0 - Высшая школа экономики

Правительство Российской Федерации
Пермский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ИСПЫТАНИЯ ПО
«Математике»
для абитуриентов, поступающих
для обучения на вечерне-заочном факультете экономики и управления
Утверждена
Одобрена
Заместитель председателя приемной комиссии
высшей математики протокол № 8.2.2.3.6-14/5
___________________________Володина Г.Е.
Зав. кафедрой________________ Иванов А.П.
«_______»__________________________2014 г.
«__23__»
Пермь 2014 год
на
заседании
мая
кафедры
2014 г.
I.
Пояснительная записка
1.
Автор программы: доктор педагогических наук, профессор Плотникова Евгения Григорьевна.
2.
Аннотация.
Программа вступительного испытания по математике рассчитана на абитуриентов, поступающих в Пермский филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» для обучения на вечерне-заочном факультете
экономики и управления.
В основе программы вступительного испытания по математике лежит обязательный
минимум содержания, представленный авт. Ш.А. Алимовым, Ю.М. Колягиным, Ю.С. Сидоровым и др. в учебниках «Алгебра и начала анализа, 10-11».
Вступительное испытание по математике для абитуриентов, поступающих для обучения на вечерне-заочном факультете экономики и управления, представляет собой письменный
тест, включающий задания с объемом знаний, навыков и умений в пределах приведенной ниже программы.
3.
Требования к абитуриентам.
Письменный вступительный экзамен по математике предполагает, что абитуриент
должен:
 уметь выполнять арифметические действия над числами;
 владеть техникой тождественных преобразований целых и дробных рациональных выражений;
 уметь проводить тождественные преобразования иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических выражений;
 уметь находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком;
 уметь проводить исследования функций элементарными средствами;
 строить и читать графики функций;
 владеть основными приемами преобразования графиков и применения их при построении графиков;
 владеть понятием последовательности, арифметической и геометрической последовательностей;
 уметь решать уравнения, сводящиеся к линейным, квадратичным, с параметрами;
 уметь решать иррациональные, логарифмические показательные и тригонометрические
уравнения и неравенства;
 уметь решать текстовые задачи методом уравнений, неравенств;
 уметь доказывать неравенства;
 освоить определенный набор приемов решения геометрических задач и умение применять их в задачах на вычисление, доказательство, построение;
 уметь оперировать аппаратом алгебры и тригонометрии при решении геометрических
задач;
 уметь вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов),
используя изученные формулы, а также аппарат алгебры, анализа и тригонометрии.
4.
Критерии и система оценки знаний.
Вступительное испытание представляет собой письменную работу в форме теста, состоящего из 30 заданий различной сложности с единственно правильным выбором ответа,
охватывающих все темы дисциплины. Каждое задание оценивается 1 первичным баллом. Затем первичные баллы пересчитываются в сто балльную шкалу (процент выполнения теста).
5.
Проходной балл.
Минимальное количество баллов, необходимых для зачисления в НИУ ВШЭ для обучения на вечерне-заочном факультете экономики и управления составляет 51 балл из 100 возможных.
II. Содержание программы
Тема 1: Действительные числа. Тождественные преобразования алгебраических выражений.
Натуральные числа, разложение их на множители, признаки делимости. НОК и НОД. Решение примеров и текстовых задач. Целые и рациональные числа. Иррациональные числа. Действительные числа. Числовые множества и операции над ними. Числовая ось.
Дробные числа, действия над дробями. Периодические дроби. Проценты. Три типа задач на
проценты. Решение примеров и текстовых задач.
Степени и корни. Действия над степенями. Извлечение корня. Арифметический корень натуральной степени. Степень с рациональным и действительным показателями.
Модуль действительного числа. Свойства модуля, геометрический смысл |а| и |а-b|. Решение
простейших уравнений и неравенств, содержащих "х" под знаком модуля.
Алгебраические преобразования. Одночлены и многочлены, действия над ними. Формулы сокращенного умножения и деления. Многочлены, зависящие от "х", корень многочлена. Симметрические многочлены. Деление многочленов. Разложение многочленов на множители. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Схема Горнера.
Тождественные преобразования алгебраических выражений.
Тема 2: Понятие функции. Свойства и графики простейших функций.
Определение функции, кусочное задание функций, области определения и значений, четность и нечетность, периодичность. График функции, преобразование графиков. Элементарное исследование
функций. Степенная функция, ее свойства и график. Взаимно обратные функции, композиция
функций.
Горизонтальные и вертикальные асимптоты. Квадратная функция. Выделение полного квадрата. Построение графиков простейших функций и функций, содержащих аргумент под знаком модуля. Комбинированные задания. Построение областей.
Тема 3: Простейшие уравнения и системы уравнений.
Простейшие уравнения. ОДЗ. Потеря и приобретение корней. Линейное уравнение, системы
линейных уравнений.
Геометрическая интерпретация, взаимное расположение прямых. Уравнения и системы, сводящиеся к линейным. Решение примеров и текстовых задач.
Линейные уравнения с двумя неизвестными и сводящиеся к ним. Построение фигур и областей на координатной плоскости. Графическое решение систем уравнений.
Квадратные уравнения. Формулы корней. Геометрическая интерпретация. Теорема Виета.
Решение примеров и текстовых задач.
Иррациональные уравнения. Системы уравнений. Решение примеров.
Простейшие уравнения высших степеней и основные методы их решения: разложение на
множители, замена переменных, однородные уравнения.
Обобщенная теорема Виета. Нахождение рациональных корней алгебраического уравнения с
целыми коэффициентами.
Простейшие уравнения с параметрами. Графический подход.
Тема 4: Неравенства.
Свойства числовых неравенств. Действия над неравенствами. Доказательство числовых неравенств и простейших буквенных неравенств. Решение и равносильность неравенств, линейные неравенства и сводящиеся к ним. Графическое решение неравенств, простейшие задачи с
экономическим содержанием.
Квадратные неравенства и сводящиеся к ним. Метод интервалов. Неравенства с модулем.
Иррациональные неравенства. Решение смешанных заданий и текстовых задач на составление
неравенств. Неравенства с параметрами.
Тема 5: Тригонометрия.
Радианная мера угла. Определение синуса, косинуса, тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и
тангенса. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Тригонометрические тождества. Формулы сложения. Формулы двойного и половинного углов.
Формулы приведения. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.
Решение простейших тригонометрических уравнений. Примеры решения простейших тригонометрических неравенств.
Область определения и множество значений тригонометрических функций. Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций. Свойства и графики тригонометрических функций. Обратные тригонометрические функции.
Начала тригонометрии. Единичный круг, определение тригонометрических функций. Оси
тангенсов и котангенсов. Свойства тригонометрических функций, графики. Непрерывность
тригонометрических функций. Графики гармонических колебаний.
Основные тригонометрические формулы. Тригонометрические тождества. Формула приведения. Решение примеров на тригонометрические преобразования.
Тригонометрические уравнения и неравенства. Основные методы решения уравнения. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичного тригонометрического круга. Выборка решений. Метод введения вспомогательного угла.
Обратные тригонометрические функции. Их свойства, графики.
Тема 6: Показательная и логарифмическая функции.
Показательная функция, ее свойства и график. Показательные уравнения. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств.
Логарифмы. Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмическая
функция, ее свойства и график. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства.
Показательные уравнения и неравенства с заменой; содержащие знак модуля; содержащие
параметр.
Основное логарифмическое тождество. Действия над логарифмами. Логарифмирование и потенцирование. Модуль перехода. Число е. Экономическая интерпретация числа е.
Логарифмическая функция, ее свойства и график. Простейшие логарифмические уравнения и
неравенства. Логарифмические уравнения и неравенства с заменой; содержащие знак модуля;
содержащие параметр.
Тема 7: Числовые последовательности.
Понятие последовательности. Числовые последовательности. Арифметическая прогрессия,
геометрическая прогрессия и бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Тема 8: Применение производной к исследованию функций и построение их графиков.
Приращение функции. Дифференцируемые функции. Определение производной. Геометрический и физический смысл. Уравнения касательной к графику функции. Дифференциал.
Основные теоремы о производных. Производная сложной функции. Вторая производная.
Техника дифференцирования. Производные тригонометрических обратных тригонометрических, логарифмических и показательных функций. Применение производной к приближенным вычислениям.
Приложения производной. Возрастание и убывание функций. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Асимптоты. Исследование функций и построение графиков.
Тема 9: Интеграл.
Первообразная. Правила нахождения первообразных. Площадь криволинейной трапеции и
интеграл. Вычисление площадей с помощью интегралов.
III.
Список литература:
Базовая литература:
Алгебра и начала анализа:Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимовым, Ю.М. Колягиным, Ю.С. Сидоровым и др. – М.: Просвещение, 2013.
Основная литература:
1)
Иванов А.А, Иванов А.П. Математика: Пособие для подготовки к ЕГЭ и поступлению в вузы. Учебн. пособие. Изд. 3-е, испр. и доп. – М.: Физматкнига, 2007. – 288с.
2)
Иванов А.А, Иванов А.П. Тематические тесты для систематизации знаний по
математике. – ч. I. Учебн. пособие. Изд. 4-е. – М.: Физматкнига, 2013. – 176с.
3)
Иванов А.А, Иванов А.П. Тематические тесты для систематизации знаний по
математике. – ч. II. Учебн. пособие. Изд. 4-е. – М.: Физматкнига, 2013. – 176с.
4)
Иванов А.П. Тесты и контрольные работы по математике. Учебн. пособие. Изд.
5-е изд., перераб. и доп. – М.: Физматкнига, 2008. – 304с.
r'
IPTVZF-14051 IV. IIpMMCpHhiH rrepeqCHh TCCTOBhiX Borrpo£~~1_]3ap.HaH;i)
wI2J
IPTV~:F-=:!4051 IV. IIpnMepHhiM ncpC'J:CHh Tc~;OBhiX B~~~p;~oB I Bl:lp~aHT 11
[!]
wI2J
To.JK,ll,CCTBOM cpe,ll,H npMBC,ll,CHHhiX paBCHCTB .HBJUICTC.H
a 2 +b2 =(a+b) 2 -2ab
a3 +b3 =(a+b)(a 2 -2ab+b 2 )
3ab(a- b)= (a 3 + b3) + a3- b3
a3 - b3 = (a 2 - b2 )(a +b)
(a-b) 3 =(a-W+3a3b3
0
0
0
0
~
0
I2J
0
0
0
45
~
~
/3+1
2-
0
V3- 3
/3+2
V3
0
12]
/3+3
(6- 3/3)yl3=1
vx·
X_ ij;3 paBHa 64, CCJIM
I2J X= 16 0 X= 321 0
,lWo6b
0
0
3+
0
x=32
0
X= 128
0
0
~~
I2J
0
0
a< O,b
u
Ha p•cynKe
1
= x - 2
0
y=x2+2
wI2J
0
>0
M3o6pa~o. ,p,.p~
0
y = (x - 2) 2
0
a< O,b=O
I
0
0
~
1, ~ I
0
P
0
0
0
k=2
010
0
0
0 (
0
0
< 7 paBHO
0 (-2; 4)
0 (-6; 3)
x-3
Vx
qncJio log 81 ~ paBHO
1
4
I2J
0
> 0 o6pa3yiDT MH02KCCTBO
-lOx+ 25
(3; 5) U(5; +oo)0 ( -oo; 3) U(5; +oo)0 (3; 5)0 (5; +oo)0 (3; +oo)
Bee peiiiCHH.H HcpaBeHCTBa
-9
0
2
II]
3
1
1
0
12
l2
1
09
2
CyMMa KOpHeM ypaBHCHH.H 3x -Zx = 81 paBHa
12]5
04
(I]1
02
qCTHOM cpyHKI!MCM cpe,ll,M rrpHBC,ll,CHHhiX .HBJI.HCTC.H
y = 2lxl-x
y = log 2 (2x + 2-x)
I2J
0
y = -x 2 + 2
0
y = lg ( 1 + X) - lg ( 1 - X)
0
03
IIJ
y = 2llog 2 xi
y = X · lg x 2
y = (x+2)2
IIapa6oJia y = -x 2 + 2x - a KacaeTc.H ocn a6cr:rMcc rrpn
a=1
a=5
a=4
a=2
'---
l1 I'll
p
KOTOpoH rr3o6pa>Ken rra
l
'"""""""
-10
0
PeiiiCHHC HepaBeHCTBa 3-/f:[(6- 3x) > 10(6- 3x) orrpe,ll,CJI.HCTC.H cooTHOIIICHHeM
X< 2
HCT pClliCHHM
X < 0, 5
X> 2
X > 0, 5
I2J
>0
0
I2J (
15
0
a> O,b
0
~ MHO.IKCCTBO peiiiCHMM HepaBeHCTBa -2 < 1 - 3x
-3; 6)
-2; 1)
(1; 2)
0
~ "P•.P~
IlapaMO,'PN ¢YHK•"" y
ax + b,
pncyHKc, y,ll,OBJICTBOp.HIDT ycJIOBH.HM
a< O,b < 0
a> O,b < 0
8
k=4
x1=1,x2=-20 x1=1(IJ xE[1;+oo)0 x1=-20 xE(-2;1)
I2J
BcJIC,ll,CTBHC MHcpJI.HI!MH r:reHbi BhrpocJm Ha 25%. ,Ii;yMa rroTpe6oBaJra OT rrpaBHTCJibCTBa B03Bpar:r:reHM.H I!CH K IIpC.IKHCMY ypOBH.!O. ,Il;JI.H 3TOrO I!CHbi ,ll,OJI.IKHbi
6biTh yMCHhlliCHhi Ha
12,5%
30%
25%
15%
20%
0
0
12
0
k=1
,Il;JI.H ypaBHCHH.H x 2 - 5x- 1 = 0 C KOpH.HMH x 1 If x 2 Bblq.HCJIHTb x 1 xl + x 2x 12
5
-5
8
-8
4, 5
~
x=64
0
-8
l::l I2J
V3
4115
I2J
2J
(2- /3)- 1
0
k=5
~ YpaBHCHHC ,/-3x + 3 = x- 1 HMeeT peiiiCHHC
105
~ BhrqncJIHTh - 1 - - -2 - + -3-
I2J
X
0
k=3
~ CyMMa KOpHei1 ypaBHCHH.H J5- xJ = 3 paBHa
I2J
15 2 .21 2
paBHa
BeJmqnHa ,1J,po6n
35. 34
21
15
35
0
19
0
0
k
rmrep6oJia y = - IIpOXO,ll,MT qepe3 TOqKy (1, 125; 2, (6)), CCJIM
a=3
6·sin35°·sin55°
paBHO
COS 20°
tg20°
3
II] 6
q HCJIO
I2J
0
0
12
0
1,5
IPTVZF-14051 iv. llp~;_,;:~P;~rii uepe'ICHh Te~;~;~~~ BonpocoB I BapHaHT il
~
Bee KOpHM ypaBHCHM.H cos 2x
0
[i]
l.::J
(-l)(n+l)~ + ~n
12
7f
7f
-12 + 2n
JfJ)Q6b
0
0
l::J
~
0 ~3
4
[i]13
0
0
0
[i]
~ BocbMOii 'IJICH nporpeccHH 0, 0625; 0, 25; 1; ... paBeH
2048
512
4096
256
0
0
0
0
[i]
~ Ka.lK,n;hrii MCC.HI1 cyMMa ,n;eHer, xpaH.HIIIHXC.H Ha cpO'IHOM BKJia,n;e
JIM'IHBaCTC.H Ha 5%. 3a ro,n; CyMMa BOSpaCTeT B
0 cl)
[i] clr2
11
20
pas
20
pa3
0
clr
20
1024
B
6aHKC, yBe-
6
pa3
0
cl)
20
0
10
20
C1)
pas
pas
~.
I1so6pa.lKCHHhie Ha pHCYHKe TpeyrOJibHHKH
HMCIOT paBHbiC IICpHMCTpbl
paBHOBCJIHKH
0
0
0
0
[iJ
O,ll;HH HS TpeyrOJibHHKOB IIp.HMOyrOJibHblll
no.n;o6Hbi
HMeiOT pa3Hbie IIJIOIIIa,ll;M
~ EcJm IIJIOIIIa,n;h napaJIJreJiorpaMMa cocTaBJI.HeT 60, a BhiCOThi paBHhi 6
ero IICpHMCTp paBCH
20
[Iln
28
18
36
0
i2J
...
0
0
H
7, 5, TO
[i]
TpeyroJihHHK BrmcaH B OKPY.lKHOCTh pa,n;Hyca 5 eM. Ero CTopoHa Jie.lKaiiia.a npoTHB YrJia 30°, paBHa
7,5 CM
2,5 CM
5\1'2 CM
5\1'3 CM
5CM
0
0
-------
0
0
0
EcJIH
0
0
1r(2n + 1)
0
f (x)
=
27fn
=
0
(x- 2)' o6pa3yiOT MHO.lKeCTBO (n
in
0
i
+ 27rn
0
-i
0
-27f
04
0
-1
1+x-x2
1-x+x2
0-2
07f
B
(Ill
TO'IKC x = 1 paBHa
0o
E
Z)
+27fT/,
x cos x, TO / (7f) paBH.HeTc.a
IIpoHSBO,ll;Ha.H ¢YHKI1HM y =
01
B apmpMeTM'ICCKOii nporpeccuu MSBeCTHhi a 1 = cos 120°, a2 = sin 30°. Jl:ec.HThiii
ee 'IJieH paBeH
-8,5
-0,5
-9,5
8,5
0,5
0
I PTVZF-14051 IV. IIpnMepHhiii nepe'IeHh TCCTOBhiX BOnpocoB I BapHaHT 11
~ Bee peweHH.H ypaBHCHH.H (sinx)'
zv'3 o6pa3yiOT MHO.lKCCTBO
0 -+-n
57f
7f
0 ±57f- +7fn
12
2
12
0 ±~+7fn
12
= -
5 cos o: - 3 sin o:
.
IIpM ctg 0: = 2 paBHa
2 sm o: + 3 cos o:
1
7
-11
08
7
0--
i.:J
2
0
02
[!]