;pdf

Классические вариационные задачи. Вариационные уравнения в геометрии.
Задача Дирихле. Задача Больца.
Срок сдачи 12 февраля
1) (Задача Аполлония) Сколько нормалей можно провести от точки (x0 , y0 ) до
эллипса, заданного уравнением
x2 y 2
+ 2 = 1?
a2
b
Задать уравнением ГМТ, из которых к эллипсу можно провести ровно три
нормали.
2) (а) Участок имеет вид полуплоскости, граница которой — берег реки. Точки
A и B расположены на берегу реки на расстоянии 2 км друг от друга. Требуется отгородить от участка пастбище, так чтобы забор начинался в точке
км. Какую форму должно иметь
A, заканчивался в точке B и имел длину 2π
3
пастбище, чтобы его площадь была максимальна? Найдите эту площадь.
(б) Тот же вопрос для участка, имеющего форму круга с радиусом 2 км
(длина отрезка AB по-прежнему равна 2 км).
(При решении задачи можно пользоваться изопериметрическим неравенством).
3) Найдите уравнение геодезической, проходящей через точки (0, 1) и (1, 1), в
модели геометрии Лобачевского в полуплоскости Пуанкаре.
4) Пусть S — гладкая поверхность в R3 , заданная уравнением z = f (x, y), (x, y) ∈
D ⊂ R2 , имеющая минимальную площадь среди поверхностей с заданной
границей ∂S.
вариационное уравнение для S.
R Выведите
2
5) Найти inf 1≤x2 +y2 ≤4 (ux + u2y ) dxdy в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций на 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 с граничными условиями u = 0 на
{x2 + y 2 = 1}, u = ln 2 на {x2 + y 2 = 4}. Указание: воспользоваться инвариантностью задачи относительно поворотов
R и свести задачу к одномерной.
6) (В.И. Арнольд, Мат. тривиум) Найти inf x2 +y2 ≤1 (u2x +u2y ) dxdy, по C ∞ -функциям,
равным 0 в нуле и 1 при x2 + y 2 = 1.
7) Выписать вариационную задачу, для которой уравнение Эйлера-Лагранжа
имеет вид −∆u + u = f , u|∂Ω = 0.
Найти решение задачи Больца или показать, что оно не существует. Указание:
решить уравнение Эйлера и вычислить вариацию функционала в точке, являющейся
решением. Проанализировать полученное выражение.
R1
2
8) 0 (x˙ 2 − x) dt − x 2(1) → extr
R1
9) 0 (x˙ 2 + x2 ) dt − 2x(1) sh(1) → extr
10) Докажите, что решение задачи Больца удовлетворяет уравнению Эйлера и
условию транверсальности.
1