01.06.01 - Математика и механика

Пояснительная записка
Основная цель вступительного экзамена для поступления в аспирантуру по
направлению подготовки 01.06.01- Математика и механика состоит в выявлении
способностей соискателя в области знаний математической логики, алгебры и теории
чисел.
Задачи вступительного экзамена:
1. Проверка знаний в области математической индукции, дедукции, аналогии.
2. Определение способностей соискателя в области классических логических
исчислений.
3. Определение уровня способности соискателя в решении задач методами
математической дедукции в исчислениях высказываний и предикатов.
4. Определение уровня знаний в области основных свойств аксиоматических
систем и методов формальных доказательств.
5. Определение уровня знаний соискателя в области теории алгоритмов.
В процессе вступительного экзамена соискатель должен продемонстрировать:
Знание
 содержания основных понятий математической логики, алгебры и теории чисел;
 основных разделов математического анализа и линейной алгебры;
 основных разделов дискретной математики.
Умение
 интерпретировать логические формулы;
 выполнять тождественные преобразования;
 использовать язык алгебры высказываний и алгебры предикатов.
Владение
 терминологией вычислений математической логики.
Структура и содержание вступительного экзамена по направлению подготовки
01.06.01 - Математика и механика
1.
Математическая логика и теория алгоритмов.
Понятие алгоритма и его уточнения. Вычислимость по Тьюрингу, частично
рекурсивные функции, рекурсивно перечислимые и рекурсивные множества.
Универсальные вычислимые функции. Существование перечислимого неразрешимого
множества. Алгоритмические проблемы. Логика высказываний. Представимость булевых
функций формулами логики высказываний. Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные
формы. Исчисление высказываний. Полнота и непротиворечивость. Логика предикатов.
Приведение формул логики предикатов к предварённой нормальной форме. Исчисление
предикатов. Непротиворечивость. Теорема о дедукции. Полнота исчисления предикатов.
Элементарные теории классов алгебраических систем. Разрешимые теории. Теория
плотного линейного порядка. Формальная арифметика. Теорема о представимости
вычислимых функций в формальной арифметике (без доказательства). Неразрешимость
алгоритмической проблемы выводимости для арифметики и логики предикатов.
Аксиоматическая теория множеств. Порядковые числа, принцип трансфинитной
индукции. Аксиома выбора.
2.
Алгебра.
Теорема о конечно порожденных модулях над евклидовым кольцом и ее
следствия для групп и линейных операторов. Свободные группы и определяющие
соотношения. Алгебраические расширения полей. Теорема о примитивном элементе.
Поле разложения многочлена. Конечные поля, их подполя и автоморфизмы. Радикал
кольца. Нетеровы кольца и модули. Теорема Гильберта о базисе. Алгебры Ли. Простые и
разрешимые алгебры. Теорема Ли о разрешимых алгебрах. Основы теории представлений.
2
Одномерные представления. Соотношения ортогональности. Алгебраические системы.
Свободные алгебры. Многообразие алгебр. Теорема Биркгофа. Теорема Стоуна о булевых
алгебрах.
3.
Теория чисел.
Квадратичный закон взаимности. Первообразные корни и индексы. Неравенства
Чебышева. Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел.
Характеры и L-функции. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.
Модуль гауссовой суммы. Полные тригонометрические суммы и число решений
сравнений. Критерий Вейля равномерного распределения. Представление целых чисел
унимодулярными квадратичными формами. Приближение вещественных чисел
рациональными дробями. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
рациональными дробями. Примеры трансцендентных чисел. Трансцендентность чисел e и π.
Примерные вопросы и задания в экзаменам
1.
Понятие алгоритма и его уточнения.
2.
Вычислимость по Тьюрингу, частично рекурсивные функции, рекурсивно
перечислимые и рекурсивные множества.
3.
Универсальные вычислимые функции.
4.
Существование перечислимого неразрешимого множества.
5.
Алгоритмические проблемы. Логика высказываний.
6.
Представимость булевых функций формулами логики высказываний.
7.
Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы.
8.
Исчисление высказываний. Полнота и непротиворечивость. Логика
предикатов.
9.
Приведение формул логики предикатов к предварённой нормальной форме.
10.
Исчисление предикатов. Непротиворечивость. Теорема о дедукции. Полнота
исчисления предикатов.
11.
Элементарные теории классов алгебраических систем.
12.
Разрешимые теории. Теория плотного линейного порядка.
13.
Формальная арифметика. Теорема о представимости вычислимых функций
в формальной арифметике (без доказательства).
14.
Неразрешимость
алгоритмической
проблемы
выводимости
для
арифметики и логики предикатов.
15.
Аксиоматическая теория множеств. Порядковые числа, принцип
трансфинитной индукции. Аксиома выбора.
16.
Теорема о конечно порожденных модулях над евклидовым кольцом и ее
следствия для групп и линейных операторов.
17.
Свободные группы и определяющие соотношения. Алгебраические
расширения полей.
18.
Теорема о примитивном элементе. Поле разложения многочлена.
Конечные поля, их подполя и автоморфизмы.
19.
Радикал кольца. Нетеровы кольца и модули.
20.
Теорема Гильберта о базисе.
21.
Алгебры Ли. Простые и разрешимые алгебры. Теорема Ли о разрешимых
алгебрах.
22.
Основы теории представлений. Одномерные представления. Соотношения
ортогональности.
23.
Алгебраические системы. Свободные алгебры. Многообразие алгебр.
24.
Теорема Биркгофа. Теорема Стоуна о булевых алгебрах.
25.
Квадратичный закон взаимности. Первообразные корни и индексы.
26.
Неравенства Чебышева. Дзета-функция Римана.
27.
Асимптотический закон распределения простых чисел. Характеры и Lфункции.
3
28.
Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии.
29.
Модуль гауссовой суммы. Полные тригонометрические суммы и число
решений сравнений.
30.
Критерий Вейля равномерного распределения.
31.
Представление целых чисел унимодулярными квадратичными формами.
32.
Приближение вещественных чисел рациональными дробями.
33.
Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными
дробями. Примеры трансцендентных чисел. Трансцендентность чисел e и π.
Учебно-методическое и информационное обеспечение вступительного экзамена по
направлению подготовки 01.06.01 - Математика и механика
а) основная литература
1.
Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. - М: Наука, 1965
2.
Клини С.К. Математическая логика. – М: Мир, 1973.
3.
Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М: Наука, 1984.
4.
Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство
теорем. - М.: Наука, 1983.
5.
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М.:
Наука, 1987.
6.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре, М.: Наука, 1984
7.
Мальцев А.И. Основы линейной алгебры, М.: Наука, 1970.
8.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры, М.: Наука, 1971.
9.
Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999.
б) дополнительная литература
1.
Новиков П.С. Элементы математической логики. – М: Наука, 1973
2.
Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической
логике и теории алгоритмов. – М: Наука, 1975
3.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. Часть 2.
Линейная алгебра. М., ФМЛ, 2000.
4.
Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика, М.: Мир, 1999.
в) Интернет-ресурсы:
http://www.unn.ru/e-library/
http://www.unn.ru/books/resources.html
http://mech.math.msu.su/department/algebra
Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы.
Материально-техническое обеспечение дисциплины
Проведение вступительного экзамена по направлению подготовки 01.06.01 Математика и механика обеспечено наличием учебно-методической литературы, видео и
фото – материалами, интернет-ресурсами.
Программа вступительного экзамена одобрена на заседании кафедры математики,
физики и методики обучения Шуйского филиала ФГБОУ ВПО «Ивановский
государственный университет» «16» января 2014 года, протокол № 5.
4