Математическое моделирование

Филиал Московского государственного университета имени
М.В.Ломоносова в г. Баку
Математический факультет
ОБЩАЯ ЧАСТЬ ПРОГРАММЫ
вступительного экзамена в магистратуру по специальностям
«Функциональный анализ»
«Математическая кибернетика»
«Дискретные системы»
«Математическое моделирование»
1. Непрерывность функций одной переменной, свойства непрерывных
функций.
2. Функции многих переменных, дифференциал и его геометрический смысл.
Достаточные условия дифференцируемости. Градиент.
3. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
4. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрируемость
непрерывной функции.
5. Неявные функции. Существование, непрерывность и дифференцируемость
неявных функций.
6. Числовые ряды. Сходимость рядов. Критерий Коши. Достаточные
признаки сходимости.
7. Абсолютная и условная сходимость ряда. Свойства абсолютно сходящихся
рядов.
8. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
Свойства равномерно сходящихся рядов (непрерывность суммы, почленное
интегрирование и дифференцирование).
9. Степенные ряды. Радиус сходимости, свойства степенных рядов.
Разложение элементарных функций.
10.Несобственные интегралы и их сходимость.
11.Ряды Фурье. Достаточные условия представимости функции рядом Фурье.
12.Формулы Грина, Стокса, Гаусса-Остроградского. Дивергенция. Ротор.
13.Линейные пространства и их подпространства. Базис. Размерность.
Теорема о ранге матрицы. Система линейных уравнений. Теорема
Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений системы линейных
однородных уравнений.
14.Билинейные и квадратичные функции в линейных пространствах и их
матрицы. Приведение к нормальному виду. Закон инерции.
15.Линейные операторы и их матрицы. Собственные векторы и собственные
значения. Диагонализируемые операторы. Характеристический многочлен
линейного оператора.
16.Евклидово пространство. Ортонормированные базисы. Ортогональные
матрицы. Самосопряженные операторы. Приведение квадратичной формы к
главным осям.
17.Ортогональная и аффинная классификация линий второго порядка.
18.Дифференциальное уравнение первого порядка. Теорема о существовании и
единственности решения.
19.Линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Линейное
однородное уравнение. Линейная зависимость функций. Фундаментальная
система решений. Определитель Вронского. Линейное неоднородное
уравнение.
20.Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:
однородное и неоднородное с правой частью в виде квазимногочлена.
21.Функции комплексного переменного. Условие Коши-Римана.
Геометрический смысл аргумента и модуля производной.
22.Конформные отображения. Дробно-линейные преобразования.
23.Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интеграл Коши. Ряд
Тейлора.
24.Ряд Лорана. Полюс и существенно особая точка. Вычеты.
25.Параметрическое задание поверхности. Первая квадратичная форма
поверхности.
26.Вторая квадратичная форма поверхности. Теорема Менье.
27.Главные кривизны и главные направления. Формула Эйлера.
Литература:
Курош А.Г., Курс высшей алгебры.
Кострикин А.И., Введение в алгебру, I, II, III.
Федорчук В.В., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
Ефимов Н.В., Краткий курс аналитической геометрии.
Гельфанд И.М., Лекции по линейной алгебре.
Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н., Лекции по
математическому анализу.
7. Зорич В.А., Математический анализ, I, II.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
8. Фихтенгольц Г.М., Основы математического анализа.
9. Филиппов А.Ф., Введение в теорию дифференциальных уравнений.
10.Петровский И.Г., Лекции по обыкновенным дифференциальным
уравнениям.
11.Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения.
12.Маркушевич А.И., Краткий курс теории аналитических функций.
13.Привалов И.И., Введение в теорию функций комплексного переменного.
14.Шабат Б.В., Введение в комплексный анализ.
15.Мищенко А.С., Фоменко А.Т., Краткий курс дифференциальной геометрии
и топологии.
16.Рашевский П.К., Дифференциальная геометрия.
17.Рыбников К.А., История математики.
Дополнительная часть программы вступительного экзамена в
магистратуру по специальности «Функциональный анализ»
1. Теорема Коши об интеграле по замкнутому контуру. Интеграл Коши.
Теорема Мореры.
2. Степенные ряды. Теорема Абеля. Теорема Коши о разложении голоморфной
функции в степенной ряд. Теорема Лиувилля. Теорема Вейерштрасса о
последовательностях и рядах голоморфных функций.
3. Изолированные особые точки однозначного характера. Ряд Лорана. Теорема
Лорана. Теоремы единственности для голоморфных функций.
4. Вычеты. Формулы для их вычисления. Теорема Коши о вычетах.
5. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. Теорема Руше. Теорема
Гурвица. Принцип максимума модуля. Принцип симметрии Римана-Шварца.
6. Гармонические функции на плоскости. Их связь с голоморфными
функциями. Задача Дирихле для круга. Формула Пуассона.
7. Мера Лебега. Измеримые функции. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов
Лебега и Римана.
8. Пространства L1 и L2, их полнота. Полные и замкнутые системы в L2.
Равенство Парсеваля. Свойство минимальности коэффициентов Фурье.
9. Метрические пространства. Сходимость последовательностей в метрических
пространствах. Полнота и пополнение метрических пространств.
Сепарабельность. Принцип сжимающих отображений.
10.Нормированные линейные пространства. Конечномерные нормированные
линейные пространства. Критерии компактности.
11.Непрерывные линейные функционалы. Сопряженное пространство.
Пространство линейных ограниченных операторов.
12.Гильбертовы пространства и линейные операторы в них. Изоморфизм
сепарабельных бесконечномерных гильбертовых пространств. Общий вид
линейных ограниченных функционалов в гильбертовых пространствах.
Спектральная теория ограниченных операторов в гильбертовых
пространствах.
Список литературы
1. Маркушевич А.И., Краткий курс теории аналитических функций.
2. Привалов И.И., Введение в теорию функций комплексного переменного.
3. Шабат Б.В., Введение в комплексный анализ.
4. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И., Лекции по теории функций
комплексного переменного.
5. Евграфов М.А., Сборник задач по теории аналитических функций.
6. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального
анализа.
7. Люстерник Л.А., Соболев В.И., Краткий курс функционального анализа.
8. Богачев В.И., Смолянов О.Г., Действительный и функциональный анализ.
9. Дьяченко М.И., Ульянов П.Л., Мера и интеграл.
10. Бородин П.А., Савчук А.М., Шейпак И.А., Задачи по функциональному анализу
Дополнительная часть программы вступительного экзамена в
магистратуру по специальности «Математическая кибернетика»
1. Функции алгебры логики(ф.а.л.) и способы их задания. Совершенная ДНФ.
Единственность представления ф.а.л. в виде полинома Жегалкина.
Эквивалентные преобразования формул на основе системы тождеств.
2. Замкнутость и полнота в Р2.Замкнутость классов Т0 ,Т1 , S ,L, M.Леммы о
функциях не принадлежащих этим классам.
3. Теорема Поста о полноте в Р2 и следствия из нее.
4. Функции k-значной логики (k>2). Примеры полных систем в
Рk.Доказательство полноты системы {х+1(mod k), max(x,y)}.
5. Представление функций из Pk в виде полинома по mod k.
6. Алгоритм А.Кузнецова распознавания полноты в Рk. Формулировка теоремы
о полноте в Pk.
7. Задача минимизации ф.а.л. в классе формул над {&,˅, ¬}.Дизъюнктивные
нормальные формы(ДНФ).Алгоритмы построения сокращенной ДНФ.
Сокращенная ДНФ линейной и монотонной функций
8. Алгоритм С.В.Яблонского построения всех тупиковых ДНФ и его
обоснование.
9. Ядровая ДНФ. Алгоритм Квайна. Регулярная грань. Теорема Ю.И.Журавлева
10.Конечный автомат и способы его задания (таблица, информационные
деревья, диаграмма Мура, канонические уравнения). Теорема о
периодическом сверхслове.
11. Теорема Э.Мура о различимости состояний конечного автомата и следствие
из нее.
Cписок литературы
1.Яблонский С.В. Введение в дискретную математику, М.: Наука,1986 г.
2.Кудрявцев В.Б., Блохина Г.Н., Кнап Ж., Кудрявцев В.В. Алгебра логики,
М.: изд-во ЦПИ МГУ, 2006 г.
3.Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию
автоматов, М.: Наука, 1985 г.
Дополнительная часть программы вступительного
экзамена в магистратуру по специальности «Дискретные
системы»
1. Функции алгебры логики (ф.а.л.) и способы их задания. Совершенная
ДНФ.Единственность представления ф.а.л. в виде полинома
Жегалкина.Эквивалентные преобразования формул на основе системы
тождеств.
2. Замкнутость и полнота в Р2.Замкнутость классов Т0 ,Т1 , S ,L, M. Леммы о
функциях не принадлежащих этим классам.
3. Теорема Поста о полноте в Р2 и следствия из нее.
4. Функции k-значной логики (k>2). Примеры полных систем в Рk.
Доказательство полноты системы {х+1(mod k), max(x,y)}.
5. Представление функций из Pk в виде полинома по mod k.
6. Алгоритм А.Кузнецова распознавания полноты в Рk. Формулировка теоремы
о полноте в Pk.
7. Задача минимизации ф.а.л. в классе формул над {&,˅, ¬}.Дизъюнктивные
нормальные формы(ДНФ).Алгоритмы построения сокращенной ДНФ.
Сокращенная ДНФ линейной и монотонной функций
8. Алгоритм С.В.Яблонского построения всех тупиковых ДНФ и его
обоснование.
9. Схемы из функциональных элементов (СФЭ). Алгоритмы синтеза СФЭ.
10.Ограниченно-детерминированные функции(о.-д.функции) и их свойства.
Операции суперпозиции и обратной связи. Теорема об отсутствии конечных
полных систем относительно операции суперпозиции для о.-д.функций.
11.Понятие структурного автомата. Канонические уравнения структурного
автомата.Полнота системы {&,˅, ¬, З0} относительно операций обратной
связи и суперпозиции к классе о.-д.функций.
12.Задача анализа и синтеза структурного автомата над {&,˅, ¬, З0}.Примеры.
Cписок литературы
1.Яблонский С.В. Введение в дискретную математику, М.: Наука,1986 г.
2.Кудрявцев В.Б., Блохина Г.Н., Кнап Ж., Кудрявцев В.В. Алгебра логики,
М.: изд-во ЦПИ МГУ, 2006 г.
3.Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию
автоматов, М.: Наука, 1985 г.
Дополнительная часть программы вступительного
экзамена в магистратуру по специальности
«Математическое моделирование»
1. Кривые второго порядка на плоскости. Их классификация и свойства.
2. Операции с векторами и матрицами. Решение систем линейных алгебраических
уравнений.
3. Интегрирование и дифференцирование функций. Ряды Тейлора и Фурье.
4. Задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Фундаментальное решение системы линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянных.
5. Классификация особых точек линейного дифференциального уравнения на
плоскости.
6. Понятие случайной величины и случайного процесса. Вероятность.
Математическое ожидание, дисперсия.
7. Теоремы сложения скоростей и ускорений для точки в подвижной системе
координат; ускорение Кориолиса. Инерциальные системы отсчета, принцип
Галилея. Силы инерции.
8. Свободные и вынужденные колебания линейного осциллятора с вязким
трением. Математический маятник и его фазовый портрет.
9. Законы Ньютона. Задача о движении материальной точки в гравитационном
поле.
10. Внутренние и внешние силы для системы материальных точек. Реакции связей.
Идеальные связи. Теоремы об изменении и законы сохранения импульса,
кинетического момента и кинетической энергии системы.
11. Уравнения движения твердого тела. Главные оси инерции. Вращение твердого
тела по инерции. Гироскопический эффект.
12. Уравнения Лагранжа для механических систем с потенциальными силами.
13. Уравнение колебания струны. Интегрирование методами характеристик и
Фурье.
14. Линейные системы управления. Импульсная переходная функция. Частотные
характеристики.
Cписок литературы
1. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Москва, изд‐во "Наука", 1977.
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический анализ, т.1,2.
Москва, изд‐во Московского университета, 1985.
3. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. Москва,
изд‐во "КомКнига", 2007.
4. Тихонов А.Н.Самарский В.А. Уравнения математической физики. Москва,
изд‐во Московского университета, 1999.
5. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Москва, редакция "Регулярная и
хаотическая динамика", 1999.
6. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. Москва, изд‐во Московского
университета, 2000.
7. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров
В.М. Оптимальное управление движением. Москва, изд‐во ФИЗМАТЛИТ, 2005.