Стр.159-166

Занятие 7
Теоремы о среднем.
Правило Лопиталя
7.1
Теоремы о среднем
Теоремы о среднем — это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти
теоремы называют также основными теоремами дифференциального исчисления.
Теорема Ролля. Если функция y = f (x) удовлетворяет условиям:
(i) f (x) непрерывна на отрезке [a, b];
(ii) существует производная f 0 (x) в интервале (a, b);
(iii) f (a) = f (b), т.е. на концах отрезка функция принимает
одинаковые значения,
то существует точка c ∈ (a, b) такая, что
f 0 (c) = 0.
Причина этого состоит в том, что функция, принимающая
на концах отрезка одинаковые значения, внутри отрезка имеет
либо максимум, либо минимум. А в точке локального максимума или минимума производная равна нулю по теореме Ферма
159
(необходимое условие экстремума).
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что существует точка, в которой касательная горизонтальна.
Теорема Лагранжа. Если функция y = f (x) удовлетворяет
условиям:
(i) f (x) непрерывна на отрезке [a, b];
(ii) существует производная f 0 (x) в интервале (a, b),
то существует точка c ∈ (a, b), для которой выполняется равенство
f (b) − f (a)
(L)
= f 0 (c).
b−a
Геометрически теорема Лагранжа утверждает, что внутри отрезка найдется точка, в которой касательная параллельна секущей. При этом секущей (или хордой) называется прямая, соединяющая концевые точки (a, f (a)) и (b, f (b)) графика.
Формула (L), переписанная в виде
f (b) − f (a) = f 0 (c)(b − a),
называется формулой конечных приращений. Она утверждает,
что приращение функции на отрезке равно приращению аргумента, умноженному на значение производной в некоторой промежуточной точке.
Теорема Коши. Если функции y = f (x) и y = g(x) удовлетворяют условиям:
(i) f (x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b];
160
(ii) существуют производные f 0 (x) и g 0 (x) в интервале (a, b);
(iii) g 0 (x) 6= 0 в интервале (a, b),
то существует точка c ∈ (a, b), для которой выполняется равенство
f (b) − f (a)
f 0 (c)
= 0 .
(C)
g(b) − g(a)
g (c)
В частном случае, когда g(x) = x, теорема Коши превращается в теорему Лагранжа.
Задача 7.1. Проверить справедливость теоремы Ролля для
функции f (x) на данном отрезке и найти соответствующее значение c, фигурирующее в теореме:
a) y = x3 + 4x2 − 7x − 10 , [ −1, 2 ] ; b) y = x2 + 3x − 1 , [ −3; 0 ] ;
c) y = ln sin x , [ π6 , 5π
6 ] ; d) y = (x − 1)(x − 2)(x − 3) , [ 1, 3 ].
♥ a) Так как функция y(x) = x3 + 4x2 − 7x − 10 есть многочлен,
то она дифференцируема на всей числовой прямой, тем более
она непрерывна на [ −1, 2 ] и дифференцируема на ( −1, 2 ) , то
есть условия (i) и (ii) теоремы Ролля выполняются. Для проверки условия (iii) вычислим значения функции в концах отрезка: y(−1) = (−1)3 + 4(−1)2 − 7(−1) − 10 = 0 и y(2) = 0 , то
есть y(−1) = y(2) , следовательно условие (iii) так же выполняется. Поэтому на основании теоремы Ролля существует точка
c ∈ [ −1, 2 ] такая, что y 0 (c) = 0 . Найдём точку√c : из уравнения
√
,
y 0 (x) = 3x2 + 8x − 7 = 0 , находим x1 = − 4+3 37 , x2 = 37−4
3
откуда получаем c = x2 =
Ответ: a) c =
√
37−4
;
3
√
37−4
3
b) c =
∈ ( −1, 2 ) .
2
ln 3 ;
♠
c) c = 1; d) c =
q
4
π
− 1.
Задача 7.2. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для
функции f (x) на данном отрезке и найти соответствующее значение c, фигурирующее в теореме:
1
a) y = x2 , [ 1; 3 ] ; b) y = ln x, [ 1; 3 ] ; c) y = x+1
x , [ 2; 2 ] ;
d) y = arctg x, [ 0; 1 ].
♥ Функция y = x2 дифференцируема при всех x, поэтому условия (i)-(ii) теоремы Лагранжа для неё выполнены. Так как
161
y(1) = 1, y(3) = 9, то, согласно теореме Лагранжа, существует
точка c ∈ (1; 3) такая, что y 0 (c) = y(3)−y(1)
= 82 = 4, т.е. 2c = 4,
3−1
откуда c = 2 ∈ (1; 3). ♠
Ответ: a) c = 2; b) c = 32 ; c) c = π2 ; d) c =
√
6± 3
3 .
Задача 7.3. Найти точку, в которой касательная к графику
y = f (x) параллельна секущей, соединяющей точки A и B на
графике. Сделать поясняющий рисунок.
a) y = x2 − 4x, A(1; −3), B(5; 5);
b) y = ln x, A(1; 0), B(e; 1).
♥ Составим уравнение секущей — прямой, проходящей через
y+3
точки A и B: x−1
4 = 8 , или y = 2x − 5. Её угловой коэффициент равен 2. Поскольку угловой коэффициент касательной к
графику функции y = f (x) равен f 0 (x), то абсцисса искомой
точки находится из уравнения f 0 (x) = 2, т.е. 2x − 4 = 2, откуда
x = 3. Соответствующая ордината y = f (3) = 9 − 12 = −3. ♠
Ответ: a) (3; −3); b) (e − 1; ln(e − 1)).
7.2
Правило Лопиталя
Правило
— это правило раскрытия неопределенностей
h i Лопиталя
£∞¤
0
вида 0 или ∞ , т.е. вычисления предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших, с помощью производных:
Если функции f (x) и g(x) удовлетворяют условиям:
1) существуют производные f 0 (x) и g 0 (x) в проколотой окрестности точки x0 ,
2) lim f (x) = lim g(x) = 0 или lim f (x) = lim g(x) = ∞,
x→x0
x→x0
x→x0
x→x0
3) g 0 (x) 6= 0 в некоторой окрестности точки x 0 ,
0 (x)
(конечный или бесконечный),
4) существует lim fg0 (x)
x→x0
f (x)
x→x0 g(x)
то существует lim
и эти пределы равны, т.е.
162
lim
x→x0
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
.
x→x0 g (x)
g(x)
Теорема справедлива не только в случае, когда x → x 0 , но и
когда x → x0 + 0, x → x0 − 0, x0 → ±∞.
Короче говоря, при вычислении предела отношения двух б.м.
или двух б.б. числитель и знаменатель можно заменить на их
производные.
Если после применения правила Лопиталя неопределенность
не исчезла, то правило Лопиталя можно применить еще раз.
Пример. Найти предел:
sin x − x
;
x→0
x3
a) lim
b)
xn
(n – натуральное число ).
x→+∞ ex
lim
♥
sin x − x [ 00 ]
cos x − 1 [ 00 ]
− sin x [ 00 ]
− cos x
1
= lim
= lim
= lim
=− ;
3
2
x→0
x→0
x→0
x→0
6x
6
6
x
3x
a) lim
xn [ ∞
nxn−1 [ ∞
n!
∞]
∞]
=
lim
= . . . = lim x = 0.
x
x
x→+∞ e
x→+∞
x→+∞ e
e
b) lim
f 0 (x)
0
x→x0 g (x)
Замечание. Если предел lim
f (x)
x→x0 g(x)
значит, что предел lim
♠
не существует, то это не
также не существует. Действитель-
но, рассмотрим две б.б. f (x) = 2x + sin x и g(x) = 2x − sin x
0 (x)
x
при x → ∞. Тогда lim fg0 (x)
= lim 2+cos
2−cos x не существует, однако
lim f (x)
x→∞ g(x)
=
x→∞
2x+sin x
lim
x→∞ 2x−sin x
=
x→∞
2+ sin x
lim 2− sinx x
x→∞
x
= 1.
Задача 7.4. Найти предел:
x − tg x
π x − π 3x
x4
;
b)
lim
;
c)
lim
.
x→0
x→0 tg πx
x→0 sin2 x − x2
x3
a) lim
163
Ответ: a) − 13 ; b) − π2 ln π; c) −3.
Задача 7.5. Найти предел:
ln (x2 + 1)
e3x
ln x
; b) lim
; c) lim √ .
2
x→∞
x→∞
x→+∞ x
x
x
a) lim
Ответ: a) 0; b) +∞; c) 0.
7.3
Другие виды неопределенностей
Непосредственно правило
Лопиталя применяется только к неопреh i
£ ¤
0
деленностям вида 0 или ∞
∞ . Другие типы неопределенностей нужно сводить к неопределенностям этих типов.
Неопределенности вида [0 · ∞] и [∞1 − ∞2 ] можно свести к
неопределенности вида 00 или ∞
∞ с помощью следующих мани1
0
1
пуляций:
0
·
∞
=
0
·
=
или
0·∞ = ∞
·∞ = ∞
0
0
∞ ; ∞1 − ∞ 2 =
³
´
∞1 · 1 −
∞2
∞1
= · · ·.
£ ¤
показательно-степенного вида [1 ∞ ], 00
£Неопределенности
¤
и ∞0 сводятся к неопределенностям вида 00 или ∞
∞ с помоln
A
щью основного логарифмического тождества A = e
(и непрерывности показательной функции) (метод логарифмирования):
пусть требуется найти предел lim u(x)v(x) одного из перечисx→x0
ленных типов. Тогда
lim u(x)v(x) = lim ev(x) ln u(x) = eB ,
x→x0
x→x0
где B = lim v(x) ln u(x).
x→x0
Пример. Найти предел: lim xx .
x→0
[ 00 ]
♥ lim xx = lim ex ln x = eB , где
x→0
x→0
[0·∞]
B = lim x ln x = lim
x→0
Ответ:
x→0
e0
= 1.
ln x
1
x
[∞
∞]
= lim
x→0
164
1
x
− 12
x
= lim (−x) = 0. ♠
x→0
Задача 7.6. Найти предел:
³
x
a) lim x2 ln x ; b) lim x−1
−
x→0
x→1
¡1
¢
d) lim x − sin1 x .
1
ln x
´
x→0
¡
¢
; c) limπ ctg x · ln x − π2 ;
x→ 2
1
[∞
[0·∞]
∞]
x2
♥ a) lim x2 ln x = lim ln1x = lim −2x 1 = lim −2
= 0.
x→0
x→0 x2
x→0
x→0
3
x
³
´ [∞−∞]
0
[ 00 ]
x
ln x−x+1 [ 0 ]
ln x
b) lim x−1
− ln1x
= lim x(x−1)
=
lim
=
ln x
ln x+ x−1
x→1
= lim
x→1
1
x
1
+ 12
x
x
x→1
=
1
2.
x→1
x
♠
Ответ: a) 0 ; b)
1
2
; c) 0 ; d) 0 .
Задача 7.7. Найти предел:
a) lim (cos x)
x→0
1
x2
; b) lim
x→1
1
Ответ: a) e− 2 ; b)
1
4;
µ
4x
3x + 1
¶
1
tg (x−1)
; c) lim (ln x)tg
x→e
πx
2e
.
2
c) e− π .
Задача 7.8. Найти пределы:
2x − 1
cos x
arcsin x − x
√
; b) limπ
; c) lim
;
π
x→0 cos x − 1
x→0 arctg x − x
x→ 2 ln (x − 2 + 1)
a) lim
√
2
x−9−1
3x − 9
esin x − esin x
d) lim
; e) lim
; f ) lim
;
x→10 lg x − 1
x→2 ln (x − 1)
x→0
tg x
1
arctg x − arcsin x
sin x − sin 8
; h) lim
; i) lim (ctg x) ln x ;
x→8 ln x − ln 8
x→0
tg x − sin x
µ
¶ πx
µ
¶
πx
6 − x 3 tg 6
1
1
j) lim ln x · tg
; k) lim
; l) lim
−
;
x→1
x→3
x→2 x2 − 4
2
3
2−x
√
√
¡
¢ctg πx
1+sin x
m) lim 2 − esin x
; n) lim 1+x−
;
x sin x
x→0
x→0
1
¡
¢
o) lim 1 + tg2 x ln (1+3x2 ) .
g) lim
x→0
x→0
165
Ответ: a) −2 ln 2; b) −1; c) − 12 ; d) 5 ln 10; e) 9 ln 3; f ) −1;
g) −1; h) 8 cos 8;
1
6
1
i) e−1 ; j) − π2 ; k) e π ; l) ∞; m) e− π ; n) 0; o) e 3 .
Контрольные вопросы
1. Сформулировать теоремы Ролля, Лагранжа и Коши.
2. Каков геометрический смысл теоремы Лагранжа?
3. Что такое формула конечных приращений?
4. Сформулировать правило Лопиталя.
Дополнительные вопросы и задачи
D1. Показать, что если хотя бы одно из условий (i)–(iii) теоремы Ролля не выполняется, то утверждение теоремы Ролля
может быть неверно. Приведите соответствующие контрпримеры.
D2. Показать, что если хотя бы одно из условий (i)–(iii) теоремы Лагранжа не выполняется, то утверждение теоремы Лагранжа может быть неверно. Приведите соответствующие контрпримеры.
D3. С помощью теоремы Лагранжа доказать, что если на
некотором промежутке производная функции равна нулю (тождественно), то эта функция постоянна.
D4. С помощью теоремы Лагранжа доказать, что если функция y = f (x) непрерывна на отрезке и имеет положительную
(соответственно отрицательную) производную внутри отрезка,
то она возрастает (соответственно убывает) на этом отрезке.
D5. Доказать, что производная функции f (x) = (x 2 − 1) · x ·
2
(x −4) имеет четыре действительных корня, и найти интервалы,
в которых они находятся.
D6. Применим правило Лопиталя для вывода первого заме[ 00 ]
чательного предела: lim sinx x = lim cos1 x = 1. Объясните почему
x→0
x→0
это "доказательство"не проходит (не верно).
Производные можно применять для доказательства неравенств.
166