я.Б. Зельдович, Космологическая постоянная и теория элементарных частиц, УФН 95, 209 (1968).
84
Это действие содержит вторые производные от метрики, которые
входят в лагранжиан линейно. Производя в действии интегрирование по частям и требуя исчезновения граничных членов, можно
привести лагранжиан к виду, содержащему только первые производные от полей. При этом вид действия уже не будет явно
общековариантным – при замене переменных лагранжиан будет
преобразовываться на полную дивергенцию†2
S˜G [gµν ] = −
1
16πG
Z
dx
p
h
i
ρ
ρ
|g| gµν (Γλµρ Γνλ − Γρλ Γλµν ) − 2Λ . (3.1.11)
Вариации действия Гильберта-Эйнштейна и действия (3.1.11) по
метрике совпадают (при условии равенства нулю вариации на бесконечности) и имеют вид
Z
p
1
1
dx |g| −Rµν + gµν (R − 2Λ) δgµν −
δS[gµν , φ] = −
16πG
2
Z
p
1
−
dx |g|T µν δgµν .
2
(3.1.12)
Задание 3.2. Получить функционал действия гравитационного поля без высших производных (3.1.11) и найти его вариацию (3.1.12).
Задание 3.3. Получить уравнения Эйнштейна в формализме Палатини, исходя из функционала действия
ρ
S[gµν , Γµν ] = −
1
16πG
Z
dx
p
|g|gµν Rµν (Γ).
Убедиться, что формализм Палатини автоматически приводит к
связности согласованной с метрикой.
Калибровки. Ясно, что уравнения Эйнштейна не определяют
однозначно вид метрического тензора: 10 уравнений минус 4 тождества Бианки. Поэтому, как и в любой калибровочной модели,
к уравнениям гравитационного поля необходимо добавить калибровки. В нашем случае их должно быть четыре, что с физической
точки зрения однозначно фиксирует систему координат (наблюдателя). В качестве таких дополнительных условий можно, напри†2 См.
[9], стр. 362.
85
мер, выбрать гармоническую калибровку (калибровка ЛоренцаЭйнштейна-Гильберта-де Дондера-Фока)
p
1
ρ
∇2 xµ = 0 ⇔ gµν Γµν = − p ∂µ ( |g|gµρ ) = 0.
(3.1.13)
|g|
Это условие не является общековариантным, что как раз и требуется от калибровки. Поскольку калибровка дифференциальная, в
выборе координат {xµ } еще остается “небольшой” произвол.
Чтобы проверить правильность знака функционала действия
(3.1.11), выберем калибровку
g0i = 0,
det gi j = const ⇒ g0i = 0.
(3.1.14)
Учитывая соотношения (3.1.13) и
µ
Γρµ = ∂ρ ln
p
|g|,
(3.1.15)
выделим в лагранжиане вклады, содержащие производные метрики по времени:
1 p
1
(3.1.16)
Lgr = −
|g| − g00 gi j gkl ∂0 gik ∂0 g jl + . . . .
16πG
4
Как мы видим, кинетический член лагранжиана имеет правильный знак, поскольку выражение, выписанное в скобках, неположительно.
3.2. Линеаризованная гравитация
Рассмотрим как эволюционируют малые возмущения гравитационного поля согласно уравнениям Эйнштейна. Для простоты ограничимся случаем плоской фоновой метрики†
gµν = ηµν + hµν ,
|hµν | 1.
(3.2.1)
Индексы во всех выражениях этого раздела будем поднимать и
опускать при помощи фоновой метрики. Определитель метрики и
обратная к ней перепишутся как
1
1 µ
g ≈ −(1 + h + h2 − hν hνµ ),
2
2
µ
gµν ≈ ηµν − hµν + hρ hρν ,
(3.2.2)
† Аналогичные выражения для произвольной фоновой метрики можно найти,
например, в [9], стр. 460.
86
µ
где h := hµ . Под действием общекоординатных преобразований,
генерируемых инфинитезимальным векторным полем ξµ , метрика
преобразуется как
δξ gµν = ∇(µ ξν) .
(3.2.3)
Подставляя сюда приведенные выше разложения для метрики и
полагая δξ ηµν = 0, будем иметь
δξ hµν = ∂(µ ξν) + . . . ,
(3.2.4)
где точками обозначены слагаемые более высокого порядка по hµν .
Если в общековариантном выражении (скаляре) оставить только
ведущий порядок по hµν , то оно останется инвариантным относительно калибровочных преобразований (3.2.4) без высших вкладов по hµν .
Тензор кривизны в линейном порядке по hµν имеет вид
1
Rµνρσ = (∂ρ[ν hµ]σ + ∂σ[µ hν]ρ ).
2
(3.2.5)
Легко видеть, что он инвариантен относительно линеаризованных
калибровочных преобразований (3.2.4), т.к. δξ понижает степень
h на единицу и, следовательно, вариация кривизны должна быть
пропорциональна ∂ 3 ξ, что в силу свойств симметрии тензора Римана равно нулю. Такое свойство тензора кривизны во многом
напоминает свойство тензора напряженности в электродинамике.
Любой другой тензор, полученный из линеаризованного тензора
кривизны при помощи сверток и тензорных умножений (в частности линеаризованный тензор Эйнштейна), также будет калибровочно инвариантным.
Калибровка Лоренца (3.1.13) в линеаризованной теории принимает вид
1
(3.2.6)
∂ ρ hρµ − ∂µ h = 0.
2
С учетом этого условия для линейного по hµν порядка тензора
Эйнштейна получаем
1
1
(1)
Gµν =: ∂ ρλ Hµρνλ = ∂ ρλ (ηλ[µ hρ]ν − ην[µ hρ]λ − ηλ[µ ηρ]ν h) =
2
2
1
1
= − (2hµν − ηµν 2h). (3.2.7)
2
2
87
(1)
Как и следовало ожидать, для Gµν выполняется линеаризованное
тождество Бианки. Введенный псевдотензор Hµρνλ обладает теми
же симметриями, что и тензор кривизны Римана
Hµρνλ = −Hρµνλ ,
Hµρνλ = −Hµρλν ,
Hµρνλ = Hνλµρ ,
Hµ[ρνλ] = 0.
(3.2.8)
В результате уравнения Эйнштейна для малых гравитационных
возмущений запишутся как
1
1
2hµν − ηµν 2h = −16πGTµν ⇔ 2hµν = −16πG(Tµν − ηµν T ).
2
2
(3.2.9)
В частности, в отсутствие материи получаем для малых возмущений метрики релятивистское уравнение, описывающее безмассовую частицу спина 2 (гравитон). Отметим, что линеаризованная
теория, описываемая уравнениями (3.2.9), не является самосогласованной в том смысле, что тождество Бианки автоматически влечет сохранение тензора энергии-импульса материи в правой части.
Если в качестве такого тензора взять тензор энергии-импульса частицы, имеющего в натуральной параметризации вид,
T µν (x) = m
Z
dτδ4 (x − x(τ))x˙µ (τ)x˙ν (τ),
(3.2.10)
то закон сохранения будет выполняться только в случае прямолинейного движения частицы. Исходные нелинейные уравнения
Эйнштейна уже не обладают таким недостатком, а указанное выше свойство просто говорит о том, что необходимо учитывать высшие порядки по степеням hµν . С физической точки зрения отличие
от нуля дивергенции тензора энергии-импульса материи связано с изменением 4-импульса гравитационного поля. Подчеркнем,
что при пертурбативном решении уравнений Эйнштейна необходимо разлагать в ряд по G также и величины, входящие в тензор энергии-импульса. В низшем порядке по G тензор энергииимпульса должен быть бездивергентным относительно обычной
производной, так же, как и в линеаризованной теории.
Задание 3.4. Доказать, что дивергенция тензора энергии-импульса точечной частицы (3.2.10) равна нулю тогда и только тогда,
когда частица движется без ускорения.
88
Используя выражение для запаздывающей функции Грина оператора д’Аламбера
G(x − y) =
1
θ(x0 − y0 )δ((x − y)2 ),
2π
(3.2.11)
получаем общее решение уравнений (3.2.9)
Z
1
4
0
0
2
˜
hµν = hµν − 8G d yθ(x − y )δ((x − y) ) Tµν (y) − ηµν T (y) ,
2
(3.2.12)
где h˜ µν – общее решение волнового уравнения, описывающее гравитационные волны. В случае статического распределения материи


ε 0 0 0
 0 p 0 0 

ε˙ = p˙ = 0,
(3.2.13)
Tµν = 
 0 0 p 0 ,
0 0 0 p
поле возмущения метрики будет стационарным. Требование бездивергентности тензора энергии-импульса говорит о том, что ∂i p
должно быть более высокого порядка по G, т.е. для локализованного в пространстве объекта давление будет давать вклад в более
высокие порядки теории возмущений. Тогда решение (3.2.12) приводится к
h00 (x) = −2G
Z
dy
rg
ε(y)
≈− ,
|x − y|
r
hi j (x) = h00 δi j ,
h0i = 0,
(3.2.14)
где rg := 2GM/c2 – радиус Шварцшильда. Таким образом, в стационарном случае в линейном порядке по G для метрики имеем
ds2 = (1 + 2ϕ)(dx0 )2 − (1 − 2ϕ)dx2 ,
(3.2.15)
где ϕ – ньютоновский потенциал.
3.3. Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля
Исходя из уравнений Эйнштейна получим теперь выражение для
псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля. Заранее
89
укажем, что такая величина, удовлетворяющая условиям, налагаемым на тензор энергии-импульса, не может быть тензором
относительно общекоординатных преобразований. Действительно,
тензор энергии-импульса является функцией состояния и, следовательно, зависит от полей их первых производных. Кроме того,
тензор энергии-импульса гравитационного поля должен обращаться в нуль для лоренцевой метрики. Как мы знаем, в римановой
системе координат метрика в фиксированной точке является лоренцевой, а ее первая производная равна нулю. Поэтому и сам
тензор энергии-импульса должен обращаться в начале римановой
системы координат в нуль. Если бы тензор энергии-импульса был
тензором относительно общекоординатных преобразований, то это
означало бы равенство нулю такого тензора в любой системе координат в любой точке пространства-времени. О таком свойстве
гравитационных полей иногда говорят как о свойстве нелокализуемости энергии гравитационного поля, которое, конечно, есть
следствие принципа эквивалентности.
Тензор энергии-импульса строился исходя из предположения
инвариантности модели относительно трансляций на многообразии вдоль произвольных постоянных векторных полей. Симметричность тензора энергии-импульса была следствием инвариантности модели относительно поворотов. Как мы знаем, по заданным d(d + 1)/2 независимым векторным полям можно построить
метрику постоянной кривизны, поэтому можно сказать, что тензор энергии-импульса системы (гравитация)+(материя) определен
только по отношению к некоторой фоновой метрике постоянной
кривизны. Можно придерживаться и другой точки зрения, считая,
что гравитационное поле, описываемое метрикой постоянной кривизны, также обладает энергией-импульсом, т.е. рассматривать такую метрику на фоне некоторой плоской метрики. Иначе говоря,
в таком подходе требуется, чтобы тензор энергии-импульса определялся в той системе координат, в которой векторы трансляций
постоянны, что фиксирует систему координат с точностью до аффинных преобразований. Далее мы ограничимся случаем плоской
фоновой метрики! .
В литературе существует множество различные выражений
для псевдотензоров энергии-импульса гравитационного поля, да! N.B.
Как обобщить на пространство постоянной кривизны?
90
ющих одинаковое значение для полного 4-импульса и матрицы
моментов. Здесь мы рассмотрим два возможных варианта† .
Простейший псевдотензор энергии-импульса. Уравнения Эйнштейна (без космологической постоянной) имеют вид
Gµν = 8πGT µν .
(3.3.1)
Вводя формальное разбиение метрики gµν = ηµν + hµν , можем переписать эти уравнения в виде уравнений на hµν 7
(1)
Gµν = 8πG(Tµν + tµν ),
tµν :=
1
(1)
(Gµν − Gµν ).
8πG
(3.3.2)
Появившиеся в правой части слагаемые tµν , зависящие от hµν ,
можно интерпретировать как вклад в тензор энергии-импульса
со стороны гравитационного поля (самодействие гравитационного
поля). В силу линеаризованного тождества Бианки дивергенция
от правой части уравнения (3.3.2) обращается в нуль, вследствие
чего можно рассматривать
τµν := Tµν + tµν ,
(3.3.3)
как псевдотензор энергии-импульса системы (материя)+(гравитация). Такой псевдотензор энергии-импульса обладает большинством свойств, которые мы требовали от тензора энергии-импульса† . Основной его недостаток состоит в том, что он не является функцией состояния, поскольку вовлекает вторые производные
от метрики. Однако для вычисления интегралов движения – 4импульса и тензора моментов импульса – этот его недостаток не
существенен: результат будет таким же, как и для псевдотензора
Ландау-Лившица, который является функцией состояния (псевдотензор Ландау-Лившица мы получим ниже).
Энергию-импульс всей системы можно найти зная только лишь
гравитационное поле в удаленной от источника гравитации асимптотически плоской области пространства-времени:
† См.
[9], стр. 377; [15], стр. 182; [13], стр. 101.
же, как и при рассмотрении линеаризованного гравитации, индексы поднимаем и опускаем с помощью метрики Минковского.
† Подробно см. [15], стр. 183.
7 Так
91
Z
Pµ =
1
8πG
dΣν τµν =
Ω
Z
(1)
dΣν Gµν =
Ω
1
=
16πG
Z
ν ρλ
dΣ ∂
Hµρνλ =
1
16πG
Ω
Z
dΣνλ ∂ ρ Hµρνλ , (3.3.4)
∂Ω
где dΣµν – элемент двумерной поверхности, ограничивающей область Ω, которая содержит гравитирующий объект; Hµνρλ =
= H[µν][ρλ] = Hρλµν определен выражением в скобках в формуле
(3.2.7). Как мы знаем, этот псевдотензор обладает такими же симметриями, что и тензор Римана. В том числе, он удовлетворяет
тождеству Бианки Hµ[νρλ] = 0, но не является калибровочным инвариантом. Если гиперповерхность Ω асимптотически переходит в
x0 = const, то
Pµ =
1
16πG
Z
dΣ0i ∂ ρ Hµρ0i =:
1
16πG
∂Ω
Z
dσi ∂ ρ Hµρ0i ,
(3.3.5)
∂Ω
где dσi – элемент двумерной поверхности ∂ Ω в трехмерном пространстве. Аналогично для моментов
J µν =
Z
dΣρ x[µ τν]ρ =
Ω
=
1
16πG
Z
h
i
dΣρ ∂λ (x[µ ∂σ H ν]σρλ ) − ∂σ H νσρµ + ∂σ H µσρν =
Ω
1
=
16πG
Z
dΣρ ∂λ (x[µ ∂σ H ν]σρλ + H ρλµν ) =
(3.3.6)
Ω
=
1
16πG
Z
dΣρλ (x[µ ∂σ H ν]σρλ + H ρλµν ) =
∂Ω
1
=
16πG
Z
dσi (x[µ ∂σ H ν]σ0i + H 0iµν ),
∂Ω
где мы воспользовались симметриями тензора H µνρσ .
Псевдотензор Ландау-Лившица. По определению, псевдотензор Ландау-Лившица – это псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля не вовлекающий высших производных метрического поля, т.е. являющийся функцией состояния. Как будет
92
видно из его построения, такой псевдотензор единственнен при
некоторых разумных предположениях.
Наша задача состоит в том, чтобы переписать уравнения Эйнштейна (3.3.1), добавляя к обоим частям равенства некоторые выражения и умножая уравнения на невырожденную матрицу, зависящую от метрики и ее первых производных, так, чтобы в правой
части выделить псевдотензор гравитационного поля:
µν
µν
Aρσ (g, ∂ g)[Gρσ + t ρσ (g, ∂ g)] = 8πGAρσ (g, ∂ g)(T ρσ + t ρσ (g, ∂ g)).
(3.3.7)
При этом тождества Бианки должны приводить к обобщенному
(т.е. при наличии кривой метрики) закону сохранению тензора
энергии-импульса, стоящего в правой части. В отсутствие гравитации закон сохранения должен совпадать со стандартным условием бездивергентности тензора энергии-импульса. Если матрица
A не содержит размерных постоянных, кроме, быть может, общего
множителя, то это требование удовлетворяется, только если
µν
µ
Aρσ (g, ∂ g) = f (g)δρ δνσ ,
(3.3.8)
где f (g) – функция от детерминанта метрики. Теперь† мы найдем
явный вид f (g) и t µν , а потом покажем, что такой выбор единственнен.
С этой целью выделим в тензоре Эйнштейна старшие производные от метрики, переходя в риманову систему координат. В
таких координатах
1h
Rµν = − ∂σ (gνσ ∂λ gµλ ) + ∂σ (gµσ ∂λ gνλ ) − ∂ρ (gρλ ∂λ gµν )−
2
i
(3.3.9)
− ∂ρ (gµσ gνρ ∂σ ln |g|) ,
R = − ∂ρ (gρλ ∂λ ln |g|) − ∂ρλ gρλ .
При выводе этих выражений полезно помнить, что римановой системе координат
∂ρ (gαβ ∂σ gµν ) = ∂σ (gαβ ∂ρ gµν ).
Комбинируя полученные выражения, получаем
† См.
[9], стр. 379
93
(3.3.10)
i
1 h
Gµν = ∂σ |g|−1 ∂λ (|g|gµ[ν gλ]σ ) =
2
1
1
1
∂λσ (|g|gµ[ν gλ]σ ) =:
∂λσ λµνλσ =:
∂λ hµνλ , (3.3.11)
=
2|g|
2|g|
2|g|
а уравнения Эйнштейна примут вид
1
|g|−1 ∂λ hµνλ = T µν ⇒ ∂λ hµνλ = 16πG|g|T µν .
16πG
(3.3.12)
Левая часть последнего равенства симметрична по индексам µ,
ν и бездивергентна. Таким образом, мы выделили в тензоре Эйнштейна все старшие производные метрики и в такой комбинации с
младшими производными, что тождество Бианки является условием бездивергентности получившегося выражения. В произвольной
системе координат мы должны записать
∂λ hµνλ = 16πG|g|(T µν + t µν ),
(3.3.13)
где t µν обозначает слагаемые, зависящие от метрики и ее производных первого порядка, которые обращаются в нуль в римановой
системе координат. Используя еще раз уравнения Эйнштейна, получаем выражение для псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля
1
1 −1
t µν =
|g| ∂λ hµνλ − Gµν .
(3.3.14)
8πG 2
По построению он симметричен и является функцией состояния.
Кроме того, в отличие от псевдотензора (3.3.2), он инвариантен
относительно произвольных линейных преобразований. Явное выражение для этого псевдотензора довольно громоздко, и мы здесь
его не приводим† .
Построенный псевдотензор энергии-импульса гравитационного
поля, являющийся функцией состояния, единственнен. Действительно, в нашем распоряжении остался произвол, связанный с
умножением уравнений Эйнштейна на функцию f (g) и прибавлением некоторого выражения, не зависящего от старших производных метрики, к обеим частям равенства:
∂λ hµνλ → f (g)∂λ hµνλ + d µν (g, ∂ g),
† См.
[9], стр. 380; [13], стр. 103.
94
(3.3.15)
причем после такого преобразования левая часть уравнения должна остаться бездивергентной
∂ν [ f (g)∂λ hµνλ + d µν (g, ∂ g)] ≡ 0,
(3.3.16)
чтобы обеспечить выполнение закона сохранения энергии-импульса.
Если τµν не вовлекает размерных постоянных, то из размерных
соображений можно указать общий вид возможного симметричного псевдотензора d µν . Беря в (3.3.16) производную и собирая
выражения при одинаковых производных поля метрики, получаем
общее решение (3.3.16)
d µν = 0.
f (g) = const,
(3.3.17)
Сохраняющиеся 4-импульс и момент импульса системы (гравитация)+(материя) определяются стандартным образом
Pµ =
Z
dΣν |g|(T µν +t µν ),
J µν =
Ω
Z
dΣρ |g|x[µ (T ν]ρ +t ν]ρ ). (3.3.18)
Ω
Также, как и для псевдотензора (3.3.2), эти интегралы сводятся к интегрированию по удаленной поверхности в пространстве,
охватывающей систему:
Pµ =
1
16πG
Z
dΣνλ hµνλ =
1
16πG
∂Ω
Z
∂Ω

J µν =
1 
16πG

Z
∂Ω
1
=
16πG
dσi hµ0i ,
Z
dΣρλ x[µ hν]ρλ +
Z
dΣρ ∂σ (λµρνσ − λνρµσ ) = (3.3.19)
Ω
dσi (x[µ hν]0i + λ[µ0ν]i ),
∂Ω
где мы предполагаем, что гиперповерхность Ω асимптотически переходит в x0 = const. Отметим, что полученные интегралы отличны
от нуля, поскольку подынтегральное выражение спадает как 1/r2 .
Задание 3.5. Найти псевдотензор гравитационного поля ЛандауЛившица в нерелятивистском пределе.
95
4. Сферически-симметричное гравитационное поле
4.1. Решение Шварцшильда
В предыдущем разделе мы получили уравнения Эйнштейна, как
релятивистское обобщение уравнений Ньютона, согласованное с
принципом эквивалентности. Таким образом, ньютоновская теория гравитации включается в общую теорию относительности как
ее нерелятивистский предел слабого поля, и все явления, описываемые ньютоновской теорией, также воспроизводятся в рамках
эйнштейновской гравитации в соответствующем пределе.
Теперь мы начнем исследование новых эффектов, предсказываемых общей теорией относительности. Прежде всего мы получим сферически-симметричное вакуумное решение уравнений
Эйнштейна, являющегося, в некотором смысле, аналогом ньютоновского потенциала. В то же время отметим, что вследствие
нелинейности уравнений общей теории относительности гравитационное поле, создаваемое произвольно распределенной материей, не может быть представлено в виде суперпозиции сферическисимметричных полей, создаваемых всеми бесконечно малыми элементами гравитирующей материи. В этом смысле сферическисимметричное решение уравнений Эйнштейна играет не столь
значимую роль в ОТО, как аналогичное решение в ньютоновской
теории гравитации. Однако для множества физически важных систем сферическая симметрия является хорошим приближением.
Точное решение вакуумных уравнений Эйнштейна, отвечающее
данной симметрии, дает возможность проверить общую теорию
относительности экспериментально и предсказывает существование новых физических объектов – черных дыр.
Общий вид метрики сферически-симметричного пространства
мы уже получали (1.6.22):
ds2 = gtt (t, R)dt 2 + 2gtR (t, R)dtdR + gRR (t, R)dR2 −
"
#
∂t r 2
∂t r
2
2
2
2
− r (t, R)(dθ + sin θdϕ ) = gtt − 2
gtR + gRR
dt 2 +
∂R r
∂R r
gtR
∂t r
gRR
+2
− gRR
dtdr +
dr2 − r2 dΩ2 , (4.1.1)
∂R r
∂R r
(∂R r)2
96
что можно записать как
ds2 = a2 dt 2 + 2ab dtdr − c2 dr2 − r2 dΩ2 =
= (adt + bdr)2 − (b2 + c2 )dr2 − r2 dΩ2 . (4.1.2)
Введем новые переменные и обозначения
eν/2 dt 0 = adt + bdr,
eλ = b2 + c2 .
(4.1.3)
Первое равенство является определением функции ν(t, r). Такая
функция существует, т.к. на ν из условия самосогласованности
возникает одно дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, которое согласно теореме Коши-Ковалевской
имеет решение. Существование функции ν(t, r) – это, фактически,
следствие теоремы об интегрирующем множителе для ОДУ первого порядка. Отметим, что количество переменных (две) существенно для наличия такой функции. В новых переменных метрика (4.1.2) принимает диагональный вид
ds2 = eν dt 02 − eλ dr2 − r2 dΩ2 .
(4.1.4)
Обратная метрика получается очевидным образом. В дальнейшем
штрих у переменной t 0 опускаем.
Используя метод геодезического лагранжиана (2.2.12), для отличных от нуля символов Кристоффеля получаем
ν˙
ν0
λ˙
Γttt = ,
Γttr = ,
Γtrr = eλ−ν ,
2
2
2
0
˙
ν
λ
λ0
r
Γttr = eν−λ ,
= ,
Γtr
Γrrr = ,
2
2
2
r
−λ
r
2
−λ
Γθθ = −re ,
Γϕϕ = −r sin θe ,
1
Γθrθ = ,
r
(4.1.5)
Γθϕϕ = − sin θ cos θ,
1
ϕ
Γrϕ = ,
r
ϕ
Γθϕ = ctg θ,
где точка и штрих у функций ν(t, r) и λ(t, r) означают дифференцирование по переменной t и r соответственно. Компоненты
тензора Риччи,
µ
µ
µ
µ
Rσν = ∂µ Γνσ − ∂ν Γµσ + Γµλ Γλνσ − Γνλ Γλµσ ,
97
(4.1.6)
имеют вид
˙ ν λ˙ 2 1
1 ¨ λ˙
ν0 λ0 ν02 2ν0
λ−
+
+ eν−λ ν00 −
+
+
,
2
2
2
2
2
2
r
˙ ν λ˙ 2 1 1
λ˙
ν0 λ0 ν02 2λ0
Rrr = eλ−ν λ¨ −
+
−
ν00 −
+
−
,
2
2
2
2
2
2
r
λ˙
Rtr = ,
r r
Rθθ = e−λ (λ0 − ν0 ) − 1 + 1,
2h
i
r
2
Rϕϕ = sin θ e−λ (λ0 − ν0 ) − 1 + 1 .
2
(4.1.7)
Rtt = −
Откуда получаем уравнения Эйнштейна для сферически-симметричной метрики
1 λ0
1
8πGTtt = −e−λ 2 −
+ 2,
r
r
r
0
1
ν
1
8πGTrr = −e−λ 2 +
+ 2,
r
r
r
˙λ
(4.1.8)
8πGTrt = e−ν ,
r
ν02 ν0 λ0 ν0 − λ0
1
ϕ
−
+
+
8πGTθθ = 8πGTϕ = − e−λ ν00 +
2
2
2
r
˙ ν λ˙ 2 1
λ˙
+ e−ν λ¨ −
+
.
2
2
2
Остальные компоненты тензора Эйнштейна, стоящие в правой части равенств, обращаются в нуль, и, следовательно, соответствующие компоненты тензора энергии-импульса также должны зануляться. Другим словами, тензор энергии-импульса должен описывать сферически-симметричное распределение материи. При этом,
однако, в материи могут существовать радиальные потоки энергии, обладающие сферической симметрией (например, радиальные
пульсации), поскольку Trt 6= 0.
Система уравнений (4.1.8) может быть проинтегрирована в
сферически-симметричной области вне материи, где Tµν = 0. В
98
этом случае имеем
e−λ (1 − rλ0 ) = 1,
e−λ (1 + rν0 ) = 1,
λ˙ = 0.
(4.1.9)
Оставшееся уравнение является следствием выписанных. Из этой
системы уравнений получаем
(4.1.10)
λ + ν = f (t),
где f (t) – произвольная функция. При замене переменных t →
t = t(t 0 ) функция ν(t, r) преобразуется как ν → ν + 2 ln(dt/dt 0 ). Поэтому, выбирая подходящим образом переменную t, мы можем
считать, что
λ + ν = 0.
(4.1.11)
Интегрируя (4.1.9), приходим к
k
e−λ = eν = 1 − ,
r
(4.1.12)
где k – константа интегрирования. Как мы знаем, в слабых полях, т.е. в данном случае на больших расстояниях от системы,
g00 = 1 + 2ϕ, где ϕ – ньютоновский потенциал гравитирующего
объекта. С учетом этого, для сферически-симметричного вакуумного решения уравнений Эйнштейна имеем
rg 2 rg −1 2
ds2 = 1 −
dt − 1 −
dr − r2 dΩ2 ,
r
r
2Gm
,
c2
(4.1.13)
где m – масса тела; а c – скорость света. Это выражение для
метрики было получено Шварцшильдом (K. Schwarzschild, 1916),
а величина rg называется радиусом Шварцшильда или гравитационным радиусом. К примеру, радиусы Шварцшильда
rg = 2.95 · 105 см,
rg♁ = 8.87 · 10−1 см,
rg :=
(4.1.14)
для Солнца и Земли соответственно. Также мы доказали так называемую
Теорема 4.1 (Биркгофф). Сферически-симметричное решение
уравнений Эйнштейна в вакууме является статическим и описывается метрикой Шварцшильда (4.1.13).
99
В частности, гравитационное поле сферически-симметричной
пульсирующей материи вне нее совпадает с гравитационным полем точечной массы, обладающей такой же полной энергией и
находящейся в начале координат.
Следствие 4.2. Внутри сферической полости центрально-симметричного распределения вещества гравитационное поле отсутствует.
Доказательство. Действительно, согласно изложенному выше метрика в сферической полости внутри центрально-симметричного
распределения вещества имеет вид (4.1.13). Константу интегрирования в данном случае необходимо положить равной нулю, чтобы
избежать сингулярности метрики в начале координат.
Отметим некоторые свойства полученной метрики.
Физический смысл координат. Метрика (4.1.13) записана в
системе координат, связанной с удаленным наблюдателем, т.к. на
больших расстояниях от гравитирующего тела переходит в плоскую метрику
rg
ds2 → ds20 − (dt 2 + dr2 ).
(4.1.15)
r→∞
r
Координата t имеет смысл времени удаленного наблюдателя. Однако неправильно представлять себе координату r, как величину, измеряющую расстояние от начала координат. Геометрический
смысл координаты r, при r > rg , состоит в том, что она измеряет
площадь сферы с центром в начале координат, т.е. площадь сферы
r = const равна 4πr2 , а длина большой окружности на этой сфере
– 2πr. Угловые координаты {θ, ϕ} имеют стандартный смысл.
Замедление времени. Вне гравитационного радиуса 0 < g00 ≤ 1,
поэтому собственное время материальной точки, покоящейся в
гравитационном поле, будет замедляться относительно времени
удаленного наблюдателя
r
rg
√
dτ = g00 dt = 1 − dt ≤ dt.
(4.1.16)
r
Скажем, на поверхности Солнца rg /r ≈ 4 · 10−6 , откуда для относительного замедления времени имеем 1 − dτ/dt ≈ 2 · 10−6 .
100
Особенности. Метрика Шварцшильда в нашей системе координат обладает особенностями при r = rg и r = 0. Особенности
метрики могут быть вызваны двумя причинами: выбором системы
координат, или же сингулярностью метрического поля как такового, не зависящей от выбора наблюдателя. В качестве примера сингулярностей, возникших в результате выбора системы координат,
можно привести евклидову метрику в цилиндрических координатах ds2 = dr2 + r2 dϕ2 , которая становится вырожденной в начале
координат и gϕϕ (0) = 0. Другим примером может служить метрика
одномерного пространства dx2 , свернутого в точку отображением
t = αx, α → 0. Достаточным условием наличия сингулярности гравитационного поля является обращение в бесконечность какогонибудь скаляра, построенного из метрики и ее производных. В
нашем случае сингулярность r = rg не является сингулярностью
тензора кривизны и его ковариантных производных, поэтому в
данных точках пространства-времени приливные силы конечны.
Считается, что эта сингулярность связана с выбором системы координат и может быть убрана заменой переменных (ниже мы явно
построим такую систему координат), а сингулярность при r = 0 является истинной сингулярностью гравитационного поля, где кривизна обращается в бесконечность.
Задание 4.1. Доказать, что для метрики Шварцшильда
Rµνρσ Rµνρσ =
12rg2
.
r6
Полный 4-импульс. Найдем 4-импульс гравитирующего объекта† . Согласно изложенному в предыдущем разделе
Pµ =
1
16πG
Z
dΣρλ hµρλ ,
hµνλ = ∂σ (|g|gµ[ν gλ]σ ).
(4.1.17)
∂Ω
Поверхность интегрирования удобно выбрать в виде t = const,
r = const. Кроме того, система координат должна быть выбрана
таким образом, чтобы метрика становилась лоренцевой на пространственной бесконечности. Проще всего это сделать, если перейти сначала в систему координат, в которой пространственная
† См. аналогичные вычисления с использованием псевдотензора энергииимпульса (3.3.3) в [15], стр. 197.
101
часть интервала конформно плоская. Вводя переменную ρ
rg 2
r = ρ 1+
,
4ρ
(4.1.18)
получаем
r
2
ds =
1 − 4ρg
!2
r
1 + 4ρg
rg 4
dt − 1 +
(dρ2 + ρ2 dΩ2 ) =
4ρ
r !2
1 − 4ρg
rg 4 2
2
dt
−
1
+
dx , (4.1.19)
=
r
4ρ
1 + 4ρg
2
где xi связаны с (ρ, θ, ϕ) стандартным для сферической системы координат образом. Далее латинские индексы отвечают этим
координатам xi . Отметим, что в таких координатах компоненты
метрики не обращаются в бесконечность при r = rg . Теперь
rg 8
rg 7 2rg
h = ∂ j (|g|g g ) = −∂i 1 +
∂i ρ,
= 1+
4ρ
4ρ
ρ2
tti
tt i j
h jti = 0,
(4.1.20)
а элемент нормали к поверхности
n2 = −σ2 = 1,
dΣρλ = n[ρ σλ] dσ,
nλ σλ = 0.
(4.1.21)
Здесь
r
n0 =
|1 − 4ρg |
r
1 + 4ρg
rg 2
σi = 1 +
∂i ρ,
4ρ
,
ni = 0,
σ0 = 0,
rg 4
dσ = ρ 1 +
sin θdθdϕ.
4ρ
(4.1.22)
2
Как и следовало ожидать, полный 3-импульс системы в такой
системе координат обращается в нуль, в то время как
P0 = m,
(4.1.23)
т.е. масса, входящая в метрику Шварцшильда, соответствует полной энергии системы (гравитация)+(материя).
102
Задание 4.2. Проверить явным вычислением, что угловой момент
центрально-симметричной системы обращается в нуль.
Задание 4.3. Найти псевдотензор энергии-импульса Ландау-Лившица,
отвечающий сферически-симметричной метрике. Исследовать полученное выражение в окрестности сингулярностей метрики и на
бесконечности.
Существует также другое определение полной энергии стационарной гравитирующей системы. Пусть ξµ векторное поле Киллинга, задающее стационарность системы. Тогда, как мы знаем,
δdξµ = (−1)d sgn g(∇2 ξµ − ∇ν ∇µ ξν ) =
= 2(−1)d sgn g∇2 ξµ = 2(−1)d+1 sgn gRµν ξν . (4.1.24)
Поэтому форма
α := ∗dξ,
(4.1.25)
является замкнутой на вакуумных решениях уравнений Эйнштейна. Определим так называемую энергию Комара-Бонди (KomarBondi) следующим образом
MKB :=
1
8π
Z
α=
∂Σ
1
8π
Z
dΣµν ∇[µ ξν] =
∂Σ
1
8π
Z
dα,
(4.1.26)
Σ
где двумерная поверхность ∂ Σ охватывает гравитирующую систему. Такое определение энергии системы является аналогом определения полного заряда в максвелловской электродинамике. Общий множитель должен быть зафиксирован соответствующим условием нормировки. В данном случае он выбран так, чтобы для решения Шварцшильда энергия Комара-Бонди равнялась параметру
m, характеризующему метрику Шварцшильда. Если поверхность
∂ Σ провести в области, где отсутствуют источники гравитации
(материя), то MKB остается инвариантным относительно деформаций этой поверхности. Энергию Комара-Бонди можно переписать
в виде
1
1
∗δdξ =
dΣµ δdξµ =
MKB =
8π Σ
8π Σ
Z
Z
1
1
=
dV Rµν nµ ξν = 2 dV Tµν − T gµν nµ ξν , (4.1.27)
4π Σ
2
Σ
Z
Z
где nµ нормированный вектор нормали к пространственноподобной
гиперповерхности Σ.
103
4.2. Геодезические в сферически-симметричном поле
Рассмотрим движение пробных частиц в центрально-симметричной
гравитационном поле с метрикой (4.1.13). При этом удобно использовать гамильтонов формализм (2.2.10), в котором, как мы
знаем, импульс
pµ = −mgµν x˙ν ,
(4.2.1)
для массивной частицы в натуральной параметризации. Для безмассовой частицы можно так параметризовать мировую линию,
что
pµ = −gµν x˙ν .
(4.2.2)
Это соответствует выбору в (2.2.10) лагранжевого множителя λ =
1.
Метрика Шварцшильда обладает четырьмя векторами Киллинга, генерирующими трансляции во времени и пространственные повороты. Наличие такого количества симметрий позволяет
полностью проинтегрировать уравнения движения частицы. В силу симметрии задачи без ограничения общности можно считать,
что пробная частица движется в плоскости
θ=
π
.
2
(4.2.3)
Тогда векторы Киллинга, оставляющие инвариантными эту гиперповерхность, будут
µ
µ
µ
ξ(1) = δt ,
µ
ξ(2) = δϕ .
(4.2.4)
Им отвечают сохраняющиеся величины (в безмассовом случае)
rg µ
µ
˙
t˙,
L = ξ(2) pµ = r2 ϕ,
(4.2.5)
E = −ξ(1) pµ = g00 x˙0 = 1 −
r
т.е. энергия частицы и ее угловой момент. В массивном случае
величины в правой части равенств также являются интегралами
движения, однако это уже будут энергия и угловой момент частицы на единицу массы. С учетом интегралов движения уравнения
движения редуцируются к
rg 2 rg −1 2
˙ 2,
= gµν x˙µ x˙ν = 1 −
t˙ − 1 −
r˙ − r2 ϕ
(4.2.6)
r
r
104
U(r)
L=2
1/2
L=3
L=0
L=2
1/2
L=3
r
Рис. 1: Эффективный потенциал U(r) для различных значений углового момента.
Координата r измеряется в единицах rg . Кривые, асимптотически спадающие до
нуля, отвечают безмассовым частицам, а стремящиеся к 1/2 – массивным.
где = {1, 0} для массивной и безмассовой частиц соответственно. Условие массовой оболочки (4.2.6) можно переписать в виде
уравнения движения нерелятивистской частицы в эффективном
одномерном потенциале
rg L2
E2
r˙2 1 +
1−
+ 2 =
.
(4.2.7)
2 2
r
r
2
Эффективный потенциал,
rg L2 rg L2
1
U(r) =
− + 2 − 3 ,
2
r
r
r
(4.2.8)
имеет такой же вид, как и в ньютоновской теории, за исключением последнего слагаемого.
В зависимости от значений энергии E и углового момента L, а
также начального расстояния r частица будет либо совершать финитное движение от одной точки поворота до другой, либо упадет
105
на гравитирующий объект, либо уйдет на бесконечность (см. рис.
1). Потенциал имеет экстремумы в точках

!1/2 
2
2
3rg
3rg
L 
,
,
(4.2.9)
rc =
1± 1− 2
rc =
rg
L
2
для массивных и безмассовых частиц соответственно. Причем
знак “−” отвечает точке неустойчивого равновесия, а знак “+” –
устойчивого. Для безмассовых частиц критическая точка является точкой максимума эффективного потенциала. Для массивных
частиц финитное движение возможно, только если
√
L ≥ 3rg ,
E < 1.
(4.2.10)
Экстремальные точки (4.2.9) отвечают круговым орбитам длины
2πrc , поэтому ближайшая к центру стабильная круговая орбита
массивной частицы имеет “радиус”
rc = 3rg .
(4.2.11)
При L → ∞ функция rc (L), соответствующая максимуму потенциала, стремится к своему минимальному значению
rcmin =
3rg
.
2
(4.2.12)
Физически, rcmin – это минимальное “расстояние”, на которое может приблизиться к гравитирующему телу свободно падающая
частица и при этом не упасть на него. Несложно найти сечение
захвата гравитирующим объектом. В ультрарелятивистском пределе, определяя прицельное расстояние как
ρ := L/p = L/E,
(4.2.13)
и приравнивая значение эффективного потенциала (4.2.8) в точке
rmin = 3rg /2 к E 2 /2, получаем
27 2
(4.2.14)
r .
4 g
Откуда сечение захвата гравитирующего тела (в ультрарелятивистском пределе)
27
σ = πrg2 ,
(4.2.15)
4
при условии, конечно, что размеры тела меньше rcmin .
ρ2 =
106
4.2.1. Смещение перигелия
Исследует теперь вид орбит, по которым двигаются планеты в
пределах солнечной системы. В этом случае общая теория относительности дает лишь малые поправки к ньютоновской гравитации,
поскольку
rg /r 1.
(4.2.16)
Для функции r(ϕ) получаем
rg L2 02 L2
r + 1−
+ 2 = E 2,
r4
r
r
(4.2.17)
где штрих означает производную по ϕ и мы воспользовались законом сохранения углового момента. Ввиду того, что в ньютоновской механике частицы двигаются в центрально-симметричном
поле по кривым второго порядка, уравнение которых в полярной
системе координат имеет вид
r=
p
,
1 + e cos ϕ
p=
b2
= a|1 − e2 |,
a
(4.2.18)
где p – фокальный параметр, a и b – большая и малая полуоси, а
e – эксцетриситет, введем переменную
x :=
rg
,
ξr
ξ :=
rg2
.
2L2
(4.2.19)
Тогда уравнение (4.2.17) запишется как
x02
x2
x3
− x + − ξ = ξ−1 (E 2 − ) =: ε.
2
2
2
(4.2.20)
Далее считаем, что = 1. Финитное движения возможно, только
если выполнено неравенство (4.2.10), т.е. ξ ≤ 1/6. Если же орбита
лежит на достаточном удалении от радиуса Шварцшильда, то из
(4.2.9) легко видеть, что ξ 1.
Будем искать решение уравнения движения (4.2.20) по теории
возмущений в виде ряда по малому параметру ξ:
x(ϕ) = x0 (ϕ) + ξx1 (ϕ) + O(ξ2 ),
107
ε = ε0 + ξε1 + O(ξ2 ). (4.2.21)
В низшем порядке теории возмущений
x002
x2
− x0 + 0 = ε0 .
2
2
(4.2.22)
Откуда, выбирая подходящим образом константу интегрирования,
приходим к закону Кеплера
p
x0 = 1 + e cos ϕ,
e := 1 + 2ε0 .
(4.2.23)
На первую поправку имеем линейное уравнение
1
− e sin ϕx10 + e cos ϕx1 = ε1 + (1 + e cos ϕ)3 ,
(4.2.24)
2
которое легко интегрируется, например, методом вариации постоянных. В результате
x1 =
3 e2
+
2 4
+ c sin ϕ +
1
(1 + 2ε1 + 3e2 ) cos ϕ−
2e
−
e2
3e
cos 2ϕ + ϕ sin ϕ, (4.2.25)
4
2
где c – произвольная постоянная. Первые четыре слагаемых являются 2π периодическими и не порождают систематическое смещение перигелия орбиты. Учет первых трех слагаемых приводит
к малым поправкам к эксцентриситету, фокальному параметру и
малому сдвигу на некоторую постоянную фазу угла ϕ в (4.2.23).
В явном виде, проводя “перенормировку”,
e˜2
3e˜
˜ sin ϕ
˜ − ξ cos 2ϕ
˜ + O(ξ2 ),
˜ + ξϕ
(4.2.26)
x = Z 1 + e˜ cos ϕ
2
4
где в последних двух слагаемых мы заменили исходные параметры на “перенормированные” в силу того, что допускаемая при
этом ошибка порядка ξ2 и выше. С той же степенью точности
3ξ
e˜2
˜ − ξ cos 2ϕ
˜ + O(ξ2 ).
x = Z 1 + e˜ cos 1 −
ϕ
(4.2.27)
2
4
Таким образом, для смещения перигелия за период получаем
δϕ = 3πξ + . . .
108
(4.2.28)
где многоточием обозначены вклады более высокого порядка по
ξ.
Найдем численное значение смещения перигелия Меркурия. В
силу того, что в ведущем порядке по ξ орбита планеты является
эллипсом, параметр ξ выражается через параметры орбиты как
r=
rg
rg
1
a|1 − e2 |
=
⇒ ξ=
.
ξ 1 + e cos ϕ 1 + e cos ϕ
a|1 − e2 |
(4.2.29)
Как мы видим, ξ действительно очень мало для планет солнечной
системы. В частности, для Меркурия
rg = 2.95 · 105 см,
a' = 5.79 · 1012 см,
e' = 0.2056. (4.2.30)
Откуда
ξ' ≈ 5.3 · 10−8 ,
δϕ' ≈ 5.0 · 10−7 ⇒ δϕ'век ≈ 4300 /век, (4.2.31)
где мы учли, что период обращения Меркурия составляет 88 дней.
Полученное значение согласуется с данными наблюдений за последние 200 лет. Для остальных планет значение сдвига перигелия значительно меньше.
4.2.2. Отклонение луча света гравитационным полем массивного объекта
Теперь нас будет интересовать движения безмассовой частицы в
поле тяжести массивного тела. Уравнение движения (4.2.20) перепишется в безмассовом случае в виде
x02 + x2 − x3 = 2ξ−3 E 2 = 2ε,
x = rg r−1 .
(4.2.32)
Будем решать это уравнение по теории возмущений, считая x(ϕ)
малой величиной. Тогда в ведущем порядке имеем уравнение гармонического осциллятора
x102 + x12 = 2ε2 .
(4.2.33)
Выбирая подходящим образом начало отсчета угла ϕ, приходим к
x1 = b−1 cos ϕ,
109
−1/2
b = ε2
.
(4.2.34)
Если вернуться в декартову систему координат, то мы получим
уравнение прямой, проходящей на расстоянии p := brg от гравитирующего объекта, т.е. p – это прицельный параметр. Безразмерная величина b−1 играет роль малого параметра в данной задаче.
Первая поправка находится из уравнения
− sin ϕx20 + cos ϕx2 −
1
cos3 ϕ = bε3 ,
2b2
(4.2.35)
интегрируя которое, получаем
x2 = c sin ϕ + bε3 cos ϕ +
1
(1 + sin2 ϕ).
2b2
(4.2.36)
Учет первых двух слагаемых приводит к перенормировке прицельного параметра и начала отсчета угла ϕ. В полученном выражении
мы можем заменить все параметры на перенормированные, поскольку сделанная при этом ошибка будет более высокого порядка
малости, чем удерживаемые члены. Тогда траектория безмассовой
частицы в центрально-симметричном гравитационном поле запишется как
1
1
˜+
˜ +...
x = cos ϕ
(1 + sin2 ϕ)
(4.2.37)
˜b
2b˜ 2
Данная величина обращается в нуль, при
˜ ≈ −b˜ −1 ,
cos ϕ
(4.2.38)
что определяет углы, отсчитываемые от оси абсцисс, под которыми частица прилетела из бесконечности и рассеялась. Таким
образом, отклонение луча света происходит на угол
˜ = π − 2 arccos(b˜ −1 ) ≈ 2b˜ −1 = 2rg p−1 .
δϕ
(4.2.39)
К примеру, если в качестве прицельного параметра p взять
радиус Солнца
R = 6.96 · 1010 см,
(4.2.40)
то
˜ ≈ 8.5 · 10−6 = 1.7500 ,
δϕ
(4.2.41)
что согласуется с данными эксперимента с точностью до 1%.
110
4.2.3. Гравитационное красное смещение спектральных линий
При рассмотрении общих свойств метрики Шварцшильда мы уже
отмечали наличие замедления собственного времени тела в гравитационном поле относительно времени удаленного наблюдателя. Этот эффект наблюдается экспериментально как красное смещение спектральных линий излучения, создаваемого веществом,
находящимся в сильном гравитационном поле.
Пусть световой сигнал был испущен покоящимся источником
из точки 1 и принят покоящимся приемником в точке 2. Длительность сигнала, измеренная по часам наблюдателя в точке 1,
равна
1/2
dτ1 = g00 (1)dt,
(4.2.42)
где dt – длительность этого же сигнала по часам удаленного наблюдателя. В силу стационарности метрики для удаленного наблюдателя передний и задний фронты сигнала доходят до точки
2 за одинаковое время. К примеру, если точки 1 и 2 отличаются
только координатой r, то для метрики Шварцшильда
s
Z2
grr (r)
t = dr −
.
(4.2.43)
g00 (r)
1
Длительность сигнала, пришедшего в точку 2,
−1/2
dt = g00 (2)dτ2 .
(4.2.44)
Поэтому для отношения испущенной и принятой частот получаем
1 − rg /r2 1/2
ν1
dτ2
g00 (2) 1/2
=
=
=
.
(4.2.45)
ν2
dτ1
g00 (1)
1 − rg /r1
Если точка 2 более удалена от начала координат, чем точка 1, то
будет наблюдаться красное смещение. В частности, при r2 → ∞ и
r1 rg , имеем
rg
ν1
≈ 1+
.
(4.2.46)
ν2
2r1
Это предсказание общей теории относительности проверено экспериментально. Теоретический расчет совпадает с результатами
экспериментов с точностью до 1%.
111
4.3. Сингулярность Шварцшильда
Исследуем теперь более подробно свойства метрики Шварцшильда
rg 2 rg −1 2
ds2 = 1 −
dt − 1 −
dr − r2 dΩ2 ,
(4.3.1)
r
r
в окрестности гравитационного радиуса и начала координат. В
этих точках, как мы знаем, метрика имеет особенности и потому
здесь следует ожидать необычных эффектов. Кроме того, в этих
областях гравитационное поле велико, и именно здесь становится
существенной нелинейность уравнений Эйнштейна.
Рассмотрим как проявляет себя сингулярность метрики при
r = rg с точки зрения удаленного наблюдателя. Причинную структура для частиц в поле метрики легко себе представить, если построить в каждой точке световой конус. В нашем случае световой
конус определяется уравнениями (для простоты мы рассматриваем только радиальное движение)
rg −1
dt
= ± 1−
.
dr
r
(4.3.2)
При r → rg + 0 световой конус схлопывается и для r = rg превращается в прямую r = rg . Отметим, что факт схлопывания светового конуса, при r = rg и конечном t, характеризует метрику
как таковую и не зависит от выбора системы координат, поскольку при этом меняется топология светового конуса. Световой луч,
приближающийся к гравитационному радиусу, никогда к нему не
доберется с точки зрения внешнего наблюдателя. В этой системе
координат его скорость будет асимптотически стремиться к нулю.
Аналогично, луч света, испущенный из точки, близкой к радиусу
Шварцшильда, будет идти к наблюдателю тем дольше, чем ближе
к rg была точка испускания. В пределе, когда точка испускания
стремится снаружи к гравитационному радиусу, луч света будет
идти до наблюдателя бесконечное время в этой системе координат. Кроме того, испущенные фотоны будут испытывать согласно
формуле (4.2.45) бесконечное красное смещение. В частности, за
счет этого эффекта вещество, падающее на поверхность сферы
Шварцшильда, за очень короткое время станет черным для удаленного наблюдателя. Поэтому объект, имеющий размеры мень-
112
шие своего гравитационного радиуса выглядит как черная дыра† .
С другой стороны, для наблюдателя, свободно падающего по
направлению к центру гравитирующего объекта, гравитационный
радиус не является выделенной точкой. По собственным часам он
пересечет сферу Шварцшильда за конечное время. Сфера Шварцшильда по своим свойствам напоминает горизонт и называется горизонтом черной дыры. Пространственноподобные геодезические
также не пересекают поверхность r = rg при конечном времени t.
Задание 4.4. Найти и построить радиальные геодезические метрики Шварцшильда (времени-, пространственно- и светоподобные).
Найти время падения наблюдателя до начала координат r = 0 по
собственным часам и убедиться, что оно конечно.
Под горизонтом координаты t и r меняются ролями – координата t становится пространственноподобной, а r – времениподобной. Согласно (4.3.2) в этой области световые конусы “ложатся
на бок”, т.е. наблюдатель, попавший под горизонт, никогда оттуда
не выберется. Даже если бы он двигался со скоростью света, он
неизбежно попадет в начало координат r = 0, где находится истинная сингулярность гравитационного поля. Пространственноподобные геодезические, направленные по радиусу к началу координат,
сингулярности не достигают.
Определение 4.1. Замкнутая поверхность, ограничивающая область пространства, которую не могут покинуть свето- и времениподобные геодезические, направленные в будущее, называется
горизонтом. Решение уравнений Эйнштейна, обладающее горизонтом, называется черной дырой.
Тензор кривизны. Покажем, что сингулярность метрики при
r = rg не является сингулярностью гравитационного поля† , т.е. существует система координат, в которой компоненты тензора, определяющие приливные силы, не имеют особенностей. Для этого
вычислим компоненты тензора кривизны в неголономном базисе
etˆ := eλ(r) dt,
† Подробно
† Подробно
ˆ
erˆ := e−λ(r) dr,
eθ := rdθ,
см. [14], стр. 78.
см. [14], стр. 16.
113
eϕˆ := r sin θdϕ,
(4.3.3)
где e2λ = 1 − rg /r. Спиновая связность задается формулой (1.4.50)
1
ωµνρ = −ωµρν = (tµνρ + tρµν − tνρµ ),
2
tµνρ := ∂[µ eaν] ηab ebρ . (4.3.4)
Используя явный вид тетрад, получаем
t = −e2λ λ0 dt ∧ dr ⊗ dt − rdr ∧ dθ ⊗ dθ−
− r sin2 θdr ∧ dϕ ⊗ dϕ − r2 sin θ cos θdθ ∧ dϕ ⊗ dϕ. (4.3.5)
Откуда
ω = −e2λ λ0 dt ⊗ erˆ ∧ etˆ − eλ sin θdϕ ⊗ eϕˆ ∧ erˆ −
ˆ
ˆ
− eλ dθ ⊗ eθ ∧ erˆ − cos θdϕ ⊗ eϕˆ ∧ eθ . (4.3.6)
Тензор кривизны находится из структурных уравнений Картана
(1.4.43)
R = dω + ω ∧ ω.
(4.3.7)
Опуская индексы и конвертируя индексы базы в тетрадные, приходим к
(e2λ )00 rˆ tˆ
e ∧ e ⊗ erˆ ∧ etˆ−
2
(e2λ )0 tˆ θˆ
ˆ
−
(e ∧ e ⊗ etˆ ∧ eθ + etˆ ∧ eϕˆ ⊗ etˆ ∧ eϕˆ −
2r
ˆ
ˆ
− erˆ ∧ eθ ⊗ erˆ ∧ eθ − erˆ ∧ eϕˆ ⊗ erˆ ∧ eϕˆ )+
R =−
+
(4.3.8)
e2λ − 1 θˆ
ˆ
e ∧ eϕˆ ⊗ eθ ∧ eϕˆ .
r2
Как мы видим, все компоненты тензора кривизны в базисе (4.3.3)
являются гладкими при r = rg . Более того, спиновая связность
(4.3.6) также конечна и гладка на сфере Шварцшильда, что влечет конечность всех калибровочных инвариантов, построенных из
тензора кривизны и его ковариантных производных при r = rg . Из
полученной формулы непосредственно следует, что r = 0 является
истинной сингулярностью гравитационного поля.
114
Коллапс. Черные дыры образуются в результате коллапса достаточно массивных звезд, за исключением так называемых первичных (primordial) черных дыр, которые должны были образоваться на ранних стадиях развития Вселенной. С точки зрения наблюдателя, находящегося на поверхности коллапсирующей звезды, уход вещества под горизонт и сжатие его в точку происходит
за конечное время. С точки зрения стороннего наблюдателя коллапс длится вечно† , однако за достаточно короткое время звезда
превращается в практически идеальную черную дыру†2 . Решение уравнений Эйнштейна экспоненциально (по часам удаленного
наблюдателя) стремится к решению Шварцшильда, если заряд и
угловой момент звезды были равны нулю. Если звезда обладала зарядом и угловым моментом, то метрическое поле стремится
к решению Керра-Ньюмена – черная дыра, обладающая электрическим зарядом и угловым моментом. Считается (хотя в общем
случае это утверждение не доказано), что любой гравитационный
коллапс заканчивается метрикой Керра-Ньюмена. Это так называемое утверждение о том, что черная дыра не имеет “волос”†3 , т.е.
черная дыра, находящаяся в состоянии равновесия, характеризуется только значениями аддитивных интегралов движения так же,
как равновесная термодинамическая система.
Задание 4.5. Найдите решение уравнений Эйнштейна, отвечающее коллапсу сферической оболочки из пылевидной материи. Для
простоты рассмотрите случай нулевой начальной скорости.
Черепашьи координаты. Теперь построим систему координат,
в которой сингулярность на горизонте исчезает† . Ясно, что мы
сможем избавиться от особенностей, только если совершим сингулярное (обращающееся в бесконечность или вырожденное) на
множестве меры нуль калибровочное преобразование.
Существование сингулярностей тензорного поля в классической дифференциальной геометрии, в которой все объекты должны быть гладкими, говорит о неадекватном выборе карты. В этом
случае карта может включать точки не из многообразия, либо по† См.,
например, [9], стр. 418; [14], стр. 47; [15], стр. 373.
подробно [14], стр. 78.
†3 См., например, [14], стр. 84.
† См. [11] раздел “The Schwarzschild solution and black holes”, стр. 20; [14], стр.
22; [21], стр. 21.
†2 См.
115
крывать одни и те же точки несколько раз, либо не различать
некоторое множество точек меры нуль. Если вообще не обращать
внимания на такого рода особенности, любое многообразие с произвольной топологией может быть покрыто одной “картой”. Наличие глобально хорошо определенного решения уравнений Эйнштейна накладывает ограничение на возможную топологию многообразия. Не на всяком многообразии может существовать хорошо определенное поле метрики лоренцевой сигнатуры с нулевым
тензором Риччи.
Сначала сделаем такую замену координат, чтобы шварцшильдовская метрика стала конформно плоской в секторе {t, r∗ }
rg 2
ds2 = 1 −
(dt − dr∗2 ) − r2 (r∗ )dΩ2 .
(4.3.9)
r
Сравнивая с метрикой Шварцшильда в исходных координатах, получаем с точностью до аддитивной постоянной
r
r∗ = r + rg ln − 1 .
(4.3.10)
rg
Координата r∗ называется черепашьей координатой. Отметим, что
указанная замена взаимооднозначна только в области r > rg , либо
r < rg , а горизонт, r = rg при конечном t, уходит на бесконечность.
Область отрицательных r∗ накрывается дважды. Прямая r∗ = 0
отвечает r = 0 и r ≈ 1.278rg . Световые конусы в черепашьих координатах нигде не схлопываются, однако метрика вырождена при
r = rg .
Координаты Эддингтона-Финкельштейна. Выберем в качестве
одной из независимых переменных изотропную для метрики (4.3.9)
координату
u = t + r∗ ,
(4.3.11)
так что u = const отвечает изотропной радиальной геодезической,
направленной к центру. Эта координата изотропна, поскольку ограничение метрики на радиальную кривую u = const обращается в
нуль. Другая изотропная координата может быть определена как
υ = t − r∗ .
116
(4.3.12)
Радиальные кривые υ = const являются изотропными геодезическими, направленными от центра черной дыры. Метрика в координатах {u, r} имеет вид
rg 2
ds2 = 1 −
du − 2dudr − r2 dΩ2 ,
(4.3.13)
r
а построенная система координат называется системой координат Эддингтона-Финкельштейна (Eddington-Finkelstein). В этой
системе координат поверхность r = rg не является особой для метрики – ее компоненты не обращаются в бесконечность и определитель не вырожден:
g = −r4 sin2 θ.
(4.3.14)
Детерминант метрики такой же, как и в исходных шварцшильдовских координатах. Каждая точка полуплоскости υ − u ≥ 0 имеет
два прообраза в координатах {t, r}.
Посмотрим, как выглядит казуальная структура многообразия
в построенной системе координат. Радиальные изотропные геодезические – образующие светового конуса – определяются уравнениями
rg −1
du
du = 0,
= 2 1−
.
(4.3.15)
dr
r
При r < rg , образующие светового конуса направлены к центру
сферической симметрии r = 0, что подтверждает сделанный нами
ранее вывод о том, что любая частица, попавшая под горизонт
черной дыры, с необходимостью упадет в начало координат за конечное собственное время. Физик-естествоиспытатель, решивший
на собственном опыте убедиться в этом, получит массу необычных ощущений† .
Координаты Крускала-Шекереса. В координатах ЭддингтонаФинкельштейна временные бесконечности t = +∞ и t = −∞ входят
несимметричным образом. Кроме того, в этих координатах метрика не конформно плоская в секторе {u, r}, что приводит к искажению формы светового конуса. Более удобной для анализа геометрии черной дыры в окрестности гравитационного радиуса является система координат Крускала-Шекереса (Kruskal-Szekeres),
которая избавлена от указанных выше “недостатков”.
† См.
подробно [14], стр. 63.
117
Чтобы построить такую систему координат, перейдем сначала
в координаты светового конуса {u, υ} для метрики Шварцшильда
в форме (4.3.9):
rg ds2 = 1 −
dudυ − r2 (u, υ)dΩ2 ,
(4.3.16)
r
где r(u, υ) – решение уравнения
r
1
(u − υ) = r + rg ln − 1 .
2
rg
(4.3.17)
Теперь сфера Шварцшильда находится на бесконечности u = −∞ и
υ = +∞. Чтобы переместить ее из бесконечности в область, находящуюся на конечном “расстоянии” от начала координат, сделаем
замену
υ0 = e−υ/2rg .
(4.3.18)
u0 = eu/2rg ,
Тогда интервал запишется как
rg rg3 −r/rg 0 0
ds2 = −4 sgn 1 −
e
du dυ − r2 dΩ2 ,
r r
а функция r(u0 , υ0 ) определяется из условия
r
u0 υ0 = − 1 er/rg .
rg
(4.3.19)
(4.3.20)
Ось времени t шварцшильдовской системы координат задается
ветвью гиперболы u0 υ0 = 1, лежащей в первой четверти. Часть первой четверти под гиперболой u0 υ0 = 1 покрывается дважды отображением {t, r} → {u0 , υ0 }. Полуось u0 , при u0 > 0, соответствует
точкам r = rg , t → +∞. Полуось υ0 , при υ0 > 0, отвечает точкам
r = rg , t → −∞. Множество точек r = rg , при конечном времени t,
отображается в начало координат u0 = υ0 = 0.
Из соображений удобства (или привычки) можно снова ввести
временную и пространственную координаты
1/2
u0 − υ0 r
t
T=
= − 1 er/2rg sh
,
2
rg
2rg
(4.3.21)
1/2
u0 + υ0 r
t
r/2rg
R=
= − 1 e
ch
.
2
rg
2rg
118
T
u’
r=rg
tT+4
r=0
r=const
R
t=const
r=const
r=0
r=rg
tT-4
v’
Рис. 2: Геометрия шварцшильдовской черной дыры в координатах КрускалаШекереса.
Эти координаты называются координатами Крускала-Шекереса (рис.
2).
Чтобы сделать замену переменных взаимооднозначной и избавиться от знаков модуля и sgn в формулах для метрики и новых
координат, отобразим область под горизонтом черной дыры r < rg
в область υ0 < 0, u0 > 0 координат Крускала, а все проделанные
выше замены будем считать определенными только при r ≥ rg (тогда знаки модуля и sgn во всех формулах можно опустить). Для
r < rg вводим
u = r∗ + t,
υ = r∗ − t,
(4.3.22)
и
u0 = eu/2rg ,
υ0 = −eυ/2rg .
(4.3.23)
Тогда для метрики в этой области получаем выражение (4.3.19)
без знака sgn, причем функция r(u0 , υ0 ) также задается уравнением (4.3.20). Так же, как и выше, полуось u0 , при u0 > 0, соответствует точкам r = rg , t → +∞. Точки полуоси υ0 , при υ0 < 0,
119
отвечают точкам r = rg , t → −∞ и должны быть отождествлена с точками полуоси υ0 > 0 с помощью зеркального отражения
в прямой υ0 = 0. Истинная сингулярность гравитационного поля
r = 0, ∀t, переходит в ветвь гиперболы u0 υ0 = −1, а вся область
пространства-времени r < rg отображается на ограниченную ею
часть плоскости u0 > 0, υ0 < 0. В построенных координатах шварцшильдовское пространство-время можно представлять себе в виде
конуса с вершиной в точке r = rg , t – конечно, и вырезанной с
краю сингулярностью r = 0.
Часто, для удобства изображения шварцшильдовской геометрии на плоскости, помимо построенных двух областей, отвечающих r ≥ rg и r < rg , добавляют их копии, получающиеся из них
отражением в начале координат. Координаты Крускала-Шекереса
позволяют легко проанализировать движение пробных частиц в
метрике Шварцшильда.
Задание 4.6. Получить формулы, связывающие шварцшильдовские координаты с координатами Крускала-Шекереса в областях
изменения переменных {u0 , υ0 }, являющихся копиями областей r ≥
rg и r < rg .
Конформная диаграмма. Глобальные свойства шварцшильдовской геометрии удобнее всего изучать, отобразив все пространство-время на конечную область изменения некоторых новых переменных. После такого преобразования анализ асимптотического
поведения полей на пространственной и временной бесконечностях становится более наглядным. При этом стараются так ввести
координаты, чтобы метрика была конформно плоская в секторе
{t, r}, что позволяет легко строить геодезические и изучать казуальную структуру пространства-времени. Совершив конформное
преобразование, можно убрать конформный фактор в метрике и
сделать ее плоской в секторе {t, r}. Углы между геодезическими
при таком преобразовании сохраняются.
Пространство-время Шварцшильда можно отобразить на конечную область, вводя переменные
u00 = arctg u0 ,
υ00 = arctg υ0 ,
(4.3.24)
в которых метрика (4.3.19) принимает вид
ds2 = −4
rg3 −r/rg
du00 dυ00
e
− r2 dΩ2 .
2
r
cos u00 cos2 υ00
120
(4.3.25)
I+
I
+
r=0
t=const
J
I
r=
rg
+
J
+
0
I0
J
—
J—
rg
r=
r=const
r=0
I
—
I
—
Рис. 3: Диаграмма Пенроуза-Картера для шварцшильдовской черной дыры.
Вид функции r(u00 , υ00 ) определяется уравнениями (4.3.20), (4.3.24).
Геометрию Шварцшильда можно представить в виде так называемой конформной диаграммы или диаграммы Пенроуза-Картера
(Penrose-Carter) (см. рис. 3).
121
5. Методический материал
5.1. Проверочные задания к модулю 1
Вариант №1
1. Дать определение расслоения и его сечений. Привести пример нетривиального расслоения и указать все элементы расслоения.
2. Дать определение суммы Уитни и тензорного произведения
расслоений. Привести примеры.
3. Найти векторы Киллинга для постоянной метрики в d-мерном
(псевдо)римановом пространстве. Сколько из них независимых?
Вариант №2
1. Дать определение риманового многообразия.
2. Дать определение тензорной алгебры. Привести примеры.
Дать определение тензорной плотности степени k и привести
примеры.
3. Доказать утверждение о том, что число векторов Киллинга
не может превышать d(d + 1)/2. Получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих векторы Киллинга.
Вариант №3
1. Дать определение касательного расслоения. Указать все элементы расслоения.
2. Дать определения супералгебры и супералгебры Ли. Привести примеры.
3. Доказать формулу для свертки двух символов Леви-Чивита.
Вариант №4
122
1. Дать определения pullback’а, pushforward’а, производной Ли
и векторов Киллинга. Вывести их основные свойства. Привести примеры.
2. Получить формулу для производной Ли тензора произвольного ранга
3. Доказать единственность производной Ли.
Вариант №5
1. Дать определение расслоения дифференциальных форм. Указать основные операции над дифференциальными формами
на (псевдо)римановом многообразии и доказать их свойства.
2. Интегрирование дифференциальных форм на ориентируемом
многообразии. Вывести формулу замены переменных в интеграле. Формула Стокса.
Вариант №6
1. Дать определение расслоения дифференциальных форм. Указать основные операции над дифференциальными формами
на (псевдо)римановом многообразии и их свойства.
2. Дать определение характеристических токов. Показать, что
характеристические токи реализуют дуальность Пуанкаре.
Дать физическую интерпретацию характеристическим токам.
3. Получить формулу для вектора нормали к поверхности, возникающего в формуле Стокса.
Вариант №7
1. Дать алгебраическое определение связности (ковариантной
производной). Тривиальная и плоская связности. Привести
примеры.
2. Найти закон преобразования символов связности из карты в
карту. Найти действие ковариантной производной на базисных сечениях.
123
3. Доказать существование связности на любом расслоении.
Вариант №8
1. Дать определение (линейной) связности, использующее понятие параллельного переноса. T -экспонента, вильсоновская
петля. Привести примеры.
2. Дать определение кривизны связности. Связность на касательном расслоении, тензор кручения. Доказать тождества
Бианки, Риччи, Якоби для связности в касательном расслоении.
Вариант №9
1. Дать определение связности, согласованной с метрикой. Найти выражения для символов Кристоффеля.
2. Доказать свойства метрического тензора кривизны, а также
тензоров Риччи, Эйнштейна и Вейля.
3. Доказать формулу дифференцирования определителя.
Вариант №10
1. Дать определение неголономного базиса. Доказать структурные уравнения Картана и тождества Бианки.
2. Найти выражения для спиновой связности Леви-Чивита через тетрады.
3. Получить уравнения Максвелла и Дирака на кривом фоне.
Вариант №11
1. Дать определение геодезической. Получить уравнения геодезической варьируя функционал действия релятивистской частицы. Написать лагражиан релятивистской частицы в форме Полякова. Объяснить метод геодезического лагранжиана.
2. Найти связность Леви-Чивита на двумерной сфере, вложенной в трехмерное евклидово пространство. Найти ее геодезические.
124
3. Дать понятие и получить выражение для девиации геодезических.
Вариант №12
1. Дать понятие и получить выражение для девиации геодезических.
2. Обобщить формулу для девиации геодезических на случай
связности с кручением. Попытаться дать интерпретацию получившемуся выражению и кручению.
3. Пусть наблюдатель движется вдоль некоторой геодезической
с касательным вектором V . Определить работу, совершаемую: а) электромагнитными силами по перемещению точечного заряда пробной массы вдоль бесконечно малого контура в окрестности этой геодезической; б) гравитационными
силами по перемещению точечной пробной массы вдоль бесконечно малого контура в окрестности геодезической, как
для связности без кручения, так и с кручением.
Вариант №13
1. Дать определения геодезической, римановой и нормальной
систем координат.
2. Найти замену переменных, переводящую произвольную систему координат в геодезическую. Доказать соотношения
для коэффициентов связности и метрического тензора в римановой системе координат.
3. Найти первые три нетривиальных члена ряда Тейлора метрического тензора в начале римановой системы координат.
Вариант №14
1. Дать определение однородного, изотропного и максимально
симметричного пространств. Как классифицируются максимально симметричные пространства?
2. Дать определение пространства постоянной кривизны. Доказать эквивалентность пространства постоянной кривизны
максимально симметричному пространству. Получить явное
выражение для метрики постоянной кривизны.
125
3. Сформулировать теорему расщепления. Привести примеры.
Вариант №15
1. Дать определение конформных преобразований и конформных отображений. Привести примеры конформных отображений. Когда конформные отображения образуют бесконечномерную группу?
2. Найти закон преобразования коэффициентов связности, тензоров Римана, Риччи и скалярной кривизны под действием
конформных преобразований. Найти вид конформно инвариантного уравнения безмассового скалярного поля.
3. Доказать, что вместе с дилатациями и отражениями, специальное конформное отображение исчерпывает все конформные отображения метрики Минковского (Евклида) в d > 2.
Нарисовать действие специального конформного преобразования в пространстве Минковского (Евклида).
5.2. Проверочные задания к модулям 2 и 3
Вариант №1
1. Сформулировать принципы эквивалентности, ковариантности и минимального взаимодействия. Пояснить на примерах.
2. Показать, что наивное обобщения теории Ньютона с помощью полей спина 0 и 1 не жизнеспособны.
3. Пользуясь указанными выше принципами, найти уравнение,
описывающее эволюцию векторов, связанных с пробными
частицами.
Вариант №2
1. Доказать, что с каждым тензором Киллинга связан закон сохранения для уравнений движения частицы. Привести пример. Доказать, что каждый вектор Киллинга влечет закон
сохранения для уравнений движения полей материи. Дать
физическую интерпретацию.
126
2. Сформулировать требования, накладываемые на тензор энергии-импульса. Привести примеры. Найти выражение для тензора энергии-импульса в рамках канонического подхода.
3. Получить тензор энергии-импульса Розенфельда-Белинфанте.
Вариант №3
1. Сформулировать требования, накладываемые на тензор энергии-импульса. Привести примеры. Найти выражение для тензора энергии-импульса в рамках калибровочного подхода.
2. Найти выражения для тензоров энергии-импульса скалярного, электромагнитного и дираковского полей. Указать действие для идеальной жидкости и построить ее тензор энергии-импульса.
3. Доказать, что тензор энергии импульса конформно инвариантных моделей бесследов на уравнениях движения. Привести пример.
Вариант №4
1. Сформулировать условия, однозначно фиксирующие вид уравнений ОТО. Вывести уравнения Эйнштейна при данных условиях.
2. Найти вариацию действия Гильберта-Эйнштейна с космологической постоянной. Найти функционал действия гравитационного поля без высших производных полей метрики. Доказать, что кинетическое слагаемое полей метрики входит с
правильным знаком в действие Гильберта-Эйнштейна.
3. Получить уравнения Эйнштейна в формализме Палатини.
Доказать, что формализм Палатини приводит к связности,
согласованной с метрикой.
Вариант №5
1. Вывести уравнения движения линеаризованной гравитации
на плоском фоне и на пространстве постоянной кривизны.
Показать несогласованность уравнений линеаризованной гравитации в низшем порядке теории возмущений.
127
2. Найти выражение для метрики в ньютоновском пределе.
3. Получить простейший псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля. По-лучить выражения для полного импульса и углового момента гравитирующей системы. Удовлетворяет ли данный псевдотензор условиям, требуемым от
тензора энергии-импульса?
Вариант №6
1. Получить псевдотензор энергии-импульса гравитационного
поля Ландау-Лившица. Доказать его единственность.
2. Получить выражения для полного импульса и углового момента гравитирующей системы. Доказать независимость определения полного импульса и углового момента системы от
выбора псевдотензора.
3. Найти выражение для псевдотензора Ландау-Лившица в нерелятивистском пределе.
Вариант №7
1. Дать определение энергии и углового момента Бонди. Вычислить на конкретном примере энергию и угловой момент
Бонди. Энергия АДМ.
2. Сравнить определения энергий Бонди, АДМ и Ландау-Лившица: общий анализ и пример.
5.3. Проверочные задания к модулю 4
Вариант №1
1. Доказать теорему Биркгоффа.
2. Физический смысл шварцшильдовских координат. Замедление времени.
3. Найти квадрат тензора кривизны Римана для метрики Шварцшильда.
128
Вариант №2
1. Доказать, что внутри сферической полости центрально-симметричного распределения вещества гравитационное поле
отсутствует.
2. Описать особенности метрики Шварцшильда. Найти полный
4-импульс и угловой момент системы, гравитационное поле
которой задается метрикой Шварцшильда.
3. Найти псевдотензор Ландау-Лившица, отвечающий метрике Шварцшильда. Исследовать его поведение в окрестности
гравитационного радиуса и в начале шварцшильдовских координат.
Вариант №3
1. Найти геодезические метрики Шварцшильда.
2. Найти сечение захвата частиц сферически-симметричным
гравитирующим телом в ультрарелятивистском пределе.
3. Найти смещение перигелия Меркурия, вызванное эффектами ОТО.
Вариант №4
1. Найти геодезические метрики Шварцшильда.
2. Найти отклонение луча света сферически-симметричным гравитирующим объектом.
3. Найти гравитационное смещение спектральных линий в стационарном гравитационном поле. Найти смещение спектральных линий в поле метрики Шварцшильда и во Вселенной
Фридмана (космологическое красное смещение).
Вариант №5
1. Описать типы сингулярностей метрики Шварцшильда. Найти тензор кривизны данной метрики.
129
2. Найти время падения частицы в черную дыру и частоту испущенного ею сигнала принимаемого удаленным наблюдателем. Описать коллапс материи и появление черной дыры.
3. Построить черепашьи координаты, координаты ЭддингтонаФинкельштейна и Крускала-Шекереса. Построить конформную диаграмму черной дыры. Нарисовать в этих координатах коллапс сферически-симметричной оболочки.
Вариант №6
1. Получить метрику Райсснера-Нордстрема.
2. Доказать теорему Израэля о единственности решения вакуумных уравнений Эйнштейна-Максвелла, описывающего
статическую, топологически сферическую заряженную черную дыру.
Вариант №7
1. Описать особенности метрики Райсснерра-Нордстрема. Построить конформную диаграмму заряженной черной дыры.
Объяснить, как будет выглядеть данная диаграмма при сферически-симметричном коллапсе.
2. Дать определение экстремальной черной дыры. Получить
метрику Бертотти-Робинсона. Найти решение уравнений Эйнштейна, описывающее несколько экстремальный черных дыр.
Вариант №8
1. Доказать, что метрика Керра-Ньюмена является решением
уравнений Эйнштейна-Максвелла. Дать физическую интерпретацию координатам Бойера-Линдквиста.
2. Описать структуру сингулярностей метрики Керра-Ньюмена.
Дать определения сингулярного кольца, предела статичности и эргосферы.
3. Сформулировать теоремы, доказывающие, что стационарная
электровакуумная черная дыра может описываться только
метрикой Керра-Ньюмена.
130
Вариант №9
1. Найти геодезические метрики Керра.
2. Найти горизонты метрики Керра, предел статичности и эргосферу. Найти условия, при которых в метрике Керра возможны машины времени.
3. Количественно описать процесс Пенроуза. Описать суперизлучение безмассовых скалярных полей в поле метрики Керра.
Вариант №10
1. Провести разделение переменных в уравнении массивного
скалярного поля на фоне метрики Керра.
2. Вывести уравнения для малых возмущений метрики Керра.
Решить эти уравнения.
Вариант №11
1. Найти геодезические метрики Керра.
2. Найти горизонты метрики Керра, предел статичности и эргосферу. Найти условия, при которых в метрике Керра возможны машины времени.
3. Количественно описать процесс Пенроуза. Описать суперизлучение безмассовых скалярных полей в поле метрики Керра.
Вариант №12
1. Дать классификацию решений уравнения Эйнштейна по Петрову.
2. Описать процедуру Героха генерации решений вакуумного
уравнения Эйнштейна, обладающих векторами Киллинга.
3. Описать статические, аксиально-симметрические решения вакуумного уравнения Эйнштейна (пространства Вейля).
131
5.4. Дополнительные проверочные задания
Вариант №1
1. Сформулировать и доказать законы термодинамики черных
дыр. Дать определение температуры Хокинга.
2. Доказать, что статистическая сумма квантовых полей может
быть представлена функциональным интегралом в пространстве с евклидовой сигнатурой.
3. Получить выражение для хокинговской температуры исходя
из аналитического продолжения метрики Шварцшильда в
пространство с евклидовой сигнатурой.
Вариант №2
1. Описать динамику свободного скалярного массивного квантового поля на стационарном гравитационном фоне при нулевой температуре. Построить фоковское пространство состояний.
2. Обобщить процедуру на нестационарный фон. Получить общую формулу для числа in-частиц в конечном состоянии
квантовой системы.
Вариант №3
1. Используя квазиклассическое приближение, найти число частиц, порождаемых коллапсирующей сферической оболочкой.
2. Найти закон, по которому изменяется масса испаряющейся
черной дыры. Оценить время жизни черной дыры.
5.5. Тематика проверочных заданий для самостоятельной работы
Вариант №1
Вывести закон Хаббла.
132
Вариант №2
Получить предел Чандрасекара образования нейтронных звезд.
Вариант №3
Получить предел Волкова-Оппенгеймера образования черной дыры.
Вариант №4
Найти уравнение гидростатического равновесия сферически-симметричной звезды, описываемой идеальной жидкостью.
Вариант №5
Построить решение, описывающее эволюцию гравитирующей идеальной жидкости, дающее контрпример к гипотезе космической
цензуры.
Вариант №6
Получить формулу для мощности гравитационных волн, излучаемых двойной системой. Найти время жизни такой двойной системы.
Вариант №7
Найти число рожденных скалярных (массивных) и векторных (безмассовых) частиц, рожденных из вакуума в результате эволюции
Вселенной..
Методические рекомендации студентам по самостоятельной
работе
Вопросы, вынесенные на самостоятельное изучение по курсу
ОТО:
1. Каноническое квантование гравитации. Геометродинамика.
2. Петлевая квантовая гравитация.
3. Стандартная космологическая модель (ΛCDM).
133
4. Модели инфляции.
5. Альтернативные теории гравитации и обобщения: скалярнотензорные теории гравитации (модель Бранса-Дикке); многомерные теории (теория Калуцы-Клейна); теории с высшими производными; постньютоновское приближение и теории
гравитации с выделенным фоном.
5.6. Перечень выносимых на экзамен вопросов
Вариант №1
1. Дать определение расслоения и его сечений. Дать определение тривиального расслоения и доказать критерий тривиальности. Привести пример нетривиального расслоения и
указать все элементы расслоения. Дать определение суммы Уитни и тензорного произведения расслоений. Привести
примеры. Дать определение касательного расслоения. Дать
определение тензорной алгебры. Привести примеры. Дать
определение тензорной плотности степени k и привести примеры.
2. Дать определение риманового многообразия. Указать векторы Киллинга для постоянной метрики в d-мерном (псевдо)римановом пространстве.
Вариант №2
1. Дать определение риманового многообразия. Дать определения pullback’а, pushforward’а, производной Ли и векторов
Киллинга. Указать их основные свойства. Привести примеры. Доказать утверждение о том, что число векторов Киллинга не может превышать d(d + 1)/2. Получить систему
обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих векторы Киллинга.
2. Формула для производной Ли тензора произвольного ранга.
Доказать единственность производной Ли.
Вариант №3
134
1. Дать определение расслоения дифференциальных форм. Указать основные операции над дифференциальными формами
на (псевдо)римановом многообразии и их свойства. Формула
для свертки двух символов Леви-Чивита. Дать определения
супералгебры и супералгебры Ли.
2. Интегрирование дифференциальных форм на ориентируемом
многообразии. Формула замены переменных в интеграле.
Формула Стокса. Формула для вектора нормали к поверхности, возникающего в формуле Стокса. Дать определение характеристических токов. Показать, что характеристические
токи реализуют дуальность Пуанкаре. Дать физическую интерпретацию характеристическим токам.
Вариант №4
1. Дать алгебраическое определение связности (ковариантной
производной). Указать закон преобразования символов связности из карты в карту. Указать действие ковариантной производной на базисных сечениях. Тривиальная и плоская связности. Привести примеры. Дать определение (линейной) связности, использующее понятие параллельного переноса. T экспонента, вильсоновская петля. Привести примеры. Доказать существование связности на любом расслоении.
2. Дать определение кривизны связности. Определение связности на касательном расслоении, тензор кручения. Тождества
Бианки, Риччи, Якоби для связности в касательном расслоении.
Вариант №5
1. Дать определение связности, согласованной с метрикой. Найти выражения для символов Кристоффеля. Дать определение кривизны связности. Указать свойства метрического тензора кривизны, а также тензоров Риччи, Эйнштейна и Вейля. Найти число независимых компонент метрического тензора кривизны в d-мерном пространстве. Выражение для
тензора кривизны Римана в двумерном пространстве через
скалярную кривизну.
135
2. Доказать формулу дифференцирования определителя. Написать уравнения Максвелла на кривом фоне.
Вариант №6
1. Дать определение геодезической. Общая, натуральная и аффинная параметризации. Получить уравнения геодезической
варьируя функционал действия релятивистской частицы. Написать лагражиан релятивистской частицы в форме Полякова. Объяснить метод геодезического лагранжиана.
2. Дать понятие и получить выражение для девиации геодезических. Найти связность Леви-Чивита на двумерной сфере,
вложенной в трехмерное евклидово пространство. Найти ее
геодезические и их девиацию.
Вариант №7
1. Дать определения геодезической, римановой и нормальной
систем координат. Указать замену переменных, переводящую произвольную систему координат в геодезическую. Доказать соотношения для коэффициентов связности и метрического тензора в римановой системе координат. Привести
первые три нетривиальных члена ряда Тейлора метрического тензора в начале римановой системы координат.
2. Дать определение неголономного базиса. Доказать структурные уравнения Картана и тождества Бианки. Привести
выражения для спиновой связности Леви-Чивита через тетрады. Написать уравнения Дирака на кривом фоне.
Вариант №8
1. Дать определение однородного, изотропного и максимально
симметричного пространств. Как классифицируются максимально симметричные пространства? Дать определение пространств постоянной кривизны. Доказать эквивалентность
пространства постоянной кривизны максимально симметричному пространству. Получить явное выражение для метрики
постоянной кривизны.
2. Сформулировать теорему расщепления. Привести примеры.
136
Вариант №9
1. Дать определение конформных преобразований и конформных отображений. Привести примеры конформных отображений. Когда конформные отображения образуют бесконечномерную группу? Найти закон преобразования коэффициентов связности, тензоров Римана, Риччи и скалярной кривизны под действием конформных преобразований. Указать
вид конформно инвариантного уравнения безмассового скалярного поля.
2. Привести выражения для конформных отображений метрики Минковского (Евклида) в d > 2.
Вариант №10
1. Сформулировать принципы эквивалентности, ковариантности и минимального взаимодействия. Пояснить на примерах. Вывести уравнение, описывающее эволюцию векторов,
связанных с пробными частицами.
2. Доказать, что с каждым тензором Киллинга связан закон сохранения для уравнений движения частицы. Привести пример. Доказать, что каждый вектор Киллинга влечет закон
сохранения для уравнений движения полей материи. Дать
этому физическую интерпретацию.
Вариант №11
1. Сформулировать требования, накладываемые на тензор энергии-импульса. Привести примеры. Получить выражение для
тензора энергии-импульса в рамках канонического подхода. Получить выражение для тензора энергии-импульса в
рамках калибровочного подхода. Выписать тензор энергииимпульса Розенфельда-Белинфанте.
2. Доказать, что тензор энергии импульса конформно инвариантных моделей бесследов на уравнениях движения. Привести пример. Выписать выражения для тензоров энергииимпульса скалярного, электромагнитного и дираковского полей. Указать действие для идеальной жидкости и выписать
ее тензор энергии-импульса.
137
Вариант №12
1. Сформулировать условия, однозначно фиксирующие вид уравнений ОТО. Выписать уравнения Эйнштейна и показать, что
данные условия удовлетворены. Выписать действие Гильберта-Эйнштейна с космологической постоянной. Найти функционал действия гравитационного поля без высших производных полей метрики. Формализм Палатини. Доказать, что
формализм Палатини приводит к связности, согласованной с
метрикой.
2. Вывести уравнения движения линеаризованной гравитации
на плоском фоне. Показать несогласованность уравнений линеаризованной гравитации в низшем порядке теории возмущений. Найти выражение для метрики в ньютоновском пределе.
Вариант №13
1. Выписать простейший псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля. Получить выражение для полного импульса и выписать аналогичное выражение для углового момента гравитирующей системы. Удовлетворяет ли данный
псевдотензор условиям, требуемым от тензора энергии-импульса?
2. Получить псевдотензор энергии-импульса гравитационного
поля Ландау-Лившица. Получить выражение для полного
импульса и выписать аналогичное выражение для углового
момента гравитирующей системы. Доказать независимость
определения полного импульса и углового момента системы
от выбора псевдотензора.
Вариант №14
1. Дать определение энергии и углового момента Бонди. Привести пример вычисления полной энергии. Дать определение
энергии АДМ.
2. Сравнить определения энергий Бонди, АДМ и Ландау-Лившица на конкретном примере.
138
Вариант №15
1. Доказать теорему Биркгоффа. Физический смысл шварцшильдовских координат. Замедление времени. Доказать, что
внутри сферической полости центрально-симметричного распределения вещества гравитационное поле отсутствует.
2. Описать особенности метрики Шварцшильда. Найти полный
4-импульс и угловой момент системы, гравитационное поле
которой задается метрикой Шварцшильда.
Вариант №16
1. Найти геодезические метрики Шварцшильда. Найти смещение перигелия Меркурия, вызванное эффектами ОТО. Найти отклонение луча света сферически-симметричным гравитирующим объектом.
2. Найти гравитационное смещение спектральных линий в стационарном гравитационном поле. Найти смещение спектральных линий в поле метрики Шварцшильда и во Вселенной
Фридмана (космологическое красное смещение).
Вариант №17
1. Описать типы сингулярностей метрики Шварцшильда. Найти тензор кривизны данной метрики. Найти время радиального падения частицы в черную дыру и частоту испущенного
ею сигнала принимаемого удаленным наблюдателем. Описать коллапс материи и появление черной дыры.
2. Построить черепашьи координаты, координаты ЭддингтонаФинкельштейна и Крускала-Шекереса. Построить конформную диаграмму черной дыры. Нарисовать в этих координатах коллапс сферически-симметричной оболочки.
Вариант №18
1. Получить метрику Райсснера-Нордстрема. Описать особенности метрики Райсснерра-Нордстрема. Построить конформную диаграмму заряженной черной дыры. Объяснить, как
будет выглядеть данная диаграмма при сферически-симметричном коллапсе.
139
2. Дать определение экстремальной черной дыры. Выписать
метрику Бертотти-Робинсона. Привести решение уравнений
Эйнштейна, описывающее несколько экстремальный черных
дыр.
Вариант №19
1. Выписать метрику Керра-Ньюмена. Дать физическую интерпретацию координатам Бойера-Линдквиста. Описать структуру сингулярностей метрики Керра-Ньюмена. Дать определения сингулярного кольца, предела статичности и эргосферы. Сформулировать теоремы, доказывающие, что стационарная электровакуумная черная дыра может описываться
только метрикой Керра-Ньюмена.
2. Найти геодезические метрики Керра. Указать условия, при
которых в метрике Керра возможны машины времени. Качественно описать процесс Пенроуза. Качественно описать
процесс суперизлучения безмассовых скалярных полей в поле метрики Керра.
Вариант №20
1. Провести разделение переменных в уравнении массивного
скалярного поля на фоне метрики Керра. Дать классификацию решений уравнения Эйнштейна по Петрову.
2. Описать процедуру Героха генерации решений вакуумного уравнения Эйнштейна, обладающих векторами Киллинга. Описать статические, аксиально-симметрические решения вакуумного уравнения Эйнштейна (пространства Вейля).
Вариант №21
1. Сформулировать законы термодинамики черных дыр. Дать
определение температуры Хокинга. Получить выражение для
хокинговской температуры исходя из аналитического продолжения метрики Шварцшильда в пространство с евклидовой сигнатурой.
140
2. Выписать решение уравнений Гейзенберга свободного скалярного массивного квантового поля на стационарном гравитационном фоне. Дать определение in-частиц. Выписать
решение уравнений Гейзенберга свободного скалярного массивного квантового поля на нестационарном гравитационном
поле. Привести общую формулу для числа in-частиц в конечном состоянии квантовой системы.
Вариант №22
1. Используя квазиклассическое приближение, найти число частиц, порождаемых коллапсирующей сферической оболочкой.
2. Указать закон, по которому изменяется масса испаряющейся
черной дыры. Оценить время жизни черной дыры.
141
Литература
[1] Стинрод Н. Топология косых произведений. – М.: Издательство иностранной литературы, 1953. – 275 с.
[2] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная
геометрия: методы и приложения. – М.: Физматлит, 1979. –
760 с.
[3] де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. – М.: Издательство иностранной литературы, 1956. – 250 с.
[4] Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. т. 1. – М.: Физматлит, 1981. – 344 с.
[5] Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий. – М.: Издательство иностранной литературы, 1960. –
216 с.
[6] Петров А. З. Пространства Эйнштейна. – М.: Физматгиз,
1961. – 463 с.
[7] Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. –
М.: Мир, 1970. – 224 с.
[8] Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию
поля. – М.: Издательство иностранной литературы, 1963. –
842 с.
[9] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. – М.: Физматлит,
2001. – 536 с.
[10] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. – М.: Физматлит, 2001. – 736 с.
[11] Carroll S. M. Spacetime and Geometry: An Introduction to
General Relativity. – New York: Addison Wesley, 2004. – 513
p., arxiv: gr-qc/9712019.
[12] Мизнер Ч., Торн К., Уиллер Дж. Гравитация. т. 1. – М.:
Мир, 1977. – 480 с.
[13] Мизнер Ч., Торн К., Уиллер Дж. Гравитация. т. 2. – М.:
Мир, 1977. – 525 с.
142
[14] Мизнер Ч., Торн К., Уиллер Дж. Гравитация. т. 3. – М.:
Мир, 1977. – 510 с.
[15] Вейнберг С. Гравитация и космология. – М.: Мир, 1975. –
696 с.
[16] Вайнберг С. Квантовая теория поля. т.1. Общая теория. –
М.: Физматлит, 2003. – 648 с.
[17] Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура
пространства-времени. – М.: Мир, 1977. – 432 с.
[18] Carroll S. M. TASI Lectures: Introduction to Cosmology, arXiv:
astro-ph/0401547.
[19] Хриплович И. Б. Общая теория относительности. – Ижевск:
НИЦ “Регулярная и хаотическая механика”, 2001. – 120 с.
[20] Долгов А. Д., Зельдович Я. Б., Сажин М. В. Космология
ранней Вселенной. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. – 199 с.
[21] Frolov V. P., Novikov I. D. Black Hole Physics: Basic Concepts and New Developments. – Dordrecht: Kluwer Academic
Publishers, 1998. – 770 p.
[22] Уолд Р. М. Общая теория относительности. – М.: РУДН,
2008. – 693 с.
[23] Carter B. Global structure of the Kerr family of gravitational
fields // Phys. Rev. – 1968. – v. 174 – p. 1559-1571.
[24] Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр, т. 1-2.
– М.: Мир, 1986. – 276 с., 355с.
[25] Townsend P. K. Black Holes, arXiv: gr-qc/9707012.
[26] Прайс Р., Торн К., Макдоналд Д. и др. Черные дыры: мембранный подход. – М.: Мир, 1988. – 428 с.
[27] Фок В. А. Теория простанства, времени и тяготения. – М.:
Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955. – 504 с.
143