Пояснительная записка Основная цель вступительного экзамена для поступления в аспирантуру по направлению подготовки 01.06.01- Математика и механика состоит в выявлении способностей соискателя в области знаний математической логики, алгебры и теории чисел. Задачи вступительного экзамена: 1. Проверка знаний в области математической индукции, дедукции, аналогии. 2. Определение способностей соискателя в области классических логических исчислений. 3. Определение уровня способности соискателя в решении задач методами математической дедукции в исчислениях высказываний и предикатов. 4. Определение уровня знаний в области основных свойств аксиоматических систем и методов формальных доказательств. 5. Определение уровня знаний соискателя в области теории алгоритмов. В процессе вступительного экзамена соискатель должен продемонстрировать: Знание содержания основных понятий математической логики, алгебры и теории чисел; основных разделов математического анализа и линейной алгебры; основных разделов дискретной математики. Умение интерпретировать логические формулы; выполнять тождественные преобразования; использовать язык алгебры высказываний и алгебры предикатов. Владение терминологией вычислений математической логики. Структура и содержание вступительного экзамена по направлению подготовки 01.06.01 - Математика и механика 1. Математическая логика и теория алгоритмов. Понятие алгоритма и его уточнения. Вычислимость по Тьюрингу, частично рекурсивные функции, рекурсивно перечислимые и рекурсивные множества. Универсальные вычислимые функции. Существование перечислимого неразрешимого множества. Алгоритмические проблемы. Логика высказываний. Представимость булевых функций формулами логики высказываний. Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы. Исчисление высказываний. Полнота и непротиворечивость. Логика предикатов. Приведение формул логики предикатов к предварённой нормальной форме. Исчисление предикатов. Непротиворечивость. Теорема о дедукции. Полнота исчисления предикатов. Элементарные теории классов алгебраических систем. Разрешимые теории. Теория плотного линейного порядка. Формальная арифметика. Теорема о представимости вычислимых функций в формальной арифметике (без доказательства). Неразрешимость алгоритмической проблемы выводимости для арифметики и логики предикатов. Аксиоматическая теория множеств. Порядковые числа, принцип трансфинитной индукции. Аксиома выбора. 2. Алгебра. Теорема о конечно порожденных модулях над евклидовым кольцом и ее следствия для групп и линейных операторов. Свободные группы и определяющие соотношения. Алгебраические расширения полей. Теорема о примитивном элементе. Поле разложения многочлена. Конечные поля, их подполя и автоморфизмы. Радикал кольца. Нетеровы кольца и модули. Теорема Гильберта о базисе. Алгебры Ли. Простые и разрешимые алгебры. Теорема Ли о разрешимых алгебрах. Основы теории представлений. 2 Одномерные представления. Соотношения ортогональности. Алгебраические системы. Свободные алгебры. Многообразие алгебр. Теорема Биркгофа. Теорема Стоуна о булевых алгебрах. 3. Теория чисел. Квадратичный закон взаимности. Первообразные корни и индексы. Неравенства Чебышева. Дзета-функция Римана. Асимптотический закон распределения простых чисел. Характеры и L-функции. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Модуль гауссовой суммы. Полные тригонометрические суммы и число решений сравнений. Критерий Вейля равномерного распределения. Представление целых чисел унимодулярными квадратичными формами. Приближение вещественных чисел рациональными дробями. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Примеры трансцендентных чисел. Трансцендентность чисел e и π. Примерные вопросы и задания в экзаменам 1. Понятие алгоритма и его уточнения. 2. Вычислимость по Тьюрингу, частично рекурсивные функции, рекурсивно перечислимые и рекурсивные множества. 3. Универсальные вычислимые функции. 4. Существование перечислимого неразрешимого множества. 5. Алгоритмические проблемы. Логика высказываний. 6. Представимость булевых функций формулами логики высказываний. 7. Конъюнктивные и дизъюнктивные нормальные формы. 8. Исчисление высказываний. Полнота и непротиворечивость. Логика предикатов. 9. Приведение формул логики предикатов к предварённой нормальной форме. 10. Исчисление предикатов. Непротиворечивость. Теорема о дедукции. Полнота исчисления предикатов. 11. Элементарные теории классов алгебраических систем. 12. Разрешимые теории. Теория плотного линейного порядка. 13. Формальная арифметика. Теорема о представимости вычислимых функций в формальной арифметике (без доказательства). 14. Неразрешимость алгоритмической проблемы выводимости для арифметики и логики предикатов. 15. Аксиоматическая теория множеств. Порядковые числа, принцип трансфинитной индукции. Аксиома выбора. 16. Теорема о конечно порожденных модулях над евклидовым кольцом и ее следствия для групп и линейных операторов. 17. Свободные группы и определяющие соотношения. Алгебраические расширения полей. 18. Теорема о примитивном элементе. Поле разложения многочлена. Конечные поля, их подполя и автоморфизмы. 19. Радикал кольца. Нетеровы кольца и модули. 20. Теорема Гильберта о базисе. 21. Алгебры Ли. Простые и разрешимые алгебры. Теорема Ли о разрешимых алгебрах. 22. Основы теории представлений. Одномерные представления. Соотношения ортогональности. 23. Алгебраические системы. Свободные алгебры. Многообразие алгебр. 24. Теорема Биркгофа. Теорема Стоуна о булевых алгебрах. 25. Квадратичный закон взаимности. Первообразные корни и индексы. 26. Неравенства Чебышева. Дзета-функция Римана. 27. Асимптотический закон распределения простых чисел. Характеры и Lфункции. 3 28. Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. 29. Модуль гауссовой суммы. Полные тригонометрические суммы и число решений сравнений. 30. Критерий Вейля равномерного распределения. 31. Представление целых чисел унимодулярными квадратичными формами. 32. Приближение вещественных чисел рациональными дробями. 33. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Примеры трансцендентных чисел. Трансцендентность чисел e и π. Учебно-методическое и информационное обеспечение вступительного экзамена по направлению подготовки 01.06.01 - Математика и механика а) основная литература 1. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. - М: Наука, 1965 2. Клини С.К. Математическая логика. – М: Мир, 1973. 3. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М: Наука, 1984. 4. Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. - М.: Наука, 1983. 5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М.: Наука, 1987. 6. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре, М.: Наука, 1984 7. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры, М.: Наука, 1970. 8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры, М.: Наука, 1971. 9. Винберг Э.Б. Курс алгебры. М.: Факториал, 1999. б) дополнительная литература 1. Новиков П.С. Элементы математической логики. – М: Наука, 1973 2. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. – М: Наука, 1975 3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. Часть 2. Линейная алгебра. М., ФМЛ, 2000. 4. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгоритмика, М.: Мир, 1999. в) Интернет-ресурсы: http://www.unn.ru/e-library/ http://www.unn.ru/books/resources.html http://mech.math.msu.su/department/algebra Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы. Материально-техническое обеспечение дисциплины Проведение вступительного экзамена по направлению подготовки 01.06.01 Математика и механика обеспечено наличием учебно-методической литературы, видео и фото – материалами, интернет-ресурсами. Программа вступительного экзамена одобрена на заседании кафедры математики, физики и методики обучения Шуйского филиала ФГБОУ ВПО «Ивановский государственный университет» «16» января 2014 года, протокол № 5. 4
© Copyright 2022 DropDoc